1 winter

Redactioneel

Het begin van de maand september werd ontsierd door een hevige aanval op het Vlaamse wiskundeonderwijs, dat leerlingen niet langer zou boeien en kwalitatief ondermaats zou zijn, omdat de handboeken onduidelijk en chaotisch zouden zijn. De abstracte vorming zou ook tekort schieten.

Ongeveer vijfentwintig jaar geleden studeerde ik uit de 6e Wetenschappelijke A af. Ik had dat jaar 9u wiskunde. Het klopt dat het abstractieniveau in de les toen hoger lag dan nu. Maar het klopt niet dat leerlingen toen nog gepassioneerd waren, omdat de boeken en bijbehorende lessen minder chaotisch en onduidelijk waren. Het tegendeel is waar. Ik was wellicht een van de weinigen die geboeid kon zijn door de abstracte leerstof, wat me onbegrip bij mijn klasgenoten opleverde. Velen waren helemaal niet geïnteresseerd en verschillenden wisten zelfs nauwelijks waarover het ging, noch op een toets en al helemaal niet in de les. De moderne wiskunde aan het werk: een dolenthousiaste leerkracht en een meerderheid van leerlingen die ondergaat wat slechts een handvol van hun klasgenoten verstaat.

Dat was niet alleen zo in de Wetenschappelijke A of Latijn-Wiskunde, die toen nog 8u wiskunde had. Ook in de richtingen met minder uren wiskunde werd gegaapt en gegeeuwd bij het ondergaan van topologie, lineaire algebra of verzamelingenleer. Elk jaar studeerden duizenden en duizenden leerlingen af die hun hele leven zouden kunnen zeggen: “Ik heb nooit begrepen waarover het ging en ik heb het ook nooit nog ergens voor nodig gehad.” Er waren er andere. Ik was een van hen. Die leerlingen die voldoende wiskundig getalenteerd waren om die abstracte wiskunde te kunnen begrijpen en appreciëren, gingen voor licentiaat wiskunde of burgerlijk ingenieur. Wij waren het enthousiaste publiek waarmee de professoren

aan die faculteiten toen in contact kwamen. Ik vrees dat verschillende onder hen tot op vandaag verkeerdelijk denken dat iedereen toen zo enthousiast over wiskunde was en zo degelijk gevormd.

In werkelijkheid echter stelden leerkrachten toen meer en meer vast dat het experiment van de moderne wiskunde, ondanks enkele successen, niet de vruchten afwierp die men had gehoopt. Een te grote groep leerlingen werd niet bereikt. Zij waren in de les niet wiskundig aan het redeneren. Ook thuis niet. Ze overleefden. De type-opdrachten uit de les en de vanbuiten geleerde bewijzen zorgden voor een tien op twintig. Werden veel bewijzen gevraagd, dan waren de punten beter, al wisten sommigen amper wat ze aan het opschrijven waren. De vraag die men zich ging stellen, was: weegt de winst voor een sterke topgroep op tegen de overkill voor de meerderheid van de leerlingen?

De leerplannen werden daarom aangepast, in de hoop meer leerlingen mee te laten redeneren, zij het dan misschien op een iets lager, maar meer toegankelijk niveau van abstractie. De doelstellingen waren nobel en betekenden voor veel leerlingen een grote vooruitgang. Die nieuwe aanpak beïnvloedde helaas ook het niveau van de sterkste leerlingen en sindsdien is geen jaar voorbij gegaan zonder dat een of andere prof of docent een jammerende brief naar de krant stuurde om de algehele teloorgang van het wiskundeonderwijs te betreuren. Altijd met een snel gevonden schuldige, al verandert die van seizoen tot seizoen. De ene keer was het de leerkracht, dan weer waren het de leerplannen en dit jaar waren de handboeken aan de beurt. Benieuwd wat het wordt in september 2013. Het enige wat deze klagers er telkens mee bereiken, is het vervreemden van wat eigenlijk hun bondgenoten zouden moeten zijn: de leerkrachten, leerplanmakers en handboekenschrijvers. Want zij zijn het, wij zijn het dus, lezer, die het

Uitwiskeling 29/1 − winter 2013 | 1

Redactioneel

kwalitatief onderwijs moeten realiseren.

vandaag

en

morgen

Ik ben ervan overtuigd dat ons huidig wiskundeonderwijs heel wat kwaliteiten heeft, al voldoet het niet aan de rigoureuze standaard van veel docenten uit het hoger onderwijs. Meer leerlingen dan vroeger komen aan wiskundig redeneren toe tijdens de les of op een toets en maken kennis met domeinen van de wiskunde die wij, vijfentwintig jaar geleden, niet kenden. Ze kunnen niet meer overleven door bewijzen vanbuiten te leren, maar moeten zich oefenen in het oplossen van heel diverse problemen, wat ook voor de gemiddelde leerling meer inzicht vereist dan in mijn tijd het geval was. De wiskunde in het secundair is dan wel minder formeel en abstract geworden, en persoonlijk mis ik dat wel, maar meer leerlingen kunnen vandaag de rol van wiskunde in onze maatschappij appreciëren en weten dat het geen nutteloze discipline is. Met twee op drie leerlingen die, in het aso, graag wiskunde doen (Klasse, 2010), is er van het vermeende verdwijnen van de gepassioneerdheid bij de leerlingen geen sprake.

Wat de aanvallende briefschrijvers wel moeten beseffen, is dat ons onderwijs maar kwalitatief kan blijven indien ook bij de leerkrachten de gepassioneerdheid levendig gehouden wordt. Dat bereik je niet door via opinierubrieken het hele wiskundeonderwijs ondermaats te noemen en leerkrachten een slecht gevoel over hun beroep en hun praktijk te geven. Je bereikt het door met alle betrokkenen een gesprek aan te gaan, door naar antwoorden te zoeken voor bepaalde problemen, door creatief in te spelen op bestaande noden en potentiële oplossingen. Na meer dan tien jaar contraproductieve kritiek begint dit inzicht gelukkig te groeien binnen het hoger onderwijs en worden daar stilaan inspanningen geleverd om extra materiaal aan te bieden, op maat van sterke leerlingen uit het secundair onderwijs. We kunnen dergelijke positieve bijdragen alleen maar toejuichen en hopen dat onze sterkste leerlingen vaker met de schoonheid van de abstractere wiskunde in contact kunnen komen, zonder dat hun minder sterke leeftijdsgenoten het plezier bij de huidige aanpak ontnomen wordt.

Pedro, namens de redactie

Bron http://www.klasse.be/leraren/15636/haten-leerlingen-het-vak-wiskunde/

2 | Uitwiskeling 29/1 − winter 2013

Spinnenweb

Tekeningen op de speelplaats Hilde Eggermont Het begon met een mail met een foto van een Chinees leger met legomannetjes (zie drawar.com/d/3d-chalk-terracotta-lego-army/). Het zou toch mooi zijn als we ook zo iets konden doen op de open deur. We zochten met de wiskundecollega’s al een hele tijd naar ‘iets’ voor op de open deur. Dat ‘iets’ moest de aandacht trekken van leerlingen en bezoekers en te maken hebben met ons vak. We begonnen te dromen van grote kleurrijke street-arttekeningen op onze grijze speelplaats…

Een kleine proeftekening van een kubus overtuigde mij van de haalbaarheid van het project. Het resultaat zou niet zo spectaculair worden als dat van het Chinese legomannetjesleger. Als we het ontwerp beperkt hielden en rekening hielden met onze beperkte artistieke kwaliteiten, dan moest het wel lukken.

Het was opvallend hoeveel ‘echter’ de tekening werd als je er een ander element aan toevoegde. In het geval van de proefkubus waren dit twee (even grote) Playmobil-mannetjes: eentje op de kubus en eentje ernaast. Hierdoor vergrootte de 3D-ervaring vanuit het juiste oogpunt aanzienlijk.

Met niet veel meer voorbereiding dan dit trokken we naar de klas. De klas was in dit geval de groep 8-uursleerlingen van het vijfde en het zesde jaar.

Het principe is heel eenvoudig. Je maakt een centrale projectie van een object. De positie van het oog bepaalt hoe vervormd het object er in de projectie uitziet. Bij een sterke vervorming spreekt men van een anamorfose. Hoe sterker de vervorming, hoe groter het ‘wauw’-gevoel als je de tekening vanuit het juiste oogpunt bekijkt.

De analytische uitwerking van deze projectie is een eenvoudige oefening op ruimtemeetkunde. Omdat we de computer willen inschakelen werken we analytisch. We zoeken een algemene formule om zo veel mogelijk vrijheid te hebben bij de praktische uitwerking. Het enige dat we vastleggen is het projectievlak. Dit is immers het horizontale vlak van de speelplaats. We nemen hiervoor het vlak 𝑧 = 0. Stel dat het punt 𝑂(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) het oog is en 𝑃(𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) het punt dat we projecteren.


Spinnenweb

Figuur 1

De projectie 𝑃′ van 𝑃 is het snijpunt van de rechte 𝑂𝑃 met het projectievlak 𝑧 = 0. De parametervergelijkingen van de rechte 𝑂𝑃 zijn 𝑥 = 𝑥0 + 𝑘 ∙ (𝑥1 − 𝑥0 ) �𝑦 = 𝑦0 + 𝑘 ∙ (𝑦1 − 𝑦0 ) 𝑧 = 𝑧0 + 𝑘 ∙ (𝑧1 − 𝑧0 )

Om het snijpunt met 𝑧 = 0 te vinden stellen we −𝑧0 0 = 𝑧0 + 𝑘 ∙ (𝑧1 − 𝑧0 ). Bijgevolg is 𝑘 = . Invullen en uitrekenen geeft

Figuur 2


𝑧1 −𝑧0

𝑥0 𝑧1 − 𝑥1 𝑧0 𝑧1 − 𝑧0 𝑦0 𝑧1 − 𝑦1 𝑧0 ⎨𝑦 = 𝑧 − 𝑧 1 0 ⎪ ⎩ 𝑧=0 ⎧𝑥 = ⎪

Met deze formules is het mogelijk om de projectie van de punten te berekenen. Deze formules zijn eenvoudig in bv. GeoGebra in te brengen. De berekende punten kunnen dan meteen ook getekend worden.

Spinnenweb

Hier stootten we op een groot probleem. Hoe verkrijgen we de coördinaten van de punten van het object dat we willen projecteren? Bij de proeftekening van de kubus was het nog goed te doen om de 8 hoekpunten zelf te voorzien van coördinaten, maar hoe moet dat bij grotere objecten met veel meer hoekpunten? Dit probleem was nog niet van de baan op het moment dat de leerlingen aan het werk gingen om hun ontwerp te maken. Drie groepjes leerlingen gingen aan het werk. Ze bekeken nog andere tekeningen op het internet. Met de zoekterm ‘street art’ bij Google Afbeeldingen vind je heel wat materiaal. De ene groep besliste een zetel te maken, de tweede een wenteltrap en de derde flatgebouwen die uit een stoeptegel komen. Tijdens de eerste bijeenkomst werd er vooral met potlood en papier gewerkt. Maar onze leerlingen zijn kinderen van hun tijd en tegen de volgende week, werkten ze met Google SketchUp. Dat gaf mooie ontwerpen, maar de vraag bleef hoe we aan de coördinaten van de punten van het object konden geraken.

Eén van onze leerlingen nam deze uitdaging ter harte en schreef een programma om de coördinaten van de punten uit het Google SketchUp-bestand te halen. Deze informatie werd opgeslagen in een Excel-file. De punten konden nu naar hartenlust getransformeerd worden!

Het volgende probleem dook op: hoe weten we welke punten verbonden moeten worden? Deze informatie zat ook opgeslagen in Google SketchUp, maar de open deur naderde met rasse schreden en er was geen tijd meer om hiernaar op zoek te gaan. Dit probleem hebben we met gerichte ‘trial and error’ opgelost. In de week van de open deur hadden twee van de drie groepen een mini-versie van hun tekening op papier. De ene groep heeft dan de avond voor de open deur haar werk met stoepkrijt op de speelplaats gezet en de tweede groep heeft dat tijdens de open deur ‘live’ gedaan. De derde groep is uiteindelijk maar geraakt tot aan een mini-versie die ook op de open deur te bewonderen was in een ‘kijkdoos’.

Figuur 3


Spinnenweb

Tijdnood tijdens de lessen wiskunde Noortje Damen Als beginnende leerkracht ervaarde ik vaak een tijdsdruk tijdens de lessen wiskunde. Ik had voortdurend schrik dat ik de voorziene leerstof niet volledig kon behandelen. Hierdoor werd het moeilijk om nog ten volle te genieten van het lesgeven en hield ik een slecht gevoel over bij het uitproberen van werkvormen die meer tijd in beslag namen. Timemanagement in de klas

Ik ben daarom op zoek gegaan naar een manier om met een beter gebruik van tijd, een beter ‘timemanagement’, de ervaren stress te verlichten. Veel lectuur over het timemanagement in de klassituatie is er echter niet beschikbaar. Daarom besloot ik de inzichten en technieken uit het bedrijfsleven te analyseren en indien mogelijk te vertalen naar het klasleven. Hieruit kwamen enkele belangrijke tips voort. (1) Plan de dag van morgen, liefst aan het eind van de dag.

Deze tip wordt door mezelf, en ik veronderstel ook door de meeste andere leerkrachten, al langer toegepast. Elke avond maak ik de lesvoorbereidingen voor de volgende dag. Ik neem agenda en cursus bij de hand en maak een planning. Dit creëert rust, maar kan tevens ook de nodige onrust met zich meebrengen wanneer de vooropgestelde doelen niet bereikt worden. Het leek me daarom beter om ook te plannen op langere termijn, waardoor er een richtlijn ontstond waar lichtjes van mocht afgeweken worden. Omdat ik slechts enkele maanden vervanging deed, heb ik me beperkt tot een planning per hoofdstuk. Toch viel al snel op dat dit schema meer rust bood. Het was niet erg om tijdens een les een achterstand op te bouwen, daar die op een ander moment nog kon weggewerkt worden. Wanneer daarentegen een les vlotter verliep dan verwacht, ontstond er meer ruimte om werkvormen in te zetten die meer tijd vereisten. Hierdoor zag ik ook de waarde in van een goede jaarplanning en het belang om deze planning met aandacht op te stellen en ze te gebruiken als werkinstrument. Duidelijke maar flexibele doelen creëerden meer zekerheid en rust tijdens het lesgeven en boden me de kans om in te spelen op de noden van de klas om zo tot fundamenteel leren te komen. 6 | Uitwiskeling 29/1 − winter 2013

In enkele klassen stootte ik echter op een obstakel dat deze persoonlijke planning in de weg stond: klasoverschrijdende remediëringslessen, waar leerlingen van parallelklassen bijles kregen over het onderwerp dat die week behandeld werd. Men veronderstelde dat de leerstof die de parallelleerkrachten behandelden ongeveer gelijk liep, wat voor mij haast onmogelijk was en een druk op me legde. Daarom besloot ik deze verwachtingen naast me neer te leggen om zo de bijkomende tijdsdruk te vermijden. Hierdoor werd meer differentiatie verwacht van de remediëringsleerkracht, maar kon ik zelf creatiever omspringen met mijn eigen planning. De essentie van remediëring zit immers in het afstemmen op de reële noden, niet enkel in het herhalen van de leerstof. (2) Plan essentiële, niet-urgente taken op de rustige momenten.

Niet ieders bioritme is hetzelfde. Toch kunnen er over het algemeen enkele conclusies worden getrokken, die ook voor een leerkracht mogelijk interessant zijn. Het einde van de ochtend is het beste voor denkwerk, zoals opdrachten die een sterk beroep doen op uw denkvermogen. Wie rond 7 uur opstaat, heeft tussen 11 uur en 13 uur de meest productieve uren. Na dertien uur belandt het lichaam in een soort dip. Ook op school valt het op dat leerlingen ’s morgens meestal beter geconcentreerd zijn dan tijdens het laatste lesuur. Ik besloot daarom deze eenvoudige tip toe te passen in de klas: moeilijkere theoretische hoofdstukken werden in de voormiddag gepland, inoefenen en spelenderwijs werken werd voorbehouden voor de minder productieve uren. Theorielessen verliepen hierdoor wat vlotter, oefensessies verliepen rustiger en zorgden minder dan vroeger voor een tijdsdruk. Hoewel al snel duidelijk werd dat het niet altijd mogelijk was de lessen op deze manier te organiseren, heb ik de voordelen van deze planning ervaren en heb ik ook in de mate van het mogelijke rekening leren houden met de beperkingen.

(3) Handel ‘papier’ in één keer af en doe gelijksoortige taken na elkaar.

Deze tip lijkt vanzelfsprekend. Ik paste hem langer toe. In het begin van elke les werd de praktische schikking afgehandeld: agenda

Spinnenweb

invullen, afwezigheden opnemen, toetsen uitdelen, taken ophalen,… Toch nam deze werkwijze naar mijn mening nog te veel tijd in beslag. Ik ging na of het niet vlotter kon. Zo viel me op dat het inzamelen en uitdelen van toetsen of taken elke les té lang duurde en bovendien verwarring schepte. De leerlingen en ikzelf vergaten regelmatig wanneer een toets moest teruggegeven of opgehaald worden. Door deze actie te vervangen door een vaste afspraak op maandagmorgen en dit steeds in de agenda te noteren, bezorgde ik zowel de leerlingen als mezelf minder tijdverlies en kopzorgen.

Timemanagement is alomvattend en zit zowel in de kleine details als in grote gehelen. Hoewel de tips uit het bedrijfsleven niet zomaar konden worden overgeplaatst naar de klas, zijn er voor mij wel enkele interessante inzichten uit voortgekomen. Zo bleek flexibiliteit erg belangrijk: flexibel zijn naar hoeveelheid oefeningen (afgestemd op de noden van de leerlingen), naar lesinhouden (rekening houdend met het moment van de dag) en naar planning (door te werken met een goede jaarplanning) bood meer rust voor mezelf als leerkracht.

Bovendien ben ik tot de conclusie gekomen dat efficiënt werken zich niet beperkt tot het toepassen van vooropgestelde regels. Tips helpen, maar moeten steeds afgesteld worden op maat van de klas. Het is daarom goed om kritisch te zijn voor de tips die worden aangereikt. Klasgroepgebonden strategieën

Dit kritisch denken deed me inzien dat de methodes uit het handboek, en ook degene die worden gestimuleerd vanuit de leerplannen, niet altijd de beste zijn. Zo merkte ik tijdens een les ‘bewerkingen met veeltermen’ die werd aangebracht aan de hand van een voorbeeld uit het dagelijkse leven, dat leerlingen het moeilijk hadden om de realistische voorstelling om te vormen naar een abstracte weergave. Wanneer ik daarentegen bij het aanbrengen van deze

leerstof vertrok vanuit een concrete voorstelling in letters en symbolen, bleek dit veel duidelijker voor de leerlingen. Eenvoudigere getallenleer aanbrengen aan de hand van realistische voorbeelden lukte daarentegen wel goed, terwijl de meer complexe theorie beter begrepen werd door de leerlingen wanneer aangebracht met letters en symbolen.

Tot slot is er nog een laatste opvallende vraag die me is bijgebleven in verband met het timemanagement: “Waarom doen we de dingen die we doen op de manier waarop we ze doen?”. Het is een vraag waar we vaak niet eens meer bij stilstaan. Sommige gewoontes zijn zo ingeburgerd dat we niet weten hoe er van af te stappen. Dit wil echter niet zeggen dat wat we doen goed is en hetzelfde moet blijven. Zo kwam ik in contact met de studiewijzer, een werkinstrument dat door collega’s in parallelklassen reeds gebruikt werd bij de behandeling van bepaalde hoofdstukken. Het doel van dit hulpmiddel was duidelijk: de leerlingen iets aanbieden dat helpt om gemakkelijker zelfstandig te werken. In de studiewijzer staan de leerstofonderdelen duidelijk opgelijst met de bijbehorende te studeren theorie en opgegeven oefeningen, inclusief pagina's in het leer- of werkboek. De tips helpen de leerlingen om de opdrachten tot een goed einde te brengen. Hoewel het instrument op zich interessant was en goed was opgesteld, leek het niet erg innovatief. In vele cursussen wordt tegenwoordig al gebruik gemaakt van een studiewijzer om zelfstandig werken te bevorderen. De manier waarop de studiewijzer gehanteerd werd, was daarentegen wél totaal nieuw voor mij. De leerlingen werden verondersteld de theorie thuis te leren zonder enige begeleiding van de leerkracht. Hier stond ik oorspronkelijk nogal kritisch tegenover en ik vroeg me af of dit niet te moeilijk was voor de leerlingen. Het betreffende hoofdstuk, de ruimtefiguren, sprak de leerlingen erg aan. Bovendien werd de leerstof zeer concreet voorgesteld in de leerboeken, wat de

Figuur 1


Spinnenweb

kans op slagen deed toenemen. Ik besloot de studiewijzer te gebruiken en open te staan voor het nieuwe. De resultaten bliezen me omver. Leerlingen slaagden er goed in de theorie thuis te leren en die naar voren te brengen in de klas. Wanneer ik vroeg wie de leerstof wilde uitleggen aan de hand van het beschikbare didactische materiaal, vielen de leerlingen bijna letterlijk van hun stoel van enthousiasme. Het aanbrengen van de theorie verliep op een uitdagende, creatieve manier en er ontstond meer tijd voor persoonlijke begeleiding. Wie tijdens het maken van de oefeningen nood had aan extra uitleg, werd geholpen door zijn buur of de leerkracht en kon gebruik maken van het aanschouwelijk materiaal dat voorhanden was. Leerlingen die daarentegen vlot de oefeningen afhandelden, konden de meer uitdagende extra toepassingen maken. Het leek een reddingsmiddel waar ik al zo lang op wachtte: een instrument en werkwijze die me toeliet om alle doelen te bereiken zonder in tijdsnood te geraken. De meerwaarde van dit instrument lag in de grote hoeveelheid zelfstandig werk. Ik merkte dat zelfstandig werken rustgevend kon zijn voor de leerkracht en leerlingen. Door in te zetten op zelfstandig werk, ondervond ik hoe ik tijd kon besparen zonder toe te geven aan de vooropgestelde doelen.

Maar een instrument mag je niet zomaar overnemen in een andere klas. Afhankelijk van de beginsituatie zet je in wat je denkt dat het beste is. Omdat de beginsituatie van de klassen waar ik vervanging deed erg varieerde, was het onmogelijk de studiewijzer overal op dezelfde manier te gebruiken. Uit ervaring bleek dat zelfstandig kunnen werken een eerste vereiste was om dit instrument toe te passen. Toen ik de studiewijzer hanteerde in een klas waar deze competentie niet op punt stond, merkte ik dat het instrument niet tot zijn recht kwam. Wat in de ene klas een succes bleek, was tot mislukken


gedoemd in de andere. Hier was het beter geweest een andere manier te zoeken om ‘het zelfstandig werk’ te bevorderen.

In klas 1B koos ik daarom voor een PowerPointpresentatie die tijdens de les werd geprojecteerd en de opgegeven opdrachten toonde. Deze leerlingen hadden minder ervaring met zelfstandig werken, maar door de verschillende opdrachten te beperken en de te volgen stappen te projecteren op het bord, konden ook zij gestructureerd zelfstandig werken. Door op verschillende niveaus het zelfstandig werken toe te passen heb ik zowel het nut als de moeilijkheid ervan ingezien. Omdat niet elke klas over deze competentie beschikte en ook de beginsituatie vaak erg verschilde, was ik genoodzaakt de werkvorm steeds aan te passen. Toch werd ik door de studiewijzer overtuigd van de positieve invloed die vernieuwing kan hebben. Tijd is relatief

Tijdens het lesgeven schrik hebben om uitgebreide werkvormen te gebruiken, je afvragen of de voorziene leerstof wel kan behandeld worden binnen de beperkte tijd, je onrust delen met collega’s… als ik hierop terugkijk zie ik de triestheid ervan in. Door een goede planning te maken, lesinhouden en aanbreng af te stemmen op de klas en het moment van de dag, kon ik flexibel zijn en beter omgaan met de factor tijd. Zo leerde ik dat goed omgaan met tijd is ‘tijd besparen zonder in te leveren op kwaliteit’. We moeten afstappen van de uitdrukking: ‘hier heb ik geen tijd voor’, maar zoeken naar een manier om alle factoren van het timemanagement te laten samenkomen tot één geheel: rekening houdend met de beperkte tijd de vooropgestelde doelen bereiken.

De tijd blijft hetzelfde, hoe we ermee omspringen is wat telt. Want besef wel: tijd is relatief.

Spinnenweb

Ontmoeting van twee cilinders Michel Roelens De aanleiding Onze ICT-coördinator sprak mij aan met een praktisch probleem. Normaal gebeurt dit andersom, maar het ging ook niet om een computerprobleem.

Uit zijn kachel komt een verticale cilindervormige schouwpijp, die overgaat in een tweede cilindervormige pijp, die een hoek van 135° maakt met de eerste buis. Deze tweede cilinder verdwijnt dan in het plafond. Ik begreep dat hij een bekleding wou maken voor deze buizen en dat hij wou weten wat de juiste vorm was die hij moest uitsnijden. Ik vond het wel een beetje een vreemde vraag; die bekleding moet wel erg goed tegen de warmte kunnen... Ik zette mezelf wiskundig aan het werk. De vlakke ontwikkeling van een schuin afgesneden cilinder is begrensd door één periode van een sinusgrafiek. Dat wist ik. Het bewijs verscheen onlangs nog in de werktekst ‘De kop van de mouw’ in het Uitwiskeling-nummer over ‘wiskunde en breien’ (Eggermont, Hautekiet & Van den Broeck, 2012). Ik beredeneerde wat de juiste voorschriften van de sinusgrafieken voor zijn vlak ontwikkelde kachelbuizen moesten zijn, ik drukte op schaal af met GeoGebra en bracht hem de volgende ochtend, voldaan over mijn oplossing, zijn verkleinde buizen, zowel in vlakke versie als opgerold tot cilinders. Tot mijn ontgoocheling had ik zijn vraag niet goed begrepen: niet de buizen wou hij bekleden, maar het stuk plafond rond de schuine buis. Hij moest dus enkel een ellips hebben. Op een foto, die ik nadien van hem kreeg met het oog op dit

artikeltje, zag ik zelfs dat de schuine pijp in het plafond opnieuw overgaat in een derde, verticale, buis die grotendeels binnen het plafond zit.

Figuur 1 De opgave Dit misverstand levert inspiratie op voor een originele en uitdagende oefening over goniometrische functies voor leerlingen van het vijfde jaar met zes uur wiskunde per week. We veronderstellen dat de leerlingen vooraf in de klas hebben bewezen dat de vlakke ontwikkeling van een schuin afgesneden cilinder begrensd is door een periode van een sinusgrafiek, bv. met de reeds aangehaalde werktekst uit ‘Wiskunde en breien’.

begin werktekst

Buizen met een hoek van 135° Voor schouwpijpen, afvoerbuizen, waterleidingen... zijn soms cilindervormige buizen nodig die een bepaalde hoek vormen. Maak een papieren schaalmodel van twee buizen (stukken cilinder) die in elkaar overgaan. De onderste buis staat verticaal. De hoek tussen deze cilinders is 135°. De bovenste buis is bovenaan horizontaal afgesneden. De omtrek van de cilinders is 63 cm. De langste lengte van het schuine stuk is 40 cm. Voor alle duidelijkheid zie je hieronder een tweeaanzicht (vooraanzicht, bovenaanzicht).


Spinnenweb

Je weet: de vlakke ontwikkeling van een schuin afgesneden cilinder is begrensd door één periode van een sinusgrafiek. Je kunt hier zelf een aantal keuzes maken: de schaal, waar komt de ‘naad’ van de cilinders (anders gezegd: waar laat je één periode beginnen en eindigen), de plaats van de grafieken in het assenstelsel.

Gebruik GeoGebra om de grafieken die de vlakke ontwikkeling van de buizen afbakenen te tekenen en af te drukken. Geef twee versies af: de vlakke ontwikkelingen en de uitgeknipte en aaneengeplakte cilinders. einde werktekst

Hieronder bespreek ik mijn oplossing. Uiteraard verkrijgen leerlingen andere voorschriften als ze andere keuzes maken voor de schaal, de periode, de plaats in het assenstelsel... Als de opgave hierboven voor je leerlingen te open (en te moeilijk) is, kun je deelvraagjes toevoegen. Het onderste stuk

Ik heb de ware afmetingen in GeoGebra ingevoerd, en uitgezoomd zodat de schaal van de afdruk 1:5 werd. De cilinder heb ik (in gedachten) opengesneden bij het laagste punt van de bovenrand. De y-as heb ik in het midden geplaatst, dus bij het hoogste punt. Dit betekent dat ik een voorschrift van de vorm

van 22,5° met de grond. Om tegen elkaar te passen, moeten beide cilinders immers ‘even schuin’ afgesneden zijn, zodat hun vlakke doorsneden (ellipsen) kunnen samenvallen. Dit geeft 63 voor de amplitude: 𝑎 = 𝑟 tan 22,5°, met 𝑟 = de 2𝜋 straal van de cilinder (zie figuur 2). Goniometrische formulevirtuozen kunnen aantonen dat tan 22,5° = √2 − 1, maar omdat weinig (eufemisme voor ‘geen’?) leerlingen dit zullen opmerken, werk ik hier verder met tan 22,5°.

𝑦 = 𝑎 cos 𝑏𝑥 + 𝑑

zoek. Uiteraard gaat het ook met een horizontaal verschoven sinusgrafiek, wat de leerlingen misschien eerder gaan doen naar analogie met eerder gemaakte oefeningen. De waarde van 𝑑, als we de onderrand van de ontwikkeling op de 𝑥-as plaatsen, is 40. De periode is gelijk aan de 2𝜋 omtrek van de cilinder, dus 63. Dit geeft 𝑏 = . 63 Nu nog de amplitude 𝑎. Het vlak waar beide cilinderstukken samenkomen, vormt een hoek


Figuur 2

Spinnenweb

Figuur 3

Hiermee is het voorschrift van de bovenrand van de ontwikkeling van de onderste cilinder gevonden: 63

𝑦=

2 𝜋𝑥 63 tan 22,5° cos + 40 63 2𝜋 63

met − ≤ 𝑥 ≤ . In GeoGebra kun je van deze 2 2 functie één periode tekenen door de volgende instructie in te geven: functie[

63

2𝜋

tan 22,5° cos

2 𝜋𝑥 63

+ 40 , −

63 63 2

63

𝑦=−

2 𝜋𝑥 63 tan 22°30′ cos 63 2𝜋 63

met − ≤ 𝑥 ≤ . Nu nog de bovenrand. De 2 2 periode, en dus ook de waarde van 𝑏, is dezelfde als bij de twee vorige functies. De amplitude is nu gelijk aan de straal van de cilinder (zie figuur 63 4), dus 𝑎 = . 2𝜋

, ]. 2

Als afwerking heb ik ook de verticale randen bijgetekend (zie figuur 3). Een oplossing: het bovenste stuk

De naad nemen we in het verlengde van de naad van het onderste stuk. We zoeken dus weer een formule van de vorm 𝑦 = 𝑎 cos 𝑏𝑥 + 𝑑. De onderste rand plaatsen we zo dat de 𝑥-as de evenwichtslijn vormt. Dit betekent: 𝑑 = 0. De periode is dezelfde als bij de vorige functie. Ook de amplitude is dezelfde, want beide cilinders worden ‘even schuin’ afgesneden om op elkaar te passen. In plaats van een maximum in het midden, hebben we nu een minimum in het midden nodig; we moeten dus een minteken toevoegen bij de amplitude. Dit geeft:

Figuur 4

De verticale verschuiving d is de afstand, gemeten in de richting van de as van deze cilinder, tussen beide evenwichtslijnen. Met figuur 4 vind je


Spinnenweb

Figuur 5

𝑑 = 40 −

63

2𝜋

+

63

2𝜋

tan 22,5°.

Hiermee hebben we het voorschrift van de bovenste rand van de ontwikkeling van de bovenste buis: 𝑦=−

met −

63 2

2 𝜋𝑥 63 63 63 cos + 40 − + tan 22,5° 63 2𝜋 2𝜋 2𝜋 ≤𝑥≤

63 2

.

De vlakke ontwikkeling in GeoGebra zie je op figuur 5.

In figuur 6 zie je de proef op de som: de uitgeknipte en geplakte cilindertjes. Figuur 6

Bronnen H. Eggermont, G. Hautekiet, L. Van den Broeck (2012), Wiskunde en breien, Uitwiskeling 28/1, p. 12-44. De werktekst ‘De kop van de mouw’ staat op p. 29-31.


Spinnenweb

Formules maken in Word 2007/2010 Gerd Hautekiet De meeste wiskundeleerkrachten kunnen ondertussen goed overweg met de vergelijkingseditor ‘Microsoft Vergelijking 3.0’, al dan niet aangevuld met Mathtype. Maar bij de laatste versies van Microsoft Office zijn er belangrijke wijzigingen, waaronder een nieuwe formule-editor, die nauwer samenwerkt met de andere mogelijkheden van Word en PowerPoint. Bovendien kun je op de website van Microsoft een gratis invoegtoepassing vinden, Microsoft Wiskundehulp, waarmee symbolische berekeningen binnen Word mogelijk zijn. Ik wil hieronder heel kort ingaan op enkele praktisch bruikbare tips. Ik geef geen volledig overzicht, eerder een snelcursus voor beginners. Hieronder bij de bronnen vind je verwijzingen naar meer uitgebreide online-handleidingen. Regelmatig gebruik en proberen is de enige manier om het echt vlot onder de knie te krijgen.

Ook in Uitwiskeling zullen we vanaf nu deze nieuwe formule-editor gebruiken. Cambria Math is het lettertype van de nieuwe formule-editor. Dit lettertype kun je niet eenvoudigweg wijzigen. Vandaar dat we ook voor de rest van ons tijdschrift zijn overgestapt op het bijbehorende lettertype Cambria. Invoegen van een vergelijking kan via het menu Invoegen, π Vergelijking:

of sneller door de combinatie van de alt-toets met =. Je verkrijgt dan een vak om je formule in te typen:

Je krijgt meteen ook een nieuwe menubalk (zie figuur 1), met drie of vier dialoogvensters, naar gelang je Wiskundehulp al of niet gedownload hebt. Als je een bestaande formule wilt wijzigen, moet je op het pijltje rechts onderaan klikken. Als je buiten het veld klikt, verlaat je de formuleeditor. Je kunt van een tekst achteraf snel een formule maken door die tekst te markeren en dan = te typen. Ik geef een kort overzicht van de verschillende dialoogvensters om snel aan de slag te kunnen. Extra

Met de optie ‘abc Normale tekst’ kun je gewone tekst typen in de vergelijkingseditor. Dit is erg handig om spaties en kleine bindteksten te typen.

Door ‘Vergelijking’ te kiezen, krijg je een lijstje met een aantal veelgebruikte vergelijkingen. Als je zelf een vergelijking invoert, kun je die ook opslaan als nieuwe vergelijking. Symbolen

In dit tabblad (zie figuur 2) vind je de relationele en wiskundige symbolen. Met de schuifbalk rechts kun je er meer zien, al of niet onderverdeeld in categorieën: elementaire wiskunde, Griekse letters, letterachtige symbolen, operators, pijlen, ontkende relaties, schrifttypen en geometrie.

Figuur 1

Figuur 2


Spinnenweb

Figuur 3

Structuren Onder elk onderdeel van deze werkbalk (zie figuur 3) zit weer een ander palet verborgen, dat je verkrijgt door erop te klikken.

het afleiden van een goniometrische functie lukt bijvoorbeeld niet.

Nuttig om weten: i.p.v. de knoppen te gebruiken voor breuken, machtsverheffing… kun je deze ook snel intypen in de formule-editor. Door bijvoorbeeld in een vergelijking 1/x <spatie> te typen krijg je automatisch een deftige breuk. Zo ook voor a^2, haakjes die vanzelf de juiste afmeting aannemen…

4(𝑥 + 2) ∙ (𝑥 − 3) 4 𝑥 2 − 4 𝑥 − 24

Ook handig: je kunt verschillende formules die onder elkaar staan, uitlijnen op het gelijkheidsteken door die formules te selecteren en dan op de rechtermuisknop te klikken. Er verschijnt dan een menu waar je uitlijnen op = kunt kiezen. Wiskunde

Het is mogelijk om tijdens het schrijven in Word bepaalde symbolische berekeningen aan dit programma over te laten. Zoals hiervoor al vermeld, moet je hiervoor de invoegtoepassing Microsoft Wiskundehulp gedownload hebben. Dit levert een extra dialoogvenster Wiskunde in het Word-menu. Voor het uitwerken, ontbinden, afleiden en integreren van veeltermen en rationale vormen werkt dit goed. Ook een grafiek kun je laten tekenen en invoegen in je document. Voor goniometrische functies voldoet het niet altijd,

Bronnen http://www.microsoft.com/nl-be/download/details.aspx?id=17786

http://www.dpbbrugge.be/wiskunde/DVW%2023%202011/WW1_Het%20opmaken%20van%20wiskundeteksten.pdf

http://home.scarlet.be/~greetvrh/PDFdocumenten/Wiskunde_ICT_2010.pdf

http://perswww.lessius.eu/verheyen/Word2007/Word_2007_vgl-web/index.html


Onder de loep Algebra oefenen met inzicht Johan Deprez Regi Op de Beeck

Inhoud 1. 2. 3. 4. 5. 6.

7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

Inleiding Rekenregels moeten functioneel zijn Algebra maakt moeilijke zaken eenvoudig Van abstract terug naar concreet Vergelijkingen interpreteren met grafieken Loskomen van standaardoplossingsmethoden Globaal kijken naar uitdrukkingen Algebra inzetten om patronen te beschrijven Variatie in de vraagstelling Omkeervragen Slimme rijtjes Niet te snel en niet teveel verkorten Spaarzaam zijn met formules Niet alleen successen maar ook mislukkingen Tot slot

1. Inleiding 1.1.

De peiling wiskunde tweede graad aso als aanleiding

De resultaten van de peiling Sinds 2002 laat de Vlaamse overheid peilingsonderzoeken uitvoeren in het onderwijs. Dit zijn grootschalige onderzoeken die nagaan in welke mate de leerlingen de eindtermen behalen. In mei 2012 werden de resultaten van de peiling wiskunde in de tweede graad aso bekend gemaakt.

In tabel 1 (van Nijlen, 2012) vind je het percentage leerlingen dat de eindtermen beheerst, per onderwerp en volgens de studierichting.

Je merkt dat de prestaties van de leerlingen sterk variëren volgens de studierichting: leerlingen uit Wetenschappen en Klassieke talen scoren in het algemeen redelijk goed, maar de resultaten van leerlingen uit Humane wetenschappen zijn alarmerend.

Er zijn ook grote verschillen naargelang het onderwerp. Voor een aantal domeinen zijn de resultaten goed of redelijk. Voor twee domeinen zijn de resultaten echter duidelijk beneden de verwachting. Slechts de helft van de leerlingen heeft de eindtermen over getallenleer en algebra onder de knie. De resultaten voor dit onderwerp zijn weliswaar eerder goed voor de studierichting Klassieke talen en redelijk voor Wetenschappen, maar ze zijn ronduit dramatisch voor Humane wetenschappen, waar er nauwelijks leerlingen zijn die deze eindtermen halen. Voor functies van de eerste en tweede graad haalt minder dan de helft van de leerlingen de eindtermen. Ook hier is er een erg slecht resultaat voor Humane wetenschappen. Bovendien stellen nu ook de resultaten voor de studierichtingen Klassieke talen en Wetenschappen enigszins teleur. Inzoomen op algebra en functies van de eerste en tweede graad

Bij het onderwerp getallenleer en algebra gaat het onder andere over de rekenregels voor machten en vierkantswortels, ontbinden in factoren, oplossen van vergelijkingen en ongelijkheden van de eerste en tweede graad en oplossen van 2×2-stelsels.


Onder de loep

onderwerp getallenleer en algebra reële functies functies van de 1ste en 2de graad problemen oplossen met algebra en functies vlakke meetkunde driehoeksmeting ruimtemeetkunde statistiek Tabel 1

TOTAAL

economie

51% 75% 42%

27% 68% 25%

63% 58% 56% 76%

40% 40% 36% 70%

64%

52%

humane klassieke wetentalen schappen 10% 78% 32% 91% 8% 66% 30% 34% 16% 23% 56%

81% 84% 81% 77% 87%

sport

wetenschappen

56% 88% 30%

72% 85% 69%

45% 58% 43% 69%

74% 71% 78% 80%

62%

73%

Het onderwerp functies van de eerste en tweede graad sluit daar (met uitzondering van één eindterm over differentiequotiënt) nauw bij aan, maar dan bekeken door een ‘functionele bril’. Bij veel toetsopgaven was wat extra inzicht nodig. Het gaat dan bijvoorbeeld over het grafisch interpreteren van de oplossingen van vergelijkingen en ongelijkheden en het opstellen van de vergelijking van een eerstegraadsfunctie op basis van een grafiek of tabel.

vend (zeker als je bedenkt dat je al 25% goede antwoorden mag verwachten op basis van puur gokken).

Enkele voorbeeldopgaven

Van de peiling naar deze loep

Hieronder vind je een voorbeeldopgave over de rekenregels van machten (van Nijlen, 2012). Bij elk antwoordalternatief is aangegeven hoeveel leerlingen dat alternatief kozen.

We kunnen de slechte resultaten voor deze twee onderwerpen niet toeschrijven aan een te hoge moeilijkheidsgraad van de afgenomen toetsen. Integendeel, de twee voorbeelden laten zien dat de toetsopgaven juist gebaseerd zijn op een eerder voorzichtige interpretatie van de eindtermen. Leerkrachten gaven in de bijgevoegde vragenlijst aan dat ze deze twee onderwerpen belangrijk vinden en dat ze er veel tijd aan besteden in de lessen. Daar moeten we de oorzaak dus ook niet zoeken.

Bij beide onderwerpen moet je in eerste instantie denken aan ‘kale’ opgaven. Het oplossen van problemen is immers ondergebracht bij een ander domein, namelijk problemen oplossen met algebra en functies (dat overigens beter scoort).

We zien dat een kwart van de leerlingen niet kan weerstaan aan de verleiding om de grondtallen te vermenigvuldigen. Opgaven met letters worden iets beter opgelost omdat die verleiding daar niet optreedt. Als de grondtallen ingewikkelder zijn (bijvoorbeeld met een wortel erin), lossen minder leerlingen de opgave goed op.

In de volgende voorbeeldopgave gaat het over het oplossen van een ongelijkheid van de tweede graad. Hoewel het een erg braaf exemplaar is (reeds in de standaardvorm, eenvoudige coëfficiënten en wortels), zijn de resultaten bedroe16 | Uitwiskeling 29/1 − winter 2013

Natuurlijk is het niet allemaal kommer en kwel. Vergelijkingen geven betere resultaten dan ongelijkheden en ongelijkheden van de eerste graad worden beter opgelost dan die van de tweede graad.

We denken zelf aan een geheel van diverse oorzaken. Om de grote problemen bij Humane wetenschappen op te lossen, zal het nodig zijn om actie te ondernemen op meerdere terreinen. Zo vragen we ons af of een deel van de oplossing niet gezocht moet worden in een betere (en minder vrijblijvende?) oriëntering na de eerste graad, in het teruggaan naar een groter onderscheid tussen sterke en minder sterke wiskunde in de tweede graad aso met een dubbele set eindtermen, in maatregelen die leerlingen aanzetten om harder te werken voor wiskunde…

Onder de loep Dat zijn echter allemaal sleutels die we als leerkrachten niet zelf in handen hebben. Waar we zelf wél werk van kunnen maken, is het verder verbeteren van onze didactische aanpak op het vlak van algebra. Het is daarover dat deze loep gaat.

1.2.

Algebradidactiek optimaliseren

Rekenvaardigheid én inzicht We zijn niet de enige regio in de wereld die problemen vaststelt op het vlak van algebra. Integendeel, het lijkt wel alsof er geen landen zonder algebraproblemen bestaan. Als je het in internationaal perspectief bekijkt, zijn er eerder aanwijzingen dat het bij ons al bij al nog redelijk goed gaat. Klachten over gebrekkige algebraïsche vaardigheden van de leerlingen zijn trouwens ook van alle tijden. De moeilijkheden van leerlingen met algebra zijn al heel lang goed gedocumenteerd in de wetenschappelijke literatuur over wiskundedidactiek. Het is dus allerminst een nieuw gegeven.

Dat is natuurlijk geen excuus om ons zomaar hierbij neer te leggen. Per slot van rekening merken we dat de doelen die we zelf gesteld hebben niet bereikt worden. Wel leert het wijdverspreide en blijvende karakter van de moeilijkheden dat we ons moeten hoeden voor al te simpele oplossingen. Het wondermiddel om ervoor te zorgen dat leerlingen perfect presteren voor algebra lijkt vooralsnog niet uitgevonden te zijn… Als er iets duidelijk is uit wetenschappelijk onderzoek i.v.m. algebradidactiek, dan is het wel dat we niet uitsluitend mogen inzetten op het inoefenen van een aantal basisvaardigheden. Kieran (2007) schrijft in dat verband: [S]tudies over several decades ha[ve] shown that an exclusively skills-based approach to the teaching of algebra did not lead to skilled performance among algebra students […]. Nor, according to the ample number of studies of the late 1970s and 1980s, ha[ve] such approaches led to students’ being able to interpret adequately the various ways in which letters are used in algebra […], or the structural features of algebraic expressions […], or equivalence constraints on equations and equation solving […]. (p. 707)

We kennen het zelf ook wel uit onze eigen ervaring. Het leidt bijvoorbeeld tot leerlingen die

een vergelijking als (𝑥 − 2)(𝑥 − 3) = 5(𝑥 − 2) oplossen door eerst de haakjes uit te werken. Of die bij het zien van een kwadratische uitdrukking in een pavloviaanse reactie meteen een discriminant berekenen, ook als die helemaal niet nodig is. Of nog: leerlingen die machteloos staan als ze vaststellen dat ze een formule vergeten zijn. We mogen daarom niet uitsluitend inzetten op veelvuldig oefenen, maar moeten integendeel aansturen op een goede combinatie van rekenvaardigheid en inzicht in wat er moet gebeuren. Niet alleen leren met inzicht maar ook oefenen met inzicht

In de loep van Uitwiskeling 24/1 (winter 2008) over algebra met applets hebben we al uitgebreid met voorbeelden geïllustreerd hoe je bij het aanbrengen van de leerstof inzicht in algebra kunt ontwikkelen. Het ging in die loep bijvoorbeeld over het introduceren van letters om te veralgemenen, meetkundig voorstellen van bewerkingen en leren oplossen van tweedegraadsvergelijkingen. Het is zeker de moeite waard om deze loep terug ter hand te nemen. Nu willen we ons vooral toespitsen op een ander onderdeel van het leerproces, namelijk het inoefenen van wat geleerd is. Natuurlijk moet je na het aanbrengen van een techniek een zekere tijd reserveren voor het leren gebruiken ervan in directe toepassingen en het is ook belangrijk dat leerlingen voelen dat ze de techniek onder de knie hebben. Daarna moet je ‘verstandig oefenen’ door ervoor te zorgen dat je bij het oefenen een beroep blijft doen op inzicht. We geven in deze loep heel wat voorbeelden van wat dit ‘oefenen met inzicht’ zoal kan inhouden. We hebben ons gebaseerd op onze eigen ervaringen, maar vonden ook heel wat inspiratie in een artikel over oefenen in algebra van de hand van Martin Kindt (2006) en in het hoofdstuk over algebra in een pas verschenen handboek wiskundedidactiek (Drijvers & Kop, 2012). Wat je in deze loep vindt De peiling die de aanleiding was voor deze loep ging over de tweede graad aso. De voorbeelden en ideeën uit deze loep zijn echter ook van toepassing in andere contexten: de eerste graad, tweede graad kso en tso en algebra-achtige onderwerpen in de derde graad (zoals het berekenen van afgeleiden, het oplossen van exponentiële vergelijkingen …).


Onder de loep De loep is een menukaart geworden met veel kleine gerechtjes. De paragrafen zijn kort, maar het zijn er veel. Elke paragraaf werkt één gedachte uit of laat één manier zien om op een verstandige manier met algebra te oefenen. Sommige daarvan ken je misschien al en enkele andere spreken je misschien minder aan, maar we zijn ervan overtuigd dat je op onze menukaart ook een aantal gerechtjes zult vinden die je in je klaspraktijk zal verwerken!

2. Rekenregels moeten functioneel zijn Algebra bevat vele rekenregels en eigenschappen die leerlingen moeten kennen opdat ze succesvol kunnen rekenen, vergelijkingen kunnen oplossen, uitdrukkingen kunnen vereenvoudigen ... Maar zo’n rekenregel is niet in elke situatie per se functioneel, bijvoorbeeld omdat je de opgave soms eenvoudiger op een andere manier kunt oplossen. We vermelden twee voorbeelden om dit te illustreren. De distributieve eigenschap speelt een belangrijke rol in de algebra van de eerste graad. Zo moet je bij een som of verschil met letters of met wortels deze eigenschap wel gebruiken om tot een resultaat te komen: −4(2𝑥 + 3𝑦) = −4 ∙ 2𝑥 − 4 ∙ 3𝑦 = −8𝑥 − 12𝑦 3𝑎 − 2𝑎 + 7𝑎 = (3 − 2 + 7)𝑎 = 8𝑎

5√2 − 11√2 = (5 − 11)√2 = −6√2

Ook als de opgave louter uit ‘gewone’ getallen bestaat, kan distributiviteit soms zinvol toegepast worden, zoals bijvoorbeeld in 8 ∙ 89 = 8 ∙ (90 − 1) = 8 ∙ 90 − 8 ∙ 1 = 720 − 8 = 712.

Vaak is het toepassen van distributiviteit echter juist niet efficiënt: 10 ∙ (5 + 4) = 10 ∙ 5 + 10 ∙ 4 = 50 + 40 = 90 versus 10 ∙ (5 + 4) = 10 ∙ 9 = 90.

We moeten dus voorkomen dat leerlingen bij het zien van haakjes automatisch die haakjes willen ‘wegwerken’ via distributiviteit. Hiervoor is het belangrijk om zinvolle voorbeelden te kiezen zowel bij het aanbrengen van de eigenschap als bij het inoefenen ervan. Het laatste voorbeeld kan wel zinvol zijn als leerlingen in een latere fase twijfelen aan de rekenregel en die willen


testen door getallen in te vullen, maar dan werk je best met kleinere getallen, zoals: 2 ∙ (3 + 4). In paragraaf 4 komt dit aspect opnieuw aan bod.

In sommige handboeken vind je de rekenregel 𝑎 𝑐 𝑎𝑑+𝑏𝑐 + = . Deze regel is natuurlijk niet 𝑏 𝑑 𝑏𝑑 foutief, maar in de praktijk ga je zo niet te werk. Je past niet de formule toe, maar gebruikt een algoritme: je vereenvoudigt eerst de afzonderlijke breuken en maakt ze dan gelijknamig door het kleinste gemene veelvoud van de noemers te nemen. In vele gevallen is die overigens zelfs niet gelijk aan bd. Het heeft dan ook weinig zin om deze regel te vermelden.

3. Algebra maakt moeilijke zaken eenvoudig We leiden dit aspect in met een mooi citaat van Tall en Thomas (1991): There is a stage in the curriculum when the introduction of algebra may make simple things hard, but not teaching algebra will soon render it impossible to make hard things simple. (p. 128)

Leerlingen kunnen in de basisschool al heel wat problemen oplossen zonder gebruik te maken van algebraïsche uitdrukkingen. In het secundair onderwijs worden (eenvoudige) vraagstukken aangepakt via het opstellen en oplossen van een vergelijking. We zouden meer zorg moeten besteden aan het maken van deze overgang, waarbij we beide methoden met elkaar verbinden. De oplossingsmethoden uit de basisschool zijn niet minderwaardig aan die uit het secundair. Eenvoudige problemen kun je vaak op beide manieren oplossen en dan is de algebraloze manier meestal efficiënter. Moeilijkere problemen kun je daarentegen beter met algebra oplossen. Door dit expliciet te laten zien, zet je het nut en de kracht van de algebraïsche oplossingsmethode in de verf.

De volgende werktekst illustreert dit. We gaan ervan uit dat het werken met een onbekende en een vergelijking vooraf al aangebracht is. Omdat er in de vraagstelling ook aandacht is voor andere methoden, kunnen de leerlingen zelf vergelijken en de meerwaarde ontdekken van de formele aanpak.

Onder de loep begin werktekst

Problemen oplossen via een onbekende en een vergelijking De som van 9 en het dubbele van een getal is 87. Bereken dit getal. 1. 2.

Los dit probleem op door een onbekende te kiezen, hiermee een vergelijking op te stellen en deze op te lossen. Je kunt het probleem ook oplossen zonder gebruik te maken van een vergelijking. Hoe?

Antwoord: als je van 87 het getal 9 aftrekt en het resultaat deelt door 2, krijg je het gevraagde resultaat.

Als je een getal deelt door 3 en daar dan 2 bij optelt, verkrijg je 1.

3.

Los ook dit probleem op zonder een vergelijking op te stellen.

Antwoord: als je van 1 het getal 2 aftrekt en het resultaat vermenigvuldigt met 3, krijg je het gevraagde resultaat.

Lies en Hans krijgen een geschenkbon van € 400 voor een citytrip naar Barcelona. Het vervoer kost € 130 en voor de hotelkamer wordt € 90 per nacht aangerekend. Hoeveel nachten kunnen ze in het hotel verblijven? 4.

Los dit nieuwe probleem op twee verschillende manieren op, een keer zonder vergelijking en een keer met vergelijking.

5.

Kun je dit probleem oplossen zonder een vergelijking op te stellen? Zo ja, doe dit en vergelijk je resultaat met het antwoord op vraag 6. Zo nee, ga dadelijk naar vraag 6.

Bij laagwaterstand steekt een paal voor een derde boven het water uit. Bij hoogwaterstand is het water 50 cm gestegen ten opzichte van de laagwaterstand en steekt de paal voor slechts een vijfde boven het water uit. Bepaal de lengte van de paal. 6.

Bereken de lengte van de paal met behulp van een vergelijking. 2

4

1

1

Antwoord: 𝑥 + 50 = 𝑥 of 𝑥 − 50 = 𝑥 naargelang je verwijst naar het deel onder water of het 3 5 3 5 deel boven water, met 𝑥 = lengte van de paal.

Los de volgende problemen op. Kies zelf of je dat met of zonder vergelijking doet. 7. 8.

Wielrenner Bram volgt een strikt trainingsschema. De eerste dag fietst hij een opgelegde afstand en vanaf dan moet hij elke dag 3 km meer fietsen. Na vijf dagen heeft hij in totaal al 150 km gefietst. Welke afstand fietste Bram de eerste dag? De som van drie opeenvolgende gehele getallen is 27. Geef het kleinste getal.


Onder de loep 9.

Een motorrijder had in totaal twee uren nodig om 187,5 km af te leggen. Op de autosnelweg reed hij met een gemiddelde snelheid van 110 km/h en in de bebouwde kom haalde hij gemiddeld 45 km/h. Hoeveel tijd reed hij respectievelijk op de autosnelweg en in de bebouwde kom?

10. Maarten heeft vandaag 42 km meer gereden dan het dubbel van het aantal kilometer dat hij gisteren aflegde. Gisteren en vandaag reed hij in totaal 222 km. Hoeveel km reed hij gisteren? einde werktekst

De eenvoudige problemen uit de werktekst kunnen zonder vergelijking opgelost worden via de ‘omkeermethode’: vertrek vanuit het resultaat en voer de ‘omgekeerde’ bewerkingen in de aangepaste volgorde uit. Via de vragen 1 en 2 kun je aantonen dat bij het oplossen van de vergelijking net dezelfde stappen toegepast worden als bij de omkeermethode. Bij de moeilijkere voorbeelden uit de werktekst lijkt het opstellen en oplossen van een eerstegraadsvergelijking echter de meest efficiënte methode. Laat leerlingen dus zeker de meerwaarde ontdekken van deze formele aanpak, vooraleer je reeksen eerstegraadsvergelijkingen laat oplossen. Ook nadat leerlingen ingewijd zijn in het werken met onbekenden en vergelijkingen, is het goed om hen te blijven herinneren aan het nut van het algebraïsch werken. Een goede afwisseling tussen 'droge' vergelijkingen en vraagstukken oefent zowel de algebraïsche vaardigheid als het inzicht. Leerlingen mogen bij eenvoudige opgaven natuurlijk ook de omkeermethode gebruiken. Ze moeten reflexen ontwikkelen om de meest efficiënte strategie toe te passen, ook al is dat niet de methode die net in de les aan bod kwam. Het is echter mogelijk dat leerlingen zelfs bij eenvoudige voorbeelden met een vergelijking willen werken, omdat deze aanpak hen een houvast geeft. Overigens geldt flexibiliteit ook binnen de algebraïsche oplossingsmethoden zelf. Het probleem in vraag 9 kun je oplossen met één onbekende en één vergelijking, waardoor het in de eerste graad al aan bod kan komen. Zodra je hebt leren werken met 2×2-stelsels kun je het ook met twee onbekenden en twee vergelijkingen oplossen.

4. Van abstract terug naar concreet Niet iedereen onthoudt en redeneert op dezelfde manier. De ene onthoudt een formule best in symbolen, een andere heeft meer aan de formulering in woorden. Nog anderen zijn eerder grafisch ingesteld: een beeld zegt voor hen zoveel meer dan woorden. Sommige leerlingen 20 | Uitwiskeling 29/1 − winter 2013

herinneren ‘sprekende’ voorbeelden, anderen zullen bij twijfel een formule narekenen. Door aandacht te hebben voor deze verschillende voorstellingsvormen helpen we onze leerlingen om inzicht op te bouwen. Je moet dat uiteraard doen bij het aanbrengen van de leerstof, maar het is even belangrijk om er later naar terug te grijpen, bijvoorbeeld op momenten dat leerlingen nog fouten maken. Algebra mag dan wel als wezenlijk kenmerk hebben dat het concrete dingen abstract maakt, toch is het zo dat wie problemen heeft met algebra, vaak een oplossing vindt in de omgekeerde weg: maak het abstracte opnieuw concreet. We illustreren dit met een aantal voorbeelden. Zien

Bij het oplossen van een eerstegraadsvergelijking moet je vaak de distributieve eigenschap gebruiken (haakjes uitwerken), wat eenvoudig meetkundig geïllustreerd wordt via de oppervlakte van rechthoeken.

3(𝑥 + 2) = 3𝑥 + 6

Dezelfde meetkundige voorstelling kan ook gebruikt worden om de formule voor het kwadraat van een éénterm, een tweeterm en eventueel ook een drieterm te visualiseren (zie figuur 1). Ook aan de derdemacht van een tweeterm kun je een meetkundige interpretatie geven (zie figuur 2). Je kunt leerlingen van de bovenstaande voorbeelden een memofiche of poster laten maken. Op die manier visualiseer je eigenschappen en formules op twee verschillende manieren (meetkundige illustratie en formule in symbolen). Zo vergroot je ook de kans dat minstens één aanpak een plaats in het geheugen krijgt. Natuurlijk kun je hiernaar ook verwijzen als leerlingen de

Onder de loep formule foutief toepassen (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 𝑏 2 ).

(bijvoorbeeld:

Soms helpt een concrete interpretatie om leerlingen een fout te laten inzien. Als leerlingen bij1 1 1 = + , vraag hen dan voorbeeld denken dat 𝑎+𝑏 𝑎 𝑏 welk stuk van een lekkere pizza ze liefst hebben: 1 1 1 of + ? Gegarandeerd dat ze in gedachten 2+3 2 3 de stukken pizza zien ...

Maar soms kennen leerlingen zo’n formule niet meer of twijfelen ze aan de juistheid ervan. Sommigen blijven dan staren naar hun blad papier of halen moedeloos de schouders op. In tegenstelling echter tot vele formules uit andere wetenschappen die je gewoon uit het hoofd moet kennen, hebben formules in de wiskunde vaak het voordeel dat je niet machteloos bent als je ze vergeten bent. Door op een gepaste manier aan het rekenen te gaan, kun je ze vaak terugvinden. We illustreren dit met enkele voorbeelden: •

Narekenen Om efficiënt te kunnen werken, moet je sommige formules memoriseren (uit het hoofd kennen).

voorbeeld 1: (𝑎 + 𝑏)2 =? Hier vind je de oplossing via de betekenis van een kwadraat: gewoon het grondtal met zichzelf vermenigvuldigen: (𝑎 + 𝑏)2 = (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏𝑎 + 𝑏 2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2

Figuur 1

Figuur 2


Onder de loep

•

•

voorbeeld 2: (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 𝑏 2 ? Narekenen met concrete getallen toont hier al gauw dat de formule niet kan kloppen: (2 + 3)2 = 52 = 25 terwijl 2 2 + 32 = 4 + 9 = 13. Leerlingen moeten wel de beperking van deze werkwijze kennen: als het voor een concreet voorbeeld wél klopt, is dit nog geen bewijs dat het voor alle getallen klopt.

voorbeeld 3: 𝑎𝑚 ∙ 𝑎𝑛 = 𝑎? en (𝑎𝑚 )𝑛 = 𝑎? Hier laat een sprekend voorbeeld de kern van het bewijs zien, althans voor het geval dat de exponenten natuurlijke getallen zijn: ∙𝑎 ∙� 𝑎� ∙� 𝑎�∙� 𝑎 𝑎2 ∙ 𝑎3 = 𝑎� 2 factoren

3 factoren

�� =𝑎 ∙� 𝑎�� ∙ 𝑎 ∙� 𝑎�� ∙𝑎 =𝑎

en

2+3 factoren

2+3

= 𝑎5

3 (𝑎3 )2 = 𝑎�� ∙ 𝑎3

2 factoren

=� 𝑎� ∙� 𝑎�∙� 𝑎∙� 𝑎� ∙� 𝑎�∙� 𝑎 �� 3 factoren 3 factoren 2 factoren

�� =𝑎 ∙𝑎∙𝑎∙𝑎∙𝑎∙𝑎 =𝑎

2∙3

2∙3 factoren

= 𝑎6

5. Vergelijkingen interpreteren met grafieken Vóór de tijd van de moderne wiskunde namen functies een veel minder prominente plaats in dan nu. Toen werden vergelijkingen en ongelijkheden los van functies bestudeerd. Toch is het mogelijk om de band tussen functies en vergelijkingen nog meer uit te spelen. De onderstaande werktekst toont dit. Deze werktekst kan in een vierde jaar gebruikt worden. De eerste zes vragen kunnen afzonderlijk ook al in een derde jaar aan bod komen.

begin werktekst

Oplossingen van een vergelijking zien 1.

2. 3.

Los op: 2𝑥 − 2 = −𝑥 + 4.

Je vond één oplossing. Verklaar dit vanuit de grafische interpretatie.

Antwoord: via de bovenstaande vergelijking bereken je de 𝑥-coördinaat van de snijpunten van twee rechten. Een stijgende en een dalende rechte hebben één snijpunt Wat gebeurt er grafisch als je de constante term in het rechterlid (+ 4) wijzigt?


Onder de loep Antwoord: de dalende rechte verschuift verticaal, waardoor het snijpunt ook verschuift, maar er blijft één snijpunt bestaan. 4.

5.

Wat gebeurt er grafisch als je de richtingscoëfficiënt in het rechterlid wijzigt?

Antwoord: de rechte zal steiler of minder steil worden. Als de coëfficiënt van 𝑥 nul wordt, krijgen we een horizontale rechte. Als deze coëfficiënt positief wordt, zal ook de tweede rechte stijgend zijn. We blijven één snijpunt vinden, tenzij de coëfficiënt van 𝑥 gelijk wordt aan 2 wordt. In dat geval vinden we geen snijpunt; zie ook vragen 5 en 6. Los op: 2𝑥 − 2 = 2𝑥 + 1.

6.

Antwoord: twee evenwijdige rechten die niet samenvallen, hebben geen snijpunt.

7.

Los op: (𝑥 − 1)2 + 4 = 2.

8.

9.

Verklaar het aantal gevonden oplossingen vanuit de grafische interpretatie.

Verklaar ook nu het aantal gevonden oplossingen vanuit de grafische interpretatie.

Antwoord: een dalparabool met minimum (1, 4) en een horizontale rechte op hoogte 2 snijden elkaar niet.

Wat gebeurt er als de term ‘+ 4’ in het linkerlid groter wordt? Geef een concrete interpretatie.

Antwoord: als de constante term groter wordt, blijft de vergelijking vals. De dalparabool komt immers nog hoger te liggen, dus zal de horizontale rechte zeker niet gesneden worden.

10. Vermeld voor welke waarden van c de vergelijking (𝑥 − 1)2 + 𝑐 = 2 niet meer vals is. Geef opnieuw een concrete interpretatie.

Antwoord: als c ≤ 2, dan is de vergelijking niet meer vals. De dalparabool is gezakt, waardoor de horizontale rechte een raaklijn (c = 2) of een snijlijn (c < 2) wordt.

Als je de vergelijking 𝑥 2 + 4𝑥 + 5 = 2𝑥 + 5 oplost, vind je twee oplossingen. De stijgende rechte in het rechterlid snijdt de dalparabool in het linkerlid in twee punten.

11. Verplaats de rechte nu evenwijdig totdat ze raakt aan de parabool. Hoe vertaal je dit algebraïsch? Antwoord: de discriminant van de vierkantsvergelijking is gelijk aan nul.

12. Verplaats de rechte evenwijdig totdat ze de parabool helemaal niet meer snijdt of raakt. Hoe vertaal je dit algebraïsch?

6. Loskomen van standaardoplossingsmethoden Voor een aantal standaardproblemen leren we in de wiskundeles standaardoplossingsmethoden. Zo kun je een tweedegraadsvergelijking altijd oplossen met de discriminant. Vaak is het dan verleidelijk om die standaardoplossingsmethode begin werktekst

einde werktekst

altijd toe te passen. Toch is dat lang niet altijd de handigste manier. Vóór het aanbrengen van de discriminantmethode wordt daar vaak al op ingegaan (welke tweedegraadsvergelijkingen kunnen we al oplossen?). De onderstaande werktekst is bedoeld voor nadien. We laten de leerlingen terug loskomen van de standaardmethode die ze ondertussen geleerd en ingeoefend hebben.

Tweedegraadsvergelijkingen oplossen kan soms ook (beter?) zonder discriminant 1.

Bij de volgende vergelijkingen zou je de haakjes kunnen uitwerken en daarna de vergelijking met de discriminant oplossen. Laat zien dat je ze op een veel efficiëntere manier kunt oplossen.


Onder de loep

2. 3.

a. b. c.

(𝑥 − 3)(2𝑥 − 1) = 0 (𝑥 − 3)(6𝑥 − 3) + (2 − 5𝑥)(2𝑥 − 1) (𝑥 − 3)(6𝑥 + 3) = (2 − 4𝑥)(2𝑥 + 1)

Kun je de vergelijking (𝑥 − 3)(2𝑥 − 1) = 12 ook oplossen zoals in oefening 1.a?

Antwoord: uit A·B = 0 volgt dat A = 0 of B = 0 maar voor rechterleden die verschillend zijn van 0 geldt een soortgelijke eigenschap niet. Arne loste de vergelijking uit oefening 1.c op door links en rechts te delen door 2𝑥 + 1. Probeer dat ook eens en geef commentaar.

4.

Los de volgende vergelijkingen op door vierkantswortels te trekken:

5.

Los de volgende tweedegraadsvergelijkingen op door het linkerlid (indien mogelijk!) te herschrijven met behulp van een merkwaardig product of door een gemeenschappelijke factor af te zonderen:

6.

Bereken de discriminant van de vergelijkingen c, d en e uit de vorige oefening. Zijn je oplossingen van deze vergelijkingen in overeenstemming met de waarde van de discriminant?

7.

8.

a. b. c. d. e. f. g.

𝑥2 = 9 4𝑥 2 = 9 4(𝑥 − 1)2 = 9 4(𝑥 − 1)2 + 5 = 9 4(𝑥 − 1)2 + 7 = 9 4(𝑥 − 1)2 + 9 = 9 4(𝑥 − 1)2 + 11 = 9

a. b. c. d. e.

4𝑥 2 + 4𝑥 + 1 = 0 4𝑥 2 − 12𝑥 + 9 = 0 4𝑥 2 − 12𝑥 = 0 4𝑥 2 − 9 = 0 4𝑥 2 + 9 = 0

Antwoord: bij dergelijke onvolledige vergelijkingen maken veel leerlingen een fout bij het berekenen van de discriminant: voor de ontbrekende termen nemen ze de coëfficiënt gelijk aan 1 i.p.v. 0.

De vergelijkingen 4.b en 5.d zijn eigenlijk dezelfde. Welke methode verkies je?

Vervang de rechterleden van de vergelijkingen uit oefening 5 door 16 en los deze nieuwe vergelijkingen op. Vier van deze vergelijkingen kun je beter zonder discriminant oplossen. Voor één vergelijking kun je beter de discriminant gebruiken.

Het komt wel vaker voor dat er verschillende methodes bestaan om eenzelfde soort problemen op te lossen en dat elke methode zijn voordelen heeft, afhankelijk van de precieze vorm van het probleem. Een mooie manier om hier op te oefenen, is dat je je leerlingen een aantal oefeningen opgeeft en hen vraagt om deze oefeningen op te lossen waarbij ze elke methode maar één keer mogen gebruiken.

Soms zit de flexibiliteit in heel kleine zaken. We geven een voorbeeld over het oplossen van ongelijkheden van de eerste graad. Als je bij de ongelijkheid 5 − 2𝑥 < 3 + 𝑥 vasthoudt aan de regel dat je alle termen met 𝑥 naar het linkerlid moet brengen en alle termen zonder 𝑥 naar het rechterlid, dan krijg je −3𝑥 < −2. Hier is het


einde werktekst

juist eenvoudiger om de termen met 𝑥 naar het rechterlid te brengen, zodat je geen mintekens krijgt.

Correct leren toepassen van één standaardmethode of flexibel gebruik maken van verschillende methoden zal altijd wel een zaak blijven van het afwegen van voor- en nadelen van beide opties. Voor sommige leerlingen is het belangrijker dat ze er gerust in kunnen zijn dat ze de oplossing wel zullen vinden en dan is het misschien beter hen de standaardmethode te laten toepassen, ook in gevallen waarin dat niet de meest efficiënte methode is. Anderzijds: voor de standaardmethode moet je soms veel meer rekenwerk uitvoeren en dat geeft dan weer een grotere kans op rekenfouten (zoals we bijvoor-

Onder de loep beeld verwachten in de zesde opgave uit de werktekst).

Drijvers en Kop (2012) maken een onderscheid tussen algebraïsche basisvaardigheden en symbol sense. Het foutloos kunnen uitvoeren van standaardprocedures valt onder de algebraïsche basisvaardigheden. Dat is uiteraard een nodige voorwaarde om goed met algebra overweg te kunnen, maar uit de praktijk en uit onderzoek blijkt dat er meer nodig is dan dat. Een overzicht hebben van verschillende oplossingstechnieken en daar flexibel uit kunnen kiezen is een van de facetten van symbol sense, de ‘algebraïsche expertise […] die, veelal op de achtergrond zonder dat we ons daarvan bewust zijn, de uitvoering van de basisroutines stuurt en het inzicht in de onderliggende concepten omvat.’ (Drijvers & Kop, 2012, p. 65-66). Andere aspecten van symbol sense zijn bijvoorbeeld: inzicht hebben in de structuur van algebraïsche uitdrukkingen (zie volgende paragraaf) en kunnen weerstaan aan verleidelijke ‘foutieve rekenregels’. Als we pleiten voor ‘oefenen met inzicht’ bedoelen we dat in de oefeningen algebraïsche vaardigheden en symbol sense samen moeten gaan.

7. Globaal kijken naar uitdrukkingen Nog zo’n kwadratische vergelijking waarbij je best even goed kijkt vóór je in actie schiet, is (3𝑥 − 2)2 − 5(3𝑥 − 2) + 6 = 0. Hier komt het erop aan de uitdrukking 3𝑥 − 2 tijdelijk als één object te zien en deze uitdrukking dan bijvoorbeeld te vervangen door een hulponbekende u. Hierdoor wordt de globale structuur van het linkerlid (een veelterm van de tweede graad in u) zichtbaar. Algebraïsche vaardigheid hangt heel dikwijls af van het inzicht in de structuur van uitdrukkingen. We geven nog enkele voorbeelden: •

•

Om het domein van de functie 𝑓: 𝑦 = √2 − 𝑥 te bepalen, moet je beseffen dat de vierkantswortel getrokken wordt uit 2 − 𝑥 en dat de voorwaarde dus is dat 2 − 𝑥 ≥ 0, en dus niet dat 𝑥 ≥ 0. Ook hier kan het helpen om de 2 − 𝑥 te vervangen door een hulpveranderlijke 𝑢.

4𝑥 2 + 3𝑥 is een som. Als je de gemeenschappelijke factor vooropzet, krijg je 𝑥(4𝑥 + 3), wat een product is. Bij het

•

•

ontbinden in factoren zet je sommen om in producten. De uitdrukking (3𝑥 + 2)2 − (2𝑥 − 3)2 is in eerste instantie een verschil en de twee termen van dat verschil zijn kwadraten. De uitdrukking is dus een verschil van twee kwadraten. Dit inzicht is nodig om in te zien dat je hier kunt ontbinden in factoren met de regel 𝑎2 − 𝑏 2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏). Hier hebben we de uitdrukking in twee stappen ‘van buiten naar binnen’ geanalyseerd: eerst zagen we een verschil en daarna zagen we dat beide termen een kwadraat waren.

Als je de grafiek van 𝑓: 𝑦 = 𝑥 3 transformeert tot die van 𝑔: 𝑦 = 2𝑥 3 − 1, zet je dezelfde stappen als wanneer je de grafiek van f transformeert tot die van ℎ: 𝑦 = 2(𝑥 3 − 1), maar de volgorde is verschillend. Ook hier analyseren we de uitdrukkingen van buiten naar binnen.

In de uitdrukking ln(100 ∙ 1.05𝑡 ) gaat de aandacht van de leerlingen (van de derde graad) vaak in eerste instantie naar de macht. Ze passen dan de regel toe voor de logaritme van een macht en doen tegelijk iets onduidelijks met de factor 100. Voor het correct herschrijven van de uitdrukking is het echter juist belangrijk dat de leerlingen zich realiseren dat het argument van de logaritme in eerste instantie een product is. Je moet dus eerst de rekenregel voor de logaritme van een product toepassen en pas nadien (in de logaritme van de tweede factor) de rekenregel voor de logaritme van een macht. Er zijn nog veel meer voorbeelden te geven van plaatsen waar inzicht in de structuur van uitdrukkingen nodig is: bij het berekenen van afgeleiden en integralen, bij het bewijzen van goniometrische identiteiten, bij het oplossen van vergelijkingen …

•

Kleine didactische hulpmiddeltjes, het gebruiken van kadertjes op het bord op strategische momenten zoals in (3𝑥 + 2)2 − (2𝑥 − 3)2 en (3𝑥 + 2) 2

kunnen leerlingen op weg helpen om deze structuur te zien. Ook kun je leerlingen deze structuur nu en dan laten verwoorden. Op www.wisweb.nl vind je twee mooie applets, namelijk ‘Algebra Expressies’ en ‘Algebra Pijlen’ waarmee je leerlingen kunt laten oefenen. In de schermafdruk hieronder (zie figuur 3) zie je aan de linkerkant hoe de uitdrukking (3𝑥 + 2)2 − (2𝑥 − 3)2 Uitwiskeling 29/1 − winter 2013 | 25

Onder de loep

Figuur 3

opgebouwd werd. Rechts bovenaan zie je (wat efficiënter uitgewerkt, zonder zichtbare tussenresultaten) de uitdrukking die je na het ontbinden in factoren en vereenvoudigen vindt. Rechts onderaan lieten we ter controle een tabel maken met waarden voor het verschil tussen beide uitdrukkingen.

8. Algebra inzetten om patronen te beschrijven Algebraïsche uitdrukkingen lenen zich uitstekend om patronen te beschrijven. Patroonbegin werktekst

Verrassende resultaten 1.

Controleer de resultaten in de regels hieronder:

2.

Geef de volgende drie regels.

3.

1 + 9 + 1 ∙ 9 = 19 2 + 9 + 2 ∙ 9 = 29 3 + 9 + 3 ∙ 9 = 39

Hoe kun je dit patroon verklaren?


herkenning komt in het secundair onderwijs expliciet aan bod in het hoofdstuk over rijen. Deze vaardigheid is prima om ‘inzichtelijk kijken’ te bevorderen. In de werktekst op de volgende bladzijde nemen we een aantal opgaven uit Kindt (2006) over die tonen hoe je dit ook in andere hoofdstukken kunt inlassen. Bij deze opgaven moeten leerlingen niet enkel het patroon herkennen en nadien zelf in staat zijn om het schema verder te zetten. Vaak wordt naar een verklaring gevraagd. Bij de veralgemening en verklaring kan algebra een goed hulpmiddel zijn. We verwerken alle opgaven in één werktekst, maar je kunt de deelopgaven ook apart aanbieden.

Onder de loep

4. 5.

6.

Antwoord: als je het bovenstaand patroon veralgemeent en de formule uitrekent, dan heb je een verklaring: 𝑥 + 9 + 𝑥 ∙ 9 = 10𝑥 + 9 . 1

1

Reken na dat �1 − � ∙ �1 + � = 1. 3

2

Vul nu zelf de resultaten in van de volgende drie opgaven en vervolledig het schema met twee dergelijke opgaven. 1 1 �1 − � ∙ �1 + � = 4 3 1 1 �1 − � ∙ �1 + � = 5 4 1 1 �1 − � ∙ �1 + � = 6 5

Wat merk je op? Geef hiervoor een verklaring.

Antwoord: het resultaat is telkens 1. Ook hier zul je via de veralgemening van het schema de verklaring 1 1 𝑛−1 𝑛 �= ∙ = 1. vinden: �1 − � ∙ �1 + 𝑛

𝑛−1

𝑛

𝑛−1

7.

Controleer de gegeven berekeningen en voeg twee regels toe.

8.

Geef een soortgelijke berekening die veel verder in de rij zou staan als je deze zou verderzetten.

9.

1∙2−0∙3 =2 2∙3−1∙4 =2 3∙4−2∙5 =2 4∙5−3∙6 =2 5∙6−4∙7 =2

Waarom kom je telkens 2 uit? Geef een verklaring.

Antwoord: Er zijn meerdere mogelijkheden om het linkerlid te veralgemenen: 𝑛 ∙ (𝑛 + 1) − (𝑛 − 1) ∙ (𝑛 + 2) of (𝑛 + 1) ∙ (𝑛 + 2) − 𝑛 ∙ (𝑛 + 3) of … Uitwerking van deze uitdrukkingen geeft telkens als resultaat 2.

10. Bereken achtereenvolgens: 152 − 10 ∙ 20 252 − 20 ∙ 30 352 − 30 ∙ 40

11. Wat merk je op? Geef hiervoor een verklaring.

Antwoord: het resultaat is telkens 25. De onderstaande veralgemening van het schema geeft de verklaring en toont zelfs dat de getallen van de tweede term enkel 10 moeten verschillen, maar zelf geen veelvouden van 10 hoeven te zijn: (𝑛 + 5)2 − 𝑛 ∙ (𝑛 + 10) = 𝑛2 + 10𝑛 + 25 − 𝑛2 − 10𝑛 = 25. einde werktekst

Vaak gebruiken we concrete getallen om een formule uit algebra te begrijpen. Bij de opgaven uit de werktekst redeneren we omgekeerd: we stellen iets vast bij getallen en gebruiken de algebra om het te begrijpen.

In de bovenstaande werktekst merkte je dat algebra gebruikt wordt om patronen te beschrijven en te verklaren. Dit lukt echter niet bij alle patronen. Een gekend voorbeeld waarbij het juist een meetkundige voorstelling is die een verklaring biedt, vind je hieronder.

n ⋅ ( n + 1) 1 + 2 + ... + n = 2


Onder de loep

9. Variatie in de vraagstelling In deze paragraaf en de volgende twee inspireerden we ons op een artikel van Kindt (2006). Het doel van het artikel loopt gelijk met dat van ons: tonen hoe je het oefenen in algebra kunt combineren met het verdiepen van inzicht.

Kindt pleit voor variatie in de vraagvorm, onder andere met het argument dat het leerlingen alert houdt en hen uiteindelijk meer bijleert (ook al vinden leerlingen het zelf vaak wel leuk als ze een rijtje oefeningen kunnen afwerken zonder teveel te moeten nadenken). We laten hieronder een voorbeeld zien van een dergelijke variatie aan oefeningen in verband met het vermenigvuldigen van twee uitdrukkingen van de eerste graad. De oefeningen zijn gebaseerd op wat we bij Kindt lazen.

In de eerste oefening wordt het rechthoeksmodel voor het vermenigvuldigen gebruikt: vermenigvuldigen wordt verbonden met oppervlakte van rechthoeken. We delen de grote rechthoek met zijden 𝑥 + 3 en 𝑥 + 5 (links in de figuur) op in deelrechthoeken die overeenkomen met producten die je tegenkomt wanneer je distributiviteit toepast. Aan de leerlingen vragen we om in elke rechthoek de oppervlakte te schrijven in de vorm van het product van de lengte en breedte van de rechthoek).

Onterecht, want het geeft een mooie alternatieve manier om het product te berekenen:

𝑥

2

𝑥2

𝑥 𝑥

3𝑥 + 5𝑥 + 8𝑥

+ +

5 3

+ 15 + 15

Hieronder zie je nog een andere vorm waarin je bewerkingen met veeltermen kunt aanbieden. Hierbij wordt de structuur van de te berekenen uitdrukking gevisualiseerd op een manier die nauw aansluit bij paragraaf 7.

In de laatste oefening die we tonen, moeten de leerlingen in het linkerlid haakjes plaatsen, indien nodig, zo dat de gelijkheid opgaat:

𝑥 + 5 ∙ 𝑥 + 3 = 6𝑥 + 3 𝑥 + 5 ∙ 𝑥 + 3 = 6𝑥 + 15 𝑥 + 5 ∙ 𝑥 + 3 = 𝑥 2 + 5𝑥 + 3 𝑥 + 5 ∙ 𝑥 + 3 = 𝑥 2 + 8𝑥 + 15

10. Omkeervragen In de vermenigvuldigingstabel hieronder is de verwijzing naar de oppervlakte van rechthoeken verdwenen. De ‘dubbele distributiviteit’ wordt nog steeds mooi verbeeld, maar nu zonder de tussenstap(pen). We laten leerlingen een ander product van twee eerstegraadsveeltermen hiermee uitwerken. Dit kun je natuurlijk uitbreiden tot veeltermen met een hogere graad. × 𝑥 3

𝑥 𝑥2 3𝑥

5 5𝑥 15

Voor de deling van veeltermen gebruiken we in de secundaire school hetzelfde algoritme als in de lagere school voor getallen. Voor de vermenigvuldiging is dat niet gebruikelijk.


In deze paragraaf gaat het niet om de ‘omkeermethode’ uit de derde paragraaf, waarbij een oplossing van een vergelijking gevonden wordt via het terugwaarts berekenen, maar om een manier om de vraagstelling te variëren. Omkeervragen zijn vragen waarbij het resultaat gegeven is en de leerlingen de (een) oorspronkelijke opgave moeten zoeken. We geven enkele voorbeelden uit Kindt (2006): 1. 2.

Bedenk twee breuken met ongelijke 14 noemers waarvan de som gelijk is aan . 15

Bedenk twee breuken met ongelijke noemers waarvan het product gelijk is aan 14 . 15

Onder de loep 3.

4.

5.

Vul passende veelvouden van 𝑥 of 𝑦 in: (⋯ + ⋯ ) + (⋯ + ⋯ ) = 12𝑥 + 5𝑦 Vul passende getallen in: (𝑥 + 8) ∙ (𝑥 + ⋯ ) = 𝑥 2 + 19𝑥 + ⋯.

Bedenk een vergelijking waarvan 9 en –10 de enige oplossingen zijn.

Vaak zijn er meerdere antwoorden mogelijk, wat het interessant maakt voor leerlingen die trager zijn. Het feit dat de oplossing niet eenduidig bepaald is, nodigt ook uit tot een klasgesprek of verder onderzoek.

11. Slimme rijtjes Als je oplossingstechnieken indrillt, maak je rijtjes opgaven waarin je telkens dezelfde standaardtechniek toepast. Bij het ‘oefenen met inzicht’ zorgt de leraar voor slimme rijtjes. Daarbij staan de opeenvolgende oefeningen met elkaar in verband. Het verband of contrast met de vorige opgave(n) heeft als bedoeling om bij te dragen aan het verder ontwikkelen van inzicht. We illustreren dit aan de hand van twee voorbeelden.

In een eerste rijtje wordt aan de leerlingen gevraagd om kwadraten en producten uit te werken m.b.v. de merkwaardige producten. We hebben goede ervaringen met dit rijtje: leerlingen denken inderdaad na over het verband tussen de verschillende opgaven, ze komen spontaan met verschillende varianten voor de oplossing van bepaalde oefeningen … Omdat de opgaven met elkaar in verband staan, is het geen goed idee om er enkele oefeningen uit te pikken en de andere over te slaan. Je hoeft de oefeningen daarom niet allemaal volledig uit te werken. Je kunt leerlingen bijvoorbeeld vragen om alleen de eerste stap in de uitwerking te zetten. Hier kun je bijvoorbeeld ook vragen welke oefeningen dezelfde uitkomst hebben, welke een tegengestelde oplossing hebben …

1.

(𝑥 + 2)2

3.

(−𝑥 + 2)2

2.

(𝑥 − 2)2

4.

(−𝑥 − 2)2

6.

(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)

5. 7. 8.

−(𝑥 − 2)2

(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)

(𝑥 + 2)(−𝑥 + 2)

9.

(−𝑥 + 2)(−𝑥 + 2)

10. (𝑥 + 2)(−𝑥 − 2)

Het tweede rijtje is volgens hetzelfde principe opgebouwd. Hierin moeten de leerlingen de uitdrukkingen ontbinden in factoren. De uitdrukkingen lijken nogal op elkaar (bijvoorbeeld omdat dezelfde getallen gebruikt worden), maar de toe te passen methoden zijn telkens verschillend. 1.

16𝑥 2 + 24𝑥

2.

16𝑥 2 + 24𝑥 + 9

4.

16𝑥 4 + 24𝑥 2 + 9

6.

16𝑥 2 − 9

8.

16𝑥 4 − 9𝑥 2

3. 5.

7. 9.

16𝑥 4 + 24𝑥 3 + 9𝑥 2 16𝑥 2 + 9

16𝑥 4 − 9

16𝑥 4 − 9𝑥 3

10. 16𝑥 4 − 9𝑥 4

12. Niet te snel en niet teveel verkorten Vaak maken leerlingen fouten omdat ze algoritmen domweg van buiten leren zonder er nog een betekenis aan te koppelen. Natuurlijk is het de bedoeling van een algoritme om een recept te geven dat, mits correcte toepassing, snel een resultaat oplevert, zonder dat over elke stap moet nagedacht worden. Maar overdaad schaadt! We vermelden hieronder enkele voorbeelden waarbij teveel nadruk op een algoritme (in de brede betekenis van het woord) ons eerder schadelijk lijkt.

Voor het oplossen van vergelijkingen bestaan de zogenaamde ‘overbrengingsregels’: optellen wordt aftrekken, vermenigvuldigen wordt delen ... Deze regels zijn een verkorting van het basisprincipe dat je bij een gelijkheid op beide leden dezelfde operatie mag toepassen, waarbij de gekende idee van een weegschaal of balans wordt gebruikt. Je mag bijvoorbeeld bij beide leden van een vergelijking eenzelfde getal optellen. Het is beter om leerlingen te leren om hun stappen consequent te verantwoorden met behulp van deze basisprincipes in plaats van ze te leren steunen op de overbrengingsregels.


Onder de loep

–7

3 x + 7= 11x − 8 3= x 11x − 15

–11x

: –8

−8 x = −15 = x

−15 15 = 8 −8

–7

–11x : –8

Dezelfde idee vind je terug bij het vereenvoudigen van breuken. Leerlingen onthouden dat je gemeenschappelijke zaken in teller en noemer mag schrappen en schrappen dan ook niet alleen gelijke factoren maar ook gelijke termen. Het basisprincipe is hier dat je in teller en noemer mag vermenigvuldigen met (of delen door) eenzelfde uitdrukking. We pleiten er dus voor om de verkortingsregels niet te snel in te voeren. Wanneer leerlingen later fouten maken bij deze regels, is het goed om terug te keren naar de basis.

De regel van Horner krijgt in Vlaanderen (ten onrechte) meer aandacht dan in de rest van de wereld. Hoewel de meeste leerlingen dit rekentrucje wel leuk vinden en kunnen onthouden, is gericht kijken naar de opgave vaak voldoende om het quotiënt en de rest te vinden. Het zorgt er ook voor dat het inzicht behouden blijft. Het volgende voorbeeld illustreert dit (waarbij de verklaring in woorden lastiger is dan het eigenlijke denkwerk): •

Bereken het quotiënt en de rest bij deling van 4𝑥 4 + 15𝑥 3 + 7𝑥 2 − 𝑥 + 11 door 𝑥 + 3. We willen het deeltal dus in de volgende vorm schrijven: 4𝑥 4 + 15𝑥 3 + 7𝑥 2 − 𝑥 + 11

•

= (𝑥 + 3) ∙ (⋯ 𝑥 3 + ⋯ ) + ⋯.

Omdat de hoogstegraadsterm van het deeltal 4𝑥 4 is, moet de eerste term van het quotiënt 4𝑥 3 zijn, zodat 4𝑥 4 + 15𝑥 3 + 7𝑥 2 − 𝑥 + 11

•

= (𝑥 + 3) ∙ (4𝑥 3 + ⋯ ) + ⋯.

Als je dit rechterlid zou uitrekenen, verkrijg je als term in 𝑥 3 voorlopig 12𝑥 3 . Om 15𝑥 3 te krijgen, heb je nog 3𝑥 3 nodig, zodat de tweede term van het quotiënt 3𝑥 2 wordt (𝑥 2 omdat deze term nog vermenigvuldigd wordt met 𝑥 uit de eerste factor). 4𝑥 4 + 15𝑥 3 + 7𝑥 2 − 𝑥 + 11

= (𝑥 + 3) ∙ (4𝑥 3 + 3𝑥 2 + ⋯ ) + ⋯.


•

Een analoge redenering leert dat de derde term – 2𝑥 moet zijn en de laatste term 5. Om de gelijkheid te laten gelden, zul je voor de rest –4 moeten nemen. 4𝑥 4 + 15𝑥 3 + 7𝑥 2 − 𝑥 + 11

= (𝑥 + 3) ∙ (4𝑥 3 + 3𝑥 2 − 2𝑥 + 5) − 4.

Natuurlijk zitten achter de bovenstaande redenering dezelfde principes als diegene die tot de regel van Horner leiden. Alleen blijft de betekenis van wat je doet nu de hele tijd op de voorgrond staan. Je hoeft ook helemaal niet van buiten te onthouden dat het getal dat je bij het schema links zet –3 moet zijn (en niet 3) en dat je de getallen die in het schema onder elkaar staan moet optellen.

13. Spaarzaam zijn met formules We hebben nogal eens de neiging om voor het even wat een formule op te stellen en onze leerlingen ook te leren om die formules te gebruiken. Soms zijn formules echter niet zinvol, omdat er betere alternatieven zijn. Zo is de formule voor de 𝑥-coördinaat van de top van een 𝑏 parabool (− ) wél de moeite waard (want erg 2𝑎 vaak bruikbaar, eenvoudig te onthouden …) maar is het geen goed idee de formule voor de y4𝑎𝑐−𝑏 2

) uit het hoofd te coördinaat van de top ( 4𝑎 laten leren. Leerlingen die geleerd hebben om te steunen op een formule zijn machteloos als ze de formule vergeten zijn. Je kunt veel beter gebruik maken van het algemeen toepasbare principe dat je de 𝑦-coördinaat van een punt van de grafiek vindt door de 𝑥-waarde in de vergelijking in te vullen.

Bij belangrijke formules loont het vaak ook de moeite om ze eens goed te bekijken. De formule voor de nulpunten van een tweedegraadsfunctie kun je bijvoorbeeld in verband brengen met de formule voor de 𝑥-coördinaat van de top door ze −𝑏±√𝑑

𝑏

√𝑑

= − ± . Je ziet eens te herschrijven: 2𝑎 2𝑎 2𝑎 dan onmiddellijk dat de top midden tussen de nulpunten in ligt.

Ook de formule voor het nulpunt van een eerste𝑏 graadsfunctie (− ) is overbodig. Het is veel 𝑎 beter om dit snel te berekenen, dan het risico te lopen dat de formule foutief onthouden wordt.

Een ander voorbeeld uit het derde jaar: het is voldoende om te weten dat de richtingscoëffi-

Onder de loep ciënt van een rechte de coëfficiënt is van x in de vergelijking 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏. Als de rechte 𝑟 via een algemene vergelijking (𝑢𝑥 + 𝑣𝑦 + 𝑤 = 0) gegeven is kunnen de leerlingen wel zelf de richtingscoëfficiënt berekenen. De formule 𝑢 rico 𝑟 = − is dus echt niet nodig. 𝑣

In het vierde jaar vind je bij de algemene vergelijking 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 van een cirkel in sommige handboeken de formules 𝑟=

�𝑎2 +𝑏 2 −4𝑐 2

𝑎

𝑏

voor de straal en �− , − � voor 2

2

het middelpunt. Het lijkt ons echter zinvoller om met een voorbeeld de methode aan te leren om de algemene vergelijking te herschrijven in de vorm (𝑥 − 𝑥1 )2 + (𝑦 − 𝑦1 )2 = 𝑟 2 . Deze methode is namelijk eenvoudiger om te memoriseren dan de formules die ervoor vermeld zijn.

14. Niet alleen successen maar ook mislukkingen Leerlingen zijn heel creatief in het uitvinden van allerlei rekenregels die er in feite niet zijn, zoals ‘de vierkantswortel van een som is de som van de vierkantswortels’. Daar zijn allerlei redenen voor te bedenken, maar één ervan is misschien wel dat ze het heel vaak evident vinden dat de uitdrukking ‘nog verder uitgewerkt’ moet worden. In de basisschool moeten leerlingen uitdrukkingen als 67 + 15 uitwerken tot ze één getal vinden. Uitdrukkingen krijgen daardoor een proceskarakter: ze geven aan dat er actie ondernomen moet worden. In de algebra moeten leerlingen gaandeweg leren dat er soms niet veel uit te rekenen is. Je kunt niet altijd verder gaan tot je een ‘uitkomst’ hebt. Je moet dus soms

tevreden zijn met de uitdrukking zoals ze is. Leerlingen moeten ‘onuitgewerkte’ algebraïsche uitdrukkingen gaandeweg leren accepteren als een uitkomst. Algebraïsche uitdrukkingen krijgen hierdoor het karakter van een object op zich, net zoals een getal zoals 82 dat is. Het is dus belangrijk dat leerlingen er attent op gemaakt worden dat je niet alles verder kunt uitwerken. Bij het aanbrengen van rekenregels krijgen de ‘goede’ rekenregels (zoals ‘de vierkantswortel uit een product is gelijk aan het product van de vierkantswortels als de factoren positief zijn’) uiteraard de meeste aandacht. Dat zijn de middelen die ons in staat stellen om een uitdrukking wél verder uit te werken. Misschien moeten we op dat ogenblik echter niet alleen aandacht besteden aan de succesverhalen (de rekenregels die geldig zijn), maar ook al meteen een aantal populaire mislukkingen (‘rekenregels die er geen zijn’) onder de aandacht brengen. Zo zou je de leerlingen bijvoorbeeld eerst aan de hand van getallenvoorbeelden kunnen laten onderzoeken welke van de potentiële rekenregels voor vierkantswortels geldig zouden kunnen zijn: √𝑎 + 𝑏 = √𝑎 + √𝑏 ? √𝑎 − 𝑏 = √𝑎 − √𝑏 ? √𝑎 ∙ 𝑏 = √𝑎 ∙ √𝑏 ? 𝑎

√𝑎

�𝑏 = √𝑏 ?

Je vindt al snel tegenvoorbeelden voor de eerste twee en kunt dus al gauw besluiten dat √𝑎 ± 𝑏 ≠ √𝑎 ± √𝑏. Deze negatieve conclusie is even belangrijk als die i.v.m. de andere twee, die (na een bewijs, voor positieve getallen) wel degelijk geldige rekenregels blijken te zijn.


Onder de loep Ook bij het oefenen kunnen leerlingen leren op hun hoede te zijn voor de verlokkingen van de ‘foutieve rekenregels’. Bij het inoefenen van rekenregels hebben we immers de neiging om alleen oefeningen te laten maken waarin de ‘goede rekenregels’ inderdaad toegepast kunnen worden. We zouden leerlingen bijvoorbeeld ook oefeningen kunnen aanbieden waarin ze uitdrukkingen moeten vereenvoudigen indien mogelijk, zoals hieronder (uit een andere context dan vierkantswortels): 1. 2. 3. 4. 5.

𝑥 2 −1

𝑥 2 +1 𝑥 2 −1 𝑥−1

𝑥 2 +2𝑥+1 𝑥 2 +1

𝑥 2 +2𝑥+1 𝑥 2 −1

𝑥 2 −2𝑥+1 𝑥 2 −1

15. Tot slot We zijn aan het einde gekomen van onze reeks voorbeelden. We hopen dat je ideeën opgedaan hebt om je algebralessen verder te verrijken en dat je leerlingen zowel hun rekenvaardigheid als hun inzicht kunnen verhogen.

We hebben in de inleiding aangegeven dat er werk op de algebra-plank ligt. Bij het einde van de loep past een relativerende opmerking. Uit de peiling van de tweede graad aso blijkt dat we in Vlaanderen reeds heel wat tijd aan algebra besteden. De ideeën uit deze loep zijn erop gericht om de tijd die we er voor uit trekken nog beter in te vullen, eerder dan dat we ervoor pleiten om er meer tijd voor uit te trekken. Er zijn immers ook heel wat andere onderwerpen die voldoende aandacht moeten krijgen. We mogen zeker ook niet de fout maken om wiskundeonderwijs te verengen tot het ontwikkelen van algebraïsche vaardigheid.

Bronnen Drijvers, P. (2012). Wat bedoelen ze toch met ... symbol sense? Nieuwe Wiskrant, 31(3), 39–42.

Drijvers, P., Kop, P. (2012). Variabelen en vergelijkingen. De veelzijdigheid van algebraïsche vaardigheden. In P. Drijvers, A. Van Streun, B. Zwaneveld, Handboek wiskundedidactiek (pp. 53–81). Utrecht, The Netherlands: Epsilon Uitgaven.

Kieran, C. (2007). Learning and teaching algebra at the middle school through college levels. Building meaning for symbols and their manipulation. In F. K. Lester Jr. (Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning (Vol. 2, pp. 707–762). Charlotte, U.S.A.: Information Age Publishing. Kindt, M. (2006). Oefening baart kunst. In P. Drijvers (Ed.), Wat a is, dat kun je niet weten. Een pleidooi voor betekenisvolle algebra op school (pp. 105–136). Utrecht, The Netherlands: Freudenthal Institute.

Tall, D., Thomas, M. (1991). Encouraging versatile thinking in algebra using the computer. Educational Studies in Mathematics 22, 125–147.

van Nijlen, D., et al (2012). Peiling wiskunde in de tweede graad algemeen secundair onderwijs. Leuven: Centrum voor Onderwijseffectiviteit en –evaluatie (KU Leuven) en Brussel: Agentschap voor Kwaliteitszorg in Onderwijs en Vorming, Afdeling Projecten: EVC-Curriculum-Kwalificaties.


Bibwijzer

Animated Geometry by J.L.Nicolet dvd gepubliceerd door Educational Explorers Film Company

G. Noël, R. Midavaine, Revoir les films de J.-L. Nicolet Losanges 13 (2011), p. 41-48 Pure nostalgie: dynamische meetkundefilmpjes die dateren van... de jaren 1940 en 1950, lang vóór Cabri en GeoGebra. Deze zwart-witfilms duren twee à vijf minuten, en zijn geproduceerd zoals de tekenfilms uit die tijd: door de opeenvolgende beelden te tekenen en na elkaar op te nemen. Als kijker ben je geïntrigeerd door de mooie meetkundige eigenschappen die zonder woorden getoond worden. Je kunt dit proberen na te doen met GeoGebra of andere hedendaagse middelen. Je kunt op zoek gaan naar een verklaring, een bewijs...

Ik leerde deze oude filmpjes kennen op een lezing op een congres van de SBPMef (Société belge des Professeurs de Mathématiques d’expression française), door Guy Noël en Rita Midavaine. Nadien verscheen hun artikel in het tijdschrift Losange (zie titel hierboven). Deze collega’s hadden twee filmpjes uitgekozen. Ik wou er meer zien en bestelde de ‘digital versatile disk’ (dvd) bij ‘une éducation pour demain’ (uepd). (Je vindt het op p. 14 in de online cataloog www.uneeducationpourdemain.org/ web_books/catalogue_flip_a5/book.swf). Op de dvd staan 22 dergelijke filmpjes. Nadien ontdekte ik dat enkele van die filmpjes ook op het internet staan. Dit is onder andere het geval voor het filmpje ‘Triangles in polygons’ (nummer 11 op de dvd) dat we hieronder als voorbeeld

bespreken: www.youtube.com/watch?v=4D3ttrC2Wdk. Zoveel te beter, dan kun je nu het filmpje bekijken vooraleer je verder leest.

Triangles in polygons

In figuur 1 zie je twaalf momentopnamen van het filmpje ‘triangles in polygons’. De personages worden voorgesteld: een cirkel met daarin ingeschreven een regelmatige vijfhoek, een regelmatige zeshoek en een regelmatige (even tellen...) tienhoek. Van elk van deze regelmatige veelhoeken wordt één zijde genomen. Ze worden verplaatst tot ze samen een driehoek vormen. De vaststelling is dat deze driehoek rechthoekig is. Het filmpje bewijst dit niet; dat moet de kijker nadien zelf doen. Laten we dit even proberen. Neem als lengteeenheid de straal van de cirkel. Noem de zijden van de ingeschreven regelmatige vijf-, zes- en tienhoek respectievelijk 𝑧5 , 𝑧6 en 𝑧10 . Te bewijzen: 𝑧62 + 𝑧102 = 𝑧52 .

De zijde van de regelmatige zeshoek is gelijk aan de straal, dus 𝑧6 = 1. (de tophoek van één driehoekje van de regelmatige zeshoek is 360° = 60°, zodat dit driehoekje gelijkimmers 6 zijdig is).


Bibwijzer

Figuur 1

Neem de regelmatige tienhoek. De tophoek van 360° = 36° en de basishoeken één driehoekje is 180°−36°

10

= 72°. Hé, juist het dubbel! De zijn elk 2 bissectrice van één van die basishoeken zorgt voor meer hoeken van 36° (figuur 2).

De driehoek 𝐴𝐵𝐶 is gelijkvormig met de driehoek 𝐴𝑂𝐵 (hh).

Dus:

1

𝑧10 1 − 𝑧10 = 1 𝑧10 𝑧102 + 𝑧10 − 1 = 0 −1 + √5 𝑧10 = 2

Dit is , met 𝜙 de gulden verhouding 𝜙

1+√5 2

.

Hiermee hebben we dus niet alleen 𝑧10 berekend; we hebben ook aangetoond dat de gelijkbenige driehoeken 𝐴𝐵𝐶 en 𝐴𝑂𝐵, en dus alle gelijkbenige driehoeken met tophoek 36°, gulden driehoeken zijn (driehoeken waarvan de verhouding van de zijden 𝜙 is).

Nu moeten we enkel nog de zijde van de regelmatige vijfhoek berekenen. De zijden van de regelmatige vijfhoek verbinden hoekpunten van de regelmatige tienhoek, waarbij telkens één hoekpunt overgeslagen wordt (figuur 3). Figuur 2


Bibwijzer

𝑧5 = 𝑧5 =

6 − 2√5 −1 + √5 �4 − 2 4 −1 + √5 √5 + 5 � 2 2

�6 − 2√5��√5 + 5� 𝑧5 = � 8

5 − √5 𝑧5 = � . 2

Nu kunnen we narekenen dat de eigenschap klopt. 𝑧62 + 𝑧102 = 1 + �

Figuur3

De driehoek 𝐴𝐷𝐸 is rechthoekig in 𝐷 (omtrekshoek op een halve cirkel). In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van een rechthoekszijde gelijk aan het product van de schuine zijde en de loodrechte projectie van deze rechthoekszijde op de schuine zijde. Dit geeft hier: 𝑧102 = 2|𝐴𝐹| |𝐴𝐹| =

𝑧102 . 2

We passen de stelling van Pythagoras toe in de rechthoekige driehoek 𝐴𝐷𝐹: 𝑧104 𝑧52 = 𝑧102 − 4 4

We vullen 𝑧10 = 𝑧5 =

𝑧5 = 𝑧10 �4 − −1+√5 2

in.

𝑧102

−1 + √5 −1 + √5 �4 − � � 2 2

2

=1+

=

−1 + √5 � 2

2

6 − 2√5 4

5 − √5 2

= 𝑧52 .

Ik vraag me af: kan het korter, met minder berekening? Komt die rechthoekige driehoek ergens op een natuurlijke manier voor? Andere filmpjes

Noël en Midavaine bespreken naast ‘Triangles in polygons’ ook nog een filmpje over de ellips. De eigenschap die in dit filmpje getoond wordt, komt neer op het vouwen van een ellips (zie bv. UW 20/4, p. 32-34).

Er zijn ook eenvoudige filmpjes bij, bv. het eerste op de dvd ‘Three points determine a circle’. Je ziet drie vaste punten (figuur 4). Een beweeglijke cirkel komt eraan en hecht zich vast aan één van de punten, dan ook nog aan een tweede en dan ook aan het derde punt. Pas dan kan het niet meer bewegen. Dan zie je tweede cirkel hetzelfde doen. Als die ook door de drie vaste punten gaat, zie je dat hij samenvalt met de

Figuur 4


Bibwijzer

eerste cirkel.

De meeste filmpjes zorgen voor wat meer bewijswerk, zoals het filmpje dat we hierboven bespraken. Er zitten verschillende ‘meetkundige plaatsen’ bij. Hieronder tot slot enkele beelden van het filmpje ‘Two given cirkels under given

Figuur 5


angles’, over de meetkundige plaats van de punten van waaruit je twee gegeven cirkels onder gelijke hoeken ziet (figuur 5). We laten de lezer zelf uitzoeken wat de eigenschap is en hoe die verklaard kan worden. Michel Roelens

Bibwijzer

Vincent van der Noort, Getallen zijn je beste vrienden. Ontboezemingen van een nerd. Uitgeverij Athenaeum-Polak & Van Gennep, Amsterdam, 2011, 309 pp., ISBN 9789025367770 In een interview in de krant Trouw zegt Vincent van der Noort, een jonge Nederlandse wiskundige die pas zijn doctoraat afgerond heeft en ondertussen wiskundeleraar is, dat een uitgever hem vroeg een vrolijk boek over wiskunde te schrijven (van der Kaaij, 2011). Zelf wilde hij laten zien dat wiskunde ‘boeiend en geheimzinnig is zoals het leven zelf’ omdat hij het jammer vindt dat zoveel mensen door wiskunde getraumatiseerd zijn als zij van school komen.

Een vrolijk boek is het inderdaad geworden. In een bijzondere stijl en met een apart gevoel voor humor (toch wel een beetje een nerd!) vertelt van der Noort enthousiast over de wiskunde en over wiskundigen. Natuurlijk: ‘de wiskunde’, dat is veel te ruim en de auteur zegt dat ook zelf. Je krijgt een sfeerbeeld van een stuk zuivere wiskunde: bolstapelingen, Platonische lichamen en hun symmetrieën, regelmatige roosters … in hogere dimensies en heel even zelfs Liegroepen. Het gaat dus niet in de eerste plaats over getallen, al spelen die wel een belangrijke rol: natuurlijke getallen, rationale en irrationale getallen, het gulden getal ϕ, de complexe getallen en vooral de quaternionen. Een doorlopend verhaal…

Het ‘eigenlijke verhaal’ van het boek wordt gevormd door acht van de twintig hoofdstukken, genummerd van E1 tot E8. Hierin krijg je een samenhangend verhaal, dat heel zorgvuldig opgebouwd wordt. In de eerste zeven hoofdstukken krijg je puzzelstukjes van heel divers pluimage aangereikt die in het laatste hoofdstuk allemaal ineen blijken te passen. De auteur heeft de ambitie om het basismateriaal aan te brengen op een manier die toegankelijk is voor nietwiskundigen. Zeker in het begin lukt dat ook. Het gaat dan over het getal ϕ, hogere dimensies, de hogerdimensionale figuren die veralgemeningen zijn van de kubus, tetraëder en octaëder, andere afstanden dan onze gewone Euclidische afstand, complexe getallen, de Platonische lichamen, symmetrie, velduitbreidingen … Er is ook een heel mooi hoofdstuk over de quaternionen en de beschrijving van symmetrieën in de ruimte met

behulp van quaternionen (iets wat gebruikt wordt in computer graphics).

Naarmate je vordert in het boek, wordt de geserveerde wiskunde steviger en steviger. We leren veralgemeningen van de Platonische lichamen in de vierdimensionale ruimte kennen (alleen in dimensie 4 bestaan er nog!): de 24-cel, de 120-cel en de 600-cel. Via het (ondertussen bewezen) vermoeden van Kepler over het zo dicht mogelijk op elkaar stapelen van bollen in de driedimensionale ruimte, gaan we naar een intrigerend resultaat over het ‘kusgetal’ van (hyper)bolstapelingen in hogere dimensies. Het kusgetal geeft aan hoeveel bollen door een gegeven bol in de stapeling geraakt (‘gekust’) worden. Er is bewezen welke bolstapeling in een achtdimensionale ruimte het hoogste kusgetal heeft, terwijl dat niet bekend is voor dimensies 4 t.e.m. 7. Het gaat over een regelmatige bolstapeling waarvan de middelpunten gelegen zijn op een regelmatig rooster van punten dat 𝐸8 genoemd wordt. In het laatste hoofdstuk (dat natuurlijk niet toevallig E8 heet…) wordt dat rooster dan geconstrueerd. Het vertrekpunt is een rooster van quaternionen, gebaseerd op de 120 hoekpunten van de 600-cel in de vierdimensionele ruimte. Op basis daarvan en met behulp van een niet-Euclidische afstand wordt dan het echte rooster 𝐸8 in de achtdimensionale ruimte gevormd. Heel even wordt ook nog iets gezegd over het verband tussen dit rooster en de exceptionele Liegroep met dezelfde naam 𝐸8 , maar dat is (begrijpelijkerwijze) erg beperkt. Je merkt dat de auteur ons meevoert naar grote hoogte. Alles wordt voorbeeldig uitgelegd en de schrijfstijl blijft ook de hele tijd aantrekkelijk. Daarom heb ik (een wiskundige met kennis van het besproken basismateriaal maar zonder voorkennis over bolstapelingen en zo) de auteur


Bibwijzer

aantal onderwerpen waar je nog niet van gehoord hebt. Soms is er ook een originele invalshoek voor een bekend onderwerp. Ik noem lukraak een aantal thema’s: driehoeksgetallen, priemgetaltweelingen, de stelling van Green-Tao, het prooi-roofdiermodel (dus toch een vleugje toegepaste wiskunde …), winnende strategieën bij spelen, spellen met drie spelers, constructies met passer en liniaal, constructivistische wiskunde, de dobbelstenen van de Méré, random walk, het Hilton-hotel, de onredelijke toepasbaarheid van de wiskunde in de natuurwetenschappen, het Van der Blij-effect, het wikkelgetal en de Prentententoonstelling van Escher. Voor wie?

de hele weg naar boven kunnen volgen. Het tweede deel van de E-hoofstukken vergt echter een serieuze inspanning. Ik kan me voorstellen dat iemand voor wie alle aangereikte basiskennis (hogere dimensies, complexe getallen …) nieuw is, na enige tijd toch de rol moet lossen. Het is echter niet zo erg als je de top niet haalt. Er is in de eerste E-hoofdstukken voldoende materiaal dat vlot toegankelijk is om er geen spijt van te hebben dat je geprobeerd hebt. En er zijn ook de andere twaalf hoofdstukken… … gekruid met luchtige, losse tussendoortjes

Het verhaal dat we hierboven schetsten, wordt geregeld onderbroken voor de A-, B-, C- en Dhoofdstukken: andere leuke wiskunde, bespiegelingen, creatieve wiskunde en interactie tussen wiskunde en dieren (!). In de inleiding vertelt de auteur dat het gaat over de verhalen die hij aan mensen op feestjes en op de trein verteld heeft om zijn fascinatie voor wiskunde over te brengen. Je komt hier heel wat klassiekers tegen die je misschien al van elders kent, maar ook een

Al bij al heb ik erg genoten van het boek. Om te oordelen of het mensen met een trauma voor wiskunde werkelijk kan laten zien dat wiskunde boeiend is, ben ik niet goed geplaatst. In elk geval denk ik dat het boek diensten kan bewijzen in het onderwijs. Ik verwacht dat wiskundeleraren die zelf wiskunde geleerd hebben het boek met evenveel plezier zullen lezen als ikzelf. Voor wiskundeleraren met een andere opleiding is het een gelegenheid om te proeven van een kamer in het gebouw van de wiskunde die ze tijdens hun opleiding niet hebben leren kennen. Ook voor bepaalde leerlingen is dit een goed boek, met dezelfde reden: de sfeer opsnuiven van (en enthousiast raken over?) die kamer waar ze in het secundair onderwijs nog niet zo dikwijls geweest zijn. Ik zou het zeker in de handen stoppen van leerlingen die overwegen om wiskunde te gaan studeren. Misschien kan het ook dienen als basis voor een lessenreeks in de vrije ruimte of (bepaalde hoofdstukken dan) voor een opdracht voor leerlingen uit de studierichtingen met pool wiskunde. Johan Deprez

Bronnen van der Kaaij, M. (2011, 29 juni). Een boek over je gevoelens bij getallen. Trouw. Van het internet gehaald op 4 november 2012, van http://www.trouw.nl/tr/nl/4468/Schrijf/article/detail/2459772/2011/ 06/29/Een-boek-over-je-gevoelens-bij-getallen.dhtml


Bibwijzer

Mario Livio, Is God een wiskundige? Uitgeverij Veen Magazines, 2010, ISBN 9789085713166 In dit boek behandelt de auteur, die astronoom en wetenschapsvoorlichter is aan het Hubble Space Telescope Science Institute in Baltimore, twee eerder filosofische vragen.

Ten eerste: hoe is het mogelijk dat de wiskunde, een product van de menselijke geest, zo prachtig past bij concrete objecten in de werkelijke wereld? Albert Einstein stelde zich deze vraag in een lezing aan de Pruisische Academie van Wetenschappen in 1921. Treffender nog dan dit citaat is de uitspraak van de Hongaarse Nobelprijswinnaar voor natuurkunde Eugene Wigner (1902-1995): hij sprak in dit opzicht over de ‘onredelijke effectiviteit van de wiskunde’. Concepten die door wiskundigen werden uitgedacht zonder enige toepassing in het achterhoofd, blijken decennia later de onverwachte oplossing te leveren voor concrete problemen. Mario Livio bespreekt in zijn boek uitgebreid het intrigerende voorbeeld van de knopentheorie. Ontstaan in de negentiende eeuw om een atoommodel te verklaren dat twintig jaar later werd verworpen, bleef deze theorie zich verder ontwikkelen als een soort wiskundige spielerei. Verbazingwekkend genoeg leverde dit decennia later een doorbraak in het begrip en de ontwikkeling van de snaartheorie en fundamentele processen in de moderne moleculaire biologie.

Ten tweede komt in het boek nog een andere vraag voortdurend terug: is wiskunde een uitvinding of is het een ontdekking? Mario Livio laat zien dat wiskundigen en filosofen het niet eens worden over het antwoord op deze vraag. Als wiskunde louter een menselijke uitvinding is, hoe komt het dan dat de uitvinding van zo veel wiskundige concepten bijna miraculeus vooruitliep op vragen over mens en kosmos die pas eeuwen later zouden worden gesteld? En als wiskunde alleen maar een ontdekking is van een soort onveranderlijke wereld buiten ons, wat is dan de relatie tussen die wereld en de fysieke realiteit? Hoe krijgen we met ons brein toegang tot die onveranderlijke wereld? Ook in de klas wekken deze vragen boeiende discussies op. Mijn zesdejaars waren er snel uit: wiskunde is een ontdekking. De fysieke eigenschap van rechthoekige driehoeken die door de stelling van

Pythagoras wordt uitgedrukt, was er toch al vóór de ontdekking van die stelling? Hun overtuiging sloeg om in twijfel toen ik informeerde naar de complexe getallen of de verschillende soorten niet-Euclische meetkunde. Zijn dat dan geen voorbeelden van uitvindingen van de menselijke geest?

Ik gebruikte deze klasdiscussie als inleiding voor een beknopt overzicht van de geschiedenis van de wiskunde en een bespreking van de grondslagencrisis. Ook hiervoor vind je veel inspiratie in het boek van Mario Livio. Zonder een alomvattende geschiedenis van de wiskunde te geven, volgt de auteur chronologisch de evolutie van het menselijk denken en de rol van wiskunde in ons begrip van de kosmos. Hij geeft geen eindconclusie, maar hij beschrijft de visie van mensen als Archimedes, Galileï, Descartes, Newton, Bernoulli, Laplace, Russel, Gödel en vele anderen. Hij koppelt daarbij steeds terug naar de twee hierboven gestelde vragen. Aan het einde van het boek bespreekt hij een aantal recente ontwikkelingen en ideeën m.b.t. cognitieve wetenschappen en schetst hij de relatie tussen wiskunde en taal. Boeiende lectuur!

Els Vanlommel


Jaaroverzicht Jaargang 28 Het spinnenweb 28/1 28/1 28/2 28/2 28/2 28/3 28/3 28/3 28/4 28/4

A. Schatteman, ‘String-art’ probleem L. Van den Broeck, Algebraïsche handigheid loont P. Levrie en H. Missinne, Somformules voor sinus en cosinus, met en zonder driehoeken E. Van Emelen, Een leervoorsprong: een probleem… of net een uitdaging? E. Vanlommel, Snelheid met wrijving J. Deprez, Wiskundige onderzoekers voor één dag L. Van de Broeck, Wat is willekeurig? L. Van de Broeck, Ruimtelijk modelleren met breinaalden en een bolletje wol L. Lenders, De oplopende dubbele kegel M. Roelens, Weerkaatsing in een kop koffie

3 8 2 4 16 2 8 13 2 6

Onder de loep 28/1 28/2 28/3 28/4

Wiskunde en breien Goochelen in de wiskundeles Priemgetallen Symmetrie

12 25 18 10

De bibwijzer 28/1 28/1 28/1 28/2 28/2 28/2 28/3 28/3 28/3 28/4 28/4

R. Kaenders, Funktionen kann man nicht sehen G. Pinkernell, Warum ist das so? Aufgabenideen zum mathematischen Begründen Gapminder – for a fact-based world view Théorème de Thalès, énoncé et démonstration T. Gowers, Why isn’t the fundamental theorem of arithmic obvious? T. Gowers, Proving the fundamental theorem of arithmic Zestig seconden als startpunt C. Villers, A la rencontre de l’inversion GEM, De la géométrie synthetique à la géométrie analytique dans l’espace J. Daems en I. Smeets, Ik was altijd heel slecht in wiskunde Educatieve website en een groeiend vademecum voor de wiskunde

45 51 52 59 61 61 48 49 56 59 68


1 winter

Recommend Documents