A környezetvédelem alapjai A környezetvédelem összetett tevékenység DE! Az ember hosszú távú érdekében történik! Emberi tevékenység Környezet Környezetvédelem céljai: - egyensúly eltolódása minimális legyen - indokolatlan környezetkárosítás ne legyen - energiaforrások ésszerő kihasználása - természeti kincsek ésszerő kihasználása
Biológiai, kémiai, fizikai egyensúly eltolódik
1/23
Globális környezeti rendszerek (példa) Egymásra visszaható, önmagukban is összetett rendszerek !
Szén (CO2) körforgása NAP, világőr
Globális klíma Sok változó. Ezek általában függvényei a helynek (x,y,z) és az idınek (t) !
Energia háztartás
Környezeti rendszerek (példák)
Vizek - felszíni, - felszín alatti
Ökoszisztéma
Föld - talaj - alapkızet - ásványi vagyon
Táj
Élıvilág - fajok, - fajták, egyedek - társulások stb. Ember
A környezetvédelem alapjai I. elıadás
Víz körforgása
Környezeti elemek Levegı
f(x,y,z,t)
Egyéb tényezık (pl. szennyezık)
v (x,y,z,t)
x Sıt, vannak olyanok v (x,y,z,t) is, amelyek vektorok: y A környezetvédelem alapjai I. elıadás
vz(x,y,z,t)
3/23
Mővi környezet - építmények, - létesítmények stb.
Települési környezet A környezetvédelem alapjai I. elıadás
2/23
A folyamatok idıbeli változását (idı szerinti differenciálás) nemcsak a változók aktuális értékei f(x,y,z,t), de azok térbeli és idıbeli változásai (idı, és hely szerinti differenciáltjai) is befolyásolják ! A matematikai modellek bonyolult többváltozós differenciál-egyenlet rendszerek ! Ezért elıször röviden át kell ismételjünk néhány fogalmat a többváltozós függvényekrıl: skalártér, φ ( x, y , z ) nabla:
vektortér
E x ( x, y , z ) E( x , y , z ) = E y ( x , y , z ) E ( x, y , z ) z
∂ ∂ ∂ ∇ = , , ∂x ∂y ∂z gradiens, divergencia, rotáció és ezek „jelentése” A környezetvédelem alapjai I. elıadás
4/23
1
Gradiens E(x, y, z ) = −∇φ ( x, y, z )
E = −gradφ (x, y, z )
Példa skalár függvényre és gradiens vektortérre: légnyomás és szélsebességek
vektor vektor skalár (függvény) (operátor) (függvény)
A gradiensvektor-tér szemléletes jelentése: A legmeredekebb lejtés iránya A gradiensvektor merıleges a szintvonalak érintıjére az adott pontban
„Szintvonalas” ábrázolás és a gradiensvektorok
A környezetvédelem alapjai I. elıadás
5/23
Divergencia
ρ (x, y, z ) = ∇E( x, y, z )
ρ ( x, y, z ) = divE(x, y, z ) (divergencia)
ρ ( x, y , z ) =
A környezetvédelem alapjai I. elıadás
6/23
A divergencia fizikai jelentése Példa: közeg áramlása. A közeg mozgását a v(r) sebességmezı írja le. ∆V térfogatelem, ∆x, ∆y és ∆z élhossz
vektor skalár vektor (függvény) (operátor) (függvény) (vektorok skaláris szorzata)
Kifejtve:
A légnyomás „szintvonalai” a piros és a kék vonalak (M – magas légnyomás, A – alacsony légnyomás) A levegıt a nyomáskülönbség - a nyomásgradiens - hajtja (kis nyilak jelzik a szél irányát és nagyságát) A jobboldali ábra az „erıvonal”-jelölés: egy tömeg nélküli porszem a fekete „erıvonalak” mentén mozogna
∂E x (x, y, z ) ∂E y (x, y , z ) ∂E z (x, y , z ) + + ∂x ∂y ∂z A térfogatelembe idıegység alatt be- és onnan kiáramló anyag térfogatának különbsége: A környezetvédelem alapjai I. elıadás
7/23
div v(r ) ⋅ ∆V
A környezetvédelem alapjai I. elıadás
8/23
2
Összenyomhatatlan folyadék esetén a ki- és beáramló folyadék mennyiségének meg kell egyezni, azaz: div v(r ) = 0
Ha ez nem 0, akkor div v(r ) > 0 esetén forrás van az r pontban
div v(r ) < 0
esetén nyelı van az r pontban Összenyomható anyagok (pl. gázok) esetén az r pont körüli kis ∆V térfogatelembıl idıegység alatt kiáramló „anyagtöbblet”:
∆V ⋅ div (ρ (r ) ⋅ v(r )) ahol ρ(r) az anyag sőrősége. Ha az r pontban nincs se forrás, se nyelı, és a kiáramló
anyagtöbblet nem 0, akkor az anyagmegmaradás miatt a
∂B( x, y, z , t ) ∂B( x, y, z, t ) = −rot E( x, y, z , t ) = −[∇ × E( x, y, z, t )] ∂t ∂t vektor vektor vektor (függvény) (operátor) (függvény) (vektorok vektoriális szorzata)
Részletesen kiírva ez azt jelenti, hogy
∂ρ (r, t ) sőrőségnek csökkenni kell: div ( ρ (r , t ) ⋅ v(r, t )) = − ∂t
Ez a kontinuitási egyenlet!
Rotáció (Példa: Maxwell-egyenlet)
Röviden: ∂ρ + div (ρ ⋅ v ) = 0
A környezetvédelem alapjai I. elıadás
∂t
Az angol szakirodalomban: curl E(x,y,z,t)
∂E ∂E y ∂B x = − z − ∂t ∂z ∂y ∂B y ∂E ∂E = − x − z ∂t ∂x ∂z ∂E ∂B z ∂E = − y − x ∂t ∂y ∂x
A környezetvédelem alapjai I. elıadás
9/23
10/23
A rotáció szemléletes jelentése: „örvényesség”
A rotáció szemléletes jelentése: „örvényesség”
Forgassunk meg egy korongot a tengelye mentén! A kialakuló sebességtér: v = ω × r Itt ω x = ω y = 0, ω z = ω0
Példa: Egy 2d szélességő sima mederben lassan folyó víz áramlásának sebességprofilját a következı függvénnyel adhatjuk meg:
v x = −ω z ry = −ω0 y, A sebességtér tehát:
v y = ω z rx = ω0 x, vz = 0
A rotációnak csak a harmadik komponense különbözik 0-tól:
(rot v )z =
∂v y ∂x
−
∂v x = 2ω0 ∂y
Határozzuk meg, hogy a folyó vizére helyezett kis ladik mekkora szögsebességgel forog!
Általában is igaz:
1 Egy v(r) sebességmezı r pontjába ω = rot v(r ) helyezett próbatest szögsebesség-vektora: 2 A környezetvédelem alapjai I. elıadás
y2 v x = v0 1 − 2 , d vy = vz = 0
Hogyan függ a szögsebesség a folyó középvonalától mért távolságtól? 11/23
A környezetvédelem alapjai I. elıadás
12/23
3
A termodinamika I. fıtétele: az „energiamegmaradás”
A definíció alapján a sebességtér rotációjának komponensei:
(rotv )x = 0, (rotv )y = 0, (rotv )z = 2v20 y d
A szögsebesség a folyó középvonalától A part felé mért távolsággal nı. A középvonal két oldalán ellentétes irányú
∆U = L + Q
belsı energia, munka, hıközlés
A termodinamika II. fıtétele: Zárt (környezetétıl izolált) rendszerben csak olyan folyamatok mehetnek végbe, hogy a rendszer entrópiája ne csökkenjen! Ez jelöli ki a természeti folyamatok irányát!
Házi feladatok:
Más megfogalmazás (másodfajú perpetuum mobile lehetetlensége): Nem lehet olyan gépet építeni, amely egy hıtartályból hıközléssel kivett energiát teljes egészében mechanikai energiává alakítana át
(minden elıforduló függvény akárhányszor differenciálható) 1) Mutassuk meg, hogy rot (gradφ (r )) = 0 2) Mutassuk meg, hogy div(ρ ⋅ v ) = v ⋅ grad ρ + ρ ⋅ div v
Mechanikai mozgás: molekulák rendezett mozgása molekulák rendezetlen mozgása Hımozgás: II. Fıtétel: a „rendetlenség nem csökkenhet” !
3) Mutassuk meg, hogy div(u × v ) = v ⋅ rot u − u ⋅ rot v
Figyelem! Nem-zárt rendszer entrópiája csökkenhet!! A környezetvédelem alapjai I. elıadás
13/23
1. Példa: Élılény
2. Példa: a Föld entrópiája és az Élet
Élılényben a molekulák (a DNS-ban tárolt genetikai program alapján) jól meghatározott rendben vannak. Ezért az entrópiája kisebb, mintha ugyanezek a molekulák össze-vissza lennének az élettelen természetben. De! Az élılény nem zárt rendszer, folyamatos kölcsönhatásban áll a környezetével (hıcsere, anyagcsere stb.). környezet
élılény
A környezetvédelem alapjai I. elıadás
Miközben a testét felépíti, rendezetlenségbıl rendet készít: entrópiát exportál a környezetbe. A környezettel együtt tekintve, az egész rendszer entrópiája nı. Élılények csak olyan környezetben fejlıdhetnek, amely ezt a tartós entrópia-exportot elviseli! A környezetvédelem alapjai I. elıadás
15/23
14/23
Q
A hıközlésnél tanultuk: Q = T ⋅ ∆S ebbıl: ∆S = T Itt Q a hıcserével felvett (Q > 0), ill. leadott (Q < 0), energia A Föld nem zárt rendszer, a Napból energiát vesz fel, és a világőrnek leadja. Stacionárius állapotban Efelvett= Eleadott= Q De: a Nap sugárzása T1 = 6000 K hımérsékleti sugárzás, a Föld visszasugárzása jóval alacsonyabb hımérséklető T2 ~287 K. Q Q A leadott és fölvett entrópia különbsége: S −S = − >0 leadott
fölvett
T2 T1 A Föld így tud entrópiát „exportálni”! Ez másképpen is belátható: a fotonokra: E6000 > E287 , emiatt sokkal TÖBB fotont kell kisugároznia, mint amit kapott. Több részecske, nagyobb rendetlenség nagyobb entrópia Ez az entrópia-export teszi lehetıvé a Földön az élı szervezetek kifejlıdését, mert megszabadít a közben termelt entrópiától ! A környezetvédelem alapjai I. elıadás
16/23
4
Extenzív: részecskeszám Intenzív: sőrőség (ρ), koncentr. F I = − D ⋅ ⋅ (ρ 2 − ρ1 ) ρ1 ρ2 s áramerısség sőrőség-különbség porózus fal felület vastagság Differenciális (lokális) alak: I. Fick-törvény (Adolf Fick, 1855): j(r , t ) = − D ⋅ grad ρ (r, t )
Transzportfolyamatok
Diffúzió (részecsketranszport):
Transzportfolyamat: valamely extenzív mennyiség átmenete egyik testrıl a másikra. Hajtóerı: különbség az egyik intenzív változó értékében, folytonos eloszlásnál: gradiens. Jellegzetes mennyiség: áramsőrőség = áram/felület Példák: 1) elektromos áram : (Ohm-törvény)
j=
mennyiség felület ⋅ idı
∆Q 1 I= = (U 2 − U1 ) ∆t R
1 diffúziós m 2 részecske 1 m2 ⋅ s együttható s sőrőség m3 Kontinuitási egyenlet: ∂ρ (r , t ) + div j(r , t ) = 0 (ha nincs forrás v. nyelı) ∂t részecske áramsőrőség
Extenzív mennyiség Arányossági Intenzív mennyiség idıbeli megváltozása tényezı különbsége Differenciális (lokális) alak: 1 1 j = E = − gradφ Cb áramsőrőség ρ ρ potenciál m 2 ⋅ s fajlagos ellenállás A környezetvédelem alapjai I. elıadás
Ebbıl:
∂ρ ∂ρ (r , t ) − div (D ⋅ grad ρ (r )) = 0 = D ⋅ div(gradρ (r , t )) ∂t ∂t (ha a D diffúziós állandó nem függ r-tıl) A környezetvédelem alapjai I. elıadás
17/23
II. Fick-törvény:
∂ρ (r , t ) = D ⋅ ∆ρ (r , t ) ∂t
∆ = ∇ 2 = div grad = Itt
∂2 ∂2 ∂2 + 2+ 2 2 ∂x ∂y ∂z
A hı terjedésének módjai:
Extenzív: hı formájában átadott energia (Q) Intenzív: hımérséklet (Τ)
j(r , t ) = − k ⋅ grad T (r , t )
Konvekció: anyagtranszport is van, nemcsak energiatranszport hidegebb folyadék (gáz) leszáll Környezeti példák: légkör, óceánok konvekciós cella Energia-bevitel (főtés)
Hıáram-sőrőség 2J hıvezetési W m ⋅ s együttható m ⋅ K Ebbıl a diffúzióhoz hasonló módon kapjuk: ∂T (r, t ) = k ⋅ ∆T (r, t ) Ez a hıvezetés differenciálegyenlete ∂t A környezetvédelem alapjai I. elıadás
hıvezetés (láttuk) konvekció hısugárzás
a Laplace-operátor
Hıvezetés: Csak energiatranszport van, anyagtranszport nincs.
Fourier-törvény
18/23
19/23
melegebb folyadék (gáz) fölfelé áramlik
Szabad konvekció: sőrőségkülönbség hajtja
Erıltetett konvekció: valamilyen szerkezet (szivattyú, ventilátor stb.) hajtja
A környezetvédelem alapjai I. elıadás
20/23
5
Hısugárzás:
-elektromágneses sugárzás - frekvencia-tartományra terjed ki (f – frekvencia) (nem egyetlen frekvencia, mint pl. a lézer) - frekvencia-szerint jellegzetes eloszlás Spektrális emisszióképesség: e( f , T ) T hımérséklető test által kisugárzott elektromágneses energia teljesítmény- -sőrőség - egységnyi idı alatt W - egységnyi felületen m 2 ⋅ Hz - egységnyi frekvenciatartományban Spektrális abszorpcióképesség: a( f , T ) T hımérséklető test által a ráesı elektromágneses sugárzásból elnyelt hányad f körüli egységnyi frekvenciatartományban 0 ≤ a( f , T ) ≤ 1 (dimenziótlan) Kirchhoff-törvény e( f , T ) anyagi minıségtıl független, bár külön-külön E( f ,T ) = a( f , T ) e(f,T) és a(f,T) is függ az anyagi minıségtıl.
Amelyik test jobban elnyel (adott frekvencián), az jobban is sugároz! A környezetvédelem alapjai I. elıadás
21/23
Abszolút fekete test: a ( f , T ) = 1 ezért E ( f , T ) = e( f , T ) Planck eloszlás:
E( f ,T ) =
h = 6,626 ⋅10 −34 [J ⋅ s] 2hf 3 1 ⋅ c 2 e hf kT − 1 k = 1,38 ⋅10 − 23 J K
[ ]
Wien törvény: b λmax = ahol b = 2,898 ⋅10−3 [m ⋅ K ] T (a spektrum maximuma eltolódik) Pl. Nap: T = 6000 K, λmax = 483 nm Föld: T = 287 K, λmax = 10000 nm E foton =
hc
λ
Ezért N287 ~ 20·N6000
(emlékezzünk az entrópia-exportra!)
Hullámhossz szerinti eloszlás
A környezetvédelem alapjai I. elıadás
22/23
Stefan-Boltzmann törvény: Összes kisugárzott teljesítmény
W = σ ⋅T 4 A
W 2 4 m ⋅ K
σ = 5,67 ⋅10 −8
Felület Az abszolút fekete test kisugárzott teljesítménysőrősége a teljes frekvencia tartományban
∞ ∞ 3 A spektrális teljesítménysőrőség W = σ ⋅ T 4 = E ( f , T )⋅df = 2h f df 2 ∫ hf ∫ c 0 e kT − 1 A frekvencia szerinti integrálja 0
A Planck-függvény görbéje alatti terület Pl. a Föld által a világőrbe kisugárzott teljesítménysőrőség (T = 287 K) W W 4 = σ ⋅ T 4 = 5,67 ⋅10 −8 ⋅ (287 ) = 384,7 2 A m
DE! A Napból 1353 W esik minden m2-re!? Magyarázat: KÉSİBB! A környezetvédelem alapjai I. elıadás
23/23
6
