Matematika II
7.1. Zaveden´ı diferenci´aln´ıch rovnic
Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F (y (n) , y (n−1) , · · · , y ′, y, x) = 0 se naz´yv´a diferenci´ aln´ı rovnice n-t´ eho ˇ r´ adu pro funkci y = y(x). Speci´alnˇe je F (y ′, y, x) = 0
nebo
y ′ = f (x, y)
diferenci´ aln´ı rovnice prvn´ıho ˇ r´ adu. ˇ ad diferenci´ R´ aln´ı rovnice je ˇr´ad nejvyˇsˇs´ı derivace hledan´e funkce y(x). ˇ sen´ım diferenci´ Reˇ aln´ı rovnice je kaˇzd´a funkce, kter´a rovnici vyhovuje (na zadan´e mnoˇzinˇe). Graf konkr´etn´ıho ˇreˇsen´ı rovnice se naz´yv´a integr´ aln´ı kˇ rivka.
V´ yklad V n´asleduj´ıc´ım v´ykladu se budeme vˇenovat pouze rovnic´ım prvn´ıho ˇr´adu. Rovnici povaˇzujeme za vyˇreˇsenou, zn´ame-li vˇsechna jej´ı ˇreˇsen´ı. Ta rozdˇelujeme do nˇekolika typ˚ u: • obecn´ eˇ reˇ sen´ı rovnice 1. ˇr´adu pˇredstavuje mnoˇzinu funkc´ı tvaru φ(x, y, C) = 0
nebo
y = ϕ(x, C) ;
• partikul´ arn´ı ˇ reˇ sen´ı je konkr´etn´ı funkce z´ıskan´a z obecn´eho ˇreˇsen´ı volbou nebo v´ypoˇctem konstanty C; • v´ yjimeˇ cn´ eˇ reˇ sen´ı nelze z´ıskat z obecn´eho pro ˇz´adnou hodnotu C; existuje pouze u nˇekter´ych typ˚ u rovnic a v tomto textu se j´ım nebudeme aˇz na v´ yjimky zab´yvat. C´ıle Naˇse nejbliˇzˇs´ı c´ıle spoˇc´ıvaj´ı v odpovˇed´ıch na z´akladn´ı ot´azky, kter´e si klademe v souvislosti s diferenci´aln´ımi rovnicemi: 1. M´a rovnice ˇreˇsen´ı? 2. Kolik je ˇreˇsen´ı a jak´eho jsou typu? 3. Jak se tato ˇreˇsen´ı najdou?
Matematika II
7.2. Existence a jednoznaˇcnost ˇreˇsen´ı
Vˇ eta 7.2.1. Necht’ je d´ana rovnice y ′ = f (x, y) a bod A = [x0 , y0 ]. Je-li funkce (dvou promˇenn´ych) f (x, y) spojit´a v bodˇe A a urˇcit´em jeho okol´ı, pak v tomto okol´ı existuje ˇreˇsen´ı rovnice y ′ = f (x, y), kter´e splˇ nuje podm´ınku y(x0 ) = y0 . Je-li spojit´a tak´e derivace
∂f (x,y) , ∂y
pak je ˇreˇsen´ı pr´avˇe jedin´e.
y
x
Obr. 7.2.2. Integr´aln´ı kˇrivky ˇreˇsen´ı pˇr´ıkladu 7.2.2. Jedn´a se o kubick´e paraboly pro C = −2, −1, . . . , 4 a osu x jako graf v´yjimeˇcn´eho ˇreˇsen´ı.
Matematika II
8.1. Separovateln´e rovnice
Metody ˇreˇsen´ı diferenci´ aln´ıch rovnic 1. ˇr´ adu
8. 8.1.
Separovateln´ e rovnice
C´ıle V pˇredchoz´ı kapitole jsme poznali separovan´ y tvar diferenci´aln´ı rovnice, kter´ y bezprostˇrednˇe umoˇzn ˇ uje nal´ezt ˇreˇsen´ı integrac´ı. Existuje ˇsirok´a skupina u ´ loh, kter´e jsou na takov´y tvar pˇrevoditeln´e bud’ jednoduch´ ymi u ´ pravami v rovnici nebo vhodnou substituc´ı. Oznaˇcuj´ı se jako separovateln´ e rovnice a nyn´ı se sezn´am´ıme se tˇremi nejˇcastˇejˇs´ımi typy: a) y ′ = P (x).Q(y)
(z´akladn´ı tvar separovateln´e rovnice),
b) y ′ = f (ax + by + c), c) y ′ = f
8.1.1.
Z´ akladn´ı typ
y x
(homogenn´ı rovnice).
V´ yklad U tohoto typu, kter´y zapisujeme obvykle ve tvaru y ′ = P (x).Q(y), postaˇcuje k separaci jednoduch´a u ´ prava rovnice (vyuˇzijeme identity y ′ = dy/dx): dy = P (x) dx , Q(y) po n´ıˇz m˚ uˇze hned n´asledovat integrace. Pˇ r´ıklad 8.1.1. Najdˇete ˇreˇsen´ı rovnice y ′ = −y.cotgx. ˇ
8.1.2.
Rovnice typu y ′ = f (ax + by + c)
V´ yklad Uvˇedomme si nejprve, ˇze y = y(x). Tuto rovnici lze tud´ıˇz pro libovoln´e konstanty a, b 6= 0, c ∈ R transformovat na jednoduˇsˇs´ı separovatelnou rovnici substituc´ı ax + by + c = z(x) . Derivov´an´ım tohoto vztahu podle x dost´av´ame a + by ′ = z ′ ,
y′ =
odkud
dz z′ − a , kde z ′ = . b dx
Po dosazen´ı do p˚ uvodn´ı rovnice vych´az´ı postupn´ ymi u ´pravami z′ − a = f (z) b
=⇒
z ′ = a + bf (z)
=⇒
dz = dx . a + bf (z)
V´ ysledkem je rovnice se separovan´ymi promˇenn´ ymi, v n´ıˇz lze jiˇz pokraˇcovat integrac´ı. ˇ ste rovnici y ′ Pˇ r´ıklad 8.1.3. Reˇ
8.1.3.
y + 3x = 5.
Homogenn´ı rovnice
V´ yklad Diferenci´aln´ı rovnici naz´yv´ame homogenn´ı, lze-li ji upravit na tvar ′
y =f
y x
.
ˇ s´ıme ji pˇreveden´ım na separovatelnou rovnici substituc´ı Reˇ y = z(x) x
=⇒
y = zx
=⇒
y′ = z′ x + z .
Z´ aroven ˇ je vhodn´e pˇripomenout, ˇze funkce f (x, y) se na oblasti Ω ∈ R naz´yv´ a homogenn´ı stupnˇ e k, jestliˇze pro libovoln´e t = 0 plat´ı f (tx, ty) = tk f (x, y) . Doporuˇcujeme povˇsimnout si t´eto vlastnosti u ˇclen˚ u v rovnic´ıch uveden´ych n´ıˇze (napˇr. ˇcleny rovnice v n´asleduj´ıc´ı u ´loze jsou homogenn´ı stupnˇe 2). Pˇ r´ıklad 8.1.5. Urˇcete obecn´e ˇreˇsen´ı rovnice (2xy − x2 )y ′ = 3y 2 − 2xy.
Matematika II
8.3. Line´arn´ı diferenci´aln´ı rovnice
Line´ arn´ı diferenci´ aln´ı rovnice
8.3.
C´ıle Pˇrehled z´akladn´ıch typ˚ u diferenci´aln´ıch rovnic prvn´ıho ˇr´adu zakonˇc´ıme pojedn´an´ım o line´arn´ıch rovnic´ıch, kter´e patˇr´ı v praktick´ ych u ´ loh´ach k nejfrekventovanˇejˇs´ım. Uk´aˇzeme napˇr´ıklad, ˇze – jejich ˇreˇsen´ı m´a pˇredem danou pevnou strukturu, – ˇreˇsen´ı lze zapsat v obecn´em uzavˇren´em tvaru (na rozd´ıl od jin´ ych typ˚ u rovnic), – postupy pˇri jejich ˇreˇsen´ı maj´ı urˇcit´e univerz´aln´ı rysy, kter´e lze uplatnit i u line´arn´ıch rovnic vyˇsˇs´ıch ˇr´ad˚ u. V´ yklad Definice 8.3.1. Line´ arn´ı diferenci´ aln´ı rovnice prvn´ıho ˇ r´ adu (LDR) je kaˇzd´a rovnice tvaru y ′ + p(x)y = q(x) , kde p(x), q(x) jsou funkce spojit´e na mnoˇzinˇe M ⊆ R, v n´ıˇz hled´ame ˇreˇsen´ı. Je-li q(x) = 0 na M, naz´yv´a se y ′ + p(x)y = 0 zkr´ acenou line´ arn´ı rovnic´ı nebo tak´e rovnic´ı bez prav´ e strany. V opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe hovoˇr´ıme o u ´pln´ e line´ arn´ı rovnici.
Vˇ eta 8.3.1. Zkr´acen´a line´arn´ı rovnice m´a obecn´e ˇreˇsen´ı yˆ(x) = C.e−
R
p(x) dx
.
Vˇ eta 8.3.2. Obecn´e ˇreˇsen´ı u ´ pln´e line´arn´ı rovnice m´a obecn´e ˇreˇsen´ı y(x) = yˆ(x) + v(x) , kde yˆ(x) je ˇreˇsen´ı zkr´acen´e rovnice a v(x) je libovoln´e ˇreˇsen´ı u ´ pln´e line´arn´ı rovnice. metoda variace konstanty. Jej´ı princip spoˇc´ıv´a v realizaci pˇredpokladu, ˇze ˇreˇsen´ı zkr´acen´e rovnice yˆ(x) = C.e−
R
p(x) dx
bude vyhovovat rovnici u ´ pln´e, jestliˇze nahrad´ıme konstantu C vhodnou funkc´ı, kterou urˇc´ıme vy ´poˇctem. Budeme tedy pˇredpokl´adat, ˇze y(x) = C(x).e−
R
p(x) dx
je hledany ´m ˇreˇsen´ım a dosad´ıme tuto funkci do u ´ pln´e rovnice: C ′ (x).e− |
R
p(x) dx
− C(x)e− {z
R
p(x) dx
.p(x) + C(x).e− }
y ′ (x)
|
R
{z
y(x)
p(x) dx
}
.p(x) = q(x) .
Na lev´e stranˇe se odeˇctou ˇcleny obsahuj´ıc´ı funkci C(x), takˇze z˚ ustane pouze vztah C ′ (x).e−
R
p(x) dx
= q(x) ,
odkud
R
C ′ (x) = q(x).e
Fin´aln´ı tvar funkce C(x) stanov´ıme opˇet integrac´ı: C(x) =
Z
R
q(x).e
p(x) dx
+K
Pˇ r´ıklad 8.3.1. Najdˇete obecn´e ˇreˇsen´ı rovnic xy ′ − y = 2x3 .
p(x) dx
.
Shrnut´ı lekce ´ Uvodn´ ı 7. kapitola pˇrinesla informace o druz´ıch ˇreˇsen´ı diferenci´aln´ıch rovnic prvn´ıho ˇr´adu a struˇcn´e teoretick´e poznatky o podm´ınk´ach existence a jednoznaˇcnosti ˇreˇsen´ı: 1. diferenci´aln´ı rovnici prvn´ıho ˇr´adu m˚ uˇzeme ps´at v jednom z tvar˚ u y ′ = f (x, y) ,
F (y ′, y, x) = 0
nebo
P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 ;
2. poˇc´ateˇcn´ı u ´ lohou rozum´ıme zad´an´ı, v nˇemˇz je diferenci´aln´ı rovnice doplnˇena podm´ınkou y(x0 ) = y0 , na jej´ımˇz z´akladˇe urˇc´ıme, kter´e partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı z mnoˇziny funkc´ı pˇredstavuj´ıc´ıch ˇreˇsen´ı obecn´e proch´az´ı bodem [x0 , y0]; 3. je-li rovnice ve tvaru y ′ = f (x, y), pak jej´ı ˇreˇsen´ı existuje na kaˇzd´e mnoˇzinˇe, kde je funkce f (x, y) spojit´a; je-li nav´ıc spojit´a parci´aln´ı derivace fy′ (x, y), je ˇreˇsen´ı jednoznaˇcn´e. V kapitole 8 jsme poznali nejˇcastˇejˇs´ı typy rovnic prvn´ıho ˇr´adu a metody jejich ˇreˇsen´ı. Struˇcnou rekapitulaci pˇredstavuje n´asleduj´ıc´ı tabulka. Rovnice
Typick´y tvar
Metoda ˇreˇsen´ı
separovateln´a
y ′ = P (x).Q(y)
pˇr´ım´a separace promˇenn´ ych
separovateln´a
y ′ = f (ax + by + c)
separace po substituci ax + by + c = z
homogenn´ı
y ′ = f ( xy )
separace po substituci y x
exaktn´ı
P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0,
=z
urˇcen´ı kmenov´e funkce
je-li Py′ = Q′x line´arn´ı
y ′ = P (x)y + Q(x)
variace konstanty
Matematika II
9.
9.1. Zkr´acen´a rovnice 2.ˇr´adu
Line´ arn´ı diferenci´ aln´ı rovnice 2. ˇr´ adu
Definice 9.1.1. Line´ arn´ı diferenci´ aln´ı rovnice (LDR) druh´ eho ˇ r´ adu m´a tvar a2 (x).y ′′ (x) + a1 (x).y ′ (x) + a0 (x).y(x) = b(x) , kde funkce (nebo konstanty) a0 (x), a1 (x), a2 (x) jsou koeficienty rovnice a funkci b(x) naz´yv´ame pravou stranou rovnice. Je-li na nˇejak´em intervalu b(x) = 0, jedn´a se o zkr´ acenou (homogenn´ı) LDR, je-li b(x) 6= 0, hovoˇr´ıme o rovnici nezkr´ acen´ e (´ upln´ e).
Definice 9.1.2. Poˇc´ateˇcn´ı u ´ lohou pro rovnici a2 (x).y ′′ + a1 (x).y ′ + a0 (x).y = b(x) naz´ yv´ame zad´an´ı naj´ıt takov´e ˇreˇsen´ı y(x) t´eto rovnice, kter´e splˇ nuje podm´ınky y(x0 ) = y0 ,
y ′(x0 ) = y1 .
Definice 9.1.3. V´ yraz C1 y1 (x) + C2 y2 (x) naz´yv´ame line´ arn´ı kombinac´ı funkc´ı y1 (x), y2 (x) s koeficienty C1 , C2 . ˇ Rekneme, ˇze funkce y1 (x), y2 (x) jsou na intervalu ha, bi line´ arnˇ e z´ avisl´ e, existuj´ı-li takov´e konstanty C1 , C2 , z nichˇz alespoˇ n jedna je nenulov´a, ˇze plat´ı C1 y1 (x) + C2 y2 (x) = 0 . V opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe ˇrekneme, ˇze funkce jsou line´ arnˇ e nez´ avisl´ e. Vˇ eta 9.1.2. Je-li v nˇekter´em bodˇe x ∈ ha, bi determinant y1 (x) W (x) = ′ y1 (x)
y2 (x) y2′ (x)
r˚ uzn´ y od nuly, jsou funkce y1 (x), y2 (x) na tomto intervalu line´arnˇe nez´avisl´e. Determinant W (x) se naz´yv´a Wronsk´ eho determinant nebo zkr´acenˇe wronskian t´eto dvojice funkc´ı.
Vˇ eta 9.1.3. Jsou-li y1 (x), y2 (x) dvˇe line´arnˇe nez´avisl´a ˇreˇsen´ı zkr´acen´e rovnice a2 (x).y ′′ (x) + a1 (x).y ′ (x) + a0 (x).y(x) = 0 , m´a jej´ı obecn´e ˇreˇsen´ı tvar y(x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x), kde C1 , C2 jsou libovoln´e konstanty. V´ yklad Poˇzadavek line´arn´ı nez´avislosti dvojice funkc´ı y1 (x), y2 (x) v obecn´em ˇreˇsen´ı je podstatn´y, nebot’ jen v takov´em pˇr´ıpadˇe m˚ uˇzeme jejich line´arn´ı kombinac´ı vyj´adˇrit libovoln´a dalˇs´ı ˇreˇsen´ı. Kaˇzd´a takov´a dvojice line´arnˇe nez´avisl´ ych ˇreˇsen´ı se naz´ yv´a fundament´ aln´ı syst´ em ˇ reˇ sen´ı t´eto rovnice.
9.2.
Zkr´ acen´ a line´ arn´ı rovnice s konstantn´ımi koeficienty
Zamˇeˇr´ıme se na zkr´ acen´ e rovnice druh´ eho ˇ r´ adu s konstantn´ımi koeficienty, jejichˇz obecny ´ tvar je a2 y ′′ (x) + a1 y ′(x) + a0 y(x) = 0 , kde a0 , a1 , a2 jsou re´aln´e koeficienty. Uk´aˇzeme nejprve z´asadn´ı skuteˇcnost, ˇze existuj´ı ˇreˇsen´ı t´eto rovnice ve tvaru y(x) = erx , kde r je zat´ım nespecifikovan´a konstanta. Snadno urˇc´ıme derivace y ′ (x) = rerx ,
y ′′(x) = r 2 erx ,
kter´e dosad´ıme do p˚ uvodn´ı rovnice. Po vydˇelen´ı vy ´razem erx dost´av´ame a2 r 2 + a1 r + a0 = 0 , coˇz je kvadratick´a rovnice pro nezn´amou r. Tento v´ ysledek znamen´a, ˇze funkce y(x) = erx bude ˇreˇsen´ım diferenci´aln´ı rovnice pr´avˇe tehdy, kdyˇz r bude ˇreˇsen´ım pˇr´ısluˇsn´e algebraick´e rovnice. Definice 9.2.1. Kvadratickou rovnici a2 r 2 + a1 r + a0 = 0 naz´ yv´ame charakteristickou rovnic´ı diferenci´aln´ı rovnice a2 y ′′ (x) + a1 y ′(x) + a0 y(x) = 0 .
Vˇ eta 9.2.1. Mˇejme line´arn´ı diferenci´aln´ı rovnici druh´eho ˇr´adu s konstantn´ımi koeficienty a2 y ′′ (x) + a1 y ′(x) + a0 y(x) = 0 , s charakteristickou rovnic´ı
a2 r 2 + a1 r + a0 = 0.
(a) M´a-li charakteristick´a rovnice dva r˚ uzn´e re´aln´e koˇreny r1 , r2 , m´a diferenci´aln´ı rovnice fundament´aln´ı syst´em y1 = er1 x , y2 = er2 x a jej´ı obecn´e ˇreˇsen´ı je y = C1 er1 x + C2 er2 x ,
C1 , C2 ∈ R .
(b) M´a-li charakteristick´a rovnice dvojn´asobn´ y re´aln´ y koˇren r, m´a diferenci´aln´ı rovnice fundament´aln´ı syst´em y1 = erx , y2 = xerx a jej´ı obecn´e ˇreˇsen´ı je y = C1 erx + C2 xerx = erx (C1 + C2 x) ,
C1 , C2 ∈ R .
(c) M´a-li charakteristick´a rovnice komplexn´ı koˇreny r1,2 = α ± iβ, m´a diferenci´aln´ı rovnice fundament´aln´ı syst´em y1 = eαx cos βx, y2 = eαx sin βx a jej´ı obecn´e ˇreˇsen´ı je y = C1 eαx cos βx + C2 eαx sin βx ,
9.3.
C 1 , C2 ∈ R .
´ a line´ Upln´ arn´ı rovnice s konstantn´ımi koeficienty
Vˇ eta 9.3.1. Obecn´e ˇreˇsen´ı u ´ pln´e line´arn´ı rovnice druh´eho ˇra´du a2 (x) y ′′ (x) + a1 (x) y ′(x) + a0 (x) y(x) = b(x) m´a tvar y(x) = y˜(x) + v(x) , kde y˜(x) je obecn´e ˇreˇsen´ı zkr´acen´e rovnice a v(x) je libovoln´e ˇreˇsen´ı (tzv. partikul´ arn´ı integr´ al) u ´ pln´e rovnice.
Pˇ r´ıklad 9.3.2. Najdˇete obecn´e ˇreˇsen´ı rovnice y ′′ − 2y ′ + y =
ex . x2 + 1
ˇ sen´ı: Reˇ 1. Charakteristick´a rovnice r 2 − 2r + 1 = 0 m´a dvojn´asobn´ y koˇren r = 1, coˇz vede k fundament´aln´ımu syst´emu y1 = ex , y2 = xex . 2. Wronskian a odvozen´e determinanty: x e W (x) = x e
0 W1 (x) = ex x2 + 1 ex W2 (x) = ex
Funkce C1 (x), C2 (x): C1 (x) =
Z
W1 (x) dx = − W (x)
C2 (x) =
Z
Z
xex (x + 1)ex xex (x + 1)ex
= e2x ,
xe2x =− , x2 + 1
0 e2x = x . e x2 + 1 x2 + 1
x2
x 1 dx = − ln(x2 + 1) + K1 , +1 2
Z dx W2 (x) dx = = arctg x + K2 . 2 W (x) x +1
3. V´ ysledn´e ˇreˇsen´ı opˇet podle obecn´e formule (∗): 1 y(x) = ex (K1 + K2 x) − ex ln(x2 + 1) + xex arctg x . 2
9.4.
Rovnice se speci´ aln´ı pravou stranou
Konstanty, kter´e jsme urˇcovali v pˇredchoz´ıch pˇr´ıkladech, byly v podstatˇe koeficienty polynom˚ u (samotnou konstantu m˚ uˇzeme pokl´adat za polynom nult´eho stupnˇe). Odtud poch´az´ı nejˇcastˇeji uˇz´ıvany ´ n´azev tohoto postupu – metoda neurˇ city ´ch koeficient˚ u. Jej´ı z´akladn´ı variantu lze formulovat takto: m´ a-li prav´a strana line´arn´ı diferenci´ aln´ı rovnice s konstantn´ımi koeficienty tvar b(x) = eλx (pm (x) cos ωx + qn (x) sin ωx) , kde pm (x), qn (x) jsou polynomy stupn ˇ˚ u m, n se zadan´ymi koeficienty, vol´ıme partikul´ arn´ı integr´al ve tvaru v(x) = xk eλx (PM (x) cos ωx + QM (x) sin ωx) ,
