Trivium z optiky
23
4. Šíření světla prostorem V této kapitole se zabýváme především rychlostí šíření světla ve vakuu (či ve vzduchu) a uvádíme stručný přehled metod určení této významné fyzikální konstanty jakož i její přesnou číselnou hodnotu. Dále zavádíme v dalším textu často používaný pojem indexu lomu prostředí a také některé další užitečné pojmy související se šířením světla látkami.
4.1 Rychlost světla ve vakuu. 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5
Galileova metoda. Römerova metoda. Fizeauova metoda. Určení rychlosti světla pomocí Maxwellovy teorie. Přesná hodnota rychlosti světla.
4.2 Homogenní a nehomogenní prostředí. 4.3 Disperze. 4.4 Izotropní a anizotropní prostředí.
4.1 Rychlost světla ve vakuu Světlo se šíří vakuem přímočaře a konečnou, ač velmi vysokou rychlostí 1. A právě určení rychlosti světla ve vakuu bylo jednou z největších intelektuálních výzev pro evropskou experimentální vědu. V následujících poznámkách si na vybraných příkladech ukážeme, jak složitá cesta vedla k dnešní velmi přesné hodnotě 2.
4.1.1 Galileova metoda První experiment, který měl vést k určení rychlosti světla, navrhl pravděpodobně GALILEO GAMěření podle jeho návrhu byla ale provedena až v roce 1667, tedy po jeho smrti (1642). Idea experimentu je velmi jednoduchá - rychlost jakéhokoliv objektu, který se pohybuje rovnoměrně přímočaře, tedy i světla, je dána jako podíl dráhy a času potřebného k uražení této dráhy 3
LILEI.
s c= . t
K této lakonické větě stojí za to doplnit pár rozvíjejících a upřesňujících poznámek: a) Především, nebude-li řečeno jinak, míníme pod rychlostí světla jeho fázovou rychlost. b) Dále, podobné tvrzení platí i pro ostatní homogenní prostředí (viz dále v této kapitole). Výsledky jen nepatrně kvantitativně odlišné od těch, které uvedeme pro vakuum, platí i pro řídké plyny (např. vzduch). Však také mezi vakuem a vzduchem nebudeme v následujícím výkladu rozlišovat. c) Postulát o přímočarém šíření světla vakuem platí jen za nepřítomnosti (silných) gravitačních polí. Jedním z nejdůležitějších výsledků Einsteinovy obecné teorie relativity je předpověď ohybu světelného paprsku v gravitačním poli. d) Až do druhé poloviny 17. století se mělo všeobecně za to, že rychlost světla je nekonečná, i když spekulace o její konečné hodnotě se objevovaly již dříve (např. Galileo Galilei). To souviselo s její velmi vysokou hodnotou. Experimentálně se podařilo rychlost světla ve vakuu změřit (a tím i potvrdit její konečnost) až roku 1675 dánskému astronomovi O. Römerovi (viz dále v této kapitole). e) Rychlost světla ve vakuu je stejná ve všech bodech prostoru a navíc je podle Einsteinovy teorie relativity nezávislá na pohybovém stavu pozorovatele. 2 Rychlost světla ve vakuu je základní fyzikální konstantou, a proto je požadováno její určení s velmi vysokou přesností. Dnes uváděná přesnost je kolem 0,1 m/s (viz níže). 3 Rychlost světla ve vakuu se obvykle značí písmenem c. 1
24
Šíření světla prostorem
Galilei proto navrhl (viz obrázek), aby se na dva vzdálené kopce postavili pozorovatelé s lucernami, jejichž průzor je možno zakrýt. První pozorovatel odkryje průzor své lucerny a zaznamená si čas t1, kdy tak učinil. Druhý pozorovatel, jakmile zpozoruje záblesk lucerny prvního pozorovatele, odkryje průzor své lucerny. První pozorovatel pak odečte čas t2, odpovídající záblesku přicházejícímu od druhého pozorovatele. Je-li vzdálenost obou pozorovatelů L, můžeme rychlost světla určit pomocí jednoduchého vzorce
c=
2L . t 2 − t1
Všem je jistě jasné, že podobný, až přespříliš jednoduchý experiment nemohl být vzhledem k velmi vysoké hodnotě rychlosti světla úspěšný 4. A to proto, že čas, který světlo potřebuje k uražení jakékoliv pozemské vzdálenosti, je o mnoho řádů menší než časy reakce prvního i druhého pozorovatele na vnější podnět 5. Rychlost světla si proto musela na své experimentální určení počkat ještě nějakých osm let - do roku 1675, kdy svá měření provedl Olaf Römer.
4.1.2 Römerova metoda OLAF RÖMER byl dánský astronom, který se v 70. létech 17. století zabýval pozorováním čtyř největších Jupiterových měsíců 6. Měřil především jejich oběžnou dobu kolem mateřské planety 7. Tato měření jsou poměrně jednoduchá, protože čtyři největší Jupiterovy měsíce jsou viditelné i v malém hvězdářském dalekohledu. Navíc roviny jejich oběžných drah téměř splývají s rovinou oběhu Jupitera (a Země) kolem Slunce. Mateřská planeta je proto pozemskému pozorovateli periodicky zakrývá a ze dvou sousedních zákrytů je možno určit jejich oběžnou dobu. To Römer učinil a pomocí takto určené oběžné doby předpověděl i okamžiky zákrytů jednotlivých měsíců v budoucnosti. Když se však pokusil svou předpověď ověřit pozorováním, zjistil, že se pozorované zákryty oproti předpovědi opožďují, přičemž maximální zpoždění, která naměřil, činila kolem 22 minut. Römer správně usoudil, že pozorovaná zpoždění jsou důsledkem konečné rychlosti světla. Vše plyne z připojeného obrázku, ve kterém je situace během roku zakreslená v soustavě pevně spojené s Jupiterem a Sluncem 8. Pozorujeme-li první zákryt v opozici Jupitera vůči Slunci (bod označený na dráze Země nulou), musíme od okamžiku pozorování zákrytu na Zemi odečíst čas ∆t 0 = l 0 / c , abychom dostali čas, v němž skutečně zákryt nastal. Pro další zákryt (Země se nachází v bodě 1) již musíme odečíst čas ∆t 1 = l 1 / c atd. Časy, které je nutno odečíst pro jednotlivé pozorované zákryty ( ∆t 0 , ∆t 1 , … ), se pochopitelně navzájem liší ( ∆t 0 < ∆t 1 < … ). Vždyť se liší dráhy, které musí světlo urazit od Jupitera k pozorovateli na Zemi. Zatímco odlišnost korekcí pro dva po sobě následující zákryty je Prozraďme si již nyní, že rychlost světla ve vakuu (a tedy i ve vzduchu) je přibližně 300 000 km/s. Ve 20. století bylo Galileovo měření zopakováno s radarovým paprskem odraženým od povrchu Měsíce. Tentokrát úspěšně. 6 Jedná se o Io, Europu, Ganymed a Kallisto. Tyto měsíce objevil roku 1610 Galilei. 7 Io (1,8 dne), Europa (3,6 dne), Ganymed (7,2 dne) a Kallisto (16,7 dne). 8 V této soustavě je tedy Jupiter klidný a Země oběhne kolem Slunce za dobu nepatrně delší než jeden rok. 4 5
Trivium z optiky
25
zanedbatelně malá 9, kumulace těchto rozdílů mezi zákryty 0 a n již může nabýt pozorovatelných hodnot. Suma těchto rozdílů totiž odpovídá době, kterou světlo potřebuje na uražení dráhy rovné průměru oběžné dráhy Země kolem Slunce 10. Maximální zpoždění pozorovaného zákrytu vzhledem k teoretické předpovědi by měla tedy být ∆t max =
D , c
kde D je již zmíněný průměr oběžné dráhy Země. Po dosazení Römerem určené hodnoty ∆t max 22 min . dostaneme pro rychlost světla c 226 000 000 m/s . 11
4.1.3 Fizeuova metoda S trochou nadsázky je Fizeauovo měření rychlosti světla (1849) pouhým technickým zdokonalením původního návrhu Galileiho (viz obrázek). To jen první pozorovatel je nahrazen otáčejícím se ozubeným kolem K, druhý zrcadlem Z, myšlenka však zůstává stejná - rychlost je dráha dělená časem.
Jak by tedy probíhalo samotné měření? Paprsky vycházející ze zdroje (vlevo na obrázku) jsou soustředěny spojnou čočkou C1 do jednoho bodu ležícího na obvodu otáčejícího se ozubeného kola. Polopropustná deska D slouží k odklonění paprsků vracejících se od zrcadla Z k pozorovateli a nemá v tento okamžik žádný význam. Pokud se v místě soustředění paprsků nachází mezera mezi zuby kola, světlo prochází, je čočkou C2 změněno na svazek rovnoběžných paprsků a odráží se, po opětném soustředění do jednoho bodu čočkou C3, od zrcadla Z umístěného ve vzdálenosti L od kola 12. Při návratu je opět svazek světla soustředěn na obvod ozubeného kola, tentokrát čočkou C2. Kolo se během doby, kterou světlo potřebuje na proběhnutí dráhy K - Z - K, pootočí a vracejícímu se světelnému paprsku se postaví do cesty část zubu sousedící s mezerou, kterou tento paprsek procházel na cestě od kola k zrcadlu. Pozorovatel P tedy zaregistruje osvětlení menší než v případě, kdy se kolo neotáčí. S rostoucí frekvencí otáček ozubeného kola pozorované osvětlení dále klesá, až při jistých otáčkách f dosáhne nulové hodnoty. To nastane tehdy, pootočí-li se kolo za dobu, kterou světlo potřebuje k uražení dráhy kolo – zrcadlo – kolo tak, aby mezeru vystřídal sousední zub. Při dalším zvyšování frekvence otáček ozubeného kola se bude To souvisí s krátkými oběžnými dobami pozorovaných měsíců. Během těchto časových intervalů totiž Země na oběžné dráze svou polohu příliš nezmění. 10 Přibližně 298 000 000 km. 11 Maximální zpoždění naměřené Römerem je nadhodnoceno. Pozdější měření ukázala, že toto zpoždění je zhruba 16,5 min, což vede k správné hodnotě rychlosti světla ve vakuu. Navíc v době Römerově by uvedený výsledek byl, vzhledem k chybě v určení průměru oběžné dráhy Země, 210 000 000 m/s. 12 Některé prameny uvádějí pro Fizeauova měření L = 8,6 km, jiné zase poněkud odlišnou hodnotu L = 14 km. 9
26
Šíření světla prostorem
osvětlení rovněž zvětšovat, a to až do okamžiku, kdy je maximální. Tehdy se kolo bude otáčet tak rychle, že se během času, po který světlo překonává vzdálenost mezi kolem a zrcadlem a zpět, pootočí o takový úhel, že mezeru na cestě tam vystřídá při cestě zpět sousední mezera. A tak dále (viz obrázek). Z prvního pozorovaného zatmění můžeme snadno určit rychlost c, se kterou světlo překonává vzdálenost kolo – zrcadlo a zpět. Označme jako výše frekvenci otáček kola, při kterých dojde k prvnímu poklesu osvětlení na nulovou hodnotu, symbolem f a vzdálenost mezi kolem K a zrcadlem Z symbolem L. Dále nechť z je počet zubů (mezer) na obvodu kola. Pak pro čas, který potřebuje světlo na uražení dráhy K – Z – K, můžeme psát ∆t = 2 L / c .
Za tento čas se kolo pootočí o úhel
∆ϕ = 2 πf ∆t .
Pokud ovšem frekvenci f odpovídá první pokles osvětlení na nulu, musí být ∆ϕ rovno úhlu, který svírají polopřímky vedené středem kola a zubem resp. sousední mezerou (viz obrázek). Musí tedy platit 13 ∆ϕ = 2 π / 2z . Porovnáním tohoto a výše uvedených vztahů získáme již snadno konečný vzorec c = 4 fzL . Fizeau dospěl k poměrně přesnému odhadu rychlosti světla ve vzduchu c = 315 000 000 m/s.
4.1.4 Určení rychlosti světla pomocí Maxwellovy teorie Podle Maxwellovy teorie je fázová rychlost elektromagnetických vln (a tedy i světla) ve vakuu dána vzorcem c = 1/ ε 0 µ 0 , kde ε 0 a µ 0 jsou elektrická permitivita a magnetická permeabilita vakua. Její velikost můžeme proto určit též nepřímo pomocí přesných měření elektrické permitivity 14.
4.1.5 Přesná hodnota rychlosti světla Výše uvádíme jen stručný a značně neúplný výčet metod navržených pro měření rychlosti světla ve vakuu. Zájemce o podrobnosti odkazujeme do doporučené literatury jakož i do zde necitovaných učebnic optiky, kde je možno seznámit se s mnoha dalšími metodami i výsledky měření této velmi důležité fyzikální konstanty.15 Kritické zhodnocení všech měření rychlosti světla ve vakuu vykonaných před rokem 1964 umožnilo E. R. Cohenovi a J. W. M. DuMondovi (1964) stanovit její nejpravděpodobnější hodnotu c = ( 299792 500 ± 300 ) m/s = ( 2, 997925 ± 0, 000003 ) × 10 8 m/s .
13
Zubů a mezer je dohromady 2z a jsou rovnoměrně rozloženy po obvodu kola, kterému odpovídá plný úhel.
Hodnota magnetické permeability je v soustavě jednotek SI stanovena definičně na 4 π × 10 −7 A/m. 15 Viz např. J. BROŽ, V. ROSKOVEC, Základní fyzikální konstanty, 1. vyd., SPN, Praha 1987. 14
Trivium z optiky
27
Přesnost uvedené hodnoty je obdivuhodná – odhadovaná relativní chyba výsledku činí 0,0001 %. S ještě větší přesností uvádějí hodnotu rychlosti světla Valouchovy Tabulky z roku 1980 c = 2, 997924 580 × 108 m/s ,
kde by chyba neměla přesáhnout 0,1 m/s neboli 3 × 10 −8 %.
4.2 Homogenní a nehomogenní prostředí V homogenním prostředí nezávisí rychlost šíření světla na místě (poloze). Obvykle takové prostředí charakterizujeme poměrem rychlosti světla ve vakuu ( c ) a v tomto prostředí ( c ′) n = c /c′. Tento poměr se nazývá index lomu a je pro dané prostředí charakteristickou konstantou 16,17. Rychlost světla v zadaném prostředí určíme tedy pomocí zadaného indexu lomu z jednoduchého vztahu c′ = c /n . Světelné paprsky jsou v homogenním prostředí přímočaré. V nehomogenním prostředí závisí rychlost šíření světelného signálu (a tedy i index lomu) na poloze c ′ = c ′( r ) resp. n = n( r ) . Tato závislost může být obecně spojitá i nespojitá. Speciálním případem nehomogenního prostředí je takové prostředí, v němž je index lomu po částech konstantní funkcí s nespojitostmi typu konečného skoku na zadaných hladkých plochách. Pak obvykle hovoříme o rozhraních mezi homogenními prostředími 18. Paprsky jsou obecně v nehomogenním prostředí zakřivené 19.
4.3 Disperze Fázová rychlost světla závisí v zadaném prostředí vždy na frekvenci použitého monochromatického světla 20. Tento jev se nazývá diperzí a znamená, že i index lomu látek je frekvenčně závislý. V optické oblasti je pro většinu látek index lomu rostoucí funkcí frekvence záření (normální disperze). Pokud je index lomu funkcí klesající, hovoříme o disperzi anomální 21. V prostředí o relativní permitivitě ε r a relativní permeabilitě µ r je rychlost světla dána podle Maxwellovy teorie vztahem c ′ = 1/ ε r ε 0 µ r µ 0 . Pro index lomu takového prostředí můžeme tedy psát n = ε r µ r . 17 V souvislosti s indexem lomu se často hovoří o optické hustotě prostředí. Prostředí s větším indexem lomu se označují jako opticky hustší, prostředí s nižším indexem lomu jako opticky řidší. 18 Podrobně se tímto speciálním případem zabýváme v kapitole 7. 19 Pokud zadaný paprsek, který je reprezentován hladkou křivkou ϕ , prochází body A a B (počáteční a koncový 16
bod křivky), pak se křivkový integrál prvního druhu
∫ n dϕ ϕ
obvykle označuje jako optická dráha světla mezi body
A a B. V homogenních prostředích je ϕ vždy úsečkou a odpovídající optická dráha je dána součinem n |AB| , kde |AB| je vzdálenost bodů A a B. Podle Fermatova principu (viz kap. 11) odpovídá reálnému paprsku minimální optická dráha. 20 S jedinou výjimkou. Tou je vakuum, v němž je rychlost světla pro libovolnou vlnovou délku stále stejná. 21 Tento případ ale není pro náš účel příliš zajímavý. Jednak je anomální disperze doprovázena velmi vysokou absorpcí, a prostředí není proto v oblasti anomální disperze pro elektromagnetické záření průhledné. Navíc leží obvykle oblast anomální disperze mimo rozsah vlnových délek viditelného světla.
28
Šíření světla prostorem
Pro některá prostředí je tato závislost natolik slabá (zředěné plyny, např. vzduch), že ji můžeme bez rozpaků zanedbat. Pak hovoříme o prostředích bezdisperzních. Naopak u mnoha látek je tato závislost poměrně silná a zanedbat ji nelze. V takovém případě hovoříme o prostředích disperzních. Pojem fázové rychlosti má v disperzních prostředích smysl jen pro monochromatické záření. Pro nemonochromatické záření není možno fázovou rychlost v disperzním prostředí definovat, protože se každá monochromatická složka šíří rychlostí více či méně odlišnou od rychlostí ostatních složek. Pouze pro nemonochromatická záření, jejichž monochromatické složky se liší svými frekvencemi jen málo (téměř monochromatické záření), je možno hovořit o společné rychlosti jejich šíření prostorem. Jedná se o tzv. rychlost grupovou v g = dω / dk (viz též kap. 1, odst. 1.6). Pro frekvenčně závislý index lomu n( ω) můžeme pro grupovou rychlost psát 22 v g = c ′( ω)
1 1+
ω dn ( ω ) n ( ω ) dω
.
V oblasti normální disperze ( dn( ω)/dω > 0 ) je tedy grupová rychlost téměř monochromatického záření vždy menší než fázová rychlost dominantní monochromatické složky: v g < c ′( ω) .
4.4 Izotropní a anizotropní prostředí Prostředí, v němž se z daného bodu šíří světlo všemi směry stejnou rychlostí, nazýváme izotropní. Jeho optické vlastnosti jsou zadány jediným indexem lomu. Speciálním příkladem izotropního prostředí je vakuum. Pokud rychlost šíření světla závisí na směru, hovoříme o prostředí anizotropním. Optické vlastnosti anizotropních prostředí popisujeme pomocí několika indexů lomu (dvou nebo tří). V tomto kurzu se přednostně zabýváme prostředími izotropními. Anizotropním prostředím je věnována kapitola 8.
22
=
1 vg
=
1 c ′( ω )
1 dω / dk
=
dk dω
=
d dω
1 + n(ωω ) ddω n( ω) .
( )= ( ω c ′( ω )
d dω
ωn ( ω ) c
)=
1 d c dω
( ωn( ω)) = 1c ( n( ω) + ω ddω n( ω)) =
n( ω) c
(1 +
ω d n ( ω ) dω
)
n( ω) =
