1 Alokasi waktu : 2 x 45 menit

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)

Mata Pelajaran

: Matematika

Satuan Pendidikan

: SMA

Kelas/Semester

: XI IPS/ 1

Alokasi waktu

: 2 x 45 menit

I. Standar Kompetensi 1.1 Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan, dan sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah

II. Kompetensi Dasar 2.1 Menggunakan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi dalam pemecahan masalah. 2.2 Menentukan ruang sampel suatu percobaan

III. Indikator 3.1 Menentukan nilai dari suatu kombinasi 3.2 Menentukan suatu nilai dari persamaan kombinasi 3.3 Menentukan banyaknya cara dari suatu peristiwa dengan menggunakan kombinasi 3.4 Mendefinisikan pengertian dari ruang sampel dan kejadian dari suatu percobaan 3.5 Menentukan ruang sampel dan kejadian dari suatu percobaan

IV. Tujuan Pembelajaran 4.1 Melalui diskusi kelompok dan pengerjaan LKS siswa dapat menentukan nilai dari suatu kombinasi 4.2 Melalui diskusi kelompok dan pengerjaan LKS siswa dapat menentukan suatu nilai dari persamaan kombinasi 4.3 Melalui diskusi kelompok dan pengerjaan LKS siswa dapat menentukan banyaknya cara dari suatu peristiwa dengan menggunakan kombinasi

1

4.4 Melalui diskusi kelompok dan pengerjaan LKS siswa dapat mendefinisikan pengertian dari ruang sampel dan kejadian dari suatu percobaan 4.5 Melalui diskusi kelompok dan pengerjaan LKS siswa dapat menentukan ruang sampel dan kejadian dari suatu percobaan Tujuan Karakter Bangsa 1. Menggunakan waktu dengan tepat dan cermat untuk menyelesaikan tugas (disiplin) 2. Memberikan kesempatan teman untuk berbeda pendapat (toleransi) 3. Menyimpulkan dan membuktikan sesuatu berdasarkan data-data yang benar diperoleh (jujur) 4. Berusaha dengan keras untuk menyelesaikan tugas (kerja keras, jujur) 5. Berusaha menemukan suatu prinsip/formula berdasarkan data-data yang diperoleh dari tugas yang dikerjakan (kreatif) 6. Bekerja sama dan saling memberikan pendapat dalam mengerjakan tugas (demokratis, saling menghargai) 7. Bertanya dan berusaha mencari sumber lain tentang materi yang terkait dengan pelajaran (rasa ingin tahu/pantang menyerah) 8. Menyampaikan pendapat dan menerima pendapat teman dalam kelompok untuk mengerjakan tugas yang diberikan (bersahabat/komunikatif) V. Materi Pelajaran A. Kombinasi secara umum Kombinasi dari sekumpulan unsur-unsur adalah cara penyusunan unsur-unsur berbeda tanpa memperhatikan urutannya. Misalkan kita akan menyusun dua abjad dari A, B, dan C. Cara penyusunan abjad itu antara lain : AB

AC

BC

BA

CA

CB

Ada 6 cara untuk menyusunnya jika urutan abjad diperhatikan, namun Karena AB dipandang sama dengan BA (urutan tidak diperhatikan) AC dipandang sama dengan AC (urutan tidak diperhatikan)

2

BC dipandang sama dengan CB (urutan tidak diperhatikan), maka kombinasi dari unsur-unsur tersebut ada 3, yaitu : AB, AC, dan BC

a. Kombinasi n unsur dari n unsur yang berbeda Secara sederhana dapat dijelaskan dengan contoh sebagai berikut : 1. Adi mempunyai 1 buku Tulis. Maka ada 1 cara Adi dapat memilih 1 buku tulis untuk digunakan sebagai buku PR. 2. Adi mempunyai 2 buku Tulis. Maka ada 1 cara Adi dapat memilih 2 buku tulis untuk digunakan sebagai buku PR. (Adi memilih semua yang ia punya) 3. Adi mempunyai 3 buku Tulis. Maka ada 1 cara Adi dapat memilih 3 buku tulis untuk digunakan sebagai buku PR. (Adi memilih semua yang ia punya) 4. Adi mempunyai k buku Tulis. Maka ada 1 cara Adi dapat memilih k buku tulis untuk digunakan sebagai buku PR. (Adi memilih semua yang ia punya) Sehingga banyak kombinasi n unsur dari n unsur berbeda adalah 1.

b. Kombinasi k unsur dari n unsur yang berbeda, n > k Kombinasi dari n unsur dengan menggunakan k unsur dalam setiap pengambilan terdiri dari semua kemungkinan himpunan dari k objek tersebut tanpa mempedulikan urutan/susunan. Banyak kombinasi dari n unsur dengan menggunakan k unsur dapat dinyatakan dengan C(n, k). Secara sederhana akan dijelaskan dengan contoh. 1. Made akan mengunjungi 2 kota dari 3 kota di Bali. Misalkan 3 kota yang ingin dikunjungi Made adalah A, B, dan C. Ada berapa kemungkinan komposisi kota yang akan dikunjungi Made (tanpa mempedulikan urutan kota yang akan dikunjungi Made. AB

AC

BC

BA

CA

CD

a. Dengan mempedulikan urutan kita mendapat P(3, 2) = 6 komposisi kota yang akan dikunjungi Made. b. Ada 2! = 2 cara yang dapat digunakan untuk menyusun 2 kota dari 2 kota yang ada (jika urutan diperhatikan). c. Namun jika urutan tidak dipedulikan kita hanya mendapat 3 komposisi. 6

d. Hubungan dari pernyataan a, b, dan c adalah 3 = 2 atau C(3, 2) =

P(3,2) 2!

3

2. Made akan mengunjungi 3 kota dari 4 kota di Bali. Misalkan 4 kota yang ingin dikunjungi Made adalah A, B, C, dan D. Ada berapa kemungkinan komposisi kota yang akan dikunjungi Made (tanpa mempedulikan urutan kota yang akan dikunjungi Made. ABC

ACB

BAC

BCA

CAB

CBA

ABD ADB

BAD

BDA

DAB

DBA

ACD ADC

CAD

CDA

DAC

DCA

BCD

CBD

CDB

DBC

DCB

BDC

a. Dengan mempedulikan urutan kita mendapat P(4, 3) = 24 komposisi kota yang akan dikunjungi Made. b. Ada 3! = 6 cara yang dapat digunakan untuk menyusun 3 kota dari 3 kota yang ada (jika urutan diperhatikan). c. Namun jika urutan tidak dipedulikan kita hanya mendapat 4 komposisi. d. Hubungan dari pernyataan a, b, dan c adalah 4 =

24 6

atau C(4, 3) =

P(4,3) 3!

Sehingga banyak kombinasi k unsur dari n unsur yang tersedia adalah 𝐂 𝐧, 𝐤 =

𝐏(𝐧,𝐤) 𝐧!

atau 𝐂 𝐧, 𝐤 =

𝐧! 𝐧−𝐤 !×𝐧!

c. Kombinasi dengan beberapa unsur sama Trik dalam kombinasi dari beberapa unsur sama adalah melogikakan kalimat dengan kata sambung dan & atau. Secara sederhana dan akan merujuk pada pengalian dan atau akan merujuk pada penambahan. Secara sederhana akan dijelaskan dengan contoh berikut. “Alita ingin mengambil 3 buah dari beberapa buah yang ada di Kulkas, yaitu : 3 buah Apel, 4 buah Jeruk, dan 5 buah Mangga”. Dengan ketentuan : a. Ia mengambil 3 buah secara sembarang. Masalah Alita adalah memilih 3 buah dari 12 buah yang ada, sehingga banyak kombinasinya adalah C(12, 3) b. Ia mengambil 3 buah Apel. Masalah Alita adalah memilih 3 buah Apel dari 3 buah Apel yang tersedia, sehingga banyak kombinasinya adalah C(3, 3) = 1 c. Ia mengambil 3 buah Jeruk. 4

Masalah Alita adalah memilih 3 buah Jeruk dari 4 buah Jeruk yang tersedia, sehingga banyak kombinasinya adalah C(4, 3) d. Ia mengambil 3 buah Mangga. Masalah Alita adalah memilih 3 buah Mangga dari 3 buah Mangga yang tersedia, sehingga banyak kombinasinya adalah C(5, 3) e. Ia mengambil 1 buah Apel, 1 buah Jeruk, dan 1 buah Mangga. Masalah Alita adalah memilih 1 buah Apel dari 3 buah Apel yang tersedia, dan memilih 1 buah Jeruk dari 4 buah Jeruk yang tersedia dan memilih 1 buah Mangga dari 5 Mangga yang tersedia. memilih 1 buah Apel dari 3 buah Apel yang tersedia = C(3, 1) memilih 1 buah Jeruk dari 4 buah Jeruk yang tersedia = C(4, 1) memilih 1 buah Mangga dari 5 Mangga yang tersedia = C(5, 1) Sehingga banyak kombinasi dari masalah Alita adalah C(3, 1) × C(4, 1) × C(5, 1) f. Ia mengambil 2 buah Apel dan 1 buah Jeruk. Masalah Alita adalah memilih 2 buah Apel dari 3 buah Apel yang tersedia dan memilih 1 buah Jeruk dari 4 buah Jeruk yang tersedia. Memilih 2 buah Apel dari 3 buah Apel yang tersedia = C(3, 2) Memilih 1 buah Jeruk dari 4 buah Jeruk yang tersedia = C(4, 1) Sehingga banyak kombinasi dari masalah Alita adalah C(3, 2) × C(4, 1) g. Ia mengambil 1 buah Apel dan 2 buah Mangga. Masalah Alita adalah memilih 1 buah Apel dari 3 buah Apel yang tersedia dan memilih 2 buah Mangga dari 5 buah Mangga yang Tersedia. Memilih 1 buah Apel dari 3 buah Apel yang tersedia = C(3, 1) Memilih 2 buah Mangga dari 5 buah Mangga yang tersedia = C(5, 2) Sehingga banyak kombinasi dari masalah Alita adalah C(3, 1) × C(5, 2) h. Ia mengambil 1 buah Jeruk dan 2 buah Mangga. Masalah Alita adalah memilih 1 buah Jeruk dari 4 buah Jeruk yang tersedia dan memilih 2 buah Mangga dari 5 buah Mangga yang Tersedia. Memilih 1 buah Jeruk dari 4 buah Jeruk yang tersedia = C(4, 1) Memilih 2 buah Mangga dari 5 buah Mangga yang tersedia = C(5, 2) 5

Sehingga banyak kombinasi dari masalah Alita adalah C(4, 1) × C(5, 2) i. Ia mengambil 1 buah Apel, namun Ia tetap mengambil 3 buah. Masalah Alita adalah (memilih 1 buah Apel dari 3 buah Apel yang tersedia dan memilih 2 buah Mangga dari 5 buah Mangga yang Tersedia) atau (memilih 1 buah Apel dari 3 buah Apel yang tersedia dan memilih 2 buah Jeruk dari 4 buah Mangga yang Tersedia) atau (memilih 1 buah Apel dari 3 buah Apel yang tersedia, dan memilih 1 buah Jeruk dari 4 buah Jeruk yang tersedia dan memilih 1 buah Mangga dari 5 Mangga yang tersedia)  memilih 1 buah Apel dari 3 buah Apel yang tersedia dan memilih 2 buah Mangga dari 5 buah Mangga yang Tersedia = C(3, 1) × C(5, 2)  memilih 1 buah Apel dari 3 buah Apel yang tersedia dan memilih 2 buah Jeruk dari 4 buah Mangga yang Tersedia = C(3, 1) × C(4, 2)  memilih 1 buah Apel dari 3 buah Apel yang tersedia, dan memilih 1 buah Jeruk dari 4 buah Jeruk yang tersedia dan memilih 1 buah Mangga dari 5 Mangga yang tersedia = C(3, 1) × C(4, 1) × C(5, 1) Sehingga banyak kombinasi dari masalah Alita adalah C(3, 1) × C(5, 2) + C(3, 1) × C(4, 2) + C(3, 1) × C(4, 1) × C(5, 1) j. Ia mengambil minimal 1 buah Apel  Masalah Alita adalah (memilih 1 buah Apel dari 3 buah Apel yang tersedia dan memilih 2 buah Mangga dari 5 buah Mangga yang Tersedia) atau (memilih 1 buah Apel dari 3 buah Apel yang tersedia dan memilih 2 buah Jeruk dari 4 buah Jeruk yang Tersedia) atau (memilih 1 buah Apel dari 3 buah Apel yang tersedia, dan memilih 1 buah Jeruk dari 4 buah Jeruk yang tersedia dan memilih 1 buah Mangga dari 5 Mangga yang tersedia) atau  ((memilih 2 buah Apel dari 3 buah Apel yang tersedia dan 1 buah Jeruk dari 4 buah Jeruk yang tersedia) atau (memilih 2 buah Apel dari 3 buah Apel yang tersedia dan memilih 1 buah Mangga dari 5 buah Mangga yang tersedia)) atau  Memilih 3 buah Apel dari 3 buah Apel yang tersedia Untuk masalah nomor 1 = C(3, 1) × C(5, 2) + C(3, 1) × C(4, 2) + C(3, 1) × C(4, 1) × C(5, 1) Untuk masalah nomor 2 = C(3, 2) × C(5, 1) + C(3, 2) × C(4, 1) 6

Untuk masalah nomor 2 = C(3, 3) Sehingga banyak kombinasi untuk masalah Alita adalah ((C(3, 1) × C(5, 2) + C(3, 1) × C(4, 2) + C(3, 1) × C(4, 1) × C(5, 1)) + (C(3, 2) × C(5, 1) + C(3, 2) × C(4, 1)) + C(3, 3))

B. Ruang Sampel dan Kejadian 1. Definisi ruang sampel dan kejadian dari suatu percobaan Pada pelemparan sekeping uang logam, sisi yang mungkin muncul adalah sisi angka (A) atau sisi gambar (G). Jika sisi yang mungkin muncul ini dinyatakan dengan himpunan, misalnya S, menjadi S = {A,G}.  S = {A,G} merupakan ruang sampel, sebab S merupakan himpunan semua hasil yang mungkin terjadi.  A dan G merupakan titik sampel, sebab A dan G merupakan anggota dari ruang sampel atau merupakan hasil yang mungkin terjadi.  Misalkan pada pelemparan tersebut yang muncul adalah Angka (A), maka {A} merupakan kejadian, sebab {A} merupakan himpunan bagian dari ruang sampel

2. Ruang sampel dan kejadian sederhana dari suatu percobaan Dalam menentukan ruang sampel dari suatu kejadian tunggal dapat dilakukan dengan cara mendaftar semua hasil yang mungkin. Misalnya dalam pelemparan sebuah dadu, maka ruang sampel dari permasalahan tersebut adalah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dengan n(S) = 6 Contoh lain, dalam pengambilan acak sebuah kartu dari satu set kartu Brigde (tanpa Joker), ruang sampel dari permasalah tersebut adalah S = {As hati, As wajik, Askeriting, dan As skop, kartu hati 2, kartu hati 2 kartu hati 2 kartu hati 2 kartu hati 2 kartu hati 2 kartu hati 2 kartu hati, …, king hati, king wajik, king kriting, dan king skop} dengan n(S) = 52

3. Ruang sampel dan kejadian dari suatu percobaan a. Menentukan Ruang Sampel dengan Mendaftar Misalkan, pada pelemparan dua keping uang logam sekaligus, sisi yang muncul adalah angka (A) pada uang logam pertama dan gambar (G) pada uang logam kedua, ditulis AG. 7

Kejadian lain yang mungkin muncul pada pelemparan kedua uang logam tersebut adalah AA, GA, dan GG. Jika ruang sampelnya dituliskan dengan cara mendaftar, hasilnya adalah S = {AA, AG, GA, GG} dengan n(S) = 4.

b. Menentukan Ruang Sampel dengan Tabel Selain dengan cara mendaftar, ruang sampel dapat ditentukan dengan cara membuat tabel. Perhatikan kembali pelemparan dua keping uang logam pada bagian a. Untuk menentukan ruang sampel dengan tabel, buatlah tabel dengan jumlah baris dan kolom yang diperlukan. Untuk percobaan pelemparan dua uang logam sekaligus, diperlukan tabel yang terdiri atas tiga kolom dan tiga baris. Isi kolom pertama dengan hasil yang mungkin muncul dari uang logam ke-1 dan isi baris kedua dengan hasil yang mungkin dari uang logam ke-2. Kemudian, lengkapi tabel yang kosong.

Uang Logam ke-1

Tabel ruang sampel pelemparan dua logam adalah sebagai berikut. Uang Logam ke-2 A G A

AA

AG

G

GA

GG

baris pertama

kolom pertama

Jadi, ruang sampelnya adalah S = {AA, AG, GA, GG} dengan n(S) = 4. c. Menentukan Ruang Sampel dengan Diagram Pohon Cara lain yang digunakan untuk menentukan ruang sampel adalah dengan diagram pohon. Cara ini merupakan cara yang paling mudah. Berikut adalah diagram pohon untuk pelemparan dua uang logam sekaligus.

8

Jadi, ruang sampelnya adalah S = {AA, AG, GA, GG} dengan n(S) = 4. Contoh 1 Tentukan ruang sampel dari percobaan-percobaan berikut. a. Melambungkan sebuah dadu. b. Melambungkan tiga keping uang logam yang berbeda sekaligus. c. Melambungkan dua buah dadu sekaligus. Jawab: a. Hasil yang mungkin muncul dari pelemparan sebuah dadu adalah muka dadu bertitik 1, 2,

3, 4, 5 dan 6. Jadi, ruang sampelnya adalah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. b. Untuk mempermudah penentuan ruang sampel pelemparan tiga keping uang logam

berbeda sekaligus, digunakan diagram pohon.

Jadi, ruang sampelnya adalah S = {AA, AG, GA, GG} dengan n(S) = 4

VI. Model dan Metode Pembelajaran Model pembelajaran

:

Kooperatif Inkuiri

Metode pembelajaran

:

1. Tanya Jawab. 2. Pemberian Tugas. 3.Diskusi. 9

VII. Langkah-Langkah Kegiatan Pembelajaran Langkah-langkah kegiatan pembelajaran. Struktur Pendahuluan

Aktivitas Guru o Memberikan salam panganjali,

Alokasi

Aktivitas Siswa

waktu

o Memberikan salam panganjali

mengecek kehadiran, dan

kepada guru dan

menarik perhatian siswa agar

mempersiapkan buku

siap mengikuti pembelajaran.

pelajaran.

10 menit

APERSEPSI o Mengingatkan kembali siswa tentang notasi faktorial dan permutasi secara umum. o Mengaitkan materi yang

o Mendengarkan dan menyimak penjelasan guru. o Mendengarkan

dan

mencermati penjelasan guru.

dipelajari dengan contoh dalam kehidupan sehari-hari. (Contohnya, misalkan dalam memanggil nama beberapa siswa, berapa kemungkinan kombinasi cara memanggil siswa tersebut?) MOTIVASI o Menyampaikan tujuan pembelajaran yang ingin dicapai

o Mendengarkan dan mencermati penjelasan guru.

dalam kegiatan pembelajaran. o Memberikan acuan materi berupa penjelasan pokok dan uraian materi pelajaran secara garis besar. Inti

o Menginstruksikan siswa untuk duduk berdasarkan kelompoknya.

o Duduk

berdasarkan

kelompoknya. 60 10

(dalam kelompok)

menit

EKSPLORASI o Memberikan

LKS

kepada

o Mencermati

masing-masing kelompok yang

LKS

yang

diberikan.

sudah dibentuk dan meminta siswa untuk mencermati LKS. o Jika ada siswa atau kelompok

o Menanyakan pada guru jika

yang belum mengerti instruksi

ada instruksi pada LKS yang

dari LKS, guru dapat membantu

belum dipahami.

siswa yang mengalami masalah

ELABORASI o Membantu mengalami

yang o Menanyakan masalah-

siswa kesulitan

mengerjakan

LKS

penerapan

dengan

dalam

masalah yang ditemui kepada

soal

guru dalam mengerjakan LKS

cara

dan soal penerapan.

dan

memberikan pertanyaan arahan sehingga siswa sendiri yang berhasil memecahkan masalah tersebut. o Masing-masing

perwakilan o Mempresentasikan

kelompok ditunjuk oleh guru

diskusi

kelompok

untuk mempresentasikan hasil

diskusi kelas.

hasil dalam

kerja kelompok dalam diskusi kelas

KONFIRMASI o Memberikan pelurusan mengenai jawaban siswa. o Kelompok yang paling aktif

o Mendengarkan dengan baik penjelasan guru. .

diberikan penguatan oleh guru. 11

o Menuntun siswa menyimpulkan

Penutup

materi yang telah dipelajari. o Memberikan kuis untuk mengetahui tingkat pemahaman

o Membuat simpulan materi yang telah dibahas.

20 menit

o Mengerjakan kuis yang diberikan.

siswa terhadap materi yang telah dibahas. o

Memberikan pekerjaan rumah.

o

Menginformasikan kepada siswa bahwa pertemuan

o

o Mencatat tugas yang diberikan oleh guru. o Mendengarkan dengan baik

berikutnya akan membahas

dan mempersiapkan diri untuk

tentang peluang suatu kejadian

pertemuan selanjutnya.

Pembelajaran diakhiri dengan

o Memberi salam kepada guru.

memberi salam parama shanti.

VIII. Sumber, Alat pembelajaran 1. Sumber : -

Matematika 2 untuk SMA/MA Program Studi IPS Kelas XI oleh Sri Lestari & Diah Ayu Kurniasih Kanginan, Penerbit: Pusat Perbukuan Depdiknas (BSE)

-

Matematika untuk SMA Kelas XI Program Ilmu Sosial oleh Sartono Wirodikromo, Penerbit: Erlangga

-

Buku penunjang lainnya

2. Alat dan media : -

LKS

-

Spidol, papan tulis, dan penghapus papan

IX. PENILAIAN X. PENILAIAN 1. Penilaian Produk  Teknik : Quis  Bentuk Instrumen : Uraian  Instrumen : Quis 12

No

No

Soal

Indikator

Soal

Penyelesaian

Skor Maksimum

1.

3.1

Hitung 𝐶(6, 5)

nilai

dari

2.

3.2

Hitung nilai k dari C(n, k) = P(n, k) 𝐶(𝑛, 𝒌) = 𝑃(𝑛, 𝒌) 𝑛! ⇔ 𝑛−𝑘 !×𝑘! =

𝐶 6, 5 =

6! =6 6 − 5 ! 5!

10

𝑛!

5

𝑛−𝑘 !

⇔ 𝑛 − 𝑘 ! × 𝑘! = 𝑛 − 𝑘 !

5

⇔ k! = 1

5 5

⇔𝑘=1 3.

3.3

Seorang petani akan Jawab: membeli 3 ekor ayam, Banyaknya cara memilih ayam = C(6,3)

5

2 ekor kambing, dan 1 = 6! = 6! = 20 cara 6−3 !3! 3!3! ekor sapi dari pedagang Banyaknya cara memilih ayam = C(4,2) yang memiliki 6 ekor 4! 4! = 4−2 !2! = 2!2! = 6 cara, dan ayam, 4 ekor kambing, dan 3 ekor sapi. Banyaknya cara memilih ayam = C(3,1)

5

Dengan

berapa

cara =

3! 3−1

3!

= 2!1! = 3 cara !1!

petani tersebut dapat Jadi, petani tersebut memiliki memilih ternak-ternak sebanyak = 20𝑥6𝑥3 = 360 cara

5 pilihan 5

yang diinginkannya? 4.

3.4

Jelaskan pengertian

Ruang sampel merupakan himpunan semua

ruang sampel dan titik

hasil yang mungkin terjadi.

sampel

Titik sampel, merupakan anggota dari ruang

10

sampel atau merupakan hasil yang mungkin terjadi. 5.

3.5

Pada saat

Kejadian munculnya mata dadu bilangan

melambungkan 1 dadu,

genap adalah

tentukanlah kejadian

E  {2,4,6}

10

munculnya mata dadu 13

bilangan genap! Total Skor Nilai Siswa =

70

𝒔𝒌𝒐𝒓 𝒚𝒂𝒏𝒈 𝒅𝒊𝒑𝒆𝒓𝒐𝒍𝒆𝒉 𝒔𝒊𝒔𝒘𝒂 𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 𝑺𝒌𝒐𝒓

× 𝟏𝟎𝟎

2. Penilaian Proses Penilaian proses dilakukan dengan memperhatikan keaktifan siswa dalam proses pembelajaran. Misalnya dengan memberi skor tambahan tertentu pada siswa yang mampu memberi tanggapan yang tepat terhadap suatu pertanyaan atau permasalahan atau siswa yang bertanya yang terkait dengan materi yang dibahas

14

LEMBAR KERJA SISWA Waktu: 30 Menit Sub Topik : Kombinasi, Ruang Sampel dan Kejadian Petunjuk :  Diskusikanlah setiap langkah permasalahan dengan anggota kelompokmu  Buatlah kesimpulan hasil diskusi kelompokmu pada tempat yang sudah disediakan Kelompok :............................... a. Pengertian Kombinasi Cermatilah hal-hal berikut! 1. Diberikan 4 buah titik berlainan pada sebuah 2. Berapa banyak bidang segitiga yang dapat bidang (A, B, C, D). Berapa banyak ruas garis dibuat jika diberikan 4 buah titik berlainan (A, yang dapat dibuat? B, C, D) Jawab : Jawab : AB……………………AC ABC………………….ABD Satu kombinasi Satu kombinasi BA……………………CA ACB………………….ADB BCA………………….BAD Satu kombinasi Satu kombinasi AD……………………BC BAC…………………...….. Satu kombinasi Satu kombinasi DA……………………CB CAB…………………...….. CBA…………………...….. BD……………………CD Satu kombinasi Satu kombinasi DB……………………DC ACD………………….BCD …………………….…..….. Dalam hal ini setiap dua permutasi (2!) …………………….…..….. Satu kombinasi Satu kombinasi menjadi satu kombinasi. Misalkan Ab dan BA …………………….…..….. …………………….…..….. (berarti kombinasi tidak memperhatikan urutan). Sehingga banyak ruas garis yang …………………….…..….. terjadi 4! Dalam hal ini setiap enam permutasi (3!) = 𝑃 4,2 : 2! = : 2! = 4−2 ! menjadi satu kombinasi. Misalkan ABC, 4! =……….. ACB, BCA, BAC, CAB, dan CBA dianggap 4−2 !2! satu kombinasi (berarti kombinasi tidak memperhatikan urutan). Sehingga banyak kombinasi yang terjadi 4! = 𝑃 4,3 : 3! = : 3! = 4! 4−3 !3!

4−3 !

=………..

Berdasarkan hasil diskusi di atas, dapat disimpulkan bahwa : Pengertian Kombinasi adalah………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………….

15

b. Kombinasi 𝒏 unsur dari 𝒏 unsur berbeda yang tersedia Cermatilah hal-hal berikut! 1. Ari, Banu, dan Susi merupakan tiga siswa 2. Tersedia empat buah bola pingpong berwarna yang memiliki prestasi yang baik dalam putih. Andi hendak mengambil empat buah bidang matematika. Dari tiga siswa ini akan bola pingpong dari empat bola tersebut. dipilih tiga siswa yang akan mewakili sekolah Berapa banyaknya cara pengambilan yang dalam sebuah kompetisi matematika. Berapa mungkin dilakukan Andi? banyaknya susunan siswa berbeda-beda yang Jawab : dapat dipertimbangkan untuk mewakili Andi hendak mengambil 4 bola dari 4 sekolah? bola yang tersedia. Hal ini merupakan Jawab : permasalahan kombinasi. Sehingga dapat Dengan cara mendaftar diperoleh : dihitung dengan cara : …..! Ari, Banu, Susi………Banu, Susi, Ari 𝐶 …,… = =⋯ …..! Ari, Susi, Banu………Susi, Ari, Banu Banu, Ari, Susi………Susi, Banu, Ari Kita lihat bahwa urutan penyebutan nama mereka tidak membedakan siswa yang akan mewakili sekolah dalam kompetisi tersebut. Sehingga dalam hal ini, keenam susunan yang terbentuk bukanlah hal yang berbeda dan dianggap satu kombinasi. Permasalahan tersebut merupakan permasalahan kombinasi 3 unsur dari 3 unsur berbeda yang tersedia. Karena urutan siswa yang terpilih tidak diperhitungkan, maka pemecahannya dapat dituliskan sebagai berikut : 𝑃(3,3) 3! 𝐶 3,3 = = =1 3!

3!

Berdasarkan hasil diskusi di atas, dapat disimpulkan bahwa : Kombinasi 𝑛 unsur dari 𝑛 unsur yang tersedia dapat dirumuskan sebagai berikut : ….! 𝐶 𝑛, 𝑛 = =⋯ ….!

16

c. Kombinasi 𝒌 unsur dari 𝒏 unsur berbeda yang tersedia Cermatilah hal-hal berikut! 1. Dari tiga siswa laki-laki akan dipilih dua siswa 2. Riko memiliki empat buah kelereng berbeda sebagai tim ganda putra bulutangkis. Berapa warna yang disimpan dalam sebuah kantong. banyaknya cara membentuk tim tersebut? Ia akan mengambil dua buah kelereng Jawab : sekaligus. Berapa banyaknya cara Misalkan ketiga siswa tersebut adalah pengambilan yang mungkin dilakukan Riko? A, B, dan C. Dengan permutasi diperoleh Jawab : susunan sebagai berikut : Misalkan keempat kelereng tersebut AB, BA, AC, CA, BC, CB adalah K1, K2, K3, dan K4. Dengan permutasi Dalam hal ini, AB dan BA merupakan diperoleh susunan sebagai berikut : satu kombinasi sebab urutan tidak K1K2................K1K3................K1K4 diperhatikan. Demikian pula halnya dengan K2K3................K2K4................K3K4 AC dan CA serta BC dan CB. K2K1................K3K1................K4K1 Sehingga Kemungkinan tim yang K3K2................K4K2................K4K3 terbentuk adalah AB, BC, dan BC. Dalam hal ini, K1K2 dan K2K1 Maka kombinasi 2 unsur dari 3 unsur merupakan satu kombinasi sebab urutan tidak yang tersedia dapat ditulis : diperhatikan. Demikian pula yang lainnya. Sehingga kemungkinan pengambilan 𝑃(3,2) ……! …..! yang terjadi adalah : 𝐶 3,2 = = = = 2! ….− ….. !….! ….! K1K2................K1K3................K1K4 ⋯ K2K3................K2K4................K3K4 Maka kombinasi 2 unsur dari 4 unsur yang tersedia adalah : 𝐶 ….,…. = ….! ….!….!

𝑃(…,….) ….!

=

…..! ….− ⋯ !….!

=

=⋯

Berdasarkan hasil diskusi di atas, dapat disimpulkan bahwa : Kombinasi 𝑘 unsur dari 𝑛 unsur berbeda yang tersedia (𝑘 < 𝑛), dapat dirumuskan sebagai berikut : ….! 𝐶 𝑛, 𝑘 = ……− ….. !….!

17

d. Kombinasi k unsur dari n unsur dengan beberapa unsur sama (𝒌 < 𝑛) Contoh : Tiga bola akan diambil dari dalam kantong yang berisi 4 bola putih, 3 bola biru, dan dua bola kuning. Tentukan banyaknya cara pengambilan : a. Tiga bola sekaligus (tanpa memperhatikan warna) b. Tiga bola terdiri dari 1 bola kuning dan 2 bola putih c. Tiga bola terdiri dari 1 bola putih, 1 bola biru, dan 1 bola kuning d. Tiga bola yang terdiri dari minimal 2 bola biru Jawab : a. Akan diambil 3 bola sekaligus tanpa b. Akan diambil 3 bola dengan ketentuan 1 memperhatikan warna. bola kuning dan 2 bola putih. Seluruh bola yang terdapat dalam Pengambilan terdiri dari 2 bagian, yaitu kantong ada sebanyak 9 buah. Banyak : kemungkinan bola yang terambil adalah : Bagian 1 : …..! Tersedia 2 bola kuning, diambil 1 bola 𝐶 9,3 = = … … …. kuning ……− …… !….! Banyak cara pengambilan 1 bola kuning dari 2 bola kuning yang tersedia adalah : ……! 𝐶 …..,….. = = … …. …..− ….. !….! Bagian 2 : Tersedia 4 bola putih, diambil 2 bola putih Banyak cara pengambilan 2 bola putih dari 4 bola putih yang tersedia adalah : ……! 𝐶 …..,….. = = … …. …..− ….. !….! Dengan aturan perkalian diperoleh banyak cara pengambilan tiga bola (1 kuning dan 2 putih) adalah : C(....,....)×C(.....,.....) = ......... c. Akan diambil 3 bola dengan ketentuan 1 d. Akan diambil 3 bola dengan ketentuan bola putih, 1 bola biru, dan 1 bola kuning. minimal terambil 2 bola biru. Pengambilan terdiri dari 3 bagian, yaitu Jika ketentuannya hanya minimal : terambil 2 bola biru, maka kemungkinan Bagian 1 : pengambilannya adalah : Banyak cara pengambilan 1 bola putih  Terambil 2 bola biru dan 1 bola putih dari 4 bola putih yang tersedia adalah :  Terambil 2 bola biru dan 1 bola kuning ……!  Terambil 3 bola biru 𝐶 …..,….. = = … …. …..− ….. !….! Bagian 2 : Ingat kembali langkah (c) di samping! Banyak cara pengambilan 1 bola biru Untuk (terambil 2 bola biru dan 1 bola putih) dari 3 bola biru yang tersedia adalah : Banyaknya cara pengambilan adalah : ……! 𝐶 …..,….. = = … …. C(....,....)×C(.....,.....) = ......... …..− ….. !….! Bagian 3 : Untuk (terambil 2 bola biru dan 1 bola Banyak cara pengambilan 1 bola kuning) kuning dari 2 bola kuning yang tersedia adalah C(....,....)×C(.....,.....) = .........

18

:

……! = … …. …..− ….. !….! Dengan aturan perkalian diperoleh banyak cara pengambilan tiga bola dengan ketentuan (1 putih, 1biru, dan 1 kuning) adalah : C(....,....)×C(.....,.....)×C(.....,.....) = .........

Untuk (terambil 3 bola biru)

𝐶 …..,….. =

C(....,....)= ......... Jadi banyak cara pengambilan 3 bola dengan ketentuan minimal terambil 2 bola biru adalah : C(....,....)×C(.....,.....)+ C(....,....)×C(.....,.....) + C(....,....) = ........

Berdasarkan hasil diskusi di atas, dapat disimpulkan bahwa : Jika diambil x unsur dari p unsur yang tersedia, y unsur dari q unsur yang tersedia, dan z unsur dari r unsur yang tersedia, maka kombinasinya adalah : C(p,x)×C(….,….)×C(…..,…..)

Ruang Sampel dan Kejadian 1. a. Pada percobaan pelemparan satu kali satu buah uang logam. Angka (A) dan Gambar (G) disebut dengan titik sampel. {A, G} disebut dengan ruang sampel (S) {A} atau {G} disebut dengan kejadian

b. Pada percobaan pelemparan satu kali satu buah dadu. 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 disebut dengan titik sampel {1, 2, 3, 4, 5, 6} disebut dengan ruang sampel {1} merupakan kejadian munculnya sisi berangka 1 {1, 2} adalah kejadian munculnya mata dadu 1 pada pelemparan 1 dan 2 pada pelemparan kedua Dengan bahasa sendiri dan bantuan kajian/buku berikanlah definisi dari Titik sampel adalah ………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………… Ruang sampel adalah ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Kejadian adalah ………………………………………………………………..…………. ………………………………………………………………………………………………

19

2. Dari satu set kartu Bridge diambil kartu Hati. Dari kumpulan kartu Hati tersebut akan diambil satu kartu. Dengan mendaftarkan tuliskanlah ruang sampelnya. S={

} n(S) = …

3. Sebuah dadu bersisi 6 dan uang koin dilempar. Tentukanlah ruang sampelnya. 1 A

2

3

4

5

6

(A, 1)

G

(G, 2)

Sehingga S = {

} n(S) = …

4. Logam Rp 100, Rp 200, Rp 500, dan Rp 1000 dilempar. Tentukan ruang sampelnya. I

II

III A

A …

IV A G … …

Hasil AAAA AAAG

A … … …

… … …

… … … … … … … …

… … … …

… … … … 20

n(S) = … Yang dapat dilakukan untuk menentukan ruang sampel dari suatu percobaan. 1. ……………………………………… 2. ……………………………………… 3. ……………………………………… 5. Adi dan Alit bermain tebak-tebakan mereka memasukkan 3 bola merah dan 5 bola putih ke dalam sebuah kardus. Kemudian dengan mata tertutup Adi mengambil sebuah bola. Jika Adi menebak itu bola merah dan Alit menebak bola putih, Siapakah yang berpeluang paling besar? Tuliskan ruang sampelnya S={

}

n(S) = …

6. Akan diambil 2 bola dari dalam sebuah kardus yang berisi 2 bola merah (m) dan 1 bola kuning (k), secara bergantian dan dengan pengembalian. m1

m2

k

S = {(

} sehingga n (S) = … = … × …

Akan diambil 2 bola dari dalam sebuah kardus yang berisi 3 bola merah (m) dan 2 bola kuning (k), secara bergantian dan dengan pengembalian. m1

m2

k1

21

S = {(

} sehingga n (S) = … = … × …

Misalkan akan diambil r objek secara bergantian dan dengan pengembalian dari q objek yang ada. Maka n (S) =

Jika percobaan memiliki r tahap pengambilan dan dengan pengembalian dari q buah objek, maka n(S) =

7. Akan diambil 2 bola dari dalam sebuah kardus yang berisi 2 bola merah (m) dan 1 bola kuning (k), secara bergantian dan tanpa pengembalian. Banyak bola yang dapat diambil I = … Banyak bola yang dapat diambil II = … n(S) = …. × …. Pengambilan objek tanpa pengembalian dengan beberapa tahap. Apakah urutan diperhatikan? Jika … maka kasus ini dapat dipandang sebagai ………………asi n(S) = …(…, …)

Pengambilan objek dari n objek tanpa pengembalian dengan beberapa (k) tahap dapat dipandang sebagai … … … … … … … … … k unsur dari n unsur, sehingga n(S) = …(…, …)

22

8. Akan diambil 2 bola sekaligus dari dalam sebuah kardus yang berisi 2 bola merah (m) dan 1 bola kuning (k). Apa perbedaan pertanyaan (7) dan (8)?

Apa pada kasus ini urutan diperhatikan? Jika …… maka kasus ini dapat dipandang sebagai … … … … … … a s i n(S) = …(…, …)

Pengambilan k objek dari n objek sekaligus dapat dipandang sebagai … … … … … … … … … k unsur dari n unsur, sehingga n(S) = …(…, …)

a. Tuliskan ruang sampel pada pelemparan dadu bersisi 8. b. Tuliskan ruang sampel pada pelemparan dadu bersisi 6 dan 2 buah uang logam. c. Hitunglah n(S) dari percobaan berikut. 1. Adi membeli 10 telur, 3 diantaranya busuk, Ani akan meminta 1 telur.

2. Indah membeli 4 gundu silver dan 5 gundu kaca. Ina akan mengambil 3 gundu secara bergantian dan setelah diambil dikembalikan lagi.

3. Jika pada soal (2) Ina tidak mengembalikan lagi setelah diambil.

4. Jika Ina mengambilnya sekaligus

23