RESULTAN DARI POLINOMIAL DENGAN n - INDETERMINATE Harjito1), R. Heri SU2), dan Karuniawati DR3) Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl. Prof. Soedarto, S.H, Semarang 50275 Abstract. Let f , g ∈ K [ x ] be polynomials where K is a field. To determine whether two polynomials have a common factor without doing any divisions in K[x] can be seen from its resultant, that is determinant from Sylvester matrix. Two polynomials will have a common factor if and only if its resultant is zero. If its resultant isn’t zero so two polynomials have not a common factor. Wants to be look for resultant f 1 , ⋯ , f s where s ≥ 3 in C x1 , ⋯ , x n where C is the
[
]
set of all complex numbers. To make the easy resultant computations is used by maple 8. Keywords: field, Sylvester matrix, resultant.
1. PENDAHULUAN Misalkan akan dicari apakah dua polinomial f , g ∈ K [ x] mempunyai faktor persekutuan, artinya terdapat polinomial h ∈ K [x] dengan derajat positif yang membagi f dan g. Salah satu cara adalah dengan memfaktorkan f dan g menjadi tak tereduksi. Sayangnya, pemfaktoran membutuhkan proses yang lama. Metode yang lebih efisien untuk menghitung Pembagi Persekutuan Terbesar (PPT) dari f dan g adalah dengan menggunakan algoritma Euclidean. Kekurangannya adalah algoritma Euclidean memerlukan pembagian dalam K[x]. Oleh karena itu, akan dicari cara untuk menentukan apakah terdapat faktor persekutuan tanpa melakukan pembagian dalam K[x]. Resultan yang merupakan determinan dari matriks Sylvester mempunyai peranan penting dalam teori eliminasi. Dengan bantuan resultan dapat diketahui apakah dua polinomial atau lebih mempunyai faktor persekutuan. 2. PEMBAHASAN Lemma 2.1 Misalkan f , g ∈ K [ x] adalah polinodan mial dengan deg( f ) = l > 0 deg( g ) = m > 0. Polinomial f dan g mempunyai faktor persekutuan jika dan hanya 110
jika ada polinomial A, B ∈ K [ x] sedemikian sehingga: 1. A dan B keduanya tidak nol. 2. deg (A) ≤ m – 1 dan deg (B) ≤ l – 1. 3. Af + Bg = 0.
Bukti. (⇒ ) Misalkan f dan g mempunyai faktor persekutuan h ∈ K [x] . Maka f = hf1 dan g = hg1 , dengan f 1 , g1 ∈ K [ x] . Sehingga deg( f 1 ) ≤ l − 1 , dan deg( g1 ) ≤ m − 1. Maka g1 f + (− f 1 )g = g1 .hf1 − f 1 .hg1 = 0 Dengan demikian A = g1 dan B = – f1. Jadi, ketiga sifat dipenuhi. (⇐) Misalkan A dan B memenuhi ketiga sifat di atas. Dengan bagian 1, misalkan B ≠ 0. Andaikan f dan g tidak mempunyai faktor persekutuan, maka PPTnya adalah 1, sehingga dapat ditemukan polinomial ~ ~ A, B ∈ K [ x ] sedemikian sehingga ~ ~ A f + B g = 1. Kalikan dengan B dan gunakan Bg = – Af : ~ ~ ~ ~ B = Af + Bg B = AB − BA f Karena B ≠ 0, persamaan ini menunjukkan bahwa B mempunyai derajat paling sedikit l, kontradiksi dengan bagian 2. Jadi, f dan g mempunyai faktor persekutuan dengan ■ derajat positif.
(
) (
)
Harjito, R. Heri SU, dan Karuniawati DR (Resultan dari Polinomial dengan N – Indeterminate)
Lemma 2.1 merupakan salah satu cara untuk menentukan apakah ada faktor persekutuan dari dua polinomial f , g ∈ K [ x] tanpa melakukan pembagian dalam lapangan K. Akan tetapi, cara ini mungkin belum memuaskan. Dari Lemma 2.1 kemudian menimbulkan pertanyaan apakah keberadaan A dan B benar-benar diperlukan. Untuk menjawab pertanyaan keberadaan A dan B dilakukan dengan mengubah Af + Bg = 0 menjadi sistem persamaan linear. Tulis A = c0 + ⋯ + c m −1 x m−1 , B = d 0 + ⋯ + d l −1 x l −1 dengan l+m koefisien : c0 , ⋯ , c m −1 , d 0 , ⋯ , d l −1 tidak diketahui. Selanjutnya akan dicari ci , d i ∈ K , yang tidak semuanya nol sedemikian sehingga dipenuhi persamaan Af + Bg = 0 (2.1) Sehingga secara otomatis A dan B diperlukan dalam lemma 1. Untuk mendapatkan sistem persamaan linear, tulis f dan g sebagai berikut: f = a0 + ⋯ + al x l , al ≠ 0
g = b0 + ⋯ + bm x m , bm ≠ 0 dengan a i , bi ∈ K . Substitusikan f, g, A, dan B ke persamaan (2.1) dan bandingkan dengan koefisien dari pangkat x, maka diperoleh sistem persamaan linear dengan ci , d i tidak diketahui dan kofisien a i , bi dalam K: alcm−1
+
bmdl−1
l+m-1
=0 koefisien dari x
l+m–2
alcm−2 +al−1cm−1 +bmdl−2 +bm−1dl−1 =0 koefisien dari x ⋱
⋱ a0c0 +
⋮ 0 b0d0 =0 koefisien dari x
(2.2) Sehingga didapat sistem persamaan linier homogen dengan l + m persamaan dan l + m variabel yang tidak diketahui. Sistem persamaan linier homogen di atas mempunyai solusi bukan nol jika dan hanya jika determinan matriks koefisiennya sama dengan nol.
Definisi 2.1 Misalkan polinomial f , g ∈ K [ x] dengan derajat positif, yaitu: f = a 0 + ⋯ + al x l , a l ≠ 0 dan g = b0 + ⋯ + bm x m , bm ≠ 0 . Maka matriks Sylvester dari f dan g terhadap x, ditulis Syl ( f , g , x ) adalah matriks koefisien dari sistem persamaan linier yang diberikan di persamaan (2.2). Jadi, Syl ( f , g , x) adalah matriks bujur sangkar berukuran (l + m ) × (l + m ) : al a l −1 ⋮ ⋮ Syl ( f , g , x) = a 0 0 ⋮ 0
0
⋯
0
al
⋱
⋮
al −1 ⋱
bm
0
⋯
bm−1
bm ⋱ bm −1 ⋱
0
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
al
b0
⋮
⋱
⋮
⋱
a 0 ⋯ al −1 0
b0 ⋯
⋮
⋱
⋯ 0
⋮
⋮
⋮
⋱
a0
0
⋯ 0
0 ⋮ 0 ⋮ bm bm −1 ⋮ b0
l kolom
m kolom
Resultan dari f dan g terhadap x, ditulis Res( f , g , x) adalah determinan dari matriks Sylvester. Dengan demikian, Res( f , g , x) = det (Syl ( f , g , x) ) Dari definisi ini didapatkan sifat-sifat resultan. Selanjutnya suatu polinomial disebut polinomial integer jika semua koefisiennya integer.
Proposisi 2.1. Jika polinomial f , g ∈ K [ x] dengan derajat positif, maka: 1. Res ( f , g , x) ∈ K adalah polinomial integer dengan koefisien dari f dan g. 2. f dan g mempunyai faktor persekutuan dalam K [x] jika dan hanya jika Res ( f , g , x) = 0 . Bukti. Formula standar untuk determinan matriks s × s A = (a ij )1≤i , j ≤ s adalah det( A) =
∑ Sgn(σ )a σ
σ permutasi
1 (1)
.a 2σ ( 2) ⋯ a sσ ( s )
dari {1,...,s}
dimana Sgn(σ) adalah +1 jika σ adalah permutasi genap dan -1 adalah permutasi ganjil. Hal ini menunjukkan bahwa deter-
111
Jurnal Matematika Vol. 10, No.3, Desember 2007:110-117
minannya merupakan polinomial integer, dan pernyataan pertama proposisi 2.3 terbukti. Pernyataan kedua dibuktikan sebagai berikut: Res ( f , g , x ) = 0 ⇔ matriks koefisien dari persamaan (2) mempunyai determinan nol ⇔ persamaan (2) mempunyai solusi tidak nol. Ini ekuivalen dengan keberadaan A dan B pada lemma 1 sedemikian sehingga Af + Bg = 0, dan lemma 1 melengkapi bukti dari proposisi tersebut. Jadi, terbukti f dan g mempunyai faktor persekutuan dalam K [x] . ■ Suatu kesulitan menggunakan resultan adalah determinan matriks yang besar sulit dihitung. Akan tetapi, seiring dengan perkembangan teknologi, banyak software yang dapat digunakan untuk menghitung determinan matriks yang besar sekalipun. Untuk menghubungkan resultan dengan eliminasi, akan ditunjukkan dengan menghitung resultan dari polinomial f = x 2 − y 2 + 2 dan g = xy – 4. Dengan menyatakan f dan g sebagai polinomial dalam x dengan koefisien polinomial dalam y didapat: 1 y 0 Res( f , g, x) = 0 − 4 y =16− y4 + 2y2 . − y2 + 2 0 − 4 Umumnya, jika f dan g adalah polinomial dalam K [ x, y ] dengan x mempunyai pangkat positif, maka dapat dihitung Res( f , g , x) dengan cara yang sama. Karena koefisiennya polinomial dalam y, proposisi 2.3 menjamin bahwa Res( f , g , x) adalah polinomial dalam y. Jadi, jika diberikan f , g ∈ K [x, y ], maka dapat digunakan resultan untuk mengeliminasi x.
Proposisi 2.2. Jika polinomial f , g ∈ K [ x] dengan derajat positif, maka terdapat polinomial A, B ∈ K [ x] sedemikian sehingga Af + Bg = Res ( f , g , x ) .
112
Selanjutnya, koefisien A dan B adalah polinomial integer dengan koefisien dari f dan g.
Bukti. Definisi dari resultan didasarkan pada persamaan Af + Bg = 0. Dalam bukti ini akan diperoleh metode yang sama untuk ~ ~ persamaan A f + B g = 1 . Jika Res ( f , g , x ) = 0 , pilih A = B = 0 sehingga Af + Bg = 0. Jadi diasumsikan Res ( f , g , x ) ≠ 0. Karena Res ( f , g , x ) ≠ 0 maka f dan g tidak mempunyai faktor persekutuan dalam k[x] , atau ~ ~ A f + B g = 1. PPT ( f , g ) = 1 sehingga Misalkan f = a0 + ⋯ + al x l , al ≠ 0
g = b0 + ⋯ + bm x m , bm ≠ 0 ~ A = c0 + ⋯ + c m −1 x m−1 ~ B = d 0 + ⋯ + d l −1 x l −1 dimana koefisien c 0 , ⋯ , c m −1 , d 0 , ⋯ , d l −1 dalam K dan c 0 , ⋯ , c m −1 , d 0 , ⋯ , d l −1 tidak diketahui. Jika formula di atas disubstitusi ~ ~ ke Af + Bg = 1 dan dibandingkan koefisien dari derajat x, maka didapatkan sistem persamaan linear dengan ci, di tidak diketahui dan koefisien ai, bi dalam K sebagai berikut: alcm−1
+
bmdl−1
alcm−2 +al−1cm−1 +bmdl−2 +bm−1dl−1 ⋱
=0 koefisien dari xl + m - 1 l+m–2 =0 koefisien dari x
⋱ ⋮ a0c0 + b0d0 = 1 koefisien dari x0
(2.3) Persamaan di atas sama dengan persamaan (2.2) kecuali di ruas sebelah kanan dari persamaan terakhir. Oleh karena itu, matriks koefisien dari persamaan di atas (2.3) adalah matriks Sylvester dari f dan g. Karena Res ( f , g , x ) ≠ 0 maka persamaan (2.3) mempunyai solusi tunggal dalam lapangan K. Sehingga,
Harjito, R. Heri SU, dan Karuniawati DR (Resultan dari Polinomial dengan N – Indeterminate) al al −1 ⋮ ⋮ Res ( f , g, x) = det a 0 0 ⋮ 0
0 al ⋱ ⋮ bm−1 bm ⋱ ⋮ al −1 ⋱ 0 ⋮ bm−1 ⋱ 0 ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ al b0 ⋮ ⋱ bm a0 ⋯ al −1 0 b0 ⋯ bm−1 ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ 0 a0 0 ⋯ 0 b0 0
⋯ 0
m kolom
bm
f = a0 + ⋯+ al x1l ,
0 ⋯
.
l kolom
Dengan cara Cramer dapat dicari ci dan di, yaitu: 0 0 ⋯ 0 bm 0 al ⋱ ⋮ bm−1 ⋮ al−1 ⋱ 0 ⋮ 1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ cm−1 = = det 0 ⋮ ⋱ al b0 Res( f , g, x) 0 a0 ⋯ al−1 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 1 ⋯ 0 a0 0
0 ⋯ 0 bm ⋱ ⋮ bm−1 ⋱ 0 ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ bm b0 ⋯ bm−1 ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ 0 b0
. Karena elemen-elemen dari determinannya adalah polinomial integer, maka polinomial integer a i ,bi . c m−1 = Res( f , g , x) Analog untuk ci dan di yang lain. Karena ~ A = c0 + ⋯ + c m−1 x m−1 , maka 1 ~ A= A, Res( f , g , x) dengan A ∈ K [x] dan koefisien A adalah ~ polinomial integer dalam a i , bi . Analog B dapat ditulis : 1 ~ B= B, Res( f , g , x) dengan B ∈ k[x] dan koefisien B adalah polinomial integer a i , bi . ~ ~ Karena A f + B g = 1 , maka Af + Bg = Res( f , g , x ) . Sehingga proposisi 2.4 terbukti. ■ Definisi 2.2 Misalkan diberikan polinomial f , g ∈ K [ x1 , x 2 , ⋯ , x n ] dengan derajat positif dalam x1 yaitu :
al ≠ 0
, (4) g = b0 + ⋯+ bm x1m , bm ≠ 0 dimana a i , bi ∈ K [ x 2 , ⋯ , x n ] , dan resultan dari f dan g terhadap x1 didefinisikan sebagai : al al −1 ⋮ ⋮ Res ( f , g, x1) = det a 0 0 ⋮ 0
0 ⋯ 0 al ⋱ ⋮ bm−1 bm ⋱ ⋮ al −1 ⋱ 0 ⋮ bm−1 ⋱ 0 ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ al b0 ⋮ ⋱ bm a0 ⋯ al −1 0 b0 ⋯ bm−1 ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ 0 a0 0 ⋯ 0 b0 0
⋯ 0 bm
m kolom
.
l kolom
Proposisi 2.3. Jika f , g ∈ K [ x1 , x 2 , ⋯ , x n ] mempunyai derajat positif dalam x1, maka : 1. Res ( f , g , x1 ) adalah anggota ideal eliminasi tingkat 1= f , g ∩ K [x 2 , ⋯ , x n ]. 2. Res ( f , g , x1 ) =0 jika dan hanya jika f dan g mempunyai faktor persekutuan dalam K [ x1 , x 2 , ⋯ , x n ] dengan derajat positif dalam x1.
Bukti. Jika f, g ditulis dalam suku x1, maka koefisien ai, bi terletak dalam K [ x 2 , ⋯ , x n ] . Karena resultan merupakan polinomial integer dalam ai , bi dan ai , bi ∈ K [x2 , ⋯ , x n ] maka
Res( f , g , x1 ) ∈ K [x 2 , ⋯ , x n ] . Karena Af + Bg = Res ( f , g , x1 ) , dengan A dan B adalah polinomial dalam x1 yang koefisiennya juga polinomial integer dalam a i , bi , maka A, B ∈ K [ x 2 , ⋯ , x n ][ x1 ] = K [ x1 , ⋯ , x n ]
sehingga Af + Bg = Res( f , g , x1 ) menyatakan
Res( f , g , x1 ) ∈ f , g
.
Res( f , g , x1 ) ∈ K [x 2 , ⋯ , x n ] dan
Karena
Res( f , g , x1 ) ∈ f , g , maka
113
Jurnal Matematika Vol. 10, No.3, Desember 2007:110-117
Res( f , g , x1 ) ∈ f , g ∩ K [x 2 ,⋯, x n ]. Sehingga bagian 1 dari Proposisi 2.3 terbukti. Untuk membuktikan bagian 2 akan digunakan Proposisi 2.1 untuk menjelaskan mengapa resultan bernilai nol jika terdapat suatu faktor persekutuan. Sebelumnya telah dibahas polinomial dalam satu variabel dengan koefisien dalam suatu lapangan K. Karena f dan g adalah polinomial dalam x1 dengan koefisien dalam K [x 2 , ⋯ , x n ] , maka Proposisi 2.1 berlaku untuk f , g ∈ K ( x 2 , ⋯ , x n )[ x1 ]. Dengan Proposisi 2.1 Res ( f , g , x1 ) = 0 jika dan hanya jika f dan g mempunyai faktor persekutuan dalam K ( x 2 , ⋯ , x n )[x1 ] dengan derajat positif dalam x1. Selanjutnya diperoleh f dan g mempunyai faktor persekutuan dalam K [x1 , ⋯ , x n ] dengan derajat positif dalam x1. Bagian 2 dari Proposisi 2.3 terbukti. ■ Dalam himpunan bilangan kompleks, dua polinomial dalam C[x] mempunyai faktor persekutuan jika dan hanya jika f dan g mempunyai akar persekutuan, sehingga diperoleh akibat dari Proposisi 2.3. Akibat 2.1 Jika f , g ∈ C [x ] , maka Res ( f , g , x ) = 0 jika dan hanya jika f dan g mempunyai akar persekutuan dalam C. Proposisi 2.4. Misalkan f , g ∈ C [x1 , ⋯ , x n ]
f = a0 + ⋯ + al x1l ,
dengan al ≠ 0
dan
g = b0 + ⋯ + bm x1m , bm ≠ 0 dengan al , bm ∈ C[ x 2 , ⋯ , x n ] . Jika Res ( f , g , x1 ) ∈ C [x 2 , ⋯ , x n ] sama
dengan nol pada (c 2 , ⋯ , c n ) ∈ C n −1 maka: 1. al = 0 atau bm = 0 pada (c 2 , ⋯ , c n ) , 2. terdapat c1 ∈ C sedemikian sehingga f dan g sama dengan nol pada (c1 ,⋯, cn ) ∈ C n .
114
Bukti. Misalkan
c = (c 2 , ⋯ , c n )
dan
f ( x1 , c) = f ( x1 , c 2 , ⋯ , c n ) . Akan ditunjukkan bahwa f ( x1 , c) dan g ( x1 , c) mempunyai akar persekutuan ketika a l (c ) ≠ 0 dan bm (c) ≠ 0 . Untuk membuktikan ini tulis f (x1,c) = a0(c) +⋯+ al (c)x1l , al (c) ≠ 0
g(x1,c) = b0(c) +⋯+ bm(c)x1m, bm(c) ≠ 0
,
(2.5)
dan h = Res( f , g , x1 ) pada c. Sehingga jika dihitung determinan yang diberikan oleh h pada titik c diperoleh bm (c ) a l (c ) ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ al (c ) bm (c ) 0 = h(c ) = det . ⋮ b0 (c ) ⋮ a 0 (c ) ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ a 0 (c ) b0 (c )
(2.6) Dari persamaan (2.5), resultan dari f ( x1 , c) dan g ( x1 , c) terhadap x1 adalah determinan seperti diperlihatkan pada persamaan (2.6), sehingga Res ( f ( x1 , c), g ( x1 , c), x1 ) = h(c) = 0 Dengan Akibat 1 berarti f ( x1 , c) dan g ( x1 , c) mempunyai akar persekutuan. ■
Teorema 2.1 (Teorema Perluasan untuk Dua Polinomial). Misalkan I = f , g ⊂ C [x1 ,⋯, x n ] , I1 adalah ideal eliminasi tingkat 1 dari I, a l , bm ∈ C [x 2 , ⋯ , x n ] seperti dalam (4) dan solusi parsial (c 2 , ⋯ , c n ) ∈ V (I 1 ) . Jika (c2 ,⋯, c n ) ∉ V (al , bm ), maka terdapat c1 ∈ C sedemikian sehingga (c1 ,⋯, cn ) ∈ V (I ) . Bukti. Misalkan c = (c 2 , ⋯ , c n ) . Dari proposisi
2.6 diketahui bahwa Res ( f , g , x1 ) ∈ I 1 sehingga resultan sama dengan nol pada solusi parsial c. Jika a 0 = 0 atau b0 = 0
Harjito, R. Heri SU, dan Karuniawati DR (Resultan dari Polinomial dengan N – Indeterminate)
pada c, maka berdasarkan Proposisi 2.4 diperlukan keberadaan c1. Sayangnya, hipotesis pada c hanya mengijinkan a l (c ) = 0 atau bm (c ) = 0 . Misal a l (c ) ≠ 0 dan bm (c ) = 0 , maka g ( x1 , c ) mempunyai derajat dalam x1 kurang dari m. Dalam hal ini determinan persamaan (6) mempunyai ukuran (l + m ) × (l + m ) yang terlalu besar untuk menjadi resultan dari f ( x1 , c ) dan g ( x1 , c ) . Karena solusi V ( f , g ) bergantung pada ideal f , g , maka dapat digunakan basis yang berlainan dari ideal
f,g
ketika a l (c ) ≠ 0 dan bm (c ) = 0 . Jika N sebarang integer positif, maka
(
) = pf + q(g) + (qx1N ) f , qx1N ∈ K[x1,⋯,xn] = (p + qx1N ) f + q(g), p + qx1N ∈ K[x1,⋯,xn]
f , g + x1N f = pf + q g + x1N f , p, q ∈ K[x1,⋯,xn]
= rf + qg, r = p + qx1N ∈ K[x1,⋯,xn]
= f ,g .
(2.7) Pilih N cukup besar sehingga x1N f mempunyai derajat lebih besar dalam x1 daripada g. Karena koefisien awal dari g + x1N f terhadap x1 adalah a0 dengan a l (c ) ≠ 0 maka terdapat c1 ∈ C dengan
(c1 , c ) ∈ V ( f , g + x1N f ) . Dengan (2.7), ini menyatakan (c1 , c ) ∈ V ( f , g ) dan teorema terbukti. Bukti di atas tidak berlaku jika a l dan bm bernilai nol pada solusi parsial c, sebab jika a l dan bm bernilai nol pada solusi parsial mungkin tidak dapat diperluas. ■ Himpunan semua solusi dari polinomial f = 0 dan g = 0 dinotasikan dengan V(I) dengan I = f , g . Selanjutnya akan dibuktikan teorema perluasan untuk sebarang ideal f 1 ,⋯, f s ⊂ C [x1 ,⋯, x n ] . Kemudian akan dibahas resultan untuk f 1 , ⋯ , f s jika s ≥ 3 .
Misalkan u 2 , ⋯ , u s adalah variabel baru dan bentuk f 2 , ⋯ , f s menjadi polinomial tunggal sebagai berikut. u 2 f 2 + ⋯ + u s f s ∈ C [u 2 , ⋯ , u s , x1 , ⋯ , x n ] , Maka f1 dapat dinyatakan sebagai polinomial dalam ring yang sama, yaitu C [u 2 , ⋯ , u s , x1 , ⋯ , x n ]. Dengan proposisi 2.6, resultan dari f1 dan u 2 f 2 + ⋯ + u s f s
terletak pada C [u 2 , ⋯ , u s , x 2 , ⋯ , x n ]. Untuk mendapatkan polinomial dalam x 2 , ⋯ , x n , resultan diperluas dalam suku-suku dari pangkat u 2 , ⋯ , u s , sehingga ditulis
Res( f 1 , u 2 f 2 + ⋯ + u s f s , x1 ) = ∑ hα (x 2 , ⋯ , x n )u α , α
dimana u
α
(2.8) adalah monomial u 2 ⋯ u sα s α2
dan hα ∈ C [x 2 , ⋯ , x n ] untuk semua α. Polinomial hα disebut sebagai generalisasi resultan dari f 1 , ⋯ , f s .
Teorema 2.2 (Teorema Perluasan) Misalkan I = f 1 ,⋯, f s ⊂ C [x1 , ⋯, x n ] dan I1 adalah ideal eliminasi tingkat 1 dari I. Untuk setiap 1 ≤ i ≤ s , fi ditulis dalam bentuk f i = g i ( x 2 ,⋯ , x n )x1N i + suku dengan derajat x1 < N i dimana N i ≥ 0 dan g i ∈ C [x 2 , ⋯ , x n ] bukan nol. Misalkan didapat solusi parsial (c2 ,⋯, cn ) ∈ V (I1 ). Jika (c2 ,⋯, cn ) ∉ V (g1 , ⋯, g s ) maka terdapat c1 ∈ C sedemikian sehingga (c1 , c2 ,⋯, c n ) ∈ V (I ) . Bukti. Misalkan c = (c 2 , ⋯ , c n ). Akan dicari akar persekutuan c1 dari f 1 ( x1 , c ), ⋯ , f s ( x1 , c ) . Untuk kasus s = 2 telah dibahas pada teorema 9, yang juga berlaku untuk kasus s = 1, karena V ( f 1 ) = V ( f1 , f 1 ). Sekarang tinggal membuktikan teorema jika s ≥ 3 .
115
Jurnal Matematika Vol. 10, No.3, Desember 2007:110-117
Karena c ∉ V ( g1 , ⋯ , g s ), maka dapat diasumsikan bahwa g1 (c) ≠ 0 . Misalkan hα ∈ C [x 2 , ⋯ , x n ] sebagai generalisasi resultan dari f 1 , ⋯ , f s . Jadi, Res( f 1 , u 2 f 2 + ⋯ + u s f s , x1 ) = ∑ hα u α . α
(2.9) Akan ditunjukkan bahwa hα terletak pada ideal eliminasi tingkat 1 dari I1. Karena resultan dihitung pada ring C [u 2 , ⋯ , u s , x1 , ⋯ , x n ] , maka sesuai dengan proposisi 6 bahwa Af1 + B(u2 f2 +⋯+us fs) = Res( f1,u2 f2 +⋯+us fs, x1). (2.10) untuk suatu polinomial A, B ∈ C [u 2 , ⋯ , u s , x1 , ⋯ , x n ] . Tulis A = ∑ Aα u α α
dan B = ∑ B β u β , dimana β
Aβ , Bβ ∈ C [x1 , ⋯ , x n ]. Akan
dibuktikan
hα ∈ f 1 ,⋯, f s = I dengan membandingkan koefisien dari uα dalam (2.10). Karena hα ∈ C [x 2 , ⋯ , x n ] maka hα ∈ I 1 . Untuk membandingkan koefisien, dibutuhkan penggunaan notasi monomial. Untuk itu, jika e2 = (1,0, ⋯ ,0 ), ⋯ , e s = (0, ⋯ ,0,1) maka u 2 f 2 + ⋯ + u s f s = ∑ u ei f i .
Sehingga
i≥2
persamaan (2.10) dapat ditulis e β α α ∑ hα u = ∑ Aα u f1 + ∑ Bβ u ∑ u i f i α α β i≥2 = ∑ Aα f1 + ∑ Bβ f i uα . α i≥2,β β α + e = i Jika koefisien dari u α disamakan, maka diperoleh hα = Aα f 1 + ∑ Bβ f i . i ≥2,β β + ei =α
Yang membuktikan bahwa hα ∈ I . Telah dilihat sebelumnya, ini menunjukkan bahwa hα ∈ I 1 untuk semua α.
116
Karena c ∈ V (I 1 ) , maka hα (c) = 0 untuk semua α. Kemudian (9) menunjukkan bahwa resultan h = Res( f 1 , u 2 f 2 + ⋯ + u s f s , x1 ) akan bernilai nol ketika nilai c ditentukan. Jika h(c, u 2 , ⋯ , u s ) merupakan polinomial yang diperoleh dalam C [x1 , u 2 , ⋯ , u s ] , dengan
mensubtitusikan
c = (c 2 , ⋯ , c n )
(x2 ,⋯ , xn ) , maka didapat h(c, u 2 , ⋯ , u s ) = 0 .
untuk
(2.11) Dibuat asumsi untuk f2 sebagai berikut: g 2 (c ) ≠ 0 dan f2 mempunyai derajat dalam x1 yang lebih besar daripada f 3 ,⋯, f s , (2.12) Ini berarti, h(c,u2,⋯,us ) = Res( f1(x1,c),u2 f2(x1,c) +⋯+us fs (x1,c), x1) (2.13) Untuk membuktikannya hampir sama dengan argumen pada persamaan (2.6). Yaitu, jika dihitung determinan yang mendefinisikan nilai h = Res( f 1 , u 2 f 2 + ⋯ + u s f s , x1 ) pada c, ini mengikuti bahwa h(c, u 2 , ⋯ , u s ) merupakan suatu determinan tertentu. Selanjutnya, determinan ini adalah resultan (2.13) yang membuktikan koefisien awal dari f1 dan u 2 f 2 + ⋯ + u s f s tidak sama dengan nol
pada c. Ini benar untuk f1 karena g 1 (c ) ≠ 0 .
Pandang u 2 f 2 + ⋯ + u s f s , asumsi (2.12) menyatakan bahwa koefisien awalnya adalah u 2 g 2 , dan (2.12) juga menyatakan bahwa koefisien awal tidak sama dengan nol karena g 2 (c ) ≠ 0. Ini melengkapi bukti (2.13). Jika (2.11) dikombinasikan dengan (2.13), maka diperoleh Res( f1 (x1, c), u2 f 2 (x1, c) + ⋯+ us f s (x1, c), x1 ) = 0. Polinomial f 1 ( x1 , c ) dan u 2 f 2 ( x1 , c ) + ⋯ + u s f s ( x1 , c ) terletak pada
C [x1 , u 2 , ⋯ , u s ] , sehingga dengan proposisi 2.6 Res( f , g , x1 ) = 0 menyatakan bahwa keduanya mempunyai faktor persekutuan F dengan derajat positif dalam x1. Karena F
Harjito, R. Heri SU, dan Karuniawati DR (Resultan dari Polinomial dengan N – Indeterminate)
membagi f 1 ( x1 , c ) , maka F adalah polinomial dalam C [x1 ] . Karena F membagi u 2 f 2 ( x1 , c ) maka F(x1 )A(x1, u2 ,⋯, us ) = u2 f 2 (x1, c) +⋯+ us f s (x1, c) (2.14) untuk suatu A ∈ C [x1 , u 2 , ⋯ , u s ]. Perbandingan koefisien u 2 , ⋯ , u s berarti F membagi f 2 ( x1 , c ), ⋯ , f s ( x1 , c ) .Karena F juga membagi f 1 ( x1 , c ) maka F adalah faktor persekutuan dengan derajat positif untuk semua f i ( x1 , c ) . Misalkan c1 adalah akar dari F (diketahui c1 ada karena semestanya bilangan kompleks). Maka c1 otomatis merupakan akar persekutuan dari semua f i ( x1 , c ) , yang membuktikan kebenaran Teorema Perluasan jika (2.12) benar. Terakhir, jika (2.12) tidak benar untuk f 1 , ⋯ , f s , maka dapat ditemukan basis baru yang membuat (2.12) terpenuhi/ bernilai benar. Ide dasarnya adalah menempatkan kembali f2 dengan N f 2 + x1 f 1 , dimana N adalah bulat positif. Ternyata
I = f 1 , f 2 + x1N f 1 , f 3 , ⋯ , f s
.
Jika N cukup besar, koefisien awal dari f 2 + x1N f 1 adalah g1, yang diketahui tidak nol pada c. Buat N lebih besar bila perlu, sehingga dapat diasumsikan bahwa f 2 + x1N f 1 mem-punyai derajat lebih besar dalam x1 daripada f 3 , ⋯ , f s . Kemudian argumen sebelumnya memberikan c1 yang merupakan akar persekutuan dari N f1 (x1, c), f 2 (x1, c) + x1 f1 (x1, c), f3 (x1, c),⋯, f s (x1, c) . Ternyata c1 merupakan akar persekutuan untuk semua f i ( x1 , c ) . Ini melengkapi bukti teorema perluasan. ■
3. PENUTUP 1. Polinomial f dan g mempunyai faktor persekutuan dalam K[x] jika dan hanya jika Res( f , g , x) = 0. Selanjutnya f dan g mempunyai faktor persekutuan dalam K [ x1 , ⋯ , x n ] dengan derajat positif dalam x1 jika dan hanya jika
Res( f , g , x1 ) = 0. Jika Res( f , g , x1 ) ≠ 0 maka f dan g tidak mempunyai faktor persekutuan dalam K [ x1 , ⋯ , x n ] . 2. Untuk f 1 , ⋯ , f s dengan s ≥ 3 dalam C[ x1 , ⋯ , x n ] , maka pencarian resultan dengan menggunakan variabel baru u 2 , ⋯ , u s dan bentuk f 2 , ⋯ , f s menjadi polinomial tunggal f = u 2 f 2 + ⋯ + u s f s . Selanjutnya, dapat digunakan resultan untuk menentukan ada tidaknya akar persekutuan dari polinomial-polinomial tersebut. 3. Jika resultan = 0 pada solusi parsial, maka solusi sistem persamaan polinomial dapat diperoleh dengan memperluas solusi parsial menjadi solusi lengkap. Tetapi resultan tidak dapat menjamin keberadaan solusi sistem persamaan polinomial jika resultan tidak bernilai nol pada solusi parsial. 4. Untuk selanjutnya bisa dilakukan penelitian untuk mencari faktor persekutuan dari dua polinomial atau lebih dengan n-indeterminate setelah diketahui bahwa polinomial polinomial dengan n-indeterminate tersebut mempunyai faktor persekutuan. 4. DAFTAR PUSTAKA [1] Anton, H. (1997), ‘Aljabar Linear Elementer’, Fifth edition, Alih bahasa Pantur Silaban, Ph.D dan Drs. I. Nyoman Fusila, M.Sc, Erlangga, Jakarta. [2] Cox, D., Little, J., Shea, D.O. (1996), ‘Ideal, Varieties, and Algorithms : An Introduction to Computational Algebra Geometry and Commutative Algebra’, Second edition, Springer-Verlag, New York. [3] Fraleigh, J.B. (1994), ‘A First Course in Abstract Algebra’, Fifth edition, Addison – Wesley Publishing Company, Inc., US of America. [4] Gilbert, J., Gilbert, L. (1998), ‘Element of Modern Algebra’, Second edition, PWS – Kent Publ. Co, Boston. 117
