Nebojte se sloˇ zit´ ych rovnic Michal H. Kol´aˇr∗
Vladim´ır Palivec†
Praktick´ y pr˚ uvodce fyzik´aln´ıho chemika numerick´ ym ˇreˇsen´ım neline´arn´ıch rovnic s jednou nezn´amou. (Uˇz rozum´ıte, proˇc jsme tohle v nadpisu opravdu nemohli pouˇz´ıt?) verze 1.0
Obsah ´ 1 Uvod a motivace
2
2 Vyuˇ zit´ı graf˚ u funkc´ı
4
3 Metoda p˚ ulen´ı interval˚ u
7
4 Metoda teˇ cen
8
5 Aplikace ve fyzik´ aln´ı chemii
11
6 Z´ avˇ ereˇ cn´ e pozn´ amky
13
∗´
Ustav Maxe Plancka pro biofyzik´aln´ı chemii, Gotinky, Spolkov´a republika Nˇemecko ˇ e republiky, Praha Ustav organick´e chemie a biochemie, Akademie vˇed Cesk´
†´
1
1
´ Uvod a motivace
Fyzik´aln´ı chemie je vˇedn´ı obor, kter´ y, podobnˇe jako jin´e pˇr´ırodovˇedn´e obory, pouˇz´ıv´a matematick´ y apar´at k zodpov´ıd´an´ı ot´azek na pomez´ı fyziky a chemie. Matematika je vhodn´ y n´astroj, nikoli podstata fyzik´aln´ı chemie. Jistˇe by ˇslo mˇeˇrit teplotu i bez pouˇzit´ı matematiky; o tˇelese pouh´ ym dotykem zjist´ıme, zda je teplejˇs´ı nebo chladnˇejˇs´ı neˇz jin´e tˇeleso. Avˇsak se znalost´ı ˇc´ısel a operac´ı s nimi se n´am otev´ır´a ˇsirok´a paleta popisu teploty, se znalost´ı diferenci´aln´ıho poˇctu jsme schopni jednoznaˇcnˇe mluvit o teplotn´ıch zmˇen´ach a rychlostech tˇechto zmˇen atp. Mezi matematikou a pˇr´ırodn´ımi vˇedami je vˇsak jeden z´asadn´ı rozd´ıl. Zat´ımco matematika je vˇeda pˇresn´a, v n´ıˇz mus´ı vˇse do sebe naprosto dokonale zapadat, fyzik´aln´ı chemie se spokoj´ı i s nepˇresn´ ym ˇreˇsen´ım. Vˇzdyt’ i sebelepˇs´ı mˇeˇren´ı neurˇc´ı hodnotu fyzik´aln´ı veliˇciny zcela pˇresnˇe. Uved’me pˇr´ıklad: Hled´ame ˇreˇsen´ı (tzv. koˇreny) kvadratick´e rovnice R1 x2 − 3x − 5 = 0. (R1) √ √ Rovnice m´a dva koˇreny: x1 = (3 + 29)/2 a x2 = (3 − 29)/2. Jelikoˇz je ˇc´ıslo 29 prvoˇc´ıslem, je jeho odmocnina iracion´aln´ı ˇc´ıslo, tj. m´a nekoneˇcn´ ya neperiodick´ y desetinn´ y rozvoj, anebo jinak, nelze ji vyj´adˇrit jako pod´ıl dvou pˇrirozen´ ych ˇc´ısel. Rychl´ y v´ ypoˇcet kalkulaˇckou poskytne x1 = 4, 1925824 a x2 = −1, 1925824. Trochu lepˇs´ı kalkulaˇcka nebo poˇc´ıtaˇcov´ y program poskytnou s pˇresnost´ı na 1000 desetinn´ ych m´ıst hodnotu (druh´ y koˇren rovnice si dovol´ıme vynechat) x1 = 4,1925824035 6725201562 5355245770 1647781475 6008082239 4418840194 3350083229 8141382934 6438316890 8399177422 0935241089 6972880303 8443107009 9077781347 6608364104 4622643358 6126309260 7340617995 0065262240 0814519435 2263913471 9356847036 9700515844 3597955128 3886298254 1905709747 7920969904 1317448470 8766306701 8208180615 5444371382 7477756182 3970182941 2775911367 2206265037 8958562099 3020629655 1179228059 9027239770 9406563126 5536467549 5053443668 5835302906 2337083996 5194270690 6187123954 3977273716 0074613440 0568023211 6035505868 9307699277 9285510408 5880880190 5197540055 6324181392 2214040765 7246107060 5659218170 5381981068 6861441141 8969240574 6214576734 6004245653 8995686984 8544548595 4167307029 9897203214 4328698646 2055761488 6119066278 2
0185895365 7210268628 4354960334 6742668524 4702279016 5127604929
6250678663 1482849295 1536628401 0903947640 3052849279 7840840964
1816165257 8622491960 3871220461 4786459344 9719076037 8188742048
9363933254 9219895024 5878577098 3068341447 2204926219 7031956547
9392164950 9846636850 0356964367 5345126833 0745700486 6397620263.
Bˇeˇznˇe bychom brali tato ˇc´ısla jako spr´avn´a ˇreˇsen´ı v´ yˇse zm´ınˇen´e kvadratick´e rovnice, ale bud’me na chv´ıli pedanti a uvˇedomme si, ˇze oba v´ ysledky z kalkulaˇcky, ba i z poˇc´ıtaˇce jsou pouze pˇribliˇzn´a (tj. zaokrouhlen´a) ˇreˇsen´ı. Na druhou stranu, a to je d˚ uleˇzit´e, pokud by x byl napˇr. rozmˇer v jednotk´ach metr˚ u, hodnota 4,1925824 m by byla nejsp´ıˇse dostaˇcuj´ıc´ı,1 protoˇze jen m´alo mˇeˇridel um´ı urˇcit d´elku tak pˇresnˇe. Mnoho rovnic um´ıme ˇreˇsit pomoc´ı sady dovolen´ ych“ matematick´ ych ” u ´prav, pˇr´ıpadnˇe pomoc´ı vzorc˚ u, kter´e si bud’ pamatujeme, nebo je m´ame napsan´e na tah´aku. Kvadratick´a rovnice R2 2x2 − 6x − 10 = 0
(R2)
je jaksi jin´a neˇz R1, avˇsak m´a stejn´e dva koˇreny. Je nab´ıledni, ˇze vˇsechny koeficienty rovnice R2 jsou pˇresnˇe dvojn´asobn´e v˚ uˇci koeficient˚ um v rovnici R1 (R2 je dvojn´asobkem R1). Nen´ı tˇeˇzk´e uvˇeˇrit, ˇze existuj´ı rovnice, jejichˇz koˇreny nelze jednoduˇse vyj´adˇrit tzv. analyticky. T´ım m´ame na mysli, ˇze nelze ˇreˇsen´ı vyj´adˇrit formou x = . . .“. Pˇr´ıkladem necht’ je rovnice R3.2 ” ex = x2
(R3)
C´ılem tohoto textu je osvˇetlit, proˇc rovnice, kter´a nem´a (stˇredoˇskol´akovi dostupn´e) analytick´e ˇreˇsen´ı, nen´ı bezcenn´a. Text je n´avodem, jak ˇreˇsit t´ımto zp˚ usobem komplikovan´e rovnice s jednou nezn´amou. Postupnˇe si v textu uk´aˇzeme, jak doj´ıt k pˇribliˇzn´emu ˇreˇsen´ı“. Uvozovky jsou zde na m´ıstˇe, nebot’ ” se nejedn´a o skuteˇcn´e ˇreˇsen´ı rovnice, ale jen o jeho pˇribliˇznou hodnotu. Ta, jak jiˇz bylo zm´ınˇeno, udˇel´a fyzik´aln´ımu chemikovi stejnou radost, jako ˇreˇsen´ı pˇresn´e. 1
Coˇz neplat´ı napˇr. u mˇeˇren´ı Avogadrovy konstanty, pˇri nˇemˇz byl urˇcen pr˚ umˇer kilogramov´e kˇrem´ıkov´e koule s pˇresnost´ı nˇekolika desetin nanometru. 2 Pravda to je pouze v rozsahu stˇredoˇskolsk´e matematiky. Zv´ıdav´ y ˇcten´aˇr m˚ uˇze dohledat kl´ıˇcov´e souslov´ı Lambertova W-funkce.
3
Obr´azek O1: Grafy funkc´ı ex a x2 . Hodnota x, ve kter´e se grafy kˇr´ıˇz´ı, je ˇreˇsen´ım rovnice ex = x2 .
2
Vyuˇ zit´ı graf˚ u funkc´ı
Vˇsimnˇeme si nyn´ı souvislosti mezi funkcemi a rovnicemi. Funkce jsou matematick´a pˇriˇrazen´ı ˇc´ısel ze dvou mnoˇzin; funkce pˇriˇrazuje kaˇzd´emu ˇc´ıslu z definiˇcn´ıho oboru pr´avˇe jedno ˇc´ıslo z oboru hodnot. Naproti tomu rovnice d´av´a do souvislosti dvˇe funkce, jednu na lev´e a dalˇs´ı na prav´e stranˇe od znam´enka =“, pˇriˇcemˇz n´as obvykle zaj´ım´a, kter´a ˇc´ısla z definiˇcn´ıch obor˚ u ” ˇ obou funkc´ı poskytuj´ı tat´aˇz ˇc´ısla z obor˚ u hodnot. C´ısl˚ um, kter´a poˇzadavku vyhovuj´ı, ˇr´ık´ame koˇreny rovnice, neboli ˇreˇsen´ı rovnice. Rozved’me pˇr´ıklad rovnice R3. Funkci na lev´e stranˇe rovnice oznaˇc´ıme f (x) = ex a funkci na prav´e stranˇe rovnice pojmenujme g(x) = x2 . Um´ıme-li sestrojit grafy funkc´ı f (x) a g(x), koˇren rovnice z´ısk´ame dohled´an´ım hodnoty x, ve kter´e se oba grafy prot´ınaj´ı (obr´azek O1). Poznamenejme, ˇze hodnot m˚ uˇze b´ yt v z´avislosti na tvaru rovnice v´ıc, stejnˇe jako nemus´ı existovat ani jedna.3 Sestrojit graf funkce na pap´ıˇre nemus´ı b´ yt jednoduch´e, proto je uˇziteˇcn´e vz´ıt si na pomoc poˇc´ıtaˇcov´ y program, tzv. tabulkov´ y procesor. Nab´ız´ı se napˇr. Microsoft Excel, nebo jeho volnˇe ˇsiˇriteln´a obdoba Libre Office Calc.4 Ten budeme pouˇz´ıvat i v tomto pˇr´ıpravn´em textu, maj´ıce na pamˇeti znaˇcnou podobnost obou programov´ ych bal´ık˚ u. Proto by ani uˇzivatel zaˇc´ateˇcn´ık nemˇel m´ıt s proveden´ım v´ ypoˇct˚ u v MS Excel ˇza´dn´e probl´emy.5 3
Zkuste sestrojit grafy ex a −x2 a dohledat koˇreny rovnice ex = −x2 . Dostupn´e v ˇceˇstinˇe zdarma pro nˇekolik operaˇcn´ı syst´em˚ u na https://cs.libreoffice.org. Jinou alternativou je online sluˇzba https://drive.google.com. 5 Na internetu je mnoˇzstv´ı n´ avod˚ u, jak s bal´ıkem MS Office pracovat. Napˇr. http://www.jaknaoffice.cz. 4
4
Obr´azek O2: Zad´av´an´ı hodnot v tabulkov´em procesoru Libre Office Calc. Otevˇreme si nov´ y dokument. Do sloupce A budeme zapisovat hodnoty x. Sloupce B a C budou obsahovat vzorce pro v´ ypoˇcet funkc´ı f (x) a g(x). 1. Zapiˇsme hodnoty x v intervalu mezi −3, 0 a 3, 0 s krokem 0, 2 do sloupce A (obr´azek O2). 2. Do buˇ nky B1 zapiˇsme vztah pro v´ ypoˇcet f (x) =exp(A1)“ (bez uvo” zovek), ve kter´em jsme vyuˇzili funkce exp() implementovan´e v bal´ıku Libre Office. 3. Do buˇ nky C1 zapiˇsme vztah pro v´ ypoˇcet g(x) =A1*A1“. Pˇripomeˇ nme, ” ˇze n´asoben´ı se v takov´ ychto programech vyjadˇruje hvˇezdiˇckou *. 4. Vypoˇctˇeme f (x) pro vˇsechna x. 5. Vypoˇctˇeme g(x) pro vˇsechna x. Oznaˇc´ıme-li myˇs´ı vˇsechny hodnoty (vˇcetnˇe hodnot x), m˚ uˇzeme sestrojit graf pomoc´ı nab´ıdky Vloˇzit/Graf. Objev´ı se nov´e okno, ve kter´em vybereme typ grafu XY (bodov´ y)“ a v prav´e ˇc´asti okna vybereme zobrazen´ı s rovn´ ymi ” spojnicemi (obr´azek O3). Kliknut´ım na Dokonˇcit“ pˇreskoˇc´ıme dalˇs´ı nasta” ven´ı a rovnou vytvoˇr´ıme graf (obr´azek O4A). V grafu by mˇely b´ yt dvˇe kˇrivky – exponenci´ala a parabola. Jejich pr˚ useˇc´ık, ˇreˇsen´ı rovnice R3, leˇz´ı nˇekde mezi −1 a −0, 5, tedy okolo −0, 75. M˚ uˇzeme proto prohl´asit, ˇze pˇribliˇznou hodnotou ˇreˇsen´ı rovnice R3 je −0, 75. S ohledem na n´asleduj´ıc´ı kapitoly v tomto textu je vhodn´e si uvˇedomit, ˇze kaˇzd´a rovnice se d´a vyj´adˇrit ve tvaru, kde na prav´e stranˇe je 0. Rovnice R3 je proto ekvivalentn´ı rovnici R4. ex − x2 = 0
(R4)
Rovnice d´av´a do souvislosti opˇet dvˇe funkce, na kaˇzd´e stranˇe od znam´enka =“ jednu, pˇriˇcemˇz na prav´e stranˇe je funkce konstantn´ı m(x) = 0. V ” 5
Obr´azek O3: Dialogov´e okno pro tvorbu graf˚ u v tabulkov´em procesoru Libre Office Calc.
Obr´azek O4: Grafy vytvoˇren´e v tabulkov´em editoru Libre Office Calc.
6
poˇc´ıtaˇcov´em dokumentu m˚ uˇzeme snadno vypoˇc´ıtat hodnoty funkce n(x) = ex − x2 do sloupce D. Do buˇ nky D1 zap´ıˇseme =exp(A1) - A1*A1“ a v´ ypoˇcet ” provedeme i pro vˇsechna ostatn´ı x. Myˇs´ı oznaˇc´ıme hodnoty x a (se stisknut´ ym Ctrl) i hodnoty ve sloupci D. Graf sestroj´ıme obdobnˇe jako v pˇredchoz´ım ˇ sen´ım rovnice R4 (a potaˇzmo i R3) je hodnota x, pˇr´ıpadˇe (obr´azek O4B). Reˇ ve kter´e graf prot´ın´a pˇr´ımku y = 0. V tomto bodˇe je totiˇz funkˇcn´ı hodnota rovna nule, jak poˇzaduje rovnice R4. Stoj´ı za povˇsimnut´ı, ˇze odhad ˇreˇsen´ı R4 m˚ uˇzeme z´ıskat i bez vykreslov´an´ı grafu pˇr´ımo z tabulky hodnot. Pˇribliˇzn´e ˇreˇsen´ı totiˇz bude leˇzet mezi hodnotami x, mezi kter´ ymi ve sloupci D doch´az´ı ke zmˇenˇe znam´enka. Jin´ ymi slovy pomysln´ y graf v tomto intervalu prot´ın´a osu x. V naˇsem dokumentu tedy ˇreˇsen´ı rovnice R4 leˇz´ı mezi x = −0, 8 a x = −0, 6. Co takhle vypoˇc´ıtat hodnoty funkce n(x) v tomto intervalu, avˇsak s krokem 0, 01? Poslouˇz´ı n´am tˇreba sloupce G a H. Mezi kter´ ymi dvˇema x se mˇen´ı znam´enko funkce n(x)? Pokud jste aˇz do t´eto chv´ıle postupovali jako my, potom potvrd´ıte, ˇze ˇreˇsen´ı R4 leˇz´ı mezi −0, 71 a −0, 70. Postupn´ ym zjemˇ nov´an´ım“ intervalu lze z´ıskat ˇreˇsen´ı ” R4 s libovolnou, avˇsak koneˇcnou, pˇresnost´ı. No nen´ı to skvˇel´e?
3
Metoda p˚ ulen´ı interval˚ u
Lze tento postup nˇejak zautomatizovat? A co dˇelat, kdyˇz pˇri sobˇe nem´am poˇc´ıtaˇc, ale jen hloupou“ kalkulaˇcku? Pom˚ uˇze n´am tzv. metoda p˚ ulen´ı inter” val˚ u. Pokusme se ji nyn´ı pouˇz´ıt na dohled´an´ı pˇribliˇzn´e hodnoty ˇreˇsen´ı rovnice, kter´a m´a na prav´e stranˇe 0, tedy napˇr. rovnice R4. Na zaˇc´atku potˇrebujeme ˇ se jedn´a dvˇe ˇc´ısla, oznaˇc´ıme je x1? a x2? , kter´a leˇz´ı bl´ızko pˇresn´emu ˇreˇsen´ı. Ze o zkusm´e hodnoty zd˚ urazˇ nujeme otazn´ıkem. D´ale budeme vyˇzadovat, aby funkˇcn´ı hodnoty v tˇechto bodech mˇely opaˇcn´a znam´enka. Ze zkuˇsenosti s grafick´ ym zobrazen´ım v´ıme, ˇze ˇreˇsen´ı leˇz´ı mezi x1? = −1, 0 a x2? = −0, 5 (obr´azek O4B). V dalˇs´ım kroku vypoˇc´ıt´ame funkˇcn´ı hodnoty ve zvolen´ ych bodech a taky v bodˇe x3? , kter´ y je aritmetick´ ym pr˚ umˇerem onˇech bod˚ u. Fakticky interval hx1? , x2? i tˇret´ım bodem rozp˚ ul´ıme. Dostaneme x1? = − 1, 0 x2? = − 0, 5 x3? = − 0, 75
n(x1? ) = − 0, 632 n(x2? ) = 0, 357 n(x3? ) = − 0, 090.
Protoˇze ˇreˇsen´ı R4 leˇz´ı v pr˚ useˇc´ıku grafu n(x) a m(x) = 0 (obr´azek O4B), z vypoˇc´ıtan´ ych hodnot ve tˇrech zkusm´ ych bodech vypl´ yv´a, ˇze pr˚ useˇc´ık leˇz´ı 7
Obr´azek O5: Hodnota funkce ex − x2 v z´avislosti na poˇctu p˚ ulen´ı interval˚ u. Spr´avn´e ˇreˇsen´ı 0 je vyznaˇceno ˇcerchovanou ˇcarou. mezi −0, 75 a −0, 5. V dalˇs´ım kroku tedy rozp˚ ul´ıme tento interval, ve kter´em funkce n(x) mˇen´ı znam´enko. Dostaneme x4? = −0, 625 a n(x4? ) = 0, 145 a dovod´ıme, ˇze ˇreˇsen´ı existuje mezi −0, 75 a −0, 625. Takto m˚ uˇzeme pokraˇcovat, aˇz dos´ahneme poˇzadovan´e pˇresnosti pˇribliˇzn´eho ˇreˇsen´ı, nebo aˇz n´as pˇrestane poˇc´ıt´an´ı s kalkulaˇckou bavit. Metodu p˚ ulen´ı interval˚ u m˚ uˇzeme ch´apat taky jako pokus dostat se p˚ ul´ıc´ım bodem co nejbl´ıˇz k pˇresn´emu ˇreˇsen´ı rovnice. A vskutku, kaˇzd´ ym p˚ ulen´ım je funkˇcn´ı hodnota v p˚ ul´ıc´ım bodˇe bl´ıˇze nule, jak ozˇrejmuje obr´azek O5.
4
Metoda teˇ cen
Na podobn´em principu, tedy na hled´an´ı pr˚ useˇc´ık˚ u s pˇr´ımkou y = 0, kter´e se postupnˇe pˇribliˇzuj´ı pˇresn´emu ˇreˇsen´ı, je zaloˇzena i metoda teˇcen. Ta se nˇekdy naz´ yv´a Newtonova nebo Newtonova-Raphsonova metoda. R´adi bychom upozornili, ˇze metoda teˇcen pˇredstavuje maximum, kter´e ˇreˇsitel chemick´e olympi´ady m˚ uˇze upotˇrebit. Stˇredoˇskolsky vzdˇelan´eho fyzik´aln´ıho chemika obvykle nezaj´ım´a ˇreˇsen´ı elegantn´ı, n´ ybrˇz efektivn´ı ve smyslu vysok´eho pomˇeru kvality v´ ysledku a vynaloˇzen´e u ´sil´ı. Z tohoto pohledu je v´ yhodnˇejˇs´ı drˇzet se tabulkov´eho procesoru eventu´alnˇe metody p˚ ulen´ı interval˚ u a metodu teˇcen uv´ad´ıme jen pro jej´ı zaj´ımavost. K pˇredstaven´ı metody teˇcen je potˇreba zav´est pojem derivace funkce f (x). My pojem derivace zavedeme velmi hrubˇe a dovol´ıme si odk´azat laskav´eho ˇcten´aˇre na jin´e texty, kter´e se t´ematu derivac´ı vˇenuj´ı obˇs´ırnˇeji.6 Je-li zadan´a 6
Jako vhodn´ y zaˇc´ atek m˚ uˇze slouˇzit studijn´ı text k Fyzik´aln´ı olympi´ adˇe: Jareˇsov´ a, Volf – Diferenci´aln´ı poˇcet ve fyzice, dostupn´ y online http://fyzikalniolympiada.cz/texty/matematika/difpoc.pdf.
8
Obr´azek O6: Z´avislost u ´hlu α, kter´ y sv´ır´a teˇcna s osou x, na bodu, v nˇemˇz je teˇcna sestrojena. funkce f (x) sluˇsnˇe vychovan´a“,7 m˚ uˇzeme v kaˇzd´em jej´ım bodˇe definovat ” jej´ı derivaci, kter´a vyjadˇruje, jak prudce funkce f (x) roste nebo kles´a. Nutno zd˚ uraznit, ˇze strmost funkce f (x) je tak´e z´avisl´a na promˇenn´e x: pro r˚ uzn´a x 0 m˚ uˇze b´ yt strmost f (x) rozd´ıln´a. Derivaci funkce f (x) oznaˇcujeme f (x). D´a se napˇr. uk´azat, ˇze derivace funkce v dan´em bodˇe je rovna tangens α, kde α je u ´hel, kter´ y sv´ır´a teˇcna v dan´em bodˇe s osou x. Tg α se t´eˇz naz´ yv´a smˇernice teˇcny. Obr´azek O6 ukazuje teˇcny ve dvou r˚ uzn´ ych bodech. Z obr´azku je tak´e zˇrejm´e, ˇze derivace v bodˇe xB je vˇetˇs´ı neˇz v bodˇe xA : okolo bodu xB je graf funkce strmˇejˇs´ı neˇz v okol´ı bodu xA . Pro derivov´an´ı a poˇc´ıt´an´ı s derivacemi plat´ı nˇekolik pravidel, kter´a bez d˚ ukazu uv´ad´ıme n´ıˇze:
f (x) = C f (x) = xn f (x) = sin x f (x) = cos x f (x) = ln x f (x) = ex
f 0 (x) = 0, kde C je konstanta f 0 (x) = nxn−1 f 0 (x) = cos x f 0 (x) = − sin x f 0 (x) = 1/x f 0 (x) = ex
7
Form´ alnˇe mus´ı b´ yt funkce f (x) spojit´a a m´ıt ve sv´ ych bodech vlastn´ı limity. Neform´ alnˇe mus´ı b´ yt moˇzn´e graf funkce nakreslit jedn´ım tahem a nesm´ı obsahovat ˇspiˇcky.
9
Obr´azek O7: Funkce sinus (sin x) a kosinus (cos x).
[C · f (x)]0 = C · f 0 (x), kde C je konstanta [f (x) + g(x)]0 = f 0 (x) + g 0 (x) [f (x) · g(x)]0 = f 0 (x) · g(x) + f (x) · g 0 (x) [f (g(x))]0 = f 0 (g(x)) · g 0 (x) Bez souvislosti k fyzik´alnˇe-chemick´ ym u ´loh´am si koment´aˇr zaslouˇz´ı dvˇe funkce. Jak zn´amo, sin x je funkce periodick´a: periodicky roste a kles´a s periodou 2π, a proto by nemˇelo pˇrekvapit, ˇze jej´ı derivace je takt´eˇz funkce periodick´a, a to cos x (obr´azek O7). Vˇsimnˇete si, ˇze v m´ıstech, kde sin x nab´ yv´a maxima nebo minima, je strmost sin x nula (´ uhel, kter´ y sv´ır´a teˇcna v tˇechto bodech s osou x je nulov´ y). Stejnˇe tak je v tˇechto bodech i hodnota cos x rovna nule. Druhou zaj´ımavou funkc´ı je ex .8 Derivov´an´ım ex dostaneme opˇet ex , coˇz znamen´a, ˇze funkˇcn´ı hodnota v bodˇe x je pˇr´ımo rovna smˇernici teˇcny v dan´em bodˇe. Ale zpˇet k ˇreˇsen´ı rovnice R4. Pro odhad pˇribliˇzn´e hodnoty ˇreˇsen´ı zvol´ıme zkusm´ y bod x1? = 1, 5.9 V tomto bodˇe spoˇc´ıt´ame funkˇcn´ı hodnotu f (x1? ) a jej´ı derivaci f 0 (x1? ). Teˇcna prot´ın´a pˇr´ımku y = 0 v bodˇe x2? a vytv´aˇr´ı pravo´ uhl´ y troj´ uheln´ık (obr´azek O8). Pro bod x2? plat´ı 8
Ta je oproti sin x z hlediska fyzik´aln´ı chemie mnohem d˚ uleˇzitˇejˇs´ı. Funkce ex se vyskytuje napˇr. v rovnic´ıch radioaktivn´ıch rozpad˚ u, nebo obecnˇeji v popisu chemick´ ych reakc´ı 1. ˇr´ adu. 9 Zkusm´ y bod by mˇel b´ yt dostateˇcnˇe bl´ızko pˇresn´emu ˇreˇsen´ı. My z d˚ uvodu n´azornosti vol´ıme trochu vzd´ alenˇejˇs´ı bod neˇz v metodˇe p˚ ulen´ı interval˚ u.
10
f (x1? ) . x1? − x2? Ze vztahu mezi derivac´ı a u ´hlem teˇcny potom tg α =
tg α = f 0 (x1? ), a tedy x2? = x1? −
f (x1? ) . f 0 (x1? )
Zb´ yv´a vypoˇc´ıtat hodnotu derivace v bodˇe x1? . Nejdˇr´ıve zderivujeme funkci n(x) = ex − x2 , kde vyuˇzijeme pravidla shrnut´a v´ yˇse. n0 (x) = (ex − x2 )0 = = (ex )0 + (−1 · x2 )0 = = ex − 1 · (x2 )0 = = ex − 2x Dosazen´ım x1? = 1, 5 dostaneme x2? = −0, 006. x2? = 1, 5 −
e1,5 − 1, 52 = −0, 006 e1,5 − 2 · 1, 5
Bod x2? se nach´az´ı bl´ıˇz pˇresn´emu ˇreˇsen´ı rovnice R4, kter´e je na obr´azku O8 zachyceno pr˚ useˇc´ıkem grafu funkce a funkce m(x) = 0. V dalˇs´ım kroku sestroj´ıme teˇcnu v bodˇe x2? , dohled´ame jej´ı pr˚ useˇc´ık s osou x, kter´ y pouˇzijeme v dalˇs´ım kroku metody. T´ımto zp˚ usobem m˚ uˇzeme pokraˇcovat aˇz do chv´ıle, kdy se dva n´asleduj´ıc´ı pr˚ useˇc´ıky s pˇr´ımkou y = 0, nebo funkˇcn´ı hodnoty v tˇechto bodech, liˇs´ı o m´enˇe neˇz pˇredem vybran´ y pr´ah. Ve srovn´an´ı s metodou p˚ ulen´ı interval˚ u dos´ahneme obvykle v´ ysledku pomoc´ı menˇs´ıho poˇctu krok˚ u. V pˇr´ıpadˇe rovnice R4 a zvolen´e pˇresnosti na 4 desetinn´a m´ısta tedy v 6 kroc´ıch metodou teˇcen a v 18 kroc´ıch metodou p˚ ulen´ı interval˚ u.
5
Aplikace ve fyzik´ aln´ı chemii
Uvedeme jeden pˇr´ıklad, jak numerick´e metody pouˇz´ıt k ˇreˇsen´ı fyzik´alnˇechemick´ ych probl´em˚ u. Zaˇcneme stavovou rovnic´ı plynu. Dle J. D. van der
11
Obr´azek O8: Prvn´ı krok v metodˇe teˇcen. Prvn´ı zkusm´ y bod x1? , v nˇem sex 2 strojen´a teˇcna k funkci e − x (ˇcervenˇe) a jej´ı pr˚ useˇc´ık s pˇr´ımkou y = 0 (ˇcerchovanˇe) definuj´ı troj´ uheln´ık (r˚ uˇzovˇe) vyuˇzit´ y k v´ ypoˇctu bodu x2? . Waalse10 plat´ı pro tlak p a mol´arn´ı objem Vm re´aln´eho plynu n´asleduj´ıc´ı vztah, tzv. van der Waalsova (vdW) stavov´a rovnice. p=
a RT − 2, Vm − b Vm
(R5)
kde R je univerz´aln´ı plynov´a konstanta, T termodynamick´a teplota, a a a b jsou parametry rovnice, kter´e se vztahuj´ı ke studovan´emu plynu. Ot´azka m˚ uˇze zn´ıt, jak´ y je mol´arn´ı objem oxidu uhliˇcit´eho pˇri teplotˇe T = 373 K a tlaku p = 5, 07 MPa. Parametry pro oxid uhliˇcit´ y jsou n´asleduj´ıc´ı 3 −2 −5 3 −1 a = 0, 365 J m mol , b = 4, 28 · 10 m mol . Rovnici R5 lze upravit do tvaru a ab RT 3 + b Vm2 + Vm − = 0. (R6) Vm − p p p Z rovnice R6 je patrn´e, ˇze se jedn´a o rovnici kubickou vzhledem k mol´arn´ımu objemu Vm . Aˇckoli existuj´ı zp˚ usoby, jak si s kubickou rovnic´ı poradit analyticky,11 my zkus´ıme vypoˇc´ıtat jej´ı koˇreny numericky pomoc´ı metody p˚ ulen´ı interval˚ u. Kubick´a rovnice m˚ uˇze m´ıt nula aˇz tˇri re´aln´e koˇreny, proto je d˚ uleˇzit´e m´ıt rozumn´ y odhad prvn´ıch dvou zkusm´ ych bod˚ u. K tomu n´am poslouˇz´ı mol´arn´ı objem vypoˇc´ıtan´ y pomoc´ı stavov´e rovnice ide´aln´ıho plynu: p= 10 11
RT Vm,id
nizozemsk´ y fyzik (1837–1923), nositel Nobelovy ceny za fyziku (1910) Viz Cardanovy vzorce.
12
(R7)
Dosazen´ım dostaneme pˇribliˇznˇe Vm,id = 6, 11·10−4 m3 , z ˇcehoˇz odhadneme, ˇze by ˇreˇsen´ı vdW rovnice R6 mohlo existovat v intervalu mezi Vm,1? = 10−3 m3 a Vm,2? = 10−4 m3 . Vypoˇcteme hodnoty pro krajn´ı body poˇca´teˇcn´ıho intervalu a tak´e pro p˚ ul´ıc´ı bod. Levou stranu rovnice R6 oznaˇc´ıme LS. Vm,1? = 10−3 m3 Vm,2? = 10−4 m3 Vm,3? = 5, 5 · 10−4 m3
LS(Vm,1? ) = 4, 14450 · 10−10 LS(Vm,2? ) = − 1, 4266 · 10−12 LS(Vm,3? ) = 4, 91490 · 10−12
Nemˇela by n´as znepokojit velmi mal´a ˇc´ısla lev´e strany rovnice, kter´a pro nezkuˇsen´e oko mohou b´ yt dostateˇcnˇe bl´ızko poˇzadovan´e nule. Mus´ıme si vˇsak uvˇedomit, ˇze rozd´ıly mol´arn´ıch objem˚ u jsou v ˇr´adech 10−4 m3 , neboli ve stovk´ach ml, coˇz je patrnˇe pˇresnost nedostaˇcuj´ıc´ı. Dovod´ıme, ˇze ˇreˇsen´ı leˇz´ı mezi Vm,2? a Vm,3? , z nichˇz n´aslednˇe vypoˇcteme aritmetick´ y pr˚ umˇer Vm,4? a levou stranu rovnice. Vm,4? = 3, 25 · 10−4 m3
LS(Vm,4? ) = − 1, 44832 · 10−11
Po deseti opakov´an´ıch dojdeme k v´ ysledku Vm = 529 ml. Tato hodnota se od ide´aln´ıho chov´an´ı odchyluje pˇribliˇznˇe o 13%. To m˚ uˇzeme povaˇzovat za v´ yznamnou odchylku a prohl´asit, ˇze oxidu uhliˇcit´ y se za dan´ ych podm´ınek nechov´a ide´alnˇe. Pˇripomeˇ nme, ˇze re´aln´e plyny maj´ı bl´ızko ide´aln´ımu chov´an´ı pouze za vysok´ ych teplot a n´ızk´ ych tlak˚ u.
6
Z´ avˇ ereˇ cn´ e pozn´ amky
Mohlo by se zd´at, ˇze numerick´ y pˇr´ıstup k rovnic´ım pomoc´ı metody teˇcen nebo p˚ ulen´ı interval˚ u pˇrem˚ uˇze vˇsechny nesn´aze s jejich ˇreˇsen´ım. Nen´ı tomu bohuˇzel tak. S komplikovanost´ı rovnic rostou i n´aroky na poˇc´ateˇcn´ı odhady ˇreˇsen´ı a ˇspatn´a volba m˚ uˇze snadno v´est k ne´ uspˇechu. Ne´ uspˇech si m˚ uˇzeme pˇredstavit napˇr. jako situaci, kdy se nov´e body nepˇribliˇzuj´ı skuteˇcn´emu ˇreˇsen´ı, nebo se ˇ ık´ame, ˇze metoda ˇspatnˇe konverguje k nˇemu pˇribliˇzuj´ı jen velmi pomalu. R´ (obr´azek O9). Jin´ ym druhem probl´em˚ u je konvergence k jin´emu ˇreˇsen´ı, neˇz je poˇzadov´ano/pˇredpokl´ad´ano. Doplˇ nme jeˇstˇe, ˇze na internetu je dostupn´a ˇrada aplikac´ı, kter´e poskyˇ tuj´ı numerick´a ˇreˇsen´ı. Casto implementuj´ı nˇekterou z pˇredkl´adan´ ych metod. 13
Obr´azek O9: Funkce f (x), jej´ıˇz rovnici f (x) = 0 bude kv˚ uli ˇspatn´e konvergenci obt´ıˇzn´e numericky ˇreˇsit metodou teˇcen nebo p˚ ulen´ı interval˚ u. Za povˇsimnut´ı stoj´ı pˇredevˇs´ım (z naˇseho pohledu velmi mocn´a) sluˇzba na http://www.wolframalpha.com, se kterou v´am stejnˇe jako s u ´lohami Chemick´e olympi´ady pˇrejeme spoustu z´abavy.
Podˇ ekov´ an´ı Zde si dovol´ıme podˇekovat vybran´ ym u ´ˇcastn´ık˚ um Letn´ıho odborn´eho soustˇredˇen´ı v Bˇestvinˇe, kteˇr´ı si po kultovn´ı noˇcn´ı hˇre Labyrint m´ısto sp´anku radˇeji vyslechli pˇredn´aˇsku o numerick´ ych ˇreˇsen´ıch rovnic a sv´ ym nadˇsen´ım a dotazy pomohli zformovat tento text. V´ yznamn´e d´ıky patˇr´ı t´eˇz Petru Slav´ıˇckovi za peˇcliv´e pˇreˇcten´ı nult´e verze textu.
Errata
14
