2004. december 1. Irodalom

´ ´ ´ LINEARIS LEKEPEZ ESEK I. 2004. december 1.

Irodalom A fogalmakat, defin´ıci´ okat illet˝ o en k´et forr´ asra t´ amaszkodhatnak: ezek egyr´eszt elhangzanak az el˝ oad´ ason, m´ asr´eszt megtal´ alj´ ak a jegyzetben: Szab´ o L´ aszl´ o: Bevezet´es a line´ aris algebr´ aba, Polygon Kiad´ o, Szeged, 2003, 10. fejezet (Line´ aris lek´epez´esek ´es transzform´ aci´ ok. Vektorterek izomorfizmusa); tov´ abbi aj´ anlott irodalom: Freud R´ obert: Line´ aris algebra, ELTE E¨ otv¨ os Kiad´ o, Budapest, 1996. 5. fejezet (Line´ aris lek´epez´esek) ´nlott feladatok aja Linearit´ as. 1. Feladat. Vizsg´ alja meg, hogy line´ arisak-e az al´ abbi - val´ os sz´ amtest f¨ ol¨ otti vektorterek k¨ oz¨ otti - lek´epez´esek: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) (m) (n)

ϕ: R2 → R2 , (x, y) 7→ (2x + y, y − 3x); ϕ: R4 → R3 , (x, y, z, u) 7→ (x + y, x + z, x + u); ϕ: R → R2 , x 7→ (2x, −x); ϕ: R2 → R3 , (x, y) 7→ (x + y, y + 1, x); ϕ: R2 → R2 , (x, y) 7→ (x2 , y 2 ); ϕ: R3 → R2 , (x, y, z) 7→ (x + y + z, 1); ϕ: R2 → R2 , (x, y) 7→ (1, −1); ϕ: R2 → R3 , (x, y) 7→ (0, x + y, xy); ϕ: R2 → R2 , (x, y) 7→ (x, sin y); ϕ: R3 → R3 , (x, y, z) 7→ (x + 2y − z, y + z, x + y − 2z); ϕ: R2 → R2 , (x, y) 7→ (|x|, −y); ϕ: Rn → Rn , (x1 , x2 , . . . , xn ) 7→ (0, x1 , x2 , . . . , xn−1 ); ϕ: Rn → Rn−1 , (x1 , x2 , . . . , xn ) 7→ (x1 , x2 , . . . , xn−1 ); ϕ: Rn → R, (x1 , x2 , . . . , xn ) 7→ xi , (i ∈ {1, 2 . . . , n}, ezek az u ´n. projekci´ ok);

2. Feladat. Igazolja, hogy az al´ abbi transzform´ aci´ ok minden V vektort´ernek line´ aris transzform´ aci´ oi (ld. a 10.1 Def. ut´ ani megjegyz´est): (a) ϕ: V → V, v 7→ 0, ez az u ´n. z´erustranszform´ aci´ o; (b) ϕ: V → V, v 7→ v, azaz a V identikus transzform´ aci´ oja; (c) ϕ: V → V, v 7→ αv, tetsz˝ oleges r¨ ogz´ıtett α skal´ arra, (vegy¨ uk ´eszre, hogy az el˝ oz˝ o k´et p´elda ennek speci´ alis esete!). Typeset by AMS-TEX

1

2

´ ´ ´ LINEARIS LEKEPEZ ESEK I.

3. Feladat. Mutassa meg, hogy a line´ aris lek´epez´esek meg˝ orzik a line´ aris kombin´ aci´ okat, azaz ha U, V a T test f¨ ol¨ otti vektorterek, ´es ϕ: U → V egy line´ aris lek´epez´es, akkor b´ armely λ1 , . . . , λn ∈ T ´es u1 , . . . , un ∈ U eset´en n X i=1



λi ui ϕ =

n X

λi (ui ϕ) .

i=1

4. Feladat. Hat´ arozza meg az 1. Feladatban szerepl˝ o line´ aris lek´epez´esek illetve transzform´ aci´ ok magter´et ´es k´epter´et, ezek egy-egy b´ azis´ at ´es dimenzi´ o j´ at (azaz a transzform´ aci´ o defektus´ at ´es rangj´ at). 5. Feladat. Bizony´ıtsa be, hogy a s´ıkbeli (orig´ o kezd˝ opont´ u) vektorok ter´eben az al´ abbi transzform´ aci´ ok line´ arisak ´es ´ırja f¨ ol a k´eplet¨ uket”, mint R2 → R2 lek´epez´esnek: ” (a) orig´ o k¨ or¨ uli α sz¨ oggel val´ o elforgat´ as (pozit´ıv illetve negat´ıv ir´ anyban); (b) t¨ ukr¨ oz´es az x tengelyre; (c) t¨ ukr¨ oz´es az y tengelyre; (d) t¨ ukr¨ oz´es az y = x egyenesre; (e) t¨ ukr¨ oz´es az y = −x egyenesre; (f) (*) t¨ ukr¨ oz´es az ~v = (v1 , v2 ) ir´ anyvektor´ u egyenesre; (g) t¨ ukr¨ oz´es az orig´ ora; (h) orig´ on a ´tmen˝ o egyenesre val´ o mer˝ oleges vet´ıt´es; (i) λ ∈ R ar´ any´ u, orig´ ok¨ oz´eppont´ u k¨ oz´eppontos hasonl´ os´ ag (centr´ alis ny´ ujt´ as, homot´ecia); ´ 6. Feladat. Legyen A ∈ Rn×n tetsz˝ oleges nemz´erus m´ atrix. Allap´ ıtsa meg, hogy az al´ abbi lek´epez´esek line´ aris transzform´ aci´ oi-e a val´ os sz´ amtest f¨ ol¨ otti n × n-es m´ atrixok vektorter´enek (a) τ : X 7→ XA; (b) τ : X 7→ X + A; (c) τ : X 7→ XA + AX; (d) τ : X 7→ XA − AX; (e) τ : X 7→ XA2 − AX 2 ; (f) τ : X 7→ XA2 + AX. ´ 7. Feladat. Allap´ ıtsa meg, hogy az al´ abbi lek´epez´esek line´ aris transzform´ aci´ oi-e a val´ os sz´ amok teste f¨ ol¨ otti, 100-n´ al kisebb fok´ u polinomok vektorter´enek. (Egy a ´ltal´ anos polinomot p-vel, vagy p(x)-el, az i-edfok´ u tag egy¨ utthat´ oj´ at a i -vel, a f˝ oegy¨ utthat´ ot an nel (teh´ at an 6= 0, ha p nem a z´eruspolinom), a p polinom foksz´ am´ at p∗ -gal jel¨ olj¨ uk.) (a) χ: p(x) 7→ p(−x); (b) χ: p(x) 7→ p(x + 1); (c) χ: p(x) 7→ p(x + 1) − p(x); (d) χ: p(x) 7→ xp(x); (e) χ: p 7→ a0 x; (f) χ: p 7→ an x2 ; (g) χ: p 7→ p∗ x3 ; (h) χ: p 7→ p marad´eka x7 + 4x + 1-gyel osztva; (i) χ: p 7→ an + an−1 x + · · · + a0 xn . Ha igen, hat´ arozza meg a transzform´ aci´ o magter´et ´es k´epter´et, ´es ezek dimenzi´ oj´ at (azaz a transzform´ aci´ o defektus´ at ´es rangj´ at).

´ ´ ´ LINEARIS LEKEPEZ ESEK I.

3

8. Feladat. (Freud R. 5.1.6.) Adjon p´eld´ at olyan lek´epez´esre valamely U ´es V (ugyanazon T sz´ amtest f¨ ol¨ otti) vektorterek k¨ oz¨ ott, amely (a) meg˝ orzi a skal´ arral val´ o szorz´ ast, de az o ¨sszead´ ast nem; (b) meg˝ orzi az o ¨sszead´ ast, de a skal´ arral val´ o szorz´ ast nem; (c) egyik m˝ uveletet sem o ˝rzi meg. 9. Feladat. (Freud R. 5.1.9.) Legyenek U ´es V ugyanazon T sz´ amtest f¨ ol¨ otti vektorterek ´es legyen ψ: U → V line´ aris lek´epez´es. Melyek igazak az al´ abbi a ´ll´ıt´ asok k¨ oz¨ ul? (u1 , . . . , um ∈ U ): (a) Ha u1 , . . . , um line´ arisan f¨ uggetlen, akkor u1 ψ, . . . , um ψ is line´ arisan f¨ uggetlen. (b) Ha u1 ψ, . . . , um ψ line´ arisan f¨ uggetlen, akkor u1 , . . . , um is line´ arisan f¨ uggetlen. (c) Ha u1 , . . . , um gener´ atorrendszer U -ban, akkor u1 ψ, . . . , um ψ gener´ atorrendszer V -ben. (d) Ha u1 , . . . , um gener´ atorrendszer U -ban, akkor u1 ψ, . . . , um ψ gener´ atorrendszer Im ψ-ben. (e) Ha u1 ψ, . . . , um ψ gener´ atorrendszer Im ψ-ben, akkor u1 , . . . , um gener´ atorrendszer U -ban. 10. Feladat. Legyenek V ´es U ugyanazon T sz´ amtest f¨ ol¨ otti vektorterek. Bizony´ıtsa be, hogy egy ϕ: V → U line´ aris lek´epez´es pontosan akkor injekt´ıv, ha meg˝ orzi a line´ aris f¨ uggetlens´eget, azaz ha valah´ anyszor v1 , . . . , vk line´ arisan f¨ uggetlen vektorrendszer V ben, mindannyiszor v1 ϕ, . . . , vk ϕ line´ arisan f¨ uggetlen vektorrendszer U -ban. 11. Feladat. (Freud R. 5.1.10.+12.) Legyen ψ: V → U line´ aris lek´epez´es. (a) Mutassa meg, hogy uψ = vψ ⇐⇒ u − v ∈ Ker ψ. (b) Ha v1 , . . . , vk olyan line´ arisan f¨ uggetlen vektorok V -ben, amelyekre v1 ψ = · · · = vk ψ, akkor dim Ker ψ ≥ k − 1. 12. Feladat. Legyen ϕ: V → U line´ aris lek´epez´es. A V tetsz˝ oleges X r´eszhalmaz´ anak (direkt) k´ep´et Xϕ∗ -gal, az U tetsz˝ oleges Y r´eszhalmaz´ anak inverz (vagy o ˝s-)k´ep´et pedig Y ϕ∗ -gal jel¨ olj¨ uk (teh´ at Xϕ∗ = {xϕ | x ∈ X} ´es Y ϕ∗ = {v ∈ V | vϕ ∈ Y }; vegy¨ uk ´eszre, ∗ hogy ezzel a jel¨ ol´essel Im ϕ = V ϕ∗ ´es Ker ϕ = {0U }ϕ .) Bizony´ıtsa be, hogy alt´er line´ aris lek´epez´es melletti (direkt) k´epe is alt´er, valamint alt´er line´ aris lek´epez´es melletti inverz k´epe is alt´er. 13. Feladat. Az R4 vektort´er {(x, −y, 0, 2x): x ∈ R} alter´et jel¨ olje U . 4 4 (1) Adjon meg olyan φ: R → R line´ aris transzform´ aci´ ot, amelynek magja (magtere) U . (2) Adjon meg olyan ϑ: R4 → R4 line´ aris transzform´ aci´ ot, amelynek k´eptere U . 14. Feladat. Legyen U a V v´eges dimenzi´ os vektort´er egy nemtrivialis altere. Bizony´ıtsa be, hogy V -nek l´etezik olyan line´ aris transzform´ aci´ oja, amelynek (a) U a magtere; (b) U a k´eptere. 15. Feladat. Mennyi lehet legal´ abb illetve legfeljebb egy φ: R9 → R5 line´ aris lek´epez´es magj´ anak dimenzi´ oja (azaz φ defektusa)? Adjon is meg egy-egy olyan φ 0 : R9 → R5 illetve φ1 : R9 → R5 line´ aris lek´epez´est, amelyre ez a dimenzi´ o a lehet˝ o legkisebb, illetve a legnagyobb.

´ ´ ´ LINEARIS LEKEPEZ ESEK I.

4

16. Feladat. Mennyi lehet legal´ abb illetve legfeljebb egy ψ: R5 → R9 line´ aris lek´epez´es magj´ anak dimenzi´ oja (azaz ψ defektusa)? Adjon is meg egy-egy olyan ψ 0 : R5 → R9 5 9 illetve ψ1 : R → R line´ aris lek´epez´est, amelyre ez a dimenzi´ o a lehet˝ o legkisebb, illetve a legnagyobb. 17. Feladat. Van-e olyan ϕ line´ aris transzform´ aci´ ot valamely V vektort´eren, amelyre (1) Ker ϕ ∩ Im ϕ = ∅; (2) Ker ϕ ∩ Im ϕ 6= {0}; (3) Ker ϕ ⊂ Im ϕ; (4) Ker ϕ ⊃ Im ϕ; (5) Ker ϕ = Im ϕ. Ha igen, akkor term´eszetesen adjon is meg egy-egy ilyen lek´epez´est. 18. Feladat. Bizony´ıtsa be, hogy valamely n dimenzi´ os V vektort´er ϕ line´ aris transzform´ aci´ oj´ ara Ker ϕ = Im ϕ pontosan akkor, ha ϕ 6= 0

de

ϕ2 (= ϕϕ) = 0,

tov´ abb´ a n p´ aros ´es

dim Im ϕ =

n . 2

Homog´ en line´ aris egyenletrendszerek. 19. Feladat. Tekints¨ uk a k¨ ovetkez˝ o R f¨ ol¨ otti homog´en line´ aris egyenletrendszert: x1 + x 3 + x 5 = 0 x2 + x 4 = 0 . Legyen u = (1, 1, 1, 1, 1), v = (1, 0, −2, 0, 1), w = (0, −1, 0, 1, 0), x = (1, −2, −2, 2, 1) ´es y = (1, 0, −1, 0, 0) ∈ R5 . Az al´ abbi vektorrendszerek k¨ oz¨ ul melyik alaprendszere (ill. fundament´ alis megold´ asrendszere) a fenti egyenletrendszernek: (1) u, v, w; (2) v, w, x; (3) w, x, y. 20. Feladat. Oldja meg u ´jra a Fagyejev-Szominszkij-f´ele p´eldat´ arb´ ol kor´ abban kijel¨ olt ´ egyenletrendszerek (ld. a LINEARIS EGYENLETRENDSZEREK c. feladatsort!) k¨ oz¨ ul ´ a homog´eneket (403., 408. - 410., 412. - 413.) ´es adjon meg mindegyikhez K ET l´enyegesen (teh´ at nem csak a vektorok sorrendj´eben) k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o fundament´ alis megold´ asrendszert. Izomorfizmus. 21. Feladat. Adjunk meg egy izomorfizmust a val´ os sz´ am n-esek Rn vektortere ´es az n-n´el kisebb fok´ u, val´ os egy¨ utthat´ os polinomok Rn [x] vektortere k¨ oz¨ ott. 22. Feladat. Az al´ abbi R f¨ ol¨ otti vektorterek k¨ oz¨ ott keress¨ uk meg az izomorfakat (a m˝ uveletek a szok´ asosak, a polinomokn´ al a 0 polinomot mindig bele´ertj¨ uk): (a) azon legfeljebb 25-¨ odfok´ u val´ os polinomok halmaza, melyekben minden tag kitev˝ o je pr´ımsz´ am; (b) azon legfeljebb 11-edfok´ u val´ os polinomok halmaza, amelyek (mint val´ os f¨ uggv´enyek) p´ arosak;

´ ´ ´ LINEARIS LEKEPEZ ESEK I.

5

(c) azon legfeljebb 9-edfok´ u val´ os polinomok halmaza, amelyeknek az 1 gy¨ oke; 10 (d) azon legfeljebb 15-¨ odfok´ u val´ os polinomok halmaza, amelyek x + x5 + 1-el oszthat´ ok; (e) azon 3 × 4-es val´ os m´ atrixok halmaza, amelyeknek az els˝ o ´es utols´ o sora megegyezik; (f) azon 4 × 4-es val´ os m´ atrixok halmaza, amelyekben a f˝ oa ´tl´ obeli elemek egyenl˝ ok, a mell´ek´ atl´ obeli elemek pedig null´ ak; (g) azon 7×7-es val´ os m´ atrixok halmaza, amelyekben a f˝ oa ´tl´ on k´ıv¨ uli elemek egyenl˝ ok; (h) azon v´egtelen val´ os sz´ amsorozatok halmaza, amelyekben b´ armely h´et szomsz´edos tag o ¨sszege 0; 17 (i) R azon elemeinek halmaza, melyekben minden p´ aratlanadik helyen 0 a ´ll.