BAB 3 Determinan
3.1 Permutasi Definisi Permutasi: (i) Suatu permutasi dari bilangan-bilangan bulat {1, 2, 3,…, n} adalah penyusunan bilangan-bilangan tersebut dengan urutan tanpa pengulangan. (ii) Barisan bilangan ( j1, j2,….., jn) dimana ji jk, untuk i k (i dan k = 1,2,…n), ji adalah salah satu dari bilangan asli. Contoh: Permutasi dari {1, 2, 3} adalah (1, 2, 3) (2, 1, 3) (3, 1, 2) (1, 3, 2) (2, 3, 1) (3, 2, 1) Secara umum, bilangan-bilangan pada {1, 2, …, n} akan mempunyai n! permutasi
Definisi Inversi Permutasi: (i) Yang dimaksud inversi pada suatu permutasi (j1, j2, …….,jn) ialah adanya jk<ji (jk mendahului ji) padahal ji<jk (i dan k=1, 2, …..n). (ii) Suatu inversi dikatakan terjadi di dalam permutasi ((j1, j2, …….,jn) apabila ditemukan bilangan bulat yang lebih besar berada di depan bilangan yang lebih kecil dalam urutan permutasi tersebut. Contoh: (6, 1, 3, 4, 5, 2) • 6 mendahului 1, 3, 4, 5, 2 = 5 inversi • 3 mendahului 2 = 1 inversi • 4 mendahului 2 = 1 inversi • 5 mendahului 2 = 1 inversi Jadi terdapat 8 inversi dalam permutasi di atas. (1, 2, 3, 4) : tidak terdapat inversi
• Suatu permutasi dikatakan permutasi genap jika banyaknya inversinya sejumlah genap dan dikatakan permutasi ganjil jika banyak inversinya sejumlah ganjil
• Perkalian elementer dari matriks A ukuran nn adalah perkalian dari n entri dari A dimana tidak ada yang datang dari baris atau kolom yang sama • Perkalian elementer bertanda dari A adalah perkalian elementer dikali +1 jika merupakan permutasi genap dan dikali 1 jika merupakan permutasi ganjil.
3.2 Definisi Determinan Jika A adalah matriks bujursangkar. Fungsi determinan dari A, det (A) didefinisikan sebagai jumlah semua perkalian elementer bertanda dari A.
det (A) = │A│= ∑ δ (j1, j2, …….,jn) . a1 j1, a2 j2, ……., am jn
Matriks ordo 2x2 A=
a11 a12 a a 21 22
Maka n = 2, terdapat 2! = 2.1 = 2
Hasil kalinya sebagai berikut : a11 a22 permutasi (1,2), banyaknya inversi = 0 (permutasi genap).
Maka δ (1,2) = +1, jadi +a11 a22. a21 a12 permutasi (2,1), banyaknya inversi = 1 (permutasi ganjil).
Maka δ (2,1) = – 1, jadi –a21 a12 Maka det(A) = |A| = +a11 a22 – a21 a12
Contoh Matriks ordo 2x2 :
2 1 A 4 6 Maka det(A) = 2.6 – 1.4 = 8
Matriks Ordo 3x3 a11 a12 A a21 a22 a31 a32
a13 a23 a33
Maka n = 3, terdapat 3! = 3.2.1 = 6
Hasil kalinya sebagai berikut : a11 a22 a33 permutasi (1,2,3), banyaknya inversi = 0 (+). a12 a23 a31 permutasi (2,3,1), banyaknya inversi = 2 (+). a13 a21 a32 permutasi (3,1,2), banyaknya inversi = 2 (+). a13 a22 a31 permutasi (3,2,1), banyaknya inversi = 3 (-). a11 a23 a32 permutasi (1,3,2), banyaknya inversi = 1 (-). a12 a21 a33 permutasi (2,1,3), banyaknya inversi = 1 (-).
det( A) a11 a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21 a32 a13 a22 a31 a11 a23 a32 a12 a21 a33
Determinan Matriks Ordo 2x2 A=
a11 a12 a a 21 22
det(A) = |A| = a11 a22 – a21 a12
Contoh:
2 1 A 4 6 Maka det(A) = 2.6 – 1.4 = 8
Determinan Matriks Ordo 3x3 a11 a12 a13 Jika A a21 a22 a23 a31 a32 a33
(-) (-)
a11
a12
a13 a11
(-)
a12
A a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32
a33 a31 a32 (+) (+) (+)
det( A) a11 a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21 a32 a13 a22 a31 a11 a23 a32 a12 a21 a33
Contoh : Ordo 3x3 dng Sarrus
2
3
1
B 4 1 3 1
3
Det (B) = ……….
2
3.3 MINOR DAN KOFAKTOR Pengertian Submatriks Mij Misal Matriks A berukuran (n x n) dan M ij suatu submatriks dari A dengan ukuran (n-1) x (n-1) di mana baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A dihilangkan. Contoh: A=
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 3 (baris 3 dan maka M32 = kolom 2 4 6
dihilangkan)
MINOR DAN KOFAKTOR Definisi Minor: Adalah nilai determinan dari submatriks Mij, yaitu Mij Definisi Kofaktor: adalah Cij = (-1)i + j Mij
Contoh Minor dan Kofaktor 2 3 1 A 0 1 2 4 5 4 M 11
1 2 5 4
C11 (1)
11
14
M 11 14
M 32
2
1
0 2
4
C32 (1) 3 2 M 32 (4) 4
M 23
2 3 4 5
22
C23 (1) 23 M 23 22
3.4 Penguraian (Ekspansi) Secara Baris atau Kolom Menurut Teorema LAPLACE:
Determinan dari suatu matriks adalah jumlah perkalian elemen-elemen dari sebarang baris/kolom dengan kofaktor-kofaktornya. 1. det (A) = ai1Ci1+ai2Ci2+...+ainCin (ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i) 2. det (A) = a1jC1j+a2jC2j+...+anjCnj (ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j)
Contoh 1 : 2 3 4 A 0 5 6 5 3 1
det( A) 2(1)
11
5 6 3 1
2 1
0(1) M 21 (5)(1)
31
3 4 5
6
164
Contoh 2 : 0 3 B 2 3
0 1 1 0 0 2 3 4 2 1 0
2
det( B) 0C11 0C12 2C13 0C14 2C13 2M13 3 M 13 2
1 0 0 3 2(1)
3 4 1
2 1
1 0 4 1
det(B) = 2(-47) = - 94
3(1)
23
3
1
3 4
47
3.5 Sifat-sifat Determinan 1. Pertukaran Baris dengan Kolom suatu determinan tidak mengubah nilai determinan. | A | = | AT |
a11
a12
a13
a11 a21 a31
A a21 a22 a23 a12 a22 a32 AT a31 a32
a33
a13 a23 a33
2. Jika semua elemen-elemen satu baris/kolom suatu determinan sama dengan nol, maka nilai determinannya sama dengan nol.
a11 a12 A 0
0
a13
0 a21 a31
0 0 a22 a32 0
a31 a32 a33
0 a23 a33
Sifat-sifat Determinan (lanjutan) 3. Jika dua baris/kolom suatu determinan dipertukarkan, maka akan mengubah tanda determinan. ( + menjadi - , dan, - menjadi + ). Baris yang di tukar
Kolom yang di tukar
Sifat-sifat Determinan (lanjutan) 4. Jika dua baris/kolom suatu determinan Identik, maka nilai determinannya sama dengan nol. Dikatakan identik, jika suatu baris atau kolom merupakan hasil kali dengan skalar k (di mana k anggota bilangan real) Baris
a11
a12
Kolom
a13
A k .a11 k .a12 k .a13 0 a31
a32
a33
k .a13
a12
a13
A k .a23 a22 a23 0 k .a33 a32
a33
Sifat-sifat Determinan (lanjutan) 5. Jika setiap elemen satu baris/kolom suatu determinan dikalikan dengan faktor yang sama k, maka determinannyapun dikalikan dengan skalar k. Baris
Kolom
a11
a12
a13
a11
a12
a13
A k .a21 k .a22 k .a23 k a21 a22 a23 a31
a32
k .a11
a12
a33
a13
a31 a32
a11
a12
a33
a13
A k .a21 a22 a23 k a21 a22 a23 k .a31 a32
a33
a31 a32
a33
Sifat-sifat Determinan (lanjutan) 6. Jika setiap elemen satu baris/kolom suatu determinan dinyatakan dengan dua suku maka determinannya dapat dinyatakan sebagai jumlah dari dua determinan
3.6 Matriks Singular dan Non Singular
Definisi Matriks Singular: Matriks yang nilai determinannya = 0. Catatan: Matriks singular tidak mempunyai invers. Definisi Matriks Non Singular: Matriks yang nilai determinannya 0. Catatan: Matriks non singular mempunyai invers.
