Gratis ICT bruikbaar in de lessen wiskunde
© Philip Bogaert
Graphmatica Graphmatica is een eenvoudig programma waarmee je vlot de grafiek van een functie en vlakke krommen (expliciet, impliciet, parametervorm, poolcoördinaten) kan tekenen. website:
www.graphmatica.com
auteur:
Keith Hertzer
plusjes:
+ gratis + draait vanaf een stick, geen installatie nodig + eenvoudig in gebruik, weinig toeters en bellen
minpuntje:
- niet dynamisch
1. Grafiek van een functie Probleemstelling Een vlucht met een luchtballon kan beschreven worden met volgende functie:
h(t ) = 24 − 2t +
1 3 1 4 t − t 18 216
h = hoogte in meter, t = tijd in uren, t = 0 is het huidig tijdstip. Gevraagd: • • • • • • • •
Schets deze grafiek. Hoelang zijn we reeds aan het vliegen? Hoelang duurt de vlucht nog? Wat is de totale duur van de vlucht? Hoe hoog bevinden we ons nu? Welke hoogte bereiken we maximaal? Hoelang zullen we hoger dan 18 meter gevolgen hebben? Wanneer daalden we het minst snel? Hoe hoog waren we dan?
blz. 1
De grafiek schetsen • • •
Start de computer en open het programma Graphmatica 2.0 Op het scherm verschijnt een (x,y)-assenstelsel en een toolbar. De cursor bevindt zich in een werkbalk waarin je de vergelijking van de functie die je wil besturen kan invoeren.
Een functie invoeren gebeurt als volgt: • •
Typ : y = Vervolgens typ je het functievoorschrift waarbij je moet opletten dat de machten worden ingevoerd met ^ + spatie.
Typ :
y = 24 – 2x + x^3 / 18 – x^4 / 216
Om een beter beeld van de grafiek te krijgen moet je een aantal keer (3x) uitzoomen. De hoogte van de luchtballon kan geen negatieve waarden aannemen. Het onderzoeksgebied kun je dus beperken. Pas daarom het gezichtsveld (de Grid Range) van het assenstelsel een beetje aan. “View Grid Range” of kortweg Ctrl+R.
Wanneer je slechts drie van de vier kadergrenzen ingeeft, kan je via de optie “Autoscale” je assenstelsel georthonormeerd houden. Met de optie “View, Scrollbars” krijg je rechts en onderaan twee schuifbalkjes. Je hebt nu min of meer een duidelijke grafiek:
blz. 2
De assen benoemen “Options, Graph Paper, Labels”
blz. 3
Het visgraatdiagram Ken je één van de twee coördinaatgetallen x of y en wens je de andere te berekenen, doe je dit via “Tools, Evaluate” of Ctrl+E.
Ben je meer geïnteresseerd in een volledige visgraat, kies je: “Options, Settings, Point Tables, Custom Increment = 1” en “View, Point Tables”.
blz. 4
Kritische punten Om de gestelde vragen te kunnen beantwoorden, heb je o.a. de nulpunten en de extrema nodig, in Graphmatica kortweg kritische punten genoemd. “Calculus, Find Critical Points”
Hoelang vlogen we hoger dan 18 meter Plot de rechte y = 18. De snijpunten van twee functies vind je via “Tools, Find Intersection”
De afgeleide functie Je kan Graphmatica de afgeleide functie laten tekenen via “Calculus, Find Derivative” De nulpunten van de afgeleide functie zijn de (kandidaat) extrema en de extrema van de afgeleide functie zijn de (kandidaat) buigpunten.
blz. 5
Een raaklijn tekenen “Calculus, Draw Tangent” of Ctrl+T.
Merk op dat je tevens de vergelijking van de raaklijn krijgt.
Functies met meervoudig voorschrift Teken de grafiek van :
⎧4 ⎪ f ( x) = ⎨ x 2 ⎪x ⎩
x < −2 − 2 ≤ x ≤1 x >1
Typ achtereenvolgens: y = 4 {x : , -2} y = x^2 {x : -2 , 1} y = x {x : 1 , }
blz. 6
Speciale functies
• • • • • • • •
Absolute waarde Vierkantswortel Grootste gehele waarde uit e-macht Logaritmen Goniometrische functies Cyclometrische functies Hyperbolische functies
: abs : sqrt : int : exp : log, ln : sin, cos, tan, cot, csc, sec : asin, acos, atan, acot, acsc, asec : sinh, cosh, tanh
Aangepast papier Laat Graphmatica de grafiek van y = sin(x) tekenen. De nulpunten van deze functie zijn moeilijk afleesbaar op de x-as. Daarom is het interessant om op de x-as andere waarden aan te brengen zoals : π 3π , π , , 2π ,... . 2 2 Je doet dit als volgt : “Options, Graph Paper, Graph Paper, Trig”.
blz. 7
2. Werken met parameters Onderzoek de invloed van een parameter in het voorschrift van een functie. In Graphmatica kan je in beperkte mate gebruik maken van parameters. Enerzijds heb je de parameter a, anderzijds de parameters b en c.
De functie y = b sin(cx) Typ : y = b * sin(c * x) er verschijnt automatisch : y = b sin(cx) {b : 1} {c : 1} Wil je nu wat experimenteren met de parameters b en c, dan open je het best volgend dialoogvenster: “View, Variables Panel”.
De functie y = a x² Typ : y = a * x^2 er verschijnt automatisch : y = a x^2 {a : 1, 3, 1} Laat nu a variëren van 1 tot 5 met stapjes van 0.2 en je krijgt onmiddellijk zo’n 20 parabolen te zien.
blz. 8
3. Bepalen van de best passende kromme Vergelijking van een rechte door twee punten Bepaal de vergelijking van de rechte door de punten A(1,-1) en B(3,3) Oplossing Ingeven van de punten “View, Data Plot Editor” Geef de coördinaat-getallen van de punten A en B in. Klik op “Options” (onder “Curve Fit”) en zet het type op “Polynomial”. Klik op “Curve Fit”. De rechte wordt getekend en wanneer je er op klikt verschijnt de gevraagde vergelijking.
blz. 9
Vergelijking van een parabool door drie punten Bepaal de vergelijking van de parabool door de punten A(-1,5), B(2,8) en C(5,-7). Oplossing “View, Data Plot Editor”, geef de coördinaat-getallen van de punten A, B en C in. De labels kun je plaatsen via “Edit, Annotations”. Controleer de Curve Fit Options : “Options, Settings, Curve Fit”. Klik op “Curve Fit”. De parabool wordt getekend en wanneer je er op klikt verschijnt de gevraagde vergelijking.
blz. 10
Sinusoïdale regressie Lars is op vakantie in een klein vissersdorpje. Zaterdag komt zijn vriend Arne hem vergezellen op een zeiltocht. Omdat je de haven slechts in en uit mag varen bij een waterstand van minstens 4,5 meter, besluit Lars om de waterstanden vandaag (woensdag) in het oog te houden. Hij noteert volgende metingen : uur waterstand
6u
8u
11u
13u
14u
16u
19u
20u
22u
5,28
3,49
3,59
5,43
6,31
6,98
4,85
3,91
3,00
Gevraagd:
• •
In de veronderstelling dat de waterstand sinusoïdaal verloopt. Bepaal de constanten a, b, c en d uit het voorschrift van de algemene sinusfunctie. Rond welk uur kunnen Joris en Arne zaterdagnamiddag uitvaren, rond welk uur moeten ze ’s avonds terug zijn?
Ingeven van de gegevens “View, Data Plot Editor”, geef de waarnemingen in:
blz. 11
Instellen van de regressie opties “Options, Settings, Curve Fit”
Bepalen van de best passende kromme “Curve Fit”
blz. 12
4. Krommen Teken volgende krommen:
•
De hyperbool x 2 − y 2 = 1
•
De slakkenlijn (poolcoördinaten) r = 1 + 2 cos t
•
⎧ x = 1 − sin t De cycloïde (parametervorm) ⎨ ⎩ y = 1 − cos t
Krommen met impliciet voorschrift In Graphmatica kun je (bepaalde) krommen ingeven aan de hand van een impliciet voorschrift. We denken hier vooral aan de cirkel en de kegelsneden.
Krommen in poolcoördinaten Typ : r = 1 + 2 cos(t) en de gevraagde poolkromme verschijnt. Via “Options, Graph Paper” kan je kiezen voor de optie “Polar”. Via “View, Point Tables” krijg je het bijbehorende visgraatdiagram in zowel cartesische als poolcoördinaten.
blz. 13
Krommen in parametervorm Typ : x = t – sin(t) ; y = 1 – cos(t) {t: -4pi, 4pi} Bij het tekenen van krommen in parametervorm moet je het interval ingeven waartussen je de parameter laat variëren.
blz. 14
5. Integralen Bepaalde integralen Bereken de oppervlakte van het gebied begrepen tussen de krommen met vergelijking:
1 y = ( x 2 − 2 x − 3) 2 1 y = −x + 2 Plot de grafiek van deze functies en zoek hun snijpunten.
⎛⎛ 1 ⎞ ⎛ x2 − 2 x − 3 ⎞ ⎞ x − + ∫−2 ⎜⎝ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ − ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎟⎠ dx 2
De oppervlakte is gelijk aan :
Dit bereken je via “Calculus, Integrate” of Ctrl+I. Controleer eerst de Settings : “Options, Settings, Integration”
blz. 15
blz. 16
Numerieke integratie Benader numeriek m.b.v. 12 deelintervallen volgende bepaalde integraal: 8
∫x
−4
2
7dx + 3x + 5
blz. 17
Primitieven Teken een primitieve van y = x – 2. Al de primitieven worden gegeven door
∫ ( x − 2) dx =
x2 − 2x + C . 2
Deze teken je door het volgende in te geven : dy = x – 2 Wil je echter enkel die primitieve die door een welbepaald punt, bijvoorbeeld (0,6), gaat. Tik dan het volgende : dy = x – 2 {0 , -6}
blz. 18
6. De normale verdeling Probleemstelling Een machine vult pakken koffie waarvan het gewicht normaal verdeeld is met een gemiddelde van 1005 gram en een standaardafwijking van 6 gram. Hoeveel procent van de pakken koffie bevat meer dan 1000 gram?
De normale verdeling als functie definiëren In Graphmatica bestaat de mogelijkheid om zelf functies te definiëren. M.a.w. je kan Graphmatica functies aanleren. Definiëren we als voorbeeld de standaard normale verdeling : 2
1 − x2 sn( x) = e 2π “Tools, Functions” definieer de functie “Define” “Add” “Close”
Typ nu : y = sn(x) en de klok van Gauss verschijnt.
blz. 19
Berekenen van de kans
1000 − 1005 ⎞ ⎛ P ( X > 1000) = P ⎜ Z > ⎟ 6 ⎝ ⎠ 5⎞ ⎛ = P⎜Z > − ⎟ 6⎠ ⎝ +∞
=
∫ sn( x) dx
−
5 6
Of de gevraagde kans is 79,77 %
blz. 20
7. Regressie Probleemstelling Een fabrikant van synthetische vezels onderzoekt of het krimpen van de vezels samenhangt met de temperatuur waarbij ze gewassen worden. Er wordt 8 maal een proef verricht waarbij de vezels gedurende 30 minuten aan een bepaalde temperatuur worden blootgesteld. De geconstateerde krimp werd (in procenten van de oorspronkelike lengte) als volgt vastgesteld: Temp °C Krimp (%)
60 1,2
70 1,9
80 2,8
90 3,8
100 4,2
75 2,6
85 3,2
100 4,5
Voorspel de krimp indien de temperatuur X de waarde 65° heeft.
Bepalen van de regressielijn Geef de gegevens in via de “Data Plot Editor”. Kies voor “Polynomiale” regressie van orde 1. “Curve Fit”
De vergelijking van de regressielijn luidt : y = 0,0796x – 3,55 blz. 21
Voorspellen van de krimp “Tools, Evaluate” De verwachte krimp bij een temperatuur van 65° bedraagt 1,63 %
blz. 22
8. Ongelijkheden Geef achtereenvolgens volgende ongelijkheden in : abs(x) + abs(y) < 2 (x – 3)^2 + (y – 3)^2 < 4 y + (x – 3)^2 + 1 < 0
blz. 23
Geocadabra Geocadabra is in Vlaanderen vooral bruikbaar tijdens de lessen ruimtemeetkunde. Naast ruimtemeetkunde is het programma nog inzetbaar bij andere items uit de wiskunde. Zo tekent het programma heel snel overzichtelijke kansbomen. website:
www.geocadabra.nl
auteur:
Ton Lecluse
plusjes:
+ gratis + draait vanaf een stick, geen installatie nodig + dynamisch
minpuntje:
- ook al zijn de menu’s Nederlandstalig, de terminologie in Nederland is soms anders dan in Vlaanderen.
1. Starten Wanneer Geocadabra voor de eerste keer wordt opgestart, stel je best het niveau in waarop je wil werken. Kies je een lager niveau, dan blijven in alle keuzemenu’s de moeilijke toepassingen van de hogere klassen onzichtbaar en krijg je alleen te zien wat voor het gekozen niveau geschikt is.
blz. 24
2. De blokkendoos Nieuwe tekening Æ ruimtelijk Æ blokkendoos Er verschijnt een leg ruitjesvel (4 bij 4) en een dialoogvenster. Wanneer je op een hokje in dit venster klikt, wordt er op het ruitjesvel een blokje bij geplaatst. Met de rechtermuisknop gaat er een blokje af.
Klik op de knop [kijklijn aansturen] en plaats de muis op de tekening. De tekening verandert van kijkrichting. Hiermee kan je ontdekken hoe het voor-, zij- en bovenzicht eruit moet zien. In het aanzichtenvenster kan je de afzonderlijke aanzichten onzichtbaar maken. De gemaakte tekening kan je kopiëren naar het klembord en/of wegschrijven als een bestand.
blz. 25
3. Vlakke meetkunde Opgave 1 Teken een regelmatige vijfhoek (straal omgeschreven cirkel = 4 cm).
De gereedschapskist
• • • • •
Deze staat normaal standaard actief. Is deze niet actief, dan kan je deze oproepen via beeld Æ werkbalken Æ gereedskist. Bovenaan kies je de lijndikte door de gewenste stijl aan te klikken. In het gedeelte punt, kan je overschakelen tussen twee soorten punten: een gevuld bolletje of een cirkeltje. Ook de puntgrootte kan je hier aanpassen. Door op lettertype te klikken, kan je het lettertype van de aanduidingen op de tekening veranderen. Ook de tekenkleur kan in dit venster aangepast worden.
Nieuwe tekening Æ platte vlak Æ regelmatige veelhoek
•
•
Via de sleepknop kan je het hoekpunt A (= het onafhankelijke punt) van de regelmatige vijfhoek verplaatsen. Via de schietknop kun je het hoekpunt A zelfs “wegschieten” zodat een kleine animatie ontstaat.
Beeld Æ werkbalken Æ meetgereedschap
blz. 26
In plaats van te werken met het dialoogvenster meetgereedschap, kies je: Berekeningen Æ afstanden, hoeken, oppervlakte. De vijfhoek arceren: bewerken Æ vlakonderhoud Æ opvullen Via afbeeldingen Æ … kan je een figuur roteren, spiegelen, verschuiven of puntvermenigvuldigen (= homothetie).
Opgave 2 Teken de cirkel c met middelpunt M(2,1) en straal 5. Construeer de raaklijnen uit het punt P(-10,4) aan de cirkel c. Bepaal de vergelijking van deze raaklijnen en de coördinaat van de raakpunten. Nieuwe tekening Æ platte vlak Æ leeg ruitjesblad
blz. 27
Een cirkel tekenen met gegeven middelpunt en straal: Middelpunt vastleggen Bewerken Æ puntonderhoud Æ toevoegen Æ d.m.v. coördinaten Æ carthesische coördonaten Vastleggen, stop
De cirkel tekenen Bewerken Æ cirkelonderhoud Æ toevoegen Æ middelpunt en straal Klik op M Ok
Leg nu zelf het punt P vast. Merk op dat het aantal mogelijkheden na puntonderhoud Æ toevoegen is toegenomen.
De raaklijnen uit P aan c kan je onmiddellijk teken via: Bewerken Æ lijnonderhoud Æ hele lijn toevoegen Æ raaklijnen door punt aan cirkel Verwijder ze weer, we gaan ze zelf construeren Beeld Æ ongedaan maken (of Ctrl-Z)
Constructie van de raaklijnen uit P aan c Teken het lijnstuk [PM] Bewerken Æ lijnonderhoud Æ lijnstuk toevoegen Æ door twee (muisklik) punten Klik op P en op M
blz. 28
Bepaal het midden N van [PM] Bewerken Æ puntonderhoud Æ toevoegen Æ midden van lijnstuk De naam van een punt wijzig je met een van de opties na een rechtermuisknopklik.
Teken een cirkel k met middelpunt N en straal = |NP| Bewerken Æ cirkelonderhoud Æ toevoegen Æ middelpunt + randpunt Klik op N en op P
Bepaal de snijpunten A en B van c met k Bewerken Æ puntonderhoud Æ benoem snijpunten Æ van twee cirkels
Teken de rechten (= raaklijnen) PA en PB Bewerken Æ lijnonderhoud Æ halve lijn toevoegen Æ door twee punten Klik op P en op A Klik op P en op B De vergelijking van de raaklijnen krijg je via: Berekeningen Æ coördinaten en vergelijkingen
blz. 29
Opgave 3 Gegeven de driehoek ABC met A(6,8), B(-4,2), C(6,-4). Gevraagd:
• • • • • • • • • • • • •
teken deze driehoek stel de vergelijking op van de hoogtelijn uit A stel de vergelijking op van de zwaartelijn uit B stel de vergelijking op van de drie middelloodlijnen bepaal de coördinaat van het snijpunt M van de drie middelloodlijnen teken de omgeschreven cirkel aan de driehoek bereken de lengte van de drie zijden bereken de afstand van A tot de zijde BC bereken de oppervlakte en omtrek van de driehoek stel de vergelijking op van de drie bissectrices bepaal de coördinaat van het snijpunt N van de drie bissectrices teken de ingeschreven cirkel van de driehoek bereken de grootte van de drie hoeken van de driehoek
Nieuwe tekening Æ platte vlak Æ driehoek Æ coördinaten van elk hoekpunt
Via bewerken Æ driehoekbewerkingen kan je al heel wat tekenen en berekenen: hoogtepunt en zwaartepunt; ingeschreven en omgeschreven cirkel.
Hoogtelijn uit A Bewerken Æ lijnonderhoud Æ hele lijn toevoegen Æ loodrecht op lijn(stuk) door punt Klik op lijnstuk BC en op het punt A Rechtermuisklik op de getekende hoogtelijn, Æ toon vergelijking Vgl van de hoogtelijn: ……………………………………………
Zwaartelijn uit B Bewerken Æ puntonderhoud Æ toevoegen Æ midden van lijnstuk
blz. 30
Klik op lijnstuk [AC] Bewerken Æ lijnonderhoud Æ hele lijn toevoegen Æ door twee punten Æ Klik op B en op het midden van [AC] Rechtermuisklik op de getekende zwaartelijn, Æ toon vergelijking Vgl van de zwaartelijn: ……………………………………………
De drie middelloodlijnen Bewerken Æ lijnonderhoud Æ hele lijn toevoegen Æ middelloodlijn van lijnstuk Klik op de drie lijnstukken Vgl van de middelloodlijn ui A: …………………………………………… Vgl van de middelloodlijn uit B: …………………………………………… Vgl van de middelloodlijn uit C: ……………………………………………
Coördinaat van het snijpunt M van de drie middelloodlijnen Bewerken Æ puntonderhoud Æ benoem snijpunt(en) Æ van twee lijnen Æ wijs punt aan of wijs lijnen aan Coördinaat van M: ……………………………………………
De omgeschreven cirkel aan de driehoek Bewerken Æ cirkelonderhoud Æ toevoegen Æ middelpunt + randpunt of Bewerken Æ cirkelonderhoud Æ toevoegen Æ door 3 punten of Bewerken Æ driehoekbewerkingen Æ constructie omgeschreven cirkel Berekeningen Æ informatie van een cirkel
blz. 31
De lengte van de drie zijden Via een icoontje op de werkbalk kan je de lengte bij elk lijnstuk, en dus ook bij de zijden, laten plaatsen. |AB| = …………
;
|BC| = …………
;
|AC| = …………
De afstand van A tot de zijde BC Berekeningen Æ afstanden Æ punt – lijn Klik op A, kies lijnstuk [BC] d(A , BC) = …………
Oppervlakte en omtrek van de driehoek Berekeningen Æ omtrek Æ van een driehoek Klik op A, B en C Omtrek = ………………
blz. 32
Berekeningen Æ oppervlakte Æ van een driehoek Klik op A, B en C Oppervlakte = ………………
De drie bissectrices Bewerken Æ lijnonderhoud Æ hoekdeellijn Klik op A, dan op B en dan op C Klik op B, dan op C en dan op A Klik op C, dan op A en dan op B
Coördinaat van het snijpunt N van de drie bissectrices Bewerken Æ puntonderhoud Æ benoem snijpunt(en) Æ van twee lijnen Æ wijs punt aan of wijs lijnen aan Coördinaat van N: ……………………………………………
De ingeschreven cirkel van de driehoek Ook hier zijn er weer drie mogelijkheden. Bewerken Æ driehoekbewerkingen Æ constructie omgeschreven cirkel
blz. 33
De grootte van de drie hoeken van de driehoek Berekeningen Æ hoeken Æ lijn – lijn of hoekmeter
Bl AC = ........................ l = ........................ ABC l = ........................ ACB
blz. 34
4. Een doorsnede onderzoeken Bepaal (en onderzoek) de doorsnede van een kubus met een vlak bepaald door drie punten. Nieuwe tekening Æ ruimtelijk Æ kubus De ribben zijn standaard 6 eenheden lang. De coördinaat van A is (-3,-3,0) en van G (3,3,6). Kies drie punten: Bewerken Æ puntonderhoud Æ toevoegen Æ op lijn(stuk) kies een punt op lijnstuk AB, op lijnstuk CG en op lijnstuk EH.
Arceer de doorsnede van het vlak IJK met de kubus ABCDEFGH: Bewerken Æ vlakonderhoud Æ een vlak arceren
klik op de punten I, J en K
blz. 35
Rond het object heenlopen: Verander in de gereedschapbalk de “ingenieursprojectie” in “langs kijklijn”. Klik nu op het icoontje”loop rondom het object” (= huisje).
De punten I, J en K laten variëren: Via de icoontjes “sleep punt naar nieuwe postie” , “éénpuntsanimatie” en “meerpuntsanimatie” kan je nagaan hoe de doorsnede verandert als I, J en K variëren.
De twee helften van de kubus zichtbaar maken: Bewerken Æ vlakonderhoud Æ splits object langs arcering
Om een beter beeld te krijgen, kan het nuttig zijn de figuren te roteren via het icoontje “analyseer kijklijn”.
blz. 36
De twee helften plaats je weer tegen elkaar via Ctrl-Z
De doorsnede op ware grootte: Bewerken Æ vlakonderhoud Æ een vlak op ware grootte klik op drie punten van het vlak Via het menu “berekeningen” kan je nu de oppervlakte, de omtrek, de lengte van de zijden en de grootte van de hoeken berekenen.
De vergelijking van het vlak opvragen: Berekeningen Æ vergelijking van een vlak klik op drie punten van het vlak
blz. 37
Het snijvlak evenwijdig verschuiven Teken een vlak evenwijdig aan het vlak IJK Bewerken Æ vlakonderhoud Æ een vlak arceren
Verwijder de arcering van het vlak IJK Rechtermuisklik Æ arcering IJK Æ wijzig uitgebreid
blz. 38
5. Een uitslag maken Maak een uitslag van een regelmatig twaalfvlak (dodecaëder). Nieuwe tekening Æ ruimtelijk Æ dodecaëder Bewerken Æ ruimtelijke bewerkingen Æ maak uitslag Æ gedeeltelijk automatisch
De plakrandjes krijg je door naast de ribben te klikken.
blz. 39
6. Ruimtemeetkunde Opgave 1 In onderstaande balk zijn verschillende lijnstukken getekend. Welke lijnstukken zijn evenwijdig, snijdend of kruisend.
Het probleem verkennen: Draai het object een aantal maal om. Je merkt zelf wel, welke lijnstukken evenwijdig zijn en welke niet. Berekeningen Æ tests Æ toon evenwijdige lijnstukken klik op lijnstuk NF
Bewerken Æ puntonderhoud Æ benoem snijpunt Æ van twee lijnen Æ wijs lijnen aan klik op lijnstuk HB en op lijnstuk NF
blz. 40
Opgave 2 Teken de kubus ABCDEFGH en bepaal de ligging van de rechten BD, BG, EG, EA, HM en FB t.o.v. het vlak ACH.
Teken eerst de rechten: Bewerken Æ lijnonderhoud Æ hele lijn toevoegen Æ door 2 punten
Ligging bepalen: Bewerken Æ puntonderhoud Æ benoem snijpunt(en Æ van lijn met vlak kies een rechte en het vlak
Opgave 3 Beschouw een regelmatige vierzijdige piramide TABCD. Het grondvlak ABCD is en vierkant en TS is een loodlijn op dit grondvlak. N is het midden van [BC].
• • • •
toon aan dat de rechte TS de rechte BC loodrecht kruist toon aan dat het vlak TSN loodrecht op de rechte BC staat staat het vlak TSN loodrecht op het vlak TBC? construeer in driehoek TSN de loodlijn uit S op de rechte TN. Ga na dat deze rechte de loodlijn is vanuit het punt M op het vlak TBC. Nieuwe tekening Æ ruimtelijk Æ piramide algemeen Æ grondvlak vierkant (ook hoogtelijn tekenen aanvinken)
blz. 41
Berekeningen Æ hoeken Æ lijn-lijn kies lijnen TS en BC Berekeningen Æ hoeken Æ lijn-vlak kies lijn BC en vlak TSN Berekeningen Æ hoeken Æ vlak-vlak kies vlakken TSN en TBC
Loodlijn uit S op vlak TBC Bewerken Æ lijnonderhoud Æ hele lijn toevoegen Æ dor punt loodrecht op vlak klik op S en kies vlak TBC
Ga na dat deze rechte TN snijdt onder een rechte hoek Bewerken Æ puntonderhoud Æ benoem snijpunt Æ van twee lijnen Æ wijs lijnen aan Berekeningen Æ hoeken Æ lijn-lijn kies TN en de loodlijn uit S op het vlak TBC.
blz. 42
Opgave 4 Gegeven de punten A(2,0,2) , B(1,-1,3) , C(3,2,3) en D(1,1,0) Gevraagd:
• • • • • •
een vergelijking van de rechte AB de vergelijking van het vlak ABC een vergelijking van de loodlijn uit D op het vlak ABC de coördinaat van het snijpunt E van deze loodlijn met het vlak de afstand van D tot de rechte BC de afstand van D tot het vlak ABC Nieuwe tekening Æ ruimtelijk Æ assenkruis Bewerken Æ puntonderhoud Æ toevoegen Æ d.m.v. coördinaten Æ cartesische coördinaten leg de punten A, B, C en D vast
blz. 43
Bewerken Æ lijnonderhoud Æ hele lijn toevoegen Æ door 2 punten klik op A en op B Berekeningen Æ vergelijking van een lijn(stuk) klik op de gevraagde rechte, onderaan het scherm verschijnt de vectorvoorstelling van de gevraagde rechte
Berekeningen Æ vergelijking van een vlak klik op de punten A, B en C
Bewerken Æ lijnonderhoud Æ hele lijn toevoegen Æ door punt loodrecht op vlak klik op D, daarna op het vlak ABC Berekeningen Æ vergelijking van een lijn(stuk)
Bewerken Æ puntonderhoud Æ benoem snijpunt Æ van lijn met vlak klik op de rechte en op het vlak Berekeningen Æ coördinaten van een punt
Berekeningen Æ afstanden Æ punt-lijn klik op D en op de rechte BC merk op dat het voetpunt van de loodlijn uit D op BC wordt berekend en getekend. Berekeningen Æ afstanden Æ punt-vlak klik op D en op het vlak ABC
blz. 44
7. Een functie (onder)zoeken Raad het functievoorschrift Nieuwe tekening Æ toepassingen Æ raad het functievoorschrift Æ leerling
Kies moeilijkheidsgraad en functiesoort.
blz. 45
Een functie tekenen (en onderzoeken) Nieuwe tekening Æ platte vlak Æ teken grafieken
Bewerken Æ functies en krommen Æ analyse
blz. 46
8. Discrete dynamische processen In een visvijver leven op zeker moment ongeveer 6000 exemplaren van een zekere soort zoetwatervis. Door natuurlijke sterfte en de hengelsport neemt dat aantal jaarlijks met 20% af. Een sportvisclub die het recht op visvangst in die vijver heeft gepacht, besluit om jaarlijks 400 vissen uit te zetten in die vijver.
• •
Stel het aantal vissen na t jaar voor door N(t) en stel een recurrente betrekking (differentievergelijking) op voor de rij N(t). Teken bij die recurrente betrekking een tijdgrafiek en onderzoek of het aantal vissen na verloop van jaren een bepaald evenwicht bereikt.
Nieuwe tekening Æ platte vlak Æ recursie analyse
blz. 47
9. Kansbomen (telproblemen) In een vaas zitten 4 groene en 2 rode knikkers.
• •
We trekken 3 knikkers zonder teruglegging. Bereken de kans op precies één rode knikker. We trekken 3 knikkers met teruglegging. Bereken de kans op precies één rode knikker.
Nieuwe tekening Æ statistiek en kans Æ boomdiagram
Antwoord: ………………
blz. 48
Antwoord: ………………
blz. 49
10.
Beschrijvende statistiek Gegeven volgende frequentietabel: klasse [18 , 21[ [21 , 24[ [24 , 27[ [27 , 30[ [30 , 33[ [33 , 36[ [36 , 39[ [39 , 42[ [42 , 45[ [45 , 48[
absolute frequentie 0 3 7 10 12 13 11 8 4 0
Gevraagd:
• • •
Histogram + frequentiepolygoon Ogief Boxplot
Nieuwe tekening Æ statistiek en kans Æ frequentietabel Æ handmatig invoeren (intervalnotatie aanvinken)
verwerk tabel
blz. 50
blz. 51
11.
Waarschijnlijkheidspapier Een koffiebranderij heeft een nieuwe vulmachine gekocht voor het vullen van pakjes koffie van 1 kg. Omdat deze machine nog moet worden afgesteld besluit de koffiebrander 80 pakjes koffie te vullen waarbij hij de machine instelt op 1005 gram. De resultaten (afgerond op 1 gram) zijn: Hoeveelheid koffie (afgerond op 1 gram)
Aantal pakjes = absolute frequentie
relatieve frequentie
995 996 997 998 999 1000 1001 1002 1003 1004 1005
1 1 2 3 4 3 6 2 9 6 13
1,25 % 1,25 % 2,50 % 3,75 % 5,00 % 3,75 % 7,50 % 2,50 % 11,25 % 7,50 % 16,25 %
• • • •
Hoeveelheid koffie (afgerond op 1 gram)
Aantal pakjes = absolute frequentie
relatieve frequentie
1006 1007 1008 1009 1010 1011 1012 1013 1014 1015
4 7 8 4 2 2 1 1 0 1
5,00 % 8,75 % 10,00 % 5,00 % 2,50 % 2,50 % 1,25 % 1,25 % 0,00 % 1,25 %
Bereken het gemiddelde en de standaardafwijking. Teken bijbehorend histogram, neem als klassenbreedte 1 gram. Is de 68 – 95 – 99,7 regel hier van toepassing? In de veronderstelling dat het vullen van pakjes koffie normaal verdeeld is, teken deze normale verdeling en bereken • hoeveel % van de pakken koffie (bij benadering) 1 kg bevatten, • hoeveel % van de pakken koffie tussen de 1000 gram en 1010 gram bevat, • hoeveel % van de pakken minder dan 1 kg bevat. Benader µ door x en σ door s?
Nieuwe tekening Æ statistiek en kans Æ frequentietabel Æ handmatig invoeren Æ verwerk tabel (vergeet niet bij configuratie te kiezen voor standaarddeviatie baseren op n -1).
blz. 52
Wanneer je de optie kansdichtheidsfunctie aanvinkt, verschijnt de normale verdeling die bij dit histogram hoort.
Om na te gaan of de 68 – 95 – 99,7 regel hier van toepassing is, schakelen we over op normaal waarschijnlijkheidspapier (de normal probality plot). Op dit papier is de verticale as zodanig aangepast dat de cumulatieve grafiek van elke normaal verdeelde kansfunctie hierop een rechte lijn wordt. Dit lukt door de verticale as vooral bij de uitersten (dichtbij de frequenties 0% en 100%) flink uit te rekken.
blz. 53
Merk op dat deze punten een duidelijk lineair verband tonen op het normaal waarschijnlijkheidpapier. We kunnen nu ook gemakkelijk via het aanvinken van vuistregel 1, 2 of 3 de 68-95-99,7-regel nagaan.
blz. 54
Voor het berekenen van de gevraagde %, kies je in het openingsscherm voor “analyse normaal model” en voeg je de gekende gegevens in.
blz. 55
12.
Animaties Bepaal de doorsnede van een kubus met een vlak bepaald door drie punten stap voor stap en maak hiervan een animatie. Nieuwe tekening Æ ruimtelijk Æ kubus Klik op het icoontje “Start opnemen nieuwe animatie” en kies hier voor opnemen. Je krijgt nu een dialoogvenster waarin de naam van de animatie wordt gevraagd. Alle aangemaakte figuren komen in een afzonderlijke map met dezelfde naam als het bestand zelf. Een opnamebestand krijgt de extensie “opn” mee.
Het onderstaande venster verschijnt. Hierin kan je twee verschillende opties aanvinken: Beweging vanaf nu opnemen: Iedere beweging wordt opgenomen en onderaan kan je aanduiden hoe lang iedere dia blijft staan. Omschrijving bij elke volgende dia invoeren: Telkens je op de knop “Voeg huidige tekening toe aan animatie” klikt, verschijnt een dialoogvenster waarin een omschrijving kan worden ingegeven. Bepaal de doorsnede stap voor stap, en klik na iedere stap op “Voeg huidige tekening toe aan animatie”. Nadien klik je op het andere icoontje om de opname te stoppen.
blz. 56
Uitwerking: Opname starten Projecteer K op grondvlak Bewerken Æ lijnonderhoud Æ hele lijn toevoegen Æ door punt loodrecht op vlak Punt K, vlak ABC Î rechte l Î tekening toevoegen aan dia Bewerken Æ puntonderhoud Æ benoem snijpunt Æ van twee lijnen Rechte l en lijnstuk AD Î punt M Î tekening toevoegen aan dia Maak rechte l onzichtbaar(rechtermuisknop) Bewerken Æ lijnonderhoud Æ lijnstuk KM toevoegen Î tekening toevoegen aan dia De projectie van J op grondvak is punt C Bepaal snijpunt van rechte MC met rechte KJ Bewerken Æ lijnonderhoud Æ hele lijn toevoegen Æ door twee punten K en J Î tekening toevoegen aan dia Bewerken Æ lijnonderhoud Æ hele lijn toevoegen Æ door 2 punten M en C Î tekening toevoegen aan dia Bewerken Æ puntonderhoud Æ benoem snijpunt Æ van twee lijnen Rechte MC en rechte KJ Î punt P Î tekening toevoegen aan dia IP = snijlijn van het vlak IJK met het grondvlak Bewerken Æ lijnonderhoud Æ hele lijn toevoegen Æ door twee punten I en P Î tekening toevoegen aan dia Bewerken Æ puntonderhoud Æ benoem snijpunt Æ van twee lijnen Rechte IP en lijnstuk BC Î punt R Î tekening toevoegen aan dia Bewerken Æ lijnonderhoud Æ lijnstuk IR toevoegen Î tekening toevoegen aan dia Teken lijnstuk RJ Bewerken Æ lijnonderhoud Æ lijnstuk RJ toevoegen Î tekening toevoegen aan dia
blz. 57
Teken lijnstuk KT Bewerken Æ lijnonderhoud Æ hele lijn toevoegen Æ door punt evenwijdig aan lijnstuk Klik op K, kies lijnstuk IR Î tekening toevoegen aan dia Bewerken Æ puntonderhoud Æ benoem snijpunt Æ van twee lijnen Evenwijdige door K en lijnstuk HG Î punt T Î tekening toevoegen aan dia Maak de evenwijdige onzichtbaar (rechtermuisknop) Bewerken Æ lijnonderhoud Æ lijnstuk KT toevoegen Î tekening toevoegen aan dia Teken lijnstuk TJ Bewerken Æ lijnonderhoud Æ lijnstuk TJ toevoegen Î tekening toevoegen aan dia Teken lijnstuk KU Bewerken Æ lijnonderhoud Æ hele lijn toevoegen Ædoor punt evenwijdig aan lijnstuk Klik op K, kies lijnstuk JR Î tekening toevoegen aan dia Bewerken Æ puntonderhoud Æ benoem snijpunt Æ van twee lijnen Evenwijdige door K en lijnstuk AE Î punt U Î tekening toevoegen aan dia Maak de evenwijdige onzichtbaar (rechtermuisknop) Bewerken Æ lijnonderhoud Æ Lijnstuk KU toevoegen Î tekening toevoegen aan dia Teken lijnstuk UI Bewerken Æ lijnonderhoud Æ lijnstuk UI toevoegen Î tekening toevoegen aan dia Doorsnede IRJTKU arceren Bewerken Æ vlakonderhoud Æ een vlak arceren Je hebt nu de keuze : en doorsnede of een veelhoek (6 hoeken) Î tekening toevoegen aan dia Opname stoppen
blz. 58
Animatie afspelen Klik opnieuw op de camera zodat het venster “camera” opnieuw verschijnt. Kies voor “afspelen”, selecteer de gewenste animatie en druk op OK. Je krijgt een dialoogvenstertje te zien met knoppen die vergelijkbaar zijn met die van een videorecorder.
blz. 59
Geogebra Geocadabra is een wiskundepakket dat (vlakke) meetkunde, algebra en analyse combineert. Het programma is ook bruikbaar tijdens de lessen beschrijvende statistiek in de tweede graad. Enerzijds is GeoGebra een dynamisch meetkundepakket. Je kan constructies uitvoeren met punten, vectoren, lijnstukken, rechten en kegelsneden en je kan deze tekenobjecten daarna dynamisch wijzigen. Anderzijds kunnen functies, vergelijkingen en coördinaten rechtstreeks worden ingevoerd. Met GeoGebra is het dus ook mogelijk om met variabelen te werken voor getallen, te rekenen met vectoren en punten, afgeleiden en integralen van functies te berekenen en er zijn ook commando’s voorzien om bijv. nulpunten of extrema te berekenen.
website:
www.geogebra.org
auteur:
Markus Hohenwarter
plusjes:
+ + + +
gratis veelzijdig, Nederlandstalig en eenvoudig in gebruik dynamisch draait vanaf stick
extra info:
blz. 60
1. Inleiding Geogebra is zo veelzijdig en nog volop in ontwikkeling dat het onmogelijk is om hier een volledig beschrijving van het pakket te geven. De volgende voorbeelden illustreren de mogelijkheden van geogebra. Hopelijk vormen ze een aanzet om zelfstandig het pakket verder te verkennen. Nadat GeoGebra wordt opgestart zie je het hierna afgebeelde venster:
Werkbalk
Teken Venster Algebra Venster
Invoerveld
CAS Venster
Rekenblad
In de werkbalk vind je een aantal tekenopdrachten waarmee je constructies kunt uitvoeren in het tekenvenster. Terzelfder tijd worden de overeenkomstige coördinaten en vergelijkingen getoond in het algebravenster. Het invoerveld kan gebruikt worden om rechtstreeks coördinaten, vergelijkingen, commando’s en functies in te voeren; onmiddellijk na het indrukken van ENTER worden alle overeenkomstige objecten in het tekenvenster getoond.
blz. 61
2. Omgeschreven cirkel aan een driehoek Teken een driehoek ABC en construeer de omgeschreven cirkel.
Constructie met de muis Via het menu beeld vinken we eerst de Assen en het Algebravenster uit. Selecteer de opdracht Veelhoek in de werkbalk. Klik in het tekenvenster om de hoekpunten A, B, en C te plaatsen. Sluit de driehoek door terug op A te klikken. Kies vervolgens de opdracht Middelloodlijn en construeer twee middelloodlijnen door op twee zijden van de driehoek te klikken. Maak nu gebruik van de opdracht Snijpunt(en) van 2 objecten en klik achtereenvolgens op de twee middelloodlijnen om het middelpunt te bepalen van de omgeschreven cirkel van de driehoek. Noem dit punt “M” door met de rechter muisknop te klikken op het punt en daarna in het snelmenu te kiezen voor Naam wijzigen. Kies om te eindigen de opdracht Cirkel (onder het vijfde icoon) met middelpunt door punt en klik eerst op het middelpunt van de cirkel en vervolgens op een hoekpunt van de driehoek. Kies de opdracht Verplaatsen en maak gebruik van de muis voor het wijzigen van de positie van één van de hoekpunten - je zal ervaren wat men bedoelt met de term “dynamische meetkunde”. blz. 62
Enkele tips
•
De opdracht Ongedaan maken in het “Bewerken”-menu is een zeer nuttig hulpmiddel om een stap terug te keren in de constructie.
•
Je kunt objecten onzichtbaar en dan weer zichtbaar maken door op het object te klikken met de rechtermuisknop. Verwijder of plaats een vinkje in het snelmenu bij Toon object. Het object zal verdwijnen uit het tekenvenster of er opnieuw in verschijnen.
•
De attributen van de objecten (kleur, lijntype, ...) kunnen op een eenvoudige manier gewijzigd worden: gebruik daartoe opnieuw de rechtermuisknop om op het object te klikken en kies “Eigenschappen” in het snelmenu.
•
Via het menu “Beeld” kan men het algebravenster, de assen en het rooster verbergen of tonen.
•
Om de positie van het tekenvenster te wijzigen, kies je de opdracht “Verplaats tekenvenster” en maak je eenvoudigweg gebruik van de muis om het te verplaatsen.
•
De opdracht “Overzicht constructiestappen” in het menu “Beeld“ geeft een lijst met alle constructiestappen die je genomen hebt bij het uitvoeren van de constructie. Dit geeft je de mogelijkheid de constructie stap voor stap te herhalen met de pijltjestoetsen, en laat je ook toe de volgorde van de verschillende constructiestappen te wijzigen
Tekenvenster kopiëren naar klembord
• • • •
Klik op de knop verplaatsen (= pijl linksboven) Markeer een rechthoek rond het gebied dat je naar het klembord wil kopiëren Bewerken, tekenvenster kopiëren of Ctrl-Shift-C Ga naar Word en plak het gemarkeerde tekengebied op de gewenste plaats.
blz. 63
Constructie door gebruik te maken van het invoerveld Teken de omgeschreven cirkel aan de driehoek ABC met A(2,1), B(12,3) en C(8,8).
Tik volgende commando’s in in het invoerveld onderaan het scherm, sluit elke lijn af met ENTER. A = (2,1) B = (12,3) C = (8,8) Veelhoek[A,B,C] Ma = Middelloodlijn[a] Mb = Middelloodlijn[b] M = Snijpunten[Ma,Mb] Cirkel[M,A]
Enkele tips
•
Automatische vervollediging van de commando’s: nadat de eerste twee letters van een commando werden ingetikt, wordt het commando automatisch vervolledigd en getoond. Indien je akkoord gaat met de getoonde suggestie, druk dan ENTER. Indien je niet akkoord gaat met de voorgestelde opdracht, tik dan gewoon de volgende letters van de opdracht verder in.
•
Het is niet nodig elk commando in te tikken. Je kunt het ook selecteren uit de lijst met de commando’s, deze lijst bevindt zich rechts van het invoerveld.
blz. 64
•
Door te klikken op het “invoer”- icoon (rechts onder) wordt het invoerveld geactiveerd. In deze modus kan je op een object in het algebravenster of in het tekenvenster klikken, de naam van het object wordt dan automatisch in het invoerveld geplaatst.
•
Meer praktische tips in verband met het invoerveld vind je door op het vraagteken dat zich in de hoek links onder bevindt te klikken.
•
Het is ook mogelijk om de opeenvolgende stappen van de constructie als een soort diamontage weer te geven. Klik op “beeld” en nadien op “Navigatiebalk voor constructieoverzicht”.
Je kan ook een overzicht krijgen van de constructiestappen. Klik op “beeld” en nadien op “Overzicht constructiestappen”.
blz. 65
3. Hoeken – lengte – oppervlakte Twee opeenvolgende zijden van een parallellogram meten 5 cm en 8 cm en vormen een hoek van 50°. • Bereken de lengte van de diagonalen van dit parallellogram. • Bereken de oppervlakte van dit parallellogram. oplossing
• • •
Teken een punt A en 8 eenheden verder (naar rechts) een punt B Teken het lijnstuk AB Icoontje “Hoek met gegeven grootte”, klik eerst op B daarna op A
•
De hoekaanduiding 50° verschijnt samen met een punt B’ (desnoods even uitzoomen) Teken de halfrechte door A en het punt B’ Icoontje “Cirkel met middelpunt en straal”, klik op A en geef als straal 5 Bepaal het snijpunt D van de halfrechte met de cirkel via “Snijpunt van twee objecten” Icoontje “Evenwijdige rechte”, klik op D daarna op lijnstuk AB, klik op D daarna op de halfrechte AB’ Bepaal het snijpunt C van deze twee evenwijdige rechten Teken de veelhoek ABCD. Icoontje “Veelhoek” en klik op A, B, C, D en A
• • • • • •
blz. 66
• • • •
Maak de overtollige objecten onzichtbaar. Rechtermuisknop, vinkje weg bij object tonen. Teken de diagonalen Icoontje “Afstand of lengte”, klik op beide diagonalen Icoontje “Oppervlakte”, klik op het parallellogram
blz. 67
opgave 2 Bepaal de grootte van de hoeken, de omtrek en de oppervlakte van de driehoek ABC met A(2,1), B(12,3) en C(8,8).
• • • • • • • • • •
A = (2,1) B = (12,3) C = (8,8) driehoek := Veelhoek[A,B,C] Æ de oppervlakte van de driehoek verschijnt in het algebravenster Hoek[B,A,C] Æ de grootte van de hoek A verschijnt Hoek[C,B,A] Æ de grootte van de hoek B verschijnt Hoek[A,C,B] Æ de grootte van de hoek C verschijnt Rechtermuisklik op lijnstuk BC, eigenschappen, basis, labels tonen: naam & waarde Analoog voor de lijnstukken AC en AB omtrek := Omtrek[driehoek]
blz. 68
4. De kwadratische functie Maak een applet die de invloed van de parameters a , α en β illustreert bij de kwadratische functie f ( x) = a ( x − α ) + β . 2
Klik op het icoontje “schuifknop”. Klik ergens op het scherm en volgend scherm opent zich.
Zet min op – 5 en max op 5 en kies 0.5 als stapgrootte. Voer nadien nog 2 schuifknoppen in en geef deze de namen α en β . (met rechtermuisknop op schuifbalk klikken en naam wijzigen). Typ in het commandovenster: y = a * (x - α )^2 + β Verander nu de schuifknoppen. Wat stel je vast?
blz. 69
5. Transformaties van het vlak Verschuivingen Verschuif een figuur volgens een gegeven vector.
Via icoontje ABC optie “afbeelding invoegen” kan je tekeningen importeren in GeoGebra. Klik ergens op het scherm waar de afbeelding moet worden ingevoegd en haal dan de gewenste figuur op. Teken een vector (icoontje 3 “vector tussen 2 punten”) en kies vervolgens voor “verschuiving volgens vector” (icoontje “lijnspiegeling”). Klik eerst op de figuur en dan op de vector.
Rotaties
blz. 70
Puntspiegelingen
Homothetieën
Opgave Maak een applet voor het roteren van een figuur waarbij de hoek kan variëren tussen 0° en 180°. Maak een applet voor het beeld van een figuur onder een homothetie waarbij de vergrotingsfactor varieert van 0.2 tot 5.
blz. 71
6. Macro’s Maak een macro die een gegeven lijnstuk in drie gelijke delen verdeeld. Het probleem gewoon oplossen
• • • • • • • •
Teken een punt A Teken een punt B Teken het lijnstuk AB (lengte = a) Teken de cirkel met middelpunt A en straal a / 3 Teken de cirkel met middelpunt B en straal a / 3 Doorsnede eerste cirkel met het lijnstuk is C Doorsnede tweede cirkel met het lijnstuk is D Verberg nu beide cirkels
De gevraagde macro maken
• • • •
Menu Macro’s Nieuwe macro aanmaken Eindobject: de punten C en D Beginobject: de punten A en B
•
De macro is klaar, je hebt nu een nieuw icoontje op de werkbalk
blz. 72
Uitdaging Maak een macro die je in staat stelt om efficiënt het “eiland van Koch” ook wel de “sneeuwvlokkromme van Koch” genoemd te tekenen. (1) teken een gelijkzijdige driehoek (2) verdeel elke zijde in 3 gelijke delen (3) construeer op het middelste deel opnieuw een gelijkzijdige driehoek (naar buiten toe) en laat het middelste deel weg (4) begin opnieuw bij (2)
blz. 73
7. Beschrijvende statistiek In volgende tabel staat het gewicht van 60 appelsienen van een bepaald merk gemeten tot op één gram nauwkeurig. 183 182 155 173 230 128
159 181 170 149 151 225
196 222 153 146 203 159
221 188 181 167 212 174
219 186 189 171 236 208
232 178 191 139 188 201
138 237 182 176 177 211
184 211 243 180 206 204
216 247 148 193 181 157
164 174 172 181 208 163
Kengetallen – histogram – boxplot
• • • • • •
Beeld rekenblad Geef de steekproefwaarden in Markeer de ingevoerde steekproefwaarden en klik op het icoontje “One Variable Analysis” Kies bij opties “toon tweede grafiek” Kies “histogram + aantal klassen” bij de ene grafiek en “boxplot” bij de tweede grafiek Wil je het histogram of de boxplot bewerken (bvb assen bijvoegen) dat moet je deze eerst exporteren naar het tekenvenster (rechtermuisknop, kopieer naar tekenvenster)
Kan je op basis van deze gegevens een 95% betrouwbaarheidsinterval opstellen voor het gemiddeld gewicht van een appelsien?
•
Verander “Statisiek” in “T Estimate of Mean”
Antwoord: [179,34 gram ; 193,96 gram]
blz. 74
In volgende tabel staat het gewicht van 40 appelsienen van een bepaald merk gemeten tot op één gram nauwkeurig.en het aantal centiliter sap dat men er heeft uitgeperst. gram 189 490 196 182 186 159 191 180
cl 6,5 7,2 6,8 6,6 7,0 5,7 6,5 7,1
gram 207 191 199 188 182 174 206 183
cl 7,8 7,3 7,2 6,8 6,5 6,5 7,6 6,7
gram 217 164 193 171 164 177 174 200
cl 8,3 6,0 7,8 6,4 6,2 6,4 5,5 7,6
gram 178 166 210 173 195 202 181 185
cl 8,1 7,1 7,7 7,6 6,8 7,4 7,2 7,0
gram 205 202 189 165 192 200 195 197
ci 6,9 6,7 6,7 7,1 7,9 8,1 7,3 7,4
Regressie en correlatie
• • •
Beeld rekenblad Geef de steekproefwaarden in Markeer de ingevoerde steekproefwaarden en klik op het icoontje “Two Variable Regression Analysis”
blz. 75
Het gewicht van pakjes koffie is normaal verdeeld met een gemiddelde van 1010 gram en een standaardafwijking van 8 gram. Bereken de kans dat een aselect pakje koffie minder dan 1 kg weegt.
•
Beeld rekenblad, icoontje waarschijnlijkheidsrekening
Bij de jaarlijkse tombola van de lokale voetbalploeg heb je één kans op zes om een prijs te winnen. Als ik 10 lotjes koop, wat is dan de kans dat ik minstens driemaal prijs heb?
blz. 76
8. Analyse Verloop van een veeltermfunctie Onderzoek het verloop van de functie f ( x) =
1 3 x + 3x 2 − 9 x + 5) ( 8
Commandoregel: f(x) = (x^3 + 3x^2 – 9x + 5) / 8 nulpunten[f] A = (-5,0) B = (1,0) extrema[f] C = (-3,4) D = (1,0) buigpunten[f] E = (-1,2) raaklijn[E,f] y = -1,5x + 0,5
blz. 77
afgeleide[f] f’(x) = 0,38 x² + 0,75x –1,12 afgeleide[f,2] f”(x) = 0,75x + 0,75
blz. 78
Oppervlakte onder de grafiek van een functie Bepaal de oppervlakte tussen de grafiek van de functie f ( x) =
1 3 3 2 1 x − x + x+9 4 2 2
en de x-as over het interval [a,b].
• • •
Definieer de functie via de commandoregel. Plaats de punten A en B op de x-as. Maak een schuifknop waarbij n varieert van 1 tot 100 met stapgrootte 1.
Om de ondersom van de functie f in het interval [a,b] met n rechthoeken te berekenen, typ je: ondersom[f , x(A) , x(B) , n] Om de bovensom van de functie f in het interval [a,b] met n rechthoeken te berekenen, typ je: bovensom[f , x(A) , x(B) , n] Om de (georiënteerde) oppervlakte tussen de grafiek van de functie f en de x-as over het interval [a,b] te berekenen, typ je: integraal[f , x(A) , x(B)]
blz. 79
Peanut-reeks De Peanut-reeks bestaat uit een reeks van acht verschillende programma’s:
• • • • • • • •
winstats winplot of winplotnl wingeom of wingeomnl winfeed windisc wincalc winmat winarc.
website:
math.exeter.edu/rparris/
auteur:
Rick Parris
plusjes:
+ gratis + draait vanaf een stick, geen installatie nodig + verrassend, hier vind je ‘dingen’ die je bij andere programma’s zelden vindt.
minpuntje:
- moeilijke menustructuren, het duurt een tijdje alvorens je weet wat je waar kan vinden.
blz. 80
1. WinStats Voorbeeld 1 Gooi 1000 maal met twee dobbelstenen en verwerk je resultaten.
• • • • •
“Window, Simulations, Roll Dice” Do number = 1000 Do many (F12) Do Statistics Statistics histogram & Statistics Boxplot.
blz. 81
Voorbeeld 2 Op een dag worden aan de schoolpoort het gewicht van de boekentas van 60 leerlingen gewogen en afgerond tot op 1 kg. De resultaten vind je in onderstaande tabel. Verwerk deze gegevens. 13 9 16 9
17 13 10 17
12 15 13 12
18 12 20 13
11 16 12 14
14 11 15 11
12 19 11 13
15 12 13 14
10 14 16 11
14 10 12 15
12 13 14 19
13 18 10 11
14 12 17 14
11 16 12 10
15 9 13 15
Beschrijvende statistiek De gegevens geef je het beste in via een tekstbestand dat je nadien in winstats opent. • “Window, 1-var data” of F1 • “File, Text In”, tekstbestand openen • “Stats, Histogram, Groups” • “Stats, Histogram, Frequencies” • “Stat, Boxplots”
blz. 82
Voorbeeld 3 Een machine vult pakken met suiker. De massa suiker die door de machine afgeleverd wordt, is normaal verdeeld met µ = 1015 gram en σ = 10 gram.
• •
Hoeveel % van de afgeleverde pakken bevat minder dan 1 kg? Boven welke gewichtsgrens ligt 10 % van de pakken suiker?
• • •
“Window,, probability, normal” “Edit parameters” “Calc probabilities (Ctrl-C)”
blz. 83
2. WinPlot 3D-oppervlakken zoals kwadrieken (bol, ellipsoïde, paraboloïde, …) kan je tekenen en roteren m.b.v. winplot.
• •
Window, 3-dim of F3 Equa 1. 2. 3. 4. 5.
Explicit (F1) Parametric (F2) Implicit (F3) Cylindrical (F4) Spherical (F5)
De figuur kan je roteren m.b.v. de pijltjes.
Omwentelingsparaboloïde Expliciet
z = x2 + y2
Parametervorm
⎧ x = t.sin(u ) ⎪ ⎨ y = t.cos(u ) ⎪z = t2 ⎩
0
Cilindercoördinaten z = r 2
Eenbladige omwentelingshyperboloïde
Parametervorm
⎧ x = sec(t ).sin(u ) ⎪ ⎨ y = sec(t ).cos(u ) ⎪ ⎩ z = tan(t )
−
π
π
3 3 0 < u < 2π
Cilindercoördinaten z 2 = r 2 − 1
blz. 84
Zadeloppervlak Expliciet
z = x2 − y2
Torus
Parametervorm
⎧ x = ( 5 + 2sin(t ) ) .sin(u ) ⎪ ⎨ y = ( 5 + 2sin(t ) ) .cos(u ) ⎪ z = 2 cos(t ) ⎩
0 < t < 2π 0 < u < 2π
Schelp Bolcoördinaten
r =t
0 < t < 2π 0
blz. 85
3. WinGeom Voor vlakke meetkunde bestaat er geen beter pakket dan Geogebra. Het enige voordeel dat Wingeom biedt, is dat het programma klein is in omvang en draait van op je memoriestick, m.a.w. je moet niet eerst een hele procedure via je ICT-coördinator doorlopen om het geïnstalleerd te krijgen. In de laatste versie van Wingeom kun je ook (in beperkte mate) aan ruimtemeetkunde doen. Window (= scherm in het NL), 2-dim of F2 (resp. 3-dim of F3), standaard …
B
C
blz. 86
4. WinFeed Met winfeed teken je webdiagrammen of kun je prachtige fractals tevoorschijn toveren.
• •
Window Mandelbrot
Rechtermuisknop om plaatselijk in te zoomen.
blz. 87
5. WinDisc Voorbeeld 1 – Banzhaf In een klein dorpje ergens in het zuidoosten konden bij de laatste verkiezingen de inwoners stemmen op drie partijen A, B en C. Partij A haalde 7 van de 15 zetels net zoals partij B, partij C moest het stellen met slechts één zetel. Wanneer men nu besluit dat elke beslissing d.m.v. een meerderheid moet gebeuren, m.a.w. 8 op de 15 stemmen volstaan om te beslissen (quotum = 8) zijn volgende coalities mogelijk: AB – AC – BC – ABC. M.a.w. C is voor het vormen van een meerheid gelikwaardig met A en B. Men zegt dat A, B en C evenveel ‘macht’ hebben, namelijk 33,3 % van de macht. Moet men beslissen met een twee derden meerderheid, m.a.w. 10 van de 15 stemmen (quotum = 10) zijn volgende coalities mogelijk: AB en ABC. M.a.w. A en B zijn beiden nodig en de aanwezigheid van C is niet relevant. A en B hebben nu evenveel ‘macht’ (elk 50%) en C is machtloos. Veronderstel nu even 4 partijen A, B, C en D waarbij A 7 zetels, B 4 zetels, C 3 zetels en D één zetel heeft en men het quotum vastlegt op 11. Hoe is de machtsstructuur dan verdeeld? Om dit te berekenen bestaan er twee berekeningswijzen de Shapley-Shubik index (veel rekenwerk) en de Banzhaf-index.
• • • • • •
window – Banzhaf edit – number of blocs klik op de getallen onder weight en vul de gewenste waarden in edit quota calc: kies Banzhaf of Shapley calc – all cases
blz. 88
Voorbeeld 2 – Graphs Gegeven volgende graaf B
4 3
3
A
C 3
2
F
1
H 1
4
1
D
G 5
5 2
De graaf tekenen
• •
E
window – Graph file – new – point Plaats de punten op de gewenste plaats via een rechtermuisklik. Teken de verbindingslijnen door de muis links ingeklikt te houden. Wil je letters i.p.v. stippen: • Edit – All labels – Alphabet (Ctrl-A) Punten verwijder je via: • Btns – Redraw deletion – rechtermuisklik Punten verplaatsen: • Btns – Vertex move – klik op het gewenste punt en verplaats het Gewichten plaatsen: • Edit – Weight – rechtermuisklik bij elk label – geef correcte waarde in – enter
Paden en bomen
•
Een pad tussen twee punten A en B van een graaf is een opeenvolging van lijnstukken die beginnen in A en eindigen in B en waarbij elk punt hoogstens één keer voorkomt.
•
Een kortste pad tussen twee punten A en B is een pad waarbij de som der gewichten van de opeenvolgende lijnstukken het laagst is.
•
Een cykel of circuit is een pad met zelfde begin en eindpunt. blz. 89
•
Een boom is een graaf dat alle punten met elkaar verbindt en geen cykels bevat.
•
Een kortste boom is een boom waarbij de som van de gewichten van de lijnstukken het laagst is.
Kortste boom
•
Algo – MST – Kruskal of Prim B
C 3
3
2 F
1
A
H
1
1
D
G 2 E
Kortste pad van A naar …
•
Algo – Dijkstra – geef vertrekpunt in
B
C 3
3
A
2 1
F
H 1
4
D
G 2
E
blz. 90
6. WinCalc • • •
Bereken exact 2100 Bepaal alle elementaire Pythagoreese drietallen tot een maximale waarde van de schuine zijde gelijk aan 2000 Bepaal alle priemgetallen tot 2000
blz. 91
7. WinArc
3
4 9
7
3
6
1
2
6
4
6 7 6
2
5 8
5
1
9
4
2 1
7
6 8
7
blz. 92
