2014-es tanévben felmenő rendszerben bevezetésre kerülő helyi tanterv

2013/2014-es tanévben felmenő rendszerben bevezetésre kerülő helyi tanterv Matematika 1.

1.1.

Bevezetés

Kerettantervi bevezető Célok és feladatok A matematikatanítás feladata a matematika különböző arculatainak bemutatása. A matematika: kulturális örökség; gondolkodásmód; alkotó tevékenység, önálló tudomány; más tudományok segítője; a mindennapi élet része és a szakmák eszköze. A tanulók matematikai gondolkodásának fejlesztése során alapvető cél, hogy mindinkább ki tudják választani és alkalmazni tudják a természeti és társadalmi jelenségekhez illeszkedő modelleket, gondolkodásmódokat, módszereket és leírásokat. A matematikai nevelés sokoldalúan fejleszti a tanulók modellalkotó tevékenységét. Ugyanakkor fontos a modellek érvényességi körének és gyakorlati alkalmazhatóságának eldöntését segítő képességek fejlesztése. Egyaránt lényeges a reproduktív és a problémamegoldó, valamint az alkotó gondolkodásmód megismerése, elsajátítása, miközben nem szorulhat háttérbe az alapvető tevékenységek, műveletek automatizált végzése sem. A tanulási folyamat során fokozatosan megismertetjük a tanulókkal a matematika belső struktúráját (fogalmak, axiómák, tételek, bizonyítások elsajátítása). A fogalmak, összefüggések érlelése és a matematikai gondolkodásmód kialakítása egyre emelkedő szintű spirális felépítést indokol – az életkori, egyéni fejlődési és érdeklődési sajátosságoknak, a bonyolódó ismereteknek, a fejlődő absztrakciós képességnek megfelelően. Ez a felépítés egyaránt lehetővé teszi a lassabban haladókkal való foglalkozást és a tehetség kibontakoztatását. A matematika tanításának célja, hogy a tanulók rendelkezzenek az alkalmazás képességgével és készségével, és ismerjék fel a megismert fogalmak és tételek változatos felhasználási lehetőségeit. El kell érnünk, hogy a tanulók rendszeresen oldjanak meg önállóan feladatokat, aktívan vegyenek részt a tanítási, tanulási folyamatban. A feladatmegoldáson keresztül a tanulók képessé válhatnak a pontos, kitartó, fegyelmezett munkára. Kialakulhat bennük az önellenőrzés igénye, a sajátjukétól eltérő szemlélet tisztelete. A matematikatanítás, -tanulás folyamatában egyre nagyobb szerepet kell, hogy kapjon az önálló ismeretszerzés képességének fejlesztése, az elektronikus eszközök, internet, célszerű felhasználása, ezzel is támogatva a digitális kompetencia fejlesztését. Törekedni kell a tananyag egyes részleteinek csoportmunkában történő feldolgozására, a feladatmegoldások megbeszélésére, mert ezek a tevékenységek az együttműködési képesség, a kommunikációs képesség fejlesztésének, a reális önértékelés kialakulásának fontos területei. A pozitív hozzáállást nagyban segíthetik a matematika tartalmú játékok és a matematikához kapcsolódó érdekes problémák és feladványok. A matematika a kultúrtörténetnek is része. A NAT néhány matematikus ismeretét előírja minden tanuló számára: Thalész, Euler, Gauss, Pascal, Cantor, Erdős, Neumann. Célunk, hogy a matematika minden tanult nagyobb fejezetének egy-egy meghatározó alakját ismerjék meg tanítványaink. A matematika oktatása elképzelhetetlen állítások, tételek bizonyítása nélkül. Fontos, a bizonyítás iránti igény felkeltése, a logikai levezetés szükségességének megértetése. Ez a tanterv azzal a céllal készült, hogy a várhatóan heterogén előképzettséggel érkező tanítványainknak hiányosságait pótolva biztos alapokat adjunk a matematikai kultúra önálló alkalmazásához, felkészítsük diákjainkat a középszintű érettségire és megalapozzuk az emeltszintű érettsire történő felkészülést.

1

1.2.

Kerettantervhez való viszony Matematika tantárgyból a helyi tanterv az EMMI kerettanterv 51/2012. (XII.21.) EMMI rendelet 3. sz. melléklet 3.2.04 – Matematika a gimnáziumok 9-12. évfolyama számára és az EMMI kerettanterv 51/2012. (XII.21.) EMMI rendelet 6. sz. melléklet 6.2.03 – Matematika a szakközépiskolák 9-12. évfolyama számára kerettanterv alapján készült. 2

1.3.

1.4.

A tantárgy óraszámai Évfolyam 9. 10. 11. 12.a,b,c Gimn.oszt. 12.d Szakközépi. oszt.

Tantárgy Matematika Matematika Matematika Matematika Matematika

Óra/hét 4* 4 3 4 3

Óra/év 144 144 108 128 96

* osztálybontásban tanítható Az éves órakeretek felhasználása Az iskola feladatrendszere kiemelt célként jelölte meg a matematikai kompetenciák fejlesztését, ezért az egyes évfolyamokon a gimnáziumi osztályokban heti 4-4-3-4 órában a szakközépiskolai osztályokban heti 4-4-3-3 órában tervezzük a matematika oktatását, az első évfolyamon osztálybontásban. A kerettanterv által biztosított órakereten felüli órákat kilencedikben elsősorban felzárkóztatásra, gyakorlásra, a magasabb évfolyamokon a tananyag mélyítésére, gyakorlására kívánjuk fordítani. Az órák elosztása a témakörök nagyságával arányosan történt. A 11. évfolyamon a választható heti 1 órát, azaz évi 36 órát a tananyag megerősítésére, gyakorlására használjuk fel, a témakörök nagyságával arányos elosztásban. A 12. évfolyamon a választható heti 1 órát, azaz évi 32 órát az érettségire váló felkészítésre kívánjuk felhasználni. Tantervünk célja, hogy a középszintű érettségire készítsük fel tanítványainkat.

Tematikai egység

9. évfolyam 4 óra/hét

1. Gondolkodási és megismerési módszerek 2. Számtan, algebra 3. Összefüggések, függvények, sorozatok 4. Geometria

Órakeret 10. évfolyam 11. évfolyam 4 óra/hét

3 óra/hét

12. évfolyam Gimn.

Szki.

4 óra/hét

3 óra/hét

16

12

11

0

0

53

53

23

0

0

20

7

18

25

19

44

45

25

33

25

5. Valószínűség, statisztika Számonkérés Ismétlés/rendszere ző összefoglalás Összesen

0

16

20

0

0

5 6

5 6

5 6

8 62

7 45

144

144

108

128

96

A 11-12.évfolyamon a középszintű érettségire felkészítő fakultáció órakerete 3

Órakeret Tematikai egység 1. Gondolkodási és megismerési módszerek 2. Számtan, algebra 3. Összefüggések, függvények, sorozatok 4. Geometria 5. Valószínűség, statisztika Számonkérés Ismétlés/rendszere ző összefoglalás Összesen

1.5.

11. évfolyam

12. évfolyam

1 óra/hét

1 óra/hét

4

0

8

0

5

7

9 6

9 0

2 2

2 14

36

32

Tantárgy-pedagógiai alapvetések A középiskolai matematika tanítás legfontosabb céljának az alábbiakat tartjuk: 

 

  

A tanulók rendelkezzenek olyan képességgel és készséggel, hogy tudják alkalmazni matematikai tudásukat, és felismerjék, hogy a tanult fogalmakat és tételeket a mindennapi életben különböző területeken használhatjuk. A tanulóktól elvárjuk a szaknyelv pontos használatát, a jelölésrendszer helyes alkalmazását írásban és szóban egyaránt. A tanulók rendszeresen oldjanak meg önállóan feladatokat, aktívan vegyenek részt a tanítási, tanulási folyamatban. Képesek legyenek a pontos, kitartó, fegyelmezett munkára. Mindezek érdekében törekednünk kell a tanulók pozitív motiváltságának biztosítására, önállóságuk fejlesztésére. Nagy gondot fordítunk a kommunikáció, az érveken alapuló vitakészség fejlesztésére. Változatos példákkal, feladatokkal megmutatjuk tanítványainknak, hogy milyen előnyöket jelenthet a mindennapi életben, ha valaki jártas a problémamegoldásban. Segítjük a tanulók pályaválasztását azzal, hogy elmondjuk, milyen matematikai ismereteket alkalmaznak az egyes szakmák.





2.

2.1.

A tananyag egyes elemeinek a művészetekben való alkalmazása, nagy matematikusok életének, munkásságának megismerése, matematikatörténeti érdekességek segíthetik a matematikához való pozitív hozzáállást. Fontos a bizonyítás iránti igény felkeltése, logikai levezetés szükségességének megértetése.

A fejlesztés várt eredményeit, a kerettantervnek megfelelően, a kétéves ciklusok végén határoztuk meg. A matematika tantárgy kerettanterve évenkénti bontásban A kerettantervben a kiegészítések aláhúzással vannak jelölve. 4

Matematika 9. évfolyam Korosztályi sajátosságok A 9–10. évfolyamon, a szemlélet alapján, a tevékenységeken, felfedeztetéseken keresztül korábban kialakított fogalmak pontos definiálására, az összefüggések felismerésére, modellek készítésére kell helyezni a fő hangsúlyt. Szükséges a matematika alkalmazási területeinek széles körű bemutatása a matematikán belüli problémák megoldásában, illetve más tudományok segítőjeként. Ezekben az években erősödik a tanulók önismerete, és megfelelő képességfejlesztéssel és módszertani változatossággal mind több tanulóban kialakulhat a matematika, illetve a természettudomány valamely ága iránti érdeklődés. A megismerés módszerei között továbbra is fontos a gyakorlati tapasztalatszerzés, de az ismeretszerzés fő módszere a tapasztalatokból szerzett információk rendszerezése, igazolása, ellenőrzése, és az ezek alapján elsajátított ismeretanyag alkalmazása. Ezeken az évfolyamokon a fogalmak definiálásán, az összefüggések igazolásán, az ismeretek rendszerezésén, kapcsolataik feltárásán és az alkalmazási lehetőségek megismerésén van a hangsúly. A problémamegoldás megszerettetésének igen fontos eszközei lehetnek a matematikai alapú játékok. A matematikatanításnak ebben a szakaszában sok érdekes matematikatörténeti vonatkozással lehet közelebb hozni a tanulókhoz a tantárgyat. A témakör egyes elemeihez kapcsolódva mutassuk be néhány matematikus életútját. A geometria egyes területeinek (pl. szimmetriák) a művészetekben való alkalmazásait megjelenítve világossá tehetjük a tanulók előtt, hogy a matematika a kultúra elválaszthatatlan része. Változatos példákkal, feladatokkal mutathatunk rá arra, hogy milyen előnyöket jelenthet a mindennapi életben, ha valaki jól tud problémákat megoldani. Ez az életkor már alkalmassá teszi a tanulókat az önálló ismeretszerzésre. Legyen követelmény a könyvtár és az internet használata. Ebben az életkori szakaszban már elvárható a leírt szöveg pontos értelmezése, a , gondolatok szabatos kifejtése, érvelés és mások gondolatainak megértése. Tematikai egység/ Fejlesztési cél

1. Gondolkodási és megismerési módszerek

Órakeret 18 óra

Előzetes tudás

Példák halmazokra, geometriai alapfogalmak, alapszerkesztések. Halmazba rendezés több szempont alapján. Gyakorlat szövegek értelmezésében. A matematikai szakkifejezések adott szinthez illeszkedő ismerete.

A tematikai egység nevelésifejlesztési céljai

A valós számok halmazának ismerete. Kommunikáció, együttműködés. A matematika épülése elveinek bemutatása. Igaz és hamis állítások megkülönböztetése. Halmazok eszközjellegű használata. Gondolkodás; ismeretek rendszerezési képességének fejlesztése. Önfejlesztés,

önellenőrzés segítése, absztrakciós képesség, kombinációs készség fejlesztése. Ismeretek

Fejlesztési követelmények

Véges és végtelen halmazok. Végtelen számosság szemléletes fogalma. Matematikatörténet: Cantor.

Annak megértése, hogy csak a véges halmazok elemszáma adható meg természetes számmal.

Részhalmaz. Halmazműveletek: unió, metszet, különbség. Halmazok közötti viszonyok megjelenítése.

Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése. Szöveges megfogalmazások matematikai modellre fordítása. Elnevezések megtanulása, definíciókra való emlékezés.

Alaphalmaz és komplementer halmaz.

Annak tudatosítása, hogy alaphalmaz nélkül nincs komplementer halmaz. Halmaz közös elem nélküli halmazokra bontása jelentőségének belátása.

A megismert számhalmazok: természetes számok, egész számok, racionális számok. A számírás története.

A megismert számhalmazok áttekintése. Természetes számok, egész számok, racionális számok elhelyezése halmazábrában, számegyenesen.

Valós számok halmaza. Az intervallum fogalma, fajtái. Irracionális szám létezése.

Annak tudatosítása, hogy az intervallum végtelen halmaz.

Távolsággal megadott ponthalmazok, adott tulajdonságú ponthalmazok (kör, gömb, felező merőleges, szögfelező, középpárhuzamos).

Ponthalmazok megadása ábrával. Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése (például két feltétellel megadott ponthalmaz).

Logikai műveletek: „nem”, „és”, „vagy”, „ha…, akkor”. (Folyamatosan a 9–12. évfolyamon.)

Matematikai és más jellegű érvelésekben a logikai műveletek felfedezése, megértése, önálló alkalmazása. A köznyelvi kötőszavak és a matematikai logikában használt kifejezések jelentéstartalmának összevetése. A hétköznapi, nem tudományos szövegekben található matematikai információk felfedezése, rendezése a megadott

Kapcsolódási pontok

Magyar nyelv és irodalom: mondatok, szavak, hangok rendszerezése. Biológia-egészségtan: halmazműveletek alkalmazása a rendszertanban. Kémia: anyago csoportosítása. Biológia-egészségtan: élőlények osztályozása; besorolás közös rész nélküli halmazokba. Informatika: számábrázolás (problémamegoldás táblázatkezelővel).

Vizuális kultúra: a tér ábrázolása. Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata.

5

célnak megfelelően. Matematikai tartalmú (nem tudományos jellegű) szöveg értelmezése. Szöveges feladatok. (Folyamatos feladat a 9–12. évfolyamon: a szöveg alapján a megfelelő matematikai modell megalkotása.)

Szöveges feladatok értelmezése, megoldási terv készítése, a feladat megoldása és szöveg alapján történő ellenőrzése. Modellek alkotása a matematikán belül; matematikán kívüli problémák modellezése. Gondolatmenet lejegyzése (megoldási terv). Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése (a szövegben előforduló információk). Figyelem összpontosítása. Problémamegoldó gondolkodás és szövegfeldolgozás: az indukció és dedukció, a rendszerezés, a következtetés.

A „minden” és a „van olyan” helyes használata. Állítás és tagadása (folyamatos feladat a 9– 12. évfolyamokon). Nyitott mondatok igazsághalmaza, szemléltetés módjai.

A „minden” és a „van olyan” helyes használata. Halmazok eszközjellegű használata.

A matematikai bizonyítás. Kísérletezés, módszeres próbálkozás, sejtés, cáfolás (folyamatos feladat a 9–12. évfolyamokon). Matematikatörténet: Euklidesz szerepe a tudományosság kialakításában. Nevezetes sejtések (pl. ikerprím sejtés); hosszan „élt”, de megoldott sejtések (pl. Fermat-sejtés, négyszínsejtés).

Kísérletezés, módszeres próbálkozás, sejtés, cáfolás megkülönböztetése. Érvelés, vita. Érvek és ellenérvek. Ellenpélda szerepe. Mások gondolataival való vitába szállás és a kulturált vitatkozás. Megosztott figyelem; két, illetve több szempont (pl. a saját és a vitapartner szempontjának) egyidejű követése.

Állítás és megfordítása.

Az „akkor és csak akkor” használata. Feltétel és következmény felismerése a „Ha …, akkor …” típusú állítások esetében. Korábbi, illetve újabb (saját) állítások, tételek jelentésének elemzése.

„Akkor és csak akkor” típusú állítások (folyamatos feladat a 9– 12. évfolyamokon).

Bizonyítás.

Gondolatmenet tagolása. Rendszerezés (érvek logikus

Magyar nyelv és irodalom: szövegértés; információk azonosítása és összekapcsolása, a szöveg egységei közötti tartalmi megfelelés felismerése; a szöveg tartalmi elemei közötti kijelentés-érv, okokozati viszony felismerése és magyarázata. Technika, életvitel és gyakorlat: egészséges életmódra és a családi életre nevelés.

Magyar nyelv és irodalom: mások érvelésének összefoglalása és figyelembevétele.

Etika: a következtetés, érvelés, bizonyítás és cáfolat szabályainak

6

sorrendje). Következtetés megítélése helyessége szerint. A bizonyítás gondolatmenetére, bizonyítási módszerekre való emlékezés. Kidolgozott bizonyítás gondolatmenetének követése, megértése. Példák a hétköznapokból helyes és helytelenül megfogalmazott következtetésekre.

alkalmazása.

Unió, metszet, különbség, komplementer halmaz. Logikai művelet (NEM, Kulcsfogalmak/ ÉS, VAGY. „Ha …., akkor …”). Feltétel és következmény. Sejtés, fogalmak bizonyítás, megcáfolás. Tematikai egység/ Fejlesztési cél

2. Számtan, algebra

Órakeret 53 óra

Előzetes tudás

Számolás racionális számkörben. Prímszám, összetett szám, oszthatósági szabályok. Hatványjelölés. Egyszerű algebrai kifejezések ismerete, zárójel használata. Egyenlet, egyenlet megoldása. Egyszerű szöveg alapján egyenlet felírása (modell alkotása), megoldása, ellenőrzése.


Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban, tapasztalatszerzés. Problémakezelés és -megoldás. Algebrai kifejezések biztonságos ismerete, kezelése. Szabályok betartása, tanultak alkalmazása. Elsőfokú egyenletek, egyenletrendszerek megoldási módszerei, a megoldási módszer önálló kiválasztási képességének kialakítása. Gyakorlati problémák matematikai modelljének felállítása, a modell hatókörének vizsgálata, a kapott eredmény összevetése a valósággal; ellenőrzés fontossága. A problémához illő számítási mód kiválasztása, eredmény kerekítése a tartalomnak megfelelően. Alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotás adott feltételeknek megfelelően; átstrukturálás. Számológép használata.

Ismeretek


Számelmélet elemei. A tanult oszthatósági szabályok. Prímtényezős felbontás, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös. Relatív prímek. Matematikatörténet: Euklidész, Mersenne, Euler, Fermat; néhány számelméleti fogalom fejlődésének története (pl. tökéletes szám, ikerprím, prímek száma).

A tanult oszthatósági szabályok rendszerezése. Prímtényezős felbontás, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös meghatározása a felbontás segítségével. Egyszerű oszthatósági feladatok, szöveges feladatok megoldása. Gondolatmenet követése, egyszerű gondolatmenet megfordítása. Érvelés.

Hatványozás 0 és negatív egész kitevőre. Permanencia-elv.

Fogalmi általánosítás: a korábbi definíció kiterjesztése.

A hatványozás azonosságai.

Korábbi ismeretekre való emlékezés.


7

Számok abszolút értéke.

Egyenértékű definíció (távolsággal adott definícióval).

Különböző számrendszerek. A helyiértékes írásmód lényege. Kettes számrendszer. Matematikatörténet: Neumann János.

A különböző számrendszerek egyenértékűségének belátása.

Számok normálalakja. .

Az egyes fogalmak (távolság, idő, terület, tömeg, népesség, pénz, adat stb.) mennyiségi jellemzőinek kifejezése számokkal, mennyiségi következtetések. Számolás normálalakkal írásban és számológép segítségével. A természettudományokban és a társadalomban előforduló nagy és kis mennyiségekkel történő számolás

Nevezetes azonosságok: kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás. Számolási szabályok, zárójelek használata. Szöveges számítási feladatok a természettudományokból, a mindennapokból.

Régebbi ismeretek mozgósítása, összeillesztése, felhasználása.

(a ± b)2, (a ± b)3 polinom alakja, a 2  b 2 szorzat alakja. Azonosság fogalma.

Szöveges számítási feladatok megoldása a természettudományokból, a mindennapokból (pl. százalékszámítás: megtakarítás, kölcsön, áremelés, árleszállítás, bruttó ár és nettó ár, ÁFA, jövedelemadó, járulékok, élelmiszerek százalékos összetétele). A növekedés és csökkenés kifejezése százalékkal („mihez viszonyítunk?”). Gondolatmenet lejegyzése (megoldási terv). Számológép használata. Az értelmes kerekítés megtalálása.

Ismeretek tudatos memorizálása (azonosságok). Geometria és algebra

Fizika: hőmérséklet, elektromos töltés, áram, feszültség előjeles értelmezése. Informatika: kommunikáció ember és gép között, adattárolás egységei. Fizika; kémia; biológia-egészségtan: tér, idő, nagyságrendek – méretek és nagyságrendek becslése és számítása az atomok méreteitől az ismert világ méretéig; szennyezés, környezetvédelem.

Fizika; kémia; biológia-egészségtan: számítási feladatok. Informatika: problémamegoldás táblázatkezelővel. Földrajz: a pénzvilág működése. Technika, életvitel és gyakorlat: tudatos élelmiszer-választás, becslések, mérések, számítások. Társadalmi, állampolgári és gazdasági ismeretek: a család pénzügyei és gazdálkodása, vállalkozások. Fizika: számítási feladatok megoldása (pl. munkatétel).

8

összekapcsolása az azonosságok igazolásánál. Fizika; kémia; biológia-egészségtan: számítási feladatok.

Egyszerű feladatok polinomok, illetve algebrai törtek közötti műveletekre. Tanult azonosságok alkalmazása. Algebrai tört értelmezési tartománya. Algebrai kifejezések egyszerűbb alakra hozása.

Ismeretek felidézése, mozgósítása (pl. szorzattá alakítás, tört egyszerűsítése, bővítése, műveletek törtekkel).

Elsőfokú egyenletek algebrai megoldása

Emlékezés a korábbi ismeretekre

Törtes egyenletek

Értelmezési tartomány. Az ellenőrzés, szerepe, szükségessége.

Egyenlőtlenségek algebrai megoldása, törtes egyenlőtlenségek

Törtek előjelének vizsgálata

Egyes változók kifejezése fizikai, kémiai képletekből.

A képlet értelmének, jelentőségének belátása. Helyettesítési érték kiszámítása képlet alapján.

Fizika; kémia: képletek értelmezése..

Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása.

Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése. Különböző módszerek alkalmazása ugyanarra a problémára (behelyettesítő módszer, ellentett együtthatók módszere).

Fizika: kinematika, dinamika.

Elsőfokú egyenletre, egyenletrendszerre vezető szöveges feladatok.

A mindennapokhoz kapcsolódó problémák matematikai modelljének elkészítése (egyenlet, illetve egyenletrendszer felírása); a megoldás ellenőrzése, a gyakorlati feladat megoldásának összevetése a valósággal (lehetséges-e?).

Fizika: kinematika, dinamika.

Egy abszolútértéket tartalmazó egyenletek: x  c  ax  b , és egyenlőtlenségek.

Definíciókra való emlékezés.

Példák adott alaphalmazon ekvivalens és nem ekvivalens egyenletekre, átalakításokra. Alaphalmaz, értelmezési tartomány, megoldáshalmaz. Hamis gyök, gyökvesztés.

Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése.

Kulcsfogalmak/ fogalmak Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás

9

Kémia: százalékos keverési feladatok.

Halmazok eszközjellegű használata.

Hatvány. Normálalak. Egyenlet. Alaphalmaz, értelmezési tartomány. Azonosság. Ekvivalens egyenlet. Hamis gyök. Elsőfokú egyenlet. Egyenletrendszer. Egyenlőtlenség. 3. Összefüggések, függvények, sorozatok

Órakeret 18 óra

Halmazok. Hozzárendelés fogalma. Grafikonok készítése, olvasása.

Pontok ábrázolása koordináta-rendszerben. A tematikai egység nevelésifejlesztési céljai

Összefüggések, folyamatok megjelenítése matematikai formában (függvény-modell), vizsgálat a grafikon alapján. A vizsgálat szempontjainak kialakítása. Függvénytranszformációk algebrai és geometriai megjelenítése.

Ismeretek A függvény megadása, elemi tulajdonságai.

A lineáris függvény, lineáris kapcsolatok. A lineáris függvények tulajdonságai. Az egyenes arányosság. A lineáris függvény grafikonjának meredeksége, ennek jelentése lineáris kapcsolatokban.

Az abszolútérték-függvény. Az x  ax  b függvény


Kapcsolódási pontok Fizika; kémia; Ismeretek tudatos memorizálása biológia-egészségtan: (függvénytani alapfogalmak). időben lejátszódó Alapfogalmak megértése, konkrét függvények elemzése a grafikonjuk folyamatok leírása, elemzése. alapján. Időben lejátszódó valós folyamatok Informatika: tantárgyi elemzése grafikon alapján. szimulációs Számítógép használata a programok használata, függvények vizsgálatára. adatkezelés táblázatkezelővel. Fizika: időben lineáris Táblázatok készítése adott folyamatok vizsgálata, szabálynak, összefüggésnek a változás sebessége. megfelelően. Időben lejátszódó történések megfigyelése, a változás megfogalmazása. Modellek alkotása: lineáris kapcsolatok felfedezése a hétköznapokban (pl. egységár, a változás sebessége). Lineáris függvény ábrázolása paraméterei alapján. Számítógép használata a lineáris folyamat megjelenítésében.

Kémia: egyenes arányosság. Informatika: táblázatkezelés.

Ismeretek felidézése (függvénytulajdonságok).

grafikonja, tulajdonságai ( a  0 ). A négyzetgyökfüggvény. Az x  x ( x  0 ) függvény grafikonja, tulajdonságai.


Fizika: matematikai inga lengésideje.

A fordított arányosság a függvénye. x  ( ax  0 ) x grafikonja, tulajdonságai.


Fizika: ideális gáz, izoterma.

Függvények alkalmazása.

Valós folyamatok függvénymodelljének megalkotása. Informatika: tantárgyi A folyamat elemzése a függvény szimulációs vizsgálatával, az eredmény összevetése a valósággal. A modell programok használata. érvényességének vizsgálata. Számítógép alkalmazása (pl.

Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata. Fizika: kinematika.

10

függvényrajzoló program). Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése. Egyenlet, egyenlőtlenség, egyenletrendszer grafikus megoldása.

Egy adott probléma megoldása két különböző módszerrel. Az algebrai és a grafikus módszer összevetése. Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése. Számítógépes program használata.

Fizika; kémia; biológia-egészségtan; földrajz: számítási feladatok.

Az x  ax 2  bx  c (a  0) másodfokú függvény ábrázolása és tulajdonságai. Függvénytranszformációk áttekintése az x  a( x  u) 2  v alak segítségével.

Ismeretek felidézése (algebrai ismeretek és függvénytulajdonságok ismerete). Számítógép használata.

Fizika: egyenletesen gyorsuló mozgás kinematikája.

Kulcsfogalmak / fogalmak

Függvény. Valós függvény. Értelmezési tartomány, értékkészlet, zérushely, növekedés, fogyás, szélsőértékhely, szélsőérték. Alapfüggvény. Függvénytranszformáció. Lineáris kapcsolat. Meredekség. Grafikus megoldás.

Tematikai egység/ Fejlesztési cél

Előzetes tudás


Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata.

4. Geometria

Órakeret 44 óra

Térelemek, illeszkedés. Sokszögek, háromszögek alaptulajdonságai, négyszögek csoportosítása; speciális háromszögek és négyszögek elnevezése, felismerése, alaptulajdonságaik. Alapszerkesztések, háromszög szerkesztése alapadatokból. Háromszög köré írt kör és beírt kör szerkesztése. Háromszögek egybevágósága. Kör és gömb, hasábok, hengerek és gúlák felismerése, alaptulajdonságaik. A Pitagorasz-tétel ismerete. Tájékozódás a térben. Számítások síkban és térben. A geometriai transzformációk alkalmazása problémamegoldásban. A szimmetria szerepének felismerése a matematikában, a valóságban. A szükséges és az elégséges feltétel felismerése. Összetett számítási probléma lebontása, számítási terv készítése (megfelelő részlet kiválasztása, a részletszámítások logikus sorrendbe illesztése). Valós probléma geometriai modelljének megalkotása, számítások a modell alapján, az eredmények összevetése a valósággal; a valóságos tárgyak formájának és a tanult formáknak az összevetése, gyakorlati számítások (henger, hasáb, kúp, gúla, gömb). Korábbi ismeretek mozgósítása. Számológép, számítógép használata.

Ismeretek


Geometriai alapfogalmak. Térelemek, távolságok és szögek értelmezése. (Folyamatosan a 9-10. évfolyamon.)

Idealizáló absztrakció: pont, egyenes, sík, síkidomok, testek. Vázlat készítése.

A háromszögoldalai és szögei.

Korábbi ismeretek kiegészítése, alkalmazása.

A háromszög nevezetes vonalai,

A definíciók és tételek pontos


Informatika: tantárgyi szimulációs

11

körei. Oldalfelező merőlegesek, belső szögfelezők, súlyvonalak, magasságvonalak, középvonalak tulajdonságai. Körülírt kör, beírt kör.

ismerete, alkalmazása.

programok használata (geometriai szerkesztőprogram).

Matematikatörténet: Euleregyenes, Feuerbach-kör bemutatása (interaktív szerkesztőprogrammal, bizonyítás nélkül). Konvex sokszögek általános tulajdonságai. Átlók száma, belső szögek összege. Szabályos sokszög belső szöge.

Fogalmak alkotása specializálással: konvex sokszög, szabályos sokszög.

Kör és részei, kör és egyenes. Ív, húr, körcikk, körszelet. Szelő, érintő.

Fogalmak pontos ismerete.

A körív hossza. Egyenes arányosság a középponti szög és a hozzá tartozó körív hossza között (szemlélet alapján).

Együttváltozó mennyiségek összetartozó adatpárjainak vizsgálata.

A körcikk területe. Egyenes arányosság a középponti szög és a hozzá tartozó körcikk területe között .

Együttváltozó mennyiségek összetartozó adatpárjainak vizsgálata.

A szög mérése. A szög ívmértéke.

Mérés, mérési elvek megismerése. Mértékegység-választás, mérőszám.

12

Fizika: körmozgás, a körpályán mozgó test sebessége. Vizuális kultúra: építészeti stílusok. Fizika: körmozgás sebessége, szögsebessége. Földrajz: távolság a Föld két pontja között.

Fizika: szögsebesség, körmozgás, rezgőmozgás. Földrajz: tájékozódás a földgömbön; hosszúsági és szélességi körök, helymeghatározás.

Thalész tétele és alkalmazásai A matematika mint kulturális örökség. Matematikatörténet: Thalész

Ismeretek tudatos memorizálása. Állítás és megfordításának gyakorlása.

Pitagorasz-tétel alkalmazásai. (Koordináta-geometria előkészítése.) Matematikatörténet: Pitagorasz

Ismeretek mozgósítása, rendszerezése problémamegoldás érdekében. Állítás és megfordításának gyakorlása.

Fizika: vektor felbontása merőleges összetevőkre.

A tengelyes és a középpontos tükrözés, az eltolás, a pont körüli

A megmaradó és a változó tulajdonságok tudatosítása.

Fizika: elmozdulásvektor, forgások.

elforgatás. A transzformációk tulajdonságai. A geometriai vektorfogalom.

Egybevágóság, szimmetria. Háromszögek egybevágóságának alapesetei.

Földrajz: bolygók tengely körüli forgása, keringés a Nap körül. Szimmetria felismerése a matematikában, a művészetekben, a környezetünkben található tárgyakban.

Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata. Vizuális kultúra: kifejezés, képzőművészet; művészettörténeti stíluskorszakok.

Szimmetrikus négyszögek. Négyszögek csoportosítása szimmetriáik szerint. Szabályos sokszögek.

Fogalmak alkotása specializálással.

Egyszerű szerkesztési feladatok.

Szerkesztési eljárások gyakorlása. Szerkesztési terv készítése, ellenőrzés. Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése. Pontos, esztétikus munkára nevelés.

A paralelogramma, a háromszög és a trapéz középvonala.

A középpontos tükrözés alkalmazása.

Vektorok összege, két vektor különbsége.

Műveleti analógiák (összeadás, kivonás).

Vektor szorzása valós számmal.

Új műveletfogalom kialakítása és gyakorlása.

Vektorok felbontása összetevőkre. Ismeretek mozgósítása új helyzetben. Emlékezés korábbi információkra. A Pitagorasz-tétel alkalmazása a derékszögű háromszög hiányzó adatainak kiszámítására. Kulcsfogalmak/ fogalmak

Biológia-egészségtan: az emberi test síkjai, szimmetriája. Vizuális kultúra: kifejezés, képzőművészet; művészettörténeti stíluskorszakok. Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata (geometriai szerkesztőprogram).

Fizika: erők összege, két erő különbsége, vektormennyiség változása (pl. sebesség-változás). Fizika: Newton II. törvénye. Fizika: eredő erő, eredő összetevőkre bontása.

Fizika: erővektor A valós problémák matematikai felbontása derékszögű (geometriai) modelljének összetevőkre megalkotása, a problémák önálló megoldása. Tér, sík, egyenes, pont. Sokszög. Háromszög, négyszög, speciáls háromszög, speciális négyszög. Belső szög, külső szög, átló. Kerület, terület. Egybevágó. Szimmetria. Arány. Vektor, vektorművelet.

13

14

2.2.

Matematika 10. évfolyam Tematikai egység/ Fejlesztési cél


Órakeret 12 óra

Előzetes tudás

Gyakorlat szövegek értelmezésében. A matematikai szakkifejezések adott szinthez illeszkedő ismerete.


Kommunikáció, együttműködés. A matematika épülése elveinek bemutatása. A matematikai tételek, állítások szerkezete. Igaz és hamis állítások megkülönböztetése. Gondolkodás; ismeretek rendszerezési képességének fejlesztése. Önfejlesztés, önellenőrzés segítése, absztrakciós képesség, kombinációs készség fejlesztése.

Ismeretek


Logikai műveletek: „nem”, „és”, „vagy”, „ha…, akkor”. (Folyamatosan a 9–12. évfolyamon.)

Matematikai és más jellegű érvelésekben a logikai műveletek felfedezése, megértése, önálló alkalmazása. A köznyelvi kötőszavak és a matematikai logikában használt kifejezések jelentéstartalmának összevetése. A hétköznapi, nem tudományos szövegekben található matematikai információk felfedezése, rendezése a megadott célnak megfelelően. Matematikai tartalmú (nem tudományos jellegű) szöveg értelmezése.

Szöveges feladatok. (Folyamatos feladat a 9–12. évfolyamon: a szöveg alapján a megfelelő matematikai modell megalkotása.)

Szöveges feladatok értelmezése, megoldási terv készítése, a feladat megoldása és szöveg alapján történő ellenőrzése. Modellek alkotása a matematikán belül; matematikán kívüli problémák modellezése. Gondolatmenet lejegyzése (megoldási terv). Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése (a szövegben előforduló információk). Figyelem összpontosítása. Problémamegoldó gondolkodás és szövegfeldolgozás: az indukció és dedukció, a rendszerezés, a következtetés.

A „minden” és a „van olyan” helyes használata. Nyitott mondatok igazsághalmaza, szemléltetés

A „minden” és a „van olyan” helyes használata. Halmazok eszközjellegű használata.


Magyar nyelv és irodalom: szövegértés; információk azonosítása és összekapcsolása, a szöveg egységei közötti tartalmi megfelelés felismerése; a szöveg tartalmi elemei közötti kijelentés-érv, okokozati viszony felismerése és magyarázata. Technika, életvitel és gyakorlat: egészséges életmódra és a családi életre nevelés.

15

módjai. Magyar nyelv és irodalom: mások érvelésének összefoglalása és figyelembevétele.

A matematikai bizonyítás. Kísérletezés, módszeres próbálkozás, sejtés, cáfolás (folyamatos feladat a 9–12. évfolyamokon). Matematikatörténet: Euklidesz szerepe a tudományosság kialakításában. Nevezetes sejtések (pl. ikerprím sejtés); hosszan „élt”, de megoldott sejtések (pl. Fermat-sejtés, négyszínsejtés).

Kísérletezés, módszeres próbálkozás, sejtés, cáfolás megkülönböztetése. Érvelés, vita. Érvek és ellenérvek. Ellenpélda szerepe. Mások gondolataival való vitába szállás és a kulturált vitatkozás. Megosztott figyelem; két, illetve több szempont (pl. a saját és a vitapartner szempontjának) egyidejű követése.

Állítás és megfordítása. Szükséges feltétel, elegendő feltétel. „Akkor és csak akkor” típusú állítások.

Az „akkor és csak akkor” használata. Feltétel és következmény felismerése a „Ha …, akkor …” típusú állítások esetében. Korábbi, illetve újabb (saját) állítások, tételek jelentésének elemzése.

Bizonyítás.

Gondolatmenet tagolása. Rendszerezés (érvek logikus sorrendje). Következtetés megítélése helyessége szerint. A bizonyítás gondolatmenetére, bizonyítási módszerekre való emlékezés. Kidolgozott bizonyítás gondolatmenetének követése, megértése. Példák a hétköznapokból helyes és helytelenül megfogalmazott következtetésekre.

Etika: a következtetés, érvelés, bizonyítás és cáfolat szabályainak alkalmazása.

Egyszerű kombinatorikai feladatok: leszámlálás, sorbarendezés, gyakorlati problémák. Kombinatorika a mindennapokban.

Rendszerezés: az esetek összeszámlálásánál minden esetet meg kell találni, de minden esetet csak egyszer lehet számításba venni. Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése. Esetfelsorolások, diszkusszió (pl. van-e ismétlődés). Sikertelen megoldási kísérlet után újjal való próbálkozás; a sikertelenség okának feltárása (pl. minden feltételre figyelt-e).

Informatika: problémamegoldás táblázatkezelővel.

A gráffal kapcsolatos

Gráfok alkalmazása

16

Technika, életvitel és gyakorlat: hétköznapi problémák megoldása a kombinatorika eszközeivel. Magyar nyelv és irodalom: periodicitás, ismétlődés és kombinatorika mint szervezőelv poetizált szövegekben. Kémia: molekulák térszerkezete.

alapfogalmak (csúcs, él, fokszám). Egyszerű hálózat szemléltetése.

problémamegoldásban. Számítógépek egy munkahelyen, elektromos hálózat a lakásban, település úthálózata stb. szemléltetése gráffal. Gondolatmenet megjelenítése gráffal.

Informatika: problémamegoldás informatikai eszközökkel és módszerekkel, hálózatok. Történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: pl. családfa. Technika, életvitel és gyakorlat: közlekedés.

Gráf csúcsa, éle, csúcs fokszáma. Feltétel és következmény. Szükséges Kulcsfogalmak/ feltétel, elegendő feltétel. Sejtés, bizonyítás, megcáfolás. Ellentmondás. fogalmak Faktoriális. Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás


Ismeretek A négyzetgyök definíciója. A négyzetgyök azonosságai.


Órakeret 53 óra

Egész kitevőjű hatvány, számolás algebrai kifejezésekkel. Egyenlet, egyenlet megoldása,egyenlőtlenség. Egyszerű szöveg alapján egyenlet felírása (modell alkotása), megoldása, ellenőrzése. Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban, tapasztalatszerzés. Problémakezelés és -megoldás. Algebrai kifejezések biztonságos ismerete, kezelése. Szabályok betartása, tanultak alkalmazása. Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek megoldási módszerei, a megoldási módszer önálló kiválasztási képességének kialakítása. Gyakorlati problémák matematikai modelljének felállítása, a modell hatókörének vizsgálata, a kapott eredmény összevetése a valósággal; ellenőrzés fontossága. A problémához illő számítási mód kiválasztása, eredmény kerekítése a tartalomnak megfelelően. Alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotás adott feltételeknek megfelelően; átstrukturálás. Számológép használata. Fejlesztési követelmények Számológép használata. A négyzetgyök azonosságainak használata konkrét esetekben. Bevitel a gyökjel alá, kivitel a gyökjel alól, nevező gyöktelenítése.

Kapcsolódási pontok Fizika: fonálinga lengésideje, rezgésidő számítása.

A másodfokú egyenlet Különböző algebrai módszerek Fizika: egyenletesen gyorsuló megoldása, a alkalmazása ugyanarra a mozgás kinematikája. megoldóképlet. problémára (szorzattá alakítás, teljes négyzetté kiegészítés). Ismeretek tudatos memorizálása (rendezett másodfokú egyenlet és megoldóképlet

17

összekapcsolódása). A megoldóképlet biztos használata. Másodfokú egyenletre vezető gyakorlati problémák, szöveges feladatok.

Matematikai modell (másodfokú egyenlet) megalkotása a szöveg alapján. A megoldás ellenőrzése, gyakorlati feladat megoldásának összevetése a valósággal (lehetséges-e?).

Gyöktényezős alak. Másodfokú polinom szorzattá alakítása.

Algebrai ismeretek alkalmazása.

Gyökök és együtthatók összefüggései.

Önellenőrzés: egyenlet megoldásának ellenőrzése.

Néhány egyszerű magasabb fokú egyenlet megoldása. Matematikatörténet: részletek a harmad- és ötödfokú egyenlet megoldásának történetéből.

Annak belátása, hogy vannak a matematikában megoldhatatlan problémák.

Egyszerű négyzetgyökös egyenletek. ax  b  cx  d .

Megoldások ellenőrzése.

Másodfokú egyenletrendszer. A behelyettesítő módszer.

Egyszerű másodfokú egyenletrendszer megoldása. A behelyettesítő módszerrel is megoldható feladatok. Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése.

Egyszerű másodfokú egyenlőtlenségek. ax 2  bx  c  0 (vagy > 0) alakra visszavezethető egyenlőtlenségek ( a  0 ).

Egyszerű másodfokú egyenlőtlenség megoldása. Másodfokú függvény eszközjellegű használata.

Példák adott alaphalmazon ekvivalens és nem ekvivalens egyenletekre, átalakításokra. Alaphalmaz, értelmezési tartomány,

Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése. Halmazok eszközjellegű használata.

Fizika; kémia: számítási feladatok.

18

Fizika: például egyenletesen gyorsuló mozgással kapcsolatos kinematikai feladat.


megoldáshalmaz. Hamis gyök, gyökvesztés. Összefüggés két pozitív szám számtani és mértani közepe között. Gyakorlati példa minimum és maximum probléma megoldására.

Geometria és algebra összekapcsolása az azonosság igazolásánál. Gondolatmenet megfordítása.

Fizika: minimum- és maximumproblémák.

Kulcsfogalmak/ Másodfokú egyenlet, diszkrimináns, gyöktényezős alak. Egyenletrendszer. Egyenlőtlenség. Számtani közép, mértani közép. Szélsőérték. fogalmak Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás

3. Összefüggések, függvények, sorozatok

Órakeret 7 óra

Halmazok. Hozzárendelés fogalma. Grafikonok készítése, olvasása. Pontok ábrázolása koordináta-rendszerben.

Összefüggések, folyamatok megjelenítése matematikai formában (függvényA tematikai egység nevelési- modell), vizsgálat a grafikon alapján. A vizsgálat szempontjainak kialakítása. fejlesztési céljai Függvénytranszformációk algebrai és geometriai megjelenítése. Ismeretek



Az x  ax 2  bx  c (a  0) Ismeretek felidézése (algebrai másodfokú függvény ábrázolása és tulajdonságai. ismeretek és függvénytulajdonságok ismerete). Számítógép használata. Függvények alkalmazása Függvénytulajdonságok tudatos másodfokú és gyökös alkalmazása egyenletek, egyenlőtlenségek megoldására; másodfokú függvényre vezető szélsőérték-feladatok Kulcsfogalmak / fogalmak Tematikai egység/ Fejlesztési cél

Grafikus megoldás. Szélsőérték.

4. Geometria

Órakeret 45 óra

Térelemek, illeszkedés. Sokszögek, háromszögek alaptulajdonságai, négyszögek csoportosítása; speciális háromszögek és négyszögek elnevezése, felismerése, alaptulajdonságaik. Alapszerkesztések, háromszög szerkesztése Előzetes tudás alapadatokból. Háromszög köré írt kör és beírt kör szerkesztése. Háromszögek egybevágósága. Kör és gömb, hasábok, hengerek és gúlák felismerése, alaptulajdonságaik. A Pitagorasz-tétel ismerete. A tematikai Tájékozódás a térben. Számítások síkban és térben. A geometriai egység nevelési- transzformációk alkalmazása problémamegoldásban. A szükséges és az fejlesztési céljai elégséges feltétel felismerése. Tájékozódás valóságos viszonyokról térkép és

19

egyéb vázlatok alapján. Összetett számítási probléma lebontása, számítási terv készítése (megfelelő részlet kiválasztása, a részletszámítások logikus sorrendbe illesztése). Valós probléma geometriai modelljének megalkotása, számítások a modell alapján, az eredmények összevetése a valósággal. A valóságos tárgyak formájának és a tanult formáknak az összevetése, gyakorlati számítások (henger, hasáb, kúp, gúla, gömb). Korábbi ismeretek mozgósítása. Számológép, számítógép használata. Informatika: tantárgyi Középpontos hasonlóság, A megmaradó és a változó szimulációs programok hasonlóság. Arányos tulajdonságok tudatosítása. használata (geometriai osztás. szerkesztőprogram). A hasonlósági transzformáció.

20

Hasonló alakzatok.

A megmaradó és a változó tulajdonságok tudatosítása: a megfelelő szakaszok hosszának aránya állandó, a megfelelő szögek egyenlők, a kerület, a terület, a felszín és a térfogat változik.

A háromszögek hasonlóságának alapesetei.

Szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése. Ismeretek tudatos memorizálása.

A hasonlóság alkalmazásai. Háromszög súlyvonalai, súlypontja, hasonló síkidomok kerületének, területének aránya.

Új ismeretek matematikai alkalmazása.

Magasságtétel, befogótétel a derékszögű háromszögben. Két pozitív szám mértani közepe.

Ismeretek tudatos memorizálása, alkalmazása szakaszok hosszának számolásánál, szakaszok szerkesztésénél.

A hasonlóság gyakorlati alkalmazásai. Távolság, szög, terület a tervrajzon, térképen.

Modellek alkotása a matematikán belül; matematikán kívüli problémák modellezése: geometriai modell.

Földrajz: térképkészítés, térképolvasás.

Hasonló testek felszínének, térfogatának aránya.

Annak tudatosítása, hogy nem egyformán változik egy test felszíne és térfogata, ha kicsinyítjük vagy nagyítjuk.

Vektor szorzása valós számmal.

Új műveletfogalom kialakítása és gyakorlása.

Biológia-egészségtan: példák arra, amikor adott térfogathoz nagy felület (pl. fák levelei) tartozik. Fizika: Newton II. törvénye.

Vektorok felbontása összetevőkre.

Ismeretek mozgósítása új helyzetben. Emlékezés korábbi információkra.

Fizika: eredő erő, eredő összetevőkre bontása.

Bázisvektorok,

Elnevezések, jelek és egyéb

Fizika: helymeghatározás, erővektor felbontása

Fizika: súlypont, tömegközéppont. Vizuális kultúra: összetett arányviszonyok érzékeltetése, formarend, az aranymetszés megjelenése a természetben, alkalmazása a művészetekben.

vektorkoordináták.

megállapodások megjegyzése. Emlékezés definíciókra.

összetevőkre. Fizika: erővektor felbontása derékszögű összetevőkre.

Hegyesszög szinusza, koszinusza, tangense és kotangense. Nevezetes szögek szögfüggvényei. Összefüggések egy hegyesszög szögfüggvényi között. Pótszögek szögfüggvényei. A Pitagorasz-tétel és a hegyesszög szögfüggvényeinek alkalmazása a derékszögű háromszög hiányzó adatainak kiszámítására. Távolságok és szögek számítása gyakorlati feladatokban, síkban és térben. Kulcsfogalma k/ fogalmak

21 A valós problémák matematikai (geometriai) modelljének megalkotása, a problémák önálló megoldása.

Fizika: erővektor felbontása derékszögű összetevőkre.

Hasonló. Arány. Vektor, vektorművelet. Szinusz, koszinusz, tangens, kotangens.

Tematikai egység/ Fejlesztési cél

5. Valószínűség, statisztika

Órakeret 16 óra

Előzetes tudás

Valószínűségi kísérletek elvégzése, elemzése. Táblázatok, diagramok olvasása. Százalékszámítás.


A valószínűség fogalmának mélyítése: ismeretek rendszerezése, tapasztalatszerzés újabb kísérletekkel, a kísérletek kiértékelése (relatív gyakoriság, eloszlás), következtetések. Diagram, vonaldiagram, oszlopdiagram, kördiagram készítése, olvasása. Táblázat értelmezése, készítése. Számítógép használata az adatok rendezésében, értékelésében, ábrázolásában.

Ismeretek



Statisztikai adatok és ábrázolásuk (gyakoriság, relatív gyakoriság, eloszlás, kördiagram, oszlopdiagram, vonaldiagram).

Adathalmazok jellemzői: átlag, medián, módusz.

Adatok jegyzése, rendezése, ábrázolása. Együttváltozó mennyiségek összetartozó adatpárjainak jegyzése. Diagramok, táblázatok olvasása, készítése. Grafikai szervezők összevetése más formátumú dokumentumokkal, következtetések levonása írott, ábrázolt és számszerű információ összekapcsolásával. Számítógép használata. A statisztikai mutatók nyújtotta információk helyes értelmezése. Nagy adathalmaz vizsgálata kevés statisztikai jellemzővel: előnyök és hátrányok.

Informatika: adatkezelés, adatfeldolgozás, információmegjelenítés. Történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: történelmi, társadalmi témák vizuális ábrázolása (táblázat, diagram). Földrajz: időjárási, éghajlati és gazdasági statisztikák. Informatika: statisztikai adatelemzés.

Biológia-egészségtan: A véletlen esemény szimmetria öröklés, mutáció. alapján, logikai úton vagy kísérleti úton megadható, megbecsülhető esélye, valószínűsége. Kísérletek, játékok csoportban.. Adat. Diagram, táblázat. Módusz, medián, átlag. Véletlen kísérlet. Biztos Kulcsfogalmak/ esemény, lehetetlen esemény. Gyakoriság, relatív gyakoriság, esély, fogalmak valószínűség. Gondolkodási és megismerési módszerek

Véletlen esemény és bekövetkezésének esélye, valószínűsége.

-

Halmazokkal kapcsolatos alapfogalmak ismerete, halmazok szemléltetése, halmazműveletek ismerete; számhalmazok ismerete. Értsék és jól használják a matematika logikában megtanult szakkifejezéseket a hétköznapi életben. Definíció, tétel felismerése, az állítás és a megfordításának felismerése; bizonyítás gondolatmenetének követése. Egyszerű leszámlálási feladatok megoldása, a megoldás gondolatmenetének rögzítése szóban, írásban. Gráffal kapcsolatos alapfogalmak ismerete. Alkalmazzák a gráfokról tanult ismereteiket gondolatmenet szemléltetésére, probléma megoldására.

A fejlesztés várt eredményei a két évfolyamos ciklus végén Számtan, algebra - Egyszerű algebrai kifejezések használata, műveletek algebrai kifejezésekkel; a tanultak alkalmazása a matematikai problémák megoldásában (pl. modellalkotás szöveg alapján, egyenletek megoldása, képletek értelmezése); egész kitevőjű hatványok, azonosságok. - Elsőfokú, másodfokú egyismeretlenes egyenlet megoldása; ilyen egyenletre vezető szöveges és gyakorlati feladatokhoz egyenletek felírása és azok megoldása, a megoldás önálló ellenőrzése. - Elsőfokú és másodfokú (egyszerű) kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása; ilyen egyenletrendszerre vezető szöveges és gyakorlati

22

-

-

feladatokhoz az egyenletrendszer megadása, megoldása, a megoldás önálló ellenőrzése. Egyismeretlenes egyszerű másodfokú egyenlőtlenség megoldása. Az időszak végére elvárható a valós számkör biztos ismerete, e számkörben megismert műveletek gyakorlati és elvontabb feladatokban való alkalmazása. A tanulók képesek a matematikai szöveg értő olvasására, tankönyvek, keresőprogramok célirányos használatára, szövegekből a lényeg kiemelésére.

Geometria - Térelemek ismerete; távolság és szög fogalma, mérése. - Nevezetes ponthalmazok ismerete, szerkesztésük. - A tanult egybevágósági és hasonlósági transzformációk és ezek tulajdonságainak ismerete. - Egybevágó alakzatok, hasonló alakzatok; két egybevágó, illetve két hasonló alakzat több szempont szerinti összehasonlítása (pl. távolságok, szögek, kerület, terület, térfogat). - Szimmetria ismerete, használata. - Háromszögek tulajdonságainak ismerete (alaptulajdonságok, nevezetes vonalak, pontok, körök). - Derékszögű háromszögre visszavezethető (gyakorlati) számítások elvégzése Pitagorasz-tétellel és a hegyesszögek szögfüggvényeivel; magasságtétel és befogótétel ismerete. - Szimmetrikus négyszögek tulajdonságainak ismerete. - Vektor fogalmának ismerete; három új művelet ismerete: vektorok összeadása, kivonása, vektor szorzása valós számmal; vektor felbontása, vektorkoordináták meghatározása adott bázisrendszerben. - Kerület, terület, felszín és térfogat szemléletes fogalmának kialakulása, a jellemzők kiszámítása (képlet alapján); mértékegységek ismerete; valós síkbeli, illetve térbeli probléma geometriai modelljének megalkotása. - A geometriai ismeretek bővülésével, a megismert geometriai transzformációk rendszerezettebb tárgyalása után fejlődött a tanulók dinamikus geometriai szemlélete, diszkussziós képessége. - A háromszögekről tanult ismeretek bővülésével a tanulók képesek számítási feladatokat elvégezni, és ezeket gyakorlati problémák megoldásánál alkalmazni. - A szerkesztési feladatok során törekednek az igényes, pontos munkavégzésre. Összefüggések, függvények, sorozatok - A függvény megadása, a szereplő halmazok ismerete (értelmezési tartomány, értékkészlet); valós függvény alaptulajdonságainak ismerete. - A tanult alapfüggvények ismerete (tulajdonságok, grafikon). - Egyszerű függvénytranszformációk végrehajtása. - Valós folyamatok elemzése a folyamathoz tartozó függvény grafikonja alapján. - Függvénymodell készítése lineáris kapcsolatokhoz; a meredekség. - A tanulók tudják az elemi függvényeket ábrázolni koordinátarendszerben, és a legfontosabb függvénytulajdonságokat meghatározni, nemcsak a matematika, hanem a természettudományos tárgyak megértése miatt, és különböző gyakorlati helyzetek leírásának érdekében is.

23

2.3.

Valószínűség, statisztika - Adathalmaz rendezése megadott szempontok szerint, adat gyakoriságának és relatív gyakoriságának kiszámítása. - Táblázat olvasása és készítése; diagramok olvasása és készítése. - Adathalmaz móduszának, mediánjának, átlagának értelmezése, meghatározása. - Véletlen esemény, biztos esemény, lehetetlen esemény, véletlen kísérlet, esély/valószínűség fogalmak ismerete, használata. - Nagyszámú véletlen kísérlet kiértékelése, az előzetesen „jósolt” esélyek és a relatív gyakoriságok összevetése. - A valószínűség-számítási, statisztikai feladatok megoldása során a diákok rendszerező képessége fejlődött. A tanulók képesek adatsokaságot jellemezni, ábrákról adatsokaság jellemzőit leolvasni. Szisztematikus esetszámlálással meg tudják határozni egy adott esemény bekövetkezésének esélyét. Matematika 11. évfolyam Korosztályi sajátosságok A szakközépiskola utolsó két évében a témakörök feldolgozásánál a matematika látásmódjának, alkalmazhatóságának a bemutatása a cél. Ez a szakasz az érettségire felkészítés időszaka is, ezért a fejlesztésnek kiemelten fontos tényezője az elemző és összegző képesség alakítása. Ezen a két évfolyamon áttekintését adjuk a korábbi évek ismereteinek, eljárásainak, problémamegoldó módszereinek, emellett sok, gyakorlati területen széles körben használható tudást is közvetítünk. Olyan tudást, amelyhez kell az előző évek alapozása, amely kissé összetettebb problémák megoldását is lehetővé teszi. Az érettségi előtt már elvárható többféle ismeret együttes alkalmazása. A sík- és térgeometriai fogalmak és tételek mind a térszemlélet, mind az analógiás gondolkodás fejlesztése szempontjából lényegesek. A koordináta-geometria elemeinek tanításával a matematika különböző területeinek összefüggéseit, s így a matematika komplexitását mutatjuk meg. Minden témában nagy hangsúllyal ki kell térnünk a gyakorlati alkalmazásokra, az ismeretek más tantárgyakban való felhasználhatóságára. A statisztikai kimutatások és az információk kritikus értelmezése, az esetleges manipulációs szándék felfedeztetése hozzájárul a vállalkozói kompetencia fejlesztéséhez, a helyes döntések meghozatalához. Gyakran alkalmazhatjuk a digitális technikát az adatok, problémák gyűjtéséhez, a véletlen jelenségek vizsgálatához. A terület-, felszín-, térfogatszámítás más tantárgyakban és mindennapjaink gyakorlatában is elengedhetetlen. A sorozatok, kamatos kamat témakör kiválóan alkalmas a pénzügyi, gazdasági problémákban való jártasság kialakítására. Az anyanyelvi kommunikáció fejlesztését is segíti, ha önálló kiselőadások, prezentációk elkészítését, megtartását várjuk el a diákoktól. A matematikatörténet feldolgozása például alkalmas erre. Tematikai egység/ Fejlesztési cél


Órakeret 11 óra

Előzetes tudás

Sorbarendezési, leszámlálási problémák megoldása. Gráffal kapcsolatos alapfogalmak.


Ismeretek rendszerezése, alkalmazása. Mintavétel céljának, értelmének megértése. Gráfokkal kapcsolatos ismeretek alkalmazása, bővítése, konkrét példák alapján gráfokkal kapcsolatos állítások megfogalmazása. A modellhasználati, modellalkotási képesség fejlesztése.

Ismeretek Vegyes kombinatorikai feladatok,

Fejlesztési követelmények Modell alkotása valós

Kapcsolódási pontok Földrajz:

24

kiválasztási feladatok. A kombinatorika alkalmazása egyszerű geometriai feladatokban. Mintavétel visszatevés nélkül és visszatevéssel. Matematikatörténet: Erdős Pál.

problémához: kombinatorikai modell. Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése.

Binomiális együtthatók.

Jelek szerepe, alkotása, használata: célszerű jelölés megválasztásának jelentősége a matematikában.

Gráfelméleti alapfogalmak, alkalmazásuk. Fokszám összeg és az élek száma közötti összefüggés. Matematikatörténet: Euler.

Modell alkotása valós problémához: gráfmodell. Megfelelő, a problémát jól tükröző ábra készítése.

előrejelzések, tendenciák megfogalmazása Biológia-egészségtan: genetika

25

Kulcsfogalmak/ Mintavétel visszatevéssel, visszatevés nélkül. fogalmak Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás



Órakeret 23 óra

Hatvány fogalma egész kitevőre, hatványozás azonosságai. Egyenlet, egyenlőtlenség megoldása. Ekvivalens egyenlet fogalma. Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban: valós problémák megoldása megfelelő modell választásával. A matematika alkalmazása más tudományokban. Ismeretek rendszerezése, alkalmazása. A matematika épülésének elvei: létező fogalom újraértelmezése, kiterjesztése. A fogalmak kiterjesztése követelményeinek megértése. Függvénytulajdonság alkalmazása egyenlet megoldásánál (pl. szigorú monotonitás).

Ismeretek


n-edik gyök. A négyzetgyök fogalmának általánosítása.

A matematika belső fejlődésének felismerése, új fogalmak alkotása.

Hatványozás pozitív alap és racionális kitevő esetén.

Fogalmak módosítása újabb tapasztalatok, ismeretek alapján. A hatványfogalom célszerű kiterjesztése, permanenciaelv alkalmazása.

Hatványozás azonosságainak alkalmazása. Példák az azonosságok érvényben maradására.

Ismeretek tudatos memorizálása. Ismeretek mozgósítása.

A definíciók és a hatványozás azonosságainak közvetlen alkalmazásával megoldható exponenciális egyenletek, egyenlőtlenségek.

Modellek alkotása (algebrai modell): exponenciális egyenletre vezető valós problémák (például: befektetés, hitel, értékcsökkenés, népesség alakulása, radioaktivitás).


Fizika; kémia: radioaktivitás. Földrajz; biológiaegészségtan: globális problémák - demográf iai mutatók, a Föld

eltartó képessége és az élelmezési válság, betegségek, világjárványok, túltermelés és túlfogyasztás. A logaritmus értelmezése. A logaritmussal való számolás szerepe a Kepler-törvények felfedezésében.

Korábbi ismeretek felidézése (hatvány fogalma). Ismeretek tudatos memorizálása.

Technika, életvitel és gyakorlat: zajszennyezés. Kémia: pH-számítás. 26 Fizika: Keplertörvények.

Zsebszámológép használata, táblázat használata.

Annak felismerése, hogy a technika fejlődésének alapja a matematikai tudás.

A logaritmus azonosságai.

A hatványozás és a logaritmus kapcsolatának felismerése.

A definíciók és a logaritmus azonosságainak közvetlen alkalmazásával megoldható logaritmusos egyenletek,egyenlőtlenségek.

Modellek alkotása (algebrai modell): logaritmus alkalmazásával megoldható egyszerű exponenciális egyenletek; ilyen egyenletre vezető valós problémák (például: befektetés, hitel, értékcsökkenés, népesség alakulása, radioaktivitás).

Fizika; kémia: számítási feladatok.

Életvitel és gyakorlat: zajszennyezés. Kémia: pH-számítás. Biológia-egészségtan: érzékelés, az inger és az érzet.

Kulcsfogalmak/ n-edik gyök. Racionális kitevőjű hatvány. Exponenciális növekedés, csökkenés. Logaritmus. fogalmak Tematikai egység/ Órakeret 3. Összefüggések, függvények, sorozatok Fejlesztési cél 18 óra Előzetes tudás

Függvénytani alapfogalmak. Hatványozás azonosságai. Négyzetgyök. Függvény megadása, tulajdonságai. Hegyesszög szögfüggvényeinek értelmezése.

A folyamatok elemzése a függvényelemzés módszerével. Tájékozódás az A tematikai egység időben: lineáris folyamat, exponenciális folyamat. A matematika és a nevelési-fejlesztési valóság: matematikai modellek készítése, vizsgálata. Alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotások adott feltételeknek céljai megfelelően. Ismerethordozók használata. Ismeretek



Szögfüggvények kiterjesztése, trigonometrikus alapfüggvények ábrázolása, jellemzése (sin, cos, tg).

A kiterjesztés szükségességének, alapgondolatának megértése. Időtől függő periodikus jelenségek kezelése.

Fizika: periodikus mozgás, hullámmozgás, váltakozó feszültség és áram. Földrajz: térábrázolás

és térmegismerés eszközei, GPS. A trigonometrikus függvények transzformációi: f (x )  c , f (x  c) ; cf (x ) ; f (cx) .

Tudatos megfigyelés a változó szempontok és feltételek szerint.

Az exponenciális függvények. Az exponenciális alapfüggvények grafikonja, jellemzésük.

Permanenciaelv alkalmazása.

Exponenciális folyamatok a Modellek alkotása (függvény természetben és a társadalomban. modell): a lineáris és az exponenciális növekedés/csökkenés matematikai modelljének összevetése konkrét, valós problémákban (például: népesség, energiafelhasználás, járványok stb.).


Fizika; kémia: radioaktivitás. Földrajz: a társadalmigazdasági tér szerveződése és folyamatai. Történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek; földrajz: globális kérdések: - erőforrások kimerülése, fenntarthatóság, demográfiai robbanás a harmadik világban, népességcsökkenés az öregedő Európában.

A logaritmusfüggvények vizsgálata. Logaritmus alapfüggvények grafikonja, jellemzésük. A logaritmusfüggvény mint az exponenciális függvény inverze. Függvénynek és inverzének a grafikonja a koordinátarendszerben.

Fizika; kémia: radioaktivitás.

Kulcsfogalmak/ Szinuszfüggvény, koszinuszfüggvény, tangensfüggvény. Exponenciális függvény, logaritmusfüggvény. Exponenciális folyamat. fogalmak Tematikai egység/ Órakeret 4. Geometria Fejlesztési cél 25 óra

Előzetes tudás

Sokszögekkel, körrel kapcsolatos ismeretek. Ponthalmazok, nevezetes ponthalmazok ismerete. Háromszög nevezetes vonalai, pontjai, körei. Háromszögekre, speciális háromszögekre vonatkozó tételek. Egybevágóság, hasonlóság, szimmetria. Hegyesszögek szögfüggvényei. Ekvivalens egyenlet. Elsőfokú és másodfokú egyenlet, kétismeretlenes egyenletrendszer algebrai megoldása. Alapszerkesztések, egyszerű szerkesztési feladatok körrel, háromszöggel kapcsolatosan. Vektorok, vektorműveletek. Számológép (számítógép) használata.

27


Tájékozódás a térben. Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban: távolságok, szögek, terület, kerület kiszámítása. A matematika két területének (geometria és algebra) összekapcsolása: koordináta-geometria. Emlékezés, korábbi ismeretek rendszerezése, alkalmazása.

Ismeretek Szinusztétel, koszinusztétel.



Általános eset, különleges eset viszonya (a derékszögű háromszög és a két tétel).

Fizika: vektor felbontása adott állású összetevőkre. Földrajz: térábrázolás és térmegismerés eszközei, GPS.

Síkidomok kerületének és területének számítása.

Ismeretek alkalmazása.

Földrajz: felszínszámítás.

Pitagoraszi összefüggés egy szög szinusza és koszinusza között. Összefüggés a szög és a mellékszöge szinusza, illetve koszinusza között. A tangens kifejezése a szinusz és a koszinusz hányadosaként.

A trigonometrikus azonosságok megértése, használata.

Egyszerű trigonometrikus egyenletek. Trigonometrikus egyenletre vezető, háromszöggel kapcsolatos valós problémák. Azonosság alkalmazását igénylő egyszerű trigonometrikus egyenlet.

A problémához hasonló egyszerű probléma keresése.

Fizika: rezgőmozgás, adott kitéréshez, sebességhez, gyorsuláshoz tartozó időpillanatok meghatározása.

Két vektor skaláris szorzata. A skaláris szorzat tulajdonsága. Két vektor merőlegességének szükséges és elégséges feltétele.

A művelet újszerűségének felfedezése. A szükséges és az elégséges feltétel felismerése, megkülönböztetése.

Fizika: mechanikai munka, mágneses fluxus.

Helyvektor.

Emlékezés: jelek, jelölések, megállapodások.

Fizika: vonatkoztatási rendszer, hely megadása.

Műveletek koordinátáikkal adott vektorokkal. Vektorok és rendezett számpárok közötti megfeleltetés.

A vektor fogalmának bővítése (algebrai vektorfogalom). Sík és tér: a dimenzió szemléletes fogalmának fejlesztése.

Fizika: erők összeadása komponensek segítségével, háromdimenziós képalkotás (hologram).

A helyvektor koordinátái. Szakasz felezőpontjának, harmadoló pontjának, a háromszög súlypontjának koordinátái.

Képletek értelmezése, alkalmazása.

Fizika: hely megadása.

Függvénytáblázat alkalmazása feladatok megoldásában.

Két vektor hajlásszöge.

28

Két pont távolsága, a szakasz hossza.

Képletek értelmezése, alkalmazása.

A kör egyenlete.

Geometria és algebra összekapcsolása.

Informatika: ponthalmaz megjelenítése képernyőn (geometriai szerkesztőprogram).

Az egyenes különböző megadási módjai. Az irányvektor, a normálvektor, az iránytangens.

Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése.

Informatika: ponthalmaz megjelenítése képernyőn (geometriai szerkesztőprogram).

Iránytangens és az egyenes meredeksége.

Fizika: út-idő grafikon és a sebesség kapcsolata.

A merőlegesség megfogalmazása skaláris szorzattal.

Geometriai ismeretek felelevenítése, megfogalmazása algebrai alakban.

Az egyenes egyenlete. Két egyenes párhuzamosságának, merőlegességének feltétele.

Az egyenest jellemző adatok, a közöttük felfedezhető összefüggések értése, használata.

Két egyenes metszéspontja. Kör és egyenes kölcsönös helyzete.

Geometriai probléma megoldása algebrai eszközökkel. Ismeretek mozgósítása, alkalmazása (elsőfokú, illetve másodfokú kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása). A geometriai fogalmak megjelenítése algebrai formában. Geometriai ismeretek mozgósítása.

A kör adott pontjában húzott érintője.

A koordinátageometriai ismeretek alkalmazása egyszerű síkgeometriai feladatok megoldásában.

Geometriai problémák megoldása algebrai eszközökkel. Geometriai problémák számítógépes megjelenítése.

Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata (geometriai szerkesztőprogram). Informatika: ponthalmaz megjelenítése képernyőn (geometriai szerkesztőprogram). Informatika: ponthalmaz megjelenítése képernyőn (geometriai szerkesztőprogram). Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata (geometriai szerkesztőprogram használata).

Fizika: égitestek pályája. Kulcsfogalmak/ Valós szám szinusza, koszinusza, tangense. Bázisrendszer, helyvektor. Skaláris szorzat. Ponthalmaz egyenlete; kétismeretlenes egyenletnek fogalmak megfelelő ponthalmaz. Tematikai egység/ Órakeret 5. Valószínűség, statisztika Fejlesztési cél 20 óra Előzetes tudás

A statisztika alapfogalmai. Adathalmaz statisztikai jellemzői, adathalmaz

29

ábrázolása. Táblázatok kezelése. A véletlen esemény fogalma, a véletlen kísérlet fogalma. Gyakoriság, relatív gyakoriság. Esély és valószínűség hétköznapi fogalma. Kombinatorikai ismeretek. Ismeretek rendszerezése, alkalmazása, bővítése. Műveletek értelmezése A tematikai egység az események között. Matematikai elvonatkoztatás: a valószínűség nevelési-fejlesztési matematikai fogalmának fejlesztése. Véletlen mintavétel módszerei céljai jelentőségének megértése. Ismeretek



Eseményekkel végzett műveletek. Példák események összegére, szorzatára, komplementer eseményre, egymást kizáró eseményekre. Elemi események. Események előállítása elemi események összegeként. Példák független és nem független eseményekre.

A matematika különböző területei közötti kapcsolatok tudatosítása. Logikai műveletek, halmazműveletek és események közötti műveletek összekapcsolása.

Informatika: folyamatok, kapcsolatok leírása logikai áramkörökkel.

Véletlen esemény, valószínűség. A valószínűség matematikai definíciójának bemutatása példákon keresztül.

A véletlen kísérletekből számított relatív gyakoriság és a valószínűség kapcsolata.

A valószínűség klasszikus modellje. Matematikatörténet: Rényi: Levelek a valószínűségről.

A modell és a valóság kapcsolata.

Egyszerű valószínűségszámítási problémák.

Ismeretek mozgósítása, tanult kombinatorikai módszerek alkalmazása.

Fizika: az űrkutatás hatása mindennapjainkra, a találkozás valószínűsége.

Statisztikai mintavétel. Valószínűségek visszatevéses mintavétel esetén. Visszatevés nélküli mintavétel.

Modell alkotása (valószínűségi modell): a mintavételi eljárás lényege.


Adathalmazok jellemzői: átlag, medián, módusz, terjedelem, szórás. Nagy adathalmazok jellemzése statisztikai mutatókkal.

A statisztikai kimutatások és a valóság: az információk kritikus értelmezése, az esetleges manipulációs szándék felfedeztetése. Közvélemény-kutatás, minőségellenőrzés, egyéb gyakorlati alkalmazások elemzése. Számológép/számítógép használata statisztikai mutatók kiszámítására.

Kulcsfogalmak/ Valószínűség matematikai fogalma. Klasszikus valószínűség-számítási modell. Szórás. fogalmak

30

2.4.

Matematika 12. évfolyam Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás

Órakeret 25 óra

1. Összefüggések, függvények, sorozatok Függvénytani alapfogalmak. Sorozat vizsgálata; rekurzió, képletek értelmezése.

A tematikai egység A matematika és a valóság: matematikai modellek készítése, vizsgálata. nevelési-fejlesztési Alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotások adott feltételeknek megfelelően. Ismerethordozók használata. céljai 31 Ismeretek



A számsorozat fogalma. A függvény értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza. Matematikatörténet: Fibonacci.

Sorozat megadása rekurzióval és képlettel.

Számtani sorozat, az n. tag, az első n tag összege. Szöveges feladatok gyakorlati alkalmazásokkal. Matematikatörténet: Gauss.

A sorozat felismerése, a megfelelő képletek használata problémamegoldás során.

Mértani sorozat, az n. tag, az első n tag összege. Szöveges feladatok gyakorlati alkalmazásokkal.

A sorozat felismerése, a megfelelő képletek használata problémamegoldás során. A számtani sorozat mint lineáris függvény és a mértani sorozat mint exponenciális függvény összehasonlítása.

Fizika; kémia, biológia-egészségtan; földrajz; történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: exponenciális folyamatok vizsgálata.

Kamatoskamat-számítás.

Modellek alkotása: befektetés és hitel; különböző feltételekkel meghirdetett befektetések és hitelek vizsgálata; a hitel költségei, a törlesztés módjai. Az egyéni döntés felelőssége: az eladósodás veszélye. Korábbi ismeretek mozgósítása (pl. százalékszámítás). A szövegbe többszörösen mélyen beágyazott, közvetett módon megfogalmazott információk és kategóriák azonosítása.

Földrajz: a világgazdaság szerveződése és működése, a pénztőke működése, a monetáris világ jellemző folyamatai, hitelezés, adósság, eladósodás.

Informatika: problémamegoldás informatikai eszközökkel és módszerekkel: algoritmusok megfogalmazása, tervezése.

Történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: a család pénzügyei és gazdálkodása, vállalkozások.

Magyar nyelv és irodalom: szövegértés. Kulcsfogalmak/ fogalmak Tematikai egység/ Fejlesztési cél

Előzetes tudás


Számsorozat. Rekurzió. Számtani sorozat, mértani sorozat.

2. Geometria

Órakeret 33 óra

Sokszögekkel, körrel kapcsolatos ismeretek. Háromszögekre, speciális háromszögekre vonatkozó tételek. Egybevágóság, hasonlóság. Hegyesszögek szögfüggvényei. Hasáb, henger, gúla, kúp, gömb felismerése. Felszín, térfogat szemléletes fogalma. Poliéder felszíne. Számológép (számítógép) használata. Tájékozódás a térben. Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban: távolságok, szögek, terület, kerület, felszín és térfogat kiszámítása. Emlékezés, korábbi ismeretek rendszerezése, alkalmazása.

Ismeretek Síkidomok kerületének és területének számítása. Mértani testek csoportosítása. Hengerszerű testek (hasábok és hengerek), kúpszerű testek (gúlák és kúpok), csonka testek (csonka gúla, csonka kúp). Gömb.

Fejlesztési követelmények Ismeretek alkalmazása. A problémához illeszkedő vázlatos ábra alkotása; síkmetszet elképzelése, ábrázolása. Fogalomalkotás közös tulajdonság szerint (hengerszerű, kúpszerű testek, poliéderek).


Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata (térgeometriai szimulációs program).

Kémia: kristályok. A tanult testek felszínének, A valós problémákhoz modell Informatika: tantárgyi térfogatának kiszámítása. alkotása: geometriai modell. szimulációs programok Gyakorlati feladatok. Ismeretek megfelelő csoportosítása. használata (térgeometriai szimulációs program). Kulcsfogalmak/ Kerület, terület felszín és térfogat kiszámítása. fogalmak Tematikai Órakeret egység/ Rendszerező összefoglalás 62 óra Fejlesztési cél Előzetes tudás A tematikai egység nevelésifejlesztési céljai

A középiskolai matematika anyaga. A matematika épülésének elvei: ismeretek rendszerezése, alkalmazása. Motiválás. Emlékezés. Önismeret, önértékelés, reflektálás, önszabályozás. Alkotás és kreativitás: alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotások adott feltételeknek megfelelően; átstrukturálás. Hatékony, önálló tanulás kompetenciájának fejlesztése.

Ismeretek

Fejlesztési követelmények Gondolkodási és megismerési módszerek

Halmazok. Ponthalmazok és számhalmazok. Valós számok halmaza és részhalmazai.

A problémának megfelelő szemléltetés kiválasztása (Venndiagram, számegyenes, koordináta-rendszer).


32

Állítások logikai értéke. Logikai műveletek.

Szövegértés. A szövegben található információk összegyűjtése, rendszerezése.

Filozófia: logika - a következetes és rendezett gondolkodás elmélete, a logika kapcsolódása a matematikához és a nyelvészethez. Informatika: Egy bizonyos, nemrég történt esemény információinak begyűjtése több párhuzamos forrásból, ezek összehasonlítása, elemzése, az igazságtartalom keresése, a manipulált információ felfedése. Navigációs eszközök használata: hierarchizált és legördülő menük használata.

A halmazelméleti és a logikai ismeretek kapcsolata.

Halmazok eszközjellegű használata.

Definíció és tétel. A tétel bizonyítása. A tétel megfordítása.

Emlékezés a tanult definíciókra és tételekre, alkalmazásuk önálló problémamegoldás során.

Bizonyítási módszerek.

Direkt és indirekt bizonyítás közötti különbség megértése. Néhány tipikusan hibás következtetés bemutatása, elemzése.

Kombinatorika: leszámlálási feladatok. Egyszerű feladatok megoldása gráfokkal.

Sorbarendezési és kiválasztási problémák felismerése. Gondolatmenet szemléltetése gráffal.

Műveletek értelmezése és műveleti tulajdonságok.

Absztrakt fogalom és annak konkrét megjelenései: valós számok halmazán értelmezett műveletek, halmazműveletek, logikai műveletek, műveletek vektorokkal, műveletek vektorral és valós számmal, műveletek eseményekkel.

Filozófia: szillogizmusok.

Számtan, algebra Gyakorlati számítások.

Kerekítés, közelítő érték, becslés. Számológép használata, értelmes kerekítés.

Technika, életvitel és gyakorlat: alapvető adózási, biztosítási, egészség-, nyugdíj- és társadalombiztosítási, pénzügyi ismeretek.

33

Egyenletek és egyenlőtlenségek.

Megoldások az alaphalmaz, értelmezési tartomány, megoldáshalmaz megfelelő kezelésével.

Algebrai azonosságok, hatványozás azonosságai, logaritmus azonosságai, trigonometrikus azonosságok.

Az azonosságok szerepének ismerete, használatuk. Matematikai fogalmak fejlődésének bemutatása pl. a hatvány, illetve a szögfüggvények példáján.

Egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása. Algebrai megoldás, grafikus megoldás. Ekvivalens egyenletek, ekvivalens átalakítások. A megoldások ellenőrzése.

Adott egyenlethez illő megoldási módszer önálló kiválasztása. Az önellenőrzésre való képesség. Önfegyelem fejlesztése: sikertelen megoldási kísérlet után újjal való próbálkozás.

Első- és másodfokú egyenlet és egyenlőtlenség. Négyzetgyökös egyenletek. Abszolút értéket tartalmazó egyenletek. Egyszerű exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus egyenletek.

Tanult egyenlettípusok és egyenlőtlenségtípusok önálló megoldása.

Elsőfokú és egyszerű másodfokú kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása.

A tanult megoldási módszerek biztos alkalmazása.

Egyenletekre, egyenlőtlenségekre vezető gyakorlati életből vett és szöveges feladatok.

Matematikai modell (egyenlet, egyenlőtlenség) megalkotása, vizsgálatok a modellben, ellenőrzés. Geometria

Geometriai alapfogalmak, ponthalmazok. Térelemek kölcsönös helyzete, távolsága, szöge. Távolságok és szögek kiszámítása.

Valós problémában a megfelelő geometriai fogalom felismerése, alkalmazása.

Geometriai transzformációk. Távolságok és szögek vizsgálata a transzformációknál. Egybevágóság, hasonlóság.

Szerepük felfedezése

Fizika; kémia; biológiaegészségtan; földrajz; történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: képletek használata 34

Fizika; kémia; biológiaegészségtan; földrajz; történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: matematikai modellek.

Szimmetriák.

művészetekben, játékokban, gyakorlati jelenségekben.

Háromszögekre vonatkozó tételek és alkalmazásuk. A háromszög nevezetes vonalai, pontjai és körei. Összefüggések a háromszög oldalai, oldalai és szögei között. A derékszögű háromszög oldalai, oldalai és szögei közötti összefüggések.

Állítások, tételek jelentésére való emlékezés. A problémának megfelelő összefüggések felismerése, alkalmazása.

Négyszögekre vonatkozó tételek és alkalmazásuk. Négyszögek csoportosítása különböző szempontok szerint. Szimmetrikus négyszögek tulajdonságai.

Állítások, tételek jelentésére való emlékezés.

35

Körre vonatkozó tételek és alkalmazásuk. Számítási feladatok. Vektorok, vektorok koordinátái. Bázisrendszer. Matematikatörténeti ismeretek: a vektor fogalmának fejlődése a fizikai vektorfogalomtól a rendezett szám n-esig. Vektorok alkalmazásai. Egyenes egyenlete. Kör egyenlete. Két alakzat közös pontja. Matematikatörténet: nevezetes szerkeszthetőségi problémák.

Geometria és algebra összekapcsolása.

Összefüggések, függvények, sorozatok A függvény megadása. A függvények tulajdonságai.

Emlékezés: a fogalmak pontos felidézése, ismerete. Értelmezési tartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték, monotonitás, periodicitás, paritás fogalmak alkalmazása konkrét feladatokban. Az alapfüggvények ábrázolása és tulajdonságai.

A tanult alapfüggvények ismerete.

Képi emlékezés statikus helyzetekben (grafikonok felidézése).

Függvénytranszformációk: f (x )  c , f (x  c) ; cf (x ) ; f (cx ) . Eltolás, nyújtás és összenyomás a tengelyre merőlegesen.

Kapcsolat a matematika két területe között: függvénytranszformációk és geometriai transzformációk.

Függvényvizsgálat a tanult szempontok szerint.

Emlékezés, ismeretek mozgósítása. Függvények használata valós folyamatok elemzésében. Függvény alkalmazása matematikai modell készítésében.

Fizika, kémia; biológiaegészségtan; földrajz; történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: matematikai modellek.

Valószínűség-számítás, statisztika Diagramok. Statisztikai mutatók: módusz, medián, átlag, szórás.

Adathalmazok jellemzése önállóan választott mutatók segítségével. A reprezentatív minta jelentőségének megértése.

Magyar nyelv és irodalom: a tartalom értékelése hihetőség szempontjából; a szöveg hitelességével kapcsolatos tartalmi elemek magyarázata; a kétértelmű, többjelentésű tartalmi elemek feloldása; egy következtetés alapját jelentő tartalmi elem felismerése; az olvasó előismereteire alapozó figyelemfelhívó jellegű címadás felismerése.

Gyakoriság, relatív gyakoriság. Véletlen esemény valószínűsége. A valószínűség kiszámítása a klasszikus modell alapján. A véletlen törvényszerűségei.

A valószínűség és a statisztika törvényei érvényesülésének felfedezése a termelésben, a pénzügyi folyamatokban, a társadalmi folyamatokban. A szerencsejátékok igazságtalanságának és a játékszenvedély veszélyeinek felismerése.

Technika, életvitel és gyakorlat; biológiaegészségtan: szenvedélybetegségek és rizikófaktor.

Kulcsfogalma k/ fogalmak

Következtetés. Definíció. Tétel. Bizonyítás. Halmaz, alaphalmaz, igazsághalmaz, megoldáshalmaz. Függvény/transzformáció. Értelmezési tartomány. Művelet, műveleti tulajdonság. Egyenlet, azonosság, egyenletrendszer, egyenlőtlenség. Ekvivalencia. Ellenőrzés. Véletlen, valószínűség. Adat, statisztikai mutató. Térelem, mennyiségi jellemző (távolság, szög, kerület, terület, felszín, térfogat). Matematikai modell.

Gondolkodási és megismerési módszerek – A kombinatorikai problémához illő módszer önálló megválasztása. A fejlesztés – A gráfok eszközjellegű használata problémamegoldásában. várt – Bizonyított és nem bizonyított állítás közötti különbség megértése. eredményei a – Feltétel és következmény biztos felismerése a következtetésben. két évfolyamos – A szövegben található információk önálló kiválasztása, értékelése, ciklus végén rendezése problémamegoldás céljából. – A szöveghez illő matematikai modell elkészítése. – A tanulók a rendszerezett összeszámlálás, a tanult ismeretek segítségével

36

–

tudjanak kombinatorikai problémákat jól megoldani,. A gráfok ne csak matematikai fogalomként szerepeljenek tudásukban, alkalmazzák ismereteiket a feladatmegoldásban is.

Számtan, algebra – A kiterjesztett gyök- és hatványfogalom ismerete. – A logaritmus fogalmának ismerete. – A gyök, a hatvány és a logaritmus azonosságainak alkalmazása konkrét esetekben probléma megoldása céljából. – Egyszerű exponenciális és logaritmusos egyenletek felírása szöveg alapján, az egyenletek megoldása, önálló ellenőrzése. – A mindennapok gyakorlatában szereplő feladatok megoldása a valós számkörben tanult új műveletek felhasználásával. – Számológép értelmes használata a feladatmegoldásokban. Geometria – Jártasság a háromszögek segítségével megoldható problémák önálló kezelésében. – A tanult tételek pontos ismerete, alkalmazásuk feladatmegoldásokban. – A valós problémákhoz geometriai modell alkotása. – Hosszúság, szög, kerület, terület, felszín és térfogat kiszámítása. – Két vektor skaláris szorzatának ismerete, alkalmazása. – Vektorok a koordináta-rendszerben, helyvektor, vektorkoordináták ismerete, alkalmazása. – A geometriai és algebrai ismeretek közötti összekapcsolódás elemeinek ismerete: távolság, szög számítása a koordináta-rendszerben, kör és egyenes egyenlete, geometriai feladatok algebrai megoldása. Összefüggések, függvények, sorozatok – Trigonometrikus függvények értelmezése, alkalmazása. – Függvénytranszformációk végrehajtása. – Exponenciális függvény és logaritmusfüggvény ismerete. – Exponenciális folyamatok matematikai modelljének megértése. – A számtani és a mértani sorozat összefüggéseinek ismerete, gyakorlati alkalmazások. – Az új függvények ismerete és jellemzése kapcsán a tanulóknak legyen átfogó képük a függvénytulajdonságokról, azok felhasználhatóságáról.

Valószínűség, statisztika – – – – – –

–

Statisztikai mutatók használata adathalmaz elemzésében. A valószínűség matematikai fogalma. A valószínűség klasszikus kiszámítási módja. Mintavétel és valószínűség. A mindennapok gyakorlatában előforduló valószínűségi problémákat tudják értelmezni, kezelni. Megfelelő kritikával fogadják a statisztikai vizsgálatok eredményeit, lássák a vizsgálatok korlátait, érvényességi körét. Összességében A matematikai tanulmányok végére a matematikai tudás segítségével önállóan tudjanak megoldani matematikai problémákat.

37

– – – – – – – –

Kombinatív gondolkodásuk fejlődésének eredményeként legyenek képesek többféle módon megoldani matematikai feladatokat. Fejlődjön a bizonyítási, diszkussziós igényük olyan szintre, hogy az érettségi után a döntési helyzetekben tudjanak reálisan dönteni. Feladatmegoldásokban rendszeresen használják a számológépet, elektronikus eszközöket. Tudjanak a síkban, térben tájékozódni, az ilyen témájú feladatok megoldásához célszerű ábrákat készíteni. A feladatmegoldások során helyesen használják a tanult matematikai szakkifejezéseket, jelöléseket. A tanulók váljanak képessé a pontos, kitartó, fegyelmezett munkára, törekedjenek az önellenőrzésre, legyenek képesek várható eredmények becslésére. A helyes érvelésre szoktatással fejlődjön a tanulók kommunikációs készsége. A középfokú matematikatanulás lezárásakor rendelkezzenek a matematika alapvető kultúrtörténeti ismereteivel, ismerjék a legnagyobb matematikusok felfedezéseit, legyen rálátásuk a magyar matematikusok eredményeire.

38

3.

Az érettségi vizsga formái és követelményei Matematika írásbeli érettségi Középszint Emelt szint A vizsgázónak egy közpönti feladatsort kell A vizsgázónak egy közpönti feladatsort kell megoldani, amely két részből áll. megoldani. Időtartama: 180 perc Az I. részfeladatsor négy feladatból áll. I. feladatlap (45 perc) 10-12 feladatot tartalmaz, Ezek az emelt szintű követelmények alapján amely a definíciók, alapfogalmak, egyszerű egyszerűnek tekinthetők. A feladatok több összefüggések ismeretét ellenőrzi. részkérdést is tartalmazhatnak. Pontszám: 30 pont A II. részfeladatsor öt feladatból áll. Ezek II. feladatlap (135 perc) , mely további két részre közül legalább kettőben a gyakorlati életben oszlik, ezek megoldása folyamatos az adott időn előforduló szituációból származik a probléma, belül. A II/A rész három ( egy vagy több így a megoldáshoz a vizsgázónak a szöveget le kérdésből álló feladatok ), a II/B rész is három kell fordítania a matematika nyelvére, azaz feladatot tartalmaz(melyek összetettek , matematikai modellt kell alkotnia, abban általában több témakört is érintenek és több számításokat végeznie, s a kapott eredményeket részkérdésből állnak ), amelyből a vizsgázó az eredeti probléma szempontjából értelmezve választása szerint kettőt kell megoldani, és csak kell válaszolnia a felvetett kérdésekre. A ez a kettő értékelhető. vizsgázónak az öt feladatból négyet kell Pontszám: 70 pont kiválasztania, megoldania, és csak ez a négy Az írásbeli dolgozatokat a szaktanár javítja és értékelhető. A feladatok általában egy-két értékeli. Az értékelése központi javításitémakör ismeretanyagára támaszkodnak. értékelési útmutató alapján történik. Az értékelése központi javítási-értékelési Az írásbeli vizsga összpontszáma 100 pont. útmutató alapján történik. Az írásbeli vizsga összpontszáma 115 pont. Matematika szóbeli érettségi Középszint Emelt szint Szóbeli vizsgára akkor kerül sor, ha a vizsgázó A szóbeli vizsga központi tételsor alapján zajlik. az írásbeli vizsgán elérte a 12 %-ot, de nem érte Az egyes tételek egy-egy témából kerülnek ki. el a 25%-ot. A vizsgázónak a tétel címében megjelölt A tételsor összeállításáról a vizsgabizottságot témát logikusan, arányosan felépített, működtető intézmény gondoskodik, amennyiben szabad előadásban, van szóbeli vizsgázó. önállóan kell kifejtenie. A feleletben feltétlenül A szóbeli tételek nem hozhatók nyilvánosságra. szerepelniük kell az alábbi részleteknek: egy, a témához tartozó, a vizsgázó választása Tételek száma: kétszer annyi, mint a vizsgázók szerinti definíció pontos kimondása; száma, de nem lehet 10-nél kevesebb. egy, a témához tartozó, a vizsgázó választása A tétel három egyszerű, az elméleti anyag szerinti tétel pontos kimondása és bizonyítása; elsajátítását számonkérő kérdést, valamint a kitűzött feladat megoldása; három feladatot tartalmaz. a téma matematikán belüli, vagy azon kívüli Pontszám: 50 pont alkalmazása (több alkalmazás felsorolása, vagy egy részletesebb kifejtése). A szóbeli vizsgát is tett vizsgázó értékelése az Elérhető pontszám: 35 pont

39

írásbeli és a szóbeli vizsga együttes pontszáma alapján történik. Témakörök:

Témakörök: 1. Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. 2. Valós számok halmaza és részhalmazai. Számelméleti alapfogalmak és tételek. Számrendszerek. 3. Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben. 4. Hatványozás, hatványfogalom kiterjesztése, azonosságok. Gyökvonás és azonosságai, hatvány- és gyökfüggvények. 5. A logaritmus. Az exponenciális és a logaritmusfüggvény. 6. Egyenletmegoldási módszerek, ekvivalencia, gyökvesztés, hamis gyök. Másodfokú vagy másodfokúra visszavezethető egyenletek. 7. Adatsokaság, a leíró statisztika jellemzői, diagramok. Nevezetes közepek. 8. Számsorozatok és tulajdonságaik (korlátosság, monotonitás, konvergencia). Nevezetes számsorozatok, végtelen mértani sor. 9. Függvények lokális és globális tulajdonságai. A differenciálszámítás alkalmazása. Szélsőértékproblémák. 10.A hasonlóság fogalma és alkalmazásai háromszögekre vonatkozó tételek bizonyításában. 11.Derékszögű háromszögek. 12.Háromszögek nevezetes vonalai, pontjai és körei. 13. Összefüggések az általános háromszögek

40

oldalai között, szögei között, oldalai és szögei között. 14.Húrnégyszögek, érintőnégyszögek, szimmetrikus négyszögek. 15.Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek. 16.A kör és részei, kör és egyenes kölcsönös helyzete (elemi geometriai tárgyalásban). Kerületi szög, középponti szög, látószög. 17.Vektorok, vektorműveletek. Vektorfelbontási tétel. Vektorok koordinátái. Skaláris szorzat. 18. Szakaszok és egyenesek a koordinátasíkon. A lineáris függvények grafikonja és az egyenes. Elsőfokú egyenlőtlenségek. 19.A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek. 20. Kapcsolatok ugyanazon szög szögfüggvényei között. Trigonometrikus függvények és transzformáltjaik. 21. A terület fogalma. Területszámítás elemi úton és az integrálszámítás felhasználásával. 22. Kombinatorika, binomiális tétel, gráfok. 23. A valószínűségszámítás elemei. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje.

Értékelés:

24. Bizonyítási módszerek és bemutatásuk tételek bizonyításában. Állítás és megfordítása, szükséges és elégséges feltétel. Értékelés:

41

80-100% elérése esetén jeles (5), 60-79% elérése esetén jó (4), 40-59% elérése esetén közepes (3), 25-39% elérése esetén elégséges (2), 0-24% elérése esetén elégtelen (1).

4.

60-100% elérése esetén jeles (5), 47-59% elérése esetén jó (4), 33-46% elérése esetén közepes (3), 25-32% elérése esetén elégséges (2), 0-24% elérése esetén elégtelen (1).

A tanulói előmenetel ellenőrzésének és értékelésének formái, gyakorlata Az értékelési alkalmak és formák: A tanulók felkészültségének ellenőrzésére döntően az írásbeli ellenőrzés különböző típusait alkalmazzuk. Emellett évenként és tanulónként legalább egy szóbeli feleletet is biztosítani kell. Az írásbeli ellenőrzés típusai: - témazáró dolgozat, - témaközi összefoglaló dolgozat, - röpdolgozat, - bemeneti mérés Témazáró dolgozatot minden nagyobb (a tantervben jelölt) témakör végén tervezünk, de évente legalább négy összefoglaló dolgozatot íratni kell. Összefoglalás előzi meg és egy héttel előtte be kell jelenteni. A témazáró dolgozat megírásának időtartama 1 vagy 2 tanítási óra lehet. Témaközi összefoglaló dolgozatot egy nagy témakör önmagában lezárható részeinek összefoglalásakor javasolt íratni, 1 tanítási órának megfelelő időtartamban. Röpdolgozatot az előző 1-2 óra anyagából íratunk, kb. a szóbeli feleletek időtartamában. Témazáró és témaközi összefoglaló dolgozatok estén a pontozásos értékelést javasoljuk. A teljesítmények érdemjeggyé történő átváltásánál az alábbiakat alkalmazzuk: 0 -29 % elégtelen 30-49 % elégséges 50 -69 % közepes 70 – 84 % jó 85 -100 % jeles Bemeneti mérés: A kilencedik évfolyam elején végezzük, a tanulók előmenetelét vizsgáljuk a méréssel. A mérések elemzése segítséget nyújt a hiányosságok feltárásához, a hibák korrigálásához, a problémák jó megoldásának megtalálásához Témazáró és témaközi dolgozatot az egész csoporttal, míg röpdolgozatot egyénileg is írathatunk. Ezek összeállításánál egyik fontos szempontnak kell lennie, hogy a kitűzött feladatok megoldása beleférjen a tervezett időkeretbe. A témazáró és témaközi dolgozatot különböző nehézségi szintű feladatokból állítjuk össze, hogy legyen benne alapvető ismeretre épülő, valamint begyakorolt és nehezebb feladat is. A tizenkettedik évfolyamon próba-érettségi feladatsort is íratunk. Mivel a tantárgyi követelmények elsajátításának elengedhetetlen feltétele az otthoni tanulás, gyakorlás, ezért a házi feladatok kijelölése minden órán ajánlott és ezek elkészítése minden tanuló

42

számára kötelező. Szóbeli felelet lehet egy-egy probléma megoldása, kiselőadás tartása, projekt munka. Érdemjeggyel jutalmazhatunk órai szorgalmas munkát (vagy ennek bizonyíthatóan a nem tanulásból származó elmaradását), otthoni önálló munkát, projektmunkát is. A tanulók felkészültségének ellenőrzését havi rendszerességgel, átlagosan legalább havi 1 érdemjegy adásával végezzük, de félévente minden tanulónak heti óraszám plusz 1 osztályzattal rendelkeznie kell. Az osztályzatok megállapításánál -minden érdemjegyet egyszeresen vesszük figyelembe-az átlagszámítást alkalmazzuk. Az emeltszintű érettségire történő felkészítésben résztvevő diákok osztályzatát a két csoportban szerzett osztályzatok átlagaként számítjuk. Az értékelésünk alapelvei a következetesség, a humánum, a kölcsönös bizalom. 5.

Az alkalmazható tankönyvek és kiválasztásának elvei A tanításhoz használt tankönyv és feladatgyűjtemény kiválasztásánál az alábbiakat tartjuk fontosnak: – a taneszköz feleljen meg az iskola helyi tantervének; – a taneszköz legyen jól tanítható, jól tanulható; - a taneszköz legyen olyan, ami segíti a kimeneti vizsgákra való felkészülést, eléri azok színvonalát, és alkalmas a felkészülés tesztelésére, az önálló munkára is; – a taneszköz nyomdai kivitelezése legyen alkalmas a tantárgy óraszámának és igényeinek megfelelő használatra több tanéven keresztül; – a taneszköz minősége, megjelenése legyen alkalmas a diákok esztétikai érzékének fejlesztésére, nevelje a diákokat igényességre, precíz munkavégzésre, a taneszköz állapotának megóvására;

6.

Emelt szintű képzési program óraterve matematikából Ez a helyi tanterv a 11-12. évfolyamon heti két órában szervezett, emelt szintű érettségire felkészítő matematika fakultáció számára készült. A csoportokat csak erre a két órára emeljük ki az osztályokból, ezért a fakultáció anyaga ráépül az osztályok tantervére. Az emelt óraszámú tantervbe beépítetünk néhány, az emelt szintű követelmények között szereplő anyagrészt és a magasabb óraszám lehetőséget teremt a részletesebb, elmélyültebb tárgyalásra, az alaposabb gyakorlásra is. Mindez megfelelő alapot nyújthat az emelt szintű érettségire készülőknek a további követelmények elsajátításához. Ezt a tantervet a 6.3.2.1 számú A emelt szintű tanterv alapján készítettük, összevetve a 3.2.0.4 számon található kerettantervvel és tartalmát a kettő különbsége adja, kivéve az osztályok tantervébe épített (aláhúzott) anyagrészeket. A tartalom és a követelmény feszített munkatempót igényel. Lehetőség szerint össze kell hangolni az osztályok és a fakultáció tanmeneteit a párhuzamos haladás elősegítése érdekében és nagyon fontos az együttműködés az osztályokban tanító kollégákkal.

Tematikai egység 1. Gondolkodási módszerek, halmazok, matematikai logika, kombinatorika, gráfok

Órakeret 8

43

2. Számelmélet, algebra Algebrai kifejezések használata, oszthatóság 3. Hatvány, gyök, logaritmus 4. Geometria Alapfogalmak, ponthalmazok, egybevágósági transzformációk, hasonlóság és kapcsolódó tételek 5. Trigonometria 6. Koordinátageometria 7. Nevezetes egyenlőtlenségek, szélsőérték-feladatok elemi megoldása 8. Számonkérés Összesen 12. évfolyam Tematikai egység 1. Sorozatok 2. Folytonosság, differenciálszámítás 3. Integrálszámítás, térgeometria 4. Statisztika, valószínűség 5. Rendszerező összefoglalás 6. Számonkérés Összesen

6.1.

8 5 10

12 11 15 3 72

Órakeret 8 25 16 6 6 3 64

Emelt szintű képzési program óraterve matematikából 11. évfolyam Korosztályi sajátosságok Ez a szakasz az eddigi matematikatanulás szintézisét adja, és egyben kiteljesíti a kapcsolatokat a többi tantárggyal, valamint a mindennapi élet matematikaigényes elemeivel. A matematikatanulásban kialakult rendszeresség, problémamegoldó készség az élet legkülönbözőbb területein segíthet. Ezt célszerű tudatosítani a tanulókban. Ez a kerettantervi elem a matematika főiskolai-egyetemi tanulására való felkészítést célozza meg. A problémamegoldó készségen túl fontos az önálló rendszerezés, lényegkiemelés, történeti áttekintés készségének kialakítása, az alkalmazási lehetőségek megtalálása, a kapcsolatok keresése különböző témakörök között. Ebben az időszakban áttekintését adjuk a korábbi évek ismereteinek, eljárásainak, problémamegoldó módszereinek, miközben sok, gyakorlati területen széles körben használható tudást is közvetítünk, amelyek kissé összetettebb problémák megoldását is lehetővé teszik. Az érettségi előtt már elvárható a tanulóktól többféle készség és ismeret együttes alkalmazása. Minden témában hangsúlyosan kell kitérnünk a gyakorlati alkalmazásokra, az ismeretek más tantárgyakban való felhasználhatóságára. A sorozatok, kamatos kamat témakör kiválóan alkalmas a pénzügyi, gazdasági problémákban való jártasság kialakításra. A korábbiaknál is nagyobb hangsúlyt kell fektetni a különböző gyakorlati problémák optimumát kereső feladatokra. Ezért az ilyen problémák elemi megoldását külön fejezetként iktatjuk be. Az analízis témakörben a szemléletesség segíti a problémák átlátását, az egzaktság pedig a felsőfokú képzésre való készülést. A rendszerező összefoglalás, túl azon, hogy az eddigi matematikatanulás szintézisét adja, mintaként szolgálhat a későbbiekben is bármely területen végzett összegző munkához.

44

Tematikai egység 1. Gondolkodási módszerek, halmazok, matematikai logika, kombinatorika, gráfok

Órakeret 8 8

2. Számelmélet, algebra Algebrai kifejezések használata, oszthatóság 3. Hatvány, gyök, logaritmus

5 10

4. Geometria Alapfogalmak, ponthalmazok, egybevágósági transzformációk, hasonlóság és kapcsolódó tételek 5. Trigonometria 6. Koordinátageometria 7. Nevezetes egyenlőtlenségek, szélsőérték-feladatok elemi megoldása 8. Számonkérés Összesen Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás

12 11 15 3 72

1. Gondolkodási módszerek, halmazok, matematikai logika, kombinatorika, gráfok

Órakeret 8 óra

Matematikai állítások elemzése, igaz és hamis állítások. Logikai műveletek: NEM, ÉS, VAGY. Skatulya elv, logikai szita. Sorbarendezési és kiválasztási feladatok, gráfhasználat feladatmegoldásban. Gráf, csúcs, él, fokszám.

A tematikai egység Korábban megismert fogalmak ismétlése, elmélyítése. Kombinatorikai és nevelési-fejlesztési gráfelméleti módszerek alkalmazása a matematika különböző területein, felfedezésük a hétköznapi problémákban. céljai Ismeretek/fejlesztési követelmények Halmazok. A korábbi ismeretek összegzése és kiegészítése Halmazműveletek: szimmetrikus differencia. Descartes-féle szorzat. Számhalmazok. Számhalmazok bővítésének szükségessége a természetes számoktól a komplex számokig. Algebrai számok, transzcendens számok. Halmazok számossága. n elemű halmaz részhalmazainak száma. Halmazok ekvivalenciája. Végtelen és véges halmazok. Megszámlálható és nem megszámlálható halmazok. Kontinuum-sejtés. Matematikatörténet: Cantor, Hilbert, Gödel. Konstrukciók. Lehetetlenségi bizonyítások. Adott tulajdonságú matematikai objektumok konstruálása. Adott tulajdonságú sorozatok, halmazok, függvények, egyenletek, műveletek, ábrák, lefedések, színezések stb. Annak indoklása, hogy valamely konstrukció nem hozható létre. (Pl. invariáns mennyiség keresésével.) Példák a matematika történetéből lehetetlenségi bizonyításokra. Kombinatorika. (A korábbi ismeretek összegzése.) Kombináció – ismétléssel. (Vegyes kombinatorikai feladatokon keresztül ismétlés,

Kapcsolódási pontok Filozófia: Gondolati rendszerek felépítése. Bizonyíthatóság.

45

rendszerezés.) Binomiális együtthatók, tulajdonságaik. Pascal-háromszög és tulajdonságai. Binomiális tétel. Matematikatörténet: Blaise Pascal. Néhány kombinatorikus geometriai probléma. Matematikatörténet: Erdős Pál. Gráfok. Gráfelméleti alapfogalmak (korábbi ismeretek bővítése): egyszerű gráf, összefüggő gráf, komplementer gráf, fagráf, kör, teljes gráf Euler-vonal, Hamilton-kör. Gráfok alkalmazása leszámolásos feladatokban – rendszerező ismétlés. Matematikatörténet: Euler.

Biológia-egészségtan: genetika.

A matematika felépítése. Fogalmak, alapfogalmak, axiómák, tételek, sejtések. Műveletek a matematikában. Műveleti tulajdonságok. Relációk a matematikában és a mindennapi életben. Relációtulajdonságok. Bizonyítási módszerek áttekintése. Direkt, indirekt bizonyítás, logikai szita formula, skatulya elv, teljes indukció. Tételek megfordítása.

Filozófia: Gondolati rendszerek felépítése. Állítások igazolásának szükségessége.

46

Permutáció, variáció, kombináció, művelet, reláció, binomiális együttható. Kulcsfogalmak/ Fagráf, körgráf, egyszerű gráf, összefüggő gráf, teljes gráf. fogalmak Tematikai egység/ Fejlesztési cél

Előzetes tudás

2. Számelmélet, algebra Algebrai kifejezések használata, oszthatóság,egyenlet,egyenletrendszer

Órakeret 8 óra

Összefüggések leírása algebrai kifejezésekkel, (a  b) 2 , a 2  b2 , helyettesítési érték, zárójelfelbontás. Osztó, többszörös, prímszám, prímtényezős felbontás, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös. Első- és másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek megoldása.

A tematikai egység Algebrai kifejezések biztonságos használata, célszerű átalakítási módok nevelési-fejlesztési megtalálása, elvégzése. A korábbi években szerzett ismeretek elmélyítése, bővítése. céljai Ismeretek/fejlesztési követelmények Nevezetes azonosságok: (a  b  c)2 , a 3  b3 , a 3  b3 . Polinom osztása polinommal. Számtani, mértani, négyzetes és harmonikus közép, a köztük lévő egyenlőtlenség. Algebrai bizonyítás két változóra.


Osztó, többszörös, oszthatóság, oszthatósági szabályok. Az oszthatósági szabályok rendszerezése. Analógiák nem tízes alapú számrendszerek oszthatósági szabályaiban. NIM játék. Példák egyéb számokkal (pl. 7-tel) való oszthatóságra tízes számrendszerben. Algebrai azonosságok alkalmazása oszthatósági feladatokban. Teljes indukció alkalmazása oszthatósági feladatokban. A számelmélet alaptétele Informatika: nagy Végtelen sok prímszám van. prímek szerepe a Néhány további tétel és sejtés a prímszámok elhelyezkedéséről. titkosításban. Osztók összegének, szorzatának meghatározása a prímtényezős felbontásból. Kis Fermat-tétel. Néhány speciális prím: pl. Mersenne-prímek, Fermat-prímek, faktoriális prímek, Sophie Germain-prímek. Matematikatörténet: Euklidesz, Eratosztenész, Euler, Fermat. Elsőfokú paraméteres egyenletek. Elsőfokú paraméteres egyenletrendszerek. Paraméteres másodfokú és másodfokúra visszavezethető egyenletek. Több abszolút értéket tartalmazó abszolútértékes egyenletek. Diofantoszi egyenletek. Lineáris diophantoszi egyenlet. Az ax + by + cxy = d típusú diofantoszi egyenlet. Szöveges feladatok megoldása diofantoszi egyenlettel. Matematikatörténet: Diophantosz. Algebrai kifejezés, polinom, algebrai tört, azonosság. Osztó, többszörös, Kulcsfogalmak/ prím, prímtényezős felbontás, a számelmélet alaptétele, legnagyobb közös fogalmak osztó, legkisebb közös többszörös. Paraméteres egyenlet Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás

3. Hatvány, gyök, logaritmus

Órakeret 5 óra

Hatványozás egész és racionális kitevővel, hatványozás azonosságai, nedik gyök, gyökvonás azonosságai. Valós számok halmaza.

A matematika belső fejlődésének felismerése, új fogalmak alkotása: a A tematikai egység racionális kitevő értelmezése, az irracionális kitevőjű hatvány nevelési-fejlesztési szemléletes fogalma. Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban: exponenciálisan, logaritmikusan változó mennyiségek. Más céljai tudományágakban a matematika alkalmazásának felfedezése. Ismeretek/fejlesztési követelmények A racionális kitevőjű hatványok, a hatványozás azonosságainak ismétlése. Számolás racionális kitevőjű hatványokkal, gyökös kifejezésekkel. Irracionális szám kétoldali közelítése racionális számokkal. A hatványfogalom kiterjesztése irracionális számra.

Kapcsolódási pontok Technika, életvitel és gyakorlat: kamatszámítás, hitelfelvétel, törlesztőrészletszámítás. Fizika: radioaktivitás.

47

Paraméteres exponenciális és logaritmusos egyenletek. Egyenletek ekvivalenciájával kapcsolatos ismeretek összegzése. Kulcsfogalmak/ Racionális kitevőjű hatvány. Exponenciális növekedés, csökkenés. Logaritmus. fogalmak Tematikai egység/ Fejlesztési cél

Előzetes tudás

4. Geometria Alapfogalmak, ponthalmazok, egybevágósági transzformációk, hasonlóság és kapcsolódó tételek

Órakeret 10 óra

Térelemek kölcsönös helyzete, távolsága. Háromszögek, négyszögek, sokszögek tulajdonságai. Háromszög köré írt kör és beírt kör szerkesztése. A Pitagorasz-tétel és a Thalész-tétel ismerete. Magasságtétel, befogótétel . Geometriai transzformációk alkalmazása problémamegoldásban. A szimmetria felismerése a matematikában, a valóságban. A háromszögek egybevágóságának és hasonlóságának alapesetei. Számtani és mértani közép.

A geometriai szemlélet, látásmód fejlesztése. A definíciók és tételek pontos ismerete. Bizonyítások gyakorlása. Tájékozódás valóságos A tematikai egység viszonyokról térkép és egyéb vázlatok alapján. Valós probléma nevelési-fejlesztési geometriai modelljének megalkotása, számítások a modell alapján, az céljai eredmények összevetése a valósággal. Számítógép használata geometriai feladatokban. Ismeretek/fejlesztési követelmények


Nevezetes ponthalmazok rendszerezése. – adott térelemtől adott távolságra lévő pontok halmaza – síkban és térben; – két térelemtől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza – síkban és térben. Parabola, forgási paraboloid. Egyenlőtlenséggel meghatározott ponthalmazok. Ponthalmazok a koordinátasíkon. Koordinátákkal megadott feltételek. Két vagy három feltételnek megfelelő ponthalmazok szerkesztése. Matematikatörténet: Descartes.

Fizika: parabolatükör. Informatika: geometriai szerkesztőprogram használata.

Háromszög hozzáírt körei. Háromszög nevezetes vonalaira vonatkozó tételek bizonyítása. Középvonalak. (Négyszögek középvonalai is.) Magasságok – magasságpont. Súlyvonalak – súlypont. Geometriai szélsőérték-feladatok. Háromszögbe írt minimális kerületű háromszög. Izogonális pont. Pitagorasz tételének alkalmazása bizonyítási feladatokban. Mikor hegyesszögű, illetve tompaszögű a háromszög? Két pont távolsága koordinátarendszerben. A paralelogramma oldalainak négyzetösszege egyenlő az átlók négyzetösszegével. Négyszög átlói merőlegességének feltétele. Matematikatörténet: Pitagorasz. Kerületi és középponti szögek.

Földrajz: minimális utak meghatározása. Fizika: vektor felbontása merőleges összetevőkre.

48

Húrnégyszög. A párhuzamos szelők tétele (bizonyítás nélkül) és megfordítása, következmények. Szögfelező tétel. A párhuzamos szelőszakaszok tétele. Negyedik arányos szerkesztése. Körhöz húzott érintő- és szelőszakaszok tétele. Aranymetszés. Kapcsolat a Fibonacci-sorozattal.

49

Forgatva nyújtás. Ptolemaiosz tétele. Matematikatörténet: Ptolemaiosz. További nem távolságtartó transzformációk. Merőleges affinitás. Kapcsolat a függvény-transzformációkkal. Inverzió. (Csak mint példa nem távolságtartó transzformációra.) Néhány kapcsolódó tétel. Ceva és Menelaosz tétele. Euler tétele a beírt és körülírt kör középpontjának távolságára. Feuerbach-kör és Euler-egyenes. (Célszerű a bizonyításokat megmutatni, a bennük lévő ötletek miatt, de a teljes bizonyítások megtanulása nem szükséges.) Matematikatörténet: Euler. Térelem, sokszög, Pitagorasz-tétel, Thalész-tétel, egybevágósági Kulcsfogalmak/ transzformáció. Vektor. Kerületi és középponti szög. Húrnégyszög. fogalmak Hasonlósági transzformáció, hasonló alakzat, számtani és mértani közép. Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás

5. Trigonometria

Órakeret 12 óra

Vektorokkal végzett műveletek. Hegyesszögek szögfüggvényei, a szögfüggvények általános értelmezése, szögmérés fokban és radiánban, szögfüggvények közötti egyszerű összefüggések trigonometrikus összefüggések.

A geometriai látásmód fejlesztése. A művelet fogalmának bővítése egy A tematikai egység újszerű művelettel, a skaláris szorzással. Algebrai és geometriai nevelési-fejlesztési módszerek közös alkalmazása számítási, bizonyítási feladatokban. A tanultak felfedezése más tudományterületeken is. A függvényszemlélet céljai alkalmazása az egyenletmegoldás során, végtelen sok megoldás keresése. Ismeretek/fejlesztési követelmények A skaláris szorzás alkalmazása számítási és bizonyítási feladatokban A skaláris szorzat és a Cauchy-egyenlőtlenség kapcsolata. Vektorok vektoriális szorzata. Szemléletes kép, bizonyítások nélkül. Szinusztétel, koszinusztétel bizonyítása.

Kapcsolódási pontok Fizika: munka, elektromosságtan.

Addíciós tételek:  két szög összegének és különbségének szögfüggvényei,  egy szög kétszeresének szögfüggvényei,  félszögek szögfüggvényei,  két szög összegének és különbségének szorzattá alakítása. A trigonometrikus azonosságok használata, több lehetőség közül a legalkalmasabb összefüggés megtalálása. Trigonometrikus kifejezések értékének meghatározása. Háromszögekre vonatkozó feladatok addíciós tételekkel. Tangenstétel. Trigonometrikus egyenletek. Az összes megoldás megkeresése. Hamis gyökök elkerülése. Trigonometrikus egyenlőtlenségek. Grafikus megoldás vagy egységkör alkalmazása. Időtől függő periodikus jelenségek vizsgálata. Trigonometrikus kifejezések szélsőértékének keresése.

Fizika: rezgőmozgás, adott kitéréshez, sebességhez, gyorsuláshoz tartozó időpillanatok meghatározása.

Kulcsfogalmak/ Skaláris szorzat, szinusztétel. koszinusztétel, addíciós tétel, trigonometrikus azonosság, egyenlet. fogalmak Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás

6. Koordinátageometria

Órakeret 11 óra

Koordinátarendszer, vektorok, vektorműveletek megadása koordinátákkal. Ponthalmazok koordináta-rendszerben. Függvények ábrázolása. Elsőfokú, másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek megoldása. Az egyenes egyenletei. A kör egyenlete.

A tematikai egység Elemi geometriai ismeretek megközelítése új eszközzel. Geometriai nevelési-fejlesztési problémák megoldása algebrai eszközökkel. Számítógép használata. céljai Ismeretek/fejlesztési követelmények


Szakasz osztópontjának koordinátái. Az egyenes egyenletei. ( Ismeretek rendszerezése, kiegészítése).  Adott pontra illeszkedő, adott normálvektorú egyenes, illetve sík egyenlete.  Adott pontra illeszkedő, adott irányvektorú egyenes egyenlete síkban, egyenletrendszere térben. Két egyenes szöge. ( Skaláris szorzat használata). A kör érintőjének egyenlete. Két kör közös pontjainak meghatározása. Másodfokú, kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása. A diszkrimináns vizsgálata, diszkusszió.

A parabola tengelyponti egyenlete. Fizika: geometriai A parabola pontjainak tulajdonsága: fókuszpont, vezéregyenes. optika, fényszóró, A parabola és a másodfokú függvény. visszapillantó tükör. Teljes négyzetté kiegészítés. A parabola és az egyenes kölcsönös helyzete. A diszkrimináns vizsgálata, diszkusszió.

50

Összetett feladatok megoldása paraméter segítségével vagy a szerkesztés menetének követésével. Mértani helyek keresése. Apollóniosz-kör. Merőleges affinitással kapott mértani helyek. Ponthalmazok a koordinátasíkon. Egyenlőtlenséggel megadott egyszerű feltételek. Lineáris programozási feladat.

Informatika: több feltétel együttes vizsgálata.

Kulcsfogalmak/ Vektor, irányvektor, normálvektor, iránytényező. Egyenes, kör, parabola egyenlete. fogalmak Tematikai egység/ 7. Nevezetes egyenlőtlenségek, szélsőérték-feladatok elemi Órakeret Fejlesztési cél megoldása 15 óra Előzetes tudás

Nevezetes azonosságok ismerete. Közepek és sorendjük ismerete két változóra. Másodfokú és trigonometrikus függvények ismerete.

Gyakorlati problémák matematikai modelljének felállítása. A modell A tematikai egység hatókörének vizsgálata, a kapott eredmény összevetése a valósággal. nevelési-fejlesztési A szélsőérték-problémához illő megoldási mód kiválasztása. Gyakorlat céljai optimális megoldások keresésében. Ismeretek/fejlesztési követelmények


Azonos egyenlőtlenségek. Nevezetes közepek közötti egyenlőtlenségek. (Többváltozós alak bizonyítása fokozatos közelítés módszerével.) Nevezetes közepek közötti egyenlőtlenségek alkalmazása szélsőérték-feladatok megoldásában. Szélsőérték-feladatok megoldása függvénytulajdonságok segítségével. (Másodfokú és trigonometrikus függvényekkel.) Szélsőérték-feladatok megoldása fokozatos közelítés módszerével. Bernoulli-egyenlőtlenség. Cauchy-egyenlőtlenség. Jensen-egyenlőtlenség. (Bizonyítás nélkül, szemléletes képpel.) Környezetvédelem: legrövidebb utak és egyéb optimális módszerek keresése. Kulcsfogalmak/ Szélsőértékhely, szélsőérték. Nevezetes közép. fogalmak

6.2.

Matematika emelt-ben 2x36 óra=72 óra Óra Téma 1. Függvények 2-4. Deriválás Emelt szintű képzési program óraterve matematikából 12. évfolyamon Matematika emelt-ben 12. évfolyam Tematikai egység 1. Sorozatok

Kiemelt feladat

Órakeret 8

51

2. Folytonosság, differenciálszámítás 3. Integrálszámítás, térgeometria 4. Statisztika, valószínűség 5. Rendszerező összefoglalás 6. Számonkérés Összesen Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás

25 16 6 6 3 64 1. Sorozatok

Órakeret 8 óra

Számtani sorozat, mértani sorozat fogalma, egyszerű alapösszefüggések.

A tematikai egység A hétköznapi életben, matematikai problémában a sorozattal leírható nevelési-fejlesztési mennyiségek észrevétele. Sorozatok megadási módszereinek alkalmazása. Összefüggések, képletek hatékony alkalmazása. céljai Ismeretek/fejlesztési követelmények Sorozat megadása rekurzióval – Fibonacci-sorozat. Rekurzív sorozat n-edik elemének megadása. Matematikatörténet: Fibonacci. Véges sorok összegzése. Számtani és mértani sorozatból előállított szorzatok összegzése. Teleszkópos összegek.

Kapcsolódási pontok Informatika: algoritmusok.

Sorozatok konvergenciája. A határérték szemléletes és pontos definíciói. Műveletek konvergens sorozatokkal. Konvergens és divergens sorozatok. n

 1 Az a , n 1   sorozatok.  n Konvergens sorozatok tulajdonságai. Torlódási pont. Konvergens sorozatnak egy határértéke van. Minden konvergens sorozat korlátos. Monoton és korlátos sorozat konvergens. Konvergens sorozatokra vonatkozó egyenlőtlenségek. Rendőrelv. n

n

Végtelen sorok. Végtelenen sor konvergenciája, összege. Végtelen mértani sor. Szakaszos végtelen tizedes tört átváltása. További példák konvergens sorokra. Teleszkópos összegek. Négyzetszámok reciprokainak összege. Példák nem konvergens sorokra. Harmonikus sor. Feltételesen konvergens sorok. Kulcsfogalmak/ Sorozat, számtani sorozat, mértani sorozat, rekurzív sorozat, konvergens sorozat, mértani sor. fogalmak Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás

2. Folytonosság, differenciálszámítás

Órakeret 25 óra

Függvények megadása, értelmezési tartomány, értékkészlet. Függvények jellemzése: zérushely, korlátosság, szélsőérték, monotonitás, paritás,

52

periodicitás. Sorozatok határértéke. Megismerkedés a függvények vizsgálatának új módszerével. A függvény A tematikai egység folytonossága és határértéke fogalmának megalapozása. A nevelési-fejlesztési differenciálszámítás módszereinek használta a függvények lokális és globális tulajdonságainak vizsgálatára. A matematikán kívüli területeken céljai – fizika, közgazdaságtan – is alkalmazások keresése. Ismeretek/fejlesztési követelmények


A valós számok halmazán értelmezett függvények jellemzése. Korábbi ismeretek rendszerező ismétlése, kiegészítése. Egészrész-,törtrész-, előjelfüggvény, Dirichlet-féle függvény. Függvények korlátossága. .

Informatika: számítógépes szoftver alkalmazása függvények grafikonjának megrajzolására.

Függvény határértéke. A függvények határértékének szemléletes fogalma, pontos definíciói. Jelölések. Függvények véges helyen vett véges; véges helyen vett végtelen; végtelenben vett véges; végtelenben vett végtelen határértéke. A sorozatok és a függvények határértékének kapcsolata. sin x A függvény vizsgálata, az x = 0 helyen vett határértéke. x

Informatika: a határérték számítógépes becslése.

A függvények folytonossága. Példák folytonos és nem folytonos függvényekre. A folytonosság definíciói. Intervallumon folytonos függvények. Korlátos és zárt intervallumon folytonos függvények tulajdonságai. (Bizonyítások nélkül, de ellenpéldákkal azokra az esetekre, ha az intervallum nem korlátos, nem zárt, illetve ha a függvény nem folytonos.)

Fizika: példák folytonos és diszkrét mennyiségekre.

Fizika: felhasználás sin x, illetve tg x közelítésére kis szög esetében.

Bevezető feladatok a differenciálhányados fogalmának előkészítésére. Fizika: az út-idő A függvénygörbe érintőjének iránytangense. függvény és a A pillanatnyi sebesség meghatározása. pillanatnyi sebesség kapcsolata. A fluxus és az indukált feszültség kapcsolata. Biológia-egészségtan: populáció növekedésének átlagos sebessége. A differenciálhatóság fogalma. A különbségi hányados függvény, a differenciálhányados (derivált), a deriváltfüggvény. Példák nem differenciálható függvényekre is. Kapcsolat a differenciálható és a folytonos függvények között. Alapfüggvények deriváltja: Konstans függvény, xn, trigonometrikus függvények deriváltja. Műveletek differenciálható függvényekkel.

Fizika: harmonikus rezgőmozgás kitérése, sebessége, gyorsulása – ezek kapcsolata.

53

Függvény konstansszorosának deriváltja, összeg-, szorzat-, hányados-, összetett függvény deriváltja. Inverz függvény deriváltja. Exponenciális és logaritmusfüggvény deriváltja. (Bizonyítás nélkül.) Magasabbrendű deriváltak. Matematikatörténet: Fermat, Leibniz, Newton, Cauchy, Weierstrass. A függvény tulajdonságai és a derivált kapcsolata.  Lokális növekedés, fogyás – intervallumon monoton függvény.  Szélsőérték – lokális szélsőérték, abszolút szélsőérték. A szükséges és az elégséges feltételek pontos megfogalmazása, alkalmazása. Középértéktételek. Rolle- és Lagrange-tétel. (Szemléletes kép.)

Fizika: fizikai tartalmú függvények (pl. út-idő, sebesség-idő) deriváltjainak jelentése. 54

Konvexitás vizsgálata deriválással. A konvexitás definíciója. Inflexiós pont. A második derivált és a konvexitás kapcsolata. Függvényvizsgálat differenciálszámítással. Összevetés az elemi módszerekkel. Gyakorlati jellegű szélsőérték-feladatok megoldása. A differenciálszámítás és az elemi módszerek összevetése.

Fizika: Fermat-elv, Snellius-Descartes törvény. Fizikai jellegű szélsőérték-problémák.

Függvényfolytonosság, -határérték. Különbségi hányados függvény, Kulcsfogalmak/ derivált, deriváltfüggvény, magasabbrendű derivált. Monotonitás, lokális fogalmak szélsőérték, abszolút szélsőérték. Konvex, konkáv függvény. Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás

3. Integrálszámítás, térgeometria

Órakeret 16 óra

Folytonos függvények fogalma. Területszámítás elemei. Sorozatok, véges sorok. Differenciálási szabályok ismerete.

Az integrálszámítás módszereivel találkozva a közelítő módszerek A tematikai egység ismeretének bővítése. A függvény alatti terület alkalmazásai a nevelési-fejlesztési matematika és a fizika több területén. Áttekintő kép kialakítása a céljai térgeometriáról, a felszín- és térfogatszámítás módszereiről. Ismeretek/fejlesztési követelmények Térgeometria elemei. Tetraéderekre vonatkozó tételek. (Van-e beírt, körülírt gömbje, súlypontja, magasságpontja?) Ortogonális tetraéder. Tetraéder és paralelepipedon. Euler-féle poliéder-tétel. (Bizonyítás nélkül.) Szabályos testek.

Kapcsolódási pontok Kémia: kristályok. Művészetek: szimmetriák.

Bevezető feladatok az integrál fogalmához. Függvény grafikonja alatti terület. A megtett út és a sebesség-idő grafikon alatti terület. A munka kiszámítása az erő-út grafikon alatti terület alapján. Alsó és felső közelítő összegek.

Informatika:

Az intervallum felosztása, a felosztás finomítása. Közelítés véges összegekkel. A határozott integrál fogalma, jelölése. A szemléletes megközelítésre alapozva eljutás a pontos definícióig. Példa nem integrálható függvényre is. Negatív függvény határozott integrálja. A határozott integrál és a terület-előjeles terület. Az integrál közelítő kiszámítása. Számítógépes szoftver használata a határozott integrál szemléltetésére. Matematikatörténet: Bernhard Riemann.

számítógépes szoftver használata.

Az integrálhatóság szükséges és elegendő feltétele. Korlátos és monoton függvények integrálhatósága. A határozott integrál tulajdonságai.

Fizika: A munka és a mozgási energia. Elektromos feszültség két pont között, a potenciál. Tehetetlenségi nyomaték. Alakzat tömegközéppontja. A hidrosztatikai nyomás és az edény oldalfalára ható erő. Effektív áramerősség.

55

Az integrál mint a felső határ függvénye. Integrálfüggvény. Folytonos függvény integrálfüggvényének deriváltja. Kapcsolat a differenciálszámítás és az integrálszámítás között. A primitív függvény fogalma. A primitív függvények halmaza – a határozatlan integrál:  hatványfüggvény, polinomfüggvény,  trigonometrikus függvények,  exponenciális függvény, logaritmusfüggvény. A Newton-Leibniz-tétel. Integrálási módszerek: Integrálás helyettesítéssel. Matematikatörténet: Newton, Leibniz, Euler. Az integrálszámítás alkalmazása matematikai és fizikai problémákra. Két függvénygörbe közötti terület meghatározása. Forgástest térfogatának meghatározása. Henger, kúp, csonkakúp, gömb, gömbszelet térfogata. Az integrálás közelítő módszerei – numerikus módszerek.

Néhány egyszerűbb improprius integrál. Néhány hatványsor. (Formális meghatározás integrálással.) Hatványsorok szerepe a matematikában, fizikában, informatikában. Hogyan számolnak az egyszerű számológépek 12 jegy pontossággal?

Fizika: Potenciál, munkavégzés elektromos, illetve gravitációs erőtérben. Váltakozó áram munkája, effektív áram és feszültség. Newton munkássága.

Alsó- és felső közelítő összeg, határozott integrál. Primitív függvény, Kulcsfogalmak/ határozatlan integrál. Newton-Leibniz-tétel. fogalmak Felszín, térfogat, forgástestek, csonkagúla, csonkakúp, gömb. Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás

4. Statisztika, valószínűség

Órakeret 6 óra

Adatok elemzése, táblázatok, grafikonok használata. Terjedelem, átlag, medián, módusz, szórás. Klasszikus valószínűségi modell.

A tematikai egység A valószínűség fogalmának bővítése, mélyítése. A kombinatorikai nevelési-fejlesztési ismeretek alkalmazása valószínűség meghatározására. Mit jelent a valószínűség – a nagy számok törvénye. céljai Ismeretek/fejlesztési követelmények Számsokaságok jellemzése: átlag, medián, módusz, szórás. Gyakorlati példák arra, hogy mikor melyik mutatóval célszerű jellemezni a számsokaságot. Átlagos abszolút eltérés, átlagos négyzetes eltérés. A medián és az átlag minimumtulajdonsága. Statisztikai évkönyv.

Eseményalgebra. Kapcsolat a halmazok és a logika műveleteivel. Matematikatörténet: George Boole. Klasszikus valószínűségi modell. Események összegének, szorzatának, komplementerének valószínűsége. Kizáró események, független események valószínűsége. Feltételes valószínűség. Mintavételre vonatkozó valószínűségek megoldása klasszikus modell alapján. Nagy számok törvénye. (Szemléletes tárgyalás képletek nélkül.) Geometriai valószínűség. Matematikatörténet: Pólya György, Rényi Alfréd.

Kapcsolódási pontok Informatika: táblázatkezelő, adatbázis-kezelő program használata. Történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: választások.

Informatika: véletlen jelenségek számítógépes szimulációja.

Kulcsfogalmak/ Valószínűség, kizáró esemény, független esemény. fogalmak Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás

5. Rendszerező összefoglalás

Órakeret 6 óra

A 4 év matematika-tananyaga.

Ismeretek rendszerezése, alkalmazása az egyes témakörökben. Felkészítés az emelt szintű érettségire: az önálló rendszerzés, A tematikai egység lényegkiemelés, történeti áttekintés készségének kialakítása, alkalmazási nevelési-fejlesztési lehetőségek megtalálása. Kapcsolatok keresése különböző témakörök céljai között. Elemzőkészség, kreativitás fejlesztése. Felkészítés a felsőfokú oktatásra. Ismeretek/fejlesztési követelmények Gondolkodási módszerek Halmazok, matematikai logika

Kapcsolódási pontok Filozófia: gondolati rendszerek felépítése,

56

Univerzális és egzisztenciális kvantor. Kombinatorika, gráfok, algoritmusok Binomiális tétel. Pascal háromszög. Euler-féle poliédertétel. A bizonyítások fejlődése és a bizonyítási módszerek változása. Nevezetes sejtések. Függvények, sorozatok, az analízis elemei Sorozatok, sorok Sorozatok monotonitása, konvergenciája. A végtelen mértani sor. Analízis Függvények korlátossága és monotonitása. Függvény határértéke, folytonossága. Differenciálhányados, derivált függvény. Differenciálisi szabályok. L’Hospital-szabály. Függvényvizsgálat differenciálás segítségével. Szélsőérték-meghatározási módok. A tanult függvények primitív függvényei. Integrálási módszerek. A határozott integrál. Newton–Leibniz-tétel. A határozott integrál alkalmazásai. Improprius integrál. Geometria Trigonometrikus azonosságok. Az egyenes egyenletei, egyenletrendszere (síkban és térben). A kúpszeletek definíciója, egyenleteik. Geometriai mértékek A kétoldali közelítés módszere. A terület fogalma és kiszámítási módjai. A felszín és térfogat fogalma és kiszámítási módjai. Az integrálszámítás felhasználása alakzatok mértékének kiszámításához. Valószínűségszámítás, statisztika Teljes eseményrendszer. A matematika különböző területeinek öszekapcsolása: Boole-algebra. A véletlen szabályszerűségei, a nagy számok törvénye.

fejlődése.

Informatika: számítógépes programok használata függvények ábrázolására, vizsgálatára. Fizika: Az analízis alkalmazásai a fizikában. A matematika és a fizika kölcsönhatása az analízis módszereinek kialakulásában.

Művészetek: szimmetriák, aranymetszés. Informatika: számítógépes geometriai programok használata.

Informatika: táblázatkezelő, adatbázis-kezelő program használata. Fizika: fizikai jelenségek valószínűség-számítási modellje.

Gondolkodási és megismerési módszerek – Halmazok számosságával kapcsolatos ismeretek áttekintése. A fejlesztés várt – A kombinatorikai problémák rendszerezése. eredményei a két – Bizonyítási módszerek áttekintése. évfolyamos ciklus – A gráfok eszköz jellegű használata probléma megoldásában. végén Számelmélet, algebra

57

– – – – – – –

A kiterjesztett gyök-, és hatványfogalom ismerete. A logaritmus fogalmának ismerete. A gyök, a hatvány és a logaritmus azonosságainak alkalmazása konkrét esetekben, probléma megoldása céljából. Exponenciális és logaritmusos egyenletek megoldása, ellenőrzése. Trigonometrikus egyenletek megoldása, az azonosságok alkalmazása, az összes gyök megtalálása. Egyenletek ekvivalenciájának áttekintése. A számológép biztos használata.

Függvények, az analízis elemei – Exponenciális-, logaritmus- és a trigonometrikus függvények értelmezése, ábrázolása, jellemzése. – Függvénytranszformációk. – Exponenciális folyamatok matematikai modellje. – A számtani és a mértani sorozat. Rekurzív sorozatok. – Pénzügyi alapfogalmak ismerete, pénzügyi számítások megértése, reprodukálása, kamatos kamatszámítás elvégzése. – Sorozatok vizsgálata monotonitás, korlátosság, határérték szempontjából. Véges és végtelen sorok összegzése. – A függvények vizsgálata, jellemzése elemi eszközökkel és differenciálszámítás használatával. – Az integrálszámítás használata, gyakorlati alkalmazása. Geometria – Vektorok a koordináta-rendszerben, helyvektor, vektorkoordináták. – Két vektor skaláris szorzata, vektoriális szorzata. – Jártasság a háromszögek segítségével megoldható problémák önálló kezelésében, szinusztétel, koszinusztétel alkalmazása. – A geometriai és algebrai ismeretek közötti kapcsolódás elemeinek ismerete: távolság, szög számítása a koordináta-rendszerben, kör, egyenes, parabola egyenlete, geometriai feladatok algebrai megoldása. – Térbeli viszonyok, testek felismerése, geometriai modell készítése. – Távolság, szög, kerület, terület, felszín és térfogat kiszámítása. Valószínűség, statisztika – Statisztikai mutatók használata adathalmaz elemzésében. – A valószínűség matematikai fogalma, klasszikus kiszámítási módja. – Mintavétel és valószínűség kapcsolata, alkalmazása. 2x32 óra=64 óra Óra 1. Függvények 2-4. Deriválás

Téma

Kiemelt feladat

58

A 2013/2014-es tanévben kimenő rendszerben működő helyi tanterv

59

MATEMATIKA

Matematika tantárgyi tanterv a 9-12. évfolyam számára

A kerettanterv alapján készült helyi tanterv óraterve

Otthoni tanulási idő

9. osztály

10. osztály

11. osztály

12. osztály

37 hét

37 hét

37 hét

32 hét

heti 2 óra

heti 2 óra

heti 3 óra

heti 3 óra

Általános profilú osztályokban Heti óraszám

3

3

4+2

5+2

Évi óraszám

111

111

148+74

160+64

Reál profilú osztályokban Heti óraszám

4

3

4+2

5+2

Évi óraszám

111

111

148+74

160+64

Informatika profilú osztályokban Heti óraszám

3

3

4+2

5+2

Évi óraszám

111

111

148+74

160+64

Idegen nyelv profilú osztályokban Heti óraszám

3

3

4+2

4+2

Évi óraszám

111

111

148+74

128+64

Célok és feladatok A matematikatanítás célja és feladata a tanulók önálló, rendszerezett, logikus gondolkodásának kialakítása, fejlesztése. Mindezt az a folyamat biztosítja, amelynek során fokozatosan kiépítjük a matematika belső struktúráját (fogalmak, axiómák, tételek, bizonyítások elsajátítása), és a tanultakat változatos területeken alkalmazzuk. A

60

problémák felvetése indokolja a tanulók számára a pontos fogalomalkotást. Ezek a folyamatok váljanak a tanulók felfedező tanulási tevékenységének részévé. Mindez fejleszti a tanulók absztrakciós és szintetizáló képességét. A célszerű, új fogalmak alkotása, az összefüggések felfedezése és az ismeretek feladatokban való alkalmazása fejleszti a kombinatív készséget, a kreativitást, a problémahelyzetek önálló, megfelelő önbizalommal történő megközelítését, megoldását. A matematikai nevelés sokoldalú eszközökkel fejleszti a tanulók matematizáló, modellalkotó tevékenységét, kialakítja a megfogalmazott összefüggések, hipotézisek bizonyításának igényét, megmutatja a matematika hasznosságát, belső szépségét, az emberi kultúrában betöltött szerepét. Fejleszti a tanulók térbeli tájékozódását, esztétikai érzékét. A matematika a maga hagyományos és modern eszközeivel segítséget ad a természettudományok, az informatika, a technikai, a humán műveltségterületek, szakközépiskolákban a választott szakma ismeretanyagának tanulmányozásához, a mindennapi problémák értelmezéséhez, leírásához és kezeléséhez. A lehetőségekhez igazodva támogassa az elektronikus eszközök (zsebszámológép,

grafikus kalkulátor, számítógép, Internet stb.) célszerű

felhasználásának megismerését, alkalmazását. Fontos, hogy a tanulók képessé váljanak a pontos, kitartó, fegyelmezett munkára, törekedjenek az önellenőrzésre, legyenek képesek várható eredmények becslésére. Törekedni kell a tanulók

motiváltságának

biztosítására, önállóságuk fejlesztésére. Ebben a törekvésben fontos terület a matematika alkalmazásának, eszköz jellegének sokoldalú bemutatása, és a tanításban való érvényesítése. Az általános iskolai tanításhoz képest egyre inkább hangsúlyt kap a tárgy deduktív jellege, de továbbra sem nélkülözhető a szemléletre és tevékenységre épülő feldolgozás sem. A tanulók váljanak képessé a középszintű érettségi vizsga sikeres letételére.

A matematika kerettantervének új vonásai: a)

a modellalkotás, matematizálás jelentőségének növekedése;

b)

a matematika alkalmazási terének növekedése;

c)

egyensúly a matematika belső struktúrájának kiépítése és a tanultaknak a mindennapi életben, más tárgyakban való felhasználása, eszközként való alkalmazása között;

d)

a modern oktatási, tanulási technológiák beépítése a mindennapi iskolai oktatási, nevelési tevékenységbe.

Fejlesztési követelmények Az elsajátított matematikai fogalmak alkalmazása A matematikai szemlélet fejlesztése A középiskolai tanulmányok során a korábban szemléletesen, tevékenységek segítségével kialakított fogalmak megerősítésére, bizonyos fogalmak definiálására, általánosítására kerül sor. A különböző témakörökben megismert összefüggések feladatokban, gyakorlati problémákban való

61

alkalmazása, más témakörökben való felhasználhatóságának felismerése, alkalmazásképes tudása fejleszti a tanulók matematizáló tevékenységét. Az időszak végére szükség van a valós számkör biztos ismeretére, e számkörben megismert műveletek gyakorlati és elvontabb feladatokban való alkalmazására is. A tananyag különböző fejezeteiben a számításoknál fontos a zsebszámológép, a számítógép biztos alkalmazása. Műveleteket az algebrai kifejezések és a vektorok körében is értelmezünk és használunk. Elengedhetetlen az elemi függvények ábrázolása koordináta-rendszerben és a legfontosabb függvénytulajdonságok meghatározása nemcsak a matematika, hanem a természettudományos tárgyak megértése miatt, különböző gyakorlati helyzetek leírásának érdekében is. A geometriai ismeretek bővülése, a megismert geometriai transzformációk rendszerezettebb tárgyalása fejleszti a dinamikus geometriai szemléletet. A trigonometriai számítások a gyakorlat szempontjából fontosak (távolságok, szögek meghatározása számítás útján). A sík- és térgeometriai fogalmak és tételek mind a térszemlélet, mind az analógiás gondolkodás fejlesztése szempontjából lényegesek. A terület-, felszín-, térfogatszámítás más tantárgyakban is elengedhetetlen. A koordinátageometria elemeinek tanításával a matematika különböző területeinek összefüggéseit s így a matematika komplexitását mutatjuk meg. A következtetési, a bizonyítási készség fejlesztése hangsúlyos ennél a korosztálynál. A “ha ..., akkor ...” az “akkor és csak akkor” helyes használata az élet számos területén (nem csak a matematikában) fontos.

Gyakorlottság a matematikai problémák megoldásában, jártasság a logikus gondolkodásban A problémaérzékenységre, problémamegoldásra nevelés fontos feladatunk. Ehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése s az, hogy a tanulók minél többször önállóan oldjanak meg feladatokat. Aktívan vegyenek részt a tanítási, tanulási folyamatban. A diszkussziós képesség fejlesztése, a többféle megoldás keresése, megtalálása és megbeszélése a logikus gondolkodást is fejleszti. Hasznos a mindennapi élet

problémái és a különböző tudományok

megértéséhez (a

társadalomtudományokéhoz is) a gyakorlatban fontos témák megismerése, pl. a geometriai számítások, a leíró statisztika és valószínűség-számítás elemeinek alkalmazása. Ez megmutatja a tanulók számára a

62

matematika használhatóságát. El kell érnünk, hogy az érettségi előtt állók e területen bizonyos gyakorlottságra tegyenek szert.

Az elsajátított megismerési módszerek és gondolkodási műveletek alkalmazása A 9–12. évfolyam matematikatanításában az induktív módszer mellett nagyobb szerepet kapnak a deduktív következtetések is. A tanítandó anyagban sejtéseket fogalmazunk (fogalmaztatunk) meg, melyek néhány lépésben bizonyíthatók vagy megcáfolhatók. Tanításunkban fontos a bizonyítás iránti igény felkeltése. Sor kerül néhány egyszerű tétel bizonyítására, bizonyítási módszerek megismerésére, valamint a fogalmak, szabályok pontos megfogalmazására. A matematikatanításban alapvetően fontos az absztrakciós képesség fejlesztése. Az érettségi előtti rendszerező összefoglaláskor a matematika komplexitását mutatja meg az elemi halmazelméleti és logikai ismeretek alkalmazása különböző témakörökben, valamint egyszerű modellek (pl. gráfok) szerepeltetése. A logikus gondolkodás a problémamegoldásban, az algoritmikus eljárások során és az alkalmazásokban egyaránt lényeges. A matematika különböző területein néhány lépéses algoritmus készítése az informatika tanulmányozásához is fontos. Természetesen ezen időszakban is elengedhetetlen a szemléltető ábrák és egyéb eszközök alkalmazása nemcsak a geometriában (trigonometriában), hanem a kombinatorikában és a statisztikában is. Az adatsokaságok különböző jellemzési lehetőségeinek megismertetésével ezen a téren is fejlesztjük az alkalmazásképes tudást.

63

Helyes tanulási szokások fejlesztése A gyakorlati számítások során alkalmazott újabb ismeretek egyre fontosabbá teszik az elektronikus eszközök célszerű használatát. A közelítő értékekkel való számoláshoz különösen elengedhetetlen a becslés, a kerekítés, az ellenőrzés különböző módjainak alkalmazása, az eredmény realitásának eldöntése. A tanulóktól megkívánjuk a szaknyelv pontos használatát, a jelölésrendszer helyes alkalmazását. A matematikai szöveg értő olvasása, tankönyvek, lexikonok használata, szövegekből a lényeg kiemelése, a helyes jegyzeteléshez szoktatás a felsőfokú tanulást is segíti. A helyes érvelésre szoktatással sokat tehet (és tesz is) a matematikatanítás a kommunikációs készség fejlesztéséért. Fontos elérnünk, hogy a tanulók meg tudják különböztetni a definíciót, a sejtést és a tételt. Matematikatudásról akkor beszélhetünk, ha a definíciókat, tételeket alkalmazni is tudja a tanuló. Nem hagyhatjuk figyelmen kívül, hogy a matematika a kultúrtörténet része. Komoly motiváció lehet tanításunkban a matematikatörténet egy-egy mozzanatának megismertetése, a máig meg nem oldott egyszerűnek tűnő matematikai sejtések megfogalmazása, nagy matematikusok élete, munkássága. Ehhez segítséget ad a könyvtár és az Internet használata is.

64

Belépő tevékenységformák Fontos a tanulók motiválása. Ennek érdekében az egyes témák felvezetésében alkalmazunk a mindennapi életben felmerülő problémákhoz kapcsolódó feladatokat, használjuk a témákhoz kapcsolódó számítógépes programokat. Az új fogalmak, tételek és bizonyítások tárgyalása történhet frontális vagy csoportos munkával. Differenciált foglalkozással hatékonyan fejleszthetjük a tanulói kreativitást. Egyes témakörök feldolgozását (pl. függvények, térgeometria stb.) érdekessé, eredményessé teszi a számítógépes feldolgozás. Megmutatjuk és alkalmazzuk a matematikában használt bizonyítási módszereket. Matematikatörténeti ismeretekkel érdekesség tehetjük a tanórákat, gazdagíthatjuk a tanulók ismereteit.

Tanulói tevékenységek A már meglévő ismereteket felidézik, rendszerezik, összehasonlítják, kibővítik és alkalmazzák. Feladatokat értelmeznek, modelleznek, megoldanak és az eredményeket ellenőrzik, összevetik az adatokkal és a valósággal. Adatokat rendszereznek, elemeznek, egyszerűbb szerkesztéseket, bizonyításokat végeznek. Tanórán önállóan jegyzetelnek. Rendszeresen házi feladatot készítenek.

Értékelési módok: -

folyamatos megfigyelés, korrekció,

-

csoportos és egyéni szóbeli számonkérés

-

diagnosztizáló felmérés

-

dolgozat

-

témazáró dolgozat

-

teszt

-

otthoni önálló munka értékelése

-

év végi szintmérés

-

standardizált pedagógiai tesztek

65

Évfolyamonként ismétlődő szerkezeti egységek 9. évfolyam Reál profilú osztályokban Évi óraszám: 111 kötött + 37 óra a szabadon tervezhető keretből

A kerettantervi éves időkeret 20 %-át (22 órát) és 37 többletórát a tanár a tananyag gyakorlására, ismétlésre, a tanultak elmélyítésére, megerősítésre használja fel. Elosztása kb. a témakörök nagyságával arányos, konkrétan a mindenkori tanmenet rögzíti.

66 Az évi óraszám felhasználása témakörök szerinti lebontásban:

Gondolkodási módszerek Számtan, algebra Függvények, sorozatok Geometria

Kerettantervi időkeret 80 %-a 8 óra 36 óra 10 óra 22 óra

Valószínűség, statisztika

5 óra

Témazárók írása, javítása Összesen

8 óra

Kerettantervi időkeret 20 %-a 2 óra 8 óra 3 óra 6 óra 3 óra 111 óra

Választható heti 1 óra 3 óra 19 óra 4 óra 8 óra 3 óra 37 óra

Általános, informatika, idegen nyelv profilú osztályokban Évi óraszám: 111 kötött A kerettantervi éves időkeret 20 %-át (22 órát) a tanár a tananyag gyakorlására, ismétlésre, a tanultak elmélyítésére, megerősítésre használja fel. Elosztása kb. a témakörök nagyságával arányos, konkrétan a mindenkori tanmenet rögzíti. Az évi óraszám felhasználása témakörök szerinti lebontásban:




5 óra


8 óra


Az elégséges osztályzathoz szükséges minimális követelményt a negyedik oszlop vastagon szedett része tartalmazza.

Gondolkodási módszerek

TANANYAG

FEJLESZTÉSI KÖVETELMÉNYEK

TEVÉKENYSÉGFORMÁK

A TOVÁBBHALADÁS FELTÉTELEI

A megismert számhalmazok,

A szemléletes fogalmak

Tájékozottság a racionális

ponthalmazok áttekintése,

definiálása, tudatosítása.

számkörben.

véges és végtelen

67

halmazok, az intervallum fogalma. Halmazműveletek: unió-,

Részhalmaz, unió, metszet,

metszet-,

két halmaz különbsége.

részhalmazképzés, két halmaz különbsége. Egyszerű kombinatorikai

Módszer keresése az összes

feladatok, az összes eset

eset áttekintéséhez.

áttekintése. Az “akkor és csak akkor” használata (folyamatos).

A szükséges és elégséges

Tétel és megfordítása

feltétel megkülönböztetése.

(folyamatos).

Feladatok értelmezése

Számtan, algebra TANANYAG A hatványozás értelmezése 0 és negatív egész kitevőre, a hatványozás azonosságai; számok abszolút értéke, normál alakja.



A fogalom célszerű kiterjesztése, a számok nagyságrendjének tudása.

Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk.

Nevezetes azonosságok: kommutativitás, asszociativitás, 2 disztributivitás; (a ± b) , 2 2 a – b szorzat alakja, (a 3 3 3 ± b) , a – b szorzat alakja. Ezen azonosságok alkalmazása egyszerű algebrai törtekkel végzett műveleteknél.


Számok abszolútértéke, normálalakja. A másodfokú azonosságok alkalmazása.

A szaknyelv használata.

Műveletek végzése A négy alapművelet számokkal és algebrai egyszerű algebrai törtekkel. kifejezésekkel.

Egyes változók kifejezése fizikai, kémiai képletekben. Elsőfokú kétismeretlenes Algoritmikus gondolkodás. egyenletrendszer megoldása. Egyenletrendszerre vezető szöveges feladatok, százalékszámítás, kamatszámítás. Egy abszolútértéket tartalmazó egyenletek.

A rendszerező-képesség fejlesztése.

Relatív prímek, oszthatósági feladatok. Példa számrendszerekre.

A matematika iránti érdeklődés erősítése az elemi számelmélet alapvető problémáival és matematikatörténeti vonatkozásaival.

Gyakorlati problémák Egyszerű modellezése, értő egyenletrendszerek biztos szövegolvasás. megoldása. A százalékszámítás alkalmazása a gyakorlatban.

3-mal, 9-cel való oszthatóság ismerete. Számok prímtényezőkre való bontása. 2-es alapú számrendszer kapcsolata a 10-es alapú számrendszerrel.

Függvények, sorozatok TANANYAG



68

A függvény fogalma, elemi tulajdonságai; a lineáris függvény, abszolútértékfüggvény, másodfokú függvény, gyakorlati példák további függvényekre, a fordított arány. xa/x

A függvényszemlélet fejlesztése: a hozzárendelések szabályként való értelmezése.

A megfelelő modell megkeresése.

Az alapfüggvények tulajdonságainak ismerete. Képlettel megadott függvény ábrázolása értéktáblázat segítségével.

Geometria FEJLESZTÉSI KÖVETELMÉNYEK Tájékozottság a megismert síkidomok tulajdonságaiban.

TANANYAG


Geometriai alapfogalmak, háromszögekkel, négyszögekkel, sokszögekkel kapcsolatos ismeretek kiegészítése, rendszerezése. A háromszög nevezetes Sejtések megfogalmazása, új vonalai, beírt köre, összefüggések felfedezése, körülírt körre. bizonyítási igény kialakítása. (Legalább egy tétel bizonyítása.) Thalész tétele, a kör és érintői. A tengelyes és középpontos tükrözés, az eltolás áttekintése, rendszerezése, pont körüli elforgatás és tulajdonságai. A forgásszög fogalma, ívmérték, a kör középponti szöge. A körív hossza, körcikk kerülete, területe (képletek használata). Egyszerű szerkesztési feladok.

A nevezetes vonalak és a háromszög beírt és köré írt körének ismerete. A körrel kapcsolatos fogalmak és az érintő tulajdonságának ismerete. Az eltolás és tükrözések tulajdonságainak felhasználása egyszerű feladatokban.

A transzformációk, mint függvények értelmezése, a matematika különböző területei közötti kapcsolatok keresése. Síkbeli tájékozódás, a konstrukciós, analizáló képesség és a diszkussziós igény kialakítása.

A TOVÁBBHALADÁS FELTÉTELEI Speciális háromszögek, négyszögek és szabályos sokszögek tulajdonságainak ismerete.

Tervezés, szemléltetés, szerkesztőprogramok megismerése.

Valószínűség, statisztika TANANYAG Statisztikai adatok és ábrázolásuk (kördiagram, oszlopdiagram, stb.), számtani közép, medián, módusz; szórás.

FEJLESZTÉSI KÖVETELMÉNYEK A statisztikai adatok helyes értelmezése.

TEVÉKENYSÉGFORMÁK Adatok összevetése a valósággal.

A TOVÁBBHALADÁS FELTÉTELEI Számsokaság számtani közepének kiszámítása, a középső érték (medián) és a leggyakoribb érték (módusz) ismerete. Kördiagram, oszlopdiagram adatainak értelmezése.

10. évfolyam Évi óraszám: 111 kötött A kerettantervi éves időkeret 20 %-át (22 órát) a tanár a tananyag gyakorlására, ismétlésre, a tanultak

69

elmélyítésére, megerősítésre használja fel. Elosztása kb. a témakörök nagyságával arányos, konkrétan a mindenkori tanmenet rögzíti. Az évi óraszám felhasználása témakörök szerinti lebontásban:




5 óra


8 óra

Kerettantervi időkeret 20 %-a 2 óra 8 óra 4 óra 5 óra 3 óra

70 111 óra

Gondolkodási módszerek FEJLESZTÉSI KÖVETELMÉNYEK Tétel és megfordítása.

A köznapi

A TOVÁBBHALADÁS FELTÉTELEI A csak kimondott, illetve

Bizonyítási módszerek,

gondolkodás és a

be is bizonyított

jellegzetes

matematikai

összefüggések

gondolatmenetek (indirekt

gondolkodás

megkülönböztetése.

módszer, skatulya-elv).

megkülönböztetése.

TANANYAG

A bizonyítási igény további fejlesztése. Változatos kombinatorikai

Egyszerű sorbarendezési

feladatok.

és kiválasztási feladatok konkrét elemszám esetén.

Számtan algebra TANANYAG A valós szám szemléletes fogalma, kapcsolata a számegyenessel, a valós számok tizedestört alakja, példák irracionális számokra. A négyzetgyökvonás azonosságainak használata egyszerű esetekben, az n-edik gyök. A másodfokú egyenlet megoldása, a megoldóképlet, gyöktényezős alak. Összefüggés két pozitív szám számtani és mértani közepe között. Másodfokú egyenletre vezető szöveges feladatok. Ekvivalens és nem ekvivalens lépések egyenletek átalakításánál, egyszerű négyzetgyökös egyenletek. Másodfokú egyenlőtlenségek, megoldása.

FEJLESZTÉSI KÖVETELMÉNYEK A permanencia elve a számfogalom bővítésében.


A TOVÁBBHALADÁS FELTÉTELEI Tájékozottság a valós számok halmazán, a racionális és irracionális számok tizedestört alakja, nevezetes irracionális számok ismerete. A négyzetgyök azonosságainak alkalmazása egyszerű esetekben.

Az algoritmikus gondolkodás fejlesztése.

A megoldás keresése többféle úton, tanulói felfedezések, önálló eljárások keresése.

A matematika eszközként való felhasználása gyakorlati és természettudományos problémák megoldásában. Diszkussziós igény az algebrai feladatoknál.

A megoldóképlet biztos ismerete és alkalmazása. Két pozitív szám számtani és mértani közepének fogalma. Különböző típusú egyszerű szöveges feladatok megoldása. Egyszerű négyzetgyökös egyenlet megoldása. A megoldások ellenőrzése.

Az algebrai és grafikus módszerek együttes alkalmazása a problémamegoldásban.

Függvények, sorozatok TEVÉKENYSÉGA TOVÁBBHALADÁS FEJLESZTÉSI FORMÁK FELTÉTELEI KÖVETELMÉNYEK A négyzetgyök fügÚj függvénytulajdonságok Függvénytranszformációk A szögfüggvények gvény. A tanult függvé- megismerése. további alkalmazása. definíciójának ismerete, nyek néhány egyszerű A négyjegyű az xsinx és xcosx transzformációja. függvénytáblázatok és függvények ábrázolása és A forgásszög szögfügmatematikai összefüggések tulajdonságai. gvényeinek értelmezése, célszerű használata. összefüggés a szög szögfüggvényei között. A szögfüggvények tulajdonságai (értelmezési tartomány, monotonitás, zérushelyek, szélsőértékek, periodicitás, értékkészlet), a függvények ábrázolása. TANANYAG

Geometria TANANYAG




71

A hasonlósági transzformáció fogalma.

A transzformációs szemlélet fejlesztése.

A hasonlóság szemléletes tartalmának ismerete, a középpontos nagyítás és kicsinyítés alkalmazása egyszerű gyakorlati feladatokban. A háromszögek Kreatív problémamegoldás. .Biztos számolási készség, Az alapesetek ismerete. hasonlósága, Geometriai ismeretek zsebszámológép célszerű A felsorolt tételek alapeseteinek ismerete és alkalmazása használata. ismerete és alkalmazása alkalmazása egyszerű egy vagy két lépéssel esetekben. megoldható számítási A hasonlóság feladatoknál. alkalmazásai: háromszög súlyvonalai, súlypontja, arányossági tételek a derékszögű háromszögben. Hasonló síkidomok területének aránya, hasonló testek térfogatának aránya. Pitagorasz tételének, illetve a szögfüggvényeknek alkalmazása derékszögű háromszög hiányzó adatainak kiszámítására, gyakorlati feladatok. Nevezetes szögek szögfüggvényértékeinek kiszámítása. A vektor szorzása A vektorok további számmal, vektor alkalmazása. felbontása síkban.

Valószínűség, statisztika FEJLESZTÉSI KÖVETELMÉNYEK Valószínűségi kísérletek. A valós helyzetek A valószínűség szemléletes értelmezése, megértése fogalma, kiszámítása és értékelése. konkrét esetekben. TANANYAG

TEVÉKENYSÉGFORMÁK A valós helyzetek értelmezése, megértése és értékelése.

A TOVÁBBHALADÁS FELTÉTELEI Egyszerű problémák megoldása a klasszikus valószínűségi modell alapján.

72

11. évfolyam Évi óraszám: 111 kötött + 37 óra a szabadon tervezhető keretből A kerettantervi éves időkeret 20 %-át (22 órát) és 37 többletórát a tanár a tananyag gyakorlására, ismétlésre, a tanultak elmélyítésére, megerősítésre használja fel. Elosztása kb. a témakörök nagyságával arányos, konkrétan a mindenkori tanmenet rögzíti. Az évi óraszám felhasználása témakörök szerinti lebontásban:




6 óra


8 óra


Választható heti 1 óra 4 óra 10 óra 5 óra 12 óra 6 óra 37 óra

Gondolkodási módszerek TANANYAG Vegyes kombinatorikai feladatok. Binomiális együtthatók. Gráfelméleti alapfogalmak, alkalmazásuk. Feladatok megoldása gráfokkal.

TEVÉKENYSÉGFEJLESZTÉSI FORMÁK KÖVETELMÉNYEK A kombinatív készség Becslés, a becslés fejlesztése. összevetése a A többféle megoldási mód számításokkal. lehetőségének keresése.

A TOVÁBBHALADÁS FELTÉTELEI Egyszerű kombinatorikai feladatok megoldása.

A gráf modellként való felhasználása.

A gráf szemléletes fogalma, egyszerű alkalmazásai.

Számtan, algebra TANANYAG Másodfokúra visszavezethető egyszerű egyenletek. A hatványozás kiterjesztése pozitív alap esetén racionális kitevőkre. A hatványozás azonosságai és alkalmazásuk. A logaritmus értelmezése. A logaritmus azonosságai. A definíciókon és a megismert azonosságokon alapuló exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus egyenletek.



A matematikai fogalom célszerű kiterjesztése, a fogalmak általánosításánál a permanencia elv felhasználása. Bizonyítás iránti igény Matematikatörténeti mélyítése. vonatkozások megismerése (könyvtár- és Internet használat). Az absztrakciós és szintetizáló képesség fejlesztése. Az önellenőrzés igényének fejlesztése.


A hatványozás definíciója, műveletek, azonosságok ismerete egész kitevő esetén. A logaritmus fogalmának ismerete, azonosságainak alkalmazása egyszerűbb esetekben. Exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenlet egyszerű, konkrét feladatokban.

73

Függvények, sorozatok TANANYAG x x A 2 , a 10 függvény, az exponenciális függvény vizsgálata, exponenciális folyamatok a természetben. A logaritmus függvény mint az exponenciális függvény inverze.

FEJLESZTÉSI KÖVETELMÉNYEK A függvényfogalom fejlesztése. Összefüggések felismerése a matematika különböző területei között. A bizonyításra való törekvés fejlesztése.

A tanult függvények tulajdonságai (értelmezési-tartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték, monotonitás, periodicitás, paritás). Függvény-transzformációi: f(x) + c; f(x + c); c f(x); f(c x).



Számítógép használata a függvényvizsgálatokba n és a transzformációkban.

Az alapfüggvények ábrái és legfontosabb tulajdonságainak vizsgálata (értelmezési tartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték).

Geometria, mérés TANANYAG A vektorokról tanultak áttekintése. A vektorműveletek tulajdonságai. Két vektor skaláris szorzata. A skaláris szorzat tulajdonságainak felsorolása. Szinusztétel, koszinusz-tétel. Az alkalmazásukhoz szükséges egyszerű trigonometrikus egyenletek. Távolság, szög, terület meghatározása gyakorlati feladatokban (fizikában).

TEVÉKENYSÉGA TOVÁBBHALADÁS FEJLESZTÉSI FORMÁK FELTÉTELEI KÖVETELMÉNYEK A térszemlélet fejlesztése. Vektorműveletek és tulajPontos fogalomalkotásra donságaik (összeadás, törekvés. kivonás, skalárral való Bizonyítás iránti igény szorzás). továbbfejlesztése. Vektorok alkalmazásai. A fizika és a matematika termékeny kapcsolatának megmutatása. Tervszerű munkára nevelés. A szinusztétel és a kosziAz esztétikai érzék nusztétel alkalmazása fejlesztése. alapfeladatok megoldásában (a háromszög hiányzó adatainak meghatározása). A matematika gyakorlati A zsebszámológép és felhasználása. a számítógép Az eredmények realitásá- alkalmazása. nak és pontosságának eldöntése. Geometriai feladatok Vektorok koordinátáinak megoldása algebrai biztos használata. eszközökkel. A bizonyítási készség Szakasz felezőpontja fejlesztése. koordinátáinak kiszámítása. A kör középponti egyenletének ismerete.

Helyvektor. Műveletek koordinátákkal megadott vektorokkal. Szakasz felezőpontja, harmadolópontja. A háromszög súlypontja. Két pont távolsága, szakasz hossza. A kör egyenletei. Az irányvektor, a normálvek- Adott probléma többféle tor, az irány-tangens fogalma, megközelítése. ezek kapcsolata. Az egyenes egyik egyenlete. Két egyenes párhuzamosságának, merőlegességének feltétele, két egyenes metszéspontja. Kör és egyenes kölcsönös helyzete. A kör adott pontjához tartozó érintője.

Az egyenes egy szabadon választott egyenletének tudása. Két egyenes metszéspontjának meghatározása. Kör és egyenes kölcsönös helyzetének vizsgálata.

74

Valószínűség, statisztika TANANYAG Egyszerű valószínűségszámítási problémák. A binomiális eloszlás (visszatevéses mintavétel). Eseményekkel végzett műveletek egyszerű, konkrét feladatokban. Relatív gyakoriság. A valószínűség klasszikus modellje.

Statisztikai mintavétel a gyakorlati életben.

FEJLESZTÉSI KÖVETELMÉNYEK A körülmények kellő figyelembevétele.

Modellalkotásra nevelés.

A mindennapi problémák értelmezése.



Előzetes becslés összevetése a számításokkal.

Modellalkotás.

A számítógép alkalmazása statisztikai adatok, illetve véletlen jelenségek vizsgálatára. Statisztikai zsebkönyvek, a napi sajtó adatainak elemzése.

A relatív gyakoriság és a valószínűség közötti szemléletes kapcsolat ismerete, egyszerű valószínűségi feladatok megoldása.

75

12. évfolyam Általános, reál, informatika profilú osztályokban Évi óraszám: 128 kötött + 32 óra a szabadon tervezhető keretből A kerettantervi éves időkeret 20 %-át (26 órát) és 32 többletórát a tanár a tananyag gyakorlására, ismétlésre, a tanultak elmélyítésére, megerősítésre használja fel. Elosztása kb. a témakörök nagyságával arányos, konkrétan a mindenkori tanmenet rögzíti. Az évi óraszám felhasználása témakörök szerinti lebontásban:

Gondolkodási módszerek Számtan, algebra Függvények, sorozatok Geometria Valószínűség, statisztika Témazárók írása, javítása Összesen

Kerettantervi időkeret 20 %-a

Kerettantervi időkeret 80 %-a 10 óra 18 óra 20 óra 34 óra 12 óra

Választható heti 1 óra

2 óra 8 óra 3 óra 8 óra


5 óra

5 óra

8 óra 128 óra

32 óra

Idegen nyelv profilú osztályokban Évi óraszám: 128 kötött A kerettantervi éves időkeret 20 %-át (26 órát) a tanár a tananyag gyakorlására, ismétlésre, a tanultak elmélyítésére, megerősítésre használja fel. Elosztása kb. a témakörök nagyságával arányos, konkrétan a mindenkori tanmenet rögzíti. Az évi óraszám felhasználása témakörök szerinti lebontásban:

Gondolkodási módszerek Számtan, algebra Függvények, sorozatok Geometria Valószínűség, statisztika Témazárók írása, javítása Összesen

Kerettantervi időkeret 20 %-a



12 óra

5 óra

8 óra 128 óra

76

Gondolkodási módszerek FEJLESZTÉSI KÖVETELMÉNYEK Ekvivalencia, Az ismeretek implikáció. rendszerezése. A halmazelméleti és A matematika különböző logikai ismeretek területei közti kapcsolata, összefüggéseinek rendszerezése. tudatosítása. A megismert bizonyítási A deduktív gondolkodás módszerek fejlesztése. összefoglalása. A kombinatorikai és gráfokkal kapcsolatos ismeretek áttekintése. TANANYAG


A TOVÁBBHALADÁS FELTÉTELEI Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételek.

77

Számtan, algebra TANANYAG Rendszerező összefoglalás Számhalmazok Számelméleti összefoglalás. A valós számok és részhalmazai. A műveletek értelmezése, műveleti tulajdonságok. Közelítő értékek. Egyenletek Nevezetes másod- és harmadfokú algebrai azonosságok. Első- és másodfokú egyenlet és egyenlőtlenség. Négyzetgyökös kifejezések és egyenletek. Egyszerű exponenciális, logaritmikus, trigonometrikus egyenletek és azonosságok. Az egyenletmegoldás módszerei. Az alaphalmaz szerepe. Egyszerű kétismeretlenes elsőfokú és másodfokú egyenletrendszer. Szöveges feladatok.



A TOVÁBBHALADÁS FELTÉTELEI Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételek.

Matematikatörténeti ismeretek (könyvtár- és Internethasználat). Szám- és műveletfogalom biztos alkalmazása.

Tervszerű, pontos és Önellenőrzés. fegyelmezett munkára nevelés. Az önellenőrzés fontossága.

A problémamegoldó gondolkodás, a szövegértés, a szövegelemzés fejlesztése.

Függvények, sorozatok TANANYAG




A sorozat fogalma. Matematikatörténeti Számtani és mértani A matematika alkalmazása feladatok. sorozat, az n. tag, az első a gyakorlati életben. n elem összege. Kamatoskamat-számítás. Rendszerező összefoglalás A függvényekről tanultak áttekintése, rendszerezése. Az alapfüggvények ábrázolása. Függvénytranszformációk. Függvényvizsgálat függvényábrák segítségével.

Az absztrakciós készség fejlesztése. A függvényszemlélet fejlesztése.

Számtani és mértani sorozat esetén az n. tag, és az első n elem összegének kiszámítása feladatokban. Kamatoskamat-számítás alkalmazása egyszerű gyakorlati feladatokban. Az előző évek tantervében felsorolt továbbhaladási feltételek.

A függvények alkalmazása a gyakorlatban és a természettudományokban.

78

Geometria, mérés TANANYAG Térelemek kölcsönös helyzete, távolsága, szöge.

A terület- és kerületszámítással kapcsolatos ismeretek összefoglalása. A tanult poliéderek felszíne, térfogata. A forgáshenger és a forgáskúp felszíne és térfogata. A csonkagúla, csonkakúp, a gömb felszíne, térfogata. Rendszerező összefoglalás Geometriai alapfogalmak, ponthalmazok. Egybevágósági és hasonlósági transzformációk áttekintése. Háromszögekre, négyszögekre és a körre vonatkozó tanult tételek és alkalmazásaik. Vektorok, vektorok koordinátái. Vektorműveletek, műveleti tulajdonságok, alkalmazások. Derékszögű koordinátarendszer. Egyenes és kör egyenlete. Trigonometrikus összefüggések és alkalmazásaik.

FEJLESZTÉSI KÖVETELMÉNYEK A térszemlélet fejlesztése. Az esztétikai érzék fejlesztése.


A TOVÁBBHALADÁS FELTÉTELEI Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételeken kívül: térelemek kölcsönös helyzetének, távolságuk, hajlásszögük definíciójának ismerete.

A matematika Sík- és térgeometriai gyakorlati alkalmazásai ismeretek a térgeometriában. összekapcsolása, analógiák felismerése.

79 A megismert felszín- és térfogat-számítási képletek alkalmazása egyszerű feladatokban.

A függvényszemlélet fejlesztése. A deduktív gondolkodás fejlesztése.

A matematika különböző területei közötti összefüggések felhasználása.

Valószínűség, statisztika TANANYAG Adatkezelésnél osztályba sorolás. Terjedelem. Összefoglalás: Adathalmazok jellemzői: számtani közép, mértani közép, súlyozott közép, medián, módusz, szórás. Gyakoriság, relatív gyakoriság. A klasszikus valószínűségi modell.

FEJLESZTÉSI KÖVETELMÉNYEK A leíró statisztika és a valószínűség-számítás gyakorlati szerepe, alkalmazása.



A számítógép Az előző években felsorolt felhasználása továbbhaladási feltételek. statisztikai adatok kezelésére, véletlen jelenségek vizsgálatára. Egyszerű klasszikus valószínűség-számítási feladatok megoldása.

Az emelt szintű érettségire történő felkészítés tanterve matematikából a 11. és 12. évfolyamokra

Általános fejlesztési feladatként fogalmazzuk meg a középiskolában tanult matematikai alapfogalmak, definíciók, axiómák, tételek pontos, értő ismeretét, a bizonyítási igény és módszerek beépítését a tanulók gondolkodásába. Nagy hangsúlyt kap a problémamegoldó gondolkodás fejlesztése. A matematikai műveltség, mint az általános műveltség része tudatosan jelenjen meg diákjaink gondolkodásában. Nagy hangsúlyt kell kapnia az önálló ismeretszerzésre való nevelésnek. Az emelt szintű képzés átmenetet képez a középiskola és a felsőoktatás között, így előkészíti a diákot az egyetemi, főiskolai tanulmányok megkezdésére. Mind a két évfolyamon a Tartalom oszlopban csak azokat a plusz tartalmakat tüntetjük fel, amelyeket az alaptanterv nem tartalmaz, de az emelt szintű érettségire való felkészítés során tanítani kell az érettségi vizsgakövetelmények miatt.

11. évfolyam

80

Évi óraszám: 74 óra Gondolkodási módszerek: Számtan, algebra: Függvények, sorozatok: Geometria: Összesen

8óra 30 óra 15 óra 20 óra 74 óra

81

Gondolkodási módszerek TANANYAG

FEJLESZTÉSI FELADATOK, A TOVÁBBHALADÁS TEVÉKENYSÉGEK FELTÉTELEI Az új ismeretek beépítésének Értő alkalmazás feladatokon. A nyelv lehetőségei. logikai elemeinek tudatos használata Tételek megfordításának megfogalmazása konkrét esetekben. Véges és végtelen kérdése

Bizonyítási módszerek ismerete (példák direkt és indirekt bizonyításra), skatulyaelv. Pascal-háromszög. Véges megszámlálhatóan végtelen és nem megszámlálhatóan végtelen halmazok ismerete. Mit értünk adott műveletre zárt számhalmazon? Permutációk, variációk (ismétlés Kombinatorikai összefüggések nélkül és ismétléssel), kombinációk alkalmazása a gyakorlatban (ismétlés nélküli) kiszámítására Absztraháló képesség fejlesztése vonatkozó képletek ismerete, bizonyítása és alkalmazása. Pont, él, fok, út, kör, összefüggő gráf, fa fogalmak definiálása.

Gráfelmélet a gyakorlatban

Felismerni a feladatban a matematikai problémát

Egyszerű gráf pontjainak foka és éleinek száma valamint a fa és élei száma közötti összefüggések

Számtan, algebra TANANYAG

FEJLESZTÉSI FELADATOK, TEVÉKENYSÉGEK Egy probléma, több módszer.

A számelmélet alaptétele. Oszthatósági feladatok megoldása. Számok átírása 10-es alapú számrendszerből n alapú számrendszerbe. . A hatványozás azonosságainak Indukciós gondolkodás. bizonyítása egész kitevőre. Azonos kitevőjű hatványok Bizonyítási igény kialakítása és összegének és különbségének fejlesztése. szorzattá alakítása. A négyzetgyökvonás azonosságainak bizonyítása.

2 irracionális szám, bizonyítás. Permanencia elv. Irracionális kitevőjű hatvány értelmezése szemléletesen. A logaritmus azonosságainak bizonyítása. A számtani, mértani, négyzetes és harmonikus közép n szám esetén, nagyságrendi viszonyaikra vonatkozó tételek. Két pozitív szám számtani és mértani közepére vonatkozó tétel bizonyítása és a rá vonatkozó feladatok megoldása. Két és háromismeretlenes egyenletrendszerek. Paraméteres egyenletek és egyenletrendszerek. A másodfokú egyenlet megoldóképletének levezetése. Viété- formulák bizonyítása. Másodfokú paraméteres egyenletek megoldása. Másodfokúra visszavezethető egyenletrendszer megoldása. Szorzattá alakítható egyenletek. Négyzetgyökös egyenletek megoldása (értelmezési tartomány, értékkészlet vizsgálata). Két négyzetre emeléssel megoldható négyzetgyökös egyenletek. Abszolutértékes egyenletek. Négyzetgyökös, abszolutértékes, logaritmikus és trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldása.

A TOVÁBBHALADÁS FELTÉTELEI Alkalmazói tudás.

A számkör felépítése, a hatványozás, négyzetgyökvonás és a logaritmus azonosságainak ismerete

82

Algebrai és geometriai megközelítés Fogalmak pontos ismerete. egyenértékűsége. Egyszerűbb feladatok megoldása.

Egyenletrendezési rutin fejlesztése. Ötletek Az ellenőrzés fontosságának kiemelése.

Biztos feladatmegoldás.

Sorozatok, függvények TANANYAG Számsorozat jellemzése (korlátosság, monotonitás, konvergencia). A számtani és a mértani sorozat n-edik elemére és az első n elem összegére vonatkozó összefüggések bizonyítása. Végtelen mértani sor fogalma és összege. Gyűjtőjáradék és törlesztőrészlet számítása Az alapvető függvények pontos definíciója. Függvény leszűkítésének és kiterjesztésének fogalma. Hatványfüggvény. Összetettebb függvények ábrázolása. Függvénytranszformációk. Függvényvizsgálat ( korlátosság, konvexitás, szélőérték ) Szélsőérték-feladatok megoldása.

FEJLESZTÉSI FELADATOK, TEVÉKENYSÉGEK


Az életből vett példák matematikai elemzése.

Pontosság. Az alapfüggvények és a Igényes munka, esztétikus külalak. transzformációs lépések biztos tudása. f(ax+b)+d

Geometria FEJLESZTÉSI FELADATOK, A TOVÁBBHALADÁS TEVÉKENYSÉGEK FELTÉTELEI Alakzatok távolságának értelmezése. Térszemlélet, alaprajz értelmezése. Fogalmak ismerete A geometriai transzformáció, mint függvény. Alkalmazások. Egybevágósági transzformációk fogalma és alkalmazása síkban és térben. Hasonlósági transzformáció. Merőleges vetítés és tulajdonságai A háromszög nevezetes vonalaira, A bizonyítási igény fejlesztése. pontjaira és köreire vonatkozó tételek bizonyítása. Bizonyítások: - Pitagoras tétel és a megfordítása, - magasság és befogótétel, - a húrnégyszögre és az érintőnégyszögre vonatkozó tételek - a konvex sokszög átlóinak száma, a belső és a külső szögösszegekre vonatkozó tétel - a kör érintője merőleges az érintési pontba húzott sugárra. - külső pontból körhöz húzott érintőszakaszok egyenlők - kerületi és középponti szögek tétele - Thales tétel és megfordítása. - Látókör fogalma. Sinus és cosinus tétel bizonyítása Adatok közötti összefüggések Szögfüggvények ismerete. Szögfüggvények közötti kapcsolatok. megfigyelése, táblázatok Addíciós képletek ( sinus, cosinus és használata. tangens ) alkalmazása. TANANYAG

12. évfolyam Évi óraszám: 64 óra

83

A differenciálszámítás elemei Számtan, algebra Geometria Az integrálszámítás elemei Statisztika, valószínűség Összesen

12 óra 9 óra 15 óra 20 óra 8 óra 64 óra

A differenciálszámítás elemei TANANYAG Véges és végtelenben vett határérték szemléletes fogalma. Folytonosság szemléletesen A differencia- és differenciálhányados. Összeg, constansszoros, szorzat-és hányadosfüggvény és egyszerűbb összetett függvény deriválása. Hatványfüggvény deriválási szabályának bizonyítása. Trigonometrikus függvények deriválása. Alkalmazások (érintő, szélsőérték, függvényvizsgálat).

FEJLESZTÉSI FELADATOK, TEVÉKENYSÉGEK Szemléltetés.

A TOVÁBBHALADÁS FELTÉTELEI Egyszerűbb feladatok megoldása.

Számítógép alkalmazása.

Az összefüggések alkalmazni tudása.

Szemléletformálás.

Gyakorlati problémák megoldása.

FEJLESZTÉSI FELADATOK, TEVÉKENYSÉGEK Absztrakciós készség fejlesztése.

A TOVÁBBHALADÁS FELTÉTELEI Feladatokon alkalmazás.

Számtan, algebra TANANYAG Irracionális kitevőjű hatvány szemléletes fogalma. Különböző alapú logaritmusok. Algebrai törtes, exponenciális, logaritmikus egyenlőtlenségek.

A relációk és függvények tudatos alkalmazása.

84

Geometria TANANYAG Vektorok skalárszorzatának kiszámítása koordinátákból, bizonyítás. Szakasz felező és harmadolópontja. A háromszög súlypontja. Bizonyítások. Az egyenes egyenletei különböző adatokkal. A kör egyenletének levezetése. A kör és a kétismeretlenes másodfokú egyenlet. Két kör kölcsönös helyzete, metszéspontok. Külső pontból körhöz húzott egyenes egyenlete. A parabola fogalma. Az x tengelyre szimmetrikus parabola egyenletének levezetése. A háromszög területének kiszámítására használt képletek bizonyítása. Heron képlet alkalmazása. Térgeometriai feladatok.

FEJLESZTÉSI FELADATOK, TEVÉKENYSÉGEK A geometria és az algebra kapcsolata.

A TOVÁBBHALADÁS FELTÉTELEI Geometriai alapismeretek. Egyenletek és egyenletrendszerek megoldása készség szintjén.

85 Kreativitás.

A háromszög nevezetes vonalaira vonatkozó összefüggések.

A térszemlélet fejlesztése.

Felszín és térfogatszámításra vonatkozó összefüggések.

Az integrálszámítás elemei TANANYAG Folytonos függvények határozott integráljának szemléletes fogalma és tulajdonságai .A kétoldali közelítés módszere, az integrál függvénym, primitívfüggvény. A Newton-Leibnitz tétel. Alkalmazások: polinomfüggvény ill. sinus és cosinus függvények grafikonja alatti terület meghatározása

FEJLESZTÉSI FELADATOK, TEVÉKENYSÉGEK Szemléletformálás.

A TOVÁBBHALADÁS FELTÉTELEI A korábban tanult függvények ábrázolása készség szintjén. Fogalmak pontos ismerete. Egyszerű feladatok megoldása.

Statisztika, valószínűség TANANYAG

FEJLESZTÉSI FELADATOK, TEVÉKENYSÉGEK

Hisztogram készítése és arról információ leolvasása. A modell szerepe. Adathalmazok egyesítése és átlaguk kapcsolata. Események egyesítésének, metszetének és Számítógép. komplementerének valószínűsége. Feltételes valószínűség, függetlenség, függőség. A nagy számok törvényének szemléletes tartalma. Geometriai valószínűség. A binomiális eloszlás (visszatevéses modell). Hipergeometriai eloszlás (visszatevés nélküli modell) tulajdonságai és ábrázolása. Modellalkotás Várható érték, szórás fogalma és kiszámítása a diszkrét egyenletes és a binomiális eloszlás esetén. A binomiális eloszlás alkalmazása. A minta relatív becslése a sokaság paraméterének ismeretében.

Közismereti tantárgyak taneszközjegyzéke:

A TOVÁBBHALADÁS FELTÉTELEI Táblázatok értelmezése és elemzése.

Fogalmak ismerete.

Egyszerű alkalmazás.

Taneszköz Transzparenssorozat CD-ROM Fóliasorozat

-

CD-ROM

Transzparens

CD-ROM Fóliasorozat

Intézményi szükséglet 9. évfolyamon A nevezetes 2 azonosságokhoz Függvények fajtái 1 Geometriai transzformációk 2 Háromszögek nevezetes vonalai Statisztikai adatok 1 ábrázolása, elemzése 10. évfolyamon Gyökvonás 1 azonosságai Megoldóképlet Szögfüggvények 1 ábrázolása, transzformáció Kombinatorikai 1 feladatok 11. évfolyamon Hatványozás általánosítása, 1 azonosságok Logaritmus azonosságai 12. évfolyamon Testek felszíne és 2 térfogata Téma, tartalom

-

-

CD-ROM

-

Transzparens

-

Szétszedhető, átlát- szó geometriai testek sorozata

Jelenlegi készlet

Hiányzik

0

2

0

1

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

1

86

Taneszközök: -

Czapáry Endre- Gyapjas Ferenc:

Matematika 9-12. Matematika feladatgyűjtemény 9-10.

-

Kosztolányi József:

Sokszínű MATEMATIKA 9-12.

-

Matematika feladatgyűjtemény I.

-

Matematika feladatgyűjtemény Il.

-

Egységes érettségi feladatgyűjtemény. Matematika I.

-

Egységes érettségi feladatgyűjtemény. Matematika II

-

Geometriai feladatok gyűjteménye I.

-

Geometriai feladatok gyűjteménye II

-

Négyjegyű függvénytáblázatok Matematikai, fizikai, kémiai összefüggések.

-

Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikából

-

Felvételi feladatsorok matematikából

-

Sain Márton: Matematikai történeti ABC

-

Matematikai lexikonok

-

KÖMÁL és matematikai módszertani folyóiratok

-

Sík és térgeometriai modellező

-

Írásvetítő, fóliasorozat

-

Faliképek

-

Zsebszámológép

-

Körző, vonalzó

-

Számítógép

-

Számítógépes programok, Oktató CD

-

Táblai rajzeszközök

-

Modellek

87

2014-es tanévben felmenő rendszerben bevezetésre kerülő helyi tanterv

Recommend Documents