ELTE II. Fizikus, 2005/2006 I. félév KISÉRLETI FIZIKA Hıtan 10-11. (XI. 29-30)
Feketetest sugárzás
∆E = Q + W + Wsug. ∆E = Q + W + ∫ I* dt A sugárzás egy újfajta energia transzport (Wsug.), ahol I* = ∫ S dA , ∂ρ ∂w A kontinuitási egyenletbıl: ∂tw + div jw = ∂t + div S = 0 ,
(Tér energia sőrőség(w))
∫∫∫ ( ill. annak az integrálja:
∂w ∂W + div S ) dV = 0 ⇒ = ∫∫ S d A = I * ∂t ∂t
1 , ahol S = E × H és W = ∫∫∫ ( ED + HB )dV . 2
1
, továbbá
Kirchoff törvény hısugárzásra: (R- reflexió; T- transzmisszió; S - szórás; A - abszorbció) E(T) az emisszivitás, A(T) az abszobció (R + T + A = 1, sıt T = 0 ). E(T) /A(T) = E' /A' = Eaf(T) ; A=1 (absz. f. test) ⇐ (Hıtan I. fıtétele) I1 = E1 + R1 I 2 = E1 (T1 ) + I 2 (1 − A1 (T1 )) ;
E1(T1)
I 2 = E2 + R2 I1 = E2 (T2 ) + I1 (1 − A2 (T2 )) Egyensúlyban az I energiaáram kiegyenlítıdik I = E1 (T ) + I (1 − A1 (T )) ;
I1
I2 (1-A1(T1))
I = E2 (T ) + I (1 − A2 (T
I1(1-A2(T2)) T1
I2
E2(T2)
T2
I=
))
E1 (T ) E2 (T ) = = Ea. f . (T ) = K (T ) A1 (T ) A2 (T )
Az emissziós és abszorbciós együttható hányadosa anyagfüggetlen (univerzális). A fajlagos mennyiséget /a sugárzási sőrőséget/ kifejezve: Radiometrikus I : Sugárzási áram /sug. teljesítm. Φe / N = dI*/(dSn dΩ) [Watt] /Ω - látószög [sterradián] / J: Sugárzás erısség /intenzitás Ie / Sn - a fényforrás felülete norm. [W/sterad] komp.) N : Sugárzás sőrőség [ W/sterad /m2] *
2
A Stefan - Boltzman törvény: NAF = σ T4
σ - Stefan - Boltzman állandó: 5.673 x 10-8 [W/srad /m2/K4]
Spektrálisan általánosítva a Kirchoff törvényt: λ2
∫ E(λ λ, T)dλ λ = E(λ λ2 -λ λ1 , T) , a (λ2 -λ1) hullámhossztartományban sugárzott
λ1
teljesítmény. ∞
∫ E(λ λ, T) dλ λ = E(T) az integrális emisszivitás, a teljes spektrumtartományban 0
sugárzott teljesítmény.
Igaz a részletes egyensúly elve: Az egyensúlynak minden frevencián (hullámhosszon) "be kell állnia". (T.f.h. /indirekte/, hogy nem igaz. Ekkor tegyünk be a rendszerbe egy frekvenciafüggést mutató tükröt /R(λ)-t /, az így nyert energia 100%-ban munkavégzésre használható az izoterm környezet "rovására"!) Kirchoff törvény általánosan: E(λ, T) /A(λ,T) = E'(λ,T) /A'(λ,T) = Ea.f.(λ, T)
3
(Hıtan II. fıtétele)
Spektrálisan adódik még a Wien féle eltolódási törvény: λmax T = 2884 µm K (Wien állandó) Iλ
detektor
Tm
prizma (λ/dλ)
Tk Th
absz. fekete test (üreg)
infra
σ = 2π5k4
15h3c2
; λmaxT = hc 4.96 k
4
λ
Planck (1900) E(λ, T) = c' λ-5 / (e c"/λT -1) E(ν, T) dν = Z(ν) ē(ν, T) dν = dN ē(ν, T) Z(ν) = 8π ν 2/ c3 ē(ν, T) = h ν / (ehν/kT-1) ⇒ (c', c" nem független) csak egy új állandó van
h - a Panck állandó: 6.62 10-34 Js . (A Stefan - Boltzman és a Wien féle állandó összefügg /lsd.:fent/ ) Fitt:1) Rayleigh -Jeans törvény (ekvipartició): ē(ν, T) = kT (h ν << kT : távoli infra ) /UV katasztrófa/ 2) Wien törvény (Maxwell - Boltzman levágás) ē(ν, T) = h ν e-hν/kT (h ν >> kT : UV, röntgen ) Planck: az oszcillátor energiája nem lehet tetszıleges, csak diszkrét értékeket vehet fel (0, hν, 2 hν, 3 hν, ...). Einstein (1916): nemcsak az oszcillátor energiája kvantált, hanem a fény energiája is kvantált! (Fentebb ν tetszıleges) (A vonalas színképnél a ν nem tetszıleges) . 5
A foton (A fényrészecske) Foton gáz
Ideális gáz Állapotegyenletek:
pV = E /3
pV = 2 E /3
fénynyomás Lebegyev: p = 2 g v = 2 (S/c2) v p = 2 w = 2 E /V
gáznyomás
Statisztikusan /gáz/ (1/6): p = 2 gx vx p = ⅓ E /V
p = F/A = (1/A)(2px /dt) n (½vxdt) A p = n (pxvx) = n (⅓pv) = ⅔ E /V Egáz = ½ mv2 = ½ pv
Efot. = hν = hc/λ = pc
Relativisztikusan: mo= 0 Efot. = pc
E = c√ mo2 c2 + p2 mo ≠ 0 (p << mo c, nem rel.) Egáz ≅ mo c2 + p2/2mo
6
A fundamentális egyenlet és a Maxwell reláció segítségével: (∂E/∂V)T = T(∂S/∂V)T - p = T(∂p/∂T)V - p 3p = E / V
(3/2)p = E/V
foton gázra: p(T) = [E/V](T) = Φ(T) (Kirchoff törv. - Carnot anyag)
ideális gázra: (∂E/∂V)T = 0 (Gay-Lussac kisérlet)
(E/V)T = (∂E /∂ V)T T(∂p/∂T)V - p = 3 p T(∂p/∂T)V = 4 p/T p = (σ /3) T 4
T(∂p/∂T)V - p = 0 (p/T) = áll. = Ψ(V) p/T = n R /V
E = σ T4V (Stefan-Boltzman törvény)
E = 3/2 n RT = (3/2) N kT (n = N/L ; R = L k)
7
Entrópia, kémiai potenciál dS = (1/T) dE + (p/T) dV dS = (1/T)[4σ T 3V dT + σ T 4 dV] + (σ T 3/3)dV dS = 4σ T 2V dT + (4σ T 3/3) dV (∂S/∂T)V = 4σ T 2V ; S = 4/3 σ T 3V + Ψ(V) (∂S/∂V)T = 4/3σ T 3 ; S = 4/3 σ T 3V + Φ(T) Sfoton = (4/3) σ T 3V + So' Sid.gáz = n( So" + CV lnT + R lnV) Sfoton = (4/3) E /T = 4 pV /T adiabata (S = áll.): T 3V = áll. (TV κ-1 = áll.) TCV VR = áll. κ-1 = 1/3 ; κfoton = 4/3 κ-1 = R /CV = 2/3 ; κid.gáz = 5/3 G = E - TS + pV = 0 = µ N
µfoton = 0
!
A fotonok ( frekvencia szerinti) keveredése nem jár entópia növekedéssel! A fotonok szuperponálódnak, bozonok. Nincs részecske szám n megmaradás, mint a fermionoknál.
8
Wien gondolat E(V, T) = ∫ E(ν, T, V) dν = SB V T 4 (= σtermod. V T4 = 4/c σsug. V T4). E /V = ∫ u(ν, T) dν = U/V = w(T) ( = 4/c ∫ K(ν, T) dν). E(ν, T, V) dν = ē(ν, T) Z(ν) dν = ē(ν, T) dN A d iabatiku s tágítás f oto ngázra
d E + pdV = TdV + 3VdT = dS = 0 (adiab.) (1) dt dν = -ν (2 v⊥ /c) (Doppler eff.) (2) ν V = c A dt (dt legyen !) (3) E ,V dV = v⊥ A dt (3') p, T v 4 p = (σ /3)T = w/3 (Áll. egy.) (4) ν' 4 E=σT V (Áll. egy.) (4') D oppler eltolódást okoz! dV S = (4/3) E/T (Áll. egy.) (4") ∆E(ν,T,V)= u(ν+dν,T+dT)(V+dV) -u(ν,T)(V) {≠ dE !; ∫ ∆E(ν,T,V)dν =∆E} (5) dν /ν = (- 2v⊥ /c) <1/6> = <1/6> (2v⊥ A dt) / (cAdt) = <1/6> (2 dV) /V (3 -ból) = dT/T (6) ⇒ dν /ν = - dV/3V , amely tovább egyenlı: , tehát ⇒ ln ν = lnT + áll. ; ⇒ (ν /T) = áll. (S = áll.!) dE = - pdV = (σ /3)T 4(3V) dν /ν = E dν /ν ⇒ (E /ν) = áll. (1, 4, 6- ból) 4 3 a) E/V = ∫ u(ν, T)dν = σ T ⇒ ∫ (1 /T ) u(ν, T) d(ν /T) = = ∫ (ν /T) 3 [u(ν, T) /ν 3] d(ν /T) = σ = áll. ⇒ u(ν, T) /ν 3=Ψ(ν /T). A
u(ν, T)= ν 3Ψ(ν, T) b) ∆E(ν,T,V) = {u(ν,T) dV + V[(∂u/∂ ν)T dν + (∂u/∂T) ν dT]}(5- bıl) 0 = {u(ν,T) – (1/3)[ ν(∂u/∂ ν)T + T(∂u/∂T)ν ]}dV (1, 6-ból), tehát 3u = ν(∂u/∂ ν)T + T(∂u/∂T)ν , amibıl szintén: u(ν,T)= ν 3Ψ(ν /T) adódik. 9
Planck gondolat Raleigh-Jeans Wien (ν /T) << 1 (ν /T) >> 1 Ψ(ν /T) = a(ν /T)-1 Ψ(ν /T) = C e –b(ν /T) E = N ē ; Eν = Nν ēν ; E(T, V) = ∫ E(ν, T, V) dν = ∫ d Eν = ∫ d N(ν, T, V) ē(ν, T, V)= ∫ Z(ν)ēν dν Z(ν) = (8πV/c3)ν2 u(ν, T) = C'ν3 e –b(ν /T) ē(ν, T) = D ν e –b(ν /T)
u(ν, T) = a'ν2 kT (= a'ν3 (kT/ν)) ē(ν, T) = kT Ekvipartició tétel
M.- Boltzman faktor (levágás)
(∂S/∂E) = 1/T ln ēν = ln(Dν) - b(ν /T) A továbbiakban: e = Eν /N , s = Sν /N, ...! (∂ s /∂ e) = 1 /T = k/e (∂ s /∂ e) = 1 /T = [ln(Dν) -lne] /bν T= ē/k
-(∂ 2s /∂ e2) = k /e2 = α /e2
-(∂ 2s /∂ e2) = (1 /bν) /e = β /e
Planck -(∂ 2s /∂ e2) = β /[e + (β /α )e2] = β /(e + e2/eP) e >> ePlanck (= α /β = hν) e << ePlanck (= α /β) a négyzetes tag dominál,
a lineáris tag dominál
10
(∂ s /∂ e) = 1/T = ∫ (∂ 2s /∂ e2) de = β ln[{e + (α/β)} /e] + γ exp(1/βT) = [ 1 +β /(αe)] exp(γ /β) ⇒ Eν = N[ hν / (e hν/kT-1)]
Eν = N [ hν / (e hν/kT-1)]
1.
2. Eν = N hν p(ν/T)
/kisérlet/
/Ψ(ν /T) = p(hν/kT) - /p valószínőség/
Sν = N k [(1+p) ln(1+p) - p lnp]
3. Eν /N = ēν
hν
= e
hν kT
−1
∑ [n(hν )]e =
− nhν kT
n
∑
e
− nhν kT
; en,ν = n (hν)
/n = 0, 1, 2,../
n
kvantumos az energia + Boltzmann valószínőség (exp(-E/kT))
11
