11 Zobrazení goniometrických funkcí na jednotkové kružnici, významné hodnoty goniometrických funkcí. Řešení goniometrických rovnic. V pravoúhlém trojúhelníku ABC jsou definovány funkce sin , cos, tg , cotg libovolného úhlu takto:
a c b cos α = c a tgα = b sin α =
protilehlá odvěsna ku přeponě
B
přilehlá odvěsna ku přeponě
c a
protilehlá odvěsna ku přilehlé odvěsně
b cot gα = a
C
α
.
přilehlá odvěsna ku protilehlé odvěsně
b
A
Je dán rovnostranný trojúhelník ABC. V tomto trojúhelníku sestrojíme výšku vc. Tato výška půlí trojúhelník na dva pravoúhlé trojúhelníky, ve kterých se vyskytují úhly velikosti 30° a 60°. Z tohoto obrázku můžeme odvodit hodnoty goniometrických funkcí těchto úhlů. Nejprve určíme Pythagorovou větou vc:
vc = C
a2 −
( a2 ) 2
30°
a
60° B
a
A
a
cot g 60 o =
1 2
= 3
a 2
=
a 2
=
3 2
=
a a 2
cos 60 o = tg 60 o =
3
a 2
sin 60 o =
a 2
1 a 2 a 3 3 cos 30 o = 2 = a 2 a 1 3 3 tg 30 o = a 2 = = 3 3 3 3 2 1 cot g 30 o = = 3 tg 30 o sin 30 = o
a
a 3 2
=
1 3
3 3 3
=
3 3
1
K odvození hodnot goniometrických funkcí úhlu 45° použijeme rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník ABC: Nejprve určíme Pythagorovou větou c:
c=
B
a2 + a2 =
2a 2 = a 2
sin 45 o = cos 45 o =
c
a
=
a 2 a a 2
=
1
2
2 1
2 2
2
=
2
=
2 2 2 2
a =1 a cot g 45 o = 1
tg 45 o =
a
.
45°
C
A
a
Z odvozených hodnot sestavíme tabulku a doplníme ji i o úhly 0°a 90°.
0°
30°
45°
60°
90°
sin α
0
1 2
1
tg α
0
3
nedef.
cotg α
nedef.
3 2 3 3 3
3 2 1 2
1
cos α
2 2 2 2 1
1
3 3
0
0
Na jednotkové kružnici můžeme jednotlivé goniometrické funkce zobrazit takto: y
t´
cotg α
1
tg α
sin α α 1
-1
x
cos α
-1
Zde je vidět např. , že sin 0° = 0 , cos 0 °= 1 , tg 90°= 0 , tg 90° není definován , cotg 90°= 0
t
0°= 0 , cotg 0° není definován , dále sin 90°= 1 , cos
2
Pokud chceme určovat hodnoty goniometrických funkcí úhlů větších než 90°, musíme vždy nejprve určit, v kterém kvadrantu leží koncové rameno úhlu a potom postupovat individuálně v každém kvadrantu.
Úhly druhého kvadrantu: ( 90° - 180° ) α = ( 180° - α´ )
Při určení hodnot gon. funkcí musíme vyjít z obrázku y
cotg α
t´
sin α = sin ( 180° - α´ )
1
cos α = tg α =
sin α
α
α´
α´
- tg ( 180° - α ´ )
cotg α =
1
-1
- cos ( 180° - α´ )
-
cotg ( 180° - α´ )
x
cos α
tg α
-1
t
Příklad:
sin 150° = sin ( 180° - 30° ) = sin 30° = 0,5
2 2
cos 135° = cos ( 180° - 45°) = - cos 45° = tg 120° = tg ( 180° - 60° ) = - tg 60° = −
3
cotg 150°= cotg ( 180° - 30°) = - cotg 30° = −
3
Úhly třetího kvadrantu: ( 180° - 270° ) α = ( 180° + α´ )
Při určení hodnot gon. funkcí musíme vyjít z obrázku y t´
cotg α
1
sin α = - sin ( 180° + α´ ) cos α = - cos ( 180° + α´ )
tg α α -1
α´ cos α
-1
tg α = tg ( 180° + α´ )
α´ 1
x
sin α
cotg α = cotg ( 180° + α´ )
t
3
Příklad:
2 2 3 cos 210° = cos ( 180° + 30° ) = - cos 30°= − 2 tg 240° = tg ( 180° + 60° ) = tg 60° = 3 sin 225° = sin ( 180° + 45° ) = - sin 45° = −
cotg 225° = cotg ( 180° + 45° ) = cotg 45°= 1
Úhly čtvrtého kvadrantu: ( 270° - 360° ) α =( 360° - α´ )
Při určení hodnot gon. funkcí musíme vyjít z obrázku y cotg α
t´
sin α = - sin ( 360° - α´ )
1
cos α = cos ( 360° - α´ ) α
α´
tg α = - tg ( 360° - α´ )
cos α
α´
-1
1
x
sin α
cotg α = - cotg ( 360° - α´ )
tg α
-1
t
Příklad:
sin 330° = sin ( 360° - 30° ) = - sin 30° = - 0,5 cos 315° = cos ( 360° - 45° ) = cos 45° = tg 300° = tg ( 360° - 60° ) = - tg 60° = −
2 2 3
cotg 315° = cotg ( 360° - 45° ) = - cotg 45° = - 1 Z výše uvedených odvození lze dále udělat několik závěrů: • perioda funkcí sin α a cos α je 360° • perioda funkcí tg α a cotg α je 180° • lze přesně určit znaménka goniometrických funkcí v jednotlivých kvadrantech
4
I + + + +
sin α cos α tg α cotg α
II + -
III + +
IV + -
Se znalostí určování hodnot goniometrických funkcí v těchto čtyřech kvadrantech vystačíme již pro všechny hodnoty úhlů. Stačí pouze odečíst periodu, umístit úhel do příslušného kvadrantu a vypočítat jeho hodnotu. Příklad:
sin 510° = sin 150° = sin ( 180° - 30°) = sin 30° = 0,5 cos 855° = cos 135° = cos ( 180° - 45° ) = - cos 45° = −
2 2
Příklad:
Hodnota úhlu může být zadána v radiánech, pak pouze převedeme na stupně a vypočteme hodnotu podle známého postupu.
sin
5π 3 = sin 300° = sin(360° − 60° ) = − sin 60° = − 3 2
Příklad:
Hodnota úhlu může být zadána v radiánech a je větší než perioda dané funkce. Pak je výhodnější u funkcí sin a cos odečíst násobky periody 2π a potom teprve převést na stupně, u funkcí tg a cotg odečítáme násobky periody π.
16π 4π = sin(5 13 π ) = sin(5π + 13 π ) = sin(π + 13 π ) = sin = sin 240° = sin(180° + 60° ) = 3 3 3 = − sin 60° = − 2
sin
Goniometrické rovnice Jsou to rovnice, kde se neznámá vyskytuje v argumentu goniometrické funkce. 1. Základní goniometrická rovnice: a) typ: f(x) = c Příklad: sin x =
1 2
Obecně: x1 = 30°+ k .360°
x2 = 150° + k .360°
x1 = 30° x2 = 150° Příklad: tg x =
3 3
x = 30° + k. 180° Pro funkce tg x a cotg x stačí najít pouze jedno řešení, další získáváme přičtením k - násobku periody 180°. Pro funkce sin x a cos x musíme hledat řešení dvě, perioda je 360°.
5
2 2
Příklad: sin x = −
sin x´ =
2 2
x ´ = 45°
Funkce sin x je záporná v III. a ve IV. kvadrantu: x1 = 225°+ k .360°
x2 = 315° + k .360°
b) typ: f(x + đ) = c Příklad: sin (x + 30°) = Zavedeme substituci:
sin y =
2 2 y = x + 30°
2 2 y1 = 45° + k. 360°
x1 = 15° + k. 360°
y2 = 135° + k. 360°
x2 = 105° + k. 360°
3 π − 2x = 2 3
Příklad: sin
substituce
sin y =
π − 2x = y 3
x=
3 2
y π − 6 2 k je libovolné celé číslo, znaménko můžeme zanedbat
π π − − kπ = kπ 6 6 π 2π π 5π x2 = − − kπ = − − 2kπ = + 2kπ 6 6 6 6
π + 2kπ 3 2π + 2kπ y2 = 120° + k. 360°= 3
x1 =
y1 = 60° + k. 360° =
c) typ: f(n.x + đ) = c
cos (3x – 60°) =
Příklad:
Zavedeme substituci
cos y =
2 2
3x – 60° = y
=>
x=
y + 60° 3
2 2
y1 = 45° + k.360° y2 = 315° + k.360°
x1 =
45° + k .360° + 60° 105° + k .360° = = 35° + k .120° 3 3
x2 =
315° + k .360° + 60° 375° + k .360° = = 125° + k .120° 3 3 6
2) Složitější goniometrické rovnice: a) Obsahující jen 1 goniometrickou funkci
2 cos2x + 7 cos x + 3 = 0
Příklad:
y = cos x
řešíme substitucí :
D = 25
2y2 + 7y + 3 = 0
y1, 2 =
− 7± 5 4
y1 = − 3
y2 = −
cos x = - 3
není definováno
cos x = - 0,5
x1= 120° + k.360o
1 2
x2= 240° + k.360° b)Goniometrické rovnice obsahující více goniometrických funkcí se musí zjednodušit pomocí vztahů mezi goniometrickými funkcemi tak , aby obsahovaly jen jednu funkci. Příklad: 2 sin2x - cos2x - 4 sin x + 2 = 0
cos2x = 1 - sin2x
nahradíme
2 sin2x - 1 + sin2x - 4 sin x + 2 = 0 3 sin2x - 4 sin x + 1 = 0 sin x = y
substituce:
3y2 - 4y + 1 = 0 D=4
y1 = 1
y2 =
sin x = 1
1 3 sin x =
1 3
x1 = 90° + k.360° x2 = 19°28´ + k. 360° x3 = 160°32´+ k. 360° Příklad: sin2x + cos x + 1 = 0 nahradíme
sin2x = 1 - cos2x
1 - cos2x+ cos x + 1 = 0 cos2x - cos x - 2 = 0 substituce:
cos x = y
y2 – y – 2 = 0 ( y –2 ) ( y + 1 ) = 0
y1 = - 1
y2 =2
cos x = -1
x = 180°+ k.360°
c)Goniometrické rovnice řešené pomocí vzorců Příklad: sin 3x = sin 2x - sin x
sin 3x + sin x = sin 2x
7
sin x + sin y = 2. sin
Řešíme pomocí vzorce
2. sin
x+ y x− y . cos 2 2
3x + x 3x − x . cos = 2 sin x cos x 2 2 2. sin
4x 2x . cos = 2 sin x cos x 2 2
sin 2 x. cos x = sin x cos x
/ : cos x
→ cos x = 0 → x1 = 90°+ k.180°
sin 2 x = sin x 2 ⋅ sin x cos x = sin x / : sin x
→ sin x = 0 →
x2 = 0°+ k.180° = k.180°
2 ⋅ cos x = 1
cos x =
1 2
x3 = 60°+ k.360°
x4 = 300°+ k.360°
Cvičení: Řešte goniometrickou rovnici: 1.) 2.) 3.) 4.) 5.)
1 2 2 sin x = 2 3 tgx = 3 1 sin 2 x = 2 π cos − x = 1 4 sin x = −
[ {210°+ k. 360°; 330° + k. 360° }] [ {45°+ k. 360°; 135° + k. 360° }] [ {30°+ k. 180°}] [{45°+k.360°;135°+ k.360°;225°+ k.360°;315°+ k.360°}] [ {45°+ k. 360°}]
6.)
1 π sin − x = − 2 3
7.)
2 sin 2 x =
8.)
cot g 2 x = − cot gx
π 7 2 + 2kπ ; 6 π + 2kπ π 3 [{ kπ ; 4 + 2kπ ; 4 π + 2kπ } ]
2 sin x
π 3 2 + kπ ; 4 π + kπ
sin 2 x − cos 2 x + sin x = 0 10.) 2tgx − 3 cot gx = 1 9.)
11.) 3tg 2 x + 4 3tgx + 3 = 0 12.)
3 cot g 2 x − 2 cot gx −
13.) 2 − 2 cos 2 x −
3
3= 0
+ 4 cot gx = 0 sin 2 x tgx + 1 = 2+ 3 15.) tgx − 1 14.)
3= 0
[{30°+k.360°;150°+ k.360°;270°+ k.360°}] [{56°19´°+k.180°;135°+ k.180°}]
5 2 6 π + kπ ; 3 π + kπ π 2 6 + kπ ; 3 π + kπ π 2 kπ ; 3 + 2kπ ; 3 π + 2kπ 2 5 3 π + kπ ; 6 π + kπ π 3 + kπ ; k ∈ Z 8
16.) 2 cos 2 x − 7 cos x + 3 = 0 17.)
3 − 4tgx = 0 cos 2 x
18.) 2 + cos 2 x = − 5 sin x 19.) tg 2 x + 4 sin x − 3 = 0 20.) sin x cos x =
21.) sin 2 x − sin x = 0 22.) 2 cos 2 x = sin 2 x − 1
13 6
24.) 3tgx − 1 = 2tgx 25.) 3 sin x +
2 = − 2 sin x + 3
26.) sin x + sin 2 x = sin 3 x 27.) sin x + sin 2 x + sin 3x + sin 4 x = 0 28.) sin 2 x + cos 2 x − tgx = 1
2 kπ
7 11 6π ; 6 π π 3 5 7 4 ; 4π ; 4π ; 4π
[{45
1 2
23.) tgx + cot gx =
π 5 3 + 2 kπ ; 3 π + π π 6 + kπ ; 3 + kπ
o
kπ π 2+
+ k .180 o
}]
π + 2kπ 2
;
kπ
33o 40′ ; 56o 20′ ; 213o 40′ ; 236o 20′ + k .180o 45o + k .180o 21o10′ + k . 360o ; 158o50′ + k . 360o
2π 4π kπ ; 3 + 2 kπ ; 3 + 2 kπ π 2π 2 + kπ ; 5 + (2k + 1)π π 5π kπ ; 8 + kπ ; 8 + kπ
9
