´ ´ FYZIKALN I PRAKTIKUM I ˇ FJFI CVUT v Praze ´ Uloha #4 Poissonova konstanta a mˇ eˇ ren´ı dut´ ych objem˚ u
Datum mˇeˇren´ı: Jm´eno: Spolupracovala:
1
6.12.2013 David Roesel Tereza Sch¨ onfeldov´ a
Skupina: 7 Krouˇzek: ZS 5 Klasifikace:
Pracovn´ı u ´ koly
1.1
Mˇ eˇ ren´ı dut´ ych objem˚ u v´ aˇ zen´ım a kompres´ı plynu
1. Jednolitrovou l´ ahev zvaˇzte pr´ azdnou. 2. Jednolitrovou l´ ahev zvaˇzte plnou vody. 3. Z obou v´ ysledk˚ u urˇcete objem lahve. 4. Objem pr´ azdn´e jednolitrov´e lahve urˇcete kompres´ı plynu. 5. Stejn´ ym postupem zmˇeˇrte objem hadiˇcky spojuj´ıc´ı byretu s mˇeˇren´ ym prostorem. Tuto hodnotu odeˇctˇete od v´ ysledku podle bodu 4.
1.2
Mˇ eˇ ren´ı Poissonovy konstanty vzduchu
1. Zmˇeˇrte kompres´ı plynu objem baˇ nky syst´emu s kmitaj´ıc´ım p´ıstkem. 2. Zmˇeˇrte Poissonovu konstantu metodou adiabatick´e expanze a souˇcasnˇe metodou kmitaj´ıc´ıho p´ıstku. 3. Oba v´ ysledky porovnejte. V´ ysledek metody kmitaj´ıc´ıho p´ıstku povaˇzujte za tabulkovou hodnotu Poissonovy konstanty.
2 2.1 2.1.1
Vypracov´ an´ı Pouˇ zit´ e pˇ r´ıstroje Mˇ eˇ ren´ı dut´ ych objem˚ u v´ aˇ zen´ım a kompres´ı plynu
Mˇeˇren´ y objem (l´ ahev s kohoutem), speci´ aln´ı plynov´a byreta s porovn´avac´ım ramenem, katetometr, v´ ahy, teplomˇer, voda. 2.1.2
Mˇ eˇ ren´ı Poissonovy konstanty vzduchu
Teplomˇer, sklenˇen´ a b´ an ˇ se dvˇema kohouty, otevˇren´ y manometr, gumov´ y mˇech, stopky s optickou branou, syst´em s pumpou a kmitaj´ıc´ım p´ıstkem.
1
2.2 2.2.1
Teoretick´ yu ´ vod Mˇ eˇ ren´ı objemu v´ aˇ zen´ım
Zaj´ım´ a n´ as vnitˇrn´ı objem n´ adoby, kter´ y zjist´ıme jeho vyplnˇen´ım kapalinou o zn´am´e hustotˇe - v naˇsem pˇr´ıpadˇe vodou. N´ adobu n´ aslednˇe zv´ aˇz´ıme naplnˇenou a pr´azdnou a pro vnitˇrn´ı objem bude platit n´asleduj´ıc´ı vztah
V =
mv = mv Vv , ρv
(1)
kde mv je hmotnost vody, ρv jej´ı hustota a Vv objem jednoho gramu vody. Ten z´ısk´ame pomoc´ı vztahu
"
# cm3 ◦ Vv = 0,9998(1 + 0,00018t) , C , g
(2)
ve kter´em je t teplota vody. 2.2.2
Mˇ eˇ ren´ı objemu kompres´ı plynu
V pˇr´ıpadˇe, ˇze se ned´ a mˇeˇrit objem v´ aˇzen´ım, m˚ uˇzeme volit metodu vyuˇz´ıvaj´ıc´ı plynu. Pomoc´ı speci´aln´ı aparatury sestaven´e podle Obr. 1 vyrovn´ ame hladiny vody v byretˇe a pomocn´e trubici (za p˚ usoben´ı atmosferick´eho tlaku) a n´ aslednˇe ramenu, kter´e vede do mˇeˇren´eho objemu (byretou), zavˇreme vnˇejˇs´ı ventil. T´ım, ˇze pot´e natlakujeme spodn´ı n´ adrˇz s vodou, zv´ yˇs´ıme tlak na mˇeˇren´ y objem a ten se zmenˇs´ı z p˚ uvodn´ı hodnoty V0 na novou hodnotu V1 . Tlaky v kapalinˇe se mus´ı vyrovn´ avat, takˇze z rozd´ılu hladin v obou trubic´ıch ∆h m˚ uˇzeme urˇcit zmˇenu tlaku uvnitˇr mˇeˇren´e n´ adoby ∆p v porovn´ an´ı s p˚ uvodn´ım (atmosferick´ ym) tlakem p. Z Boyle-Mariottova z´akona dost´av´ame vzorec
V = (V0 − V1 )
p , ∆p
(3)
kde ∆p urˇc´ıme ze vztahu
V = ∆hρv g.
(4)
Jeˇstˇe nedefinovan´ ymi veliˇcinami jsou hustota vody ρv a gravitaˇcn´ı zrychlen´ı g . 2.2.3
Mˇ eˇ ren´ı Poissonovy konstanty vzduchu Cl´ ementovou-D´ esormesovou metodou
V n´ asleduj´ıc´ıch dvou mˇeˇren´ıch je hlavn´ım u ´kolem zmˇeˇren´ı tzv. Poissonovy konstanty vzduchu, kter´a je definov´ ana jako pomˇer mˇern´ ych tepel pˇri konstantn´ım tlaku Cp a konstantn´ım objemu Cv , tedy jako
Cp . Cv
κ=
(5)
Jednou z nejjednoduˇsˇs´ıch metod urˇcen´ı t´eto konstanty je metoda Cl´ementova-D´esormesova. V aparatuˇre k t´eto metodˇe (viz Obr. 2) je n´ adoba pod atmosferick´ ym tlakem b a je k n´ı pˇripojen manometr s vodou. T´ım, ˇze bal´ onkem zv´ yˇs´ıme tlak v n´ adobˇe z p˚ uvodn´ıch b na novou hodnotu p1 , vytvoˇr´ıme rozd´ıl hladin v manometru ∆h. Kr´ atk´ ym stisknut´ım ventilku na n´ adobˇe n´ aslednˇe umoˇzn´ıme plynu adiabaticky expandovat, ˇc´ımˇz se zv´ yˇs´ı objem z V1 na V2 a sn´ıˇz´ı se teplota. Tlak se t´ım z´ aroveˇ n opˇet vr´ at´ı na p˚ uvodn´ı hodnotu b, ale pˇri n´asledn´em izochorick´em oteplov´ an´ı vzroste na p2 a na manometru bude pozorovateln´ y jin´ y rozd´ıl hladin ∆h0 . Bˇehem tohoto izotermick´eho dˇeje plat´ı
V p1 = 2 p2 V1
(6)
a (za pˇredpokladu, ˇze je vzduch ide´ aln´ım plynem) pro adiabatick´ y dˇej tak´e
p1 = b
V1 κ . V2
2
(7)
Za pˇredpokladu, ˇze je h mnohem menˇs´ı neˇz b, m˚ uˇzeme po dosazen´ı tˇechto rovnic do sebe pouˇz´ıt rozvoj pro logaritmus a odvodit fin´ aln´ı vzorec
κ=
∆h . ∆h − ∆h0
(8)
Tento v´ ypoˇcet by byl pˇresn´ y v pˇr´ıpadˇe okamˇzit´e zmˇeny objemu pˇri zm´aˇcknut´ı p´ıstu. Toho ale re´alnˇe nejde dos´ ahnout, a tak pro z´ısk´ an´ı hodnoty v nule mus´ıme line´ arnˇe extrapolovat do nuly z´avislost zmˇeˇren´e Poissonovy konstanty κ na dobˇe t, po jakou byl p´ıst otevˇren. 2.2.4
Mˇ eˇ ren´ı Poissonovy konstanty vzduchu metodou kmitaj´ıc´ıho p´ıstku
Poissonovu konstantu m˚ uˇzeme jeˇstˇe pˇresnˇeji zmˇeˇrit pomoc´ı metody kmitaj´ıc´ıho p´ıstku. M´ame-li n´adobu, do kter´e pˇriv´ ad´ıme plyn a na kterou je ze shora namontov´ana trubice s p´ıstkem a boˇcn´ım otvorem (tak jako na Obr. 3), m˚ uˇzeme zv´ yˇsen´ım tlaku v n´ adobˇe donutit p´ıstek ke stoup´an´ı. Jakmile se dostane nad otvor, bude otvorem plyn unikat a tlak v soustavˇe opˇet klesne, ˇc´ımˇz bude p´ıstku umoˇznˇeno klesnout zpˇet pod otvor. Vhodn´ ym nastaven´ım aparatury m˚ uˇzeme donutit p´ıstek ke kmit´ an´ı kolem otvoru a pomoc´ı senzoru mˇeˇrit periodu jeho kmit˚ u. Pro Poissonovu konstantu potom bude platit
κ=
4mV , T 2 pr4
p=b+
mg , πr2
(9)
kde m je hmotnost p´ıstku, V objem n´ adoby, T perioda kmit˚ u, p tlak v n´adobˇe, b je atmosferick´ y tlak, r polomˇer p´ıstku a g t´ıhov´e zrychlen´ı.
2.3 2.3.1
Postup mˇ eˇ ren´ı Mˇ eˇ ren´ı objemu v´ aˇ zen´ım
Pˇred zaˇc´ atkem cel´eho mˇeˇren´ı jsme z teplomˇeru odeˇcetli teplotu v praktiku. Z mˇeˇren´e l´ahve jsme nejdˇr´ıve vylili vodu, kter´ a v n´ı byla, a pokusili se ji osuˇsit. N´aslednˇe jsme ji tˇrikr´at zv´aˇzili (i s v´ıˇckem) a zaznamenali hodnoty. Po mˇeˇren´ı objemu kompres´ı plynu (viz dalˇs´ı mˇeˇren´ı) jsme pak lahev naplnili vodou z kohoutku a to aˇz po vrchn´ı okraj v´ıˇcka. Lahev jsme n´ aslednˇe znovu tˇrikr´ at zv´ aˇzili. 2.3.2
Mˇ eˇ ren´ı objemu kompres´ı plynu
Aparatura k tomuto pokusu jiˇz byla sestavena (viz Obr. 1). K byretˇe jsme pomoc´ı hadice pˇripojili lahev z minul´eho mˇeˇren´ı a mˇeˇrili podle n´ asleduj´ıc´ıho postupu: 1. Se zavˇren´ ym ventilem 5 na tlakovaˇci a otevˇren´ ym horn´ım ventilem 6 vyrovn´ame pomoc´ı bal´onku hladiny v tubici a byretˇe. 2. Zaznamen´ ame si objem V0 a nastav´ıme katetometr na pˇredpokl´adanou v´ yˇsku hladiny v trubici. 3. Uzavˇreme ventil 6 a zvyˇsujeme pomoc´ı bal´onku tlak v soustavˇe tak, aby se objem zmˇenil z V0 na V1 . 4. Katetometrem odeˇcteme co nejrychleji po sobˇe hodnoty v´ yˇsky hladiny h1 a h2 v trubici a byretˇe. 5. Z byrety odeˇcteme nov´ y objem V1 a otevˇren´ım ventilu 5 sn´ıˇz´ıme tlak i hladiny v obou trubic´ıch. 6. Pˇredchoz´ı kroky opakujeme desetkr´ at pro l´ahev a desetkr´at pro lahviˇcku s uzavˇren´ ym hrdlem. 2.3.3
Mˇ eˇ ren´ı Poissonovy konstanty vzduchu Cl´ ementovou-D´ esormesovou metodou
Aparatura jiˇz byla sestavena v podobˇe n´ adoby se dvˇema ventily a pˇripojen´ ym manometrem (viz Obr. 2). Pˇri vlastn´ım mˇeˇren´ı jsme postupovali n´ asledovnˇe: 1. Se zavˇren´ ym ventilem K a s otevˇren´ ym K 0 zv´ yˇs´ıme pomoc´ı bal´onku tlak v n´adobˇe.
3
2. Uzavˇreme prvn´ı ventil, nech´ ame chv´ıli ust´alit hladiny v manometru a odeˇcteme jejich hodnoty. 3. Kr´ atce otevˇreme ventil K a nech´ ame plyn adiabaticky expandovat. 4. Zaznamen´ ame dobu otevˇren´ı ventilu z optick´eho senzoru. 5. Se zavˇren´ ymi ventily opˇet nech´ ame ust´ alit hladiny v manometru a odeˇcteme jejich hodnoty. 6. Pˇredchoz´ı kroky opakujeme, dokud nez´ısk´ame deset mˇeˇren´ı. 2.3.4
Mˇ eˇ ren´ı Poissonovy konstanty vzduchu metodou kmitaj´ıc´ıho p´ıstku
Aparatura jiˇz byla sestavena (viz Obr. 3), zb´ yvalo jen zapnout ˇc´ıtaˇc kmit˚ u a pumpu, kter´a zvyˇsovala tlak v n´ adobˇe. Zvyˇsov´ an´ı tlaku jsme upravili tak, aby p´ıstek kmital kolem otvoru v trubici a v´ıce neˇz desetkr´ at jsme zmˇeˇrili, kolikr´ at kmitne za dobu pˇeti minut. Z dokument˚ u na m´ıstˇe jsme zjistili konstanty potˇrebn´e k v´ ypoˇctu, vˇcetnˇe objemu n´ adoby z tohoto u ´kolu, kter´ y jsme t´ım p´adem nemˇeˇrili. Toto mˇeˇren´ı jsme prov´adˇeli bˇehem vˇsech ostatn´ıch, jelikoˇz nevyˇzadovalo st´ alou pozornost. D´avali jsme si tak´e pozor, aby amplituda p´ıstku neklesla pod senzor a nepˇriˇsli jsme tak o nˇejak´e kmity.
Obr. 2: Sch´ema Cl´ementova-D´esormesova pˇr´ıstroje pro urˇcen´ı κ .[2]
Obr. 1: Sch´ema aparatury pro mˇeˇren´ı objem˚ u kompres´ı plyn˚ u (1-byreta, 2-trubice, 3bal´ onek, 5-ventil na tlakovaˇci a 6-ventil na byretˇe). [6]
Obr. 3: Sch´ema aparatury pro mˇeˇren´ı κ metodou kmitaj´ıc´ıho p´ıstku (1-n´adoba, 3-otvor, 4-p´ıstek, 8-pumpa). [3]
4
2.4 2.4.1
Namˇ eˇ ren´ e hodnoty Mˇ eˇ ren´ı objemu v´ aˇ zen´ım
Namˇeˇren´e hodnoty hmotnost´ı jsou v Tab. 1. Hmotnost pr´azdn´e lahve (s naˇsroubovan´ ym v´ıˇckem) jsme urˇcili jako m1 = (573,24 ± 0,01) g, hmotnost pln´e lahve pak jako m2 = (1564 ± 1) g. Z teplomˇeru v praktiku jsme bˇehem mˇeˇren´ı odeˇcetli hodnotu t = (23,0 ± 0,5) ◦ C s chybou poloviny nejmenˇs´ıho d´ılku. Z teploty jsme urˇcili pomoc´ı (2) i s chybou (5.4) objem jednoho gramu vody jako Vv = (1,0039 ± 0,0001) cm3 a z toho pak pomoc´ı (1) i s chybou (5.4) celkov´ y objem lahve jako Vvazeni = (995 ± 1) cm3 . (10)
m ± σm
m1 [g]
σm1 [g]
m2 [g]
σm2 [g]
573,26
0,02
1564
1
573,24
0,02
1564
1
573,24
0,02
1564
1
573,25
0,01
1564
1
Tab. 1: Namˇeˇren´e hodnoty pro mˇeˇren´ı objemu v´aˇzen´ım: m1 , σm1 je hmotnost pr´azdn´e l´ahve s chybou (5.2), m2 ,
σm2 pak analogicky pro l´ahev naplnˇenou vodou.
2.4.2
Mˇ eˇ ren´ı objemu kompres´ı plynu
Namˇeˇren´e hodnoty pro mˇeˇren´ı objemu l´ ahve s hadiˇckou a samotn´e hadiˇcky jsou vyneseny v Tab. 3 a Tab. 4. Z dokument˚ uuu ´lohy jsme si opsali hodnotu odpov´ıdaj´ıc´ı jednomu d´ılku byrety jako ∆V = 0,656 cm3 . Vzhledem k tomu, ˇze byl barometr v praktiku rozbit´ y, jsme uvaˇzovali atmosferick´ y tlak (pro tuto i vˇsechny dalˇs´ı u ´lohy) jako pA = 1010 hPa [5]. Hustotu vody jsme urˇcili jako pˇrevr´acenou hodnotu Vv z pˇredchoz´ı u´lohy se stejn´ym zp˚ usobem odvozenou chybou ρ = (0,99608 ± 0,00009) g · cm3 . Ze zmˇeˇren´ ych hodnot ∆h jsme urˇcili podle (4) s chybou (5.4) zmˇenu tlaku ∆p pˇri kaˇzd´em mˇeˇren´ı a z n´ı pot´e vˇzdy ze vztahu (3) objem. V´aˇzen´ ym pr˚ umˇerem (5.7) potom dost´ av´ ame fin´ aln´ı hodnotu objemu l´ ahve s hadiˇckou Vl+h a objemu samotn´e hadiˇcky Vh jako
Vl+h = (960,1 ± 0,7) cm3 ,
Vh = (26,3 ± 0,3) cm3 .
(11)
Z toho pot´e odeˇcten´ım dost´ av´ ame i s chybou (5.4) fin´aln´ı hodnotu objemu mˇeˇren´e l´ahve jako
Vkomprese = (933,8 ± 0,7) cm3 . 2.4.3
(12)
Mˇ eˇ ren´ı Poissonovy konstanty vzduchu Cl´ ementovou-D´ esormesovou metodou
Namˇeˇren´e hodnoty jsou uvedeny v Tab. 5. Pro kaˇzd´e mˇeˇren´ı jsme poˇc´ıtali Poissonovu konstantu κ dle vzorce (8) s chybou (5.4). N´ aslednˇe jsme tyto hodnoty vynesli do grafu na Obr. 4 a line´arn´ım proloˇzen´ım extrapolovali do nuly. V´ yslednou hodnotu a chybu Poissonovy konstanty jsme t´ım p´adem urˇcili z parametr˚ u fitu jako
κ = (1,37 ± 0,01). 2.4.4
(13)
Mˇ eˇ ren´ı Poissonovy konstanty vzduchu metodou kmitaj´ıc´ıho p´ıstku
Namˇeˇren´e hodnoty poˇctu kmit˚ u a z nich vypoˇc´ıtan´ ych period jsou vyneseny v Tab. 6. Z aritmetick´eho pr˚ umˇeru period a z hodnot konstant uveden´ ych v dokumentu u u ´lohy (Tab. 2) jsme n´aslednˇe podle (9) spoˇc´ıtali i s chybou (5.4) Poissonovu konstantu jako κ = (1,387 ± 0,001). (14)
5
b [hPa]
m [kg]
r [m]
g [m/s2 ]
V [l]
p [hPa]
1010
0,00459
0,00595
9,81
0,00113
1014,05
Tab. 2: Konstanty nejen z dokument˚ uuu ´lohy: m je hmotnost p´ıstku, V objem n´adoby, r polomˇer p´ıstku, g t´ıhov´e zrychlen´ı, b n´ ami pouˇz´ıvan´ y atmosferick´ y tlak a p z toho spoˇc´ıtan´ y tlak v n´adobˇe.
2.5 2.5.1
Diskuse Mˇ eˇ ren´ı objemu v´ aˇ zen´ım
Tato metoda urˇcen´ı objemu byla z n´ ami vyzkouˇsen´ ych dvou pˇresnˇejˇs´ı s hodnotou Vvazeni = (995 ± 1) cm3 . Chyby pˇri mˇeˇren´ı mohly ale nastat t´ım, ˇze l´ahev nebyla pˇred v´aˇzen´ım napr´azdno zcela such´a, jelikoˇz jsme z n´ı museli vyl´evat vodu. Pˇri druh´em v´ aˇzen´ı (kdyˇz byla l´ahev pln´a) se n´am zase nepodaˇrilo dostat z objemu vˇsechny ˇ adn´ bublinky vzduchu a l´ ahev nebyla zcela such´ a na povrchu. Z´ y z tˇechto jev˚ u by vˇsak nemˇel hodnotu ovlivnit pˇr´ıliˇs. 2.5.2
Mˇ eˇ ren´ı objemu kompres´ı plynu
Tato metoda n´ am sice dala hodnotu s menˇs´ı statistickou chybou Vkomprese = (933,8 ± 0,7) cm3 neˇz metoda pˇredchoz´ı, nen´ı ale pochyb, ˇze byla znaˇcnˇe ovlivnˇena systematick´ ymi chybami. Pˇri odeˇc´ıt´an´ı v´ yˇsky hladin jsme si sice velmi dobˇre procviˇcili pouˇz´ıv´ an´ı katetometru, ale vzhledem k tomu, jak dlouho trv´a pˇresun pohledu z hladiny v trubici na hladinu v byretˇe, se d´ a ˇr´ıci, ˇze t´emˇeˇr nem´a smysl urˇcovat jejich v´ yˇsky s takovou pˇresnost´ı. Mˇeˇren´ı by se dalo zlepˇsit pouˇzit´ım dvou katetometr˚ u a sledov´an´ım obou hladin najednou, lepˇs´ım utˇesnˇen´ım syst´emu, aby hladiny ˇ adovˇe ale hodnota odpov´ıd´a odhadu a neklesaly tak rychle, a nakonec mˇeˇren´ım objemu na pˇresnˇejˇs´ım mˇeˇr´ıtku. R´ mˇeˇren´ı m˚ uˇzeme prohl´ asit za u ´spˇeˇsn´e. 2.5.3
Mˇ eˇ ren´ı Poissonovy konstanty vzduchu Cl´ ementovou-D´ esormesovou metodou
Touto metodou jsme se dobrali k v´ ysledku κ = (1,37 ± 0,01), kter´ y jsme fin´alnˇe z´ıskali line´arn´ı extrapolac´ı namˇeˇren´e z´ avislosti a jeho hodnota je velmi podobn´a t´e z n´asleduj´ıc´ıho mˇeˇren´ı, kterou bereme jako tabulkovou. K nejvˇetˇs´ım nepˇresnostem doˇslo u t´eto metody pˇri mˇeˇren´ı ˇcasu, po kter´ y byl otevˇren horn´ı ventil. Opakovanˇe se n´ am totiˇz stalo, ˇze jsme ho zm´ aˇckli (aniˇz bychom zakr´ yvali senzor) a i pˇresto, ˇze bylo slyˇset unikaj´ıc´ı vzduch a ˇze se zmˇenily hladiny v manometru, senzor ukazoval nulov´ y ˇcas. Mˇeˇren´ı by ˇslo zpˇresnit pouˇzit´ım lepˇs´ıho senzoru otevˇren´ı ventilu. Netˇesnost aparatury byla, napˇr´ıklad v porovn´an´ı s prvn´ı u ´lohou, zanedbateln´a. 2.5.4
Mˇ eˇ ren´ı Poissonovy konstanty vzduchu metodou kmitaj´ıc´ıho p´ıstku
Toto mˇeˇren´ı bylo z naˇsich dvou metod pˇresnˇejˇs´ı a dalo n´am hodnotu κ = (1,387 ± 0,001). Po poˇc´ ateˇcn´ıch probl´emech s nest´ alost´ı amplitudy p´ıstku se velikost jeho kyv˚ u ust´alila a mˇeˇren´ı prob´ıhalo bez probl´em˚ u. Patrn´ y nebyl ani zdroj v´ yrazn´ ych systematick´ ych chyb, k nˇekter´ ym mohlo doj´ıt velikost´ı pouˇzit´ ych konstant.
3
Z´ avˇ er
L´ ahev jsme u ´spˇeˇsnˇe zv´ aˇzili pr´ azdnou a plnou a urˇcili jsme z toho objem lahve na Vvazeni = (995 ± 1) cm3 . Ten sam´ y objem jsme zmˇeˇrili tak´e kompres´ı plynu jako Vkomprese = (933,8 ± 0,7) cm3 a uvedli, proˇc se hodnoty liˇs´ı. Objem baˇ nky syst´emu s kmitaj´ıc´ım p´ıstkem jsme nemˇeˇrili, jelikoˇz byl uveden v dokumentech u u ´lohy. Poissonovu konstantu jsme n´ aslednˇe zmˇeˇrili pˇresnˇe metodou kmitaj´ıc´ıho p´ıstku jako κ = (1,387 ± 0,001) a s menˇs´ı pˇresnost´ı pak z oddiskutovan´ ych d˚ uvod˚ u Cl´ementovou-D´esormesovou metodou a line´arn´ı extrapolac´ı jako κ = (1,37 ± 0,01).
6
4
Pouˇ zit´ a literatura
[1] Kolektiv KF, N´ avod k u ´loze: Mˇeˇren´ı dut´ych objem˚ u v´ aˇzen´ım a kompres´ı plynu [Online], [cit. 18. prosince 2013] http://praktikum.fjfi.cvut.cz/pluginfile.php/105/mod resource/content/3/4 Dute objemy.pdf [2] Kolektiv KF, N´ avod k u ´loze: Urˇcen´ı Poissonoyy konstanty vzduchu [Online], [cit. 18. prosince 2013] http://praktikum.fjfi.cvut.cz/pluginfile.php/106/mod resource/content/2/4 Poissonova konstanta.pdf [3] Kolektiv KF, N´ avod k u ´loze: Mˇeˇren´ı Poissonovy konstanty kmitaj´ıc´ım p´ıstkem [Online], [cit. 18. prosince 2013] http://bit.ly/PRAuloha4pistek [4] Kolektiv KF, Chyby mˇeˇren´ı [Online], [cit. 18. prosince 2013] http://praktikum.fjfi.cvut.cz/documents/chybynav/chyby-o.pdf ˇ y hydrometeorologick´ [5] Cesk´ yu ´stav, Meteogramy Aladin [Online], [cit. 18. prosince 2013] http://bit.ly/AladinMeteogramy [6] Kolektiv autor˚ u, Repozit´ aˇr zdroj˚ u k praktiku [Online], [cit. 18. prosince 2013] http://github.com/roesel/praktika
7
ˇ ast I C´
Pˇ r´ılohy 5
Dom´ ac´ı pˇ r´ıprava Dom´ ac´ı pˇr´ıprava je pˇriloˇzena k protokolu.
5.1
Statistick´ e zpracov´ an´ı dat
Pro statistick´e zpracov´ an´ı vyuˇz´ıv´ ame aritmetick´eho pr˚ umˇeru: n
x=
1X xi , n
(5.1)
i=1
jehoˇz chybu spoˇc´ıt´ ame jako
v u u σ0 = t
n
X 1 (xi − x)2 , n(n − 1)
(5.2)
i=1
kde xi jsou jednotliv´e namˇeˇren´e hodnoty, n je poˇcet mˇeˇren´ı, x aritmetick´ y pr˚ umˇer a σ0 jeho chyba [4]. Pˇri nepˇr´ım´em mˇeˇren´ı poˇc´ıt´ ame hodnotu s chybou dle n´asleduj´ıc´ıch vztah˚ u:
u = f (x, y, z, . . .), x = (x ± σx ),
y = (y ± σy ),
z = (z ± σz ),
(5.3)
...,
kde u je veliˇcina, kterou urˇcujeme nepˇr´ımo z mˇeˇren´ ych veliˇcin x, y, z, . . . Pak
u = f (x, y, z, . . .), s
σu =
2 2 ∂f ∂f ∂f 2 2 σx + σy2 + σz2 + . . ., ∂x ∂y ∂z
(5.4)
u = (u ± σu ). V pˇr´ıpadˇe, ˇze m´ ame nˇekolik r˚ uznˇe pˇresn´ ych mˇeˇren´ı stejn´e veliˇciny, pouˇz´ıv´ame vztah pro v´aˇzen´ y pr˚ umˇer: n P
p i xi x ¯ = i=1n , P pi
(5.5)
i=1
kde x ¯ je v´aˇzen´y pr˚ umˇer, xi jsou jednotliv´ a mˇeˇren´ı a pro pi plat´ı
1 pi = 2 , σi
(5.6)
kde σi jsou jednotliv´e chyby dan´ ych mˇeˇren´ı. Celkovou chybu tedy vypoˇc´ıt´ ame ze vztahu
v u 1 σ0 = u uP t n i=1
8
. pi
(5.7)
5.2
Tabulky a grafy h1 [mm]
h2 [mm]
∆p [Pa]
σ∆p [Pa]
Vl+h [cm3 ]
175,71
143,77
312,1
0,1
1002
2
176,19
143,47
319,7
0,1
977
2
175,73
144,51
305,1
0,1
1027
2
174,96
141,03
331,5
0,1
940
2
175,58
140,25
345,2
0,1
901
2
175,14
142,47
319,2
0,1
979
2
174,95
141,02
331,5
0,1
940
2
175,65
143,41
315,0
0,1
993
2
175,67
142,28
326,3
0,1
956
2
175,62
140,76
340,6
0,1
913
2
σV
l+h
[cm3 ]
Tab. 3: Namˇeˇren´e a vypoˇc´ıtan´e hodnoty pˇri mˇeˇren´ı objemu l´ahve s hadiˇckou kompres´ı plynu: h1 a h2 jsou v´ yˇsky hladin v trubici a byretˇe urˇcen´e s pˇresnost´ı 0,01 mm, ∆p, σ∆p rozd´ıl tlak˚ u v trubici a byretˇe se svou chybou (5.4), fin´ aln´ı objem a jeho chyba (5.4). Rozd´ıl objem˚ u byl pro vˇsechna mˇeˇren´ı V1 − V0 = (3,3 ± 0,5) cm3 Vl+h a σV l+h a objem V1 = (59,0 ± 0,3) cm3 .
1,38
Spočítané hodnoty Κ f(t) = (-0,20±0,07) t + (1,37±0,01)
1,37
Κ [-]
1,36 1,35 1,34 1,33 1,32 1,31 0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
t [s] Obr. 4: Graf z´ avislosti Poissonovy konstanty κ na dobˇe otevˇren´ı ventilu t a line´arn´ı extrapolace do nuly.
9
h01 [mm]
h02 [mm]
∆p0 [Pa]
σ∆p0 [Pa]
Vh [cm3 ]
σV [cm3 ]
196,02
124,01
703,6
0,2
32
1
197,06
123,42
719,6
0,2
30
1
196,28
117,95
765,4
0,2
25
1
195,85
113,42
805,5
0,2
21
1
195,95
118,84
753,5
0,2
26
1
195,58
118,72
751,0
0,2
27
1
194,55
117,04
757,4
0,2
26
1
196,16
119,88
745,4
0,2
27
1
196,65
118,68
761,9
0,2
25
1
196,27
118,12
763,6
0,2
25
1
h
Tab. 4: Namˇeˇren´e a vypoˇc´ıtan´e hodnoty pˇri mˇeˇren´ı objemu hadiˇcky kompres´ı plynu: h01 a h02 jsou v´ yˇsky hladin v 0 trubici a byretˇe urˇcen´e s pˇresnost´ı 0,01 mm, ∆p , σ∆p0 rozd´ıl tlak˚ u v trubici a byretˇe se svou chybou (5.4), Vh a
σV fin´aln´ı objem a jeho chyba (5.4). Rozd´ıl objem˚ u byl pro vˇsechna mˇeˇren´ı V1 − V0 = (0,7 ± 0,5) cm3 a objem h
V1 = (61,7 ± 0,3) cm3 .
h1 [cm]
h2 [cm]
h01 [cm]
h02 [cm]
∆h [cm]
∆h0 [cm]
t [s]
κ [-]
σκ [-]
13,2
32,2
20,3
24,9
19,0
4,6
0,269
1,3
0,2
12,4
32,8
20,1
25,1
20,4
5,0
0,235
1,3
0,2
13,1
32,3
20,2
25,0
19,2
4,8
0,154
1,3
0,2
12,3
33,0
20,3
25,9
20,7
5,6
0,209
1,4
0,2
12,6
32,8
20,1
25,2
20,2
5,1
0,146
1,3
0,2
14,2
31,1
20,5
24,7
16,9
4,2
0,201
1,3
0,2
11,4
33,9
19,8
25,4
22,5
5,6
0,234
1,3
0,2
9,9
35,5
19,2
26,0
25,6
6,8
0,159
1,4
0,2
13,8
31,5
20,3
24,9
17,7
4,6
0,122
1,4
0,2
Tab. 5: Namˇeˇren´e a vypoˇc´ıtan´e hodnoty pˇri mˇeˇren´ı Poissonovy konstanty Cl´ementovou-D´esormesovou metodou: h1 a h2 jsou v´yˇsky hladin v manometru pˇred otevˇren´ım ventilu, h01 a h02 pak v´yˇsky po nˇem (vˇsechny 4 jsme urˇcili s pˇresnost´ı na 0,1 cm). ∆h, σ∆ , ∆h0 , σ∆0 jsou z nich spoˇc´ıtan´e rozd´ıly hladin, κ a σκ spoˇc´ıtan´e hodnoty h
Poissonovy konstanty (8) s chybou (5.4).
h
10
n [-]
T [s]
866
0,346
871
0,344
871
0,344
881
0,341
883
0,340
885
0,339
860
0,349
868
0,346
871
0,344
871
0,344
873
0,344
874
0,343
871
0,344
877
0,342
878
0,342
T [s]
0,3435
σT [s]
0,0007
Tab. 6: Namˇeˇren´e a vypoˇc´ıtan´e hodnoty pˇri mˇeˇren´ı Poissonovy konstanty metodou kmitaj´ıc´ıho p´ıstku: n je poˇcet kmit˚ u p´ıstku za pˇet minut, T z toho spoˇc´ıtan´e periody kmit˚ u. T je pak jejich aritmetick´ y pr˚ umˇer se svoj´ı chybou σT (5.2).
11
