1. Algebrai alapok: Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H×H →H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b∈H elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy H-beli elemet. Melyek műveletek az alábbiak közül? -3, ., R, Z, C-ben? - mátrix->determináns->szám -sík egybevágósági transzformációinak halmazában a kompozíció - skalárszorzat - vektoriális szorzat -vegyes szorzat Def.: Egy H-n értelmezett * művelet asszociatív, ha bármely a,b,c∈H-ra a*(b*c)=(a*b)*c teljesül. Példa:
Mátrixok szorzása asszociatív, de nem kommutatív Def.: Egy H-n értelmezett * művelet kommutatív, ha bármely a,b∈H-ra a*b=b*a teljesül.
Def.: Bal oldali egységelemnek egy olyan eb∈H elemet nevezünk, amelyre minden a∈H-val eb*a=a teljesül. Def.: Jobb oldali egységelemnek egy olyan ej∈H elemet nevezünk, amelyre minden a∈H-val a*ej=a teljesül. Def.: Az e∈H elem egyégelem (vagy kétoldali egységelem), ha mind bal, mind pedig a jobb oldal egységelem, azaz minden a∈H-ra e*a=a*e=a. Def.: Összeadás esetén az egységelemet nullelemnek vagy nullának nevezzük, és 0-val jelöljük. Példák: Az alábbiak közül melyik művelet, komm., asszoc, egységelemes, inverzelemes? - páros számok/páratlan számok: +,-,* - N és nulla halmazban: max (x, y), min(x,y), legkisebb-közös-többszörös(x,y) - sík eltolásai, sík forgatásai adott, rögzített pont körül
Def.: Az a∈H elem bal oldali inverzén (vagy röviden balinverzén) egy olyan ab∈H elemet értünk, amelyre ab-1*a=e. Def.: Az a∈H elem jobb oldali inverzén (vagy röviden jobbinverzén) egy olyan aj∈H elemet értünk, amelyre a* aj-1=e. Def.: Az a∈H elem inverze (vagy kétoldali inverze) egy olyan a-1∈H elem, amely az a-nak mind a bal, mind pedig a jobb oldali inverze, azaz a-1*a= a*a-1=e. Tétel: Legyen értelmezve H—n egy asszociatív művelet. Ha a kétoldali inverzek léteznek, akkor ab=aj=a-1 (az inverz kétoldali és egyértelmű) Biz.: ab-1=ab-1*e=ab-1* (a*aj-1)= (ab-1*a) *aj-1=a j-1
Def.: Csoport: Egy G nemüres halmazt csoportnak nevezünk, ha értelmezve van G-n egy asszociatív művelet, létezik egységelem és minden elemnek van inverze. (0. a,b∈G és a*b∈G, zártság, a művelet definíciójából következik!!!) 1. (a*b)*c=a*(b*c) 2. Létezik e∈G, e*a=a minden a-ra 3. létezik a-1∈G, és minden a∈G esetén igaz, hogy a-1*a=e ( Ha 4. a*b=b*a, akkor kommutatí, vagy Abel-csoport)
Példák csoportra:
sík-tér egybevágósági transzformációi vektorok + egész számok + racionális számok + valós számok + n×m-es mátrixok +, {{-1,1},•}
Tétel: ∀a, x, y∈G-re, (a*x=a*y)→ x=y (x*a=y*a)→ x=y (G mert lehet, hogy G nem kommutatív!) Biz.: x=e*x=ab-1*a*x= ab-1*a*y=e*y=y A másodikat ehhez hasonlóan, hf. Tétel: ∀a, x, y∈G ax=b→x=(ab-1)b, illetve (xa=b→x=b(aj-1) Biz .: x=e*x= ab-1*(a*x)= ab-1 b. A másikat ehhez hasonlóan hf.
Def.: Egy T legalább kételemű halmazt kommutatív testnek nevezünk, ha: Értelmezve van T-n két művelet – egyiket összeadásnak, másikat szorzásnak hívjuk. Az összeadás asszociatív és kommutatív, létezik nullelem, és minden elemnek létezik ellentettje. A szorzás asszociatív és kommutatív, létezik egységelem és a nullelemen kívül minden elemnek létezik ( a szorzásra vonatkozó, azaz multiplikatív) inverze. bármely a, b, c ∈T-re a*(b+c)=a*b+a*c teljesül. Ezeket a tulajdonságokat szokás testaxiómáknak is nevezni. Az elnevezésben a „kommutatív” jelző a szorzás kommutativitására utal. Ha a szorzás kommutativitását nem kötjük ki, akkor nemkommutatív ill. ferdetestről beszélünk. Példák: -Q, R, C, a+bV2, 2x2 mátrixok közül az aik=0, kivéve a22=x alakúak
Def.: A V nemüres halmazt vektortérnek nevezünk a T test felett, ha az alábbi kikötések, ún. vektortéraxiómák teljesülnek: A V halmazon értelmezve van egy összeadás nevű művelet, bármely u,v∈ V elempárhoz egyértelműen hozzárendelünk egy V-beli elemet, amelyet u+v-vel jelöllünk. Az összeadás kommutatív csoport. A T test és a V halmaz között értelmezve van a skalárral való szorzás (miért nem művelet?) az alábbi módon: bármely λ∈T és u∈V elempárhoz egyértelműen hozzárendelünk egy V-beli elemet, amelyet λu-val jelölünk. (Művelet ez?) Bármely λ, µ ∈T és v∈V esetén: (λ+µ)v=λv+µv Bármely λ∈T és v, u∈V esetén: λ(u+v)=λu+λv Bármely λ, µ ∈T és v∈V esetén: (λµ)v=λ(µv) Bármely v∈V esetén: 1v=v, ahol 1 a T test egységeleme (azaz amellyel minden λ∈T-re 1λ=λ1=λ).
Pl.:sík, tér vektorai, n×m-es mátrixok A vektortéraxiómák következményei: a műveletek általános tulajdonságaiból azonnal következik, hogy a nullvektor (0) és minden vektornak az ellentettje egyértelmű elvégezhető a kivonás, azaz bármely u, v∈V vektorhoz egyértelműen létezik olyan w∈V vektor, amelyre v+w=u, ezt w=u-v-vel jelöljük. az összeadás asszociativitása és kommutativitása miatt a többtagú összegek esetén a zárójelek elhagyhatók, és a tagok sorrendje is tetszőlegesen átírható. 0.v=0, λ0=0 (bizonyítás is kell!)
Def.: Egy T test feletti V vektortér egy nemüres W⊆V részhalmazát altérnek nevezzük a V-ben, ha W maga is vektortér ugyanazon T test felett ugyanazokra a V-beli vektorműveletekre (pontosabban ezeknek a műveleteknek a W-re történő megszorításaira) nézve. Tétel: Egy T test feletti V vektortérben egy W nemüres részhalmaz akkor és csak akkor altér, ha: • u, v∈W⇒u+v∈W • v∈W, λ∈T⇒λv∈W. Def: Csoport-részcsoport? Félcsoport: egyetlen művelet, asszociatív
Def.: Egy R nemüres halmazt gyűrűnek nevezünk, ha • értelmezve van R-en két művelet – az egyiket összeadásnak, a másikat szorzásnak hívjuk, • az összeadás asszociatív és kommutatív, létezik nullelem és minden elemnek létezik ellentettje, • a szorzás asszocatív, • bármely a,b,c ∈R –re a*(b+c)=a*b+a*c és (b+c)*a=b*a+c*a teljesül. Példák: - n x n-es mátrixok gyűrűje a szokásos + és . műveletekre - a páros számok (kommutatív) gyűrűje a szokásos + és . műveletekre
