16. ledna Aktuální verzi tohoto textu lze najít na tomto odkazu:

Line´ arn´ı algebra David Krejˇciˇr´ık http://gemma.ujf.cas.cz/~krejcirik

16. ledna 2017

Jednosemestráln´ı pˇrednáˇska Matematika 3 pˇrednáˇsen´ a ˇ autorem na FJFI CVUT na podzim 2016. Aktu´ aln´ı verzi tohoto textu lze naj´ıt na tomto odkazu: http://gemma.ujf.cas.cz/~krejcirik/other/la.pdf

Obsah

David Krejˇciˇr´ık

Obsah ´ 0 Uvod

1

1 Vektorov´ y prostor 1.1 Definice . . . . . . . . . . . 1.2 Vlastnosti . . . . . . . . . . 1.3 Pˇr´ıklady . . . . . . . . . . . 1.4 Podprostory . . . . . . . . . 1.5 Souˇcet podprostor˚ u . . . . . 1.6 Direktn´ı souˇcet podprostor˚ u 1.7 Cviˇcen´ı . . . . . . . . . . . . 2 Vektory 2.1 Lineárn´ı obal . . . . . 2.2 Lineárn´ı nezávislost . . 2.3 Steinitzova vˇeta . . . . 2.4 Báze . . . . . . . . . . 2.5 Dimenze . . . . . . . . 2.6 Dimenze a podprostory 2.7 Cviˇcen´ı . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

3 3 3 5 7 9 9 13

. . . . . . .

16 16 17 20 22 24 26 29

3 Line´ arn´ı zobrazen´ı 3.1 Definice a pˇr´ıklady . . . . . . 3.2 Operace se zobrazen´ımi . . . . 3.3 Jádro a injektivita . . . . . . 3.4 Obor hodnot a surjektivita . . 3.5 Dimenze prostor˚ u a bijektivita 3.6 Invertibilita . . . . . . . . . . 3.7 Cviˇcen´ı . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

31 31 33 34 36 38 41 44

4 Metrika 4.1 Skalárn´ı souˇcin . . . 4.2 Norma . . . . . . . . 4.3 Ortogonalita . . . . . 4.4 Nerovnosti . . . . . . 4.5 Ortonormáln´ı báze . 4.6 Ortogonáln´ı projekce 4.7 Lineárn´ı funkcionály 4.8 Sdruˇzené zobrazen´ı . 4.9 Cviˇcen´ı . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

45 45 46 46 47 49 51 53 54 58

. . . . . . .

60 60 60 62 63 64 67 69

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

5 Matice 5.1 Tabulková definice . . . . . 5.2 Matice lineárn´ıho zobrazen´ı 5.3 Operace s maticemi . . . . . 5.4 Matice vektoru . . . . . . . 5.5 Izomorfismus . . . . . . . . 5.6 Hodnost matice . . . . . . . 5.7 Transpozice . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .


Obsah

5.8 Sdruˇzen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9 Cviˇcen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70 73

6 Determinanty 6.1 Inverzn´ı matice . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Dvojdimenzionáln´ı Cramerovo pravidlo . . . . 6.3 Definice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Prohazován´ı ˇrádk˚ u . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Rozklad podle ˇrádk˚ u . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Lineárn´ı závislost ˇrádk˚ u . . . . . . . . . . . . 6.7 Rozklad podle sloupc˚ u . . . . . . . . . . . . . 6.8 Kritéria pro invertibilitu a lineárn´ı nezávislost 6.9 Obecné Cramerovo pravidlo . . . . . . . . . . 6.10 Determinant souˇcinu je souˇcin determinant˚ u . 6.11 Zmˇena báze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.12 Invarianty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.13 Cviˇcen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

75 75 76 77 78 81 83 84 86 87 87 89 91 93

7 Spektrum 7.1 Invariantn´ı podprostory . . . . . . . . . . . 7.2 Jednodimenzionáln´ı invariantn´ı podprostory 7.3 Pˇr´ıklady vlastn´ıch hodnot a vektor˚ u. . . . . 7.4 Lineárn´ı nezávislost vlastn´ıch vektor˚ u . . . . 7.5 Polynom operátoru . . . . . . . . . . . . . . 7.6 Existence spektra . . . . . . . . . . . . . . . 7.7 Jednoduché matice . . . . . . . . . . . . . . 7.8 Determinant, invertibilita a spektrum . . . . 7.9 Diagonalizovatelnost . . . . . . . . . . . . . 7.10 Samosdruˇzenost . . . . . . . . . . . . . . . . 7.11 Spektráln´ı teorém . . . . . . . . . . . . . . . 7.12 Exponenciála operátoru . . . . . . . . . . . 7.13 Cviˇcen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

95 95 96 97 98 99 100 101 104 107 110 111 112 118

A Pravidla zkouˇ sky

. . . . . . . . . . . . .

120

Motto


Linear algebra abstracts the two basic operations with vectors: the addition of vectors, and their multiplication by numbers (scalars). It is astonishing that on such slender foundations an elaborate structure can be built, with romanesque, gothique and baroque aspects. It is even more astounding that linear algebra has not only the right theorems but also the right language for many mathematical topics, including applications of mathematics. Peter D. Lax, Linear algebra and its applications, [8, p. 1]

´ 0. Uvod


0

1

´ Uvod

Název pˇredmˇetu je sloˇzen ze dvou slov [2, 1]: • algebra pocház´ı z arabského slova al-dˇzabr (nespisovnˇe al-dˇzebr ), jeˇz p˚ uvodnˇe znamenalo lékaˇrský chirurgický u ´ kon za u ´ˇcelem nápravy zlomených ˇci vymknutých kost´ı. V pˇreneseném významu tedy “obnoven´ı”, “náprava”, “sjednocen´ı rozbitých ˇcást´ı”. V matematickém významu bylo slovo pouˇzito v názvu práce perského matematika Muhammada al-Chwárizm´ıho z 9. stolet´ı po Kristu (820 AD) o ˇreˇsen´ı (lineárn´ıch a kvadratických) rovnic. • line´ arn´ı pocház´ı z latinského slova linearis, jeˇz znamená “tvoˇreno pˇr´ımkami”. V pˇreneseném významu tedy nˇeco “pˇr´ımého”, “rovného”. V dneˇsn´ım významu “algebra” zahrnuje celou ˇradu rozliˇcných matematických discipl´ın. Odvˇetv´ı “lineárn´ı algebra” se zabývá prostory, jejich prvky (ˇcleny) a transformacemi (zobrazen´ımi) mezi nimi, schematicky: • prostor,

• prvek,

• transformace,

jeˇz jsou charakterizovány lineárnost´ı; vˇse se tedy v podstatˇe redukuje na sˇc´ıtán´ı prvk˚ u a jejich násoben´ı ˇc´ısly. Je fascinuj´ıc´ı, ˇze takovéto jednoduché u ´ kony vedou k nesm´ırnˇe propracované abstraktn´ı teorii, jeˇz poskytuje elegantn´ı sjednocuj´ıc´ı aparát pro mnoˇzstv´ı problém˚ u v matematice, fyzice a dalˇs´ıch vˇedn´ıch oborech. Vˇzdyt’ kvantová mechanika, coˇz je nejlepˇs´ı fyzikáln´ı teorie, kterou má lidstvo v souˇcasnosti k dispozici, nen´ı matematicky vlastnˇe nic jiného neˇz lineárn´ı algebra na nekoneˇcnˇe dimenzionáln´ıch prostorech. V této pˇrednáˇsce se vˇsak budeme výhradnˇe zabývat koneˇcnˇe dimenzionáln´ımi prostory. Mlhavˇe výˇse nazvané pˇredmˇety zájmu lineárn´ı algebry se téˇz nazývaj´ı: • vektorový prostor,

• vektor,

• matice.

Tyto objekty znáte z kaˇzdodenn´ıho ˇzivota. Mnoho fyzikáln´ıch veliˇcin lze charakterizovat pouze jejich velikost´ı (tzv. skaláry, napˇr. hmotnost, ˇcas, teplota) a tedy popsat pouze jedn´ım ˇc´ıslem. Jiné vˇsak maj´ı i smˇer (napˇr. poloha, rychlost, s´ıla) a tyto pak popisujeme v´ıce ˇc´ısly, jejichˇz poˇcet je urˇcen dimenz´ı prostoru; to jsou vektory. V klasické mechanice se za vektorový prostor obvykle bere tˇr´ırozmˇerný eukleidovský prostor R3 , v nˇemˇz lze vektor v ∈ R3 (napˇr. rychlost) tedy charakterizovat tˇremi reálnými ˇc´ısly v1 , v2 , v3 . Zapisujeme   v1  v = v2  v3 a ˇc´ısl˚ um v1 , v2 , v3 ˇr´ıkáme sloˇzky vektoru v. Obecná lineárn´ı transformace tohoto vektoru v na jiný vektor v ′ (napˇr. pˇri pootoˇcen´ı souˇradné soustavy) bude m´ıt tvar   ′     a11 v1 + a12 v2 + a13 v3 v1 a11 a12 a13 v1 v2′  = a21 v1 + a22 v2 + a23 v3  =: a21 a22 a23  v2  , (0.1) ′ a31 v1 + a32 v2 + a33 v3 v3 a31 a32 a33 v3 | {z } A

kde aij , i, j = 1, . . . , 3, jsou libovolná reálná ˇc´ısla. Tabulce A se ˇr´ıká matice a posledn´ı rovnost v (0.1) je vlastnˇe definice pro násoben´ı matice s vektorem. Lineárn´ı transformaci (0.1) lze tedy elegantnˇe zapsat ve tvaru v ′ = Av .

´ 0. Uvod

2


Zobecnˇ en´ı: ⋄ Dimenze. V pˇr´ırodˇe se setkáváme i s prostory jiné dimenze (niˇzˇs´ı i vyˇsˇs´ı) neˇz tˇri. Napˇr´ıklad i v klasické mechanice je zvykem popisovat stav jedné ˇcástice polohou a rychlost´ı coby jedn´ım vektorem v ˇsestirozmˇerném (fázovém) prostoru R3 × R3 . Obecnˇeji, stav N ˇcástic ve fázovém prostoru je reprezentován vektorem o 2N sloˇzkách. V teorii relativity je stav popsán v ˇctyˇrrozmˇerném ˇcasoprostoru. Budeme tedy uvaˇzovat vektorové prostory libovolné dimenze. ˇ ıseln´ ⋄ C´ e tˇ eleso. Kromˇe nutnosti uvaˇzovat libovolnˇe dimenzionáln´ı vektorové prostory se ukazuje jako uˇziteˇcné zobecnˇen´ı vz´ıt za sloˇzky vektoru prvky libovolného ˇc´ıselného tˇelesa (napˇr´ıklad komplexn´ı ˇc´ısla v kvantové mechanice). Lze tedy uvaˇzovat vektorové prostory nad libovolným ˇc´ıselným tˇelesem. V této pˇrednáˇsce se vˇsak výhradnˇe zamˇeˇr´ıme na vektorové prostory nad ˇc´ısly reálnými ˇci komplexn´ımi. ⋄ R˚ uzn´ e prostory. Dalˇs´ım zobecnˇen´ım je moˇznost uvaˇzovat lineárn´ı transformace mezi dvˇema prostory odliˇsných dimenz´ı, coˇz vede k matic´ım obdéln´ıkového tvaru m´ısto ˇctvercového. Pˇredmˇetem lineárn´ı algebry – a tedy u ´ kolem této pˇrednáˇsky – je zavést takovouto obecnou matematickou abstrakci a studovat vlastnosti matic. Seznám´ıte se s robustn´ım aparátem a jeho metodami, který vám poskytne sjednocuj´ıc´ı strukturu pro aplikace na konkrétn´ı problémy v oborech, které studujete. Literatura Hlavn´ım zdrojem této pˇrednáˇsky je zcela výjimeˇcná uˇcebnice amerického autora Sheldona ˇ am z druhého vydán´ı z roku 2004 [3], avˇsak existuje uˇz Axlera Linear algebra done right. Cerp´ i tˇret´ı, barevné vydán´ı z roku 2014 [4]. Velká ˇcást mé pˇrednáˇsky je pouhý (a neumˇelý) pˇreklad vybraných parti´ı z [3] do ˇceˇstiny. Posluchaˇcovi doporuˇcuji k nahlédnut´ı volnˇe pˇr´ıstupnou zkrácenou verzi tˇret´ıho vydán´ı [5]. ˇ asteˇcnˇe ˇcerpám rovnˇeˇz z Halmosovy knihy Finite-dimensional vector spaces [6] a z KopáˇcC´ kových skript Matematika pro fyziky II [7].

Obrázek na prvn´ı stránce je absorpˇcn´ı spektrum Slunce. Bˇehem pˇrednáˇsky se seznám´ıte se spektrem matice. Oba tyto pojmy spolu u ´ zce souvis´ı, a to skrze kvantovou teorii hmoty.

1. Vektorový prostor


1

3

Vektorov´ y prostor

V této pˇrednáˇsce se budeme výhradnˇe zabývat vektorovými prostory nad reálnými ˇc´ısly R nebo komplexn´ımi ˇc´ısly C. Abychom mohli efektivnˇe uvádˇet definice a dokazovat vˇety, které plat´ı jak pro reálná, tak komplexn´ı ˇc´ısla, zavedeme toto sjednocuj´ıc´ı znaˇcen´ı: K := R nebo C. Prvky ˇc´ıselného tˇelesa K, tedy ˇc´ısla (nˇekdy téˇz nazývané skaláry), budeme obvykle znaˇcit ˇreckými p´ısmeny.

1.1

Definice

Vektorový prostor je, zhruba ˇreˇceno, mnoˇzina objekt˚ u, jeˇz m˚ uˇzeme navzájem sˇc´ıtat a rovnˇeˇz násobit ˇc´ısly tak, ˇze výsledky tˇechto operac´ı jsou opˇet prvky této mnoˇziny. Formáln´ı definice zn´ı takto: Definice 1.1. Vektorový prostor je mnoˇzina V prvk˚ u nazývané vektory, která splˇ nuje následuj´ıc´ı axiomy: (A) Existuje zobrazen´ı (souˇcet vektor˚ u) V × V → V : {(u, v) 7→ u + v} splˇ nuj´ıc´ı: (1) ∀u, v ∈ V,

u + v = v + u;

(2) ∀u, v, w ∈ V,

(komutativita)

u + (v + w) = (u + v) + w;

(3) ∃0 ∈ V,

∀u ∈ V,

(4) ∀u ∈ V,

∃ − u ∈ V,

u + 0 = u;

(asociativita) (nulový vektor, poˇcátek)

u + (−u) = 0.

(opaˇcný vektor)

(B) Existuje zobrazen´ı (násoben´ı vektor˚ u ˇc´ısly) K × V → V : {(α, u) 7→ αu} splˇ nuj´ıc´ı: (1) ∀α, β ∈ K,

u ∈ V,

(2) ∀u ∈ V,

1u = u.

α(βu) = (αβ)u;

(asociativita) (identita)

(C) Tato zobrazen´ı jsou vzájemnˇe provázána skrze distributivitu: (1) ∀α ∈ K, (2) ∀α, β ∈ K,

u, v ∈ V,

α(u + v) = αu + αv;

(distributivita 1)

u ∈ V,

(α + β)u = αu + βu.

(distributivita 2)

Vektorové prostory budeme obvykle znaˇcit velkými psac´ımi p´ısmeny a jejich prvky (vektory) malými latinskými p´ısmeny. Operace násoben´ı vektor˚ u ˇc´ısly závis´ı na volbˇe ˇc´ıselného tˇelesa K. Budeme-li tedy cht´ıt pˇresn´ı, ˇrekneme, ˇze V je vektorový prostor nad tˇelesem K. Vektorový prostor nad R se nazývá reálný vektorový prostor a vektorový prostor nad C se nazývá komplexn´ı vektorový prostor.

1.2

Vlastnosti

Nyn´ı se budeme vˇenovat základn´ım vlastnostem vektorových prostor˚ u, které plynou z Definice 1.1. Abychom se vyhnuli neustálému opakován´ı tvrzen´ı typu “necht’ V je vektorový

4



prostor nad tˇelesem K”, dohodnˇeme se pro zbytek pˇrednáˇsky, ˇze symbol V bude znaˇcit libovolný vektorový prostor nad tˇelesem K, tedy: V := libovolný vektorový prostor nad K. Vˇsimnˇete si, ˇze stejný symbol 0, který standardnˇe pouˇz´ıváme pro ˇc´ıselnou nulu, v Definici 1.1 oznaˇcuje nulový vektor. Toto maten´ı studenta by nikdy nemˇelo vést k jeho popleten´ı, a to d´ıky následuj´ıc´ım tvrzen´ım, jeˇz uˇz´ıván´ı stejného znaˇcen´ı ospravedlˇ nuj´ı: Tvrzen´ı 1.1 (Ned˚ uleˇzitost schismatu nulového symbolu). (i) ∀v ∈ V,

0v = 0.

(ii) ∀α ∈ K,

α0 = 0.

(vlevo ˇc´ıselná nula, vpravo nulový vektor) (vlevo i vpravo nulový vektor)

D˚ ukaz. Vˇsimnˇete si, ˇze obˇe tvrzen´ı vypov´ıdaj´ı nˇeco o násoben´ı vektor˚ u ˇc´ısly a nulovém vektoru (neutráln´ı prvek v˚ uˇci souˇctu). Ponˇevadˇz jediná ˇcást Definice 1.1, jeˇz spojuje sˇc´ıtán´ı vektor˚ u a jejich násoben´ı ˇc´ısly, je axiom (C), bude v d˚ ukazu tˇreba vyuˇz´ıt právˇe distributivn´ı vlastnosti. ad (i). Pro libovolný vektor ∀v ∈ V máme 0v = (0 + 0)v = 0v + 0v , kde prvn´ı rovnost je elementárn´ı identita mezi ˇc´ısly a druhá rovnost plyne z axiomu (C2). K obou stranám této rovnice pˇriˇcteme −0v (tedy opaˇcný vektor k 0v) a uˇzit´ım axiomu (A4) dostaneme 0 = 0v , coˇz je rovnost, kterou jsme chtˇeli dokázat. ad (ii). Pro libovolné ˇc´ıslo ∀α ∈ K máme α0 = α(0 + 0) = α0 + α0 , kde prvn´ı rovnost vyuˇz´ıvá axiom (A3), zat´ımco druhá rovnost plyne z axiomu (C1). K obou stranám této rovnice pˇriˇcteme −α0 (tedy opaˇcný vektor k α0) a uˇzit´ım axiomu (A4) dostaneme 0 = α0 , coˇz je rovnost, kterou jsme chtˇeli dokázat.

ˇ (Ctvereˇ cek znamená konec d˚ ukazu.)

Prvn´ı tvrzen´ı (i) lze chápat jako konstrukci nulového vektoru: dostaneme ho tak, ˇze libovolný vektor pˇrenásob´ıme ˇc´ıslem nula. Axiom (A3) vyˇzaduje, aby ve vektorovém prostoru existoval alespoˇ n jeden poˇcátek (nulový vektor). Dalˇs´ı tvrzen´ı upˇresˇ nuje, ˇze takovýto poˇcátek je právˇe jeden (význam kvantifikátoru ∃!). Tvrzen´ı 1.2 (Jedineˇcnost nulového vektoru). ∃!0 ∈ V,

∀u ∈ V,

u + 0 = u.



5

D˚ ukaz. Tento typ tvrzen´ı se nejlépe dokazuje sporem. Necht’ ve vektorovém prostoru V existuj´ı dva r˚ uzné nulové vektory 0 6= 0′ . Pak 0′ = 0′ + 0 = 0 , kde prvn´ı rovnost vyuˇz´ıvá nulovosti vektoru 0 a druhá rovnost vyuˇz´ıvá nulovosti vektoru 0′ . Tedy 0 = 0′ , coˇz je ve sporu s pˇredpokladem, ˇze nulové vektory 0 a 0′ jsou r˚ uzné. Obdobnˇe, axiom (A4) vyˇzaduje, aby pro kaˇzdý prvek vektorového prostoru existoval alespoˇ n jeden inverzn´ı prvek. Dalˇs´ı tvrzen´ı upˇresˇ nuje, ˇze takovýto prvek je právˇe jeden. Tvrzen´ı 1.3 (Jedineˇcnost opaˇcného vektoru). ∀u ∈ V,

∃! − u ∈ V,

u + (−u) = 0.

D˚ ukaz. Necht’ u ∈ V je libovolný. Pˇredpokládejme, ˇze existuj´ı dva r˚ uzné opaˇcné vektory v 6= v ′ splˇ nuj´ıc´ı u + v = 0 a u + v ′ = 0. Pak v = v + 0 = v + (u + v ′ ) = (v + u) + v ′ = 0 + v ′ = v ′ , kde jsme nav´ıc vyuˇzili asociativitu a komutativitu. Tedy v = v ′ , coˇz je ve sporu s pˇredpokladem, ˇze opaˇcné vektory v a v ′ jsou r˚ uzné. Uˇz v Definici 1.1 jsme si oznaˇcili opaˇcný vektor k u intuitivn´ım znaˇcen´ım −u. Toto znaˇcen´ı je obhájeno následuj´ıc´ım tvrzen´ım. Tvrzen´ı 1.4 (Konstrukce opaˇcného vektoru). ∀u ∈ V,

−u = (−1)u.

D˚ ukaz. Pro libovolný vektor u ∈ V máme u + (−1)u = 1u + (−1)u = [1 + (−1)]u = 0u = 0 , kde prvn´ı rovnost vyuˇz´ıvá axiomu (B2), druhá rovnost je distributivita (C2), tˇret´ı rovnost je elementárn´ı a ˇctvrtá rovnost je Tvrzen´ı 1.1(i). Výsledná rovnost ˇr´ıká, ˇze výsledkem souˇctu vektor˚ u u a (−1)u je nulový vektor, tedy (−1)u mus´ı být roven opaˇcnému vektoru −u, coˇz jsme chtˇeli dokázat. V následuj´ıc´ım budeme zkracovat u + (−v) =: u − v.

1.3

Pˇ r´ıklady

Nyn´ı nastal ˇcas si pˇredstavit nˇekolik charakteristických pˇr´ıklad˚ u vektorových prostor˚ u. Pˇ r´ıklad 1.1 (Nulov´ y prostor). Nejjednoduˇsˇs´ı vektorov´ y prostor obsahuje pouze jeden prvek, a to nulov´ y vektor. Jin´ ymi slovy, mnoˇzina {0} je vektorov´ y prostor, kter´ y splˇ nuje triviáln´ı pravidla pro sˇc´ıtán´ı vektor˚ u a n´ asoben´ı ˇc´ısly: 0+0=0 a α0 = 0 , kde α ∈ K. Tento prostor nen´ı samozˇrejmˇe nijak zaj´ımav´ y, avˇsak dejme mu jméno, nulový prostor. (Diamant znamen´ a konec pˇr´ıkladu.) ♦

6



ˇ ıselné tˇeleso). Samotné ˇc´ıselné tˇeleso K se stane vektorov´ Pˇ r´ıklad 1.2 (C´ ym prostorem, pokud definujeme sˇc´ıtán´ı jeho prvk˚ u a n´ asoben´ı ˇc´ısly z K obvykl´ ymi operacemi pro sˇc´ıtán´ı a n´ asoben´ı ˇc´ısel. Speci´ alnˇe C je pak komplexn´ı vektorov´ y prostor a R je re´ aln´ y vektorov´ y prostor. M˚ uˇzeme rovnˇeˇz uvaˇzovat C coby re´ aln´ y vektorov´ y prostor (m´ ame tedy na mysli nestandardn´ı volbu V := C a K := R), pokud definujeme sˇc´ıt´ an´ı komplexn´ıch ˇc´ısel jako obvykle a n´ asoben´ı komplexn´ıho ˇc´ısla reáln´ ym ˇc´ıslem jako obvykle, avˇsak tento pˇr´ıklad se liˇs´ı od C coby komplexn´ıho vektorového prostoru. Naopak R nelze uvaˇzovat jako komplexn´ı vektorov´ y prostor (protoˇze pˇren´ asoben´ım reálného ˇc´ısla komplexn´ım ˇc´ıslem obecnˇe dostaneme nereálné ˇc´ıslo). ♦ Pˇ r´ıklad 1.3 (Souˇradnicov´ y prostor). Necht’ Kn s n ∈ N∗ := N\{0} (v naˇs´ı konvenci pˇrirozen´ a ˇc´ısla obsahuj´ı nulu) je mnoˇzina tvoˇren´ a uspoˇrádán´ ymi n-ticemi ˇc´ısel z tˇelesa K. Prvek x ∈ Kn zapisujeme v podobˇe sloupce   x1  x2    x =  . ,  ..  xn

ˇ ısla xi naz´ kde xi ∈ K, i = 1, . . . , n. C´ yváme sloˇzky vektoru v. Sˇc´ıtán´ı prvk˚ u x, y ∈ Kn a n´ asoben´ı ˇc´ısly α ∈ K definujeme po sloˇzk´ ach:     x1 + y1 αx1  x2 + y2   αx2      x + y :=  αx :=  .  . , ..    ..  . xn + yn

αxn

S takto definovan´ ymi operacemi se Kn stane vektorov´ ym prostorem (nad tˇelesem K), jenˇz budeme naz´ yvat ndimenzion´ aln´ı souˇradnicový prostor (nad K). Cn budeme naz´ yvat n-dimenzion´ aln´ı komplexn´ı souˇradnicový prostor a Rn budeme naz´ yvat n-dimenzion´ aln´ı re´ alný souˇradnicový prostor (Rn je také nˇekdy zvykem naz´ yvat n-dimenzion´ aln´ı eukleidovský prostor ). Nulov´ y vektor 0 ∈ Kn a opaˇcn´ y vektor −x k vektoru x ∈ Kn splˇ nuj´ı     −x1 0  −x2  0     −x :=  .  . 0 = . , . .  .  . −xn 0

V n-dimenzion´ aln´ım re´ alném souˇradnicovém prostoru Rn s n = 1, 2, 3 a v 1-dimenzionáln´ım komplexn´ım 1 prostoru C = C m˚ uˇzeme vektory reprezentovat pomoc´ı ˇsipek. ♦ Pˇ r´ıklad 1.4 (Prostor polynom˚ u). Necht’ m ∈ N. Funkce p : K → K se naz´ yvá polynom, pokud existuj´ı ˇc´ısla α0 , . . . , αm ∈ K taková, ˇze p(x) = α0 + α1 x + · · · + αm xm .

Pokud αm 6= 0, p se naz´ yvá polynom stupnˇe m. Souˇcet dvou polynom˚ u p a q a pˇren´ asoben´ı ˇc´ıslem α ∈ K definujeme jako obvykle: (p + q)(x) := p(x) + q(x) ,

(αp)(x) := αp(x) ,

pro vˇsechna x ∈ K. S takto definovan´ ymi operacemi se mnoˇzina vˇsech takov´ ychto polynom˚ u, kterou budeme znaˇcit Pm , stane vektorov´ ym prostorem nad K. Nulov´ y vektor v Pm je polynom, jenˇz je identicky roven nule (t.j. vˇsechna ˇc´ısla α0 , . . . , αm jsou rovna nule), 0(x) = 0 pro vˇsechna x ∈ K, a opaˇcn´ y polynom −p k polynomu p ∈ Pm je d´ an vztahem (−p)(x) = −p(x)



7

pro vˇsechna x ∈ K. (Vˇsimnˇete si, ˇze P0 = K s obvykl´ ymi operacemi sˇc´ıtán´ı a n´ asoben´ı mezi ˇc´ısly.) Kromˇe vektorového prostoru Pm , jenˇz je charakterizován t´ım, ˇze obsahuje polynomy nejv´ yˇse stupnˇe m, budeme pˇr´ıleˇzitostnˇe rovnˇeˇz uvaˇzovat prostor vˇsech polynom˚ u na K. Oznaˇcme takov´ yto prostor symbolem P∞ . Zˇrejmˇe plat´ı ∞ [ Pm . P∞ = m=0

♦

Pˇ r´ıklad 1.5 (Prostor kvantové ˇca´stice). V nerelativistické kvantové mechanice je fyzikáln´ı stav ˇca´stice (napˇr´ıklad elektronu) pops´ an bodem v prostoru mˇeˇriteln´ ych funkc´ı, jeˇz jsou kvadraticky integrabiln´ı (Lebesgue˚ uv prostor): Z L2 (R3 ) :=

ψ : R3 → C :

R3

|ψ(x)|2 dx < ∞ .

S obvykl´ ymi operacemi sˇc´ıt´ an´ı dvou funkc´ı a jejich n´ asoben´ı ˇc´ısly lze ovˇeˇrit, ˇze se skuteˇcnˇe jedná o vektorov´ y prostor. ♦

1.4

Podprostory

Z geometrie v´ıte, ˇze kromˇe celého prostoru R3 a jeho bod˚ u (vektory) je zaj´ımavé uvaˇzovat dalˇs´ı lineárn´ı objekty jako pˇr´ımky a roviny. Následuj´ıc´ı definice zobecˇ nuje tyto pojmy na abstraktn´ı vektorové prostory (vˇcetnˇe libovolné dimenze). Definice 1.2. Podprostor vektorového prostoru V je podmnoˇzina U ⊂ V, jeˇz je sama o sobˇe vektorovým prostorem (se stejnými operacemi sˇc´ıtán´ı vektor˚ u a násoben´ı ˇc´ısly jako ve V). Znaˇc´ıme U ⊂⊂ V. Upozornˇen´ı: Pokud chceme chápat podprostory jako zobecnˇené pˇr´ımky a roviny, mus´ıme m´ıt na pamˇeti, ˇze tyto jsou v definici výˇse vyˇzadovány procházet poˇcátkem (ponˇevadˇz 0 ∈ U coby d˚ usledek toho, ˇze U je sám o sobˇe vektorový prostor). Následuj´ıc´ı vˇeta poskytuje vhodné kriterium, jak urˇcit, zda daná podmnoˇzina V je podprostorem V. Vˇ eta 1.1. Necht’ U ⊂ V. Plat´ı tato ekvivalence:    (i) 0 ∈ U ; (ii) ∀u, v ∈ U, u+ v ∈ U; U ⊂⊂ V ⇐⇒   (iii) ∀α ∈ K, u ∈ U, αu ∈ U .

(obsahuje poˇcátek) (uzavˇrenost v˚ uˇci souˇctu) (uzavˇrenost v˚ uˇci násoben´ı)

(Logická spojka mezi vlastnostmi (i), (ii) a (iii) je a (konjunkce).) D˚ ukaz. Implikace ⇒ je zˇrejmá: pokud je U podprostor, je podle Definice 1.2 sám o sobˇe vektorovým prostorem, tud´ıˇz mus´ı speciálnˇe splˇ novat body (i)–(iii), viz Definice 1.1. Opaˇcná implikace ⇐ nám ˇr´ıká, ˇze staˇc´ı ovˇeˇrit pouze vlastnosti (i)–(iii), abychom si byli jisti, ˇze U je podprostorem. Jinými slovy, mus´ıme dokázat, ˇze body (i)–(iii) implikuj´ı vˇsechny

8



axiomy (A), (B) a (C) Definice 1.1. Bod (ii) zaruˇcuje, ˇze sˇc´ıtán´ı vektor˚ u v U je dobˇre definováno a bod (iii) zaruˇcuje, ˇze násoben´ı vektor˚ u z U ˇc´ısly z K je dobˇre definováno. D´ıky tomu axiomy (A1), (A2), (B) a (C) nen´ı tˇreba ovˇeˇrovat, ponˇevadˇz plat´ı na vˇetˇs´ı mnoˇzinˇe V. Bod (i) zaruˇcuje, ˇze nulový vektor leˇz´ı v U, tud´ıˇz i axiom (A3) plat´ı (opˇet z d˚ uvodu jeho ’ platnosti na vˇetˇs´ı mnoˇzinˇe V). Zbývá ovˇeˇrit axiom (A4). Necht u ∈ U ⊂ V. Pak existuje −u ∈ V takový, ˇze u − u = 0 coby identita ve V. Avˇsak podle Tvrzen´ı 1.4 plat´ı −u = (−1)u, kde pravá strana leˇz´ı v U d´ıky bodu (iii). Tedy −u ∈ U a rovnost u − u = 0 plat´ı coby identita ve U.

Uˇzit´ım Vˇety 1.1 snadno ovˇeˇr´ıme následuj´ıc´ı pˇr´ıklady. Pˇ r´ıklad 1.6 (Nulov´ y a cel´ y prostor). Nejjednoduˇsˇs´ım pˇr´ıkladem podprostoru libovolného vektorového prostoru V je nulov´ y prostor {0} a cel´ y prostor V. Prázdn´ a mnoˇzina ∅ nen´ı podprostor, ponˇevadˇz podprostor je vektorov´ y prostor a vektorov´ y prostor mus´ı obsahovat alespoˇ n jeden prvek, a to poˇca´tek 0. ♦ Pˇ r´ıklad 1.7 (Pˇr´ımky, roviny atd.). Podprostory R jsou nulov´ y prostor {0} a cel´ y prostor R. Podprostory R2 2 jsou nulov´ y prostor {0}, cel´ y prostor R a vˇsechny pˇr´ımky proch´ azej´ıc´ı poˇca´tkem. Podprostory R3 jsou 3 nulov´ y prostor {0}, cel´ y prostor R , vˇsechny pˇr´ımky proch´ azej´ıc´ı poˇca´tkem a vˇsechny roviny proch´ azej´ıc´ı poˇca´tkem. Obecnˇeji, necht’ m, n ∈ N∗ s m ≤ n. Pak {x ∈ Kn : x1 = x2 = · · · = xm = 0} je podprostorem Kn .

♦

Pˇ r´ıklad 1.8 (Sudé a liché polynomy). Mnoˇziny (symbol ± znamen´ a bud’ plus nebo minus) P± m := {p ∈ Pm : ∀x ∈ K, p(x) = ±p(−x)}

(1.1)

jsou podprostory vektorového prostoru polynom˚ u Pm . Vˇsimnˇete si, ˇze podprostor P+ ren polynomy p+ , m je tvoˇ jeˇz obsahuj´ı pouze sudé mocniny x, m

p+ (x) = α0 + α2 x2 + · · · + α2⌊ m2 ⌋ x2⌊ 2 ⌋ , a podprostor P− ren polynomy p− , jeˇz obsahuj´ı pouze liché mocniny x, m je tvoˇ p− (x) = α1 x + α3 x3 + · · · + α2⌊ m+1 ⌋−1 x2⌊ 2

m+1 2 ⌋−1

,

kde ⌊β⌋ := max{n ∈ Z : n ≤ β} znaˇc´ı doln´ı celou ˇc´ ast reálného ˇc´ısla β. Ve speci´ aln´ım pˇr´ıpadˇe K := R jsou − polynomy v podprostoru P+ sud´ e funkce na R a polynomy v podprostoru P jsou liché funkce na R. ♦ m m Pˇ r´ıklad 1.9. Uvaˇzujme podmnoˇzinu prostoru stav˚ u kvantové ˇca´stice (viz Pˇr´ıklad 1.5), jeˇz je charakterizována stavy, pro nˇeˇz i derivace jsou kvadraticky integrabiln´ı (Sobolev˚ uv prostor): H 1 (R3 ) := ψ ∈ L2 (R3 ) : ∇ψ ∈ L2 (R3 ) . Lze ovˇeˇrit, ˇze skuteˇcnˇe plat´ı H 1 (R3 ) ⊂⊂ L2 (R3 ). V kvantové mechanice lze H 1 (R3 ) interpretovat coby prostor fyzikáln´ıch stav˚ u s koneˇcnou (kinetickou) energi´ı. ♦



1.5

9

Souˇ cet podprostor˚ u

Jedna moˇznost, jak utvoˇrit ze dvou daných mnoˇzin U1 a U2 dalˇs´ı mnoˇzinu, je vz´ıt jejich sjednocen´ı U := U1 ∪ U2 . Pokud U1 a U2 jsou podprostory nˇejakého vektorového prostoru V, jen “málokdy” se vˇsak stane, ˇze jejich sjednocen´ı U bude opˇet podprostor (pˇresný význam uvozovek zde je, ˇze jeden z podprostor˚ u mus´ı být podmnoˇzinou toho druhého, aby se tak stalo). Z tohoto d˚ uvodu je pro podprostory zaj´ımavˇejˇs´ı jiná operace. Definice 1.3. Necht’ U1 , U2 ⊂⊂ V. Souˇcet podprostor˚ u U1 a U2 je mnoˇzina U1 + U2 := {u1 + u2 : u1 ∈ U1 , u2 ∈ U2 } . Mˇeli byste si ovˇeˇrit, ˇze takto definovaná mnoˇzina U1 + U2 je skuteˇcnˇe podprostorem V. Souˇcet dvou podprostor˚ u v teorii vektorových prostor˚ u je operace analogická operaci sjednocen´ı mnoˇzin v teorii mnoˇzin v tomto smyslu: Nejmenˇs´ı podprostor obsahuj´ıc´ı dva dané podprostory je právˇe jejich souˇcet. (Analogicky, nejmenˇs´ı mnoˇzina obsahuj´ıc´ı dvˇe dané mnoˇziny je jejich sjednocen´ı.) Schematicky: souˇcet podprostor˚ u

←→

sjednocen´ı mnoˇzin.

Pod´ıvejme se nyn´ı na pár pˇr´ıklad˚ u. Pˇ r´ıklad 1.10. Necht’ U1 := Pak

n x 0 0

∈ K3 : x ∈ K

o

U1 + U2 =

a

U2 :=

n 0 y 0

∈ K3 : y ∈ K

n x

o ∈ K3 : x, y ∈ K .

o

a

y 0

o

.

V pˇr´ıpadˇe K := R lze U1 a U2 geometricky interpretovat jako souˇradnicové osy x a y v xyz-kartézském souˇradnicovém systému na R3 . Souˇcet U1 + U2 má pak geometrick´ y v´ yznam roviny xy. ♦ Pˇ r´ıklad 1.11. Necht’ U1 :=

n x 0 0

∈ K3 : x ∈ K

U2 :=

n y y 0

o ∈ K3 : y ∈ K .

I v tomto pˇr´ıpadˇe dostaneme stejn´ y v´ ysledek jako v pˇredeˇslém pˇr´ıkladu, n x o y U1 + U2 = ∈ K3 : x, y ∈ K . 0

V pˇr´ıpadˇe K := R lze U1 geometricky interpretovat jako souˇradnicovou osu x, U2 jako souˇradnicovou osu y pootoˇcenou o 45◦ v xy-rovinˇe a souˇcet U1 + U2 má opˇet geometrick´ y v´ yznam roviny xy. ♦

1.6

Direktn´ı souˇ cet podprostor˚ u

Uvaˇzujme nyn´ı speciáln´ı pˇr´ıpad podprostor˚ u U1 a U2 vektorového prostoru V, jejichˇz souˇcet dá celý prostor V, tedy V = U1 + U2 . Pak kaˇzdý prvek v ∈ V m˚ uˇzeme napsat ve tvaru v = u1 + u2 , kde u1 ∈ U1 a u2 ∈ U2 , tedy ∀v ∈ V,

∃ u1 ∈ U1 , u2 ∈ U2 ,

v = u1 + u2 .

10



Zvláˇstˇe d˚ uleˇzitá situace nastává, kdyˇz tento rozklad je urˇcen jednoznaˇcnˇe. ˇ Definice 1.4. U1 , U2 ⊂⊂ V. Rekneme, ˇze V je direktn´ım souˇctem podprostor˚ u U1 a U2 , pokud ∀v ∈ V, ∃! u1 ∈ U1 , u2 ∈ U2 , v = u1 + u2 . Zapisujeme V = U1 ⊕ U2 . Pod´ıvejme se nyn´ı na pár charakteristických pˇr´ıklad˚ u. Pˇ r´ıklad 1.12. Necht’ U1 := Pak

n x y 0

∈ K3 : x, y ∈ K

o

a

U2 :=

n 0 0 z

o ∈ K3 : z ∈ K .

K3 = U1 ⊕ U2 . V pˇr´ıpadˇe K := R lze U1 geometricky interpretovat jako xy-rovinu a U2 jako souˇradnicovou osu z.

♦

Pˇ r´ıklad 1.13. Necht’ o n 0 o n 0 o n x 3 y 0 0 ∈K : z ∈ K . ∈ K3 : x ∈ K , U2 := ∈ K3 : y ∈ K , U3 := U1 := 0

z

0

Pak

K3 = U1 ⊕ U2 ⊕ U3 . V pˇr´ıpadˇe K := R lze U1 , U2 a U3 geometricky interpretovat jako souˇradnicové osy.

♦

Pˇ r´ıklad 1.14. Necht’ P± eho prostoru polynom˚ u Pm definované v (1.1). Pak m jsou podprostory vektorov´ − Pm = P+ m ⊕ Pm .

V reálném pˇr´ıpadˇe K := R je toto dobˇre znám´ y rozklad funkce na R jako souˇcet jej´ı sudé a liché ˇca´sti.

♦

Pˇ r´ıklad 1.15. Nyn´ı uved’me pˇr´ıklad pro pochopen´ı rozd´ılu mezi souˇctem a direktn´ım souˇctem podprostor˚ u. Necht’ o o n 0 o n 0 n x 3 y y 0 ∈ K : y ∈ K , U3 := ∈ K3 : z ∈ K . ∈ K3 : x ∈ K , U2 := U1 := y

z

0

Zˇrejmˇe plat´ı

K3 = U1 + U2 + U3 , ponˇevadˇz libovoln´ y vektor

x y z

∈ K3 m˚ uˇzeme zapsat ve tvaru x x 0 0 y = y + 0 + 0 . z 0 z 0 | {z} |{z} |{z} ∈U1

Avˇsak ponˇevadˇz napˇr´ıklad vektor

0 0 0

∈U2

∈U3

K3 6= U1 ⊕ U2 ⊕ U3 ,

m˚ uˇze b´ yt naps´ an jako  ∈U1   z}|{    0  1 + 0  0 0 0 = 0   0 +   0    |{z} ∈U1

souˇcet vektor˚ u z U1 , U2 a U3 v´ıce zp˚ usoby: ∈U2

∈U3

z}|{ 0

z }| { 0 0 + −1 , 1 −1 0 0 0 + 0 . 0 0 |{z} |{z} ∈U2

∈U3



Ponˇevadˇz rozklad nen´ı jednoznaˇcn´ y, nem˚ uˇze se jednat o direktn´ı souˇcet.

11

♦

V pˇredchoz´ım pˇr´ıkladˇe jsme ukázali, ˇze nˇejaký vektorový prostor nen´ı direktn´ım souˇctem jistých podprostor˚ u t´ım, ˇze jsme ukázali, ˇze nulový vektor 0 nemá jednoznaˇcný rozklad do odpov´ıdaj´ıc´ıch vektor˚ u. Definice 1.4 vyˇzaduje, aby kaˇzdý vektor mˇel jednoznaˇcný rozklad. Mˇejme nyn´ı podprostory, jejichˇz souˇcet se rovná celému vektorovému prostoru. Následuj´ıc´ı tvrzen´ı ukazuje, ˇze ve skuteˇcnosti staˇc´ı prozkoumat, zda pouze nulový vektor 0 má jednoznaˇcný rozklad, abychom rozhodli, zda se jedná o direktn´ı souˇcet. Vˇ eta 1.2. Necht’ U1 a U2 jsou podprostory vektorového prostoru V. Plat´ı tato ekvivalence: ( (i) V = U1 + U2 ; V = U1 ⊕ U2 ⇐⇒ (ii) ∀u1 ∈ U1 , u2 ∈ U2 , 0 = u1 + u2 =⇒ u1 = u2 = 0 .

D˚ ukaz. Dokáˇzeme ekvivalenci jako platnost dvou implikac´ı. ⇒ Necht’ V = U1 ⊕ U2 . Pak (i) V = U1 + U2 , coˇz plyne pˇr´ımo z toho, jak jsou souˇcet a direktn´ı souˇcet podprostor˚ u definovány. Vlastnost (ii) plyne z toho, ˇze máme rozklad 0 = |{z} 0 + |{z} 0 |{z} ∈V

∈U1

∈U2

a ten mus´ı být jednoznaˇcný z definice direktn´ıho souˇctu. ⇐ Nyn´ı pˇredpokládejme, ˇze plat´ı (i) a (ii). Necht’ v ∈ V. Z (i) plyne, ˇze existuj´ı u1 ∈ U1 a u2 ∈ U2 takové, ˇze m˚ uˇzeme psát v = u1 + u2 . (1.2) Máme za u ´ kol dokázat, ˇze tento rozklad je jednoznaˇcný. Jak obvyklé v tˇechto pˇr´ıpadech, budeme postupovat sporem. Pˇredpokládejme tedy, ˇze existuj´ı jeˇstˇe jiné vektory u′1 ∈ U1 a u′2 ∈ U2 takové, ˇze u′1 6= u1 nebo u′2 6= u2 , pˇriˇcemˇz máme alternativn´ı rozklad v = u′1 + u′2 .

(1.3)

Odeˇcten´ım (1.2) a (1.3) dostaneme 0 = u1 − u′1 + u2 − u′2 . |{z} | {z } | {z } ∈V

∈U1

∈U2

Uˇzit´ım vlastnosti (ii) dostaneme u1 − u′1 = 0 a u2 − u′2 = 0, tedy u1 = u′1 a u2 = u′2 , coˇz je spor s pˇredpokladem výˇse, ˇze u′1 6= u1 nebo u′2 6= u2 . Na závˇer si pˇredstav´ıme jeˇstˇe jedno velice uˇziteˇcné kritérium. Vˇ eta 1.3. Necht’ U1 a U2 jsou podprostory vektorového prostoru V. Plat´ı tato ekvivalence: ( (i) V = U1 + U2 ; V = U1 ⊕ U2 ⇐⇒ (ii) U1 ∩ U2 = {0} .

12



D˚ ukaz. Opˇet dokáˇzeme ekvivalenci jako platnost dvou implikac´ı. ⇒ Jako v d˚ ukazu Vˇety 1.2 je zˇrejmé, ˇze direktn´ı souˇcet implikuje souˇcet, tedy (i). Zároveˇ n, pokud u ∈ U1 ∩ U2 , pak 0 = |{z} u + (−u) . |{z} | {z } ∈V

∈U1

∈U2

D´ıky jednoznaˇcnému rozkladu nulového vektoru mus´ı platit u = 0. Z libovolnosti vektoru u dostáváme vlastnost (ii).

⇐ Nyn´ı pˇredpokládejme, ˇze plat´ı (i) a (ii). Uˇzit´ım Vˇety 1.2 staˇc´ı ukázat, ˇze nulový vektor má jednoznaˇcný rozklad. Piˇsme tedy 0 = u1 + u2 . |{z} |{z} |{z} ∈V

∈U1

(1.4)

∈U2

Z této rovnice plyne, ˇze u1 = −u2 ∈ U2 . Tedy u1 ∈ U1 ∩ U2 . Z vlastnosti (ii) vˇsak dostáváme u1 = 0. Z tohoto výsledku a rovnice (1.4) pak dostáváme rovnˇeˇz u2 = 0. Uˇz jsme se zm´ınili, ˇze souˇcet podprostor˚ u je operace analogická sjednocen´ı mnoˇzin. Obdobnˇe (viz pˇredchoz´ı Vˇetu 1.3) direktn´ı souˇcet podprostor˚ u je operace analogická disjunktn´ımu sjednocen´ı mnoˇzin. Schematicky: direktn´ı souˇcet podprostor˚ u

←→

disjunktn´ı sjednocen´ı mnoˇzin.

ˇ adné dva podprostory vektorového prostoru nemohou být u Z´ ´ plnˇe disjunktn´ı, ponˇevadˇz oba mus´ı obsahovat nulový vektor. Tedy ˇcistá disjunktnost je v pˇr´ıpadˇe podprostor˚ u zamˇenˇena za poˇzadavek, aby jejich pr˚ unik byl nulový prostor.



1.7

13

Cviˇ cen´ı

1. Ukaˇzte, ˇze plat´ı ∀v ∈ V,

−(−v) = v .

2. Ukaˇzte, ˇze plat´ı ∀α ∈ K, v ∈ V,

αv = 0

=⇒

(α = 0 ∨ v = 0) .

3. Pro jaké hodnoty α, β ∈ R je mnoˇzina x1 ( x2 ) ∈ K4 : x2 = αx1 + β podprostorem v R2 ? Interpretujte geometricky.

[Tehdy a jen tehdy, pokud β = 0. Hint: Pouˇzijte Vˇetu 1.1.] 4. Pro jaké hodnoty α ∈ K je mnoˇzina x 1 x2 4 ∈ K : x3 = 5x4 + α x3 x4

podprostorem v K4 ? [Tehdy a jen tehdy, pokud α = 0.] 5. Ukaˇzte, ˇze mnoˇzina {p ∈ P∞ : p(3) = 0} je podprostorem v P∞ . u stupnˇe 6. Necht’ m ∈ N∗ . Je mnoˇzina (sjednocen´ı nulového polynomu a vˇsech polynom˚ právˇe m) {0} ∪ {p : K → K : p(x) = α0 + α1 x + · · · + αm xm , α1 , . . . , αm ∈ K, αm 6= 0} podprostorem v Pm ? [Ne. (Nen´ı uzavˇrená v˚ uˇci souˇctu.)] 7. Které z následuj´ıc´ıch podmnoˇzin prostoru K3 jsou podprostory prostoru K3 ? o n x1 3 x2 ∈ K : x + 2x + 3x = 0 ; (a) 1 2 3 x3 n x1 o x2 (b) ∈ K3 : x1 + 2x2 + 3x3 = 4 ; x3 n x1 o 3 x2 (c) ∈ K : x x x = 0 ; 1 2 3 x3 n x1 o x2 (d) ∈ K3 : x1 = 5x3 . x3 Interpretujte geometricky pro K = R.

[(a), (d) jsou podprostory; (b), (c) nejsou.] 8. Je R2 podprostorem C? [Ne. (Nen´ı to ani podmnoˇzina.)]

14



9. Plat´ı následuj´ıc´ı tvrzen´ı? (a) (b)

x1 ( x2 ) ∈ R2 : x2 = 0 ⊂⊂ R2 ; {z ∈ C : z ∈ R} ⊂⊂ C.

Interpretujte geometricky. [(a) plat´ı; (b) neplat´ı. Obrázky vˇsak vypadaj´ı stejnˇe.] 10. Která z následuj´ıc´ıch tvrzen´ı jsou pravdivá? n a o 3 3 3 b (a) ∈ R : a = b ⊂⊂ R3 ; c o n a 3 3 3 b ⊂⊂ C3 . ∈ C : a = b (b) c Jaká je geometrická interpretace mnoˇziny v (a)?

[(a) plat´ı (a3 = b3 ⇒ a = b pro reálná ˇc´ısla); (b) neplat´ı (máme napˇr´ıklad (ei2π/3 )3 = 13 ), ˇcehoˇz lze vyuˇz´ıt pro neplatnost uzavˇrenosti v˚ uˇci souˇctu.] 11. Dejte pˇr´ıklad neprázdné mnoˇziny U ⊂ R2 , jeˇz je uzavˇrená vzhledem ke sˇc´ıtán´ı (t.j. ∀u, v ∈ U, u + v ∈ U) a vzat´ı opaˇcného vektoru (t.j. ∀u ∈ U, −u ∈ U), avˇsak U nen´ı podprostorem v R2 . [Napˇr´ıklad {( xx12 ) ∈ R2 : x2 = α} pro α 6= 0.] 12. Ukaˇzte, ˇze pr˚ unik podprostor˚ u ve V je podprostor ve V, tedy: U1 , . . . , Un ⊂⊂ V

=⇒

n \

j=1

Uk ⊂⊂ V .

13. Ukaˇzte, ˇze sjednocen´ı dvou podprostor˚ u ve V je podprostor ve V tehdy a jen tehdy, pokud jeden z podprostor˚ u je podmnoˇzinou toho druhého. Jinými slovy, mˇejme podprostory U1 , U2 ⊂⊂ V; potom plat´ı ekvivalence U1 ∪ U2 ⊂⊂ V

⇐⇒

(U1 ⊂ U2 ∨ U2 ⊂ U1 ) .

14. Necht’ U ⊂⊂ V. Co je U + U? [U + U = U.] 15. Je operace sˇc´ıtán´ı podprostor˚ u komutativn´ı? Je asociativn´ı? Jinými slovy, plat´ı následuj´ıc´ı tvrzen´ı? ∀U1 , U2 , U3 ⊂⊂ V,

(a) U1 + U2 = U2 + U1 ; (b) (U1 + U2 ) + U3 = U1 + (U2 + U3 ) .

[Plat´ı.] 16. Má operace sˇc´ıtán´ı podprostor˚ u nulový prvek? Tedy plat´ı ∃N ⊂⊂ V,

∀U ⊂⊂ V,

[Ano, a to nulový podprostor N := {0}.]

N + U = U?



15

17. Které podprostory obsahuj´ı opaˇcné prvky v˚ uˇci sˇc´ıtán´ı? Tedy pro které podprostory U plat´ı ∃ − U ⊂⊂ V, U + (−U) = N ? [Pouze nulové podprostory U = N = {0}. Hint: Nezbytnˇe −U = U a pouˇzijte Cviˇcen´ı 14.] 18. Dokaˇzte, nebo dejte protipˇr´ıklad: ∀U1 , U2 , W ⊂⊂ V,

U1 + W = U2 + W

=⇒

U1 = U2 .

[Protipˇr´ıklad: U1 := ( x0 ) ∈ R2 : x ∈ R , U2 := ( xx ) ∈ R2 : x ∈ R , W := coˇz dává U1 + W = U2 + W = R2 .]

0 y

∈ R2 : y ∈ R ,

19. Uvaˇzujme podprostor U := {p ∈ P∞ : p(x) := αx2 + βx5 , α, β ∈ K} ⊂⊂ P∞ . Najdˇete podprostor W v P∞ takový, ˇze máme rozklad P∞ = U ⊕ W . [W := P∞ \ U.] 20. Dokaˇzte, nebo dejte protipˇr´ıklad: ∀U1 , U2 , W ⊂⊂ V,

U1 ⊕ W = U2 ⊕ W

[Tvrzen´ı plat´ı. Hint: Vyuˇzijte Vˇety 1.3.]

=⇒

U1 = U2 .

16

2

2. Vektory


Vektory

Nyn´ı, co jsme popsali prostory, kterými se budeme zabývat, se zamˇeˇr´ıme na jejich prvky a vztahy mezi nimi.

2.1

Line´ arn´ı obal

Ze vˇseho nejdˇr´ıve dejme jméno vektoru utvoˇrenému z mnoˇziny daných vektor˚ u. Budeme implicitnˇe pˇredpokládat, ˇze ˇc´ıslo m znaˇc´ıc´ı poˇcet vektor˚ u je striktnˇe kladné celé ˇc´ıslo, tedy: m ∈ N∗ . Definice 2.1. Lineárn´ı kombinace vektor˚ u v1 , . . . , vm ∈ V je vektor α1 v1 + · · · + αm vm , kde α1 , . . . , αm ∈ K. ˇ ısla α1 , . . . , αm vystupuj´ıc´ı v Definici 2.1 nazýváme koeficienty lineárn´ı kombinace. JsouC´ li vˇsechna tato ˇc´ısla rovna nule (tedy α1 = · · · = αm = 0), pak tuto lineárn´ı kombinaci nazýváme triviáln´ı. V opaˇcném pˇr´ıpadˇe (t.j. kdyˇz existuje 1 ≤ i ≤ m takové, ˇze αi 6= 0) budeme ˇr´ıkat, ˇze lineárn´ı kombinace je netriviáln´ı. Triviáln´ı lineárn´ı kombinace libovolných vektor˚ u je zˇrejmˇe rovna nulovému vektoru. Jak uˇz bývá v matematice zvykem, pˇriˇrad´ıme název i mnoˇzinˇe vˇsech lineárn´ıch kombinac´ı daných vektor˚ u. Definice 2.2. Lineárn´ı obal vektor˚ u v1 , . . . , vm ∈ V je mnoˇzina span{v1 , . . . , vm } := {α1 v1 + · · · + αm vm : α1 , . . . , αm ∈ K} . ˇ ıkáme, Vektory v1 , . . . , vm vystupuj´ıc´ı v Definici 2.2 nazýváme generátory lineárn´ıho obalu. R´ ˇze mnoˇzina span{v1 , . . . , vm } je generována vektory v1 , . . . , vm ˇci ˇze ji tyto vektory generuj´ı. Student si snadno dokáˇze, ˇze lineárn´ı obal je podprostor: Vˇ eta 2.1. ∀v1 , . . . , vm ∈ V,

span{v1 , . . . , vm } ⊂⊂ V.

Lze snadno nahlédnout, ˇze lineárn´ı obal span{v1 , . . . , vm } je ve skuteˇcnosti nejmenˇs´ı ze vˇsech podprostor˚ u ve V obsahuj´ıc´ıch vektory v1 , . . . , vm , a to v tomto smyslu: ∀U ⊂⊂ V,

{v1 , . . . , vm } ⊂ U

=⇒

span{v1 , . . . , vm } ⊂ U .

2. Vektory


17

Definice 2.3. Vektorový prostor V je koneˇcnˇe dimenzionáln´ı, pokud je generován koneˇcným poˇctem svých prvk˚ u, tedy ∃v1 , . . . , vm ∈ V,

span{v1 , . . . , vm } = V .

V opaˇcném pˇr´ıpadˇe ˇrekneme, ˇze V je nekoneˇcnˇe dimenzionáln´ı.

Pˇ r´ıklad 2.1. Nulov´ y prostor {0} je koneˇcnˇe dimenzionáln´ı. Plat´ı span{0} = {0}. Pˇ r´ıklad 2.2. Prostor Km je koneˇcnˇe dimenzionáln´ı, ponˇevadˇz vektory       1 0 0 0 1 0       e1 :=  .  , e2 :=  .  , . . . , em :=  .  ,  ..   ..   ..  0

0

♦

1

ho generuj´ı.

♦

Pˇ r´ıklad 2.3. Prostor polynom˚ u Pm stupnˇe nejv´ yˇse m je koneˇcnˇe dimenzionáln´ı, ponˇevadˇz monomy p0 (x) := 1,

p1 (x) := x,

p2 (x) := x2 ,

...,

pm (x) := xm ,

ho generuj´ı.

♦

Pˇ r´ıklad 2.4. Prostor vˇsech polynom˚ u P∞ je nekoneˇcnˇe dimenzionáln´ı.

♦

Pˇ r´ıklad 2.5. Lebesgue˚ uv prostor L2 (R3 ) je nekoneˇcnˇe dimenzionáln´ı.

♦

V této pˇrednáˇsce se budeme zabývat výhradnˇe koneˇcnˇe dimenzionáln´ımi vektorovými prostory. Nekoneˇcnˇe dimenzionáln´ımi vektorovými prostory se zabývá odvˇetv´ı matematiky, jeˇz se nazývá funkcionáln´ı analýza, nebot’ jejich typickými pˇredstaviteli jsou prostory funkc´ı, viz posledn´ı dva pˇr´ıklady výˇse.

2.2

Line´ arn´ı nez´ avislost

Necht’ v1 , . . . , vm ∈ V. Z definice souˇctu podprostor˚ u (Definice 1.3) a definice lineárn´ıho obalu vektor˚ u (Definice 2.2) okamˇzitˇe dostáváme rovnost span{v1 , . . . , vm } = span{v1 } + · · · + span{vm } ,

(2.1)

tedy lineárn´ı obal vektor˚ u v1 , . . . , vm je souˇcet lineárn´ıch obal˚ u jednotlivých vektor˚ u. Pokud v ∈ span{v1 , . . . , vm }, pak podle Definice 2.2 existuj´ı ˇc´ısla α1 , . . . , αm ∈ K taková, ˇze v = α1 v1 + · · · + αm vm .

(2.2)

Poloˇzme si otázku, zda volba ˇc´ısel je jednoznaˇcná. Jinými slovy, zda se v (2.1) jedná o direktn´ı souˇcet podprostor˚ u generovaných jednotlivými vektory. Podle Vˇety 1.2 k tomu dojde tehdy

18

2. Vektory


a jen tehdy, pokud plat´ı implikace α1 v1 + · · · + αm vm = 0 |{z} | {z } ∈span{v1 }

=⇒

∈span{vm }

α1 v1 = · · · = αm vm = 0 .

Pokud bychom nav´ıc pˇredpokládali, ˇze vˇsechny vektory v1 , . . . , vm jsou nenulové, pak z posledn´ı rovnosti dostáváme, ˇze vˇsechny koeficienty α jsou nulové, tedy α1 v1 = · · · = αm vm = 0

=⇒

α1 = · · · = αm = 0 .

Tato situace je tak d˚ uleˇzitá, ˇze j´ı dáme jméno. ˇ Definice 2.4. Rekneme, ˇze vektory v1 , . . . , vm ∈ V jsou lineárnˇe nezávislé, pokud plat´ı ∀α1 , . . . , αm ∈ K,

α1 v1 + · · · + αm vm = 0

=⇒

α1 = · · · = αm = 0 .

V opaˇcném pˇr´ıpadˇe ˇrekneme, ˇze vektory v1 , . . . , vm jsou lineárnˇe závislé. Negac´ı implikace se snadno pˇresvˇedˇc´ıme, ˇze vektory v1 , . . . , vm jsou lineárnˇe závislé tehdy a jen tehdy, kdyˇz ∃α1 , . . . , αm ∈ K,

|α1 | + · · · + |αm | = 6 0,

α1 v1 + · · · + αm vm = 0 .

Nerovnost´ı |α1 | + · · · + |αm | = 6 0 vyjadˇrujeme podm´ınku, aby alespoˇ n jedno ˇc´ıslo αj bylo nenulové. Pˇ r´ıklad 2.6. Vektory e1 , . . . , em z Pˇr´ıkladu 2.2 jsou lineárnˇe nezávislé v Km .

♦

Pˇ r´ıklad 2.7. Monomy p0 , . . . , pm z Pˇr´ıkladu 2.3 jsou lineárnˇe nezávislé v Pm .

♦

Pˇ r´ıklad 2.8. Libovoln´ a dvˇe ˇc´ısla (ˇci v´ıce) z vektorového prostoru K jsou lineárnˇe z´ avislá.

♦

Pˇ r´ıklad 2.9. Polynomy q1 (x) := 1 − x ,

q2 (x) := x(1 − x) ,

q3 (x) := 1 − x2 ,

jsou lineárnˇe z´ avislé v Pm s m ∈ [2, ∞], nebot’ q1 + q2 − q3 = 0.

♦

Student necht’ si dokáˇze tˇri následuj´ıc´ı, elementárn´ı tvrzen´ı. Prvn´ı tvrzen´ı interpretuje Definici 2.4 v pˇr´ıpadˇe pouze jednoho vektoru. Tvrzen´ı 2.1. Plat´ı tato ekvivalence: ∀v ∈ V,

v je lineárnˇe závislý

⇐⇒

v = 0.

Druhé tvrzen´ı nám ˇr´ıká, vektory jsou vˇzdy lineárnˇe závislé, pokud alespoˇ n jeden z nich se rovná nule. (Opaˇcná implikace samozˇrejmé neplat´ı.)

2. Vektory


19

Tvrzen´ı 2.2. Necht’ v1 , . . . , vm ∈ V. Plat´ı tato implikace: ∃j ∈ {1, . . . , m}, vj = 0

=⇒

v1 , . . . , vm jsou lineárnˇe závislé .

Tˇret´ı tvrzen´ı ukazuje, co se dˇeje pˇri pˇridáván´ı ˇci odebráván´ı vektor˚ u, ale vˇzdy jen pro lineárn´ı závislost v prvn´ım pˇr´ıpadˇe a lineárn´ı nezávislost v druhém pˇr´ıpadˇe. Tvrzen´ı 2.3. Necht’ v1 , . . . , vm+1 ∈ V. Plat´ı tyto implikace: (i) v1 , . . . , vm jsou lineárnˇe závislé =⇒ v1 , . . . , vm+1 jsou lineárnˇe závislé. (ii) v1 , . . . , vm jsou lineárnˇe nezávislé =⇒ v1 , . . . , vm−1 jsou lineárnˇe nezávislé.

V druhé implikaci je nutno pˇredpokládat, ˇze m ≥ 2 nebo dodefinovat (jak bývá ostatnˇe zvykem), ˇze prázdná mnoˇzina vektor˚ u je lineárnˇe nezávislá. Následuj´ıc´ı vˇeta je fundamentáln´ım výsledkem v teorii lineárn´ı závislosti vektor˚ u. Vˇ eta 2.2. Necht’ v1 , . . . , vm ∈ V jsou nenulové. Plat´ı tato ekvivalence: v1 , . . . , vm jsou lineárnˇe závislé

⇐⇒

∃j ∈ {2, . . . , m},

vj ∈ span{v1 , . . . , vj−1} .

D˚ ukaz. Jako obvykle, dokáˇzeme ekvivalenci jako platnost dvou implikac´ı. ⇒ Pˇredpokládejme, ˇze v1 , . . . , vm jsou lineárnˇe závislé a nenulové. Necht’ j ∈ {2, . . . , m} je prvn´ı index, pro který vektory v1 , . . . , vj jsou lineárnˇe závislé (v nejhorˇs´ım j = m). Pak existuj´ı ˇc´ısla α1 , . . . , αj ∈ K, ne vˇsechny rovny nule, takové, ˇze α1 v1 + · · · + αj vj = 0 .

(2.3)

At’ uˇz jsou ˇc´ısla α1 , . . . , αj jakákoli, nem˚ uˇzeme m´ıt αj = 0, ponˇevadˇz jinak bychom mˇeli lineárn´ı závislost pro vektory v1 , . . . , vj−1, coˇz je ve sporu s t´ım, jak jsme index j definovali (pˇripomeˇ nme rovnˇeˇz, ˇze vj je nenulový). Rovnici (2.3) tedy m˚ uˇzeme pˇrepsat takto vj =

−α1 −αj−1 v1 + · · · + vj−1 αj αj

coˇz je tvrzen´ı, které jsme chtˇeli dokázat. ⇐ Z pˇredpokladu plyne, ˇze existuj´ı ˇc´ısla α1 , . . . , αj−1 ∈ K takové, ˇze vj = α1 v1 + · · · + αj−1 vj−1 . Tedy α1 v1 + · · · + αj−1vj−1 − vj = 0 , z ˇcehoˇz plyne, ˇze vektory v1 , . . . , vj jsou lineárnˇe závislé. Pˇridán´ım vektor˚ u vj+1 , . . . , vm lineárn´ı závislost nezmˇen´ıme, jak v´ıme z Tvrzen´ı 2.3(i).

20

2.3

2. Vektory


Steinitzova vˇ eta

V pˇredchoz´ıch dvou kapitolkách jsme se pˇripravili na d˚ ukaz jedné ze základn´ıch vˇet lineárn´ı algebry, tzv. Steinitzovy vˇety. Vˇ eta 2.3 (Steinitzova). Necht’ v1 , . . . , vn ∈ V a u1 , . . . , um ∈ V, n, m ∈ N∗ . Potom plat´ı tato implikace: ) (i) u1 , . . . , um jsou lineárnˇe nezávislé; =⇒ m ≤ n. (ii) ∀j ∈ {1, . . . , m}, uj ∈ span{v1 , . . . , vn }.

Steinitzova vˇeta se dá formulovat i takto: V mnoˇzinˇe vˇsech lineárn´ıch kombinac´ı daných n vektor˚ u existuje nejvýˇse n lineárnˇe nezávislých vektor˚ u (t.j. kaˇzdých k vektor˚ u, k ≥ n, je lineárnˇe závislých). D˚ ukaz. D˚ ukaz provedeme indukc´ı podle n. n = 1 Necht’ n = 1 a necht’ u1 , u2 jsou dva (m = 2 > 1 = n) vektory takové, ˇze u1 = α1 v1 a u2 = α2 v1 , kde α1 , α2 ∈ K. Dokáˇzeme, ˇze pak u1 , u2 jsou lineárnˇe závislé, coˇz je ve sporu s pˇredpokladem. Je-li α1 = 0, pak u1 = 0, coˇz implikuje, ˇze u1 , u2 jsou lineárnˇe závislé (viz Tvrzen´ı 2.2). Je-li α1 6= 0, pak v1 = α1−1 u1 , a tedy u2 = α2 α1−1 u1, coˇz znamená, ˇze u1 , u2 jsou opˇet lineárnˇe závislé. nme indukˇcn´ı pˇredpoklad, ˇze tvrzen´ı vˇety plat´ı pro n ≥ 1. n ≥ 1 Uˇciˇ n + 1 Dokaˇzme, ˇze tvrzen´ı vˇety pak plat´ı pro n+1. Necht’ u1 , . . . , um jsou lineárnˇe nezávislé a n+1 X ∀j ∈ {1, . . . , m}, uj = αjk vk , (2.4) k=1

kde αjk ∈ K, j = 1, . . . , m, k = 1, . . . , n + 1. Potom um 6= 0, a tedy alespoˇ n jedno z ˇc´ısel αm1 , . . . , αmn+1 je r˚ uzné od nuly (protoˇze jinak by um = 0 d´ıky (2.4) s j = m). Bez u ´ jmy na obecnosti pˇredpokládejme, ˇze je to napˇr´ıklad ˇc´ıslo αmn+1 . Definujme u˜j := uj −

αjn+1 um , αmn+1

j = 1, . . . , m − 1 .

(2.5)

Potom, uˇzit´ım (2.4), n X

n X αjn+1 αjn+1 αmk vk − αmn+1 vn+1 u˜j = αjk vk + αjn+1 vn+1 − α α mn+1 mn+1 k=1 k=1 n X αjn+1 αjk − = αmk vk , αmn+1 k=1

kde druhá rovnost plyne povˇsimnut´ım si, ˇze druhý a posledn´ı ˇclen na pravé stranˇe prvn´ıho ˇrádku se navzájem vyruˇs´ı. Tedy m − 1 vektor˚ u u˜1 , . . . , u˜m−1 se dá vyjádˇrit jako lineárn´ı kombinace n vektor˚ u v1 , . . . , vn .

2. Vektory


21

Dokaˇzme, ˇze u˜1 , . . . , u˜m−1 jsou lineárnˇe nezávislé. Kdyby existovala ˇc´ısla β1 , . . . , βm−1 ∈ K taková, ˇze ne vˇsechna jsou rovna nule a zároveˇ n m−1 X

βj u˜j = 0 ,

j=1

dostali bychom, uˇzit´ım (2.5), m−1 X j=1

βj uj −

m−1 X j=1

βj

αjn+1 αmn+1

!

um = 0 ,

coˇz by znamenalo, ˇze u1 , . . . , um jsou lineárnˇe závislé, coˇz je spor. Tedy jsme právˇe dokázali, ˇze u˜1, . . . , u˜m−1 jsou skuteˇcnˇe lineárnˇe nezávislé. Podle indukˇcn´ıho pˇredpokladu (aplikovaného na m − 1 vektor˚ u u˜1, . . . , u˜m−1 a n vektor˚ u v1 , . . . , vn ) tedy máme m − 1 ≤ n. Posledn´ı nerovnost lze pˇrepsat jako m ≤ n + 1, coˇz bylo naˇs´ım c´ılem ukázat. Pouˇzijme Steinitzovu vˇetu pro d˚ ukaz (na prvn´ı pohled velice intuitivn´ıho) tvrzen´ı, ˇze kaˇzdý podprostor koneˇcnˇe dimenzionáln´ıho vektorového prostoru je koneˇcnˇe dimenzionáln´ı. Tvrzen´ı 2.4. Plat´ı tato implikace: ∀U ⊂⊂ V,

V je koneˇcnˇe dimenzionáln´ı

=⇒

U je koneˇcnˇe dimenzionáln´ı.

D˚ ukaz. Necht’ V je koneˇcnˇe dimenzionáln´ı vektorový prostor, coˇz znamená, ˇze existuj´ı vektory v1 , . . . , vn ∈ V takové, ˇze span{v1 , . . . , vn } = V. Necht’ U ⊂⊂ V je podprostor, coˇz speciálnˇe znamená, ˇze kaˇzdý vektor v U je zároveˇ n vektorem ve V. Potˇrebujeme ukázat, ˇze U je koneˇcnˇe dimenzionáln´ı. Pouˇzijeme následuj´ıc´ı v´ıcekrokový algoritmus. Krok 1 • Pokud U = {0}, pak U je zˇrejmˇe koneˇcnˇe dimenzionáln´ı a d˚ ukaz je u konce. • Pokud U 6= {0}, pak zvol´ıme nenulový vektor u1 ∈ U. Krok j ≥ 2 • Pokud U = span{u1 , . . . , uj−1}, pak U je koneˇcnˇe dimenzionáln´ı a d˚ ukaz je u konce. • Pokud U 6= span{u1 , . . . , uj−1}, pak zvol´ıme vektor uj ∈ U takový, ˇze uj 6∈ span{u1 , . . . , uj−1} . Vˇsimnˇete si, ˇze takovýto vektor je nezbytnˇe nenulový. V kaˇzdém kroku, dokud se algoritmus nezastav´ı, jsme zkonstruovali soubor nenulových vektor˚ u takových, ˇze ˇzádný vektor v tomto souboru neleˇz´ı v lineárn´ım obalu pˇredchoz´ıch vektor˚ u. Z Vˇety 2.2 plyne, ˇze u1 , . . . , uj jsou lineárnˇe nezávislé. Z Vˇety 2.3 pak plyne, ˇze poˇcet vektor˚ u v takovémto souboru nem˚ uˇze být vˇetˇs´ı neˇz poˇcet vektor˚ u generuj´ıc´ıch prostor V, tedy j ≤ n. Z toho plyne, ˇze algoritmus se mus´ı nakonec zastavit, tud´ıˇz U je koneˇcnˇe dimenzionáln´ı.

22

2.4

2. Vektory


B´ aze

V dalˇs´ım výkladu se pro jednoduchost omez´ıme na koneˇcnˇe dimenzionáln´ı vektorové prostory, tedy: V = koneˇcnˇe dimenzionáln´ı vektorový prostor nad K. Mˇejme m vektor˚ u v1 , . . . , vm , jeˇz generuj´ı vektorový prostor V, tedy span{v1 , . . . , vm } = V. Student se snadno pˇresvˇedˇc´ı o tom, ˇze lineárn´ı obal se nezmˇen´ı, pokud z nˇeho vyhod´ıme vektor, jenˇz je kombinac´ı ostatn´ıch vektor˚ u. Mezi generátory daného prostoru m˚ uˇzeme tedy hledat “minimáln´ı” generátory, tedy takové, ˇze vynecháme-li mezi nimi jediný prvek, zbylé vektory uˇz nebudou generátory. Tato u ´ vaha nás pˇrirozenˇe pˇrivád´ı k d˚ uleˇzitému pojmu báze. Definice 2.5. Vektory v1 , . . . , vm ∈ V nazveme báz´ı prostoru V, jestliˇze (i) v1 , . . . , vm jsou lineárnˇe nezávislé; (ii) span{v1 , . . . , vm } = V. Pˇr´ıleˇzitostnˇe budeme rovnˇeˇz ˇr´ıkat, ˇze vektory v1 , . . . , vm tvoˇr´ı bázi prostoru V. Pˇ r´ıklad 2.10. Vektory e1 , . . . , em z Pˇr´ıkladu 2.2 tvoˇr´ı b´ azi v Km , které ˇr´ık´ ame kanonick´ a (ˇci standardn´ı) b´ aze. ♦ Pˇ r´ıklad 2.11. Monomy p0 , . . . , pm z Pˇr´ıkladu (2.3) tvoˇr´ı b´ azi v Pm .

♦

Pˇ r´ıklad 2.12. 0 nen´ı b´ aze nulového prostoru {0}, nebot’ 0 je lineárnˇe z´ avisl´ y vektor (viz Tvrzen´ı 2.1). Nˇekdy je vˇsak zvykem uvaˇzovat prázdnou mnoˇzinu ∅ coby b´ azi {0}. ♦

Z bodu (ii) Definice 2.5 plyne ∀v ∈ V, ∃α1 , . . . , αm ∈ K,

v = α1 v1 + · · · + αm vm .

D˚ uleˇzitost báze spoˇc´ıvá v tom, ˇze tento rozklad je jednoznaˇcný. Tvrzen´ı 2.5. Necht’ v1 , . . . , vm ∈ V. Plat´ı tato ekvivalence: v1 , . . . , vm je báze ve V

⇐⇒

∀v ∈ V, ∃!α1 , . . . , αm ∈ K,

v = α1 v1 + · · · + αm vm

ˇ ısla α1 , . . . , αm se nazývaj´ı souˇradnicemi vektoru v v bázi v1 , . . . , vm . C´ D˚ ukaz. Jako obvykle dokáˇzeme ekvivalenci jakou platnost dvou implikac´ı. ⇒ Necht’ v1 , . . . , vm tvoˇr´ı bázi ve V a necht’ v ∈ V je libovolný vektor. Z bodu (ii) Definice 2.5 dostáváme existenci ˇc´ısel α1 , . . . , αm ∈ K takových, ˇze v = α1 v1 + · · · + αm vm .

2. Vektory


23

Abychom dokázali, ˇze tento rozklad je jednoznaˇcný, pˇredpokládejme, ˇze existuj´ı jeˇstˇe jiná ′ ˇc´ısla α1′ , . . . , αm ∈ K taková, ˇze ′ v = α1′ v1 + · · · + αm vm .

Odeˇcten´ım tˇechto dvou rovnic dostaneme ′ 0 = (α1 − α1′ )v1 + · · · + (αm − αm )vm .

Z této rovnosti a lineárn´ı nezávislosti vektor˚ u v1 , . . . , vm (bod (i) Definice 2.5) vˇsak dostá′ váme α1 − α1′ = · · · = αm − αm = 0. ⇐ Nyn´ı pˇredpokládejme, ˇze libovolný vektor v ∈ V lze jednoznaˇcnˇe napsat jako lineárn´ı kombinaci vektor˚ u v1 , . . . , vm . Je zˇrejmé, ˇze z toho plyne, ˇze v ∈ span{v1 , . . . , vm }. Z libovolnosti v dostáváme platnost bodu (ii) Definice 2.5. Abychom ukázali, ˇze v1 , . . . , vm jsou lineárnˇe nezávislé, pˇredpokládejme α1 v1 + · · · + αm vm = 0 , kde α1 , . . . , αm ∈ K. Avˇsak z jednoznaˇcnosti rozkladu aplikovaného na nulový vektor (v = 0) dostáváme α1 = · · · = αm = 0. Tedy v1 , . . . , vm jsou lineárnˇe nezávislé a dostáváme bod (i) Definice 2.5. Vektory generuj´ıc´ı prostor V nemus´ı tvoˇrit bázi, ponˇevadˇz nejsou lineárnˇe nezávislé. Následuj´ıc´ı tvrzen´ı nám ˇr´ıká, ˇze vyjmut´ım nˇekterých z tˇechto vektor˚ u doc´ıl´ıme lineárn´ı nezávislosti zat´ımco zbývaj´ıc´ı budou stále generátory prostoru V. D˚ ukaz nám dokonce poskytuje konstrukˇcn´ı algoritmus, jak postupovat. Tvrzen´ı 2.6 (Z´ uˇzen´ı vektor˚ u na bázi). Necht’ v1 , . . . , vm ∈ V splˇ nuj´ı span{v1 , . . . , vm } = V. Potom existuj´ı indexy 1 ≤ k1 < k2 < · · · < kp ≤ m takové, ˇze vybrané vektory vk1 , . . . , vkp tvoˇr´ı bázi ve V. D˚ ukaz. K d˚ ukazu pouˇzijeme následuj´ıc´ı v´ıcekrokový algoritmus. Zaˇcneme s volbou souboru (uspoˇrádané m-tice) vektor˚ u B := (v1 , . . . , vm ). Krok 1 • Pokud v1 = 0, vyjmeme v1 z B. • Pokud v1 6= 0, ponecháme soubor B netknutý. Krok j ≥ 2 • Pokud vj ∈ span{v1 , . . . , vj−1 }, vyjmeme vj z B. • Pokud vj 6∈ span{v1 , . . . , vj−1 }, ponecháme soubor B netknutý. Zastavme algoritmus po m-tém kroku, ˇc´ımˇz z´ıskáme (potenciálnˇe zmˇenˇený) soubor B, jehoˇz prvky si m˚ uˇzeme oznaˇcit (vk1 , . . . , vkp ). Stále plat´ı span{vk1 , . . . , vkp } = V, jelikoˇz jsme vyjmuli pouze prvky, jeˇz uˇz byly v lineárn´ım obalu pˇredeˇslých prvk˚ u. Algoritmus zaruˇcuje, ˇze ˇzádný z vektor˚ u vk1 , . . . , vkp neleˇz´ı v lineárn´ım obalu tˇech pˇredeˇslých. Tedy vektory vk1 , . . . , vkp jsou lineárnˇe nezávislé d´ıky Vˇetˇe 2.2.

24

2. Vektory


D˚ usledkem tohoto tvrzen´ı je následuj´ıc´ı, d˚ uleˇzitá vˇeta. Pˇripom´ınáme, ˇze jsme se omezili na koneˇcnˇe dimenzionáln´ı vektorové prostory, nicménˇe tvrzen´ı (se zobecnˇenou definic´ı báze a modifikovaným d˚ ukazem) plat´ı v plné obecnosti. Vˇ eta 2.4. V kaˇzdém vektorovém prostoru existuje báze.

D˚ ukaz. Podle definice koneˇcnˇe dimenzionáln´ıho prostoru, ve vektorovém prostoru V existuj´ı vektory v1 , . . . , vm , jeˇz ho generuj´ı, tedy span{v1 , . . . , vm } = V. Tvrzen´ı 2.6 nám ˇr´ıká, ˇze z tˇechto vektor˚ u lze vybrat bázi. Dalˇs´ı výsledek je v jistém smyslu duáln´ı k Tvrzen´ı 2.6. Tvrzen´ı 2.7 (Rozˇs´ıˇren´ı vektor˚ u na bázi). Necht’ v1 , . . . , vm ∈ V jsou lineárnˇe nezávislé. Pokud v1 , . . . , vm netvoˇr´ı bázi ve V, potom existuj´ı vektory vm+1 , . . . , vm+p ∈ V takové, ˇze rozˇs´ıˇrené vektory v1 , . . . , vm , vm+1 , . . . , vm+p tvoˇr´ı bázi ve V.

D˚ ukaz. K d˚ ukazu opˇet pouˇzijeme v´ıcekrokový algoritmus. Necht’ w1 , . . . , wn ∈ V jsou libovolné vektory splˇ nuj´ıc´ı span{w1 , . . . , wn } = V. Krok 1 • Pokud w1 ∈ span{v1 , . . . , vm }, definujeme B := {v1 , . . . , vm }. • Pokud w1 6∈ span{v1 , . . . , vm }, definujeme B := {v1 , . . . , vm , w1}. Krok j ≥ 2 • Pokud wj ∈ span B, ponecháme definici B beze zmˇeny. • Pokud wj 6∈ span B, rozˇs´ıˇr´ıme mnoˇzinu B dodán´ım prvku wj (tedy “B := B ∪ {wj }”). Po kaˇzdém kroku je mnoˇzina B tvoˇrena lineárnˇe nezávislými vektory, a to d´ıky Vˇetˇe 2.2. Po kroku n jsme si jisti, ˇze vˇsechny vektory w1 , . . . , wn leˇz´ı v span B. Tedy pro mnoˇzinu vektor˚ u B, kterou z´ıskáme po kroku n, plat´ı span B = V a jej´ı prvky tud´ıˇz tvoˇr´ı bázi ve V. Vˇsimnˇete si, ˇze Tvrzen´ı 2.7 lze pouˇz´ıt k alternativn´ımu d˚ ukazu Vˇety 2.4, zaˇcneme-li rozˇsiˇrovat prázdnou mnoˇzinu vektor˚ u ∅ (jeˇz je podle definice lineárnˇe nezávislá).

2.5

Dimenze

Mluv´ıme o koneˇcnˇe dimenzionáln´ıch prostorech, aniˇz bychom zat´ım pojem dimenze definovali. Jak tento pojem zavést? Jsme svádˇeni k tomu, ˇze dimenze prostoru bude dána poˇctem prvk˚ u báze (viz m prvk˚ u kanonické báze e1 , . . . , em prostoru Km ). Avˇsak ve vektorovém prostoru m˚ uˇze existovat v´ıce báz´ı a zat´ım nám nic nezaruˇcuje, ˇze vˇsechny obsahuj´ı stejný poˇcet prvk˚ u, takˇze takovýto pojem dimenze by nemusel být dobˇre definovaný. Následuj´ıc´ı vˇeta tento problém naˇstˇest´ı ˇreˇs´ı.


2. Vektory

25

Vˇ eta 2.5. Libovolné dvˇe báze vektorového prostoru maj´ı stejný poˇcet prvk˚ u.

D˚ ukaz. Právˇe kv˚ uli této vˇetˇe jsme si dokázali Steinitzovu vˇetu (Vˇeta 2.3). Necht’ v1 , . . . , vm a w1 , . . . , wn jsou dvˇe báze prostoru V. Ponˇevadˇz vektory v1 , . . . , vm jsou lineárnˇe nezávislé a span{w1 , . . . , wn } = V, máme m ≤ n. Naopak, ponˇevadˇz vektory w1 , . . . , wn jsou lineárnˇe nezávislé a span{v1 , . . . , vm } = V, máme n ≤ m. Tud´ıˇz m = n. S pˇredchoz´ı vˇetou má následuj´ıc´ı, intuitivn´ı definice dobrý smysl. Definice 2.6. Dimenze vektorového prostoru V je poˇcet prvk˚ u báze, jenˇz oznaˇcujeme symbolem dim V. Vˇsimnˇete si, ˇze dimenze je celé nezáporné ˇc´ıslo n ∈ N. Pokud dim V = n, budeme ˇr´ıkat, ˇze V má dimenzi n nebo ˇze V je n-dimenzionáln´ı. Pˇ r´ıklad 2.13. Protoˇze b´ az´ı nulového prostoru {0} je prázdn´ a mnoˇzina, máme dim{0} = 0.

♦

Pˇ r´ıklad 2.14. dim Km = m. Speci´ alnˇe máme dim R2 = 2 a dim C = 1. Toto je na prvn´ı pohled matouc´ı, ponˇevadˇz R2 a C coby mnoˇziny je zvykem identifikovat. K osvˇetlen´ı tohoto schizmatu pom˚ uˇze pˇripomenout, ˇze R2 ch´ apeme jako reáln´ y vektorov´ y prostor a C ch´ apeme jako komplexn´ı vektorov´ y prostor. Kdybychom C ch´ apali jako reáln´ y vektorov´ y prostor (viz Pˇr´ıklad 1.2), mˇeli bychom dim C = 2. Tedy je vˇzdy d˚ uleˇzité specifikovat, nad kter´ ym ˇc´ıslen´ ym tˇelesem pracujeme. ♦ Pˇ r´ıklad 2.15. dim Pm = m + 1.

♦

Abychom ovˇeˇrili, ˇze nˇejaké vektory tvoˇr´ı bázi ve vektorovém prostoru V, mus´ıme podle Definice 2.5 ovˇeˇrit dvˇe vˇeci: vektory jsou lineárnˇe nezávislé a generuj´ı prostor V. Následuj´ıc´ı tvrzen´ı ˇr´ıká, ˇze v pˇr´ıpadˇe, ˇze máme ten správný poˇcet vektor˚ u, staˇc´ı ovˇeˇrit pouze jednu z tˇechto vlastnost´ı. To je uˇziteˇcné v praktických výpoˇctech. Tvrzen´ı 2.8. Necht’ V je n-dimenzionáln´ı vektorový prostor. Plat´ı tyto ekvivalence: v1 , . . . , vn tvoˇr´ı bázi ve V

⇐⇒ ⇐⇒

v1 , . . . , vn jsou lineárnˇe nezávislé span{v1 , . . . , vn } = V.

D˚ ukaz. Pokud v1 , . . . , vn tvoˇr´ı bázi ve V, jsou lineárnˇe nezávislé a generuj´ı V. Zbývá tedy dokázat pouze obrácené implikace. Pokud vektory v1 , . . . , vn jsou lineárnˇe nezávislé a netvoˇr´ı bázi, m˚ uˇzeme je rozˇs´ıˇrit na bázi pˇridán´ım p vektor˚ u, d´ıky Tvrzen´ı 2.7. Avˇsak kaˇzdá báze má n prvk˚ u, tedy toto rozˇs´ıˇren´ı mus´ı být triviáln´ı (ve smyslu p = 0, tedy nic nen´ı pˇridáno), tedy uˇz vektory v1 , . . . , vn tvoˇr´ı bázi.

26

2. Vektory


Pokud vektory v1 , . . . , vn generuj´ı V, potom z nich m˚ uˇzeme vybrat vektory vk1 , . . . , vkp , jeˇz tvoˇr´ı bázi ve V, d´ıky Tvrzen´ı 2.6. Avˇsak kaˇzdá báze má n prvk˚ u, tedy toto vybrán´ı mus´ı být triviáln´ı (ve smyslu kj = j pro vˇsechna j = 1, . . . , n, tedy nic nen´ı odebráno), tedy uˇz vektory v1 , . . . , vn tvoˇr´ı bázi.

2.6

Dimenze a podprostory

Kaˇzdý podprostor koneˇcnˇe dimenzionáln´ıho vektorového prostoru je koneˇcnˇe dimenzionáln´ı (Tvrzen´ı 2.4), tud´ıˇz má dimenzi. Následuj´ıc´ı výsledek dává oˇcekávanou nerovnost. Tvrzen´ı 2.9. U ⊂⊂ V

=⇒

dim U ≤ dim V.

D˚ ukaz. Jakákoli báze prostoru U je dána lineárnˇe nezávislými vektory ve V, a tak je lze doplnit na bázi ve V d´ıky Tvrzen´ı 2.7. Tud´ıˇz poˇcet vektor˚ u báze U je menˇs´ı nebo rovno poˇctu vektor˚ u báze V. Na závˇer se budeme zabývat vztahem mezi dimenz´ı a souˇctem podprostor˚ u. Vˇ eta 2.6. Necht’ U1 , U2 ⊂⊂ V. Pak plat´ı tyto identity: (i) dim(U1 + U2 ) = dim U1 + dim U2 − dim(U1 ∩ U2 ) . (ii) dim(U1 ⊕ U2 ) = dim U1 + dim U2 . D˚ ukaz. Druhé tvrzen´ı je pˇr´ımým d˚ usledkem prvn´ıho a Vˇety 1.3. Zbývá tedy dokázat prvn´ı tvrzen´ı. Necht’ u1 , . . . , um je báze U1 ∩U2 (pˇresvˇedˇcte se o tom, ˇze pr˚ unik podprostor˚ u je podprostor); tedy dim(U1 ∩ U2 ) = m. Ponˇevadˇz u1 , . . . , um je báze U1 ∩ U2 , jedná se o lineárnˇe nezávislé vektory v U1 , a m˚ uˇzeme je tud´ıˇz rozˇs´ıˇrit o nˇejaké vektory v1 , . . . , vj na bázi U1 (Tvrzen´ı 2.7). Tedy u1, . . . , um , v1 , . . . , vj je báze podprostoru U1 a máme dim U1 = m + j. Stejným zp˚ usobem rozˇs´ıˇr´ıme vektory u1 , . . . , um na bázi u1 , . . . , um , w1, . . . , wk podprostoru U2 ; tedy dim U2 = m + k. Ukáˇzeme, ˇze u1 , . . . , um , v1 , . . . , vj , w1 , . . . , wk je báze souˇctu U1 + U2 . Tento výsledek bude znamenat konec d˚ ukazu, ponˇevadˇz pak dim(U1 + U2 ) = m + j + k = (m + j) + (m + k) − m = dim U1 + dim U2 − dim(U1 ∩ U2 ) . Je zˇrejmé, ˇze span{u1 , . . . , um , v1 , . . . , vj , w1 , . . . , wk } ⊃ U1 + U1 , ponˇevadˇz tento lineárn´ı obal obsahuje kaˇzdý z podprostor˚ u U1 a U2 zvláˇst’. Opaˇcná inkluze rovnˇeˇz plat´ı, jak se snadno pˇresvˇedˇc´ıme z definice lineárn´ıho obalu a souˇctu podprostor˚ u. Zbývá tedy ukázat, ˇze vektory u1 , . . . , um, v1 , . . . , vj , w1 , . . . , wk jsou lineárnˇe nezávislé. Za t´ımto u ´ˇcelem, pˇredpokládejme rovnost α1 u1 + · · · + αum + β1 v1 + · · · + βj vj + γ1 w1 + · · · + γk wk = 0 ,

(2.6)

2. Vektory


27

kde α1 , . . . , αm , β1 , . . . , βj , γ1 , . . . , γk ∈ K; chceme ukázat, ˇze vˇsechna tato ˇc´ısla jsou pak rovna nule. Pˇrepiˇsme rovnost t´ımto zp˚ usobem γ1 w1 + · · · + γk wk = −α1 u1 − · · · − αum − β1 v1 − · · · − βj vj ∈ U1 , coˇz ukazuje, ˇze γ1 w1 + · · ·+ γk wk ∈ U1 . Ve skuteˇcnosti γ1 w1 + · · ·+ γk wk ∈ U1 ∩U2 , ponˇevadˇz vˇsechny vektory w1 , . . . , wk leˇz´ı v U2 . Jelikoˇz u1, . . . , um je báze U1 ∩ U2 , m˚ uˇzeme psát γ1 w1 + · · · + γk wk = δ1 u1 + · · · + δm um , kde δ1 , . . . , δm ∈ K. Avˇsak u1 , . . . , um , w1 , . . . , wk jsou lineárnˇe nezávislé, tud´ıˇz vˇsechna ˇc´ısla γ (a δ) jsou rovna nule. Rovnost (2.6) se tedy zjednoduˇs´ı na α1 u1 + · · · + αum + β1 v1 + · · · + βj vj = 0 , odkud okamˇzitˇe plyne, ˇze vˇsechna ˇc´ısla α a β jsou rovna nule, protoˇze u1 , . . . , um , v1 , . . . , vj jsou lineárnˇe nezávislé. Tedy jsem dokázali, ˇze vˇsechna ˇc´ısla α, β a γ jsou rovna nule coby d˚ usledek pˇredpokladu (2.6), coˇz bylo naˇs´ım c´ılem ukázat. Z pˇredchoz´ı vˇety vid´ıme, ˇze dimenze a direktn´ı souˇcet “jsou kamarádi”. Pˇredstavme uˇziteˇcné kritérium pro direktn´ı souˇcet podprostor˚ u. Tvrzen´ı 2.10. Necht’ U1 , . . . , Um ⊂⊂ V. Pak plat´ı tato ekvivalence: ( (i) V = U1 + · · · + Um ; V = U1 ⊕ · · · ⊕ Um ⇐⇒ (ii) dim V = dim U1 + · · · + dim Um .

D˚ ukaz. Implikace ⇒ je triviáln´ı (uˇzit´ım toho, ˇze direktn´ı souˇcet podprostor˚ u je automaticky souˇcet podprostor˚ u, a Vˇety 2.6(ii)). Zbývá tedy dokázat implikaci ⇐ . Zvolme bázi pro kaˇzdý z podprostor˚ u Uj , j = 1, . . . , m. Dáme-li tyto báze dohromady, zjist´ıme, ˇze výsledný soubor obsahuje dim V vektor˚ u (d´ıky vlastnosti (ii)), jeˇz generuj´ı prostor V (d´ıky vlastnosti (i)). Uˇzit´ım Tvrzen´ı 2.8 vid´ıme, ˇze tento výsledný soubor vektor˚ u tvoˇr´ı bázi prostoru V. Speciálnˇe v´ıme, ˇze vektory v nˇem obsaˇzené jsou lineárnˇe nezávislé. Nyn´ı pˇredpokládejme, ˇze u1 ∈ U1 , . . . , um ∈ Um jsou takové, ˇze 0 = u1 + · · · + um . Vyjádˇren´ım kaˇzdého z vektor˚ u uj jako lineárn´ı kombinaci vektor˚ u báze Uj zvolené výˇse, dostaneme rozklad nulového vektoru do vektor˚ u báze. Tedy vˇsechna ˇc´ısla vystupuj´ıc´ı v tomto rozkladu mus´ı být rovna nule, v d˚ usledku ˇcehoˇz uj = 0 pro vˇsechna j = 1, . . . , m. Uˇzit´ım Vˇety 1.2 dostáváme poˇzadovaný výsledek V = U1 ⊕ · · · ⊕ Um . Následuj´ıc´ı vˇeta ˇr´ıká, ˇze kaˇzdý podprostor vektorového prostoru má doplnˇek. (Analogické tvrzen´ı plat´ı i v nekoneˇcnˇe dimenzionáln´ıch prostorech.) Vˇ eta 2.7. Necht’ U ⊂⊂ V, kde dim V =: m + n a dim U =: m. Potom ∃W ⊂⊂ V,

dim W = n

∧

V = U⊕W.

28

2. Vektory


D˚ ukaz. Necht’ u1 , . . . , um je báze podprostoru U. Ponˇevadˇz se speciálnˇe jedná o lineárnˇe nezávislé vektory, m˚ uˇzeme je podle Tvrzen´ı 2.7 rozˇs´ıˇrit o nˇejaké vektory w1 , . . . , wn na bázi V. Tedy u1 , . . . , um , w1 , . . . , wn je báze V. Definujme W := span{w1 , . . . , wn }. Zjevnˇe plat´ı W ⊂⊂ V a dim W = m. Zbývá ukázat, ˇze V = U ⊕ W. K tomu pouˇzijeme Vˇetu 1.3, podle které je potˇreba ukázat, ˇze V=U+W a U ∩ W = {0} . K d˚ ukazu prvn´ıho tvrzen´ı si vezmˇeme libovolný vektor v ∈ V. Ponˇevadˇz plat´ı rovnost span{u1 , . . . , um, w1 , . . . , wn } = V, existuj´ı ˇc´ısla α1 , . . . , αm , β1 , . . . , βn ∈ K taková, ˇze v = α1 u1 + · · · + αm um + β1 v1 + · · · + βn vn , {z } | | {z } u∈U

w∈W

z ˇcehoˇz vid´ıme platnost V = U + W.

K d˚ ukazu tvrzen´ı U ∩ W = {0} si vezmˇeme libovolný vektor v ∈ U ∩ W. Pak existuj´ı ˇc´ısla α1 , . . . , αm , β1 , . . . , βn ∈ K taková, ˇze v = α1 u1 + · · · + αm um = β1 v1 + · · · + βn vn . Z toho dostáváme rovnost α1 u1 + · · · + αm um − β1 v1 − · · · − βn vn = 0 . Ponˇevadˇz vektory u1 , . . . , um, w1 , . . . , wn jsou lineárnˇe nezávislé, z posledn´ı rovnosti plyne, ˇze vˇsechna ˇc´ısla α a β jsou nezbytnˇe nulová. Pak vˇsak v = 0, coˇz bylo naˇs´ım c´ılem ukázat.

2. Vektory


2.7

29

Cviˇ cen´ı

1. Uvaˇzujme vektorový prostor R2 a v nˇem vektory v1 := ( 10 ) ,

v2 := ( 11 ) ,

v3 := ( 01 ) .

(a) Rozhodnˇete, zda vektor v1 je lineárn´ı kombinac´ı vektoru v2 . (b) Rozhodnˇete, zda vektor v1 je lineárn´ı kombinac´ı vektor˚ u v2 a v3 . Interpretujte geometricky. [(a) Ne. (b) Ano. (v1 = v2 − v3 )] 2. Uvaˇzujme vektorový prostor K3 a v nˇem vektory 1 7 2 , v2 := 0 , v1 := 1

9

v3 :=

2 1 3

.

Rozhodnˇete, zda vektor v1 je lineárn´ı kombinac´ı vektor˚ u v2 a v3 . [Ano. (v1 = 3v2 + 2v3 )]

3. Naleznˇete hodnoty parametru t ∈ R takové, aby vektory 2 3 5 −3 , 1 , 9 , 4

5

t

nebyly lineárnˇe nezávislé v R3 .

[t = 2] 4. Ukaˇzte, ˇze plat´ı tato implikace: span{v1 , v2 , . . . , vm−1 , vm } = V =⇒

span{v1 − v2 , v2 − v3 , . . . , vm−1 − vm , vm } = V .

5. Ukaˇzte, ˇze plat´ı tato implikace: v1 , v2 , . . . , vm−1 , vm jsou lineárnˇe nezávislé =⇒ v1 − v2 , v2 − v3 , . . . , vm−1 − vm , vm

jsou lineárnˇe nezávislé .

6. Necht’ v1 , . . . , vm ∈ V jsou lineárnˇe nezávislé a w ∈ V. Ukaˇzte, ˇze plat´ı tato implikace: v1 + w, . . . , vm + w

jsou lineárnˇe závislé

=⇒

w = span{v1 , . . . , vm } .

7. Dokaˇzte, nebo dejte protipˇr´ıklad: v1 , . . . , vm

jsou lineárnˇe nezávislé =⇒ 5v1 − 4v2 , v2 , . . . , vm

[Tvrzen´ı plat´ı.]


30

2. Vektory


8. Dokaˇzte, nebo dejte protipˇr´ıklad: v1 , . . . , vm

jsou lineárnˇe nezávislé =⇒ ∀λ ∈ K \ {0},

λv1 , λv2 , . . . , λvm


[Tvrzen´ı plat´ı.] 9. Ukaˇzte, ˇze vektory v1 := ( 12 ) ,

v2 := ( 35 ) ,

tvoˇr´ı bázi v prostoru K2 . 10. Ve vektorovém prostoru K2 uvaˇzujme vektory v1 := ( 12 ) ,

v2 := ( 36 ) ,

v3 := ( 47 ) ,

v4 := ( 59 ) .

(a) Ukaˇzte, ˇze span{v1 , v2 , v3 , v4 } = K2 . (b) Pouˇzijte algoritmus d˚ ukazu Tvrzen´ı 2.6 pro z´ uˇzen´ı vektor˚ u v1 , v2 , v3 , v4 na bázi. [v1 , v3 ] 11. Uvaˇzujme podprostor v R5 definovaný pˇredpisem x 1 x2 5 ∈ R : x1 = 3x2 ∧ x3 = 7x4 . U := x3 x4

Najdˇete v U bázi. 3 0 [ 10 , 07 ] 0

1

12. Necht’ dim V = m. Ukaˇzte, ˇze existuj´ı jednodimenzionáln´ı podprostory U1 , . . . , Um ⊂⊂ V splˇ nuj´ıc´ı V = U1 ⊕ · · · ⊕ Um . [Uj = span{uj }, j = 1, . . . , m, kde u1 , . . . , um je báze ve V.] 13. Dokaˇzte následuj´ıc´ı implikaci: (U ⊂⊂ V

∧

dim U = dim V)

=⇒

U = V.

[Plyne z Vˇety 2.7 (V = U ⊕ {0} = U).]

14. Necht’ U, W ⊂⊂ R8 . Dokaˇzte následuj´ıc´ı implikaci dim U = 3 ∧ dim W = 5 ∧ U + W = R8 [Plyne z Vˇety 2.6.]

=⇒

U ∩ W = {0} .

3. Lineárn´ı zobrazen´ı


3

31

Line´ arn´ı zobrazen´ı

Doposud jsme se soustˇredili na vektorové prostory a jejich prvky. Na nich v podstatˇe nen´ı nic moc vzruˇsuj´ıc´ıho. Zaj´ımavá ˇcást lineárn´ı algebry zaˇc´ıná aˇz s objekty, kterými se budeme zabývat právˇe nyn´ı: lineárn´ımi zobrazen´ımi (ˇci transformacemi ˇci operátory). Pˇripomeˇ nme naˇse sjednocuj´ıc´ı znaˇcen´ı K pro ˇc´ıselné tˇeleso R nebo C. Pˇripomeˇ nme rovnˇeˇz, ˇze V znaˇc´ı libovolný koneˇcnˇe dimenzionáln´ı vektorový prostor nad K. V této kapitolce se budeme ˇcasto setkávat jeˇstˇe s jiným prostorem, který budeme obvykle znaˇcit W, tedy: W = koneˇcnˇe dimenzionáln´ı vektorový prostor nad K.

3.1

Definice a pˇ r´ıklady

Definice 3.1. Lineárn´ı zobrazen´ı z V do W je zobrazen´ı T : V → W splˇ nuj´ıc´ı tyto vlastnosti: (1) ∀u, v ∈ V, (2) ∀α ∈ K,

T (u + v) = T (u) + T (v); v ∈ V,

T (αv) = αT (v).

(aditivita) (homogenita)

Vˇsimnˇete si, ˇze v této definici pouˇz´ıváme standardn´ı funkcionáln´ı znaˇcen´ı T (v) pro funkˇcn´ı hodnotu zobrazen´ı T v bodˇe v. Nadále budeme pouˇz´ıvat i zjednoduˇsuj´ıc´ı znaˇcen´ı T v. Lineárn´ı zobrazen´ı se téˇz alternativnˇe nazývá lineárn´ı transformace nebo lineárn´ı operátor. Mnoˇzinu vˇsech lineárn´ıch zobrazen´ı z vektorového prostoru V do W budeme znaˇcit L (V, W) . Pokud W = V, budeme zkracovat L (V, V) =: L (V). Pod´ıvejme se nyn´ı na nˇekteré pˇr´ıklady lineárn´ıch zobrazen´ı. Ovˇeˇrte si, ˇze vˇsechny ty funkce definované n´ıˇze jsou skuteˇcnˇe lineárn´ı zobrazen´ı. Pˇ r´ıklad 3.1 (Nula). K tˇem vˇsem v´ yznam˚ um, které jsme pˇriˇradili znaˇcen´ı 0 (ˇc´ıslo nula, nulov´ y vektor) nyn´ı dod´ ame jeˇstˇe dalˇs´ı. Bude se jednat o nulové zobrazen´ı, jeˇz pˇriˇrad´ı libovolnému vektoru z prostoru V nulov´ y vektor z prostoru W: 0 : V → W : {v 7→ 0} . Z kontextu by mˇelo b´ yt vˇzdy zˇrejmé, o jak´ y z mnoha v´ yznam˚ u symbolu 0 se jedná.

♦

Pˇ r´ıklad 3.2 (Identita). Identické zobrazen´ı vektorového prostoru V na V je lineárn´ı zobrazen´ı I, jeˇz pˇriˇrad´ı libovolnému vektoru ten sam´ y vektor: I : V → V : {v 7→ v} . Vˇsimnˇete si, ˇze identické zobrazen´ı definujeme pouze jako zobrazen´ı z vektorového prostoru do toho samého prostoru. ♦ Pˇ r´ıklad 3.3 (Derivace). Na prostoru vˇsech reáln´ ych polynom˚ u definujme zobrazen´ı D : P∞ → P∞ : {p 7→ p′ } .

32



Tvrzen´ı, ˇze se skuteˇcnˇe jedná o lineárn´ı zobrazen´ı, je vlastnˇe jen pouˇzit´ı dobˇre znám´ ych v´ ysledk˚ u z anal´ yzy, ˇze derivace souˇctu diferencovateln´ ych funkc´ı (coˇz polynomy jsou) je souˇcet derivac´ı a derivace diferencovatelné funkce pˇren´ asobené ˇc´ıslem je derivace funkce kr´ at to ˇc´ıslo. ♦ Pˇ r´ıklad 3.4 (Integrace). Rovnˇeˇz pˇreintegrován´ı polynomu na prostoru vˇsech reáln´ ych polynom˚ u definuje lineárn´ı zobrazen´ı: Z 1 T : P∞ → P∞ : p 7→ p(x) dx . 0

Tvrzen´ı, ˇze takovéto zobrazen´ı je skuteˇcnˇe lineárn´ı, je opˇet jen pouˇzit´ı dobˇre znám´ ych v´ ysledk˚ u z anal´ yzy, ˇze (Riemann˚ uv) integrál souˇctu dvou spojit´ ych funkc´ı (coˇz polynomy jsou) je souˇcet integrál˚ u a integrál spojité funkce pˇren´ asobené ˇc´ıslem je integrál funkce kr´ at to ˇc´ıslo. ♦ Pˇ r´ıklad 3.5 (Násoben´ı polynomem). Jako speci´ aln´ı pˇr´ıpad uvaˇzujme pˇren´ asoben´ı kvadratick´ ym monomem p2 (x) := x2 (viz Pˇr´ıklad 2.3 pro znaˇcen´ı monom˚ u): Mp2 : P∞ → P∞ : {p 7→ p2 p} ,

kde

(p2 p)(x) := p2 (x)p(x) .

Dobˇre si rozmyslete, ˇze zde se skuteˇcnˇe jedná o lineárn´ı zobrazen´ı, i kdyˇz kvadratická funkce p2 : R → R : {x 7→ x2 } lineárn´ı samozˇrejmˇe nen´ı. ♦ Pˇ r´ıklad 3.6 (Eukleidovské transformace). Jako v u ´vodu, uvaˇzujme transformaci mezi prostory Kn a Km (v pˇr´ıpadˇe K = R se jedná o eukleidovské prostory) difinovanou pˇredpisem       ( x1 a11 x1 + · · · + a1n xn y1 )  ..     . .  n m .. (3.1) T : K → K :  .  7→   =:  ..  , xn | {z } x

am1 x1 + · · · + amn xn

ym | {z } y

kde aij ∈ K, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n, jsou daná ˇc´ısla. Lze snadno ovˇeˇrit, ˇze se jedná o lineárn´ı zobrazen´ı. V pˇr´ıpadˇe eukleidovského prostoru (K = R) lze takov´ ymto zp˚ usobem napˇr´ıklad zapsat rotaci. Pozor! Posunut´ı v eukleidovském prostoru nen´ı lineárn´ı zobrazen´ı (kromˇe triviáln´ıho pˇr´ıpadu identity). To plyne z toho, ˇze (obecnˇeji) zobrazen´ı pˇriˇrazuj´ıc´ı libovolnému vektoru fixn´ı vektor:     β1    x1   ..   ..  n m B : K → K :  .  7→  .  , (3.2)     xn βm

kde βi ∈ K, i = 1, . . . , m, jsou daná ˇc´ısla (nez´ avislá na souˇradnic´ıch vektoru v), nen´ı lineárn´ı (kromˇe triviáln´ıho pˇr´ıpadu β1 = · · · = βm = 0). ♦ Pˇ r´ıklad 3.7 (Zobrazen´ı definované pomoc´ı b´ aze). Necht’ v1 , . . . , vn je b´ aze vektorového prostoru V a necht’ w1 , . . . , wn jsou libovolné vektory z prostoru W. Potom zobrazen´ı definované takov´ ymto zp˚ usobem T : V → W : α1 v1 + · · · + αn vn 7→ α1 w1 + · · · + αn wn ,

kde α1 , . . . , αn ∈ K jsou libovoln´ a daná ˇc´ısla, je lineárn´ı. Ponˇevadˇz v1 , . . . , vn je b´ aze, libovoln´ y vektor v z prostoru V lze zapsat ve tvaru v = α1 v1 + · · · + αn vn , a tud´ıˇz T je dobˇre definované (na celém prostoru V). Vˇsimnˇete si, ˇze ˇc´ısla α1 , . . . , αn z rozkladu v = α1 v1 + · · · + αn vn (souˇradnice vektoru v v b´ azi v1 , . . . , vn ) z´ avisej´ı na volbˇe vektoru v. ♦



3.2

33

Operace se zobrazen´ımi

Nyn´ı definujeme dvˇe základn´ı operace na mnoˇzinˇe lineárn´ıch zobrazen´ı L (V, W). Souˇcet dvou zobrazen´ı S, T ∈ L (V, W) definujeme (jak bývá zvykem) pˇres souˇcet funkˇcn´ıch hodnot: S + T : V → W : {v 7→ Sv + T v} . Mˇeli byste si ovˇeˇrit, ˇze skuteˇcnˇe S + T ∈ L (V, W). Obdobnˇe, pˇrenásoben´ı zobrazen´ı T ∈ L (V, W) ˇc´ıslem α ∈ K definujeme (jako obvykle) pˇredpisem αT : V → W : {v 7→ α(T v)} . Opˇet byste si mˇeli ovˇeˇrit, ˇze αT ∈ L (V, W). S takto definovanými operacemi (a s nulovým zobrazen´ım definovaným v Pˇr´ıkladu 3.1) se lze lehce pˇresvˇedˇcit o pravdivosti následuj´ıc´ıho tvrzen´ı. Tvrzen´ı 3.1. L (V, W) je vektorový prostor nad K. Obecnˇe nemá smysl násobit prvky vektorového prostoru mezi sebou. Avˇsak pro jisté páry lineárn´ıch zobrazen´ı smysluplné násoben´ı existuje. K prostor˚ um V a W uvaˇzujme jeˇstˇe nˇejaký ’ tˇret´ı vektorový prostor U nad K. Necht T ∈ L (U, V) a S ∈ L (V, W). Pak definujeme sloˇzené zobrazen´ı ST : U → W : {v 7→ S(T v)} . (Nˇekdy bývá zvykem psát S ◦T , avˇsak pro lineárn´ı zobrazen´ı se krouˇzek obvykle vynechává.) Mˇeli byste si ovˇeˇrit, ˇze skuteˇcnˇe ST ∈ L (U, W). Budeme téˇz ˇr´ıkat, ˇze sloˇzené zobrazen´ı ST je souˇcin zobrazen´ı S a T . Sloˇzené zobrazen´ı splˇ nuje vˇetˇsinu vlastnost´ı souˇcinu. Tvrzen´ı 3.2. Pro skládán´ı lineárn´ıch zobrazen´ı plat´ı tyto vztahy: (i) (T1 T2 )T3 = T1 (T2 T3 ),

(asociativita)

kde T1 ∈ L (V1 , V2 ), T2 ∈ L (V2 , V3 ), T3 ∈ L (V3 , V4 ) a V1 , V2 , V3 , V4 jsou vektorové prostory. (identita)

(ii) T I = IT = T ,

kde T ∈ L (V, W), prvn´ı I znaˇc´ı identitu na V a druhé I znaˇc´ı identitu na W. (iii) (S1 + S2 )T = S1 T + S2 T a S(T1 + T2 ) = ST1 + ST2 ,

(distributivita)

kde T, T1 , T2 ∈ L (U, V) a S, S1 , S2 ∈ L (V, W). Avˇsak skládán´ı zobrazen´ı nen´ı komutativn´ı! Pˇred uveden´ım pˇr´ıkladu si definujme jeˇstˇe jednu operaci na vektorovém prostoru lineárn´ıch zobrazen´ı. Komutátor zobrazen´ı S, T ∈ L (V) definujeme pˇredpisem: [S, T ] : V → V : {v 7→ (ST )v − (T S)v} . Pˇresvˇedˇcte se, ˇze [S, T ] ∈ L (V).

34



asoben´ı kvadratickou funkc´ı Pˇ r´ıklad 3.8. Necht’ D je oper´ ator derivace z Pˇr´ıkladu 3.3 a Mp2 operátor n´ z Pˇr´ıkladu 3.5. Pak avˇsak (DTp2 )p (x) = x2 p′ (x) + 2xp(x) , (Mp2 D)p (x) = x2 p′ (x) , kde p ∈ P∞ a x ∈ R. Tedy

([Tf , D]p)(x) = −2xp(x) ,

coˇz nen´ı rovno nule coby rovnost na prostoru polynom˚ u P∞ .

3.3

♦

J´ adro a injektivita

Pod´ıvejme se na d˚ uleˇzitou podmnoˇzinu výchoz´ıho prostoru lineárn´ıho zobrazen´ı. Definice 3.2. Jádro lineárn´ıho zobrazen´ı T : V → W je podmnoˇzina výchoz´ıho prostoru definovaná pˇredpisem ker T := {v ∈ V : T v = 0} . Pouˇz´ıváme znaˇcen´ı “ker”, jeˇz pocház´ı z anglického “kernel”. Jin´ı autoˇri pouˇz´ıvaj´ı “null” nebo “N(·)” z anglického “null space”. Zaˇcnˇeme s nˇekolika základn´ımi pˇr´ıklady. Pˇ r´ıklad 3.9. Pro nulové zobrazen´ı 0 : V → W z Pˇr´ıkladu 3.1 zˇrejmˇe máme ker 0 = V . ♦ Pˇ r´ıklad 3.10. Pro identické zobrazen´ı I : V → V z Pˇr´ıkladu 3.1 zˇrejmˇe máme ker I = {0} . ♦ Pˇ r´ıklad 3.11. Necht’ D je oper´ ator derivace na prostoru vˇsech reáln´ ych polynom˚ u P∞ z Pˇr´ıkladu 3.3. Ponˇevadˇz jediné funkce, pro nˇeˇz je derivace identicky rovna nule, jsou konstantn´ı funkce, máme ker D = {p ∈ P∞ : ∃α ∈ R, ∀x ∈ R,

p(x) = α} .

(konstantn´ı polynomy) ♦

ator n´ asoben´ı kvadratickou funkc´ı na prostoru vˇsech reáln´ ych polynom˚ u P∞ Pˇ r´ıklad 3.12. Necht’ Mp2 oper´ z Pˇr´ıkladu 3.5. Ponˇevadˇz jedin´ y polynom p, pro nˇejˇz plat´ı x2 p(x) = 0 pro vˇsechna x ∈ R, je nulov´ y polynom, máme ker Mp2 = {0} . ♦



35

Následuj´ıc´ı tvrzen´ı nám ˇr´ıká, ˇze jádro zobrazen´ı je podprostor výchoz´ıho prostoru. Speciálnˇe to znamená, ˇze nulový vektor je v jádru libovolného lineárn´ıho zobrazen´ı. Tvrzen´ı 3.3. Necht’ T ∈ L (V, W). Potom plat´ı ker T ⊂⊂ V .

D˚ ukaz. Pouˇzijeme Vˇetu 1.1. ad (i) D´ıky aditivn´ı vlastnosti lineárn´ıho zobrazen´ı plat´ı T (0) = T (0 + 0) = T (0) + T (0) , z ˇcehoˇz plyne T (0) = 0. Tedy 0 ∈ ker T (jádro obsahuje poˇcátek). ad (ii) Pro libovolné vektory u, v ∈ ker T plat´ı T (u + v) = T u + T v = 0 + 0 = 0 , a tedy u + v ∈ ker T (jádro je uzavˇrené v˚ uˇci sˇc´ıtán´ı). ad (iii) Pro libovolný vektor u ∈ ker T a ˇc´ıslo α ∈ K plat´ı T (αu) = αT u = α0 = 0 , a tedy αu ∈ ker T (jádro je uzavˇrené v˚ uˇci násoben´ı ˇc´ıslem). Pˇripomeˇ nme, ˇze (libovolné) zobrazen´ı se nazývá injektivn´ı, pokud pˇriˇrazuje r˚ uzným vzor˚ um r˚ uzné obrazy. Tento pojem pˇrijmeme i pro lineárn´ı zobrazen´ı. Definice 3.3. Lineárn´ı zobrazen´ı T : V → W je injektivn´ı, pokud ∀u, v ∈ V,

Tu = Tv

=⇒

u = v.

Alternativn´ı terminologie je prosté zobrazen´ı nebo injekce (v angliˇctinˇe téˇz one-to-one). Pˇ r´ıklad 3.13. Pˇr´ımo z definice je zˇrejmé, ˇze identické zobrazen´ı z Pˇr´ıkladu 3.2 je injektivn´ı, zat´ımco nulové zobrazen´ı z Pˇr´ıkladu 3.1 injektivn´ı nen´ı. ♦

U sloˇzitˇejˇs´ıch pˇr´ıklad˚ u m˚ uˇze být ovˇeˇrován´ı podle definice pracnˇejˇs´ı. Proto je následuj´ıc´ı ˇ tvrzen´ı pozoruhodné: R´ıká nám, ˇze k ovˇeˇren´ı injektivity lineárn´ıho zobrazen´ı se staˇc´ı pod´ıvat na jádro zobrazen´ı (zda nula je jediný vektor, jenˇz je mapován na nulu). Tvrzen´ı 3.4. Necht’ T ∈ L (V, W). Potom plat´ı tato ekvivalence T je injektivn´ı

⇐⇒

ker T = {0} .

36



D˚ ukaz. Jako obvykle dokáˇzeme ekvivalenci jako platnost dvou implikac´ı. ⇒ Pˇredpokládejme, ˇze T je injektivn´ı. Z Tvrzen´ı 3.3 uˇz v´ıme, ˇze {0} ⊂ ker T . Abychom dokázali opaˇcnou inkluzi, vezmˇeme libovolný vektor v ∈ ker T . Pak plat´ı T (v) = 0 = T (0) . Jelikoˇz T je injektivn´ı, tyto rovnosti implikuj´ı v = 0. Tedy ker T = {0}, coˇz jsme chtˇeli dokázat. ´ˇcelem ⇐ Nyn´ı pˇredpokládejme ker T = {0}. Chceme dokázat, ˇze T je injektivn´ı. Za t´ımto u vezmˇeme dva vektory u, v ∈ V a poloˇzme T u = T v. Pak 0 = T u − T v = T (u − v) . Tedy u − v ∈ ker T . Ponˇevadˇz ker T = {0}, máme u − v = 0, z ˇcehoˇz plyne u = v. Tedy T je injektivn´ı, coˇz jsme chtˇeli dokázat. Pˇ r´ıklad 3.14. Uˇzit´ım Tvrzen´ı 3.4 a Pˇr´ıklad˚ u 3.11 a 3.12 okamˇzitˇe vid´ıme, ˇze operátor n´ asoben´ı Tf je injektivn´ı, zat´ımco oper´ ator derivace D injektivn´ı nen´ı. ♦ Pˇ r´ıklad 3.15. Vˇsimnˇete si dobˇre, ˇze platnost Tvrzen´ı 3.4 je velice z´ avislé na tom, ˇze uvaˇzujeme line´ arn´ı zobrazen´ı. Napˇr´ıklad lineárn´ı zobrazen´ı (jeˇz si m˚ uˇzeme geometricky znázornit jako pˇr´ımku v rovinˇe) Tα : R → R : {x 7→ αx} ,

α ∈ R,

je skuteˇcnˇe injektivn´ı tehdy a jen tehdy, pokud ker Tα = {0}, ˇcemuˇz odpov´ıdaj´ı vˇsechna α 6= 0 (naopak pro α = 0 máme ker T0 = R, jelikoˇz T0 = 0 je nulové zobrazen´ı). Avˇsak neline´ arn´ı zobrazen´ı (kvadratická funkce, jiˇz si m˚ uˇzeme znázornit jako parabolu) fα : R → R : {x 7→ αx2 } ,

α ∈ R,

nen´ı injektivn´ı pro vˇsechna α ∈ R, i kdyˇz (pokud rozˇs´ıˇr´ıme Definici 3.2 i na obecné funkce) ker fα = {0} (pro α = 0 máme ker f0 = R, jelikoˇz f0 = 0 je opˇet nulové zobrazen´ı). ♦

3.4

Obor hodnot a surjektivita

Nyn´ı se pod´ıvejme se na d˚ uleˇzitou podmnoˇzinu c´ılového prostoru lineárn´ıho zobrazen´ı. Definice 3.4. Obor hodnot lineárn´ıho zobrazen´ı T : V → W je podmnoˇzina c´ılového prostoru definovaná pˇredpisem ran T := {T v ∈ W : v ∈ V} . Pouˇz´ıváme znaˇcen´ı “ran”, jeˇz pocház´ı z anglického “range”. Jin´ı autoˇri pouˇz´ıvaj´ı “R(·)” nebo téˇz (“im” z anglického “image”). Opˇet zaˇcnˇeme s nˇekolika základn´ımi pˇr´ıklady.



37

Pˇ r´ıklad 3.16. Pro nulové zobrazen´ı 0 : V → V z Pˇr´ıkladu 3.1 zˇrejmˇe máme ran 0 = {0} . ♦ Pˇ r´ıklad 3.17. Pro identické zobrazen´ı I : V → V z Pˇr´ıkladu 3.1 zˇrejmˇe máme ran I = V . ♦ Pˇ r´ıklad 3.18. Necht’ D je oper´ ator derivace na prostoru vˇsech reáln´ ych polynom˚ u P∞ z Pˇr´ıkladu 3.3. Potom zˇrejmˇe máme ran D = P∞ , ponˇevadˇz pro kaˇzd´ y polynom q ∈ P∞ existuje polynom p ∈ P∞ takov´ y, ˇze p′ = q.

♦

ator n´ asoben´ı kvadratickou funkc´ı na prostoru vˇsech reáln´ ych polynom˚ u P∞ Pˇ r´ıklad 3.19. Necht’ Mp2 oper´ z Pˇr´ıkladu 3.5. Potom zˇrejmˇe máme ran Mp2 = x 7→ α0 x2 + α1 x3 + · · · : α0 , α2 , · · · ∈ K , adá konstantn´ı polynomy a polynomy prvn´ıho stupnˇe. tedy obor hodnot Mp2 postr´

♦

Pro studenta uˇz nebude pˇrekvapen´ım následuj´ıc´ı tvrzen´ı, které ˇr´ıká, ˇze obor hodnot zobrazen´ı je podprostor c´ılového prostoru. Speciálnˇe to tedy opˇet znamená, ˇze nulový vektor je v oboru hodnot libovolného lineárn´ıho zobrazen´ı. Tvrzen´ı 3.5. Necht’ T ∈ L (V, W). Potom plat´ı ran T ⊂⊂ W .

D˚ ukaz. Pouˇzijeme Vˇetu 1.1. ad (i) Z Tvrzen´ı 3.3 plyne T (0) = 0, tedy 0 ∈ ran T (obor hodnot obsahuje poˇcátek). ad (ii) Vlastnost w1 , w2 ∈ ran T znamená, ˇze existuj´ı vektory v1 , v2 ∈ V takové, ˇze T v1 = w1 a T v2 = w2 . Tedy T (v1 + v2 ) = T v1 + T v2 = w1 + w2 , coˇz znamená, ˇze w1 + w2 ∈ ran T (obor hodnot je uzavˇrený v˚ uˇci sˇc´ıtán´ı). ad (iii) Vlastnost w ∈ ran T znamená, ˇze existuje vektor v ∈ V takový, ˇze T v = w. Pro libovolné ˇc´ıslo α ∈ K m˚ uˇzeme psát T (αv) = αT v = αw , a tedy αw ∈ ran T (obor hodnot je uzavˇrený v˚ uˇci násoben´ı ˇc´ıslem).

38



Pˇripomeˇ nme, ˇze (libovolné) zobrazen´ı se nazývá surjektivn´ı, pokud zobrazuje na celou c´ılovou mnoˇzinu. Kaˇzdý prvek c´ılové mnoˇziny má tedy alespoˇ n jeden vzor. Tento pojem pˇrijmeme i pro lineárn´ı zobrazen´ı. Definice 3.5. Lineárn´ı zobrazen´ı T : V → W je surjektivn´ı, pokud ran T = W .

Alternativn´ı terminologie je zobrazen´ı na nebo surjekce (v angliˇctinˇe téˇz onto). Pˇ r´ıklad 3.20. Z Pˇr´ıklad˚ u 3.18 a 3.19 okamˇzitˇe vid´ıme, ˇze operátor derivace D na prostoru vˇsech polynom˚ u P∞ je surjektivn´ı, zat´ımco oper´ ator n´ asoben´ı kvadratick´ ym monomem Mp2 na stejném prostoru surjektivn´ı nen´ı. ♦ Pˇ r´ıklad 3.21. Je d˚ uleˇzité si uvˇedomit, ˇze surjektivita z´ avis´ı na volbˇe c´ılového prostoru. V pˇredchoz´ım pˇr´ıkladu jsme si ˇrekli, ˇze D ∈ L (P∞ , P∞ ) je surjektivn´ı. Avˇsak D ∈ L (Pm , Pm ) s m ∈ N∗ surjektivn´ı nen´ı, jelikoˇz derivován´ım se n´ am vytrat´ı polynom xm z oboru hodnot. To zachrán´ıme volbou nového c´ılového prostoru: operátor D ∈ L (Pm , Pm−1 ) je surjektivn´ı, jelikoˇz zderivován´ım polynomu nejv´ yˇse ˇrádu m dostaneme právˇe polynom nejv´ yˇse ˇrádu m − 1. ♦

3.5

Dimenze prostor˚ u a bijektivita

Následuj´ıc´ı vˇeta se nˇekdy povaˇzuje za fundamentáln´ı výsledek v teorii lineárn´ıch zobrazen´ıch. Pro jej´ı platnost je d˚ uleˇzité, ˇze pˇredpokládáme, ˇze naˇse vektorové prostory jsou koneˇcnˇe dimenzionáln´ı. Vˇ eta 3.1. Necht’ T ∈ L (V, W). Potom plat´ı dim V = dim ker T + dim ran T .

D˚ ukaz. Necht’ u1 , . . . , um je báze ker T ; tedy dim ker T = m. Ponˇevadˇz vektory u1 , . . . , um jsou lineárnˇe nezávislé, m˚ uˇzeme je rozˇs´ıˇrit o vektory w1 , . . . , wn ∈ V na bázi prostoru V (Tvrzen´ı 2.7); tedy u1 , . . . , um , w1, . . . , wn je báze prostoru V a dim V = m + n. K dokonˇcen´ı d˚ ukazu potˇrebujeme pouze ukázat, ˇze dim ran T = n. Toho doc´ıl´ıme tak, ˇze ukáˇzeme, ˇze vektory T w1, . . . , T wn tvoˇr´ı bázi ran T . • span{T w1, . . . , T wn } = ran T Necht’ v ∈ V. Ponˇevadˇz u1 , . . . , um , w1 , . . . , wn generuj´ı V, m˚ uˇzeme psát v = α1 u1 + · · · + αm um + β1 w1 + · · · + βn wn , kde α1 , . . . , αm , β1 , . . . , βn ∈ K. Pust´ıme-li T na obˇe strany této rovnice, dostaneme T v = β1 T w1 + · · · + βn T wn , protoˇze ˇcleny obsahuj´ıc´ı u1 , . . . , um ∈ ker T vymiz´ı. Posledn´ı rovnost ukazuje, ˇze vektory T w1 , . . . , T wn generuj´ı ran T . Zbývá ukázat, ˇze tyto vektory jsou lineárnˇe nezávislé.



39

• lineárn´ı nezávislost T w1 , . . . , T wn Zbývá ukázat, ˇze tyto vektory jsou lineárnˇe nezávislé. Za t´ımto u ´ˇcelem pˇredpokládejme rovnost γ 1 T w1 + · · · + γ n T wn = 0 , kde γ1 , . . . , γn ∈ K. Pak ovˇsem T (γ1 w1 + · · · + γn wn ) = 0 , a tud´ıˇz γ1 w1 + · · · + γn wn ∈ ker T . Ponˇevadˇz u1 , . . . , um generuj´ı ker T , m˚ uˇzeme psát γ1 w1 + · · · + γn wn = δ1 u1 + · · · + δm um s nˇejakými ˇc´ısly δ1 , . . . , δm ∈ K. Z této rovnice plyne, ˇze vˇsechna ˇc´ısla γ a δ jsou rovna nule, protoˇze u1 , . . . , um , w1, . . . , wn jsou lineárnˇe nezávislé. Tedy T w1 , . . . , T wn jsou lineárnˇe nezávislé, coˇz zbývalo ukázat pro d˚ ukaz, ˇze tyto vektory tvoˇr´ı bázi ran T . Nˇekdy se zavád´ı tato oznaˇcen´ı: rank T := dim ran T , null T := dim ker T , a rank T se nazývá hodnost zobrazen´ı T . Pak lze Vˇetu 3.1 formulovat jako dim V = rank T + null T . Vˇeta 3.1 má dva d˚ uleˇzité d˚ usledky. Prvn´ı nám ˇr´ıká, ˇze ˇzádné lineárn´ı zobrazen´ı z vektorového prostoru do “menˇs´ıho” vektorového prostoru nem˚ uˇze být injektivn´ı, pˇriˇcemˇz “menˇs´ı” je mˇeˇreno dimenz´ı. D˚ usledek 3.1. ∀T ∈ L (V, W), dim V > dim W

=⇒

T nen´ı injektivn´ı .

D˚ ukaz. Máme dim ker T = dim V − dim ran T ≥ dim V − dim W > 0, kde rovnost plat´ı d´ıky Vˇetˇe 3.1. Jelikoˇz dim ker T > 0, jádro zobrazen´ı T mus´ı obsahovat jiné vektory kromˇe 0, a tedy T nem˚ uˇze být injektivn´ı d´ıky Tvrzen´ı 3.4. ˇ ıká nám, ˇze ˇzádné lineárn´ı Druhý d˚ usledek je v jistém smyslu duáln´ı k tomu pˇredchoz´ımu. R´ zobrazen´ı z vektorového prostoru do “vˇetˇs´ıho” vektorového prostoru nem˚ uˇze být surjektivn´ı, pˇriˇcemˇz “vˇetˇs´ı” je opˇet mˇeˇreno dimenz´ı.

40



D˚ usledek 3.2. ∀T ∈ L (V, W), dim V < dim W

=⇒

T nen´ı surjektivn´ı .

D˚ ukaz. Máme dim ran T = dim V − dim ker T ≤ dim V < dim W , kde rovnost plat´ı d´ıky Vˇetˇe 3.1. Jelikoˇz dim ran T < dim W, obor hodnot T se nem˚ uˇze rovnat prostoru W, a tedy T nem˚ uˇze být surjektivn´ı. D˚ usledky 3.1 a 3.2 nám tedy poskytuj´ı nezbytné podm´ınky proto, aby lineárn´ı zobrazen´ı bylo injektivn´ı nebo surjektivn´ı. Pˇripomeˇ nme jeˇstˇe jeden pojem z teorie zobrazen´ıch (ne nezbytnˇe lineárn´ıch). Definice 3.6. Lineárn´ı zobrazen´ı T : V → W je bijektivn´ı, pokud T je injektivn´ı a surjektivn´ı.

Následuj´ıc´ı tvrzen´ı je skuteˇcnˇe zcela pˇr´ımým d˚ usledkem této definice a D˚ usledk˚ u 3.1 a 3.2. D˚ usledek 3.3. ∀T ∈ L (V, W), T je bijektivn´ı

=⇒

dim V = dim W .

D˚ usledky výˇse maj´ı d˚ uleˇzitou aplikaci pˇri ˇreˇsen´ı operátorových rovnic. Pˇ r´ıklad 3.22 (Soustavy lineárn´ıch algebraick´ ych rovnic). Necht’ T : Kn → Km s n, m ∈ N∗ je lineárn´ı zobrazen´ı definované v Pˇr´ıkladu 3.6 pro libovoln´ a ˇc´ısla aij ∈ K, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n. Operátorová rovnice T x = 0 je ekvivalentn´ı soustavˇe homogenn´ıch rovnic (homogenn´ı zde znamen´ a, ˇze pravé strany jsou rovny nule) a11 x1 + · · · + a1n xn = 0 , .. (3.3) . am1 x1 + · · · + amn xn = 0 . Pˇredstavujeme si, ˇze ˇc´ısla a jsou zadaná a hled´ ame promˇenné x1 , . . . , xn ∈ K splˇ nuj´ıc´ı tuto soustavu. M´ ame tedy m rovnic o n nezn´ am´ ych. Triviáln´ı volba x1 = · · · = xn = 0 samozˇrejmˇe soustavu (3.3) ˇreˇs´ı; kl´ıˇcovou otázkou je, zda existuj´ı jiná, tzv. netrivi´ aln´ı ˇreˇsen´ı. Jin´ ymi slovy se ptáme po tom, zda ker T je striktnˇe vˇetˇs´ı neˇz {0}. Podle Tvrzen´ı 3.4 k tomu dojde právˇe tehdy, kdyˇz T nen´ı injektivn´ı. D´ıky D˚ usledku 3.1 v´ıme, ˇze T nen´ı injektivn´ı, pokud n > m. Z´ avˇer: Soustava homogenn´ıch rovnic, v n´ıˇz je v´ıce neznám´ ych neˇz rovnic, mus´ı m´ıt netriviáln´ı ˇreˇsen´ı: poˇcet nezn´ am´ ych > poˇcet rovnic

=⇒

∃ netriviáln´ı ˇreˇsen´ı homogenn´ı soustavy rovnic.



41

Pod´ıvejme se nyn´ı na obecnˇejˇs´ı oper´ atorovou rovnici T x = y, kde y ∈ Km je vektor o sloˇzk´ ach y1 , . . . , ym ∈ K. Ta je ekvivalentn´ı soustavˇe rovnic a11 x1 + · · · + a1n xn = y1 , .. (3.4) . am1 x1 + · · · + amn xn = ym , kde opˇet uvaˇzujeme, ˇze ˇc´ısla a jsou zadaná. Ptáme se, zda existuje alespoˇ n jedno ˇreˇsen´ı x1 , . . . , xn ∈ K splˇ nuj´ıc´ı tuto soustavu, a to pˇri libovolné volbˇe konstant y1 , . . . , ym . Jin´ ymi slovy, chceme vˇedˇet, zda ran T = Km . D´ıky D˚ usledku 3.2 v´ıme, ˇze T nen´ı surjektivn´ı, pokud n < m. Z´ avˇer: Soustava nehomogenn´ıch rovnic, v n´ıˇz je v´ıce rovnic neˇz nezn´ am´ ych, nem´ a ˇreˇsen´ı pro urˇcitou volbu konstant y1 , . . . , ym : poˇcet nezn´ am´ ych < poˇcet rovnic

=⇒

∃y, pro nˇeˇz nehomogenn´ı soustava rovnic nen´ı ˇreˇsitelná.

Takovéto v´ ysledky o ˇreˇsen´ı soustav lineárn´ıch algebraick´ ych rovnic se obvykle dokazuj´ı pomoc´ı Gaussovy eliminaˇcn´ı metody. Abstraktn´ı pˇr´ıstup, kter´ y zde pˇrej´ım´ ame, má tu v´ yhodu, ˇze vede k mnohem elegantnˇejˇs´ım d˚ ukaz˚ um a lze ho pouˇz´ıt i na jiné problémy. ♦

3.6

Invertibilita

Definice 3.7. Lineárn´ı zobrazen´ı T : V → W je invertibiln´ı, pokud existuje lineárn´ı zobrazen´ı S : W → V takové, ˇze ST = I a TS = I . (V prvn´ı rovnosti znaˇc´ı I identický operátor na V a v druhé rovnosti znaˇc´ı I identický operátor na W.) Zobrazen´ı S vystupuj´ıc´ı v této definici budeme nazývat inverzn´ım zobrazen´ım (ˇci jednoduˇse inverz´ı) zobrazen´ı T . Invertibiln´ı zobrazen´ı se téˇz nazývá regulárn´ı a zobrazen´ı, jeˇz nen´ı invertibiln´ı, ze nazývá singulárn´ı. Tvrzen´ı 3.6. Pokud je T : V → W invertibiln´ı, pak má právˇe jednu inverzi. D˚ ukaz. Necht’ S a S ′ jsou dvˇe inverze zobrazen´ı T . Pak S = SI = S(T S ′ ) = (ST )S ′ = IS ′ = S ′ , tedy nezbytnˇe S = S ′ . Ponˇevadˇz je inverze invertibiln´ıho zobrazen´ı T urˇcena jednoznaˇcnˇe, m˚ uˇzeme si ho oznaˇcit −1 jednotným symbolem T . Následuj´ıc´ı tvrzen´ı charakterizuje invertibiln´ı zobrazen´ı. Vˇ eta 3.2. Necht’ T ∈ L (V, W). Potom plat´ı tato ekvivalence: T je invertibiln´ı

⇐⇒

T je bijektivn´ı.

42



D˚ ukaz. Jako obvykle dokáˇzeme ekvivalenci jako platnost dvou implikac´ı. ⇒ Pˇripomeˇ nme, ˇze bijektivita znamená, ˇze T je injektivn´ı a surjektivn´ı. Abychom ukázali, ˇze T je injektivn´ı, vezmˇeme dva libovolné vektory u, v ∈ V a poloˇzme T u = T v. Potom u = T −1 (T u) = T −1 (T v) = v , z ˇcehoˇz plyne, ˇze u = v, a tedy T je injektivn´ı. Abychom ukázali, ˇze T je surjektivn´ı, vezmˇeme libovolný vektor w ∈ W. Potom w = T (T −1 w) , z ˇcehoˇz plyne, ˇze w je v obrazu hodnot zobrazen´ı T (jeho vzor je T −1 w). Tedy ran T = W, a T je surjektivn´ı. ⇐ Pro vˇsechny vektory w ∈ W definujme Sw ∈ V coby jednoznaˇcnˇe urˇcený prvek prostoru V splˇ nuj´ıc´ı T (Sw) = w . (Existence a jednoznaˇcnost takovéhoto prvky plynou z bijektivity.) Z definice rovnou plyne, ˇze T S = I, kde I je identita na W. Abychom ukázali, ˇze ST = I, kde I je identita na V, vezmˇeme libovolný vektor v ∈ V a piˇsme T (ST v) = (T S)(T v) = I(T v) = T v . Z této rovnosti plyne, ˇze ST v = T v (ponˇevadˇz T je injektivn´ı), a tedy skuteˇcnˇe ST = I, kde I je identita na V. Zbývá ukázat, ˇze S je lineárn´ı. Necht’ w1 , w2 ∈ W. Potom T (Sw1 + Sw2 ) = T (Sw1 ) + T (Sw2) = w1 + w2 . Tedy Sw1 + Sw2 ∈ V je jednoznaˇcnˇe urˇcený prvek prostoru V takový, ˇze je zobrazen zobrazen´ım T na prvek w1 + w2 ∈ W. Z definice S pak plyne, ˇze S(w1 + w2 ) = Sw1 + Sw2 , a tedy S splˇ nuje aditivn´ı vlastnost nutnou pro lineárnost zobrazen´ı. D˚ ukaz homogenity je podobný. Necht’ w ∈ W a α ∈ K. Potom T (αSw) = αT (Sw) = αw . Tedy αSw ∈ V je jednoznaˇcnˇe urˇcený prvek prostoru V takový, ˇze je zobrazen zobrazen´ım T na prvek αw ∈ W. Z definice S pak plyne, ˇze S(αw) = αSw, coˇz je homogenita lineárn´ıho zobrazen´ı. Následuj´ıc´ı tvrzen´ı ukazuje, ˇze situace se nadále zjednoduˇsuje pro lineárn´ı zobrazen´ı z vektorového prostoru na ten samý prostor. Vˇ eta 3.3. Necht’ T ∈ L (V). Potom plat´ı tyto ekvivalence: (i) T je invertibiln´ı

⇐⇒

(ii) T je injektivn´ı

⇐⇒

(iii) T je surjektivn´ı.



43

D˚ ukaz. Staˇc´ı ukázat sérii tˇr´ı implikac´ı (i) ⇒ (ii), (ii) ⇒ (iii) a (iii) ⇒ (i). (i) ⇒ (ii) Tato implikace plyne rovnou z pˇredchoz´ı Vˇety 3.2 (rovnˇeˇz (i) ⇒ (iii)). (ii) ⇒ (iii) Podle Tvrzen´ı 3.4 je injektivita T ekvivalentn´ı vlastnosti ker T = {0}. Z Vˇety 3.1 pak dostáváme dim ran T = dim V − dim ker T = dim V . Ponˇevadˇz ran T je zároveˇ n podprostorem V, tato rovnost dává ran T = V, a tedy T je surjektivn´ı. (iii) ⇒ (i) Podle definice surjektivity máme ran T = V. Z Vˇety 3.1 dostáváme dim ker T = dim V − dim ran T = 0 , z ˇcehoˇz plyne ker T = {0}, a tedy T je injektivn´ı (podle Tvrzen´ı 3.4). Ponˇevadˇz T je bijektivn´ı, invertibilita T plyne z Vˇety 3.2. Pˇ r´ıklad 3.23. V pˇredchoz´ı vˇetˇe je naprosto fundament´ aln´ı, ˇze uvaˇzujeme koneˇcnˇe dimenzionáln´ı vektorové u P∞ je prostory. Napˇr´ıklad oper´ ator n´ asoben´ı kvadratick´ ym monomem Mp2 na prostoru vˇsech polynom˚ injektivn´ı, ale nen´ı surjektivn´ı. Naopak operátor derivace na tom samém prostoru je surjektivn´ı, ale nen´ı injektivn´ı. ♦ Pˇ r´ıklad 3.24 (Soustavy lineárn´ıch algebraick´ ych rovnic, poˇcet rovnic=poˇcet nezn´ am´ ych). Pod´ıvejme se nyn´ı na speci´ aln´ı pˇr´ıpad soustav lineárn´ıch algebraick´ ych rovnic z Pˇr´ıkladu 3.22, kdy m = n, tedy poˇcet rovnic (m) se rovn´ a poˇctu nezn´ am´ ych (n). Uvaˇzujme tedy operátorovou rovnici a11 x1 + · · · + a1n xn = y1 , .. .

(3.5)

an1 x1 + · · · + ann xn = yn , a odpov´ıdaj´ıc´ı homogenn´ı rovnici (bez pravé strany) a11 x1 + · · · + a1n xn = 0 , .. .

(3.6)

an1 x1 + · · · + ann xn = 0 . Pˇredstavujeme si, ˇze ˇc´ısla ajk ∈ K a yj ∈ K s j, k = 1, . . . , n jsou zadaná a hled´ ame promˇenné x1 , . . . , xn ∈ K splˇ nuj´ıc´ı tyto soustavy. Z Vˇety 3.3 okamˇzitˇe dostáv´ ame n´ asleduj´ıc´ı ekvivalenci: ∀y soustava (3.5) má ˇreˇsen´ı

⇐⇒

homogenn´ı soustava rovnic (3.6) má pouze triviáln´ı ˇreˇsen´ı.

Skuteˇcnˇe, injektivita a surjektivita jsou v pˇr´ıpadˇe stejného poˇctu rovnic a nezn´ am´ ych ekvivalentn´ı vlastnosti. Rovnˇeˇz vid´ıme, ˇze v takovémto pˇr´ıpadˇe má soustava (3.5) ˇreˇsen´ı právˇe jedno. Naopak, homogenn´ı soustava rovnic (3.6) má netriviáln´ı ˇreˇsen´ı tehdy a jen tehdy, pokud rovnice (3.5) nem´ a ˇreˇsen´ı pro kaˇzdé y (pˇresnˇeji, existuje y, pro které (3.5) nen´ı ˇreˇsitelná). ♦

44


3.7


Cviˇ cen´ı

1. Dejte pˇr´ıklad funkce f : R2 → R takové, ˇze ∀v ∈ R2 , α ∈ R,

f (αv) = αf (v) ,

avˇsak f nen´ı lineárn´ı. (Tedy homogenita nestaˇc´ı pro lineárnost zobrazen´ı.) p [Napˇr´ıklad f (v) := 3 x31 + x32 pro v = ( xx12 ).]

2. Ukaˇzte, ˇze zobrazen´ı definované pˇredpisem x1 cos ϕ x1 − sin ϕ x2 2 2 Tϕ : K → K : 7→ x2 sin ϕ x1 + cos ϕ x2

je injektivn´ı pro kaˇzdou hodnotu parametru ϕ ∈ R. Interpretujte geometricky pro K = R. [Hint: Spoˇctˇete jádro a pouˇzijte Tvrzen´ı 3.4.] 3. Necht’

a11 x1 + a12 x2 x1 , 7→ T :K →K : a21 x1 + a22 x2 x2 b11 x1 + b12 x2 x1 2 2 , 7→ S:K →K : b21 x1 + b22 x2 x2 2

2

kde a11 , a12 , a21 , a22 , b11 , b12 , b21 , b22 ∈ K. Spoˇctˇete komutátor [S, T ]. 4. Ukaˇzte, ˇze plat´ı následuj´ıc´ı implikace: (T ∈ L (V, W) je injektivn´ı ∧ v1 , . . . , vm ∈ V jsou lineárnˇe nezávislé ve V) =⇒ T v1 , . . . , T vm jsou lineárnˇe nezávislé ve W. [Hint: Uˇzijte Tvrzen´ı 3.4.] 5. Ukaˇzte, ˇze plat´ı následuj´ıc´ı implikace: (T ∈ L (V, W) je surjektivn´ı ∧ span{v1 , . . . , vm } = V) =⇒ span{T v1 , . . . , T vm } = W. 6. Ukaˇzte, ˇze pokud existuje lineárn´ı zobrazen´ı T : K4 → K2 takové, ˇze x 1 x2 4 ∈ K : x1 = 5x2 ∧ x3 = 7x4 , ker T = x3 x4

potom T je surjektivn´ı. [Hint: Ukaˇzte, ˇze dim ker T = 2 a pouˇzijte Vˇetu 3.1.] 7. Ukaˇzte, ˇze neexistuje lineárn´ı zobrazen´ı T : K5 → K2 , jehoˇz jádro je rovno x1 x2 5 x3 ker T = ∈ K : x1 = 3x2 ∧ x3 = x4 = x5 . x4 x5

[Hint: Ukaˇzte, ˇze dim ker T = 2 a pouˇzijte Vˇetu 3.1.]

4. Metrika


4

45

Metrika

V pˇredchoz´ıch kapitolkách jsme u ´ spˇeˇsnˇe zobecnili pojmy, které dobˇre znáte z eukleidovských n prostor˚ u R (sˇc´ıtán´ı vektor˚ u mezi sebou, jejich násoben´ı ˇc´ısly a transformace mezi vektory), na abstraktn´ı vektorové prostory. Doposud jsme vˇsak ignorovali pojmy jako délka vektor˚ ua u ´hly mezi nimi. Tyto pojmy se zavádˇej´ı pro vektorové prostory, v nichˇz existuje nav´ıc jedna speciáln´ı operace: skalárn´ı souˇcin. Pomoc´ı této operace m˚ uˇzeme vektorový prostor obohatit na metrický prostor a definovat v nˇem metriku vhodnou pro tato mˇeˇren´ı.

4.1

Skal´ arn´ı souˇ cin

Definice 4.1. Skalárn´ı souˇcin na V je funkce h·, ·i : V × V → K : {(u, v) 7→ hu, vi} splˇ nuj´ıc´ı následuj´ıc´ı axiomy: (1) ∀v ∈ V,

hv, vi ≥ 0;

(2) ∀v ∈ V,

hv, vi = 0

(3) ∀u, v, w ∈ V,

⇐⇒

v = 0;

hu, v + wi = hu, vi + hu, wi;

(4) ∀u, v ∈ V, α ∈ K, (5) ∀u, v ∈ V,

(pozitivita)

hu, αvi = αhu, vi;

hu, vi = hv, ui.

(definitivita) (aditivita ve druhé sloˇzce) (homogenita ve druhé sloˇzce) (symetrie)

ˇ ıslo hu, vi nazýváme skalárn´ı souˇcin vektor˚ C´ u u a v. Vektorový prostor se skalárn´ım souˇcinem je vektorový prostor V uvaˇzován spoleˇcnˇe s nˇejakým skalárn´ım souˇcinem na V. Vˇsimnˇete si, ˇze pro kaˇzdé dané u ∈ V nám pˇredpis v 7→ hu, vi definuje lineárn´ı zobrazen´ı na V. V pˇr´ıpadˇe reálného vektorového prostoru m˚ uˇzeme komplexn´ı sdruˇzen´ı v bodˇe (4) vypustit. Pˇ r´ıklad 4.1 (Eukleidovsk´ y skal´ arn´ı souˇcin). D˚ uleˇzit´ y pˇr´ıklad vektorového prostoru se skalárn´ım souˇcinem je souˇradnicov´ y prostor Kn , kde obvykl´ a volba skalárn´ıho souˇcinu je tzv. eukleidovský skalárn´ı souˇcin definovan´ y pˇredpisem     * x1 y1 +  ..   ..   .  ,  .  := x1 y1 + · · · + xn yn . xn yn

Kdykoli budeme mluvit o Kn coby vektorovém prostoru se skalárn´ım souˇcinem, budeme vˇzdy implicitnˇe pˇredpokládat tuto kanonickou volbu skal´ arn´ıho souˇcinu. Na prostoru Kn existuj´ı i jiné volby skal´ arn´ıho souˇcinu. Napˇr´ıklad, pokud vˇsechna nˇejaká daná ˇc´ısla α1 , . . . , αn ∈ K jsou striktnˇe kladn´ a, pak     * x1 y1 +  ..   ..   .  ,  .  := α1 x1 y1 + · · · + αn xn yn xn

yn

n´ am rovnˇeˇz definuje skal´ arn´ı souˇcin na Kn . Eukleidovsk´ y skalárn´ı souˇcin zˇrejmˇe odpov´ıdá speci´ aln´ı volbˇe α1 = · · · = αn = 1. ♦

46

4. Metrika


Pˇ r´ıklad 4.2 (Lebesgueovsk´ y skal´ arn´ı souˇcin). Na prostoru polynom˚ u Pm m˚ uˇzeme zavést skalárn´ı souˇcin pˇredpisem Z 1 p(x) q(x) dx . (4.1) hp, qi := 0

♦

Po zbytek této kapitolky se dohodnˇeme, ˇze V bude znaˇcit libovolný vektorový prostor se skalárn´ım souˇcinem, tedy: V := vektorový prostor se skalárn´ım souˇcinem nad K.

4.2

Norma

Definice 4.2. Norma vektoru v ∈ V je ˇc´ıslo kvk :=

p hv, vi .

Vˇsimnˇete si, ˇze kvk je kladné (reálné) ˇc´ıslo. Plat´ı kvk = 0 ⇔ v = 0. Pˇ r´ıklad 4.3 (Eukleidovsk´ a norma). Pro souˇradnicov´ y prostor Kn (s eukleidovsk´ ym skalárn´ım souˇcinem) máme

 

x1

 ..  p

 .  = |x1 |2 + · · · + |xn |2 .

xn ♦

Pˇ r´ıklad 4.4 (Lebesgueovsk´ a norma). Na prostoru polynom˚ u Pm se skalárn´ım souˇcinem definovan´ ym pˇredpisem (4.1) máme s Z 1 |p(x)|2 dx . kpk = 0

♦

Tyto pˇr´ıklady naznaˇcuj´ı, ˇze obvykle bývá jednoduˇsˇs´ı pracovat s kvadrátem normy neˇz s normou samotnou.

4.3

Ortogonalita

Definice 4.3. Vektory u, v ∈ V jsou ortogonáln´ı, pokud hu, vi = 0. Alternativnˇe budeme ˇr´ıkat, ˇze vektor u je ortogonáln´ı k vektoru v. Kolmost vektor˚ u je synonymum pro ortogonalitu, my se vˇsak budeme drˇzet druhé terminologie, jeˇz pocház´ı ze sloˇzen´ı ˇreckých slov orthos (pravý) a gonia (´ uhel).

4. Metrika


47

Vˇsimnˇete si, ˇze kolmost vektor˚ u je komutativn´ı relace. Zˇrejmˇe plat´ı, ˇze nulový vektor 0 je ortogonáln´ı ke vˇsem vektor˚ um z daného vektorového prostoru (se skalárn´ım souˇcinem). Nav´ıc plat´ı, ˇze 0 je jediný vektor, jenˇz je ortogonáln´ı sobˇe samému. Následuj´ıc´ı vˇeta pro speciáln´ı pˇr´ıpad V = R2 je stará pˇres 2 500 let. Vˇ eta 4.1 (Pythagorova). ∀u, v ∈ V, hu, vi = 0

=⇒

ku + vk2 = kuk2 + kvk2 .

(4.2)

D˚ ukaz. Pro ortogonáln´ı vektory u, v ∈ V máme ku + vk2 = hu + v, u + vi = kuk2 + kvk2 + hu, vi + hv, ui = kuk2 + kvk2 , | {z } | {z } =0

=0

coˇz je poˇzadované tvrzen´ı.

D˚ ukaz Pythagorovy vˇety ukazuje, ˇze rovnost ku + vk2 = kuk2 + kvk2 plat´ı tehdy a jen tehdy, pokud hu, vi + hv, ui = 2 Rehu, vi = 0. Je tedy zˇrejmé, ˇze opaˇcná implikace plat´ı na reálných vektorových prostorech. Uvaˇzujme nyn´ı dva libovolné vektory u, v ∈ V a poloˇzme si otázku, jak napsat vektor u jako souˇcet skalárn´ıho násobku vektoru v a vektoru w ortogonáln´ıho k v. Pokud v = 0, poˇzadovaný rozklad je zˇrejmý, pˇredpokládejme tedy, ˇze vektor v je nenulový. Z obrázku v R2 se pˇresvˇedˇc´ıte, ˇze takovýto rozklad by mˇel být vˇzdy moˇzný. Pro libovolné ˇc´ıslo α ∈ K tedy piˇsme u = αv + (u − αv) a snaˇzme se zvolit α takovým zp˚ usobem, aby vektor u−αv =: w byl ortogonáln´ı k vektoru v. Jinými slovy poˇzadujeme 0 = hv, u − αvi = hv, ui − αkvk2 . Z této rovnosti vyjádˇr´ıme ˇc´ıslo α a zjist´ıme, ˇze poˇzadovaný rozklad má tvar hv, ui hv, ui + u− u= v v . kvk2 kvk2 | {z } {z } | skal´ arn´ı n´ asobek v

4.4

(4.3)

vektor ortogon´ aln´ı k v

Nerovnosti

Následuj´ıc´ı vˇeta pˇredstavuje jednu z nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ıch nerovnost´ı v matematice, s mnoha aplikacemi ve fyzice. Vˇ eta 4.2 (Schwarzova nerovnost). ∀u, v ∈ V, |hu, vi| ≤ kukkvk .

(4.4)

Rovnost plat´ı tehdy a jen tehdy, kdyˇz jeden z vektor˚ u u, v je skalárn´ım násobkem druhého.

48

4. Metrika


D˚ ukaz. Pokud v = 0, pak se obˇe strany nerovnosti rovnaj´ı nule, tud´ıˇz tvrzen´ı triviálnˇe plat´ı. Pˇredpokládejme tedy v 6= 0. Uvaˇzujme ortogonáln´ı rozklad (viz (4.3)) u=

hv, ui v +w, kvk2

kde

w := u −

hv, ui v kvk2

je ortogonáln´ı k v. Podle Pythagorovy Vˇety 4.1 máme

hv, ui 2 |hv, ui|2 |hv, ui|2 2 2

kuk = v + kwk = + kwk ≥ . kvk2 kvk2 kvk2 2

(4.5)

Poˇzadovanou nerovnost (4.4) dostaneme vynásoben´ım této nerovnosti ˇc´ıslem kvk2 a odmocnˇen´ım. Zbývá se zamyslet nad pˇr´ıpadem, kdy nerovnost (4.4) pˇrejde v rovnost. Pod´ıváme-li se na náˇs d˚ ukaz výˇse, zjist´ıme, ˇze (4.4) je rovnost tehdy a jen tehdy, pokud nerovnost v (4.5) je rovnost´ı. K tomu zˇrejmˇe dojde tehdy a jen tehdy, pokud w = 0. Avˇsak, podle definice w, w = 0 tehdy a jen tehdy, pokud u je násobkem v. Schwarzova nerovnost (4.4) je tedy rovnost´ı tehdy a jen tehdy, pokud u je násobkem v nebo v je násobkem u nebo oboj´ı (terminologie v tvrzen´ı vˇety je zvolena tak, aby zahrnovala i pˇr´ıpady, kdy se u nebo v rovná nule). Následuj´ıc´ı vˇeta se nazývá troj´ uheln´ıková nerovnost kv˚ uli geometrické interpretaci v rovinˇe, ˇze délka jakékoli strany troj´ uheln´ıka je menˇs´ı neˇz souˇcet délek zbývaj´ıc´ıch stran. Vˇ eta 4.3 (Troj´ uheln´ıková nerovnost). ∀u, v ∈ V, ku + vk ≤ kuk + kvk .

(4.6)

Rovnost plat´ı tehdy a jen tehdy, kdyˇz jeden z vektor˚ u u, v je kladným násobkem druhého.

D˚ ukaz. Máme ku + vk2 = hu + v, u + vi = hu, ui + hv, vi + hu, vi + hv, ui

= hu, ui + hv, vi + hu, vi + hu, vi = kuk2 + kvk2 + 2 Rehu, vi ≤ kuk2 + kvk2 + 2 |hu, vi| ≤ kuk2 + kvk2 + 2 kukkvk = (kuk + kvk)2 ,

(4.7) (4.8)

kde prvn´ı nerovnost plyne ze Schwarzovy nerovnosti (4.4). Odmocnˇen´ım koneˇcné nerovnosti dostaneme poˇzadovanou nerovnost (4.6). Zbývá se zamyslet nad pˇr´ıpadem, kdy nerovnost (4.6) pˇrejde v rovnost. Z d˚ ukazu výˇse je zˇrejmé, ˇze (4.6) je rovnost tehdy a jen tehdy, pokud máme rovnost v (4.7) a (4.8). Ponˇevadˇz |hu, vi|2 = (Rehu, vi)2 + (Imhu, vi)2 ,

4. Metrika


49

dostáváme, ˇze (4.6) je rovnost tehdy a jen tehdy, pokud hu, vi = kukkvk .

(4.9)

Pokud jeden z vektor˚ u u, v je kladným násobkem druhého, pak (4.9) zˇrejmˇe plat´ı (ovˇeˇrte si). Naopak, pokud plat´ı (4.9), pak podm´ınka pro rovnost ve Schwarzovˇe nerovnosti (Vˇeta 4.2) implikuje, ˇze jeden z vektor˚ u u, v je skalárn´ım násobkem druhého. Avˇsak podm´ınka (4.9) vyˇzaduje, aby se jednalo o kladný násobek.

4.5

Ortonorm´ aln´ı b´ aze

Definice 4.4. Vektory v1 , . . . , vm ∈ V jsou ortonormáln´ı, pokud ∀j, k = 1, . . . , m,

hvj , vk i = δjk .

Pˇripom´ınáme, ˇze Kronecker˚ uv symbol δjk je definován tak, ˇze δjk = 1, pokud j = k, a δjk = 0, pokud j 6= k. Vid´ıme tedy, ˇze vektory v1 , . . . , vm jsou ortonormáln´ı tehdy a jen tehdy, pokud jsou vektory vzájemnˇe ortogonáln´ı a kaˇzdý vektor má normu rovnou 1 (ˇr´ıkáme, ˇze je normalizován na jedniˇcku). Pˇ r´ıklad 4.5. Vektory kanonické b´ aze e1 , . . . , em ∈ Km z Pˇr´ıkladu 2.2 jsou ortonormáln´ı (vhledem ke kanonické volbˇe eukleidovského skal´ arn´ıho souˇcinu, viz Pˇr´ıklad 4.1). ♦

S ortonormáln´ımi vektory se velice dobˇre pracuje, jak ukazuje následuj´ıc´ı tvrzen´ı. Tvrzen´ı 4.1. ∀v1 , . . . , vm ∈ V ortonormáln´ı, ∀α1 , . . . , αm ∈ K, kα1 v1 + · · · + αm vm k2 = |α1 |2 + · · · + |αm |2 .

D˚ ukaz. Jelikoˇz kaˇzdý vektor má normu rovnou 1, tvrzen´ı plyne opakovanou aplikaci Pythagorovy Vˇety 4.1. Z tohoto tvrzen´ı dostaneme snadný, avˇsak velice d˚ uleˇzitý d˚ usledek. D˚ usledek 4.1. ∀v1 , . . . , vm ∈ V, v1 , . . . , vm jsou ortonormáln´ı

=⇒

v1 , . . . , vm jsou lineárnˇe nezávislé .

D˚ ukaz. Necht’ α1 v1 + · · · + αm vm = 0 ,

kde α1 , . . . , αm ∈ K. Z Tvrzen´ı 4.1 plyne, ˇze

|α1 |2 + · · · + |αm |2 = 0 ,

coˇz znamená, ˇze vˇsechny α jsou rovny nule.

50

4. Metrika


Definice 4.5. Báze ve V je ortonormáln´ı, pokud jej´ı vektory jsou ortonormáln´ı. Pˇ r´ıklad 4.6. Kanonická b´ aze e1 , . . . , em ∈ Km je ortonormáln´ı.

♦

Pro libovolnou bázi v1 , . . . , vm ∈ V a vektor v ∈ V existuj´ı ˇc´ısla α1 , . . . , αm ∈ K taková, ˇze máme rozklad v = α1 v1 + · · · + αm vm . Avˇsak naj´ıt tato ˇc´ısla pro daný vektor v m˚ uˇze být obecnˇe tˇeˇzké. Následuj´ıc´ı tvrzen´ı nám ukazuje, ˇze tento u ´ kol je snadný, pokud se jedná o ortonormáln´ı bázi.

Vˇ eta 4.4. Necht’ v1 , . . . , vm ∈ V je ortonormáln´ı báze a v ∈ V libovolný vektor. Potom plat´ı v = hv1 , viv1 + · · · + hvm , vivm ,

(4.10)

kvk2 = |hv1 , vi|2 + · · · + |hvm , vi|2 .

(4.11)

D˚ ukaz. Ponˇevadˇz v1 , . . . , vm je báze, existuj´ı ˇc´ısla α1 , . . . , αm ∈ K taková, ˇze máme rozklad v = α1 v1 + · · · + αm vm . Pokud vezmeme skalárn´ı souˇcin obou stran s vektorem vj , j = 1, . . . , m, dostaneme αj = hvj , vi, ˇc´ımˇz dostáváme (4.10). Rovnost (4.11) plyne z právˇe dokázané rovnosti (4.10) a Tvrzen´ı 4.1. Identita (4.11) se nazývá Parsevalova rovnost. Nyn´ı, co jsme se pˇresvˇedˇcili o uˇziteˇcnosti ortonormáln´ı báze, jak ji najdeme? Napˇr´ıklad, existuje ortonormáln´ı báze na prostoru polynom˚ u Pm se skalárn´ım souˇcinem definovaným v Pˇr´ıkladu 4.2? Následuj´ıc´ı tvrzen´ı odpov´ıdá na tyto otázky. Skuteˇcnˇe, poskytuje konstrukˇcn´ı algoritmus, jak z libovolných lineárnˇe nezávislých vektor˚ u vytvoˇrit vektory ortonormáln´ı, zat´ımco lineárn´ı obal je zachován. Vˇ eta 4.5 (Gramm-Schmidt˚ uv ortogonalizaˇcn´ı proces). Necht’ u1, . . . , um ∈ V jsou lineárnˇe nezávislé. Potom existuj´ı ortonormáln´ı vektory v1 , . . . , vm ∈ V takové, ˇze plat´ı ∀j ∈ {1, . . . , m},

span{u1 , . . . , uj } = span{v1 , . . . , vj } .

(4.12)

D˚ ukaz. Zaˇcnˇeme konstrukci ortonormáln´ıch vektor˚ u v1 , . . . , vm volbou u1 v1 := , ku1k

coˇz splˇ nuje (4.12) pro j = 1. Ostatn´ı vektory v2 , . . . , vm zvol´ıme induktivnˇe následuj´ıc´ım postupem. Necht’ j ≥ 2 a pˇredpokládejme, ˇze ortonormáln´ı vektory v1 , . . . , vj−1 uˇz byly zvoleny takovým zp˚ usobem, ˇze splˇ nuj´ı span{u1 , . . . , uj−1} = span{v1 , . . . , vj−1} .

(4.13)

4. Metrika


51

Definujme vj :=

uj − hv1 , uj iv1 − · · · − hvj−1 , uj ivj−1 . kuj − hv1 , uj iv1 − · · · − hvj−1 , uj ivj−1 k

(4.14)

Vˇsimnˇete si, ˇze uj 6∈ span{u1 , . . . , uj−1} (protoˇze vektory u1 , . . . , um jsou lineárnˇe nezávislé), a tud´ıˇz uj 6∈ span{v1 , . . . , vj−1 }. Z tohoto d˚ uvodu je vektor vj v (4.14) dobˇre definován (nedˇel´ıme nulou). Zˇrejmˇe plat´ı kvj k = 1. Pro libovolné k ∈ {1, . . . , j − 1} máme uj − hv1 , uj iv1 − · · · − hvj−1, uj ivj−1 hvk , vj i = vk , kuj − hv1 , uj iv1 − · · · − hvj−1, uj ivj−1 k hvk , uj i − hvk , uj i = kuj − hv1 , uj iv1 − · · · − hvj−1, uj ivj−1 k = 0. Tud´ıˇz takto zkonstruované vektory v1 , . . . , vj jsou ortonormáln´ı. Z definice (4.14) vid´ıme, ˇze uj ∈ span{v1 , . . . , vj }. Zkombinován´ım této informace s (4.13) vid´ıme, ˇze plat´ı span{u1 , . . . , uj } ⊂ span{v1 , . . . , vj } . Obˇe sady vektor˚ u jsou lineárnˇe nezávislé (vektory u podle pˇredpokladu, vektory v z ortonormality a D˚ usledku 4.1). Tedy oba podprostory výˇse mus´ı m´ıt dimenzi j, a tud´ıˇz si mus´ı být rovny. Jako d˚ usledek zodpov´ıme otázku existence ortonormáln´ı báze. Zde je d˚ uleˇzité, ˇze uvaˇzujeme pouze koneˇcnˇe dimenzionáln´ı vektorové prostory. D˚ usledek 4.2. V kaˇzdém vektorovém prostoru se skalárn´ım souˇcinem existuje ortonormáln´ı báze. D˚ ukaz. Zvolme libovolnou bázi ve V. Aplikac´ı Gram-Schmidtova ortogonalizaˇcn´ıho procesu na prvky této báze dostaneme ortonormáln´ı vektory. Tyto vektory jsou lineárnˇe nezávislé (viz D˚ usledek 4.1) a jejich lineárn´ı obal je roven V (viz (4.12)). Tud´ıˇz se jedná o ortonormáln´ı bázi ve V.

4.6

Ortogon´ aln´ı projekce

Definice 4.6. Pro libovolnou podmnoˇzinu U ⊂ V definujeme ortogonáln´ı doplnˇek k U jako mnoˇzinu U⊥ := {v ∈ V : ∀u ∈ U, hv, ui = 0} . Mnoˇzina U⊥ je tedy tvoˇrena vˇsemi tˇemi vektory z V, jeˇz jsou ortogonáln´ı ke kaˇzdému vektoru z U. Pˇ r´ıklad 4.7. V⊥ = {0} a {0}⊥ = V.

♦

52

4. Metrika


Bez ohledu na to, jestli U je podprostor V, ortogonáln´ı doplnˇek U⊥ je vˇzdy podprostorem V. Tvrzen´ı 4.2. ∀U ⊂ V,

U⊥ ⊂⊂ V.

Dále se zamyslete nad d˚ ukazem následuj´ıc´ıho tvrzen´ı. Tvrzen´ı 4.3. ∀U1 , U2 ⊂ V, U1 ⊂ U2

=⇒

⊥ U⊥ 2 ⊂ U1 .

Následuj´ıc´ı tvrzen´ı ukazuje, ˇze kaˇzdý podprostor vektorového prostoru vede k pˇrirozenému direktn´ımu rozkladu celého prostoru. Vˇ eta 4.6. ∀U ⊂⊂ V,

V = U ⊕ U⊥ .

D˚ ukaz. Necht’ U je podprostorem V. u U a U⊥ . Necht’ v ∈ V je V = U + U⊥ Nejdˇr´ıve ukáˇzeme, ˇze V je souˇctem podprostor˚ libovolný vektor. Necht’ u1 , . . . , um je ortonormáln´ı báze v U. Pak zˇrejmˇe plat´ı v = hu1, viu1 + · · · + hum , vium + v − hu1, viu1 − · · · − hum , vium . | {z } | {z } u

w

Zˇrejmˇe u ∈ U. Z ortonormality u1 , . . . , um dostáváme

huj , wi = huj , vi − huj , vi = 0 pro vˇsechna j = 1, . . . , m. Tedy vektor w je ortogonáln´ı ke kaˇzdému vektoru z lineárn´ıho obalu span{u1 , . . . , um } = U. Jinými slovy w ∈ U⊥ . T´ımto jsme právˇe dokázali V = U + U⊥ . U ∩ U⊥ = {0} K d˚ ukazu, ˇze se ve skuteˇcnosti jedná o direktn´ı souˇcet, staˇc´ı ukázat, ˇze pr˚ unik podprostor˚ u U a U⊥ je pouze nulový vektor a pouˇz´ıt Vˇetu 1.3. Pokud v ∈ U ∩ U⊥ , potom v (jenˇz leˇz´ı v U) je ortogonáln´ı ke kaˇzdému vektoru z U, tedy vˇcetnˇe sebe, coˇz znamená hv, vi = 0. Podle definice skalárn´ıho souˇcinu z toho plyne v = 0. D˚ uleˇzitým d˚ usledkem je následuj´ıc´ı tvrzen´ı. D˚ usledek 4.3. ∀U ⊂⊂ V,

(U⊥ )⊥ = U .

D˚ ukaz. Dokáˇzeme rovnost jako platnost dvou inkluz´ı. (U⊥ )⊥ ⊃ U Pokud u ∈ U, pak hv, ui = 0 pro kaˇzdý vektor v ∈ U⊥ (podle definice U⊥ ). Ponˇevadˇz v je ortogonáln´ı ke kaˇzdému vektoru z U⊥ , máme u ∈ (U⊥ )⊥ .

4. Metrika


53

(U⊥ )⊥ ⊂ U Necht’ nyn´ı v ∈ (U⊥ )⊥ . Z Vˇety 4.6 plyne, ˇze existuj´ı vektory u ∈ U a w ∈ U⊥ takové, ˇze máme rozklad v = u + w. Z toho dostáváme v − u = w ∈ U⊥ . Ponˇevadˇz v ∈ (U⊥ )⊥ (podle pˇredpokladu) a u ∈ (U⊥ )⊥ (z uˇz dokázané opaˇcné inkluze), máme rovnˇeˇz v − u = w ∈ (U⊥ )⊥ . Tedy v − u ∈ U⊥ ∩ (U⊥ )⊥ , z ˇcehoˇz plyne, ˇze v − u je ortogonáln´ı sám k sobˇe, tedy v − u = 0, a tedy v = u ∈ U. Nyn´ı vyuˇzijeme ortogonáln´ıho rozkladu z Vˇety 4.6 k definici velice d˚ uleˇzitého lineárn´ıho zobrazen´ı. Definice 4.7. Necht’ U ⊂⊂ V. Ortogonáln´ı projekce V na U je zobrazen´ı definované pˇredpisem PU : V → U : {v 7→ u} , kde u je vektor urˇcený rozkladem ∀v ∈ V,

∃! u ∈ U, w ∈ U⊥ ,

v = u+w.

(4.15)

Rozklad (4.15) plat´ı d´ıky platnosti direktn´ıho souˇctu V = U ⊕ U⊥ dokázanému ve Vˇetˇe 4.6. Mˇeli byste si dokázat, ˇze PU ∈ L (V) a ˇze PU splˇ nuje následuj´ıc´ı vlastnosti. Tvrzen´ı 4.4. ∀U ⊂⊂ V, (i) ran PU = U; (ii) ker PU = U⊥ ; (iii) ∀v ∈ V,

v − PU v ∈ U⊥ ;

(v) ∀v ∈ V,

kPU vk ≤ kvk;

(iv) PU2 = PU ;

(vi) Je-li v1 , . . . , vm ortonormáln´ı báze prostoru U, pak plat´ı ∀v ∈ V,

PU v = hv1 , viv1 + · · · + hvm , vivm .

V bodˇe (iv) pouˇz´ıváme zápis PU2 := PU PU .

4.7

Line´ arn´ı funkcion´ aly

Definice 4.8. Lineárn´ı funkcionál φ na V je lineárn´ı zobrazen´ı φ : V → K. Pˇ r´ıklad 4.8. Necht’ v ∈ V je pevnˇe dan´ y vektor. Potom zobrazen´ı definované pˇredpisem u 7→ hv, ui je lineárn´ı funkcionál na V.

♦

54

4. Metrika


Následuj´ıc´ı pozoruhodné tvrzen´ı ukazuje, ˇze kaˇzdý lineárn´ı funkcionál je tohoto typu. Vˇ eta 4.7 (Rieszova o reprezentaci). Necht’ φ je lineárn´ı funkcionál na V. Potom plat´ı: ∃! v ∈ V,

∀u ∈ V,

φ(u) = hv, ui .

D˚ ukaz. D˚ ukaz si rozdˇelme do dvou krok˚ u. Existence Dokaˇzme si nejdˇr´ıve, ˇze existuje nˇejaký vektor v ∈ V takový, ˇze plat´ı φ(u) = hv, ui pro vˇsechny vektory u ∈ V (tedy poˇzadované tvrzen´ı, ovˇsem bez vykˇriˇcn´ıku u existenˇcn´ıho kvantifikátoru). Necht’ v1 , . . . , vm je nˇejaká ortonormáln´ı báze ve V. Potom φ(u) = φ hv1 , ui v1 + · · · + hvm , ui vm = hv1 , ui φ(v1) + · · · + hvm , ui φ(vm) D E = φ(v1 ) v1 + · · · + φ(vm ) vm , u

pro libovolný vektor u ∈ V. Tedy poˇzadované tvrzen´ı dostaneme volbou v := φ(v1 ) v1 + · · · + φ(vm ) vm .

Jednoznaˇcnost Nyn´ı ukaˇzme, ˇze pouze jeden vektor v ∈ V splˇ nuje poˇzadovaný vztah φ(u) = hv, ui pro vˇsechny vektory u ∈ V. Necht’ existuj´ı dva vektory v1 , v2 ∈ V splˇ nuj´ıc´ı ∀u ∈ V,

φ(u) = hv1 , ui = hv2 , ui .

Potom ∀u ∈ V,

0 = hv1 , ui − hv2 , ui = hv1 − v2 , ui .

Pro speciáln´ı volbu u := v1 − v2 dostaneme v1 − v2 = 0, tedy v1 = v2 , z ˇcehoˇz plyne poˇzadovaná jednoznaˇcnost.

4.8

Sdruˇ zen´ e zobrazen´ı

V dalˇs´ım výkladu budeme kromˇe V potˇrebovat jeˇstˇe jeden vektorový prostor se skalárn´ım souˇcinem: W := vektorový prostor se skalárn´ım souˇcinem nad K. Následuj´ıc´ı definice pˇredstavuje dalˇs´ı d˚ uleˇzitou operaci na prostoru lineárn´ıch zobrazen´ı. Definice 4.9. Necht’ T ∈ L (V, W). Sdruˇzené zobrazen´ı k T je zobrazen´ı T ∗ definované pˇredpisem T ∗ : W → V : {w 7→ v : ∀u ∈ V, hw, T ui = hv, ui} . Zde hw, T ui znaˇc´ı skalárn´ı souˇcin na W, zat´ımco hv, ui znaˇc´ı skalárn´ı souˇcin na V. Existence a jednoznaˇcnost takovéhoto vektoru v plyne z Vˇety 4.7 (aplikované na lineárn´ı funkcionál φ(u) := hw, T ui). Obraz sdruˇzeného zobrazen´ı T ∗ w je tedy jednoznaˇcnˇe urˇcený vektor ve V splˇ nuj´ıc´ı vztah ∀u ∈ V, ∀w ∈ W, hw, T ui = hT ∗ w, ui .

4. Metrika


55

Pˇ r´ıklad 4.9. Uvaˇzujme zobrazen´ı (viz Pˇr´ıklad 3.6)      a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn       x1 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn       . T : Kn → Km :  ..  7→   , ..    .    xn    am1 x1 + am2 + · · · + amn xn

kde ajk ∈ K, j = 1, . . . , m, k = 1, . . . , n, jsou daná ˇc´ısla. Sdruˇzené zobrazen´ı k T ∗ (v˚ uˇci eukleidovskému skalárn´ımu souˇcinu) je d´ ano pˇredpisem      a11 ξ1 + a21 ξ2 + · · · + am1 ξm     ξ    a12 ξ1 + a22 ξ2 + · · · + am2 ξm   1    ..  ∗ m n T : K → K :  .  7→   . ..    .       ξm a1n ξ1 + a2n ξ2 + · · · + amn ξm ♦

Následuj´ıc´ı tvrzen´ı ukazuje, ˇze T ∗ je nejen zobrazen´ı, ale dokonce lineárn´ı, a ˇze operace sdruˇzen´ı T 7→ T ∗ splˇ nuje mnoˇzstv´ı zaj´ımavých vlastnost´ı. D˚ ukazy pˇrenecháváme ˇctenáˇri. Tvrzen´ı 4.5. (i) ∀T ∈ L (V, W),

T ∗ ∈ L (W, V);

(lineárnost)

(S + T )∗ = S ∗ + T ∗ ;

(ii) ∀S, T ∈ L (V, W), (iii) ∀T ∈ L (V, W), α ∈ K,

(αT )∗ = α T ∗ ;

(aditivita) (konjugovaná homogenita)

(T ∗ )∗ = T ;

(dvojité sdruˇzen´ı)

(v) I ∗ = I; kde I je identický operátor na V

(identita)

(iv) ∀T ∈ L (V, W),

(vi) ∀T ∈ L (V, U), S ∈ L (U, W), (ST )∗ = T ∗ S ∗ , kde U znaˇc´ı nˇejaký dalˇs´ı vektorový prostor se skalárn´ım souˇcinem.

(souˇcin)

Dalˇs´ı tvrzen´ı poskytuje d˚ uleˇzité vztahy mezi jádrem a oborem hodnot zobrazen´ı a jeho sdruˇzeného zobrazen´ı. D˚ ukaz je jednoduchý, avˇsak právˇe kv˚ uli d˚ uleˇzitosti si tato tvrzen´ı zformulujeme jako vˇetu. Vˇ eta 4.8. ∀T ∈ L (V, W), (i) ker T ∗ = (ran T )⊥ ;

(ii) ran T ∗ = (ker T )⊥ ; (iii) ker T = (ran T ∗ )⊥ ; (iv) ran T = (ker T ∗ )⊥ .

56

4. Metrika


D˚ ukaz. Necht’ w ∈ W. Potom plat´ı ekvivalence w ∈ ker T ∗ ⇐⇒ T ∗ w = 0 ⇐⇒ ∀v ∈ V, hT ∗ w, vi = 0 ⇐⇒ ∀v ∈ V, hw, T vi = 0 ⇐⇒ w ∈ (ran T )⊥ .

T´ımto jsme dokázali vlastnost (i). Pokud vezmeme ortogonáln´ı doplnˇek obou stran rovnosti (i) a pouˇzijeme Tvrzen´ı 4.3, dostaneme (iv). Vlastnosti (ii) a (iii) jsou tvrzen´ı (i) a (iv) s vymˇenˇenými rolemi mezi T a T ∗ .

D˚ usledek 4.4. ∀T ∈ L (V, W), (i) dim ran T ∗ = dim ran T ;

(ii) dim ker T ∗ = dim ker T + dim W − dim V. D˚ ukaz. Z Vˇety 3.1 plynou identity dim V = dim ker T + dim ran T , dim W = dim ker T ∗ + dim ran T ∗ .

(4.16) (4.17)

Z Vˇety 4.6 o ortogonáln´ım rozkladu, máme V = ker T ⊕ (ker T )⊥ a W = ker T ∗ ⊕ (ker T ∗ )⊥ , z ˇcehoˇz plynou identity dim V = dim ker T + dim(ker T )⊥ ,

(4.18)

dim W = dim ker T ∗ + dim(ker T ∗ )⊥ .

(4.19)

Srovnán´ım (4.16) s (4.18) dostaneme dim ran T = dim(ker T )⊥ = dim ran T ∗ , kde posledn´ı rovnost plyne z Vˇety 4.8(ii). T´ım jsme dokázali identitu (i). Uˇzit´ım Vˇety 4.8(iv) v (4.19) odvod´ıme dim W = dim ker T ∗ + dim ran T a kombinac´ı tohoto vztahu s (4.16) dostaneme identitu (ii). (Vztah (4.17) jsme tedy v˚ ubec nepouˇzili, ale mohli bychom ho vyuˇz´ıt pro alternativn´ı d˚ ukaz rovnost´ı (i) a (ii).) Pˇ r´ıklad 4.10 (Soustavy lineárn´ıch algebraick´ ych rovnic, Fredholmovy vˇety). Jako aplikaci tˇechto abstraktn´ıch v´ ysledk˚ u uvaˇzujme oper´ atorové rovnice Tx = y , Tx = 0,

(4.20) (4.21)

T ∗ξ = η , ∗

T ξ = 0,

(4.22) (4.23)

kde T je zobrazen´ı z Kn do Km definované v Pˇr´ıkladu (4.9), x, η ∈ Kn a y, ξ ∈ Km . Tyto rovnice jsou tedy ekvivalentn´ı soustavám lineárn´ıch algebraick´ ych rovnic


4. Metrika

57

 a11 ξ1 + a21 ξ2 + · · · + am1 ξm = η1      a12 ξ1 + a22 ξ2 + · · · + am2 ξm = η2 ..   .    a1n ξ1 + a2n ξ2 + · · · + amn ξm = η2  a11 ξ1 + a21 ξ2 + · · · + am1 ξm = 0      a12 ξ1 + a22 ξ2 + · · · + am2 ξm = 0 ..   .    a1n ξ1 + a2n ξ2 + · · · + amn ξm = 0

 a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = y1      a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = y2 ..   .    am1 x1 + am2 + · · · + amn xn = ym  a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0      a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = 0 ..   .    am1 x1 + am2 + · · · + amn xn = 0

Zde pˇredpokládáme, ˇze ˇc´ısla ajk ∈ K, j = 1, . . . , m, k = 1, . . . , n, a vektory y a η jsou zadané, zat´ımco vektory x a ξ pˇredstavuj´ı nezn´ amé. Rovnice (4.20) a (4.21) tedy pˇredstavuj´ı m rovnic o n nezn´ am´ ych, zat´ımco (4.22) a (4.23) pˇredstavuj´ı n rovnic o m nezn´ am´ ych. Z Pˇr´ıkladu 3.22 uˇz v´ıme, ˇze pokud poˇcet nezn´ am´ ych je vˇetˇs´ı neˇz poˇcet rovnic, potom existuje netriviáln´ı ˇreˇsen´ı homogenn´ı soustavy rovnic (tedy n > m pro (4.21) a n < m pro (4.23)). Rovnˇeˇz v´ıme, ˇze pokud poˇcet nezn´ am´ ych je menˇs´ı neˇz poˇcet rovnic, potom existuje pravá strana, pro n´ıˇz nen´ı nehomogenn´ı soustava rovnic ˇreˇsitelná (tedy n < m pro (4.20) a n > m pro (4.22)). Uvaˇzujme nyn´ı speci´ aln´ı pˇr´ıpad m = n, kdy poˇcet rovnic je stejn´ y jako poˇcet nezn´ am´ ych. Z Pˇr´ıkladu 3.24 uˇz v´ıme, ˇze nehomogenn´ı soustava (4.20) má ˇreˇsen´ı (a to právˇe jedno) pro libovolnou volbu pravé strany tehdy a jen tehdy, pokud homogenn´ı soustava (4.21) má pouze triviáln´ı ˇreˇsen´ı. Stejn´ y typ tvrzen´ı samozˇrejmˇe plat´ı i pro sdruˇzené rovnice (4.22) a (4.23). Pod´ıvejme se nyn´ı, jak´ y je vztah mezi rovnicemi (4.20) a (4.21) na jedné stranˇe a rovnicemi (4.22) a (4.23) na druhé stranˇe. Ponˇevadˇz pˇredpokládáme m = n, z D˚ usledku 4.4(ii) vid´ıme, ˇze dim ker T = dim ker T ∗ . Tedy: Podprostory ˇreˇsen´ı rovnic (4.21) a (4.23) maj´ı stejnou dimenzi. To, ˇze x je ˇreˇsen´ım rovnice (4.20) s pravou stranou y je ekvivalentn´ı tomu, ˇze y ∈ ran T . Toto je podle Vˇety 4.8(iv) ekvivalentn´ı tomu, ˇze y ∈ (ker T )∗ . Posledn´ı vlastnost je pak ekvivalentn´ı tomu, ˇze hξ, yi = 0 pro vˇsechny vektory ξ ∈ ker T ∗ . Dost´ av´ ame tedy ekvivalenci: Rovnice (4.20) s pravou stranou y má ˇreˇsen´ı

⇐⇒

y je ortogonáln´ı ke kaˇzdému ˇreˇsen´ı rovnice (4.23).

Analogické tvrzen´ı samozˇrejmˇe plat´ı i pro p´ ar (4.22) a (4.21). Tato tvrzen´ı o ˇreˇsen´ı soustav lineárn´ıch algebraick´ ych rovnic se naz´ yvaj´ı Fredholmovy vˇety. My je dostáv´ ame elegantnˇe coby d˚ usledek abstraktn´ıch tvrzen´ı o lineárn´ıch zobrazen´ıch. ♦

58

4. Metrika

4.9


Cviˇ cen´ı

1. Necht’ x, y ∈ R2 jsou nenulové. Ukaˇzte, ˇze plat´ı vztah hx, yi = kxkkyk cos θ , kde θ je u ´ hel mezi vektory x a y (pokud is je pˇredstavujeme jako ˇsipky um´ıstˇené v poˇcátku souˇradného systému R2 ). [Hint: Nakreslete si troj´ uheln´ık tvoˇrený vektory x, y a x − y a uˇzijte kosinovou vˇetu.] 2. Necht’ u, v ∈ V. Dokaˇzte následuj´ıc´ı ekvivalenci: hu, vi = 0

⇐⇒

∀α ∈ K,

kuk ≤ ku + αvk .

[Hint: Rozviˇ nte pravou stranu a piˇste α = βhv, ui, kde β je malé reálné ˇc´ıslo.] 3. Necht’ vektory u, v ∈ V splˇ nuj´ı rovnosti kuk = 3 ,

ku + vk = 4 ,

ku − vk = 6 .

ˇ Cemu je rovna norma kvk? √ [ 17.] 4. Necht’ V je reálný vektorový prostor. Ukaˇzte, ˇze pak plat´ı vztah ∀u, v ∈ V,

hu, vi =

1 ku + vk2 − ku − vk2 . 4

5. Necht’ V je komplexn´ı vektorový prostor. Ukaˇzte, ˇze pak plat´ı vztah ∀u, v ∈ V,

hu, vi =

1 ku + vk2 − ku − vk2 + iku − ivk2 − iku + ivk2 . 4

6. Ukaˇzte, ˇze vektory 1 2 1 2 1 2 1 2

 ,

tvoˇr´ı ortonormáln´ı bázi v R4 .

 

1 2 1 2 − 21 − 12





,



1 2 − 12 − 12 1 2



,

 −1  

2 1 2 − 12 1 2

,

7. Pomoc´ı Gramm-Schmidtova ortogonalizaˇcn´ıho procesu zkonstruujte z vektor˚ u 2 2 2 2 , 2 , 0 , 0

0

2

ortonormáln´ı bázi v R3 .

8. Pomoc´ı Gramm-Schmidtova ortogonalizaˇcn´ıho procesu zkonstruujte z vektor˚ u 2i 2i 2i 2i , 2i , 0 , 0

ortonormáln´ı bázi v C3 .

0

2i

4. Metrika


59

9. Ukaˇzte, ˇze zobrazen´ı φ : K3 → K : je lineárn´ı funkcionál na K3 .

n x1 x2 x3

7→ 2x1 − 5x2 + x3

10. Uvaˇzujme lineárn´ı zobrazen´ı 3

2

T :K →K :

n x1 x2 x3

7→

ix2 +3x3 2x1

Spoˇctˇete k nˇemu sdruˇzené zobrazen´ı T ∗ . n 2y2 o [T : K2 → K3 : ( yy12 ) 7→ −iy1 .]

o

3y1

11. Necht’ v ∈ V je fixn´ı vektor a uvaˇzujme lineárn´ı zobrazen´ı T : V → K : {u 7→ hv, ui} . Spoˇctˇete k nˇemu sdruˇzené zobrazen´ı T ∗ . [T ∗ : K → V : {α 7→ αv}.]

.

o

60

5

5. Matice


Matice

V této kapitolce koneˇcnˇe poˇrádnˇe zavedeme pojem matice a ukáˇzeme si souvislost matic s lineárn´ımi zobrazen´ımi. Budeme implicitnˇe pˇredpokládat, ˇze ˇc´ısla m, n znaˇc´ıc´ı poˇcet vektor˚ u ˇci velikost matic jsou striktnˇe kladná celá ˇc´ısla, tedy: m, n ∈ N∗ .

5.1

Tabulkov´ a definice

Definice 5.1. Matic´ı typu m × n nazveme obdéln´ıkovou tabulku o m ˇrádc´ıch a n sloupc´ıch   a11 . . . a1n  .. ..  , (5.1)  . .  am1 . . . amn

kde ajk ∈ K, j = 1, . . . , m, k = 1, . . . , n.

ˇ ısla ajk vystupuj´ıc´ı v matici budeme nazývat prvky matice. n-tici ˇc´ısel C´ aj := aj1 , . . . , ajn

budeme nazývat j-tým ˇrádkem matice a m-tici ˇc´ısel   a1k   ak :=  ...  amk

budeme nazývat k-tým sloupcem matice. Vˇsimnˇete si, ˇze prvn´ı index ˇc´ısla ajk znaˇc´ı ˇc´ıslo ˇrádku a druhý index znaˇc´ı ˇc´ıslo sloupce. Je-li m = n, mluv´ıme o ˇctvercové matici stupnˇe n. Jsou-li vˇsechny prvky matice reálná ˇc´ısla, mluv´ıme o reálné matici. Jinak mluv´ıme o komplexn´ı matici. Matice typu m × n má tedy m ˇrádk˚ u a n sloupc˚ u. Na tyto sloupce se m˚ uˇzeme d´ıvat jako na matice typu m × 1 nebo také jako na prvky v Km (sloupcové vektory). Podobnˇe na ˇrádky se m˚ uˇzeme d´ıvat jako na matice typu 1 × n nebo také jako na prvky v Kn (ˇrádkové vektory).

k=1,...,n Tabulku (5.1) budeme pˇr´ıleˇzitostnˇe zkracovat na (ajk )j=1,...,m ˇci dokonce na (ajk ), pokud bude rozsah index˚ u jasný z kontextu.

5.2

Matice line´ arn´ıho zobrazen´ı

Necht’ T ∈ L (V, W). Necht’ v1 , . . . , vn je báze prostoru V a w1 , . . . , wm je báze prostoru W. Z vlastnost´ı báze plyne, ˇze pro kaˇzdý index k = 1, . . . , n existuj´ı jednoznaˇcnˇe urˇcená ˇc´ısla a1k , . . . , amk ∈ K taková, ˇze máme rozklad T vk = a1k w1 + · · · + amk wm .

5. Matice


61

ˇ ısla ajk zcela urˇcuj´ı lineárn´ı zobrazen´ı T , protoˇze lineárn´ı zobrazen´ı je urˇceno svými hodC´ notami na prvc´ıch báze (viz Pˇr´ıklad 3.7). Definice 5.2. Matice zobrazen´ı T ∈ L (V, W) vzhledem k báz´ım v1 , . . . , vn ∈ V a w1 , . . . , wm ∈ W je tabulka   a11 . . . a1n  ..  , M T, {v1 , . . . , vn }, {w1, . . . , wm } :=  ... .  am1 . . . amn

jej´ıˇz prvky jsou (jednoznaˇcnˇe) urˇceny rozklady

T vk = a1k w1 + · · · + amk wm ,

k = 1, . . . , n .

Pokud volba báz´ı je zˇrejmá z kontextu, budeme oznaˇcen´ı matice zobrazen´ı T zkracovat na M(T ). Jako pom˚ ucku pro zapamatován´ı si, jak je matice M(T ) zkonstruována z T , si m˚ uˇzete napsat vektory báze výchoz´ıho prostoru v1 , . . . , vn nahoru a vektory báze c´ılového prostoru w1 , . . . , wm doleva tabulky takovýmto zp˚ usobem: v1 . . . vk . . . vn 

w1 ..  .  wm



a1k .. .

 .

amk

Zde zobrazujeme pouze k-tý sloupec matice, a ten se skládá právˇe z ˇc´ısel, která potˇrebujeme, abychom mohli zapsat T vk coby lineárn´ı kombinaci vektor˚ u w1 , . . . , wm . Pˇ r´ıklad 5.1. Matice nulového zobrazen´ı se skládá z prvk˚ u,  0 ...  .. M(0) =  . 0 ...

jeˇz jsou vˇsechny rovny nule. Tedy  0 ..  . . 0

Pˇ r´ıklad 5.2. Pˇripomeˇ nme si nyn´ı zobrazen´ı z Pˇr´ıkladu 3.6       ( x1 a11 x1 + · · · + a1n xn y1 )    ..   . .  n m .. T : K → K :  .  7→   =:  ..  , xn am1 x1 + · · · + amn xn ym | {z } | {z } x

♦

y

kde ajk ∈ K, j = 1, . . . , m, k = 1, . . . , n. V pˇr´ıpadˇe souˇradnicov´ ych prostor˚ u Kn budeme vˇzdy (pokud neˇrekneme jinak) uvaˇzovat kanonickou b´ azi (viz Pˇr´ıklady 2.2 a 2.10). Za tohoto pˇredpokladu se ˇcten´ aˇr snadno pˇresvˇedˇc´ı o tom, ˇze matice zobrazen´ı T má pˇresnˇe pˇredpokládan´ y tvar   a11 . . . a1n  ..  . M(T ) =  ... .  am1

...

amn

62

5. Matice


♦

5.3

Operace s maticemi

Právˇe jsme vidˇeli, ˇze kaˇzdému lineárn´ımu zobrazen´ı odpov´ıdá matice. Je matice souˇctu lineárn´ıch zobrazen´ı rovna souˇctu matic jednotlivých zobrazen´ı? Je matice lineárn´ıho zobrazen´ı pˇrenásobeného nˇejakým ˇc´ıslem rovna ˇc´ıslu krát matice samotného lineárn´ıho zobrazen´ı? Tedy ∀T, S ∈ L (V, W), ∀T ∈ L (V, W),

?

(5.2)

?

(5.3)

M(T + S) = M(T ) + M(S) ,

α∈K

M(αT ) = αM(T ) .

V této fázi nemaj´ı otázky dobrý smysl, ponˇevadˇz, pˇrestoˇze jsme definovali pojem souˇctu dvou lineárn´ıch zobrazen´ı a pˇrenásoben´ı lineárn´ıho zobrazen´ı ˇc´ıslem, souˇcet matic a jejich násoben´ı ˇc´ısly jsme zat´ım nedefinovali. Naˇstˇest´ı zˇrejmé definice dávaj´ı ty správné vlastnosti. Jmenovitˇe, pro matice stejného typu m × n zavedeme jejich souˇcet pˇres souˇcet jejich prvk˚ u:       a11 + b11 . . . a1n + b1n b11 . . . b1n a11 . . . a1n   .. .. .. ..  :=  ..  +  .. ,   . . . .  .   . am1 + bm1 . . . amn + bmn bm1 . . . bmn am1 . . . amn

tedy (ajk ) + (bjk ) := (ajk + bjk ). Pˇrenásoben´ı ˇc´ıslem definujeme rovnˇeˇz po sloˇzkách:     a11 . . . a1n αa11 . . . αa1n  ..  :=  .. ..  , α  ...  . .  .  am1 . . . amn αam1 . . . αamn

ˇ aˇr si snadno ovˇeˇr´ı, ˇze s takto definovanými operacemi skuteˇcnˇe tedy α(ajk ) := (αajk ). Cten´ plat´ı rovnosti (5.2) a (5.3). Ponˇevadˇz jsme zavedli operace souˇcet a pˇrenásoben´ı ˇc´ıslem, nemˇeli byste být pˇrekvapeni, ˇze se tu co nevidˇet objev´ı vektorový prostor. Oznaˇcme si symbolem Km×n mnoˇzinu vˇsech matic typu m × n, jejichˇz prvky jsou ˇc´ısla z tˇelesa K. S operacemi sˇc´ıtán´ı a pˇrenásoben´ı ˇc´ıslem definovanými výˇse se skuteˇcnˇe jedná o vektorový prostor. Tvrzen´ı 5.1. Km×n je vektorový prostor nad K. Pod´ıvejme se nyn´ı na matici sloˇzeného zobrazen´ı. Za t´ımto u ´ˇcelem, uvaˇzujme tˇri vektorové prostory U, V a W a jejich báze u1 , . . . , up , v1 , . . . , vn a w1 , . . . , wm . Necht’ S ∈ L (U, V) a T ∈ L (V, W). Sloˇzené zobrazen´ı T S je lineárn´ı zobrazen´ı z U do W. Máme tedy takovýto diagram: dim V=n

U

①;; ①① S ①①① ①① ①① ①①

dim U=p

V ●● ●● ●●T ●● ●● ●● ## TS

//

W

dim W=m

5. Matice


63

Jak m˚ uˇzeme spoˇc´ıtat matici sloˇzeného zobrazen´ı M(T S) z jednotlivých matic M(T ) a M(S)? Nejhezˇc´ı ˇreˇsen´ı by bylo m´ıt takovýto vztah ?

M(T S) = M(T ) M(S) .

(5.4)

Pravá strana rovnice vˇsak nedává ˇzádný smysl, ponˇevadˇz jsme prozat´ım nedefinovali souˇcin matic. Definujme nyn´ı tuto operaci, a to právˇe tak, aby platil vztah (5.4). Oznaˇcme si sloˇzky jednotlivých matic zobrazen´ı:     a11 . . . a1n b11 . . . b1p  ..  , M(S) =:  .. ..  , M(T ) =:  ...  . .  .  am1 . . . amn bn1 . . . anp



c11  .. M(T S) =:  .

cm1 . . .

Potom máme, pro vˇsechna k = 1, . . . , p, ! n n m m n X X X X X T Suk = T brk vr = brk T vr = brk ajr wj = r=1

r=1

r=1

j=1

...

j=1

n X

ajr brk

|r=1 {z cjk

!

 c1p ..  . . 

cmp

wj .

}

Z toho vid´ıme, ˇzP e M(T S) je matice typu m × p, jej´ıˇz prvek v j-tém ˇrádku a k-tém sloupci je dán vztahem nr=1 ajr brk .

Nyn´ı je jasné, jak definovat násoben´ı matic, aby platil vztah (5.4). Máme-li m × n matici A = (ajk ) a n × p matici B = (bjk ), potom AB = (cjk ) je matice typu m × p definovaná prvky n X cjk := ajr brk . (5.5) r=1

Vˇsimnˇete si, ˇze se sˇc´ıtá pˇres indexy, jeˇz spolu soused´ı. Rovnˇeˇz si dobˇre uvˇedomte, ˇze souˇcin matic definujeme pouze pro matice, kdy poˇcet sloupc˚ u prvn´ı matice (A) je roven poˇctu ˇrádk˚ u druhé matice (B).

Moˇzná jste se s touto definic´ı násoben´ı matic uˇz setkali v nˇejakém pˇredchoz´ım kurzu, ale nejsp´ıˇs jste pro n´ı nevidˇeli tuto motivaci. Pozor! Násoben´ı matic nen´ı komutativn´ı (najdˇete si pˇr´ıklad).

5.4

Matice vektoru

Definice 5.3. Matic´ı vektoru v ∈ V vzhledem k bázi v1 , . . . , vn ∈ V je matice typu n × 1   b1  ..  M v, {v1, . . . , vn } :=  .  , bn jej´ıˇz prvky jsou (jednoznaˇcnˇe) urˇceny rozkladem

v = b1 v1 + · · · + bn vn .

64

5. Matice


Pokud volba báze je zˇrejmá z kontextu, budeme oznaˇcen´ı matice vektoru v opˇet zkracovat na M(v). Následuj´ıc´ı tvrzen´ı ukazuje, jak pojmy matice lineárn´ıho zobrazen´ı, matice vektoru a násoben´ı matic do sebe hezky zapadaj´ı. Tvrzen´ı 5.2. Necht’ je dána báze v1 , . . . , vn prostoru V a báze w1 , . . . , wm prostoru W. Pro libovolné zobrazen´ı T ∈ L (V, W) a vektor v ∈ V plat´ı M(T v) = M(T )M(v) .

D˚ ukaz. Máme 

a11  .. M(T ) =  .

...

 a1n ..  , . 

kde

T vk =:

m X

ajk wj

j=1

am1 . . . amn

je rozklad do báze pro dané k = 1, . . . , n. Obdobnˇe máme   b1 n X  ..  kde v =: bk vk . M(v) =  .  , k=1 bn

Z uvedených rozklad˚ u do báze odvod´ıme Tv =

n X k=1

bk T vk =

n X k=1

bk

m X j=1

ajk wj =

m n X X j=1

k=1

ajk bk

!

wj ,

z ˇcehoˇz (a definice matice vektoru) vid´ıme, ˇze   a11 b1 + · · · + a1n bn   .. M(T v) =  . . am1 b1 + · · · + amn bn

Stejný výsledek vˇsak dostaneme, pokud pronásob´ıme matice M(T ) a M(v) podle pravidla násoben´ı matic.

5.5

Izomorfismus

Definice 5.4. Dva vektorové prostory jsou izomorfn´ı, pokud existuje invertibiln´ı lineárn´ı zobrazen´ı z jednoho prostoru na druhý. Takovémuto zobrazen´ı budeme ˇr´ıkat izomorfismus. Pokud V a W jsou dva izomorfn´ı vektorové prostory, p´ıˇseme V ≃ W, coˇz naznaˇcuje, ˇze tyto prostory maj´ı stejné vlastnosti v tom smyslu, ˇze izomorfn´ı zobrazen´ı poskytuje jednoznaˇcné pˇriˇrazen´ı mezi prvky jednotlivých prostor˚ u.

5. Matice


65

ˇ e slovo isos znamená “stejný” a ˇrecké slovo Tomu odpov´ıdá i samotná terminologie: Reck´ morf znamená “tvar”. Lze se jednoduˇse pˇresvˇedˇcit o tom, ˇze pokud dva vektorové prostory jsou izomorfn´ı a jeden z nich je koneˇcnˇe dimenzionáln´ı, nezbytnˇe i ten druhý mus´ı být koneˇcnˇe dimenzionáln´ı. Následuj´ıc´ı tvrzen´ı ukazuje, ˇze plat´ı mnohem v´ıc. Vˇ eta 5.1. Plat´ı tato ekvivalence: V≃W

⇐⇒

dim V = dim W .

D˚ ukaz. Opˇet dokáˇzeme ekvivalenci jako platnost dvou implikac´ı. ⇒ Izomorfnost prostor˚ u podle definice znamená, ˇze existuje invertibiln´ı lineárn´ı zobrazen´ı T : V → W. Ponˇevadˇz T je invertibiln´ı, je bijektivn´ı (Vˇeta 3.2), a tud´ıˇz ker T = {0} a ran T = W. Tedy dim ker T = 0 a dim ran T = dim W. Z Vˇety 3.1 pak plyne dim V = dim ker T + dim ran T = dim W , coˇz jsme chtˇeli ukázat. ⇐ Necht’ v1 , . . . , vn je báze prostoru V a w1 , . . . , wn je báze prostoru W. Necht’ T : V → W je lineárn´ı zobrazen´ı definované pˇredpisem T (a1 v1 + · · · + an vn ) := a1 w1 + · · · + an wn , kde a1 , . . . , an ∈ K jsou libovolná ˇc´ısla. Potom T je surjektivn´ı (jelikoˇz w1 , . . . , wn generuj´ı W) a injektivn´ı (jelikoˇz w1 , . . . , wn jsou lineárnˇe nezávislé). Tedy T je bijektivn´ı, a tud´ıˇz invertibiln´ı (Vˇeta 3.2). Zobrazen´ı T je hledaný izomorfismus mezi prostory V a W. D˚ usledkem pˇredchoz´ı vˇety je naprosto pozoruhodné tvrzen´ı: Kaˇzdý koneˇcnˇe dimenzionáln´ı vektorový prostor V je izomorfn´ı Kn s n := dim V. To umoˇzn ˇ uje pˇrevést ˇreˇsen´ı jistých u ´ loh v abstraktn´ım prostoru V na ˇreˇsen´ı odpov´ıdaj´ıc´ıch u ´ loh v souˇradnicovém prostoru Kn . To m˚ uˇze být v mnoha ohledech jednoduˇsˇs´ı, protoˇze m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt speciáln´ıch vlastnost´ı n prostoru K , jenˇz obecný vektorový prostor nemá (napˇr´ıklad existenci skalárn´ıho souˇcinu). Proˇc se tedy v˚ ubec zabývat abstraktn´ımi vektorovými prostory? D˚ uvod je ten, ˇze i zkoumán´ı v prostoru Kn vede k prostor˚ um, jeˇz nejsou rovny Kn (napˇr´ıklad jádro ˇci obor hodnot lineárn´ıch zobrazen´ı, prostor matic ˇci polynom˚ u); pˇrestoˇze kaˇzdý z tˇechto prostor˚ u je sice m izomorfn´ı nˇejakému K , tento postˇreh zkoumán´ı nijak nezjednoduˇs´ı. Zafixujme nˇejakou bázi v1 , . . . , vn prostoru V a bázi w1 , . . . , wm prostoru W. Definujme zobrazen´ı M : L (V, W) → Km×n : {T 7→ M(T )} . (5.6) Definice souˇctu matic a pˇrenásoben´ı ˇc´ıslem zaruˇcuj´ı, ˇze takto definované zobrazen´ı je lineárn´ı. Následuj´ıc´ı tvrzen´ı ukazuje, ˇze zobrazen´ı M definuje izomorfismus mezi prostorem lineárn´ıch zobrazen´ı L (V, W) a prostorem matic Km×n . Tvrzen´ı 5.3. Zobrazen´ı M je izomorfismus.

66

5. Matice


D˚ ukaz. Lineárnost jsme uˇz okomentovali, tud´ıˇz staˇc´ı dokázat, ˇze M je invertibiln´ı. Podle Vˇety 3.2 staˇc´ı ukázat, ˇze M je bijektivn´ı. Zaˇcnˇeme s injektivitou. Pokud T ∈ L (V, W) a M(T ) = 0, potom T vk = 0 pro vˇsechna k = 1, . . . , n. Ponˇevadˇz v1 , . . . , vn je báze, dostáváme T = 0, a tedy M je injektivn´ı. Abychom ukázali, ˇze M je surjektivn´ı, vezmˇeme matici   a11 . . . a1n  ..  ∈ Km×n A :=  ... .  am1 . . . amn a zobrazen´ı T ∈ L (V, W) splˇ nuj´ıc´ı T vk =

m X

ajk wj ,

k = 1, . . . , n .

j=1

Je jasné, ˇze M(T ) = A, a tud´ıˇz M = Km×n , coˇz jsme chtˇeli ukázat. Izomorfismus 5.6 je velice silná a uˇziteˇcná vlastnost. Speciálnˇe nám ukazuje, ˇze pojmy jako jádro, obor hodnot, injektivita, surjektivita a invertibilita, jeˇz jsme zavedli pro abstraktn´ı zobrazen´ı T : V → W, jsou konzistentn´ı s analogickými pojmy pro matici M(T ), jiˇz m˚ uˇzeme chápat jako zobrazen´ı z Kn do Km . Snadno se o tˇechto konzistenc´ıch pˇresvˇedˇc´ıte studiem diagramu ∈V

T

v❴ ✤

//

∈W

w ❴

M

(5.7)

M

M(v, {v1, . . . , vn }) ✤

// M(w, {w1 , . . . , wm })

M(T,{v1 ,...,vn },{w1 ,...,wm })

∈Kn

∈Km

kde v1 , . . . , vn je báze ve V a w1 , . . . , wm je báze ve W. Pˇ r´ıklad 5.3. Jako aplikaci uvaˇzujme abstraktn´ı operátorovou rovnici Tv = w ,

(5.8)

kde T ∈ L (V, W). Zvol´ıme-li v prostoru V b´ azi v1 , . . . , vn a v prostoru W b´ azi w1 , . . . , wm , potom izomorfismus 5.6 zaruˇcuje, ˇze vektor v ∈ V je ˇreˇsen´ım (5.8) tehdy a jen tehdy, pokud souˇradnicov´ y vektor M(v) ∈ Kn je ˇreˇsen´ım maticové rovnice M(T )M(v) = M(w) . (5.9) Staˇc´ı se tedy zab´ yvat pouze rovnic´ı (5.9), jeˇz je jednoduˇsˇs´ı neˇz obecná rovnice (5.8). M˚ uˇzeme napˇr´ıklad pouˇz´ıt speci´ aln´ıch vlastnost´ı souˇradnicového prostoru Kn , které obecn´ y vektorov´ y prostor nem´ a (napˇr´ıklad existenci skalárn´ıho souˇcinu). Pˇripomeˇ nme, ˇze pokud sloˇzky vektoru v vzhledem k b´ azi v1 , . . . , vn oznaˇc´ıme x1 , . . . , xn , tedy v = x1 v1 + · · · + xn vn , sloˇzky vektoru w vzhledem k b´ azi w1 , . . . , wm oznaˇc´ıme y1 , . . . , ym , tedy w = y1 w1 + · · · + ym ym , a prvky matice M(T ) vzhledem k tˇemto b´ az´ım oznaˇc´ıme ajk , tedy T vk = a1k w1 + · · · + amk wm pro k = 1, . . . , n, pak (5.9) znamen´ a      x1 y1 a11 . . . a1n  .. ..   ..  =  ..  ,  . .  .   .  am1

...

amn

xn

jeˇz je vám dobˇre znám´ a soustava lineárn´ıch algebraick´ ych rovnic.

ym

♦


5. Matice

67

Jaká je dimenze prostoru matic Km×n ? Zˇrejmá báze je dána maticemi, jejichˇz prvky jsou vˇsechny rovny nule, kromˇe jednoho prvku, jenˇz je roven jedniˇcce. Takovýchto matic je mn (m krát n), tedy: Tvrzen´ı 5.4. dim Km×n = mn . D´ıky tomuto tvrzen´ı a izomorfismu M, dostáváme z Vˇety 5.1 takovýto d˚ usledek: D˚ usledek 5.1. dim L (V, W) = (dim V)(dim W) .

5.6

Hodnost matice

Pˇripomeˇ nme znaˇcen´ı pro matici A typu m × n   a11 . . . a1n  ..  = (a )k=1,...,n . A =  ... jk j=1,...,m .  am1 . . . amn

Jak je pˇrirozené definovat hodnost matice A? Kaˇzdá takováto matice A nám definuje lineárn´ı zobrazen´ı TA : Kn → Km : {x 7→ Ax} . Naopak matice lineárn´ıho zobrazen´ı TA vzhledem ke kanonické bázi prostoru Kn je rovna A (viz Pˇr´ıklad 5.2). Zˇrejmˇe máme             x1 a1n   a11 x1 + · · · + a1n xn   a11     ..   ..   ..  . n . ran A =  = span  .  , . . . ,  .  , : . ∈K .      a x +···+a x   a xn amn  m1 1 mn n m1

kde druhá rovnost plyne z pozorován´ı, ˇze libovolný vektor z Kn m˚ uˇzeme napsat jako lineárn´ı kombinaci vektor˚ u kanonické báze e1 , . . . , en . Následuj´ıc´ı definice je tedy ta pˇrirozená.

k=1,...,n Definice 5.5. Hodnost matice A = (ajk )j=1,...,m je ˇc´ıslo       a a 1n 11    ..   ..  rank A := dim span  .  , . . . ,  .  .    a amn  m1

Hodnost matice je tedy maximáln´ı poˇcet lineárnˇe nezávislých sloupc˚ u matice A. V ˇceské literatuˇre se obˇcas setkáme se znaˇcen´ım h(A) pro hodnost matice A. Souvislost tohoto pojmu pro matice s dˇr´ıve zavedeným pojmem hodnosti lineárn´ıho zobrazen´ı osvˇetluje následuj´ıc´ı tvrzen´ı.

68

5. Matice


Tvrzen´ı 5.5. Necht’ T ∈ L (V, W). Plat´ı tato rovnost: rank T = rank M(T ) .

D˚ ukaz. Necht’ v1 , . . . , vn je báze prostoru V a w1 , . . . , wm je báze prostoru W. Funkce, jeˇz pˇriˇrazuje vektoru w ∈ span{T v1 , . . . , T vn } matici vektoru M(w), je zˇrejmˇe izomorfismus mezi lineárn´ımi obaly span{T v1 , . . . , T vn } a span{M(T v1 ), . . . , M(T vn )}. Tedy rank T = dim span{T v1 , . . . , T vn } = dim span{M(T v1 ), . . . , M(T vn )} = rank M(T ) , kde prvn´ı rovnost je d˚ usledkem identity ran T = span{T v1 , . . . , T vn } a posledn´ı rovnost plyne z Definice 5.5. Vˇsimnˇete si dobˇre, ˇze v pˇredchoz´ım tvrzen´ı nevystupuj´ı ˇzádné báze. Pˇrestoˇze tvar matice M(T ) závis´ı na volbˇe báz´ı v prostorech V a W, rovnost výˇse ukazuje, ˇze hodnost matice na volbˇe báz´ı nezávis´ı (protoˇze rank T na volbˇe báze nezávis´ı). K ˇcemu je hodnost matice dobrá? Nacház´ı uplatnˇen´ı zvláˇstˇe pˇri ˇreˇsen´ı operátorových rovnic, jak demonstruje následuj´ıc´ı pˇr´ıklad. Pˇ r´ıklad 5.4 (Soustavy lineárn´ıch algebraick´ ych rovnic, Frobeniova vˇeta). Uvaˇzujme soustavu lineárn´ıch algebraick´ ych rovnic (viz Pˇr´ıklady 3.22 a 3.24) Ax = y

(5.10)

Ax = 0 ,

(5.11)

a odpov´ıdaj´ıc´ı homogenn´ı soustavu kde pouˇz´ıv´ ame maticové z´ apisy  a11  .. A :=  .

am1

... ...

 a1n ..  , . 

amn



 x1   x :=  ...  , xn



 y1   y :=  ...  . ym

Z Pˇr´ıkladu 3.22 uˇz v´ıme, ˇze (5.11) má netriviáln´ı ˇreˇsen´ı, pokud n > m; a ˇze existuje volba y, pro n´ıˇz (5.10) nen´ı ˇreˇsitelná, pokud n < m. Z Pˇr´ıkladu 3.24 pro n = m v´ıme, ˇze nastávaj´ı dvˇe moˇznosti: (i) bud’ rovnice (5.10) má ˇreˇsen´ı pro kaˇzdé y, a to právˇe jedno, a rovnice (5.11) má pouze triviáln´ı ˇreˇsen´ı; nebo (ii) rovnice (5.11) má netriviáln´ı ˇreˇsen´ı a rovnice (5.10) nem´ a ˇreˇsen´ı pro kaˇzdé y. V pˇr´ıpadˇe, kdy (5.11) má netriviáln´ı ˇreˇsen´ı, kolik takov´ ych ˇreˇsen´ı je? Odpovˇed’ je jednoduch´ a. Staˇc´ı si uvˇedomit, ˇze mnoˇzina vˇsech ˇreˇsen´ı rovnice (5.11) je podprostor ker A ⊂⊂ Kn a ˇze máme (z Vˇety 3.1 a Tvrzen´ı 5.5) dim ker A = n − rank A .

Tedy poˇcet ˇreˇsen´ı homogenn´ı rovnice (5.11) je roven poˇctu sloupc˚ u matice A minus hodnost matice A. Speci´ alnˇe pokud rank A = n, (5.11) má pouze triviáln´ı ˇreˇsen´ı. Obdobnˇe, pokud je y v (5.10) d´ ano, jak rozhodnout, zda je soustava ˇreˇsitelná? Za t´ımto u ´ˇcelem definujme rozˇs´ıˇrenou matici soustavy (5.10) takov´ ymto zp˚ usobem   a11 . . . a1n y1  .. ..  . (A, y) :=  ... . .  am1 . . . amn ym

Potom plat´ı tzv. Frobeniova vˇeta:

soustava (5.10) je ˇreˇsitelná

⇐⇒

rank A = rank(A, y).

5. Matice


69

D˚ ukaz. Soustavu (5.10) m˚ uˇzeme zapsat ve tvaru n X

xj aj = y ,

kde

j=1



 a1j   aj :=  ...  amj

je j-t´ y sloupec matice A. Odtud je vidˇet, ˇze soustava (5.10) má ˇreˇsen´ı tehdy a jen tehdy, kdyˇz y ∈ span{a1 , . . . , an } .

(5.12)

ame-li prvek, kter´ y ⇒ Plat´ı-li (5.12), pak rank A = rank(A, y), ponˇevadˇz lineárn´ı obal se nezmˇen´ı, vynech´ je lineárn´ı kombinac´ı ostatn´ıch. ⇐ Je-li naopak rank A = rank(A, y), tedy dim span{a1 , . . . , an } = dim span{a1 , . . . , an , y} , pak nezbytnˇe máme (5.12). Skuteˇcnˇe, kdyby to nebyla pravda, byly by vektory aj1 , . . . , ajk , y pro nˇejakou aze v span{a1 , . . . , an }, a tedy by volbu 1 ≤ j1 < · · · < jk ≤ n lineárnˇe nez´ avislé, kde aj1 , . . . , ajk , y je b´ platilo dim span{aj1 , . . . , ajk , y} = dim span{a1 , . . . , an } + 1 , coˇz nem˚ uˇze b´ yt pravda. ♦

5.7

Transpozice

Definujme si nyn´ı matici, jeˇz dostaneme z dané matice prohozen´ım ˇrádk˚ u a sloupc˚ u. k=1,...,n j=1,...,m Definice 5.6. Transponovaná matice k matici A = (ajk )j=1,...,m je matice AT = (aTkj )k=1,...,n definovaná vztahy aTkj := ajk

kde j = 1, . . . , m a k = 1, . . . , n. Vˇsimnˇete si, ˇze pokud je matice A typu m × n, pak transponovaná matice AT je typu n × m. Schematicky: 



a11 a12 . . . a1n  .. .. ..  , A= . . .  am1 am2 . . . amn



a11 . . .  a12 . . .  AT =  ..  .

 am1 am2   ..  , . 

a1n . . . amn

kde schválnˇe p´ıˇseme matice obdéln´ıkového tvaru, aby bylo jasné, jak se mˇen´ı pˇri transpozici typ matice. Následuj´ıc´ı tvrzen´ı nám ˇr´ıká, jak se transpozice matice chová v˚ uˇci základn´ım operac´ım na matic´ıch.

70

5. Matice


Tvrzen´ı 5.6. Plat´ı tyto vztahy: (i) (ii)

∀A, B ∈ Km×n ,

(A + B)T = AT + B T ;

∀A ∈ Km×n , α ∈ K,

(αA)T = αAT ;

(iii) ∀A ∈ Km×n , B ∈ Kn×p ,

(AB)T = B T AT .

D˚ ukaz. D˚ ukaz tvrzen´ı (i) a (ii) pˇrenecháváme ˇctenáˇri. Dokaˇzme si pouze zaj´ımavou vlastnost (iii). Piˇsme prvky matic, co nás zaj´ımaj´ı, ve tvaru k=1,...,n A = (ajk )j=1,...,m ,

k=1,...,p B = (bjk )j=1,...,n ,

k=1,...,p C := AB = (cjk )j=1,...,m ,

k=1,...,m D := B T AT = (djk )j=1,...,p .

Podle definice souˇcinu matic (viz (5.5)) a Definice 5.6 máme cTkj

= cjk =

n X

ajr brk ,

dkj =

r=1

n X

bTks aTsj

=

s=1

n X

bsk ajs .

s=1

Zˇrejmˇe plat´ı cTkj = dkj pro vˇsechna k = 1, . . . , p a j = 1, . . . , m.

5.8

Sdruˇ zen´ı

k=1,...,n j=1,...,m Definice 5.7. Sdruˇzená matice k matici A = (ajk )j=1,...,m je matice A∗ = (a∗kj )k=1,...,n definovaná vztahy a∗kj := aTkj

kde j = 1, . . . , m a k = 1, . . . , n. Sdruˇzenou matici A∗ tedy dostaneme tak, ˇze nejdˇr´ıve zkonstruujeme transponovanou matici AT a pak kaˇzdý prvek matice AT komplexnˇe sdruˇz´ıme (nebo samozˇrejmˇe m˚ uˇzeme postupovat v opaˇcném poˇrad´ı). Pˇripomeneme-li Definici 5.6 transponované matice, máme zˇrejmý vztah a∗kj := ajk . Rozum´ıme-li symbolem A matici, jeˇz dostaneme z matice A tak, ˇze vˇsechny jej´ı prvky komplexnˇe sdruˇz´ıme, máme snadno zapamatovatelný vztah T

A∗ = A = AT . Schematicky: 



a11 a12 . . . a1n  .. .. ..  , A= . . .  am1 am2 . . . amn



a11 . . .  a12 . . .  A∗ =  ..  .

 am1 am2   ..  . . 

a1n . . . amn

Následuj´ıc´ı tvrzen´ı nám ukazuje, ˇze definice sdruˇzené matice je konzistentn´ı s dˇr´ıve zavedeným pojmem sdruˇzeného zobrazen´ı (viz Definice 4.9). Tedy matice sdruˇzeného zobrazen´ı je rovna sdruˇzené matici p˚ uvodn´ıho zobrazen´ı.

5. Matice


71

Tvrzen´ı 5.7. Necht’ T ∈ L (V, W), kde V, W jsou vektorové prostory se skalárn´ım souˇcinem. Necht’ v1 , . . . , vn je ortonormáln´ı báze ve V a w1 , . . . , wm je ortonormáln´ı b´ aze ve W. Pak plat´ı vztah M(T ∗ , {w1, . . . , wm }, {v1 , . . . , vn }) = M(T, {v1 , . . . , vn }, {w1 , . . . , wm })∗ .

D˚ ukaz. Pouˇzijme zkratkovitá oznaˇcen´ı k=1,...,n M(T ) := M(T, {v1 , . . . , vn }, {w1, . . . , wm }) =: (ajk )j=1,...,m ,

j=1,...,m M(T ∗ ) := M(T ∗ , {w1, . . . , wm }, {v1 , . . . , vn }) =: (bkj )k=1,...,n .

Pˇripomeˇ nme, ˇze k-tý sloupec matice M(T ) dostaneme tak, ˇze T vk nap´ıˇseme jako lineárn´ı kombinaci vektor˚ u w1 , . . . , wm ; koeficienty této lineárn´ı kombinace jsou pak pˇresnˇe ta ˇc´ısla, jeˇz tvoˇr´ı k-tý sloupec matice M(T ). Ponˇevadˇz w1 , . . . , wm je ortonormáln´ı báze ve W, v´ıme, jak psát T vk jako lineárn´ı kombinaci vektor˚ u w1 , . . . , wm (viz (4.10)): T vk = hw1 , T vk iw1 + · · · + hwm , T vk iwm . Z toho dostáváme výraz pro prvek v j-tém ˇrádku a k-tém sloupci matice M(T ): ajk = hwj , T vk i . Obdobným postupem (nebo staˇc´ı jen prohodit role T a v1 , . . . , vn na jedné sttranˇe s rolemi T ∗ a w1 , . . . , wm na druhé stranˇe) dostaneme bjk = hvj , T ∗ wk i = hT vj , wk i = hwk , T vj i , kde druhá rovnost plyne z definice sdruˇzeného zobrazen´ı a tˇret´ı rovnost plyne z vlastnost´ı skalárn´ıho souˇcinu. Tedy plat´ı bjk = akj = aTjk = a∗jk , coˇz jsme chtˇeli dokázat. Pro platnost pˇredeˇslého tvrzen´ı je naprosto kruciáln´ı, ˇze uvaˇzujeme ortonormáln´ı báze. Na druhou stranu pojem sdruˇzeného zobrazen´ı je nezávislý na volbˇe báze. Z tohoto d˚ uvodu budeme upˇrednostˇ novat sdruˇzená lineárn´ı zobrazen´ı, nam´ısto sdruˇzených matic. D˚ uleˇzitým d˚ usledkem jsou následuj´ıc´ı tvrzen´ı. Vˇ eta 5.2. ∀A ∈ Km×n , (i) rank A = rank A∗ ;

(ii) rank A = rank AT . D˚ ukaz. Uvaˇzujme zobrazen´ı TA : Kn → Km : {x 7→ Ax} , TA∗ : Km → Kn : {ξ 7→ A∗ ξ} .

72

5. Matice


Vzhledem ke kanonickým báz´ım prostor˚ u Kn a Km dostáváme z Tvrzen´ı 5.7 vztah M(TA ∗ ) = M(TA )∗ = A∗ = M(TA∗ ) . Ponˇevadˇz zobrazen´ı M : L (Km , Kn ) → Kn×m je izomorfismus, plat´ı TA ∗ = TA∗ . Z toho následnˇe dostáváme výsledek rank TA∗ = rank TA ∗ = rank TA , kde druhá rovnost plyne z abstraktn´ıho D˚ usledku 4.4(i). K ovˇeˇren´ı platnosti tvrzen´ı (i) si staˇc´ı uvˇedomit, ˇze hodnost matice A jsme definovali právˇe jako hodnost (=dimenze oboru hodnot) odpov´ıdaj´ıc´ıho zobrazen´ı TA (viz Definice 5.5). Druhé tvrzen´ı (ii) pak plyne okamˇzitˇe z rovnosti rank A = rank A, jeˇz plat´ı pro libovolnou matici A (ovˇeˇrte si). Hodnost matice A je tedy rovna maximáln´ımu poˇctu lineárnˇe nezávislých sloupc˚ u (podle Definice 5.5) a zároveˇ n maximáln´ımu poˇctu lineárnˇe nezávislých ˇrádk˚ u (podle pˇredeˇslé Vˇety 5.2(ii)). D˚ usledek 5.2. ∀A ∈ Km×n ,

rank A ≤ min{m, n} .

5. Matice


5.9

73

Cviˇ cen´ı

1. Spoˇctˇete souˇcin matic

[

10 7 4 1 26 19 12 5 42 31 20 9



 1 2 6 5 4 3  3 4 . 2 1 0 −1 5 6

.]

2. Uvaˇzujte matici

cos θ − sin θ Aθ := , sin θ cos θ

kde θ ∈ R. Ukaˇzte, ˇze plat´ı vztah

Aθ2 Aθ1 = Aθ1 +θ2 .

∀θ1 , θ2 ∈ R,

Interpretujte geometricky (viz Cviˇcen´ı 3.7.2). 3. Dokaˇzte, ˇze distributivn´ı vlastnost plat´ı pro souˇcet a násoben´ı matic. Jinými slovy, necht’ A, B, C jsou matice takové, ˇze výraz A(B + C) má smysl. Dokaˇzte, ˇze potom AB + AC má smysl a ˇze plat´ı A(B + C) = AB + AC . 4. Dokaˇzte, ˇze násoben´ı matic je asociativn´ı. Jinými slovy, necht’ A, B, C jsou matice takové, ˇze výraz (AB)C má smysl. Dokaˇzte, ˇze potom A(BC) má smysl a ˇze plat´ı (AB)C = A(BC) . 5. Dokaˇzte, ˇze násoben´ı matic nen´ı komutativn´ı. [Hint: Spoˇctˇete komutátor matic ( 10 2i ) a ( 00 34 ).] 6. Uvaˇzujte lineárn´ı zobrazen´ı a11 x1 + a12 x2 x1 , 7→ T :K →K : a21 x1 + a22 x2 x2 2

2

kde a11 , a12 , a21 , a22 ∈ K jsou daná ˇc´ısla. Najdˇete matici zobrazen´ı T v˚ uˇci tˇemto báz´ım 2 v K (výchoz´ı i c´ılový prostor zobrazen´ı): (a) ( 10 ) , ( 01 )

(kanonická báze);

(b) ( 10 ) , ( 11 ); (c) ( 0i ) , ( 0i ). [(a) ( aa11 21

a12 a22

); (b)

a11 −a21 a11 +a12 −a21 −a22 a21 a21 +a22

7. Uvaˇzujte lineárn´ı zobrazen´ı

; (c) ( aa11 21

a12 a22

). ]

   a11 x1 + a12 x2   x1 7→ a21 x1 + a22 x2  , T : K2 → K3 :  x2  a31 x1 + a32 x2

kde a11 , a12 , a21 , a22 , a31 , a32 ∈ K jsou daná ˇc´ısla. Najdˇete matici zobrazen´ı T v˚ uˇci tˇemto báz´ım:

74

5. Matice


0 0 1 (a) pro K a 0 , 1 , 0 pro K3 1 0 0 0 0 1 (b) ( 11 ) , ( 01 ) pro K2 a 0 , 1 , 0 pro K3 . 1 0 0 a11 +a12 a12 a12 a21 +a22 a22 . ] [(a) ( aa11 21 a22 ); (b) ( 10 ) ,

2

( 01 )

(kanonické báze);

a31 +a32 a32

8. Uvaˇzujte matici

  1 −1 0 A := 2 −2 0  0 1 −3

a odpov´ıdaj´ıc´ı zobrazen´ı TA : R3 → R3 : {x 7→ Ax}.

(a) Spoˇctˇete jádro, jeho dimenzi, obor hodnot a hodnost zobrazen´ı TA a hodnost matice A. n o n 0 o 3 1 0 3 2 , [ker TA = span , dim ker TA = 1, ran TA = span , rank TA = −3 1 0 rank A = 2.] (b) Najdˇete sdruˇzenou matici A∗ a definujte odpov´ıdaj´ıc´ı zobrazen´ı TA∗ . Spoˇctˇete jádro, jeho dimenzi, obor hodnot a hodnost zobrazen´ı TA∗ a hodnost matice A∗ . n −2 o n 1 0 o −1 , 1 [ker TA∗ = span 1 , dim ker TA∗ = 1, ran TA∗ = span , −3 0 0 rank TA∗ = rank A∗ = 2.] (c) Rozhodnˇete, zda soustava Ax = y je ˇreˇsitelná pro 1 y := 3 , 0

a to (i) pˇr´ımým výpoˇctem, (ii) uˇzit´ım Frobeniovy vˇety a (iii) uˇzit´ım Fredholmovy vˇety. Je-li ˇreˇsitelná, najdˇete ˇreˇsen´ı. [Soustava nen´ı ˇreˇsitelná; (ii) rank(A, y) = 3; (iii) y 6∈ (ker TA∗ )⊥ . ]

(d) Stejné zadán´ı jako v pˇredchoz´ım bodˇe, avˇsak pro pravou stranu 1 y := 2 . 0

⊥ ˇ [Soustavan je ˇreˇ a; (ii) rank(A, o y) = 2; (iii) y ∈ (ker TA∗ ) . Reˇsen´ım jsou prvky siteln´ 3 1 0 +s 3 :s∈R .] mnoˇziny 0

1


6

6. Determinanty

75

Determinanty

Tato kapitolka nen´ı logickým pokraˇcován´ım pˇredchoz´ıch, avˇsak bude uˇziteˇcná pro praktické výpoˇcty s vektory a maticemi (zkoumán´ı lineárn´ı závislosti a nezávislosti vektor˚ u, hodnosti matice, ˇreˇsen´ı soustavy lineárn´ıch algebraických rovnic). Hlubˇs´ımu porozumˇen´ı determinantu coby invariantu lineárn´ıho zobrazen´ı dosáhneme aˇz na konci této kapitolky. V této kapitolce budeme uvaˇzovat pouze ˇctvercové matice typu n × n, jeˇz budeme genericky znaˇcit   a11 . . . a1n  ..  , A := (ajk )j,k=1,...,n =  ... .  an1 . . . ann kde n ∈ N∗ a ajk ∈ K, j, k = 1, . . . , n.

Diagonálou ˇctvercové matice A budeme rozumˇet prvky matice, jeˇz leˇz´ı na ˇsikmé ˇcáˇre, jeˇz jde z levého horn´ıho rohu do pravého doln´ıho rohu, tedy m-tici ˇc´ısel a11 , a22 , . . . , ann .

6.1

Inverzn´ı matice

Zaˇcnˇeme pˇredstaven´ım jeˇstˇe jedné operace na prostoru matic, která nám poslouˇz´ı jako motivace pro zaveden´ı pojmu determinantu. Jak definovat inverzn´ı matici ke ˇctvercové matici A? Pˇrirozené je chápat matici A jako lineárn´ı zobrazen´ı TA na souˇradnicovém prostoru definované pˇredpisem          x1  a . . . a a x + · · · + a x x 11 1n 11 1 1n n   1       ..  ..  . (6.1) . . . n n . . .. = TA : K → K :  .  7→    . .   .    x xn  an1 . . . ann an1 x1 + · · · + ann xn n

Pˇripomeˇ nme (viz Pˇr´ıklad 5.2), ˇze matice tohoto zobrazen´ı TA vzhledem ke kanonické bázi e1 , . . . , en prostoru Kn je rovna právˇe matici A, tedy M(TA ) = A. Avˇsak pro lineárn´ı zobrazen´ı jsme inverzn´ı zobrazen´ı definovali (viz Definice 3.7): je to lineárn´ı zobrazen´ı TA−1 splˇ nuj´ıc´ı TA−1 TA = I = TA TA−1 , kde I je identické zobrazen´ı na Kn , t.j.          x x 1 0 x1  1 1    ..   ..   . .   ..  n n I : K → K :  .  7→  .  =  .  .  .    x xn 0 1 xn  n

Z tohoto pˇredpisu vid´ıme, ˇze matice identického zobrazen´ı I vzhledem ke kanonické bázi e1 , . . . , en splˇ nuje   1 0   M(I) =  . . .  =: I , 0 1

76

6. Determinanty


kde na pravé stranˇe vystupuje matice, jeˇz má na diagonále samé jedniˇcky a vˇsechny ostatn´ı prvky jsou rovny nule. Jak ukazuje posledn´ı (definiˇcn´ı) rovnost, tuto matici budeme schismaticky opˇet oznaˇcovat symbolem I. Toto vˇse vede k následuj´ıc´ı pˇrirozené definici. Definice 6.1. Matice A ∈ Kn×n je invertibiln´ı, pokud existuje matice A−1 ∈ Kn×n taková, ˇze A−1 A = I a AA−1 = I . Matici A−1 ˇr´ıkáme inverzn´ı matice k matici A. Stejnˇe jako v Tvrzen´ı 3.6 lze snadno ukázat, ˇze pokud matice A je invertibiln´ı, pak má právˇe jednu inverzn´ı matici A−1 (a tud´ıˇz jednotné znaˇcen´ı A−1 v Definici 6.1 je smysluplné). Z identity (5.4) plyne, ˇze matice A je invertibiln´ı tehdy a jen tehdy, pokud zobrazen´ı TA je invertibiln´ı. Nav´ıc máme vztah M(TA−1 ) = A−1 . Je-li dána matice A, jak rozhodnout, zda je invertibiln´ı? Pokud je invertibiln´ı, jak k n´ı naj´ıt inverzn´ı matici A−1 ? Tato u ´ loha vede k uvaˇzován´ı soustavy lineárn´ıch algebraických rovnic, jiˇz m˚ uˇzeme zapsat ve tvaru Ax = y , kde y ∈ Kn je n-tice daných ˇc´ısel a x ∈ Kn je n-tice neznámých. Z abstraktn´ı Vˇety 3.3 plyne, ˇze tato soustava je ˇreˇsitelná pro vˇsechny vektory y tehdy a jen tehdy, pokud A je invertibiln´ı. V takovémto pˇr´ıpadˇe je pak ˇreˇsen´ı dáno pˇredpisem x = A−1 y . Umˇen´ı rozhodnout, zda je daná matice invertibiln´ı, a spoˇcten´ı jej´ı inverze jsou tedy fundamentáln´ı dovednosti pro ˇreˇsen´ı soustav lineárn´ıch algebraických rovnic. Pojem determinantu tyto dovednosti elegantnˇe mechanizuje. Pod´ıvejme se nyn´ı, jak to funguje v dvojrozmˇerném pˇr´ıpadˇe.

6.2

Dvojdimenzion´ aln´ı Cramerovo pravidlo

Uvaˇzujme soustavu rovnic a11 x1 + a12 x2 = b1 , a21 x1 + a22 x2 = b2 ,

(6.2)

kde a11 , a12 , a21 , a22 , b1 , b2 ∈ K jsou daná ˇc´ısla a x1 , x2 ∈ K jsou neznámé, které hledáme. Tento systém m˚ uˇzeme zapsat v maticovém tvaru jako b a11 a12 , b := 1 . Ax = b , kde A := b2 a21 a22 Vynásob´ıme-li prvn´ı rovnici v (6.2) ˇc´ıslem a22 , druhou rovnici ˇc´ıslem a12 a vzniklé rovnice odeˇcteme, dostaneme rovnost (a11 a22 − a21 a12 )x1 = a22 b1 − a12 b2 .

6. Determinanty


77

Je-li det A := a11 a22 − a21 a12 6= 0 ,

pak

x1 =

a22 b1 − a12 b2 . a11 a22 − a21 a12

(6.4)

x2 =

a11 b2 − a21 b1 . a11 a22 − a21 a12

(6.5)

Analogicky bychom dostali

Oznaˇc´ıme-li A1 :=

(6.3)

b1 a12 , b2 a22

a11 b1 A2 := , a21 b2

m˚ uˇzeme výsledky (6.4) a (6.5) elegantnˇe zapsat ve tvaru

det A2 det A1 , x2 = . (6.6) det A det A Vzorc˚ um (6.6) se ˇr´ıká Cramerovo pravidlo a det A se nazývá determinant matice A typu 2 × 2. x1 =

Jelikoˇz ˇreˇsen´ı x splˇ nuje x = A−1 b (pokud je A invertibiln´ı), z uvedených výsledk˚ u vid´ıme, ˇze A je invertibiln´ı tehdy a jen tehdy, pokud det A 6= 0. Nav´ıc plat´ı uˇziteˇcný (a snadno zapamatovatelný) vzorec pro inverzn´ı matici 1 a22 −a12 −1 . (6.7) A = det A −a21 a11 V následuj´ıc´ım si ukáˇzeme, jak zavést pojem determinantu pro ˇctvercovou matici libovolného stupnˇe. Pozdˇeji se pˇresvˇedˇc´ıme, ˇze nenulovost determinantu je ekvivalentn´ı invertibilitˇe, pro libovolnˇe velkou matici.

6.3

Definice

Determinant si zadefinujeme indukc´ı podle stupnˇe pˇr´ısluˇsné matice. Definice 6.2. n = 1 Pro matici A = (a11 ) stupnˇe 1 definujeme det A := a11 . n ≥ 2 Pro matici A = (ajk )j,k=1,...,n stupnˇe n ≥ 2 definujeme det A :=

n X

(−1)k+1 a1k det A1k ,

(6.8)

k=1

kde A1k je matice vytvoˇrená z matice A vyˇskrtnut´ım 1. ˇrádku a k-tého sloupce. Matice A1k (stupnˇe n − 1)  a11 . . . a1k−1 a1k  a21 . . . a2k−1 a2k   .. .. ..  . . . an1 . . . ank−1 ank | {z A

se nazývá d´ılˇc´ı matice. Schematicky:    a1k+1 . . . a1n a21 . . . a2k−1 a2k+1 . . . a2n  a2k+1 . . . a2n   .. .. .. ..  .  . .. ..  . . .  . .  an1 . . . ank−1 ank+1 . . . ann ank+1 . . . ann {z } | } A1k

78

6. Determinanty


Pro matici A = (a11 ) stupnˇe 1 definujeme d´ılˇc´ı matici vztahem A11 := (1). Potom platnost vztahu (6.8) m˚ uˇzeme rozˇs´ıˇrit i pro n = 1. Obecná Definice 6.2 je konzistentn´ı s definic´ı (6.3) pro n = 2. Pro n = 3 dostáváme   a11 a12 a13 a a a a a a 21 22 21 23 22 23 + a13 det det a21 a22 a23  = a11 det − a12 det a31 a32 a31 a33 a32 a33 a31 a32 a33

= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a21 a32 a13 − (a13 a22 a31 + a12 a21 a33 + a23 a32 a11 ) .

Tento vzorec se dá zapamatovat podle tzv. Sarrusova pravidla (zde prezentovaného pomoc´ı RGB zbarven´ı): a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

6.4

−

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

Prohazov´ an´ı ˇ r´ adk˚ u

Z definice determinantu pro matice stupnˇe n = 2 (viz (6.3)) vid´ıme, ˇze velikost determinantu se nezmˇen´ı pˇri zámˇenˇe ˇrádk˚ u v matici, avˇsak zmˇen´ı se znaménko. Toto je obecná vlastnost determinant˚ u, jak ukazuje následuj´ıc´ı tvrzen´ı. Tvrzen´ı 6.1. Necht’ A je matice stupnˇe n ≥ 2. Necht’ A˜ je matice, kterou dostaneme z A, vymˇen´ıme-li mezi sebou j-tý a (j + 1)-tý ˇrádek (1 ≤ j ≤ n − 1). Potom plat´ı det A˜ = − det A .

D˚ ukaz. Vhledem k tomu, jak jsme obecný determinant zavedli (viz Definice 6.2), je pˇrirozené tvrzen´ı dokázat pomoc´ı indukce. Pro n = 2 jsme uˇz zm´ınili, ˇze tvrzen´ı plat´ı. Necht’ n ≥ 3. Dokaˇzme, ˇze plat´ı-li tvrzen´ı pro n − 1, pak plat´ı pro n. j > 1 Podle Definice 6.2 máme

det A =

n X

(−1)k+1 a1k det A1k ,

(6.9)

(−1)k+1 a1k det A˜1k ,

(6.10)

k=1

det A˜ =

n X k=1

6. Determinanty


79

kde 

A1k

A˜1k

a21  ..  .   a =  j1 aj+11  .  .. an1  a21  ..  .  a =  j+11  aj1  .  .. an1

...

a2k−1 .. .

a2k+1 .. .

...

. . . ajk−1 ajk+1 . . . . . . aj+1k−1 aj+1k+1 . . . .. .. . . . . . ank−1 ank+1 . . . ...

a2k−1 .. .

a2k+1 .. .

...

. . . aj+1k−1 aj+1k+1 . . . . . . ajk−1 ajk+1 . . . .. .. . . . . . ank−1 ank+1 . . .

 a2n ..  .   ajn  , aj+1n  ..  .  ann  a2n ..  .   aj+1n  . ajn  ..  .  ann

(6.11)

(6.12)

Matice A1k a A˜1k jsou tedy niˇzˇs´ıho stupnˇe n − 1 a s prohozenými ˇrádky j − 1 a j, pro nˇeˇz plat´ı indukˇcn´ı pˇredpoklad det A˜1k = − det A1k . Dosazen´ım této rovnosti do (6.10) a uˇzit´ım (6.9) dostaneme poˇzadované tvrzen´ı det A˜ = − det A pro matici A stupnˇe n. j = 1 Podle Definice 6.2 máme det A˜ =

n X

(−1)k+1 a2k det Aˆ1k ,

(6.13)

k=1

kde 

Aˆ1k

a11 a31 .. .

... ...

a1k−1 a3k−1 .. .

a1k+1 a3k+1 .. .

... ...

a1n a3n .. .



          := aj+11 . . . aj+1k−1 aj+1k+1 . . . aj+1n  .   ajk+1 . . . ajn   aj1 . . . ajk−1  . ..  .. ..  .. .  . . an1 . . . ank−1 ank+1 . . . ann

(6.14)

Pod´ıváme se na matici (6.11) a snadno ovˇeˇr´ıme vztah 22 det A1k = a21 det A21 1k − a22 det A1k + . . .

2k−1 + (−1)k a2k−1 det A1k + (−1)k+1−1 a2k+1 det A2k+1 + ... 1k n+1−1 2n + (−1) a2n det A1k

=

k−1 X j=1

(−1)

j+1

a2j det A2j 1k

−

n X

(−1)j+1 a2j det A2j 1k ,

(6.15)

j=k+1

kde matici A2j skrtnut´ım 1. a 2. ˇrádku a j-tého a k-tého sloupce. 1k dostaneme z matice A vyˇ

80

6. Determinanty


Na druhou stranu se pod´ıváme na matici (6.14) a ovˇeˇr´ıme vztah 22 det Aˆ1k = a11 det A21 1k − a12 det A1k + . . .

2k−1 2k+1 + (−1)k a1k−1 det A1k + (−1)k+1−1 a1k+1 det A1k + ... n+1−1 2n + (−1) a1n det A1k

=

k−1 X

(−1)

j+1

a1j det A2j 1k

j=1

−

n X

(−1)j+1 a1j det A2j 1k .

(6.16)

j=k+1

Dosazen´ım vztahu (6.15) do (6.9) a vztahu (6.16) do (6.13) dostaneme det A = =:

n X

(−1)

k=1 n X n X

k+1

a1k

k−1 X

(−1)

j+1

a2j det A2j 1k

j=1

−

n X

(−1)

j+1

a2j det A2j 1k

j=k+1

!

αjk a1k a2j ,

(6.17)

k=1 j=1 j6=k

det A˜ = =:

n X

(−1)k+1 a2k

k=1 n X n X

k−1 X j=1

(−1)j+1a1j det A2j 1k −

n X

(−1)j+1 a1j det A2j 1k

j=k+1

!

βjk a2k a1j .

(6.18)

k=1 j=1 j6=k

Uˇzit´ım tˇechto definiˇcn´ıch vztah˚ u, pro koeficienty αjk a βjk plat´ı αjk

( (−1)k+1 det A2j 1k = −(−1)k+1 det A2j 1k

⇔ j < k, ⇔ j > k,

βjk

( (−1)k+1 det A2j 1k = −(−1)k+1 det A2j 1k

⇔ j < k, ⇔ j > k.

2k Ponˇevadˇz A2j rejmˇe plat´ı (pro vˇsechna j, k = 1, . . . , n, j 6= k) 1k = A1j (j 6= k), zˇ

βkj = −αjk . Uˇzit´ım tˇechto vztah˚ u v (6.17) a (6.18) dostáváme poˇzadovanou rovnost det A˜ =

n X

βjk a2k a1j =

n X

j,k=1

j,k=1

j6=k

j6=k

βkj a2j a1k = −

n X

j,k=1

αjk a2j a1k = − det A .

j6=k

Zde druhá rovnost je pouhá zámˇena index˚ u, pˇres které se sˇc´ıtá. Jako d˚ usledek Tvrzen´ı 6.1 dostáváme toto obecnˇejˇs´ı tvrzen´ı: Tvrzen´ı 6.2. Necht’ A je matice stupnˇe n ≥ 2. Necht’ A˜ je matice, kterou dostaneme z A, vymˇen´ıme-li mezi sebou j-tý a i-tý ˇrádek (1 ≤ j 6= i ≤ n). Potom plat´ı det A˜ = − det A .

6. Determinanty


81

D˚ ukaz. Tuto výmˇenu m˚ uˇzeme realizovat postupnou zámˇenou dvou soused´ıc´ıch ˇrádk˚ u, a to pomoc´ı lichého poˇctu takovýchto zámˇen. Bez u ´ jmy na obecnosti pˇredpokládejme i < j. Pak vymˇen´ıme i-tý ˇrádek s (i + 1)-tým, pak s (i + 2)-tým atd., aˇz nakonec s i + (j − i)-tým; k tomu tedy potˇrebujeme celkem j − i zámˇen soused´ıc´ıch ˇrádk˚ u. Potom j-tý ˇrádek p˚ uvodn´ı matice, který je nyn´ı (j − 1)-tý, pˇresuneme na i-té m´ısto; k tomu potˇrebujeme (j − 1) − i zámˇen soused´ıc´ıch ˇrádk˚ u. Celkový poˇcet poˇzadovaných zámˇen soused´ıc´ıch ˇrádk˚ u je j − i + (j − 1) − i = 2(j − i) − 1 ∈ 2N∗ − 1 . Opakovaným uˇzit´ım Tvrzen´ı 6.1 tedy dostáváme det A˜ = (−1)2(j−i)−1 det A = − det A , coˇz jsme chtˇeli ukázat. D˚ usledek 6.1. Má-li matice A dva ˇrádky stejné, plat´ı det A = 0. D˚ ukaz. Oznaˇcme symbolem A˜ matici, kterou dostaneme z matice A prohozen´ım tˇechto dvou stejných ˇrádk˚ u. Podle pˇredeˇslého Tvrzen´ı 6.2 bude platit det A˜ = − det A. Ponˇevadˇz se vˇsak jedná o stejné ˇrádky, plat´ı A˜ = A, a tud´ıˇz det A˜ = det A. Nakonec tedy dostáváme det A = − det A, z ˇcehoˇz plyne det A = 0.

6.5

Rozklad podle ˇ r´ adk˚ u

Pˇripomeˇ nme, ˇze znaˇcen´ım A1k jsme oznaˇcili matici, jeˇz dostaneme z matice A vyˇskrtnut´ım 1. ˇrádku a k-tého sloupce. Obecnˇeji budeme znaˇcit symbolem Ajk matici, jeˇz dostaneme z matice A vyˇskrtnut´ım j-tého ˇrádku a k-tého sloupce. Definice 6.3. Kofaktorová matice odpov´ıdaj´ıc´ı matici A = (ajk )j,k=1,...,n je matice cof A := (ajk )j,k=1,...,n ,

kde

ajk := (−1)j+k det Ajk .

ˇ ıslo ajk se nazývá kofaktorem (nebo téˇz algebraickým doplˇ ˇ ıslo C´ nkem) prvku ajk matice A. C´ det Ajk se nazývá minorem prvku ajk matice A. Pˇ r´ıklad 6.1. Pro matici 2 × 2 zˇrejmˇe máme a11 a12 a22 cof = a21 a22 −a12

−a21 . a11 ♦

Vˇ eta 6.1 (Rozklad determinantu podle ˇrádk˚ u). ∀j = 1, . . . , n,

det A =

n X k=1

ajk ajk .

82

6. Determinanty


D˚ ukaz. Pro j = 1 to je pˇr´ımo Definice 6.2. Necht’ j ≥ 2. Oznaˇcme A˜ matici, kterou dostaneme z A zámˇenou 1. a j-tého ˇrádku. Pak plat´ı (Tvrzen´ı 6.2) det A˜ = − det A .

(6.19)

Podle Definice 6.2 máme det A˜ =

n X

(−1)k+1 ajk det A˜1k .

(6.20)

k=1

Avˇsak d´ılˇc´ı matice Ajk se od A˜1k liˇs´ı pouze t´ım, ˇze 1. ˇrádek v Ajk je (j − 1)-tým ˇrádkem v A˜1k . Matici Ajk tedy dostaneme z A˜1k tak, ˇze (j − 1)-tý ˇrádek pˇrem´ıst´ıme na 1. m´ısto, coˇz se dá uskuteˇcnit (j − 2)-ma zámˇenami soused´ıc´ıch ˇrádk˚ u. Podle Tvrzen´ı 6.1 tedy máme det A˜1k = (−1)j det Ajk . Dosazen´ım tohoto vztahu do (6.20) a uˇzit´ım (6.19) dostáváme det A = −

n X

(−1)j+k+1 ajk det Ajk =

k=1

n X

(−1)j+k ajk det Ajk ,

k=1

coˇz je poˇzadované tvrzen´ı uˇzit´ım definice kofaktoru. Z Vˇety 6.1 dostáváme následuj´ıc´ı zˇrejmé d˚ usledky. D˚ usledek 6.2. Má-li matice A jeden ˇrádek nulový, plat´ı det A = 0. Tedy   a11 . . . a1k . . . a1n .. ..   .. . .   .   0 . . . 0 . . . 0 det   = 0.  . ..  ..  .. .  . an1 . . . ank . . . ann

D˚ usledek 6.3. Oznaˇc´ıme-li symbolem A˜ matici, kterou dostaneme z ˇrádek pˇrenásob´ıme ˇc´ıslem α ∈ K, pak plat´ı det A˜ = α det A. Tedy    a11 . . . a1k . . . a1n a11 . . . a1k . . . ..  .  .. .. ..  .  .  .     det αaj1 . . . αajk . . . αajn  = α det  aj1 . . . ajk  .  . .. ..  ..  ..  .. . .  . an1 . . . ank . . . ann an1 . . . ank

matice A tak, ˇze jeden  a1n ..  .   . . . ajn  . ..  .  . . . ann

...

D˚ usledek 6.4. Je-li j-tý ˇrádek matice C tvaru aj1 + bj1 , . . . , ajn + bjn , matice A má j-tý ˇrádek rovný aj1 , . . . , ajn , matice B má j-tý ˇrádek rovný bj1 , . . . , bjn , zat´ımco ostatn´ı ˇrádky

6. Determinanty


83

matic A a B jsou stejné jako matice C, pak plat´ı det C = det A + det B. Tedy 

a11 .. .

...

a1k .. .

...

a1n .. .



      det aj1 + bj1 . . . ajk + bjk . . . ajn + bjn    .. .. ..   . . . an1 ... ank ... ann    a11 . . . a1k . . . a1n a11 . . . .. ..   ..  .. . .   .  .    = det  aj1 . . . ajk . . . ajn  +  bj1 . . .  .  . .. ..   .. . .   .. an1 . . . ank . . . ann an1 . . .

6.6

 a1n ..  .   . . . bjn  . ..  .  . . . ann

a1k . . . .. . bjk .. . ank

Line´ arn´ı z´ avislost ˇ r´ adk˚ u

Uvˇedomte si, ˇze na prvky ajk ∈ K j-tého ˇrádku matice, k = 1, . . . , n, lze nahl´ıˇzet jako na sloˇzky vektoru aj := aj1 e1 + · · · + ajn en v souˇradnicovém prostoru Kn v˚ uˇci kanonické bázi e1 , . . . , en ∈ Kn . Matici A m˚ uˇzeme tedy schematicky zapsat ve tvaru   a1  ..  .   A =  aj  . .  ..  an V tomto smyslu nadále rozum´ıme pojmy lineárn´ı kombinace a lineárn´ı závislosti ˇrádk˚ u matice. Obdobnˇe lze nahl´ıˇzet i na prvky sloupc˚ u matice. Lemma 6.1. Pˇridáme-li k jednomu ˇrádku matice lineárn´ı kombinaci ostatn´ıch ˇrádk˚ u, pak se determinant nezmˇen´ı.

D˚ ukaz. Toto tvrzen´ı plyne z pˇredchoz´ıch d˚ usledk˚ u. D˚ ukaz staˇc´ı provést pro pˇr´ıpad, kdy lineárn´ı kombinace je násobek jednoho z ostatn´ıch ˇrádk˚ u. Obecný pˇr´ıpad dostaneme, pouˇzijeme-li (n − 1) krát tento speciáln´ı pˇr´ıpad. Uvaˇzujme tedy matici, kterou dostaneme z matice A tak, ˇze k j-tému ˇrádku pˇridáme α

84

6. Determinanty


násobek i-tého ˇrádku, kde α ∈ K. Pro tento speciáln´ı pˇr´ıpad vˇsak dostáváme       a1 a1 a1 ..   ..    ..    .   . .        ai   ai   ai    .     .  = det A + det  ..  = det A + α det  ...  = det A . .. det        a + αa  αa  a   j  i  i i   .   . . . .   .    ..  . an an an

Zde prvn´ı rovnost plyne z D˚ usledku 6.4, druhá rovnost plyne z D˚ usledku 6.3 a tˇret´ı rovnost plyne z D˚ usledku 6.1 (matice má dva ˇrádky stejné). Tvrzen´ı 6.3. Plat´ı tato implikace: ˇrádky matice A jsou lineárnˇe závislé

=⇒

det A = 0 .

D˚ ukaz. Necht’ napˇr´ıklad j-tý ˇrádek matice A je lineárn´ı kombinac´ı ostatn´ıch ˇrádk˚ u, tedy aj =

n X

αi ai ,

kde

i=1

αi ∈ K .

i6=j

˜ kterou obdrˇz´ıme z matice A, odeˇcteme-li od j-tého ˇrádku lineárn´ı Definujme matici A, kombinaci ostatn´ıch ˇrádk˚ u, tedy   a1 ..   .     n X    αi ai  A˜ := aj − .   i=1 i6=j     ..   . an

Z Lemmatu 6.1 dostáváme det A˜ = det A, zat´ımco D˚ usledek 6.2 dává det A˜ = 0 (j-tý ˇrádek je nulový). Tedy det A = det A˜ = 0.

6.7

Rozklad podle sloupc˚ u

Pod´ıvejme se nyn´ı, jaký je vztah mezi determinanty matice a jej´ı transpozice (viz Definice 5.6). Pˇripomeˇ nme, ˇze transponovaná matice ke ˇctvercové matici je opˇet ˇctvercová matice. Vˇ eta 6.2. Pro libovolnou matici A plat´ı det AT = det A .

6. Determinanty


85

D˚ ukaz. D˚ ukaz provedeme indukc´ı podle stupnˇe n matice A. Pro n = 1 je tvrzen´ı zˇrejmé. Necht’ vˇeta plat´ı pro n − 1 s n ≥ 2 a dokaˇzme ji pro n. Z Vˇety 6.1 dostáváme (pro vˇsechna k = 1, . . . , n) det AT =

n X

aTjk aT

jk

,

aT

kde

jk

= (−1)j+k det(AT )jk

k=1

a matici (AT )jk dostaneme z matice AT vyˇskrtnut´ım j-tého ˇrádku a k-tého sloupce. Ponˇevadˇz plat´ı (podle definice transpozice) (AT )jk = (Akj )T a matice Akj je stupnˇe n, z indukˇcn´ıho pˇredpokladu plyne det(AT )jk = det(Akj )T = det Akj . Uˇzit´ım této identity dostáváme n det AT = =

n n X X j=1

k=1

n X

n X

k=1

=

n X k=1

=

n X k=1

aTjk a

!

aTjk aT

!

T jk

jk

j=1

n X

(−1)j+k aTjk det(AT )jk

j=1

n X

(−1)j+k akj det Akj

j=1

!

!

= n det A , z ˇcehoˇz plyne poˇzadované tvrzen´ı.

Z pˇredchoz´ı vˇety a Vˇety 6.1 plyne duáln´ı tvrzen´ı. Vˇ eta 6.3 (Rozklad determinantu podle sloupc˚ u). ∀k = 1, . . . , n,

det A =

n X

ajk ajk .

j=1

Z této vˇety pak plynou analogická duáln´ı d˚ usledky. D˚ usledek 6.5. Tvrzen´ı 6.1 a 6.2, D˚ usledek 6.1, 6.2, 6.3 a 6.4, Lemma 6.1 a Tvrzen´ı 6.3. z˚ ustanou v platnosti, nahrad´ıme-li slovo “ˇrádek” slovem “sloupec”.

86

6.8

6. Determinanty


Krit´ eria pro invertibilitu a line´ arn´ı nez´ avislost

Nyn´ı se dostáváme k jedné z nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ıch aplikaci determinant˚ u. Následuj´ıc´ı vˇeta nám dává velice uˇziteˇcné kritérium pro rozhodnut´ı, zda (i) matice je invertibiln´ı; (ii) sada vektor˚ u na souˇradnicovém prostoru lineárnˇe nezávislá. Staˇc´ı spoˇc´ıtat determinant. Vˇ eta 6.4. Následuj´ıc´ı tvrzen´ı jsou ekvivalentn´ı: (i) matice A je invertibiln´ı; (ii) sloupce matice A jsou lineárnˇe nezávislé; (iii) ˇrádky matice A jsou lineárnˇe nezávislé; (iv) det A 6= 0.

D˚ ukaz. Dokaˇzme jednotlivé ekvivalence. (i) ⇔ (ii) Matice A je invertibiln´ı tehdy a jen tehdy, pokud zobrazen´ı TA definované v (6.1) je invertibiln´ı (viz text pod Definic´ı 6.1). Podle abstraktn´ı Vˇety 3.3 plat´ı, ˇze TA je invertibiln´ı tehdy a jen tehdy, pokud TA je surjektivn´ı. Avˇsak obor hodnot zobrazen´ı TA je roven lineárn´ımu obalu sloupc˚ u matice A (viz text nad Definic´ı 5.5), tedy TA je surjektivn´ı tehdy a jen tehdy, pokud tento lineárn´ı obal generuje celý prostor Kn . Ponˇevadˇz v´ıme, ˇze tento prostor je n-dimenzionáln´ı, dostáváme podle Tvrzen´ı 2.8, ˇze lineárn´ı obal sloupc˚ u matice A generuje celý prostor Kn tehdy a jen tehdy, pokud tyto sloupce jsou lineárnˇe nezávislé. (ii) ⇔ (iii) Toto tvrzen´ı plyne pˇr´ımo z rovnosti rank A = rank AT (viz Vˇeta 5.2(ii)). (iii) ⇔ (iv) Implikace (iv) ⇒ (iii) je pouhá obmˇena Tvrzen´ı 6.3. Zbývá tedy dokázat opaˇcnou implikaci (iii) ⇒ (iv). Budeme postupovat indukc´ı podle stupnˇe n matice A. Pro n = 1 je implikace zˇrejmá. Je-li to pravda pro n ≥ 1, dokaˇzme implikaci i pro n + 1. Ponˇevadˇz ˇrádky matice A = (ajk )j,k=1,...,n+1 stupnˇe n + 1 jsou lineárnˇe nezávislé, je v prvn´ım ˇrádku alespoˇ n jeden nenulový prvek a1p , p ∈ {1, . . . , n + 1}. Pˇridáme-li ke kaˇzdému k-tému sloupci matice A pro k = 1, . . . , n + 1, k 6= p, −a1k /a1p násobek p-tého sloupce, dostaneme matici B = (bjk )j,k=1,...,n+1, jeˇz má v prvn´ım ˇrádku jediný nenulový prvek, a to b1p = a1p . Rozvineme-li det B podle prvn´ıho ˇrádku, dostaneme det B = (−1)1+p a1p det B1p , kde matici B1p dostaneme z matice B vyˇskrtnut´ım 1. ˇrádku a p-tého sloupce. K zakonˇcen´ı d˚ ukazu staˇc´ı dokázat, ˇze ˇrádky matice B1p stupnˇe n jsou lineárnˇe nezávislé, a pouˇz´ıt indukˇcn´ı pˇredpoklad. Kdyby byly ˇrádky matice B1p lineárnˇe závislé, pak jsou i jej´ı sloupce lineárnˇe závislé (ekvivalence (ii) ⇔ (iii)). Ponˇevadˇz vˇsak v prvn´ım ˇrádku matice B jsou kromˇe p-tého m´ısta samé nuly, byly by sloupce matice B lineárnˇe závislé, a tud´ıˇz i jej´ı ˇrádky lineárnˇe závislé. Ponˇevadˇz zp˚ usob, jakým byla matice B z A vytvoˇrena, zachovává lineárn´ı nezávislost ˇrádk˚ u (pˇresvˇedˇcte se o tom), dostáváme spor s lineárn´ı nezávislost´ı ˇrádk˚ u matice A. Tedy ˇrádky matice B1p jsou lineárnˇe závislé.

6. Determinanty


6.9

87

Obecn´ e Cramerovo pravidlo

Nyn´ı se dostáváme do pozice, v n´ıˇz jsme schopni pouˇz´ıt pojem determinantu pro konstrukci inverzn´ı matice libovolného stupnˇe. Vˇ eta 6.5. A (cof A)T = (cof A)T A = (det A) I . D˚ ukaz. Poˇzadované tvrzen´ı je ekvivalentn´ı rovnostem n X

aji aki = δjk det A

a

i=1

n X

aik aij = δjk det A .

i=1

Pro j = k prvn´ı rovnost plyne z Vˇety 6.1 (rozklad determinantu podle ˇrádk˚ u) a druhá rovnost plyne z Vˇety 6.3 (rozklad determinantu podle sloupc˚ u). Pro j 6= k máme (rozklad determinantu podle ˇrádk˚ u) n X aji aki = det A˜ , i=1

kde A˜ je matice, kterou dostaneme z A tak, ˇze k-tý ˇrádek nahrad´ıme j-tým ˇrádkem. Matice A˜ má tedy dva ˇrádky stejné, a tud´ıˇz det A˜ = 0 (D˚ usledek 6.1). Obdobnˇe (uˇzit´ım rozkladu determinantu podle sloupc˚ u) ukáˇzeme, ˇze i druhá sume je rovna nule pro j 6= k.

D˚ usledek 6.6. Necht’ matice A je invertibiln´ı. Potom plat´ı A−1 =

1 (cof A)T . det A

Tento vzoreˇcek mechanizuje ˇreˇsen´ı operátorové rovnice Ax = y. Skuteˇcnˇe, pokud A je invertibiln´ı, máme jednoznaˇcnˇe dané ˇreˇsen´ı x = A−1 y.

6.10

Determinant souˇ cinu je souˇ cin determinant˚ u

Vˇ eta 6.6. Necht’ A, B ∈ Kn×n . Potom plat´ı det(AB) = det A det B .

D˚ ukaz. Jako prvn´ı vˇec si uvˇedomme, ˇze staˇc´ı ukázat následuj´ıc´ı: ∀A ∈ Kn×n , ∃γA ∈ K, ∀B ∈ Kn×n ,

det(AB) = γA det B .

(6.21)

Skuteˇcnˇe, pro speciáln´ı volbu B := I dostaneme det A = γA . Dokaˇzme tedy toto tvrzen´ı. Jiˇz v´ıme, ˇze ˇrádky matice C := AB jsou lineárn´ı kombinace ˇrádk˚ u matice B; pˇresnˇeji (podle definice souˇcinu matic) plat´ı n X cj = ajk bk , k=1

88

6. Determinanty


kde cj je oznaˇcen´ı pro ˇrádky matice C a bj je oznaˇcen´ı pro ˇrádky matice B, j = 1, . . . , n. Uˇzit´ım D˚ usledk˚ u 6.4 a 6.3 dostáváme   n X   a1k bk   c1 k =1 1 1   c2   1    det C = det  ..  = det  c2   .   ..   . cn cn   bk1 n  c2  X   = a1k1 det  ..   .  k1 =1 cn   bk1 n n bk  X X  2 a2k2 det  ..  = a1k1  .  k2 =1 k1 =1 cn = ...

=

n X

 bk1  bk   2 a1k1 a2k2 . . . ankn det  ..  .  .  

k1 ,k2 ,...,kn =1

bkn

Pro determinant vystupuj´ıc´ı na posledn´ım ˇrádku plat´ı   bk1 (  bk  0 ⇔ ∃i, l ∈ {1, . . . , n}, i 6= l,  2 det  ..  =  .  6 l, εk1 k2 ...kn det B ⇔ ∀i, l ∈ {1, . . . , n}, i = bkn

ki = kl , ki 6= kl ,

uzná ˇc´ısla k1 , k2 , . . . , kn ∈ {1, . . . , n}) je bud’ +1, nebo kde symbol εk1 k2 ...kn (pro navzájem r˚ −1 (podle hodnot ˇc´ısel k1 , k2 , . . . , kn ). Dostáváme tedy poˇzadované tvrzen´ı (6.21) s γA :=

n X

a1k1 a2k2 . . . ankn εk1 k2 ...kn ,

k1 ,k2 ,...,kn =1 ∀i,l∈{1,...,n}, i6=l, ki 6=kl

ˇc´ımˇz je d˚ ukaz u konce. Pozn´ amka 6.1. Permutac´ı uspoˇrádané n-tice pˇrirozených ˇc´ısel (1, 2, . . . , n) nazveme jakoukoli n-tici (k1 , k2 , . . . , kn ), kde 1 ≤ kj ≤ n pro vˇsechna j ∈ {1, . . . , n} a ki 6= kj pro vˇsechna ˇ i, j ∈ {1, . . . , n}, i 6= j. Rekneme, ˇze permutace je sudá, mus´ıme-li provést sudý poˇcet výmˇen dvou sousedn´ıch prvk˚ u n-tice (k1 , k2 , . . . , kn ), abychom dostali n-tici (1, 2, . . . , n); naopak ˇrekneme, ˇze permutace je lichá, je-li tento poˇrebný poˇcet lichý. Potom pro symbol ukazu plat´ı εk1 k2 ...kn vystupuj´ıc´ı v pˇredchoz´ım d˚ ( +1 ⇔ (k1 , k2 , . . . , kn ) je sudá permutace, εk1 k2 ...kn = −1 ⇔ (k1 , k2 , . . . , kn ) je lichá permutace.

6. Determinanty


89

Definujeme-li nav´ıc, ˇze εk1 k2 ...kn = 0, jakmile existuj´ı dva ruzné indexy i, l ∈ {1, . . . , n} takové, ˇze ki = kl , pak z pˇredchoz´ıho d˚ ukazu plyne vztah det A =

n X

εk1 k2 ...kn a1k1 a2k2 . . . ankn ,

k1 ,k2 ,...,kn =1

pro libovolnou matici A ∈ Kn×n . Tato rovnost se obyˇcejnˇe bere za definici determinantu uv symbol. matice A. Objekt εk1 k2 ...kn se nazývá Levi-Civit˚

6.11

Zmˇ ena b´ aze

ˇ Ctvercovou matici stupnˇe n m˚ uˇzeme chápat jako matici nˇejakého lineárn´ıho zobrazen´ı T z ndimenzionáln´ıho vektorového prostoru V do toho samého prostoru. Avˇsak matice zobrazen´ı závis´ı na volbˇe báze v prostoru V; dvˇe rozd´ılné báze m˚ uˇzou dát odliˇsné matice zobrazen´ı T . Nyn´ı se pod´ıvame na to, jak tyto matice spolu souvis´ı. Za chv´ıli rovnˇeˇz pochop´ıme, proˇc se touto souvislost´ı zabýváme zrovna v kapitolce o determinantech. Pˇripomeˇ nme, ˇze matici lineárn´ıho zobrazen´ı T : U → V vzhledem k báz´ım u1 , . . . , up v U a v1 , . . . , vn ve V jsme znaˇcili symbolem M T, {u1 , . . . , up }, {v1 , . . . , vn } . V pˇr´ıpadˇe lineárn´ıho zobrazen´ı T : V → V, kdy výchoz´ı a c´ılový prostor je ten samý, a pokud zvol´ıme stejnou bázi v1 , . . . , vn jak ve výchoz´ım, tak c´ılovém prostoru, má smysl znaˇcen´ı matice T zkracovat na M(T, {v1 , . . . , vn }) := M T, {v1 , . . . , vn }, {v1 , . . . , vn } .

Nav´ıc, pokud bude volba báze zˇrejmá z kontextu, budeme znaˇcen´ı opˇet zkracovat na M(T ). Pod´ıvejme se nejdˇr´ıve na identické zobrazen´ı I : V → V : {v 7→ v}. Pokud zvol´ıme stejnou bázi v1 , . . . , vn ve výchoz´ım i c´ılovém prostoru (coˇz je v obou pˇr´ıpadech ten samý prostor V), dostaneme identickou matici (na diagonále samé nuly a vˇsechny ostatn´ı prvky jsou rovny nule)   1 0   M I, {v1 , . . . , vn }, {v1 , . . . , vn } =  . . .  , (6.22) 0 1

a to pro libovolnou volbu báze v1 , . . . , vn . (Pˇripomeˇ nme, ˇze tuto matici jsme opˇet znaˇcili schismatickým symbolem I.) Následuj´ıc´ı tvrzen´ı souvis´ı s otázkou, jak vypadá matice identického zobrazen´ı, pokud zvol´ıme odliˇsné báze pro výchoz´ı a c´ılový prostor.

Tvrzen´ı 6.4. Necht’ u1 , . . . , un a v1 , . . . , vn jsou libovolné báze ve V. Vzhledem k tˇemto báz´ım je matice M I, {u1, . . . , un }, {v1 , . . . , vn } invertibiln´ı a plat´ı vztah M I, {u1 , . . . , un }, {v1 , . . . , vn }

−1

= M I, {v1 , . . . , vn }, {u1, . . . , un } .

90

6. Determinanty


D˚ ukaz. Pˇripomeˇ nme nejdˇr´ıve, jak souvis´ı násoben´ı matic se skládán´ım lineárn´ıch zobrazen´ı. Za t´ımto u ´ˇcelem uvaˇzujme tˇri vektorové prostory U, V a W a jejich báze u1 , . . . , up , v1 , . . . , vn a w1 , . . . , wm . Necht’ T ∈ L (U, V) a S ∈ L (V, W). Sloˇzené zobrazen´ı ST je lineárn´ı zobrazen´ı z U do W. Máme tedy takovýto diagram: dim V=n

U

①;; ①① ① T ①① ① ①① ① ① ①

dim U=p

V ●● ●● ●● S ●● ●● ●● ## ST

//

W

dim W=m

Pro matice tˇechto zobrazen´ı vzhledem k uvedeným báz´ım plat´ı vztah M ST, {u1, . . . , up }, {w1, . . . , wm }

= M S, {v1 , . . . , vn }, {w1 , . . . , wm } M T, {u1 , . . . , up }, {v1 , . . . , vn } . (6.23)

Uˇzit´ım tohoto obecného vztahu pro speciáln´ı volbu U := V, W := V, S := I, T := I a wj := uj a pˇripomenut´ım (6.22) dostaneme I = M I, {v1 , . . . , vn }, {u1, . . . , un } M I, {u1, . . . , un }, {v1 , . . . , vn } .

Zámˇenou rol´ı u a v pak dostaneme také vztah

I = M I, {u1 , . . . , un }, {v1 , . . . , vn } M I, {v1 , . . . , vn }, {u1, . . . , un } .

Tyto dvˇe rovnice dávaj´ı poˇzadovaný vztah.

Pˇ r´ıklad 6.2. Jako aplikaci pˇredchoz´ıho tvrzen´ı uvaˇzujme v K2 dvˇe b´ aze ( 42 ) , ( 53 ) a ( 10 ) , ( 01 ). Ponˇevadˇz druh´ a b´ aze je kanonická, snadno ovˇeˇr´ıme rovnost 4 5 4 5 1 0 M I, {( 2 ) , ( 3 )} , {( 0 ) , ( 1 )} = . 2 3 Spoˇcten´ım inverze matice, jeˇz vystupuje na pravé stranˇe (napˇr´ıklad uˇzit´ım vztahu (6.7)) a uˇzit´ım Tvrzen´ı 6.4 dostaneme 1 3 −5 , M I, {( 10 ) , ( 01 )} , {( 42 ) , ( 53 )} = 2 −2 4

aniˇz bychom vektory kanonické b´ aze museli pracnˇe rozkládat do b´ aze ( 42 ) , ( 53 ).

♦

Následuj´ıc´ı vˇeta zodpov´ıdá otázku, jak se matice zobrazen´ı mˇen´ı pˇri zmˇenˇe báze. Vˇ eta 6.7. Necht’ T ∈ L (V) a uvaˇzujme ve V dvˇe báze u1 , . . . , un a v1 , . . . , vn . Potom plat´ı M(T, {u1, . . . , un }) = Q−1 M(T, {v1 , . . . , vn }) Q , kde

Q := M I, {u1 , . . . , un }, {v1, . . . , vn } .


6. Determinanty

91

D˚ ukaz. Uˇzit´ım obecného vztahu (6.23) pro speciáln´ı volbu U := V, W := V, S := T , T := I a wj := vj dostaneme M T, {u1 , . . . , un }, {v1 , . . . , vn } = M T, {v1 , . . . , vn } M I, {u1, . . . , un }, {v1 , . . . , vn } . | {z } Q

Zároveˇ n, uˇzit´ım (6.23) pro speciáln´ı volbu U := V, W := V, S := I a wj := uj , máme M T, {u1 , . . . , un } = M I, {v1 , . . . , vn }, {u1 , . . . , un } M T, {u1 , . . . , un }, {v1 , . . . , vn } . {z } | Q−1

Kombinac´ı tˇechto dvou vztah˚ u dostaneme poˇzadované tvrzen´ı.

Matici Q ˇr´ıkáme matice pˇrechodu od báze v1 , . . . , vn (stará) k bázi u1 , . . . , un (nová). Ve sloupc´ıch má matice Q zapsány souˇradnice vektor˚ u nové báze v˚ uˇci staré bázi.

6.12

Invarianty

Invariantem lineárn´ıho zobrazen´ı T ∈ L (V) nazveme takovou charakteristiku jeho matice, jeˇz nezávis´ı na volbˇe báze ve V, vzhledem k n´ıˇz je matice zkonstruována. Takovouto charakteristiku pak m˚ uˇzeme vztáhnout i na samotné zobrazen´ı T . Uˇz v´ıme, ˇze hodnost matice je právˇe takovým invariantem. Na to jsme pˇriˇsli tak (viz Tvrzen´ı 5.5), ˇze hodnost matice zobrazen´ı (viz Definice 5.5) vzhledem k jakékoli bázi byla rovna dˇr´ıve zavedenému pojmu hodnosti zobrazen´ı (viz definice pod Vˇetou 3.1), jeˇz samozˇrejmˇe na volbˇe báze nezávis´ı. Z Vˇety 3.1 pak rovnou vid´ıme, ˇze dimenze jádra matice (coby zobrazen´ı na souˇradnicovém prostoru) je dalˇs´ım takovým invariantem. V této kapitolce jsme se zabývali determinanty ˇctvercových matic. Kaˇzdou takovou matici m˚ uˇzeme chápat jako matici nˇejakého abstraktn´ıho lineárn´ıho zobrazen´ı T ∈ L (V) vzhledem k nˇejaké bázi ve V. Zmˇen´ıme-li bázi, dostaneme obecnˇe jinou matici, avˇsak determinant se nezmˇen´ı d´ıky Vˇetám 6.6 a 6.7. Determinant matice je tedy invariantem a má smysl zavést pojem determinantu lineárn´ıho zobrazen´ı (coby determinant jeho matice vzhledem k libovolnˇe zvolené bázi). Na závˇer si pˇredstavme jeˇstˇe jednu d˚ uleˇzitou charakteristiku ˇctvercové matice. Definice 6.4. Stopa matice A = (ajk )j,k=1,...,n je ˇc´ıslo tr A = a11 + · · · + ann . Stopa matice je tedy souˇcet jej´ıch prvk˚ u leˇz´ıc´ıch na diagonále. Následuj´ıc´ı tvrzen´ı se obˇcas nazývá “cykliˇcnost” stopy. Tvrzen´ı 6.5. ∀A, B ∈ Kn×n ,

tr(AB) = tr(BA) .

92

6. Determinanty


D˚ ukaz. Necht’ A = (ajk )j,k=1,...,n a B = (bjk )j,k=1,...,n . Podle definice stopy a souˇcinu matic máme n X n n X n X X tr(AB) = ajr brj = brj ajr = tr(BA) , j=1 r=1

r=1 j=1

kde jsme pouze zamˇenili poˇrad´ı sumace.

V d˚ usledku tohoto tvrzen´ı a Vˇety 6.7 dostáváme, ˇze stopa matice je invariantem a opˇet má smysl zavést pojem stopy lineárn´ıho zobrazen´ı. V následuj´ıc´ı kapitolce se seznám´ıme s dalˇs´ımi invarianty lineárn´ıho zobrazen´ı.

6. Determinanty


6.13

93

Cviˇ cen´ı

1. Spoˇctˇete determinant následuj´ıc´ıch matic (znaˇcme si kaˇzdou z nich jednotným symbolem A) a najdˇete jejich transponovanou, sdruˇzenou a kofaktorovou matici. Rozhodnˇete, zda jsou matice invertibiln´ı a pokud ano, spoˇctˇete inverzn´ı matici. (a)

(b)

1 3 , 0 2

(c)

1 −i , 2i 2

(d)

1 i , 2i 2

(e)

  1 −1 0 2 −2 0 , 0 1 −3

(f)

  1 −1 0 1 −2 0 , 0 1 −3



i 0  0 0

 0 0 0 1 −1 0  . 1 −2 0  0 1 −3

−1 2 0 [(a) det A = 2, AT = A∗ = ( 13 02 ), cof A = ( −3 = 21 ( 20 −3 1 ), A 1 ); T ∗ −1 1 2i 1 −2i 2 −2i (b) det A = 0, A = ( −i 2 ), A = ( i 2 ), cof A = ( i 1 ),A neexistuje; 2 −i 1 −2i 2 −2i 1 −1 (c) det A = 4, AT = ( 1i 2i2 ),A∗ = −i 2 , cof A= −i 1 , A = 4 −2i 1 ;

(d) det A = 0, AT = A∗ =

1 2 0 −1 −2 1 , 10 10 −3 0 −1 −2 1 , 0 0 −3

cof A =

6 6 2 −3 −3 −1 , 60 30 10 −3 −3 −1 , 0 0 −1

A−1 neexistuje; 6 −3 0 A−1 = 31 3 −3 0 ;

cof A = (e) det A = 3, AT = A∗ = 1 −1 −1 3 0 0 0 0 6i 3i i (f) cof A = 0 −3i −3i −i , pro zbytek uˇzijte blokový tvar matice a výsledky v (e).] 0

0

0

−i

2. V trojrozmˇerném reálném souˇradnicovém prostoru definujme vektorový souˇcin pˇredpi sem       u1 v1 u2 v3 − u3 v2 u2  × v2  := u3 v1 − u1 v3 , u3 v3 u1 v2 − u2 v1 | {z } | {z } {z } | u

v

u×v

kde u1 , u2, u3 , v1 , v2 , v3 ∈ R.

(a) Ukaˇzte, ˇze formálnˇe plat´ı snadno zapamatovatelný vzorec (∀u, v ∈ R3 )   e1 e2 e3 u × v = det u1 u2 u3  , v1 v2 v3 kde e1 , e2 , e3 je kanonická báze v R3 .

(b) Ukaˇzte, ˇze plat´ı vztah (∀u, v, w ∈ R3 ) 

 u1 u2 u3 hu, (v × w)i = det  v1 v2 v3  . w1 w2 w3 (c) Dokaˇzte následuj´ıc´ı vlastnosti (∀u, v, w ∈ R3 ): (i) u × v = −v × u ; (ii) u × (v + w) = u × v + u × w ; (iii) u × (v × w) + v × (w × u) + w × (u × v) = 0 ; (iv) hu, (v × w)i = hv, (w × u)i = hw, (u × v)i ; (v) u × (v × w) = v hu, wi − w hu, vi .

(antikomutativita) (distributivita) (Jacobiho identita) (cykliˇcnost) (bac−cab)

94

6. Determinanty


(d) Interpretujte vektorový souˇcin geometricky: (i) ku × vk = kukkvk sin ϕ, kde ϕ je u ´ hel mezi vektory u a v; (ii) |hu, (v × w)i| = objem rovnobˇeˇznostˇenu tvoˇreného vektory u, v, w.


7

7. Spektrum

95

Spektrum

V kapitolce 3 jsme se zabývali lineárn´ımi zobrazen´ımi z jednoho vektorového prostoru do jiného vektorového prostoru. Nyn´ı se zamˇeˇr´ıme na lineárn´ı zobrazen´ı z jednoho vektorového prostoru do toho samého vektorového prostoru, kterým budeme pˇr´ıleˇzitostnˇe ˇr´ıkat operátory. Studium takovýchto zobrazen´ı pˇredstavuje nejhlubˇs´ı ˇcást lineárn´ı algebry, s mnoha aplikacemi ve fyzice i jinde. Ponˇevadˇz vˇetˇsina kl´ıˇcových výsledk˚ u z této pˇrednáˇsky neplat´ı na nekoneˇcnˇe dimenzionáln´ıch vektorových prostorech, budeme se výhradnˇe zabývat koneˇcnˇe dimenzionáln´ımi vektorovými prostory. Abychom se vyhnuli obtˇeˇzuj´ıc´ım trivialitám, vypust´ıme ze vˇsech u ´ vah nulový prostor {0}. V této kapitolce tud´ıˇz pˇredpokládáme následuj´ıc´ı: V := koneˇcnˇe dimenzionáln´ı, nenulový vektorový prostor nad K.

7.1

Invariantn´ı podprostory

Uvaˇzujme lineárn´ı zobrazen´ı T : V → V : {v 7→ T v} a pˇripomeˇ nme znaˇcen´ı T ∈ L (V). Pˇredpokládejme, ˇze máme direktn´ı rozklad V = U1 ⊕ · · · ⊕ Um , kde Uj ⊂⊂ V, j = 1, . . . , m. Pak k pochopen´ı zobrazen´ı T staˇc´ı chápat z´ uˇzená zobrazen´ı T ↾Uj : Uj → V : {v 7→ T v} , jeˇz by mˇela být jednoduˇsˇs´ı, protoˇze Uj je obecnˇe menˇs´ı neˇz V. D˚ uleˇzitá situace nastává, pokud T ↾Uj zobrazuje výchoz´ı prostor Uj opˇet na Uj , tedy pokud T ↾Uj ∈ L (Uj ). Tato situace je tak d˚ uleˇzitá, ˇze j´ı dáme jméno. ˇ Definice 7.1. Necht’ T ∈ L (V) a U ⊂⊂ V. Rekneme, ˇze U je invariantn´ı podprostor v˚ uˇci T , pokud plat´ı: ∀u ∈ V, u ∈ U =⇒ T u ∈ U . Jinými slovy, U je invariantn´ı podprostor v˚ uˇci T tehdy a jen tehdy, pokud T ↾U ∈ L (U). Pˇ r´ıklad 7.1. {0} ⊂⊂ V je invariantn´ı podprostor v˚ uˇci T .

♦

Pˇ r´ıklad 7.2. V ⊂⊂ V je invariantn´ı podprostor v˚ uˇci T .

♦

Pˇ r´ıklad 7.3. ker T ⊂⊂ V je invariantn´ı podprostor v˚ uˇci T (u ∈ ker T ⇒ T u = 0 ∈ ker T ).

♦

Pˇ r´ıklad 7.4. ran T ⊂⊂ V je invariantn´ı podprostor v˚ uˇci T (podle definice ran T ).

♦

96

7. Spektrum


Pˇ r´ıklad 7.5. Uvaˇzujme oper´ ator derivace na prostoru vˇsech polynom˚ u nejv´ yˇse stupnˇe m ≥ 1, D : Pm → Pm : {p 7→ p′ } . Pak podprostor Pm−1 ⊂⊂ Pm je invariantn´ı v˚ uˇci D, protoˇze derivace polynomu nejv´ yˇse stupnˇe m − 1 je polynom nejv´ yˇse stupnˇe m − 1 (ve skuteˇcnosti je to polynom nejv´ yˇse stupnˇe m − 2). ♦

7.2

Jednodimenzion´ aln´ı invariantn´ı podprostory

Nyn´ı se pod´ıvejme na nejjednoduˇsˇs´ı moˇzné invariantn´ı podprostory, a to invariantn´ı podprostory dimenze 1. Snadno nahlédneme, ˇze U je jednodimenzionáln´ı podprostor ve V tehdy a jen tehdy, pokud existuje nenulový vektor u ∈ V takový, ˇze U = span{u} = {αu : α ∈ K} .

(7.1)

Podprostor U je tedy urˇcen vˇsemi násobky vektoru u. Pokud je U z (7.1) invariantn´ı podprostor v˚ uˇci zobrazen´ı T ∈ L (V), pak T u ∈ U, coˇz znamená, ˇze existuje ˇc´ıslo λ ∈ K takové, ˇze T u = λu .

(7.2)

Naopak, pokud u ∈ V je nenulový vektor splˇ nuj´ıc´ı (7.2) pro nˇejaké ˇc´ıslo λ ∈ K, pak podprostor U definovaný v (7.1) je invariantn´ı v˚ uˇci T . Tyto u ´ vahy nás pˇrivádˇej´ı k nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı definici lineárn´ı algebry. Definice 7.2. Spektrum operátoru T ∈ L (V) je mnoˇzina σ(T ) := {λ ∈ K : ∃u ∈ V, u 6= 0,

T u = λu} .

Prvky λ mnoˇziny σ(T ) se nazývaj´ı vlastn´ı ˇc´ısla operátoru T . Nenulový vektor u ∈ V splˇ nuj´ıc´ı T u = λu se nazývá vlastn´ı vektor operátoru T odpov´ıdaj´ıc´ı vlastn´ımu ˇc´ıslu λ ∈ σ(T ). M´ısto vlastn´ı ˇc´ıslo budeme pˇr´ıleˇzitostnˇe pouˇz´ıvat alternativn´ı term´ın vlastn´ı hodnota. V této definici je nutné vyˇzadovat, ˇze vektor u je nenulový, ponˇevadˇz s nulovým vektorem u je rovnice T u = λu splnˇena pro vˇsechna ˇc´ısla λ ∈ K. Mnoˇzina vˇsech vlastn´ıch vektor˚ u operátoru T odpov´ıdaj´ıc´ı vlastn´ımu ˇc´ıslu λ ∈ σ(T ) je zˇrejmˇe rovna ker(T − λI) \ {0}. Speciálnˇe tedy máme, ˇze celkový poˇcet lineárnˇe nezávislých vlastn´ıch vektor˚ u operátoru T odpov´ıdaj´ıc´ı vlastn´ımu ˇc´ıslu λ se rovná mg (λ) := dim ker(T − λI) . ˇ ıslu mg (λ) ˇr´ıkáme geometrická násobnost vlastn´ı hodnoty λ ∈ σ(T ). Pokud λ ∈ σ(T ) a C´ mg (λ) = 1, ˇrekneme, ˇze λ je geometricky jednoduchá vlastn´ı hodnota a v opaˇcném pˇr´ıpadˇe ˇrekneme, ˇze se jedná o vlastn´ı hodnotu degenerovanou. Z textu pˇred Definic´ı 7.2 je zˇrejmé, ˇze jednodimenzionáln´ı invariantn´ı podprostor v˚ uˇci zobrazen´ı T existuje tehdy a jen tehdy, pokud T má vlastn´ı ˇc´ıslo.


7. Spektrum

97

Obrázek na tituln´ı stránce (absorpˇcn´ı spektrum Slunce) odpov´ıdá spektru lineárn´ıho operátoru (ovˇsem na nekoneˇcnˇe dimenzionáln´ım vektorovém prostoru), jenˇz v kvantové teorii reprezentuje energii atom˚ u (z nichˇz se Slunce skládá).

7.3

Pˇ r´ıklady vlastn´ıch hodnot a vektor˚ u

Pod´ıvejme se nyn´ı na pár základn´ıch pˇr´ıklad˚ u vlastn´ıch hodnot a vektor˚ u. Pˇ r´ıklad 7.6 (Oper´ ator n´ asoben´ı). Pro libovolné ˇc´ıslo α ∈ K má zobrazen´ı αI na vektorovém prostoru V pouze jednu vlastn´ı hodnotu, a to α, tedy σ(αI) = {α} . Kaˇzd´ y nenulov´ y vektor je vlastn´ım vektorem odpov´ıdaj´ıc´ım vlastn´ı hodnotˇe α, ponˇevadˇz ker(αI − αI) = ker(0) = V. Geometrická n´ asobnost vlastn´ı hodnoty α je zˇrejmˇe rovna dimenzi celého prostoru, mg (α) = dim V . ♦ Pˇ r´ıklad 7.7 (Rotace). Pro sloˇzitˇejˇs´ı pˇr´ıklad uvaˇzujme zobrazen´ı x −y 0 −1 x 2 2 T :K →K : 7→ = . y x 1 0 y Pro volbu K = R má zobrazen´ı hezkou geometrickou interpretaci: T otoˇc´ı vektor v rovinˇe R2 o 90◦ kolem poˇca´tku proti smˇeru hodinov´ ych ruˇciˇcek (viz Cviˇcen´ı 3.7.2 pro ϕ = π/2). Lineárn´ı zobrazen´ı má vlastn´ı hodnotu tehdy a jen tehdy, pokud existuje nenulov´ y vektor, jenˇz je zobrazen na skalárn´ı n´ asobek sebe samého. Pootoˇcen´ım vektoru o 90◦ v R2 zˇrejmˇe nem˚ uˇzeme dostat n´ asobek toho samého vektoru. Z´ avˇer: pokud K = R, oper´ ator T nem´ a vlastn´ı hodnoty. Pro volbu K = C je vˇsak z´ avˇer zcela odliˇsn´ y. Abychom naˇsli vlastn´ı hodnoty operátoru T , mus´ıme naj´ıt ˇc´ısla λ ∈ C taková, ˇze oper´ atorová rovnice x x T =λ y y má jiná ˇreˇsen´ı neˇz x = y = 0. V naˇsem pˇr´ıpadˇe tomu odpov´ıdá systém lineárn´ıch algebraick´ ych rovnic −y = λx , x = λy .

Dosazen´ım druhé rovnice do prvn´ı rovnice dostaneme −y = λ2 y , jeˇz je ekvivalentn´ı (ponˇevadˇz y nem˚ uˇze b´ yt nula, aniˇz by z´ aroveˇ n x bylo nula) ˇc´ıselné rovnosti −1 = λ2 , jej´ımˇz ˇreˇsen´ım jsou ˇc´ısla ±i. Dost´ av´ ame tud´ıˇz v´ ysledek, ˇze T má dvˇe vlastn´ı hodnoty: σ(T ) = {i, −i} . Vlastn´ı vektory odpov´ıdaj´ıc´ı vlastn´ımu ˇc´ıslu i maj´ı tvar 1 ui := α , kde −i

α ∈ C \ {0} ,

98

7. Spektrum


a vlastn´ı vektory odpov´ıdaj´ıc´ı vlastn´ımu ˇc´ıslu −i maj´ı tvar 1 u−i := β , kde β ∈ C \ {0} . i Vˇsimnˇete si, ˇze vlastn´ı vektory ui a u−i jsou lineárnˇe nezávislé. N´ aslednˇe uvid´ıme, ˇze toto je zcela obecná vlastnost pro vlastn´ı vektory odpov´ıdaj´ıc´ı r˚ uzným vlastn´ım hodnot´ am. Pro geometrické n´ asobnosti vlastn´ıch hodnot ±i zˇrejmˇe plat´ı mg (i) = 1 = mg (−i) , jedná se tedy o jednoduché vlastn´ı hodnoty.

7.4

♦

Line´ arn´ı nez´ avislost vlastn´ıch vektor˚ u

Vˇ eta 7.1. Necht’ T ∈ L (V). Pokud λ1 , . . . , λm jsou navzájem odliˇsné vlastn´ı hodnoty operátoru T a v1 , . . . , vm jsou odpov´ıdaj´ıc´ı vlastn´ı vektory, potom plat´ı: v1 , . . . , vm

jsou lineárnˇe nezávislé.

D˚ ukaz. Postupujme sporem. Necht’ v1 , . . . , vm jsou lineárnˇe závislé. Necht’ k ∈ N∗ je nejmenˇs´ı index, pro nˇejˇz plat´ı vk ∈ span{v1 , . . . , vk−1 } . To znamená, ˇze existuj´ı ˇc´ısla α1 , . . . , αk−1 ∈ K taková, ˇze vk = α1 v1 + · · · + αk−1 vk−1 .

(7.3)

Zap˚ usoben´ım zobrazen´ı T na obˇe strany této rovnosti dostaneme λk vk = α1 λ1 v1 + · · · + αk−1 λk−1 vk−1 . Zároveˇ n, vynásoben´ım rovnice (7.3) dostaneme λk vk = α1 λk v1 + · · · + αk−1 λk vk−1 . Odeˇcten´ım tˇechto dvou rovnic nakonec dostaneme vztah 0 = α1 (λk − λ1 )v1 + · · · + αk−1 (λk − λk−1 )vk−1 . Ponˇevadˇz vektory v1 , . . . , vk−1 jsou lineárnˇe nezávislé (podle definice indexu k) a λk 6= λj pro vˇsechna j = 1, . . . , k − 1 (podle pˇredpokladu vˇety), dostáváme výsledek α1 = · · · = αk−1 = 0 . To vˇsak znamená (viz (7.3)), ˇze vk = 0, coˇz je ve sporu s pˇredpokladem vˇety. Následuj´ıc´ı d˚ usledek pˇredchoz´ı vˇety ˇr´ıká, ˇze lineárn´ı zobrazen´ı nem˚ uˇze m´ıt v´ıce odliˇsných vlastn´ıch hodnot neˇz je dimenze vektorového prostoru, na kterém funguje.

7. Spektrum


99

D˚ usledek 7.1. Kaˇzdý operátor na V má nejv´ıce dim V r˚ uzných vlastn´ıch hodnot. D˚ ukaz. Necht’ T ∈ L (V). Pokud λ1 , . . . , λm jsou navzájem odliˇsné vlastn´ı hodnoty zobrazen´ı T a v1 , . . . , vm jsou odpov´ıdaj´ıc´ı vlastn´ı vektory, potom plat´ı, ˇze v1 , . . . , vm jsou lineárnˇe nezávislé (viz pˇredchoz´ı Vˇeta 7.1). Tedy m ≤ dim V (viz Steinitzova Vˇeta 2.3).

7.5

Polynom oper´ atoru

Hlavn´ım d˚ uvodem, proˇc existuje bohatˇs´ı teorie pro zobrazen´ı z jednoho vektorového prostoru do toho samého, je moˇznost definice jejich mocnin. V této kapitolce zavedeme tento pojem a dokonce definujeme polynom coby zobrazen´ı na prostoru lineárn´ıch zobrazen´ı. Pokud T ∈ L (V), pak sloˇzené zobrazen´ı T T =: T 2 má smysl a je to opˇet zobrazen´ı z prostoru L (V). Obecnˇeji, pokud m ∈ N∗ , pak m-tou mocninu zobrazen´ı T definujeme pˇredpisem T m := T . . T}. | .{z m-kr´ at

Je výhodné rovnˇeˇz definovat nultou mocninu T 0 := I (identita na V). Pro invertibiln´ı lineárn´ı zobrazen´ı T m˚ uˇzeme nav´ıc definovat zápornou mocninu pˇredpisem T −m := (T −1 )m . (Pˇripomeˇ nme, ˇze T −1 oznaˇcuje inverzn´ı zobrazen´ı k zobrazen´ı T , jeˇz je dobˇre definováno, jakmile T je invertibiln´ı.) Student si snadno dokáˇze následuj´ıc´ı tvrzen´ı. Tvrzen´ı 7.1. ∀T ∈ L (V), ∀m, n ∈ N, (i) T m T n = T m+n , (ii) (T m )n = T mn . Pokud je T invertibiln´ı, vztahy plat´ı i pro m, n ∈ Z. Uvaˇzujme nyn´ı polynom p ∈ P, jenˇz zap´ıˇseme ve tvaru p(x) = α0 + α1 x + α2 x2 + · · · + αm xm , kde x ∈ K a α0 , α1 , . . . , αm ∈ K. Potom definujeme polynom operátoru T ∈ L (V) pˇredpisem p(T ) := α0 I + α1 T + α2 T 2 + · · · + αm T m . Pokud zafixujeme zobrazen´ı T ∈ L (V), potom zobrazen´ı P → L (V) : {p 7→ p(T )} je lineárn´ı, jak snadno ovˇeˇr´ıte. Student si rovnˇeˇz snadno dokáˇze následuj´ıc´ı pˇekná tvrzen´ı.

100

7. Spektrum


Tvrzen´ı 7.2. ∀T ∈ L (V), ∀p, q ∈ P, (i) (pq)(T ) = p(T )q(T ) , (ii) [p, q](T ) = 0 .

7.6

Existence spektra

V Pˇr´ıkladu 7.7 jsme vidˇeli, ˇze existuj´ı operátory (na reálném vektorovém prostoru), jeˇz maj´ı prázdné spektrum. Následuj´ıc´ı tvrzen´ı nám ˇr´ıká, ˇze spektrum operátor˚ u na (koneˇcnˇe dimenzionáln´ıch, nenulových) komplexn´ıch vektorových prostorech je vˇsak vˇzdy netriviáln´ı. Vˇ eta 7.2. Kaˇzdý operátor na komplexn´ım vektorovém prostoru má alespoˇ n jedno vlastn´ı ˇc´ıslo.

D˚ ukaz. Pˇredpokládejme, ˇze V je komplexn´ı vektorový prostor dimenze n > 0 a T ∈ L (V). Zvolme nenulový vektor v ∈ V. Potom vektory v, T v, T 2v, . . . , T n v nemohou být lineárnˇe nezávislé, ponˇevadˇz V má dimenzi n a tˇechto vektor˚ u je n + 1. Tedy existuj´ı ˇc´ısla α0 , α1 , . . . , αn ∈ C, jeˇz nejsou vˇsechna rovna nule, taková, ˇze 0 = α0 v + α1 T v + α2 T 2 v + · · · + αn T n v . Necht’ m ∈ N je nejvˇetˇs´ı index takový, ˇze am 6= 0; ponˇevadˇz v je nenuový, ˇc´ısla α0 , α1 , . . . , αm nemohou být vˇsechna rovna nule, a tedy 0 < m ≤ n. Základn´ı vˇeta algebry nám ˇr´ıká, ˇze kaˇzdý polynom s komplexn´ımi koeficienty (stupnˇe alespoˇ n jedna) má alespoˇ n jeden komplexn´ı koˇren (viz napˇr. [3, Thm. 4.7]). Toto fundamentáln´ı tvrzen´ı vede k následuj´ıc´ı faktorizaci polynomu s koeficienty α0 , α1 , . . . , αn : ∃c ∈ C \ {0}, λ1 , . . . , λm ∈ C,

∀z ∈ C, α0 + α1 z + α2 z 2 + · · · + αn z n = c(z − λ1 ) . . . (z − λm ) .

V d˚ usledku toho máme 0 = α0 v + α1 T v + α2 T 2 v + · · · + αn T n v = (α0 + α1 T + α2 T 2 + · · · + αn T n )v = c(T − λ1 I) . . . (T − λm I)v , coˇz znamená, ˇze T − λj I nen´ı injektivn´ı alespoˇ n pro jedno j ∈ {1, . . . , m}. Jinými slovy, λj je vlastn´ı hodnota operátoru T .

7. Spektrum


7.7

101

Jednoduch´ e matice

V 5. kapitolce jsme diskutovali matici lineárn´ıho zobrazen´ı z jednoho vektorového prostoru do jiného vektorového prostoru. Tato matice závisela na volbˇe báze v kaˇzdém z tˇechto vektorových prostor˚ u. Nyn´ı, kdy se zabýváme operátory (tedy lineárn´ımi zobrazen´ımi z jednoho vektorového prostoru do toho samého prostoru), vystaˇc´ıme pouze s jednou báz´ı. Nav´ıc výsledná matice bude ˇctvercová. Abychom byli specifiˇctˇejˇs´ı, necht’ T ∈ L (V) a necht’ v1 , . . . , vn je báze ve V. Potom   a11 . . . a1n  ..  , M T, {v1 , . . . , vn } =  ... .  an1 . . . ann

kde prvky matice jsou (jednoznaˇcnˇe) urˇceny rozklady T vk = a1k w1 + · · · + ank wn ,

k = 1, . . . , n .

ˇ ısla z tohoto rozkladu tvoˇr´ı k-tý sloupec matice. C´ Pokud je T operátor na souˇradnicovém prostoru Kn a báze nen´ı specifikována, budeme vˇzdy implicitnˇe pˇredpokládat, ˇze vol´ıme bázi kanonickou. Pak dostaneme k-tý sloupec matice operátoru T aplikac´ı na k-tý bazický vektor. C´ılem lineárn´ı algebry je ukázat, ˇze pro kaˇzdý daný operátor T ∈ L (V) existuje báze ve V, vzhledem k n´ıˇz má matice M(T ) “jednoduchý tvar”. Jednoduchost´ı budeme rozumˇet, ˇze “mnoho” prvk˚ u matice je nulových. Co je myˇsleno mnohost´ı, ukazuje napˇr´ıklad tato definice. Definice 7.3. • Horn´ı troj´ uheln´ıková matice je matice, jeˇz má vˇsechny prvky pod diagonálou nulové. • Doln´ı troj´ uheln´ıková matice je matice, jeˇz má vˇsechny prvky nad diagonálou nulové. • Diagonáln´ı matice je matice, jeˇz má vˇsechny prvky kromˇe diagonály nulové. Horn´ı troj´ uheln´ıková matice tedy vypadá nˇejak  a11 a12 a13  0 a22 a23  0 0 a33   .. .. ..  . . . 0 0 0

takto (diagonála je vyznaˇcena modˇre):  . . . a1n . . . a2n   . . . a3n   ..  .. . .  . . . ann

Pˇripomeˇ nme, ˇze diagonálou ˇctvercové matice rozum´ıme prvky, jeˇz leˇz´ı na ˇsikmé ˇcáˇre, jeˇz jde z levého horn´ıho rohu do pravého doln´ıho rohu matice. Diagonáln´ı matice je tedy matice, jeˇz je zároveˇ n horn´ı i doln´ı troj´ uheln´ıková matice. Transpozice horn´ı troj´ uheln´ıkové matice je doln´ı troj´ uheln´ıková matice a naopak. Je-li matice horn´ı troj´ uheln´ıková matice, budeme rovnˇeˇz ˇr´ıkat, ˇze matice je horn´ıho troju ´heln´ıkového tvaru. A obdobnˇe pro doln´ı troj´ uheln´ıkovou matici a diagonáln´ı matici.

102

7. Spektrum


Následuj´ıc´ı tvrzen´ı demonstruje uˇziteˇcné spojen´ı mezi horn´ımi troj´ uheln´ıkovými maticemi a invariantn´ımi podprostory. Tvrzen´ı 7.3. Necht’ T ∈ L (V) a v1 , . . . , vn je báze ve V. Následuj´ıc´ı tvrzen´ı jsou ekvivalentn´ı: (i) M T, {v1 , . . . , vn } je horn´ı troj´ uheln´ıková matice; (ii) ∀k = 1, . . . , n,

T vk ∈ span{v1 , . . . , vk };

(iii) ∀k = 1, . . . , n,

span{v1 , . . . , vk } je invariantn´ı v˚ uˇci T .

D˚ ukaz. Ekvivalence (i)⇔(ii) plyne pˇr´ımo z definice. Implikace (iii)⇒(ii) je rovnˇeˇz zˇrejmá. Zbývá tedy ukázat implikaci (ii)⇒(iii). Pˇredpokládejme tedy, ˇze plat´ı (ii). Zvolme k ∈ {1, . . . , n}. Z platnosti (ii) v´ıme, ˇze plat´ı T v1 ∈ span{v1 } ⊂ span{v1 , . . . , vk } , T v2 ∈ span{v1 , v2 } ⊂ span{v1 , . . . , vk } , .. . T vk ∈ span{v1 , . . . , vk } . V d˚ usledku toho máme implikaci v ∈ span{v1 , . . . , vk }

=⇒

T v ∈ span{v1 , . . . , vk } ,

coˇz znamená, ˇze span{v1 , . . . , vk } je invariantn´ı v˚ uˇci T . Nyn´ı m˚ uˇzeme ukázat, ˇze pro kaˇzdý operátor na komplexn´ım vektorovém prostoru existuje báze, vzhledem k n´ıˇz je matice operátoru jednoduchá ve smyslu samých nul pod diagonálou. Vˇ eta 7.3. Necht’ V je komplexn´ı vektorový prostor a T ∈ L (V). Potom existuje báze ve V, vzhledem k n´ıˇz je M(T ) horn´ı troj´ uheln´ıková matice.

D˚ ukaz. D˚ ukaz provedeme indukc´ı podle dimenze prostoru V. Tvrzen´ı zˇrejmˇe plat´ı, pokud dim V = 1. Pˇredpokládejme nyn´ı, ˇze dim V ≥ 2 a poˇzadované tvrzen´ı plat´ı pro vˇsechny vektorové prostory, jejichˇz dimenze je menˇs´ı neˇz dim V. Necht’ λ ∈ σ(T ) je libovolné vlastn´ı ˇc´ıslo operátoru T (Vˇeta 7.2 zaruˇcuje, ˇze T má alespoˇ n jedno vlastn´ı ˇc´ıslo). Necht’ U := ran(T − λI) . Ponˇevadˇz T nen´ı surjektivn´ı (viz Vˇeta 3.3), plat´ı striktn´ı nerovnost m := dim U < dim V. Nav´ıc plat´ı, ˇze U je invariantn´ı v˚ uˇci T . Abychom to dokázali, necht’ u ∈ U. Potom T u = (T − λI)u + λu . Zˇrejmˇe (T − λI)u ∈ U (z definice podprostoru U) a λu ∈ U. Tedy skuteˇcnˇe plat´ı, ˇze U je invariantn´ı v˚ uˇci T .

7. Spektrum


103

Z´ uˇzené zobrazen´ı T ↾U je tedy operátor na U (jinými slovy T ↾U ∈ L (U)). D´ıky naˇs´ı indukˇcn´ı hypotéze v´ıme, ˇze existuje báze u1 , . . . , um v U, vzhledem k n´ıˇz ma z´ uˇzený operátor matici horn´ıho troj´ uheln´ıkového tvaru. Pro kaˇzdé j = 1, . . . , m tedy plat´ı (viz Tvrzen´ı 7.3) T uj = (T ↾U )(uj ) ∈ span{u1 , . . . , um } .

(7.4)

Rozˇsiˇrme nyn´ı u1 , . . . , um ∈ U ⊂⊂ V na bázi u1 , . . . , um, v1 , . . . , vn ve V. Pro kaˇzdé k = 1, . . . , n máme T vk = (T − λI)vk + λvk . (7.5) Definice podprostoru U zaruˇcuje, ˇze (T − λI)vk ∈ U = span{u1 , . . . , um}. Ze vztahu (7.5) tud´ıˇz dostáváme T vk ∈ span{u1 , . . . , um , v1 , . . . , vn } . (7.6) Uˇzijme nakonec Tvrzen´ı 7.3, abychom ze vztah˚ u (7.4) a (7.6) odvodili, ˇze T má matici horn´ıho troj´ uheln´ıkového tvaru vzhledem k bázi u1 , . . . , um , v1 , . . . , vn . V této vˇetˇe je naprosto kruciáln´ı, ˇze uvaˇzujeme operátor na komplexn´ım vektorovém prostoru. Pro operátory na reálném vektorovém prostoru tvrzen´ı obecnˇe neplat´ı, jak ukazuje následuj´ıc´ı pˇr´ıklad. Pˇ r´ıklad 7.8. Uvaˇzujme oper´ ator rotace T : R2 → R2 :

x −y 0 7→ = y x 1

−1 x 0 x

z Pˇr´ıkladu 7.7. Pˇredpokládejme, ˇze existuje b´ aze v, w v R2 , v˚ uˇci n´ıˇz má T horn´ı troj´ uheln´ıkovou matici, tedy a11 a12 M T, {v, w} = , 0 a22

kde a11 , a12 , a22 ∈ R. Podle definice matice zobrazen´ı (viz Definice 5.2) to znamen´ a, ˇze vektory v, w splˇ nuj´ı rovnice T v = a11 v , T w = a12 v + a22 w .

Dosazen´ım akce oper´ atoru T je prvn´ı rovnice ekvivalentn´ı skalárn´ı soustavˇe −v2 = a11 v1 , v1 = a11 v2 ,

kde v =: ( vv12 ). Dosazen´ım druhé rovnice do prvn´ı dostaneme vztah (1 + a211 )v2 = 0, z nˇehoˇz plyne, ˇze v2 = 0 (zde je d˚ uleˇzité, ˇze a11 mus´ı b´ yt re´ alné), a z druhé rovnice pak plyne, ˇze i v1 = 0. Tedy v je nulov´ y vektor, coˇz je ve sporu s pˇredpokladem, ˇze v, w jsou lineárnˇe nezávislé (coby vektory b´ aze). Dokázali jsme, ˇze neexistuje b´ aze, v˚ uˇci n´ıˇz má oper´ ator T horn´ı troj´ uheln´ıkovou matici. ♦

Následuj´ıc´ı tvrzen´ı plat´ı jak na komplexn´ım, tak na reálném vektorovém prostoru, avˇsak na reálném vektorovém prostoru nen´ı pˇredpoklad splnˇen pro vˇsechny operátory. Tvrzen´ı 7.4. Necht’ V je vektorový prostor se skalárn´ım souˇcinem a T ∈ L (V). M´ a-li operátor T matici horn´ıho troj´ uheln´ıkového tvaru vzhledem k nˇejaké bázi ve V, pak m´ a rovnˇeˇz matici horn´ıho troj´ uheln´ıkového tvaru vzhledem k nˇejaké ortonormáln´ı bázi ve V.

104

7. Spektrum


D˚ ukaz. Necht’ T matici horn´ıho troj´ uheln´ıkového tvaru vzhledem k nˇejaké bázi v1 , . . . , vn ve V. Pak span{v1 , . . . , vj } je invariantn´ı vhledem k T pro vˇsechna j = 1, . . . , n (viz Tvrzen´ı 7.3). Aplikac´ı Gramm-Schmidtova ortogonalizaˇcn´ıho procesu (viz Vˇeta 4.5) dostaneme z v1 , . . . , vn ortonormáln´ı bázi w1 , . . . , wn splˇ nuj´ıc´ı ∀j ∈ {1, . . . , n},

span{w1 , . . . , wj } = span{w1 , . . . , wj } .

Tedy rovnˇeˇz span{w1 , . . . , wj } je invariantn´ı vhledem k T pro vˇsechna j = 1, . . . , n. Uˇzit´ım Tvrzen´ı 7.3 dostáváme, ˇze T matici horn´ıho troj´ uheln´ıkového tvaru vzhledem k ortonormáln´ı bázi w1 , . . . , wn ve V.

7.8

Determinant, invertibilita a spektrum

Nejdˇr´ıve si ukaˇzme, ˇze matice z Definice 7.3 jsou vskutku jednoduché v tom smyslu, ˇze jejich determinant je snadné spoˇc´ıst. Tvrzen´ı 7.5. Necht’ A = (ajk )j,k=1,...,n je horn´ı troj´ uheln´ıková (nebo doln´ı troj´ uheln´ıkov´ a nebo diagonáln´ı) matice. Potom plat´ı: det A = a11 a22 . . . ann .

D˚ ukaz. Opakvaným uˇzit´ım rozkladu determinantu podle prvn´ıho sloupce (viz Vˇeta 6.3), dostaneme nakonec poˇzadované tvrzen´ı     a11 a12 a13 . . . a1n a a . . . a 22 23 2n  0 a22 a23 . . . a2n     0 a33 . . . a3n  0    0 a33 . . . a3n  = a11 det  . det  . . . .. .. ..   ..  ..  .. .. . . ..   . . . . .  0 0 . . . ann 0 0 0 . . . ann   a33 . . . a3n  ..  = a11 a22 det  ... . . . .  0

. . . ann

.. .

= a11 a22 . . . ann , ponˇevadˇz kaˇzdá d´ılˇc´ı matice je opˇet horn´ı troj´ uheln´ıková. Jak zjistit pohledem na matici operátoru, zda je operátor invertibiln´ı? Pokud máme ˇstˇest´ı a máme k dispozici bázi, vzhledem k n´ıˇz je matice operátoru horn´ıho troj´ uheln´ıkového tvaru, pak tento problém má jednoduché ˇreˇsen´ı, jak ukazuje následuj´ıc´ı tvrzen´ı. Tvrzen´ı 7.6. Necht’ T ∈ L (V) má matici M(T ) =: (ajk )j,k=1,...,n horn´ıho troj´ uheln´ıkového tvaru vzhledem k nˇejaké bázi ve V. Potom plat´ı, ˇze T je invertibiln´ı tehdy a jen tehdy, pokud vˇsechny prvky na diagonále této matice jsou nenulové: T je invertibiln´ı

⇐⇒

∀j = 1, . . . , n,

ajj 6= 0 .

7. Spektrum


105

D˚ ukaz. Nejdˇr´ıve si uvˇedomme tyto obecné ekvivalence: T je invertibiln´ı

⇐⇒

M(T ) je invertibiln´ı

⇐⇒

det M(T ) 6= 0 ,

kde prvn´ı ekvivalence plat´ı d´ıky izomorfnosti zobrazen´ı M a druhá ekvivalence je jedno z kritéri´ı Vˇety 6.4. Posledn´ı vlastnost je vˇsak ekvivalentn´ı dokazovanému kritériu, ponˇevadˇz det M(T ) = a11 . . . ann (viz Tvrzen´ı 7.5). Jak zjistit pohledem na matici operátoru, jak vypadá jeho spektrum? Tento problém má opˇet jednoduché ˇreˇsen´ı pro matice horn´ıho troj´ uheln´ıkového tvaru. Tvrzen´ı 7.7. Necht’ T ∈ L (V) má matici M(T ) =: (ajk )j,k=1,...,n horn´ıho troj´ uheln´ıkového tvaru vzhledem k nˇejaké bázi ve V. Potom plat´ı, ˇze vlastn´ı hodnoty operátoru T jsou rovny diagonáln´ım prvk˚ um této matice: σ(T ) = {a11 , . . . , ann } .

D˚ ukaz. Necht’ v1 , . . . , vn je báze ve V, vzhledem k n´ıˇz má T tvaru:  a11 a12 a13  0 a22 a23   0 a33 M T, {v1 , . . . , vn } =  0  .. .. ..  . . . 0 0 0

Potom máme

matici horn´ıho troj´ uheln´ıkového  . . . a1n . . . a2n   . . . a3n  . ..  .. . .  . . . ann

 a11 − λ a12 a13  0 a22 − λ a23   0 0 a 33 − λ M T − λI, {v1 , . . . , vn } =   .. .. ..  . . . 0 0 0

... ... ... .. .

a1n a2n a3n .. .

. . . ann − λ



   ,  

kde λ ∈ K je libovolné ˇc´ıslo. Podle Tvrzen´ı 7.6 v´ıme, ˇze T − λI nen´ı invertibiln´ı tehdy a jen tehdy, kdyˇz λ je rovno jednomu z ˇc´ısel a11 , . . . , ann . Avˇsak podle Definice 7.2 plat´ı, ˇze λ je vlastn´ı ˇc´ıslo operátoru T tehdy a jen tehdy, kdyˇz T − λI nen´ı invertibiln´ı. Z Vˇety 7.3 a Tvrzen´ı 7.5 a 7.7 této kapitolky dostáváme zaj´ımavé pozorován´ı, ˇze determinant matice m˚ uˇzeme spoˇc´ıst také tak, ˇze nelezneme vlastn´ı ˇc´ısla této matice (coby zobrazen´ı na komplexn´ım souˇradnicovém prostoru) a pronásob´ıme je mezi sebou. Toto pozorován´ı je konzistentn´ı s dˇr´ıve diskutovaným pojmem invariant˚ u, ponˇevadˇz jak spektrum operátoru, tak determinant matice jsou objekty nezávislé na volbˇe báze. Obdobnˇe stopu matice dostaneme coby souˇcet vlastn´ıch ˇc´ısel této matice. Pro d˚ uleˇzitost tohoto pozorován´ı si to shrˇ nme. Tvrzen´ı 7.8. Necht’ A ∈ Kn×n a λ1 , . . . , λm jsou navzájem odliˇsné vlastn´ı hodnoty operátoru TA : Cn → Cn : {x 7→ Ax}. Potom plat´ı: m (λ1 )

(i) det A = λ1 a

m (λm )

. . . λma

;

106

7. Spektrum


(ii) tr A = ma (λ1 ) λ1 + · · · + ma (λm ) λm ; kde ma (λj ) je násobnost vlastn´ı hodnoty coby koˇrene polynomiáln´ı rovnice det(A − λI) = 0 .

(7.7)

D˚ ukaz. Podle Vˇety 7.3 existuje báze, vzhledem k n´ıˇz má matice operátoru TA horn´ı troju ´ heln´ıkový tvar. Jinými slovy (viz Vˇeta 6.7), B = Q−1 AQ , kde B = (bjk )j,k=1,...,n je horn´ı troj´ uheln´ıková matice a Q je matice pˇrechodu od staré báze k nové. Uˇz v´ıme, ˇze det B = det A (viz Vˇeta 6.6) a tr A = tr B (viz Tvrzen´ı 6.5). Avˇsak determinant horn´ı troj´ uheln´ıkové matice se spoˇcte snadno a stopa jako obvykle: det B = b11 . . . bnn

a

tr B = b11 + · · · + bnn .

(7.8)

Z Tvrzen´ı 7.7 v´ıme, ˇze kaˇzdé z ˇc´ısel b11 , . . . , bnn je rovno nˇejaké z navzájem odliˇsných vlastn´ıch hodnot λ1 , . . . , λm zobrazen´ı TA , avˇsak je moˇzné, ˇze hned nˇekolik (stejných) ˇc´ısel z b11 , . . . , bnn je rovno té samé vlastn´ı hodnotˇe. Ponˇevadˇz podle Vˇety 6.6 a Tvrzen´ı 7.5 rovnˇeˇz plat´ı det(A − λI) = det(B − λI) = (b11 − λ) . . . (bnn − λ) , vid´ıme, ˇze ˇc´ıslo bjj se v (7.8) opakuje právˇe tolikrát, kolik je jeho násobnost coby koˇrene polynomiáln´ı rovnice (7.7). Rovnici (7.7) se ˇr´ıká charakteristický polynom matice A a ˇc´ıslu ma (λj ) se ˇr´ıká algebraick´ a násobnost vlastn´ı hodnoty λj . Student si snadno ovˇeˇr´ı, ˇze v Pˇr´ıkladech 7.6 a 7.7 jsou si geometrické a algebraické násobnosti vlastn´ıch hodnot rovny. Obecnˇe tomu vˇsak nen´ı, jak ukazuje následuj´ıc´ı pˇr´ıklad. (Obecnˇe plat´ı nerovnost mg (λ) ≤ ma (λ).) Pˇ r´ıklad 7.9. Uvaˇzujme matici

0 A := 0

1 0

a odpov´ıdaj´ıc´ı zobrazen´ı TA : C → C : {x 7→ Ax}. Ponˇevadˇz je matice v horn´ım troj´ uheln´ıkovém tvaru, rovnou vid´ıme, ˇze σ(TA ) = {0} . Této nulové vlastn´ı hodnotˇe odpov´ıdá pouze jeden vlastn´ı vektor ( 10 ) ˇci pˇresnˇeji 1 ker(T ) = span . 0 V d˚ usledku toho v´ıme, ˇze mg (0) = 1. Avˇsak det(A − λI) = λ2 , z ˇcehoˇz vid´ıme, ˇze ma (0) = 2.

♦

Rovnˇeˇz invertibilita operátoru je vlastnost nezávislá na volbˇe báze. Podle Vˇety 7.3 a Tvrzen´ı 7.7 lze tuto d˚ uleˇzitou vlastnost pro operátory na komplexn´ıch prostorech redukovat na výpoˇcet a prozkoumán´ı spektra libovolné odpov´ıdaj´ıc´ı matice.

7. Spektrum


107

Uˇz z tˇechto pozorován´ı tuˇs´ıme, ˇze spektrum je kl´ıˇc k porozumˇen´ı vlastnostem lineárn´ıch zobrazen´ı.

7.9

Diagonalizovatelnost

Definice 7.4. Operátor T ∈ L (V) je diagonalizovatelný, pokud má diagonáln´ı matici vzhledem k nˇejaké bázi ve V, M´ısto toho, ˇze operátor je diagonalizovatelný, budeme rovnˇeˇz ˇr´ıkat, ˇze operátor lze diagonalizovat. Podle definice je operátor T ∈ L (V) diagonalizovatelný, existuje-li ve V báze v1 , . . . , vn taková, ˇze   λ1 0   .. M T, {v1 , . . . , vn } =  , . 0 λn

kde λ1 , . . . , λn ∈ K jsou nˇejaká ˇc´ısla. Podle Definice 5.2 pro matici lineárn´ıho zobrazen´ı lze operátor T diagonalizovat tehdy a jen tehdy, pokud prvky báze v1 , . . . , vn splˇ nuj´ı rovnosti T v1 = λ1 v1 , .. . T vn = λn vn . Operátor T má tedy diagonáln´ı matici vzhledem k nˇejaké bázi ve V tehdy a jen tehdy, pokud je tato báze sloˇzena z vlastn´ıch vektor˚ u operátoru T . Prvky této diagonáln´ı matice jsou pak právˇe vlastn´ı hodnoty operátoru T (viz Tvrzen´ı 7.7). Naneˇstˇest´ı vˇsak ne kaˇzdý operátor má diagonáln´ı matici vzhledem k nˇejaké bázi. Pro operátory na reálných vektorových prostorech to uˇz v´ıme (viz Pˇr´ıklad 7.7, kde v reálném pˇr´ıpadˇe vlastn´ı hodnoty a vlastn´ı vektory ani neexistuj´ı). Tato smutná skuteˇcnost vˇsak plat´ı i pro komplexn´ı vektorové prostory, pro nˇeˇz vˇzdy nˇejaké vlastn´ı vektory existuj´ı (viz Vˇeta 7.2), ale nemus´ı jich být dostatek pro konstrukci báze, jak ukazuje následuj´ıc´ı pˇr´ıklad. Pˇ r´ıklad 7.10. Uvaˇzujme oper´ ator 2

2

T :C →C :

x1 x2

0 x2 = 7→ 0 0

1 x1 . x2 0

Snadno ovˇeˇr´ıme, ˇze T má právˇe jedno vlastn´ı ˇc´ıslo, a to nulu, σ(T ) = {0} , jemuˇz odpov´ıdá mnoˇzina vlastn´ıch vektor˚ u z jednodimenzionáln´ıho podprostoru 1 span . 0 Operátor T tedy nem´ a dostatek vlastn´ıch vektor˚ u, abychom z nich zkosntruovali b´ azi ve dvojdimenzionáln´ım vektorovém prostoru C2 . V d˚ usledku toho neexistuje b´ aze v C2 , vzhledem k n´ıˇz by mˇel operátor T diagon´ aln´ı matici. ♦

108

7. Spektrum


Následuj´ıc´ı tvrzen´ı ukazuje, ˇze operátor lze diagonalizovat, pokud má tolik r˚ uzných vlastn´ıch ˇc´ısel, kolik je dimenze vektorového prostoru. Tvrzen´ı 7.9. Necht’ T ∈ L (V). Potom plat´ı: T má dim V r˚ uzných vlastn´ıch hodnot

=⇒

T je diagonalizovatelný.

D˚ ukaz. Necht’ T má dim V r˚ uzných vlastn´ıch hodnot λ1 , . . . , λdim V a necht’ v1 , . . . , vdim V znaˇc´ı odpov´ıdaj´ıc´ı vlastn´ı vektory. Podle Vˇety 7.1 jsou tyto vektory lineárnˇe nezávislé a ponˇevadˇz jich je právˇe tolik, kolik je dimenze prostoru, tvoˇr´ı bázi (viz Tvrzen´ı 2.8). Zbývá pˇripomenout, ˇze operátor je diagonalizovatelný tehdy a jen tehdy, pokud jeho vlastn´ı vektory tvoˇr´ı bázi (viz zaˇcátek této kapitolky). Následuj´ıc´ı pˇr´ıklad ukazuje, ˇze se jedná jen o postaˇcuj´ıc´ı podm´ınku. Pˇ r´ıklad 7.11. Uvaˇzujme oper´ ator      4x1 4 0  x1 T : K3 → K3 : x2  7→ 4x2  = 0 4  x3 5x3 0 0

Snadno ovˇeˇr´ıme, ˇze T má pouze dvˇe vlastn´ı ˇc´ısla (4 a 5),

   0 x1  0 x2  .  5 x3

σ(T ) = {4, 5} , avˇsak jeho matice vzhledem ke kanonické b´ azi je diagon´ aln´ı,  4 0 M T, {e1 , e2 , e3 } = 0 4 0 0

 0 0 . 5

♦

Zakonˇceme tyto u ´ vahy sadou ekvivalentn´ıch podm´ınek pro diagonalizovatelnost operátoru. Tvrzen´ı 7.10. Necht’ T ∈ L (V) a λ1 , . . . , λm oznaˇcuj´ı jeho odliˇsné vlastn´ı hodnoty. Potom následuj´ıc´ı vlastnosti jsou ekvivalentn´ı: (i) T je diagonalizovatelný; (ii) ve V existuje báze tvoˇrená vlastn´ımi vektory operátoru T ; (iii) existuj´ı jednodimenzionáln´ı podprostory U1 , . . . , Un ⊂⊂ V, jeˇz jsou invariantn´ı vzhledem k T a splˇ nuj´ı V = U1 ⊕ · · · ⊕ Un ; (iv) V = ker(T − λ1 I) ⊕ · · · ⊕ ker(T − λm I); (v) dim V = dim ker(T − λ1 I) ⊕ · · · ⊕ dim ker(T − λm I). D˚ ukaz. Ekvivalenci (i)⇔(ii) jsme si uˇz ukázali.

7. Spektrum


109

(ii)⇒(iii) Necht’ v1 , . . . , vn znaˇc´ı vlastn´ı vektory operátoru T , jeˇz podle pˇredpokladu tvoˇr´ı bázi v prostoru V. Pro vˇsechna j = 1, . . . , n poloˇzme Uj := span{vj } . Je zˇrejmé, ˇze kaˇzdé Uj je jednodimenzionáln´ı podprostor ve V, jeˇz je invariantn´ı vzhledem k T (ponˇevadˇz kaˇzdé vj je vlastn´ım vektorem T ). Jelikoˇz v1 , . . . , vn je báze, kaˇzdý vektor z V lze jednoznaˇcnˇe zapsat jako lineárn´ı kombinaci vektor˚ u v1 , . . . , vn : ∀v ∈ V,

∃!α1 , . . . , αn ∈ K,

Jinými slovy, V = U1 ⊕ · · · ⊕ Un .

v = α1 v1 + · · · + αn vn . |{z} | {z } ∈U1

∈Un

(iii)⇒(ii) Pro dané j = 1, . . . , n, necht’ vj je nenulový vektor z Uj . Pak ovˇsem kaˇzdý vj je vlastn´ım vektorem operátoru T (ponˇevadˇz Uj jsou jednodimenzionáln´ı invariantn´ı podprostory podle pˇredpokladu). Jelikoˇz plat´ı (podle pˇredpokladu) ∀v ∈ V,

∃!u1 ∈ U1 , . . . , un ∈ Un

v = u1 + · · · + un .

a kaˇzdý z vektor˚ u uj je skalárn´ım násobkem vj , vid´ıme, ˇze v1 , . . . , vn je báze ve V. uˇzeme jednoznaˇcnˇe napsat jako lineárn´ı kombinaci (ii)⇒(iv) Ponˇevadˇz kaˇzdý vektor z V m˚ vlastn´ıch vektor˚ u operátoru T (ponˇevadˇz vlastn´ı vektory tvoˇr´ı bázi), plat´ı V = ker(T − λ1 I) + · · · + ker(T − λm I) (nejedná se a priori o direktn´ı souˇcet, jelikoˇz ker(T −λj I) m˚ uˇze obsahovat dva r˚ uzné vlastn´ı vektory). Abychom ukázali, ˇze se ve skuteˇcnosti jedná o direktn´ı souˇcet, poloˇzme (plánujeme uˇz´ıt Vˇetu 1.2) 0 = u1 + · · · + um , (7.9)

kde uj ∈ ker(T − λj I), j = 1, . . . , m. Jelikoˇz vektory u1, . . . , um jsou lineárnˇe nezávislé (viz Vˇeta 7.1), dostáváme z (7.9), ˇze kaˇzdý vektor uj = 0. Podle Vˇety 1.2 se tedy jedná o direktn´ı souˇcet. (iv)⇒(v) Tato implikace plyne z Vˇety 2.6(ii). (v)⇒(ii) Zvolme bázi v kaˇzdém z podprostor˚ u ker(T − λj I), j = 1, . . . , m, a tyto báze dejme dohromady takovým zp˚ usobem, ˇze dostaneme soubor vektor˚ u v1 , . . . , vn ve V. Podle konstrukce se jedná o vlastn´ı vektory operátoru T a d´ıky pˇredpokladu skuteˇcnˇe plat´ı n = dim V. Abychom ukázali, ˇze tyto vektory jsou lineárnˇe nezávislé, poloˇzme α1 v1 + · · · + αn vn = 0 , kde α1 , . . . , αn ∈ K. Pro kaˇzdý index j = 1, . . . , m, necht’ uj oznaˇcuje souˇcet vˇsech ˇclen˚ u αk vk takových, ˇze vk ∈ ker(T − λj I). Tedy kaˇzdý uj je vlastn´ı vektor operátoru T odpov´ıdaj´ıc´ı vlastn´ımu ˇc´ıslu λj a u1 + · · · + um = 0 . (7.10)

Ponˇevadˇz u1 , . . . , um jsou vlastn´ı vektory odpov´ıdaj´ıc´ı r˚ uzným vlastn´ım ˇc´ısl˚ um, jsou podle Vˇety 7.1 lineárnˇe nezávislé, a tud´ıˇz (7.10) implikuje, ˇze kaˇzdý vektor uj = 0. Jelikoˇz kaˇzdý uj je souˇcet ˇclen˚ u αk vk , kde vektory vk byly zvoleny tak, ˇze tvoˇrily bázi v ker(T − λj I), dostáváme, ˇze vˇsechna ˇc´ısla αk jsou rovna nule. Tud´ıˇz vektory v1 , . . . , vn jsou lineárnˇe nezávislé a ponˇevadˇz jejich poˇcet odpov´ıdá dimenzi prostoru V, jedná se podle Tvrzen´ı 2.8 o bázi.

110

7.10

7. Spektrum


Samosdruˇ zenost

Uˇz jsme se sm´ıˇrili s t´ım, ˇze ne kaˇzdý operátor je diagonalizovatelný. Pod´ıvejme se nyn´ı na speciáln´ı tˇr´ıdu operátor˚ u, jeˇz, jak pozdˇeji uvid´ıme, jsou vˇzdy diagonalizovatelné. Jelikoˇz tato tˇr´ıda operátor˚ u je definována skrze sdruˇzenost, pˇredpokládejme po zbytek této kapitolky existenci skalárn´ıho souˇcinu: V := koneˇcnˇe dimenzionáln´ı, nenulový vektorový prostor se skalárn´ım souˇcinem nad K.

Definice 7.5. Operátor T ∈ L (V) je samosdruˇzený, pokud T ∗ = T . Na koneˇcnˇe dimenzionáln´ıch prostorech je pojem samosdruˇzený operátor identický s alternativn´ımi terminologiemi hermitovský ˇci symetrický. My se vˇsak budeme striktnˇe drˇzet term´ınu samosdruˇzený, jenˇz je výstiˇzný a konzistentn´ı s analogickým zobecnˇen´ım na nekoneˇcnˇe dimenzionáln´ı vektorové prostory se skalárn´ım souˇcinem (tzv. Hilbertovy prostory). Samosdruˇzené operátory hraj´ı kl´ıˇcovou roli v kvantové mechanice, kde reprezentuj´ı fyzikáln´ı pozorovatelné (napˇr. energie, poloha, impuls atd.). Spektrum takovéhoto operátoru má pak pˇr´ımou fyzikáln´ı interpretaci coby výsledky mˇeˇren´ı dané veliˇciny na studovaném systému. Obrázek na tituln´ı stránce je absorpˇcn´ı spektrum sluneˇcn´ıho záˇren´ı, tedy spektrum operátoru, jenˇz reprezentuje energii atom˚ u Slunce. Pˇ r´ıklad 7.12. Necht’ T je oper´ ator na K2 , jehoˇz matice (vzhledem ke kanonické b´ azi) má tvar a11 a12 , M(T ) = a21 a22 kde a11 , a12 , a21 , a22 ∈ K Ponˇevadˇz (viz Tvrzen´ı 5.7) a11 M(T ) = M(T ) = a12 ∗

∗

a21 , a22

dostáv´ ame n´ asleduj´ıc´ı ekvivalenci pro samosdruˇzenost: T∗ = T

⇐⇒

(a11 , a22 ∈ R

∧

a21 = a12 ) .

(V reálném pˇr´ıpadˇe K = R tedy dostáv´ ame pouze jednu podm´ınku na symetrii a21 = a12 .)

♦

Operace sdruˇzen´ı operátoru je vlastnost analogická operaci komplexn´ıho sdruˇzen´ı ˇc´ısla. Komplexn´ı ˇc´ıslo z, jeˇz je rovno svému sdruˇzenému ˇc´ıslu z (tedy máme “samosdruˇzenou” vlastnost z = z), je nezbytnˇe reálné. V pˇr´ıpadˇe samosdruˇzených operátor˚ u dostáváme reálnost spektra, jak ukazuje následuj´ıc´ı tvrzen´ı. Tvrzen´ı 7.11. Kaˇzdý samosdruˇzený operátor má reálné spektrum, tedy: T∗ = T

=⇒

σ(T ) ⊂ R .

D˚ ukaz. Pokud K = R, pak kaˇzdá vlastn´ı hodnota je reálná, tvrzen´ı je tud´ıˇz netriviáln´ı pouze v komplexn´ım pˇr´ıpadˇe K = C. Necht’ λ ∈ σ(T ) ⊂ C je vlastn´ı hodnota operátoru T a necht’

7. Spektrum


111

v ∈ V je odpov´ıdaj´ıc´ı vlastn´ı vektor, tedy T v = λv. Potom plat´ı λ kvk2 = hv, λvi = hv, T vi = hT ∗ v, vi = hT v, vi = hλv, vi = λ kvk2 . Ponˇevadˇz v je podle definice nenulový, dostáváme λ = λ, a tud´ıˇz λ ∈ R. Opaˇcná implikace samozˇrejmˇe neplat´ı, jak ukazuje následuj´ıc´ı pˇr´ıklad. Pˇ r´ıklad 7.13. Necht’ T je oper´ ator na C2 , jehoˇz matice (vzhledem ke kanonické b´ azi) má tvar 1 i M(T ) = . 0 2 Snadno ovˇeˇr´ıme, ˇze spektrum je re´ alné, σ(T ) = {1, 2} , avˇsak T je zˇrejmˇe nesamosdruˇzen´ y.

♦

Tvrzen´ı 7.12. Necht’ T ∈ L (V) je samosdruˇzený. Vlastn´ı vektory operátoru T odpov´ıdaj´ıc´ı r˚ uzným vlastn´ım ˇc´ısl˚ um jsou ortogonáln´ı.

D˚ ukaz. Necht’ λ1 6= λ2 jsou odliˇsná vlastn´ı ˇc´ısla operátoru T a necht’ v1 , v2 jsou odpov´ıdaj´ıc´ı vlastn´ı vektory, tedy T v1 = λ1 v1 a T v2 = λ2 v2 . Potom plat´ı (λ1 − λ2 )hv1 , v2 i = hλ1 v1 , v2 i − hv1 , λ2 v2 i = hT v1 , v2 i − hv1 , T v2 i = hT v1 , v2 i − hT ∗ v1 , v2 i = 0, kde prvn´ı rovnost vyuˇz´ıvá reálnosti spektra samosdruˇzeného operátoru (viz Tvrzen´ı 7.11) a posledn´ı rovnost plat´ı opˇet d´ıky samosdruˇzenosti. Ponˇevadˇz λ1 − λ2 6= 0 podle pˇredpokladu, dostáváme poˇzadované tvrzen´ı hv1 , v2 i = 0.

7.11

Spektr´ aln´ı teor´ em

Nyn´ı se dostáváme k hlavn´ımu a naprosto fundamentáln´ımu výsledku lineárn´ı algebry, s mnoha aplikacemi zvláˇstˇe v kvantové teorii. Pˇripomeˇ nme, ˇze operátor T ∈ L (V) je diagonalizovatelný tehdy a jen tehdy, pokud v prostoru V existuje báze tvoˇrená vlastn´ımi vektory operátoru T (viz Tvrzen´ı 7.10). Následuj´ıc´ı výsledek nám ˇr´ıká, ˇze toto je vˇzdy pˇr´ıpad samosdruˇzených operátor˚ u a ˇze se nav´ıc jedná o ortonormáln´ı bázi (coˇz je ta nejhezˇc´ı moˇzná). Vˇ eta 7.4 (Spektráln´ı teorém). Necht’ T ∈ L (V) je samosdruˇzený. Potom ve V existuje ortonormáln´ı báze tvoˇrená vlastn´ımi vektory operátoru T .

112

7. Spektrum


D˚ ukaz. Vˇeta plat´ı v této obecnosti, avˇsak my si ji dokáˇzeme pouze v komplexn´ım pˇr´ıpadˇe K = C. Ponˇevadˇz T jsme na komplexn´ım vektorovém prostoru, existuje ortonormáln´ı báze v1 , . . . , vn ve V, vzhledem k n´ıˇz je matice T horn´ıho troj´ uheln´ıkového tvaru (viz Vˇeta 7.3 a Tvrzen´ı 7.4):   a11 . . . a1n  ..  . .. M T, {v1 , . . . , vn } =  . .  0 ann Jelikoˇz T je samosdruˇzený, mus´ı být vˇsechny nediagonáln´ı prvky této matice rovny nule (aby platilo M(T, {v1 , . . . , vn }) = M(T, {v1 , . . . , vn })∗ .) Tedy tato matice je ve skuteˇcnosti diagonáln´ı, coˇz znamená, ˇze v1 , . . . , vn je ortonormáln´ı báze tvoˇrená vlastn´ımi vektory operátoru T . D˚ usledek 7.2. Necht’ T ∈ L (V) je samosdruˇzený a λ1 , . . . , λm oznaˇcuj´ı jeho odliˇsné vlastn´ı hodnoty. Potom plat´ı: (i) V = ker(T − λ1 I) ⊕ · · · ⊕ ker(T − λm I); (ii) kaˇzdý vektor z ker(T − λj I) je ortogonáln´ı ke vˇsem vektor˚ um z ostatn´ıch podprostor˚ u tohoto rozkladu. D˚ ukaz. Vˇeta 7.4 zaruˇcuje, ˇze v prostoru V existuje ortonormáln´ı báze tvoˇrena vlastn´ımi vektory operátoru T . Vlastnost (i) pak plyne z Tvrzen´ı 7.10, zat´ımco (ii) je d˚ usledkem Tvrzen´ı 7.12. Tento d˚ usledek nám dává ten nejhezˇc´ı moˇzný rozklad vektorového prostoru V pro operátor T na kaˇzdém podprostoru ker(T − λj I) je akc´ı T pouze násoben´ı ˇc´ıslem λj .

7.12

Exponenci´ ala oper´ atoru

V kapitolce 7.5 jsme zavedli pojem polynomu operátoru T ∈ L (V) pˇrirozeným pˇredpisem p(T ) = α0 I + α1 T + α2 T 2 + · · · + αm T m , kde α0 , α1 , . . . , αm ∈ K. Zv´ıdavˇejˇs´ıho studenta samozˇrejmˇe napadne, ˇze kdybychom vzali takovýto polynomiáln´ı souˇcet aˇz do nekoneˇcna, mohli bychom definovat funkci operátoru, tak jak jsme zvykl´ı definovat skalárn´ı funkce pomoc´ı nekoneˇcných ˇrad (viz Taylor˚ uv vzorec). Následuj´ıc´ı definice reprezentuje jeden velice d˚ uleˇzitý pˇr´ıklad funkce operátoru, kdy to funguje. Definice 7.6. Exponenciála operátoru T ∈ L (V) je lineárn´ı operátor definovaný pˇredpisem T

e :=

∞ X Tk k=0

k!

.

(7.11)

7. Spektrum


113

Zde pravou stranu chápeme jako limitu ˇcásteˇcných souˇct˚ u. Abychom si ukázali, ˇze tato limita konverguje, zaved’me normu operátoru pˇredpisem kT k := sup v∈V v6=0

kT vk . kvk

(7.12)

Na pravé stranˇe této definice vystupuj´ı normy vektor˚ u, jejichˇz definici známe pro vektorové prostory se skalárn´ım souˇcinem (pˇripomeˇ nme, ˇze pˇredpokládáme, ˇze V je takový prostor). Pro rozd´ıl ˇcásteˇcných souˇct˚ u dostáváme

N M M M

X

M

X X Tk X Tk kT n k kT kk

X Tk − ≤ ,

=

≤

k! k! k! n! k! k=0 k=N +1 k=N +1 k=0 k=N +1

kde nerovnosti plynou z vlastnost´ı normy (7.12). T´ım jsme se dostali zpˇet do skalárn´ıho pˇr´ıpadu, odkud v´ıme, ˇze pravá strana jde k nule pro N, M → ∞, a to stejnomˇernˇe pro vˇsechny matice A, jejichˇz norma kAk je menˇs´ı neˇz nˇejaká daná konstanta. Pˇ r´ıklad 7.14. Uvaˇzujme matice 0 1 A := 0 0

a

0 B := 1

0 , 0

jeˇz m˚ uˇzeme ch´ apat jako oper´ atory na souˇradnicovém prostoru R2 . Snadno se ovˇeˇr´ı, ˇze A2 = 0 a B 2 = 0, tud´ıˇz pˇr´ımo Definice 7.6 d´ av´ a 1 1 1 0 A B e =I +A= a e =I +B = . 0 1 1 1 Ponˇevadˇz eA eB =

2 1

1 1

a

eB eA =

1 1 , 1 2

nem˚ uˇzeme obecnˇe oˇcekávat platnost vzoreˇcku eA+B = eA eB ,

(7.13)

jenˇz známe ze skal´ arn´ıho pˇr´ıpadu. Neplatnost tohoto vzoreˇcku pro naˇse matice je zˇrejmá z toho, ˇze bychom z´ aroveˇ n museli m´ıt eA+B = eB eA (ponˇevadˇz vlevo A + B = B + A), avˇsak v´ yˇse jsme si ukázali, ˇze eA eB 6= B A e e . Alternativnˇe m˚ uˇzeme rovnˇeˇz pˇr´ımo spoˇc´ıst exponenci´ alu souˇctu tˇechto matic cosh 1 sinh 1 A+B e = , sinh 1 cosh 1 pokud vyuˇzijeme vztah˚ u

( I (A + B)k = A+B

⇔ k je sudé , ⇔ k je liché ,

a Taylorova rozvoje funkc´ı cosh a sinh. Na z´ avˇer poznamenejme, ˇze vzoreˇcek (7.13) plat´ı pro komutuj´ıc´ı matice A, B (libovolného stupnˇe), tedy splˇ nuj´ıc´ı [A, B] = 0. ♦

Derivován´ım ˇrady (7.11) ˇclen po ˇclenu dostaneme d tT e = etT T = T etT . dt

114

7. Spektrum


D´ıky tomuto vztahu m˚ uˇzeme ˇreˇsen´ı soustavy lineárn´ıch diferenciáln´ıch rovnic   du = T u , t ∈ [0, ∞) , dt  u(0) = u0 ∈ V ,

(7.14)

naj´ıt ve tvaru

u(t) = etT u0 .

Ponˇevadˇz mnoho fyzikáln´ıch u ´ loh vede diferenciáln´ım rovnic´ım typu (7.14) (v pˇr´ıpadˇe nekoneˇcnˇe dimenzionáln´ıch vektorových prostor˚ u sem spadaj´ı i fundamentáln´ı rovnice veden´ı tepla, vlnová a Schrödingerova), je exponenciála operátoru velice d˚ uleˇzitým matematickým objektem. Uved’me si dva pˇr´ıklady z klasické mechaniky. Pˇ r´ıklad 7.15 (Rovnomˇern´ y pˇr´ımoˇcar´ y pohyb). Uvaˇzujme jednorozmˇern´ y pohyb tˇelesa o hmotnosti m, na nˇejˇz nep˚ usob´ı ˇza´dné s´ıly. Podle druhého Newtonova pohybového z´ akona (zákon s´ıly) rychlost tˇelesa v splˇ nuje diferenci´ aln´ı rovnici s poˇca´teˇcn´ı podm´ınkou   m dv = 0 , dt (7.15)  v(0) = v0 ,

kde v0 ∈ R je poˇca´teˇcn´ı rychlost (rychlost tˇelesa v ˇcase nula). Ponˇevadˇz rychlost je (podle definice) zmˇena polohy za infinitezim´ aln´ı zmˇenu ˇcasu, poloha tˇelesa x splˇ nuje diferenci´ aln´ı rovnici s poˇca´teˇcn´ı podm´ınkou   dx = v , dt (7.16)  x(0) = x0 ,

ˇ sen´ı této soustavy diferenci´ kde x0 ∈ R je poˇca´teˇcn´ı poloha (poloha tˇelesa v ˇcase nula). Reˇ aln´ıch rovnic s poˇca´teˇcn´ımi podm´ınkami znáte velmi dobˇre ze ˇskoly coby rovnomˇern´ y pˇr´ımoˇcar´ y pohyb: ∀t ≥ 0,

x(t) = x0 + v0 t ,

v(t) = v0 .

(7.17)

Ch´ apeme-li polohu x a rychlost v ˇca´stice coby souˇradnice vektoru v dvojdimenzionáln´ım (f´ azovém) prostoru R2 , m˚ uˇzeme diferenci´ aln´ı rovnice s poˇca´teˇcn´ımi podm´ınkami (7.15) a (7.16) zapsat v elegantn´ım maticovém tvaru  d x 0 1 x   ,  dt v = 0 0 v    x(0) = x0 . v(0) v0 To je speci´ aln´ı pˇr´ıpad obecné soustavy (7.14), kde T := A je matice z Pˇr´ıkladu 7.14. Aplikac´ı exponenci´ aly 1 t etA = I + tA = 0 1

na vektor ( xv00 ) obdrˇz´ıme (7.17) alternativn´ım zp˚ usobem.

♦

Pˇ r´ıklad 7.16 (Pohyb tˇelesa v odporuj´ıc´ım prostˇred´ı). Uvaˇzujme nyn´ı jednorozmˇern´ y pohyb tˇelesa o hmotnosti m, na nˇejˇz p˚ usob´ı odporová s´ıla prostˇred´ı FD = −av (ˇc´ım vˇetˇs´ı rychlost, t´ım vˇetˇs´ı odpor prostˇred´ı), kde a je kladn´ a konstanta charakterizuj´ıc´ı odpor prostˇred´ı pro dané tˇeleso. Gravitaˇcn´ı ani jiné s´ıly neuvaˇzujeme. Uˇzit´ım Newtonova pohybového z´ akona a definice rychlosti m˚ uˇzeme dynamické rovnice zapsat ve tvaru  d x 0 1 x   = ,  v 0 −c v dt    x(0) = x0 , v0 v(0)

7. Spektrum


115

kde zkracujeme c := a/m. Tuto soustavu diferenci´ aln´ıch rovnic s poˇca´teˇcn´ımi podm´ınkami m˚ uˇzeme opˇet 1 naj´ıt ˇreˇsen´ım jednotliv´ ych rovnic, pod´ıvejme se vˇsak na ˇreˇsen´ı skrze exponenci´ alu matice A := 00 −c . Snadno ovˇeˇr´ıme, ˇze plat´ı ∀k ≥ 1,

0 1 0 −c

k

=

0 0

(−c)k−1 (−c)k



 ∞ X (−ct)k (−c)  k!  0 k=1  ∞ =I+ 0 X (−ct)k  k!

=

0 (−c)−1 (−c)k . 0 (−c)k

Uˇzit´ım Definice 7.6 tedy dostáv´ ame

e

tA

 ∞ X 0 =I+  k=1 0

k

(−ct) 0   k! =I + k  (−ct) 0 k! 1 (−c)−1 (e−ct − 1) = . 0 e−ct − 1 (−c)−1

−1

(−c)−1 (e−ct − 1) (e−ct − 1)

k=1

Aplikac´ı tohoto v´ ysledku na vektor poˇca´teˇcn´ıch podm´ınek ( xv00 ) nakonec obdrˇz´ıme ∀t ≥ 0,

x(t) = x0 +

v0 (1 − e−ct ) , c

v(t) = v0 e−ct .

Vid´ıme, ˇze tˇeleso se zastav´ı aˇz v nekoneˇcném ˇcase a celková dráha, kterou od ˇcasu nula uraz´ı, je rovna lim [x(t) − x0 ] =

t→∞

v0 mv0 = . c a

Jak bychom intuitivnˇe oˇcekávali, ˇc´ım vˇetˇs´ı poˇca´teˇcn´ı hybnost tˇelesa, t´ım vˇetˇs´ı uraˇzená dráha.

♦

Jak spoˇc´ıst exponenciálu matice? V Pˇr´ıkladˇe 7.14 se nám exponenciálu konkrétn´ıch matic podaˇrilo spoˇc´ıst pˇr´ımo z Definice 7.6, ponˇevadˇz bud’ jejich urˇcitá mocnina byla nulová (matice A, B), tud´ıˇz i vyˇsˇs´ı mocniny byly nulové a nekoneˇcná ˇrada (7.11) se tak redukuje na (koneˇcný) polynom operátoru, nebo jejich mocniny splˇ novaly urˇcitá pravidla (matice A + B), d´ıky nimˇz jsme vypoˇcet exponenciály matice redukovali na skalárn´ı problém (viz rovnˇeˇz Pˇr´ıklad 7.16). Dalˇs´ı tˇr´ıdou matic, pro nˇeˇz um´ıme exponenciálu spoˇc´ıst, jsou diagonáln´ı matice:     λ1 0 eλ1 0     .. .. D= =⇒ eD =   . . . λn 0 λn 0 e

(7.18)

To plyne pˇr´ımo z Definice 7.6, pokud si uvˇedom´ıme, ˇze libovolnou mocninu diagonáln´ı matice je snadné spoˇc´ıst:  k   λ1 0 λk1 0     .. .. ∀k ≥ 0,   = . . . 0 λn 0 λkn

Obecná matice, se kterou se v ˇzivotˇe setkáme (napˇr´ıklad u zkouˇsky) vˇsak nebude ani diagonáln´ı, ani jej´ı mocniny nebudou splˇ novat nˇejaká zˇrejmá pravidla. Pˇresto se exponenciálu matice nauˇc´ıme spoˇc´ıst pro dalˇs´ı velkou tˇr´ıdu matic, a to pro samosdruˇzené matice A = A∗ . Zde totiˇz m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt spektráln´ıho teorému (Vˇeta 7.4), jenˇz nám zaruˇcuje, ˇze matice A je diagonalizovatelná, a to vzhledem k bázi tvoˇrené vlastn´ımi vektory matice A, o nichˇz nav´ıc v´ıme, ˇze jsou ortogonáln´ı. Máme tud´ıˇz vztah A = QDQ−1 ,

(7.19)

116

7. Spektrum


kde D je diagonáln´ı matice, na jej´ıˇz diagonále leˇz´ı vlastn´ı ˇc´ısla matice A, a sloupce matice Q jsou odpov´ıdaj´ıc´ı vlastn´ı vektory (viz Vˇeta 6.7). Ponˇevadˇz Ak = QD k Q−1 pro vˇsechna k ≥ 0, z Definice 7.6 a (7.19) pak rovnou dostáváme eA = Q eD Q−1 ,

(7.20)

kde eD um´ıme spoˇc´ıst podle (7.18). Problém nalezen´ı exponenciály samosdruˇzené matice A se tedy redukuje na spoˇcten´ı jej´ıch vlastn´ıch ˇc´ısel a vlastn´ıch vektor˚ u. Jinými slovy, ˇreˇsen´ı soustavy lineárn´ıch diferenciáln´ıch rovnic 7.14 se redukuje na spektráln´ı analýzu operátoru T . Pˇ r´ıklad 7.17. Spoˇctˇeme v´ yˇse uveden´ ym postupem exponenci´ alu samosdruˇzené matice 0 1 C := , 1 0 ˇ ıslo λ ∈ C je vlastn´ı hodnota matice C tehdy a jen tehdy, jeˇz vystupuje v Pˇr´ıkladu 7.14 (C = A + B). C´ pokud C − λI nen´ı invertibiln´ı, coˇz je ekvivalentn´ı podm´ınce det(C − λI) = λ2 − 1 = 0 (zde prvn´ı rovnost je pouh´ y v´ ypoˇcet determinantu). Z toho dostáv´ ame dvˇe vlastn´ı ˇc´ısla λ1 := −1 a λ2 := 1, a tedy σ(C) = {−1, 1} . Odpov´ıdaj´ıc´ı vlastn´ı vektory jsou napˇr´ıklad 1 v1 := −1

a

1 v2 := , 1

coˇz plyne z ovˇeˇren´ı vztah˚ u (C − λ1 I)v1 = 0 a (C − λ2 I)v2 = 0. Dostáv´ ame tedy −1 0 1 1 −1 C = QDQ , kde D := a Q := , 0 1 −1 1 kde matice D má na diagon´ ale vlastn´ı ˇc´ısla matice C a matice pˇrechodu Q od kanonické b´ aze k b´ azi tvoˇrené vlastn´ımi vektory matice C má ve sloupc´ıch odpov´ıdaj´ıc´ı vlastn´ı vektory. Zb´ yvá spoˇc´ıst exponenci´ alu diagon´ aln´ı matice D podle vztahu (7.18) a inverzn´ı matici ke Q: −1 1 1 −1 e 0 , eD = , Q−1 = 0 e 2 1 1 a dosadit do vzoreˇcku (7.20): C

D

e = Qe Q

−1

cosh 1 = sinh 1

sinh 1 . cosh 1

Dostáv´ ame tud´ıˇz ten sam´ y v´ ysledek jako v Pˇr´ıkladu 7.14.

♦

Rozluˇcme se pravdˇepodobnˇe nejhezˇc´ım tvrzen´ım lineárn´ı algebry. Vˇ eta 7.5. ∀A ∈ Kn×n ,

det eA = etr A .

D˚ ukaz. Vˇeta plat´ı v plné obecnosti, dokaˇzme si ji vˇsak pouze pro samosdruˇzené matice, A = A∗ . Pak máme det eA = det(Q eD Q−1 ) = det eD = eλ1 . . . eλn = eλ1 +···+λn = etr D = etr(QDQ

−1 )

= etr A ,


7. Spektrum

117

kde λ1 , . . . , λn znaˇc´ı prvky na diagonále diagonáln´ı matice D. Zde prvn´ı rovnost plyne z (7.20), druhá rovnost plat´ı d´ıky Vˇetˇe 6.6, tˇret´ı rovnost plyne ze (7.18) a Tvrzen´ı 7.5, ˇctvrtá rovnost je elementárn´ı, pátá rovnost plyne pˇr´ımo z definice stopy matice, ˇsestá rovnost plat´ı d´ıky Tvrzen´ı 6.5 a posledn´ı rovnost je diagonalizaˇcn´ı vztah (7.19).

118

7.13

7. Spektrum


Cviˇ cen´ı

1. Najdˇete spektrum následuj´ıc´ıch matic (znaˇcme si kaˇzdou z nich jednotným symbolem A), chápaných coby matice operátoru x 7→ Ax na komplexn´ım souˇradnicovém prostoru vzhledem ke kanonické bázi. Urˇcete geometrické a algebraické násobnosti vlastn´ıch hodnot. V pˇr´ıpadˇe existence dostateˇcného poˇctu vlastn´ıch vektor˚ u, najdˇete ˜ matici A zobrazen´ı x 7→ Ax vzhledem k bázi tvoˇrené vlastn´ımi vektory. V pˇr´ıpadˇe nedostateˇcného poˇctu vlastn´ıch vektor˚ u, doplˇ nte vlastn´ı vektory na bázi a najdˇete matici A˜ vzhledem k této bázi. (a) 0 0 , 0 0

(b)

(c)

(d)

−1 1 0 −1 , , −1 1 1 0

1 1 , 1 1

(e) (f)     1 −1 1 1 −1 0 1 1 −1, 2 −2 0 . 0 −1 2 0 1 −3

(1) (2) [(a) σ(A) = {0}, mg (0) = ma (0) = 2, u0 = ( 10 ) , u0 = ( 01 ), A˜ = A; (b) σ(A) = {0}, mg (0) = 1, ma (0) = 2, u0 = ( 11 ), A˜ = ( 00 10 ) vzhledem k {u0, e2 }; 1 0 (c) σ(A) = {i, −i}, ma (i) = ma (−i) = 1, ui = ( −i ), u−i = ( 1i ), A˜ = ( 0i −i ); 1 1 0 0 ˜ (d) σ(A) = {0, 2}, ma (0) = ma (2) = 1, u0 = ( −1 ), u2 = ( 1 ), A = ( 0 2 ); 1

(e) σ(A) = {1, 2}, mg (1) = 1, ma (1) = 2, ma (2) = 1, u1 = 1 , u2 = 1 1 0 −1 A˜ = 0 2 2 vzhledem k {u1 , u2 , e3 }; 0 0 1 0 0 0 1 1 (f) σ(A) = {0, −1, −3}, u0 = 3 , u−1 = 2 , u−3 = 0 , A˜ = 0 −1 1

3

1

1 0 1

0 0 0 0 −3

2. Spoˇctˇete exponenciálu matic (a), (b), (c), (d) a (f) z pˇredchoz´ıho cviˇcen´ı. [(a) eA = I; 0 1 (b) eA = I + A = ( −1 ctˇete A2 ; 2 ); Hint: Spoˇ 1 − sin 1 (c) eA = ( cos sin 1 cos 1 ); A 1 sinh 1 e ( cosh (d) e = sinh 1 cosh 1 ); 2−e−1 −1+e−1 0 A −1 −1 −1+e 0 (f) e = 1 2−e .] −3 −1 1 −3 −1 −3 3

(2+e

−3e

)

3

(−1−2e

+3e

) e

,

.]


Reference

Reference [1] Online etymology dictionary, http://www.etymonline.com/. [2] Oxford dictionaries, http://www.oxforddictionaries.com/. [3] S. Axler, Linear algebra done right, Springer, New York, 2004, 2nd edition. [4]

, Linear algebra done right, Springer, New York, 2014, 3rd edition.

[5]

, Linear algebra abridged, 2016, http://linear.axler.net/LinearAbridged.html.

[6] P. R. Halmos, Finite-dimensional vector spaces, Springer, New York, 1987. [7] J. Kopáˇcek, Matematika pro fyziky II, Univerzita Karlova v Praze, Praha, 1989. [8] P. Lax, Linear algebra and its applications, Willey, 2nd edition, New Jersey, 2007.

Pravidla zkouˇsky

A


Pravidla zkouˇsky

Pˇredpokladem pˇripuˇstˇen´ı ke zkouˇsce je pˇredchoz´ı z´ıskán´ı zápoˇctu. Vˇ sichni studenti zaˇcnou zkouˇsku p´ısemkou, v n´ıˇz se objev´ı výpoˇcetn´ı pˇr´ıklady analogické tˇem, s kterými jsme se setkávali na cviˇcen´ıch, a v menˇs´ı m´ıˇre i teoretická látka z pˇrednáˇsek. Text pˇrednáˇsky a cviˇcen´ı jsou (zdarma) k dispozici na adrese: http://gemma.ujf.cas.cz/~ david/other/la.pdf

P´ısemka bude obsahovat jednu povinnou otázku typu smrtihlav, jej´ıˇz ne´ uspˇeˇsné zodpovˇezen´ı je ohodnoceno zápornou ˇcástkou aˇz -100 bod˚ u.

Naopak jedna otázka typu jasoˇ n bude nepovinná, avˇsak pˇri u ´ spˇeˇsném zodpovˇezen´ı je ohodnocena bonusovou ˇcástkou aˇz +100 bod˚ u.

Celkový poˇcet bod˚ u, jenˇz lze z´ıskat z povinných otázek (vˇcetnˇe smrtihlava), je 100. Jasoˇ n je tedy jediná moˇznost, jak neskonˇcit se záporným skóre pˇri ne´ uspˇechu u smrtihlava (a nav´ıc umoˇzn ˇ uje nabýt vˇetˇs´ıho celkového poˇctu bod˚ u neˇz 100). Hodnocen´ı p´ısemky bude prob´ıhat následovnˇe (n := celkový poˇcet bod˚ u): C D E F n > 75 75 ≥ n > 50 50 ≥ n > 25 25 ≥ n Takto z´ıskaná známka je koneˇcná známka ze zkouˇsky (samotnou p´ısemkou tedy nelze z´ıskat lepˇs´ı známku neˇz C). Výjimkou jsou studenti se zn´ amkou C z p´ısemky, kteˇr´ı se mohou rozhodnout bud’ si známku C ponechat, nebo pˇristoupit k u ´ stn´ı zkouˇsce, z n´ıˇz si mohou následnˇe odnést lepˇs´ı známku A nebo B (ve výjimeˇcnˇe tragických pˇr´ıpadech vˇsak i známku horˇs´ı).

Hodnˇe ˇstˇest´ı!

V Praze, 18. prosince 2016


Pravidla zkouˇsky


Pˇ r´ıklady smrtihlav˚ u 1. Které z následuj´ıc´ıch mnoˇzin (ne)jsou vektorové prostory nad R, a proˇc (ne)? (a) {( xx12 ) ∈ R2 : x1 + 2x2 = 3};

(b) {( xx12 ) ∈ R2 : −3x1 + 2x2 = 0}; (c) {( xx12 ) ∈ R2 : 4x1 x2 = 0};

(d) {( xx12 ) ∈ R2 : 2|x1 | + 3|x2 | = 0}. Interpretujte geometricky. 2. Necht’ v1 , . . . , vn je n vektor˚ u z vektorového prostoru V nad C. Uved’te definice následuj´ıc´ıch vlastnost´ı ˇci objekt˚ u: (a) v1 , . . . , vn jsou lineárnˇe závislé; (b) v1 , . . . , vn jsou lineárnˇe nezávislé; (c) vn je lineárn´ı kombinac´ı v1 , . . . , vn−1 ; (d) v1 , . . . , vn tvoˇr´ı bázi ve V; (e) span{v1 , . . . , vn }; (f) dimenze prostoru V je m. 3. Které z následuj´ıc´ıch funkc´ı (ne)jsou lineárn´ı zobrazen´ı z R2 do R2 , a proˇc (ne)? 1 +3x2 (a) f (( xx12 )) := −x x1 +2x2 ; 1 +3x2 (b) f (( xx12 )) := x−x ; 1 +2x2 −1 (c) f (( xx12 )) := ( xx12 );

x1 (d) f (( xx12 )) := ( −x ). 2

Interpretujte geometricky. 4. Necht’ T ∈ L (V, W), kde V, W jsou vektorové prostory nad C. Uved’te definice následuj´ıc´ıch vlastnost´ı ˇci objekt˚ u: (a) ker T (jádro); ran T (obor hodnot); rank T (hodnost); (b) T je injektivn´ı (prosté); T je surjektivn´ı (na); T je bijektivn´ı; (c) T je invertibiln´ı; T −1 . Formulujte univerzáln´ı vztah mezi dimenzemi prostoru V, jádra T a oboru hodnot T . 5. Necht’ x, y ∈ Cn . Napiˇste, jak jsou definovány následuj´ıc´ı vlastnosti ˇci objekty: (a) kxk (eukleidovká norma vektoru x); (b) hx, yi (eukleidovký skalárn´ı souˇcin vektor˚ u x, y); (c) vektory x, y jsou ortogonáln´ı; (d) vektory x, y jsou ortonormáln´ı;

Pravidla zkouˇsky


(e) vektory x1 , . . . , xn tvoˇr´ı ortonormáln´ı bázi v Cn ; Formulujte Pythagorovu vˇetu, Schwarzovu nerovnost a troj´ uheln´ıkovou nerovnost. 6. Rozhodnˇete, které z následuj´ıc´ıch maticových souˇcin˚ u má smysl, a v pˇr´ıpadˇe, ˇze smysl má, souˇcin spoˇc´ıtejte.    2 i  1 0 2 −1  1 3  (a) 0 3 4 9    0 −1 7 4 1 5 ei 0     2 1 1 0 2 −1  1 3   (b) 0 3 4 9   0 −1 7 4 1 5 6 0    2 1  1 0 2 −1 1 3    (c)  0 −1 0 3 4 9 7 4 1 5 6 0   2 1  (d) 1 0 2 −1  0 ei   2 (e) 1 1 0 2 −1 0   1 2 (f) 1 2 0 −1 4 i

7. Uvaˇzujme matici

Spoˇctˇete:

  1 −1 0 A := 2 −2 0  . 0 1 −3

(a) AT (transponovaná matice); A∗ (sdruˇzená matice); (b) ker A, ker AT , ker A∗ ; ran A, ran AT , ran A∗ ; (c) dim ker A, dim ker AT , dim ker A∗ ; rank A; rank AT ; rank A∗ ; (d) det A, det AT , det A∗ ; tr A, tr AT , tr A∗ ; (e) cof A (kofaktorová matice); (f) vlastn´ı ˇc´ısla a vlastn´ı vektory matice A. Rozhodnˇete, zda je matice A invertibiln´ı, a pokud ano, spoˇctˇete jej´ı inverzi A−1 . Rozhodnˇete, zda je matice A diagonalizovatelná, a pokud ano, naleznˇete bázi, vzhledem k n´ıˇz je diagonáln´ı, a jej´ı diagonáln´ı tvar.

16. ledna Aktuální verzi tohoto textu lze najít na tomto odkazu:

Recommend Documents