2. Osilator Harmonik Pada mekanika klasik, salah satu bentuk osilator harmonik adalah sistem pegas massa, yaitu suatu beban bermassa m yang terikat pada salah satu ujung pegas dengan konstanta pegas k. Persamaan gerak beban adalah ∑ = −
(1)
=
=− =−
dengan
≡
(2) adalah frekuensi anguler osilasi
Persamaan (2) adalah persamaan diferensial orde dua dengan akar-akar bilangan kompleks yang berlainan, solusinya adalah ( )=
sin
+
cos
(3)
dan energi potensial sistem adalah ( )= ( )=
1 2 1 2
(4)
Lalu bagaimana tinjauan osilator harmonik dalam mekanika kuantum? Dalam mekanika kuantum, fungsi gelombang dari osilator harmonik diperoleh dengan memecahkan persamaan Schrödinger dengan potensial ( ) berbentuk ( )=
1 2
Oleh karena
( ) tidak bergantung waktu, maka kita dapat menggunakan
persamaan Schrödinger tak bergantung waktu bentuk satu dimensi, yaitu −
ℏ 2
"( )
+ ( )"( ) = # "( )
Wayan Suana, M.Si.
Pendidikan Fisika Universitas Lampung
−
ℏ 2
"( )
+
1 2
"( ) = # "( )
(5)
( )
Gambar 1. Potensial osilator harmonik Untuk menyelesaikan persamaan (5), kita gunakan metode aljabar, bentuk persamaan (5) dapat ditulis menjadi
1 ℏ % & 2
1 ℏ (% 2 &
' "( ) + ' +
1 2
"( ) = # "( )
) "( ) = # "( )
(6)
dengan menggunakan sifat aljabar bahwa + + = ( − &+)( + &+)
maka ruas kiri persamaan (6) kita nyatakan dalam bentuk perkalian dua faktor, yaitu 1 ℏ (% 2 & 1 ℏ (% 2 & 1 ℏ (% 2 & dengan
.
' +
) "( ) →
' +
) "( ) →
' +
) "( ) →
dan
/
1 ℏ % 2 & 1
√2
. /
ℏ % &
−&
"( )
−&
ℏ '% & '
1
√2
+&
ℏ % &
' "( ) +&
' "( )
adalah suatu operator yang didefinisikan sebagai berikut
Wayan Suana, M.Si.
Pendidikan Fisika Universitas Lampung
.
≡
1
ℏ % &
√2
1
/
≡
.
dan
√2
/
−&
ℏ % &
'
+&
(7)
'
(8)
adalah operator, dan bukan bilangan biasa. Pada umumnya operator
tidak bersifat komut (aopbop ≠ bopaop) sehingga perlu dicek produk dari bekerja pada suatu fungsi, misalnya 3( ). . / 3(
)=
. / 3(
)=
.
/ 3( ) =
)=
. / 3(
)=
. / 3( .
/ 3( ) =
1
√2 1
2
1
2
1
2
%
%
ℏ &
2
1
2
&
ℏ
2
ℏ
2
&
6% ' &
ℏ
6% ' 6%
&
ℏ &
−& 2
3( )
2
3( )
2
&
2
+ℏ
2
ℏ
%
&
ℏ 3( )
+ℏ
3( )
2
'4
√2
2
)2 3( ):
2
1
'
−&
6% '
+(
1
ℏ
7 3( )8
' +(
3( )5 −ℏ
3( ) + ℏ
)2 3( ) + ℏ
+(
)2 + ℏ
3( )
. /
=
1 ℏ 6% 2 &
2
6%
ℏ &
2
' +(
' +(
) 9=
)2 9 +
− +
−
ℏ
2
ℏ 2
3( )
+(
−ℏ
)2 3( )9
3( )
3( )9
9 3( )
dengan mengeliminasi 3( ) maka didapatkan produk dari 1
jika
' 3( )
+&
+&
. /
. /,
yaitu (9) (10)
dengan mensubstitusikan persamaan (9) ke persamaan (6), didapatkan bentuk persamaan Schrödinger baru, yaitu %
. /
−
ℏ
2
' "( ) = # "( )
Wayan Suana, M.Si.
(11) Pendidikan Fisika Universitas Lampung
) = %# +
. / "(
ℏ
2
' "( )
(12)
Persamaan (11) dapat dituliskan dengan =>? "( ) = #"( )
dengan =>? =
−
. /
ℏ@
(13)
, adalah bentuk satu dari operator Hamiltonian untuk
osilator harmonik. Persamaan (13) merupakan persamaan nilai eigen, dengan
"( ) adalah fungsi eigen (yaitu solusi dari persamaan Schrödinger) dan nilai
eigennya #.
Perhatikan kembali uraian untuk mendapatkan produk dari serupa, akan didapatkan produk dari / .
=
1 ℏ 6% 2 &
1 ℏ 6% 2 &
' +(
' +(
) 9=
) 9− + −
+
ℏ 2
/ .,
yaitu
. /!
Dengan cara
(14)
ℏ 2
(15)
dengan mensubstitusi persamaan (15) ke persamaan (6), diperoleh bentuk persamaan Schrödinger lain, yaitu %
/ .
+
/ . "(
ℏ
2
' "( ) = # "( )
) = %# −
ℏ
2
(16)
' "( )
(17)
Persamaan (16) dapat dituliskan dengan
=>? "( ) = #"( )
dengan =>? =
/ .
osilator harmonik
+
ℏ@
(18)
, adalah bentuk dua dari operator Hamiltonian untuk
Selanjutnya kita lihat bagaimana sifat dari operator
eigen "( ). Misalkan suatu fungsi, A( ) ≡ bekerja pada A( ), menghasilkan
Wayan Suana, M.Si.
. "(
.
jika bekerja pada fungsi
) maka jika =>? =
. /
−
ℏ
2
Pendidikan Fisika Universitas Lampung
=>? A( ) = =>? =>? A( ) = % =>? A( ) =
. "(
. /
−
)
ℏ
2
. / . "(
'
. "(
)−
ℏ
2
)
. "(
)
dengan mensubstitusikan persamaan (17), diperoleh =>? A( ) =
. %#
=>? A( ) = %# − =>? A( ) = %# −
−
ℏ
2
ℏ
ℏ
2
'
−
2
' "( ) −
. "(
ℏ
2
'
)−
=>? A( ) = (# − ℏ )A( )
ℏ
ℏ
. "(
2
2
)
. "(
. "(
)
)
(19)
Bandingkan persamaan (19) dengan persamaan (13)! Persamaan (19) adalah juga persamaan nilai eigen. Jika fungsi eigen "( ) adalah solusi bagi persamaan
Schrodinger dengan nilai eigen # maka fungsi eigen A( ) juga merupakan solusi
dari persamaan Schrödinger dengan nilai eigen # − ℏ . Namun, nilai eigen dari A( ) turun sebesar ℏ
dibandingkan dengan nilai eigen dari "( ). Hal ini
menunjukkan bahwa operator . .
jika operator
Φ( ) =
Φ( ) =
maka
− − −… D "( −
)
− "(
)
=>? Φ( ) = (# − Dℏ )Φ( )
Wayan Suana, M.Si.
menurunkan energi sebesar ℏ . Demikian juga
bekerja pada "( ) maka akan menurunkan energi sebesar
2ℏ , dan seterusnya. Jika
.
(20)
Pendidikan Fisika Universitas Lampung
Lalu bagaimana sifat dari operator Misalkan suatu fungsi, A( ) ≡
A( ), menghasilkan =>? A( ) = =>? =>? A( ) = % =>? A( ) =
/ "(
/ .
+
)
ℏ
2
'
/ "(
)+
/ . / "(
/ "(
ℏ
2
)
/ "(
/
jika bekerja pada fungsi eigen "( )?
) maka jika =>? =
/ .
+
ℏ
2
bekerja pada
)
dengan mensubstitusikan persamaan (12), menghasilkan =>? A( ) =
/ %#
=>? A( ) = %# +
+
ℏ
2
ℏ
2
+
' "( ) +
ℏ
2
'
=>? A( ) = (# + ℏ )A( )
ℏ
/ "(
2
)
/ "(
)
(21)
Terlihat bahwa A( ) memiliki nilai eigen # + ℏ . Hal ini menunjukkan bahwa operator / /
/
bersifat menaikkan energi sebesar ℏ . Demikian juga jika operator
bekerja pada "( ) maka akan menaikkan energi sebesar 2ℏ , begitu
seterusnya.
Sehingga jika Φ( ) =
Φ( ) =
maka
+ + + … + "(
E / "(
)
)
=>? Φ( ) = (# + Dℏ )Φ( )
(22)
Sampai saat ini, kita belum memperoleh bentuk spesifik dari "( ). Untuk itu, kita perhatikan kembali persamaan (19). Jika kita operasikan
.
berkali-kali pada
"( ) maka suatu saat akan dicapai suatu keadaan dengan energi terendah.
Keadaan dengan energi terendah biasa disebut dengan keadaan dasar (ground
state). Misalkan "F ( ) adalah solusi untuk keadaan dasar maka pengoperasian Wayan Suana, M.Si.
Pendidikan Fisika Universitas Lampung
operator
.
pada "F ( ) akan menghasilkan nol karena tidak ada lagi keadaan
dengan energi yang lebih rendah. . "F (
1
√2
1
√2
%
)=0
ℏ
4
&
ℏ "F ( ) &
ℏ "0 ( ) =& &
"0 ( )
' "F ( ) = 0
−&
"0 ( )
"0 ( )
=−
ℏ
"0 ( ) =− ℏ "0 ( )
G
"0 ( ) =− G "0 ( ) ℏ
ln "F ( ) = −
"F ( ) = J . 2ℏ "F ( ) =
FJ
"F ( )5 = 0
−&
2
2ℏ
2 +I
.
+I
(23)
2
2ℏ
Persamaan (23) merupakan fungsi gelombang dari osilator harmonik pada keadaan dasar yang belum ternormalisasi. Setelah fungsi gelombang untuk keadaan dasar diperoleh maka kita dapat menentukan fungsi gelombang pada keadaan tereksitasi ke n, "E ( ) dengan bantuan operator "E ( ) = ( "E ( ) = ( "E ( ) =
/) /)
E E
"F ( ) K
E( /)
EJ
.
2ℏ
E . 2ℏ J
Wayan Suana, M.Si.
2
2
L
/,
yaitu
(24)
Pendidikan Fisika Universitas Lampung
Selanjutnya kita cari berapa energi osilator harmonik pada keadaan dasar. Caranya adalah dengan memecahkan persamaan Schrödinger pada persamaan (16) untuk "( ) sama dengan "F ( ). %
/ .
+
/ . "F (
ℏ
2
' "F ( ) = #F "F ( )
)+
ℏ
2
"F ( ) = #F "F ( )
. "F (
oleh karena
) = 0 maka
ℏ " ( ) = #0 "0 ( ) 2 0
#F =
(25)
ℏ
2
Ternyata energi pada keadaan dasar dari osilator harmonik juga tidak nol sama seperti kasus partikel dalam sumur potensial tak hingga. Kemudian untuk mendapatkan energi pada keadaan tereksitasi ke n, #E kita diturunkan dari persamaan (22), diperoleh
#E = #F + Dℏ #E = Dℏ +
1
ℏ
2
#E = %D + ' ℏ 2
(26)
Akhirnya kita peroleh solusi umum dari persamaan Schrödinger yang bergantung waktu, yaitu V
Ψ( , ) = O PE "E ( ) J .QRS T/ℏ EWX V
Ψ( , ) = O PE EWX
E . E ( / ) J 2ℏ
2
1
J .QKE+2Lℏ
T/ℏ
Contoh 1
Wayan Suana, M.Si.
Pendidikan Fisika Universitas Lampung
Tentukan fungsi gelombang ternormalisasi bentuk tak bergantung waktu dari osilator harmonik yang berada pada keadan dasar! Solusi Fungsi gelombang tak bergantung waktu dari osilator harmonik yang berada pada keadan dasar adalah "F ( ) =
FJ
.
2ℏ
2
Syarat normalisasi adalah V
G |"F ( )|
=1
.V V
G "F∗ ( ) "F ( ) .V
G
V
.V
FJ
.
V
FJ
2
2ℏ
=1 .
2ℏ
F
G J.
F
2 G J.
F
1 ]ℏ 2 [ \ ^=1 2
F
.V
V
F
=K
]ℏ
=1
2
ℏ
=1
2
ℏ
=1
2
X/_
L
Dengan demikian, fungsi gelombang ternormalisasinya adalah "F ( ) = K
]ℏ
X/_
L
J . 2ℏ
2
Contoh 2
Wayan Suana, M.Si.
Pendidikan Fisika Universitas Lampung
Tentukan fungsi gelombang tak bergantung waktu dari osilator harmonik pada keadaan tereksitasi pertama, kemudian lakukan normalisasi terhadap fungsi gelombang tersebut! Solusi Fungsi gelombang tak bergantung waktu untuk keadaan tereksitasi ke n adalah "E ( ) =
E( /)
E . 2ℏ J
2
maka untuk keadaan tereksitasi pertama, n =1 sehingga "X ( ) =
X /J
"X ( ) = "X ( ) = "X ( ) = "X ( ) = "X ( ) =
1
X
√2
%
X
√2 √2
"X ( ) = &
%
&
ℏ
&
+&
J . 2ℏ
ℏ
K&
X
2&
ℏ
2
2ℏ
% K− & ℏ
X
√2
.
X
√2
X √2
2
+&
' J . 2ℏ
2
J . 2ℏ ' 2
J . 2ℏ L + &
J . 2ℏ '
2
J . 2ℏ
2
K J . 2ℏ L
+&
2
J . 2ℏ L 2
2
J . 2ℏ
2
"X ( ) = I J . 2ℏ , ddengan I ≡ & 2
X √2
Melakukan normalisasi terhadap "X ( ) V
G |"X ( )|
=1
.V V
G "X∗ ( ) "X ( ) .V V
=1
G KI J . 2ℏ L I J . 2ℏ .V
2
Wayan Suana, M.Si.
2
=1
Pendidikan Fisika Universitas Lampung
I G
V
2 . ℏ J
.V
I (2 G
V
F
I d2
4
ℏ
2 . ℏ J
\
=1
2
]ℏ
2
)=1
→
G
V
F
J
2 .
2
=
1 4
]
e=1
] ℏ f \ I % ' =1 4 f 4 I =\ K L ] ℏ
f X/_ 4 I=g K L h ] ℏ
Dengan demikian, "X ( ) ternormalisasinya adalah f X/_ 4 "X ( ) = g K L h J . 2ℏ ] ℏ
Wayan Suana, M.Si.
2
Pendidikan Fisika Universitas Lampung
