0,#$1

!"#$ %

&'()*+,- .,',/0, #$ 1

VIŠA TEHNI KA ŠKOLA SUBOTICA 01.07.1995.

KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE

1. Uprostiti izraz

a + 3b 3a + b 2b 4b + ⋅ 3+ ⋅ 1− = a − 3b 3a − b a−b a+b

2. Rešiti jedna inu:

1 x 5 − 2 = . 2 x − 18 x − 81 4 x + 36

(6 bodova)

(6 bodova)

3. Rešiti eksponencijalnu jedna inu: 9 x + 6 x = 2 ⋅ 4 x .

(6 bodova)

4. Rešiti logaritamsku jedna inu: log16 x + log 4 x + log 2 x = 7 .

(6 bodova)

2

2

5. Na i sva rešenja jedna ine: 4 sin x + 4 cos x = 4 . 6. Dato je sinα=

(6 bodova)

1 (α<90o). Na i sin2α, cos2α, sin3α i cos3α. 2

(6 bodova)

7. Temena trougla ABC su ta ke: A(0, 0), B(–2, 3) i C(4, 6). Napisati jedna inu (6 bodova) visine koja je povu ena iz temena A. 8. Dat je krug x 2 + y 2 = 34 i prava koja prolazi kroz ta ke A(6, 10) i B(9, –2). Koja je ta ka na pravoj najbliža kružnici i koja je ta ka na kružnici najbliža pravoj? (6 bodova) 9. Površina drvene kocke je 864 cm2. Kocka je ofarbana (cela površina) crvenom bojom, zatim je razreza na kockice od po 1cm3. a) Kolika je ivica date kocke? b) Koliko jedini nih kocki dobijamo tim komadanjem? c) Koliko je tih kocki ofarbano sa 3 strane? d) Sa 2 strane? e) Sa 1 strane? f) Koliko kockica uopšte nije ofarbana? (6 bodova) 10. Proizvod prva tri lana geometrijskog niza je 216. Ukoliko se tre i lan smanji za 3 dobijamo prva tri lana jednog aritmeti kog niza. Koji su to brojevi? (6 bodova)

1

M SZAKI F ISKOLA SZABADKA 1995.07.01.

MIN SÍT

1.

Egyszer sítse a kifejezést:

2. Oldja meg az egyenletet:

VIZSGA MATEMATIKÁBÓL

a + 3b 3a + b 2b 4b + ⋅ 3+ ⋅ 1− = (6 pont) a − 3b 3a − b a−b a+b

1 x 5 − 2 = . 2 x − 18 x − 81 4 x + 36

(6 pont)

3. Oldja meg az exponenciális egyenletet: 9 x + 6 x = 2 ⋅ 4 x .

(6 pont)

4. Oldja meg a logaritmikus egyenletet: log16 x + log 4 x + log 2 x = 7 .

(6 pont)

2

2

5. Határozza meg az egyenlet minden megoldását: 4 sin x + 4 cos x = 4 .

(6 pont)

1 (α<90o). Határozza meg sin2α, cos2α, sin3α i cos3α értékét. 2 (6 pont) 7. Az ABC háromszög csúcspontjai: A(0, 0), B(–2, 3) i C(4, 6). Írja fel az A ponton (6 pont) áthaladó magasság egyenletét.

6. Adva van sinα=

8. Adott az x 2 + y 2 = 34 kör, és az A(6, 10) és B(9, –2) pontokhoz illeszked egyenes. Melyik pont van az egyenesen legközelebb a körhöz, és melyik a körnek az egyeneshez legközelebbi pontja? (6 pont) 9. A fából készült kocka felszíne 864 cm2. A kocka teljes felszínét befestettük, majd feldaraboltuk 1cm3 térfogatú kis kockákra. a) Mekkora az adott kocka éle? b) Hány egységkockát nyertünk? c) Hány kis kocka van 3 oldaláról befestve? d) és 2 oldaláról? e) és 1 oldaláról? f) Hány kocka egyáltalán nincs befestve? (6 pont) 10. Egy mértani sorozat els három tagjának szorzata 216. Ha a harmadik számot 3-mal csökkentjük, egy számtani sorozat els három tagját nyerjük. Melyik mértani sorozatról van szó? (6 pont)

2


M SZAKI F ISKOLA SZABADKA 1995.07.01


REŠENJA MIN SÍT


MEGOLDÁSOK

1.

a + 3b 3a + b 2b 4b + ⋅ 3+ ⋅ 1− = a − 3b 3a − b a−b a+b

=

(a + 3b )(3a − b ) + (3a + b )(a − 3b ) ⋅ 3a − 3b + 2b ⋅ a + b − 4b = (a − 3b )(3a − b ) a−b a+b

=

6a 2 − 6b 2 3a − b a − 3b 6(a − b )(a + b )(3a − b )(a − 3b ) ⋅ ⋅ = = 6, (a − 3b )(3a − b ) a − b a + b (a − 3b )(3a − b )(a − b )(a + b ) uz uslov: a ≠ b, a ≠ −b, 3a ≠ b, a ≠ 3b.

2.

1 x 5 1 x 5 − 2 = − = ⇔ 2 x − 18 x − 81 4 x + 36 2( x − 9) ( x − 9)( x + 9) 4( x + 9) Za x ≠ 9 i x ≠ –9 imamo: 2( x + 9) − 4 x = 5( x − 9) ili 7x = 63, x=9. Rešenje se ne prihvata, prema tome jedna ina nema rešenja.

3. 9 x + 6 x = 2 ⋅ 4 x Podelimo jedna inu sa 4x i dobijamo: x x 2x x x 9 6 3 3 3 − 2 = 0⇔ + + − 2 = 0 . Stavimo smenu =t : 4 4 2 2 2 t2 + t – 2 = 0. Rešenja su t1 =1 i t2 = –2. Iz t1 =1 sledi x = 0, dok t2 = –2 ne prihvatamo, jer mora biti t > 0. 1 1 4. log16 x + log 4 x + log 2 x = 7 ⇔ log 2 x + log 2 x + log 2 x = 7 ⇔ 4 2 ⇔ 7 log 2 x = 28 ⇔ log 2 x = 4 ⇔ x = 16. 2

2

2

5. 4 sin x + 4 cos x = 4 . Zamenimo li sin2x = 1 – cos2x, i stavimo smenu 4 cos x = t 1 dobijamo: 4 ⋅ + t = 4 ⇔ t2 – 4t + 4 = 0 ⇔ (t – 2)2 = 0 ⇔ t = 2. t 2 2 Iz navedenog sledi 4 cos x = 2 ⇔ 2 2 cos x = 2 ⇔ 2 cos 2 x = 1 , odnosno 2 π π cos x = ± . Prema tome sva tražena rešenja su x = + k za k∈Z. 2 4 2 6. Za sinα=

1 3 1 . Sledi: (α<90o) imamo cosα = 1 − sin 2 α = 1 − = 4 2 2 3

1 3 3 1 sin2α = 2sinα cosα = 2⋅ ⋅ = , cos2α = cos2α – sin2α = . 2 2 2 2 sin3α = sin(α +2α) = sinα cos2α + cosα sin2α = 1, cos3α = cos(α +2α) = cosα cos2α – sinα sin2α =0.

yC − y B 6 − 3 1 = = . Tražena visina prolazi xC − x B 4 + 2 2 kroz ta ku A i normalna je na pravu (BC), zato je koeficijent pravca 1 = −2 . Jedna ina visine je: y = –2x. te prave k hA = − k BC

7. Odredimo prvo koeficijent pravca duži BC: k BC =

8. Povu emo normalu kroz centar kruga x 2 + y 2 = 34 na pravu (AB). Tražene ta ke su presek ove nove prave sa kružnicom i sa pravom (AB). pAB: y = – 4x + 34. Normala na ovu pravu iz ta ke (0, 0) je x – 4y = 0.

(

Preseci su tražene "najbliže" ta ke: Na kružnici K 4 2 ,

)

2 , a na pravoj P(8, 2).

9. a) Neposredno se dobija, da je ivica kocke a = 12 cm, jer je 6a2 = 864 cm2. b) Broj jedini nih kocki je zapremina, tj a3 = 123 = 1728 cm3 . c) 8 kocki, koje se nalaze na temenima velike kocke ofarbano je sa 3 strane. d) sa 2 strane ofarbano je na svakoj ivici po 10 kockica, tojest 120 kocki. e) sa 1 strane su ofarbane kocke na svakoj od 6 strana po 100, tojest 600 kocki. f) neofarbane su kocke "ispod površinskog sloja" a to je 103 = 1000 kocki.

10. To su brojevi a, aq i aq2. Njihov proizvod je a3q3 = 216, iz ega sledi da je srednji broj aq = 6. Koristimo injenicu, da je (aq2 – 3) – aq = aq – a. Neposrednom zamenom dobija se kvadratna jedna ina po q: 2q2 – 5q + 2 = 0. Odavde je q1 = 2, i q2 = 1/2. Kao rešenje dobijamo ista tri broja u obrnutom redosledu 3, 6 i 12, odnosno 12, 6 i 3.

4



1.

1+ a 1+ a 1+ 1 − 3a : 1 − 3 1 − 3a Uprostiti izraz: 1 + 1+ a 1+ a 1− 3 1− 3 1 − 3a 1 − 3a

2.

Rešiti jedna inu (odabrati pogodnu zamenu!):

1+

5

16x 5 x − 1 5 + = x −1 16x 2

2 x + 2 y = 12 x+y=5

3.

Rešiti sistem jedna ina:

4.

Rešiti jedna inu: log 22 x + 2 log 2 x − 2 = 0

5.

Svesti izraz na funkcije ostrih uglova, zatim izra unati vrednost bez upotrebe kalkulatora: sin 750 o cos 390 o tg 1140 o ctg 405o sin 1860 o cos 780 o

6.

Rešiti jedna inu: cos 2 x cos 3 x = cos 5 x

7.

Centar kružnice se nalzi na pravama x + 2y = 6 i x – y = 0, a prolazi kroz ta ku T(–1, –1). Napisati jedna inu te kružnice.

8.

Odrediti jedna ine zajedni kih tangenti parabole y 2 = 4 x i elipse x 2 + 4 y 2 = 8.

9.

U pravilnu etvorostranu jednakoivi nu piramidu upisana je lopta. Koliko procenata iznosi zapremina lopte od zapremine piramide?

10.

Aritmeti ki i geometrijski niz imaju isti tre i lan, koji iznosi 4. Proizvod prvih lanova je 2, drugih 6. Koji su ti nizovi?

NAPOMENA: svaki zadatak se boduje maksimalno sa 6 bodova.

5


MIN SÍT

VISGA MATEMATIKÁBÓL .

1.

1+ a 1+ a 1+ 1 − 3a : 1 − 3 1 − 3a Egyszer sítse a következ kifejezést: 1 + 1+ a 1+ a 1− 3 1− 3 1 − 3a 1 − 3a

2.

Oldja meg a következ egyenletet:

1+

5

16x 5 x − 1 5 + = x −1 16x 2 2 x + 2 y = 12 x+y=5

3.

Oldja meg a következ egyenletrendszert:

4.

Oldja meg a következ egyenletet: log 22 x + 2 log 2 x − 2 = 0

5.

Vezesse vissza a szögfüggvényeket hegyesszögek függvényeire, majd számítsa ki sin 750 o cos 390 o tg 1140 o a kifejezés érékét kalkulátor használata nélkül: ctg 405o sin 1860 o cos 780 o

6.

Oldja meg a következ egyenletet: cos 2 x cos 3x = cos 5x

7.

A kör középpontja az x + 2y = 6 és az x – y = 0 egyenesek metszéspontjában van, valamint áthalad a T(–1, –1) ponton. Írja fel a kör egyenletét!.

8.

Határozza meg az y 2 = 4 x parabola, és a x 2 + 4 y 2 = 8. ellipszis közös érint inek egyenletét!

9.

A szabályos négyoldalú (egyenl él ) gúlába gömböt rajzoltunk. Hány százaléka a gúla térfogatának a gömb térfogata?

10.

Egy számtani és egy mértani sorozatnak is a harmadik tagja 4. Az els tagok szorzata 2, a második tagok szorzata pedig 6. Melyik ez a két sorozat?

MEGJEGYZÉS: mindegyik feladat megoldásáért legfeljebb 6 pont jár.

6




REŠENJA MIN SÍT


MEGOLDÁSOK 1+ a 1+ a 1+ 1 − 3a : 1 − 3 1 − 3a 1+ 1+ a 1+ a 1− 3 1− 3 1 − 3a 1 − 3a 1+

1.

= 1+

=

2.

5

1 − 3a + 1 + a 1 − 3a + 1 + a 1 − 3a 1 − 3a : 1− 3 = 1+ = 1 − 3a − 3 − 3a 1 − 3a − 3 − 3a 1 − 3a 1 − 3a

1− a 1− a 2 − 2a 2 − 2a = = 1− : 1+ 3 : 1− 3 − 2 − 6a − 2 − 6a 1 + 3a 1 + 3a

1 + 3a − 1 + a 1 + 3a + 3 − 3a 4a 4 1 1 : : = = a , za a ≠ i a ≠ − . 3 1 + 3a 1 + 3a 1 + 3a 1 + 3a 3

16x 5 x − 1 5 16x . Sledi jedna ina: + = za x ≠ 1 i x ≠ 0 stavljamo smenu: t = 5 x −1 16x 2 x −1

1 5 t + = ⇔ 2t 2 − 5t + 2 = 0 . Rešenja su: t1 = 2, i t2 = ½. t 2 Za t1 = 2 imamo: 2 = 5

3.

2 x + 2 y = 12 x+y=5

.

2 x + 2 5− x = 12

16x x −1

x1 = 2 , za t2 = ½ imamo:

1 5 16x = 2 x −1

x2 = −

1 . 511

Zamenimo iz druge jedna ine y = 5 – x u prvoj jedna ini:

2 2 x − 12 ⋅ 2 x + 32 = 0 . Nakon stavljanja smene t = 2 x dobijemo jedna inu:

t 2 − 12t + 32 = 0 . Rešenja su: t1 = 8, i t2 = 4. Za t1 = 8 imamo: 2 x = 8

4.

log 22 x + 2 log 2

x = 3, y = 2. Za t2 = 4 imamo: 2 x = 4

x = 2, y = 3.

x − 2 = 0 . Primenom osobina logaritma i stavljanja smene z = log 2 x imamo

jedna inu: z 2 + x − 2 = 0 sa rešenjima: z1 = –2, i z2 = 1, odnosno : x1 = ¼, i x2 = 2.

7

5.

sin 750 o cos 390 o tg 1140 o sin (2 ⋅ 360 o + 30 o ) ⋅ cos(360 o + 30 o ) ⋅ tan (8 ⋅ 180 o + 0 o ) = = ctg 405o sin 1860 o cos 780 o cot (2 ⋅ 180 o + 45 o ) ⋅ sin (5 ⋅ 360 o + 60 o ) ⋅ cos(2 ⋅ 360 o + 60 o ) 1 3 ⋅ ⋅0 sin 30 cos 30 tan 0 2 2 = = =0 . cot 45 o sin 60 o cos 60 o 3 1 1⋅ ⋅ 2 2 o

6.

o

o

cos 2 x cos 3x = cos 5x . Primenom formule cos α ⋅ cos β =

1 (cos(α + β ) + cos(α − β )) dobijemo 2

1 (cos 5 x + cos x ) . 2 Zamenimo li to u datoj jedna ini imamo: cos 5 x − cos x = 0 . cos 2 x cos 3x =

Pošto je cos α − cos β = −2 sin Odatle se rešenja: sin3x = 0

7.

α+β 2 x=

sin

α−β

sledi: − 2 sin 3 x sin 2 x = 0 .

2

kπ , ili sin2x = 0 3

x=

kπ , za k ∈ Z. 2

Presek pravih x + 2y = 6 i x – y = 0 je ta ka C(2, 2). Polupre nik kružnice je je rastojanje CT = 18 . Iz toga neposredno sledi jedna ina tražene kružnice: (x – 2)2 + (y – 2)2 = 18.

8.

9.

Jedna ine zajedni kih tangenti parabole y 2 = 4 x i x 2 + 4 y 2 = 8 tražimo u obliku y = kx + n. 1 Uslov dodira parabole je p = 2kn, gde je p parametar parabole. Sledi k = . n 1 Uslov dodira elipse je a 2 k 2 + b 2 = n 2 , gde su a i b poluose elipse. Sledi: k 2 = . 4 1 1 Objedinjavaju i zaklju ke dobijamo za k = n =2, i za k = − n = –2. Slede jedna ine 2 2 1 1 zajedni kih tangenti: y = x + 2, y = − x − 2 . 2 2

(

)

a 3 a 2 a a , MS = H = , PS = h – = 3−1 , 2 2 2 2 a 2 a OS = H – r = –r. Pošto je r2 = OS2 – PS2 dobijamo r = 6 − 2 . Zapremina piramide 2 4 Posmatrajmo osni presek KLS. KS = h =

(

8

)

(

)

a2H a3 2 4 3 a 3π je: V1 = 3 6 −5 2 . = , a zapremina lopte je: V 2 = r π = 3 6 3 12 S •

S

•

a

•

• a 2

• K

M

P•

•Q

r

L

•

r

a •

a 2

K

(

O

a 2

•

M

a 2

•

L

)

100V2 = 50π 3 3 − 5 ≈ 30,8% . V1 10. Neka su lanovi aritmeti ke progresije a1 , a2 i a3 , a lanovi geometrijskog niza su b1 , b2 i b3 , pri emu je a3 = b3 = 4, zatim a1 ⋅ b1 = 2 i a2 ⋅ b2 = 6. Na osnovu svojstava aritmeti kog i geometrijskog niza zapisujemo: b b 4 4 a2 = a3 – d = 4 – d i a1 = a3 – 2d = 4 – 2d . dok je b2 = 3 = i b1 = 32 = 2 . q q q q 4 4 Po uslovu zadatka je a1 ⋅ b1 = 2 = (4 − 2d ) ⋅ 2 , i a2 ⋅ b2 = 6 = (4 − d ) ⋅ . Iz ove druge q q 8 − 3q jedna ine sledi: d = . Zamenimo li to u prethodnu jedna inu dobijamo: q 2 − 6q + 8 = 0 . 2 Rešenja po nepoznatom q su: q1 = 2 i q2 = 4. Traženi procentni broj je p =

Za q1 = 2 dobijamo d1 = 1, pa je traženi aritmeti ki niz 2, 3, 4, a geometrijski je 1, 2, 4. Za q2 = 4 dobijamo d2 = –2, pa je traženi aritmeti ki niz 8, 6, 4, a geometrijski je ¼, 1, 4.

9

VIŠA TEHNI KA ŠKOLA SUBOTICA 20.09.1995. KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE

1. Uprostiti izraz:

1 1 x + − ( a + b + x) a b ab . x2 1 1 2 + + − a 2 b 2 ab a 2b 2


x + x − 1− x = 1. x

3. Rešiti eksponencijalnu jedna inu:

4

(

10 + 3

)

x

−

4

(

2

10 − 3

)

= 12 10 .

3

4. Rešiti logaritamsku jedna inu: log 4 x 2 + 1 − log 2 x 2 + 1 − 7 = 0 . 5. Rešiti trigonometrijsku jedna inu: 9 sin 2 x − 30 sin x cos x + 25 cos 2 x = 25 . 6. Odrediti vrednosti ostalih trigonometrijskih funkcija ugla α , ako je

i ctgα = −

3π < α < 2π , 2

3 . 3

x2 y2 7. Izra unati površinu trougla obrazovanog tangentama elipse + = 1 povu ene 20 5 10 5 iz ta ke P , , i ose Ox. 3 3 8. U krug jedini nog polupre nika upisan je pravougaonik sa odnosom stranica 1:3. Koliko procenata ini površina pravougaonika od površine kruga? 9. Osnova prave prizme je pravougli trougao ABC. AC = 1dm. Prav ugao je kod temena C, dok ugao kod temena A iznosi 60 0 . Ugao izmedju bo nih dijagonala koje ishode iz ta ke A je 30 0 . Izra unati zapreminu prizme! 10. Ako se od 4 broja odbaci prvi, ostali ine geometrijsku progresiju. Ako se odbaci poslednji, ostaje aritmeti ka progresija. Zbir brojeva iz geometrijske progresije je 13, a zbir tri broja iz aritmeti ke progresije iznosi 3. Na i te brojeve.

Napomena: Svaki zadatak se boduje maksimalo sa 6 bodova.

10


MIN SÍT

1. Egyszer sítse a kifejezést:



1 1 x + − ( a + b + x) a b ab . 1 1 2 x2 + + − a 2 b 2 ab a 2b 2

x + x − 1− x = 1. x

3. Oldja meg az exponenciális egyenletet:

10 + 3

4

(

)

2

x

−

10 − 3

4

(

)

= 12 10 .

3

4. Oldja meg a logaritmikus egyenletet: log 4 x 2 + 1 − log 2 x 2 + 1 − 7 = 0 . 5. Oldja meg a trigonometriai egyenletet: 9 sin 2 x − 30 sin x cos x + 25 cos 2 x = 25 .

3π 3 < α < 2π és ctgα = − . 2 3 x2 y2 7. Számítsa ki annak a háromszögnek a területét, amelyet az + = 1 ellipszishez 20 5 10 5 aP pontból húzott érint k és az Ox tengely alkotnak. , 3 3 8. Az egységsugarú körbe téglalapot rajzoltunk amely oldalainak aránya 1:3. A kör területének hány százaléka tartozik a téglalaphoz? 6. Határozza meg az α szög többi szögfüggvényét, ha

9. Az egyenes hasáb alaplapja az ABC derékszög háromszög. AC = 1dm. A derékszög a C pontnál van, míg az A pontnál lév szög 60 0 . Az A pontból kiinduló oldalátlók egymás között 30 0 -os szöget zárnak be. Határozza meg a hasáb térfogatát! 10. Ha 4 szám közül elhagyjuk az els t, a megmaradók mértani sorozatot alkotnak. Ha az utolsót hagyjuk el, akkor számtani sorozat marad. A mértani sorozathoz tartozó számok összege 13, míg a számtanihoz tartozók összege 3. Melyik ez a 4 szám?

Megjegyzés: A feladatok mindegyike legfeljebb 6 ponttal értékelhet .

11




REŠENJA MIN SÍT


MEGOLDÁSOK

1 1 x + − ( a + b + x) b + a − x (a + b + x ) a b ab 1. Za a≠0 i b≠0 imamo: = 2 ab 2 = 2 b + a + 2ab − x 2 1 1 2 x + + − a 2b 2 a 2 b 2 ab a 2b 2 2 a + b − x )(a + b + x ) (a + b ) − x 2 ( = = = ab , pod uslovom da je x ≠±(a+b). (a + b )2 − x 2 (a + b )2 − x 2 ab ab

x + x − 1− x = 1 ⇔

2. Za x ≥ 0 i 1 ≥ x imamo:

x − 1− x =1− x .

Kvadriramo li jedna inu, dobijamo: x − 1 − x = 1 − 2 x + x ⇔ − 1 − x = 1 − 2 x . Ponovnim kvadriranjem: 1 − x = 1 − 4 x + 4 x ⇔ 4 x = 5 x ⇔ 16x = 25x2. Rešenja ove poslednje jedna ine su x1 = 0 i x2 = 16/25, od kojih brojeva samo ovaj drugi zadovoljava polaznu jedna inu! x

3.

4

10 + 3

x

−

10 − 3

4

= 12 10 . Uo iti, da je 10 + 3 =

( 10 + 3) . Dobija se jedna ina t x 4

mogu a smena t =

2

1 , pa je 10 − 3

− 12 10 t − 1 = 0 ija su

rešenja t 1 = 6 10 ± 19 . Pošto mora biti t > 0, sledi t = 6 10 + 19 = 2

Kona no rešenje je:

(

)

2

(

( 10 + 3) = ( 10 + 3) x 4

)

2

( 10 + 3) . 2

⇔ x = 8.

3

4. log 4 x 2 + 1 − log 2 x 2 + 1 − 7 = 0 . Primenom osobine logaritma dobijamo:

16 log 4 (x 2 + 1) − 9 log 2 (x 2 + 1) − 7 = 0 . Stavimo smenu t = log 2 ( x 2 + 1) : 9 ± 23 16t 2 − 9t − 7 = 0 . Rešenja ove poslednje jedna ine su t 1 = . 2 32 Negativno rešenje se odbacuje zbog kvadrata, pa e biti t = log 2 ( x 2 + 1) = 1 , sledi: log( x 2 + 1) = ±1 . Za +1 dobijamo x2 + 1 = 10, odnosno x = ±3.

12

Drugo rešenje (–1) odbacujemo jer ne postoji realno x za koje je log( x 2 + 1) = −1 , naime, trebalo bi da bude x2 =10–1 – 1 = –0,9. 5. 9 sin 2 x − 30 sin x cos x + 25 cos 2 x = 25 . Nakon smene cos2x = 1 – sin2x imamo: –16sin2x – 30 sinx⋅ cosx = 0

⇔ sinx (8 sinx + 15 cosx) = 0 ⇔

⇔ sinx = 0, što zna i x = kπ, ili je 8 sinx + 15 cosx = 0, to jest tgx = –8/15. Ovo zadnje rešenje zna i x = 118°56' + kπ, gde je k∈ Z.

6. Pošto je ctgα = −

3 1 zato je tgα = =− 3. 3 ctgα

Imamo identi nost sin α = dobijemo, da je sin α = −

tgα ± 1 + tg 2α

=

3π − 3 < α < 2π . Zbog uslova ±2 2

3 1 . Sli no zbog uslova zadatka je cos α = + . 2 2

7. Neka je jedna ina tangente Ax + By + C = 0. Uslov dodira je a2A2 + b2B2 – C2 = 0, gde su a i b poluose elipse. To zna i: 20A2 + 5B2 – C2 = 0. Pored toga prava prolazi 10 5 10 5 kroz ta ku P , : A ⋅ + B ⋅ + C = 0 . Rešavanjem sistema od ove dve jedna ine 3 3 3 3 dobijamo tangente: x + y = 5 i x + 4y = 10. Koordinate preseka ovih pravih sa osom Ox su ta ke A(5, 0) i B(10, 0). Prema tome osnova trougla je duž AB=5, a visina trougla je 5 5⋅ 25 . ordinata ta ke P. Zato je tražena površina p ∆ = 3 = 2 6

8. Pravougaonik upisan u krug jedini nog polupre nika ima dijagonalu dužine 2, a jedna stranica ima dužinu x, dok druga 3x. Po Pitagorinoj teoremi je x2 + 9x2 = 4, odnosno x2 = 2/5. Površina pravougaonika je x⋅3x = 3x2 =6/5 = 1,2. Pošto je površina kruga π, p 1,2 ⋅ 100% ≈ 38,2% . traženi procenat e biti k = 1 ⋅ 100% = p2 π

13

9. Pošto je osnova "polovina" jednakostrani nog -

B1

trougla, dužine ivica su: AC=1, AB=2 i

A1

BC= 3 .

3

H

Prava B1C1 je normalna na celu bo nu stranu

2 3

ACC1A1, pa je normalna i na duž AC1.

C1

To zna i da je trougao AC1B1 pravougli sa pravim uglom kod ta ke C1. Prema tome i to

30o

B

2

je "polovina" jednakostrani nog trougla, zato

60o

iz B1C1= 3 sledi: AB1 =2 3 .

3

Visinu H ra unamo pomo u Pitagorine teoreme: H2 =(2 3 )2 – 22 = 8. Sledi H= 2 2 , a zapremina je: V = B ⋅ H = p ABC ⋅ H = V=

A

1

90o

C

tražena AC ⋅ BC ⋅ BB1 2

1⋅ 3 2= 6 2

10. Neka su prva tri broja, koji ine aritmeti ku progresiju ozna eni sa a, a+d, a+2d. etvrti lan je deo geometrijske progresije iji su prvi i drugi lan a+d, a+2d, zato je koli nik te progresije (a+2d)/( a+d). Dok je etvrti broj jednak (a+2d)2/( a+d). Po uslovima zadatka imamo: (a + d ) + (a + 2d ) +

(a + 2d ) a+d

2

= 13 ,

i

a + (a+d) + (a+2d) = 3

Iz ovog sistema jedna ina slede rešenja. Za d1 = –5 dobijemo a = 6 i brojeve: 6, 1, –4, 16, a za d2 = 2 dobijemo a = –1 i brojeve –1, 1, 3, 9.

14



a

+

a2 + b = a + a2 + b

11. Uprostiti izraz

a2 + b −


x −1 1− x + = 4. 2 1+ x

a2 + b

a

1+

2

13. Rešiti eksponencijalnu jedna inu: 9 x − 2

(6 bodova)

(6 bodova)

x+

1 2

=2

x+

7 2

− 32 x −1 .

14. Rešiti logaritamsku jedna inu: log 32 2 x − log8 4 x + log 2 x = 3 . 4π 2π = 0. + sin α + 3 3 16. Na i sva rešenja trigonometrijske jedna ine: sin x + sin 2 x + sin 3x + sin 4 x = 0 .

15. Dokazati identi nost sin α + sin α +

(6 bodova) (6 bodova) (6 bodova) (6 bodova)

17. Osnova jednakokrakog trougla ABC je duž AB: A(–1, 5), B(5, 3). Odrediti (6 bodova) površinu tog trougla ako se tre e teme nalazi na osi Ox. 18. Pod kojim uglom se vidi krug x 2 + y 2 − 2 x − 4 y + 1 = 0 iz ta ke P(5, 2). (6 bodova) 19. Odrediti površinu i zapreminu lopte koja je opisana oko kocke, ija je zapremina V1 = 24 3 cm3 . (6 bodova) 20. Tri broja ine aritmeti ki niz, a njihov zbir je 12. Ako se poslednji pove a za vrednost prvog broja, dobija se geometrijski niz. Koji so to brojevi? (6 bodova)

15


MIN SÍT

1. Egyszer sítse a kifejezést


a2 + b −


a

a +b 2

a

1+

2

a +b = a + a2 + b

+

2

(6 pont)

x −1 1− x + = 4. 2 1+ x

3. Oldja meg az exponenciális egyenletet: 9 x − 2

(6 pont)

x+

1 2

=2

x+

7 2

− 32 x −1 .

4. Oldja meg a logaritmikus egyenletet: log 32 2 x − log8 4 x + log 2 x = 3 .

(6 pont) (6 pont)

4π 2π = 0 . (6 pont) + sin α + 3 3 6. Határozza meg a trigonometriai egyenlet minden megoldását: sin x + sin 2 x + sin 3x + sin 4 x = 0 . (6 pont)

5. Igazolja az alábbi azonosságot: sin α + sin α +

7. Az ABC egyenl szárú háromszög alapja az AB szakasz: A(–1, 5), B(5, 3). Határozza meg a háromszög területét, ha a harmadik csúcspont az Ox tengelyhez illeszkedik. (6 pont) 8. Mekkora szög alatt látszik az x 2 + y 2 − 2 x − 4 y + 1 = 0 kör a P(5, 2) pontból? (6 pont) 9. Határozza meg a kocka köré írt gömb felszínét és térfogatát, ha a kocka térfogata (6 pont) V1 = 24 3 cm3 . 10. Három szám számtani sorozatot alkot, összegük 12. Ha az utolsó számot megnöveljük az els szám értékével, akkor mértani sorozatot nyerünk. Melyek ezek a számok? (6 pont)

16




REŠENJA MIN SÍT


MEGOLDÁSOK

1.

a2 + b − =

b a +b 2

2. Jedna ina

1+

a2 a2 + b

+

2 2 a2 + b = a + b − a + a2 + b = a + a2 + b a2 + b a + a2 + b

1

+

a2 + b + a

a

a +b 2

=

b +1 a2 + b

x −1 1− x + = 4 ima smisla za x ≥ 0. Eliminacijom razlomaka: 2 1+ x

2( x − 1) + (1 − x )(1 + x ) = 8(1 + x )

⇔ 2x − 2 + 1 − x = 8 + 8 x

⇔

⇔ x − 9 = 8 x ↑2 ⇔ x 2 − 82 x + 81 = 0 . Rešenja su x1 = 1 i x2 = 81. Proverom se utvrdjuje da samo broj 81 zadovoljava polaznu jedna inu.

3. 9 x − 2

x+

1 2

=2

x+

7 2

7

− 32 x −1

1 2

1 ⇔ 9 1+ = 2 x 2 (8 + 1) ⇔ 3 x

1

⇔ 9 x + 9 x ⋅ 3−1 = 2 x 2 2 + 2 x 2 2 ⇔

4. log 32 2 x − log8 4 x + log 2 x = 3 ⇔

9 2

x

1 2

9⋅2 9 = = 4 2 3

3 2

⇔ x=

3 . 2

1 (1 + log 2 x ) − 1 (2 + log 2 x ) + log 2 x = 3 ⇔ 5 3

⇔ 13 log 2 x = 52 ⇔ log 2 x = 4 ⇔ x = 16.

5. Za dokaz jednakosti sin α + sin α +

2π 4π = 0 primenimo identi nost: + sin α + 3 3

17

sin α + sin β = 2 sin

sin α + sin α + Pošto je cos

α+β α−β cos . Spojimo prvi i tre i sabirak na predloženi na in 2 2

4π 2π 2π 2π 2π cos − + sin α + = 2 sin α + + sin α + 3 3 3 3 3

2π 1 2π = cos − = − , sledi da je tvrdjenje zadatka ta no: 3 2 3 2 −

2π 2π 1 sin α + = 0. + sin α + 3 3 2

6. sin x + sin 2 x + sin 3x + sin 4 x = 0 .

Primenimo formulu iz prethodnog zadatka na sabirke 1 i 4, odnosno na 2 i 3. 2 sin

5x 3x 5x x 5x 3x x = 0 ili cos + sin = 0 . cos + 2 sin sin = 0 ⇔ sin 2 2 2 2 2 2 2

Prva mogu nost neposredno daje

5x 2 kπ = kπ , odnosno x = za k∈Z. 2 5

Drugu jedna inu napišimo u obliku zbira sinusa, zatim opet primenimo formulu za zbir sinusa: cos

⇔ 2 sin

π 4

−

x 3x π 3x x + sin = 0 ⇔ sin − + sin = 0 ⇔ 2 2 2 2 2

x π cos − x = 0 . Iz te jedna ine slede još dve serije rešenja: 2 4 x=

π 2

− 2 kπ

i

x = kπ −

π 4

za k∈Z

7. Napišimo jedna inu visine trougla ABC koja pripada duži AB: To je simetrala duži A(–1, 5), B(5, 3). Prolazi kroz središte duži a to je ta ka C1(2, 4) i normalna je na (AB). Pošto je kAB = –1/3, zato ta visina ima jedna inu y – 4 = 3(x – 2). Ta prava se e osu Ox u ta ki C(2/3, 0). Dužina osnovice je AB = 2 10 , visina trougla je

CC1 =

AB ⋅ CC1 4 10 . Prema tome, površina je: p ∆ = = 3 2

4 10 40 3 = . 2 3

2 10 ⋅

8. Povucimo tangete kruga x 2 + y 2 − 2 x − 4 y + 1 = 0 iz ta ke P(5, 2). To e biti prave y – 2 = k (x – 5) koje sa kružnicom imaju jednu zajedni ku ta ku. Situacija se poklapa ako posmatramo centralni krug x 2 + y 2 = 4 i ta ku Q(4, 0), odnosno pravu y = k (x – 4) (jer je centar polazne kružnice C(1, 2) a polupre nik r = 2 ).

18

Uvrstimo u jedna inu kružnice i zahtevamo jedno rešenje. To nas dovodi do izjedna avanja diskriminante sa nulom a to je jedna ina: x 2 + (kx − 4k ) = 4 ⇔ 2

⇔ x 2 (1 + k 2 ) − 8k 2 x + 16k 2 − 4 = 0 ⇔ 3k 2 − 1 = 0 ⇔ k 1 = ± 2

⇔ D = 64k 4 − 4(1 + k 2 )(16k 2 − 4) = 0 ⇔

1 3 =± . 3 3

To su koeficijenti pravaca tangenti. Tangens ugla izmedju njih je: 3 3 3 + k − k1 3 = 3 = 3 tgϕ = 2 = 3 2 1 2 1 + k1 k 2 1− 3 3

ϕ = 60°.

9. Ta lopta ima pre nik, koji je jednak telesnoj dijagonali kocke: 2R = a 3 . Iz zapremine kocke V1 = 24 3 cm3 sledi: a3 =24 3 . O evidno mora biti a = t 3 , gde je t zasad nepoznat broj. Odavde je a3 = t3 3 3 . Zaklju ujemo: a3 =24 3 = t3 3 3 . Pa mora biti t3 = 8 odnosno t = 2, pa e biti a = 2 3 . Pošto je 2R = a 3 sledi 2R = 2 3

3 . To zna i: R = 3.

Zapremina te lopte je V = 108π/3 cm3, dok je površina P = 36π cm2.

10. Neka su to brojevi a, a+d i a+2d, pri emu je 3a+3d = 12, ili a+d = 4. Druga jedna ina se dobija iz koli nika geometrijskog niza:

a + d ( a + 2d ) + a = , a a+d

ili (a + d ) = a (2a + 2d ) . Rešavanjem ovog sistema jedna ina dobijemo: 2

d = a = 2. To zna i, traženi su brojevi: 2, 4, 6.

19


(

1. Izra unati (a + 1) + (b + 1) ako je a = 2 + 3 −1

−1

)

−1

(

, b= 2− 3

2. Rešiti jedna inu: x + 2 − 2 x − 3 = 1 . 3. Rešiti eksponencijalnu jedna inu: 0.125 ⋅ 4

)

−1

.

(6 bodova) (6 bodova)

2 x −1

=

4. Rešiti logaritamsku jedna inu: log x 2 − log 4 x +

0.25

−x

2

7 = 0. 6

π 1 i α + β = odrediti tgβ . 7 4 6. Rešiti trigonometrijsku jedna inu: 2 + cos 4 x = 2 sin 2 x . 5. Ako je tgα =

.

(6 bodova)

(6 bodova)


7. Težište T trougla ABC pripada osi Ox, teme C pripada osi Oy, dok temena A i B su data: A(2,–3), (6 bodova) B(–5,1). Odrediti koordinate ta aka T i C. 8. Oko kružnice x 2 + y 2 = 100 opisan je tangentni etvorougao ija su dva suprotna temena A(–14,– 2) i C(20,10). Odrediti koordinate temena B i D. (6 bodova) 9. Iz pravog kružnog valjka polupre nika R=5 cm i visine H=150 cm ise eno je 15 kugli polupre nika r=5 cm. Kolika je zapremina otpada i koliko je to procenata od zapremine valjka? (6 bodova) 10. etiri broja ine geometrijski niz, a njihovi logaritmi za osnovu 3 ine aritmeti ki niz iji je zbir 18, a razlika d=1. Koji so to brojevi? (6 bodova)

20

M SZAKI F ISKOLA SZABADKA 1996.09.05. MIN SÍT 1. Számítsa ki (a + 1) + (b + 1) −1


−1


(

értékét, ha a = 2 + 3

−1

(

, b= 2− 3

x + 2 − 2x − 3 = 1 .

3. Oldja meg az exponenciális egyenletet: 0.125 ⋅ 4

4. Oldja meg az egyenletet: log x 2 − log 4 x + 5. Ha tgα =

)

)

−1

.(6 pont) (6 pont)

2 x −1

=

0.25 2

7 = 0. 6

π 1 és α + β = , határozza meg tgβ értékét. 7 4

6. Oldja meg a trigonometriai egyenletet: 2 + cos 4 x = 2 sin 2 x .

−x

.

(6 pont)

(6 pont)

(6 pont) (6 pont)

7. Az ABC háromszög T súlypontja az Ox tengelyhez illeszkedik, míg a C csúcspont az Oy tengelyhez tartozik. Ismertek A és B pontok koordinátái: A(2,–3), B(–5,1). Határozza meg T és C pontok koordinátáit. (6 pont) 8. Az x 2 + y 2 = 100 kör köré érint négyszöget rajzoltunk, amelyben ismertek az egyik átlójának végpontjai: A(–14,–2) és C(20,10). Határozza meg a másik átló végpontjainak, B-nek és D-nek koordinátáit. (6 pont) 9. Az R=5 cm sugarú és H=150 cm magasságú egyenes körhengerb l kimetszettünk 15 gömböt, mindegyiknek a sugara r=5 cm. Mekkora a hulladék térfogata, és hány százaléka ez a henger térfogatának? (6 pont) 10. Négy szám mértani sorozatot alkot, míg a hármasalapú logaritmusaik egy számtani sorozat elemei, amelyek összege 18, a különbsége d pedig 1. Melyek ezek a számok? (6 pont)

21



KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE REŠENJA MIN SIT


MEGOLDÁSOK

(a + 1)−1 + (b + 1)−1 =

1.

=

1 2+ 3

=

2.

+1

(

1

+

1

1 1 1 + = a +1 b +1 2 + 3

1 2− 3

1

=

3+ 3

+1

+

2+ 3

)

1 3− 3

−1

=

+1

+

1

(2 − 3 )

2+ 3 3+ 3

−1

+

+1

2− 3 3− 3

=

=

2− 3

(2 + 3 )(3 − 3 ) + (2 − 3 )(3 + 3 ) = 6 + 3 (3 + 3 )(3 − 3 )

3 −2 3 −3+6−3 3 + 2 3 −3 6 = = 1. 9−3 6

x + 2 − 2 x − 3 = 1 O evidno mora biti x ≥–2 i x ≥3/2 , tojest x ≥3/2.

(x + 2) − 2

x + 2 − 2 x − 3 = 1 ↑2

3x − 2 = 2

x + 2 2 x − 3 + (2 x − 3) = 1

(

(x + 2)(2 x − 3) ↑2

9 x 2 − 12 x + 4 = 4 2 x 2 + 4 x − 3 x − 6

9 x 2 − 12 x + 4 = 8 x 2 + 4 x − 24

x 2 − 16 x + 28 = 0

)

x1 =2 i x2 =14.

Proverom utvrdjujemo, da se rešenje x1 =2 prihvata dok se x2 =14 odbacuje.

3. 0.125 ⋅ 4

2 x −1

Pošto je

sledi: 2

−3

=

0.25

−x

.

2

1 0.125 = = 2 − 3 , 8 ⋅2

4 x−2

= 2

4. log x 2 − log 4 x + Smena: log x 2 = t

−2

7 =0 6

⋅2

−

1 0.25 = = 2 − 2 4

2

4=2 , −x

1 2

5x

2 4 x −5 = 2 2

log x 2 − t−

i

4x − 5 =

1 2

=2

5x 2

1 7 + =0. 2 log x 2 6

1 7 + =0 2t 6

6t 2 + 7t − 3 = 0

22

−

1 2

x=

10 3

1 t1

1 3 t1 = , t 2 = − 3 2

x1 = 2 = 2 = 8, x 2 = 2

tgβ =

4

+

=

1−

1 . 3 4

1 1 tgβ = + tgβ 7 7

2 cos 2 2 x + cos 2 x = 0

cos 2 x = 0 ili cos 2 x = −

1 2

kπ π ili x = ± = kπ , za k ∈ Z . 2 3

7. Pošto je T ∈ Ox tx =

2 3

1 + cos 2 2 x − sin 2 2 x = 2 sin 2 x − 1

cos 2 x(2 cos 2 x + 1) = 0

π

−

3 . 4

1 − sin 2 2 x + cos 2 2 x = sin 2 x + sin 2 x − 1

x=

=2

1 + tgβ tg = 7 1 4 1 − ⋅ tgβ 7

1 1 = 1 + tgβ 7 7

6. 2 + cos 4 x = 2 sin 2 x

1 t2

π

tgα + tgβ 5. tg (α + β ) = 1 − tgα ⋅ tgβ

1−

3

T(tx , 0 ), dok je C ∈ Oy

a y + by + c y a x + bx + c x i ty = 3 3

tx =

C (0, cy ). Takodje je:

2−5+0 = −1 3

i 0=

− 3 +1+ cy 3

,

odatle sledi cy = 2. Prema tome: T(–1, 0), C(0, 2).

8. O evidno, potrebno je odrediti tangente tAB i tAD zatim na i B i D. Tangenta kružnice koja prolazi kroz ta ku A je: y + 2 = k( x + 14 ). Iz uslova dodira r2 (k2 + 1) = l2 , gde je l = 14k -2 imamo k1 =

4 3 , k2 = − . 3 4

Tangente kroz ta ku C dobijaju se na sli an na in: y – 10 = k( x – 20 ). Pa iz uslova dodira sledi

k 3 = 0, k 4 =

4 . 3

3 25 tAB: y = − x − , 4 2

tAD: y =

4 50 x+ , 3 3

tCB y =

4 50 x− , a njihov presek je ta ka B(2, –14). 3 3

tCD y = 10, a njihov presek je ta ka D(–5, 10).

23

9. Zapremina valjka je Vv = R2 π H = 3750 π cm3. Zapremina jedne lopte je: VL = 4 r3 π/3 = 500 π/3 cm3. Otpad je Vo = Vv – 15 VL = 1250 π cm3. Pošto je to ta no tre ina zapremine valjka zato je to u procentima 33,33%.

10. Neka su to brojevi a, log3 a,

aq, aq2 i aq3, a njihovi logaritmi su:

log3 a + log3 q,

log3 a + 2log3 q

i

log3 a + 3log3 q .

Zbir tih brojeva je: 4 log3 a + 6 log3 q = 18, a diferencija je log3 q = 1. Iz navedenog sledi q = 3, i 4 log3 a =12

log3 a = 3

Prema tome traženi brojevi su: 27, 81, 243, 729.

24

a = 33 = 27.


1. Uprostiti izraz: 1 −

1− a 1+ a : −a =. 1+ a 1− a

(6 bodova)

2. Rešiti jedna inu: 2 + x − 16 = x .

(6 bodova)

3. Rešiti eksponencijalnu jedna inu: 61+ x − 6 2− x = 30 .

(6 bodova)

2 4. Rešiti jedna inu: 5

log 2 x +1

25 = 4

2 −log x 3

.

(6 bodova)

3 15 , i cos β = . 5 17 2 sin x 2 sin x − 1 5 + = . 6. Rešiti trigonometrijsku jedna inu: 2 sin x − 1 2 sin x 2

5. Izra unati sin( α − β ) , ako je sin α =


3 11 , . Dokazati da je 2 2 trougao pravougli i izra unati njegove oštre uglove. Kako glasi jedna ina prave koja sadrži stranicu AB? (6 bodova)

7. Dat je trougao ∆ABC koordinatama svojih temena: A(− 1,3), B (4 ,3), C

19 = 0 . Na i dužinu tetiva, koje kružnca odseca na 4 koordinatnim osama. Povu i tangentu na kružnicu u kranjoj ta ki tetive koja pripada osi Oy i koja (6 bodova) je bliža koordinatnom po etku.

8. Data je jedna ina kružnice x 2 − 6 x + y 2 − 8 y +

9. Na i zbir svih trocifrenih neparnih prirodnih brojeva.

(6 bodova)

10. Oko kvadra dimenzija a=32cm, b=24cm, c=30cm opisana je sfera. Na i površinu sfere i zapreminu (6 bodova) lopte koju ograni ava ta sfera.

25


1. Egyszer sítse a kifejezést: 1 −

1− a 1+ a : −a =. 1+ a 1− a

(6 pont)

2. Oldja meg az egyenletet: 2 + x − 16 = x .

(6 pont)

3. Oldja meg az exponenciális egyenletet: 61+ x − 6 2− x = 30 .

(6 pont)

2 4. Oldja meg az egyenletet: 5

log 2 x +1

25 = 4

2 − log x 3

.

(6 pont)

3 15 , cos β = . (6 pont) 5 17 2 sin x 2 sin x − 1 5 + = . (6 pont) 6. Oldja meg a trigonometriai egyenletet: 2 sin x − 1 2 sin x 2 3 11 7. Adottak az ABC háromszög csúcspontjai: A(− 1,3), B (4 ,3), C , . Bizonyítsa be, hogy a 2 2 háromszög derékszög . Határozza meg a háromszög minden szögét. Irja fel az AB oldalhoz (6 pont) illeszked egyenes egyenletét is!

5. Számítsa ki sin( α − β ) értékét, ha sin α =

19 = 0 . Határozza meg a kör által a 4 koordinátatengelyekb l kimetszett húrok hosszúságát. Irja fel a kör azon érint jének az egyenletét is, amely az Oy tengelyen kimetszett húrnak az O ponthoz közelebb es végpontjában érinti a kört! (6 pont)

8. Adott

a

kör

egyenlete:

x 2 − 6x + y 2 − 8y +

9. Számítsa ki a háromjegy páratlan természetes számok összegét.

(6 pont)

10. Az a=32cm, b=24cm, c=30cm élhosszúságú téglatest köré gömböt rajzoltunk. Számítsa ki a gömb felszínét és térfogatát. (6 pont)

26




REŠENJA MIN SÍT


MEGOLDÁSOK 1.

1−

1− a 1+ a −a = : 1+ a 1− a

1 + a − (1 − a ) 1 + a − a (1 − a ) 1 + a − 1 + a 1 + a − a + a 2 2a 1 + a 2 = = = : : : 1+ a 1− a 1+ a 1− a 1+ a 1− a 2a 1 − a 2a (1 − a ) = = ⋅ 2 1+ a 1+ a (1 + a ) 1 + a 2

(

2.

)

↑2 (uslovi rešavanja su: x − 16 ≥ 0 ∧ x ≥ 0 x ≥ 16 ∧ x ≥ 0 x ≥ 16 ) 4 + 2 ⋅ 2 x − 16 + ( x − 16 ) = x 4 x − 16 = x − 4 − x + 16 16( x − 16 ) = 144 2 + x − 16 =

x

4 x − 16 = 12

x − 16 = 144 / 16 x − 16 = 9

↑2

x = 25 Rešenje zadovoljava gore navedeni uslov, zna i prihvatamao ga: R = {25}

3.

61+ x − 6 2− x = 30 1 6 ⋅ 6 x − 36 ⋅ x = 30 6

6 ⋅ 6 x − 6 2 ⋅ 6 − x = 30 smena : 6 x = t

6t 2 − 36 = 30t

t1 / 2 =

6t 2 − 30t − 36 = 0

t1 = 6 x1 = 6 =6 x1 = 1 x1

1

72 12

30 ±

1 6 ⋅ t − 36 ⋅ = 30 t

(− 30)2 − 4 ⋅ 6 ⋅ (− 36 ) 12 t 2 = 6 x2 =

t1 / 2 =

/⋅ t

30 ± 42 12

− 12 12

6 x2 = −1

Pošto exponencijalni izraz ne može imati negatinvu vrednost, drugo rešenje ne prihvatamo, zna i R = {1} . log 2 x +1

4.

2 −log x 3

2 25 = 5 4 uslov rešavanja je x > 0

27

2 5

2 log x +1

2 5

=

−2

2 −3 log x

2 5

2 log x +1

2 = 5

−2 ( 2 −3 log x )

2 log x + 1 = −4 + 6 log x 4 log x = 5 5 log x = 4

2 log x + 1 = −2(2 − 3 log x )

x = 10

5 4 5

Rešenje zadovoljava gore navedeni uslov, zna i prihvatamao ga: R = 10 4 .

5.

sin( α − β ) = sin α ⋅ cos β − cos α ⋅ sin β 3 15 Pošto je zadato, da je sin α = , i cos β = , sledi 5 17

3 cos α = 1 − sin α = 1 − 5 2

2

=

16 4 = 25 5

2

15 289 − 225 sin β = 1 − cos β = 1 − = = 17 289 3 15 4 8 45 − 32 13 sin( α − β ) = ⋅ − ⋅ = = 5 17 5 17 85 85 2

6.

64 8 = 289 17

2 sin x 2 sin x − 1 5 + = 2 sin x − 1 2 sin x 2 (uslovi rešavanja su 2 sin x − 1 ≠ 0 ∧ 2 sin x ≠ 0

sin x ≠

2 sin x 2 sin x − 1 5 + = / ⋅ 2(2 sin x − 1) sin x 2 sin x − 1 2 sin x 2 2 sin x ⋅ 2 sin x + (2 sin x − 1)(2 sin x − 1) = 5(2 sin x − 1) sin x 4 sin 2 x + 4 sin 2 x − 4 sin x + 1 = 10 sin 2 x − 5 sin x − 2 sin 2 x + sin x + 1 = 0

− 1 ± 12 − 4(− 2 ) ⋅ 1 (sin x ) 12 = (sin x ) 12 = − 1 ± 3 −4 −4 1 7π π sin x1 = − x11 = + 2kπ ∨ x11 = − + 2kπ 2 6 6 sin x 2 = 1

7.

x 21 =

A(− 1,3), B (4 ,3), C

dužina stranice AB =

π

2

+ 2kπ

3 11 , . 2 2

(4 − (− 1))2 +(3 − 3)2

= 25 = 5

28

1 ∧ sin x ≠ 0 ) 2

2

BC =

3 11 −4 2+ −3 2 2

AC =

3 11 − (− 1) 2 + −3 2 2

25 25 50 5 2 + = = ≈ 3,54 4 4 4 2

=

2

25 25 + = 4 4

=

50 5 2 = ≈ 3,54 4 2

AC = BC < AB , zna i AC i BC bi trebale biti katete (jednakokrakog) pravouglo trougla, a AB bi trebala biti hipotenuoza. Prema tome po Pitagorinoj teoremi 50 50 AC 2 + BC 2 = AB 2 + = 25 2 2 4 4 5 2 5 2 100 = 52 + = 25 2 2 4 →

Uslov je zadovoljen, zna i trougao je pravougli. cos(∠A) =

→

AB AC →

→

AB AC →

→

AB = AB = 5

AB = (4 ,3) − (− 1,3) = (5,0 ) →

AC =

5 5 3 11 , , − (− 1,3) = 2 2 2 2 →

cos(∠A) =

→

→

=

AB AC →

cos(∠B ) =

5 5 + 0⋅ 2 2 = 1 = 2 2 5 2 2 5⋅ 2 →

BA BC →

→

BA BC →

BA = AB = 5 →

5 2 BC = BC = 2

5 2 2

5⋅

→

AB AC

→

AC = AC =

cos(∠B ) =

→

∠A = 45

→

BA = − AB = (− 5,0 ) →

BC =

3 11 5 5 , − (4 ,3) = − , 2 2 2 2

5 5 + 0⋅ 1 2 2 2 = = 2 2 5 2 5⋅ 2

− 5⋅ −

∠B = 45

(Pošto je trougao jednakokraki, naspram jednakih stranica leže jednaki uglovi, prema tome i bez ra una ∠A = ∠B = 45 ). Jedna ina prave kroz dve ta ke

y1 − y =

y 2 − y1 (x1 − x ) , gde je x 2 − x1

A( x1 , y1 ) = (− 1,3)

B ( x1 , y1 ) = (4 ,3) 3−3 (− 1 − x ) 3 − y = 0 y = 3 prema tome jedna ina prave AB je 3 − y = −1− 4 (Pošto A i B imaju iste y=3 koordinate, one su na pravoj y=3 paralelnoj Oy osi.)

29

8.

19 =0 4 81 = 4

x 2 − 6x + y 2 − 8y +

( x − 3) 2 + ( y − 4 ) 2

(x

2

) (

)

− 6 x + 9 + y 2 − 8 y + 16 = 16 + 9 −

19 4

Preseci sa osama se ra unaju kao rešenja sistema jedna ina:

( x − 3) + ( y − 4 ) 2

2

=

y

81 4

8

A

x=0

6

(0 − 3)2 + ( y − 4 )2 = 81 4 81 9 + y 2 − 8 y + 16 = 4 19 = 0 /⋅ 4 y2 − 8 y + 4 4 y 2 − 32 y + 19 = 0 y1 = 2

(p,q)=(3, 4)

4

t

2

B

C

-1 0

1

D 2

3

4

32 ± 1024 − 304 32 ± 720 32 ± 12 5 8 ± 3 5 = = = 8 8 8 2

Preseci kružne linije i Oy su A 0 ,

( x − 3) + ( y − 4 ) 2

2

=

8−3 5 8+3 5 , B 0, 2 2

81 4

y=0 81 4 81 x 2 − 6 x + 9 + 16 = 4 19 =0 x2 − 6x + 4

( x − 3) + (− 4 ) 2

2

=

Preseci kružne linije i Ox su C

x1 = 2

6 ± 36 − 19 6 ± 17 = 2 2

6 − 17 6 + 17 ,0 , D ,0 . 2 2

8−3 5 8+3 5 Dužina tetive AB = 0 + − 2 2

2

=3 5,

Treba povu i tangentu t : y = kx + l u ta ci A.

(x − 3)2 + ( y − 4)2 = 81 ⇔ (x − p )2 + ( y − q )2 4

= r2 ,

30

CD = 17 .

5

6

7

x

jedna ina tangente u zadatoj ta ci A 0 ,

8+3 5 = ( x1 , y1 ) je 2

t : (x1 − p )( x − p ) + ( y1 − q )( y − q ) = r 2 t : (0 − 3)( x − 3) +

81 8+3 5 − 4 ( y − 4) = 4 2

9. zbir = 101 + 103 + 105 + ... + 997 + 999 , što je zbir prvih n=450 lanova aritmeti kog niza sa prvim lanom a1 = 101 i distancom d=2. Prema tome a + a 450 101 + 999 zbir = 450 1 = 450 = 247500 . 2 2

10.

Polupre nik lopte je polovina dijagonale kvadra.

D a2 + b2 + c2 32 2 + 24 2 + 30 2 = = = 2 2 2 Psfere = 4 R 2π = 4 ⋅ 625π = 2500πcm 2

R=

31

2500 = 25cm 2


1. Uprostiti izraz:

2a 4a a x : + 2 + . x − 4 x + 4 x − 4 x + 2 ( x − 2 )2

2. Skratiti razlomak:

2

3x 3 + 4 x 2 − 4 x . 3x 2 + 8 x + 4

3. Rešiti eksponencijalnu jedna inu: 4 x − 3

(6 bodova)

(6 bodova) x−

1 2

=3

x+

1 2

− 2 2 x −1 .

(6 bodova)

4. Rešiti logaritamsku jedna inu: x1+lg x = 10 x .

(6 bodova)

5. Bez upotrebe ra unskih pomagala odrediti u stepenima, zatim u radijanima uglove etvorougla ako se oni me usobno odnose kao 6:8:9:13.

(6 bodova)

6. Rešiti trigonometrijsku jedna inu: 1 − sin x − cos 2 x = 0 .

(6 bodova)

7. Kroz ta ku A(x,3) na pravoj 3y – x = 9 povu ena je normala na ovu pravu. Odrediti površinu ograni enu ovim pravima i osom Ox.

(6 bodova)

8. Kružnica 4 x 2 + 4 y 2 = 25 i prava 2y – 14x + 25 = 0 se seku. Odrediti: a) koordinate preseka; b) dužinu zajedni ke tetive; c) centralni ugao koji pripada toj tetivi.

(6 bodova)

9. Oko dve lopte koje se dodiruju spolja, opisana je kupa. Zapremina jedne lopte je 8 puta ve a od zapremine druge lopte, a polupre nik manje lopte je 12 cm. Izra unati površinu omota a kupe.

(6 bodova)

10. Tri broja su uzastopni lanovi geometrijske progresije, njihov zbir je 42, a proizvod srednjeg lana sa zbirom krajnjih lanova iznosi 360. Koji su to brojevi?

(6 bodova)

32

M SZAKI F ISKOLA SZABADKA 1997.09.05. MIN SÍT


a 2a 4a x : . + 2 + x − 4 x + 4 x − 4 x + 2 ( x − 2 )2

1. Egyszer sítse a kifejezést:

2

3x 3 + 4 x 2 − 4 x . 2. Egyszer sítse a törtet: 3x 2 + 8 x + 4 3. Oldja meg az egyenletet: 4 − 3 x

x−

1 2

=3

x+

(6 pont)

(6 pont) 1 2

− 2 2 x −1 .

(6 pont)

4. Oldja meg az egyenletet: x1+lg x = 10 x .

(6 pont)

5. Segédeszközök igénybevétele nélkül határozza meg a négyszög szögeit fokokban és radiánokban is, ha azok aránya 6:8:9:13.

(6 pont)

6. Oldja meg az egyenletet: 1 − sin x − cos 2 x = 0 .

(6 pont)

7. A 3y – x = 9 egyenesen elhelyezked A(x,3) pontból mer legest emeltünk erre az egyenesre. Határozza meg a két egyenes és az Ox tengely által határolt terület nagyságát. (6 pont) 8. A 4 x 2 + 4 y 2 = 25 kör és a 2y – 14x + 25 = 0 egyenes metszik egymást. Határozza meg: a) A metszéspontok koordinátáit; b) A közös húr hosszát; c) A húrhoz tartozó középponti szög nagyságát.

(6 pont)

9. Két egymást kívülr l érint gömb köré kúpot rajzoltunk. Az egyik gömb térfogata a másik gömb térfogatának a nyolcszorosa, a kisebb gömb sugara 12cm. Határozza meg a kúp palástfelületének nagyságát.

(6 pont)

10. Három szám egy mértani sorozat egymás után következ tagjai. A számok összege 42, míg a középs nek és a két széls összegének a szorzata 360. Melyek ezek a számok?

(6 pont)

33




REŠENJA MIN SÍT


MEGOLDÁSOK 1.

2a 4a x a : = = + 2 + x − 4 x + 4 x − 4 x + 2 ( x − 2)2 2a ( x + 2 ) + 4a ( x − 2 ) + a ( x − 2 ) = (x − 2 )2 (x + 2)

2 x − 2) ( ⋅

2

ax 2 + 2ax ax( x + 2) = a, = x(x + 2) x(x + 2 )

2.

2a 4a x a : = + + 2 (x − 2) (x − 2)(x + 2) x + 2 (x − 2)2

2

x

2ax + 4a + 4ax − 8a + ax 2 − 4ax + 4a = = x(x + 2)

(pod uslovima x ≠ ±2 , x ≠ 0 ).

3x 3 + 4 x 2 − 4 x = 3x 2 + 8 x + 4 2 2 x x− x 3x + 4 x − 4 x 3x + 4 x − 4 x(3 x − 2 ) 3 3 = = = = = 2 2 2 2 (3x + 2) 3x + 8 x + 4 3x + 8 x + 4 3( x + 2 ) x + x+ 3 3 2 (pod uslovima x ≠ −2 , x ≠ − ) 3

(

3.

4 −3 x

) (

2

x−

1 2

=3

x+

1 2

−2

2 x −1

4 −3 3 x

x

1 3x 1 3x = x 3− 1− x ⋅ 2 4 3 4 1− t

1 1 =t 3− 2 3

t=

4.

−

3 2

3

=

1 2

3 2

1 2

= 3 3 − 4 x 2 −1 x

3x 3 = x 4 4

smena

/⋅2 3

3

3 2

3 x( x + 2 ) x −

)

2

lg x1 = 1 lg x2 = −1

t2 =1 x1 = 10 x 2 = 10 −1 =

2x

x

=

3 2

2 3 − 2t = 6t − 3

2x

2x = 3

x=

3 2

Uslov rešavanja x > 0 lg x1+lg x = lg 10 x x1+lg x = 10 x / lg (1 + lg x )lg x = lg 10 + lg x smena lg x = t

(1 + t )t = t + 1

/ 4x

t = ±1 1 10

34

=t 8t = 3 3

5.

α : β : γ : δ = 6 : 8 : 9 : 13

α + β + γ + δ = 2π

α + β + γ + δ = 360

6k + 8k + 9k + 13k = 2π

6k + 8k + 9k + 13k = 360

36k = 2π

36k = 360

k = 10

α = 6⋅

α = 6 ⋅10 = 60 β = 8 ⋅ 10 = 80 γ = 9 ⋅10 = 90 δ = 13 ⋅ 10 = 130

6.

γ = 9⋅

18

=

π 18

π

3 π 4π β = 8⋅ = 18 9

π

(

18

=

π

2 π 13π δ = 13 ⋅ = 18 18

)

1 − sin x − cos 2 x − sin 2 x = 0

1 − sin x − cos 2 x = 0

(

π

k=

)

1 − sin x − 1 − sin x − sin x = 0

2 sin x − sin x = 0 1 sin x(2 sin x − 1) = 0 sin x = 0 ∨ sin x = 2 π 5π x = kπ ∨ x = + 2kπ ∨ x = + 2kπ , k ∈ Z 6 6 2

2

2

b

7.

a

a:

3y –x = 9 ⇔ y =

A(x,3) ∈ 3y – x = 9

A(0,3 )

b⊥a P∆ABC

x+9 3 x = 0.

b : y = −3 x + 3 10 ⋅ 3 = = 15 2

C(1,0 )

B(-9,0)

14 x − 25 4x + 4 2

2

2

2

5 , 2 14 x − 25 . p: 2 y − 14 x + 25 = 0 ⇔ y = 2 4 x 2 + 4 y 2 = 25 a) 14 x − 25 k ∩ p y= 2 8. k: 4 x 2 + 4 y 2 = 25 ⇔ x 2 + y 2 =

= 25

4 x 2 + 196 x 2 − 700 x + 625 = 25 200 x 2 − 700 x + 600 = 0 2x 2 − 7 x + 6 = 0 7 ± 49 − 48 2 4 3 x1 = 2 , x2 = 2 x1 =

35

Ta ke preseka su A 2 ,−

3 3 , B ,2 . 2 2 2

2

3 3 + − −2 = AB = 2 − b) dužinu zajedni ke tetive: 2 2 c) centralni ugao koji pripada toj tetivi, na osnovu cosinus pravila ( AB )2 = r 2 + r 2 − r ⋅ r ⋅ cos( AOB∠)

cos( AOB∠ ) =

2r 2 − ( AB ) = r2 2

2

5 2 − 2

5 2 2

2

2

=

50 − 50 =0 50

AOB∠ = 90 .

4 R1 π 4 R2 π : =1: 8 3 3 3

9.

5 2 2

1 49 5 2 + = . 4 4 2

V1 : V2 = 1 : 8

4 R2 π 4 ⋅ 12 3 π ⋅8 = 3 3 H = 2 R2 + R1 + x

3

3

R2 = 24

x : (R1 + R2 + x ) = R1 : R2

R2 x = R1 (R1 + R2 + x ) 2

2

R2 x − R1 x = R1 + R1 R2

R + R1 R2 x= 1 R2 − R1

144 + 288 = 36 12 H = 2 ⋅ 24 + 12 + 36 = 96 x=

x y

R1 R1

R2

R

R2 R

36

y 2 = (R1 + R2 + x ) − R2 = (12 + 24 + 36 ) − 24 2 = 5184 − 576 = 4608 2

2

2

y = 48 2

( y + R )2 = R 2 + H 2 y 2 + 2 Ry + R 2 = R 2 + H 2

R=

H 2 − y 2 9216 − 4608 48 = = = 24 2 2y 96 2 2

s = y + R = 48 2 + 24 2 = 72 2

Omotac = Rsπ = 72 2 ⋅ 24 2π = 3456π .

10.

b Uzastopni lanovi geometrijskog niza: ,b ,bq . Iz uslova q b b + bq = 42 − b Iz zbira tri broja sledi: + b + bq = 42 q q Iz drugog uslova je: b ⋅

b⋅

b + bq = 360 q

b + bq = 360 . Zamenom iz preve jedna ine: q

b(42 − b ) = 360

b 2 − 42b + 360 = 0

42 ± 1764 − 1440 , b1 = 12, b2 = 30 . 2 2 1 Pošto je iz prve jedna ine b + q = 42 , slede dve mogu nosti: q Za b1 = 30 dobijamo jedna inu, koja nema realnih rešenja: 5q 2 − 2q + 5 = 0. Za b2 = 12 dobijamo jedna inu 2q 2 − 5q + 2 = 0 ija su rešenja q1 = 2 i q2 = ½. Prvo rešenje daje brojeve 6, 12, 24, a drugo rešenje daje iste brojeve u suprotnom redosledu. Obe trojke su rešenja zadatka. b1 =

37

SUBOTICA 29.06.1998.

1.

Zaokružiti ta an odgovor: ( x − y) 2 = ? b) x 2 − 2 xy + y 2 ; a) x 2 + y 2 ;

x2 −1 = ( x + 1) 2

2.

Skratiti razlomak:

3.

Rešiti exponencijalnu jedna inu

4.

Zaokružiti ta an rezultat:

a) 1 ;

2 x + 23−x = 6 .

125 ⋅ 625 = 25 c) 4 ; d) 5 .

[6 bodova]

log 5

b) 2 ;

Na i sin 2α i cos 2α ako je sin α =

6.

Na i sva rešenja jedna ine

7.

Data je jedna ina prave: y =

1 ; 6

[6 bodova] [6 bodova]

5.

A 0,

c) x 2 − y 2 .

4 . 5

[6 bodova]

[6 bodova]

2 cos 2 x + 3 sin x − 3 = 0.

[6 bodova]

2 1 x − . Zaokružiti ta ku koja pripada toj pravi. 3 6 1 1 [6 bodova] C 1, . B ,0 ; 2 4

8.

Napisati jedna inu tetive i na i koordinate kranjih ta aka tetive kružnice x 2 + y 2 = 49 , [6 bodova] koju ta ka A(1,2) deli na dva jednaka dela.

9.

Zbir svih neparnih prirodnih brojeva manjih od 1000 je: a) paran broj b) neparan broj c) nula.

10.

[6 bodova]

Ravan paralelna osi pravog valjka se e ga tako da od kruga osnove odseca odse ak kome odgovara centralni ugao od 120o. Ako je visina valjka 10 cm, [6 bodova] a rastojanje ravni od ose valjka 2 cm, izra unati površinu preseka.

38

SZABADKA 1998.06.29.

1.

Karikázza be a helyes választ: ( x − y) 2 = ? a) x 2 + y 2 ; b) x 2 − 2 xy + y 2 ;

c) x 2 − y 2 .

x2 −1 = ( x + 1) 2

[6 pont]

2.

Egyszer sítse a törtet:

3.

Oldja meg az exponenciális egyenletet 2 x + 23−x = 6 .

4.

Karikázza be a helyes választ:

a) 1 ;

125 ⋅ 625 = 25 c) 4 ; d) 5 .

b) 2 ;

[6 pont]

[6 pont]

log 5

[6 pont]

4 5

5.

Határozza meg sin 2α és cos 2α értékét, ha sin α =

6.

Határozza meg az egyenlet minden megoldását: 2 cos 2 x + 3 sin x − 3 = 0. [6 pont]

7.

Adva van az egyenes egyenlete: y = pontot. 1 A 0, ; 6

B

[6 pont]

2 1 x − . Karikázza be az egyeneshez tartozó 3 6

1 ,0 ; 4

C 1,

1 . 2

[6 pont]

8.

Írja fel a x 2 + y 2 = 49 kör azon húrjának az egyenletét, amelynek a felez pontja A(1,2). Határozza meg a húr végpontjainak koordinátáit is. [6 pont]

9.

Az 1000-nél kisebb páratlan természetes számok összege: a) páros szám, b) páratlan szám, c) nulla.

10.

[6 pont]

A hengert a tengelyével párhuzamos síkkal metszettük úgy, hogy az alapkörb l lemetszett körszelethez tartozó középponti szög 120o. Számítsa ki síkmetszet területét, ha a henger magassága 10 cm, a metszet távolsága a henger tengelyét l pedig 2 cm. [6 pont]

39


!


"#$ %

&%

'

REŠENJA MIN SIT VIZSGA MATEMATIKÁBÓL (villamossági és gépészeti szak)

MEGOLDÁSOK 1.

( x − y ) 2 = x 2 − 2 xy + y 2

2.

x2 − 1 ( x − 1)( x + 1) x − 1 , = = 2 ( x + 1) ( x + 1)( x + 1) x + 1

3.

2 x + 23 − x = 6 /⋅ 2 x

(zaokružiti b.)

x+1≠0.

22 x + 8 = 6 ⋅ 2 x

za t = 2 x dobija se t 2 − 6t + 8 = 0 2 =4 x

x1 = 2;

2 =2 x

t1 = 4, t2 = 2

x2 = 1

125 ⋅ 625 53 ⋅ 5 4 = log 5 2 = log 5 55 = 5 log 5 5 = 5 (zaokružiti d). 25 5

4.

log5

5.

sin 2 α + cos 2 α = 1

cos α = ± 1 − sin 2 α 4 5

cosα > 0 . cos α = + 1 −

00<α<900

2

=

3 5

4 3 24 sin 2α = 2 sin α ⋅ cos α = 2 ⋅ ⋅ = 5 5 25

3 cos 2α = cos α − sin α = 5 2

6.

2

2

4 − 5

2

(

2 cos 2 x + 3 sin x − 3 = 0

=−

7 25

)

2 1 − sin 2 x + 3 sin x − 3 = 0 1 Za sin x = t imamo 2t 2 − 3t + 1 = 0 t1 = 1; t 2 = 2

sin x = t1 = 1 sin x = t 2 =

1 2

x1 =

π

2

x2 =

+ 2kπ , k∈ Z.

π 6

+ 2kπ ili x3 =

5π + 2kπ , k∈ Z. 6

40

2 sin 2 x − 3 sin x + 1 = 0.

7.

8.

y=

2 1 x− 3 6

x

0

1 y − 6

1 4

1

0

1 2

zaokružiti B i C.

1 Koeficijent pravca prave p(OA)=2 – sledi jedna ina tetive t: y − 2 = − ( x − 1). 2 2 2 Krajnje ta ke su preseci prave t: x + 2 y = 5 i kružnice x + y = 49 . Metodom zamene dobijamo: (5 − 2 y ) 2 + y 2 − 49 = 0

5 y 2 − 20 y − 24 = 0

20 ± 4 55 5 4 55 x1 = . Krajnje ta ke tetive su: 2 10 5 5 − 4 55 20 + 4 55 N 5 + 4 55 , 20 − 4 55 . , 5 5 10 10

y1 = 2

M

9.

Prvi neparan prirodan broj je 1, dok zadnji koji je manji od 1000 je 999. n(a1 + a n ) n(1 + 999) Pošto je S n = = = 500n , pa je traženi zbir paran broj. 2 2 (Zaokružiti a)

10.

Ravan paralelna osi pravog valjka se e ga tako da od kruga osnove odseca odse ak kome odgovara centralni ugao od 120o. Ako je visina valjka 10 cm, a rastojanje ravni od ose valjka 2 cm, izra unati površinu preseka. Posmatrajmo bazu. Ona je prese ena po tetivi AB, kojoj pripada centralni ugao od r 3 =4 3, 120o . Neposredno se uo avaju slede e injenice: r=4cm, AB = 2 ⋅ 2 pa je tražena površina preseka p= AB ⋅ H = 4 3 ⋅ 10 = 40 3 .

C 60o 60o 2 A

r B

D

41


(elektrotehni ki i mašinski odsek) 1.

Zaokružiti ta an odgovor: x 2 − 6 x + 9 = ? b) ( x + 3) 2 a) ( x − 3) 2

c) ( x − 3)( x + 3)

x2 + 4x + 4 =? x2 − 4


2.

Skratiti razlomak:

3.

Rešiti iracionalnu jedna inu:

4.

Zaokružiti ta no tvr enje: A = 4 − 2 log 2 − log 25 ; b) A=1/2 c) A=3 d) A=1/3 a) A=2

x + 5 − x = 1.

[6 bodova]

[6 bodova]

5.

Iz ta ke A vrh stuba se vidi pod uglom od 30o. Iz ta ke koja ja 10 metara bliža, [6 bodova] vrh stuba se vidi pod uglom od 45o. Kolika je visina stuba?

6.

Na i sva rešenja jedna ine: 2 sin 2 x + 2 sin x − 2 sin x = 2 .

7.

Kolika je površina trougla odre enog pravama p i q i osom Ox, ako je: p: 3 x – y + 4 = 0 i q: x + y – 4 = 0 ? [6 bodova]

8.

Ta ka A(2,-1) pripada krugu koji je oivi en kružnicom (kružnom linijom) ( x − 1) 2 + ( y + 3) 2 = 16 . a) DA b) NE [6 bodova]

9.

Na i bar dve trojke prirodnih brojeva, koji u datom redosledu obrazuju aritmeti ki niz, a ako najve em još dodamo broj 4, tada e obrazovati geometrijski niz. [6 bodova]

10.

Površina drvenog kvadra dimenzija 4✕5✕6cm ofarbana je sa nekom bojom. Kvadar je zatim rase en na kockice dimenzija 1✕1✕1cm. Koliko takvih kockica se dobije a) neofarbanih; b) ofarbanih sa jedne strane; c) ofarbanih sa 2 strane; i d) ofarbanih sa 3 strane? [6 bodova]

42

[6 bodova]


(elektrotechnikai és gépészeti szak) 1.

Jelölje meg a helyes választ: x 2 − 6 x + 9 = ? a) ( x − 3) 2 b) ( x + 3) 2 c) ( x − 3)( x + 3) x2 + 4x + 4 =? x2 − 4

[6 pont]

2.


3.

Oldja meg az iracionális egyenletet:

4.

Karikázza be a helyes választ: A = 4 − 2 log 2 − log 25 ; b) A=1/2 c) A=3 d) A=1/3 a) A=2

[6 pont]

Az A pontból az oszlop csúcsa 30o-os szög alatt látszik. 10 méterrel közelebbr l ez a szög 45o. Milyen magas az oszlop?

[6 pont]

Határozza meg az egyenlet minden megoldását: 2 sin 2 x + 2 sin x − 2 sin x = 2 .

[6 pont]

Mekkora a háromszög területe amelyet a p és a q egyenes zár be az Ox tengellyel, ha: p: 3x – y + 4 = 0 és q: x + y – 4 = 0 ?

[6 pont]

Az A(2,-1) pont illeszkedik a körhöz, amelyet a ( x − 1) 2 + ( y + 3) 2 = 16 körvonal határol. a) IGAZ b) NEM IGAZ

[6 pont]

Irja fel a természetes számok legalább két hármasát, amelyek az adott sorrendben számtani sorozatot alkotnak, de a legnagyobb számot 4-gyel növelve mértani sorozattá alakulnak.

[6 pont]

A 4✕5✕6cm kiterjedés téglatest felszínét befestettük. Ezután a testet 1✕1✕1cm-es kiterjedés kockákra daraboltuk. Hány ilyen kocka van: a) befestetlen; b) 1 oldaláról befestve; c) 2 oldaláról besestve; és d) 3 oldaláról befestve?

[6 pont]

5.

6.

7.

8.

9.

10.

.

43

[6 pont]

x + 5 − x = 1.

[6 pont]




REŠENJA MIN SÍT


MEGOLDÁSOK 1.

x 2 − 6 x + 9 = ( x − 3) 2 ,

2.

x 2 + 4x + 4 (x + 2) = (x + 2) = 2 (x − 2)(x + 2) (x − 2) x −4

odgovor a). 2

3.

Uslovi rešivosti: x + 5 > 0 ∧ x > 0 x>0 x + 5 − 2 x( x + 5) + x = 1 2 x ( x + 5) = 2 x + 4 / : 2 x( x + 5) = x + 2 ↑ 2 x + 5 − x = 1 ↑2

x 2 + 5 = x 2 + 4x + 4 4x = 1 x=

4.

1 4

A = 4 − 2 log 2 − log 25 = log 10 4 − log 2 2 − log 25 = log

10000 = log 100 = 2 , odgovor je a). 4 ⋅ 25

5.

2x 3 = x + 10 2 10 10 3 + 1 x= = = 5 3 +1 2 3 −1

(

x x

45o

10 m

30o

44

) (

)

6. 2 sin 2 x + 2 sin x − 2 sin x = 2 sin x = t

(

)

2t 2 + 2 − 2 t − 2 = 0 t1 =

−2+ 2 ±

(2 − 2 )

2

4 2 sin x = 2 1 sin x = − 2

2

2 2 1 t2 = − 2

t1 =

(

+8 2

)

(

2

−2+ 2 ± 2+ 2 −2+ 2 ± 2+ 2 = = 4 4 3π π x1 = + 2kπ ∨ x 2 = + 2kπ 4 4 11π 7π x3 = + 2kπ ∨ x 4 = + 2kπ 6 6

7.

4+ P= A(0,4)

4 ⋅4 32 3 = 2 3

y = - x+4

y = 3x+4

C(4,0 )

B(-4/3,0)

8.

)

Ako ta ka A(2,-1) pripada krugu koji je oivi en kružnicom (kružnom linijom) ( x − 1) 2 + ( y + 3) 2 = 16 , onda je njeno odstojanje od centra (1,-3) kruga manje od polupre nika kruga r=4. Proverimo: ( 2 − 1 ) 2 + ( −1 + 3 ) 2 = 5 < 4 , zna i odgovor je DA.

9.

lanovi aritmeti kog niza su: a, a+d, a+2d

a + d a + 2d + 4 = a a+d

lanovi geometrijskog niza su: a, a+d, a+2d+4

(a + d )

2

= a(a + 2d + 4 )

a + 2ad + d 2

2

= a + 2ad + 4a 2

a =

d

2

2 Prema tome mogu i su naprimer slede i nizovi Za d = 2 a = 1 , pa je aritmeti ki niz: 1, 3, 5, .... geometrijski niz: 1, 3, 9,... ili za d = 4 a = 4 , pa je aritmeti ki niz: 4, 8, 12, ....geometrijski niz: 4, 8, 16,... 10.

a) neofarbanih=4⋅3⋅2=24 b) ofarbanih sa jedne strane =2⋅3⋅4+2⋅2⋅3+2⋅2⋅4=52 c) ofarbanih sa 2 strane=4⋅4+4⋅3+4⋅2=36 d) ofarbanih sa 3 strane=8

45

! "#

#

%$Subotica

05.07.2000.

1. Faktorisati slede e izraze:

a) 4 x 2 − 25 y 2 = b) 3a 2 + 6ab + 3b 2 =

2.

Rešiti jedna inu :

2 3x − 1 = x + 6 .

3.

Rešiti nejedna inu:

x−3 > 0. 2+ x

4.

Rešiti jedna inu:

log 3 (4 ⋅ 3 x − 1) = 2 x + 1 .

5. Izra unati ostale trigonometrijske funkcije oštrog ugla α , ako je cos α =

4 . 5

6. Rešiti trigonometrijsku jedna inu: 4 sin 2 x − 7 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0 . 7. Sastaviti jedna inu prave koja prolazi kroz presek pravih 2 x + y = 11 i x + y = 8 , a paralelna je sa pravom 5 x + 3 y − 2 = 0 .

8. Ispitati me usobni odnos kružnica: x 2 − 8 x + y 2 + 7 = 0 i x 2 − 8 x + y 2 + 4 y + 19 = 0 . Nacrtati obe krive! 9. Pravougaonik sa stranicom a = 12 cm i dijagonalom d = 13 cm rotira oko kra e stranice. Izra unati zapreminu i površinu nastalog tela.

10. Zbir prva tri lana aritmeti kog niza je 36. Ako se drugi lan pove a za 2, a tre i za 11, niz postaje geometrijski. Odrediti prva tri lana oba niza.

(#

)#&# # % * &+, "# % "#

%# - * & (# .

46

&'( #

) '#&%

Szabadka

2000.07.05.

1. Bontsa tényez kre:

a) 4 x 2 − 25 y 2 = b) 3a 2 + 6ab + 3b 2 =

2.

Oldja meg az egyenletet :

2 3x − 1 = x + 6 .

3.

Oldja meg az egyenl tlenséget:

x−3 > 0. 2+ x

4.

Oldja meg az egyenletet:

log 3 (4 ⋅ 3 x − 1) = 2 x + 1 .

5. Számítsa ki az α hegyesszög többi trigonometrikus szögfüggvényét, ha adott cos α =

4 . 5

6. Oldja meg a trigonometrikus egyenletet: 4 sin 2 x − 7 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0 . 7. Határozza meg annak az egyenesnek az egyenletét amely keresztülhalad a 2 x + y = 11 és x + y = 8 egyenesek metszéspontján, és párhuzamos az 5 x + 3 y − 2 = 0 egyenessel.

8. Vizsgálja ki az x 2 − 8 x + y 2 + 7 = 0 és x 2 − 8 x + y 2 + 4 y + 19 = 0 körök kölcsönös helyzetét. Rajzolja le mindkét görbét! 9. A téglalapot, amelynek egyik oldala a = 12 cm és átlója d = 13 cm megforgatjuk a rövidebb oldala körül. Számítsa ki az így kapott test térfogatát és felszínét.

10. Egy számtani sorozat els három tagjának összege 36. Ha a második tagot megnöveljük 2-vel a harmadikat pedig 11-gyel, mértani sorozatot kapunk. Határozza meg mindkét sorozat els három tagját.

&

/ #&#

0 1** - 2

# 3 3

47

4.



REŠENJA MIN SIT


MEGOLDÁSOK

1.

a) 4 x 2 − 25 y 2 = (2 x − 5 y )(2 x + 5 y )

b) 3a 2 + 6ab + 3b 2 = 3(a 2 + 2ab + b 2 ) = 3(a + b )

2

2. Jedna ina je definisana pod uslovom da je: 3x − 1 ≥ 0 ∧ x+6≥0 1 x≥ ∧ x ≥ −6 3 1 x≥ 3 Rešimo sada jedna inu: 2 3x − 1 = x + 6

/2

4(3 x − 1) = x + 6 12 x − 4 = x + 6 11x = 10 10 11 10 1 x= zadovoljava uslov x ≥ , zna i da se prihvata kao rešenje date jedna ine. 11 3 x=

48

3.

x−3 ≥0 2+ x x x-3 2+x x−3 2+ x

−∞

-2 -2

∞

3 3

– –

– +

+ +

+

–

+

x ∈ (− ∞,−2) ∪ [3,+∞ ) 4.

(

)

log 3 4 ⋅ 3 x − 1 = 2 x + 1

3 2 x +1 = 4 ⋅ 3 x − 1 32 x ⋅ 3 − 4 ⋅ 3 x + 1 = 0 smena : 3 x = t 3t 2 − 4t + 1 = 0 4 ± 16 − 12 6 4±2 = 6

t1 2 = t1 2

1 3 1 3x = 1 3x = 3 x1 = 0 x 2 = −1 Oba rešenja zadovoljavaju datu logaritamsku jedna inu, pa je x ∈ {− 1,0}. t1 = 1

5.

t2 =

4 , 0 < α < 90 5 sin 2 α + cos 2 α = 1 cos α =

3 sin α 5 3 tgα = = = cos α 4 4 5 1 4 ctgα = = tgα 3

16 =1 sin α + 25 9 sin 2 α = 25 3 sin α = + 5 2

6.

4 sin 2 x − 7 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0 / : cos 2 x 4 tg 2 x − 7 tgx + 3 = 0 smena : tgx = t

49

4t 2 − 7t + 3 = 0 t1 2 =

7 ± 49 − 48 7 ± 1 = 8 8

t1 = 1

∨

tgx = 1

∨

x1 =

7.

π 4

+ kπ

6 3 = 8 4 3 tgx = 4 3 x 2 = arctg + kπ 4 t2 =

Presek datih pravih je ta ka: 2 x + y = 11 x+ y =8

x=3 y=5 A(3,5) Prava koja prolazi kroz ovu ta ku A i paralelna je sa datom pravom 5 x + 3 y − 2 = 0 ima isti koeficijent pravca kao i ova prava: − 5x 2 y= + 3 3 5 k1 = − = k 2 3 pa je jedna ina tražene prave, napisana kroz ta ku A: 5 y − 5 = − ( x − 3) 3 3 y − 15 = −5 x + 15 5 x + 3 y − 30 = 0 . 3

8. Prvo rešenje: Transformišimo jedna ine datih kružnica u iz kojeg se ita centar i polupre nik: k1 : x 2 − 8 x + y 2 + 7 = 0 x 2 − 8 x + 16 − 16 + y 2 + 7 = 0

( x − 4 )2 + y 2 = 9 k 2 : x − 8 x + y + 4 y + 19 = 0 2

(x − 4) − 16 + ( y + 2) ( x − 4 )2 + ( y + 2 )2 = 1

2

(x-4)2+y 2=9

2

oblik 1

0

1

2

3

4•

5 (4, 0)

-1

(x-4)2+(y+2)2=1

-2

• (4, -2)

2

2

y

-3

− 4 + 19 = 0

Ako nacrtamo ove kružnice u istom kordinatnom sistemu, vide emo da se oni dodiruju 50

6

7

x

iznutra u ta ci A(4,−3) .

Drugo rešenje: x 2 − 8x + y 2 + 7 = 0

x 2 − 8 x + y 2 = −7

x 2 − 8 x + y 2 + 4 y + 19 = 0 − 7 + 4 y + 19 = 0 4 y = −12 y = −3 x=4 Jedina zajedni ka ta ka datih kružnica je A(4,−3) .

9. b 2 = 13 2 − 12 2 b 2 = 169 − 144 b 2 = 25

b=5cm

b = 5 cm

d=

13

cm

a=12cm

V = BH V = r 2π H

P = 2B + M P = 2 r 2 π + 2 rπ H

V = a 2π b V = 144π 5

P = 2 a 2 π + 2 aπ b P = 288π + 120π

V = 720π cm 3

P = 408π cm 2

a1 + a3 a1 + a 3 = 2a 2 , 2 a1 , a 2 + 2 , a3 + 11 je geometrijski niz, tada je : a 2 + 2 = a1 (a 3 + 11) . je aritmeti ki niz, tada je : a 2 =

10. a1 , a 2 , a 3

Iz uslova zadatka sledi da je :

a1 + a 2 + a3 = 36 2a 2 + a 2 = 36 3a 2 = 36

a 2 = 12

a1 + a 3 = 24

a 3 = 24 − a1

Uvrštavaju i u uslov geometrijskog niza, dobijamo da je:

12 + 2 = a1 (24 − a1 + 11) 14 = a1 (35 − a1 ) 196 = 35a1 − a1

2

2

a1 − 35a1 + 196 = 0 a11 2 =

35 ± 1225 − 784 25 ± 21 = 2 2

51

a1 = 28

∨

a1 = 7

a 2 = 12

a 2 = 12

a 3 = −4

a3 = 17

Jedno rešenje je :

28 ,12 , − 4 je aritmeti ki niz sa d = −16 1 . 28 ,14 , 7 je geometrijski niz sa q = 2

Drugo rešenje je :

7 ,12 ,17 7 ,14 , 28

je aritmeti ki niz sa d = 5 je geometrijski niz sa q = 2 .

52


(elektrotehni ki i mašinski odsek) 1.

Zaokružiti ta an odgovor: x 2 − 6 x + 9 = ? b) ( x + 3) 2 c) ( x − 3)( x + 3) a) ( x − 3) 2 x2 + 4x + 4 =? x2 − 4

2.

Skratiti razlomak:

3.

Rešiti iracionalnu jedna inu:

4.

Zaokružiti ta no tvr enje: A = 4 − 2 log 2 − log 25 ; a) A=2 b) A=1/2 c) A=3 d) A=1/3


x + 5 − x = 1.

[6 bodova]

[6 bodova]

5.

Iz ta ke A vrh stuba se vidi pod uglom od 30o. Iz ta ke koja ja 10 metara bliža, [6 bodova] vrh stuba se vidi pod uglom od 45o. Kolika je visina stuba?

6.

Na i sva rešenja jedna ine: 2 sin 2 x + 2 sin x − 2 sin x = 2 .

7.

Kolika je površina trougla odre enog pravama p i q i osom Ox, ako je: p: 3 x – y + 4 = 0 i q: x + y – 4 = 0 ? [6 bodova]

8.

Ta ka A(2,-1) pripada krugu koji je oivi en kružnicom (kružnom linijom) ( x − 1) 2 + ( y + 3) 2 = 16 . a) DA b) NE [6 bodova]

9.

Na i bar dve trojke prirodnih brojeva, koji u datom redosledu obrazuju aritmeti ki niz, a ako najve em još dodamo broj 4, tada e obrazovati geometrijski niz. [6 bodova]

[6 bodova]

10. Površina drvenog kvadra dimenzija 4✕5✕6cm ofarbana je sa nekom bojom. Kvadar je zatim rase en na kockice dimenzija 1✕1✕1cm. Koliko takvih kockica se dobije a) neofarbanih; b) ofarbanih sa jedne strane; c) ofarbanih sa 2 strane; i d) ofarbanih sa 3 strane? [6 bodova]

53


(elektrotechnikai és gépészeti szak) 1.

Jelölje meg a helyes választ: x 2 − 6 x + 9 = ? a) ( x − 3) 2 b) ( x + 3) 2 c) ( x − 3)( x + 3) x2 + 4x + 4 =? x2 − 4

[6 pont]

2.


3.

Oldja meg az irracionális egyenletet:

x + 5 − x = 1.

[6 pont]

4.

Karikázza be a helyes választ: A = 4 − 2 log 2 − log 25 ; b) A=1/2 c) A=3 d) A=1/3 a) A=2

[6 pont]

Az A pontból az oszlop csúcsa 30o-os szög alatt látszik. 10 méterrel közelebbr l ez a szög 45o. Milyen magas az oszlop?

[6 pont]

Határozza meg az egyenlet minden megoldását: 2 sin 2 x + 2 sin x − 2 sin x = 2 .

[6 pont]

Mekkora a háromszög területe amelyet a p és a q egyenes zár be az Ox tengellyel, ha: p: 3x – y + 4 = 0 és q: x + y – 4 = 0 ?

[6 pont]

Az A(2,-1) pont illeszkedik a körhöz, amelyet a ( x − 1) 2 + ( y + 3) 2 = 16 körvonal határol. a) IGAZ b) NEM IGAZ

[6 pont]

Irja fel a természetes számok legalább két hármasát, amelyek az adott sorrendben számtani sorozatot alkotnak, de a legnagyobb számot 4-gyel növelve mértani sorozattá alakulnak.

[6 pont]

A 4x5x6cm kiterjedés téglatest felszínét befestettük. Ezután a testet 1x1x1cm-es kiterjedés kockákra daraboltuk. Hány ilyen kocka van: a) befestetlen; b) 1 oldaláról befestve; c) 2 oldaláról befestve; és d) 3 oldaláról befestve?

[6 pont]

5.

6.

7.

8.

9.

10.

54

[6 pont]



REŠENJA MIN SIT


MEGOLDÁSOK

1.

x 2 − 6 x + 9 = ( x − 3)

2.

x 2 + 4x + 4 (x + 2) = x + 2 pod uslovom da je x ≠ ±2 . = 2 (x − 2)(x + 2) x − 2 x −4

3.

Jedna ina je definisana pod uslovom da je:

2

, zaokružiti pod a) .

2

x+5> 0

∧

x>0

x > −5

∧ x>0 x>0 Rešimo sada jedna inu: x + 5 = x +1

/2

x + 5 = x + 2 x +1

2 x =4

x =2

x = 4 zadovoljava uslov, pa se prihvata kao rešenje date iracionalne jedna ine.

4.

A = 4 − 2 log 2 − log 25 = 4 − log 2 2 − log 25 = 4 − (log 4 + log 25) = 4 − log(4 ⋅ 25) = = 4 − log 100 = 4 − 2 = 2 , zaokružiti pod a).

5.

Imamo dva pravougla trougla. Ozna imo visinu stuba sa H, a odstojanje ta ke A od stuba sa x. Iz jednog trougla: tg30 =

Iz drugog trougla: tg 45 =

x

3 = x − 10 3

H x

H 3 = x 3

H x − 10

H =1 x − 10

3 3

10 = x 1 −

10 = x − x

55

H=x

3 3

H = x − 10

3 3

10 = x

3− 3 3

x=

30

⋅

3+ 3

3− 3 3+ 3

(

=

)

(

)

30 3 + 3 = 9−3

= 5 3 + 3 = 15 + 5 3 H

H = x − 10 = 15 + 5 3 − 10 =

(

=5+ 5 3 =5 1+ 3

)

45o

zna i da je visina stuba

(

)

H = 5 1 + 3 metara.

6.

•

30o

•

10

A

x

2 sin 2 x + 2 sin x − 2 sin x = 2

(

)

2 sin 2 x + 2 − 2 sin x − 2 = 0

(

u ovoj jedna ini uvedimo smenu sin x = t ,

)

2t 2 + 2 − 2 t − 2 = 0 t1 2 =

−2+ 2 ±

(2 − 2 )

2

4

+ 4⋅2 2

t1 2 =

−2+ 2 ± 4−4 2 +2+8 2 4

(

)

2

(

−2+ 2 ± 2+ 2 −2+ 2 ± 4+4 2 +2 −2+ 2 ± 2+ 2 t1 2 = t1 2 = = 4 4 4 −2+ 2 +2+ 2 2 2 −2+ 2 −2− 2 −4 2 t1 = = = ∨ t2 = = = −1 4 4 2 4 4 2 sin x = sin x = −1 2 3π 3π π x1 = + 2kπ , x 2 = + 2kπ x3 = + 2kπ 4 4 2

7. Nacrtajmo obe prave u istom kordinatnom sistemu: p : 3x − y + 4 = 0 x=0

y=4

y=0

x=−

q: x+ y−4=0

4 3

x=0 y=0

y=4 x=4

4 Ove prave i Ox osa odre uju trougao ija su temena ta ke A − ,0 , B (4,0 ) , C (0,4 ) ; 3 1 osnovica leži na Ox osi i dužina joj je a = 5 , dok je visina h = 4 . Površina trougla je 3 1 5 ⋅4 a⋅h 1 2 prema tome P = = 3 = 2 ⋅ 5 = 10 . 2 2 3 3

56

)

y

8.

Kružnica ( x − 1) + ( y + 3) = 16 ima 2

2

centar u ta ki C (1,−3) i polupre nik r = 4 .

•

•

O •

Ako nacrtamo ovu kružnicu i ta ku A(2,−1)

•

•

•

•

A(2,-1)

•

u istom kordinatnom sistemu, možemo

•

•

C(1,-3)

konstatovati da ta ka A pripada krugu r=4

koji je oivi en datom kružnom linijom.

9. Neka je n prirodan broj. Tada trojku prirodnih brojeva koji obrazuju aritmeti ki niz možemo napisati kao: n, n + d , n + 2d , gde je i d prirodan broj. Ako najve em broju

dodamo još 4 dobi emo niz n, n + d , n + 2d + 4 , koji treba da bude geometrijski niz. n, n + d , n + 2 d

aritmeti ki iz,

n, n + d , n + 2d + 4 geometrijski niz, iz kojeg se može napisati da je

n + d n + 2d + 4 = n n+d

(n + d )2

d 2 = 4n

gde d mora biti prirodan broj, a to se može posti i npr. za

d = +2 n

= n (n + 2d + 4 )

n 2 + 2nd + d 2 = n 2 + 2nd + 4n

n = 1, n = 4, n = 9, n = 16,... Za n = 1

d = 2 , pa se dobijaju nizovi:

Za n = 4

1,3,5

aritmeti ki niz,

1,3,9

geometrijski niz.

d = 4 , pa se dobijaju niyovi: 4,8,12 aritmeti ki niz, 4,8,16 geometrijski niz.

Tražene trojke prirodnih brojeva koji zadovoljavaju date uslove mogu biti naprimer: 1,3,5

ili 4,8,12 .

10. O evidno, zapremina kvadra, to jest broj jedini nih kockica je 120. Kada smo ofarbali telo, tada kocke na temenima budu ofarbane sa tri strane, kocke na ivicama (bez kocki na temenima) budu ofarbane sa dve strane, kocke na stranama tela, bez onih na rubovima bi e ofarbane sa jedne strane a kocke u "dubini" kvadra ne e biti ofarbane. a) 24;

b) 52;

c) 36;

57

d) 8.

x


(elektrotehni ki odsek) x 2 + 4xy + 4 y 2 x 2 − 2xy ⋅ 2 xy + 2 y 2 x − 4y 2

1.

Skratiti razlomak

2.

Zaokružiti ispravnu vrednost broja a) b) c)

[6 bodova]

7 + 48 + 7 − 48 = X .

14 4 ±4

[6 bodova]

3x − 7 7 < . 4 x + 2 15

[6 bodova]

3.

Rešiti nejedna inu

4.

Rešiti jedna inu: log3(5 + 4 log3(x–1))=2

5.

Dokazati identitet:

6.

Odrediti sva rešenja jedna ine sin

7.

Odrediti jedna inu prave koja prolazi kroz ta ku (4,–3) i odseca jednake [6 bodova] odse ke na koordinatnim osama.

8.

Odrediti jedna ine onih tangenti kružnice x 2 + 2 x + y koje sa osom Ox zaklapaju ugao od 45o.

9.

10.

[6 bodova]

sin 2α cos α α ⋅ = tan 1 + cos 2α 1 + cos α 2

[6 bodova]

x + cos x = 1 2

[6 bodova]

2

−1= 0

Odrediti prvi lan i koli nik (a1 i q) geometrijskog niza, ako je: a1 + a5 = 1285 i a2 ⋅ a4 = 6400.

[6 bodova]

[6 bodova]

Rotiramo jednakokraki trapez oko ve e osnove. Izra unati zapreminu dobijenog rotacionog tela, ako su osnove trapeza a = 9, b = 3 a kraci: c = 5. [6 bodova]

58


(mašinski odsek) 3a 2 + −3ab 6ab − 6b 2

1.

Skratiti razlomak:

2.

1 Izra unati: 3 3

3.

Rešiti jedna inu po nepoznatoj x: a

4.

Odrediti ispravan odgovor: log2 8 – 2 log3 9 – log1/5 5 =A a) A=1 b) A = –1 c) A=0

6

3 5

6

1 − 2 5

[6 bodova] 13

5 11

13

x–7

=

[6 bodova]

= a7–x.

[6 bodova]

[6 bodova]

5.

Dokazati identi nost

2 sin α − sin 2α α = tan 2 2 sin α + sin 2α 2

[6 bodova]

6.

Rešiti jedna inu 3 cos 2 x − sin 2 x − sin 2 x = 0

[6 bodova]

7.

Odrediti jedna inu prave koja prolazi kroz ta ku (4,–3) i odseca jednake [6 bodova] odse ke na koordinatnim osama.

8.

Odrediti centar i polupre nik kružnice x 2 + y kao dužinu njene tetive koja pripada Ox osi.

2

− 2x − 2 y − 8 = 0 , [6 bodova]

9.

Odrediti prvi lan i razliku (a1 i d) aritmeti kog niza, ako je dato: [6 bodova] a n = 21, n = 7 i S n = 105.

10.

Rotiramo pravilan šestougao oko duže dijagonale. Izra unati zapreminu dobijenog rotacionog tela, ako je stranica estougla a = 10. [6 bodova]

59


(elektrotechnikai szak) x 2 + 4xy + 4 y 2 x 2 − 2xy ⋅ 2 törtet xy + 2 y 2 x − 4y 2

1.

Egyszer sítse a

2.

Karikázza be X helyes értékét, ha a) b) c)

[6 pont]

7 + 48 + 7 − 48 = X .

14 4 ±4

[6 pont]

3x − 7 7 < . 4 x + 2 15

[6 pont]

3.

Oldja meg az egyenl tlenséget

4.

Oldja meg az egyenletet: log3(5 + 4 log3(x–1))=2

5.

Igazolja a

6.

Határozza meg a sin

7.

Határozzuk meg annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad a (4,–3) ponton és a koordinátatengelyekb l egyenl szakaszokat metsz le. [6 pont]

8.

Határozza meg az x 2 + 2 x + y 2 − 1 = 0 körhöz húzható érint k közül azokat [6 pont] amelyek az Ox tengellyel 45o-os szöget zárnak be.

9.

Határozza meg a mértani sorozat els elemét és hányadosát (a1 és q), ha a1 + a5 = 1285 és a2 ⋅ a4 = 6400.

10.

sin 2α cos α α ⋅ = tan azonsságot! 1 + cos 2α 1 + cos α 2 x + cos x = 1 egyenlet minden megoldását! 2

[6 pont] [6 pont]

[6 pont]

[6 pont]

Forgassunk meg egy egyenl szárú trapézt a nagyobb alapja körül! Mekkora a kapott forgástest térfogata, ha a párhuzamos oldalak a = 9 és b = 3, a szárak pedig: c = 5? [6 pont]

60


(gépészeti szak) 3a 2 + −3ab 6ab − 6b 2

törtet!

[6 pont]

1.

Egyszer sítse a

2.

1 Számítsa ki: 3 3

3.

Oldja meg az egyenletet x ismeretlenre a

4.

Állapítsa meg a helyes választ: log2 8 – 2 log3 9 – log1/5 5 =A a) A=1 b) A = –1 c) A=0

6

3 5

6

1 − 2 5

13

5 11

13

= x–7

[6 pont]

= a7–x.

2 sin α − sin 2α α = tan 2 azonsságot! 2 sin α + sin 2α 2

[6 pont]

[6 pont]

5.

Igazolja a

6.

Határozza meg a 3 cos 2 x − sin 2 x − sin 2 x = 0 egyenlet megoldásait!

7.

Határozzuk meg annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad a (4,–3) [6 pont] ponton és a koordinátatengelyekb l egyenl szakaszokat metsz le.

8.

Határozza meg az x 2 + y 2 − 2 x − 2 y − 8 = 0 kör középpontját és sugarát, [6 pont] valamint Ox tengelyb l kimetszett húrjának hosszúságát.

9.

Határozza meg a számtani sorozat els elemét és különbségét (a1 és d), ha a n = 21, n = 7 és S n = 105. [6 pont]

10.

Forgassunk meg egy szabályos hatszöget a nagyobb átlója körül, és számítsuk ki a keletkezett forgástest térfogatát, ha a hatszög oldala a = 10. [6 pont]

61

[6 pont] [6 pont]


!


&%

'

REŠENJA MIN SIT

VIZSGA MATEMATIKÁBÓL (villamossági szak)

MEGOLDÁSOK

x (x − 2 y ) x 2 + 4 xy + 4 y 2 x 2 − 2 xy ( x + 2 y ) x ⋅ 2 = ⋅ = 2 2 y (x + 2 y ) ( x − 2 y )( x + 2 y ) y xy + 2 y x − 4y 2

1.

pod uslovom da je y ≠ 0 i x ≠ ±2 y .

2.

3

1 3

6

3 5

6

− 2

1 5

13

5 11

3.

a x −7 = a 7− x

4.

log 3 (5 + 4 log 3 ( x − 1)) = 2

−

11 5 ⋅ 5 11

2 x = 14

13

= 2 6 − 113 = 64 − 1 = 63

x=7

5 + 4 log 3 ( x − 1) = 3 2

log 3 ( x − 1) = 1

1 3 = tgα 4

4 3

ctgα =

tgα =

4 3

sin α 4 = cos α 3

sin 2 α + cos 2 α = 1

sin α =

6

x=4

tgα =

cos α = −

10 3 ⋅ 3 5

=

x−7=7− x

x − 1 = 31

5.

13

sin α =

4 cos α 3

16 cos 2 α + cos 2 α = 1 9

3 5

4 cos α 4 3 4 =− = ⋅ − 3 3 5 5

62

25 cos 2 α = 9

cos α = ±

3 5

6.

sin

x + cos x = 1 2

sin sin

7.

sin

x x = 2 sin 2 2 2

x x 1 − 2 sin =0 2 2

x =0 2

∨

x 1 = 2 2

sin

x = kπ 2

x π = + 2kπ 2 6

x1 = 2kπ

x2 =

x y + =1 ∧ m = n m n x y + =1 1 1

8.

x = 1 − cos x 2

sin

π 3

+ 4kπ

4 −3 + =1 n n

x y + =1 n n

x + y =1

x 5π = + 2kπ 2 6 5π x3 = + 4kπ 3

∨

1 =1 n

n =1

x + y − 1 = 0 je jedna ina tražene prave.

x 2 + 2x + y 2 − 1 = 0

(x + 1)2 + y 2 = 2

x 2 + 2x + 1 + y 2 − 2 = 0

C (− 1,0 ) ∧ r = 2

t1 2 : y = kx + n k = tgα = tg 45 = 1 y = x+n

(

)

uslov dodira: r 2 1 + k 2 = (kp − q + n )

2

2(1 + 1) = (1 ⋅ (− 1) − 0 + n ) 4 = (n − 1)

2

2

n − 1 = ±2

n1 = 3 , n 2 = −1

pa su jedna ine traženih tangenti: t1 : y = x + 3

9.

Sn =

n (a1 + a 2 ) 2

a n = a1 + (n − 1) d

105 =

7 (a1 + 21) 2

21 = 9 + 6d

a1 = 9 d =2

traženi niz je: 9,11,13,15,17,19,21,...

63

i

t2 : y = x − 1 .

10. r =

a 3 2

V = 2Vkupe + Vvaljka

Vkupe =

BH r 2π a 3a 2 π a a 3π 1000π = ⋅ = ⋅ ⋅ = = = 125π 3 3 2 4 3 2 8 8

Vvaljka = BH = r 2π a = 25 ⋅ 3 ⋅ 10π = 750π V = 2 ⋅ 125π + 750π = 1000π

je volumen rotacionog tela.

64


"#$ %

&%


'

REŠENJA MIN SIT

VIZSGA MATEMATIKÁBÓL (gépészeti szak)

MEGOLDÁSOK

1.

2.

3.

3a 2 − 3ab 3a(a − b ) a = = pod uslovom da je b ≠ 0 i a ≠ b . 6ab − 6b 2 6b(a − b ) 2b

3

1 3

6

3 5

6

− 2

a x −7 = a 7− x

1 5

13

5 11

13

=

x−7=7− x

4. log 2 8 - 2 log 3 9 - log 5 5 = A

5.

sin α =

4 5

6

−

11 5 ⋅ 5 11

2 x = 14

= 2 6 − 113 = 64 − 1 = 63

x=7

A = 3 − 2 ⋅ 2 − 1 = 3 − 4 − 1 = −2

cos α = − 1 − sin 2 α

16 9 3 =− =− 5 25 25

4 sin α 4 tgα = = 5 =− 3 cos α 3 − 5 1 3 ctgα = =− tgα 4

6.

13

A = −2

90 < α < 180

cos α = ± 1 − sin 2 α

cos α = − 1 −

10 3 ⋅ 3 5

3 cos 2 x − sin 2 x − sin 2 x = 0

65

zbog drugog kvadranta,

3 cos 2 x − sin 2 x − 2 sin x cos x = 0 / cos 2 x

gde je cosx ≠ 0

3 − tg 2 x − 2 tgx = 0 tg 2 x + 2 tgx − 3 = 0 t 2 + 2t − 3 = 0

tgx = t t1 2 =

t1 = 1

− 2 ± 4 + 12 − 2 ± 4 = 2 2

∨

t 2 = −3

tgx = 1 x1 =

7.

π 4

tgx = −3

x y + =1 ∧ m = n m n x y + =1 1 1

8.

x 2 = arctg(− 3) + kπ

+ kπ

x2 +y

2

x y + =1 n n

x + y =1

4 −3 + =1 n n

x + y −1= 0

k∈Z

,

1 =1 n

je jedna ina tražene prave.

− 2x − 2 y − 8 = 0

x 2 − 2x + y 2 − 2 y − 8 = 0

(x − 1)2 − 1 + ( y − 1)2 − 1 − 8 = 0 (x − 1)2 + ( y − 1)2 = 10

9.

Sn =

n (a1 + a 2 ) 2

a n = a1 + (n − 1) d

105 =

C (1,1) ,

7 (a1 + 21) 2

21 = 9 + 6d

r = 10

a1 = 9 d =2

traženi niz je: 9,11,13,15,17,19,21,...

10. r =

a 3 2

V = 2Vkupe + Vvaljka Vkupe =

BH r 2π a 3a 2 π a a 3π 1000π = ⋅ = ⋅ ⋅ = = = 125π 3 3 2 4 3 2 8 8

Vvaljka = BH = r 2π a = 25 ⋅ 3 ⋅ 10π = 750π V = 2 ⋅ 125π + 750π = 1000π

n =1

je volumen rotacionog tela.

66

VIŠA TEHNI KA ŠKOLA SUBOTICA

06.09.2001.

KANDIDAT:_______________________________ 1.

Zaokružite ta an rezultat: a)

−

x2 −9 = x 2 + 6x + 9

1 6x

Konkursni broj:___________

x−3 x+3

b)

[6 bodova]

2.

Rešiti jedna inu:

2 3x − 1 = x + 7

[6 bodova]

3.

Rešiti jedna inu:

2 3− x = 32

[6 bodova]

4.

Zaokružiti ta an odgovor: log 2 4 + log 3 27 – log 5 1 = a) 5 b) 30

[6 bodova]

3 15 i cos β = . 5 17 [6 bodova]

5.

Izra unati vrednost od sin (α – β) za oštre uglove α i β, ako je sin α =

6.

Rešiti jedna inu:

7.

Kroz ta ku A (2,3) postaviti pravu paralelnu sa pravom 2x – 3y + 1 = 0.

8.

Odrediti dužini zajedni ke tetive parabole y 2 = 3 x i kružnice x 2 + y 2 = 4 .[6 bodova]

9.

Izra unati površinu i zapreminu lopte opisane oko kocke ivice a = 2 3 .

10.

Izra unati zbir prvih 10 lanova aritmeti kog niza, ako je diferencija (razlika) d = 3, [6 bodova] a šesti lan je a 6 = 16.

2 sin x cos x – cos x = 0

67

[6 bodova]

[6 bodova]

[6 bodova]

SZABADKAI M SZAKI F ISKOLA

2001.09.06.

A PÁLYÁZÓ NEVE:_____________________________________, Jelentkezési szám:______ 1.

x2 −9 Karikázza be a helyes választ: 2 = x + 6x + 9 1 x−3 a) − b) 6x x+3

[6 pont]

2.


2 3x − 1 = x + 7

[6 pont]

3.


2 3− x = 32

[6 pont]

4.

Karikázza be a helyes választ: log 2 4 + log 3 27 – log 5 1 = a) 5 b) 30

[6 pont]

3 15 i cos β = . 5 17 [6 pont]

5.

Számítsa ki sin (α – β) értékét, ha α és β, hegyes szögek és sin α =

6.


7.

Az A (2,3) ponthoz illesszen a 2x – 3y + 1 = 0 egyenessel párhuzamos egyenest.

8.

Határozza meg az y 2 = 3 x parabola és az x 2 + y 2 = 4 kör közös húrjának hosszúságát. [6 pont]

9.

Számítsa ki az a = 2 3 cm él kocka köré írt gömb felszínét és térfogatát.

10.

Számítsa ki a számtani sorozat els 10 tagjának összegét, ha a sorozat differenciája [6 pont] (különbsége) d = 3, a hatodik tagja pedig a 6 = 16.

2 sin x cos x – cos x = 0

68

[6 pont]

[6 pont]

[6 pont]



REŠENJA MIN SIT


MEGOLDÁSOK

1.

(x − 3)(x + 3) = x − 3 pod usovom da je x ≠ −3 . Zaokružiti b). x2 − 9 = 2 x+3 x + 6x + 9 ( x + 3) 2

2.

Jedna ina je definisana pod uslovom da je :

3x − 1 ≥ 0 1 x≥ 3 x≥

∧

x+7≥0

∧

x ≥ −7

1 3

Rešimo sada jedna inu:

2 3x − 1 = x + 7 4(3 x − 1) = x + 7 12 x − 4 = x + 7 11x = 11 x =1

/2

x = 1 zadovoljava uslov x ≥

3.

1 , zna i da se prihvata kao rešenje date iracionalne jedna ine. 3

2 3− x = 32

2 3− x = 2 5 3− x = 5 x = −2 je rešenje date eksponencijalne jedna ine.

4.

log 2 4 + log 3 27 - log 5 1 = 2 + 3 − 0 = 5 , zaokružiti a).

69

5.

0 < α < 90

sin α =

3 5

cos β =

15 17

0 < β < 90

,

cos α = + 1 − sin 2 α = 1 −

sin β = + 1 − cos 2 β = 1 −

sin (α − β ) = sin α cos β − cos α sin β = sin (α − β ) =

6.

9 16 4 = = 25 25 5 225 = 289

64 8 = 289 17

3 15 4 8 45 32 13 ⋅ − ⋅ = − = 5 17 5 17 85 85 85

13 . 85

2 sin x cos x − cos x = 0

cos x (2 sin x − 1) = 0 cos x = 0 x1 =

π 2

∨

2 sin x − 1 = 0

+ kπ

sin x = x2 =

7.

π 6

1 2 + 2kπ

x3 =

5π + 2kπ 6

,

Odredimo prvo koeficijent pravca date prave: 2 x − 3 y + 1 = 0 Zbog paralelnosti koeficijent pravca druge prave je k 2 = k1 = Jedna ina prave kroz datu ta ku glasi: y − 3 = 3 y − 9 = 2x − 4 2x − 3 y + 5 = 0

k∈Z

y=

2x + 1 3

2 . 3

2 (x − 2) . 3

je jedna ina tražene prave.

8. Na imo prvo prese ne ta ke parabole i kružnice:

y 2 = 3x x2 + y2 = 4 x 2 + 3x = 4 x 2 + 3x − 4 = 0 − 3 ± 9 + 16 2 x1 = 1 x 2 = −4

x1 2 =

za x 2 = −4 parabola nije definisana, zna i da je apscisa prese nih ta aka x = 1 . x =1

y2 = 3

y1 2 = ± 3

(

) (

)

A 1, 3 , B 1,− 3 su prese ne ta ke.

70

k1 =

2 . 3

Dužina zajedni ke tetive je dužina duži AB :

AB =

9.

(1 − 1)2 + (

3+ 3

)

2

= 0 + 4 ⋅ 3 = 4 ⋅ 3 = 2 3 je dužina zajedni ke tetive.

4 R 3π Površina lopte je P = 4R π , zapremina je V = , gde je R polupre nik lopte. 3 2

Kod lopte opisane oko kocke polupre nik je polovina od prostorne dijagonale:

R=

D a 3 2 3⋅ 3 = = =3 , 2 2 2

P = 4 ⋅ 9π = 36π ,

V =

4 ⋅ 27π = 36π . 3

10. a 6 = 16

a1 + 5d = 16

a1 + 5 ⋅ 3 = 16

a1 = 1 je prvi lan niza.

Traženi zbir prvih deset lanova aritmeti kog niza je: S10 =

n (2a1 + (n − 1) d ) = 10 (2 + 9 ⋅ 3) = 5 ⋅ 19 = 95 . 2 2

71


KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE (Zaokružite odgovor ili odgovore koje smatrate ispravnim!) 1.

Na i uproš eni oblik izraza:

C.

a+7 a −7

Odrediti vrednost izraza: 100 − 64 − 100 − 64 = A. 1 B. 4

C.

–4

Na i rešenje iracionalne jedna ine 17 − 3 x = 11 A. 1 B. 4

C.

–4

Rešiti nejedna inu x 2 − 6 x + 5 ≤ 0 A. (-∞,1] B. [1,5]

C. [5, ∞)

1 a−7

A.

2.

3.

4.

5.

6.

a 2 + 14a + 49 = a 2 − 49 1 B. a+7

(

)

Odrediti rešenje eksponencijalne jedna ine 1000 ⋅ 10 x = x 100 2 A. 1 B. 4 C.

–4

Koja su rešenja trigonometrijske jedna ine tgx + 5ctgx = 6 A.

π 4

+ kπ

B.

π 3

+ kπ

C.

π 6

+ kπ

7.

Na i jedna inu prave, koja je normalna na pravu 2 x − y + 3 = 0 , i prolazi kroz ta ku A(1,4). B. 2 x − y − 9 = 0 C. x + 2 y − 9 = 0 A. 2 x + y + 3 = 0

8.

Kolika je dužina tetive koju odseca kružnica x 2 + y 2 = 25 na pravoj y = x + 1 ? A.

9.

7 2

B.

2 7

C.

14

Pravougli trougao sa jednom katetom dužine 5 i hipotenuzom dužine 13 rotiramo oko duže katete. Kolika je zapremina tako nastalog tela? B. 1000π C. 10π A. 100π

10.

Tri broja obrazuju aritmeti ki niz, njihov zbir je 15. Dodamo li prvom broju 1, drugom broju 4, a tre em 19, dobija se geometrijski niz. Na i ta tri broja! A. 2, 5, 8 B. 26, 6, –17 C. –3, 8, 10 --------------------------------------------------------------------------------------------------------SVAKI ZADATAK SE VREDNUJE NAJVIŠE SA 6 BODOVA. MAKSIMALNI BROJ BODOVA JE 60.

72


MIN SÍT


(A helyes választ vagy válaszokat kérjük karikázza be!) 1.

Egyszer sítse a következ kifejezést: 1 a−7

A.

2.

B.

a 2 + 14a + 49 = a 2 − 49 1 a+7

(

a+7 a −7

C.

)

Határozza meg a 100 − 64 − 100 − 64 = kifejezés értékét: A. 1 B. 4 C.

–4

3.

Határozza meg a 17 − 3 x = 11 irracionális egyenlet megoldását: A. 1 B. 4 C. –4

4.

Oldja meg az x 2 − 6 x + 5 ≤ 0 egyenl tlenséget: B. [1,5] A. (-∞,1]

5.

6.

C. [5, ∞)

Oldja meg az 1000 ⋅ 10 x = x 100 2 exponenciális egyenletet: A. 1 B. 4 C.

–4

Mely számok a tgx + 5ctgx = 6 trigonometriai egyenlet megoldásai? A.

π 4

+ kπ

B.

π 3

+ kπ

C.

π 6

+ kπ

7.

Melyik egyenes mer leges a 2 x − y + 3 = 0 egyenesre és áthalad az A(1,4) ponton is? A. 2 x + y + 3 = 0 B. 2 x − y − 9 = 0 C. x + 2 y − 9 = 0

8.

Mekkora hosszúságú húrt metsz ki a x 2 + y 2 = 25 kör az y = x + 1 egyenesb l? A.

9.

7 2

B.

2 7

C.

14

A derékszög háromszög egyik befogójának hossza 5, átfogója pedig 13. Forgassuk meg a háromszöget a hosszabb befogója körül. Mekkora a keletkezett forgástest térfogata? B. 1000π C. 10π A. 100π

10.

Három szám számtani sorozatot alkot, összegük 15. Ha a számokat sorban 1-gyel, 4-gyel és 19-cel növeljük, mértani sorozatot nyerünk. Melyik ez a három szám? A. 2, 5, 8 B. 26, 6, –17 C. –3, 8, 10 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------MINDEN FELADAT LEGFELJEBB 6 PONTTAL ÉRTÉKELHET . A MAXIMÁLIS PONTSZÁM 60.

73




REŠENJA MIN SÍT


MEGOLDÁSOK

(a + 7 ) = a + 7 , a ≠ −7 a 2 + 14a + 49 = 2 a − 49 (a − 7)(a + 7 ) a − 7 2

1.

( 100 −

)

2.

100 − 64 −

3.

17 − 3 x = 11

17 − 11 = 3 x

4.

x 2 − 6x + 5 ≤ 0

(x − 1)(x − 5) ≤ 0 (x − 1) ≥ 0 ∧ (x − 5) ≤ 0

5.

1000 ⋅ 10 = 100 x

x +3=

6. 7.

tg

π 4

2

10

+ kπ = ctg

π 4

tg

y = 2x + 3

P(3,4), Q(–4,–3)

x=4 x∈[1,5]

4 x

π 4

+ kπ + 5ctg

2

π 4

+ kπ = 6

kp = 2 ,

q: y − 4 = −

x 2 + (x + 1) = 25

x 2 + x − 12 = 0

x =2

x1 = 1, x 2 = −4

+ kπ = 1

1 k p = − , A∈q 2

x 2 + y 2 = 25 y = x +1

3 x =6

= 10

x +3

4 2 x + 3x − 4 = 0 x

p: 2 x − y + 3 = 0 q⊥ p

8.

x

64 = 36 − 100 + 64 = 6 − 10 + 8 = 4

1 (x − 1) 2

q: x + 2 y − 9 = 0

2 x 2 + 2 x − 24 = 0

x1 = 3, x 2 = −4

y1 = 4, y 2 − 3

PQ= 49 + 49 = 7 2

9.

a = 5, c = 15 b = c 2 − a 2 = 169 − 25 = 12 1 1 V = r 2 π H = ⋅ 25 ⋅ π ⋅ 12 = 100 ⋅ π 3 3

10.

2 + 5 + 8 = 15, 5 – 2 = 8 – 5, 2+1=3, 5+4=9, 8+19=27 3, 9, 27,

a = r, b = H

9:3 = 27:9

74

VIŠA TEHNI KA ŠKOLA SUBOTICA 06.09.2002. KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE (Zaokružite odgovor ili odgovore koje smatrate ispravnim!) 1.

Na i uproš eni oblik izraza:

C.

x+6 x−6

Odrediti vrednost izraza: 100 − 36 − 100 − 36 = A. 1 B. 4

C.

–4

Na i rešenje iracionalne jedna ine 17 − 3 x = 11 A. 1 B. 4

C.

–4

Rešiti nejedna inu x 2 − 6 x + 5 ≥ 0 A. (-∞,1] B. [1,5]

C. [5, ∞)

Odrediti rešenje eksponencijalne jedna ine 10 x = x 100 2 A. 1 B. 2

C.

1 x−6

A. 2.

3.

4.

5.

6.

x 2 + 12 x + 36 = x 2 − 36 1 B. x+6

(

)

–4

Koja su rešenja trigonometrijske jedna ine tgx + 5ctgx = 6 A.

π 4

+ kπ

B.

π 3

+ kπ

C.

π 6

+ kπ

7.

Na i jedna inu prave, koja je paralelna sa pravom 2 x − y + 3 = 0 , i prolazi kroz ta ku A(1,4). B. 2 x − y + 2 = 0 C. x + 2 y − 9 = 0 A. 2 x + y + 3 = 0

8.

Kolika je dužina tetive koju odseca kružnica x 2 + y 2 = 25 na pravoj y = x + 1

9.

7 2 B. 2 7 C. 14 A. Pravougli trougao sa jednom katetom dužine 5 i hipotenuzom dužine 13 rotiramo oko kra e katete. Kolika je zapremina tako nastalog tela? A. 24π B. 2400π C. 240π

10.

Tri broja obrazuju aritmeti ki niz, njihov zbir je 15. Dodamo li prvom broju 1, drugom broju 4, a tre em 19, dobija se geometrijski niz. Na i ta tri broja! A. 2, 5, 8 B. 26, 6, –17 C. –3, 8, 10 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------SVAKI ZADATAK SE VREDNUJE NAJVIŠE SA 6 BODOVA. MAKSIMALNI BROJ BODOVA JE 60.

75

M SZAKI F ISKOLA SZABADKA 2002.09.06. MIN SÍT


(A helyes választ vagy válaszokat kérjük karikázza be!) 1.

Egyszer sítse a következ kifejezést: 1 x−6

A. 2.

B.

x 2 + 12 x + 36 = x 2 − 36 1 x+6

(

x+6 x−6

C.

)

Határozza meg a 100 − 36 − 100 − 36 = kifejezés értékét: A. 1 B. 4 C.

–4

3.

Határozza meg a 17 − 3 x = 11 irracionális egyenlet megoldását: A. 1 B. 4 C. –4

4.

Oldja meg az x 2 − 6 x + 5 ≥ 0 egyenl tlenséget: A. (-∞,1] B. [1,5]

C. [5, ∞)

Oldja meg az 10 x = x 100 2 exponenciális egyenletet: A. 1 B. 2

C.

5.

6.

–4

Mely számok a tgx + 5ctgx = 6 trigonometriai egyenlet megoldásai? A.

π 4

+ kπ

B.

π 3

+ kπ

C.

π 6

+ kπ

7.

Melyik egyenes párhuzamos a 2 x − y + 3 = 0 egyenessel és áthalad az A(1,4) ponton is? A. 2 x + y + 3 = 0 B. 2 x − y + 2 = 0 C. x + 2 y − 9 = 0

8.

Mekkora hosszúságú húrt metsz ki a x 2 + y 2 = 25 kör az y = x + 1 egyenesb l? A.

9.

7 2

B.

2 7

C.

14

A derékszög háromszög egyik befogójának hossza 5, átfogója pedig 13. Forgassuk meg a háromszöget a rövidebb befogója körül. Mekkora a keletkezett forgástest térfogata? A. 24π B. 2400π C. 240π

10.

Három szám számtani sorozatot alkot, összegük 15. Ha a számokat sorban 1-gyel, 4-gyel és 19-cel növeljük, mértani sorozatot nyerünk. Melyik ez a három szám? A. 2, 5, 8 B. 26, 6, –17 C. –3, 8, 10 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------MINDEN FELADAT LEGFELJEBB 6 PONTTAL ÉRTÉKELHET . A MAXIMÁLIS PONTSZÁM 60.\

76




REŠENJA MIN SÍT


MEGOLDÁSOK

(x + 6) = x + 6 , x ≠ 6 x 2 + 12 x + 36 = 2 (x − 6)(x + 6) x − 6 x − 36 2

1.

( 100 −

)

36 = 64 − 100 + 36 = 8 − 10 + 6 = 4

2.

100 − 36 −

3.

17 − 3 x = 11

17 − 11 = 3 x

4.

x 2 − 6x + 5 ≥ 0

(x − 1)(x − 5) ≥ 0

5.

10 = 100

10 = 10

6.

x

tg

4

x

2

+ kπ = ctg

π 4

q

p

x=

tg

y = 2x + 3

k q = 2 , A∈q

x 2 + y 2 = 25 y = x +1

4 x

+ kπ = 1

p: 2 x − y + 3 = 0

7.

8.

π

x

3 x =6

P(3,4), Q(–4,–3)

4

2

x=4

x ≤ 1∨ x ≥ 5

x ∈ (− ∞,1] ∪ [5,+∞ )

4 x

x=2

x2 = 4

+ kπ + 5ctg

π 4

+ kπ = 6

kp = 2 ,

q: y − 4 = 2( x − 1)

x 2 + (x + 1) = 25

x 2 + x − 12 = 0

π

x =2

q: 2 x − y + 2 = 0

2 x 2 + 2 x − 24 = 0

x1 = 3, x 2 = −4

y1 = 4, y 2 − 3

PQ= 49 + 49 = 7 2

9.

a = 5, c = 15 b = c 2 − a 2 = 169 − 25 = 12 1 1 V = r 2π H = ⋅ 144 ⋅ π ⋅ 5 = 240 ⋅ π 3 3

10.

2 + 5 + 8 = 15, 5 – 2 = 8 – 5, 2+1=3, 5+4=9, 8+19=27 3, 9, 27, 9:3 = 27:9

77

b = r, a = H

Viša tehni ka škola Subotica

03.07.2003.


1. Zaokružiti ta an odgovor: 1 −

a)

1

2. Rešenje nejedna ine a)

[3,4)

x 3x 2 +1 = : 2 x −1 1− x

b)

x ∈ {− 1,1}

1 + 2x 1+ x

c)

1 + 2x 1+ x

c)

(−∞,3) ∪ (4, ∞)

c)

x ∈ {1}

2x − 3 > 3 je interval: 4−x

b)

3. Zaokružiti ta no rešenje jedna ine 2 a)

−

b)

(3, 4) x +1 x

1 ⋅ 2

x +1

= 1.

x∈ ∅

4. Zaokružiti ta no rešenje jedna ine log(5 − x ) − 2 log 3 − x = 1 . a)

x∈ ∅

b)

x∈

25 9

5. Izra unati sin 2α , cos 2α , tg 2α , ako je cos α =

c) x ∈ {3,5} 5 3π , < α < 2π . 13 2

6. Rešiti trigonometrijsku jedna inu 2 sin 2 x − cos x = 1 . 7. Odrediti jedna inu prave koja sadrži ta ku A(1,2) i normalna je na pravu p : 2 x + 3 y − 1 = 0 . 8. Odrediti jedna inu kružnice ako joj je centar u ta ki C (3,3) i ta ka A(3,0) pripada kružnici. 9. Pravougli trapez osnovica a = 9cm i b = 2cm i dužeg kraka 25cm rotira oko manje osnovice. Izra unati površinu i zapreminu nastalog tela. Zaokružiti ta an odgovor: a) P = 828 π cm 2 , V = 6528 π cm 3 b) P = 1608 π cm 2 , V = 6528 π cm 3 c) P = 1608 π cm 2 , V = 3840 π cm 3 10. Zbir tri broja koji ine geometrijski niz je 28. Ako se najve i broj umanji za 4, dobijaju se tri broja koji obrazuju aritmeti ki niz. Na i te brojeve.

Svaki zadatak se vrednuje maksimalno sa 6 bodova! Želimo Vam uspešan rad! 78

M szaki F iskola Szabadka

2003.07.23.

MIN SÍT VIZSGA MATEMATIKÁBÓL 1. Karikázza be a helyes válasz el tti bet t: 1 −

a)

2. A a)

−

1 + 2x 1+ x

c)

1 + 2x 1+ x

2x − 3 > 3 egyenl tlenség megoldáshalmaza az alábbi intrevallumok egyike: 4−x

[3,4)

3. Karikázza be a 2 a)

b)

1

x 3x 2 +1 = : 2 x −1 1− x

b) x +1 x

x ∈ {− 1,1}

1 ⋅ 2

c)

(3, 4)

(−∞,3) ∪ (4, ∞)

x +1

= 1 egyenlet megoldása el tt álló bet t:

b)

x∈ ∅

c)

x ∈ {1}

4. Karikázza be a log(5 − x ) − 2 log 3 − x = 1 egyenlet megoldását jelöl bet t:. a)

x∈ ∅

b)

x∈

25 9

5. Számítsa ki a sin 2α , cos 2α , tg 2α értékeket, ha cos α =

c) x ∈ {3,5} 5 3π , < α < 2π . 13 2

6. Oldja meg a 2 sin 2 x − cos x = 1 trigonometrikus egyenletet. 7. Határozza meg az A(1,2) ponton áthaladó egyenes egyenletét úgy, hogy az mer leges legyen a p : 2 x + 3 y − 1 = 0 egyenesre. 8. Határozza meg a kör egyenletét, ha a középpontja a C (3,3) pont, valamint áthalad az A(3,0) ponton. 9. A deréksz g trapézt, amelynek párhuzamos oldalai a = 9cm és b = 2cm , a hosszabb szára pedig 25cm , forgatjuk a rövidebb alapja körül. Határozza meg az így keletkezett forgástest felszínét és térfogatát. Karikázza be a helyes választ: a) F = 828 π cm 2 , V = 6528 π cm 3 b) F = 1608 π cm 2 , V = 6528 π cm 3 c) F = 1608 π cm 2 , V = 3840 π cm 3 10. Három szám, amelyek összege 28, mértani sorozatot alkot. Ha a legnagyobbat 4-gyel csökkentjük, akkor egy számtani sorozat három tagját nyerjük. Melyik ez a három szám? A feladatok mindegyike 6 ponttal értékelhet Jó munkát kívánunk! 79

!

Viša tehni ka škola Subotica 03.07.2003.

M szaki F iskola Szabadka 2003.07.03. KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE REŠENJA MIN SÍT VIZSGA MATEMATIKÁBÓL MEGOLDÁSOK

x 3x 2 1 − x 2 − 3x 2 x + x − 1 1 − 4 x 2 x − 1 +1 = 1− ⋅ : : = = x −1 x −1 1− x2 1 − x 2 2x −1 1− x2

1.

(1 − 2 x )(1 + 2 x )( x − 1) = 1 + 2 x

=

(1 − x) (1 + x)(2 x − 1)

2x − 3 >3 4−x

2.

3. 2

x +1 x

1 ⋅ 2

1+ x

2x − 3 −3> 0 4−x –∞

c)

2 x − 3 − 12 + 3 x >0 4− x

3

3

5 x − 15 >0 4− x

x–3

–

+

+

4–x

+

+

–

5( x − 3) 4− x

–

+

–

x +1

=1

x2 −1 = 0

2

x +1 − ( x +1) x

=1

x +1 − ( x + 1) = 0 x

b) (3,4)

x +1− x2 − x = 0

a) x ∈ {− 1,1}

x=±1

4. log(5 − x ) − 2 log 3 − x = 1 9 x = 25

x=

5( x − 3) >0 4−x

∞

4

4

1 + 2x 1+ x

log

5− x =1 3− x

5− x = 10 3− x

25 . 9

5 − x = 30 − 10 x

b) x ∈

25 9

25 144 12 3π =− =− . < α < 2π je sin α = − 1 − cos 2 α = − 1 − 2 169 169 13 12 5 120 . sin 2α = 2 sin α cos α = 2 − =− ⋅ 13 13 169

5. Zbog uslova

5 cos 2α = cos α − sin α = 13 sin 2α 120 tg 2α = = . cos 2α 119 2

2

2

12 − − 13

2

=

25 144 119 − =− . 169 169 169

6. Rešiti trigonometrijsku jedna inu 2 sin 2 x − cos x = 1 . 80

2(1 − cos 2 x ) − cos x − 1 = 0

2 − 2 cos 2 x − cos x − 1 = 0

2 cos 2 x + cos x − 1 = 0 cos x = t

2t 2 + t − 1 = 0

t1 = 2

t1 =

1 2

cos x = x1 = ± 2

−1± 1+ 8 −1± 3 . = 4 4

t 2 = −1 1 2

π 3

cos x = −1 + 2kπ

x3 = π + 2kπ

7. Odrediti jedna inu prave koja sadrži ta ku A(1,2) i normalna je na pravu p :2x + 3 y − 1 = 0 . 2 1 2 p:y = − x+ kp = − 3 3 3 1 3 kq = − = kp 2 Jedna ina prave kroz jednu ta ku: 3 q : y − 2 = k q ( x − 1) q : y − 2 = ( x − 1) 2 • 3 3 3 1 • q: y = x− +2 q:y = x+ 2 2 2 2 • • 3 x – 2y + 1 = 0.

8. Odrediti jedna inu kružnice ako joj je centar u ta ki C (3,3) i ta ka A(3,0) pripada kružnici. Centar kružnice je ta ka

C ( p, q ) = C (3,3) p = 3 ∧ q = 3. Opšti oblik jedna ine kružnice je : k : (x − p ) + ( y − q ) = r 2 2

2

•

k : ( x − 3) + ( y − 3) = r 2 2

2

Ako ta ka A pripada kružnici, tada je (3 − 3)2 + (0 − 3)2 = r 2 9 = r2 r =3 Jedna ina tražene kružnice glasi 2 2 k : ( x − 3) + ( y − 3) = 9 .

•

9. Pravougli trapez osnovica a = 9cm i b = 2cm i dužeg kraka 25cm rotira oko manje osnovice. Izra unati površinu i zapreminu nastalog tela. Zaokružiti ta an odgovor: a) P = 828 π cm 2 , V = 6528 π cm 3 81

b) P = 1608 π cm 2 , V = 6528 π cm 3 c) P = 1608 π cm 2 , V = 3840 π cm 3 Rotacijom se dobija složeno telo, iz valjka je izva ena kupa. Valjak i kupa imaju istu osnovu sa polupre nikom : r 2 = 25 2 − 7 2 = 625 − 49 = 576 r = 24 cm . Površina složenog tela sastoji se od jedne kružnice, od omota a valjka i od omota a kupe: P = r 2π + M valjka + M kupe P = r 2π + 2rπ H valjka + rπ s P = 576π + 2 ⋅ 24π ⋅ 9 + 24π ⋅ 25 P = 576π + 432π + 600π P = 1608π cm 2 V = Vvaljak − Vkupa 1 V = r 2π H valjak − r 2π H kupa 3 1 V = 576π ⋅ 9 − ⋅ 192π ⋅ 7 3

V = 5184π − 1344π V = 3840π cm 3

c) P = 1608 π cm 2 , V = 3840 π cm 3 10. Zbir tri broja koji ine geometrijski niz je 28. Ako se najve i broj umanji za 4, dobijaju se tri broja koji obrazuju aritmeti ki niz. Na i te brojeve. a1 , a1 q , a1 q 2

a1 , a 2 , a 3 je geometrijski niz a1 , a 2 , a3 − 4 je aritmeti ki niz a1 + a1 q + a1 q 2 = 28 2a1q = a1 + a1 q 2 − 4

1 + q + q 2 = 7 − 14q + 7 q 2

a1 1 + q + q 2 = 28 a1 (q 2 − 2q + 1) = 4

6q 2 − 15q + 6 = 0 2 q 2 − 5q + 2 = 0 q1 = 2 a1 = 4 tri broja su : 4, 8, 16

1+ q + q2 =7 1 − 2q + q 2

q1 =

(

)

82

1 2

a1 = 16

tri broja su : 16, 8, 4 .

Viša tehni ka škola Subotica

05.09.2003.


1. Zaokružiti ta an odgovor: a)

m m+n

2. Rešenje nejedna ine a) [3,4]

1 1 1 1 − − 2 = : 2 m n m n

b)

mn m+n

n m+n

6−x < −2 je interval: 3− x

b) (3,4)

c) (− ∞,3) ∪ (4, ∞ )

3. Zaokružiti ta no rešenje jedna ine 4 = 2 x

a) x ∈ {1}

c)

x +1 x

.

1 b) x ∈ − ,1 2

(

1 c) x ∈ − ,0,1 2

)

4. Zaokružiti ta no rešenje jedna ine log x 2 + 19 − log( x − 8) = 2 . a) nema rešenje

b) x ∈ {9,91}

5. Izra unati sin 2α , cos 2α , tg 2α , ako je sin α = −

c) x ∈ {9} 3 3π . , π <α < 5 2

6. Rešiti trigonometrijsku jedna inu cos x − cos 2 x = 1 . 7. Odrediti jedna inu prave koja sadrži ta ku A(1,2) i paralelna je sa pravom p : x + y − 3 = 0 . 8. Odrediti jedna inu kružnice na kojoj su ta ke A(2,0) i B(8,0) krajnje ta ke dijagonale. 9. Pravougli trapez osnovica a = 10cm i b = 2cm i površine 90cm 2 rotira oko ve e osnove. Izra unati površinu i zapreminu nastalog tela. Zaokružiti ta an odgovor: a) P = 600π cm 2 , V = 1050π cm 3 b) P = 540π cm 2 , V = 1050π cm 3 c) P = 540π cm 2 , V = 150π cm 3 10. Tri broja, iji je zbir 26, obrazuju geometrijski niz. Ako se tim brojevima doda redom 1,6 i 3, dobijaju se tri broja koji obrazuju aritmeti ki niz. Na i te brojeve.

Svaki zadatak se vrednuje maksimalno sa 6 bodova! Želimo Vam uspešan rad! 83

M szaki F iskola Szabadka

2003.09.05.

MIN SÍT VIZSGA MATEMATIKÁBÓL

1 1 1 1 − − 2 = : 2 m n m n

1. Karikázza be a helyes válasz el tti bet t: a)

2. A

m m+n

b)

mn m+n

c)

n m+n

6−x < −2 egyenl tlenség megoldáshalmaza az alábbi intrevallumok egyike: 3− x

a) [3,4]

b) (3,4)

3. Karikázza be a 4 = 2 x

x +1 x

c) (− ∞,3) ∪ (4, ∞ )

egyenlet megoldása el tt álló bet t: 1 b) x ∈ − ,1 2

a) x ∈ {1}

(

1 c) x ∈ − ,0,1 2

)

4. Karikázza be a log x 2 + 19 − log( x − 8) = 2 egyenlet megoldását jelöl bet t: a) nem megoldható

b) x ∈ {9,91}

5. Számítsa ki a sin 2α , cos 2α , tg 2α értékeket, ha sin α = −

c) x ∈ {9} 3 3π . , π <α < 5 2

6. Oldja meg a cos x − cos 2 x = 1 trigonometrikus egyenletet. 7. Határozza meg az A(1,2) ponton áthaladó egyenes egyenletét úgy, hogy az párhuzamos legyen a p : x + y − 3 = 0 egyenessel. 8. Határozza meg a kör egyenletét, ha az A(2,0) és B(8,0) pontok az átmér jének végpontjai. 9. A deréksz g trapézt, amelynek párhuzamos oldalai a = 10cm és b = 2cm , területe 90cm 2 , forgatjuk a hosszabb alapja körül. Határozza meg az így keletkezett forgástest felszínét és térfogatát. Karikázza be a helyes választ: a) F = 600π cm 2 , V = 1050π cm 3 b) F = 540π cm 2 , V = 1050π cm 3 c) F = 540π cm 2 , V = 150π cm 3 10. Három szám, amelyek összege 26, mértani sorozatot alkot. Ha a számokat sorrendben növeljük az 1,6 és 3 számokkal, akkor egy számtani sorozat három tagját nyerjük. Melyik ez a három szám? A feladatok mindegyike 6 ponttal értékelhet Jó munkát kívánunk!

84

!

Viša tehni ka škola Subotica 05.09.2003.

M szaki F iskola Szabadka 2003.09.05. KLASIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE REŠENJA MIN SÍT VIZSGA MATEMATIKÁBÓL MEGOLDÁSOK

1.

1 1 1 1 − 2 = : − 2 m n m n

n − m n2 − m2 n − m m2n2 mn : = ⋅ = 2 2 mn mn (n − m)(n + m) m + n m n

2.

6−x < −2 3− x

6− x +2<0 3− x –∞

3.

4x = 2

3

4

∞

4

–

–

4–x

+

+

–

3(4 − x) 3− x

+

–

+

22x = 2

x +1 x

2x =

x1 = 2

(

3

+

x +1 x

)

log x 2 + 19 − log( x − 8) = 2

3 3π , π <α < 5 2 24 , sin 2α = 2 sin α cos α = 25

sin α = −

6.

cos x − cos 2 x = 1

b) (3, 4)

x +1 x

1± 1+ 8 1± 3 . = 4 4

log

x 2 + 19 = log 100 x −8

1 b) x ∈ − ,1 2

x 2 + 19 = 100 x −8 b) x ∈ {9,91}

x 2 − 100 x + 819 = 0 .

5.

mn . m+n

3(4 − x) < 0: 3− x

3–x

2x 2 − x − 1 = 0

11.

b)

4 . 5 7 sin 2α 24 , tg 2α = = . cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 25 cos 2α 7

cos α = − 1 − sin 2 α = −

cos x − (cos 2 x − sin 2 x) − 1 = 0

85

cos x − 2 cos 2 x = 0 1 cos x(1 − 2 cos x) = 0 cos x = 0 ∨ cos x = . 2 π π 5π Sledi: x1 = + kπ , x 2 = + 2kπ , x3 = + 2kπ . , k∈ Z. 2 3 3 cos x − cos 2 x + sin 2 x − 1 = 0

7. Prave koje prolaze kroz ta ku A(1,2) imaju jedna inu oblika y – 2 = k (x – 1). Sve prave paralelne sa pravom p : x + y − 3 = 0 imaju koeficijent pravca k = –1. Prema tome jedna ina prave koju tražimo je sama prava: p : x + y − 3 = 0 . 8. Centar kružnice je središte C duži AB: Pošto je A(2,0) i B(8,0) sledi C(5, 0). Neposredno se uo ava, da je polupre nik r = 3, pa jedna ina tražene kružnice je: (x – 5)2 + y 2 = 9. b=2cm

9. Rotacijom se dobija složeno telo sastavljeno od valjka i kupe. Valjak i kupa imaju istu osnovu sa polupre nikom koja je jednaka visini trapeza. Pošto je površina trapeza a+b 10 + 2 p= h= h = 90 2 2 sledi: h = r = 15 cm. Kosi krak trapeza je s = 17 cm. (Pitagora).

h

s

Površina složenog tela sastoji se od jednog kruga, od omota a valjka i od omota a kupe. Visina valjka je b, visina kupe je a–b: P = r 2π + M valjka + M kupe P = r 2π + 2rπ H valjka + rπ s

a=10cm

P = 225π + 2 ⋅ 15π ⋅ 2 + 15π ⋅ 17 , P = 540π cm 2 . Zapremina složenog tela je zbir zapremine valjka i kupe: 1 1 V = Vvaljak + Vkupa = r 2π H valjak + r 2π H kupa = 225π ⋅ 2 + 225π ⋅ 8 = 1050π cm 2 . 3 3 b) P = 540π cm 2 , V = 1050π cm 3

10. Neka su traženi brojevi a, aq i aq2. Njihov zbir je a + aq + aq2 = 26. Nakon uve anja za 1, 6 i 3 imamo brojeve a + 1, aq + 6 i aq2 + 3 koji obrazuju aritmeti ki niz, pa je: (a + 1) + (aq 2 + 3) = 2(aq + 6). Rešavaju i dobijeni sistem jedna ina dobijemo: a (1 + q + q 2 ) = 26 i a (1 − 2q + q 2 ) = 8 . Po deljenju leve i desne strane (a se skra uje): 1+ q + q2 26 1 3q 2 − 10q + 3 = 0 q1 = 3, q 2 = . Obe mogu nosti daju iste = 2 8 3 1 − 2q + q brojeve, samo u suprotnom redosledu: 2, 6, 18, odnosno 18, 6, 2.

86

! " # !$# !

! " # $!

.

1),& ( +)", #

'+),&

4 + ) ',& %

%

), +)", /&,)

%

3

3 x ⋅ 7 2− x = 21 ! "

x ∈ (− ∞, 1) 3

6 &

'+

')")1& $ '

% (

%

2− y 3+ y

%

-

x ∈ [3, ∞ ) -

%

log 22 x + 2 log 2 x − 2 = 0 +)2

3 +)

,& -

2-

x ∈ [1, 3) 3

%

%

3

%

-

sin α + cos α +)", +$2 sin 3 α − cos 3 α 7 9 % 3 % 5 7 2 )# &+ ) +)", /&,) 3 cos x − 2 sin x = 0 $ &,#) '$ − π , π +)2 3

'

# #) & (

x 2 − 5 = x + 1 +)2

), +)", /&,)

3

%

2− y 3 3− y

%

5 ), +)", /&,)

+)* " -

2 x − xy − y + 2 +)2 3 x + xy + y + 3

'& &! !

2+ y 3 3+ y

%

&

$%&#& ' & ( )" "* . & # / , "* )"& 0

$

3

tgα = 2 # " +) )", # &! !

5 3 3

4 + )7),+ # &* ,

2 2

% 8 # 5

9 %

*

%

$ # & $! # (, #) ), ( "&, #) /)# # * #) ),

% )

3

3

%

ABCD 2 A(3, − 5), B(5, − 3), C (− 1, 3).

')' *

$2

D(–3, 1) 3

%

D(–1, 3) 3

%

mx − 3 y = 24 +) # ,*),# &() ') x 2 − y 2 = 36 - 5 " # ( m2 = 163 % m2 = 253 %

, ,) & & ) ( ) # , ) + ( &( " , +

,) ( &! ) $ a = 4cm b = 5cm 1 + & & &- 6 ( ) &, ( &! ) +)22

% V = 58 cm 3

% V = 48cm 3

3

3

&# )#&/ ,&!$ ( & /' , +) 8&;) ), &+ !'& # * ,&! +)2 d+ 3 % %

-

-

.

! & ( & ()# /' ,

d+ 3

/0 87

m& m = 36. )#

)", #2

2

c = 7cm - :& &, #)' +) +)", % V = 38 cm

+) +)", %

.

D(3, –1).

1

3

/)# #&,& ! &

d+, -

23

& &,&

&"$1& ()# /' ,

-

#4/5 5

6/ 2

#

<&,")* & ;)' " #,=' =

B* !) A C#? $#=,

7 8!7

2 x − xy − y + 2 &;)+)!? 3 x + xy + y + 3

3

'

+

'@

)* '"= &,

%

)' )

=' ! )'>## =''@

D )# )!>2

2− y 3 3− y

%

x 2 − 5 = x + 1 )* ),')# %

:;<

=' !') )#> ?* ,- 5 & =!! ) )#A#- <&,"), )' ) =' ! 0 ( ,# # ? -

2+ y 3 3+ y

%

" 9 # !$# !

!=

%

2− y 3+ y

%

-

2

3

3 x ⋅ 7 2− x = 21 )* ),')# * D ) &)'?*C#& ! '= & ;)'#?#)'#2

&

x ∈ (− ∞, 1) 3

%

x ∈ [1, 3) 3

%

x ∈ [3, ∞ )

%

log 22 x + 2 log 2 x − 2 = 0 )* ),')# * D )&,) D !)*)2 %

3

%

'

tgα = 2

E %

(

%

%

3

" ## !

ABCD (

&;)+)!? ? #? )2

D(–3, 1) 3

%

')' *

=

''$

)*

= # D )#>

$*

,

F

!=

2

-

2 A(3,

− 5), B(5, − 3), C (− 1, 3).

"&,=#=&2 %

D(–1, 3) 3

mx − 3 y = 24 )* ),) ? &,#& ! x 2 − y 2 = 36 &() m2 = 163 % m2 = 253 % =

! # # !@ * D )&,) %

!

*

9 7

%

2 2 3

%

F ( ,#

-

3

5 7 3 % 3 3 5 3 cos x − 2 sin 2 x = 0 )* ),')# − π , π &,#)

,)* )"&

)

3

sin α + cos α sin 3 α − cos 3 α 3

D(3, –1).

% '=#- !

m(

?#) ,?* !)#)2

m2 = 36.

%

= * '" 'F )* ),) = ' (?')&2 a = 4cm b = 5cm c = 7cm &,# ! ' (' ( ')* & ) ?'? )! # # !@ * =* = #?#; * # 2

% V = 58 cm 3 3

% V = 48cm 3

% V = 38 cm

3

!= # ,& ! # )' > # *+ C* ! )' > D# # * D !)*) )* ),'> ,)* )" ? !? )'! # G'D, ?*) "&;;) ), &=+ 2 d+ 3 % d+ 3 % %

=> .

?

@A? 88

3

=*

3

D )# )!> D# # * D !)*?,)

d+, -

2 x − xy − y + 2 3 x + xy + y + 3

8

&

2 x + 2 − xy − y 3 x + 3 + xy + y

#

)

x2 − 5 = x +1 +

&

3 ⋅7 x

x2 − 5 = x +1

), +)", /&,)

x ≥ −1 - 9 )

2− x

*$1

'+),

3 ⋅7 ⋅7 x

2

log 22 x + 2 log 2 x − 2 = 0 H)7),+ #) 6 &

'

(

"

−x

+ +)

( x + 1)(2 − y ) 2 − y = , x ≠ −1 ( x + 1)(3 + y ) 3 + y

) ' , $$

+

$($

"

! "

'+& $ '

x≥ 5-

x 2 − x − 6 = 0 - H)7),+ #) +)", /&,) $ & I '$ ( +)

3 7

= 21

x

+ ) ',&

21 = 49

3 7

cos 3 α

)7),+ x

=

"

+&

-

%

x = 1-

%

3 7

log 22 x + log 2 x − 2 = 0 - 6 t = log 2 x ')"&2 t 2 + t − 2 = 0.

= −2 i t 2 = 1 - H)7),+ ( ' !,) +)", /&,) $ x1 =

1 i x2 = 2 4 %

sin 3 α +1 cos 3 α

sin 3 α cos α −1 cos 3 α 3

tg 3α + 1 2 3 + 1 9 = 3 = = . tg α − 1 2 3 − 1 7

%

3 cos x − 2(1 − cos 2 x) = 0

2t 2 + 3t − 2 = 0. H)7),+ #) t2 = cos x =

%

x ≥ 5 &

)

-

3 cos x − 2 sin 2 x = 0

)7),+) "

&

)7),+

&,#)

" #,) +)", /&,) $2 t1

sin 3 α + cos 3 α sin 3 α − cos 3 α

')"&2

) ',

x2 − 5 = x +1

( &( " " !

= 21

2( x + 1) − y ( x + 1) 3( x + 1) + y ( x + 1)

1 +) ! " 2

2 cos 2 x + 3 cos x − 2 = 0 - 6 t = cos x 1 " #,) +)", /&,) $2 t1 = −2 i t 2 = - /) &", t1 ,) " +) 2

'+), ! " )

89

)", #& &! # * &,#)

' 2!

x=±

π 3

-

%

J)

+) ( ) ) "&+ * , ' (

')' *

O- K # /

)')%),

3 −1 − 5 + 3 ≡ O(1, − 1) - L # ) ), # # / , 2 2 m+5 n−3 #) ) D m n # " +) O , . .')"& m I & n 2 2 "&, #)2

)

'

" "&

O

(

)

y = kx + n & &()

')

m x − 8 ( $ $ ' $ " "& %) 3 m2 64 = 36 − 36 - " ") ')"& m2 = 25. 9 y=

*

5 &71),+)

E) ,

*

+)

)"&, "$%&

+) &

AC (

)"&7#) "$%&

$ ,+),)

BD- J)

+) %

x2 y2 − = 1 +) n 2 = a 2 k 2 − b 2 '$/ +$ " #) ( a 2 b2 m ! ),&#& k = , n = −8, a 2 = b 2 = 36 2 3

&! /$,

) +)2

% (

7&,$

!)2

a+b+c = 8cm - :& &, !) + 2 a ⋅ ha 4 ha 2B = # +) #2 4 6 = - #$" +) ha = H = 2 6 cm( &( " & & & a " &+ ) &! $ ' 2 2 3 .')"& ! ( ) &, ( &! )2 V = B ⋅ H = 4 6 ⋅ 2 6 = 48cm %

B = s ( s − a)( s − b)( s − c) = 8 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 1 = 4 6 +) +) s =

9 $ ' !

$! " # ),&

+)

a1 = 1,

& /' ,

1 (a 6 + a7 + a8 + a9 + a10 ) 4 a n = a n + (n − 1)d = 1 + (n − 1)d " &+ +)", /&,$ &!

a1 + a 2 + a3 + a 4 + a 5 = /&,+),&

+) ')"& " +) d+, -

&

%

'

(

90

)

*

B !$C

D

B

E; !

" ; F

#G " '

'

#

7 H!7

7

! " # !$# ! $ " 9 # !$# ! :;<

Zaokružiti slovo %I % ili % ispred odgovora kojeg smatrate ispravnim. Od ponudjena tri odgovora SAMO JE JEDAN TA AN! Ta no zaokružen odgovor vredi 6 bodova, neta an odgovor i bez odgovora 0 bodova.

Karikázza be az %I % vagy a % bet t, amely a véleménye szerint a helyes választ jelöli. CSAK EGY HELYES VÁLASZ VAN! A pontos válasz 6 pontot ér, a téves válaszra és válasz nélküli kérdésre 0 pont jár.

Prezime i ime kandidata A jelölt családneve és neve:

Konkursni broj: Jelentkezési szám:

Σ x2 − 5a 2 5 x −a 5

Skra eni oblik datog izraza je: Az adott kifejezés egyszer sített alakja:

%

x–5a;

%

%

x+5a;

Broj realnih rešenja date jedna ine je:

&

x + 5a . 25

Az adott egyenlet valós gyökeinek száma:

x x 18 + = x+2 x−2 5

%

%

;

%

;

Kojem kvadrantu pripadaju ta ke ije su koordinate date rešenjima sistema jedna ina:

3 x + 3 y = 36 x+ y =5

Melyik síknegyedhez tartoznak a pontok, amelyek koordinátái az egyenletrendszer megoldásai?

%

LLL;

%

LL;

% L.

Rešenja date logaritamske jedna ine su:

log x +

A logaritmusos egyenlet megoldásai:

% { 10 ,10};

.

% { 3 10 ,10};

91

%

1 5 log x 10 = 4 4

{ 4 10 ,10}.

'

A

Neka je na datoj slici BD = 3 . Kolika je dužina stranice AC = x ? x

Legyen az adott ábrán BD = 3 . Mekkoraaz AC = x oldal hosszúsága? %

(

x=

1 ; 4

%

x=

C

3 ; 2

% x=

Skup rešenja date trigonometrijske jedna ine koja pripadaju intervalu [0, π] je: Az adott trigonometrikus egyenlet [0, π] intervallumhoz tartozó gyökeinek halmaza:

%

3 4

;

%

3 ; 6 4 ,

Az A pont tükrözésével az adott egyenesre nézve az alábbi pontot kapjuk:

% A' (4; 1);

)

∅

A(1; 4),

x–y+2=0

% A' (2; 3)

Broj zajedni kih ta aka elipse i kružnice je:

9 x 2 + 4 y 2 = 36

Az ellipszis és a kör közös pontjainak száma:

x 2 + y 2 = 16

%

*

% A' (3; 2) ;

5 . 4

sin x + cos x = 0 %

Za ta ku A simetri na slika u odnosu na datu pravu je ta ka:

D

B

;

%

%

;

-

Data je trostrana prizma na slici sa bo nim. stranama ije su površine 72cm2, 96cm2, 48cm2. Zapremina prizme je:

H=12cm c

A háromoldalú hasáb oldallapjainak területei sorban: 72cm2, 96cm2, 48cm2. A hasáb térfogata:

a

% 32 15 cm3;

% 36 15 cm3.

% 34 15 cm3;

b

Koli nik geometrijskog niza, iji je prvi lan 1, a šesti lan 1024 jeste broj: A mértani sorozat els tagja 1, a hatodik pedig 1024. A sorozat hányadosa:

% q = 6;

% q = 4;

a1=1, a6 = 1024, q =? % q = 2;

92

J$B$ = , #$9

F:

x 2 − 25a 2 x2 − 5a 2 ( x − 5a )( x + 5a ) 5 5 = = x + 5a. = x x − 5a − x 5 a −a 5 5

&

%

x x 18 + = nakon množrnja jedna ine sa 5(x–2)(x+2), pri emu je x≠±2 x+2 x−2 5 5 x( x − 2) + 5 x( x + 2) = 18( x − 2)( x + 2) 10 x 2 = 18 x 2 − 72 x2 = 9 x1 = 3, x 2 = −3. Prema tome postoje dva rešenja..

%

Rešenja su (2,3) i (3,2). Obe ta ke pripadaju I kvadrantu.

%

1 . Dobija se kvadratna jedna ina po log x. log x 1 4log2x –5logx +1=0. Rešnja su: log x = 1, log x = . To zna i: x1=10, x2= 4 10 . 4

Iskoristimo identi nost: log x 10 =

'

Trougao ABD je jednakokraki (pošto je i ugao ∠BAD = 300), sledi BD = AB = Otuda je x =

(

)

*

AB 3 3⋅ 3 3 = = . 2 2 2

% 3.

%

3 % . 4 Jedna ina normale kroz ta ku A na datu pravu je: y – 4 = –1(x – 1), odnosno: x + y – 5 = 0. Presek date prave i dobijene normale je rešenje sistema jedna ina: x + y – 5 = 0, x – y + 2 = 0. 3 7 . Ova ta ka je sredina duži, ija druga krajnja ta ka jeste Taj presek je ta ka S ; 2 2 simetri na slika ta ke A(1; 4) u odnosu na datu pravu. Koristimo poznate formule za izra unavanje koordinata središta duži. Ako je A'(x1; y1), tada se dobija: 4 + y1 7 1 + x1 3 = x1 = 2 i = y1 = 3 , to jest: A' (2; 3) . % 2 2 2 2 Poluose elipse su a = 2 i b = 3, dok polupre nik kružnice je r = 4. Obe linije su sa centrom u koordinatnom po etku, prema tome elipsa se cela nalazi u krugu koji je oivi en datom % kružnicom. Prema tome, linije nemaju zajedni kih ta aka. Prostom proverom se uo ava da je jedna ina istinita u datom intervalu jedino za

Pretpostavimo, da je aH = 72cm2, bH = 96cm2, cH = 48cm2. Pošto je H = 12cm, sledi: a = 6cm, b = 8cm, c = 4cm. Heronovim obrascem se izra una površina baze B = 135 cm2, ili B = 3 15 cm2. Otuda je zapremina prizme V = BH = 12⋅ 3 15 = 36 15 .

%

Pošto je a 6 = a1 q 5

%

&

1024 = 1 ⋅ q 5

q = 4.

'

(

93

)

*

B !$C

D

B *

#

E; !

" ; F

#G " ' *

'

7

! " # !$# ! $ " 9 # !$# ! :;<

7 H!7





Σ Skra eni oblik datog izraza je:

x+2 1 1 x+2 − : + x +1 x + 3 x +1 x + 3

Az adott kifejezés egyszer sített alakja: %

%

;

% x.

;


x + 5 − x =1

Az adott egyenlet valós gyökeinek száma: %

&

%

;

%

;

Kojem kvadrantu pripadaju ta ke ije su koordinate date rešenjima sistema jedna ina:

6 25 x + y = −3

5x + 5 y =

Melyik síknegyedhez tartoznak a pontok, amelyek koordinátái az egyenletrendszer megoldásai? %

LLL;

%

LL;

.

% L.

Rešenje date logaritamske jedna ine je:

log 22 x + 2 log 2 x − 2 = 0

A logaritmusos egyenlet megoldása: %

2,

1 ; 4

%

{1, − 2};

% 94

{2, 4} .

'

Koliki je zbir vrednosti ostalih trigonometrijskih funkcija ugla α ?.

3 3π < α < 2π , 3 2 sinα + cosα + tgα = ?

ctgα = −

Mekkora az α szög többi trigonometriai függvényének összege? %

(

1 3 + + 3; 2 2

%

1 3 − + 3; 2 2

Najmanje pozitivno rešenja date trigonometrijske jedna ine je:

2

%

;

6

%

;

Površina trougla odre enog pravama p i q i osom Ox je: A p és q egyenesekkel valamint az Ox tengely által körühatárolt háromszög területe:

% 0 ;

)

1 3 − − 3. 2 2

2 sin x cos x − cos x = 0

Az adott trigonometriai egyenlet legkisebb pozitív gyöke:

%

%

%

.

p: 3x – y + 4 = 0 q: x + y – 4 = 0 %

;

3

M .

Broj zajedni kih ta aka elipse i kružnice je:

9 x 2 + 4 y 2 = 36

Az ellipszis és a kör közös pontjainak száma:

4 x 2 + 4 y 2 = 25

%

%

;

%

;

-

D=2R

*

3

Zapremina kocke je V1 = 24 3 cm . Površina lopte opisane oko te kocke je: a

A kocka térfogata V1 = 24 3 cm3 . A kocka köré írt gömb felszíne:

% 48πcm2;

% 36πcm2;

% 24πcm2.

Zbir svih neparnih prirodnih brojeva manjih od 1000 je: Az 1000-nél kisebb páratlan természetes számok összege:

%

;

%

1 + 3 + 5 + ... + 999 = ? %

;

95

;

J$B$ = , #$9

F:

1 x+2 1 x+2 ( x + 2)( x + 3) − ( x + 1) ( x + 3) + ( x + 1)( x + 2) + − : = = : x +1 x + 3 x +1 x + 3 ( x + 1)( x + 3) ( x + 1)( x + 3) =

x 2 + 5x + 6 − x − 1 x 2 + 4x + 5 = = 1. x + 3 + x 2 + x + 2x + 2 x 2 + 4x + 5

x + 5 − x =1 2 x =4

&

x + 5 =1+ x x =2

%

( )2

x + 5 =1+ 2 x + x

x = 4. To je jedino rešenje, drugo rešenje ne postoji.

%

Rešenja su (–1,–2) i (–2,–1). Obe ta ke pripadaju III kvadrantu. To je kvadratna jedna ina po log2x: log 22 x + log 2 x − 2 = 0 . 1 Rešnja su: log x2 = 1, log2 x = –2. To zna i: x1=2, x2= . 4

Za ugao

(

Prostom proverom se uo ava da je najanji pozitivan koren

) *

%

3π 3 1 3 , tan α = − 3 , cos α = , sin α = − < α < 2π je: cot α = − . 2 3 2 2

'

%

6

% %

.

4 Prave se seku na osi Oy u ta ki (0, 4). Prava p se e osu Ox u ta ki − , 0 , dok prava q 3 4 16 se e osu Ox u ta ki (4, 0): Sledi: imamo trougao ija je osnovica a = 4 + = , a visina 3 3 16 ⋅4 a⋅h 32 3 h = 4. Otuda površina trougla je p ∆ = = = . % 2 2 3 Poluose elipse su a = 2 i b = 3, dok polupre nik kružnice je r = 5/2. Obe linije su sa centrom % u koordinatnom po etku, prema tome elipsa u 4 ta ke se e kružnicu.

Pošto je a = 3 V1 = 3 24 3 , D=a 3 = 3 3 24 3 = 27 ⋅ 24 2 ⋅ 3 = 6 3 6 ⋅ 2 6 = 3 ⋅ 2 = 6 , sledi R = 3cm. Površina lopte je Pl=4r2π=36πcm2. Uo iti, da je to aritmeti ka progresija sa a1=1, an=999, gde je n = 500. Zbir prvih 500 neparnih prirodnih brojeva je n 500 S n = (a1 + a n ) S 500 = (1 + 999) = 250 ⋅ 1000 = 250000 . 2 2

&

'

(

96

)

*

%

%

B !$C

D &

B (

#

E; !

" ; F

#G " ( (&

(

7 H!7

7

! " # !$# ! $ " 9 # !$# ! :;<





Σ Skra eni oblik datog izraza je: Az adott kifejezés egyszer sített alakja: %

x–2y;

%

x y − y x

:

1 1 = + x y

% 2x+ y.

x – y;

Zbir svih realnih rešenja date jedna ine je:

x 6 − 7 x3 − 8 = 0

Az adott egyenlet valós gyökeinek összege: %

&

;

%

, ;

%

Rešenja date eksponencijalne jedna ine pripadaju intervalu: Az adott exponenciális egyenlet megoldásai a következ intervallumhoz tartoznak: %

(–5, 1);

%

.

13 x = 12 x−1 + 12 x

% (–5, 1].

[–5, 1);

Ako je a rešenje date logaritamske jedna ine, tada je zadovoljen uslov:

log 5 (3 x + 8) + log 5 x = log 5 203 Ha x a logaritmusos egyenlet megoldása, akkor teljesül a következ feltétel: %

2 x∈ − 9 ,− 7 ; 3

% x 2 = 49 ;

% x = 0.

97

'

Data trigonometrijska jednakost je: a) istinita; b) neistinita; c) ne znam. Az adott trigonometrikus egyenl ség: a) igaz; b) hamis; c) nem tudom. %

(

7

⊥

%

% K

Broj rešenja date trigonometrijske jedna ine u intervalu [0, π] je: Az adott trigonometriai egyenlet gyökeinek száma a [0, π] intervallumban: % 1;

% 0.

Adottak az ABC háromszög csúcspontjai. A háromszög T súlypontjának koordinátái:

)

cos x − 5 = sin 2 x -

% 5;

Date su koordinate temena trougla ABC. Koordinate težišne ta ke T datog trougla su:

1 13 % T − ; ; 3 3

sin 45 o = sin 75 o − sin 15 o

% T

1 13 ; ; 3 3

Koordinate ta ke C, centra date kružnice su:

A(5; 5), B(–2; 6), C(–4; 2). 1 13 % T − ; 3 2

x 2 + y 2 + 6 x − 4 y + 10 = 0 -

Az adott kör C középpontjának koordinátái:

% C(–3, –2);

*

% C(3, –2);

% C(–3, 2). 8

Neka je dužina ivice pravilnog tetraedra a = 2 , a duž EF spaja sredine dveju nesusednih ivica. Dužina EF je: B

A szabályos tetraéder élhossza.a = 2 , az EF szakasz a szemközti (nemszomszédos) élek felez pontjait köti össze. EF hosszúsága:

N 4

% EF =1;

% EF = 2 ;

% EF = 3 .

Vrednost datog izraza je:

2 2 2 2....... =

Az adott kifejezés értéke:

%

;

%

%

;

98

;

B !$C

D &

B (

#

E; !

" ; F

(

7 H!7

x3 = t

:

7

! " # !$# ! $ " 9 # !$# ! :;<

J$B$ = , #$9 x y − y x

#G " ( (&

F:

1 1 x 2 − y 2 y + x ( x − y )( x + y ) xy + = : = ⋅ = x− y x y xy xy xy x+ y

%

x 6 − 7 x3 − 8 = 0 , t 2 − 7t − 8 = 0 t1 = 8, t 2 = −1 x1 = 3 8 = 2, x 2 = 3 − 1 = −1 . Pri korenovnaju su uzeti u obzir samo realni koreni. Zato, odgovor na postavljeno pitanje je: x1 + x 2 = 2 + (−1) = 1. % 13 x 1 13 = 12 −1 + 1 = + 12 = . x 12 12 12 % Iz te jedna ine neposredno sledi: x = 1, tojest: x ∈(–5, 1].

& 13 x = 12 x−1 + 12 x . Ako podelimo jedna inu sa 12x imamo:

log 5 (3 x + 8) + log 5 x = log 5 203

log 5 x(3 x + 8) = log 5 203

3 x 2 + 8 x = 203.

7 − 8 ± 64 − 12 ⋅ (−203) 2. = −9 6 3 O evidno, polaznu jedna inu zadovoljava samo x = 7, jer za negativne brojeve logaritam % nije definisan.

Rešenja kvadratne jedna ine 3x 2 + 8 x − 203 = 0 su : x 12 =

' sin 45o = sin 75 o − sin 15 o . Pošto je sin α − sin β = 2 cos

α +β 2

sin

α −β 2

,

za α=75o i β=15o jednakost je istinita, jer je: 75 o + 15 o 75 o − 15 o sin 75 o − sin 15 o = 2 cos = sin 2 2 21 2 = 2 cos 45 o sin 30 o = 2 = = sin 45 o 2 2 2

! cos x − 5 = sin 2 x - Iz date jedna ine sledi, da bi trebalo biti zadovoljen slede i zahtev: cos x − sin 2 x = 5 - O evidno, to nije mogu e, jer je i sin2 x i cosx uvek manji od 1, te njihova razlika ne može biti 5. Jedna ina uopšte nema rešenja pa ni u intervalu [0, π]. "

99

#! Koordinate težišta trougla su: ( xT , yT ) =

x1 + x 2 + x3 y1 + y 2 + y 3 , 3 3

. U datom

1 13 slu aju su te koordinate: T − ; 3 3

$! Jedna ina x 2 + y 2 + 6 x − 4 y + 10 = 0 se svodi na ( x + 3) + ( y − 2 ) = 3 . Otuda se zaklju uje, da je centar date kružnice ta ka C(–3, 2). 2

2

"

%! Pošto je ta duž normalna na te ivice, njenu dužinu ra unamo pomo u Pitagorine teoreme iz trougla AFE. Prav ugao je kod ta ke E, prema tome EF2 = AF2 – AE2. S obzirom na to, da je AF visina jednakostrani nog trougla, AE je pak polovina ivice, imamo: EF = 2

2⋅ 3 2

2

−

2 2

2

=

6 2 − = 1. 4 4

&'! 1. na in: 2 2 2 2....... =x. Nakon kvadriranja imamo 2 2 2 2 2....... =x2, to jest 2x = x2, odnosno x = 2. 2. na in:

1 2

1 4

1 8

2 2 2 2....... = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 .... = 2

1 1 1 + + +... 2 4 8

. U izložiocu imamo zbir

beskona nog 1 1 1 geometrijskog reda: + + + ... = 2 4 8

&

1 2 1 1− 2

'

= 1 , pa je rezultat i ovako 2.

(

100

)

%

*

B !$C

D

B *

#

E; !

" ; F

(

7 H!7

#G " ( *

7

! " # !$# ! $ " 9 # !$# ! :;<





Σ Za date izraze A i B važi tvr enje:

A = 21 + 24 ,

Az adott A és B kifejezésekre fennáll:

B = 22 + 23.

%

%

A
% A=B.

A>B;

Ako su x1 i x2 koreni date jedna ine, tada je:

6 x 2 − 5x + 1 = 0

Ha x1 és x2 az adott egyenlet gyökei, akkor: %

&

x1 + x2 =

1 ; 6

% x1 + x2 = –

5 ; 6

Rešenje date eksponencijalne jedna ine pripada intervalu: Az adott exponenciális egyenlet megoldása a következ intervallumhoz tartozik:

%

(2, 3);

%

Ha az (x, y) számpár az egyenletrendszer megoldása, akkor teljesül a következ feltétel:

x+ y = 101;

5 . 6

5 x = 5 x −1 + 4 x + 4 x−1

% (2, 3].

[2, 3);

Ako je ure eni par (x, y) rešenje datog sistema jedna ina, tada je zadovoljen uslov:

%

% x1 + x2 =

% x+ y = 110;

101

x − y = 90 log x + log y = 3

% x+ y = 111.

'

Vrednost datog izraza je: (Bez upotrebe pomo nih sredstava)

cos 105 o + cos 75 o =

Az adott kifejezés értéke: (Segédeszközök használata nélkül) %

(

0 ;

%

%

1;

Broj rešenja date trigonometrijske jedna ine u razmaku [0, 2π] je: Az adott trigonometriai egyenlet gyökeinek száma a [0, 2π] intervallumban: % 1;

% 3.

Adottak az ABC háromszög csúcspontjai. Az A pontból kiinduló súlyvonal hossza:

)

2 − cos 2 x + 2 sin x = 0 -

% 2;

Date su koordinate temena trougla ABC. Dužina težišne duži koja ishodi iz ta ke A je:

% t a = 64 ;

0,5 .

% t a = 65 ;

Pre nik date kružnice je:

A(5; 5), B(–2; 6), C(–4; 2). % t a = 66 -

x 2 + y 2 + 6 x − 4 y + 10 = 0 -

Az adott kör átmér jének hossza: %

*

10 ;

%

%

11 ;

12 .

Oko pravilne trostrane prizme osnovne ivice a i visine H opisan i u nju i upisan valjak. Odnos zapremina tih valjaka je:

.

H

A szabályos háromoldalú hasáb alapéle a, magassága H. A hasáb köré és a hasábba beírt hengerek térfogatainak aránya:

a

r

R

.

a

a

% V1 : V2 = 1 : 3;

% V1 : V2 = 1 : π;

Dat je etvrti i dvanaesti lan aritmeti kog niza. Zbir prvih 40 lanova tog niza je: Adott a számtani sorozat 4. és 12. tagja. A sorozat els 40 tagjának összege: %

50 ;

%

% V1 : V2 = 1 : 4.

a 4 = 7, a12 = 3, S 40 = ?

%

500 ;

102

–50.

B !$C

D

B *

E; !

" ; F

(

#

7 H!7

#G " ( *

7

! " # !$# ! $ " 9 # !$# ! :;<

J$B$ = , #$9

F:

A = 21 + 24 ,

A 2 = 21 + 2 ⋅ 21 ⋅ 24 + 24 = 45 + 2 ⋅ 504 ,

B = 22 + 23.

B = 22 + 2 ⋅ 22 ⋅ 23 + 23 = 45 + 2 ⋅ 506. 2

A2
A
%

b Po Vijetovom pravilu za korene kvadratne jedna ine ax2+bx+c=0 važi: x1 + x 2 = − . a 5 U slu aju jedna ine 6 x 2 − 5x + 1 = 0 x1 + x2 = . % 6

& 5 =5 x

x−1

+4 +4

x − y = 90

x

x −1

1 1 = 4x 1+ 5 1− 4 5 x

x = 90 + y

5 x 25 = 4 x 16

x = 2 ∈ [2, 3).

%

y2+90y–1000 = 0 y1 =10, y2 =–100.

log x + log y = 3 xy = 1000 Negativno rešenje jedna ine (zbog logaritma) se ne prihvata, pa je x=100, y =10, odnosno x + y = 110.

α +β

%

α −β

, za α=105o i β=75o imamo: 2 2 105 o + 75 o 105 o − 75 o = 2 cos 90 o cos 15 o = 0 . cos 105 o + cos 75 o = 2 cos cos 2 2

' Pošto je cos α + cos β = 2 cos

! 2 − cos2 x + 2 sin x = 0

cos

sin 2 x + 2 sin x + 1 = 0

(sin x + 1)2 = 0 , tojest sin x= –1-

U datom intervalu jedna ina je zadovoljena samo za x =

3π . Broj rešenja 1. 2

#! Koordinate sredine duži BC su: A1(–3, 4). Duž t = AA1 = t a = 65 .

103

(

$! Jedna ina x 2 + y 2 + 6 x − 4 y + 10 = 0 se svodi na ( x + 3) + ( y − 2 ) = 3 . 2

Polupre nik date kružnice je

2

3 , dok je pre nik 2 3 = 12 .

"

%! Pošto je odnos polupre nika osnove ovih valjaka je r:R = 1:2, sledi: odnos površina " baznih krugova B1 : B2 = 1 : 4. Pošto su visine jednake, zato je i V1 : V2 = 1 : 4

&'! Na osnovu datih brojeva imamo sistem jedna ina: 1 17 a1+3d = 7 i a1+11d = 3. Iz toga se izra unava d = − , a1 = , S 40 = −50. 2 2

&

'

(

104

)

*

%

!$C

D

B

E; !

J =$# $ L!$

" ; F

#G "

"

7

! " # !$# ! $ " 9 # !$# ! :;<





Σ a − a2 5 − 5a

Skra eni oblik datog izraza je (uslov): A kifejezés egyszer sített alakja (feltétel): %

a , a ≠1 5

a , a≠5 5

%

%

Realno rešenje date jedna ine:

a , a≠0 5

x−3 − 2− x = 2

Az adott egyenlet valós megoldása:

%

&

O

%

% P

,) ( # +& I ,)

Rešenja date kvadratne jedna ine su realni brojevi, ako parametar a ima vrednost:

a QR R

%

aPR R

% aSR R

Proizvod korena date eksponencijalne jedna ine je:

3(3 x + 3− x ) = 10

Az adott exponenciális egyenlet gyökeinek szorzata:

%

I

.

ax 2 + 4 x + a = 0

Az adott másodfokú egyenlet gyökei valós számok, ha az a paraméterre igaz hogy:

%

'?#)!&

%

%

105

'

Vrednost datog logaritamskog izraza je:

(

log 2007 2007 ⋅ 7 2007

)

Az adott logaritmusos kifejezés értéke: %

(

1 7

8 7

%

Ako je 0 < α <

π

i 0<β <

π

2 2 uslovi, vrednost sin(α + β ) je: Ha 0 < α <

π

és 0 < β <

%

7

i važe dati sin α =

π

1 2

cos β =

3 5

akkor az adott 2 2 feltételekkel sin(α + β ) értéke:

3+ 4 3 10

%

%

3−4 3 10

Koliko rešenja ima data trigonometrijska jedna ina u razmaku [ 0, π ] : Az adott trigonometrikus egyenlet [ 0, π ] intervallumhoz tartozó megoldásainak száma:

%

)

−3−4 3 10

%

%

2 sin 2 x + 3 sin x + 1 = 0

%

Dužina tetive kružnice, koja pripada datoj pravoj je:

x 2 + y 2 = 16 x+ y−4=0

A kör húrjának a hossza, amely az adott egyeneshez tartozik:

%

*

%

% 4 3

4 2

"Mala" kocka ima telesnu dijagonalu D1 jednaku sa bo nom dijagonalom d2 "velike" kocke. Odnos površine "male" kocke i "velike" kocke je P1 : P2 = A "kissebb" kocka testátlója D1 egyenl a "nagyobb" kocka d2 oldalátlójával. A "kis" kocka és a "nagy" kocka felszíneinek aránya: P1 : P2 =

% 3:2

% 2:3

d2

D1

a1

a2

% 2:2

Aritmeti ki niz, iji lanovi zadovoljavaju date jedna ine je: Az adott egyenleteket kielégít számtani sorozat tagjai:

a5 + a7 + a11 = 96

%

%

M ---

%

---

106

a8 − a3 = 15 0 ---

!$C

D

B

#

E; !

7 H!7

" ; F

"

7

! " # !$# ! $ " 9 # !$# ! :;<

J$B$ = , #$9 &

#G "

'

(

107

F: )

*

!$C

D

B

E; !

" ; F

#G "

"

7

*

*

J =$# $ L!$

! " # !$# ! $ " 9 # !$# ! :;<





Σ Dati izraz nema smisla u slu aju, ako je a =

8a 3 + 24 a 2 a2 − 9

Az adott kifejezés nem értelmezett, ha a = %

%

%

Za realno rešenje date jedna ine važi:

8 − 2 + x = 20

Az adott egyenlet valós megoldására teljesül: %

&

x ∈ [ −2, ∞ )

% x ∈ ( −∞, − 2)

Rešenja date kvadratne jedna ine nisu realni brojevi, ako parametar a ima vrednost: Az adott másodfokú egyenlet gyökei nem valós számok, ha az a paraméterre igaz, hogy: %

QaQ

%

QaP

%

x ∈ ∅.

ax 2 + 2ax + 1 = 0

%

PaQ

Zbir korena date eksponencijalne jedna ine je:

2 x + 2 2− x = 5 Az adott exponenciális egyenlet gyökeinek összege: %

%

I

%

108

'


(

log 2007 20072 ⋅ 3 2007

)

Az adott logaritmusos kifejezés értéke: %

(

2 3

7 3

%

% 4 π <α <π 5 2 1 3π cos β = − π <β < 2 2 sin α =

Ako važe dati uslovi, vrednost cos(α − β ) je:

Az adott feltételekkel cos(α − β ) értéke:

%

3− 4 3 10

%

3+ 4 3 10

Koliko rešenja ima data trigonometrijska jedna ina u razmaku [ π , 2π ] : Az adott trigonometrikus egyenlet [ π , 2π ] intervallumhoz tartozó megoldásainak száma:

%

)

−3− 4 3 10

%

%

2 cos 2 x − 5 cos x − 3 = 0

%

Dužina tetive kružnice, koja pripada datoj pravoj je:

x 2 + y 2 = 25 x− y+5= 0

A kör húrjának a hossza, amely az adott egyeneshez tartozik:

% 5

*

%

%

5 2

Jednakostrani na kupa (s1 = 2r1) i jednakostrani ni valjak (H2 = 2r2) imaju iste visine: H1 = H2. Odnos njihovih zapremina je V1 : V2 = Az egyenl oldalú kúpnak (s1 = 2r1), és az egyenl oldalú hengernek (H2 = 2r2) megegyezik a magassága: H1 = H2. Térfogataik aránya V1 : V2 =

% 4:9

s1

M

2r1

% 9:4

---

%

H2

H1

2r2

% 3:9

Aritmeti ki niz, iji lanovi zadovoljavaju date jedna ine je: Az adott egyenleteket kielégít számtani sorozat tagjai:

%

5 3

M

---

109

2a 4 + a 6 = 48 5a 5 − 7 a 2 = 29 % I

I

---

!$C

D

B

E; !

" ; F

#G "

"

7

*

*

J =$# $ L!$

&

! " # !$# ! $ " 9 # !$# ! :;<

'

(

110

)

*

!$C

D

B

E; !

" ; F

)

J =$# $ L!$

#G " )

"

7

! " # !$# ! $ " 9 # !$# ! :;<

Zaokružiti jedno ili dva od slova %I %I % ili 2% ispred onih odgovora koje smatrate ispravnim. Od ponudjena etiri odgovora UVEK SU TA NA DVA ODGOVORA! ---------------------------------------Ako zaokružite više od dva odgovora = minus 1 bod! -------------------------------------Ako je zaokružen samo jedan ispravan odgovor, tada se vrednuje sa 3 boda. ---------------------------------------Ako su zaokružena dva odgovora, od kojih je jedan ispravan, a dugi neispravan, vrednujemo sa 2 boda. -------------------------------------Ako su zaokružena ta no dva ispravna odgovora, vrednujemo sa 6 bodova. -------------------------------------Ako su zaokruženi samo neispravni odgovori ili nema nijednog zaokruženog odgovora, dobijete 0 boda. ------------------------------------UKUPNI MOGU I BROJ BODOVA JE 60.

Karikázzon be egy vagy két bet t az %I %I % és 2% bet k közül, amelyek a véleménye szerint a helyes válaszokat jelölik. A felkínált lehet ségek között. MINDIG KÉT HELYES VÁLASZ VAN! ----------------------------------Ha több mint két bet t karikáz be = mínusz 1 pont! -----------------------------------Ha egyetlen választ karikázott be, és az jó, akkor 3 ponttal értékeljük. -----------------------------------Ha két választ karikázott be, és az egyik jó, a másik rossz, akkor 2 ponttal értékeljük . -----------------------------------Ha két választ karikázott be és mindkett jó, akkor 6 pont a feladat értéke. --------------------------------------Ha csak téves választ (vagy válaszokat) karikázott be, illetve ha nics bekarikázott válasz, akkor 0 pont jár. ------------------------------------AZ ÖSSZESÍTETT PONTSZÁM 60 LEHET



Σ Uproš ena vrednost datog izraza je:

a +5 a −5 − = a−5 a+5

Az adott kifejezés egyszer sített alakja:

%

20a a − 25 2

%

20 a − 25 2

%

20a

( a − 5 )( a + 5 )

2%

a

( a − 5 )( a + 5 )

Uproš ena vrednost datog izraza je:

a a a ·a

−

7 8

=

Az adott kifejezés egyszer sített alakja:

%

&

%

1

a1

%

0

2%

a0

Ako su x i x rešenja date jedna ine, tada važi:

x 2 = 2 ( x − 1) Ha x és x az adott egyenlet megoldásai , akkor fennáll:

%

x1 + x2 = 2

%

x1 − x2 = 2i

% x1 + x2 = −2i

2% x1 + x2 = −2

5x + 3·5 x−2 = 140

Rešenje date jedna ine nalaze se u skupu:

111

Az egyenlet megoldása a következ halmazhoz tartozik:

%

A = {1, 2, 4}

'

% B = {2, 3, 4}

% C = {1, 3, 4}

Ako je x0 rešenje date logaritamske jedna ine, tada važi:

2% D = {2, 4, 5}

log 3 ( 5 + 4 log 3 ( x − 1) ) = 2

Ha a logaritmusos egyenlet megoldása x0 , akkor fennáll:

%

x0 ∈ ( 2,5 )

(

%

x0 ∈ ( 3, 6 )

%

x0 ∈ ( 4,7 )

2%

Bez kalkulatora izra unata vrednost izraza je:

cos A kifejezés segédeszközök nélkül kiszámított értéke:

%

1 2

%

cos

π

%

2%

0

2 Najmanje pozitivno rešenje x0 trigonometrijske jedna ine zadovoljava uslov x0 > ϕ , gde je:

)

ϕ=

41 400

%

ϕ=

11 100

%

ϕ=

21 200

Data je jedna ina kružnice iji je centar ta ka C , a polupre nik r . Važe slede a tvr enja:

7π π 7π π ·cos + sin ·sin = 10 5 10 5

cos

π 3

2sin 5 x − 1 = 0

Az adott trigonometriai egyenlet legkisebb pozitív gyökére x0 -ra teljesül: x0 > ϕ , ahol:

%

x0 ∈ (1, 4 )

2%

ϕ=

31 300

x 2 + y 2 − 8 x − 10 y + 16 = 0

Adott a C középpontú és r sugarú kör egyenlete. Igazak a követlez állítások.

% r=4

*

%

C (4;5)

%

C (5; 4)

2%

r =5

Date su jednakoivi na trostrana piramida i jednakoivi na etvorostrana piramida, dužine ivica a . Neka su P1 i P2 površine, a V1 i V2 zapremine u datom redu. Važi: Az egyenl él háromoldalú gúla és az egyenl él négyoldalú gúla élei a hosszúságúak. A testek felszíne P1 és P2 , térfogatuk pedig V1 és V2 az adott sorrendben. Igaz:

% V1 : V2 = 2 : 3

% V1 : V2 = 1: 2

% P1 − P2 = a 2

2% P1 − P2 = a 3

Zbir tri broja, koji ine geometrijsku progresiju je 12 . Ako se drugom broju doda 18 dobija se aritmeti ki niz. Na i te brojeve, i utvrditi koje tvr enje je istinito:

a , b, c

A mértani sorozatot alkotó három szám összege 12 . Ha a második számot 18 -al növeljük, akkor számtani sorozatot nyerünk. A kapott számokra igaz állítások:

%

a + b = 19

%

a + c = 20

% a + b = 20

112

2%

a + 2b + c = 4

&

'

(

2

) 2

113

2

* 2

!$C

D B * ( *

E; !

J =$# $ L!$

" ; F

#G " " * ( *

7

! " # !$# ! $ " 9 # !$# ! :;<





Σ Skra eni oblik datog algebarskog razlomka je:

a 3 − 9a a −3 · 2 = 2 2a − 12a + 18 a + 3a

Az adott algebrai tört egyszer sített alakja:

%

0.2

%

2

%

1

2 −1

2%

2

Ta na vrednost datog izraza pripada intervalu: 4

Az adott kifejezés pontos értéke a következ intervallumba esik:

%

&

[ −1, 0] ;

%

( −1,1) ;

%

[−1, 0)

4

2

3 1 − 3 ·1 7 6

2% (0,1]

Ako su celi brojevi x i x rešenja date jedna ine, tada važi: Ha x és x egész számok az adott egyenlet megoldásai , akkor fennáll:

%

1 8 3 · 4 13

x1 = x2

%

x1 = x2

% x1 + x2 = 10

114

x 2 + 11 + x 2 + 11 = 42

2% x1 + x2 = 20

2

=


7 x +1 − 6·7 x − 5·7 x −1 = 14


%

'

A = {1, 2, 4}

% B = {2, 3, 4}

% C = {1, 3, 4}

2% D = {3, 4, 5}

Ako je (bez kalkulatora izra unata) vrednost datog izraza A , tada važi:

1 + log 49 7 + 2 + log100 + log 3 log 4 64 A = log 2

Ha a kifejezés (segédeszközök nélkül kiszámított) értéke A , akkor teljesül:

%

(

A∈ ( 4,8 )

%

A∈ (1,5)

A∈ ( 3, 7 )

%

Ako važe dati uslov za ugao α , tada je:

A∈ ( 2, 6 )

2%

cos α = −

Ha α szög kielégíti az adott feltételeket, akkor igaz:

%

tgα + ctgα = −

169

%

60

tgα + ctgα = −

60

%

sin α ·cos α = −

169

169

2%

)

%

4π 6π < x0 < 24 24

5π

%

24

< x0 <

4sin 2 x·cos 2 x + 1 = 0

7π 24

2%

Ako je ta ka C centar, a r polupre nik date kružnice, tada za ta ke A, B i C važi:

*

%

AC > r

BC ≤ r

%

6π 8π < x0 < 24 24

x2 + y 2 − 4 x − 2 y = 4 A (1,1) , B ( 3, −1)

Ha C az adott kör középpontja, r pedig a sugara, akkor és C pontra teljesül:

% AC ≤ r

60 169

Az adott trigonometriai egyenlet legkisebb pozitív gyökére x0 -ra teljesül:

3π 5π < x0 < 24 24

sin α ·cos α = −

60

Najmanje pozitivno rešenje x0 trigonometrijske jedna ine zadovoljava uslov:

%

5 π , <α <π 13 2

2%

BC > r

2%

V1 9 2 = V2 4 3

Jednakoivi na prava trostrana prizma ima zapreminu V1 , dok zapremina jednakoivi ne prave etvorostrani ne piramide je V2 . Ako su ivice tih tela iste dužine

a ,tada je istinito tvr enje:

Az egyenl él háromoldalú hasáb és az egyenl él négyoldalú gúla élei a hosszúságúak. A testek térfogata V1 és V2 az adott sorrendben. Teljesül a következ állítás:

%

V1 3 3 = V2 2 2

%

V1 3 2 = V2 2 3

%

V1 9 3 = V2 4 2

Koja tvr enja su ta na za lanove aritmeti kog niza zadatog sistemom jedna ina? A mellékelt egyenletrendszerrel adott számtani sorozat tagjaira vonatkozó állítások közül igazak:

115

a5 + a7 + a11 = 96 a8 − a3 = 15

%

a1 + a2 = 26

%

& 2

a1 + a2 = 27

% a2 + a3 = 33

'

(

2

2

116

2%

a3 + a4 = 40

) 2

* 2

!$C

D B ) * *

E; !

J =$# $ L!$

" ; F

#G " " * * )

7

! " # !$# ! $ " 9 # !$# ! :;<






a 2 + 2a 2a 2 − 8a + 8 · 3 = a−2 a − 4a


%

1 2

%

2

% 0.2

2%

4

Ta na vrednost datog izraza pripada intervalu:

( )(

) ( 4

4

4 ·

5

0

4

)

2 −3 2

2

− 2 16 ·

Az adott kifejezés pontos értéke a következ intervallumba esik:

%

&

[ −4, 0] ;

%

( −5,5) ;

%

[−4, 0)

2% (0, 5]

Ako su x i x rešenja date jedna ine, tada važi:

2 3 x2 − 5 3 x = 3 Ha x és x az adott egyenlet megoldásai , akkor fennáll:

%

x1 + x2 < 27

%

x1 + x2 > 27

% x1·x2 > 3

117

2% x1·x2 < 3

3

0

2

=


−2 1 4 3 x+1 · 2 =8 3 8


%

'

A = {1, 2, 4}

% B = {2, 3, 4}

% C = {1, 3, 4}

Ako je x0 rešenje date logaritamske jedna ine, tada važi:

2% D = {2, 4, 5} log 3 ( x + 1) + log 3 ( x + 3) − 1 = 0

Ha a logaritmusos egyenlet megoldása x0 , akkor fennáll:

%

(

%

x0 ∈ ( −4, −1)

%

x0 ∈ ( −1, 6 )

%

x0 ∈ [0, 7)

x0 ∈ [−1, 0)

2%

Pri datim uslovima za vrednost cos (α + β ) važi:

sin α = sin β =

Az adott feltételek mellett cos (α + β ) értékére igaz:

α ∈ 0,

cos (α + β ) < 0

% cos (α + β ) = −1

% cos (α + β ) = 1

2%

π 2

5 , 13

,β ∈

π 2

,π

cos (α + β ) > 0

Dva najmanja nenegativna rešenja x1 i x2 trigonometrijske jedna ine zadovoljava uslov: sin x + cos x = 1 + sin x·cos x

Az adott trigonometriai egyenlet két legkisebb nemnegatív gyökére x1 és x2 -re teljesül:

%

)

x1 + x2 =

π 2

%

x1 + x2 >

π 2

% x1 + x2 <

π 2

2%

Ako je ta ka C centar, a r polupre nik date kružnice, tada za ta ke A, B i C važi:

x2 + y2 − 4x − 2 y + 1 = 0 A (1,1) , B ( 5, 0 )

Ha C az adott kör középpontja, r pedig a sugara, akkor és C pontra teljesül:

% AC ≤ r

*

%

AC > r

%

BC ≤ r

x1·x2 = 0

2%

BC > r

Prava trostrana prizma ima u osnovi trougao sa stranicama a, b, c . Visina joj je jednaka poluobimu baze. Za merni broj površine P te prizme važi: Az egyenes háromoldalú hasáb alapélei a, b, c , magassága H egyenl az alaplap félkerületével. A test felszínének mér száma P . Erre a számra teljesül:

% 5400 < P < 5600

% 5500 < P < 5700

% 5600 < P < 5800

lanovi jednog geometrijskog niza zadovoljavaju datu jedna inu. Koja tvr enja su ta na za rešenje te jedna ine? Egy mértani sorozat elemei kielégítik a következ egyenletet. Mely állítások igazak az adott egyenlet megoldására?

%

a4 = 25

%

x = a6

% S8 = 665 118

2% 5700 < P < 5900

3 + 6 +12 + …+ x = 189 2%

S7 = 381

&

'

(

2

) 2

119

2

* 2

!$C

D B * (

E; !

J =$# $ L!$

" ; F

#G "

" ( *

7

! " # !$# ! $ " 9 # !$# ! :;<

Zaokružiti jedno ili dva od slova %I %I % ili 2% ispred onih odgovora koje smatrate ispravnim. Od ponudjena etiri odgovora UVEK SU TA NA DVA ODGOVORA! ---------------------------------------Ako zaokružite više od dva odgovora = minus 1 bod! -------------------------------------Ako je zaokružen samo jedan ispravan odgovor, tada se vrednuje sa 3 boda. ---------------------------------------Ako su zaokružena ta no dva ispravna odgovora, vrednujemo sa 6 bodova. -------------------------------------Ako su zaokruženi samo neispravni odgovori ili nema nijednog zaokruženog odgovora, dobijete 0 boda. -------------------------------------

Karikázzon be egy vagy két bet t az %I %I % és 2% bet k közül, amelyek a véleménye szerint a helyes válaszokat jelölik. A felkínált lehet ségek között. MINDIG KÉT HELYES VÁLASZ VAN! ----------------------------------Ha több mint két bet t karikáz be = mínusz 1 pont! -----------------------------------Ha egy választ karikázott be, és az jó, akkor 3 ponttal értékeljük. -----------------------------------Ha két választ karikázott be és mindkett jó, akkor 6 pont a feladat értéke. --------------------------------------Ha csak téves választ (vagy válaszokat) karikázott be, illetve ha nics bekarikázott válasz, akkor 0 pont jár. -------------------------------------

UKUPNI MOGU I BROJ BODOVA JE 60.

AZ ÖSSZESÍTETT PONTSZÁM 60 LEHET.




4 x 2 + 12 xy + 9 y 2 4 x − 6 y = · 4x2 − 9 y2 2x + 3y


%

2;

2x ; y

%

%

8 ; 4

2y . x

2%

Ta na vrednost datog izraza je: 3

4− 8 ⋅ 3 4+ 8 =

Az adott kifejezés pontos értéke:

%

&

3;

%

2;

%

4;

2%

Skup rešenja date nejedna ine sadrži kao podskup i sve elemente navedenih skupova.

−5 x 2 − 19 x + 4 ≥ 0

Az adott egyenl tleség megoldáshalmazához tartozik az alább felsorolt halmazok mindegyik eleme is:

1 % −4 ≤ x ≤ ; 5

%

1 −4 ≤ x < ; 5

% −4 < x < 1 ;

120

2.

2%

−π ,

1 1 . , 10 2e

Rešenja date jedna ine zadovoljavaju uslov:

x + 2 = x. Az adott egyenlet megoldásaira teljesül:

%

'

x ∈ [−1, 2)

% x ∈ (−1, 2]

%

x ∈ (−1, 2)

x ∈ [−1, 3)

2%

Rešenja date eksponencijalne jedna ine zadovoljavaju uslov:

4x − 6 ⋅ 2x + 8 = 0 Az adott exponenciális egyenlet megoldásaira teljesülnek:

%

(

x1 + x 2 = 2

%

x1 ⋅ x 2 = 3

%

x1 + x 2 = 3

Vrednost broja A zadovoljava uslov:

2% x1 ⋅ x 2 = 2

(

A = log 2010 20104 ⋅ 3 20102

)

Az A szám értéke kielégíti az alábbi feltételt:

%

A=

% A=2010;

%

A ∈ (4, 5);

A ∈ [3, 4].

2%

Pri datim uslovima za uglove α i β vrednost X= sin (α + β ) zadovoljava jednakost:

sin α =

Az α és β szögekre adott feltételek esetén X= sin (α + β ) értékére teljesül:

3 3π , 2π cos( β ) = , β ∈ 5 2

% X+1 =

)

14 ; 3

49 ; 85

% X =−

36 ; 85

%X =

36 ; 85

2% X+1 = −

Koordinate (x,y) prese nih ta aka date kružnice i prave zadovoljavaju uslov:

*

x+y=0

%

x+y=2

% x+y=4

x− y+2=0

%

2% x + y = –2

Jednakoivi na prava trostrana prizma ima površinu baze B. Površina P prizme je: Az egyenl él egyenes háromoldalú hasáb alaplapjának területe B. A hasáb F felszíne: 9 3 + 27 cm 2 2

%

9 3 + 27 2 cm 2

% 9

3 + 3 cm 2 2

49 . 85

x2 + y2 = 4

Az adott kör és egyenes metszésponjainak (x,y) koordinátáira igaz:

%

8 π , α ∈ 0, 17 2

a a

a

a

a a

2%

B=

a

9 3 2 cm 4

45 cm 2

Dat je prvi lan i koli nik geometrijskog niza. Ako je zbir prvih n lanova 765, tada za n važi: Adott a mértani sorozat els eleme és hányadosa. Ha az els n tag összege 765, akkor n-re érvényes, hogy:

%

n>7;

%

n<9;

% n>8; 121

a1

2% n<8;

3, q

2.

!$C

D B * (

E; !

J =$# $ L!$

" ; F

" ( *

7

! " # !$# ! $ " 9 # !$# ! :;<

&

'

2

#G "

2

(

)

2

*

2

2 ( 2x − 3y ) (2x + 3y ) 4 x 2 + 12 xy + 9 y 2 4 x − 6 y · · = 2. = 2 2 2 x + 3 y ( 2 x − 3 y )( 2 x + 3 y ) 2 x + 3 y 4x − 9 y 2

&!

!

"! )!

3

4− 8 ⋅ 3 4+ 8 =

3

( 4 − 8 )( 4 + 8 ) =

3

16 − 8 = 3 8 = 2 .

! (

"! *!

−5 x 2 − 19 x + 4 ≥ 0 ⇔ −5 ( x + 4 ) x −

1 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ −4 i x ≤ . 5 5

!

+! ,!

x + 2 = x. Sledi: x + 2 = x 2 , odnosno x 2 − x − 2 = 0 medjutim samo x=2 zadovoljava datu jedna inu.

x1 = 2, x2 = −1 ,

! (

+! -! +! !

4 x − 6 ⋅ 2 x + 8 = 0 Za 2 x = t imamo: t 2 − 6t + 8 = 0

(

A = log 2010 20104 ⋅ 3 20102

)

(Rešenje:

t1 = 4, t 2 = 2

x1 = 2, x 2 = 1 . ! "

14 ) 3

!

"! #!

8 3 3π π , α ∈ 0, , cos( β ) = , β ∈ , 2π , 17 2 5 2 46 15 4 tada važi: sin (α + β ) = − , jer je: cos α = , sin β = − , dok je 85 17 5 8 3 15 4 36 X= sin (α + β ) = sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β = · + · − =− . 17 5 17 5 85 Ako je sin α =

!

(! $!

Kružnica i prava

x2 + y2 = 4

x− y+2=0 x + y = 2, ili je x + y = –2.

seku se u ta kama A(0, 2) i B(–2, 0), pa je

! (

+! 122

%!

P= 9 3 + 27 cm 2 = 9 2

3 + 3 cm 2 2

!

"! &'!

Dat je prvi lan i koli nik geometrijskog niza. Ako je zbir prvih n lanova 765, tada za n važi:

Sn = a1

qn −1 q −1

765 = 3 ⋅

2n − 1 2 −1

2n − 1 = 255

(!

123

2n = 256

n =8

!

!$C

D B ' *

E; !

J =$# $ L!$

" ; F

#G "

" * '

7

! " # !$# ! $ " 9 # !$# ! :;<

Zaokružiti jedno ili dva od slova %I %I % ili 2% ispred onih odgovora koje smatrate ispravnim. Od ponudjena etiri odgovora UVEK SU TA NA DVA ODGOVORA! ---------------------------------------Ako zaokružite više od dva odgovora = minus 1 bod! -------------------------------------Ako je zaokružen samo jedan ispravan odgovor, tada se vrednuje sa 3 boda. ---------------------------------------Ako su zaokružena ta no dva ispravna odgovora, vrednujemo sa 6 bodova. -------------------------------------Ako su zaokruženi samo neispravni odgovori ili nema nijednog zaokruženog odgovora, dobijete 0 boda. -------------------------------------

Karikázzon be egy vagy két bet t az %I %I % és 2% bet k közül, amelyek a véleménye szerint a helyes válaszokat jelölik. A felkínált lehet ségek között. MINDIG KÉT HELYES VÁLASZ VAN! ----------------------------------Ha több mint két bet t karikáz be = mínusz 1 pont! -----------------------------------Ha egy választ karikázott be, és az jó, akkor 3 ponttal értékeljük. -----------------------------------Ha két választ karikázott be és mindkett jó, akkor 6 pont a feladat értéke. --------------------------------------Ha csak téves választ (vagy válaszokat) karikázott be, illetve ha nics bekarikázott válasz, akkor 0 pont jár. -------------------------------------


AZ ÖSSZESÍTETT PONTSZÁM 60 LEHET .




1 1 a+b + : = a·b a b


%

%

1;

a+b ; b+a

%

a;

2%

b.

Ta na vrednost datog izraza je: 13 8

a3 ⋅ 3 a 2 ⋅ a 24 =

Az adott kifejezés pontos értéke:

%

&

5 6

a ;

%

a;

%

5 5

a ;

6 5

2%

a .

Skup rešenja date nejedna ine sadrži kao podskup i sve elemente navedenih skupova.

2 x 2 − x − 10 < 0 Az egyenl tleség megoldáshalmazához tartozik az alább felsorolt halmazok mindegyik eleme is:

% −

5 < x < 3; 2

%

−2 < x <

5 ; 2

% −

Rešenja date jedna ine zadovoljavaju uslov:

124

5 5 <x< ; 2 2

2%

−

π 2

,

5 e . , 2 2

2 x + 5 = x + 2.

Az adott egyenlet megoldásaira teljesül:

−4 < x < 4

%

'

% −4 < x ≤ 4

−3 < x < 5

%

2% −5 < x < 3

Rešenja date eksponencijalne jedna ine zadovoljavaju uslov:

9 x − 12 ⋅ 3 x + 27 = 0 Az adott exponenciális egyenlet megoldásaira teljesülnek:

x1 + x 2 = 2

%

(

x1 ⋅ x 2 = 2

%

%

x1 + x 2 = 3

2% x1 ⋅ x 2 = 3

(

Vrednost broja A zadovoljava uslov:

A = log 2009 2009 3 ⋅ 4 2009 3

Az A szám értéke kielégíti az alábbi feltételt:

%

A=2009;

A=

%

15 ; 4

%

A ∈ (4, 5);

Dati su uslovi za ugao α. Pri tim uslovima za vrednosti X= sin ( 2α ) i Y= cos ( 2α ) važi: Az α szögre igazak az adott feltételek. Ezen feltételek mellett X= sin ( 2α ) és Y= cos ( 2α ) értékeire teljesül :

% X= −

)

24 ; 25

% Y=

7 ; 25

% X–Y=

7 ; 25

A ∈ [3, 5].

2%

4 π cos α = − , α ∈ ,π 5 2

2% X+Y= −

Koordinate (x,y) prese nih ta aka date kružnice i prave zadovoljavaju uslov:

x2 + y 2 = 9 x− y+3= 0

Az adott kör és egyenes metszésponjainak (x,y) koordinátáira igaz:

%

x + y = –3

*

%

% x+y=3

x+y=0

2% x + y = 6 a

Jednakoivi na prava trostrana prizma ima obim baze O = 15 cm. Površina P prizme je:

125 3 cm 2

%

(

)

25 6 + 3 cm 2 2

a

1;

% a1

3, d

3;

% a1

125

d

O=15cm

a

2% 25 3 + 75 cm 2

% 105cm 2

2

a1 + a5 = 8 a7 − a3 = 12

Egy számtani sorozat elemei kielégítik az adott egyenletrendszert. Mely állítások igazak erre a sorozatra?

d

a

a

lanovi aritmeti kog niza zadovoljavaju dati sistem jedna ina. Koja tvr enja su ta na za taj niz?

% a1

a

a

Az egyenl él egyenes háromoldalú hasáb alaplapjának kerülete O = 15 cm. A hasáb F felszíne:

%

24 . 25

1;

2% a1

d

5;

)

!$C

D B ' *

E; !

J =$# $ L!$

" ; F

#G "

" * '

7

! " # !$# ! $ " 9 # !$# ! :;<

&

'

(

2

)

*

2

2

2

1 1 a + b b + a ab + : = · =1 a b a·b ab a + b

&!

!

" ! 3

13

21 ⋅

3

13

a3 ⋅ 3 a 2 ⋅ a 24 = a 8 ⋅ a 3 8 ⋅ a 24 = a 8

)! "!

8

*!

2 x 2 − x − 10 < 0 ⇔ 2 x −

+

2 13 + 24 24

24

= a 24 = a .

!(

5 5 ⋅ ( x + 2 ) < 0 ⇔ x > −2 ili x < . 2 2

!(

+! ,!

2 x + 5 = x + 2. Sledi: 2( x + 5) = x 2 + 4 x + 4 , odnosno x 2 − 16 = 0

x12 ± 4 , !(

medjutim samo x=4 zadovoljava datu jedna inu.

" ! -!

!

9 x − 12 ⋅ 3 x + 27 = 0 Za 3 x = t imamo: t 2 − 12t + 27 = 0

(

A = log 2009 2009 3 ⋅ 4 2009 3

)

(Rešenje:

t1 = 9, t 2 = 3

x1 = 2, x 2 = 1 . !( "!

15 ) 4

!(

+! #!

4 π Ako je cos α = − , α ∈ ,π 5 2

za 2α važi:

X= sin ( 2α ) = −

16 9 sin 2 α = 25 25 3 4 24 sin ( 2α ) = 2sin α cos α = 2 ⋅ ⋅ − = − , 5 5 25 sin 2 α = 1 − cos 2 α

sin 2 α = 1 −

4 cos ( 2α ) = cos α − sin α = − 5 2

2

2

3 − 5

2

=

sin α =

24 7 , Y= cos ( 2α ) = jer je: 25 25

9 25

3 sin α = , dok je 5

7 25

!

(! $!

Kružnica i prava

x2 + y2 = 9

x− y+3= 0 x + y = 3, ili je x + y = –3.

seku se u ta kama A(0, 3) i B(–3, 0), pa je

!

"! 126

%! + ! &'!

P=

(

)

25 6 + 3 cm 2 = 25 3 + 75 cm 2 2 2

!(

lanovi aritmeti kog niza zadovoljavaju sistem jedna ina, tada zbog an = a1 + ( n − 1) d važi: 1 a1 = ( 8 − 4d ) a1 + a1 + 4d = 8 a1 + a5 = 8 2a1 + 4d = 8 a = −2 2 . ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 1 a1 + 6d − ( a1 + 2d ) = 12 a7 − a3 = 12 4d = 12 12 d =3 d= 4

+ !

127

!

!$C

D B ) (

E; !

J =$# $ L!$

" ; F

#G "

" ( )

7

! " # !$# ! $ " 9 # !$# ! :;<

Zaokružiti slovo %I % ili % ispred ta nog odgovora. Od ponu ena tri odgovora SAMO JE JEDAN TA AN! ---------------------------------------Ta no zaokružen odgovor vredi 6 bodova. -------------------------------------Neta an odgovor i bez odgovora vredi 0 bodova. ----------------------------------------

Karikázza be az %I % A MN % bet t, amely a véleménye szerint a helyes választ jelöli. A felkínált lehet ségek között CSAK EGY HELYES VÁLASZ VAN! ----------------------------------A helyes válasz 6 pontot ér. -----------------------------------A téves válaszra és válasz nélküli kérdésre 0 pont jár. ------------------------------------





Σ

Skra eni oblik datog algebarskog izraza je:

a 3 − 1 3a 2 + 3a + 3 : a2 −1 2a + 2

Az adott algebrai tört egyszer sített alakja: %

2 3

2a + 2 3a − 3

%

%

3 2

Ta na vrednost datog izraza je: 3

a ⋅ a b ⋅ a ⋅b 4

3 5

12

5

7 12

Az adott kifejezés pontos értéke: %

a 2b

&

%

ab 2

% ab

4x + 5 1 1 + = ( x + 1) ⋅ ( x + 5 ) x + 5 x + 1

Rešenje date jedna ine je: Az adott egyenlet megoldása:

%

1 4

%

−

1 4

%

128

2 3

Realna rešenja date jedna ine su:

5 x − 11 = x − 1

Az adott egyenlet valós megoldásai: %

x1 = 3, x2 = −4

'

%

x1 = 4, x2 = −3

%

x1 = 3, x2 = 4

2 x + 2 y = 10

Az adott egyenletrendszer egész számú megoldásai: %

y−x=2

Rešenja datog sistema jedna ina u skupu celih brojeva su:

(1,3)

(

%

( 3,1)

% Ne postoji

log 9 3 + 49 ⋅ log 7 49


2011log2011 3 + log

2

Az adott logaritmusos kifejezés értéke: % 20

% 9

% 3

Pri datim uslovima, ta na vrednost izraza cos 2α + sin 2α je: Az adott feltételek esetén, a cos 2α + sin 2α kifejezés pontos értéke: %

31 25

)

%

−

4 + log 2 16

17 25

%

4 π cos α = , α ∈ 0, 2 5

1

Kordinate ta ke C , centra date kružnice su:

x 2 + y 2 − 10 x + 6 y + 18 = 0

Az adott kör C középpontjának koordinátái: %

C ( −5, −3)

*

%

C ( 5, −3)

%

C ( −5,3)

Odnos dužina ivica jednog kvadra je 3 : 4 : 5 . Njegova zapremina je 1620 cm3 . Dužine njegovih ivica su: Egy téglatest éleinek hossza úgy viszonyul egymáshoz, mint 3 : 4 : 5 . A téglatest térfogata 1620 cm3 . Ennek a téglatestnek az éleinek hossza:

%

9 cm, 12 cm, 15 cm

%

4 cm, 15 cm, 27 cm

%

Egy számtani sorozat 7. tagja a 27 , a sorozat 11. tagja pedig a 43 . A sorozat els 20 tagjának az összege:

793

%

79

%

129

b

a

5cm, 12 cm, 27 cm

Sedmi lan aritmeti kog niza je 27 , a jedanaesti lan niza je 43 . Zbir prvih 20 lanova niza je:

%

c

820

a7 = 27 a11 = 43 S 20 = ?

!$C

D B ) (

E; !

J =$# $ L!$

&

" ; F

#G "

" ( )

7

! " # !$# ! $ " 9 # !$# ! :;<

'

(

130

)

*

!$C

D B ' *

E; !

J =$# $ L!$

" ; F

#G "

" * '

7

! " # !$# ! $ " 9 # !$# ! :;<

Zaokružiti slovo %I % ili % ispred odgovora kojeg smatrate ispravnim. Od ponu ena tri odgovora SAMO JE JEDAN TA AN! ---------------------------------------Ta no zaokružen odgovor vredi 6 bodova. -------------------------------------Neta an odgovor i bez odgovora vredi 0 bodova. ----------------------------------------






Σ

Skra eni oblik datog izraza je:

8 − 12a +1 9a 2 − 4


9a 2 + 12a + 4 9a 2 − 4

%

3a − 2 3a + 2

%

3a + 2 3a − 2 3

Ta na vrednost datog izraza je:

1 3 6· 27· 8 − 2 · 1− 2 5 3

Az adott kifejezés pontos értéke: % 0

% 23

&

%

11

Rešenje date jedna ine je:

x − 3 3x − 1 + =2 x + 3 3x + 1

Az adott egyenlet megoldása: %

−

3 5

% −

% −3

131

1 3

3

Realna rešenja date jedna ine su:

x 2 − 5 x + 10 = 8 − 2 x

Az adott egyenlet valós megoldásai: % x=6

'

% x=3

%

x1 = 6, x2 = 3 x+ y =3

Rešenja datog sistema jedna ina u skupu celih brojeva su:

2 x + 3·2 y = 14

Az adott egyenletrendszer egész számú megoldásai:

(1, 2 )

%

(

%

( 2,1)

%

(1, 2 ) , ( 2,1)

Rešenje date logaritamske jedna ine je:

log 2 x + 2·log 4 x + 4·log16 x = 6

Az adott logaritmusos egyenlet megoldása: %

2

%

6

%

4

Pri datim uslovima, ta na vrednost izraza sin 2α + cos 2α je: Az adott feltételek esetén, a sin 2α + cos 2α kifejezés pontos értéke:

31 25

%

)

%

−

17 25

%

1

Površina trougla odre enog pravama p , q i x -osom je:

%

24

*

36

p : y = 3x q : y = −x + 8

A p és q egyenesekkel valamint az x -tengely által körülhatárolt háromszög területe: %

4 3π cos α = , α ∈ , 2π 5 2

%

48

Odnos dužina ivica jednog kvadra je 2 : 3 : 4 . Njegova zapremina je 648 cm3 . Dužine njegovih ivica su: Egy téglatest éleinek hossza úgy viszonyul egymáshoz, mint 2 : 3 : 4 . A téglatest térfogata 648 cm3 . Ennek a téglatestnek az éleinek hossza:

%

4 cm, 6 cm, 27 cm

%

4 cm, 9 cm, 18 cm

%

Egy számtani sorozat 6. tagja a 17 , a sorozat 12. tagja pedig a 35 . A sorozat els 40 tagjának az összege:

2380

%

2420

%

132

b

a

6 cm, 9 cm, 12 cm

Šesti lan aritmeti kog niza je 17 , a dvanaesti lan niza je 35 . Zbir prvih 40 lanova niza je:

%

c

4840

a6 = 17 a12 = 35 S 40 = ?

!$C

D B ' *

E; !

J =$# $ L!$

&

" ; F

#G "

" * '

7

! " # !$# ! $ " 9 # !$# ! :;<

'

(

133

)

*

!$C D B C !EF = I E; !

!JE

J =$# $ L!$

" ; F

#G " " " ; F

7

! " # !$# ! $ " 9 # !$# ! :;<







Σ Skra eni oblik datog algebarskog izraza je:

x2 + 4x + 4 x+2 : 2 2 x −4 x − 4x + 4


%

1, x ≠ ±2

%

x − 2, x ≠ ±2

%

x + 2, x ≠ ±2

Za brojeve A i B važi:

A = 3 − 2 2· 3 + 2 2

Az A és B számokra érvényes:

B = 5 − 21· 5 + 21

A2 ·B = 3

%

% B: A= 2

A− B =1

x+3 ≥0 3x − 2

Rešenje date nejedna ine je:

&

Az adott egyenl tlenség megoldása:

−3,

%

2 3

%

( −∞, −3] ∪

2 , +∞ 3

%

−3,

2 3


x + 4 − 2x − 6 = 1

Az adott egyenlet valós megoldásainak száma:

%

1

%

0

%

134

2

I

'

Rešenje date eksponencijalne jedna ine je:

5 x + 2 − 3·5 x +1 + 5 x = 55

Az adott exponenciális egyenlet megoldása: % 0

%


(

3 log 2 4 − 2 log 5 25 + log 3 27

Az adott logaritmusos kifejezés értéke:

5

%

% nema rešenje - nincs megoldása

1

%

0

%

7

Broj rešenja date trigonometrijske jedna ine na intervalu ( 0, 2π ) je:

2 sin x·cos x = sin x

Az adott trigonometrikus egyenlet megoldásainak száma a ( 0, 2π ) intervallumon:

1

%

%

%

2

3

Tetiva M 1M 2 kruga k pripada pravoj koja sadrži ta ku A i normalna je na pravu p . Odrediti dužinu tetive M 1M 2 .

)

k : x2 + y 2 + 4 x − 4 y = 0 p: y = x

Határozza meg a k kör M 1M 2 húrjának hosszát, ha a húr azon az egyenesen fekszik, amely mer leges a p egyenesre és áthalad az A ponton.

M1 M 2 = 4 2

%

%

M 1M 2 = 1

%

A (1, −1)

M 1M 2 = 2 16

a . Površina sfere upisane u kocku je PU . Površina sfere opisane oko kocke je PO . Odrediti odnos površina PU i PO .

Dužina ivice kocke je

*

%

a . A kockába írt gömb felszíne FB . A kocka köré írt gömb felszíne FK . Határozza meg a felszínek FB : FK arányát.

C

A kocka élének hossza

%

1

1 3

%

A növekv mértani sorozat els és harmadik tagjának összege 20 , az els három tagjának összege pedig 26 . Határozza meg a sorozat els tagját és a hányadosát.

a1 = 18, q =

1 3

%

a1 = 2, q = 3

%

135

R

a a

1 3

Zbir prvog i tre eg lana rastu eg geometrijskog niza je 20 a zbir prva tri lana je 26 . Na i prvi lan i koli nik niza.

%

a r

a1 = 3, q = 2

a1 + a3 = 20 a1 + a2 + a3 = 26

!$C

D

B

E; !

J =$# $ L!$

&

" ; F

#G "

"

7

! " # !$# ! $ " 9 # !$# ! :;<

'

(

136

)

*

!$C

D B ( *

E; !

J =$# $ L!$

" ; F

#G "

" * (

7

! " # !$# ! $ " 9 # !$# ! :;<

Zaokružiti slovo %I % ili % ispred odgovora kojeg smatrate ispravnim. Od ponu ena tri odgovora SAMO JE JEDAN TA AN! ---------------------------------------Ta no zaokružen odgovor vredi 6 bodova. -------------------------------------Neta an odgovor i bez odgovora vredi 0 bodova. ----------------------------------------






Σ x2 + 4x + 4 x + 2 : x2 − 4 x − 2

Skra eni oblik datog algebarskog izraza je: Az adott kifejezés egyszer sített alakja: %

1, x ≠ ±2

% x+2

% x−2

Za brojeve A i B važi:

A = 4 − 7· 4 + 7

Az A és B számokra érvényes: %

& %

A− B = 2

%

B = 6 − 11· 6 + 11

A+ B = 2

%

A·B = 15

x −5 <0 2x + 3

Rešenje date nejedna ine je: Az adott egyenl tlenség megoldása:

3 − ,5 2

%

3 − ,5 2

%

137

3 − ,5 2


x + 2 − 2x − 3 = 1

Az adott egyenlet valós megoldásainak száma:

2

%

'

%

% 0

1

Rešenje date eksponencijalne jedna ine je:

7 x +1 − 6·7 x − 5·7 x −1 = 14

Az adott exponenciális egyenlet megoldása:

0

%

%

%

2


(

log 2 8 − 2 log 3 9 + log 5 25

Az adott logaritmusos kifejezés értéke: % −3

1

%

7

%

9

Broj rešenja date trigonometrijske jedna ine na intervalu ( 0, π ) je:

2 sin x·cos x = cos x

Az adott trigonometrikus egyenlet megoldásainak száma a

( 0, π ) intervallumon: 1

%

%

%

2

3

Odrediti ta ke preseka P1 i P2 kružnice odre ene sa centrom

C ( 2, −3)

C i polupre nikom r sa pravom koja prolazi kroz ta ke A i B.

)

r =5

Határozza meg a C középpontú és r sugarú kör P1 és P2

A( 0,6) , B ( 3,3)

metszéspontjait az egyenessel, amely áthalad az A és B pontokon.

P1 ( 0, 6 ) , P2 ( 3,3)

%

%

P1 ( 6, 0 ) , P2 ( 5,1)

%

P1 ( 0, 6 ) , P2 ( 5,1)

Odrediti odnos zapremine upisane sfere VU i opisane sfere

VO kocke sa dužinom ivica a .

*

%

a r

Határozza meg az a él kockába írt gömb és köré írt gömb térfogatainak VB és VK arányát. %

1

2 9

%

R

3 3 a1 + a3 = 26

A számtani sorozat els és harmadik tagjának összege 26 , a második és negyedik tagjának szorzata pedig 195 . Határozza meg a sorozat els tagját és különbségét.

a1 = 12, d = 1

%

a1 = 1, d = 12

%

138

a a

1

Zbir prvog i tre eg lana aritmeti kog niza je 26 a proizvod drugog i etvrtog je 195 . Odrediti prvi lan i razliku niza.

%

C

a1 = 6, d = 2

a2 a4 = 195

, a1 = ?, d = ?

!$C

D

B

E; !

" ; F

#G "

"

O J ; % J =$# O J<; % $ L!$

&

7

(

(

! " # !$# ! $ " 9 # !$# ! :;<

'

(

139

)

*

!$C D B C !EF = I E; ! &

!JE

J =$# $ L!$

" ; F

#G " " " ; F &

7

I

! " # !$# ! $ " 9 # !$# ! :;<







Σ x ( x − 2y) ( x − y) = y+ : y x 2

Najjednostavniji oblik datog algebarskog izraza je: Az adott algebrai kifejezés legegyszer bb alakja: %

y x

%

x y

Za date brojeve A i B vrednost izraza Az A és B számokra az %

−1

x ≠ 0, y ≠ 0, x − y ≠ 0 %

x− y

AB je: 2

A = 3 5 − 17 ·3 5 + 17

AB kifejezés értéke: 2

% 0

B = 3 10 − 101·3 10 + 101 %

1

Skupu rešenja date nejedna ine pripadaju brojevi:

& %

3x 2 + 2 x − 1 ≤ 0

Az adott egyenl tlenség megoldáshalmazához tartoznak a következ számok:

1 1 − , ,1 3 3

%

2 2 − , −1, 3 3

%

140

−1, 0,

1 3

Broj rešenja date iracionalne jedna ine je:

2 3x − 1 − x + 7 = 0

Az adott irracionális egyenlet megoldásainak száma: % 0

'

%

1

%

2

Sva rešenja slede e jedna ine pripadaju intervalu:

2 x + 23 − x = 9 Az egyenlet minden megoldása a következ intervallumba tartozik: %

[−5,1)

[−5, 5)

%

[1,5)


( %

%

log 5


1 2

%

1

%

Az adott trigonometrikus egyenlet megoldásainak száma a [0, π ] intervallumon:

1

%

(

1 2 sin x − 4 + sin x = 0 2

% 0

2

Odrediti ta ke preseka P1 i P2 prave p i kružnice k , ako je

k : x2 + y2 = 4 q : y = −x + 6

prava p normalna na pravu q i ako prolazi kroz ta ku A .

)

%

Határozza meg a k kör és p egyenes P1 és P2 metszéspontjait, ha a p egyenes mer leges a q egyenesre és áthalad az A ponton.

P1 ( 2, 0 )

%

P2 ( 0, −2 )

P1 ( −2, 0 )

%

P2 ( 0, 2 )

A ( 4, 2 )

P1 ( 0, 0 ) P2 ( 2, −2 )

Odrediti zapreminu kocke, ako je data njena prostorna dijagonala D = 2 3 cm .

*

Határozza

meg

a

kocka

térfogatát,

ha

a

testátlója

D = 2 3 cm . %

6 cm3

%

4 cm 3

%

8 cm3

Zbir prva jedanaest lana aritmeti kog niza je −99 . Odrediti aritmeti ki niz, ako zadovoljava datu jedna inu A számtani sorozat els tizenegy tagjának összege −99 . Ha a számtani sorozat tagjai eleget tesznek az adott egyenletnek, határozza meg a sorozatot. % a1

= −3, d = 6

% a1

= 6, d = −3

% a1

141

)

3·9 =

−1

Broj rešenja date trigonometrijske jedna ine na intervalu [0, π ] je:

%

1 + log3 25

= −6, d = −3

S11 = −99 2a1 − a4 = 15 a1 = ?, d = ?

!$C

D

B

E; !

" ; F

&

J =$# $ L!$

&

#G " &

"

7

! " # !$# ! $ " 9 # !$# ! :;<

'

(

142

)

*

!$C D B C !EF = I E; ! ' * &

!JE

J =$# $ L!$

" ; F

#G " " " ; F & * '

7

I

! " # !$# ! $ " 9 # !$# ! :;<







Σ a ( a + 2b ) ( a + b ) : = b+ b a 2

Najjednostavniji oblik datog algebarskog izraza je: Az adott algebrai kifejezés legegyszer bb alakja: %

a b

%

b a

Za date brojeve A i B vrednost izraza Az A és B számokra az %

−1

a ≠ 0, b ≠ 0, a + b ≠ 0 %

1

A+ B je: 2

A = 3 6 − 35 ·3 6 + 35

A+ B kifejezés értéke: 2

% 0

B = 3 11 + 122·3 11 − 122 %

1

Skupu rešenja date nejedna ine pripadaju brojevi:

& %

2 x2 + 5x − 3 ≥ 0

Az adott egyenl tlenség megoldáshalmazához tartoznak a következ számok:

−3, 0,

1 2

% {−4, −3, 0}

%

143

−4, −3,

1 2

Broj rešenja date iracionalne jedna ine je:

x +5 − x =1

Az adott irracionális egyenlet megoldásainak száma: %

4

%

'

% 0

1

Sva rešenja slede e jedna ine pripadaju intervalu:

2 x + 22 − x = 5 Az egyenlet minden megoldása a következ intervallumba tartozik: %

[−3,1)

%

[−1,3)

%

[1,3)


(

log 2


% 1.5

% 0.5

%

Az adott trigonometrikus egyenlet megoldásainak száma a [0, π ] intervallumon: %

1

%

prava p paralelna sa pravom q i ako prolazi kroz ta ku A .

%

Határozza meg a k kör és p egyenes P1 és P2 metszéspontjait, ha a p egyenes párhuzamos a q egyenessel és áthalad az A ponton.

P1 ( −1, −1) P2 (1,1)

%

P1 (1, 0 )

%

P2 ( 0,1)

2 cos 2 x + 2 cos x − 6 = 0 3

k : ( x − 1) + ( y − 1) = 4 q : y = −x − 3 2

A ( −2, 2 )

P1 (1, −1) P2 ( −1,1)

Odrediti površinu kocke, ako je data njena bo na dijagonala

d = 3 2 cm .

*

Határozza meg a kocka felszínét, ha az oldalátlója

d = 3 2 cm . %

15 cm 2

%

54 cm 2

%

36 cm 2

Zbir prva dva lana geometrijskog niza je 9 . Odrediti geometrijski niz, ako zadovoljava datu jedna inu. A mértani sorozat els két tagjának összege 9 . Ha a mértani sorozat tagjai eleget tesznek az adott egyenletnek, határozza meg a sorozatot. 2% a1

= 2, q = 3

% a1

= 6, q = 2

P% a1

144

1 = 9

2

Odrediti ta ke preseka P1 i P2 prave p i kružnice k , ako je

)

)

2·8 + log3

2

Broj rešenja date trigonometrijske jedna ine na intervalu [0, π ] je:

% 0

(

= 3, q = 2

S2 = 9 3a2 − 2a1 = 12 a1 = ?, q = ?

2

!$C

D B ' * &

E; !

J =$# $ L!$

&

" ; F

#G " " & * '

7

! " # !$# ! $ " 9 # !$# ! :;<

'

(

145

)

*

0,#$1

Recommend Documents