2.1 Het differentiequotiënt

hoofdstuk 2: Differentiëren

2.1 Het differentiequotiënt Met een functie kun je de ontwikkeling van een grootheid beschrijven. Neem bijvoorbeeld een schoonspringer die van de tienmeterplank springt. Als je de luchtwrijving verwaarloost, kun je de ontwikkeling van de grootheid h (de positie van de schoonspringer in meter) beschrijven met de functie: h = f (t ) = 10 − 5t 2

Met deze functie, waarbij t de tijd in seconde is, kun je op ieder willekeurig tijdstip de positie van de schoonspringer berekenen. Stel dat je dit vanaf t = 0 doet voor iedere 0.2 seconde. Dan vind je voor t = 0 dat h = 10, voor t = 0.2 dat h = 9.8, enzovoort. Hieronder is dit grafisch weergegeven. h 10

8

Δh Δt

6

4

2

0

t 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Het zal vaak voorkomen dat je geïnteresseerd bent in de mate waarin de functiewaarde verandert op een zeker interval. Zo zegt in het voorbeeld van de schoonspringer de verandering van de positie in een bepaald tijdsinterval iets over de gemiddelde snelheid in dat interval. Je vindt hiervoor een waarde met het zogenaamde differentiequotiënt: Δh f (a + Δt ) − f (a ) = Δt Δt

39

Wiskunde in beweging

Dit quotiënt geeft de verandering van h op het interval Δt dat begint op het tijdstip t = a. In de figuur is het differentiequotiënt aangegeven voor het interval Δt = 0.2 dat begint op t = 0.6: Δh f (0.6 + 0.2) − f (0.6) 6.8 − 8.2 = = = −7 Δt 0.2 0.2

Deze snelheid van –7 m/s wordt geassocieerd met het tijdstip t = 0.6 s. Toch is het geen momentane snelheid (de exacte snelheid op het moment zelf) maar een benaderde snelheid, namelijk het gemiddelde op het interval van 0.2 seconde dat begint op t = 0.6.

oefeningen 2.1

1.

Beschouw het bovenstaande voorbeeld van de schoonspringer. Bereken met behulp van het differentiequotiënt de gemiddelde snelheid op de volgende intervallen:

a. b.

van t = 0.0 tot t = 0.2 van t = 0.0 tot t = 0.4

c. d.

van t = 0.8 tot t = 1.0 van t = 0.0 tot t = 1.0

2.2 Het differentiaalquotiënt In het voorbeeld van de schoonspringer zal naarmate je voor Δt een kleiner interval kiest, de gemiddelde snelheid die je op dat interval berekent, dichter bij de momentane snelheid liggen. Beschouw bijvoorbeeld de situatie waarbij de schoonspringer op het punt staat om van de duikplank te springen. Op dat moment (dus op het tijdstip t = 0), is zijn snelheid nul. Echter, bij oefening 1a van de vorige paragraaf vond je (als het 40


goed is) voor het eerste interval van 0.2 seconde een snelheid van –1 m/s. Wanneer je nu het interval verkleint tot Δt = 0.1, wordt het differentiequotiënt: Δh f (0.1) − f (0) 9.95 − 10 = = = −0.5 0.1 0.1 Δt

Bij een nog verdere verkleining van het interval tot Δt = 0.01, vind je: Δh f (0.01) − f (0) 9.9995 − 10 = = = −0.05 0.01 0.01 Δt

Dat begint er al steeds beter op te lijken. In het algemeen geldt dat wanneer je op de momentane snelheid uit wilt komen, je het interval tot nul moet laten naderen. Het interval wordt niet echt nul (dat zou problemen geven bij het differentiequotiënt), maar het wordt wel "oneindig" klein. De wiskundigen spreken hier van infinitesimaal. Als het interval waardoor gedeeld wordt tot nul nadert, gaat het differentiequotiënt over in het differentiaalquotiënt. De notatie is in dat geval iets anders: differentiequotiënt:

Δh Δt

differentiaalquotiënt

dh dt

Het differentiequotiënt wordt geassocieerd met een bepaalde waarde van t, namelijk de beginwaarde van het interval. Bij een interval ter grootte van 0.2, kun je dus voor iedere 0.2 seconde een differentiequotiënt bepalen. Nadert het interval tot nul, dan kun je voor iedere willekeurige waarde van t het differentiaalquotiënt uitrekenen. Je krijgt dan dus een nieuwe functie van t. Deze functie, die in het geval van de schoonspringer de snelheid voorstelt, heet de afgeleide functie of kortweg de afgeleide.

2.3 Analytisch differentiëren Het proces om de afgeleide van een functie te bepalen, heet differentiëren. Als je te maken hebt met een functievoorschrift f, kun je de afgeleide, aangeduid als f', analytisch bepalen. Dit kan geïllustreerd worden aan de hand van het voorbeeld van de schoonspringer waarbij voor de positie de volgende functie was gegeven:

h = f (t ) = 10 − 5t 2

41


Je kunt bij deze functie voor een willekeurig tijdstip t = a het differentiequotiënt uitrekenen. Daartoe moet je f(a) en f(a + Δt) bepalen: f (a ) = 10 − 5a 2

f (a + Δt ) = 10 − 5(a + Δt ) 2

en

= 10 − 5(a 2 + 2aΔt + (Δt ) 2 ) = 10 − 5a 2 − 10aΔt − 5(Δt ) 2

Het differentiequotiënt wordt hiermee: f ( a + Δt ) − f (a ) 10 − 5a 2 − 10aΔt − 5( Δt ) 2 − (10 − 5a 2 ) = Δt Δt 2 − 10aΔt − 5(Δt ) = Δt = −10a − 5Δt

Wanneer je nu het interval Δt tot nul laat naderen, valt de term –5Δt weg en vind je voor een tijdstip t = a een differentiaalquotiënt ter grootte van –10a. Dit geldt voor elk willekeurig tijdstip. Je kunt dus een nieuwe functie f' opstellen: v = f ' (t ) = −10t

Dit is de afgeleide van h = f(t). Met f’ kun je nu op ieder willekeurig tijdstip de snelheid berekenen. Zo is op t = 0.8 seconde de snelheid v = –8 m/s. Vergelijk dit resultaat met het antwoord bij oefening 1c van de vorige paragraaf. snellere manieren

Nu is het gelukkig zo dat je om de afgeleide te bepalen niet steeds de hierboven aangegeven weg hoeft te volgen. Bij het analytisch differentiëren staat je namelijk een groot aantal regels en technieken ter beschikking die het leven er een stuk aangenamer op maken. Zo gelden de volgende drie basisregels (waarbij a een constante is en n een willekeurig reëel getal):

42

basisregel 1:

f ( x) = a

→

f ' ( x) = 0

basisregel 2:

f ( x) = x n

→

f ' ( x) = nx n −1

basisregel 3:

f ( x) = a g ( x) →

f ' ( x) = a g ' ( x)


Bij optelling, vermenigvuldiging en deling van functies kun je gebruik maken van respectievelijk de som/verschilregel, de productregel en de quotiëntregel:

som/verschilregel:

f ( x) = u ( x) ± v( x)

→

productregel:

f ( x) = u ( x) ⋅ v( x) →

quotiëntregel:

f ( x) =

u ( x) v( x)

→

f ' ( x) = u ' ( x) ± v' ( x)

f ' ( x) = u ' ( x) ⋅ v( x) + u ( x) ⋅ v' ( x)

f ' ( x) =

u ' ( x) ⋅ v( x) − u ( x) ⋅ v' ( x) (v( x)) 2

De productregel geldt ook voor vermenigvuldigingen van drie of meer functies: f ( x) = u ( x) ⋅ v( x) ⋅ w( x) → f ' ( x) = u ' ( x) ⋅ v( x) ⋅ w( x) + u ( x) ⋅ v' ( x) ⋅ w( x) + u ( x) ⋅ v( x) ⋅ w' ( x)

Verder is voor een aantal "speciale" functies de afgeleide bekend. Voorbeelden van dergelijke functies (met bijbehorende afgeleiden) vind je hieronder.

f ( x) = e x

→

f ' ( x) = e x

f ( x) = a log x

→

f ( x) = ln x

→

f ( x) = sin x f ( x) = cos x

→ →

f ( x) = tan x

→

f ( x) = arcsin x

→

f ( x) = arccos x

→

f ( x) = arctan x

→

1 (a > 0, a ≠ 1) x ln a 1 f ' ( x) = x f ' ( x) = cos x f ' ( x) = − sin x 1 f ' ( x) = cos 2 x 1 f ' ( x) = 1− x2 −1 f ' ( x) = 1− x2 1 f ' ( x) = 1+ x2 f ' ( x) =

43


voorbeeld 2.3.1

1. a.

Bepaal de afgeleide van de volgende functies: f ( x) = x 3 Gebruik basisregel 2: f ' ( x) = 3 x 2

b.

f ( x) = x 1

Deze functie kun je schrijven als: f ( x) = x = x 2 1 −1 Gebruik nu basisregel 2: f ' ( x) = 12 x 2 = 2 x c.

f ( x) = 3 x 2

Gebruik basisregel 3. Neem g ( x) = x 2 Omdat: g ' ( x) = 2 x volgt: f ' ( x) = 3 ⋅ 2 x = 6 x d.

x2 f ( x) = 2x + 1 Neem u ( x) = x 2 en v( x) = 2 x + 1 en gebruik de quotiëntregel. Omdat: u ' ( x) = 2 x en v' ( x) = 2 volgt: 2 x ⋅ (2 x + 1) − x 2 ⋅ 2 4 x 2 + 2 x − 2 x 2 2 x 2 + 2 x f ' ( x) = = = (2 x + 1) 2 (2 x + 1) 2 (2 x + 1) 2

2.

De positie s (in meter) van een punt wordt voor t > 0 seconde gegeven door de functie1: s = f (t ) = 3t ln t Je kunt nu zowel de positie s als de snelheid v op ieder willekeurig tijdstip berekenen. Bijvoorbeeld voor t = 1 seconde vind je de positie door voor dat tijdstip de functiewaarde in te vullen: s = f (1) = 3 ⋅ 1 ⋅ ln 1 = 3 ⋅ 0 = 0 meter

1

In de praktijk kom je vaak tegen dat voor het functievoorschrift en de functiewaarde dezelfde letter wordt gebruikt. In plaats van s = f(t) = 3t ln t wordt dan geschreven: s = s(t) = 3t ln t. In het algemeen zal dit niet tot verwarring leiden.

44


Voor de snelheid moet je eerst de afgeleide bepalen. Neem1 u (t ) = 3t en w(t ) = ln t en gebruik de productregel: v = f ' (t ) = 3 ln t +

Voor t = 1:

3t = 3 ln t + 3 t

v = f ' (1) = 3 ln 1 + 3 = 3 m/s

kettingregel

Soms komt het voor dat een functie "verstrengeld" is in een andere functie. Dit is bijvoorbeeld het geval bij de functie k(x) = cos(2x). De functie f(x) = 2x is daar verstrengeld in de cosinusfunctie. Ook voor het differentiëren van een dergelijke functie is een handige regel beschikbaar, de kettingregel genaamd. Formeel ziet deze er als volgt uit:

k ( x) = g ( f ( x)) → k ' ( x) = g ' ( f ( x)) f ' ( x)

In woorden: bij een verstrengeling van functies bepaal je de afgeleide door eerst de "buitenste" functie te differentiëren en deze vervolgens te vermenigvuldigen met de afgeleide(n) van de meer naar binnen gelegen functie(s). De meervoudsvormen in de vorige zin geven al aan dat de verstrengeling zich niet tot twee functies hoeft te beperken. In de functie: k(x) = cos(2x)2 is de functie f(x) = 2x verstrengeld in de functie die haar tot de tweede macht verheft. Deze functie is op haar beurt weer verstrengeld in de cosinusfunctie. voorbeeld 2.3.2

1.

Bepaal de afgeleide van de volgende functies:

a.

k ( x) = cos(2 x) Herken: g ( f ( x)) = cos( f ( x)) , waarbij f ( x) = 2 x Omdat: g ' ( f ( x)) = − sin( f ( x)) en f ' ( x) = 2 volgt: k ' ( x) = g ' ( f ( x)) ⋅ f ' ( x) = − sin( f ( x)) ⋅ 2 = −2 sin( 2 x)

Hierboven staat dat eerst de buitenste functie (de cosinusfunctie) gedifferentieerd wordt en dat het resultaat daarvan vermenigvuldigd wordt met de afgeleide van 2x, de binnenste functie.

1

Hier worden u en w gebruikt in plaats van u en v omdat v binnen de context van dit vraagstuk de snelheid voorstelt.

45


b.

k ( x) = 3x 2 + 2 x − 1

Herken: g ( f ( x)) =

f ( x) , waarbij f ( x) = 3x 2 + 2 x − 1

Omdat: g ' ( f ( x)) = 12 ( f ( x))

− 12

en f ' ( x) = 6 x + 2 volgt:

k ' ( x) = g ' ( f ( x)) ⋅ f ' ( x) = 12 ( f ( x))

− 12

⋅ (6 x + 2)

= 12 (3 x 2 + 2 x − 1) =

c.

− 12

⋅ ( 6 x + 2)

(6 x + 2) 2 3x 2 + 2 x − 1

s (t ) = cos(2t ) 2 Herken hier drie functies: de buitenste is de cosinusfunctie, de middelste is de kwadrateerfunctie en de binnenste is 2t. De afgeleide van de buitenste, maal de afgeleide van de middelste, maal de afgeleide van de binnenste wordt dus: s ' (t ) = − sin( 2t ) 2 ⋅ 2(2t )1 ⋅ 2 = −8t sin( 2t ) 2

2.

De positie x van een bewegend punt (in meters) wordt gegeven door de functie: x = x(t ) = 6 t e − 2t

2

Je kunt met de afgeleide van deze functie de snelheid v op ieder willekeurig tijdstip berekenen. Om die afgeleide te bepalen moet je zowel de productregel als de kettingregel gebruiken: 2

2

2

v = x' (t ) = 6 ⋅ e − 2t + 6t ⋅ e − 2t ⋅ − 4t = e − 2t (6 − 24t 2 ) Je vindt nu voor bijvoorbeeld t = 0 en t = 2 respectievelijk: v = x' (0) = e 0 ⋅ (6 − 0) = 6 m/s v = x' (2) = e −8 (6 − 96) ≈ −0.03 m/s

46


oefeningen 2.3

1.

Bepaal de afgeleide van de volgende functies zoals dat aan het begin van deze paragraaf werd gedaan (dus door in het differentiequotiënt de noemer tot nul te laten naderen):

a.

h = f (t ) = 2t

b.

y = g ( x) = 3x 2 + x

2.

Bepaal de afgeleide van de onderstaande functies met de rekenregels voor differentiëren:

a.

f ( x) = −5 x 3 + 5

b. c.

g ( x) = (3 x + 2)( x 2 − 1) h(φ ) = 2φ cos(φ )

3.

Hieronder is voor drie punten (x, y en z) de positiefunctie (in meter) gegeven. Bereken voor elk van de punten de snelheid op t = 1 en t = 2 seconde.

a. b.

x(t ) = 3 t y (t ) = 2 ln t

c.

z (t ) = (2t − 3) /(t 3 + 7)

4.

Bepaal de afgeleide van de onderstaande functies:

a.

f ( x) = x 2 + x + 2

e.

r (φ ) = tan(2φ )

b.

g ( x) = ln( x 2 + 1)

f.

v(t ) = 3 (t 2 − 1)

c.

h(t ) = e t ln t

g.

d.

s (t ) = e ln t

y ( x) = 2 x sin(2 x) 2t − 3 x(t ) = (t + 7) 3

5.

Hieronder is voor twee voorwerpen de positie s (in meter) als functie van de tijd (in seconde) gegeven. Bereken voor elk van de voorwerpen de snelheid op t = 1 seconde.

a.

s (t ) = te 3t

b.

s (t ) = arctan 2t − 1

2

h.

2

47

2.1 Het differentiequotiënt

Recommend Documents