Herhalingsoefeningen Willekeurige driehoeken Van de opgaven die geel gemarkeerd zijn, vind je achteraan de oplossingen. De oplossingen van de andere mag je steeds afgeven of er vragen over stellen. Oef 1 Construeer telkens twee hoeken waarvan de cosinus of sinus gegeven is. Teken voor elke opgave een andere goniometrische cirkel. 1. cos α = 0,25
2. sin α = -0,75
3. tan α = -0,5
Oef 2 Teken in de goniometrische cirkel een hoek α die aan de gegevens voldoet. Teken voor elke opgave een andere goniometrische cirkel. 1. sin α <0 en cos α < 0
2. sin α >0 en cos α > 0
3. tan α <0 en cos α < 0
Oef 3 Gegeven de hoek α met 0° ≤ α ≤ 360°. Welke waarden kan de hoek α aannemen als 1. cos α = 1
2. sin α = -1
3. tan α = 0
Oef 4 Toon aan dat sin²10° + sin²30° + sin²40° + sin²50° + sin²60° + sin²80° = 3 Oef 5 Bereken. 1. sin α en tan α als cos α = -0,8 en als α in het tweede kwadrant ligt.
2. cos α en tan α als sin α = -0,2 en als α in het derde kwadrant ligt.
Oef 6 Los ΔABC op. 1. a = 5 ; c = 7 ; α = 120° 2. c = 10 ; α = 80° ;
50°
3. a = 16 ; c = 27 ; β = 45° 4. b = 30 ; c = 40 ; α = 50° 5. a = 30 ; b = 30 ; α = 35°12’30”
WP 4.2 Herhalingsoefeningen blz. 39-44
1
Oef 7 Op de Duinweg is de afstand van het punt A tot het punt B is gelijk aan 12 km. In A wordt de weg gekruist door de Biezenstraat onder een hoek van 115° en in het punt B door de Grasdreef onder een hoek van 120). Op hoeveel kilometer van A en B snijden de Biezenstraat en de Grasdreef elkaar?
Oef 8 De lengte van de grote wijzer van een torenuurwerk is 86 cm en de kleine wijzer 49 cm. Bereken de afstand tussen de eindpunten K en G van de kleine en de grote wijzer:
1. om 11 uur
2. om 14 uur
Oef 9 Bereken de hoeken van de gegeven driehoek.
WP 4.2 Herhalingsoefeningen blz. 39-44
2
Oef 10 Bereken de oppervlakte van ΔABC. 1. ΔABC is gelijkbenig met tophoek ̂ = 38°25’ en |AC| = 25 cm. 2. ΔABC is gelijkzijdig met |AB| = 9 cm. Oef 11 Bepaal de oppervlakte van de gelijkbenige driehoek in functie van de zijde b en de basishoek β.
Oef 12 Bereken 1. 3sin²α + cos²α met sin α = 0,8 2. 2sin²α - 4cos²α met cos α =
Oef 13 In ΔABC is a = 2, b = √ en c = 1. 1. Bepaal de hoeken van de driehoek. 2. Bepaal zonder te berekenen de hoeken van ΔDEF als d = 4, e = √ en c = 2. Verklaar.
WP 4.2 Herhalingsoefeningen blz. 39-44
3
Oef 14 In 1993 was bij de toren van Pisa voor de grote restauratie- en stabilisatiewerken: |AB| = 47,77 m; ̂ = 60° en |AC| = 31,93 m.
1. De helling van de toren wordt bepaald door de hoek ̂ . Bepaal de hoek. 2. Als B’ de loodrechte projectie is van het punt B op de rechte AC, dan zie je met de afstand |AB’| hoe ver het punt B vooruitstak over het punt A. Bereken |AB’|. Oef 15 Een bewakingscamera wordt in de hoek A van een kamer geplaast. Men wil de camera zo afstellen dat het bewakingsveld zich uitstrekt toT beide muren (dus van punt E tot punt C). Onder welke hoek moet de camera worden afgesteld?
Oef 16 Toon aan dat
WP 4.2 Herhalingsoefeningen blz. 39-44
.
4
Oef 17 Toon aan dat elke uitdrukking een reëel getal is. 1. (sin α – cos α)² + (sin α + cos α)² 2. (tan² α + 1).cos² α 3. -tan² α . Oef 18 Toon aan.
1. cos² α + cos²β = 1
2. tan α . tan β = 1
Wiskunde olympiade 1. Een parallellogram bestaat uit vier congruente gelijkzijdige driehoeken met zijde 1 (zie figuur). Bepaal de lengte van de diagonaal [AC]
A √
B √
C √
WP 4.2 Herhalingsoefeningen blz. 39-44
D
√
E 3
5
Enkele oplossingen Oef 2 Teken in de goniometrische cirkel een hoek α die aan de gegevens voldoet. Teken voor elke opgave een andere goniometrische cirkel. 1. sin α <0 en cos α < 0
2. sin α >0 en cos α > 0
3. tan α <0 en cos α < 0
Oef 5 Bereken. 1. sin α en tan α als cos α = -0,8 en als α in het tweede kwadrant ligt. sin² α + cos² α = 1 sin² α = 1 - cos² α = 1 – (-0,8)² = 0,36 sin α = 0,6 (positief want in kwadrant II) tan α =
=
= 0,75
WP 4.2 Herhalingsoefeningen blz. 39-44
6
Oef 6 Los ΔABC op. 1. a = 5 ; c = 7 ; α = 120°
= = 1,4
c = 10 ; α = 80° ;
2.
50°
β = 180° - α – γ = 180° - 80° - 50° = 50° = = 10
= = 12,86
Oef 8 De lengte van de grote wijzer van een torenuurwerk is 86 cm en de kleine wijzer 49 cm. Bereken de afstand tussen de eindpunten K en G van de kleine en de grote wijzer:
1. om 11 uur Om 11 uur: ̂ =
= 30°
|KG|² = |KO|² + |GO|² - 2.|KO|.|GO|.cos ̂ = 49² + 86² - 2.49.86.cos30° = 2498,14 |KG| = 49,98 cm
WP 4.2 Herhalingsoefeningen blz. 39-44
7
Oef 10 Bereken de oppervlakte van ΔABC. 1. ΔABC is gelijkbenig met tophoek ̂ = 38°25’ en |AC| = 25 cm.
AΔABC =
̂
=
= 194,2 cm²
Oef 15 Een bewakingscamera wordt in de hoek A van een kamer geplaast. Men wil de camera zo afstellen dat het bewakingsveld zich uitstrekt toT beide muren (dus van punt E tot punt C). Onder welke hoek moet de camera worden afgesteld?
In ΔAED: |AE|² = |AD|² + |ED|² = 2,8² + 4,6² = 29
|AE| = √
= 5,39 m
In ΔADC: |AC|² = |AD|² + |DC|² = 2,8² + 6,3² = 47,53
|AC| = √
In ΔDEC: |EC|² = |DC|² + |ED|² = 6,3² + 4,6² = 60,85
|EC| = √
= 6,89 m = 7,80 m
In ΔAEC: |EC|² = |AE|² + |AC|² - 2. |AE|.|AC|.COS ̂ 2. |AE|.|AC|.COS ̂ = |AE|² + |AC|² - |EC|² COS ̂ =
=
= 0,21117
̂ = 77°48’33”
WP 4.2 Herhalingsoefeningen blz. 39-44
8
