DIMENSI TIGA Pendahuluan:
5. Tabung
Bab Dimensi Tiga ini merupakan kelanjutan dari materi
Luas = 2 r ( r + t )
pelajaran bangun ruang sewaktu di SMP dulu.
t
Saat di SMP, hal yang dibahas adalah luas permukaan dan
volume
bangun
ruang,
sedangkan
di
Vol = r2 t
r
SMA
ditambahkan dengan empat materi yaitu:
6. Kerucut
1. Menggambar bangun ruang
Luas = r (r+s) s
2. Irisan bangun ruang
( s = pjg sisi miring )
Vol = 1/3 . luas alas . tinggi r
3. Jarak antar titik-garis-bidang 4. Sudut antara garis-bidang dan bidang-bidang 7. Bola Karena waktu belajar tinggal 2 minggu, maka yang akan
Luas = 4 r 2
dibahas hanya: a) Bentuk dasar bangun ruang
Vol = 4/3. r 3
b) Irisan bangun ruang
A. BENTUK DASAR BANGUN RUANG Latihan 1
1. Kubus
1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dgn panjang AB = 6 cm,
Luas = 6 s 2 Vol = s3
titik M di tengah GH dan titik N pada rusuk DH
( s = panjang sisi )
sedemikian sehingga DN = 2 NH. Tentukanlah:
2. Balok Luas = 2 x ( p.l + p.t + l.t ) Vol = p . l . t
a. jarak AG
d. volume limas N.ABCD
b. jarak BM
e. Perbandingan volume limas
c. jarak BN
N.ABCD dan limas M.BCD
2. Balok ABCD.EFGH, perbandingan p : l : t = 4 : 3 : 2.
Jika volume balok itu 81 cm3, tentukan panjang diagonal ruangnya.
3. Prisma
3. Hitunglah tinggi & volume limas segitiga beraturan
Luas = 2 x l. alas + selimut
T.ABC jika AB = 8 cm dan TA = 6 cm
Vol = luas alas x tinggi
4. Hitunglah tinggi & volume limas segiempat beraturan T.ABCD jika AB = 8 cm dan TA = 6 cm
4. Limas Luas = l. alas + selimut
5. Diket limas segi6 beraturan T.ABCDEF, AB = 3 cm dan
Vol = 1/3 l. alas x tinggi
rusuk TA = 5 cm. Hitung tinggi & volume limas itu
1
Dimensi Tiga, SMA Pahoa, Mei 2010
6. Sebuah tabung mempunyai volume 54 cm3. Jika
B. KEDUDUKAN TITIK, GARIS, & BIDANG
tinggi tabung itu 2 kali jari-jarinya, tentukanlah luas Garis, Bidang, dan Bangun Ruang
tabung itu!
. Garis = benda berdimensi satu dan hanya mempunyai panjang tapi tidak mempunyai lebar.
7. Sebuah drum berbentuk tabung yang jari-jari dan
. Bidang (bidang datar) = benda berdimensi dua yg
tingginya 2 dm dan 3 dm, berisi air penuh. Ke dalam drum dimasukkan lima buah batu bata
mempunyai ukuran panjang dan lebar. Nama bidang
berbentuk balok ukuran 12 x 6 x 5 cm.
bisa dituliskan di pojok bidang dgn huruf , , atau
Tentukan ketinggian air di dalam drum itu sekarang!
dengan menuliskan titik-titik sudut bidang itu. . Bangun ruang adalah benda berdimensi tiga.
8. Diketahui kerucut dgn tinggi 8 cm dan jari-jari 6 cm. Tentukan volume dan total luas permukaannya! Aksioma/teori titik, garis, dan bidang: 9. Sebuah pot bunga berbentuk kerucut terbalik yg
. Melalui 2 titik sembarang hanya dapat dibuat 1 garis.
berjari-jari 12 cm dan tinggi 18 cm diisi pasir hingga
. Sebuah bidang dapat ditentukan/dibentuk oleh:
2/3 tingginya. Tentukan volume pasir itu!
a. 3 titik sembarang. b. 1 garis & 1 titik di luar garis.
10. Sebuah bola mempunyai jari-jari 10 cm.
c. 2 garis berpotongan.
Tentukan luas dan volume bola itu!
d. 2 garis sejajar.
11. Ke dalam kubus (r = 10 cm) dimasukkan sebuah bola.
Kedudukan titik dan garis:
Tentukan volume maksimum bola itu!
A
Ada 2, yaitu: a. titik pada garis (titik A)
12. Ke dalam kerucut (r= 6 cm, t=8 cm) dimasukkan
B
b. titik di luar garis (titik B)
sebuah bola. Volume maksimum bola?
Kedudukan titik dan bidang: 13. Ke dalam bola (r = 4 cm) dimasukkan sebuah kubus.
Ada 2, yaitu:
Tentukan perbandingan volume kubus maksimum
a. titik pada bidang (titik C)
dan volume bola!
b. titik di luar bidang (titik D)
C
D
14. Dua buah kerucut memiliki volume yg sama. Jika perbandingan tinggi kedua kerucut adalah 4 : 9,
Kedudukan garis dan garis lain:
tentukan perbandingan jari-jari alasnya!
. Ada tiga: berpotongan, sejajar, bersilangan. . Garis g dan h berpotongan, jika mereka terletak pada
15. Sebuah kerucut punya tinggi yg sama dgn sebuah
1 bidang dan mempunyai hanya 1 titik persekutuan.
tabung. Jika jari-jari tabung 2 kali jari-jari kerucut
. Garis g dan h sejajar, jika kedua mereka terletak pd
3
dan volume tabung 18 dm , tentukan volume
1 bidang dan tidak mempuyai titik persekutuan.
kerucut.
. Garis g dan h bersilangan, jika mereka itu tidak terletak pd 1 bidang dan tidak sejajar. . Melalui 1 titik di luar garis, hanya dapat dibuat 1 garis yg sejajar dgn garis itu.
2
Dimensi Tiga, SMA Pahoa, Mei 2010
Kedudukan garis dan bidang:
Contoh 2
. Ada 3 kemungkinan:
Perhatikan gambar kubus berikut ini.
a. Garis terletak pd bidang: jika garis & bidang
Pada rusuk HG, AE, dan BF terdapat titik P, Q, dan R.
mempunyai minimal 2 titik persekutuan.
Akan dibuat bidang irisan yg melalui titik P, Q, dan R.
b. Garis sejajar bidang: jika garis & bidang tidak H
mempunyai titik persekutuan. c. Garis menembus bidang: jika garis & bidang
P
G
F
E
hanya mempunyai 1 titik tembus. . Jika garis g sejajar h & garis h terletak pd bidang ,
maka garis g sejajar dgn bidang .
Q
D
R
C
30O
Kedudukan bidang dan bidang lain
A
30O
B
. Ada 3 kemungkinan: a. Berimpit: jika setiap titik pada sebuah bidang, Jawab:
terletak juga pada bidang yg lain.
Perhatikan gambar di atas:
b. Sejajar: jika keduanya tidak mempunyai titik
P terletak pd bidang DCGH dan EFGH
persekutuan.
Q terletak pd bidang ABFE dan ADHE
c. Berpotongan: jika kedua bidang itu
R terletak pd bidang ABFE dan BCGF
mempunyai 1 garis persekutuan. . Jika garis g menembus bidang dan bidang sejajar
Tampak bahwa Q dan R terletak sama-sama pd bidang
bidang , maka garis g juga pasti menembus bidang .
ABFE. Oleh karena itu, titik Q dan R bisa langsung dihubungkan (garis QR merupakan sisi dari bidang irisan yg akan dibuat).
IRISAN BANGUN RUANG Bidang irisan (penampang) adalah sebuah bidang datar yg memotong suatu bangun ruang melalui 3 titik yg
Tetapi tidak demikian dgn titik P karena tidak terletak
telah ditentukan sebelumnya (ingat aksioma di atas!).
1 bidang dgn titik Q maupun R. Maka, melalui titik P
Bidang irisan ini melalui tepi sisi luar dari bangun ruang
akan dibuat garis bantu PQ dan PR.
(tidak mesti semua sisi rusuk bangun ruang dilalui oleh H
bidang irisan).
P
G F
E
Contoh 1 Pada kubus di bawah ini, bidang yg diarsir adalah Q
bidang irisan yg melalui titik A, C, dan H.
Q D
Terlihat bahwa bidang irisan tidak mesti melalui semua
R
30O
rusuk (tidak melalui rusuk BF, EF, dan FG). H
A
G
B
C
30O
garis bantu garis bantu
F
E
T D
30O A
B
C
30O 3
Dimensi Tiga, SMA Pahoa, Mei 2010
Akan ditentukan sebuah bidang, dimana garis PQ dan PR
- Hubungkan garis VR hingga memotong rusuk CG di
akan bertemu di 1 bidang tertentu. Bidang temu itu
titik W.
P
H
G
adalah bidang alas (bidang ABCD). Perhatikan bahwa garis PQ dan PR jika diteruskan, akan
W
F
E
sama-sama menembus alas kubus. Q
Cara menentukan titik tembus garis PQ:
Q R
D
- Proyeksikan titik P dan Q ke bidang alas. 30O
- Diperoleh titik S dan titik A.
A
- Karena titik S dan A terletak pd 1 bidang yg sama,
C
S B
T
30O afinitas
U
V
maka S dan A bisa dihubungkan. - Titik potong garis PQ dan garis SA disebut titik tembus (di titik T).
Lakukan hal yg sama untuk mencari garis tepi dari
- Begitu pula garis PR, akan menembus alas di titik U.
bidang irisan pd sisi ADHE. Tarik/perpanjang garis DA hingga memotong sumbu afinitas di titik X.
P
H
G
Hubungkan garis XQ hingga ke atas (didapat titik Y)
F
E
Y
P W
F Q
Q D
R
C
S
Q
30O A
T
30O
B
Q
R
S
U
30O A T
30O
B
X
afinitas
U
V
Kedua titik tembus ini akan dihubungkan oleh sebuah garis (disebut sumbu afinitas).
Karena titik P terletak sebidang dgn Y dan W, maka dapat ditarik garis PY dan PW.
Sumbu afinitas adalah garis yg terletak pada
Didapat bidang irisan yg melalui titik P, Q, dan R (yaitu
alas/atap/sisi terluar dari bangun ruang, yg digunakan
bidang yg diarsir), selesai!
sbg patokan untuk menarik garis-garis bidang irisan
P
Y
lainnya di dalam bangun ruang itu.
W
F
Pada contoh ini: - Proyeksikan titik R ke bidang alas (didapat titik B).
Q
- Karena titik B terletak di alas, maka hubungkan garis S
pd alas kubus yg melalui B (yaitu garis CB),
O
30O
30
potongkan dgn sumbu afinitas (didapat titik V). T
- Hal ini dimaksudkan untuk mencari garis bidang irisan
X
V
U
pd sisi BCGF. 4
Dimensi Tiga, SMA Pahoa, Mei 2010
Contoh 3
Demikian juga, cari titik tembus garis LM dgn bidang
Perhatikan gambar limas di bawah ini. Tentukan bidang
kiri limas, dgn memperpanjang garis DA, didapat titik Q
irisan yg melalui titik K, L, dan M. T
Sekarang, tampak bahwa titik K dan P terletak pd 1 bidang, shg dapat dibuat garis sampai memotong rusuk K
T
TD di titik R.
R D
K
C
M
A
P
D
B
L
C
Jawab:
M
Perhatikan: titik L dan M terletak pd 1 bidang (yaitu
A
alas). Oleh karena itu, langsung hubungkan garis LM.
B
L
Q
T
Karena titik R dan Q terletak pd 1 bidang (bidang samping kiri limas), maka hubungkan titik R dan Q
K
hingga memotong rusuk TA di titik S. T
D
R
C
S
M
A
K
.
B
L
P
D C
Garis LM ini jika dipanjangkan, pasti akan menembus
M
bidang samping kiri limas (bidang TAD) dan bidang
A
belakang (TDC).
B
L
Q
Karena titik K ada di rusuk belakang limas, maka cari
Dengan menghubungkan titik-titik M-K-R-S-L-M akan
titik tembus garis LM di bidang belakang, yaitu dgn cara
didapat bidang irisan yg ditanyakan, selesai!
memperpanjang garis DC, didapat titik P.
T
T
R
K
K
S P P
D C
M
M
A Q
L
L
B 5
Q
Dimensi Tiga, SMA Pahoa, Mei 2010
Contoh 4
Karena titik R dan A sebidang (di bidang belakang), maka dapat dihubungkan, diperpanjang hingga menembus bidang samping kiri, didapat titik S dan T.
Pada gambar balok berikut ini, tentukan bidang irisan yg melalui titik A, B, dan C. A
S A
T
C
R
B
C B Q
P
Jawab: Titik A, B, dan C tidak ada yg sebidang, jadi perlu dibuatkan garis bantu. Jika ditarik garis bantu AC, maka garis AC ini harus
Karena titik S dan C terletak sebidang (di bidang samping kiri), maka hubungkan S dan C, didapat titik U
ditembuskan ke bidang dimana titik B berada. Juga, jika ditarik garis bantu BA, maka harus ditembuskan ke bidang dimana titik C berada.
S A U
Misalnya ditarik garis bantu AC. “Jika A dan C dihubungkan, maka proyeksi A dan
T
proyeksi C juga dihubungkan”, didapat titik P.
R C
A
B Q
P
C
B
P
Dengan menghubungkan garis T – A – U – C – Q – B – T diperoleh bidang irisan yg melalui titik A, B, dan C, selesai!
Karena P dan B sudah terletak pd 1 bidang, maka dapat dihubungkan, dan garis PB diperpanjang hingga: - memotong rusuk depan-bawah, didapat titik Q. - menembus bidang belakang tempat A berada, didapat titik R.
S A U
A
T
R C B R
P
C
Q
B P
Q 6
Dimensi Tiga, SMA Pahoa, Mei 2010
Latihan 2 Tentukan bidang irisan yg melalui titik A, B, dan C pada gambar berikut ini.
A
2
A
1
C
B
B 30O
30O
C
4 3
A
A
B
C
C
B
5
A
C
B
7
Dimensi Tiga, SMA Pahoa, Mei 2010
