Az Elemek.
Az el˝ ozm´ enyek.
Euklidesz: Elemek. El˝ozm´enyek 1.
´ ja. A klasszikus kor matematika
1
Euklidesz az Akad´emi´an tanulhatott, de Alexandri´aban dolgozott I.e. 300 k¨ or¨ ul.
2
A klasszikus kor ut´an ´elt, de annak szellem´eben ´ırta k¨ onyveit (Elemek, K´ upszeletek, Optika, stb.).
3
Az Elemek a klasszikus kor matematik´aja egy r´esz´enek enciklop´edikus osszefoglal´asa, mai sz´ ¨ ohaszn´alattal nem form´alis axi´ omatikus elm´eletk´ent. Sok szerz˝ o m˝ uv´eb˝ ol ´all´ıtotta ¨ ossze.
Az els˝ o enciklop´edia
Klukovits Lajos TTIK Bolyai Int´ ezet
2015. okt´ ober 13.
4
1 2
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klasszikus kor.
Az Elemek.
2015. okt´ ober 13.
1 / 54
Klasszikus kor.
Az Elemek.
2015. okt´ ober 13.
2 / 54
Az el˝ ozm´ enyek.
Az Elemek szerkezete.
Milyen form´aban maradt f¨onn? 1 2
3
4
5 2
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Az el˝ ozm´ enyek.
El˝ozm´enyek 2 .
1
khioszi Hippoktatesz, a platonista Leon k¨ onyvei, Eudoxos ´es Theaitetosz sz´amos eredm´eny´et ´ep´ıtette be.
A meg´ır´as kor´ab´ ol nincs f¨onnmaradt k´ezirat. K´es˝ obbi g¨ or¨ og komment´arok: az alexandriai Heron, Pappos (I.sz. 3. sz.), az alexandriai Theon ´es a neoplatonista Proklosz (I.sz. 4. ´es 5. sz.) a legjelent˝ osebbek. A t˝ ol¨ uk sz´armaz´ o g¨ or¨ og nyelv˝ u t¨ored´ekek ´es a k´es˝obbi arab ford´ıt´asok az autentikus forr´asok. A legr´egebbi teljes k´ezirat 10. sz´azadi ´es a Vatik´ani K¨onyvt´arban ˝ orzik. G¨or¨ og nyelv˝ u v´altozat a Theon el˝otti id˝okb˝ol. Bath-i Adelard latin ford´ıt´asa 1142.
Euklidesz t¨obbi k¨onyve jelenleg ismeretlen, a K´ upszeletek Apolloniusz k¨onyv´enek elej´en r´eszben olvashat´ o.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klasszikus kor.
2015. okt´ ober 13.
3 / 54
13 k¨ onyvb˝ ol” ´all. ” Kev´es kiv´etellel mindegyik defin´ıci´ okkal kezd˝ odik. Ezeket v´altoz´ o sz´am´ u t´etel ´es azok szigor´ u bizony´ıt´asa k¨ oveti. Az els˝ o k¨ onyv m´as: a defin´ıci´ ok ut´an 5 posztul´atum (mai terminol´ ogi´aval axi´ oma) majd 9 axi´ oma (ma axi´ oma s´ema) k¨ ovetkezik a t´etelek el˝ ott. Megjegyz´ es. Az axi´ om´ak sz´ama kiad´asr´ ol-kiad´asra v´altozhat, olykor a posztul´atumokhoz csatolj´ak.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klasszikus kor.
2015. okt´ ober 13.
4 / 54
Az Elemek.
A geometriai k¨ onyvek.
Az Elemek.
Az I. K¨onyv.
A geometriai k¨ onyvek.
Az I. K¨onyv.
Defin´ıci´ok. Defin´ıci´ok.
I.1.D Pont az, aminek nincs r´esze. I.2.D A vonal sz´eless´eg n´elk¨ uli hossz´ us´ag.
I.15.D A k¨ or s´ıkbeli alakzat, amelyet egy vonal vesz k¨ or¨ ul [ezt nevezz¨ uk k¨ orvonalnak] u ´gy, hogy az e vonal ´es egy, az alakzat belsej´eben fekv˝ o pont k¨ oz´e es˝ o szakaszok egyenl˝ ok egym´assal.
I.4.D Egyenes vonal az, amelyik a rajta lev˝ o pontokhoz viszony´ıtva egyenl˝oen fekszik.
I.19.D Egyenes vonal´ u alakzatok (soksz¨ ogek) azok, amelyeket egyenes vonalak vesznek k¨ or¨ ul, h´aromoldal´ uak, amelyeket h´arom, n´egyoldal´ uak, amelyeket n´egy, sokoldal´ uak pedig, amelyeket n´egyn´el t¨ obb oldal vesz k¨ or¨ ul.
I.7.D S´ıkfel¨ ulet az, amelyik a rajta lev˝ o egyenesekhez visziny´ıtva egyenl˝oen fekszik. I.8.D A s´ıksz¨og k´et olyan egys´ıkbeli vonal egym´ashoz val´ o hajl´asa, amelyek egym´ast metszik, ´es nem fekszenek egy egyenesen. I.10.D Ha egy egyenesre egyenest ´all´ıtunk u ´gy, hogy egyenl˝ o mell´eksz¨ogek keletkeznek, akkor a k´et egyenl˝ o sz¨ og der´eksz¨ og, ´es az ´all´o egyenest mer˝olegesnek mondjuk arra, amelyen ´all.
I.23.D P´arhuzamosok azok az egyenesek, amelyek ugyanabban a s´ıkban vannak ´es mindk´etoldalt v´egtelen¨ ul meghosszabb´ıtva egyiken sem tal´alkoznak.
I.11.D Tompasz¨og az, amelyik nagyobb a der´eksz¨ ogn´el. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klasszikus kor.
Az Elemek.
2015. okt´ ober 13.
5 / 54
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
A geometriai k¨ onyvek.
Klasszikus kor.
Az Elemek.
Az I. K¨onyv.
Az I. K¨onyv.
Posztul´atumok.
Axi´om´ak.
2015. okt´ ober 13.
A geometriai k¨ onyvek.
P1. K¨oveteltess´ek meg, hogy minden pontb´ ol minden ponthoz legyen egyenes h´ uzhat´o. ´ hogy v´eges egyenes vonal egyenesben folytat´ P2. Es olag meghosszabb´ıthat´o legyen. ´ hogy minden k¨oz´epponttal ´es t´avols´aggal legyen k¨ P3. Es or rajzolhat´o. ´ hogy minden der´eksz¨ P4. Es og egym´assal egyenl˝ o legyen.
A1. Amik ugyanazzal egyenl˝ ok, egym´assal is egyenl˝ok.
´ hogy ha k´et egyenest u P5. Es ´gy metsz egy egyenes, hogy az egyik oldalon keletkez˝o bels˝o sz¨ ogek (¨ osszegben) k´et der´eksz¨ ogn´el kisebbek, akkor a k´et egyenes v´egtelen¨ ul meghosszabb´ıtva tal´alkozz´ek azon az oldalon, amerre az (¨osszegben) k´et der´eksz¨ ogn´el kisebb sz¨ ogek vannak.
A6. Ugyanannak a fele r´eszei egyenl˝ ok egym´assal.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klasszikus kor.
2015. okt´ ober 13.
7 / 54
6 / 54
A2. Ha egyenl˝ okh¨ oz egyenl˝ oket adunk hozz´a, az ¨ osszegek egyenl˝ ok. A3. Ha egyenl˝ okb˝ ol egyenl˝ oket vesz¨ unk el, a marad´ekok egyenl˝ ok. A4. Ha nem egyenl˝ okh¨ oz egyenl˝ oket adunk hozz´a, az ¨ osszegek nem egyenl˝ ok. A5. Ugyanazok k´etszeresei is egyenl˝ ok. A7. Az egym´asra illeszked˝ ok egyenl˝ ok egym´assal. A8. Az eg´esz nagyobb a r´eszn´el. A9. K´et egyenes nem fog k¨ ozre ter¨ uletet.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klasszikus kor.
2015. okt´ ober 13.
8 / 54
Az Elemek.
A geometriai k¨ onyvek.
Az Elemek.
Az I. K¨onyv.
A geometriai k¨ onyvek.
Az I. K¨onyv. I.5. T´etel. Az egyenl˝ osz´ar´ u h´aromsz¨ ogben az alapon fekv˝ o sz¨ ogek egyenl˝ ok. Megjegyz´ es. E t´etel tank¨ onyvi bizony´ıt´asai a sz´arak alkotta sz¨ og felez˝ oj´et haszn´alja, DE Euklidesz bizony´ıt´asa szebb ´es egyszer˝ ubb:
I.4. T´etel. Ha k´et h´aromsz¨ognek k´et-k´et oldala egyenl˝ o, ´es egy-egy sz¨ oge egyenl˝ o, az, amelyet az egyenl˝o oldalak fognak k¨ ozre, akkor az alapok is egyenl˝ ok, ´es a h´aromsz¨ogek is egyenl˝ok, ´es a t¨ obbi sz¨ og is p´aronk´ent egyenl˝ o, amelyekkel szemben az egyenl˝o oldalak fekszenek.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klasszikus kor.
Az Elemek.
2015. okt´ ober 13.
9 / 54
Bizony´ıt´ as.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
A geometriai k¨ onyvek.
Klasszikus kor.
Az Elemek.
I.14. T´etel.
Az I. K¨onyv.
Ha valamely egyenesen lev˝o pontn´al k´et egyenes fekszik nem ugyanazon az oldalon, ´es k´et der´eksz¨oggel egyenl˝ o sz¨ oget alkotnak egym´as mellett, akkor (ugyanazon az) egyenesen van a k´et egyenes.
T´etelek.
2015. okt´ ober 13.
10 / 54
A geometriai k¨ onyvek.
I.29. Ha p´arhuzamos egyeneseket metsz egy egyenes, akkor egym´assal egyenl˝ o v´alt´ osz¨ ogek keletkeznek, ´es a szemk¨ ozti bels˝ o sz¨ oggel egyenl˝ o k¨ uls˝ o sz¨ og keletkezik, ´es ugyanazon az oldalon (egy¨ utt) k´et der´eksz¨oggel egyenl˝ o bels˝ o sz¨ ogek keletkeznek. J
AJ
C
Megjegyz´ es. Itt hivatkozik el˝ osz¨ or az V. posztul´atumra!
J J J E J J J J
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
B
I.41. Ha egy paralelogramm´anak ugyanaz az alapja, mint egy h´aromsz¨ ognek, ´es ugyanazon p´arhuzamosok k¨ ozt fekszik, akkor a paralelogramma k´etszerese a h´aromsz¨ ognek.
D
Klasszikus kor.
2015. okt´ ober 13.
11 / 54
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klasszikus kor.
2015. okt´ ober 13.
12 / 54
Az Elemek.
A geometriai k¨ onyvek.
Az Elemek.
Az I. K¨onyv.
A geometriai k¨ onyvek.
Az I.47. T´etel bizony´ıt´asa.
T´etelek. I.47. A der´eksz¨og˝ u h´aromsz¨ ogekben a der´eksz¨ oggel szemk¨ ozti oldalra emelt n´egyzet egyenl˝o a der´eksz¨ oget k¨ ozrefog´ o oldalakra emelt n´egyzetek ¨osszeg´evel. Megjegyz´ es. ´Ime a nevezetes Pithagorasz t´etel”, amelyet m´ar ” ´evsz´azadok ´ota ismernek. I.48. Ha egy h´aromsz¨ogben az egyik oldalra emelt n´egyzet egyenl˝ oa h´aromsz¨og m´asik k´et oldal´ara emelt n´egyzetek ¨ osszeg´evel, akkor der´eksz¨og a h´aromsz¨og m´asik k´et oldala ´altal k¨ ozrefogott sz¨ og. Megjegyz´ es. Ez pedig a megford´ıt´asa.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klasszikus kor.
Az Elemek.
2015. okt´ ober 13.
13 / 54
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
A geometriai k¨ onyvek.
Klasszikus kor.
Az Elemek.
Az I.47. T´etel bizony´ıt´asa.
2015. okt´ ober 13.
14 / 54
A geometriai k¨ onyvek.
A II. K¨onyv (a geometriai algebra”). ”
A G , A, C ´es a B, A, H pontok egy-egy egyenesen vannak az I.14. T´etel szerint.
Az 1. - 10. T´etelek mai jel¨ol´esekkel.
Az FBC h´aromsz¨og ´es az FBAG n´egyzet ugyanazon p´arhuzamosok k¨ozt fekszik, alapjuk k¨oz¨os. Az I.41. T´etel alapj´an: FBC fele af FBAG -nek. FBC4 ∼ = ABD4 (I.4. T´etel.)
a(b + c + d + . . .) = ab + ac + ad + . . . (a + b)a + (a + b)b = (a + b)2 (a + b)a = ab + a
A BDL t´eglalap ´es az ABD h´aromsz¨ og alapja ugyanaz ´es ugyanazon p´arhuzamosok k¨ozt fekszenek. I.41. ⇒ a h´aromsz¨og fele a t´eglalapnak. 5. Axi´oma ⇒ az FBAG n´egyzet egyenl˝ o a BDL t´eglalappal.
(2)
2
(3)
(a + b)2 = a2 + 2ab + b 2 2 2 1 1 ab + (a + b) − b = (a + b) 2 2
(4) (5)
(2a + b)b + a2 = (a + b)2
Hasonl´oan: az ACKH n´egyzet egyenl˝ o az LEC t´eglalappal.
(1)
(6)
A 2. Axi´oma alapj´an a bizony´ıt´as k´esz.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klasszikus kor.
2015. okt´ ober 13.
15 / 54
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klasszikus kor.
2015. okt´ ober 13.
16 / 54
Az Elemek.
A geometriai k¨ onyvek.
Az Elemek.
A II. K¨onyv t´etelei eredeti sz¨oveggel.
A geometriai k¨ onyvek.
A II. K¨onyv t´etelei eredeti sz¨oveggel.
II.1. Ha van k´et szakasz, ´es az egyik¨ uket valah´any r´eszre osztjuk, akkor a k´et szakasz ´altal k¨ ozrefogott t´eglalap egyenl˝ o a f¨ olosztatlan szakasz ´es az egyes r´eszek ´altal k¨ ozrefogott t´eglalapok ¨ osszeg´evel.
II.4. Ha egy egyenesszakaszt tetsz˝ olegesen kett´eosztunk, akkor a teljes szakaszra emelt n´egyzet egyenl˝ o az egyes r´eszekkel szerkesztett n´egyzeteknek meg a k´et r´esz ´altal k¨ ozrefogott t´eglalap k´etszeres´enek osszeg´evel. ¨
Bizony´ıt´ as.
Bizony´ıt´ as.
Formaliz´alva: a(b + c + d + . . .) = ab + ac + ad + . . . Formaliz´alva: (a + b)2 = a2 + 2ab + b 2 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klasszikus kor.
Az Elemek.
2015. okt´ ober 13.
17 / 54
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
A geometriai k¨ onyvek.
Klasszikus kor.
Az Elemek.
A II. K¨onyv t´etelei eredeti sz¨oveggel.
2015. okt´ ober 13.
18 / 54
A geometriai k¨ onyvek.
A III. K¨onyv (elemi geometria).
II.11. Osszunk kett´e egy adott szakaszt, hogy a teljes szakasz ´es az egyik r´esz ´altal k¨ozrefogott t´eglalap egyenl˝ o legyen a m´asik r´eszre emelt n´egyzettel. Bizony´ıt´ as.
Defin´ıci´ok. III.1.D K¨ or¨ ok egyenl˝ ok, ha ´atm´er˝ oik egyenl˝ ok vagy a sugaraik egyenl˝ ok. III.2.D Azt mondjuk, hogy egy egyenes ´erint egy k¨ort, ha metszi a k¨ ort, de nem szelik ´at egym´ast. III.6.D Az egy egyenes (h´ ur) ´es (hozz´a tartoz´ o) k¨ or´ıv ´altal k¨ ozrefogott alakzat a k¨ orszelet. III.8.D Ha a k¨ orszelethez tartoz´ o ´ıven v´alasztunk egy pontot, ´es bel˝ ole a k¨ orszelet alapegyenes´enek v´egpontjaiba egyeneseket h´ uzunk, akkor a megh´ uzott egyenesek ´altal k¨ ozrefogott sz¨ og k¨ orszeletbeli sz¨ og. III.11.D K¨ orszeletek hasonl´ ok, ha egyenl˝ o sz¨ ogeket fogadnak be, vagy (m´as kifejez´essel) ha a benn¨ uk lev˝ o sz¨ ogek (D8) egyenl˝ ok egym´assal
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klasszikus kor.
2015. okt´ ober 13.
19 / 54
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klasszikus kor.
2015. okt´ ober 13.
20 / 54
Az Elemek.
A geometriai k¨ onyvek.
Az Elemek.
A III. K¨onyv (elemi geometria).
Az V. K¨onyv (Eudoxos).
T´etelek.
Defin´ıci´ok.
III.2. Ha egy k¨or¨on v´alasztunk k´et tetsz˝ oleges pontot, akkor a pontokra illeszked˝o szakasz a k¨ or¨ on bel¨ ul halad. III.9. Ha egy k¨or¨on bel¨ ul v´alasztunk egy pontot, s e pontb´ ol a k¨ orh¨ oz t¨obb mint k´et egyenl˝o szakasz vezet, akkor a v´alasztott pont a k¨ or k¨oz´eppontja.
III.20. Egy k¨orben a k¨oz´epponti sz¨ og k´etakkora, mint a ker¨ uleti, ha e sz¨ogek ugyanazon ´ıven nyugszanak.
Klasszikus kor.
Az Elemek.
2015. okt´ ober 13.
V.1.D Egy kisebb mennyis´eg egy nagyobb r´esze, ha osztja a nagyobbat. [Azaz marad´ek n´elk¨ ul megvan benne, teh´at eg´esz sz´am´ u t¨ obbsz¨ or¨ ose.] V.3.D Az ar´any k´et egynem˝ u [egyenl˝ o dimenzi´ oj´ u] mennyis´eg nagys´agbeli viszonya. V.4.D Mennyis´egek egym´ashoz viszony´ıtott ar´any´ar´ ol akkor besz´el¨ unk, ha az egyik t¨ obbsz¨ or¨ ose meghaladja a m´asikat.
III.14. Egy k¨orben az egyenl˝ o h´ urok egyenl˝ o t´avol vannak a k¨oz´eppontt´ol, ´es a k¨oz´eppontt´ ol egyenl˝ o t´avol lev˝ o h´ urok egyenl˝ ok egym´assal.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
A mennyis´ egek elm´ elete.
21 / 54
Megjegyz´ es. Euklidesz — ellent´etben Archim´ed´esszel — nem mondja ki k¨ ovetelm´enyk´ent, hogy egynem˝ u mennyis´egek kiel´eg´ıtik ezt a f¨ olt´etelt, de t¨ obbnyire hallgat´ olagosan, a X.1.-ben ki is mondva, ´el ezzel. L´asd a t´etel ut´ani megjegyz´est.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klasszikus kor.
A mennyis´ egek elm´ elete.
Az Elemek.
2015. okt´ ober 13.
22 / 54
A mennyis´ egek elm´ elete.
Az V. K¨onyv (Eudoxos: Mennyis´egek elm´elete).
Az V. K¨onyv (Eudoxos: Mennyis´egek elm´elete).
Defin´ıci´ok (csak mai terminol´ogi´aval).
T´etelek (csak mai terminol´ogi´aval). Legyenek a, b, . . . tetsz˝ oleges mennyis´egek, m, n (pozit´ıv eg´esz) sz´amok.
V.5.D Legyenek a, b, c, d mennyis´egek. Ezekre f¨ on´all, hogy
V.1. ma + mb + mc + . . . = m(a + b + c + . . .)
a c = . b d
V.4. Ha
Ha a, c-t tetsz˝oleges eg´esz sz´ammal, mondjuk m-mel, m´ıg b, d-t tetsz˝oleges eg´esz sz´ammal, mondjuk n-nel megszorozzuk, akkor m, n b´armely v´alaszt´as´an´al
a b
V.12. Ha
= dc , akkor a b
=
c d
ma mc = . nb nd
= fe , akkor a a+c +e = . b b+d +f
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
ma < nb
⇒ mc < nd,
ma = nb
⇒ mc = nd,
ma > nb
⇒ mc > nd.
Klasszikus kor.
V.17-18. Ha
a b
= dc , akkor a∓b c ∓d = . b d
2015. okt´ ober 13.
23 / 54
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klasszikus kor.
2015. okt´ ober 13.
24 / 54
Az Elemek.
Egy alkalmaz´ as: hasonl´ os´ ag.
Az Elemek.
Egy alkalmaz´ as: hasonl´ os´ ag.
A VI. K¨onyv (alakzatok hasonl´os´aga).
A VI. K¨onyv (alakzatok hasonl´os´aga).
Defin´ıci´ok.
T´etelek.
VI.1.D Soksz¨ogek hasonl´ ok, ha a sz¨ ogeik egyenk´ent megegyeznek ´es az egyenl˝o sz¨ogek melletti oldalak ar´anyosak. VI.3.D Azt mondjuk egy szakaszr´ ol, hogy folytonos ar´anyban van f¨olosztva, ha a nagyobb szelet u ´gy ar´anylik a kisebbhez, mint a teljes szakasz a nagyobb szelethez. VI.4.D Egy alakzat magass´aga a cs´ ucs´ar´ ol az alapj´ara bocs´atott mer˝oleges.
VI.1 Az ugyanazon magass´ag´ u h´aromsz¨ ogek ´es paralelogramm´ak u ´gy ar´anylanak egym´ashoz, mint alapjaik.
Klasszikus kor.
Az Elemek.
2015. okt´ ober 13.
VI.6. Ha k´et h´aromsz¨ ognek egy-egy sz¨ oge egyenl˝ o ´es az egyenl˝ o sz¨ ogek melletti oldalak ar´anyosak, egyenl˝ ok a h´aromsz¨ ogek sz¨ ogei, m´egpedig a megfelel˝ o oldalakkal szemk¨ ozti sz¨ ogek egyenl˝ ok. VI.8. Ha egy der´eksz¨ og˝ u h´aromsz¨ ogben a der´esz¨ og cs´ ucs´ab´ ol az alapra egy mer˝ olegest bocs´atunk, a mer˝ oleges melletti h´aromsz¨ ogek mind a teljes h´aromsz¨ ogh¨ oz, mind egym´ashoz hasonl´ ok.
T´etelek.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
VI.4. H´aromsz¨ ogeknek, melyek sz¨ ogei egym´assal egyenl˝ ok, ar´anyosak az egyenl˝ o sz¨ ogek melletti oldalaik, m´egpedig az egyenl˝ o sz¨ ogekkel szemk¨ ozti oldalak felelnek meg egym´asnak.
25 / 54
VI.10.Osszunk f¨ ol f¨ olosztatlan szakaszt adott f¨ olosztott szakaszhoz hasonl´ oan. (A p´arhuzamos szel˝ ok t´etele.)
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Egy alkalmaz´ as: hasonl´ os´ ag.
Klasszikus kor.
Az Elemek.
A VI. K¨onyv (alakzatok hasonl´os´aga).
2015. okt´ ober 13.
26 / 54
Az aritmetikai k¨ onyvek.
A VII. K¨onyv (az els˝o aritmetikai). Defin´ıci´ok. VII.1.D Az egys´eg az, ami szerint minden l´etez˝ ot egynek mondunk. VII.2.D A sz´am az egys´egekb˝ ol ¨ osszetev˝ od˝ o sokas´ag.
T´etelek.
VII.3.D Egy kisebb sz´am egy nagyobbnak h´anyada (r´esze), ha osztja a nagyobbat.
VI.21. Ugyanazon soksz¨ogh¨ oz hasonl´ o alakzatok egym´ashoz is hasonl´ok.
VII.12.D Pr´ımsz´am, amelyik csak az egys´eggel oszthat´ o. (A8)
VI.25.Szerkesz¨ unk adott soksz¨ ogh¨ oz hasonl´ o ´es egy´ uttal egy m´asik adott soksz¨oggel egyenl˝o ter¨ ulet˝ u alakzatot.
VII.13.D Sz´amok egym´ashoz relat´ıv pr´ımek, ha csak az egys´eg k¨ oz¨ os oszt´ ojuk. ¨ VII.14.D Osszetett az a sz´am, amelyiket valamely sz´am oszt. VII.17.D A k´et sz´am ¨ osszeszorz´asakor keletkez˝ o sz´amot s´ıksz´amnak nevezz¨ uk, az ¨ osszeszorzott sz´amokat pedig az oldalaknak. VII.23.D Egy sz´am t¨ ok´eletes, ha egyenl˝ o oszt´ oi (r´eszei) ¨ osszeg´evel.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klasszikus kor.
2015. okt´ ober 13.
27 / 54
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klasszikus kor.
2015. okt´ ober 13.
28 / 54
Az Elemek.
Az aritmetikai k¨ onyvek.
Az Elemek.
A VII. K¨onyv (az els˝o aritmetikai).
Az aritmetikai k¨ onyvek.
A VIII. K¨onyv (a m´asodik aritmetikai: sorozatok).
T´etelek. T´etelek.
VII.1. Ha van k´et nem egyenl˝ o sz´amunk, a kisebbet v´altakozva mindig kivonjuk a nagyobb´ ol, ´es a marad´ek sohasem osztja a megel˝oz˝o sz´amot, m´ıg csak nem az egys´eg a marad´ek, akkor az eredeti sz´amok relat´ıv pr´ımek.
VIII.1. Ha egy tetsz˝ oleges sok tag´ u m´ertani sorozat sz´els˝ o tagjai relat´ıv pr´ımek, akkor a sorozat tagjai legkisebbek azon sz´amok k¨ oz¨ ott, amelyeknek ugyanaz az ar´anya, mint nekik.
VII.2. Keress¨ uk meg k´et adott nem relat´ıv pr´ım sz´am legnagyobb k¨oz¨os oszt´oj´at.
VIII.6. Ha egy tetsz˝ oleges sok tag´ u m´ertani sorozat els˝ o tagja nem osztja a m´asodikat, akkor egyetlen tag sem oszt semmilyen m´asikat.
VII.16. A k´et sz´am ¨osszeszorz´asakor keletkez˝ o sz´amok egyenl˝ ok egym´assal [f¨ uggetlen¨ ul a sorrendt˝ ol].
VIII.14. Ha egy n´egyzetsz´am oszt egy m´asikat, akkor az oldala is osztja a m´asiknak az oldal´at; s ha az egyiknek az oldala osztja a m´asiknak az oldal´at, akkor az egyik n´egyzetsz´am is osztja a m´asik n´egyzetsz´amot.
VII.30. Ha k´et sz´amot megszorzunk egym´assal, ´es a szorzatukat osztja valamely pr´ımsz´am, akkor a t´enyez˝ ok egyik´et is osztja.
VIII.22. Ha egy h´aromtag´ u m´ertani sorozat els˝ o tagja n´egyzetsz´am, akkor a harmadik is n´egyzetsz´am.
VII.31. B´armely sz´am pr´ım, vagy osztja egy pr´ımsz´am. VII.36. Keress¨ uk meg h´arom adott sz´am legkisebb k¨ oz¨ os t¨obbsz¨or¨os´et. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klasszikus kor.
Az Elemek.
2015. okt´ ober 13.
29 / 54
Az aritmetikai k¨ onyvek.
Klasszikus kor.
Az Elemek.
A IX. K¨onyv (a harmadik aritmetikai: sz´amelm´elet).
2015. okt´ ober 13.
30 / 54
Az aritmetikai k¨ onyvek.
A IX. K¨onyv (a harmadik aritmetikai: sz´amelm´elet).
T´etelek.
T´etelek. IX.2. Ha k´et sz´am ¨osszeszorz´asakor n´egyzetsz´am keletkezik, akkor a sz´amok hasonl´o s´ıksz´amok. IX.11. Ha az egys´eggel kezd˝ od˝ oen valah´any sz´am m´ertani sorozatot alkot, akkor egy kisebb tag egy nagyobban valamely, a sorozatban el˝ofordul´o sz´am szerint van meg.
Klasszikus kor.
2015. okt´ ober 13.
IX.20. Pr´ımsz´amok b´armely adott sokas´ag´an´al van t¨ obb. Bizony´ıt´ as. (az eredeti) Legyenek az adott pr´ımsz´amok a, b ´es c. Azt ´all´ıtom, hogy t¨ obb pr´ımsz´am van, mint a, b ´es c. Vegy¨ uk ugyanis a, b ´es c legkisebb k¨ oz¨ os t¨ obbsz¨ or¨ os´et, ami — a VII. 36. T´etel szerint — abc ´es tekints¨ uk az d = abc + 1 = e + 1 sz´amot. Ez vagy pr´ımsz´am, vagy ¨ osszetett sz´am.
IX.14. Pr´ımsz´amok legkisebb k¨ oz¨ os t¨ obbsz¨ or¨ os´et egyetlen m´as pr´ımsz´am sem osztja, csak amelyek eredetileg is osztj´ak.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Legyen el˝ osz¨ or pr´ım. Tal´altunk teh´at az a, b, c sz´amokn´al t¨ obb pr´ımet, ezeket ´es m´eg d-t.
31 / 54
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klasszikus kor.
2015. okt´ ober 13.
32 / 54
Az Elemek.
Az aritmetikai k¨ onyvek.
Az Elemek.
Az aritmetikai k¨ onyvek.
A IX. K¨onyv (a harmadik aritmetikai: sz´amelm´elet).
A IX. K¨onyv (a harmadik aritmetikai: sz´amelm´elet).
A bizony´ıt´as folytat´asa.
A bizony´ıt´as folytat´asa. 1. Megjegyz´ es. Az oszthat´ os´ag egy elemi tulajdons´ag´at haszn´alja, amelyet — k´et m´asikkal egyetemben — sohasem fogalmaz meg, de ismertnek t´etelez f¨ ol: ha z = u + v , t|z, t|u akkor t|v .
Ne legyen most d pr´ım. Ekkor osztja valamely pr´ımsz´am (VII. 31. T´etel). Ossza a g pr´ım. Azt ´all´ıtom, hogy g az a, b ´es c egyik´evel sem azonos. Tegy¨ uk f¨ol ugyanis, hogy az a, b ´es c osztj´ak e-t, teh´at g is osztja e-t (ugyanis a, b ´es c az ¨osszes pr´ım). Viszont g d-t is osztja, teh´at a marad´ek egys´eget is osztja g , ami ellentmond´as, hiszen g sz´am. g teh´at nem azonos az a, b, c sz´amok egyik´evel sem. A felt´etel szerint pr´ım, teh´at tal´altunk az adott a, b, c pr´ımekn´el t¨ obb ´ pr´ımet, a-t, b-t, c-t ´es g -t. Eppen ezt kellett megmutatni.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klasszikus kor.
Az Elemek.
2015. okt´ ober 13.
33 / 54
2. Megjegyz´ es. Az im´enti bizony´ıt´as l´enyeg´eben megegyezik azzal, amelyet az elemi sz´amelm´eleti tanulm´anyainkban megismert¨ unk, csak ott a f¨ olt´etelben szerepl˝ o ¨ osszes” pr´ımsz´am a p1 , p2 , . . . , pk . ” Euklidesz bizony´ıt´asa l´enyeg´eben csak azt haszn´alja ki, hogy abb´ ol a f¨ olt´etelb˝ ol, hogy csak v´eges sok pr´ımsz´am l´etezik, sz¨ uks´egk´epp ellentmond´asra jutunk. Teh´at tulajdonk´eppen azt igazolja, hogy v´egtelen sok pr´ımsz´am van, de ezt ´ıgy nem fogalmazza meg, hiszen az o vil´aga v´eges. ˝
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Az aritmetikai k¨ onyvek.
Klasszikus kor.
Az Elemek.
A IX. K¨onyv (a harmadik aritmetikai: sz´amelm´elet).
2015. okt´ ober 13.
34 / 54
Az aritmetikai k¨ onyvek.
A IX.33. T´etel bizony´ıt´asa.
A P´arosr´ol ´es a P´aratlanr´ol sz´ol´o tan´ıt´as. IX.21. B´arh´any p´aros sz´amot adunk ¨ ossze, az ¨ osszeg p´aros.
Legyen az a sz´am fele p´aratlan.
IX.23. Ha ¨osszeadunk valah´any p´aratlan sz´amot, amelyek p´aratlan sokan vannak, akkor az ¨osszeg is p´aratlan lesz.
Ha a el˝ o´all p´arosszor p´aratlan alakban, akkor a fele, amely p´aratlan, p´arosszor van meg benne. ´ ıtom, hogy csak ilyen alakban ´all el˝ All´ o.
IX.25. Ha egy p´aros sz´amb´ ol p´aratlant vonunk ki, a marad´ek p´aratlan. IX.30. Ha egy p´aratlan sz´am oszt egy p´arosat, akkor a fel´et is osztja. IX.31. Ha egy p´aratlan sz´am relat´ıv pr´ım valamely sz´amhoz, akkor a k´etszeres´ehez is relat´ıv pr´ım. IX.33. Ha egy sz´am fele p´aratlan, akkor a sz´am csak p´arosszor p´aratlan alakban ´all el˝o.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klasszikus kor.
2015. okt´ ober 13.
35 / 54
Ha ugyanis a el˝ o´allna p´arosszor p´aros alakban, akkor egy p´aros sz´am p´aros sz´amszor lenne meg benne, u ´gyhogy a fel´et is osztan´a egy p´aros sz´am, noha az p´aratlan, ami ellentmond´as, a teh´at csak p´arosszor p´aratlan alakban ´all el˝ o. ´ Eppen ezt kellett megmutatni.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klasszikus kor.
2015. okt´ ober 13.
36 / 54
Az Elemek.
Az aritmetikai k¨ onyvek.
Az Elemek.
A IX. K¨onyv (a harmadik aritmetikai: sz´amelm´elet).
A X. K¨onyv (az irracion´alisok o´kori elm´elete).
A k¨onyv utols´o t´etele. IX.36. Ha az egys´egt˝ol indulva k´etszeres ar´anyban m´ertani sorozatot alkotunk addig, am´ıg az ¨osszeg pr´ımsz´am nem lesz, ´es ezt megszorozzuk az utols´o taggal, akkor t¨ok´eletes sz´amot kapunk.
Mai terminol´ogi´aval, szimbolik´aval A (1 + 2 + 4 + . . . + 2k−1 )2k−1 sz´am t¨ok´eletes, ha az els˝o t´enyez˝ o, azaz 1 + 2 + 4 + ... + 2
Klasszikus kor.
Az Elemek.
2015. okt´ ober 13.
37 / 54
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Irracion´ alisok.
2015. okt´ ober 13.
38 / 54
Irracion´ alisok.
A X.1. T´etel bizony´ıt´asa 2.
Legyen a k´et nem egyenl˝o mennyis´eg a, c ´es a > c. Az V.4. Defin´ıci´o — mennyis´egek egym´ashoz viszony´ıtott ar´any´ar´ ol akkor besz´el¨ unk, ha az egyik t¨ obbsz¨ or¨ ose meghaladja a m´asikat — ´ertelm´eben c-nek van olyan t¨ obbsz¨ or¨ ose, amely meghaladja a-t. Legyen ez dc > a. Megjegyz´ es. Euklidesz eredeti bizony´ıt´as´aban d = 4, amit u ´gy haszn´al, hogy az nem szor´ıtja meg az ´altal´anoss´agot, de csak 3 l´ep´est tesz. Adjuk meg a k¨ovetkez˝o e1 , . . . , ed−1 mennyis´egeket: a a − e1 a − (e1 + e2 ) e1 > , e2 > , e3 > ,..., 2 2 2 a − (e1 + . . . + ed−2 ) ed−1 > 2 Klasszikus kor.
Klasszikus kor.
Az Elemek.
A X.1. T´etel bizony´ıt´asa 1.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
X.1.D Mennyis´egeket ¨ osszem´erhet˝ oknek mondunk, ha ugyanazon m´ert´ekkel m´erhet˝ ok, ¨ osszem´erhetetleneknek pedig, ha nem tal´alhat´ o hozz´ajuk k¨ oz¨ os m´ert´ek. ´ nevezz¨ X.4.D Es uk az adott szakasz n´egyzet´et racion´alisnak, ´es az azzal ¨ osszem´erhet˝ o fel¨ uleteket racion´alisnak, az azzal osszem´erhetetleneket pedig irracion´alisoknak, az o˝ket el˝ ¨ o´all´ıt´ o szakaszokat — ti. ha a fel¨ uletek n´egyzetek, magukat az oldalakat, ha pedig valamely m´as soksz¨ ogek, a vel¨ uk egyenl˝ o n´egyzeteket f¨ olrajzol´ o szakaszokat — irracion´alisoknak. X.1. T´ etel. Ha adva van k´et nem egyenl˝ o mennyis´eg ´es a nagyobbikb´ ol levonunk a fel´en´el t¨ obbet, ´es a marad´ekb´ ol ism´et a fel´en´el t¨ obbet, ´es ´ıgy tov´abb, akkor egy olyan mennyis´eg fog megmaradni, amely kisebb az adott mennyis´egek kisebbik´en´el.
k−1
pr´ımsz´am.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Irracion´ alisok.
2015. okt´ ober 13.
Az a mennyis´egb˝ ol ezut´an levonjuk e1 -et, majd az a − e1 mennyis´egb˝ ol az e2 -t, az a − (e1 + e2 )-b˝ ol az e3 -at ´es ´ıgy tov´abb, osszesen d − 1 sz´am´ ¨ u l´ep´est tesz¨ unk. L´athat´ o: az e1 , . . . , ed−1 mennyis´egeket u ´gy hat´arozzuk meg, hogy a levon´asok mindig elv´egezhet˝ ok legyenek, azaz pozit´ıv mennyis´eg maradjon minden egyes l´ep´es ut´an. Tekints¨ uk most a dc mennyis´egeket, ´es abb´ ol is vonjunk le d − 1 sz´am´ u l´ep´esben mindig c-t. Ez esetben mindig az adott (kapott) mennyis´eg fel´en´el kevesebbet vonunk le. Hasonl´ıtsuk most ¨ ossze a k´et elj´ar´asunkat.
39 / 54
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klasszikus kor.
2015. okt´ ober 13.
40 / 54
Az Elemek.
Irracion´ alisok.
Az Elemek.
A X.1. T´etel bizony´ıt´asa 3.
Irracion´ alisok.
A X.1. T´etel bizony´ıt´asa 4.
Mivel dc > a,
Megjegyz´esek. 1
Euklideszn´el a f¨ onti bizony´ıt´asban d = 4, de gondolatmenete megegyezik az ´altalunk le´ırt ´altal´anos esetn´el alkalmazottal.
2
Euklidesz megjegyzi: hasonl´ o a bizony´ıt´as, ha a fele r´eszeket vonjuk ” le”.
dc − c = (d − 1)c > a − e1 (d − 1)c − c = d − 2c > a − (e1 + e2 ) ...
Vegy¨ uk ´ eszre: Euklidesz azt haszn´alta — hivatkozva az V. k¨ onyv 4. defin´ıci´ oj´ara —, hogy ... ha k´et nem egyenl˝ o mennyis´eg k¨ oz¨ ul a kisebbiket v´eges sz´am´ u l´ep´esben ¨ onmag´ahoz adjuk, akkor a nagyobbikn´al nagyobb mennyis´eget kapunk.
(d − (d − 2))c − c = c > a − (e1 + . . . + ed−1 ). Az utols´o egyenl˝otlens´eg ´eppen a bizony´ıtand´ o, hiszen
(d − (d − 2))c − c = c > a − (e1 + . . . + ed−1 ) =
DE az id´ezett defin´ıci´ o erre nem jogos´ıt, az csak ar´anyuk l´etez´es´er˝ ol sz´ ol.
(. . . ((a − e1 ) − e2 ) − . . . − ed−2 ) − ed−1 .
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klasszikus kor.
Az Elemek.
2015. okt´ ober 13.
41 / 54
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Irracion´ alisok.
Klasszikus kor.
Az Elemek.
A X.1. T´etel bizony´ıt´asa 5.
2015. okt´ ober 13.
42 / 54
Irracion´ alisok.
A X.1. T´etel bizony´ıt´asa 6. Komment´arok. 1
Archimedesz megjegyz´ese.
A kutat´asok szerint a X. k¨ onyv legnagyobb r´esze Eudoxost´ ol ´es Theaitetoszt´ ol ered, ´ıgy lehet, hogy Euklidesz egyszer˝ ubbre val´ o ” t¨ orekv´es´evel” tal´alkozunk itt. A. de Morgan r¨ ovid summ´azata:
Euklidesz e k¨ onyvben ¨ osszegzi az ” ¨sszes olyan szakaszra vonatkoz´ o o ismeretet, amelyek (modern terminol´ ogi´aval) megadhat´ ok, mint q √ √ a ± b,
Archim´ed´esz r´amutatott, hogy ezt posztul´alni kellettt volna, amit Eudoxos meg is tett. Archm´ed´esz ugyancsak posztul´atumk´ent haszn´alta, az´ ota nevezik Archim´ed´esz - Eudoxos axi´ om´anak.
ahol a, b ¨ osszem´erhet˝ o szakaszok.” 2
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klasszikus kor.
2015. okt´ ober 13.
43 / 54
Vil´agos, hogy nem az ¨ osszes irracion´alis reprezent´alhat´ o ´ılym´ odon, Euklidesz e r´eszben a geometriai algebr´aj´aval (a II. k¨ onyv tartalma) kezelhet˝ o esetekre szor´ıtkozott.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klasszikus kor.
2015. okt´ ober 13.
44 / 54
Az Elemek.
Irracion´ alisok.
Az Elemek.
A X. K¨onyv befejez´ese.
T´ ergeometria.
A XI. - XIII. K¨onyvek. Egybef¨ ugg˝ o anyag, defin´ıci´ ok is csak a XI. K¨ onyvben vannak, egy¨ utt t´argyaljuk a h´arom k¨ onyvet. Valamennyi t´ergeometri´aval foglalkozik, e mellett alakzatok ter¨ ulet´evel ´es testek t´erfogat´aval kapcsolatos t´eteleket is tartalmaznak.
Egy r´egen v´art t´etel. A 115. T´etel (az utols´o) ut´an k¨ ovetkezik a X.27. F¨ uggel´ek. Mutassuk meg, hogy a n´egyzetekben az ´atl´ o line´arisan osszem´erhetetlen az oldallal. ¨
Defin´ıci´ok 1. XI.1.D Test az, aminek hossz´ us´aga, sz´eless´ege ´es magass´aga is van. XI.2.D A test v´ege fel¨ ulet. XI.4.D K´et s´ık mer˝ oleges egym´asra, ha az egyik s´ıkban a s´ıkok k¨ oz¨ os r´esz´ere bocs´atott mer˝ olegesek mer˝ olegesek a m´asik s´ıkra. XI.6.D K´et s´ık hajlata az a hegyessz¨ og, amely a s´ıkok k¨ oz¨ os r´esz´ere ugyanazon a pontban az egyes s´ıkokban ´all´ıtott mer˝olegesek fognak k¨ ozre.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klasszikus kor.
Az Elemek.
2015. okt´ ober 13.
45 / 54
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
T´ ergeometria.
Klasszikus kor.
Az Elemek.
A XI. - XIII. K¨onyvek.
A XI. - XIII. K¨onyvek.
Defin´ıci´ok 2.
Defin´ıci´ok 3.
2015. okt´ ober 13.
T´ ergeometria.
XI.12.D G´ ula az a t´eridom, melyet egy s´ıkb´ ol indul´ o egy pontban tal´alkoz´o s´ıklapok fognak k¨ ozre.
XI.24.D K´ upok ´es hengerek hasonl´ ok, ha tengelyeik ´es alapjaik ´atm´er˝ oi ar´anyosak.
XI.14.D Ha egy f´elk¨ort r¨ogz´ıtett ´atm´er˝ oje k¨ or¨ ul addig forgatunk, m´ıg eredeti helyzet´et u ´jra el nem ´eri, a k¨ ozrefogott idom g¨ omb.
XI.25.D Kocka a hat egyenl˝ o n´egyzet ´altal k¨ ozrefogott t´eridom.
XI.18.D Ha egy der´eksz¨og˝ u h´aromsz¨ oget egyik der´eksz¨ og melletti oldal´at r¨ogz´ıtve addig forgatunk, m´ıg eredeti helyzet´et u ´jra el nem ´eri, a k¨ozrefogott idom k´ up. Ha a r¨ ogz´ıtett oldal egyenl˝ o a k¨ orbeforgatott m´asik der´eksz¨og melletti oldallal, akkor a k´ up der´eksz¨ og˝ u, ha kisebb, akkor tompasz¨og˝ u, ha pedig nagyobb, akkor hegyessz¨ og˝ u.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klasszikus kor.
2015. okt´ ober 13.
47 / 54
46 / 54
XI.26.D Okta´eder a nyolc egyenl˝ o (ter¨ ulet˝ u), egyenl˝ o oldal´ u h´aromsz¨ og ´altal k¨ ozrefogott t´eridom. XI.27.D Ikoza´eder a h´ usz egyenl˝ o oldal´ u h´aromsz¨ og ´altal k¨ ozrefogott t´eridom. XI.28.D Dodeka´eder a tizenkett˝ o egyenl˝ o, egyenl˝ o oldal´ u ´es sz¨ og˝ u otsz¨ ¨ og ´altal k¨ ozrefogott t´eridom.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klasszikus kor.
2015. okt´ ober 13.
48 / 54
Az Elemek.
T´ ergeometria.
Az Elemek.
A XI. - XII. K¨onyvek.
T´ ergeometria.
A XI. - XII. K¨onyvek.
´ anos megjegyz´es. Altal´ Viszonylag kev´ess´e kidolgozott e k´et k¨ onyv, a poli´ederekre vonatkoz´o t´eteleket olykor csak speci´alis esetekre igazolta.
T´etelek. T´etelek. XI.1.-19. Egyenesek ´es s´ıkok k¨ oz¨ os helyzet´evel foglalkoznak. XI.24. Ha egy s´ıkidomot (hat p´aronk´ent) p´arhuzamos lap fog k¨ozre, akkor a szemk¨ozti lapok egybev´ag´ ok ´es paralelogramm´ak.
XI.38. Ha egy kocka k´et szemk¨ ozti lapj´anak oldalait megfelezz¨ uk ´es az oszt´aspontokon s´ıkokat fektet¨ unk ´at, akkor a s´ıkok metszete ´es a kocka ´atl´ oja felezik egym´ast.
XI.27. Emelj¨ unk adott szakaszra adott paralelepipedonhoz hasonl´ o ´es hasonl´oan fekv˝o paralelepipedont. XI.32. Azon paralelepipedonok, amelyek magass´aga ugyanaz, u ´gy ar´anylanak egym´ashoz, mint az alapjaik.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klasszikus kor.
Az Elemek.
2015. okt´ ober 13.
49 / 54
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Ter¨ ulet - t´ erfogat.
Klasszikus kor.
Az Elemek.
A XII. K¨onyv.
2015. okt´ ober 13.
50 / 54
2015. okt´ ober 13.
52 / 54
Ter¨ ulet - t´ erfogat.
Az ´abra.
Ter¨ulet - t´erfogat. XII.1. K¨orbe ´ırt hasonl´o soksz¨ ogek (ter¨ uletei) u ´gy ar´anylanak, mint a k¨or¨ok ´atm´er˝oi n´egyzetei. XII.2. A k¨or¨ok (ter¨ uletei) u ´gy ar´anylanak egym´ashoz, mint ´atm´er˝ oik n´egyzetei.
XII.2. Bizony´ıt´asa. Els˝o l´ep´esk´ent azt igazolja: a k¨ or kimer´ıthet˝ o” soksz¨ ogekkel. A X.1. ” T´etelt alkalmazza. M´asodik l´ep´es: Megmutatja, hogy k´et k¨ or ar´anya nem lehet sem kisebb, sem nagyobb az ´atm´er˝ ok n´egyzetei ar´any´an´al. Az elj´ar´as illusztr´aci´oja a k¨ ovetkez˝ o di´an l´athat´ o.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klasszikus kor.
2015. okt´ ober 13.
51 / 54
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klasszikus kor.
Az Elemek.
Ter¨ ulet - t´ erfogat.
Az Elemek.
A XII. K¨onyv.
Szab´ alyos soksz¨ ogek, szab´ alyos testek.
A XIII. K¨onyv. A k´et f˝o t´ema. A szab´alyos soksz¨ ogek tulajdons´agai, az aranymetsz´es (tekinthet˝ o K. Ptolemaiosz h´ urt´abl´azatai el˝ ofut´ar´anak, el˝ ok´esz´ıt˝ oj´enek).
Tov´abbi t´etelek.
Hogyan ´ırhatjuk be adott g¨ ombbe AZ 5 szab´ alyos testet? (Hasonl´ıthat´ o a IV. K¨ onyv k¨ orbe ´ırt soksz¨ ogekre vonatkoz´ o t´eteleihez.)
XII.5. Azonos magass´ag´ u h´aromsz¨ og alap´ u g´ ul´ak u ´gy ar´anylanak, mint alapjaik. XII.10. Minden k´ up harmadr´esze az egyenl˝ o magass´ag´ u ´es ugyanazon alap´ u hengernek.
Fontos!
XII.18. G¨omb¨ok (t´erfogatai) ar´anya ´atm´er˝ oik h´aromszoros ar´anya.
E k¨ onyv tekinthet˝ o — k¨ ul¨ on¨ osen a m´asodik r´esze — u ´gy is, mint az eg´esz m˝ u (ti. az Elemek) f˝ o c´elja, minden ennek ´erdek´eben t¨ ort´ent. Ugyanis azt is igazolja, hogy a tekintett ¨ ot szab´alyos test az ¨ osszes lehets´eges ilyen test. V´elhet˝ oen Theaitetosz eredm´enyeit tartalmazza a XIII. K¨ onyv.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klasszikus kor.
2015. okt´ ober 13.
53 / 54
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klasszikus kor.
2015. okt´ ober 13.
54 / 54
