Nˇ ekolik ˇ reˇ sen´ ych pˇ r´ıklad˚ u do Matematiky 1 (Vektory) V tomto textu je spoˇcteno nˇekolik uk´ azkov´ ych pˇr´ıklad˚ u, kter´e v´am (snad) pomohou pˇri ˇreˇsen´ı pˇr´ıklad˚ u do cviˇcen´ı. V textu se objev´ı i p´ar detail˚ u, kter´e jsem nestihl (na kter´e jsem zapomnˇel) v cviˇcen´ı. Vektorov´ y prostor Vektorov´ y prostor V nad tˇelesem R je mnoˇzina V , pro jej´ıˇz prvky je definov´ano n´asoben´ı skal´arem (re´ aln´ ym ˇc´ıslem) a~u ∈ V, a ∈ R, ~u ∈ V, a sˇc´ıt´ an´ı ~u + ~v ∈ V,
~u, ~v ∈ V.
Prvky vektorov´eho prostoru naz´ yv´ ame vektory. N´asoben´ı vektoru skal´arem a sˇc´ıt´an´ı vektor˚ u m´a nav´ıc tyto vlastnosti a(b~u) = (ab)~u, (~u + ~v ) + w ~ = ~u + (~v + w) ~ ~u + ~v = ~v + ~u a(~u + ~v ) = a~u + a~v , (a + b)~u = a~u + b~u, 1~u = ~u, kde a, b ∈ R, ~u, ~v , w ~ ∈ V . D´ ale zde existuje nulov´ y prvek ~0, pro kter´ y plat´ı ~v + ~0 = ~0 + ~v = ~0, kde ~v ∈ V . A ke kaˇzd´emu vektoru ~u ∈ V existuje vektor −~u ∈ V , pro kter´ y plat´ı ~u + (−~u) = ~0 = (−~u) + ~u. Pˇr´ıkladem vektorov´eho prostoru (nad R) jsou vˇsechny n-tice re´aln´ ych ˇc´ısel (u1 , u2 , . . . , un ), u1 , u2 , . . . , un ∈ R, pro kter´e definujeme n´asoben´ı skal´arem a sˇc´ıt´an´ı vektor˚ u jako a~u = a(u1 , u2 , . . . , un ) = (au1 , au2 , . . . , aun ), ~u + ~v = (u1 , u2 , . . . , un ) + (v1 , v2 , . . . , vn ) = (u1 + v1 , u2 + v2 , . . . , un + vn ). Tento vektorov´ y prostor budeme oznaˇcovat jako Rn . Pozn´ amka: Vektoru tvaru a1 ~u1 + a2 ~u2 + . . . + am ~um , kde a1 , a2 , . . . , an ∈ R, ~u1 , ~u2 , . . . , ~um ∈ V ˇr´ık´ame line´arn´ı kombinace vektor˚ u ~u1 , ~u2 , . . . , ~um . B´ aze a dimenze vektorov´ eho prostoru, line´ arn´ı nez´ avislost Uvaˇzujme vektorov´ y prostor V a v nˇem syst´em n vektor˚ u ~u1 , ~u2 , . . . , ~un . O tomto syst´emu ˇrekneme, ˇze je line´ arnˇe nez´ avisl´ y, pokud pro rovnici a1 ~u1 + a2 ~u2 + · · · + an ~un = 0,
1
(1)
s nezn´ am´ ymi a1 , a2 , . . . , an ∈ R existuje jedin´e ˇreˇsen´ı a1 = 0, a2 = 0, . . . , an = 0. Pokud nen´ı syst´em vektor˚ u line´ arnˇe nez´ avisl´ y, tak ˇr´ık´ame, ˇze je line´arnˇe z´avisl´ y. Pˇredpokl´ adejme, ˇze syst´em vektor˚ u ~u1 , ~u2 , . . . , ~un je line´arnˇe z´avisl´ y. To znamen´a, ˇze existuje ˇreˇsen´ı rovnice (1), takov´e, ˇze alespoˇ n jedno z ˇc´ısel a1 , a2 , . . . , an je nenulov´e. Pˇredpokl´adejme, ˇze je t´ımto nenulov´ ym ˇc´ıslem napˇr´ıklad an a rovnici upravme do tvaru u~n =
a2 an−1 a1 ~u1 + ~u2 + · · · + ~un−1 . an an an
(2)
Vektor ~un tedy lze vyj´ adˇrit jako line´ arn´ı kombinaci ostatn´ıch vektor˚ u. T´eto vlastnosti m˚ uˇzeme uˇz´ıt k tomu, abychom line´arn´ı nez´avislost vektor˚ u definovali i jin´ ym zp˚ usobem. Line´ arn´ı nez´ avislost syt´emu vektor˚ u m˚ uˇzeme definovat tak´e pomoc´ı poˇzadavku, ˇze ˇz´ adn´ y z vektor˚ u tohoto syst´emu nelze vyj´adˇrit jako line´arn´ı kombinaci ostatn´ıch vektor˚ u tohoto syst´emu (s v´ yjimkou pˇr´ıpadu, kdy m´ ame puze jeden vektor, v tomto pˇr´ıpadˇe je syst´em line´arnˇe nez´ avisl´ y pokud je vektor nenulov´ y). Line´ arnˇe nez´ avisl´ y syst´em vektor˚ u ~e1 , ~e2 , . . . , ~en z vektorov´eho prostoru V , pro kter´ y plat´ı to, ˇze pˇrid´ ame-li k nˇemu libovoln´ y dalˇs´ı vektor ~u ∈ V tak dostaneme line´arnˇe z´avisl´ y syst´em, naz´ yv´ ame b´ az´ı vektorov´eho prostoru. Lze uk´ azat, ˇze existuje-li b´ aze obsahuj´ıc´ı koneˇcn´ y poˇcet vektor˚ u, tak i vˇsechny ostatn´ı b´aze obsahuj´ı stejn´ y poˇcet vektor˚ u, a poˇcet tˇechto vektor˚ u naz´ yv´ame dimenz´ı vektorov´eho prostoru. Pˇ r´ıklad: Jsou d´ any vektory ~u1 = (1, 2), ~u2 = (2, 4), ~u3 = (1, −1), ~u4 = (0, 1), urˇcete, zda jsou tyto vektory line´ arnˇe nez´ avisl´e, pokud nejsou, tak z nich vyberte maxim´aln´ı poˇcet line´arnˇe nez´ avisl´ ych vektor˚ u. ˇ sen´ı: Aby byly vektory line´ Reˇ arnˇe nez´avisl´e, tak mus´ı m´ıt rovnice a1 ~u1 + a2 ~u2 + a3 ~u3 + a4 ~u4 = ~0,
(3)
pro nezn´ am´e a1 , a2 , a3 , a4 jedin´e ˇreˇsen´ı. Dosazen´ım za ~u1 , ~u2 , ~u3 , ~u4 dost´av´ame a1 (1, 2) + a2 (2, 4) + a3 (1, −1) + a4 (0, 1) = (a1 + 2a2 + a3 , 2a1 + 4a2 − a3 + a4 ) = (0, 0). Jedn´ a se o syst´em 2 rovnic o 2 nezn´ am´ ych, kter´ y m˚ uˇzeme pˇrepsat pomoc´ı matice 0 1 2 1 0 , 2 4 −1 1 0 kterou m˚ uˇzeme upravit na schodovit´ y tvar 1 2 1 0 0 −3
0 1
0 . 0
(4)
Vid´ıme, ˇze tato soustava m´ a nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı, zadan´ y syst´em vektor˚ u tedy nen´ı line´arnˇe nez´ avisl´ y. Vynech´ ame-li vˇsak v matici ty sloupce, kter´e neobsahuj´ı ˇz´adn´ y vedouc´ı ˇclen (vedouc´ı ˇclen je prvn´ı nenulov´ y ˇclen v ˇr´ adku schodovit´e matice) tj. druh´ y a ˇctvrt´ y sloupec, tak dostaneme matici 1 1 0 , 0 −3 0 kter´ a odpov´ıd´ a soustavˇe rovnic maj´ıc´ı jedin´e ˇreˇsen´ı. Uvˇedom´ıme-li si, ˇze sloupce matice (4) odpov´ıdaj´ı jednotliv´ ym vektor˚ um v rovnici (3), tak je jasn´e, ˇze vynech´an´ı sloupc˚ u matice odpov´ıd´a vynech´ an´ı patˇriˇcn´ ych vektor˚ u v rovnici (3). To, ˇze jsme v matici vynechali druh´ y a ˇctvrt´ y sloupec tedy znamen´ a, ˇze uvaˇzujeme syst´em vektor˚ u ve kter´em jsme vynechali druh´ y a ˇctvrt´ y vektor, tj. syst´em ~u1 , ~u3 . Vektory ~u1 a ~u3 tedy tvoˇr´ı line´arnˇe nez´avislou podmnoˇzinu vektor˚ u ~u1 , ~u2 , ~u3 , ~u4 . 2
Pˇ r´ıklad: Doplˇ nte vektory ~u1 = (1, 1, 1), ~u2 = (1, −1, 1) o dalˇs´ı vektor tak, aby tvoˇrili b´azi v R3 . Prvn´ı zp˚ usob ˇ reˇ sen´ı: Budeme pˇredpokl´adat, ˇze hledan´ y vektor ~u3 m´a sloˇzky (x, y, z). Aby byly vektory ~u1 , ~u2 , ~u3 line´ arnˇe nez´ avisl´e, tak mus´ı m´ıt rovnice a1 ~u1 + a2 ~u2 + a3 ~u3 = (a1 + a2 + a3 x, a1 − a2 + a3 y, a1 + a2 + a3 z) = (0, 0, 0), jedin´e ˇreˇsen´ı. Tuto soustavu zap´ıˇseme pomoc´ı matice 0 1 1 1 1 x 1 −1 y 0 ∼ 0 −2 0 1 1 z 0 0
0 0 0
x y−x z−x
Z tvaru t´eto matice vid´ıme, ˇze soustava m´a ˇreˇsen´ı pouze tehdy, plat´ı li z 6= x, coˇz spln´ıme napˇr´ıklad volbou x = 1, y = 0, z = 0. Vektory ~u1 , ~u2 tedy m˚ uˇzeme doplnit o vektor ~u3 = (1, 0, 0). Druh´ y zp˚ usob ˇ reˇ sen´ı: Druhou moˇznost´ı jak ˇreˇsit tento pˇr´ıklad je pˇridat k vektor˚ um ~u1 , ~u2 vektory ~e1 = (1, 0, 0), ~e2 = (0, 1, 0), ~e3 = (0, 0, 1), kter´e sami o sobˇe tvoˇr´ı b´azi v R3 , a z tohoto syst´emu 5 vektor˚ u vybrat 3 line´ arnˇe nez´avisl´e vektory tak, aby dva z nich byly ~u1 , ~u2 . Budeme tedy zkoumat rovnici a1 ~u1 + a2 ~u2 + a3~e1 + a4~e2 + a5~e3 = (a1 + a2 + a3 , a1 − a2 + a4 , a1 + a2 + a5 ) = (0, 0, 0), kterou zap´ıˇseme pomoc´ı matice 1 1 1 0 0 1 −1 0 1 0 1 1 0 0 1
0 1 0 ∼ 0 0 0
1 −2 0
1 −1 −1
0 0 1 0 0 1
0 0 . 0
Vid´ıme, ˇze ˇctvrt´ y a p´ at´ y sloupec matice upraven´e do schodovit´eho tvaru neobsahuj´ı vedouc´ı ˇcleny, ˇctvrt´ y a p´ at´ y vektor tedy vynech´ame, a zbydou n´am vektory ~u1 , ~u2 , ~e3 , kter´e jsou line´arnˇe nez´ avisl´e a tvoˇr´ı b´ azi v R3 . Vektor zapsan´ y v b´ azi, pˇ rechod mezi b´ azemi Necht’ V je n-dimenzion´ aln´ı vektorov´ y prostor a ~e1 , ~e2 , . . . , ~en jeho b´aze. Pˇrid´ame-li k b´azi dalˇs´ı vektor ~u, tak vznikl´ y syst´em ~e1 , ~e2 , . . . , ~en , ~u jiˇz nebude line´arnˇe nez´avisl´ y (protoˇze b´aze je tvoˇrena maxim´ aln´ım poˇctem line´ arnˇe nez´ avisl´ ych vektor˚ u) a podobn´ ym zp˚ usobem, jako jsme v rovnici (2) vyj´ adˇrili vektor ~en , m˚ uˇzeme vyj´ adˇrit i vektor ~u, tj. ~u = u1~e1 + u2~e2 + · · · + un~en =
n X
ui~ei .
i=1
Soubor ˇc´ısel u1 , u2 , . . . , un pak naz´ yv´ ame souˇradnicemi vektoru ~u v b´azi ~e1 , ~e2 , . . . , ~en a ˇcasto je zapisujeme jako ˇr´ adkovou matici u1 u2 . . . un . Uvaˇzujme nyn´ı jinou b´ azi ~e01 , ~e02 , . . . , ~e0n vektorov´eho prostoru V . Prvky nov´e ˇc´arkovan´e b´aze jsou vektory vektorov´eho prostoru V , takˇze je m˚ uˇzeme vyj´adˇrit pomoc´ı vektor˚ u neˇc´arkovan´e b´ aze ~e01 = T11~e1 + T12~e2 + . . . + T1n~en , ~e02 = T21~e1 + T22~e2 + . . . + T2n~en , .. . ~e0n = Tn1~e1 + Tn2~e2 + . . . + Tnn~en , 3
coˇz zap´ıˇseme jako ~e0i =
n X
Tij ~ej .
(5)
j=1
Uspoˇr´ ad´ ame-li ˇc´ısla Tij do matice tak, ˇze v i-t´em ˇr´adku a j-t´em sloupci bude ˇc´ıslo Tij , tj. sloˇzka j-t´ a souˇradnice vektoru ~e0i v b´ azi ~e1 , ~e2 , . . . , ~en , (ˇr´adky matice T jsou tedy tvoˇreny souˇradnicemi vektor˚ u ˇc´ arkovan´e b´ aze v neˇc´ arkovan´e b´azi), tak budeme moci tento vztah zapsat tak´e v maticov´em z´ apisu jako 0 ~e1 T11 T12 . . . T1n ~e1 ~e02 T21 T22 . . . T2n ~e2 (6) .. = .. .. .. .. . . . . . ~e0n
Tn1
Tn2
...
Tnn
~en
Matici T naz´ yv´ ame matic´ı pˇrechodu. Stejn´ ym zp˚ usobem m˚ uˇzeme vyj´adˇrit tak´e b´azov´e vektory ~e1 , ~e2 , . . . , ~en neˇc´ arkovan´e b´ aze jako line´arn´ı kombinaci vektor˚ u ˇc´arkovan´e b´aze, tj. ~ei =
n X
Sij ~e0j .
j=1
S11 ~e1 ~e2 S21 .. = .. . .
S12 S22 .. .
... ...
Sn1
Sn2
...
~en
0 ~e1 S1n ~e02 S2n .. .. , . . Snn
(7)
~e0n
Pˇriˇcemˇz ˇr´ adky matice S jsou tvoˇreny souˇradnicemi vektor˚ u neˇc´arkovan´e b´aze v ˇc´arkovan´e b´azi. Dosad´ıme-li (7) do (6) tak z´ısk´ ame rovnici 0 0 0 ~e1 ~e1 ~e1 ~e1 ~e02 ~e02 ~e2 ~e02 .. = T .. = T S .. ⇒ (T S − I) .. = 0, . . . . ~e0n
~en
~e0n
~e0n
kter´ a bude splnˇena tehdy, kdyˇz T S = I, tj. tehdy kdyˇz S = T −1 (T = S −1 = (T −1 )−1 ), matice T a S jsou tedy vz´ ajemnˇe inverzn´ı. Pro vyj´adˇren´ı vektoru ~u v b´azi ~e1 , ~e2 , . . . , ~en dost´av´ame 0 ~e1 ~e1 n ~e02 X ~ e 2 ~u = ui~ei = u1 u2 . . . un . = u1 u2 . . . un T −1 . .. .. i=1
~e0n
~en
pˇriˇcemˇz v posledn´ı rovnosti jsme uˇzili (7) Porovn´ame-li tento v´ yraz s vyj´adˇren´ım vektoru ~u v b´ azi ~e01 , ~e02 , . . . , ~e0n 0 ~e1 n ~e02 X ~u = u0i~e0i = u01 u02 . . . u0n . , .. i=1
~e0n
tak vid´ıme, ˇze souˇradnice vektoru ~u v b´azi ~e01 , ~e02 , . . . , ~e0n vypoˇcteme z jeho souˇradnic v b´azi ~e1 , ~e2 , . . . , ~en pomoc´ı vztahu u01 u02 . . . u0n = u1 u2 . . . un T −1 (8) 4
Podobnˇe pro pˇrepoˇcet souˇradnic vektoru ~u v b´azi ~e01 , ~e02 , . . . , ~e0n na souˇradnice v b´azi ~e1 , ~e2 , . . . , ~en dost´ av´ ame u1 u2 . . . un = u01 u02 . . . u0n T. (9) Pˇ r´ıklad: Uvaˇzujte zmˇenu b´ aze ~e01 = ~e1 + ~e2 ,
~e02 = ~e1 − ~e2 ,
~e03 = 2~e3 ,
vyj´ adˇrete vektor ~u = ~e1 + 2~e2 + 3~e3 pomoc´ı ˇc´arkovan´e b´aze a vektor ~v = ~e01 − ~e02 + ~e03 pomoc´ı neˇc´ arkovan´e b´ aze. ˇ sen´ı: Ze vztah˚ Reˇ u zad´ avaj´ıc´ıch zmˇenu b´aze urˇc´ıme matici pˇrechodu T 1 1 0 T = 1 −1 0 . 0 0 2 K t´eto matici vypoˇcteme matici inverzn´ı 1 2 − 21
1 T −1 =
2 1 2
0
0 0 . 1 2
0
Souˇradnice vektoru ~u v b´ azi ~e1 , ~e2 , ~e3 jsou u1
u2
u3 = 1
2
3 ,
souˇradnice v ˇc´ arkovan´e b´ azi ~e01 , ~e02 , ~e03 vypoˇcteme pomoc´ı vzorce (8) 1 1 0 2 2 u01 u02 u03 = u1 u2 u3 T −1 = 1 2 3 12 − 21 0 = 1 0 0 2
3 2
− 21
3 2
.
Vektor ~u tedy pomoc´ı b´ aze ~e01 , ~e02 , ~e03 zap´ıˇseme jako 1 3 3 ~u = ~e01 − ~e02 + ~e03 . 2 2 2 Souˇradnice vektoru ~v v b´ azi ~e01 , ~e02 , ~e03 jsou v10
v20
v30 = 1
−1
1 ,
souˇradnice v neˇc´ arkovan´e b´ azi ~e1 , ~e2 , ~e3 vypoˇcteme pomoc´ı vzorce 1 1 v1 v2 v3 = v10 v20 v30 T = 1 −1 1 1 −1 0 0
(9) 0 0 = 0 2
2
2 .
Vektor ~v tedy pomoc´ı b´ aze ~e1 , ~e2 , ~e3 zap´ıˇseme jako ~v = 2~e2 + 2~e3 . Pozn´ amka: Vztah mezi b´ az´ı ~e1 , ~e2 , ~e3 a b´az´ı ~e01 , ~e02 , ~e03 jsme zapsali pomoc´ı matice T jako 0 ~e1 1 ~e02 = 1 ~e03 0
1 −1 0
0 ~e1 0 ~e2 2 ~e3 5
~e01 = ~e1 + ~e2 ⇔
~e02 = ~e1 − ~e2 ~e03 = 2~e3
coˇz jsou vztahy uveden´e v zad´ an´ı. Matici T −1 pak uˇzijeme k tomu abychom dostali ˇreˇsen´ı t´eto soustavy rovnic pro vektory ~e1 , ~e2 , ~e3
0 0 ~e1 0 ~e02 1 ~e03 2
1 2 − 12
1 ~e1 2 ~e2 = 1 2 ~e3 0
0
⇔
1 ~e1 = ~e01 + 2 1 ~e2 = ~e01 − 2 1 ~e3 = ~e03 2
1 0 ~e 2 2 1 0 ~e . 2 2
Vektor ~u vyj´ adˇren´ y v b´ azi ~e01 , ~e02 , ~e03 tedy z´ısk´ame t´ım, ˇze vektory ~e1 , ~e2 , ~e3 vyj´adˇr´ıme pomoc´ı 0 0 0 b´ aze ~e1 , ~e2 , ~e3 , tj. 1 1 0 1 1 0 3 1 3 1 0 ~e1 + ~e02 + 2 ~e1 − ~e02 + 3 ~e3 = ~e01 − ~e02 + ~e03 . ~u = ~e1 + 2~e2 + 3~e3 = 2 2 2 2 2 2 2 2 A to je pˇresnˇe to, co je skryto v nepˇeknˇe vypadaj´ıc´ım vzorci (8). Skal´ arn´ı souˇ cin Uvaˇzujme vektorov´ y prostor V nad R. Skal´arn´ı souˇcin je zobrazen´ı · : V × V → R, kter´e dvˇema vektor˚ um ~u, ~v z vektorov´eho prostoru V pˇriˇrad´ı re´aln´e ˇc´ıslo ~u~v . Pro skal´arn´ı souˇcin plat´ı (a1 ~u1 + a2 ~u2 )~v = a1 ~u1~v + a2 ~u2~v , ~u(a1~v1 + a2~v2 ) = a1 ~u~v1 + a2 ~u~v2 , ~v~u = ~u~v , ~u~u ≥ 0,
~u~u = 0 pr´avˇe tehdy, kdyˇz ~u = ~0.
(10)
Pro vektory ~u, ~v vyj´ adˇren´e v b´ azi ~e1 , ~e2 , . . . , ~en , tj. ~u =
n X
ui~ei ,
~v =
i=1
vi~ei ,
i=1
dost´ av´ ame ~u~v =
n X
n X
! n n X n X X ui~ei vj ~ej = ui vj (~ei~ej ),
i=1
j=1
(11)
i=1 j=1
pˇriˇcemˇz pˇri u ´prav´ ach jsme uˇzili prvn´ı dvˇe pravidla z (10). Uvaˇzujme b´azi, pro kterou plat´ı ( 1 i=j ~ei~ej = (12) 0 i= 6 j Takovou b´ azi naz´ yv´ ame ortonorm´ aln´ı b´az´ı, a v´ yraz (11) pro skal´arn´ı souˇcin se zjednoduˇs´ı na ~u~v =
n X
ui vi = u1 v1 + u2 v2 + · · · + un vn .
i=1
Pozn´ amka: V Rn budeme uvaˇzovat skal´arn´ı souˇcin (u1 , u2 , . . . , un ) · (v1 , v2 , . . . , vn ) = u1 v1 + u2 v2 + · · · un vn .
6
Pozn´ amka: Definujeme-li velikost vektoru ~u jako √ |~u| = ~u~u, pak dostaneme pro skal´ arn´ı souˇcin vyj´adˇren´ı ~u~v = |~u| |~v | cos φ, kde φ je u ´hel mezi vektory ~u a ~v . O vektorech ~u a ~v tedy ˇrekneme, ˇze jsou na sebe kolm´e pokud ~u~v = 0. Pozn´ amka: M´ ame-li nenulov´ y vektor ~u jenˇz nem´a jednotkovou velikost, m˚ uˇzeme ho normovat, coˇz znamen´ a, ˇze vytvoˇr´ıme nov´ y vektor ~u0 =
1 1 ~u = √ ~u, |~u| ~u~u
kter´ y je n´ asobkem p˚ uvodn´ıho vektoru a plat´ı pro nˇej |~u| = 1. Uvaˇzujme ortonorm´ aln´ı b´ azi ~e1 , ~e2 , . . . , ~en . Budeme-li d´ale uvaˇzovat dalˇs´ı ortonorm´aln´ı b´azi ~e01 , ~e02 , . . . , ~e0n ke kter´e pˇrejdeme z b´ aze ~e1 , ~e2 , . . . , ~en pomoc´ı matice pˇrechodu T , pak dost´av´ame podm´ınku ! n ! n l n X n X X X X 0 0 Tik Tjk = (T T T )ij , Tik Tjl~ek~el = Iij = ~ei~ej = Tik~ek Tjl~el = k=1
k=1
k=1 k=1
l=1
kde I znaˇc´ı jednotkovou matici a kde jsme uˇzili (5) a (12). Dost´av´ame tedy podm´ınku T T T = I a to znamen´ a, ˇze plat´ı T −1 = T T . Zmˇenu ortonorm´aln´ı b´aze na jinou ortonorm´aln´ı b´azi, tj. zmˇenu b´ aze zadanou matic´ı pro kterou plat´ı T T T = I (T T = T −1 ) naz´ yv´ame ortonorm´aln´ı zmˇenou b´ aze. Pˇ r´ıklad: Je zad´ ana zmˇena ortonorm´aln´ı b´aze 1 1 ~e01 = √ ~e1 + √ ~e2 , 2 2
1 1 ~e02 = − √ ~e1 + √ ~e2 , 2 2
ovˇeˇrte, ˇze b´ aze ~e01 , ~e02 je rovnˇeˇz ortonorm´aln´ı a zapiˇste vektor ~u = ~e1 + 2e~2 pomoc´ı t´eto b´aze. ˇ sen´ı: Ze zadan´e zmˇeny b´ Reˇ aze urˇc´ıme matici pˇrechodu ! T =
√1 2 √1 2
√1 2 − √12
,
Aby byla touto matic´ı pˇrechodu zad´ ana zmˇena ortonorm´aln´ı b´aze, mus´ı b´ yt v´ yraz T T T roven jednotkov´e matici, tj. ! ! √1 √1 √1 − √12 1 0 T 2 2 2 TT = = = I. √1 √1 0 1 − √12 √12 2 2 Matice T tedy zad´ av´ a ortonorm´ aln´ı zmˇenu b´aze. Inverzn´ı matice k matici T je rovna matici transponovan´e ! √1 √1 − 2 T −1 = T T = √12 . √1 2
2
Ze souˇradnic vektoru ~u v b´ azi ~e1 , ~e2 u1
u2 = 1 7
2
vypoˇcteme podle vzorce (8) jeho souˇradnice v b´azi ~e01 , ~e02 u01
u02
= u1
u2 T
−1
= 1
2
√1 2 √1 2
− √12 √1 2
! =
√3 2
√1 2
Vektor ~u tedy pomoc´ı b´ aze ~e01 , ~e02 vyj´ adˇr´ıme jako 3 1 ~u = √ ~e01 + √ ~e02 . 2 2 Pˇ r´ıklad: Jsou d´ any vektory ~u2 = (1, −1, 1).
~u1 = (1, 1, 0),
Vektory normujte a doplˇ nte je o dalˇs´ı vektor ~u3 tak, aby vektory ~u1 , ~u2 , ~u3 tvoˇrili ortonorm´aln´ı b´ azi v R3 . ˇ sen´ı: Pˇr´ım´ Reˇ ym v´ ypoˇctem zjist´ıme, ˇze pro vektory ~u1 , ~u2 plat´ı ~u1 ~u1 = 2,
~u1 ~u2 = 0, ~u2 ~u2 = 3, √ √ tj. ˇze jsou na sebe kolm´e a jejich velikost je 2 a 3. Tyto vektory potˇrebujeme doplnit o dalˇs´ı vektor ~u3 tak, aby platilo ~u1 ~u3 = 0
~u2 ~u3 = 0
~u3 ~u3 = 1.
(13)
Budeme pˇredpokl´ adat, ˇze vektor ~u3 m´a tvar ~u3 = (x, y, z), kde x, y, z jsou zat´ım neurˇcen´e nezn´ am´e. Dosad´ıme-li tento v´ yraz do podm´ınek (13), tak z´ısk´ame soustavu rovnic ~u1 u~3 = x + y = 0, ~u2 u~3 = x − y + z = 0, ~u3 ~u3 = x2 + y 2 + z 2 = 1. Z prvn´ı rovnice dost´ av´ ame y = −x. Odtud dosad´ıme za y do druh´e rovnice, ˇc´ımˇz dostaneme z = −2x. Do tˇret´ı rovnice dosad´ıme za y a z, ˇc´ımˇz dostaneme x2 + (−x)2 + (−2x)2 = 6x2 = 1, ˇ sen´ım jsou tedy vektory tj. x = ± √16 . Reˇ 1 1 2 ~u3 = (x, y, z) = ± √ , ∓ √ , ∓ √ . 6 6 6 Dost´ av´ ame tedy dvˇe moˇznosti jak zvolit vektor ~u3 . Zb´ yv´a normovat vektory ~u1 , ~u2 , tj. 1 1 1 1 ~u01 = ~u1 = √ (1, 1, 0) = √ , √ , 0 , |u~1 | 2 2 2 1 1 1 1 1 ~u02 = ~u2 = √ (1, 1, 1) = √ , − √ , √ . |~u2 | 3 3 3 3 Trojice vektor˚ u 1 1 ~u01 = √ , √ , 0 , 2 2
~u02 =
1 1 1 √ , −√ , √ 3 3 3
,
~u3 = (x, y, z) =
1 1 2 ±√ , ∓√ , ∓√ . 6 6 6
tedy tvoˇr´ı ortonorm´ aln´ı b´ azi v R3 . (Jin´ y postup, kter´ y m˚ uˇzeme uˇz´ıt nalezen´ı vektoru kolm´eho k vektor˚ um ~u a ~v je vypoˇc´ıst vektor jejich vektorov´ y souˇcin, tj. ~u × ~v a ten pot´e normovat.) 8
