Analysis of Covariance (ANACOVA)
Oleh: Betti Kasih Paramitha Ihda Ihsania Gempur Safar
Liya Fitriyani Muhammad Alawido Erma Apriliana Eka Setyaningsih
Prof. Dr. Sri Haryatmi Kartiko
Program Studi Statistika FMIPA – Universitas Gadjah Mada 2009
Analysis of Covariance (ANACOVA) Merupakan suatu uji apakah faktor tertentu memiliki efek pada variabel hasil setelah mengeluarkan kuantitatif yang berbeda untuk predictors (variabel bebas). ANACOVA merupakan teknik yang mengkombinasikan Analisis variansi dan Analisis regresi. Merupakan metode yang berbasis di regresi linear, maka hubungan antara variabel dependen dengan variabel independen harus linear dalam parameter. ANACOVA dilakukan dengan menambahkan variabel concomitant pada model ANOVA yang memuat efek faktor dengan satu atau lebih variabel tambahan yang berelasi dengan variabel dependen (Y). Penambahan ini bertujuan mengurangi variansi kesalahan (error) dalam model.
Model ANACOVA Yij . i ( X ij X ..) ij
. overall mean i efek dari level factor ke - i koefisien regresi antara Y dan X ij iid N(0, 2 ) X ij var independen (additional var) X ij dianggap konstan hanya ij yang variabel random
Asumsi dalam ANACOVA : 2 iid N( 0 , ) Galat percobaan berdistribusi normal ~ ij
Masing-masing populasi untuk setiap level faktor memiliki variansi yang sama Data observasi, Y independent Hubungan antara X dan Y bersifat linear dan bebas dari perlakuan atau kelompok percobaan. X bersifat tetap dan tidak berkorelasi (bebas) dengan perlakuan yang dicobakan.
Estimasi Parameter ˆ y .. ˆi y i .. ˆ
SSE xy SSE x
Uji efek perlakuan: 1. H0 : τ1 = τ2 = ... = τt = 0 H1 : tidak semua τi = 0 , i = 1,2,......t 2. Tingkat signifikansi (α) 3. Statistik uji MSTR(adj.) Frasio
MSE (adj.)
4. Daerah kritis: H0 ditolak jika F rasio > F(α;t-1; t(r-1) -1) 5. Kesimpulan
Tabel Analisis Kovariansi Single Factor dengan satu kovariat:
Sumber variasi Treatments
Sum of Squares
Y
X
XY
df
SSTRy
SSTRx
SSTRxy
t-1
Error
SSEy
SSEx
SSExy
t(r-1)
Total
SSTOy
SSTOx
SSTOxy
tr -1
Tabel Analisis kovariat sebagai koreksi dari ANAVA: Sumber variasi
Adjuste Adjusted Adjusted d SS df MS
Treatment SSTR s (adj.)
t-1
MSTR (adj.)
Error
SSE (adj.)
t(r-1)-1
MSE (adj.)
SSTO (adj.)
tr-1
Total
Frasio
MSTR (adj.) MSE (adj.)
Analisis variansi untuk variabel Y: SSTO y (Yij Y ..) Yij 2
i
j
i
2
j
2
2 Y Y .. 2 i. SSTR y (Y i. Y ..) r rt i i
SSE y (Yij Y i. ) i
2
j
SSTOy SSTRy SSE y
Y .. tr
2
Analisis variansi untuk variabel X:
SSTOx ( X ij X ..) X ij 2
i
j
i
2
j
2
X i. X .. SSTRx ( X i. X ..) r rt i i 2
SSE x ( X ij X i. ) 2 i
j
SSTOx SSTRx SSE x
X .. rt 2
2
Analisis variansi untuk variabel XY:
X ..Y .. SSTOxy ( X ij X ..)(Yij Y ..) X ij Yij rt i j i j X i.Yi. X ..Y .. SSTRxy ni ( X i . X ..)(Y i . Y ..) r rt i i SSE xy ( X ij X i. )(Yij Y i. ) i
j
SSTOxy SSTRxy SSE xy
( SSTO XY ) 2 SSTO(adj.) SSTOY SSTO X ( SSE XY ) 2 SSE (adj.) SSEY SSE X SSTR(adj.) SSTO(adj.) SSE (adj.)
SSTR( Adj ) MSTR( Adj ) t 1
SSE ( Adj ) MSE ( Adj ) t (r 1) 1
APLIKASI Ada suatu percobaan dalam bidang industri yang ingin mengetahui pengaruh mesin terhadap respon kekuatan serat yang dihasilkan (Y) dan dipergunakan dalam industri tekstil. Terdapat 3 perlakuan mesin, masing-masing diulang 5 kali. Telah diketahui bahwa kekuatan serat yang dihasikan juga tergantung pada diameter serat tersebut. Untuk itu dalam percobaan ini digunakan concomitant variabel (X) yaitu diameter serat yang dihasilkan (10-3cm).
Mesin 1
Total Ratarata
Mesin 2
Mesin 3
X
Y
X
Y
X
Y
20
36
22
40
21
35
25 24 25 32
41 39 42 49
28 22 30 28
48 39 45 44
23 26 21 15
37 42 34 32
126
207
130
216
106
180
25.2
41.4
26
43.2
21.2
36
Yij . i ( X ij X ..) ij
. i X ij
nilai rata - rata kekuatan serat yang sesungguhn ya efek mesin ke - i koefisien regresi yang menunjukka n Yij pada Xij pengukuran diameter serat yang dihasilkan mesin ke - i
pada pengulanga n ke - j yang berkaitan dengan Yij Yij nilai pengamatan kekuatan serat yang dihasilkan mesin ke - i pada ulangan ke - j X.. = nilai rata - rata diameter serat yang diukur ij = komponen galat yang timbul pada ulangan ke - j pada mesin ke - i
Asumsi : Diameter serat bersifat tetap dan tidak berkorelasi (bebas) dengan mesin-mesin yang dicobakan Hubungan pengaruh antara kekuatan serat dan diameter serat bersifat linear serta koefisien regresi untuk setiap mesin adalah sama
ij iid N(0, ) 2
Analisis variansi untuk variabel Y: SSTOy Yij i
2
j
Y ..2 6032 2 2 2 (36) (41) .... (32) 346.4 tr 5 3
Yi. Y ..2 (207) 2 (216) 2 (180) 2 6032 SSTRy 140.4 r rt 5 5 3 i SSE y SSTOy SSTRy 346.4 140.4 206 2
Analisis variansi untuk variabel X: SSTOx X ij i
j
2
X ..2 362 2 2 2 2 (20) (25) .... (15) 261.73 rt 53
X i. X ..2 (126) 2 (130) 2 (106) 2 362 2 SSTRx 66.13 r rt 5 53 i 2
SSE x SSTOx SSTRx 261.73 66.13 195.6
Analisis variansi untuk variabel XY X ..Y .. 362 603 SSTOxy X ij Yij (20 36 25 41 ..... 15 32) 282.6 rt 5 3 i j X i.Yi. X ..Y .. 126 207 .... 106 180 362 603 SSTRxy 96 r rt 5 53 i
SSE xy SSTOxy SSTRxy 282.6 96 186.6 ( SSTOXY ) 2 282.6 2 SSTO(adj.) SSTOY 346.4 41.27 SSTOX 261.73 ( SSE XY ) 2 186.6 2 SSE (adj.) SSEY 206 27.99 SSE X 195.6 SSTR(adj.) SSTO(adj.) SSE (adj.) 41.27 27.99 13.28
SSTR( Adj ) 13.28 MSTR( Adj ) 6.64 t 1 2 SSE ( Adj ) 27.99 MSE ( Adj ) 2.54 t (r 1) 1 11
Estimasi Parameter ˆ y .. 40.2 SSE xy 186.6 ˆ 0.954 SSE x 195.6 ˆi y i.. y .. ˆ ( x i. x.. ) ˆ1 y1.. y .. ˆ ( x1. x.. ) 41.4 40.2 0.954 (25.2 24.13) 0.17922 ˆ2 y 2.. y .. ˆ ( x 2. x.. ) 43.2 40.2 0.954 (26 24.13) 1.21602 ˆ3 y 3.. y .. ˆ ( x 3. x.. ) 36 40.2 0.954 (21.2 24.13) 1.40478
Tabel Analisis Kovariansi dengan satu kovariat:
Single
Factor
Sum of Squares
Sumber variasi
Y
X
XY
df
Treatments
140.4
66.13
96
2
Error
206
195.6
186.6
12
Total
346.4
261.73
283.6
14
Tabel Analisis kovariat sebagai koreksi dari ANAVA: Sumber variasi
Adjusted SS
Adjusted df
Adjusted MS
Treatments
13.28
2
6.64
Error
27.99
11
2.54
Total
41.27
14
Frasio
2.61
Uji efek perlakuan: 1. H0 : τ1 = τ2 = τ3 = 0 H1 : tidak semua τi = 0 , i = 1,2,3 2. Tingkat signifikansi 3. α = 5% 4. Statistik uji Frasio = 2,61 4. Daerah kritis F(α;t-1; t(r-1) -1) = F(0,05;2;11) = 3,98 H0 ditolak jika F rasio > F(α;t-1; t(r-1) -1) 5. Kesimpulan Karena Frasio < F(0,05;2;11) (2,61 < 3,98) maka H0 tidak ditolak berarti tidak ada pengaruh perlakuan jenis mesin yang dicobakan terhadap kekuatan serat yang dihasilkan.
Sekian & Terima Kasih
