1
Matakuliah Hitung Keuangan (MKMAT4221)
3/21/2016
©Aswad 2016
Bilangan Asli (Natural); N
Bilangan Bulat (Integer); Z
Bilangan Rasional (Rational); Q
Bilangan Real (Real); R
Bilangan Kompleks (Complex); C
Bilangan Irasional (Irational)
3/21/2016
©Aswad 2016
2
Bilangan Asli: N = {1, 2, 3, ...} Bilangan Bulat: Z = {...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} Bilangan Rasional: Q = {a/b, b ≠ 0, a, b ∈ Z} Bilangan Irasional = bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bilangan rasional. Misalnya bentuk akar, dan bilangan desimal tak berulang. Bilangan Real: R = bilangan rasional + bilangan irasional
Bilangan kompleks: C = {a + bi|a, b ∈ R, i = −1}
3/21/2016
©Aswad 2016
3
Desimal berulang adalah bilangan rasional
Misalnya x = 0,136136136.... (1) Kedua ruas dikali 1000, diperoleh 1000x = 136,136136... (2) Pers.(2) – Pers.(1), diperoleh 1000x = 136,136136... x = 0,136136136.... 999x = 136 x = 999/136 ∈ Q
3/21/2016
©Aswad 2016
4
Pecahan (fractions) = bilangan rasional khusus. Pecahan = {a/b, b ≠ 0, a, b ∈ Z, dan b bukan faktor dari a} Pecahan
Bukan Pecahan
1/3, 7/5, 0,3, dst.
4/2, dst
Bilangan pecahan = beberapa bagian dari seluruh bagian. Pecahan biasa dinotasikan dengan “/” yang berarti juga menunjukkan operasi pembagian. Misalkan suatau pecahan a/b, a disebut numerator atau pembilang dan b biasa disebut dengan denominator atau penyebut. 3/21/2016
©Aswad 2016
5
=¼ 1 = pembilang = numerator, 4 = penyebut = denominator
= ...?
= ...?
= ...?
3/21/2016
©Aswad 2016
6
Contoh 1. a) Tuliskan pecahan yang ekivalen dengan masing-masing pecahan berikut: ½, 3/5, dan 7/8. b) Hongkong melaporkan penggunaan 1500 telepon genggam untuk 1000 orang. Berapa rata-rata penggunaan telpon per-orangnya? c) Perusahaan X melaporkan estimasi keuntungannya sekitar Rp.40juta untuk penjualan sebesar Rp.240juta. Berapa perbandingan keuntungan yang diperoleh terhadap harga penjualan pada perusahaan X tersebut? Jawaban: Jelas.
3/21/2016
©Aswad 2016
7
Review: Operasi Dasar Aljabar Perhatikan contoh berikut untuk memahami operasi dasar aljabar. 4 – 2 x 8 – 11 + 4 : 2 = 4 – (2 x 8) – 11 + (4 : 2) = 4 – 16 – 11 + 2 = -21
Untuk bilangan campuran, silahkan selesaikan Contoh 2.
3/21/2016
©Aswad 2016
8
Contoh 2 Tentukan hasil operasi alajabr berikut sampai ke bentuk yang paling sederhana.
a.
5 7
1 − 13
b.
3 3 + 4−7 21
c. 2 +
−
1 6
3 1+
5 2
Jawaban: Jelas.
3/21/2016
©Aswad 2016
9
Review: Perbandingan antar Bilangan Tanda “<“ dibaca “lebih kecil dari” atau “kurang dari” Tanda “>“ dibaca “lebih besar dari” Tanda “≤“ dibaca “lebih kecil dari atau sama dengan” Tanda “≥“ dibaca “lebih besar dari atau sama dengan”
3/21/2016
©Aswad 2016
10
Sifat-Sifat Ketidaksamaan Misalkan a, b, c, dan d Є R. 1. Jika a < b maka a + c < b + c dan a – c < b – c 2. Jika a < b dan b < c maka a < c 3. Jika a < b dan c > 0 maka ac < bc atau a/c < b/c 4. Jika a < b dan c < 0 maka ac > bc atau a/c > b/c 5. Jika a < b dan c < d maka a + c < b + d 6. Jika 0 < a < b maka 1/a > 1/b
3/21/2016
©Aswad 2016
11
1. Sederhanakan bentuk bilangan berikut: a.
1 2 − 3 5
b. 2 −
−
1 1 2 3
7 5− 3
−
1 5
2. Tuliskan masing-masing bentuk desimal berikut (jika memungkinkan) menjadi suatu bilangan rasional. a. 0,123123123... b. 0,21717171717... c. 3,999999.... 3. Tentukan nilai x dari ketidaksamaan 5x + 3 ≥ -2x – 4 3/21/2016
©Aswad 2016
12
Persamaan merupakan suatu kalimat matematika yang berisi pernyataan tentang dua kuantitas yang sama. Suatu persamaan matematika pada umumnya terdiri dari angka, huruf, dan simbol operasional matematika. Huruf atau karakter lain selain angka, pada umumnya disebut sebagai unknown (anu). Ruas kiri
Ruas kanan
10 = 2 x B angka
3/21/2016
sim.operasional
©Aswad 2016
Unknown
13
Contoh 3. Selesaikan setiap persamaan berikut:
a) 2A = 18
b)
K 8
−2=2
c) 30 = 5(2A + 3)
d)
3 8
=
21 N
Jawaban: Jelas.
3/21/2016
©Aswad 2016
14
Contoh 4. Wanda berencana untuk menabung 1/10 bagian dari keuntungannya tiap minggu. Apabila keuntungan tiap minggu yang dapat dikumpulkan Wanda sebesar Rp.350.000, berapakah jumlah yang dapat ditabung Wanda setelah empat minggu? Jawaban: Rp. 35.000
3/21/2016
©Aswad 2016
15
Contoh 5. Toko Kartu DIANA menghabiskan Rp.950ribu untuk membeli 600 lembar kartu dari suatu perusahaan kartu terkemuka dengan rincian Rp.1750 per-lembar untuk kartu dengan karakter lucu dan Rp.1500 per-lembar untuk jenis kartu dengan gambar pemandangan. Berapa banyak jumlah masing-masing kartu yang dapat dibeli oleh Toko kartu DIANA tersebut?
Jawaban: 200 lembar kartu dengan karakter lucu dan 400 lembar kartu dengan gambar pemandangan.
3/21/2016
©Aswad 2016
16
Contoh 6. Sebuah mobil dapat menempuh jarak 23 Km untuk setiap liter bensin. Berapa jarak yang dapat ditempuh mobil tersebut apabila tangkinya berisi 16 liter bensin?
Jawaban: 368 Km
3/21/2016
©Aswad 2016
17
1. Sebuah kontainer memuat 585 galon minyak. Apabila minyak tersebut dipindahkan ke kontainer kecil yang hanya mampu memuat 4,5 galon per kontainer, hitunglah berapa banyak kontainer yang dibutuhkan? 2. Sebuah toko memberikan diskon untuk gelas pastik sebesar Rp.3,5 per biji, dan Rp.4 per biji untuk gelas keramik . Apabila 400 gelas laku terjual dengan harga Rp.1.458 berapa jumlah masing-masing gelas yang laku terjual? Berapa harga sesungguhnya dari masing-maisng jenis gelas tersebut?
3/21/2016
©Aswad 2016
18
Persen atau biasa juga disebut prosen, notasinya “%”, mengandung arti per-seratus.
1 4
=
1 x 100% = 25% 4
Perhatikan bahwa ¼ dan 25% memiliki nilai yang sama meskipun keduanya ditulis dalam bentuk yang berbeda.
3/21/2016
©Aswad 2016
19
Contoh 7. Berdasarkan sensus penduduk, jumlah penduduk Amerika yang berusia di bawah 18 tahun sebesar 0,273. Berapa persen jumlah penduduk yang dimaksud? Jawaban: Jelas.
3/21/2016
©Aswad 2016
20
Contoh 8. 600 pelanggan berkunjung untuk membeli pizza pada sebuah waralaba Pizza. 20% dari pelanggan tersebut menggunakan kupon sale dan berhak mendapatkan potongan harga. Melihat respon pelanggan, Manager waralaba tersebut membuat aturan bahwa dia akan mengadakan sale di hari berikutnya apabila pelanggan yang menggunakan kupon pada hari ini lebih dari 100 orang. Berapa jumlah pelanggan yang menggunakan kupon di hari ini? Dan apakah Manager tersebut akan mengadakan sale yang sama di hari berikutnya? Jawaban: Jelas. 3/21/2016
©Aswad 2016
21
Sarah mengikuti program senam dan kesehatan di salah satu pusat kebugaran di kotanya. Dia telah membayar biaya bulanan sebesar Rp.900.000 dengan jadwal reguler 3x latihan dalam seminggu. Karena kesibukannya, Sarah hanya mampu ikut paling banyak 3x seminggu. Berdasarkan data di pusat kebugaran tsb, 8000 anggota yang terdaftar hanya mampu mengikuti latihan 5x dalam satu bulan. Hal ini membuat pusat kebugaran tsb menawarkan sistem pembayaran lain yakni pay-per-ivisit sebesar Rp.50.000 per datang. 3/21/2016
©Aswad 2016
22
1. Asumsikan 1 bulan = 4 minggu, paket pembayaran yang mana yang lebih menguntungkan Sarah? Berapa persen dana yang dapat dihemat? 2. Apabila Sarah ke pusat kebugaran 3 kali dalam seminggu, berapa persen banyaknya hari yang digunakan Sarah untuk latihan dalam satu tahun? Asumsikan 1 tahun = 365 hari. 3. Apabila Sarah ingin ke pusat kebugaran setiap hari, berapa banyak biaya yang harus dia keluarkan dalam satu bulan? Asumsikan 1 bulan = 30 hari.
3/21/2016
©Aswad 2016
23
Eskponen atau pangkat dari sebuah bilangan adalah suatu indeks yang menunjukkan banyaknya perkalian bilangan yang sama secara beruntun. Xn, dengan x Є R dan n Є Z+, berarti x harus dikalikan dengan x itu sendiri sebanyak n kali. Logaritma merupakan invers dari bilangan berpangkat atau eksponen. x = a log b dibaca: x adalah nilai logaritma dari b dengan basis a.
3/21/2016
©Aswad 2016
24
Sifat Bilangan Eksponen
3/21/2016
©Aswad 2016
25
Sifat Logaritma
3/21/2016
©Aswad 2016
26
Untuk menyelesaikan kasus logaritma dasar, silahkan hafalkan nilai masingmasing logaritma berikut:
log 2 = 0,3010 log 3 = 0,4771 log 5 = 0,6989 log 7 = 0,8451
Bentuk Pangkat 𝑎𝑥 = 𝑏
3/21/2016
Bentuk Akar 𝑥
𝑏=𝑎
©Aswad 2016
Bentuk Logaritma alog b =
x
28
1. Selesaikan bentuk pangkat berikut menjadi bentuk
2. Tentukan nilai x apabila:
yang paling sederhana.
a) x5 = 50.000
a) 45 x 43 x 4-6
b) 100x = 50.000
b) 53 : 34 : (-6)4
c) 35x-1 = 27x+3
c) 31/7 x 34/7 x 33/7
d) 3/21/2016
3
d)
(3x+2) log
27 = 5 log 3
64: 32/3 ©Aswad 2016
29
Deret = penjumlahan setiap suku dalam suatu barisan. 2, 4, 6, 8, ... = barisan; 2 + 4 + 6 + ... = deret Konsep deret ada dua yaitu deret hitung (deret aritmatika) dan deret ukur (deret geometri).
3/21/2016
©Aswad 2016
30
Deret Hitung (Deret Aritmatika)
Deret hitung (deret aritmetika) adalah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan susku-suku dari deret hitung tersebut dinamakan pembeda, notasinya b. Misalkan u1 = a, maka bentuk umum dari deret hitung adalah: a + (a + b) + ( a + 2b) + ... + (a + (n – 1)b) U1
3/21/2016
U2
U3
©Aswad 2016
Un
31
Formula dalam Deret Hitung (Deret Aritmatika)
Suku ke-n : Un = (a + (n – 1)b), dengan a = u1 dan b = un – un-1 Jumlah suku ke-n: 𝑛
𝑆𝑛 = 𝑖=1
3/21/2016
𝑛 𝑈𝑖 = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + ⋯ + 𝑈𝑛 = 2𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏 2
©Aswad 2016
32
Deret Ukur (Deret Geometri)
Deret ukur (deret geometri) adalah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan tertentu. Perbandingan antara dua suku selalu tetap Perbandingan tersebut disebut dengan rasio, notas: r. Misalkan u1 = a, maka bentuk umum dari deret hitung adalah: a + (ar) + (ar2) + (ar3) ... + (arn-1) U1
3/21/2016
U2
U3
U4
©Aswad 2016
Un
33
Formula dalam Deret Ukur (Deret Geometri)
Suku ke-n : Un = arn-1, dengan a = u1 dan r = un / un-1
Jumlah suku ke-n: 𝑛
𝑆𝑛 =
𝑈𝑖 = 𝑈1 + 𝑈2 + ⋯ + 𝑈𝑛 = 𝑖=1
3/21/2016
©Aswad 2016
34
1. Buktikan jumlah suku ke-n dari masing-masing deret aritmatika dan deret geometri. 2. Tentukan suku ke-16 dari setiap deret berikut: a. -8 + (-4) + 0 + 4 + ...
b. 16 + 8 + 4 + 2 + ...
3/21/2016
©Aswad 2016
35
[1]. Cheryl Cleaves & etc, 2012, Business Math: 9th
Edition. Prentice Hall: New Jersey
[2]. Muhammad Hajarul Aswad A, 2015. Modul: Matematika Ekonomi. Palopo. [3]. Ian Jacques, 2006, Mathematics for Economics and Business: 5th Edition. Prentice Hall: England.
3/21/2016
©Aswad 2016
36
