7
Kardinální informace o kritériích (část 1) Předpokládejme stejná značení jako v předchozích cvičeních. Kardinální informací o kritériích se rozumí ohodnocení jejich důležitosti
pomocí váhového vektoru v = (v1 , . . . , vk ),
k P
j=1
= 1, vj ≥ 0.
Existují tři základní výpočetní principy pro práci s kardinálními informacemi: 1. Princip maximalizace užitku 2. Princip minimální vzdálenosti od ideální varianty 3. Princip vyhodnocování variant na základě preferenční relace
7.1
Maximalizace užitku
Princip maximalizace užitku spočívá ve skutečnosti, že ke každé variantě určíme užitek z intervalu < 0, 1 >, který varianta přináší. Čím vhodnější varianta bude, tím vyšší bude mít hodnotu užitku. Seznámíme se se třemi metodami založenými na principu maximalizace užitku: 1. Metoda funkce užitku (UFA) 2. Metoda váženého součtu (WSA) 3. Metoda pro analýzu rozhodovacích problémů pomocí hierarchického znázornění (AHP) 7.1.1
UFA
• Označme: – ai – obecná i-tá varianta – fj – obecné j-té kritérium – fj (ai ) – hodnota varianty ai podle kritéria fj (v předchozích cvičeních jsme tuto hodnotu označovali yij ) – uj (fj (ai )) nebo zjednodušeně uj (ai ) z intervalu < 0, 1 > – dílčí funkce užitku
1
• To, že určitá varianta ai dosáhla podle kritéria fj určité hodnoty fj (ai ) přináší uživateli určitý užitek, který měříme pomocí právě zmíněné dílčí funkce užitku. • Pochopitelně, že čím vyšší je vhodnost varianty, tím vyšší dává uživateli užitek, a proto také má tím vyšší hodnotu dílčí funkce užitku uj (ai ).
• Pomocí funkce užitku lze modelovat preference uživatele. – Označme: ∗ Pj – preferenční relace mezi variantami podle kritéria fj
∗ Ij – indiferenční relace mezi variantami podle kritéria fj ∗ Hj – nejvíce preferovaná varianta podle kritéria fj
∗ Dj – nejméně preferovaná varianta podle kritéria fj – Pak pro dílčí funkci užitku platí: ∗ uj (a) > uj (b) ⇐⇒ aPj b
∗ uj (a) = uj (b) ⇐⇒ aIj b
∗ uj (Hj ) = 1
∗ uj (Dj ) = 0
– Rozeznáváme tři základní typy: 1. Lineární funkce užitku – konstantní přírůstky užitku 2. Konvexní funkce užitku – u Dj jsou přírůstky užitku menší než v blízkosti Hj 3. Konkávní funkce užitku – u Dj jsou přírůstky užitku větší než v blízkosti Hj – Konstrukce funkce užitku se provádí metodou dělících bodů. – Na horizontální osu budeme vynášet hodnoty yj , na vertikální osu hodnoty dílčí funkce užitku uj (yj ). – Uživatel určí na vodorovné ose yj0.5 mezi hodnotami Dj a Hj tak, aby uj (yj0.5 ) − uj (Dj ) = uj (Hj ) − uj (yj0.5 ). Je zřejmé, že pro yj0.5
bude uj (yj0.5 ) = 0.5, neboť uj (Hj ) = 1 a uj (Dj ) = 0.
– Zcela stejným způsobem určí uživatel na vodorovné ose yj0.25 mezi hodnotami Dj a yj0.5 tak, aby uj (yj0.25 )−uj (Dj ) = uj (yj0.5 )−uj (yj0.25 ). Je zřejmé, že pro yj0.25 bude uj (yj0.25 ) = 0.25. 2
– Dále uživatel určí na vodorovné ose yj0.75 mezi hodnotami yj0.5 a Hj tak, aby uj (yj0.75 ) − uj (yj0.5 ) = uj (Hj ) − uj (yj0.75 ). Je zřejmé, že pro yj0.75 bude uj (yj0.75 ) = 0.75.
– Tímto způsobem vytvoříme několik bodů a těmi pak proložíme (po částech lineární) křivku. • Dílčí funkce užitku lze poté agregovat do jediné funkce, kterou budeme nazývat vícekriteriální funkcí užitku:
u(ai ) = u{u1 (f1 (ai )), . . . , uk (fk (ai ))} = u{u1 (ai ), . . . , uk (ai )}. • V praxi se nejčastěji používá aditivní tvar funkce užitku: u(ai ) = v1 u1 (ai ) + . . . + vk uk (ai ) =
k P
j=1
vj uj (ai ),
kde uj (ai ) jsou dílčí funkce užitku a vj jsou váhy jednotlivých kritérií. • Jelikož váhy jsou normalizované, platí u(ai ) ∈< 0, 1 >. • Důležitou podmínkou je vzájemná preferenční nezávislost kritérií. • Pozn.: Kromě aditivního tvaru funkce užitku existuje i multiplikativní
tvar, podrobnosti v učebnicích, např. Fiala, Jablonský, Maňas: Vícekriteriální rozhodování, VŠE, 1994 nebo Fiala: Teorie rozhodování, VŠE,
2003. • Pro nalezení kompromisní varianty pak maximalizujeme vícekriteriální funkci užitku na množině variant: max u(ai ) pro ai ∈ A = {a1 , . . . , ap }.
• Podle klesajících hodnot vícekriteriální funkce užitku lze varianty uspořádat.
• Nicméně podotkněme na závěr, že tato metoda je pro ruční počítání dost složitá a tak při jejím použití pracujeme s počítači.
Příklad – Upír Předpokládejme příklad s úpírem, který podle prvních tří kritérií hodnotí své 4 oběti. Hodnotíme tedy 4 varianty podle 3 kritérií, ktireriální hodnoty jsou v matici:
3
121 5 80
148 6 68 107 3 72 150 6 91
Předpokládejme, že máme následující informace o dílčích funkcích užitku: užitky
0
0.25
0.5
0.75
1
ČES
100
110
120
150
170
VUP
1
2
4
5
6
KPR
50
70
80
95
100
Funkce užitku je mezi jednotlivými body v tabulce po částech lineární. Pokud užitek pro 120 metrovou vzdálenost od česnekového pole je 0.25 a pro 150 metrovou vzdálenost je užitek 0.75, lze snadno, např. trojčlenkou, spočítat, že užitek 121 metrové vzdálenosti je u = 0.5 +
0.25 30
= 0.508. Podobně užitek
7 = 0.175. V tabulce jsou spočítány pro vzdálenost 107 metrů je u = 0.25 10
hodnoty dílčí funkce užitku pro údaje z výše uvedené matice: užitky
ČES
VUP
KPR
a1
0.508 0.750 0.500
a2
0.733 1.000 0.225
a3
0.175 0.375 0.300
a4
0.750 1.000 0.683
Navíc máme pro jednotlivá kritéria zadané váhy v = (0.1, 0.6, 0.3). Agregované užitky spočítáme jako násobek váhy a hodnoty dílčí funkce užitku nasčítané přes všechna kritéria: u(ai ) = v1 u1 (ai ) + . . . + vk uk (ai ) =
k P
j=1
vj uj (ai ),
v našem případě u(ai ) = v1 u1 (ai ) + v2 u2 (ai ) + v3 u3 (ai ). Konkrétně tedy pro varianty: užitky a1 a2 a3 a4
UFA 0.1 · 0.508 + 0.6 · 0.750 + 0.3 · 0.500 = 0.6508 0.1 · 0.733 + 0.6 · 1.000 + 0.3 · 0.225 = 0.7408 0.1 · 0.175 + 0.6 · 0.375 + 0.3 · 0.300 = 0.3325 0.1 · 0.750 + 0.6 · 1.000 + 0.3 · 0.683 = 0.8799
Vzhledem k tomu, že se jedná o funkci užitku a my chceme užitek maximalizovat, vybíráme variantu s maximální hodnotou ve sloupci UFA. Optimální variantou při použití metody UFA tedy bude a4 . Povšimněme si, že varianta a3 je jako jediná dominována, proto je hodnota jejího užitku nejnižší. 4
7.1.2
WSA
Metodu jsme si představili již v kap. 2.6, kdy jsme si její pomocí ukazovali práci s kriteriální maticí. • Tato metoda také vychází z principu maximalizace užitku, předpokládá však pouze lineární funkci užitku.
• Jde vlastně o speciální případ metody UFA. • Tuto metodu lze s úspěchem použít při „ručníchÿ výpočtech. • Nejprve je třeva sestavit tzv. normalizovanou kriteriální matici. – Označme symbolem Dj bazální (dolní) hodnotu pro kritérium j a symbolem Hj ideální (horní) hodnotu pro kritérium j. – Normalizovaná kriteriální matice (rij ) vzniká transformací původní kriteriální matice (yij ) podle vztahu: rij =
yij −Dj . Hj −Dj
• Normalizovaná kriteriální matice je v tomto případě maticí hodnot užitku z i-té varianty podle j-tého kritéria.
• Pro prvky této normalizované kriteriální matice platí: – rij ∈< 0, 1 > pro všechna i, j – rij = 0 pro Dj – rij = 1 pro Hj • Při užití metody WSA pracujeme s váhami jednotlivých kritérií, které
jsou buď dány, nebo které jsme již nějakým vhodným způsobem od-
hadli (metodou pořadí, bodovací metodou, metodou párového srovnávání, metodou kvantitativního párového srovnávání). Máme tedy dány váhy v = (v1 , v2 , . . . , vk ) pro k maximalizačních kritérií. • WSA pak maximalizuje vážený součet, tedy
k P
j=1
vj rij .
• Tento vážený součet je pak aditivním tvarem vícekriteriální funkce užitku: u(ai ) =
k P
j=1
vj rij
• Spočítáme proto hodnotu tohoto váženého součtu pro každou variantu
a za kompromisní variantu vybereme tu, která bude mít vážený součet nejvyšší. 5
• Podle klesající hodnoty funkce užitku můžeme varianty uspořádat. • Opět si metodu předvedeme na příkladu s Upírem. Příklad – Upír Máme kriteriální matici pro maximalizační kritéria, přidáme si řádky s ideální a bazální variantou (narozdíl od kap. 2.6 budeme ale nyní uvažovat všechny ideální a bazální hodnoty jako relativní – nejnižší a nejvyšší hodnota budou vybrány z kriteriální matice) a podle výše uvedeného vztahu sestavíme normalizovanou kriteriální matici. var./krit.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
a1
121
5
80
3
4
1
19
9
15
a2
148
6
68
3
3
1
21
7
20
a3
107
3
72
3
3
1
22
6
6
a4
150
6
91
2
3
1
30
9
12
a5
110
3
40
1
2
0
18
8
0
a6
118
4
40
1
3
1
14
7
10
a7
109
5
37
2
4
1
15
2
7
a8
111
3
62
3
2
0
19
3
14
a9
113
5
90
1
3
1
18
7
2
a10
121
3
48
2
4
1
20
2
13
Hj
150
6
91
3
4
1
30
9
20
Dj
107
3
37
1
2
0
14
2
0
Hj − D j rij
43
3
54
2
2
1
16
7
20
yi1 −107 43
yi2 −3 3
yi3 −37 54
yi4 −1 2
yi5 −2 2
yi6 1
yi7 −14 16
yi8 −2 7
yi9 20
Podle vztahu uvedeném v posledním řádku snadno sestavíme žádanou matici:
6
R=
0.326 0.667 0.796 1.000 1.000 1.000 0.313 1.000 0.750
0.954 1.000 0.574 1.000 0.500 1.000 0.438 0.714 1.000 0.000 0.000 0.648 1.000 0.500 1.000 0.500 0.571 0.300 1.000 1.000 1.000 0.500 0.500 1.000 1.000 1.000 0.600 0.070 0.000 0.056 0.000 0.000 0.000 0.250 0.857 0.000
0.256 0.333 0.056 0.000 0.500 1.000 0.000 0.714 0.500 0.047 0.667 0.000 0.500 1.000 1.000 0.063 0.000 0.350
0.093 0.000 0.463 1.000 0.000 0.000 0.313 0.143 0.700
0.140 0.667 0.982 0.000 0.500 1.000 0.250 0.714 0.100 0.326 0.000 0.204 0.500 1.000 1.000 0.375 0.000 0.650
Použijeme váhy, které jsme dostali metodou párového srovnávání. v = (0, 0.17, 0.19, 0.11, 0.03, 0.19, 0.06, 0.17, 0.08) Vážený součet pro variantu a1 je: 0 · 0.326 + 0.17 · 0.667 + 0.19 · 0.796 + 0.11 · 1.000 + 0.03 · 1.000 + 0.19 · 1.000 +
0.06 · 0.313 + 0.17 · 1.000 + 0.08 · 0.750 = 0.846.
Podobně spočítáme vážený součet i pro zbývajících 9 variant: var.
7.1.3
u(ai ) =
k P
j=1
vj rij
pořadí
a1
0.846
2
a2
0.818
3
a3
0.592
5
a4
0.889
1
a5
0.153
10
a6
0.441
6
a7
0.435
7
a8
0.294
9
a9
0.651
4
a10
0.421
8
AHP
• Znázornění rozhodovacího problému jako hierarchické struktury (hierarchie).
• Hierarchická struktura = lineární struktura obsahující s úrovní. • Úrovně jsou uspořádány od obecného ke konkrétnímu. 7
• Prvky na libovolné úrovni jsou bezprostředně řízeny či ovlivňovány prvky na předchozí úrovni.
• Intenzity jednotlivých prvků v hierarchii mohou být kvantifikovány. • Nejvyšší úroveň obsahuje vždy pouze jeden prvek s definicí cíle vyhodnocování, tomuto prvku je přiřazena hodnota 1, která je rozdělena mezi prvky na druhé úrovni. • Ohodnocení prvků na libovolné úrovni je rozděleno mezi prvky o úroveň níž.
• V teorii grafů lze takovou strukturu modelovat stromem, v němž by uzly
tvořily prvky struktury a hrany by byly tvořeny vazbami mezi jednotlivými prvky.
• Tato metoda je vhodná pro: – běžné úlohy vícekriteriálního hodnocení variant (VHV) – úlohy lineárního cílového programování (LCP) – analýzy portfólia – rozsáhlé makroekonomické modely • Pro typickou úlohu VHV má hierarchie 5 úrovní: 1. úroveň – cíl vyhodnocování (1 prvek) 2. úroveň – experti (r prvků) 3. úroveň – kritéria (k prvků) 4. úroveň – subkritéria (záleží na struktuře) 5. úroveň – varianty (p prvků) • Na druhé úrovni hodnotíme fundovanost expertů něčím jako jsou váhy,
na třetí a čtvrté úrovni hodnotíme důležitost kritérií formou vah, na páté
úrovni hodnotíme důležitost variant pomocí preferencí. • Pro běžné rozhodování nám však stačí tři úrovně (cíl, kritéria a varianty). Jak tedy bude vypadat použití metody AHP v praxi?
8
• Připomeňme si nejprve metodu kvantitativního párového srovnávání pro odhad vah (Saatyho metodu).
– Saatyho metoda patří mezi nejčastěji používané metody pro volbu vah, používá se např. v postupu AHP. – Srovnávají se opět vždy páry kritérií (stejně jako v předchozím případě) a hodnocení se ukládá do tzv. Saatyho matice S = (sij ) podle následujícího systému:
(sij ) =
1 – i a j jsou rovnocenná 3 – i je slabě preferováno před j 5 – i je silně preferováno před j 7 – i je velmi silně preferováno před j 9 – i je absolutně preferováno před j
– Hodnoty 2,4,6 a 8 jsou ponechány pro hodnocení mezistupňů. – Je zřejmé, že sii = 1, neboť kritérium je rovnocenné samo se sebou. – Navíc musí platit, že sji = 1/sij pro všechna i. – Hodnota sij představuje přibližný poměr vah kritéria i a j, v matematickém zápisu sij ≈ vi /vj . – Předpokládejme, že skutečný poměr vah je vi /vj , my tento poměr odhadujeme hodnotou sij a chceme, aby se toto sij co nejméně lišilo od vi /vj . – Samotná metoda je velmi jednoduchá a zahrnuje následujících 5 kroků. – Nejprve vyplníme Saatyho matici: 1. Na diagonále budou jedničky (sii = 1). 2. sij ∈< 0, 9 >, pokud i je preferováno před j. 3. sji = 1/sij
– Pro každé i spočítáme hodnotu si =
k Q
j=1
sij .
– Pro každé i spočítáme hodnotu Ri = (si )1/k = – Dále spočítáme
k P
i=1
√ k s . i
Ri .
Ri . – Nakonec určíme váhy kritérií podle vztahu vi = P k Ri
i=1
9
• Přesně takto metodu kvantitativního párového srovnávání použijeme – a to opakovaně dvakrát.
• Metodu kvantitativního párového srovnávání nejprve aplikujeme na kritéria a získáme tak odhad vah jednotlivých kritérií. Získáme váhový vektor v = (v1 , v2 , . . . vk ). • Po té vezmeme první kritérium a jednotlivé varianty metodou kvantitativního párového srovnávání srovnáme podle tohoto prvního kritéria.
Řekneme si tedy, jak důležitá je podle prvního kritéria každá varianta vůči ostatním a vyplníme Saatyho matici. Metodou kvantitativního párového srovnávání dostaneme odhadnuté váhy pro jednotlivé varianty. Tento váhový vektor pak bude tvořit první sloupec matice vah W . Pak provedeme totéž podle druhého kritéria a výsledné váhy budou tvořit druhý sloupec matice W , atd. až kvantitativním srovnáváním variant podle posledního kritéria získáme poslední (k-tý) sloupec matice W . • Máme tedy váhový vektor v pro kritéria a matici vah W pro varianty v závislosti na kritériích.
• Spočítáme nyní agregovanou váhu pro každou variantu: wi = Jedná se v podstatě o vážený součet v jednotlivých řádcích.
k P
j=1
vj wij .
• Neboť i metoda AHP je v principu metoda maximalizující užitek, vybíráme opět variantu, která má nejvyšší vypočtenou hodnotu agregované
váhy. • Tato metoda v této základní podobě není určena pro příliš rozsáhlé úlohy, běžně se používá pro problémy, které mají na každé úrovni hierarchie
nejvýše 7 prvků (variant, kritérií, . . . ), pro úlohy s větším počtem variant používáme jakási subkritéria, čímž sice zvýšíme počet úrovní, ale snížíme počet porovnávání při vyplňování Saatyho matice. Uvědomme si totiž, že při řešení takovéto úlohy provedeme N =
k 2
+k
p 2
porovnání, což
je pro p = 10, k = 9 (jak je v příkladě s upírem) 441 porovnání. Příklad – Upír Předpokládejme, že máme opět příklad s upírem a uvažujeme prvních 5 kritérií a první 4 varianty. 10
• Metodou kvantitativního párového srovnávání určíme váhy kro kritéria: v = (0.0545, 0.3728, 0.3728, 0.1220, 0.0780).
• Pak vezmeme první kritérium a metodou kvantitativního párového srovnávání variant získáme vektor odhadu vah
wi1 = (0.121, 0.341, 0.054, 0.483). • Totéž provedeme pro druhé kritérium a metodou kvantitativního párového srovnávání variant získáme vektor odhadu vah wi2 = (0.167, 0.394, 0.045, 0.394). • Postup opakujeme pro třetí kritérium a metodou kvantitativního párového srovnávání variant získáme vektor odhadu vah wi3 = (0.208, 0.061, 0.096, 0.635). • Pro čtvrté kritérium metodou kvantitativního párového srovnávání variant získáme vektor odhadu vah
wi4 = (0.308, 0.308, 0.308, 0.077). • A pro poslední kritérium metodou kvantitativního párového srovnávání variant získáme vektor odhadu vah
wi5 = (0.571, 0.143, 0.143, 0.143). • Vektory seřadíme do sloupců matice W :
W =
0.121 0.167 0.208 0.308 0.571
0.341 0.394 0.061 0.308 0.143 0.054 0.045 0.096 0.308 0.143
0.483 0.394 0.635 0.077 0.143
• Spočítáme nyní agregovanou váhu pro každou variantu: wi =
k P
j=1
vj wij ,
v = (0.0545, 0.3728, 0.3728, 0.1220, 0.0780). Jedná se v podstatě o vážený součet v jednotlivých řádcích. w1 = 0.0545 · 0.121 + 0.3728 · 0.167 + 0.3728 · 0.208 + 0.1220 · 0.308 +
0.0780 · 0.571 = 0.228. w2 = 0.237 w3 = 0.104 w4 = 0.430
11
• Neboť metoda maximalizuje užitek, vybíráme variantu, která má nejvyšší
vypočtenou hodnotu agregované váhy. Optimální variantou tedy bude a4 .
12
