ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC Řešme na množině reálných čísel rovnice: log 5 3x 6 a) 2 2 b) log 2 2 x 1 log 2 3 x 1 c) log2 x 3 log 3 x log8 x 12 d) log 2 1 2 x 1 log 2 x 1 3 e) 2 log x 4 log x
f) log 2 2 log x log 2 3
log x
2 log 2
Co budeme potřebovat?
Chápat definici logaritmu. Znát průběh logaritmické funkce. Znát 3 jednoduché věty o počítání s logaritmy. Umět řešit lineární a kvadratickou rovnici. Znát princip řešení rovnic užitím substituce.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------log 5 3x 6 a) 2 Nejdřív se zbavíme zlomku. Zlomek od slova ZLO. 2 log 5 3 x 6 4 Toto je typ rovnice, kdy je nejlepší použít definici logaritmu. Ta říká: log a x = y právě tehdy, když a y = x. Použijeme-li tuto definici, dostaneme rázem jednoduchou lineární rovnici. 4 5 3 x 6 625 = 3x – 6 631 = 3x 631 x= Hotovo. 3 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------b) log 2 2 x 1 log 2 3 x 1 Nejjednodušší typ logaritmické rovnice. Logaritmická funkce je prostá, tedy na celém svém definičním oboru pořád roste nebo pořád klesá. Nemůže se tedy stát, že by dvě různá čísla měla stejné logaritmy (o stejných základech). Pro nás to v tuto chvíli znamená toto: Rovnají-li se dva logaritmy o stejných základech, pak se musejí rovnat i logaritmované výrazy. Rovnice toto beze zbytku splňuje, takže ty logaritmy prostě umázneme a hotovo.
2 x 1 3x 1
Opět jsme dostali jednoduchou lineární rovnici.
2=x Jelikož jsme nepostupovali podle definice, je nutné provést zkoušku! Zdaleka ne všechna čísla totiž můžeme logaritmovat, jak určitě víte. Aby jste se však zbytečně neplašili (jelikož u těžších rovnic je provedení zkoušky opravdu mazec), uděláme teď takovou malou dohodu mezi 2x ( x N ) očima: Zkoušku budeme provádět tak, že jen ověříme, zda všechny výrazy v rovnici po dosazení výsledku (v našem případě x = 2) dávají smysl. Tak a teď pojďme na to:
log 2 2 x 1 log 2 3 x 1 log 2 2 2 1 log 2 3 2 1
Dosadíme za všechna x v rovnici dvojku. Vlevo logaritmuji pětku. Sice humus, ale jde to. Vpravo logaritmuji zase pětku, to jde. Takže x = 2 OK. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------c) log2 x 3 log 3 x log8 x 12 Typická rovnice na užití vět o počítání s logaritmy. Podle I. věty o počítání s logaritmy platí: log a x log a y log a x y Levou stranu rovnice tedy nahradíme jedním logaritmem. log2 x 33 x log8 x 12 Dostali jsme opět rovnost dvou logaritmů se stejnými základy. Takže pryč s těmi logaritmy! (2x – 3)3x = 8x – 12 Vypadá to na kvadratickou rovnici. 6x2 – 9x – 8x + 12 = 0 6x2 – 17x + 12 = 0 3 4 D = 289 – 288 = 1 D = 1 x1 , x 2 Zkouška nutná! 2 3 Zk: 3 1) Pro kořen x1 . 2 3 3 3 log 2 3 log 3 log 8 12 2 2 2 9 log 0 log log 0 Na obou stranách rovnice jsme dostali výraz, který nemá smysl. 2 3 Kořen x1 tedy nevyhovuje. 2 4 2) Pro kořen x 2 3 4 4 4 log 2 3 log 3 log 8 12 3 3 3 1 4 log log 4 log Na obou stranách rovnice jsme dostali výraz, který nemá 3 3 4 smysl. Kořen x 2 také nevyhovuje. Závěr je jasný: 3 Rovnice nemá řešení. Zk:
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------d) log 2 1 2 x 1 log 2 x 1 Tady je jeden malý zádrhel, a sice ta jednička vpravo. Při řešení takovéto logaritmické rovnice obvykle kombinujeme postupy vysvětlené při řešení předchozích tří rovnic. Jelikož se to v rovnici „hemží“ logaritmy o základu 2, nahradíme jedničku na pravé straně taky logaritmem o základu 2. Využijeme při tom definice logaritmu. log2 x = 1 právě tehdy, když 21 = x. Tedy x = 2. Gut.
log 2 1 2 x log 2 2 log 2 x 1 log 2 1 2 x log 2 2 x 1 1 2 x 2 x 1 1 – 2x = 2x + 2 –1 = 4x 1 x 4
Na pravé straně jsme dostali součet logaritmů. Použijeme tedy opět I. větu o počítání s logaritmy. A teď pryč s těmi logaritmy!
Zk: 1 1 3 Levá strana po dosazení: log 2 1 2 log 2 1 log 2 a to jde. 4 2 2 1 3 Pravá strana po dosazení: 1 log 2 1 1 log 2 a to taky jde. 4 4 1 Takže x OK. 4 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------3 e) 2 log x 4 Já vím, vypadá to strašně, ale žádnou paniku! Toto je typická log x rovnice na užití substituce. Než k tomu však přikročíme, provedeme jednu malou kosmetickou úpravu užitím III. věty o počítání s logaritmy, která říká: log a x y y log a x . Jedná se o tu hnusnou odmocninu ve jmenovateli. Každá odmocnina je vlastně mocnina, 1
konkrétně 2 log x
a a2 . 3 4 1
Použijeme III. větu.
2
log x 3 2 log x 4 1 log x 2 3 2y 4 1 y 2 6 2y 4 y 2y2 – 6 = 4y 2y2 – 4y – 6 = 0 y2 – 2y – 3 = 0
A teď zavedeme substituci y = log x. Rovnice prokoukne.
Paráda, ne? Ještě vynásobíme výrazem y za podmínky y 0 . A jsme opět u jednoduché kvadratické rovnice. Teď to pofrčí. „Diskroš“ je 16, jeho odmocnina 4. Kořeny y1 = 3, y2 = – 1. OK.
Na závěr se musíme vrátit k zavedení substituce. Zajímá nás proměnná x, nikoli y. 1) Dosadíme do substituční rovnice za y trojku. Dostaneme rovnici: 3 = log x Základ není vidět, jedná se o dekadický logaritmus se základem a = 10. Hodnotu x určíme podle definice logaritmu. 103 = x x = 1000
2) Dosadíme do substituční rovnice za y mínus jedničku. Dostaneme rovnici: – 1 = log x Hodnotu x určíme stejným způsobem. 10 –1 = x x = 0,1 Zkoušku v tomto případě dělat nemusíme, postupovali jsme totiž podle definice. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------f) log 2 2 log x log 2 3 log x 2 log 2 Na závěr tu máme jednu zdánlivě brutální rovnici. Zdání však klame. Začneme substitucí: y = log x. 3 y 2y log 2 log 2 2 log 2 To není zlý! Teď použijeme nalevo větu III.
Rovnici vydělíme výrazem log 2 ( log 2 0 ).
2 y log 2 3 y log 2 2 log 2
Toto je iracionální rovnice. Než ji umocníme, musíme ji vhodně upravit, jinak bychom se té ošklivé odmocniny nezbavili. A teď ji umocníme. Pozor, vlevo podle vzorce!! Opět kvadratická rovnice. Takže fofrem.
2y 3 y 2
2y 2 3 y 4y – 8y + 4 = 9y 2
1 . 4 POZOR! Při řešení rovnice s neznámou y R jsme použili jednu neekvivalentní úpravu, a to když jsme celou rovnici umocnili na druhou! Proto musíme nejprve provést zkoušku.
D = 289 – 64 = 225
D 15 y1 = 4; y2 =
Zk: 1) y = 4 log 2 2 y log 2 3 y 2 log 2 log 2 8 log 2 6 2 log 2 8 log 2 6 log 2 2 log 2 2 log 2 2 log 2
OK.
2) y = 0,25 log 2 2 y log 2 3 y 2 log 2 log 2 0,5 log 21,5 2 log 2 0,5 log 2 1,5 log 2 2 log 2 log 2 2 log 2
A to rozhodně není OK.
2 log 2 má jen jeden kořen y = 4.
Tedy rovnice log 2 2 y log 2 3
y
A teď už zpátky k substituci. 4 = log x x = 104 = 10 000 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Příklady k procvičení: 1) log x 1 log x 1 log x 2 log 8 2) 6 log 3 5 x 2 0 3 3) log 1 x 1 2 2 4) log 5 5 x 7 log 5 3x 5 0 5) log 3 5 x 4 log 3 x 4 2
{6} {8}
5x 3 6) log 2 2 4x 4 log 3 3 x 12 7) 2 log 3 x 2 8) log x 7 log 3 log 2 x 10 log 2 3 9) 2 log x 4 log x ln 3 x 4 ln e 2 10) ln x 2 11 10 5 5 1 10 log 100
11) log 3 x 5 log 7 x 3 1 log 12) 3 2 log x 8 2 log x
13) x 3 4 log x 10 x 6 0
{3; 5} 3 { } 5 1 { } 2
{
1 } 2
{8} {11} {1000; 0,1} {0} {2} {1000}
1
{10; 10 4 }
Pozn. k 10): ln x log e x Návod ke 13): Člen (– 10x6) přičti na druhou stranu, rovnici zlogaritmuj a zaveď substituci.
