Ultwerkin~envan opgaven bij hoofdstuk 6 van UPrInciplesof Polymer Engineeringw
Opgave 6.1 Om de theoretische maximale volurnefractie continuc vezcls met ronde rezels te kunnen berekenm rnoet uitgcgaan worden van de dichtste pkfing van de vezels. In de velgende figuur is weergegwen hoe deze pakk~ngcr uit ziet.
Zoals te zien is in de figuur, wordt aHe rnogelijke ruirnte benut. De kleinste repeterende unit i s de gelijkzijdige driehoek, welke zichtbaar is in de figuur. Deze driehoek heeft een sibhe van 2r.
De oppervlakte van deze driehoek is
-.1 basis. h o o g f ~Wit. de geometric is bekend dat dc hooge van een 2
gel~jktijdigedriehwk met ribbe 2r de hoogde
r.
.
Hienlit volgt dan dat de appetvlakte r 2 &is. deze lralve cirkel is
-.1 2
is.
1 I . De driehoek beslaat 3 - - = - clrkel de oppervIakte van 6 2
rz
i ~ .
Hienlit volgt dat de oppervlakte die de vezels beslaan: 1
--X'S
3
?r - -= 0,907 2 4
)1,,,, - 2 4 h e h d r2*&
Q,91.Hiermee is het gevraagde aangetoond.
Bij em volldig random pakking geld de volgende pakking als repeterende unit:
De oppervlakte van dit vierkant is 4+ De oppervlakte die de cirkel hierin inneemt is:
Wanneer de lmgte van de vetel korter wordr, kunnen de vezels ook in andere rlchtingm dan axiaal gaan
li ggcn. Continue vezels
Gertjan de Beus
Korte vezel s
juni 2005
De kans is groot dat es een chaotische oriEntatie zal ontstaan. Em meer chaotische orihtarie zorgt ervaor dnt de vezels minder regelmatig gestapeld zullen worden, en er dus per vezel een groter volume ingenomrn zaE worden: een ahame ran de volumefractie.
Opgave 6.2
1
a.) Voor 50 voF% aramide vezels in em epoxy matrix Aramide (Kerlar) ] Epoxy
I
de volgende waardenbeschikbaar
-
124 GPa E450 kg/m3 2800 MPa
E P
d
2,4 GPa 1 300 kg/m3 60 MPa
Om 6e axiale trekmodulus te bepden moet de volgende formule gebruikt worden:
4 = *E,+ ( l - # J ) . ~ m
(6.2.1)
#f
IIieruit volgt
E, = 0,5 E 24 + 0,5.2,4 = 63,2 GPa
b.1 De specifieke modulus kan berekend worden door de axiale trekmodulus te delen door dc dichtheid van het composiet:
E
=' E 'I' PI
Dc dichtheid van het composiet is
p, = 0,5#1450 + 0,5.1300 = 1375 kg/m'
Hiemit volgt dat de specifieke modulus
63,2.10' = 45,96.1o6 MPa is. I375
c.1 Om de axiale t~eksterktete kunnen berekenen zal er gekeken moeten worden welk deel van de composiet
het eerst breekt. Hiervoor geldt de algernene formule:
Zoals te zien nl de vezel hn eerst breken. Dus geldt E; = E; = 22,6 10" Op het moment dat de vezels het begeven draagt de matrix de volgende kracht: 0 :=E ~ . E ;
a :
= 2 , 4 . ~ 0 ~ . 2 2 , 6 . 1=54,2 0 - ~ MPa
De kracht die gedragen word? door het composiet op dat moment is:
Gertjan de Beus
Juni2005
(6.2.5)
Polymeer Technologic CX 135040
=#f.o;+(l-$d,)*ol
(6.2.6)
0,
0, =0,5.2,8.109 +0.5.54,2.106
=1,43 GPa
Orndat de matrix bij d a e kracht ook gebroken zou zijn ( 0; = #m .bk = 0,5.60 = 30 Mpa) is de maximale axiale trekspanning dus 1,43 GPa. Opgave 6 3 a.)
Met gebruik van formule 6.2.4 wordt ergekeken welk matetiaal het eerste breekt.
'
Matrix:
E,
55.10~ u r n =-= 18,3-lo-' EM 3,0.10'
EL
-
n e matrix zal in dir geval het eerste breken. Nu geldt E; = = 18,3 1OF' Op het moment dat de vezels het begeven dsaagt de matrix de voIgende kracht: C; = Ef .&:
(6.3.1)
0;= 76-10' .18,3-lo-'
=1,39 GPn
Dc kracht die gedragen wordt door het composiet op dat moment is: GI =@Jm; +(I-+~)-U;
a,= 0 , 1 - 1 , 3 9 ~ 1 0 ~ + 0 , 9 ~ 5=5188,5 ~ 1 0 ~MPa De vezel alleen zou de volgende kracht mkunnen:
c,= #f
-0; =
0,l 1,8 -1O9 = 180 MPa < L 185 MPa Dus de bcuksterhe bij I O vol% glasvezel i s
188.5 MPa.
b.)
Analaog aan a, echtw nu 40 vol% glasveze!.
Mamr ral weerctrdcr breken, 0;= 1,39 GPa
De vezel alleen zou de volgende kracht aankunnen: 0, =
#{
= 0,4.1,8 - 10% 722 MPa > 589 MPa. Dua dc brcukrtrrkte bij 40 vol% glasverel is 720
MPa.
Gertjan de Beus
juni 2005
Opgave 6.4 Om te bepalen hoe het breukgedrag wijzigt met de belastingsrichting (in gmden) zal van de volgende 3 formules gebmik gmaak? rnoeten worden (formule 6.31 in het boek):
Axial tensile failure:
* fl@
Axla1 shear failure:
Uo =
=-
0;
c0s2 e
TI'^
; I;:
Transversal tensile failure: elf, =
T,',
en 0'zijn ; gegeven,
d;e;:vi
0;
,
sin 8.cosO
4 sinz8
kan berekend worden als in opgave 6.3
gebruikt
waarden Koolvezel (hi h modulus)
EPOXY
340 GPa 1800 MPa
2,4 GPa 60 MPa
Met gebrzlik van formule 6.2.4 wordt er gekeken welk rnareriaal het eersre breekt.
Zoals te z i m zal dc vezcl het m t breken. Dus geldt
E;
= E; = 7,35.10"
Op liet moment dat de vezels her begeven draagt de matrix de volgende kracht (6.2.5):
a : =2,4.10' #7,35-10"=17,64 MPa De kracht die gdragen word1 door het cornposiet op dal moment is (6.2.6): CT,= 0 , 5 - 2 , 5 ~ 1 0 ~ + 0 , 5 . 1 7 , 6 4 -=1,26 1 ~ ~ GPa
Zaals bij opgave 6.2 c bleek breekt de matrix al bij 30 MPa, dus de breuksterkte i s 1,26 GPa Hiermee i s dus ook bekend, en kan er een grafiek geplot worden:
Gertjrn de Beus
juni 2005
Breukgedragten opzlchtu van de trekhoek l,WE+[19
Onder de vette lijn zal w vlmi optreden, daarhven breuk. Qe vmchillende lijnen geven aan waardoor deze breuk veroonaala wordt.
E; wordr gebruik gernaakt van de valgendc wsarden I Glasvezel 1 PA 6,6 m!%
/o
1
0.3
E
76 GPa
0 '
1800lMPa
0.7
2,3 GPa 80MPa
O m de r n d u l u s van een cornposiet met relatief korte verek te kunnen bepalen dient de volgende famule gebnrikt te warden:
Ej
= v i* & . E , + ( w , ) ' ~ ,
%=I-[
tanh (na)
(6.5.1)
] Gertjan de Bevs
juni 2005
Polymeer Technologic C T f 35040
a en
G, kunnen meteen berekend worden:
Vervolgens moet het gewichspercentage omgerekmd worden naar rnassapercmtage
APs dii ingevuld wordt in 6.5.5 levert dit:
Hi ennee kan n berekend wodm:
Nu a en n bekend zijn kan de vezellengte correctiefactar berekend worden:
Voor de rnodrrhs van het composiet volgt
dus:
E, =0.833~0,161.76+(1-0,161)-2,3=12,12
GPa
De breukspanning kan nu berekend worden de volgende formule:
CT-
<,
=4 . d
2.t, t 800 40
lc =-.12+1O4
=0,54 mrn
De krinische Iengte is groter clan de vezellengte. Hiedoor mllen de vezels loslaten van de matrix in plaats van te breken.
0,54 0,161.1800+(~-0,161).80= 327,9 MPa 2-0,3
a, =-.
De maximale breuksterkte zal dus 3273 MPa nijn.
waarden
Op dezelfde manier als bij a:
G, =
2,3 2.(1-0,30)
=T,64 GPa
Vervolgens moet het gewich~spercentageamgerekend worden naar rnassapercentage
Als dit ingevuld worda in 6.5.5 lever1 dit:
Hicrmrr kan n berekend worden:
Polymeer Technologic C T t 35040
Nu a en n kkmd zijn kan de vezellengte correctiefactor bmkend worden:
q, = I -
I
mnh (0,223.1 0 8 ~ 3 ) 0,223-108,3
= 0,959
Voor dc modulus van het composiet volgt dus:
E, =0.959.0,139.76+(1-0,139$*35 = 11,25 GPa De breukspanning wordt weer aan de hand van de kritische lengte berekend:
De kritische lmgte is nu kteiner dan de vezellengte. Hierdmr is deze sarnenstelling re vergelijken met het composiet in opgave 3 en 4 waarbij van continue vezets uitgegaan wordt. Matrix:
a;:
, 35.106 &,,,=-=-=26,9.101' Em 1,3.109
Zoals te zien zal dc vczel hct eent breken. Dus geldl
E;
= &; = 23,7.10"
Op het moment dat de vezels het begeven draagl de matrix de volgende kracht: fl; = 1,3.10~+23,7.10-~ =30,8 MPa
De gemiddelde kracht gdragen door de vezels op dat moment wordt gegeven door de Formule:
Hiemit volgt:
-
=#f
UT
-0, +(l-#J)-fli
g,=0~139~1340-1-(1-0,139)-30,8 = 212,7
MPa
Qe vraag is nu of deze kracht huger is dan de ktzacht die de matrix met de slippende en gebroken vezels aan kan:
Dir is lager, dus de breuksterkte van het composiet is 212,7 MPa c.1
Deze trekkracht is al bij a berekend. Er zazal debonding optreden bij 32?,9 MPa
Polymeer Technologle CT 135040
Plaatjes zfjn vaak goedkoper, omdat ze gemaakt worden van mineralen. Het nadeel: hiervan is echter weer dat de samenstelling van mineralen per mijn verschillen en dat ze noolt in hun pure vorm gevonden worden Als plaatjes regelmatig naast elkaar zitten zorgen ze voor een versterking in alle richtfngen, en niet alleen in 1 nchting, echter in uniaxiale tichting zal de treksterhe we1 afnemm. Als laatste voordeel wordt de gaspemeatie van een composiet gereduceerd door plaatjes Opgnve 6.7 Het effect van het verlagen van bet moleculairgewichtop de mechanische eigenschappen van een glasvezelversterkte themoplast kan aangetoond worden met de volgende twee formules: *
T,
n =-*E, 2
rinh(n.a-
7)
(6.7.1)
.&;a
cash ( n -a)
Als de elasticiteitmodulus en de vloeispanning gelijk blijven, en er aangenomen wordt dat de afmetingen van de vewls in de composieten ook niet veranderen. Dan is de enige variabele in 6.7.t &,* . Volgens de apgave zakt deze van 300% naar 30%. Hieruit volgt dat de afschuifspanning ook zal dalen. Uit 6.7.2 i s dan a f te leiden dat de kritische lengte vour vezels toe zal nemen. Dit zorg er dan voor dat de kans groler wordt d3t vezcls korter zijn dan de afschuifspanning, waardmr het composzet zijn sterkte verliest lrnmers de mccste vezels laten dm gewoon 10s bij een hogere treksterkte. En zullen zelf geen spanning opvangen. Het
gevolg van deze verlaging van het moleculairgewicht i s dus dat het rnateriaal eerder kapot zal gaan.
Gertjan de Beus
juni 2005
