Struˇcn´e pozn´amky z MA pro I — ZS 2008/9 ˇamal Robert S´ 17. ledna 2009 Tento text se vztahuje k pˇredmˇetu NMAI054, paralelka Y. Vznikl (vznik´a) u ´pravou textu z loˇ nska od Stanislava Hencla (dˇekuji!). Najdete zde soupis definic, vˇet a nˇeco m´ alo dalˇs´ıch pozn´ amek. Co zde naopak nen´ı, jsou d˚ ukazy. (Avˇsak pokud d˚ ukaz na pˇredn´ aˇsce nebyl, je to zde naps´ ano.) Pokud jste d˚ ukaz “nechytili” na pˇredn´aˇsce, porad’te se s kolegou nebo doporuˇcenou literaturou. Pomoc´ı vodorovn´ ych ˇcar jsou oddˇeleny jednotliv´e pˇredn´ aˇsky. (Posledn´ı tˇri pˇredn´aˇsky oddˇeleny nejsou, protoˇze jsme pˇreskakovali. Za u ´plnˇe posledn´ı pˇredn´aˇskou je Taylor˚ uv polynom, kter´ y odsuneme do letn´ıho semestru.) Pokud naraz´ıte na nˇejakou nesrovnalost, dejte mi pros´ım vˇedˇet. (Zat´ım se s pˇriˇ ıha. pom´ınkami se ozvali Tom´ aˇs Masaˇr´ık, Ondˇrej Kupka, Roman Diba a Roman R´ Dˇekuji!) Vˇety, kter´e jsme si na pˇredn´ aˇsce dokazovali, jsou rozdˇeleny do dvou typ˚ u: L Vˇeta a T Vˇeta (viz poˇzadavky ke zkouˇsce), tyto vˇety byste mˇeli umˇet dok´azat. U ostatn´ıch vˇet (a dvou odhlasovan´ ych v´ yjimk´ach) staˇc´ı zn´at znˇen´ı (a rozumˇet mu). Kdyˇz jsme si dokazovali jen ˇc´ ast vˇety (nebo jsme v d˚ ukazu vynechali ˇc´ast), je to v tomto textu uvedeno a budu zkouˇset jen tyto ˇc´asti d˚ ukazu. V textu jsou uvedeny ot´ azky k zamyˇslen´ı (v´ıce jich jeˇstˇe pˇribude, snad brzy). Mohou v´ am pomoci k lepˇs´ımu vhledu do pˇr´ısluˇsn´eho t´ematu. (Nˇekter´e jsou trochu tˇeˇzˇs´ı, t´ım se nenechte vyv´est z m´ıry. Kdyˇztak se zeptejte kolegy, a nebude-li vˇedˇet, mˇe.) Dalˇs´ı (d˚ uleˇzit´ a!) moˇznost, jak takov´e ot´azky sami generovat: Pˇri ˇcten´ı znˇen´ı vˇet se zamyslete, jak je kter´ y pˇredpoklad d˚ uleˇzit´ y; co kdyˇz m´ısto uzavˇren´eho intervalu bude otevˇren´ y? co kdyˇz funkce nebude spojit´a? Pokud je vˇeta implikace, mohla by platit jako ekvivalence? . . . je snadn´e naj´ıt protipˇr´ıklady – pˇr´ıklady funkc´ı/posloupnost´ı/. . . pro kter´e takov´a varianta vˇety neplat´ı?. (Tip: t´ım si znˇen´ı i mnohem sn´aze zapamatujete a tak´e v´ıce vychutn´ ate.) Pˇri ˇcten´ı d˚ ukazu pozorujte, kde a jak se kter´ y pˇredpoklad pouˇzije. Pouˇzila se nˇejak´ a vˇeta z dˇr´ıvˇejˇs´ı ˇc´ asti pˇredn´aˇsky? Bylo dopˇredu jasn´e, ˇze se pouˇzije?
´ I. Uvod ´ 1.1. Pˇ rehled & Uvod do d˚ ukaz˚ u O ˇcem budeme mluvit: re´ aln´ a ˇc´ısla, jejich posloupnosti, ˇrady a funkce. Co je a co nen´ı d˚ ukaz. Co jsou v´ yroky a jak s nimi zach´azet. √ L Vˇ eta A. 2 6∈ Q. Jinak ˇreˇceno, pro ˇz´ adn´e q ∈ Q neplat´ı q 2 = 2. (D˚ ukaz sporem.) √ √ √ √ K zamyˇ slen´ı: N´ asleduj´ıc´ı ˇc´ısla tak´e nejsou racion´aln´ı: 3 2, 3, 2 + 3, . . . L Vˇ eta B (Bernoulliova nerovnost). Pro x > −1 a n ∈ N plat´ı (1 + x)n ≥ 1 + nx. 1
(D˚ ukaz indukc´ı.)
1.2. Mnoˇ zina re´ aln´ ych ˇ c´ısel Vˇsichni v´ıme, co jsou to pˇrirozen´ a ˇc´ısla N = {1, 2, . . . }, jak se rozˇsiˇruj´ı tak, aby ˇslo odˇc´ıtat (na cel´ a ˇc´ısla Z), a dˇelit (na racion´aln´ı ˇc´ısla Q). Jak jsme vidˇeli minule, tak st´ ale nejde napˇr. odmocˇ novat. M´ısto toho, abychom pˇrid´avali jednu dalˇs´ı operaci, pˇrid´ ame v jist´em smyslu vˇsechny t´ım, ˇze “zalep´ıme d´ıry” (viz Vˇeta 1 n´ıˇze). Definice. Tˇeleso je pˇetice (T, +, ·, 0, 1) kde T je mnoˇzina, 0 6= 1 prvky T a +, · operace na T tak, ˇze plat´ı 1. ∀x, y, z ∈ T : x + (y + z) = (x + y) + z 2. ∀x, y ∈ T : x + y = y + x 3. ∀x ∈ T : x + 0 = x 4. ∀x ∈ T ∃−x ∈ T : x + (−x) = 0 5. ∀x, y, z ∈ T : x · (y · z) = (x · y) · z 6. ∀x, y ∈ T : x · y = y · x 7. ∀x ∈ T : x · 1 = x 8. ∀x ∈ T \ {0}∃x−1 ∈ T : x · x−1 = 1 9. ∀x, y, z ∈ T : (x + y) · z = x · z + y · z Definice. Uspoˇr´ adan´e tˇeleso je ˇsestice (T, +, ·, 0, 1, <) takov´ a, ˇze 1. (T, +, ·, 0, 1) je tˇeleso 2. < je tzv. uspoˇr´ ad´ an´ı na T :
3.
•
∀x, y ∈ T : x < y nebo x > y nebo x = y
•
∀x, y, z ∈ T : x < y & y < z =⇒ x < z
•
∀x ∈ T : ¬(x < x)
operace jsou kompatibiln´ı s uspoˇr´ ad´ an´ım: •
∀x, y, z ∈ T : x < y =⇒ x + z < y + z
•
∀x, y, z ∈ T : x < y&z > 0 =⇒ x · z < y · z
Pozn´ amka. Z v´yˇse uveden´ych vlastnost´ı uˇz lze dok´ azat “vˇse ostatn´ı”: od trivialit (jako 0 < 1) po vˇeci uˇziteˇcn´e (jako vzorce pro (x + y)2 , jak ˇreˇsit line´ arn´ı rovnice, . . . ). Pˇ r´ıklad. Racion´ aln´ı ˇc´ısla s bˇeˇzn´ymi operacemi jsou uspoˇr´ adan´e tˇeleso. Re´ aln´ a ˇc´ısla tak´e (ale jeˇstˇe pˇresnˇe nev´ıme, co to re´ aln´ a ˇc´ısla jsou). Komplexn´ı ˇc´ısla a cel´ a ˇc´ısla modulo prvoˇc´ıslo jsou pˇr´ıklady tˇeles, kter´ a nejdou uspoˇr´ adat. (K zamyˇ slen´ı: Proˇc?) ˇ Definice. Necht’ (T, +, ·, 0, 1, <) je uspoˇr´ adan´e tˇeleso a M ⊆ T . Rekneme, ˇze M je omezen´ a shora (resp. omezen´ a zdola), jestliˇze existuje a ∈ T tak, ˇze pro vˇsechna x ∈ M plat´ı x ≤ a (resp. x ≥ a). Takov´e a nazveme horn´ı z´avora (resp. doln´ı z´ avora) mnoˇziny M . 2
ˇ ıslo s ∈ T Definice. Necht’ je opˇet (T, +, ·, 0, 1, <) je uspoˇr´ adan´e tˇeleso a M ⊆ T . C´ naz´yv´ ame supremum M pokud (i) ∀x ∈ M : x ≤ s; (ii) ∀y ∈ T, y < s ∃x ∈ M : y < x. ˇ ıslo i ∈ T naz´yv´ C´ ame infimum M pokud (i) ∀x ∈ M : i ≤ x; (ii) ∀y ∈ T, i < y ∃x ∈ M : x < y. Vˇ eta 1 (zaveden´ı re´ aln´ ych ˇcisel). Existuje uspoˇr´ adan´e tˇeleso, kde kaˇzd´ a nepr´ azdn´ a shora omezen´ a mnoˇzina m´ a supremum. Takov´e tˇeleso je v jist´em smyslu (aˇz na isomorfismus) jednoznaˇcn´e. Budeme mu ˇr´ıkat tˇeleso re´ aln´ych ˇcisel a znaˇcit ho R. (Bez d˚ ukazu.) Pozn´ amka. Nebudeme tedy rozeb´ırat, jak pˇresnˇe re´ aln´ a ˇc´ısla vypadaj´ı. Jedna z moˇznost´ı jsou obvykl´e desetinn´e rozvoje (ale nen´ı u ´plnˇe jasn´e, jak v˚ ubec definovat tˇreba n´ asoben´ı, a jestli takov´e n´ asoben´ı vyjde asociativn´ı. Jin´y postup jsou tzv. Dedekindovy ˇrezy. K zamyˇ slen´ı: Re´ aln´ych ˇc´ısel je v´ıce neˇz pˇrirozen´ych. (Co to vlastnˇe znamen´ a?) − Pozn´ amka. Znaˇcen´ı: R+ , R− , R+ 0 , R0 , intervaly (a, b), [a, b), atd.
L Vˇ eta 2 (o existenci infima). Necht’ M ⊆ R je nepr´ azdn´ a zdola omezen´ a mnoˇzina. Pak existuje inf M . L Vˇ eta 3 (Archimedova vlastnost). Ke kaˇzd´emu x ∈ R existuje n ∈ N tak, ˇze x < n.
L Vˇ eta 4 (hustota Q a R\Q). Necht’ a, b ∈ R, a < b. Pak existuj´ı q ∈ Q a r ∈ R\Q tak, ˇze q ∈ (a, b) a r ∈ (a, b). T Vˇ eta 5 (o n-t´e odmocninˇe). Necht’ n ∈ N a x ∈ [0, ∞). Pak existuje pr´ avˇe jedno y ∈ [0, ∞) tak, ˇze y n = x. Pozorov´ an´ı 6 (troj´ uheln´ıkov´ a nerovnost). (∀x, y ∈ R)|x + y| ≤ |x| + |y|
II. Posloupnosti ´ 2.1. Uvod Definice. Posloupnost re´ aln´ ych ˇc´ısel je zobrazen´ı N → R. M´ısto a(n) p´ıˇseme vˇsak an , celou posloupnost znaˇc´ıme (an )∞ n=1 = (a1 , a2 , a3 , . . .), nebo jen (an ). Pozn´ amka. 1. Definice i mnoh´e vˇety funguj´ı stejnˇe i pro komplexn´ı ˇc´ısla, my se povˇetˇsinou omez´ıme na ˇc´ısla re´ aln´ a. ˇ se uk´ aˇze, ˇze je ˇsikovn´e uvaˇzovat i tzv. zobecnˇen´e posloupnosti, tj. posloup2. Casem nosti, kter´e nemus´ı b´yt v koneˇcnˇe mnoha bodech definov´ any. (Napˇr. an = 1/(n−211) ˇ nepopisuje posloupnost, nebot’ a211 nen´ı definov´ ano.)R ˇ Definice. Rekneme, ˇze posloupnost (an )n∈N je omezen´a, jestliˇze mnoˇzina ˇclen˚ u posloupnosti, tj. mnoˇzina {an : n ∈ N} je omezen´ a podmnoˇzina R. Analogicky definujeme omezenost shora a omezenost zdola. 3
ˇ Definice. Rekneme, ˇze posloupnost (an )n∈N je: •
klesaj´ıc´ı, jestliˇze (∀n ∈ N) an > an+1 ,
•
rostouc´ı, jestliˇze (∀n ∈ N) an < an+1 .
•
neklesaj´ıc´ı, jestliˇze (∀n ∈ N) an ≤ an+1 ,
•
nerostouc´ı, jestliˇze (∀n ∈ N) an ≥ an+1 ,
Pozn´ amka. Poslouponost (an ) je rostouc´ı pr´ avˇe kdyˇz (∀m < n)am < an .
2.2. Vlastn´ı limita posloupnosti ˇ Definice. Necht’ A ∈ R a (an )∞ ze A je (vlastn´ı) n=1 je posloupnost. Rekneme, ˇ limitou posloupnosti (an ), jestliˇze ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 , n ∈ N : |an − A| < ε . Znaˇc´ıme lim an = A. n→∞
Posloupnost, kter´ a m´ a (vlastn´ı) limitu, naz´yv´ ame konvergentn´ı posloupnost. Pozn´ amka. 1. V definici lze ekvivalentnˇe ps´ at . . . n > n0 . . . a tak´e |an − A| ≤ ε 2. Tak´e lze ekvivalentnˇe ps´ at |an − A| < 2ε, nebo obecnˇeji |an − A| < Kε, pro jakoukoli kladnou konstantu K. (Pozor, d˚ uleˇzit´e!) 3. Limita nez´ aleˇz´ı na poˇc´ atku – pokud zmˇen´ıme koneˇcnˇe mnoho ˇclen˚ u posloupnosti, limita se nezmˇen´ı. 4. Dokonce pro zjiˇstˇen´ı existence (a hodnoty) limity posloupnosti prvn´ıch (napˇr.) sto ˇclen˚ u v˚ ubec nepotˇrebujeme, m˚ uˇzeme tedy definovat i limitu zobecnˇen´e posloupnosti, kter´ a pro koneˇcnˇe mnoho ˇclen˚ u nen´ı v˚ ubec definov´ ana. Pˇ r´ıklad. (1) 1 − 1/n, (2) (−1)n (3) n L Vˇ eta 1 (jednoznaˇcnost vlastn´ı limity). Kaˇzd´ a posloupnost m´ a nejv´yˇse jednu limitu. L Vˇ eta 2 (omezenost konvergentn´ı posloupnosti). Necht’ (an ) m´ a vlastn´ı limitu. Pak je (an ) omezen´ a.
ˇ ˇze posloupnost (bk )k∈N je vybran´ a z posloupnosti (an )n∈N , Definice. Rekneme, ze bk = ank . jestliˇze existuje rostouc´ı posloupnost pˇrirozen´ych ˇc´ısel (nk )∞ k=1 tak, ˇ K zamyˇ slen´ı: Je moˇzn´e, aby byla posloupnost (bn ) vybran´ a z (an ) a tak´e naopak — (an ) vybran´ a z (bn ) — aniˇz by byly obˇe posloupnosti identick´e? L Vˇ eta 3 (o limitˇe vybran´e posloupnosti). Necht’ lim an = A ∈ R a necht’ (bk ) je n→∞
vybran´ a z (an ). Pak lim bk = A. k→∞
T Vˇ eta 4 (aritmetika limit). Necht’ lim an = A ∈ R a lim bn = B ∈ R. Pak plat´ı n→∞
1. 2. 3.
lim an + bn = A + B
n→∞
lim an bn = AB
n→∞
lim an /bn = A/B pokud B 6= 0
n→∞
4
n→∞
Pozn´ amka. 1. Je moˇzn´e, ˇze lim an ani lim bn neexistuje, avˇsak lim(an + bn ) ano! (bn = −an , an “divok´ a”). Podobnˇe v ostatn´ıch pˇr´ıpadech. 2. V tˇret´ı ˇc´ asti ch´ apeme posloupnost an /bn v zobecnˇen´em smyslu (zm´ınˇen´em po definici posloupnosti). Pokud je bn = 0 pro nˇejak´e n, pak pro toto n nen´ı v´yraz an. Ovˇsem pokud lim bn 6= 0, tak se toto m˚ uˇze st´ at jen pro koneˇcnˇe an /bn definov´ mnoho hodnot n. L Vˇ eta 5 (limita a uspoˇr´ ad´ an´ı). Necht’ lim an = A ∈ R, lim bn = B ∈ R. n→∞
n→∞
(i) Jestliˇze A < B, pak existuje n0 ∈ N, ˇze pro kaˇzd´e n ≥ n0 plat´ı an < bn . (ii) Jestliˇze existuje n0 ∈ N takov´e, ˇze pro kaˇzd´e n ≥ n0 plat´ı an ≥ bn , pak A ≥ B. L Vˇ eta 6 (o dvou str´ aˇzn´ıc´ıch). Necht’ (an ), (bn ), (cn ) jsou posloupnosti splˇ nuj´ıc´ı: (i) ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 : an ≤ cn ≤ bn , (ii) lim an = lim bn = A ∈ R. Pak lim cn = A. L Vˇ eta 7 (o limitˇe souˇcinu omezen´e a mizej´ıc´ı posloupnosti). Necht’ lim an = 0 a (bn ) je omezen´ a. Pak lim an bn = 0. (Pˇredchoz´ı vˇeta byla o pˇredn´ aˇsku pozdˇeji, ale logicky patˇr´ı sem.) √ √ 2 +11 n a, lim n n, lim q n /nk Pˇ r´ıklad. lim 1/na (pro a racion´ aln´ı), lim q n , lim nn3 +2n 2 , lim
2.3. Nevlastn´ı limita posloupnosti ˇ Definice. Rekneme, ˇze posloupnost (an )n∈N m´ a (nevlastn´ı) limitu +∞ (respektive −∞), pokud : ∀K ∈ R ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 , n ∈ N : an > K (∀K ∈ R ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 , n ∈ N : an < K). Vˇety 1, 3, 5 a 6 plat´ı i v pˇr´ıpadˇe, ˇze uvaˇzujeme nevlastn´ı limity. Definice. Rozˇs´ıˇren´ a re´ aln´ a osa je mnoˇzina R∗ = R∪{+∞}∪{−∞} s n´ asleduj´ıc´ımi vlastnostmi: ∀a ∈ R
Uspoˇr´ ad´ an´ı:
−∞
Absolutn´ı hodnota: Sˇc´ıt´ an´ı:
| + ∞| = | − ∞| = +∞ ∀a ∈ R∗ \ {+∞} − ∞ + a = −∞
N´ asoben´ı:
∀a ∈ R∗ \ {−∞} ∀a ∈ R∗ , a > 0
+ ∞ + a = +∞ a · (±∞) = ±∞
∀a ∈ R∗ , a < 0
a · (±∞) = ∓∞ a = 0. ∀a ∈ R ±∞
Dˇelen´ı: V´yrazy −∞ + ∞, 0 · (±∞),
±∞ cokoli ±∞ , 0
nejsou definov´ any.
Vˇ eta 4 (aritmetika limit podruh´e). Necht’ lim an = A ∈ R∗ a lim bn = B ∈ R∗ . n→∞ n→∞ Pak plat´ı 1. 2. 3.
lim an + bn = A + B, MLPSS
n→∞
lim an bn = AB, MLPSS
n→∞
lim an /bn = A/B, MLPSS
n→∞
5
(MLPSS znaˇc´ı “m´ a-li prav´ a strana smysl”: tj. v´yraz na prav´e stranˇe je definov´ an.) (Bez d˚ ukazu.) K zamyˇ slen´ı: Pokud v´yraz na prav´e stranˇe smysl nem´ a, tak nejenˇze nev´ıme, ˇcemu je rovna (a zda existuje) limita na lev´e stranˇe, ale dokonce se tato limita m˚ uˇze rovnat ˇcemukoli (nebo neexistovat). Hmm, s jedinou v´yjimkou, v jednom nedefinovan´em pˇr´ıpadˇe m˚ uˇzeme nˇeco m´ alo ˇr´ıct – ve kter´em a co?
Definice. Pro libovolnou mnoˇzinu M ⊆ R definujme sup M jako nejmenˇs´ı horn´ı z´ avoru (i nekoneˇcnou) — pˇresnˇeji, sup M je minim´ aln´ı prvek mnoˇziny {x ∈ R∗ : (∀m ∈ M )x ≥ m} . Analogicky definujeme inf M coby maxim´ aln´ı prvek mnoˇziny {x ∈ R∗ : (∀m ∈ M )x ≤ m} . Pozn´ amka. 1. Pokud je M omezen´ a shora, tak tato definice suprema M spl´yv´ as definic´ı v druh´e pˇredn´ aˇsce. (K zamyˇ slen´ı: Proˇc?) 2. Pokud je M shora neomezen´ a, tak jedinou horn´ı z´ avorou je +∞, takˇze sup M = +∞. 3. Analogicky pro infima. V souhrnu dost´ av´ ame, ˇze pˇripust´ıme-li nekoneˇcn´e hodnoty, m´ a kaˇzd´ a mnoˇzina re´ aln´ych ˇc´ısel supremum i infimum. 4. K zamyˇ slen´ı: Kolik je sup ∅ a inf ∅? L Vˇ eta 8 (limita typu A/0). Necht’ lim an = A ∈ R∗ , A > 0, lim bn = 0 a n→∞
n→∞ an = ∞. b n→∞ n
existuje n0 ∈ N, ˇze pro kaˇzd´e n ∈ N, n ≥ n0 plat´ı bn > 0. Pak lim
2.4. Monot´ onn´ı posloupnosti L Vˇ eta 9 (o limitˇe monot´ onn´ı posloupnosti). Kaˇzd´ a monot´ onn´ı posloupnost m´ a limitu. Pˇ r´ıklad. Takto lze napˇr. odvodit, ˇze posloupnost definovan´ a pˇredpisem a1 = 1, an+1 = (an + 2/an )/2 √ (pro kaˇzd´e n ≥ 1) m´ a limitu, podle vˇety o aritmetice limit se dopoˇcte, ˇze lim an = 2. n→∞
Definice. Necht’ (an )n∈N je posloupnost a oznaˇcme bk = sup{an : n ≥ k} a ˇ ıslo lim bk naz´yv´ ck = inf{an : n ≥ k}. C´ ame limes superior posloupnosti (an )n∈N a k→∞ ˇ znaˇc´ıme lim supn→∞ an . C´ıslo lim ck naz´yv´ ame limes inferior posloupnosti (an )n∈N k→∞
a znaˇc´ıme lim inf n→∞ an . Pozn´ amka. (1) Je-li (an ) shora (zdola) neomezen´ a, pak vyjde bk = ∞ (ck = −∞). V tom pˇr´ıpadˇe klademe lim bk = ∞ ( lim ck = −∞). k→∞
k→∞
(2) Protoˇze (bk ) je nerostouc´ı a (ck ) neklesaj´ıc´ı, tak podle pˇredchoz´ı vˇety limes superior a limes inferior existuje pro kaˇzdou posloupnost. Pˇ r´ıklad. lim supn→∞ (−1)n +1/n = 1, lim inf n→∞ (−1)n +1/n = −1, lim supn→∞ n = lim inf n→∞ n = ∞ T Vˇ eta 10 (vztah limity, limes superior a limes inferior). Necht’ (an ) je posloupnost, A ∈ R∗ . Pak lim an = A ∈ R∗ ⇔ lim sup an = lim inf an = A ∈ R∗ . n→∞
n→∞
6
T Vˇ eta 11 (Bolzano–Weierstrass). Z kaˇzd´e omezen´e posloupnosti lze vybrat konvergentn´ı podposloupnost.
T Vˇ eta 12 (BC podm´ınka). Posloupnost (an )n∈N m´ a vlastn´ı limitu, pr´ avˇe kdyˇz splˇ nuje Bolzano-Cauchyovu podm´ınku, tedy ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀m, n ∈ N, n ≥ n0 , m ≥ n0 :
|an − am | < ε.
ˇ III. Rady ´ 3.1. Uvod ˇ ıslo sm = a1 + a2 + . . . + am nazveme mDefinice. Necht’ (an )n∈N je posloupnost. C´ P∞ P∞ t´ ym ˇc´ asteˇcn´ ym souˇctem ˇrady n=1 an . Souˇctem nekoneˇcn´e ˇrady n=1 an nazveme limitu posloupnosti (sm )m∈N , pokud tato limita existuje. Je-li tato limita koneˇcn´ a, pak ˇrekneme, ˇze ˇrada je konvergentn´ı. Je-li tato limita nekoneˇcn´ a nebo neexistuje, P∞ pak ˇrekneme, ˇze ˇrada je divergentn´ı. Tuto limitu budeme znaˇcit n=1 an . m+1
Pˇ r´ıklad. Pokud an = q n , je sm = q q−1−q . Snadno spoˇcteme limitu posloupnosti (sm ), a t´ım zjist´ıme, ˇze q |q| < 1 ∞ 1−q X qn = ∞ q>1 n=1 neex. jinak Pozn´ amka. Pˇri poˇc´ıt´ an´ı souˇct˚ u ˇrad podle definice naraz´ıme na dva probl´emy: ˇc´ asteˇcn´e souˇcty m˚ uˇze b´yt tˇeˇzk´e hezky vyj´ adˇrit a (proto) m˚ uˇze b´yt obt´ıˇzn´e zjistit jejich limitu. Existuj´ı rafinovanˇejˇs´ı metody (metodu m´ırnˇe rafinovanou si uk´ aˇzeme pˇr´ıˇstˇe), pro jejich aplikaci bude ale potˇreba vˇedˇet, zda dan´y souˇcet v˚ ubec existuje (a je koneˇcn´y), neboli zda ˇrada konverguje. T´ım se budeme ted’ (takˇrka) v´yhradnˇe zab´yvat. P∞ L Vˇ eta 1 (nutn´ a podm´ınka konvergence). Jestliˇze je n=1 an konvergentn´ı, pak lim an = 0. n→∞
Pozn´ amka. Tato podm´ınka rozhodnˇe NENI´ postaˇcuj´ıc´ı: napˇr. brzy uvid´ıme), tˇrebaˇze lim n1 = 0.
P∞
1 n=1 n
= ∞ (jak
n→∞
L Vˇ eta 2 (linearita ˇrad). (i) Necht’ α ∈ R \ {0}, pak ∞ X
an konverguje ⇔
n=1
∞ X
αan konverguje .
n=1
P∞ P∞ Nav´ıc, pokud obˇe ˇrady konverguj´ı,P tak n=1 αan = α n=1 an . P∞ ∞ (ii) Necht’ n=1 an konverguje a n=1 bn konverguje, pak ∞ X
(an + bn ) konverguje.
n=1
Nav´ıc, pokud ˇrady konverguj´ı, tak
P∞
n=1 (an
7
+ bn ) =
P∞
n=1
an +
P∞
n=1 bn .
ˇ 3.2. Rady s nez´ aporn´ ymi ˇ cleny Pozn´ amka. Pro ˇrady s nez´ aporn´ymi ˇcleny podle vˇety II.9 limita ˇc´ asteˇcn´ych souˇct˚ u existuje, jde tedy “jen” o to, zda tato limita je koneˇcn´ a (ˇrada konverguje) nebo nekoneˇcn´ a (ˇrada diverguje). P∞ P∞ L Vˇ eta 3 (srovn´ avac´ı krit´erium). Necht’ n=1 an a n=1 bn jsou ˇrady s nez´ aporn´ymi ˇcleny a necht’ existuje n0 ∈ N tak, ˇze pro vˇsechna n ∈ N, n ≥ n0 plat´ı an ≤ bn . Pak (i) (ii)
∞ X
bn konverguje ⇒
n=1 ∞ X
an diverguje ⇒
n=1
∞ X
an konverguje,
n=1 ∞ X
bn diverguje.
n=1
P∞ P∞ L Vˇ eta 4 (limitn´ı srovn´ avac´ı krit´erium). Necht’ n=1 an a n=1 bn jsou ˇrady s an = K ∈ R∗ . Pak nez´ aporn´ymi ˇcleny a necht’ lim n→∞ bn ∞ ∞ X X (i) Jestliˇze K ∈ (0, ∞), pak bn konverguje ⇔ an konverguje, n=1 ∞ X
(ii) Jestliˇze K = 0, pak (ii) Jestliˇze K = ∞, pak
n=1
bn konverguje ⇒
n=1 ∞ X
∞ X
an konverguje,
n=1 ∞ X
an konverguje ⇒
n=1
L Vˇ eta 5 (Cauchyovo odmocninov´e krit´erium). ˇcleny. (i) ∃q ∈ (0, 1) ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 :
bn konverguje.
n=1 P∞ Necht’ n=1
√ n
an < q ⇒
an je ˇrada s nez´ aporn´ymi
∞ X
an konverguje,
n=1
(ii) ∃q > 1 ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 :
√ n
an > q ⇒
∞ X
an diverguje,
n=1
(iii) lim
√ n
n→∞
(iv) lim
n→∞
√ n
an < 1 ⇒
an > 1 ⇒
∞ X
an konverguje,
n=1 ∞ X
an diverguje,
n=1
K zamyˇ slen´ı: V ˇc´ astech (iii) a (iv) lze m´ısto lim ps´ at lim sup. P∞ L Vˇ eta 6 (d’Alambertovo pod´ılov´e krit´erium). Necht’ n=1 an je ˇrada s kladn´ymi ˇcleny. (i) ∃q ∈ (0, 1) ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 : (ii) ∃q > 1 ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 :
∞ X an+1 >q⇒ an diverguje, an n=1
∞ X an+1 <1⇒ an konverguje, n→∞ an n=1
(iii) lim
∞ X an+1 >1⇒ an diverguje. n→∞ an n=1
(iv) lim
8
∞ X an+1
K zamyˇ slen´ı: V ˇc´ asti (iii) lze m´ısto lim ps´ at lim sup. K zamyˇ slen´ı: Lze ˇr´ıci, zda je lepˇs´ı pod´ılov´e nebo odmocninov´e krit´erium? k−1 P∞ Pˇ r´ıklad. Zkoumejme ˇrady k=1 k 61 56 . (K zamyˇ slen´ı: Co tento souˇcet ˇr´ık´ a o h´ azen´ı hrac´ı kostkou?) Pouˇzijeme pod´ılov´e krit´erium (ˇslo by i odmocninov´e, s trochu tˇeˇzˇs´ı limitou. M´ ame an+1 n+15 = an n 6 a tedy lim an+1 /an = 5/6 < 1. Proto m´ a ˇrada koneˇcn´y souˇcet, oznaˇcme ho S. M˚ uˇzeme ale d´ ale poˇc´ıtat k−1 ∞ X 1 5 k 6 6 k=1 k ∞ X 1 5 = (k + 1) 6 6 k=0 k k−1 ∞ ∞ X 1 5 5X 1 5 = + k) 6 6 6 6 6
S=
k=0
k=0
5 1/6 + S = 1 − 5/6 6 Odsud jiˇz snadno zjist´ıme, ˇze S = 6. Vˇ eta 7 (Raabeho krit´erium). Necht’ (i) lim n n→∞
P∞
n=1
an je ˇrada s kladn´ymi ˇcleny.
∞ a X n −1 >1⇒ an konverguje, an+1 n=1
∞ a X n an diverguje. −1 <1⇒ (ii) lim n n→∞ an+1 n=1
(Bez d˚ ukazu.) K zamyˇ slen´ı: D˚ ukaz lze udˇelat srovn´ an´ım s ˇradou 1/nα . P∞ T Vˇ eta 8 (kondenzaˇcn´ı krit´erium). Necht’ n=1 an je ˇrada s nez´ aporn´ymi ˇcleny splˇ nuj´ıc´ı an+1 ≤ an pro vˇsechna n ∈ N. Pak ∞ X n=1
an konverguje ⇔
∞ X
2n a2n konverguje.
n=1
D˚ usledek Necht’ α ∈ R. P∞ 1 1. n=1 nα konverguje ⇔ α > 1. P∞ 1 2. n=2 n logα n konverguje ⇔ α > 1. P∞ 1 K zamyˇ slen´ı: Jak je to s ˇradou n=5 n log n(log log n)α ?
3.3. Neabsolutn´ı konvergence ˇ rad P∞ P∞ Definice. Necht’ pro ˇradu n=1 an plat´ı, ˇze n=1 |an | konveguje. Pak ˇr´ık´ ame, ˇze P ∞ a konverguje absolutnˇ e . n=1 n
9
P∞ ˇ L Vˇ eta 9 (Bolzano-Cauchyho podm´ınka pro konvergenci ˇrad). Rada n=1 an konverguje, pr´ avˇe tehdy, kdyˇz je splnˇena n´ asleduj´ıc´ı podm´ınka ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀m, n ∈ N, m ≥ n0 , n ≥ n0 :
m X aj < ε. j=n
L Vˇ eta 10 (vztah konvergencePa absolutn´ı konvergence). Necht’ ˇrada ∞ konverguje absolutnˇe. Pak ˇrada n=1 an konverguje.
P∞
n=1
an
Lemma (Abelova parci´ aln´ı sumace). Necht’ a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn ∈ R. Oznaˇcme Pk sk = i=1 ai . Pak plat´ı n X
ai bi =
i=1
n−1 X
si (bi − bi+1 ) + sn bn .
i=1
Jestliˇze nav´ıc b1 ≥ b2 ≥ . . . ≥ bn ≥ 0, pak b1 min si ≤
n X
ai bi ≤ b1 max si .
i=1
(d˚ ukaz snadnou indukc´ı – ale z ˇcasov´ych d˚ uvod˚ u vynech´ an) T Vˇ eta 11 (Abel-Dirichletovo krit´erium). Necht’ (an )n∈N je posloupnost re´ aln´ych ˇc´ısel a (bn )∞ je nerostouc´ ı posloupnost nez´ a porn´ y ch ˇ c ´ ısel. Jestliˇ z e je nˇ e kter´ a z n=1 P∞ n´ asleduj´ıc´ıch podm´ınek splnˇena, pak je n=1 an bn konvergentn´ı. (A)
∞ X
an je konvergentn´ı,
n=1
(D) lim bn = 0 a n→∞
∞ X
an m´ a omezen´e ˇcasteˇcn´e souˇcty, tedy
n=1
∃K > 0 ∀m ∈ N :
m X |sm | = ai < K. i=1
(v d˚ ukazu vynech´ any technick´e detaily) L Vˇ eta 12 (Leibnitz). Necht’ (bn )∞ ı posloupnost nez´ aporn´ych ˇc´ısel. n=1 je nerostouc´ Pak ∞ X (−1)n bn konverguje ⇔ lim bn = 0. n→∞
n=1
(dk byl aˇz na dalˇs´ı pˇredn´ aˇsce) Pozn´ amka. Vlastnost “bn je klesaj´ıc´ı posloupnost s limitou 0” znaˇc´ıme bn & 0.
P∞ Pozn´ amka. (1) Necht’ n=1 an je absolutnˇe konvergentn´ı ˇrada. Pak po libovoln´e zmˇenˇe poˇrad´ı jej´P ıch ˇclen˚ u dostaneme absolutnˇe konvergentn´ı ˇradu (kterou m˚ uˇzeme ∞ form´ alnˇe zapsat n=1 aP , pro nˇ e jakou bijekci p : N → N) se stejn´ y m souˇ c tem. p(n) P∞ ∞ (2) Naproti tomu pokud n=1 an konverguje, avˇsak nikoliv absolutnˇe (tj. n=1 |an | = ∞), pak zmˇenou poˇrad´ı jej´ıch ˇclen˚ u lze dostat libovoln´y souˇcet z R∗ .
10
3.4. Souˇ cin ˇ rad Tak jako pro koneˇcn´e souˇcty bychom i pro souˇcty nekoneˇcn´e (ˇrady) chtˇeli pouˇz´ıvat distributivitu (rozn´ asobov´ an´ı z´ avorek). Je ale potˇreba se rozhodnout, v jak´em poˇrad´ı budeme jednotliv´e ˇcleny sˇc´ıtat. P∞ P∞ Definice. Necht’ n=1 an a n=1 bn jsou ˇrady. Cauchyovsk´ ym souˇcinem tˇechto ˇrad nazveme ˇradu ∞ k−1 X X ak−i bi . k=2 i=1
Vˇ eta 13 (o souˇcinu ˇrad). Necht’ ∞ k−1 X X
P∞
n=1
an a
P∞
n=1 bn
konverguj´ı absolutnˇe. Pak
∞ ∞ X X ak−i bi = an · bn . n=1
k=2 i=1
n=1
(Bez d˚ ukazu.)
IV. Funkce jedn´ e re´ aln´ e promˇ enn´ e 4.1. Z´ akladn´ı definice Definice. Funkc´ı jedn´e re´ aln´e promˇenn´e rozum´ıme zobrazen´ı f : M → R, kde M ⊆ R. Mnoˇzina M se naz´yv´ a definiˇcn´ı obor funkce f a znaˇc´ı Df . ˇ Definice. Rekneme, ˇze funkce f : M → R, M ⊆ R, je rostouc´ı, jestliˇze ∀x, y ∈ M, x < y :
f (x) < f (y),
klesaj´ıc´ı, jestliˇze ∀x, y ∈ M, x < y :
f (x) > f (y),
nerostouc´ı, jestliˇze ∀x, y ∈ M, x < y :
f (x) ≥ f (y),
neklesaj´ıc´ı, jestliˇze ∀x, y ∈ M, x < y :
f (x) ≤ f (y).
ˇ Definice. Rekneme, ˇze funkce f : M → R, M ⊆ R, je sud´ a, jestliˇze ∀x ∈ M :
−x ∈ M & f (x) = f (−x),
lich´ a, jestliˇze ∀x ∈ M :
−x ∈ M & (f (x) = −f (−x)),
periodick´ a, jestliˇze ∃p > 0 ∀x ∈ M :
x + p ∈ M & x − p ∈ M & f (x) = f (x + p) .
ˇ ˇze funkce f : M → R, M ⊆ R, je omezen´a ( omezen´a Definice. Rekneme, shora, omezen´ a zdola), jestliˇze f (M ) je omezen´ a (shora omezen´ a, zdola omezen´ a) podmnoˇzina R. Symbolem f (M ), nebo tak´e Hf znaˇc´ıme mnoˇzinu hodnot funkce f , tj. mnoˇzinu {f (x) : x ∈ M }. ˇ Definice. Necht’ f : M → R, M ⊆ R. Rekneme, ˇze funkce f nab´yv´ a v bodˇe a ∈ M maxima na M jestliˇze ∀x ∈ M : f (x) ≤ f (a), minima na M jestliˇze ∀x ∈ M : f (x) ≥ f (a), ostr´eho maxima na M jestliˇze ∀x ∈ M, x 6= a : f (x) < f (a), ostr´eho minima na M jestliˇze ∀x ∈ M, x 6= a : f (x) > f (a), 11
lok´ aln´ıho maxima (ostr´eho lok´ aln´ıho maxima, ostr´eho lok´aln´ıho minima, lok´aln´ıho minima) na M jestliˇze existuje δ > 0 tak, ˇze f nab´yv´ a na M ∩ (a − δ, a + δ) sv´eho maxima (ostr´eho maxima, ostr´eho minima, minima). K zamyˇ slen´ı: M˚ uˇze nˇejak´ a funkce nab´yvat lok´ aln´ıho minima v kaˇzd´em bodˇe definiˇcn´ıho oboru? Ostr´eho lok´ aln´ıho minima? Co kdyˇz chceme, aby funkce byla definovan´ a na cel´em R? (Pozor, posledn´ı ˇc´ ast je tˇeˇzk´ a!) Definice. Bud’te f : M → R a g : N → R funkce, M, N ⊆ R. Sloˇzen´ım tˇechto funkc´ı mysl´ıme funkci h : N 0 → R, kde 1. h(x) = f (g(x)) pro vˇsechna x ∈ N 0 2. N 0 = {x ∈ N : g(x) ∈ M } ˇ Definice. Necht’ f je funkce a J je interval. Rekneme, ˇze f je prost´a na J, jestliˇze pro vˇsechna x, y ∈ J plat´ı x 6= y ⇒ f (x) 6= f (y). Pro prostou funkci f : J → R definujeme funkci inverzn´ı f −1 : f (J) → R pˇredpisem f −1 (y) = x ⇔ f (x) = y.
4.2. Element´ arn´ı funkce Po trochu such´ych definic´ıch si poˇr´ adnˇe zaved’me “bˇeˇzn´e” – tzv. element´arn´ı – funkce. Zat´ım jsme si nedefinovali limitu funkce ani spojitost, tyto body zat´ım pros´ım ch´ apejte intuitivnˇe (a vrat’te se k nim, aˇz limity a spojitost probereme). Vˇ eta 14 (zaveden´ı exponenci´ aly). Existuje pr´ avˇe jedna funkce exp : R → R splˇ nuj´ıc´ı: 1. 2. 3. 4. 5.
exp(x) je rostouc´ı na R , ∀x, y ∈ R exp(x + y) = exp(x) exp(y), exp(0) = 1, Hexp = (0, ∞), exp je spojit´ a
6. lim
x→0
exp(x)−1 x
= 1.
(Bez d˚ ukazu.) Definice. Funkci inverzn´ı k exponenci´ ale exp naz´yv´ ame logaritmus log. Vˇ eta 15 (vlastnosti logaritmu). Funkce log splˇ nuje: 1. log : (0, ∞) → R je spojit´ a rostouc´ı funkce, 2. ∀x, y > 0 log(xy) = log(x) + log(y), log(x) x→1 x−1
3. lim
= 1.
(Bez d˚ ukazu.) Definice. Necht’ a > 0 a b ∈ R. Pak definujeme ab = exp(b log(a)). Je-li b > 0 pak a definujeme logb a = log log b . Pozn´ amka. (1) Umocˇ nov´ an´ı m´ a vˇsechny “oˇcek´ avan´e” vlastnosti, tj. napˇr. log(ab ) = bc b c b+c b c 0 1 b log a, a = (a ) , a = a a , a = 1, a = a (vˇse pro a > 0, jinak obecnou√mocninu nem´ ame definovanou). Uvˇedomte si, ˇze odsud plyne, ˇze an a a1/n = n a je definov´ ano tak, jako dˇr´ıve.
12
(2) Oznaˇc´ıme-li e = exp(1), pak log e = 1 a podle definice je ex = exp(x · 1) = . ˇ ıslo e = exp(x). C´ 2.718 281 828 . . . se naz´yv´ a Eulerovo ˇc´ıslo. Kromˇe tohoto vztahu s exponenci´ alou je e tak´e hodnota limity n 1 lim 1 + n→∞ n a ˇrady
∞ X 1 . n! n=0
Vˇ eta 16 (zaveden´ı sinu a cosinu). Existuj´ı funkce sin : R → R a cos : R → R splˇ nuj´ıc´ı: 1. ∀x, y ∈ R ∀x, y ∈ R ∀x, y ∈ R
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y, cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y, cos(−x) = cos x, sin(−x) = − sin x,
2. existuje kladn´e ˇc´ıslo π tak, ˇze sin je rostouc´ı na [0, 12 π] a sin( 21 π) = 1, 3. lim
x→0
sin x x
= 1.
Funkce sin a cos (a ˇc´ıslo π) jsou tˇemito vztahy urˇceny jednoznaˇcnˇe. (Bez d˚ ukazu.) Pozn´ amka. Odsud jiˇz plynou vˇsechny ostatn´ı vlastnosti funkc´ı sinus a cosinus, tj. napˇr. vzorec pro sin(2x), cos x/2, sin2 x + cos2 x = 1, atd. Definice. Pro x ∈ R \ { π2 + kπ : k ∈ Z} a y ∈ R \ {kπ : k ∈ Z} definujeme funkce tangens a cotangens pˇredpisem tg x =
cos y sin x a cotg y = . cos x sin y
Vˇ eta 17 (spojitost sinu a cosinu). Funkce sin, cos, tg a cotg jsou spojit´e na sv´em definiˇcn´ım oboru. (Bez d˚ ukazu.) Definice. Necht’ sin∗ x = sin x pro x ∈ [− π2 , π2 ], cos∗ x = cos x pro x ∈ [0, π], tg∗ x = tg x pro x ∈ (− π2 , π2 ) a cotg∗ x = cotg x pro x ∈ (0, π). Definujeme arcsin (respektive arccos, arctg, arccotg) jako inverzn´ı funkci k funkci sin∗ (respektive cos∗ , tg∗ , cotg∗ ). K zamyˇ slen´ı: Rozmyslete si, ˇcemu se rovn´ a sin arcsin x a ˇcemu arcsin sin x. Pozn´ amka. Asi jste si vˇsimli, ˇze vˇety jsou bez d˚ ukaz˚ u – vlastnˇe jsme jen ˇrekli, jak chceme, aby se elementarn´ı funkce chovaly. Nˇekter´e d˚ ukazy si ˇcasem uk´ aˇzeme (nˇekter´e aˇz v letn´ım semestru), zde jen pro zaj´ımavost naznaˇcme, jak se dˇelaj´ı: P∞ n • Poloˇz´ıme exp(x) = n=0 xn! . • Vlastnosti logaritmu odvod´ıme z toho, ˇze se jedn´ a o inverzn´ı funkci k exp. 13
ix
−ix
ix
−ix
• Poloˇz´ıme cos x = e +e a sin x = e −e . (Zde vyboˇcujeme z r´ amce 2 2i zkoum´ an´ı funkc´ı (ˇrad, . . . ) s re´ aln´ymi hodnotami, ovˇsem pro komplexn´ı ˇc´ısla vˇetˇsina toho, co jsme si na pˇredn´ aˇsce ˇr´ıkali, plat´ı beze zmˇeny.) • Poznamenejme, ˇze obdobnˇe se definuj´ı tzv. hyperbolick´e funkce sinus hyperbox −x x −x a cosh x = e +e . (Tyto funkce lick´y a cosinus hyperbolick´y. sinh x = e −e 2 2 se naz´yvaj´ı hyperbolick´e nebot’ se k rovnoos´e hyperbole (x 7→ 1/x) maj´ı tak, jak goniometrick´e funkce (sinus a spol.) ke kruˇznici. Pozn´ amka. Lze vytv´ aˇret (napˇr. pomoc´ı integr´ al˚ u) i dalˇs´ı v´yznamn´e funkce “m´enˇe element´ arn´ı”, tzv. speci´ aln´ı funkce. Takov´ymi funkcemi se zab´yvat nebudeme (uˇz proto, ˇze zat´ım nev´ıme, co je integr´ al), ale v principu se s nimi zach´ az´ı stejnˇe jako se sinem a spol: pomoc´ı metod, kter´e brzy vybudujeme, zjist´ıme vlastnosti tˇechto funkc´ı a nauˇc´ıme kalkulaˇcky/poˇc´ıtaˇce jak takovou funkci spoˇc´ıtat numericky. Zmiˇ nme napˇr. tzv. chybovou funkci, kter´ a je d˚ uleˇzit´ a mj. ve statistice: Z x 2 2 erf(x) = √ e−t dt . π 0
4.2. Limity Zaˇcnˇeme pojmem, kter´y popisuje, co to znamen´ a “b´yt bl´ızko bodu a”. Definice. Necht’ δ > 0 a a ∈ R. Prstencov´e okol´ı bodu je P (a, δ) = (a − δ, a + δ) \ {a};
P (+∞, δ) = ( 1δ , +∞);
P (−∞, δ) = (−∞, − 1δ ).
Prav´e a lev´e prstencov´e okol´ı bodu a je P− (a, δ) = (a − δ, a).
P+ (a, δ) = (a, a + δ); Okol´ı bodu je U (a, δ) = (a − δ, a + δ);
U (+∞, δ) = ( 1δ , +∞);
U (−∞, δ) = (−∞, − 1δ ).
Prav´e a lev´e okol´ı bodu a je U− (a, δ) = (a − δ, a].
U+ (a, δ) = [a, a + δ);
ˇ Definice. Necht’ f : M → R, M ⊆ R. Rekneme, ˇze f m´ a v bodˇe a ∈ R∗ limitu ∗ rovnou A ∈ R , jestliˇze plat´ı ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ P (a, δ) :
f (x) ∈ U (A, ε).
Znaˇc´ıme lim f (x) = A. x→a
Pozn´ amka. (1) Hlavn´ı uˇzitek v zaveden´ı znaˇcen´ı P (a, δ) apod. je moˇznost zkoumat najednou pˇr´ıpady kdy a, A jsou re´ aln´ a ˇc´ısla a kdy jsou to ±∞. (K zamyˇ slen´ı: Kolik pˇr´ıpad˚ u bychom jinak museli v definici rozliˇsit?) Pokud chceme nakreslit vhodn´y obr´ azek, pak ovˇsem mus´ıme stejnˇe pˇr´ıpady rozliˇsovat. Dalˇs´ı v´yhodou je moˇznost zobecnˇen´ı, v ˇc´ asti matematiky zvan´e topologie se obecnˇe zkoum´ a, jak´e vlastnoti m´ a m´ıt “syst´em okol´ı” a jak pomoc´ı takov´eho syst´emu nadefinovat spojitost i pro zobrazen´ı mezi sloˇzitˇejˇs´ımi objekty neˇz jsou re´ aln´ a ˇc´ısla. (2) Ekvivalentnˇe m˚ uˇzeme v definici limity ps´ at ∀ε > 0 ∃δ > 0 f (P (a, δ)) ⊆ U (A, ε).
14
(3) Pokud je a, A ∈ R, pak lze definici napsat tak´e ve formˇe ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ R : 0 < |x − a| < δ =⇒ |f (x) − A| < ε . (4) V definici limity f : M → R v bodˇe a se nic neprav´ı o hodnotˇe f (a), dokonce ani nemus´ı b´yt f (a) definov´ ano (tj. a ∈ M ). Co vˇsak chceme, je aby nˇejak´e prstencov´e okol´ı bodu a bylo cel´e v M (to plyne z definice: pokud ˇr´ık´ ame, ˇze f (x) je prvkem nˇejak´e mnoˇziny, ˇr´ık´ ame t´ım implicitnˇe t´eˇz, ˇze f (x) je definov´ ano). (5) Kdybychom pˇredchoz´ı varov´ an´ı ignorovali (definici limity lze ponˇekud rozˇs´ıˇrit), dostali bychom pro funkce definovan´e na M = N a pro a = +∞ definici limity posloupnosti v nov´em jazyce. x→a (6) Jin´e znaˇcen´ı: f (x) −−−→ A. Pˇ r´ıklad. (1) Pokud f (x) = x, pak je limx→a f (x) = a pro kaˇzd´e a ∈ R∗ . (V definici m˚ uˇzeme volit δ rovno ε.) (2) Pokud f (x) = 1/|x|, pak je limx→0 f (x) = ∞. (V definici m˚ uˇzeme opˇet volit δ rovno ε.) ˇ ˇze f m´ a v bodˇe a ∈ R∗ limitu Definice. Necht’ f : M → R, M ⊆ R. Rekneme, ∗ zprava (zleva) rovnou A ∈ R , jestliˇze plat´ı ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ P+ (a, δ) : ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ P− (a, δ) :
f (x) ∈ U (A, ε) f (x) ∈ U (A, ε) .
Znaˇc´ıme limx→a+ f (x) = A (limx→a− f (x) = A) nebo struˇcnˇeji f (a+ ) = A (f (a− ) = A). Pˇ r´ıklad. Pokud f (x) = 1/x, pak je limx→0+ f (x) = +∞, zat´ımco limx→0− f (x) = −∞. ˇ Definice. Necht’ f : M → R, M ⊆ R, a ∈ M . Rekneme, ˇze f je v a spojit´a (spojit´a zprava, spojit´ a zleva), jestliˇze lim f (x) = f (a) ( lim f (x) = f (a), lim f (x) = f (a)).
x→a
x→a+
x→a−
T Vˇ eta 1 (Heineho vˇeta). Necht’ A ∈ R∗ , f : M → R a f je definov´ ana na prstencov´em okol´ı bodu a ∈ R∗ . N´ asleduj´ıc´ı tvrzen´ı jsou ekvivalentn´ı: (i) lim f (x) = A x→a
(ii) pro kaˇzdou posloupnost (xn )n∈N takovou, ˇze ∀n ∈ N : xn ∈ M, xn 6= a & lim xn = a plat´ı lim f (xn ) = A. n→∞
n→∞
L Vˇ eta 2 (o jednoznaˇcnosti limity). Funkce f m´ a v dan´em bodˇe nejv´yˇse jednu limitu. (N´ asleduj´ıc´ı vˇeta byla aˇz na dalˇs´ı pˇredn´ aˇsce.) L Vˇ eta 3 (limita a omezenost). Necht’ f m´ a vlastn´ı limitu v bodˇe a ∈ R∗ . Pak existuje δ > 0 tak, ˇze f je na P (a, δ) omezen´ a. L Vˇ eta 4 (o aritmetice limit). Necht’ a ∈ R∗ , limx→a f (x) = A ∈ R∗ a limx→a g(x) = B ∈ R∗ . Pak plat´ı (i) lim (f (x) + g(x)) = A + B, pokud je v´yraz A + B definov´ an x→a
(ii) lim f (x)g(x) = AB, pokud je v´yraz AB definov´ an x→a
(iii) lim
x→a
f (x) A A = , pokud je v´yraz definov´ an. g(x) B B 15
L D˚ usledek Vˇ ety 4: Necht’ jsou funkce f a g spojit´e v bodˇe a ∈ R. Pak jsou funkce f + g, f · g spojit´e v a. Pokud je nav´ıc g(a) 6= 0, pak je i funkce fg spojit´ a v a. Pˇ r´ıklad. Funkce dan´ a pˇredpisem f (x) = x je spojit´ a (jej´ı limitu jsme uˇz poˇc´ıtali), stejnˇe jako konstantn´ı funkce. Odsud plyne, ˇze jsou spojit´e i vˇsechny polynomy a racion´ aln´ı lomen´e funkce (v bodech, kde jsou definovan´e). Element´ arn´ı funkce jsou t´eˇz definov´ any jako spojit´e (s v´yjimkou tg a cotg, kter´e maj´ı pˇredepsan´e body nespojitosti. L Vˇ eta 5 (o dvou str´ aˇzn´ıc´ıch). Necht’ a ∈ R∗ , f : M → R, M ⊆ R. Necht’ na nˇejak´em prstencov´em okol´ı P (a, δ) plat´ı f (x) ≤ h(x) ≤ g(x). Necht’ limx→a f (x) = limx→a g(x). Pak existuje limx→a h(x) a vˇsechny tˇri limity se rovnaj´ı. T Vˇ eta 6 (limita sloˇzen´e funkce). Necht’ funkce f a g splˇ nuj´ı: (i) lim g(x) = A, x→c
(ii) lim f (y) = B. y→A
Je-li nav´ıc splnˇena alespoˇ n jedna z podm´ınek (P 1) f je spojit´ a v A, (P 2) ∃η > 0 ∀x ∈ P (c, η) : g(x) 6= A, pak plat´ı limx→c f (g(x)) = B. Pˇ r´ıklad. limx→0
sin(x2 ) x2
Vˇ eta 7 (limita monot´ onn´ı funkce). Necht’ f je monot´ onn´ı na intervalu (a, b), a, b ∈ R∗ . Potom existuje limx→a+ f (x) i limx→b− f (x). (Bez d˚ ukazu.)
4.3. Funkce spojit´ e na intervalu Definice. Vnitˇrn´ımi body intervalu J rozum´ıme ty body z J, kter´e nejsou krajn´ımi. Mnoˇzinu tˇechto bod˚ u naz´yv´ ame vnitˇrek J (int J). ˇ Definice. Necht’ f je funkce a J je interval. Rekneme, ˇze f je spojit´ a na J, jestliˇze je spojit´ a ve vˇsech vnitˇrn´ıch bodech J. Je-li poˇc´ ateˇcn´ı bod J prvkem J, tak poˇzadujeme i spojitost zprava v tomto bodˇe a je-li koncov´y bod J prvkem J, tak poˇzadujeme i spojitost zleva v tomto bodˇe. T Vˇ eta 8 (Darboux). Necht’ f je spojit´ a na intervalu [a, b] a plat´ı f (a) < f (b). Pak pro kaˇzd´e y ∈ (f (a), f (b)) existuje x ∈ (a, b) tak, ˇze f (x) = y. Vˇ eta 9 (zobrazen´ı intervalu spojitou funkc´ı). Necht’ J je interval. Necht’ funkce f : J → R je spojit´ a. Pak je f (J) interval. (Bez d˚ ukazu.) T Vˇ eta 10 (spojitost funkce a nab´ yv´an´ı extr´em˚ u). Necht’ f je spojit´ a funkce na intervalu [a, b]. Pak funkce f nab´yv´ a na [a, b] sv´eho maxima a minima. L Vˇ eta 11 (spojitost funkce a omezenost). Necht’ f je spojit´ a funkce na intervalu [a, b]. Pak je funkce f na [a, b] omezen´ a.
16
T Vˇ eta 12 (o inverzn´ı funkci). Necht’ f je spojit´ a a rostouc´ı (klesaj´ıc´ı) funkce na intervalu J. Potom je funkce f −1 spojit´ a a rostouc´ı (klesaj´ıc´ı) na intervalu f (J).
4.5. Derivace funkce Definice. Necht’ f je re´ aln´ a funkce a a ∈ R. Pak derivac´ı f v bodˇe a budeme rozumˇet f (a + h) − f (a) ; f 0 (a) = lim h→0 h derivac´ı f v bodˇe a zprava budeme rozumˇet f 0 (a) = lim
h→0+
f (a + h) − f (a) ; h
derivac´ı f v bodˇe a zleva budeme rozumˇet f 0 (a) = lim
h→0−
f (a + h) − f (a) . h
L Vˇ eta 17 (vztah derivace a spojitosti). Necht’ m´ a funkce f v bodˇe a ∈ R derivaci f 0 (a) ∈ R. Pak je f v bodˇe a spojit´ a. T Vˇ eta 18 (aritmetika derivac´ı). Necht’ f 0 (a) a g 0 (a) existuj´ı. (i) (f + g)0 (a) = f 0 (a) + g 0 (a), pokud m´ a prav´ a strana smysl. (ii) Necht’ je g spojit´ a v a, pak (f g)0 (a) = f 0 (a)g(a) + f (a)g 0 (a), pokud m´ a prav´ a strana smysl. f 0 f 0 (a)g(a) − f (a)g 0 (a) , (a) = (iii) Necht’ je g spojit´ a v a a g(a) 6= 0, pak g g 2 (a) pokud m´ a prav´ a strana smysl. (D˚ ukaz jen pro souˇcet a souˇcin.) T Vˇ eta 19 (derivace sloˇzen´e funkce). Necht’ f m´ a derivaci v bodˇe y0 , g m´ a derivaci a a y0 = g(x0 ). Pak v x0 a je v x0 spojit´ (f ◦ g)0 (x0 ) = f 0 (y0 )g 0 (x0 ) = f 0 (g(x0 ))g 0 (x0 ), je-li v´yraz vpravo definov´ an. 0 (D˚ ukaz za pˇredpokladu g (x0 ) 6= 0.) L Vˇ eta 20 (derivace inverzn´ı funkce). Necht’ f je na intervalu (a, b) spojit´ a a rostouc´ı (respektive klesaj´ıc´ı). Necht’ f m´ a v bodˇe x0 ∈ (a, b) derivaci f 0 (x0 ) vlastn´ı a r˚ uznou od nuly. Potom m´ a funkce f −1 derivaci v bodˇe y0 = f (x0 ) a plat´ı (f −1 )0 (y0 ) =
1 f0
f −1 (y
.
0)
L Vˇ eta 21 (Fermatova). Necht’ a ∈ R je bod lok´ aln´ıho extr´emu funkce f na M . Pak f 0 (a) neexistuje, nebo f 0 (a) = 0. L Vˇ eta 22 (Rolleova vˇeta). Necht’ f je spojit´ a na intervalu [a, b], f 0 (x) existuje pro kaˇzd´e x ∈ (a, b) a f (a) = f (b). Pak existuje ξ ∈ (a, b) tak, ˇze f 0 (ξ) = 0.
17
L Vˇ eta 23 (Lagrangeova vˇeta o stˇredn´ı hodnotˇe). Necht’ je funkce f spojit´ a na intervalu [a, b] a m´ a derivaci v kaˇzd´em bodˇe intervalu (a, b). Pak existuje ξ ∈ (a, b) tak, ˇze f (b) − f (a) . f 0 (ξ) = b−a Vˇ eta 24 (l’Hospitalovo pravidlo). (i) Necht’ a ∈ R∗ , limx→a+ f (x) = limx→a+ g(x) = 0 a necht’ existuje limx→a+ Pak f 0 (x) f (x) = lim 0 . lim x→a+ g (x) x→a+ g(x) (ii) Necht’ a ∈ R∗ , limx→a+ |g(x)| = ∞ a necht’ existuje limx→a+ lim
x→a+
f 0 (x) g 0 (x) .
f 0 (x) g 0 (x) .
Pak
f (x) f 0 (x) = lim 0 . g(x) x→a+ g (x)
(Bez d˚ ukazu.) L Vˇ eta 25 (derivace a limita derivace). Necht’ je funkce f spojit´ a zprava v a a 0 necht’ existuje limx→a+ f 0 (x) = A ∈ R∗ . Pak f+ (a) = A. L Vˇ eta 26 (o vztahu derivace a monotonie). Necht’ J ⊆ R je interval a f je spojit´ a na J a v kaˇzd´em vnitˇrn´ım bodˇe J m´ a derivaci. (i) Je-li f 0 (x) > 0 na int J, pak je f rostouc´ı na J. (ii) Je-li f 0 (x) < 0 na int J, pak je f klesaj´ıc´ı na J. (iii) Je-li f 0 (x) ≥ 0 na int J, pak je f neklesaj´ıc´ı na J. (iv) Je-li f 0 (x) ≤ 0 na int J, pak je f nerostouc´ı na J.
4.6. Konvexn´ı a konk´ avn´ı funkce Definice. Necht’ f m´ a vlastn´ı derivaci v bodˇe a ∈ R. Oznaˇcme Ta = {[x, y] : x ∈ R, y = f (a) + f 0 (a)(x − a)}. ˇ Rekneme, ˇze bod [x, f (x)], x ∈ Df leˇz´ı nad (pod) teˇcnou Ta , jestliˇze plat´ı f (x) > f (a) + f 0 (a)(x − a) f (x) < f (a) + f 0 (a)(x − a) . Definice. Druh´ a derivace funkce f v bodˇe a (f 00 (a)) je derivace funkce f 0 (x), ˇcili f 0 (a + h) − f 0 (a) . h→0 h lim
Definice. Funkce f m´ a v bodˇe a inflexi (a je inflexn´ı bod), jestliˇze f 0 (a) ∈ R a existuje δ > 0 tak, ˇze (i) ∀x ∈ (a − δ, a) : [x, f (x)] leˇz´ı nad teˇcnou, (ii) ∀x ∈ (a, a + δ) : [x, f (x)] leˇz´ı pod teˇcnou, nebo
(i) ∀x ∈ (a − δ, a) : [x, f (x)] leˇz´ı pod teˇcnou, (ii) ∀x ∈ (a, a + δ) : [x, f (x)] leˇz´ı nad teˇcnou,
18
Vˇ eta 27 (podm´ınky pro inflexi). (1) (nutn´ a) Necht’ f 00 (z) 6= 0. Pak z nen´ı inflexn´ı bod funkce f . (2) (postaˇcuj´ıc´ı) Necht’ f m´ a spojitou prvn´ı derivaci na intervalu (a, b). Necht’ z ∈ (a, b) a plat´ı ∀x ∈ (a, z) : f 00 (x) > 0 a ∀x ∈ (z, b) : f 00 (x) < 0. Pak z je inflexn´ı bod f . (Bez d˚ ukazu.) Definice. Funkce f na intervalu I nazveme konvexn´ı (konk´avn´ı), jestliˇze f (x2 ) − f (x1 ) f (x3 ) − f (x1 ) ≤ x2 − x1 x3 − x1 f (x ) − f (x ) f (x3 ) − f (x1 ) 2 1 ≥ . x2 − x1 x3 − x1 Funkci nazveme ryze konvexn´ı (ryze konk´avn´ı), je-li pˇr´ısluˇsn´ a nerovnost ostr´ a. ∀x1 , x2 , x3 ∈ I, x1 < x2 < x3 ⇒
Vˇ eta 28 (vztah druh´e derivace a konvexity (konk´avity)). Necht’ f m´ a na intervalu (a, b) spojitou prvn´ı derivaci. Jestliˇze ∀x ∈ (a, b) : f 00 (x) > 0, pak f je ryze konvexn´ı. Jestliˇze ∀x ∈ (a, b) : f 00 (x) < 0, pak f je ryze konk´ avn´ı. Jestliˇze ∀x ∈ (a, b) : f 00 (x) ≥ 0, pak f je konvexn´ı. Jestliˇze ∀x ∈ (a, b) : f 00 (x) ≤ 0, pak f je konk´ avn´ı. (Bez d˚ ukazu.)
4.7. Pr˚ ubˇ eh funkce ˇ Definice. Rekneme, ˇze funkce x 7→ ax + b, a, b ∈ R, je asymptotou funkce f v ∞ (resp. −∞), jestliˇze lim f (x) − (ax + b) = 0 (resp. lim f (x) − (ax + b) = 0). x→∞
x→−∞
L Vˇ eta 29 (tvar asymptoty). Funkce f m´ a v ∞ asymptotu ax + b, pr´ avˇe kdyˇz f (x) = a ∈ R a lim f (x) − ax = b ∈ R. x→∞ x→∞ x Pˇri vyˇsetˇren´ı pr˚ ubˇehu funkce prov´ ad´ıme n´ asleduj´ıc´ı kroky: 1. Urˇc´ıme definiˇcn´ı obor a obor spojitosti funkce. 2. Zjist´ıme pr˚ useˇc´ıky se souˇradn´ymi osami. 3. Zjist´ıme symetrii funkce: lichost, sudost, periodicitu. 4. Dopoˇc´ıt´ ame limity v krajn´ıch bodech definiˇcn´ıho oboru a v bodech nespojitosti (pokud existuj´ı). 5. Spoˇcteme prvn´ı derivaci, urˇc´ıme intervaly monotonie a nalezneme lok´ aln´ı a glob´ aln´ı extr´emy. 6. Spoˇcteme druhou derivaci a urˇc´ıme intervaly, kde je f konvexn´ı nebo konk´ avn´ı. Urˇc´ıme inflexn´ı body. 7. Vypoˇcteme asymptoty funkce. 8. Naˇctneme graf funkce a urˇc´ıme obor hodnot. lim
4.8. Taylor˚ uv polynom Taylor˚ uv polynom pˇ resuneme do letn´ıho semestru, kdybyste se nemohli doˇckat (nebo kdybyste pˇreˇsli do paralelky, kde to uˇz brali), m˚ uˇzete si poˇc´ıst. (U zkouˇsky nebude potˇreba.) 19
Definice. Necht’ f je re´ aln´ a funkce, a ∈ R a existuje vlastn´ı n-t´ a derivace f v bodˇe a. Pak polynom Tnf,a (x) = f (a) + f 0 (a)(x − a) + . . . +
1 (n) f (a)(x − a)n n!
naz´yv´ ame Taylorov´ ym polynomem ˇr´adu n funkce f v bodˇe a. Vˇ eta 30 (o nejlepˇs´ı aproximaci Taylorov´ ym polynomem). Necht’ a ∈ R, f (n) (a) ∈ R a P je polynom stupnˇe nejv´yˇse n. Pak lim
x→a
f (x) − P (x) = 0 ⇔ P = Tnf,a . (x − a)n
Lemma. Necht’ Q je polynom, a ∈ R, st Q ≤ n a limx→a
Q(x) (x−a)n
= 0. Pak Q ≡ 0.
Vˇ eta 31 (Taylor). Necht’ funkce f m´ a vlastn´ı (n + 1)-n´ı derivaci v intervalu [a, x], a necht’ φ je spojit´ a funkce v [a, x] a m´ a vlastn´ı derivaci v (a, x), kter´ a je v kaˇzd´em bodˇe tohoto intervalu r˚ uzn´ a od nuly. Pak existuje ξ ∈ (a, x) tak, ˇze f (x) − Tnf,a (x) =
1 φ(x) − φ(a) (n+1) f (ξ)(x − ξ)n . n! φ0 (ξ)
Specielnˇe existuje ξ1 ∈ (a, x) tak, ˇze f (x) − Tnf,a (x) =
1 f (n+1) (ξ1 )(x − a)n+1 (Lagrange˚ uv tvar zbytku) (n + 1)!
a existuje ξ2 ∈ (a, x) tak, ˇze f (x) − Tnf,a (x) =
1 (n+1) f (ξ2 )(x − ξ2 )n (x − a) (Cauchy˚ uv tvar zbytku). n!
20
