MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT – MATEMATIKA
ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021) za přispění finančních prostředků EU a státního rozpočtu České republiky.
Mgr. Radka SMÝKALOVÁ, Ph.D.
[email protected]
MT – MATEMATIKA
Řešení nelineárních rovnic
2
Polynomy DEFINICE (Polynom neboli mnohočlen). Funkce y = Pn (x) = a0 xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + · · · + an−1 x + an , kde a0 , a1 , . . . , an ∈ R, a0 6= 0, se nazývá polynom stupně n ∈ N. Čísla a0 , . . . , an se nazývají koeficienty polynomu a an se nazývá absolutní člen. Příklad . 1. y = 6 = 6x0 . . . polynom stupně 0 (konstantní funkce) 2. y = 10x − 12 = 10x1 − 12 . . . polynom stupně 1 (lineární funkce) 3. y = 5x2 − 3x + 7 . . . polynom stupně 2 (kvadratická funkce) DEFINICE (Kořen polynomu). Číslo c se nazývá kořen polynomu P (x), jestliže P (c) = 0 (hodnota polynomu v čísle c se rovná nule; neboli když za x v polynomu dosadíme číslo c, vyjde nula). DEFINICE (Kořenový činitel). Když je číslo c kořen polynomu P (x), pak (x − c) se nazývá kořenový činitel. Kořeny polynomu mohou být jednoduché nebo vícenásobné, reálné nebo komplexní. Každý k-násobný kořen považujeme za k kořenů. Cvičení 1 . Vypočítejte kořeny polynomů a následně polynomy napište jako součin kořenových činitelů: 1. P (x) = x2 − 5x + 6 2. P (x) = x2 − x − 20 3. P (x) = x − 7 Student ze střední školy umí najít kořeny lineárního polynomu (lineární rovnice) a kvadratického polynomu (kvadratická rovnice). Ale kořeny polynomů stupně vyššího jak dva najít neumí.
MT – MATEMATIKA
Řešení nelineárních rovnic
3
Hodnota polynomu P (x) v nějakém čísle c ∈ R, tedy P (c) Příklad . Vypočítejte hodnotu polynomu P (x) = x5 − 3x4 − 5x3 + 15x2 + 4x − 12 pro x = 5, x = 1. Řešení. P (5) = (5)5 − 3(5)4 − 5(5)3 + 15(5)2 + 4(5) − 12 = = 3125 − 3 · 625 − 5 · 125 + 15 · 25 + 20 − 12 = = 3125 − 1875 − 625 + 375 + 20 − 12 = 1008 P (1) = (1)5 − 3(1)4 − 5(1)3 + 15(1)2 + 4(1) − 12 = = 1 − 3 − 5 + 15 + 4 − 12 = 0 Číslo x = 1 je kořen polynomu!!! Příklad . Vypočítejte hodnotu polynomu P (x) = x5 − 3x4 − 5x3 + 15x2 + 4x − 12 pro x = 5, x = 1 (stejné zadaní jako v předchozím příkladu) pomocí HORNEROVA SCHEMATU. Hornerovo schema - do horního řádku napíšeme všechny koeficienty polynomu. Když nějaký člen polynomu chybí, jeho koeficient je nula!!! Do druhého řádku před svislou čáru napíšeme číslo, ve kterém hodnotu polynomu počítáme. Do druhého řádku za svislou čáru napíšeme a0 , tedy první koeficient polynomu. Další kroky vysvětleny na přednásce. :-) 1 5 1
−3 2
−5 5
15 40
4 204
−12 1008
1 1 1
−3 −2
−5 −7
15 8
4 12
Poslední číslo ve druhém řádku je hodnota polynomu v čísle, které je ve druhém řádku před svislou čárou.
−12 0
MT – MATEMATIKA
Řešení nelineárních rovnic
4
Algebraické rovnice DEFINICE (Algebraická rovnice). Rovnice Pn (x) = a0 xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + · · · + an−1 x + an = 0, kde a0 , a1 , . . . , an ∈ R, a0 6= 0, se nazývá algebraická rovnice stupně n ∈ N. (Je to polynom = 0.) Řešením (kořenem) algebraické rovnice Pn (x) = 0 je každé číslo c, které je kořenem polynomu Pn (x). Je-li a0 = 1 (první koeficient je jedna) xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + · · · + an−1 x + an = 0, rovnici se říká normovaná. S takovými budeme pracovat. VĚTA (Kořeny normované rovnice, které ∈ Z = {. . . − 2, −1, 0, 1, 2 . . . }). Celočíselné kořeny normované algebraické rovnice, kde a1 , . . . , an ∈ Z (koeficienty jsou celá čísla), jsou dělitelé čísla an . Když budeme mít normovanou algebraickou rovnici s celočíselnými koeficienty Pn (x) = xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + · · · + an−1 x + an = 0, pomocí Hornerova schematu zjistíme, zda má celočíselné kořeny: 1. vypíšeme si všechny (kladné i záporné) dělitele čísla an 2. postupně pomocí Hornerova schematu počítáme v těchto číslech hodnotu polynomu Pn (x) - když se hodnota polynomu = 0, číslo je kořen algebraické rovnice!!! Cvičení 2 . Najděte celočíselné kořeny algebraické rovnice 1. x4 − 4x2 + 9x − 18 = 0 2. x5 − 3x4 − 5x3 + 15x2 + 4x − 12 = 0
MT – MATEMATIKA
Řešení nelineárních rovnic
5
Numerické řešení algebraické rovnice Pn (x) = xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + · · · + an−1 x + an = 0 • Ohraničení kořenů Všechny kořeny normované algebraické rovnice leží v intervalu xi ∈ (−(1 + A), 1 + A) , kde A = max {|a1 |, |a2 |, . . . , |an |}. (Všechny koeficienty algebraické rovnice dáme do absolutní hodnoty, čímž obdržíme kladná čísla. Největší z nich je pak číslo A.) • Určení počtu kladných kořenů Napíšeme si posloupnost čísel a0 , a1 , a2 , . . . , an (koeficienty rovnice v daném pořadí). Kolikrát se v pořadí čísel změní znaménko čísel, tolik má rovnice kladných kořenů, nebo o sudý počet méně. • Určení počtu záporných kořenů Z polynomu P (−x) si napíšeme posloupnost čísel a0 , a1 , a2 , . . . , an (koeficienty polynomu P (−x) v daném pořadí, kde P (x) = 0 je algebraická rovnice). Kolikrát se v pořadí čísel změní znaménko čísel, tolik má rovnice záporných kořenů, nebo o sudý počet méně. • Nalezení intervalů, kde leží jednotlivé kořeny Algebraická rovnice Pn (x) = 0: Pn (x) = xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + · · · + an−1 x + an = 0 Funkce y = Pn (x): y = xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + · · · + an−1 x + an Průsečíky funkce y = Pn (x) s osou x ⇒ y = 0. Což je algebraická rovnice 0 = Pn (x). Průsečíky funkce y = Pn (x) s osou x jsou tedy kořeny algebraické rovnice Pn (x) = 0!!! Z průběhu funkce víme, že v průsečících funkce s osou x může měnit funkce znaménko (změna nad/pod osou nebo naopak). Interval, kde leží všechny kořeny xi ∈ (−(1 + A), 1 + A), si rozdělíme na několik menších intervalů a vypočítáme funkční hodnoty v krajních bodech těchto menších intervalů. Když se změní znaménko v krajních bodech intervalu, musí v daném intervalu ležet kořen!!! • Aproximace (přiblížení) kořenů - nalezení kořenů, ale ne přesně. Použijeme metodu půlení intervalu.
MT – MATEMATIKA
Řešení nelineárních rovnic
Cvičení 3 . Vypočítejte alespoň jeden kořen algebraické rovnice s chybou menší než 0, 05. 1. x3 + 2x2 − 2 = 0 2. x3 − 3x2 + 3x + 3 = 0
6
