Design and Analysis of Algorithm

Design and Analysis of Algorithm Week 4: Kompleksitas waktu algoritma rekursif part 1

Dr. Putu Harry Gunawan1 1 Department

of Computational Science School of Computing Telkom University

Dr. Putu Harry Gunawan (Telkom University)

Design and Analysis of Algorithm

1 / 48

Outline Quiz I Quiz I 2 Review 3 Pendahuluan Pendahuluan Dikatkan bentuk rekursif: Tujuan dibuat rekursif: Syarat bentuk rekursif: 4 Relasi Rekurens Faktorial Relasi Rekurens Faktorial 5 Relasi Rekurens Hanoi Tower Relasi Rekurens Hanoi Tower 6 Relasi Rekursi Min Max Relasi Rekursi Min Max 7 Tambahan Tambahan Cara coba-coba 8 Dr. PutuReferences Harry Gunawan (Telkom University) Design and Analysis of Algorithm 1

2 / 48


3 / 48

Exercise 1

Quiz I Kuis I dimulai selama 45 menit.



4 / 48

Exercise 1

Buatlah algoritma rekursif untuk menghitung faktorial! Contoh 10! = 10 × 9 × · · · × 2 × 1



(2.1)

5 / 48

Exercise 2

Buatlah algoritma rekursif untuk menentukan nilai baris fibonanci ke-n Contoh: Baris fibonanci ke 6 1, 1, 2, 3, 5, 8



(2.2)

6 / 48


7 / 48

Pendahuluan

Pada bab ini, akan dibahas mengenai menghitung waktu asismtotik untuk algoritma rekursif. Kita mulai dengan definisi-definisi algoritma rekursif:



8 / 48


9 / 48

Rekursif

Dikatkan bentuk rekursif:



10 / 48

Rekursif

Dikatkan bentuk rekursif: 1

suatu subrutin atau fungsi/ prosedur yang memanggil dirinya sendiri.



10 / 48

Rekursif



2

bentuk dimana pemanggilan subrutin terdapat di dalam body subrutin



10 / 48

Rekursif



2

bentuk dimana pemanggilan subrutin terdapat di dalam body subrutin

3

dengan rekursi, program akan lebih mudah dilihat.



10 / 48


11 / 48

Rekursif

Tujuan dibuat rekursif:



12 / 48

Rekursif

Tujuan dibuat rekursif: 1

menyederhanakan penulisan program



12 / 48

Rekursif

Tujuan dibuat rekursif: 1

menyederhanakan penulisan program

2

menggantikan bentuk iterasi



12 / 48


13 / 48

Rekursif

Syarat bentuk rekursif:



14 / 48

Rekursif

Syarat bentuk rekursif: 1

ada kondisi terminal



14 / 48

Rekursif



2

ada subroutine call yang melibatkan parameter yang nilainya menuju kondisi terminal



14 / 48

Rekursif



2

ada subroutine call yang melibatkan parameter yang nilainya menuju kondisi terminal

Sehingga untuk menghitung kompleksitas bentuk rekursif, maka digunakan teknik perhitungan kompleksitas dengan relasi rekurens.



14 / 48


15 / 48

Faktorial

Perhatikan algoritma berikut: Function Factorial(input n: integer) -> integer Algoritma if n=0 then return 1 else return (n * Factorial(n-1)) endif



16 / 48

Faktorial

Kompleksitas waktu: untuk kasus basis, tidak ada operasi perkalian → 0 untuk kasus rekurens, kompleksitas waktu diukur dari jumlah perkalian (1) ditambah kompleksitas wasktu untuk faktorial (n-1).



17 / 48

Faktorial

Sehingga relasi rekursinya dapat dibentuk menjadi: ( 0, n = 0, T (n) = T (n − 1) + 1, n > 0.



(4.1)

18 / 48

Faktorial

Jadi menghitung waktunya adalah T (n) = 1 + T (n − 1) = 1 + 1 + T (n − 2) = 2 + T (n − 2) = 2 + 1 + T (n − 3) = 3 + T (n − 3) = ··· = n + T (0) =n+0 Jadi T (n) = n → O(n).



19 / 48

Generally

Secara umum, untuk menganalisis waktu efisiensi dari algoritma rekursif: 1

Putuskan dalam parameter, yang mengindikasikan ukuran inputan.

2

Identifikasi operasi dasar algoritma

3

Cek apakah jumlah operasi dasar akan berbeda jika ukuran masukan berbeda?, kalau iya maka dapat dihitung, waktu terbaik, terburuk, dan rata-rata secara terpisah.

4

Buat relasi rekursi dengan kondisi awal yang sesuai, untuk jumlah operasi dasar yang dijalankan.

5

Selesaikan relasi rekursi, atau paling tidak tentukan orde kenaikannya.



20 / 48


21 / 48

Hanoi Tower

Selanjutnya adalah contoh masalah yang dikenal sebagai the Tower of Hanoi puzzle. Dalam permainan ini, pemain diberikan tiga buah batu yang memiliki ukuran berbeda. Batu-batu tersebut selanjutnya disusun berdasarakan ukuran, yakni ukuran terbesar berada paling bawah.



22 / 48

Hanoi Tower

Selanjutnya adalah contoh masalah yang dikenal sebagai the Tower of Hanoi puzzle. Dalam permainan ini, pemain diberikan tiga buah batu yang memiliki ukuran berbeda. Batu-batu tersebut selanjutnya disusun berdasarakan ukuran, yakni ukuran terbesar berada paling bawah. Tujuan dari permainan ini adalah, memindahkan tumpukan batu di tiang A ke B tanpa mengubah posisi batu besar paling bawah. Disediakan tiang C sebagai perantara.



22 / 48

Hanoi Tower

Figure : Solusi rekursif untuk masalah Menara Hanoi.



23 / 48

Hanoi Tower

Procedure Hanoi (input n, A, B, C:integer) Algoritma If n=1 then Write (Pindahkan piringan dari,A,ke,B) Else Hanoi(n-1,A,C,B) Writeln(Pindahkan piringan dari,A,ke,B) Hanoi(n-1,C,B,A) Endif



24 / 48

Hanoi Tower

Operasi dasar dari algoritma Hanoi adalah ’Writeln()’, sehingga dengan jelas bahwa pergerakan T (n) bergantung pada n yang relasi rekursinya berupa: T (n) = T (n − 1) + 1 + T (n − 1) ∀n > 1 (5.1) Dengan kondisi awal T (1) = 1, maka relasi rekursinya ditulis ulang dalam bentuk: ( 1, n=1 T (n) = (5.2) 2T (n − 1) + 1, n > 1



25 / 48

Hanoi Tower Maka kompleksitas waktunya dapat dihitung sebagai berikut: T (n) = 2T (n − 1) + 1 = 2(2T (n − 2) + 1) + 1 = 22 T (n − 2) + 2 + 1 = 22 (2T (n − 3) + 1) + 2 + 1 = 23 T (n − 3) + 22 + 2 + 1 = ··· = 2n−2 (2T (n − (n − 1)) + 1) + 2n−3 + · · · + 22 + 2 + 1 = 2n−2 · 2T (1) + 2n−2 + 2n−3 + · · · + 22 + 2 + 1 = 2n−1 + 2n−2 + 2n−3 + · · · + 22 + 2 + 1 = 2n − 1 Sehingga T (n) = 2n − 1 → O(2n ).



26 / 48


27 / 48

Min Max Perhatikan algoritma mencari data maksimum dan minimum dari suatu tabel berikut procedure MinMaks2(input A : TabelInt, i, j : integer, output { Mencari nilai maksimum dan minimum di dalam tabel A yang berukuran n elemen secara Divide and Conquer. Masukan: tabel A yang sudah terdefinisi elemen- elemennya Keluaran: nilai maksimum dan nilai minimum tabel } Deklarasi min1, min2, maks1, maks2 : integer if i=j then min <-- A[i] maks <-- A[i] else Dr. Putu Harry Gunawan (Telkom University)

{Jika satu elemen}


28 / 48

Min Max

else if (i = j-1) then if A[i] < A[j] then maks <-- A[j] min <-- A[i] else maks <-- A[i] min <-- A[j] endif


{Jika dua elemen}


29 / 48

Min Max else k=(i+j) div 2 { bagidua tabel pada posisi k } MinMaks2(A, i, k, min1, maks1) MinMaks2(A, k+1, j, min2, maks2) if min1 < min2 then min <-- min1 else min <-- min2 endif if maks1<maks2 then maks <-- maks2 else maks <-- maks2 endif endif endif Dr. Putu Harry Gunawan (Telkom University)


30 / 48

Min Max

Dari algoritma tersebut dapat dibuat relasi rekursi sebagai berikut:   n=1  0, T (n) = 1, n=2   2T (n/2) + 2, n > 2



(6.1)

31 / 48

Min Max Sehingga waktu asismtotiknya bisa dicari yaitu: Misal n = 2k , sehingga T (n) = 2T (n/2) + 2 = 2(2T (n/4) + 2) + 2 = 4T (n/4) + 4 + 2 = 4(2T (n/8) + 2) + 4 + 2 = 8T (n/8) + 8 + 4 + 2 = 23 T (2k /23 ) + 8 + 4 + 2 = 23 T (2k−3 ) + 23 + 22 + 21 ,

n = 2k

= ··· = 2k−1 T (2) + 2k−1 + · · · + 22 + 21 = 2k−1 +

k−1 X

2i

i=1

= 2k−1 + 2k − 2 Selanjutnya bawa ke bentuk n atau k =2 log n, Dr. Putu Harry Gunawan (Telkom University)


32 / 48

Min Max

T (n) = 2k−1 + 2k − 2 2

2

= 2 log n−1 + 2 log n − 2 n = +n−2 2 3n = − 2 ∈ O(n) 2



33 / 48


34 / 48

Tambahan

Untuk mengetahui kompleksitas bentuk rekursif, maka T (n) harus diubah dalam bentuk yang bukan rekursif. Bagaimana mengubah bentuk rekursif ke non rekursif ? Ada dua macam cara untuk menyelesaikan masalah ini, yaitu cara coba-coba dan dengan persamaan karakteristik : 1

Cara coba-coba (deret).

2

Metode dengan persamaan karakteristik



35 / 48


36 / 48

Metode Coba-Coba

Cara ini dilakukan dengan menentukan pola deret yang terbentuk (cara deret). Contoh untuk cara ini telah ditunjukkan dalam mencari kompleksitas waktu untuk beberapa bentuk rekursif sebelumnya. Cara ini agak sulit dan perlu pengalaman.

Example Tentukan waktu rekursi berikut: ( a, n = 1, 2 T (n) = T (n − 1) + T (n − 2) + b,



n≥3

(7.1)

37 / 48

Metode Coba-Coba Solusi dari contoh diatas dengan cara coba coba adalah sebagi berikut: T (1) = T (2) = a T (3) = T (2) + T (1) + b = a + a + b = 2a + b T (4) = T (3) + T (2) + b = (2a + b) + a + b = 3a + 2b T (5) = T (4) + T (3) + b = (3a + 2b) + (2a + b) + b = 5a + 4b T (6) = T (5) + T (4) + b = (5a + 4b) + (3a + 2b) + b = 8a + 7b ··· Sangat sulit untuk bisa diformulasikan. Sehingga harus mencari cara lain utntuk menghitung waktu algoritma. Salah satu caranya adalah dengan menggunakan metode karakteristik. Metode ini akan dijelaskan pada peretemuan selanutnya.



38 / 48


39 / 48

References

References 1

Anany, L. (2003). Introduction to the design and analysis of algorithms. Villanova University.



40 / 48


41 / 48

Exercise 1

Selesaikan relasi rekurensi berikut: ( 0, T (n) = T (n − 1) + 5,



n=1 n≥2

(9.1)

42 / 48

Exercise 2

Selesaikan relasi rekurensi berikut: ( 4, T (n) = 3T (n − 1),


n=1 n≥2


(9.2)

43 / 48

Exercise 3

Selesaikan relasi rekurensi berikut: ( 0, T (n) = T (n − 1) + n,



n=0 n>0

(9.3)

44 / 48

Exercise 4

Selesaikan relasi rekurensi berikut: ( 1, T (n) = T (n/2) + n,



n=1 n>1

(9.4)

45 / 48

Exercise 5

Selesaikan relasi rekurensi berikut: ( 1, T (n) = T (n/3) + 1,



n=1 n>1

(9.5)

46 / 48

Exercise 6

Diberikan algoritma untuk menghitung jumlah pangkat 3 dari deret, S(n) = n3 + (n − 1)3 + · · · + 23 + 13 . ALGORITHM S(n) //Input: A positive integer n //Output: The sum of the first n cubes if n = 1 return 1 else return S(n - 1) + n * n * n

1

Tentukan relasi rekursi dari algoritma di atas dan selesaikan.

2

Bandingkan dengan algoritma yang tidak ditulis dengan rekursif.



47 / 48

The end of week 4

Thank you for your attention!



48 / 48

Design and Analysis of Algorithm

Recommend Documents