Here is the Problem and the Answer 1. Diketahui premis‑premis berikut ! a. Jika sebuah segitiga siku‑siku maka salah satu sudutnya 90 0 b. Jika salah satu sudutnya 90 0 maka berlaku teorema Phytagoras Ingkaran dari kesimpulan yang sah pada premis‑premis di atas adalah … Jawaban : Kesimpulan yang sah adalah “Jika sebuah segitiga siku‑siku maka maka berlaku teorema Phytagoras ”, sedangkan ingkarannya adalah “ sebuah segitiga siku‑siku dan tidak berlaku teorema Phytagoras” 3
2. Nilai x yang memenuhi
log 9 x 3 = 3 adalah …
Jawaban : 3
log 9 x 3 = 3 log æç è
4 x 3
( 3 ) ö÷ø
( )
= 3 log 3
4 x - 12
(
= 4 x - 12
3
( ))
log 3 = 3
Jadi 4x‑12 = 3 atau x = 3,75 3. Fungsi kuadrat f(x) = px 2 – x + 1 menyinggung garis 3x ‑ y = ‑ 2. Nilai p yang memenhi adalah … Jawaban : Fungsi kuadrat f(x) = y = px 2 – x + 1 menyinggung y = 3x + 2 px 2 – x + 1 = 3x + 2 Û px 2 – 4x – 1 = 0 Agar bersinggungan maka diskriminannya harus bernilai 0 D = 16 + 4p = 0. Jadi p = ‑ 4. 4. Akar‑akar persamaan kuadrat 2x 2 + mx + 16 = 0 adalah a dan b. Jika a = 2b dan a, b positif maka nilai = = … Jawaban : Diketahui akar‑akar 2x 2 + mx + 16 = 0 adalah a dan b, a = 2b, dan keduanya positif. Ingat kembali bahwa a.b = 16/2 = 8. a.b = (2b) . b = 2b 2 = 8 atau b = 2 dan a = 4. a + b = ‑m/2 atau m = ‑2(a+b) = ‑2(6) = ‑ 12 5. Akar‑akar persamaan 2x 2 ‑ 4x + 3 = 0 adalah p dan q. persamaan kuadrat baru p q yang akar‑akarnya dan adalah … q p Jawaban : 3 2 2 2 . p q p + q p q p q p + q ( p + q ) - 2 pq 2 = 2 + = dan x = 1 + = = = 3 q p pq q p q p pq pq 3 2 2 Jadi persamaan kuadrat baru yang dicari adalah 3x ‑ 2x + 3 = 0. 2
2
2
2
2
6. Luas segiempat pada gambar adalah … Jawaban : 4
Segiempat tersebut terdiri dari 2 buah segitiga. 30 0 1 10 Luas D pertama = x 10 x 4 x sin 30 0 = 10 satuan luas 2 6 1 Luas D siku‑siku = x 6 x 8 = 24 satuan luas 2 Jadi luas daerah segiempat tersebut adalah 34 satuan luas.
[email protected]
1
7. Diberikan prisma segitiga tegak ABC.DEF. Panjang AC = BC = 6 cm; CF = 8 cm dan sudut antara AF dan BF adalah 60 0 . Volume prisma tersebut adalah Jawaban : Berdasarkan keterangan pada soal maka dengan Teorema Phytagoras diperoleh panjang AF = BF = 10 cm. Karena sudut ABF = 60 0 maka segitiga ABF samasisi ( AB = 10 cm). Perhatikan segitiga ABC, dengan Teorema Phytagoras diperoleh tingginya adalah 11 cm. Luas segitiga ABC = 5 11 cm sehingga volume limas adalah 40 11 cm 8. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm. Titik P pada perpanjangan DH, sehingga DP = 3/2 DH. Jarak P ke ACGE adalah … Jawaban : Dari informasi pada soal dapat diketahui panjang PH = 3 cm dan HX = 3 2 cm ( X adalah titik tengah EG ). Jarak P ke bidang ACGE samadengan jarak PH ke bidang ACGE yaitu HX. Jadi jarak P ke bidang ACGE adalah 3 2 9. Pada balok ABCD.EFGH berturut‑turut panjang rusuk AB = 12 3 cm, BC = 16 cm dan AE = 10 cm. P terletak pada EH dengan EP : PH = 1 : 1 dan Q terletak pada HG dengan HQ : QG = 2 : 1. Besar sudut antara garis yang melalui PQ dengan bidang BCGF adalah … Jawaban : Perhatikan soal baik‑baik sehingga dapat kita peroleh EP = PH = 8 cm dan HQ = 8 3 cm. Selanjutnya buat garis melalui Q sejajar FG. Besar sudut antara garis yang melalui PQ dengan BCGF sama dengan besar ÐHPQ pada segitiga siku‑ 8 3 = 3 . Jadi ÐHPQ = 60 0 8 10. Himpunan penyelesaian persamaan 2 cos 2 2x 0 – 1 = 2 sin 2 2x 0 , 0 £ x £ 270 siku HPQ. Tangen ÐHPQ =
adalah … Jawaban : Ingat kembali identitas‑ identitas trigonometri. 2 cos 2 2x 0 – 1 = 2 sin 2 2x 0 Û 2 1 (cos 2 2x 0 ‑ sin 2 2x 0 ) = 1 atau cos 4x = . Untuk 0 £ x £ 270 maka nilai yang 2 memenuhi adalah {15, 75, 105, 165, 195, 255 } 11. Diketahui lingkaran L º (x‑3) 2 + (y‑2) 2 = 4. Persamaan garis singgung lingkaran di titik potong garis y = 2 dengan lingkaran adalah … Jawaban : Persamaan garis singgung lingkaran tersebut dapat diperoleh dengan mensubstitusikan y = 2 ke persamaan lingkaran sehingga akan didapat x = 1 dan x = 5. 12 3 dan cos B = , ÐA dan ÐB lancip. Nilai tan (A‑B) = … 13 5 sin( A - B ) sin A cos B - cos A sin B = Jawaban : Tan (A ‑ B ) = …………(*) cos( A - B ) cos A cos B + sin A sin B
12. Diketahui sin A =
Jika A lancip dan B lancip maka cos A =
5 4 dan sin B = . 13 5
Substitusikan nilai‑nilai tersebut ke (*) sehingga diperoleh tan (A‑B) =
[email protected]
16 63
2
13. Dalam sebuah segitiga lansip ABC, diketahui sin A =
1 3 dan cos B = , nilai 2 5
dari tan C adalah … Jawaban : 3 4 dan sin B = . 2 5 Ingat kembali bahwa tan C = tan (180 – (A+B)) = ‑ tan (A+B) sin( A + B ) sin A cos B + cos A sin B 1 = = - ( 25 3 + 48 ) Tan (A+B) = cos( A + B ) cos A cos B - sin A sin B 11 Jika segitiga ABC lancip maka cos A =
14. Modus dari data pada tabel adalah … Tinggi(cm) 150 ‑ 154 155 ‑ 159 160 ‑ 164 165 ‑ 169 170 ‑ 174
Frekuensi 5 8 13 10 4
Jawaban : Modus terdapat pada interval ketiga (160 – 164) karena frekuensinya tertinggi. Selisih frekuensi kelas Modus dengan frekuensi kelas sebelumnya (d1) adalah 5, selisih frekuensi kelas Modus dengan frekuensi kelas sesudahnya (d2) adalah 3, tepi bawah (L) kelas Modus adalah 160 – 0,5 = 159,5, dan panjang interval adalah 5. Mo = L +
d 1 5 . p = 159 , 5 + . 5 = 162 , 625 d 1 + d 2 5 + 3
15. Dari 15 bibit mangga diberi nomor 1 sampai 15. Diambil 8 jenis bibit untuk ditanam di kebun percontohan. Jenis nomor 1 dan nomor 2 pasti terambil. Banyaknya cara pemilihan jenis bibit mangga tersebut adalah … Jawaban : Dari 13 jenis bibit mangga yang tersisa akan dipilih 6 jenis bibit mangga lagi Banyak cara pemilihan adalah kombinasi 6 unsur dari 13 unsur yang tersedia yakni 1716 cara. 16. Dalam sebuah keranjang terdapat 18 mangga, 15 manggis, dan 27 apel. Peluang mendapatkan buah manggis pada pengambilan satu buah pertama kali adalah … Jawaban : Banyak seluruh buah adalah 60, sedangkan banyak manggis adalah 15 sehingga peluang terambilnya manggis pada pengambilan pertama adalah 15 1 15 C 1 = = 60 4 60 C 1 17. Diketahui f : R à R dan g : R à R dengan f(x) = 2x 2 – 3 dan g(x) = 3 - 2 x Fungsi komposisi (fog)(x) adalah … Jawaban : Perhatikan kedua fungsi tersebut. ( f o g )( x ) = 2 ( 3 - 2 x ) 2 - 3 = 3 - 4 x
[email protected]
3
18. Suku banyak f(x) dibagi oleh 2x – 4 memberi sisa 6, dibagi oleh x + 4 memberi sisa 24. Suku banyak g(x) dibagi oleh 2x – 4 memberi sisa 5 dan dibagi x + 4 sisanya 2. Jika h(x) = f(x). g(x) maka h(x) dibagi 2x 2 + 4x – 16 memberi sisa … Jawaban : Perhatikan bahwa 2x 2 + 4x – 16 = (2x ‑ 4)(x + 4) Jika h(x) = f(x). g(x) maka : h(2) = f(2).g(2) = 6.5 = 30 dan h(‑4) = f(‑4).g(‑4) = 24. 2 = 48 Misalkan sisa pembagian h(x) oleh 2x 2 + 4x – 16 adalah px + q sehingga 2p + q = 30 dan ‑4p + q = 48. Jika sistem persamaan linier tersebut diselesaikan diperoleh p = ‑3 dan q = 36. Jadi sisa pembagian h(x) oleh 2x 2 + 4x – 16 adalah ‑ 3x + 36. x 2 - 2 x - 8 = … x ® 4 x - 4
19. Nilai lim
Jawaban : lim x ® 4
x 2 - 2 x - 8 ( x + 2 )( x - 4 ) = lim = lim ( x + 2 ) = 6 x ® 4 x ® 4 x - 4 x - 4
20. Nilai lim ( x 2 + 2 x - x 2 + x ) = ... x ® ¥
Jawaban : Perhatikan lim ax 2 + bx + c - px 2 + qx + r = x ® ¥
lim x 2 + 2 x - x 2 + x = x ® ¥
b - q 2 a
asalkan a = p
2 - 1 1 = . 2 1 2
1 - cos x 21. Nilai lim = … x ® 0 x sin x Jawaban : 1 1 1 1 2 sin x . sin x 2 . x . sin x . sin x 2 2 = lim 2 2 = 1 x ®0 1 1 x . sin x 2 4 . x . x . sin x 2 2 Cara lain turunkan pembilang dan penyebut : 1 - cos x sin x cos x 1 1 lim = lim = lim = = x ® 0 x sin x x ® 0 x cos x + sin x x ® 0 - x sin x + cos x + cos x 0 + 1 + 1 2 1 - cos x lim = lim x ® 0 x sin x x ®0
22. Garis l menyinggung kurva y = 3 x di titik yang berabsis 1. Titik potong garis l dengan sumbu x adalah … Jawaban : 1
3 3 - Gradien garis l adalah m = y’ = x 2 . Di titik berabsis 1, nilai m = , jika x = 1 2 2 disubstitusikan ke persamaan kurva diperoleh y = 3, jadi titik singgungnya 3 (1,3). Persamaan garis bergradien dan melalui (1,3) adalah 2 3 y – 3 = (x ‑ 1) Û 2y ‑ 3x = 3 . Titik potong terhadap sumbu x adalah (‑1,0) 2
[email protected]
4
23. Dari sebuah karton yang berbentuk persegi dengan panjang sisi 16 cm akan dibuat sebuah kotak tanpa tutup dengan cara memotong keempat pojoknya dengan ukuran yang sama (x cm). untuk mendapatkan volume kotak maksimum, maka tinggi kotak adalah … Jawaban : Volume kotak = panjang x lebar x tinggi = (16‑2x)(16‑2x)x = 4x 3 – 64x 2 + 256 Volume kotak maksimum jika turunan pertama 4x 3 – 64x 2 + 256 bernilai 0. Pembuat nol 12x 2 – 128x + 256 adalah 8 dan 8/3. Nilai yang memenuhi adalah x = 8/3. 24. Aris, Burhan , dan Mutia berbelanja di toko, Aris membayar Rp 85.000,00 untuk 4 unit barang I dan 3 unit barang II. Burhan harus membayar Rp 100.000,00 untuk 2 unit barang I dan 4 unit barang II. Yang harus dibayar Mutia bila ia membeli 5 unit barang I dan 4 unit barang II adalah … Jawaban : Berdasarkan keterangan pada soal diperoleh sistem persamaan linier : 4x + 3y = 85.000 ; 2x + 4y = 100.000 . Jika sistem persamaan linier tersebut diselesaikan akan diperoleh harga 1 unit barang I adalah 4.000 dan harga 1 unit barang II adalah 23.000 sehingga Mutia harus membayar Rp 112.000 25. Sebuah kantin sekolah menyediakan soto ayam dan soto daging tidak lebih dari 80 porsi per hari. Banyak porsi soto ayam sedikitnya 20 porsi dan soto daging paling banyak 60 porsi. Harga soto ayam Rp 5.000,00 per porsi dan soto daging Rp 6.000,00 per porsi. Banyaknya masing‑masing jenis menu yang harus disediakan agar mendapatkan hasil penjualan maksimum adalah … Jawaban : Fungsi tujuan program linier pada soal adalah 5000x + 6000y (x dan y berturut‑ turut menyatakan banyaknya porsi soto ayam dan soto daging yang terjual), sedangkan fungsi kendalanya adalah x + y £ 80 ; y £ 60 ; x ³ 20 Jika diselesaikan maka akan diperoleh soto ayam yang harus dijual 20 porsi sedangkan soto daging sebanyak 60 porsi. 26. Diketahui matriks‑matriks é 2 - 2 ù é 1 ù é1 3 0 ù ê - 1 0 ú, C = ê x 1 ú dan D = é1 2 ù A = ê , B = 2 ú ê3 2 ú ê ú ê 4 5 ú ë0 - 1 1 û ë û ë û êë 1 - 3 úû
Jika C t adalah transpos matriks C, nilai x yang memenuhi AB + C t = D adalah … x ù 1 2 é é ù Jawaban : Perhatikan : AB + C t = D Û ê - 1 + 2 2 ú = ê ú atau x = 4 3 2 ê 3 ú ë û 2 û ë
27. Diketahui sebuah balok pada ruang dimensi tiga dengan titik A(0,0,0), B(24,0,0), D(0,7,0) dan E(0,0,25), jika α adalah sudut antara vektor CA dan CE, maka besar sudut α adalah … Jawaban : Dari soal dapat diketahui AE = 25, AB = 24, dan AD = 7. Pergunakan teorema Phytagoras pada segitiga ABC yang siku‑siku di B, panjang AC diperoleh 25. Terlihat bahwa tan α = 1. Jadi α = 45 0
[email protected]
5
28. Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A(2,‑1,‑1), B(‑1,4,‑2), dan C(5,0,‑3). Proyeksi vektor AB pada AC adalah … Jawaban : AB = -3i + 5 i - k ; AC = 3 i + j - 2 k
Jika panjang proyeksi vektor AB pada vektor AC kita misalkan vektor s maka s =
AB . AC 1 . AC = - (3 i + j - 2 k ) 2 7 AC
é 2 ù 29. Garis g º 2x + y = 3 ditranslasikan oleh T = ê ú kemudian dirotasikan R(0, 90 0 ). ë1 û Persamaan bayangan g adalah … é x ' ù é0 - 1 ù é x + 2 ù é- y - 1 ù Jawaban : Perhatikan : ê ú = ê úê ú=ê ú ë y ' û ë1 0 û ë y + 1 û ë x + 2 û Kita dapat x’ = ‑ y – 1 (atau y = ‑x ‑ 1) dan y’ = x + 2 (atau x = y ‑ 2). Substitusikan nilai nilai tersebut ke persamaan garis g sehingga akhirnya diperoleh bayangan garis g adalah 2y – x – 8 =0 30. Diketahui bayangan titik A(3,5) dan B(x,y) karena dilatasi [0,k] dilanjutkan é1 - 2 k ù dengan translasi T = ê ú adalah A’(‑1,‑6) dan B’(‑3,18). Koordinat titik B 4 ë û adalah … Jawaban : Perhatikan titik A(3,5). Pertama titik tersebut mengalami dilatasi [0,k] sehingga menjadi (3k, 5k), dilanjutkan translasi T. Setelah mengalami translasi koordinat A’ adalah (k + 1, 5k + 4) sehingga k + 1 = ‑1 atau k = ‑2. é 5 ù Titik B(x, y) juga mengalami dilatasi [0, ‑2] dilanjutkan translasi T= ê ú ë 4 û sehingga bayangannya B’(‑3, ‑18). Dari informasi tersebut kita dapatkan hubungan ‑2x + 5 = ‑3 dan ‑2y + 4 = ‑18. Jadi koordinat B adalah (4, ‑7) 31. Hasil dari ò ( x + 3)(x 2 + 6 x - 5 ) dx adalah … Jawaban : 1 5 1 6 5 5 1 2 2 2 ò ( x + 3 )(x + 6 x - 5 ) dx = ò (x + 6 x - 5 ) . d (x + 6 x - 5 ) = ò u du = u + C 2 2 12 1 5 6 Jadi ò ( x + 3 )(x 2 + 6 x - 5 ) dx = (x 2 + 6 x - 5 ) + C 12 5
32. Hasil dari ò 1 - cos 2 x dx = ... Jawaban : 2 ò 1 - cos 2 x dx = ò 2 sin x dx = 2 ò sin x dx = - 2 cos x + C 1
33. Jika ò ax (x 2 + 1 ) dx =14 maka a = … 2
0 1
1
2 2 ò ax (x + 1 ) dx = a ò (x + 1 ) 0
2
0
[email protected]
2
1 2 a a a 7 a 3 d (x + 1 ) = (x 2 + 1 ) ] 1 0 = ( . 8 ) - = = 14 Û a = 12 2 6 6 6 6
6
34. Luas daerah yang diarsir pada gambar dapat dinyatakan dalam bentuk … y
1 1
0
x x=4
Jawaban : Inilah soal tergampang. Andaikan garis y = 1 adalah sumbu x maka persamaan garis yang miring tersebut adalah y = x sehingga luas daerah yang 4
diarsir dapat dinyatakan dengan ò xdx 0
35. Daerah yang diarsir pada gambar diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360 0 . Volume benda putar yang terjadi adalah …
y = x 3
2
y = x
3
Jawaban : Perhatikan bahwa y = x 3 Û x 2 = y 2 dan y 2 = x Û x 2 = y 4 Volume benda putar yang terjadi adalah : 2
1 1 3 1 2 V = p ò y 3 dy - p ò y 4 dy = p - p = p satuan volume 5 5 5 0 0
36. Perhatikan grafik fungsi eksponen pada gambar! Persamaan grafik fungsi invers pada gambar adalah y = …
9
3
Jawaban : Jika kita perhatikan grafik pada soal maka kita peroleh a = 3. log y a = log y Perhatikan : y = a x Û log y = log a x Û log y = x.log a Û x = log a Jadi inversnya adalah y = 3 log x
[email protected]
7
37. Akar‑akar persamaan 3 x + 1 + 3 2 - x = 28 adalah α dan β, jika α < β, nilai α ‑ β = … 9 Jawaban : 3 x + 1 + 3 2 - x = 3 . 3 x + x = 28 Û 3 . ( 3 x ) 2 + 9 = 28 ( 3 x ) 3 Persamaan terakhir adalah persamaan kuadrat. x
x
(
x
)(
x
)
3 . ( 3 ) 2 - 28 ( 3 ) + 9 = 3 ( 3 ) - 1 ( 3 ) - 9 = 0 sehingga α = 1 dan β = 2.
Jadi α – β = 1 – 2 = 3. 38. Pada barisan aritmetika yang mempunyai 9 suku diketahui jumlah suku ke‑2 dan suku ke‑8 adalah 26. Suku tengah dari barisan tersebut adalah … Jawaban : Suku tengah dari barisan aritmetika dengan 9 suku adalah suku ke 5 (ingat U5 = a + 4b). Diketahui pula bahwa U2 + U8 = 26 U2 + U8 = (a + b) + (a + 7b) = 2a + 8b = 2(a + 4b) = 2 (U5) = 26. Jadi U5 = 13. 39. Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmetika dengan jumlah 15, jika suku kedua dikurangi 1, maka diperoleh barisan geometri . Jumlah delapan suku pertama barisan geometri naik yang terjadi adalah … Jawaban : Diketahui : a + (a+b) + (a + 2b) = 3a + 3b = 15 atau a + b = 5 (U2 = 5). Barisan aritmetika yang dimaksudkan adalah 2, 5, 8 sehingga barisan geometri yang diperoleh adalah 2, 4, 8. Barisan geometri tersebut memiliki suku awal 2 dan rasio 2. S8 = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 = 510 40. Seekor semut pada hari pertama berjalan sejauh 1,5 meter, pada hari kedua berjalan sejauh separuh dari perjalanan pertama, pada hari ketiga berjalan separuh dari perjalanan kedua dan seterusnya sampai berhenti. Panjang lintasan semut sampai berhenti adalah … Jawaban : Persoalan ini menyangkut deret geometri takhingga dengan suku 1 a 1 , 5 awal 1,5 m dan rasio . S ~ = = = 3 m 2 1 - r 1 - 1 2
[email protected]
8
