ZÁKLADY MATEMATIKY 1 2. SÉRIE: VLASTNOSTI REÁLNÝCH FUNKCÍ
1. Tlak pod vodou. Tlak p pod vodou podle zku¹eností potapìèù závisí od hloubky v metrech, ve které je potapìè, lineárnì podle závislosti p = kd + 1, kde k je nìjaká konstanta. Na hladinì (d = 0 metrù) je tlak 1 atmosféra. Tlak v hloubce 100 metrù je pøibli¾nì 10,94 atmosfér. Urèete tlak v hloubce 50 metrù pod hladinou. 2. Odraz svìtla. Svìtelný paprsek se ¹íøí po pøímce x + y = 1 nad osou ox a odrá¾í se od osy ox . Jak je známo, pro odraz platí zákon, ¾e úhel odrazu je rovný úhlu dopadu paprsku. Napi¹te rovnici pøímky, po které se bude ¹íøit odrazený svìtelný paprsek. 3. Rozta¾nost kovu. Kus kolejnice z kovu se teplem roztahuje; pøi bì¾ných teplotních podmínkách délka s kusu kolejnice závisí na teplotì t lineárnì. Experiment s jedním kusem kolejnice dal tyto výsledky mìøení: pøi teplotì 24 stupòù mìla kolejnice délku 7 m, pøi teplotì 36 stupòù délku 7,08 m. Najdìte lineární závislost mezi s a t. 4. Teplotní stupnice. Mezi Fahrenheitovou (F) a Celziovou (C) stupnicí na mìøení teploty je lineárním vztah, tedy teplota ve stupních F se dá vypoèítat z teploty urèené ve stupních C pomocí lineární rovnice. a) Najdìte tuto rovnici, jestli¾e víte, ¾e teplotì 0 st. Celzia odpovídá 32 st. Fahrenheita a teplotì 100 st. Celzia odpovídá 212 st. Fahrenheita. b) Kolika stupním F odpovídá 30 st. Celzia? c) Namìøeno bylo 100 st. Fahrenheita. Kolik je to ve stupních Celzia? d) Najdìte vztah pro výpoèet teploty ve stupních Celzia, jestli¾e znáte teplotu ve stupních Fahrenheita. e) Na pozorovací stanici v Antarktidì teplota v prùbìhu 24 hodin kolísala mezi ;49 st. a 14 st. Fahrenheita. Urèete toto rozmezí kolísání ve stupních Celzia. 5. Lineární závislost. Rovnice pøímky ve smìrnicovém tvaru je y = kx + q . a) Popi¹te (slovnì, geometricky), jaké útvary jsou urèeny rovnicí y = kx + q, jestli¾e je koe cient k pevný a q je libovolné reálné èíslo. (Gra cky znázornìte napøíklad pro y = 2x + q.) b) Popi¹te (slovnì, geometricky), jaké útvary jsou urèeny rovnicí y = kx + q, jestli¾e je koe cient q pevný a k je libovolné reálné èíslo. (Gra cky znázornìte napøíklad pro y = kx ; 3.) 6. Schodi¹tì. Uka¾te, ¾e stoupání (strmost) schodi¹tì s rovnakými schody se dá vypoèítat jako podíl R=S vý¹ky stupnì (schodu) R a ¹íøky stupnì S . Stavební normy de nují schodi¹tì jako stupòovitou cestu, která má stoupání vìt¹í ne¾ 5/16 nebo 31,25 procent a men¹í ne¾ 9/8 alebo 112,5 procent. (Mimo tyto hranice jde o tzv. rampy anebo naopak ¾ebøíky.) a) Jaký je minimální, resp. maximální normou pøípustný úhel sklonu (stoupání) schodi¹tì? b) V domì mají v¹echny schodi¹tì stoupání 40 stupòù. Jestli¾e je ¹íøka schodu 18 cm, jaká je jeho vý¹ka? 7. Vzdálenost bodù v rovinì. Je daný trojúhelník ABC , pøièem¾ A[6; 4], B [4; ;3],
1
C [;2; 3].
a) Vypoèítejte délky d(a), d(b), d(c) stran a, b, c trojúhelníka a zjistìte, zda trojúhelník je pravoúhlý. b) Zjistìte, zda trojúhelník ABC je rovnoramenný, rovnostranný. c) Vypoèítejte souøadnice støedù Sa, Sb, Sc stran a, b, c a souøadnice tì¾i¹tì T trojúhelníka ABC . (Pro souøadnice xT , yT tì¾i¹tì T trojúhelníka s vrcholy A[x1; y1], B [x2; y2], C [x3; y3] platí vztahy xT = x1 + x32 + x3 , yT = y1 + y32 + y3 )
Rovnice pøímky. Rovnice pøímky p je daná v obecném tvaru Ax + By = C . a) Urèete smìrnici této pøímky a souøadnice prùseèíkù pøímky se souøadnicovými osami. Urèete smìrnici a tyto prùseèíky pro pøímku 3x + 4y = 12. b) Napi¹te rovnici pøímky, která prochází poèátkem souøadnicového systému kolmo na pøímku p. 9. Vzdálenost bodù v rovinì. Svìtelný bod se pohybuje v 1. kvadrantu po pøímce 4x + 5y = 20. Ve kterém bodu Q se bude nacházet nejblí¾ k pozorovateli umístìnému v bodì [0; 0]? Jaká je ta nejmen¹í vzdálenost? 10. Vzdálenost bodù v rovinì. Trajektorií, po které se pohybuje svìtelný bod, je èást pøímky x +2y = 10 v 1. kvadrantu. Ve kterých bodech trajektorie se svìtelný bod nachází ve vzdálenosti 5 délkových jednotek od pozorovatele v bodu [0; 0]? 11. Úlohy o trojúhelníku. Daný je trojúhelník ABC . Vyøe¹te tyto úlohy: napi¹te rovnice pøímek, na kterých se nacházejí jeho strany a, b, c; vypoèítejte délky d(a), d(b), d(c) stran a, b, c; zjistìte, zda trojúhelník je rovnostranný, rovnoramenný, pravoúhlý; urèete souøadnice prùseèíkù jeho stran se souøadnicovými osami ox, oy ; vypoèítejte souøadnice støedù Sa, Sb, Sc stran a, b, c; urèete rovnice vý¹ek va, vb, vc; urèete rovnice støedných pøíèek SaSb, SaSc , SbSc trojúhelníka; urèete rovnice tì¾nic ta, tb, tc; vypoèítejte velikost plo¹ného obsahu P (ABC ); urèete souøadnice prùseèíka Q vý¹ek trojúhelníka; vypoèítejte souøadnice xT , yT tì¾i¹tì T [xT ; yT ] trojúhelníka; vypoèítejte velikost úhlu pøi vrcholu A. Øe¹te a znázornìte pro a) A[0; 3], B [;3; 0], C [3; 0]; b) A[;2; 1], B [4; ;2], C [2; 2]; c) A[5; 8], B [;1; ;4], C [;7; 0]: 12. Úlohy o ètyøúhelníku. Parèík má tvar ètyøúhelníku ABCD , prièem¾ A[0; 0], B [30; 0], C [20; 10], D[10; 30]. a) Urèete rovnice pøímek, na kterých le¾í strany AD, BC , CD. b) Urèete rovnice pøímek, na kterých le¾í úhlopøíèky AC , BD. c) Urèete souøadnice prùseèíku jeho úhlopøíèek. d) Urèete velikost úhlu ', pod kterým se protínajú úhlopøíèky. e) Vypoèítejte plo¹ný obsah ètyøúhelníku ABCD. 8.
2
Úloha o rovnobì¾níku. Daný je trojúhelník ABC . Urèete souøadnice bodu D, kterým doplníme daný trojúhelník na rovnobì¾ník. Øe¹te pro ABC , kde: a) A[0; 0], B [5; 0], C [0; 4]; b) A[0; 0], B [10; 0], C [3; ;4]; c) A[1; 1], B [5; 3], C [3; 5]. 14. Rovnice kru¾nice. Urèete souøadnice støedu S [x0 ; y0 ] a polomìr r kru¾nice k a napi¹te její rovnici (v tvaru (x ; x0)2 + (y ; y0)2 = r2), jestli¾e: a) její polomìr je 5, k prochází bodem [0; 0] a její støed je na ose ox ; b) k prochází zaèátkem souøadnicového systému a vytíná na souøadnicových osách ox, oy úseky p = 5, q = ;3; c) k prochází zaèátkem souøadnicového systému a vytíná na souøadnicových osách ox, oy úseky p = 6, q = 8; d) k je opsaná trojúhelníku ABC , A[2; 1], B [1; 4], C [6; 9]. 15. Analýza zlomového bodu. Výrobce prodává svùj výrobek za cenu 110 dolarù za kus. Celkové náklady výrobce na výrobu tohoto výrobku sestávají z pevných nákladù 7 500 dolarù a výrobních nákladù 60 dolarù na 1 kus výrobku. a) Zjistìte, jak závisí pøíjem R(x) a náklady C (x) výrobce na poètu vyrábìných výrobkù x a znázornìte pøíjem a náklady gra cky. b) Kolik výrobkù musí výrobce prodat, aby se jeho pøíjem vyrovnal právì nákladùm? Interpretujte. c) Jaký je zisk anebo ztráta výrobce pøi prodeji 100 kusù výrobku? (Sestavte funkci zisku P (x) v závislosti na poètu vyrábìných výrobkù x.) d) Kolik výrobkù musí výrobce prodat, aby jeho zisk byl právì 1 250 dolarù? 16. Analýza zlomového bodu. Studenti si v létì pronajali gará¾ a montují v ní laminátové kajaky. Nájem za gará¾ je 600 dolarù za celé léto, náklady na postavení jedného kajaku jsou 25 dolarù. Kajaky prodávají po 175 dolarech za kus. a) Kolik kajakù musí vyrobit, aby se jejich pøíjem z prodeje právì vyrovnal nákladùm? Znázornìte gra cky. b) Kolik kajakù musí vyrobit, aby jejich zisk byl právì 600 dolarù? 17. Analýza zlomového bodu. Èlenství v soukromém tenisovém klubu stojí 3 000 korun roènì a poplatek za ka¾dou hodinu hry je 50 korun. Ve druhém tenisovém klubu je roèný poplatek 1 500 korun a za hodinu hry se platí 60 korun. Jestli¾e uva¾uje tenisový hráè jenom o nanèní výhodnosti, podle èeho se rozhodne pøi výbìru jednoho z klubù? Udìlejte analýzu úlohy a znázornìte gra cky. 18. Analýza zlomového bodu. Poptávka po novém èasopisu v tisícech kusù je urèena funkcí D(p) = 270 ; 2p a nabídka tohoto èasopisu je S (p) = 3p + 50 tisíc kusù, kde p je uvádìcí cena tohoto èasopisu v korunách. a) Bude èasopis ztrátový pøi cenách 25 korun, 55 korun? b) Znázornìte v jedném souøadnicovém systému funkce nabídky a poptávky a urèete rovnová¾ní cenu. 19. Analýza zlomového bodu. Zbo¾í má funkci nabídky S (p) = p ; 10 tisíc kusù a pøíslu¹ná funkce poptávky je D(p) = 5 600=p tisíc kusù, kde p je cena tohoto zbo¾í v korunách. a) Znázornìte v jedném souøadnicovém systému obì funkce poptávky a nabídky. 13.
3
b) Vypoèítejte rovnová¾ní cenu p0 . Vypoèítejte, jaká je poptávka, resp. nabídka pøi této rovnová¾ní cenì. 20. Analýza zlomového bodu. Pùjèovna automobilù úètuje základní poplatek 420 korun a pak 4,50 korun za ka¾dý kilometr jízdy. Jiná agentura má základní poplatek 540 korun a za kilometr jízdy po¾aduje 3,50 korun. Kterou agenturu si zákazník vybere? 21. Analýza zlomového bodu. Kdy¾ se urèitá elektrosouèástka prodává za cenu p korun za kus, výrobci ji budou dodávat na trh v mno¾ství p2=4 kusù, zatímco poptávka po souèástkách je urèena jako (140 ; 2p) kusù. Urèete tu cenu p0, kdy je poptávka po tìchto souèástkách rovna jejich nabídce na trhu. Jak velká je pøi této cenì poptávka? 22. Vzdálenost bodù v rovinì. Bod A umístìný na ose ox se zaène pøibli¾ovat k zaèátku souøadnicového systému rychlostí 4 cm za vteøinu, bod B umístìný na ose oy se zaène vzdalovat od zaèátku souøadnicového systému [0; 0] rychlostí 7,5 cm za vteøinu. Po uplynutí 2 vteøin je vzdálenost bodù A, B právì 17 cm. a) Jaká byla poloha bodù A, B na souøadnicových osách na zaèátku pohybu? b) Jaká byla vzdálenost bodù A, B na zaèátku (v èase t = 0)? 23. Vzdálenost bodù v rovinì. Bod P je umístìný na ose ox ve vzdálenosti 52 cm od zaèátku souøadnicového systému, bod Q se nachází na ose oy v té¾e vzdálenosti 52 cm od zaèátku souøadnicového systému [0; 0]. Bod P se bude pohybovat rychlostí 4 cm/s smìrem k zaèátku a bod Q rychlostí 8 cm/s také smìrem k zaèátku. a) Vypoèítejte vzdálenosti bodù P , Q v èase t = 0, po uplynutí 1 vteøiny, resp. 13 vteøin a znázornìte gra cky. b) Kdy pøi tomto pohybu bude vzdálenost bodù P , Q rovna pøesnì 26 cm? Jaká je tehdy poloha bodù P , Q? c) Do jaké nejmen¹í vzdálenosti se dostanou body P , Q a ve kterém èase to nastane? Funkcionální model. Tìlesa, které mají rozlièné rychlosti c, probíhají tuté¾ dráhu délky s. a) Vyjádøete závislost èasu, který je nutný na projdení dané dráhy, na promìnné rychlosti. b) Jak se zmìní doba nutná na projdení dráhy 480 km, resp. s km, jestli¾e se rychlost telesa zvý¹i ze 40 km/hod. na 120 km/hod., resp. na 240 km/hod.? 25. Funkcionální model. Dráhu 1 km projde chodec za 12 minut, bì¾ec ji probìhne za 4 minuty, cyklista za 2,2 minuty, rychlovlak pøi nejvìt¹í rychlosti za 30 vteøin. a) Jaké jsou pøíslu¹né rychlosti v tìchto pøípadech? b) Jak závisí rychlost c na èase t, který je nutný na pøekonání této dráhy? 26. Funkcionální model. Plech má tvar obdélníku se stranami a, b, a > b. Do jeho vnitra je potøeba vystøihnout otvor tvaru obdélníku s polovièním plo¹ným obsahem jako obsah pùvodního obdélníku, a to tak, aby okraje mìli ze v¹ech stran stejnou ¹íøku. a) Jaké rozmìry bude mít otvor v plechu? Znázornìte gra cky a uveïte podmínky pro existenci øe¹ení úlohy. b) Øe¹te úlohu pro rozmìry a = 4 m, b = 3 m. c) Øe¹te úlohu pro rozmìry a = 12 dm, b = 9 dm. 27. Funkcionální model - pøímá úmìrnost. Odpaøováním 15 kg moøské vody se získá 24.
4
517,5 g soli. a) Kolik soli se získá odpaøením 25 kg moøské vody? b) Kolik moøské vody je potøeba na získaní 3,45 kg soli? c) Sestavte funkci urèující kolik kg (anebo gramù) soli se získá odpaøením x kg moøské vody. 28. Funkcionální model - pøímá úmìrnost. Tyè vysoká 1,5 m vrhá stín 0,76 m dlouhý. Jak vysoký je sloup, stín kterého ve stejném okam¾iku má délku a) 9,12 m; b) x m? 29. Funkcionální model - pøímá úmìrnost. Tøi podílnici vlo¾ili do podnikání èástky 50 000, 60 000 a 150 000 korun. Jak se mají podìlit o zisk 78 000 korun? 30. Funkcionální model - nepøímá úmìrnost. Jedno rameno páky má délku 0,8 m a je zatí¾ené bøemenem 20 kg. Jakým záva¾ím je mo¾né udr¾et toto bøemeno v rovnováze, jestli¾e druhé rameno má délku 0,2; 0,8; 1,6; 2,4; 4 m? Sestavte odpovídající tabulku. 31. Funkcionální model - nepøímá úmìrnost. Vodorovný trám urèitého prùøezu, který je upevnìn na jedném konci, unese pøi délce 4 metry na volném konci 200 kg (nosnost je nepøímoúmìrná délke trámu). a) Sestavte funkci urèující nosnost trámu v závislosti na jeho délce. b) Jaký dlouhý by musel být trám, aby unesl 25; 50; 100; 250; 400; 500 kg? Výpoèty zapi¹te do odpovídající tabulky. 32. Funkcionální model - nepøímá úmìrnost. Do ozubeného kola s 36 zuby zapadá druhé ozubené kolo, které má x zubù. a) Kolikrát se otoèí druhé kolo, jestli¾e se prvé kolo otoèí desetkrát? (Ilustrujte pro x = 20; x = 24 zubù.) b) Urèete závislost poètu otáèek y druhého kola na poètu jeho zubù; znázornìte ji gra cky. 33. Funkcionální model - nepøímá úmìrnost. Ze dvou ozubených kol zapadajících do sebe má první 42 a druhé 119 zubù. a) Kolikrát se otoèí první z nich, jestli¾e druhé kolo vykoná 12; 30; 270 otáèek? b) Urèete závislost poètu otáèek y prvního, resp. druhého kola na poètu jeho zubù; znázornìte ji gra cky. 34. Funkcionální model - imunizaèní program. Pøedpokládejme, ¾e v celonárodnì uskuteèòovaném imunizaèním programu oèkování obyvatelstva proti chøipce se zjistilo, ¾e náklady na zaoèkování x procent obyvatelstva proti urèitému druhu chøipky byly 150x miliónù dolarù. pøibli¾nì f (x) = 200 ;x a) Urèete de nièní obor funkce f (x). Pro jaké hodnoty x má f (x) praktický význam? b) Jaké byly náklady na zaoèkování prvních 50% obyvatelstva, resp. zbývajících 50%? c) Jaká èást obyvatelstva byla zaoèkována, jestli¾e se na oèkování vynalo¾ilo 37,5 miliónu dolarù? d) Naèrtnìte graf této funkce a urèete, jaká èást grafu odpovídá uva¾ované praktické situaci. 35. Funkcionální model - lineární závislost. Teplota vzduchu v dolu roste s hloubkou tak, ¾e na ka¾dých 100 m hloubky se zvy¹uje o 3 st. Celzia. Jaká teplota bude v hloubce a) 1200 m, jestli na povrchu je 16 st. Celzia; 5
b) 600 m, jestli na povrchu je ;5 st. Celzia; c) x metrù pøi povrchové teplotì t0 st. Celzia? 36. Funkcionální model - lineární závislost. Pøímá cesta klesá rovnomernì tak, ¾e v horizontální vzdálenosti 5 km od urèitého mìsta je v nadmoøské vý¹ce 160 m a ve vzdálenosti 9 km ve vý¹ce 126 m. a) V jaké nadmoøské vý¹ce se nachází bod na cestì ve vzdálenosti 15 km od mìsta; x km od mìsta? b) Jaké velké je klesání cesty? Jak vyjádøíte klesání cesty v procentech? 37. Funkcionální model - lineární závislost. Znázornìte gra cky rovnomìrný pohyb chodce, který byl od východiskového bodu vzdálen po 4 hodinách 8 km a pak po 6 hodinách 20 km. Sestavte funkcionální model pro tento pohyb. 38. Funkcionální model - lineární závislost. Z urèitého místa M vyjelo nákladní auto rychlostí 40 km/hod.; za 1,5 hod. vyjelo za ním ze stejného místa osobní automobil rychlostí 60 km/hod. a) Znázornìte gra cky pohyb obou aut. b) Vypoèítejte, kdy a v jaké vzdálenosti od M dohoní osobní automobil nákladní auto. 39. Funkcionální model - lineární závislost. Ze dvou stanic A, B vzdálených od sebe 150 km jedou proti sobì souèasnì 2 vlaky V1, V2; potkávají se po 2,5 hodinách ve vzdálenosti 90 km od stanice A. a) V souøadnicovém systému v rovinì znázornìte pohyb obou vlakù. b) Urèete rychlosti vlakù; kdy ka¾dý z vlakù dorazí do druhé stanice? c) 1 hodinu po odchodu vlaku V1 je ze stanice A do B vypraven dal¹í vlak V3. Jakou rychlostí musí jet, jestli¾e se v¹echny tøi vlaky mají potkat (napø. kvùli propustnosti trati) na stejném místì (tam, kde V1 , V2 )? Znázornìte gra cky. 40. Funkcionální model - lineární závislost. Ze dvou míst A, B vzdálených od sebe 285 km jedou proti sobì souèasnì dva nákladní automobily: první z A jede rychlostí 30,5 km/hod. a druhé z B rychlostí 40,75 km/hod.; v kterém èase a v jaké vzdálenosti od A se potkají? 41. Funkcionální model - lineární závislost. Vodní nádr¾ nìjakého mìsta se od zaèátku mìsíce listopadu rovnomernì vyprazdòuje. 11. listopadu je v ní 200 miliónù litrù vody, 20. listopadu obsahuje u¾ jenom 164 miliónù litrù vody. a) Vyjádøete objem nádr¾e v miliónech litrù jako funkci èasu. Znázornìte gra cky. b) Vypoèítejte, kolik vody bylo v nádr¾i 7. listopadu, resp. 17. listopadu. 2 2 42. Pojem funkce, její de nice a graf. Jsou grafy kru¾nice x + y = 4, resp. elipsy 2x2 + 3y2 = 1, resp. paraboly y2 = x, resp. hyperboly xy = 1 grafy nìjaké funkce y = f (x)? Znázornìte a zdùvodnìte. 43. De nièní obor reálné funkce. Urèete de nièní obor Df funkce f (x) a znázornìte jej gra cky: 6
b) f (x) = 4 ;x x2 p e) f (x) = v4 ; x2 u q u 1 2 2 g) f (x) = (x ; 1)(x ; 9) h) f (x) = t xx ; +1 j) f (x) = ln(x ; 8) k) f (x) = ln(x2 ; 5x + 6) m) f (x) = ln x ; 5 + ln(x ; 5) n) f (x) = ln 2x ;+ x1 r) f (x) = ln sin x p) f (x) = sin1 x a) f (x) = x1 + x2 1; 1 p d) f (x) = 3 x ; 2
p
c) f (x) = 2 x + 1 p f) f (x) = x3 ; x
p
i) f (x) = 3 2x2 + x l) f (x) = ln1x o) f (x) = ln(ln x) sin x s) f (x) = 32 +; cos x 44. De nièní obor reálné funkce. Urèete de nièní obor Df funkce f (x): 2 p a) f (x) = (x ;3x2)(+x1; 3) b) f (x) = x(xx2;;19) c) f (x) = px + 2 4 1 ; x p p p d) f (x) = 4x ; x2 e) f (x) = vx2 + 6 f) f (x) = p5 ; 4x ; x2 u 3 q p u 3x x+3 i) f ( x ) = g) f (x) = 4 ; x h) f (x) = t 11 + ; 3x x;2 j) f (x) = 1 + ln(9 ; x) k) f (x) = ln(16 ; x2) l) f (x) = ln(x1; 2) 2 25 ; x ln(2 ; x) ln x o) f (x) = ln(3 m) f (x) = x ; 1 n) f (x) = ln x ; 4 + x) p 1 1 p) f (x) = cos x r) f (x) = sin x ; cos x s) f (x) = 2 + cos x 45. Operace s funkcemi (aritmetika funkcí), de nièní obor funkce. Mìjme funkce f (x) = x + 1, g(x) = 2 ; x. Utvoøte funkce f (x) + g(x), f (x) ; g(x), f (x) g(x), f 2(x), f (x)=g(x), g(x)=f (x), urèete jejich de nièní obory, pøípadnì znázornìte grafy tìchto funkcí. 46. Operace s funkcemi (aritmetika funkcí), de nièní obor funkce. Mìjme funkce p f (x) = px, g(x) = 1 ; x. Utvoøte funkce f (x) , 5f (x) + 4g(x), f (x) (1 + g(x)), 32 ++ gf2((xx)) , 11 ; ; g(x) urèete jejich de nièní obory, prípadnì znázornìte grafy tìchto funkcí. 2 47. Operace s grafy funkcí. Zakreslete graf funkce f (x) = x a pomocí tohoto grafu znázornìte grafy funkcí: f1(x) = 1 + x2, f2(x) = x2 ; 4, f3(x) = 9 ; x2, f4(x) = (x ; 3)2 , f5(x) = (x + 1)2, f6(x) = 5 ; (x + 1)2, f7(x) = 1=x2. 1 a pomocí tohoto grafu 48. Operace s grafy funkcí. Zakreslete graf funkce f (x) =
x
znázornìte grafy funkcí:
7
f1(x) = 1 + x1 , f2(x) = ; x1 , f3(x) = 2 ; x1 , f4(x) = x ;1 1 , f5(x) = 2xx;;11 , 1 , f (x) = x + 4 , f (x) = 3x + 1 , f (x) = 1 f6(x) = x +x 2 , f7(x) = xx + +3 8 x;2 9 2 ; 5x 10 x2 2 49. Operace s grafy funkcí. Pomocí grafu funkce f (x) = x znázornìte grafy kvadratických funkcí - parabol. Urèete také souøadnice vrcholu V paraboly a rovnici osy paraboly, vyu¾ijte pøitom úpravu kvadratického trojèlenu x2 + px + q na ètverec x2 + px + q = (x + p=2)2 + q ; p2=4: f1(x) = x2 + 3, f2(x) = x2 ; 1, f3(x) = (x ; 4)2, f4(x) = x2 ; x, f5(x) = 4x ; 3x2, f6(x) = x2 + 5x + 6, 2 2 f7(x) = 6x ; 5 ; x , f8(x) = 2x + 5x + 2. 3 50. Operace s grafy funkcí. Zakreslete graf funkce f (x) = x (kubická parabola) a pomocí tohoto grafu znázornìte grafy funkcí: f1(x) = 2 ; x3, f2(x) = (x + 4)3, f3(x) = 2x3, 3 3 f4(x) = x =2, f5(x) = (x ; 1) ; 1, f6(x) = x3 ; 8. 51. Operace s grafy funkcí. Zakreslete graf funkce f (x) = jxj a pomocí tohoto grafu znázornìte grafy funkcí: f1(x) = 2 + jxj, f2(x) = jxj ; 1, f3(x) = 2jxj, f4(x) = j2x + 3j, f5(x) = j1 ; xj, f6(x) = 1 + j1 ; xj.
Operace s grafy funkcí. Zakreslete graf funkce f (x) = ln x a pomocí tohoto grafu znázornìte grafy funkcí: f1(x) = 1 + ln x, f2(x) = ln(x ; 1), f3(x) = ln(1 ; x), f4(x) = ln(;x), f5(x) = 2 ln x. px a pomocí tohoto grafu 53. Operace s grafy funkcí. Zakreslete graf funkce f (x) = znázornìte grafy p funkcí: p p f1(x) = x ; 1, f2(x) = 2 + px, f3(x) = 2x + 5, f4(x) = 2 ; 2x + 5. 54. Slo¾ená funkce. Funkce f (x) je de novaná tabulkou takto: x ;1 0 1 2 f (x) 2 1 0 1 Vytvoøte slo¾ené funkce f (f (x)), f (f (f (x))) a zapi¹te je tabulkou; urèete jejich de nièní obor a obor hodnot. 55. Slo¾ená funkce. Vypoèítejte hodnoty (pokud existují) h(;1), h(0), h(5) a vytvoøte slo¾ené funkce a) h(5x); b) h(;x); c) h(1 ; x); d) h(x + 4); e) h(1=x); f) h(x2); g) h(h(x)): Vykonejte uvedené operace s funkcemi h(x) = 1 + 5=x, resp. h(x) = ln(x ; 4). 56. Slo¾ená funkce, de nièní obor. Jsou dány funkce f (x), g (x). Vytvoøte slo¾ené funkce f (g(x)), g(f (x)), f (f (x)), g(g(x)); urèete de nièní obory tìchto slo¾ených funkcí: a) f (x) = xp+ 5, g(x) = x2 ; 3; b) f (x) = x ; 1, g(x) = 3p; x; c) f (x) = 1 ; x2, g(x) = x; d) f (x) = ln x, g(x) = x2 ; 4; e) f (x) = 1 ; ln x, g(x) = ln(1 ; x). 52.
8
Slo¾ená funkce, de nièní obor. Jsou dány funkce f (x), g (x). Vytvoøte slo¾ené funkce f (g(x)), g(f (x)), f (f (x)), g(g(x)); urèete de nièní obory tìchto slo¾ených funkcí: a) f (x) = x + 1, g(x) = 3x10; b) f (x) = x4;x 4 , g(x) = x4;x 4 ; c) f (x) = x(x ; 4), g(x) = 1=x2; d) f (x) = 2x ; 1, g(x) = x +2 1 ; e) f (x) = ln x, g(x) = x ; 1 . 57.
x
Slo¾ená funkce. Nech» f (x) = x ; 7, g (x) = jxj. Vytvoøte slo¾ené funkce f (g (x)), g(f (x)) a znázornìte grafy tìchto slo¾ených funkcí. 2 59. Slo¾ená funkce. Nech» f (x) = x ; 1, g (x) = jxj. Vytvoøte slo¾ené funkce f (g (x)), g(f (x)) a znázornìte grafy tìchto slo¾ených funkcí. Jak se dá zakreslit graf funkce jf (x)j pomocí grafu funkce f (x)? Znázornìte graf funkce jf (x)j, jestli¾e dále f (x) = 4 ; x2, f (x) = (x +2)(x ; 3), f (x) = x3, f (x) = ln x, f (x) = 1=x, f (x) = x(x2 ; 1), f (x) = sin x, f (x) = cos x. 60. Slo¾ená funkce, inverzní funkce. Funkce f , g jsou dány nasledujícími tabulkami: x 1 0 2 ;2 3 x 1 ;1 0 2 ;2 3 f (x) 0 ;1 2 5 3 g(x) 0 3 1 1 ;2 2 58.
a) Napi¹te tabulku pro slo¾ené funkce f (g(x)), g(f (x)), f (f (x)), g(g(x)) a urèete de nièní obory a obory hodnot tìchto funkcí. b) Pokud existují inverzní funkce k funkcím f (x), g(x), f (g(x)), urèete je a zapi¹te je pomocí tabulky. 61. Slo¾ená funkce, inverzní funkce. Funkce c(x) je de novaná na tøíprvkové mno¾inì f0; 1; 2g takto: x 0 1 2 c(x) 1 2 0 a) Vytvoøte slo¾ené funkce c(c(x)), c(c(c(x))) a zapi¹te je pomocí tabulky. b) Pokud existují inverzní funkce k funkcím c(x), c(c(x)), urèete ich a zapi¹te tabulkou. (Funkce de nované na koneèné n-prvkové mno¾inì M s oborem hodnot, který tvoøí celá tato mno¾ina, se nazývají permutace na mno¾inì M . Funkce v této úloze jsou tedy permutace na 3-prvkové mno¾inì; funkce c(x) se nazývá cyklická permutace nebo cyklus. Existují také jiné permutace na 3-prvkové mno¾inì? Pokud ano, zapi¹te je pomocí tabulky.) 62. Inverzní funkce. Zjistìte, zda funkce f (x) je prostá na svém de nièním oboru; pokud ano, urèete k ní inverzní funkci f ;1 (x), najdìte její de nièní obor Df ;1 a ovìøte, zda slo¾ené funkce f (f ;1 (x)), f ;1(f (x)) jsou identická pøiøazení (pøípadnì také naèrtnìte grafy dvojice funkcí f (x), f ;1 (x) v jedném souøadnicovém systému); f (x) je: p 1. a) 2x + 1; b) 1 + x1 ; c) x4;x 4 ; d) x(x ; 4); e) x2 ; 1; f) xx ; +1 9
Inverzní funkce. Zjstìte, zda funkce f (x) je prostá na svém de nièním oboru; pokud ano, urèete k ní inverzní funkci f ;1(x), najdìte její de nièní obor Df ;1 a ovìøte, zda slo¾ené funkce f (f ;1 (x)), f ;1 (f (x)) jsou identická pøiøazení (pøípadnì také naèrtnìte grafy dvojice funkcí f (x), f ;1 (x) v jedném souøadnicovém systému); f (x)pje: x ; c) j1 ; 2xj; d) 1 + px ; 4; e) 1 ; f) px + 1 . a) 2 ; 3x; b) x1 + ;2 4x2 ; 9 x;1 64. Inverzní funkce. Vá¹ automobil má spotøebu 6,4 litrù na 100 km. a) Jaká je spotøeba na 250 km? Na x km? b) Kolik km ujede auto na 1 litr, resp. na 20 litrù? c) Kolik km ujede na x litrù? 65. Inverzní funkce. Auto má spotøebu 5,5 l/100 km; o jiném autu víte, ¾e na 1 litr benzínu tého¾ druhu ujede 18 km. Jestli¾e vezmeme v úvahu jenom spotøebu benzínu, jízda kterým autom je dra¾¹í? Znázornìte grafy spotøeby v l/100 km pro obì auta. 66. Inverzní funkce. Potapìè z úlohy 1 má na skafandru se sebou tlakomeø, údaje kterého ho informují o velikosti tlaku p. Jak si mù¾e pomocí nìho zjistit hloubku d, ve které se nachází pod vodou? 67. Funkce nabídky. Nech» q je mno¾ství urèitého zbo¾í (q jako quantity, mno¾ství), které je výrobci dodáváno na trh a je nabízeno spotøebiteli. Funkce F (q) urèující cenu p (price, cena) zbo¾í v závislosti na jeho mno¾ství se nazývá funkce nabídky nebo nabídková funkce (supply function). Z ekonomických interpretací nabídkové funkce plyne, ¾e musí být p > 0, q > 0 a tato funkce je rostoucí na intervalu (0; 1). Nejèastìj¹í pøípady funkce nabídky jsou obecnì: a) lineární F (q) = aq + b, b) kvadratická F (q) = aq2 + bq + c. Zakreslete grafy tìchto funkcí v rovinì a slovnì interpretujte význam koe cientù a, b, c v jejich pøedpisech. 68. Funkce nabídky. Nìkdy se jako nabídková funkce pou¾ívá funkce G(p) urèující naopak závislost mno¾ství zbo¾í q, které se nabízí spotøebiteli na trhu, v závislosti na jeho cenì p. Také tímto zpùsobem zavedená funkce je zøejmì rostoucí a jde o funkci inverzní k funkci nabídky z pøedchozí úlohy, tedy G(p) = F ;1(p). Urèete funkce nabídky G(p), které jsou inverzní k daným funkcím nabídky jako funkcím mno¾ství, znázornìte v¾dy dvojice funkcí F (p), G(p) gra cky a navíc interpretujte význam parametrù v pøedpisu funkce a funkce k ní inverzní: a) F (q) = 0; 8q + 50; b) F (q) = 2q + 10; c) F (q) = q2 + 5q + 6; d) F (q) = q2 + q ; 2. 69. Funkce poptávky. Nech» q je opìt mno¾ství urèitého zbo¾í, které je na trhu poptáváno spotøebitelem. Funkce f (q) urèující cenu p zbo¾í v závislosti na jeho mno¾ství poptávaném na trhu se nazývá funkce poptávky nebo poptávková funkce (demand function); musí být q > 0, f (q) > 0. Z ekonomických interpretací nabídkové funkce plyne, ¾e tato funkce je na intervalu (0; 1) zpravidla klesající: roste-li cena, kupní zájem o zbo¾í zpravidla klesá. (Nìkdy se jako poptávková funkce uvádí funkce inverzní f ;1 k funkci f , tedy f ;1 (p) urèuje mno¾ství zbo¾í, o které je na trhu zájem, v závislosti na jeho cenì.) Nejèastìj¹í jednoduché pøípady poptávkové funkce jsou obecnì: 63.
10
f (q) = a ; bq, f (q) = (a ; bq)2, f (q) = a ; bq2, p f (q) = a ; bq, f (q) = q +a b ; c.
Zakreslete grafy v¹ech pìti uvedených funkcí poptávky a sformulujte slovnou interpretaci koe cientù, pøièem¾ jako koe cienty zvolte: 1) a = 100, b = 0; 4, c = 5; 2) a = 1000, b = 2, c = 10. 70. Nákladová funkce. Náklady C (costs) výrobce urèitého zbo¾í závisí obecnì od velikosti (objemu) produkce, neboli poètu vyrábìných kusù zbo¾í; tedy máme nákladovou funkci (cost function) C = C (q), q > 0, C (q ) > 0 a obecnì C (q ) je funkce rostoucí na intervalu (0; 1). Nejèastìj¹í pøípady nákladové funkce jsou obecnì: 2 C (q) = aq + b, C (q) = aq + bq + c, p 3 2 C (q) = aq + bq + cq + d, C (q) = aq + b + c. Zakreslete grafy nákladových funkcí C (q) a sformulujte slovnou interpretaci koe cientù pro 1) C (q) = 20q + 30, 2) C (q) = 2pq2 + 3q + 1, 3) C (q) = q3 + q2 + q + 1, 4) C (q) = 0; 5q + 9 + 20. 71. Funkce prùmìrných nákladù. Nech» C (q ) je nákladová funkce. Funkce prùmìrných nákladù AC (q) (average cost function) je de novaná jako podíl AC (q) = C q(q ) . Napi¹te tabulku hodnot funkcí prùmìrných nákladù AC (q) pro celoèíselnou promìnnou q, pøièem¾ 1) AC (q) = 2q + 16 + 72q , 1 q 9; 2) AC (q) = q + 9q + 5, 1 q 6.
72. Funkce celkových výnosù. Nech» f (q ) je poptávková funkce urèující velikost poptávky v závislosti na velikosti q poptávaného zbo¾í. Funkce celkových výnosù TR(q) (total revenue function) je de novaná pøedpisem TR(q) = q f (q ). Zakreslete grafy funkcí celkových výnosù TR(q) pro funkce poptávky f (q) a zjistìte, zda celkové výnosy budou pøi nìjaké poptávce nejvìt¹í nebo nejmen¹í (zdùvodnìte, proè), pøièem¾: 1) f (q) = 120 ; 0; 8q; 2) f (q) = (5 ; 0; 2q)2; 2) f (q) = 5 ; 0; 2q2. 73. Funkce zisku. Jsou-li TR(q ) funkce celkových výnosù a C (q ) nákladová funkce, pak jejich rozdílem je urèena zisková funkce (pro t function) P (q): P (q) = TR(q) ; C (q). Znázornìte a interpretujte grafy funkcí zisku P (q) (urèete, pro jaké mno¾ství q bude zisk maximální): 1) P (q) = q(40 ; q) ; (5q + 150); 2) P (q) = 36q ; 2q2 ; 34. 74. Funkcionální model - funkce zisku. Výrobce je schopen vyrábìt lampy s celkovými náklady 120 korun na jeden kus. Lampy se prodávají za cenu 150 korun za kus; pøi této cenì spotøebitelé nakoupí 500 lamp za mìsíc. Výrobce chce zvý¹it cenu; odhaduje, ¾e za ka¾dých 10 korun zvý¹ení ceny nad 150 korun budou spotøebitelé kupovat mìsíènì o 20 lamp ménì. Urèete zisk výrobce za mìsíc jako funkci ceny výrobku; odhadnìte cenu, pøi které zisk výrobce bude maximální. Znázornìte gra cky.
11
Funkcionální model - funkce zisku. Knihkupectví získalo urèitou knihu od vydavatele jako dar za 3 dolary za kus a prodává ji za cenu 15 dolarù za kus. Pøi této cenì se prodá 200 kusù za mìsíc. Aby se podpoøil prodej, knihkupectví chce sní¾it cenu a odhaduje, ¾e za ka¾dý 1 dolar sní¾ení ceny z 15 dolarù se prodá mìsíènì o 20 dal¹ích knih víc. Vyjádøete mìsíèní zisk knihkupectví z prodeje knihy jako funkci ceny, za kterou se prodává, znázornìte funkci zisku gra cky a odhadnìte, pøi které cenì je zisk z prodeje maximální. 76. Funkcionální model - náklady na konstrukci. Uzavøená krabice se ètvercovým dnem má mít objem 250 kubických metrù. Materiál na vrch a spodek krabice stojí 2 dolary za metr ètvercový, na boèné stìny 1 dolar za metr ètvercový. Vyjádøete náklady na konstrukci krabice jako funkci délky její základny. 77. Funkcionální model - náklady na konstrukci. Otevøená krabice (bez vrchnáku) se ètvercovým dnem se má vyrobit za 48 dolarù. Materiál na stìny krabice stojí 3 dolary za metr ètvercový, na dno krabice 4 dolary za metr ètvercový. Vyjádøete objem krabice jako funkci délky hrany její podstavy. 78. Funkcionální model - náklady na konstrukci. Z elektrárny na jedném bøehu øeky 900 metrù ¹iroké je tøeba vést elektrický kabel do továrny na druhém bøehu øeky, 3000 metrù ní¾ po proudu øeky. Náklady na ulo¾ení kabelu pod vodou jsou 10 dolarù za jeden metr, po zemi 8 dolarù za jeden metr. Znázornìte gra cky, vhodným zpùsobem zaveïte souøadnicový systém a oznaèení promìnných; vyjádøete náklady na ulo¾ení kabelu z elektrárny do továrny jako funkci vhodné promìnné. 79. Funkcionální model. Nosný most pøes øeku o ¹íøce 24 metrù s bøehy v rovnaké vý¹ce má konstrukci tvaru oblouku paraboly. Vrchol oblouku mostu se nachází ve vý¹ce 6 metrù nad hladinou øeky. a) Zaveïte vhodným zpùsobem souøadnicový systém a urèete rovnici oblouku mostné konstrukce. b) Svislé nosné traverzy v oblouku konstrukce jsou rozmístnìny v¾dy po 3 metrech. Vypoèítejte jejich délky. 80. Funkcionální model. Chodba ¹íøky a metrù se lomí do pravého úhlu. Pomocí vhodné funkce (vhodného argumentu) zjistìte, jaký nejdel¹í ¾ebøík se dá pronést ve vodorovné poloze pøes tuto chodbu? Znázornìte gra cky. 81. Funkcionální model - úloha s dal¹í podmínkou. Pletivem 8 metrù dlouhým máme ohradit pozemek tvaru obdélníku, kterého jednu stranu tvoøí stìna (tam se pletivo u¾ nepou¾ije). a) Sestavte funkci urèující plo¹ný obsah pozemku v závislosti na délce jedné jeho strany. b) Jaké rozmìry má mít pozemek, aby jeho plo¹ný obsah byl nejvìt¹í? 82. Funkcionální model - celoèíselná promìnná. Pìstitel citrusových plodù chce získat co nejvìt¹í sklizeò; odhaduje, ¾e pokud zasadí a) na urèitém pozemku 60 grapefruitù, prùmìrná sklizeò z jednoho stromu bude 400 plodù, pøièem¾ za ka¾dý dal¹í strom vysazený na tom samém pozemku se prùmìrná sklizeò sní¾í o 4 plody za ka¾dý strom; b) na jiném pozemku 60 pomaranèovníkù, prùmìrná sklizeò z jednoho stromu bude 475 plodù, ale teï za ka¾dý dal¹í strom vysazený na tom samém pozemku se prùmìrná 75.
12
sklizeò sní¾í o 5 plodù na ka¾dý strom; c) na jiném pozemku 75 citrónovníkù, prùmìrná sklizeò z jednoho stromu bude 500 plodù, pøièem¾ teï za ka¾dý dal¹í strom vysazený na tom samém pozemku se prùmìrná sklizeò sní¾í o 20 plodù na jeden strom. Najdìte funkci, která vyjádøuje pro ka¾dou z mo¾ností a), b), c) velikost skliznì v závislosti na poètu stromù vysazených nad poèet pùvodnì vysadených a tuto funkci znázornìte gra cky. Kolik dal¹ích stromù by mìl zasadit pìstitel, aby jeho sklizeò byla maximální? 83. Funkcionální model - lineární závislost. Výrobce koupil urèité výrobní zaøízení za 12 000 dolarù a pøedpokládá, ¾e jeho zostatková hodnota po 8 letech pou¾ívání bude 2 000 dolarù. Hodnota zaøízení za toto období klesá lineárnì. a) Sestavte lineární funkci, která urèuje hodnotu zaøízení v dolarech v èase t rokù jeho pou¾ívání a znázornìte ji gra cky. b) Jaká bude hodnota stroje po 5 letech? Kdy klesne hodnota zaøízení na polovinu jeho poèáteèné hodnoty? 84. Funkcionální model - lineární závislost. Pøi takzvaném jednoduchém úrokování vkladu banka postupuje následovnì. Nech» r je úroková míra poskytovaná bankou vyjádøená v procentech a P je poèáteèní vklad klienta (napøíklad v korunách) vykonán 1. ledna urèitého roku. Pak k 1. lednu dal¹ího roku tento vklad vzroste na hodnotu B = P + rP korun, kde r je vyjádøená desetinným èíslem; hodnota rP se nazývá úrok. (Napøíklad pøi poèáteèním vkladu 1 000 korun a úrokové míøe 8% bude po uplynutí právì jednoho roku od vkladu na úètu suma 1 000 + 0; 08 1 000 = 1 080 korun.) Po uplynutí t rokù k 1. lednu bude mít klient v bance B (t) = rPt + P korun. a) Nech» poèáteèný vklad je 2 500 korun a úroková míra banky 7,5%. Znázornìte èást grafu funkce B (t) pro období nejvíc deseti rokù. b) Jaký bude stav na kontì klienta po 5 letech, po 10 letech? c) Za jaký èas se poèáteèní vklad klienta za tìchto podmínek úrokování zdvojnásobí? d) Jaký by mìl být poèáteèní vklad klienta, aby pøi uvedených podmínkách vzrostl v bance za 10 let na hodnotu 25 000 korun? Øe¹ení úloh: 1. p = 0; 0994d + 1 atm.; pøi d = 50 m je p = 5; 97 atm. 2. y = x ; 1 3. s = 0; 015t +6; 84 m 4. Pro teplotu x v st. Celzia, y v st. Fahrenheita: a) y = 1; 8x +32; b) 86 st. F; c) 340/9 st. C; d) x = 5=9y ; 160=9; e) mezi ;45 a ;10 st. C 5. a) V¹echny pøímky rovnobì¾né s pøímkou y = kx + q (s pøímkou y = 2x + q); b) v¹echny pøímky procházející bodem [0; q] kromì pøímky x = 0 (procházející bodem [0; ;3] kromì pøímky : o x =: 0) 6. a) Minimální úhel : :tg = 5=16, = 17 35 , maximální p úhel p: tg = 9=8, p = 48o 37 ; b) R = 18 tg 40o = 15; 10 cm 7. a) d(a) = 6 2, d(b) = 65, d(c) = 53, není pravoúhlý; b) není rovnoramenný (ani rovnostranný); c) Sa[1; 0], Sb[2; 7=2], Sc[5; 1=2], T [8=3; 4=3] 8. a) smìrnice k = ;A=B (B 6= 0); prùseèíky s osami [C=A; 0], [0; C=B ] (A; B 6= 0); [4; 0], [0; 3]; b) y = B=A x (A 6= 0) 9. Q[80=41; 100=41], 20 p41 10. v bodech [0; 5] a [4; 3] 11. a) strany a: y = 0, b: nejm. vzdálenost je 41 0
0
13
p
x + y = 3, c: y = x + 3; jejich délky d(a) = 6, d(b) = d(c) = 3 2; je rovnoramenný, je pravoúhlý s pravým úhlem pøi vrcholu A; vrcholy le¾í na souøadnicových osách; Sa[0; 0], Sb[3=2; 3=2], Sc [;3=2; 3=2]; va: x = 0, vb: y = x, vc: y = ;x; SaSb: y = x, SaSc : y = ;x, SbSc: y = 3=2; ta: x = 0, tb: x ; 3y + 3 = 0, tc: 3y + x = 3; P (ABC ) = 9 jednotek plo¹ného obsahu (j. p. o.); Q[0; 0]; T [0; 1]; =p=2; b) strany p a: 2x + y =p6, b: x ; 4y + 6 = 0, c: x + 2y = 0; jejich délky d(a) = 2 5, d(b) = 17, d(c) = 3 5; není rovnoramenný, není rovnostranný; není pravoúhlý; a protíná ox v [3; 0], oy v [0; 6]; b protíná ox v [;6; 0], oy v [0; 3=2]; c protíná ox, oy v [0; 0]; Sa[3; 0], Sb [0; 3=2], Sc[2; ;1=2]; va: 2y ; x = 4, vb: 4x + y = 14, vc: y ; 2x + 2 = 0; SaSb : x + 2y = 3, SaSc: x ; 4y = 3, SbSc : 4x + 2y = 3; ta: x + 5y = 3, tb: 7x + 8:y = 12, tc: x = 2; P (ABC ) = 9 j. p. o.; Q[8=3; 10=3]; T [4=3; 1=3]; tg = 6=7, = 40po ; c) strany p a: 2x + 3y + 14p= 0, b: 2x ; 3y +14 = 0, c: 2x ; y = 2; jejich délky d(a) = 2 13, d(b) = 4 13, d(c) = 10 2; není rovnoramenný, není rovnostranný; není pravoúhlý; a protíná ox v [;7; 0], oy v [0; ;14=3]; b protíná ox v [;7; 0], oy v [0; 14=3]; c protíná ox v [1; 0]þ oy v [0; 2]; Sa[;4; ;2], Sb[;1; 4], Sc[2; 2]; va: 2y ; 3x = 1, vb: 3x + 2y + 11 = 0, vc: x + 2y + 7 = 0; SaSb: 2x ; y + 6 = 0, SaSc: 2x ; 3y + 2 = 0, SbSc : 2x + 3y = 10; ta: 10x ; 9y + 22 = 0, tb: x = ;1, tc: :2x ; 9y + 14 = 0; P (ABC ) = 48 j. p. o.; Q[;2; ;5=2]; T [;1; 4=3]; tg = 4=7, = 29o 12. a) AD: y = 3x, BC : x + y = 30, CD:: 2x + y = 50; b) AC : 2y = x; BD: 3x + 2y = 90; c) [22; 5; 11; 25]; e) tg ' = 8, ' = 82o ; d) 400 j. p. o. 13. a) D[5; 4] (obdélník), D[;5; 4] anebo D[5; ;4]; b) D[7; 4], D[13; ;4] alebo D[;7; ;4]; c) D[7; 7], D[3; ;1] alebo D[;1; 3] (kosoètverce - mo¾no vyu¾ít symetrii) 14. a) (x 5)2 + y2 = 25 (dvì mo¾nosti); b) (x ; 2; 5)2 + (y ; 1; 5)2 = 8; 25; c) (x;3)2 +(y ;4)2 = 25; d) (x;6)2 +(y ;4)2 = r2 15. a) R(x) = 110x, C (x) = 7500+60x; b) 150 výrobkù; c) P (x) = 50x ; 7500; P (100) = ;2 500 dolarù (ztráta); d) 175 výrobkù 16. a) 4 kajaky; b) 15 kajakù 17. pro x < 150 hodin hry roènì vybrat druhý klub, v opaèném pøípadu první klub 18. a) D(25) > S (25) (poptávka vy¹¹í jako nabídka, zisk); D(55) < S (55) (poptávka ni¾¹í jako nabídka, ztráta); b) rovnová¾ní cena je 44 korun 19. b) p0 = 80 korun; S (80) = D(80) = 70 tisíc kusù 20. jestli¾e si pùjèuje na více ne¾ 120 km, zvolí druhou agenturu; jestli na ménì ne¾ 120 km, výbìr první agentury bude pro nìj výhodnìj¹í 21. p0 = 20 korun; poptávka a nabídka jsou tehdy stejné D(p0 ) = S (p0) = 100 kusù 22. a) A[16; 0], p B [0; 0]; b) vzdálenost d(AB ) p= 16 cm 23. a) V èase t = 0 vzdálenost d(PQ) = 52 2 cm, v èase t = 1 d(PQ) = 4 265 cm, v èase t = 13 d(PQ) = 52 cm; b) t1 = 6; 5 vteøin a a také t2 = 9; 1 vteøin; c) 23,255 cm, v èase p 7,8 vt. 24. a), b) t = s=c 25. c = s=t 26. a) ¹íøka okraje x = 1=4(a + b a2 + b2), x < b=2 (aj x < a=2); b) x = 1=2 m; c) x = 3=2 dm 27. a) 862,5 g soli; b) 100 kg vody; c) s sùl v g: s = 34; 5v, v voda v kg 28. je vysoký 18 m; 0,8 1,6 2,4 4 1; 5=0; 76 x metrù 29. 15 000, 18 000, 45 000 korun 30. xy 0,2 80 20 10 6,6 4 50 100 250 400 500 31. a) pro délku x je nosnost N = 800=x; b) Nx 25 32 16 8 3,2 2 1,6 32. a), b) pro poèet otáèek y druhého kola je x y = 36 10, proto y = 360=x; pro x = 20 je y = 18, pro x = 24 je y = 15 33. a) 34; 85; 765krát; b) má být 42 y1 = 119 y2, kde y1, y2 jsou poèty otáèek prvního, resp. druhého kola 34. a) Df jsou v¹echna reálná èísla kromì x = 200, praktický význam má z nìho èást h0; 100i; b) 50 miliónù; 100 miliónù; c) 40% obyvatelstva; d) graf je rostoucí hyperbola s asymptotami x = 200, y = ;150, f (0) = 0; praktické situaci odpovídá èást grafu pro x 2 h0; 100i (tehdy f (x) 2 h0; 150i) 14
35. a) 52 st.; b) 13 st.; c) t(x) = 0; 03x + t0 st. 36. a) ve vý¹ce 75 m; ve vý¹ce y = 160 ; 8; 5(x ; 5) metrù; b) klesání 8,5 m na 1 km (v procentech 0,85%) 37. y = 6x ; 16 38. 4,5 hodin, ve vzdálenosti 180 km 39. b) v1 = 36 km/hod, v2 = 24
km/hod; v koncové stanici bude první vlak v èase t1 = 4 hod. 10 min., druhý v èase t2 = 6 hod. 15 min.; c) 60 km/hod. 40. za 4 hodiny, 122 km od A 41. a) y = 244 ; 4x; b) 216 mil. litrù, 176 mil. litrù 42. kru¾nica, elipsa, uvedená parabola ne, uvedená hyperbola ano 43. a) R nf0; 1; ;1g, R je mno¾ina v¹ech reálných èísel; b) R nf2; ;2g; c) h;1; 1); d) R; e) h;2; 2i; f) h;1; 0i [ h1; 1); g) (;1; ;3i [ h;1; 1i [ h3; 1); h) (;1; ;1)[h1; 1); i) R; j) (8; 1); k) (;1; 2)[(3; 1); l) R nf1g; m) (5; 1); n) (;1; 2); o) (1; 1); p) x 6= k, k lib. celé èíslo; r) x 2 (2k; (2k +1)), k lib. celé èíslo; s) R 44. a) R nf2; 3g; b) R nf0; 3; ;3g; c) h0; 1i; d) (;1; ;2i[h0; 2i; e) R; f) h;5; 1i; g) h0; 2i; h) h;1=3; 1=3); i) R n f2g; j) (;1; 9); k) (;4; 4); l) (2; 1) n f3g; m) (0; 1) n f1g; n) (;1; ;5) [ (4; 5); o) (;3; 2) nf;2g; p) x 6= k=2, k lib. liché celé èíslo; r) x 6= =4+2k, k lib. celé èíslo; s) R 45. f (x)+ g(x) = 3, f (x) ; g(x) = 2x ; 1, f (x) g(x) = ;x2 ; x +2, f 2(x)) = (x + 1)2, def. obor ka¾dé z nich je R, fg((xx)) = x2 ;+ x1 , fg de novaná pro x 6= 2, g(x) = 2 ; x , g de novaná pro x 6= ;1 46. 5f (x) + 4g(x) = 5px + 4p1 ; x, f (x) x + 1 f p p p 2 + f ( x ) 2 + f (x) (1+ g(x)) = x (1+ 1 ; x), def. obor obou funkcí je h0; 1i, 3 + g2(x) = 4 ; xx , px 1 ; f ( x ) 1 ; def. obor je h0; 4), 1 ; g(x) = p 47. 48. 49. pomocí úpravy na ètverec: 1 ; 1 ; x " # 2 p 4 q ; p p os x = ; 2 , vrchol V ; 2 ; 4 ; podobnì pro parabolu s rovnicí y = ax2 + bx + c = 2 3 !2 " # 2 2 b 4 ac ; b b b 4 ac ; b a 4 x + 2a + 4a2 5, os x = ; 2a , V ; 2a ; 4a 50. 51. 52. 53.
x ;1 0 1 2
f (f (x))
x ;1 0 1 2 55. pro h(x) = 1 + 5=x: f (f (f (x))) 0 1 0 1
1 0 1 0 h(;1) = ;4, h(0) nedef., h(5) = 2, a) h(5x) = 1 + 1=x; b) h(;x) = 1 ; 5=x; c) ; x ; d) h(x + 4) = x + 9 ; e) h(1=x) = 1 + 5x; f) h(x2) = 1 + 5=x2 ; h(1 ; x) = 16 ; x x+4 g) h(h(x)) = 6xx++55 ; pro h(x) = ln(x ; 4): h(;1) nedef., h(0) nedef., h(5) = 0, a) h(5x) = ln(5x ; 4); b) h(;x) = ln(;x ; 4); c) h(1 ; x) = ln(;3 ; x); d) h(x + 4) = ln x; e) h(1=x) = ln(1=x ; 4); f) h(x2) = ln(x2 ; 4); g) h(h(x)) = ln(ln(x ; 4) ; 4) 56. a) f (g(x)) = x2 +2, def. obor je Rp; g(f (x)) = (x +5)2 ; 3, R; f (f (px)) = x +10, R; g(g(x)) = (x2 ; 3)2 ; 3, R; b) f (g(x)) = 2 ; x, (;1; 2i; g(f (x)) = 3 ; x ; 1, hp f (x)) = q px ; 1 ; 1, h2; 1); g(g(x)) = x, R; c) f (g(x)) = 1 ; x, R; g(f (x)) = 1;11;);x2f,(h; 1; 1i; f (f (x)) = 2x2 ;x4, R; g(g(x)) = p4 x, h0; 1); d) f (g(x)) = ln(x2;4), (;1; ;2)[(2; 1); g(f (x)) = ln2 x ; 4, (0; 1); f (f (x)) = ln(ln x), (1; 1); g(g(x)) = x4 ; 8x2 + 12, R e) f (g(x)) = 1;ln(ln(1;x)), (;1; 0); g(f (x)) = ln(ln x), (1; 1); f (f (x)) = 1;ln(1;ln x), (0; e); g(g(x)) = ln(1 ; ln(1 ; x)), (1 ; e; 1) 57. a) f (g(x)) = 3x10 + 1, def. obor je R; g(f (x)) = 3(x + 1)10, R; f (f (x)) = x + 2, R; g(g(x)) = 311x100, R; b) staèí f (f (x)) = 54.
15
2 g(g(x)) = x, R; c) f (g(x)) = 1 ;x24x , x 6= 0; g(f (x)) = x2(x 1; 4)2 , x 6= 0 a souèasnì x 6= 4; f (f (x)) = x(x;4)(x2;4x;4), R; g(g(x)) = x4, R; d) f (g(x)) = x, R; g(f (x)) = x, R; f (f (x)) = 4x ; 3, R; g(g(x)) = x +4 3 , R; e) f (g(x)) = ln x ;x 1 , (;1; 0) [ (1; 1); g(f (x)) = lnlnx x; 1 , (0; 1) [ (1; 1); f (f (x)) = ln(ln x), (1; 1); g(g(x)) = 1 ;1 x , x 6= 1 2 2 58. f (g (x)) = jxj; 7, g (f (x)) = jx ; 7j 59. f (g (x)) = x ; 1 = f (x), g (f (x)) = jx ; 1j x 1 ;1 0 2 ;2 3 x 1 0 2 3 x 1 2 3 60. f (g(x)) ;1 3 0 0 5 2 g(f (x)) 1 3 1 2 f (f (x)) ;1 2 3 x 1 ;1 0 2 ;2 3 x 1 ;1 2 5 3 g(g((x)) 1 2 0 0 ;2 1 b) f ;1 (x) 1 0 2 ;2 3 ; inverzní funkce k g(x), f (g(x)) neexistují 61. a) c(c(x))x 02 10 21 ; c(c(c(x))) je identická funkce: c(c(c(x))) = x; b) c(x) a c(c(x)) jsou navzájem inverzní funkce; kromì c(x) a c(c(x)) a identické permutace existují je¹tì 3 permutace p0(x), p1 (x), p2(x) a ka¾dá je inverzní sama x 0 1 2 0 2 1 62. a) f ;1(x) = (x ; 1)=2, Df ;1 = R; b) f ;1 (x) = 1 , k sobì: pp0((xx)) x;1 1 )) 2 1 0 p2(x)) 1 0 2 Df ;1 = R n f1g; c) f ;1 (x) = x 4;x 4 (= f (x)), tedy funkce je inverzní sama k sobì, Df ;1 = Df = R n f4g; d) f ;1 neexistuje, f není prostá (napø. f (0) = f (4) = 0); e) f ;1 + 1 , Df ;1 = R n f1g neexistuje, f není prostá (napø. f (0) = f (;1) = 0); f) f ;1 (x) = xx ; 1 63. a) f ;1(x) = (2 ; x)=3, Df ;1 = R; b) f ;1 (x) = 1x+;21x , Df ;1 = R n f1g; c) f ;1 neexistuje, f není prostá (napø. f (0) = f (1) = 1); d) f ;1(x) = 4 + (x ; 1)2, Df ;1 = Hf = h1; 1) (Hf je obor hodnot funkce f!(x)); e) f ;1 neexistuje, f není prostá + 1 2, Df ;1 = Hf = (1; ;1) [ (1; 1) (napø. f (1) = f (;1) = ;1=5); f) f ;1 (x) = xx ; 1 64. a) 16 litrù, 0; 064x litrù; b) 15,625 km, 312,5 km; c) 15; 625x km 65. spotøeba druhého je 5,56 l/100 km 66. d = 10; 0604(p ; 1) 67. 68. a) G(p) = F ;1(p) = 1; 25p ; 62; 5 (pro p >p5); b) G(p) = F ;1(p) = 0; 5p ; 5 (pro p > 10); c) pG(p) = F ;1(p) = ;2; 25 + 0; 5 1 + 4p (pro p > 6); d) G(p) = F ;1(p) = ;0; 5p + 0; 5 9 + 4p 69. 70. 71. 72. 1) TR(q) = q(120 ; 0; 8q) > 0 pro q 2 (0; 150), nejvìt¹í pro q = 75: TR(75) = 4500; 2) TR(q) = q(5 ; 0; 2q)2, nejvìt¹í pro q = 253 : TR( 253 ) = 250 27 ; 3) TR(q) = q(5 ; 0; 2q)2 > 0 pro q 2 (0; 5), nejvìt¹í pro q = 2; 5: TR(2; 5) = 93; 75 73. grafy jsou paraboly; 1) maximální zisk pro q = 17; 5; 2) maximální zisk pro q = 9 74. P (x) = 2(400 ; x)(x ; 120), graf parabola; zisk je maximální pro x0 = 260 dolarù 75. P (x) = 20(25 ; x)(x ; 3), graf parabola; zisk maximální pro x0 = 14 dolarù 76. x2y = 250, proto C (x) = 4x2 +1000=x dolarù 77. = 48, proto y = 4=x ; x=3, p 4x22+12xy 2 3 objem V = x y = 4x ; 1=3x 78. C (x) = 10 900 + x2 + 8(3000 ; x) dolarù 79.
16
)(x + 12) , vrchol oblouku v bodì [0; 6]; b) 2,625; 4,5; 5,625; 6 metrù a) y = (12 ; x24 2a ; nejdel¹í pøi = =4, a to d = 2p2 a 81. a) 2x + y = 8, tedy 80. d( ) = cos P (x) = x(8 ; 2x); b) pøi x = 2 m, y = 4 m 82. a) P (x) = (60 + x)(400 ; 4x), graf parabola; x = 20; b) P (x) = (60 + x)(475 ; 5x), graf parabola; x = 17 anebo x = 18 stromù, v obou pøípadech je sklizeò stejná; c) P (x) = (75+ x)(500 ; 20x), graf parabola; x = ;25 (musí odstránit 25 stromù) 83. a) y = 12000 ; 1250t; b) y(5) = 5 750 dolarù; po 4,8 rokoch 84. a) B (t) = 187; 5t + 2500; graf èást pøímky: pro t 2 h0; 10i; b) B (5) = 3 437; 50 korun, B (10) = 4 375 korun; c) t = 2500=187; 5 = 13; 33 rokù; d) pøibli¾nì 14 285,70 korun
17
