DIMENSI TIGA 3. Limas Macam-macam Bangun Ruang : 1. Kubus :
1 luas alas x tinggi 3 = luas alas + luas bidang sisi tegak
Volume Limas = Kubus ABCD. EFGH di atas mempunyai rusuk-rusuk yang panjangnya a.
Luas limas
Panjang diagonal bidang (AH) = a 2 Panjang diagonal ruang (BH) = a 3
4. Kerucut
Volume Kubus = a 3 Luas Kubus = 6 a 2
2. Balok:
Kerucut di atas mempunyai panjang jari-jari alas r, tinggi t dan panjang garis pelukis s. Balok ABCD.EFGH di atas mempunyai panjang p, lebar l dan tinggi t. Volume Balok = p x l x t Luas Balok = 2 ( p.l + l . t + p. t )
hubungan ketiganya dirumuskan sbb: s2 = r2 + t2 Volume Kerucut =
1 2 π r t 3
Luas Kerucut = π r 2 + π r s
www.pintarmatematika.web.id - 1
5. Bola 3.Bidang D
C
A
B
Daerah dan Bidang: Bola di atas mempunyai jari-jari r (diameter =
1 r) 2
4 π r3 3 = 4 π r2
Volume Bola = Luas Bola
Daerah : mempunyai luas tertentu Bidang : mempunyai luas tak terbatas , untuk menggambarkan bidang hanya sebagian saja sebagai perwakilan Daerah ABC ≠ daerah ABCD Bidang ABC = bidang ABCD
Pengertian titik, garis dan bidang 1. Titik Titik tidak mempunyai ukuran yang berarti tidak mempunyai panjang, lebar atau tinggi sehingga titik dikatakan berdimensi nol. Titik ditandai dengan tanda noktah. • A
• B
• A
• P
Jarak 1. Jarak antara dua titik
2. Garis •
Jarak, Proyeksi dan Sudut
• Q
• B Jarak antara titik A dan B = panjang ruas garis AB
R
Perbedaan ruas garis dan garis: Ruas garis PQ mempunyai panjang tertentu yaitu sebesar jarak antara titik P dan titik Q Garis mempunyai panjang tak hingga, garis tidak mungkin digambar secara keseluruhan atau yang dapat igambar hanya sebagian saja (yang tergambar masih bisa diperpanjang. Ruas garis PQ ≠ ruas garis QR garis PQ = garis QR karena bila diperpanjang akan mewakili garis yang sama
2. Jarak antara titik dan garis A •
• B
g
Jarak antara titk A dan garis g = panjang ruas garis AB (AB tegak lurus garis g)
www.pintarmatematika.web.id - 2
3. Jarak antara titik dan bidang 6. Jarak antara garis dan bidang yang sejajar
Jarak antara titik A dan bidang α = panjang ruas garis AB ( AB tegak lurus bidang α )
garis g sejajar dengan bidang α jarak antara garis g dengan bidang α = panjang ruas garis AB (AB tegak lurus bidang α dan garis g)
4. Jarak antara dua garis sejajar
7. Jarak antara dua bidang yang sejajar
garis g sejajar garis h jarak garis g dan garis h = panjang ruas garis AB (AB tegak lurus garis g dan h) 5. Jarak antara dua garis bersilangan Bidang α sejajar dengan bidang β Jarak kedua bidang = panjang ruas garis AB (AB tegak lurus dengan kedua bidang)
Proyeksi : garis g bersilangan dengan garis h 1. Proyeksi titik pada garis jarak garis g dan h = panjang ruas garis AB (AB tegak lurus garis g dan h) sama dengan point 3 di atas
Titik B adalah proyeksi titik A pada garis g (AB tegak lurus garis g)
www.pintarmatematika.web.id - 3
2. Proyeksi titik pada bidang Sudut 1. Sudut antar dua garis yang bersilangan
Titik B adalah proyeksi titi A pada bidang α (AB tegak lurus dengan bidang α ) 3. Proyeksi garis pada bidang
garis g dan h bersilangan g // g’ dan h // h’
a. Garis g menembus bidang α
∠ (g,h) = ∠ (g ' ,h ' ) = ∠ (g, h ' ) = ∠ ( g ' ,h)
2. Sudut antara garis dan bidang
garis BA menembus bidang α di titik A titik B’ adalah proyeksi titik B pada bidang α proyeksi garis BA pada bidang α adalah = ruas garis AB’ b. garis g sejajar dengan bidang α
∠ (BA, bidang α ) = ∠ (BA,AB’) 3. Sudut antara dua bidang
Titik A dan B terletak pada garis g titk A’ dan B’ merupakan proyeksi titik A dan B pada bidang α Ruas garis A’B’ adalah proyeksi garis g pada bidang α
( α , β ) adalah garis potong antara bidang α dan bidang β . AB dan BC tegak lurus ( α , β ) Sudut antara bidang α dan β : ∠ (AB,BC) = ∠ ABC
www.pintarmatematika.web.id - 4
Contoh Soal : Titik P terletak diantara titik BT Misal TP = x maka BP = BT – x
UN2010 - 2012 BT=
1 1 .CG = . 6 = 3 2 2
BC 2 + CT 2 ; CT =
1. UN2010 =
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm dan T adalah titik tengah CG. Jarak titik E ke BT adalah …. A.
3 5
5 cm
C.
18 5
9 5
5 cm
D.
36 + 9 =
45 = 3 5
EP 2 = EB 2 - BP 2 = ET 2 - TP 2 (6 2 ) 2 - (3 5 - x ) 2 = 81 - x 2
5 cm
72 - (45 - 6 5 x + x 2 ) = 81 - x 2
E. 5 5 cm B.
6 2 + 32 =
72 – 45 + 6 5 x - x 2 = 81 - x 2
18 10 cm 5
72 – 45 – 81 + 6 5 x = x 2 - x 2 -54 = - 6 5 x
Jawab: H
54 = 6
G
E
F
5 x =9 T
6
5x
x=
P D
9
= TP
5 C EP 2 = ET 2 - TP 2 = 9 2 - (
9
)2
5 A
6
B = 81 -
Dari gambar terlihat Jarak titik E ke BT adalah EP 2
2
2
2
EP = EB - BP = ET - TP
2
EP=
81 405 − 81 324 = = 5 5 5
324 18 18 = = 5 5 5
5 5
=
18 5
5 cm
Jawabannya adalah C mencari ET: Lihat ∆ ETG
∠ G = siku-siku
ET= EG 2 + GT 2
UN2010 2. Diketahu kubus ABCD.EFGH. Nilai cosinus sudut antara CF dan bidang ACH adalah …. A.
1 6
3
C.
1 2
3
B.
1 3
3
D.
2 3
3
EG =diagonal bidang =6 2 GT =
1 1 CG = . 6 = 3 2 2 2
ET= (6 2) + 3 2 =
72 + 9 = 81 = 9 Jawab:
www.pintarmatematika.web.id - 5
E.
3
H
1 1 a 6 a 6 CO 3 Cos α = = = 3 FC a 2 a 2
G
E
F
=
P
2 2
1 1 1 1 . 12 = .2 3 = . 3 3 2 6 3
Jawabannya adalah B
O D
C UN2010 3. Luas segi 12 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 8 cm adalah ….
Q A
B
Yang dicari adalah ∠( FC ), (CO ) F
A. 192 cm2
C. 162 cm2
B. 172 cm2
D. 148 cm2
E. 144 cm2
Jawab: Luas segi n beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran r adalah:
α O
1 2 360 L=n. . r . sin 2 n
C
bidang datar
Cos α =
=
bidang miring
Luas segi 12 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 8 cm adalah:
CO FC
Titik P adalah titik tengah AH maka AP =
1 AH ; misal 2
panjang rusuk =a
=
1 (a 2 ) 2 − ( a 2 ) 2 2
=
1 2a − a 2 = 2
1 = 192 2
UN2010 4. Diberikan prisma tegak segitiga ABC.DEF dengan
3 2 a = 2
PO adalah titik berat segitiga =
CO = CP – PO = CP -
0
Jawabannya adalah A
AC 2 − AP 2
2
1 360 L = 12. . 8 2 . Sin 2 12 = 384 . sin 30 0 = 384 .
1 Maka AP = .a 2 2 CP =
0
3 2 2 1 a . = a 6 2 2 2
panjang rusuk AB = 6 cm, BC = 3 7 cm, dan AC = 3 cm. Tinggi prisma adalah 20 cm. Volume prisma adalah …. D F
1 CP 3
E
1 2 2 1 1 CP = CP = a 6 = a 6 3 3 3 2 3
A
C
B
www.pintarmatematika.web.id - 6
L alas = A. 55 2 cm3
C. 75 3 cm3
1 1 x jarak bidang datar x t = . 3 . 3 3 2 2 =
E. 120 3 cm3 B. 60 2 cm3
D. 90 3 cm3
D
F
9 2
3 cm3
3 . 20 = 90
Jawabannya adalah D
E
UN2011
5. Dalam suatu lingkaran yang berjari-jari 8 cm, dibuat segi-8 beraturan. Panjang sisi segi-8 tersebut adalah....
20
A
3
Volume = L alas x tinggi =
Jawab:
9 2
3
C 3 7
6 B
Volume = L alas x tinggi
A. 128
64√3 cm
D. 128
16√2 cm
B. 128
64√2 cm
E. 128
16√3 cm
C. 128
16√2 cm
Mencari L alas :
Jawab: L alas
1 = x jarak bidang datar x t 2
x
Lihat ∆ ABC:
8cm 45
B
0
8cm 45
0
8 cm 6
A 3-x
3 7
t
x
C
ditanya = panjang sisi segi-8 = x = ...? t 2 = 6 2 - (3-x) 2 = (3 7 ) 2 - x 2 2
36 - (9 - 6x + x ) = 63 - x
2
36 - 9 + 6x - x 2 = 63 - x 2
diketahui jari-jari = 8 cm = 450
sudut antar sisi =
pakai rumus aturan cosinus:
36 – 9 – 63 = - 6x
b
- 36 = - 6x x= 6 2
2
t = (3 7 ) - x
α
2
c
= 63 – 36 = 27 t=
a
27 = 3 3 www.pintarmatematika.web.id - 7
a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos α 0 b = 8 cm ; c = 8 cm ; α = 45 ; x=a x2 = 82 + 82 – 2 . 8 . 8 cos 450
Volume Prisma = Luas alas x tinggi 1 = AB.BC. sin α x tinggi 2 1 = .4.6. sin 600 x 8 2 1 = 12 . √3 . 8 2 = 48 √3 cm3
X2 = 64 + 64 – 128 √2 = 128 - 64√2 x= 128 − 64√2 cm Jawabannya adalah B
Jawabannya adalah D UN2011
6.
Diketahui prisma segitiga tegak ABC.DEF. Panjang AB= 4 cm , BC = 6 cm, AC = 2√7 cm, dan CF = 8 cm. Volume prisma tersebut adalah ...... B. 96 √2 cm3 E. 48 √2 cm3
A. 96 √3 cm3 D. 48 √3 cm3
C. 96 cm3
UN2011 7. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. M adalah titik tengah EH. Jarak titik M ke AG adalah..... A. 4√6 cm B. 4√5 cm
C. 4√3 cm D. 4√2 cm
Jawab:
Jawab:
Trigonometri dan Dimensi Tiga F
Dimensi Tiga H E
8 D
E. 4 cm
G
F
M
E C
2√7 A
8
6
B
A
Volume Prisma = Luas alas x tinggi 1 Luas alas = luas segitiga = AB.BC. sin α 2 cari α dengan aturan cosinus. a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos α AC2 = AB2 + BC2 – 2 AB. BC cos α
=
α = 600
O
C
α
4
cos α =
D
.
( √ ) . .
=
=
24 1 = 48 2
8
B
EH = 8 cm EM = EH = . 8 = 4 cm AM = √ ! + " = √8 + 4 = √64 + 16 = √80 = 4√5 cm jarak titik M ke AG = OM = √!" − !$ AG = 8 √3 cm (diagonal ruang) AO = AG = 4 √3 cm = %(4√5 ) − (4√3 )
= √80 − 48 = √32 = 4√2 cm
Jawabannya adalah D www.pintarmatematika.web.id - 8
8.
UN2011 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 10 cm. Kosinus sudut antara garis GC dan bidang BDG adalah.... √6
A.
B. √3
√3
D.
√2
C.
E. √2
UN2012
9. Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 12 cm. Jika P titik tengah CG, maka jarak titik P dengan garis HB adalah .... A. 8√5 cm B. 6√5 cm
C. 6√3 cm D. 6√2 cm
E. 6 cm
Jawab: Jawab:
H
Dimensi Tiga H
E
G
E
G F
F O
α D 10
P
D
C
C A
12 cm
B
O A
10
P
B
G α
O H
α O
C
C
G
CG = 10 cm AC = 10 √2 cm
()() *+,+-
= %(5√2) + 10
= √50 + 100 = √150 = 5√6 cm 1
cos α = ()() .)-)/0 = 21 = 3 Jawabannya adalah A
√
=
√
=
√
√ √
= √6 = √6
B
ditanya OP =...? BH = 12√3 ; GP = CP = ½ . 12 = 6 HP2 = GH2 + GP2 = 122 + 62= 144 + 36 = 180 HP = √180 = 6 √5 = BP ∆ BHP adalah sama kaki HO = BO = ½ . 12√3 = 6 √3
OC = AC = 5 √2 cm OG = √$& + &'
O
OP = (56) − (5$) = %(6 √5) − (6 √3) =√180 − 108 = √72 = 6√2 cm Jawabannya D
www.pintarmatematika.web.id - 9
UN2012 10. Diketahui limas segi empat beraturan P.QRST. Dengan rusuk alas 3 cm dan rusuk tegak 3√2 cm. Tangen sudut antara garis PT dan alas QRST adalah .... A.
√3
D. 2 √2
B. √2 C. √3
E. 2 √3
Jawab: P
3√2 cm T
S O
Q
3 cm
R
Alas limas T
S O
O
T α Tan α =
O 7 8
Q
29
R
OP = √6; − $;
= 2:
panjang diagonal RT = panjang diagonal QS = 3 x √2 = 3√2
PT = 3√2 ; OT = ½ diagonal RT = ½ . 3√2 = √2 OP = %(3√2 ) − ( √2 ) = %18 − =%
= %
Tan α =
7 8
=
29 2:
<
=
3
√
<
√
= √6 =
√ √
= % = √3
Jawabannya C
www.pintarmatematika.web.id - 10
