Trivium z optiky
29
5. Světlo jako elektromagnetické vlnění Ve třetí kapitole jsme se dozvěděli, že na světlo můžeme nahlížet jako na elektromagnetické vlnění. Dříve, než tak učiníme, si ale musíme alespoň v základech probrat teorii, která nám to umožní. Proto v této kapitole shrnujeme stručně závěry Maxwellovy teorie elektromagnetického pole. Nejdříve připomeneme tvar MaxweLlových a materiálových rovnic pro elektromagnetické pole v homogenním a izotropním prostředí a ukážeme, že je z nich možno odvodit rovnici vlnovou. Dále se budeme zabývat rovinnými a kulovými monochromatickými vlnami a podmínkami, za nichž tyto vlny Maxwellovy rovnice splňují. Na závěr se zmíníme o polarizaci, energii a hybnosti elektromagnetického vlnění.
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8
Maxwellovy rovnice elektromagnetického pole. Elektromagnetické vlnění. Rovinná monochromatická vlna. Kulová monochromatická vlna. Polarizace světla. Přenos energie elektromagnetickým vlněním. Hybnost elektromagnetického vlnění. Tlak světla.
5.1 Maxwellovy rovnice elektromagnetického pole Maxwellovy rovnice obvykle zapisujeme v diferenciálním tvaru rot E = − ∂∂Bt , rot H = j + ∂∂Dt ,
divD = ρ , div B = 0 , kde E a H jsou intenzity elektrického a magnetického pole, D a B elektrická a magnetická indukce, ρ hustota volného náboje a j proudová hustota pro volný elektrický náboj. Obecně mohou být všechny veličiny vyskytující se v Maxwellových rovnicích závislé na poloze i na čase, např. E = E( r , t ) . Za nepřítomnosti volných elektrických nábojů a proudů (jen tímto případem se budeme v tomto kurzu zabývat) přecházejí Maxwellovy rovnice na tvar 1 rot E = − ∂∂Bt , rot H =
∂D ∂t
,
div D = 0 , div B = 0 . Intenzity a indukce nejsou navzájem nezávislé veličiny. Jejich vzájemný vztah je dán elektrickými a magnetickými vlastnostmi prostředí, v němž se zkoumané elektromagnetické pole nachází. Rovnice popisující tento vztah matematicky nazýváme proto materiálovými vztahy (rovnicemi). Obecně platí D = D( E ) a B = B( H ) .
1
O vektorových operátorech rot a div viz např. v R. Kalus, D. Hrivňák, Breviář vyšší matematiky, 1. vyd., kap. 6.
30
Světlo jako elektromagnetické vlnění
V homogenním izotropním prostředí tyto obecné materiálové vztahy přecházejí na D = εE a B = µH ,
kde ε a µ jsou elektrická permitivita a magnetická permeabilita prostředí. Speciálně ve vakuu je ε = ε0
8,85 ⋅ 10 −12 F/m a µ = µ 0 ≡ 4 π ⋅ 10 −7 H/m.
5.2 Elektromagnetické vlnění Maxwellovy rovnice je možno převést za předpokladu nulovosti volných nábojů a proudů na vlnové rovnice pro elektrickou a magnetickou intenzitu. V homogenním a izotropním prostředí platí např. A 2 ∆E − εµ ∂∂t 2 E = 0 , ∆H − εµ ∂∂t 2 H = 0 . 2
To, že elektromagnetické intenzity splňují vlnovou rovnici, je neklamným projevem existence elektromagnetického vlnění. Již z 3. kapitoly víme, že Maxwell toto vlnění (alespoň pro některé vlnové délky) ztotožnil se světlem. Jedním z argumentů na podporu své hypotézy uváděl totožnost rychlosti světla a elektromagnetických vln ve vakuu. Porovnáním vlnových rovnic pro elektrickou a magnetickou intenzitu s obecným tvarem vlnové rovnice totiž okamžitě získáváme pro
fázovou rychlost elektromagnetických vln
v f = 1/ εµ .
Dosazením číselných hodnot pro elektrickou permitivitu a magnetickou permeabilitu vakua obdržíme v f 3 ⋅ 108 m/s. S přihlédnutím k definici indexu lomu dále snadno nahlédneme, že i tuto optickou veličinu můžeme uvést do vztahu s elektromagnetickými vlastnostmi prostředí. Platí totiž n = εr µr ,
kde εr ≡ ε / ε 0 a µr = µ / µ 0 jsou relativní elektrická permitivita a relativní magnetická permeabilita studovaného prostředí. Pro dielektrika ( µr = 1 ) pak speciálně máme n = εr .
5.3 Rovinná monochromatická vlna Speciálním řešením vlnové rovnice jsou, jak víme z kapitoly 1, rovinné monochromatické vlny. Protože v dalších kapitolách budeme v zájmu jednoduchosti mnoho úvah provádět právě pro ně, je jistě na místě prozkoumat podrobně, za jakých okolností rovinné monochromatické vlny vyhovují Maxwellovým rovnicím. V této kapitole se omezíme na elektromagnetické vlny v homogenních a izotropních prostředích. Rovinnou monochromatickou elektromagnetickou vlnu popisujeme vztahy 2 2
Fázi jedné ze složek, zde elektrické, můžeme vždy anulovat vhodnou volbou počátku odečtu času.
Trivium z optiky
31
E( r , t ) = E0 cos( kE ⋅ r − ωE t ) , H ( r , t ) = H 0 cos( kH ⋅ r − ωH t + ϕH ) .
Vzhledem k homogenitě a izotropii prostředí platí zřejmě též D( r , t ) = εE( r , t ) = εE0 cos( kE ⋅ r − ωE t ) , B( r , t ) = µH ( r , t ) = µH 0 cos( kH ⋅ r − ωH t + ϕH ) .
Z Maxwellových rovnic vyplývá především kE = kH , ωE = ωH a ϕH = 0 . Elektrická a magnetická složka mají tedy stejné vlnové vektory (vlnové délky) i frekvence a nejsou vůči sobě fázově posunuty. Pro vlnový vektor a pro úhlovou frekvenci budeme tedy používat jednotné označení k a ω .
Vzhledem ke speciální závislosti elektrické a magnetické intenzity v rovinné monochromatické vlně na poloze a čase a speciálním materiálovým rovnicím přecházejí jednotlivé Maxwellovy rovnice na lineární algebraické rovnice pro vektorové amplitudy E0 a H 0 : ¾ div D = 0 → E0 ⋅ k = 0 , ¾ div B = 0 → H 0 ⋅ k = 0 , ¾ rot E = − ∂∂Bt ¾ rot H =
∂D ∂t
→ k × E0 = µωH 0 , → k × H 0 = −εωE0 .
Odtud tedy vidíme, že i) vektory elektrické i magnetické intenzity jsou kolmé k vlnovému vektoru (směru šíření vlny), elektromagnetické vlnění je tedy v izotropních prostředích (speciálně ve vakuu) příčné, 3 ii) vektory elektrické a magnetické intenzity jsou kolmé i navzájem a spolu s vlnovým vektorem tvoří v pořadí k , E0 a H 0 pravotočivý ortogonální systém.
Dále sloučením druhé a třetí rovnice získáme iii) jednak ω / k = 1/ εµ , čili fázová rychlost rovinné monochromatické elektromagnetické vlny je dána výrazem 1/ εµ , což je v souladu s tvrzením uvedeným v 5.2, iv) ale též E0
ε = H0
µ . Nejen tedy směry, ale i velikosti vektorových amplitud magnetické a elektrické
intenzity jsou vzájemně závislé.
5.4 Kulová monochromatická vlna Kulové elektromagnetické vlny popisujeme nejlépe v kulových souřadnicích 4 E( r , θ, ϕ ) = 3 4
E0 ( θ, ϕ ) cos( kr ∓ ωt ) , r
I toto byl jeden z argumentů, které Maxwell uváděl na podporu své hypotézy o elektromagnetické povaze světla. Viz např. R. Kalus, D. Hrivňák, Breviář vyšší matematiky, 1. vyd., str. 128.
32
Světlo jako elektromagnetické vlnění
H ( r , θ, ϕ ) =
H 0 ( θ, ϕ ) cos( kr ∓ ωt ) , r
kde jsme již zohlednili rovnost vlnových vektorů, frekvencí i fází elektrické a magnetické složky. Pro úplnost připomínáme, že znaménko „–“ odpovídá rozbíhavé a znaménko „+“ sbíhavé vlně. Všimněte si též možných úhlových závislostí vektorových amplitud E0 a H 0 . Podobně jako pro rovinné monochromatické elektromagnetické vlny bychom i pro vlny kulové zjistili, že i) vektory k = ±k rr (směr šíření vlny), E0 a H 0 jsou navzájem kolmé a tvoří pravotočivý ortogonální systém (viz obrázek), ii) ω / k = 1/ εµ , tedy výraz 1/ εµ udává jejich fázovou rychlost, iii) E0
ε = H0
µ.
5.5 Polarizace světla Polarizaci příčného vlnění posuzujeme obecně podle chování vektorové vlnové funkce v zadaném místě prostoru. V předmaxwellovské optice se této vektorové vlnové funkci říkalo světelný vektor. Polarizaci světla tedy posuzujeme podle chování světelného vektoru. V Maxwellově elektromagnetické teorii světla máme ale přinejmenším dvě možnosti, s čím můžeme světelný vektor ztotožnit - elektrickou a magnetickou intenzitu. Ukazuje se, že pro použití v roli světelného vektoru je vhodnější intenzita elektrická B. Polarizaci světla posuzujeme podle chování vektoru elektrické intenzity odpovídající elektromagnetické vlny.
Klasifikace typů polarizace světla je shodná s klasifikací pro obecné příčné vlnění. Podrobnosti nalezne čtenář v kapitole 1.
5.6 Přenos energie elektromagnetickým vlněním. Z Maxwellových rovnic je možno odvodit několik zajímavých důsledků. Řada z nich má tvar rovnice kontinuity 5 a vyjadřuje některý ze základních zákonů zachování. Jedním z těchto zákonů je zákon zachování energie, který pro elektromagnetické pole v nepřítomnosti volných nábojů a proudů nabývá tvaru div E × H + ∂∂t 21 ( E ⋅ D + B ⋅ H ) = 0 . Člen v první hranaté závorce, E × H , odpovídá hustotě toku energie přenášené elektromagnetickým polem, označuje se zpravidla symbolem S a používá se pro něj název Poyntingův vektor. Výraz ve druhé hranaté závorce, 21 ( E ⋅ D + B ⋅ H ) , pak reprezentuje objemovou hustotu energie zkoumaného elektromagnetického pole. 5
Rovnice kontinuity se vyskytuje v různých oborech fyziky a má vždy tentýž tvar, div j + ∂∂t ρ = 0 . I její fyzikální
význam je vždy stejný - jedná se o zákon zachování veličiny s objemovou hustotou ρ a hustotou toku j . Pod hus-
totou toku veličiny rozumíme vektor, který míří do směru, v němž dochází k proudění této veličiny, a jehož velikost udává, kolik této veličiny projde za jednotku času jednotkovou plochou kolmou k tomuto směru.
Trivium z optiky
33
Elektromagnetické pole (vlnění, a tudíž i světlo) přenáší energii, jejíž tok je dán Poyntingovým vektorem.
Pro rovinnou monochromatickou elektromagnetickou vlnu (viz 5.3) je Poyntingův vektor dán výrazem S = ( E0 × H 0 ) cos 2 k ⋅ r − ωt .
(
)
Jeho směr je tedy totožný se směrem vektorového součinu E0 × H 0 a podle odstavce 5.3 i se směrem vlnového vektoru k . Pro jeho amplitudu S0 ≡ E0 × H 0 můžeme v případě rovinné monochromatické vlny psát S0 = ε / µ E0 2 . Na prostorových souřadnicích a na čase závisí Poyntingův vektor prostřednictvím druhé mocniny harmonické funkce (zde kosinus) a je tedy funkcí periodickou. Jeho prostorová perioda je rovna polovině vlnové délky monochromatické vlny, jeho časová perioda odpovídá polovině časové periody této vlny. V závislosti na čase i na poloze se tedy pro světlo mění Poyntingův vektor velmi rychle. Makroskopickou sondou, jejíž rozměr významně přesahuje vlnovou délku studovaného záření a jejíž relaxační doba je mnohem delší než jeho perioda, měříme proto efektivní (střední) hodnotu Poyntingova vektoru. Velikost této efektivní hodnoty je definována vztahem τ
S ≡ lim
∫ dt ∫∫∫ d r
τ→+∞ V →+∞ 0
3
S(r , t ) ,
V
který pro rovinnou monochromatickou vlnu nabývá po vyčíslení uvedených integrálů jednoduchého tvaru S = 21 S0 . Pro kulovou monochromatickou vlnu (viz 5.4) získáme obdobně S = ( E0 × H 0 ) cos 2 ( kr ∓ ωt ) / r 2 a
S = 21 S0 / r 2 ,
kde opět S0 ≡ E0 × H 0 . 6
5.7 Hybnost elektromagnetického vlnění. Podobně jako rovnici kontinuity pro energii je možno z Maxwellových rovnic odvodit i obdobnou, byť mnohem komplikovanější rovnici kontinuity pro hybnost. Ta má význam zákona zachování hybnosti elektromagnetického pole. Elektromagnetické pole (vlnění, a tudíž i světlo) tedy nese nenulovou hybnost! 7 Pro hustotu hybnosti elektromagnetického pole vyplývá z Maxwellových rovnic vztah 8 π = D×B .
V kulové vlně tedy klesá hustota toku energie (intenzita záření) s druhou mocninou vzdálenosti od zdroje (jejího středu). 7 To ovšem nepřekvapuje, připomeneme-li si jeho silové účinky na látku. 8 Podle uvedeného vzorce je hybnost elektromagnetického pole (elektromagnetického vlnění, tudíž i světla) v oblasti prostoru V rovna p(V ) = ∫∫∫ ( D × B )d 3r . 6
V
34
Světlo jako elektromagnetické vlnění
Velikost hybnosti p elektromagnetického pole ve vakuu souvisí s jeho energií E prostřednictvím jednoduché, leč velmi významné Einsteinovy formule 9 E = pc ,
která vyplývá ze vztahu mezi Poyntingovým vektorem a hustotou hybnosti elektromagnetického pole ve vakuu π = c12 S .
5.8 Tlak světla. Nese-li elektromagnetické záření nenulovou hybnost, musí ji při absorpci látkou předat tělesu, které je pohltí 10. To se ovšem projeví silovými účinky záření na absorbující těleso 11, elektromagnetické záření tedy působí na jeho povrch nenulovým tlakem. Teoreticky byl tento jev znám již Maxwellovi, experimentálně jej v citlivém torzním experimentu (viz obrázek) prokázal v létech 1900 - 1901 ruský fyzik Lebeděv.
Matematické doplňky A
Uveďme odvození pouze pro elektrickou intenzitu. Pro intenzitu magnetickou se postupuje obdobně. Tak tedy, z první Maxwellovy rovnice rot E = − ∂∂Bt a z materiálové rovnice B = µH máme rot E = −µ ∂∂Ht .
Aplikací operátoru rotace na obě strany posledního vztahu získáme (operátor rotace není nic jiného než parciální derivování podle souřadnic, můžeme proto na pravé straně zaměnit pořadí operátoru rot a derivace podle času) rot rot E = −µ ∂rot∂t H .
Vzpomeneme-li si však na známou identitu z vektorové analýzy rot rot = grad div − ∆ a využijeme-li druhé Maxwellovy rovnice, v níž položíme proudovou hustotu rovnu nule, rot H =
∂D ∂t
, obdržíme dále
grad div E − ∆E = −µ ∂∂tD2 . 2
Nyní již jen zbývá uvědomit si, že prostředí je izotropní a homogenní i co do elektrických vlastností, D = εE , a že platí třetí Maxwellova rovnice (volné náboje jsou dle předpokladu nulové!), div D = div(εE ) = ε divE = 0 , tedy že divE i grad divE jsou nulové. Po dosazení uvedeného do poslední rovnice a po snadných úpravách již obdržíme vlnovou rovnici pro elektrickou intenzitu v obvyklém tvaru.
Vzhledem k nenulové hybnosti můžeme jistě předpokládat, že elektromagnetické záření má i nenulovou hmotnost (vždyť p = mv, pro elektromagnetické záření ve vakuu ovšem p = mc). Vezmeme-li současně v úvahu i vztah mezi energií a hybností elektromagnetického záření, dostaneme snadno slavnou Einsteinovu rovnici (zde ovšem odvozenou jen pro světlo!) E = mc2.
9
10 11
Zákon zachování hybnosti! Platí i pro částečnou absorpci či odraz. Změna hybnosti za jednotku času je rovna působící síle.
Trivium z optiky
35
B
Polarizaci světla určujeme experimentálně prostřednictvím interakce světelné vlny s látkou používané sondy (např. polarizátoru). Tuto interakci popisujeme pomocí Lorentzovy síly F = FE + FM ,
v níž se kombinují silové účinky elektrického pole FE = QE a účinky pole magnetického
FM = Q (v × B ) .
Pro rovinnou monochromatickou vlnu ve vakuu jsou obě síly, elektrická i magnetická, harmonickými funkcemi polohy a času a jejich amplitudy jsou dány vztahy FE 0 = Q E0 , FM 0 = µ 0 Q v × H 0 ≤ µ 0 Q v H 0 = µ 0 Q v
ε0 µ0
E0 =
v
c
Q E0 .
Veličinami bez šipek označujeme velikosti odpovídajících vektorů. Poměr velikostí magnetické a elektrické síly je tedy FM 0 v = . FE 0 c Pro slabá elektromagnetická pole, v nichž nemohou náboje sondy dosáhnout vysokých rychlostí, je tento poměr blízký nule. V takovém případě elektrická síla zcela převažuje nad silou magnetickou a interakce látky s elektromagnetickým polem je téměř bezezbytku elektrické povahy. Určuje ji intenzita elektrického pole.
