AUTOKORELASI PERIODIK PADA DATA DENGAN KOMPONEN MUSIMAN PERIODIK * Mulyana ** Abstrak Data deret waktu dengan komponen musiman periodik, biasanya berautokorelasi periodik dengan periode sama dengan periode musiman. Untuk menguji periode dari autokorelasi, dilakukan berdasarkan rumusan hipotesis H0 : { xt } , adalah data deret waktu stasioner H1 : {T(k)} , adalah autokorelasi periodik dengan periode N
w n (k )
^
dan statistik uji yang digunakan adalah
n 1
N
, dengan wi(k) komponen dari proses
berdimensi , yang merupakan produk varians-kovarians proses rata-rata bergerak periodik. Statistik
1 3
uji tersebut berdistribusi normal multivariat dengan rata-rata 0, varians , kovarians 0.
Untuk
menentukan kriteria pengujiannya statistik tersebut ditranformasikan menjadi statistik yang berdistribusi chi-kuadrat (chisquares) berderajat bebas . Kata kunci : autokorelasi, musiman, periodesitas, proses rata-rata bergerak
Abstract Time series with seasonal periodic, usually have autocorrelation periodic with same periodicity. For testing periodicity of autocorrelation, can use hypothesis , stationer time series H0 : { xt } H1 : {T(k) } , autocorrelation periodic with periodicity N
^
Statistics for testing hypothesis is
w n (k ) n 1
, where wi(k ) component from proces with
N
dimension , that is product of variance-kovariance of moving average proces. This statistics have distribution, multivariate normal with mean 0, variance
1 , covariance 0. For description hypothesis 3
criterion, this statistic transformation to statistic with have distribution chi-square with degree of fredom . Keyword : autocorrelation, seasonality, periodecity, moving average proces * **
Makalah hasil penelitian kepustakaan, disampaikan pada Seminar Nasional di Universitas Airlangga Surabaya, tanggal 20 Desember 2008 Staf Pengajar Jurusan Statistika FMIPA Unpad Jl. Raya Bandung – Sumedang Km. 21, Jatinangor Sumedang Telp. : 022 779 6002 (Kantor) ; 022 7949 312 (Rumah) ; HP : 0815 622 1812 e-mail :
[email protected]
1
Pendahuluan Dalam masalah-masalah tertentu, seperti bidang telaahan perekonomian (dunia usaha) dan pola konsumsi terhadap suatu komoditi, berautokorelasinya antar pengamatan bisa periodik (periode autokorelasi lebih dari satu), terutama jika data pengamatannya memiliki komponen musiman periodik (periode musiman lebih dari satu). Sebab musiman periodik merupakan komponen utama yang menyebabkan terdapatnya autokorelasi periodik (Vecchia dan Ballerini, 1991).
Komponen
musiman (seasonality) didefinisikan pada data deret waktu dengan waktu pengamatannya bukan tahunan (bulanan, mingguan, harian), yaitu suatu siklus yang sama dalam setiap selang pengamatan satu tahun. Misalnya data curah hujan di daerah tropis, adalah data deret waktu yang memiliki komponen musiman dengan periode satu, sebab dalam setiap tahunnya yang ada musim hujan, yaitu kondisi dengan curah hujan tinggi, dan musim kemarau, yaitu kondisi dengan curah hujan rendah. Jika siklus (kondisi tinggi dan rendah) ini berulang dalam setiap selang satu tahunannya, maka komponen musiman seperti ini dinamakan komponen musiman periodik. Misal data curah hujan di daerah sub-tropis, adalah data deret waktu dengan komponen musiman periodik, dengan periodenya dua. Autokorelasi Periodik Sudah dikemukakan, salah satu akibat dari keberadaan komponen musiman (baik periodik atau tidak periodik) adalah kemungkinan terdapatnya autokorelasi periodik. Perhatikan data deret waktu { x1 , x2 , . . . , xt , . . . }, dengan waktu pengamatan (t) bukan tahunan (bulanan, mingguan, harian). Jika data deret waktu ini memiliki komponen musiman, maka dapat disajikan persamaan xt = t + tyt
(1)
dengan t , t , masing-masing adalah parameter rata-rata hitung periodik dan simpangan baku periodik dengan periode masing-masing yt , proses stasioner dengan asumsi E(yt) = 0 dan berautokorelasi lag-k, (k) t=1,2,...,n,... Selanjutnya jika komponen musimannya periodik dengan periode , maka dalam hal ini autokorelasi lag-k-nya disajikan dalam persamaan t(k) = Kor(xt , xt+k) yang dinamakan fungsi autokorelasi periodik lag-k dengan periode dalam selang waktu . . , n, . . .
2
(2) t = 1, 2, .
Karena xt adalah data deret waktu dengan musiman periodik, yang rata-rata hitung dan simpangan baku periodiknya masing-masing t dan t, maka xt dapat disajikan dalam model rata-rata bergerak periodik dengan persamaan
xt = t + t ( j) t j
(3)
j 0
dengan t kekeliruan (white-noise) yang diasumsikan E(t) = 0, var(t) = 1, dan E(t4) < t(j) = t+k(j) koefisien rata-rata bergerak periodik lag-k, dengan asumsi
t (j) , untuk setiap nilai t j 0
t = 1, 2, . . . , n, . . . Berdasarkan ciri (characteristics) dari t dan t(j), Persamaan (3) merupakan sebuah fungsi atas bentuk kuadrat rata-rata hitung, sehingga untuk menyederhanakan proses perhitungannya Persamaan (3) distandarisasi menjadi
zt = (xt - t)/t = t (j) t j /t j 0
(4)
dengan
2 t2 = t (j) , yaitu varians periodik proses rata-rata bergerak. j 0
Sehingga fungsi autokorelasi periodik untuk xt dihitung berdasarkan fungsi autokorelasi periodik untuk zt , karena nilai-nilai zt merupakan nilai-nilai standar dari xt , yang berarti nilai-nilai zt lebih sederhana dari nilai-nilai xt. Untuk menguji apakah autokorelasi dari data deret waktu dengan komponen musiman periodik seperti pada Persamaan (1) merupakan autokorelasi periodik, pengujiannya dilakukan berdasarkan rumusan hipotesis H0 : { xt }
, adalah data deret waktu stasioner
H1 : { T(k) } , adalah autokorelasi periodik dengan periode
(5)
Pengujian statistisnya dilakukan berdasarkan pada hukum sampel besar dari transformasi Fourier (sehingga ukuran sampelnya harus besar), dan sebagai komponen pembangun statistik ujinya adalah penaksir fungsi autokorelasi periodik yang dihitung untuk setiap nilai lag dan T dalam selang 0 T 1. Statistik ujinya merupakan statistik uji pendekatan dengan distribusi statistisnya juga distribusi pendekatan.
3
Statistik Uji Pendekatan Perhatikan data deret waktu { x1, x2, . . . , xt, . . . } dengan komponen musiman periodik, dan rata-rata hitung periodiknya { 1, 2, . . . , t, . . . } diketahui. Selanjutnya didefinisikan proses berdimensi dengan lag-k untuk sembarang nilai n, {wn(k)} = {(0kS(n-1)(k) , 1 k+1S(n-1)+1(k) , . . . , -1k+-1S(n-1)(2-1)(k))’}
(6)
dengan { St(k) } = { ztZt+k } , yaitu proses produk lag-k dari zt pada Persamaan (4). t2 , varians periodik dengan periode pada waktu t dari zt. Berdasarkan perumusan tersebut, maka {wn(k)} merupakan proses stasioner orde kedua, sehingga E{wn(k)} = (k ) = ( 0(k) , 1(k) , . . . , -1(k) )’
(7)
Penaksir (k ) berdasarkan sampel berukuran N adalah N
^
w n (k )
n 1
(8)
N ^
Vecchia dan Ballerini (1991) menunjukan bahwa adalah penaksir konsisten lemah (weakly consistent estimator) untuk (k ) , dan berdistribusi normal multivariat pendekatan. Vecchia dan ^
Ballerini (1991) juga mengemukakan merupakan statistik uji pendekatan untuk pengujian hipotesis autokorelasi periodik seperti yang dirumuskan pada Persamaan (5). Metode Perhitungan Berdasarkan teori yang telah dikemukakan, dapat disimpulkan bahwa statistik untuk menguji hipotesis autokorelasi periodik, adalah adalah autokorelasi dari dari proses rata-rata bergerak periodik, yang merupakan statistik uji pendekatan dan berdistribusi normsl pendekatan. Sehingga jika dimiliki sampel berukuran n atas data deret waktu dengan komponen musiman periodik, yang periodenya pertahun, { x1 , x2 , . . . , xn}, maka langkah-langkah untuk menghitung statistik ujinya adalah 1.
Menghitung rata-rata hitung periodik dengan rumus n 1
x t i
t
i 0
n
untuk setiap nilai t = 0, 1, . . . , n1(mod. n).
4
(9)
2.
Membangun model rata-rata bergerak periodik dengan persamaan seperti pada Persamaan (3), dengan nilai rata-rata hitung periodiknya adalah hasil pada Langkah ke-1.
3.
Menghitung varians periodik dari model rata-rata bergerak pada Langkah ke-2.
4.
Menstandarisasikan proses rata-rata bergerak pada Langkah ke-2, dengan menggunakan Persamaan (4).
5.
Membangun proses berdimensi dari proses rata-rata bergerak yang distandarisasi pada Langkah ke-4, dengan menggunakan Persamaan (6).
6.
Menghitung autokorelasi periodik dari proses berdimensi pada Langkah ke-5, dengan menggunakan Persamaan (8).
Kesimpulan 1. Autokorelasi periodik tidak selalu muncul dalam data deret waktu dengan komponen musiman periodik, artinya walaupun data deret waktu tidak memiliki komponen musiman atau memiliki komponen musiman tetapi bukan musiman periodik, autokorelasinya bisa saja merupakan autokorelasi periodik. 2. Menggambarkan data derat waktu atas waktu dan korelogramnya, merupakan tahap awal yang harus dilakukan dalam pengujian periodesitas autokorelasi, karena dari gambar-gambar inilah nilai periodesitas dan nilai lag dihipotesiskan. 3. Hipotesis untuk pengujian periodesitas autokorelasi yang dirumuskan pada Persamaan (5), sudah melibatkan pengujian untuk lag autokorelasinya. 4. Model data deret waktu yang digunakan untuk membangun statistik uji adalah model rata-rata bergerak dengan ordenya adalah periodesitas autokorelasi. ^
5. Statistik uji untuk pengujian hipotesis pada Persamaan (5) adalah vektor statistik
pada
Persamaan (8) yang merupakan statistik uji pendekatan yang yang berdistribusi normal multivariat
1 , dan kovarians 0. 3
dengan komponen vektor rata-ratanya 0, varians
^
6. Untuk menentukan kriteria pengujian dari hipotesis pada Persamaan (5) tersebut, vektor statistik
ditranformasikan menjadi vektor statistik yang berdistribusi normal baku multivariat dengan persamaan ^
^ 0
dengan vektor rata-rata dan simpangan bakunya.
5
7. Selanjutnya dihitung jumlah kuadrat dari komponen vektor transformasi tersebut, dan nilai jumlah kuadratnya dibandingkan dengan tabel distribusi chi-kuadrat (chisquares) untuk derajat bebas yaitu nilai periodesitas autokorelasi dengan luas kurva kritisnya (1-)%, 0 < < 1. ^
8. Untuk menghitung vektor statistik dapat digunakan paket program komputer STATGRAPHICS atau EXCEL. 9. Jika hipotesis pada Persamaan (5) diterima, maka nilai periodesitas autokorelasi dan lagnya berdasarkan peta data atas waktu dan korelogramnya dapat diterima.
Tetapi sebaliknya jika
ditolak, maka tidak berarti kedua nilai tersebut ditolak secara bersamaan. Dalam hal hipotesis ditolak pengujian dilakukan terhadap masing-masing komponen vektor
^ 0
, dan untuk
menentukan kriteria pengujiannya komponen vektor dibandingkan dengan tabel normal baku. Kepustakaan Abraham, B. 1983. Statistical Methods for Forecasting. John Wiley & Sons. New York. Azzalini, A. 1984. Estimation and Hypothesis Testing for Collections of Autoregressive Time Series. Biometrika, 71, 1, pp 85-90. Box, G. E. P. dan Jenkins, G. M. 1976. Time Series Analysis: forecasting and control. HoldenDay. San Francisco. Chatfield, C. 1984. The Analysis of Time Series: An Introduction. Chapman and Hill. London. Hamilton, D. C. dan Watts, D. G. 1978. Interpreting Partial Autocorrelation Functions of Seasonal Time Series Models. Biometrika, 65, 1, pp 134-140. Harvey, A. C. 1984. Time Series Forecasting Based on The Logistic Curve. Royal Society, Vol. 38, No. 7 pp 641-646. Harvey, A. C. 1993. Time Series (2nd ed). Harvester & Wheatsheaf. New York. Kunsch, H. R. 1989. The Jackknife and The Bootstrap for General Stationary Observations. The Annals of Statistics, Vol. 17, No. 3, 1217-1241.
6
Siegel, A. F. 1980. Testing for Periodicity in a Time Series. Journal of American American Statistical Association. Juni 1980, Volume 75, Number 370. Montgomery, D. C. dan Johnson L. A. 1976. Forecasting and Time Series Analysis. McGraw-Hill Book Co. New York. Veccha, A. V. dan Ballerini, R. 1991. Testing for Periodic Autokorelations in Seasonal Time Series Data. Biometrics, 78, 1, pp 53-63. Wei, W. W. S. 1994. Time Series Analysis: Univariat and Multivariat Methods. Addison-Wesley Pub. Co. Inc. California. Wise, J. 1955. Regression Analysis of Relationships Between Autocorrelated Time Series. Royal Society.
7
