ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH GONIOMETRICKÝCH ROVNIC V tomto krátkém pojednání si ukážeme, jak řešit goniometrické rovnice, které lze převést na tvar f (x) = c, kde c R a f je některá goniometrická funkce. To se však neobejde bez určitých znalostí z dřívějších kapitol. Zejména je třeba:
umět řešit lineární a kvadratické rovnice znát princip užití substituce umět počítat ve stupňové i obloukové míře znát průběh základních goniometrických funkcí znát (či umět vyhledat) některé goniometrické vzorce umět pracovat s programem MATMAT (ke stažení v bonusech) a kalkulačkou
Shrnutí:
Pro každé x 0 ; platí: 2 I. II. sin x = sin (π – x) cos x = – cos (π – x) tg x = – tg (π – x) cotg x = – cotg (π – x)
III. = – sin (π + x) = – cos (π + x) = tg (π + x) = cotg (π + x)
IV. = – sin (2π – x) = cos (2π – x) = – tg (2π – x) = – cotg (2π – x)
Toto shrnutí bude pro naše další bádání zcela zásadní. Jak? To si povíme u konkrétních příkladů. OK, jdeme na to! Zadání: Na množině R řešte rovnice. Zkoušku proveďte použitím programu MATMAT. a) cos x 0,5 Řešení: Tato rovnice je zadána ve tvaru f (x) = c, kde c R . Konkrétně f je funkce kosinus, c = – 0,5. Není tedy třeba žádných dalších úprav a můžeme rovnou přistoupit k samotnému řešení. Než k tomu přikročíme, je třeba si uvědomit, co vlastně počítáme. Co je to vlastně x? Je to úhel? Nebo je to číslo? Je to číslo, které ovšem můžeme chápat i jako velikost úhlu v obloukové míře. Zpátky k příkladu. Kosinus je záporný ve II. a III. kvadrantu (viz shrnutí nahoře). Nachystáme si tedy oba kvadranty někam nahoru a na znaménko mínus můžeme v tu ránu zapomenout. Hodnotu x určíme na kalkulačce. POZOR! Zadávat bez mínusu! Každá kalkulačka je naprogramovaná tak, že zadáš-li do ní kladnou hodnotu goniometrické funkce, dá ti úhel z prvního kvadrantu, neboť v tomto kvadrantu jsou hodnoty všech čtyř základních goniometrických funkcí kladné (viz shrnutí). Nezapomeň použít tlačítko „shift“ či „2ndf“, zjišťuješ úhel, nikoli hodnotu funkce. Taktéž si zkontroluj, že máš kalkulačku nastavenou na radiány (RAD či R).
„Hloupější“ kalkulačka „vyplivne“ 1,047197551, chytřejší kalkulačka
. Buď jak buď, 3
v obou případech se jedná o číslo z intervalu 0 ; resp. úhel z prvního kvadrantu. Jelikož 2 hledaný úhel x je z II. resp. III. kvadrantu, označíme si výsledek z kalkulačky třeba x* a budeme ho nazývat „pomocným úhlem“. Ten nyní využijeme při výpočtu kořenů rovnice přesně podle shrnutí v úvodu. Nesmíme zapomenout přidat periodu, jelikož funkce kosinus je periodická s periodou 2π. x*
0; 3 2
II. x = π – x* + 2πk ; k Z x = 2k ; k Z 3 2 x = 2k ; k Z 3
III. x = π + x* + 2πk ; k Z x = 2k ; k Z 3 4 x = 2k ; k Z 3
Kolik máme výsledků? Dva? Nikoli, je jich nekonečně mnoho, ale shrnuli jsme je dvěma zápisy. Takže jim přihodíme indexy, pro pořádek. 2 x1 2k ; k Z 3 4 x 2 2k ; k Z 3
Zbývá ověření v MATMATu. Zápis cos x 0,5 můžeme chápat i jako rovnost dvou funkcí. Vlevo goniometrická funkce y cos x , vpravo konstantní funkce y 0,5 . Když jejich grafy vykreslíme do jednoho obrázku, tak tam, kde se protnou, leží hledané kořeny x rovnice cos x 0,5 .
Jak je vidět na obrázku, rozestupy modrých i zelených průsečíků jsou 2π, což odpovídá periodě funkce y cos x .
b) 3 tg x 20 2 Řešení: Nejprve je třeba vydělit rovnici třemi. Dostaneme: 2 tg x 20 Nyní zavedeme substituci (x – 20°) = y. Dostaneme: 3 2 tg y 3 2 . 3 Můžeme tedy začít se samotným řešením. První krok je určení kvadrantů. Tangens je kladný v I. a III. kvadrantu. Tak si to hezky nachystáme.
Fajn. Toto je rovnice ve tvaru f (y) = c, kde c R . Konkrétně f je funkce tangens, c =
I. y=
III. y=
Dále bychom měli vědět, že funkce tangens je periodická s periodou . Protože však v zadání figurují stupně (což vidím nerad), použijeme zápis periody ve stupních. I. y=
III. y=
+ 180°k ; k Z
+ 180°k ; k Z
Teď vezmeme kalkulačku a zjistíme pomocný úhel y* s přesností na celé minuty. Kalkulačku je před tím třeba přepnout na stupně (DEG či D). y* = 33°41´ Jelikož hledaná hodnota y je z I. a III. kvadrantu, je pomocný úhel y* přímo jedním z řešení. To druhé dopočítáme podle shrnutí v úvodu (číslo π nahradíme hodnotou 180°). I. y = 33°41´ + 180°k ; k Z y = 33°41´ + 180°k ; k Z
III. y = (180° + 33°41´) + 180°k ; k Z y = 213°41´+ 180°k ; k Z
Teď je třeba přejít k původní proměnné. I. x – 20° = 33°41´ + 180°k ; k Z x = 53°41´ + 180°k ; k Z
III. x – 20° = 213°41´+ 180°k ; k Z x = 233°41´+ 180°k ; k Z
Kolik máme výsledků? Dva? Nikoli, je jich nekonečně mnoho, ale můžeme je shrnout jen jedním zápisem. Přičteme-li totiž k úhlu 53°41´ jednu periodu (tj. 180°), dostaneme číslo 233°41´. Oba výsledky tedy vyjadřují to samé. Tak si vybereme jen jeden z nich. x = 53°41´ + 180°k ; k Z Zbývá ověření v MATMATu.
Úhlu 53°41´ odpovídá úhel 0,937 rad, tj. číslo 0,937. Úhlu 20° odpovídá úhel rad, tj. číslo . 9 9 (MATMAT to se stupni neumí)
Jak je vidět na obrázku, rozestupy všech průsečíků jsou π, což odpovídá periodě funkce y tg x . c) sin 2 x 10 6 Řešení: Hodnota funkce sinus (stejně tak kosinus) je vždy číslo z intervalu 1; 1 , takže smůla. Rovnice nemá řešení. d) sin 2 x 10 0,6 Řešení: Nejdříve zavedeme substituci 2x + 10° = y. Dostaneme rovnici: sin y 0,6 . To už je rovnice ve tvaru f (y) = c, kde c R . Konkrétně f je funkce sinus, c = – 0,6. Můžeme tedy začít se samotným řešením. První krok je určení kvadrantů. Sinus je záporný ve III. a IV. kvadrantu. Tak si to hezky nachystáme. III. y=
IV. y=
Dále bychom měli vědět, že funkce sinus je periodická s periodou 2π. Protože však v zadání figurují stupně, použijeme zápis periody ve stupních. III. y=
+ 360°k ; k Z
IV. y=
+ 360°k ; k Z
Teď vezmeme kalkulačku a zjistíme pomocný úhel y* s přesností na celé minuty. y* = 36°52´
Nyní dopočítáme hodnoty y podle shrnutí v úvodu. Číslo 2π nahradíme hodnotou 360°.
III. y = (180° + 36°52´) + 360°k ; k Z y = 216°52´ + 360°k ; k Z
IV. y = (360° – 36°52´) + 360°k ; k Z y = 323°8´+ 360°k ; k Z
Teď přejdeme k původní proměnné. III. 2x + 10° = 216°52´ + 360°k ; k Z 2x = 206°52´ + 360°k ; k Z
IV. 2x + 10° = 323°8´+ 360°k ; k Z 2x = 313°8´+ 360°k ; k Z
Zbývá vydělit rovnice dvěma. POZOR, dělíme i periodu!! III. x1 = 103°26´ + 180°k ; k Z
IV. x2 = 156°34´+ 180°k ; k Z
Dovolil jsem si výsledky rovnou indexovat. Je zřejmé, že přičteme-li k úhlu 103°26´ jednu periodu (tj. 180°), nedostaneme úhel 156°34´. Rovnice má nekonečně mnoho řešení, které lze shrnout dvěma zápisy. Zbývá ověření v MATMATu.
Úhlu 103°26´ odpovídá číslo 1,805. Úhlu 156°34´odpovídá číslo 2,733. Úhlu 10° (pro potřeby MATMATu) odpovídá číslo
. 18
Jak je vidět na obrázku, rozestupy modrých i zelených průsečíků jsou π, což odpovídá periodě funkce y sin 2 x . e) sin 1 x 0 Řešení: Nejdříve zavedeme substituci (1 – x) = y. Dostaneme rovnici sin y = 0. To je rovnice ve tvaru f (y) = c, kde c R . Konkrétně f je funkce sinus, c = 0. Jelikož nula není ani kladná, ani záporná, nebudeme tentokrát postupovat „přes kvadranty“. Stačí si uvědomit, že sinus je roven nule pro všechny celočíselné násobky čísla π.
y k ; k Z 1 x k ; k Z 1 k x ; k Z
Zpátky k původní proměnné.
Tento výsledek můžeme s klidem zapsat i ve tvaru x 1 k ; k Z , neboť na znaménku před periodou pramálo záleží. Zbývá kontrola v MATMATu.
Jak je vidět na obrázku, rozestupy průsečíků funkce y sin 1 x s osou x (graf funkce y = 0) jsou skutečně rovny π, i když funkce y sin 1 x je periodická s periodou 2π.
SUBSTITUCE Druhým typem goniometrických rovnic běžně probíraných na střední škole jsou rovnice na užití substituce, ovšem trošku jiné než v předchozích příkladech, takže ji směle označím jako substituce 2. typu. S tímto označením se pravděpodobně jinde nesetkáte. Celkem si dovoluju, co? f) 2 cos 2 x cos x 1 0 Řešení: Nejdříve je třeba zavést onu substituci 2. typu. Ta spočívá v tom, že tentokrát nahradíme celou funkci, nikoli jen argument (úhel). SUBST. : y cos x
2y2 y 1 0
Toto je jednoduchá kvadratická rovnice. D = 9 → D 3 . 1 3 1 y1, 2 → y1 1 , y 2 . Teď zpátky k původní proměnné. 4 2
1) 1 cos x Toto je rovnice ve tvaru f (x) = c, kde c R . Při jejím řešení nebudeme postupovat „přes kvadranty“, jelikož jednička (stejně tak mínus jednička a nula) je u funkcí sinus a kosinus význačná hodnota a obě funkce tuto hodnotu nabývají někde „mezi kvadranty“ Specielně funkce kosinus ji nabývá ve všech x 2k ; k Z (tj. mezi I. a IV. kvadrantem, dá-li se to tak říct). 2)
1 cos x 2
Funkce kosinus je záporná ve II. a III. kvadrantu, její perioda je rovna 2π. II. x = x * 2k ; k Z Pomocný úhel x* =
. 3
II.
III.
x= x=
III. x = x * 2k ; k Z
2k ; k Z 3
2 2k ; k Z 3
x =
2k ; k Z 3
4 x = 2k ; k Z 3
Tyto dva zápisy nelze sloučit do jednoho. Přidáme-li však řešení z 1), už se nám to podaří. 0 2 4 2 x1 2k ; k Z + x 2 2k ; k Z + x3 2k ; k Z → x k ; k Z 3 3 3 3
Jak je vidět na obrázku, rozestupy průsečíků funkce y cos 2 x cos x 1 s osou x jsou 2 skutečně pravidelné a rovny . 3 g) 3 cos x 3 4 cos 3 x 4 cos 2 x
SUBST. : y cos x
3 y 3 4 y 3 4 y 2 Kubická rovnice?!!? Ano, ale snadno řešitelná! Stačí umět vytýkat. 3 y 1 4 y 2 y 1 První řešení je evidentní: y1 1 . Abychom se dopracovali k těm ostatním, celou rovnici vydělíme výrazem y + 1. Dostaneme rovnici: 3 3 4 y 2 → y 2 ,3 . Nyní se vrátíme k původní proměnné. 2 1) 1 cos x Funkce kosinus nabývá hodnotu – 1 ve všech x 2k ; k Z (mrkni na graf funkce kosinus, jestliže jsi sešel z cesty) 2)
3 cos x 2
Pomocný úhel x* =
a je to přímo jedno z řešení. 6
I. x=
IV.
2k ; k Z 6
x = 2 x=
3)
3 cos x 2
Pomocný úhel zůstává stejný → x* =
. 6
2k ; k Z 6
11 2k ; k Z 6
II.
III.
x= x=
2k ; k Z 6
x =
5 2k ; k Z 6
2k ; k Z 6
7 x = 2k ; k Z 6
Shrneme-li všechny dosažené výsledky a trochu je seřadíme, dostáváme:
2k ; k Z 6 11 x5 2k ; k Z 6
x1 2k ; k Z
x2
7 x 4 2k ; k Z 6
5 x3 2k ; k Z 6
Všechny do jednoho zápisu sloučit nelze, lze však sloučit x2 s x4 a x3 s x5.
x1 2k ; k Z
x2
k ; k Z 6
5 x3 k ; k Z 6
Jak je vidět na obrázku, rozestupy červených průsečíků jsou pravidelné a rovny 2π. Rozestupy černých resp. modrých průsečíků jsou taktéž pravidelné, ovšem rovny π.
ROZKLAD NA SOUČIN h) 2 sin x cos 5 x 2 sin x Řešení: Substituce není možná. Nahradíme-li např. sin x = y, co pak bude cos 5x? Ví bůh. Takže jinak. Upravíme rovnici tak, aby vpravo zůstala nula.
2 sin x cos 5 x 2 sin x 0 Nyní pomocí vytýkání upravíme rovnici do součinového tvaru. sin x 2 cos 5 x 2 0
Levá strana rovnice obsahuje součin dvou výrazů a ten se rovná nule. To znamená, že buď sin x = 0 nebo závorka = 0. Tímto získáme dvě rovnice, které jsou snadno řešitelné s využitím předchozích zkušeností. 1) sin x = 0 Tohle nemá cenu nijak komentovat, řešení je x1 k ; k Z . Rovnou jsem tam šoupnul index, jelikož věřím, že řešení bude víc. No, uvidíme. 2) 2cos 5x – 2 = 0
2 2 2 cos y 2
cos 5 x
Zavedeme substituci y = 5x.
Dostali jsme rovnici ve tvaru f (y) = c, kde c R . Kosinus je kladný v I. a IV. kvadrantu, pomocný úhel y* = bude součástí řešení. Perioda je rovna 2π. 4 I. y
IV.
2k ; k Z 4
y 2
2k ; k Z 4
7 y 2k ; k Z 4
Zpátky k původní proměnné. I.
IV.
2k ; k Z /:5 4 2 x2 k ; k Z 20 5
7 5 x 2k ; k Z /:5 4 7 2 x3 k ; k Z 20 5
5x
Opětovně jsem rovnou indexoval a barvil na žluto, výsledky totiž nelze sloučit do jediného zápisu. O tom se koneckonců přesvědčíme i na následujícím obrázku.
Koukám, že obrázky jsou čím dál větší „brutus“. Každopádně modré průsečíky odpovídají kořenům x1, zelené kořenům x2 a červené kořenům x3. Rozestupy modrých průsečíků jsou π, 2 rozestupy zelených resp. červených průsečíků jsou . 5 i) 3 cos xtg 2 x 3 cos x 0
Proč mi to ten tangens píše pořád kurzívou?
Řešení: Nejprve „zatkneme“ cos x před závorku.
Opět tu máme součin dvou výrazů roven nule.
cos x 3tg 2 x 3 0
1) cos x = 0 No comment, buddy! x1
k ; k Z 2
2) 3tg 2 x 3 0
tg 2 x
3 3
Pomocný úhel y*
Zavedeme substituci y = 2x a dostaneme rovnici: tgy
, perioda je rovna π. 6
II. y
IV.
k ; k Z 6
5 y k ; k Z 6
Zpět k původní proměnné.
y 2 y
k ; k Z 6
11 k ; k Z 6
3 . 3
II. 5 2 x k ; k Z /:2 6 5 x2 k ; k Z 12 2
IV. 11 k ; k Z /:2 6 11 x k; k Z 12 2
2x
Opět jsem si dovolil rovnou indexovat a žlutit, pozorný čtenář jistě tuší proč. Zbývá obrázek. Žluté průsečíky funkce s osou x reprezentují kořeny x1 a „skáčou po pí“, červené průsečíky reprezentují kořeny x2 a „skáčou po pí půl“.
UŽITÍ ZÁKLADNÍCH GONIOMETRICKÝCH VZORCŮ Tato kapitola bude pro mé současné žactvo ve většině případů trochu nad rámec, ale kdo ví, třeba se to bude jednou hodit. Tož tak. Existuje celá řada goniometrických vzorců a my si ukážeme jen užití několika z nich. Taktéž není třeba si je všechny pamatovat, stačí je umět rozpoznat a dohledat. Začneme dvěma nejjednoduššími, které se rozhodně vyplatí znát. sin2 x + cos2 x = 1, x R tg x cotg x = 1, x R
i) ii)
(plyne z Pythagorovy věty) (plyne přímo z definicí obou funkcí)
j) 2 cos 2 x 3 3 sin x Řešení: Ze vzorce i) plyne: cos2 x = 1 – sin2 x. Výraz 1 – sin2 x tedy můžeme dosadit do rovnice za cos2 x. Dostaneme:
2 1 sin 2 x 3 3 sin x
Tohle už je typická rovnice na užití substituce (2. typu). SUBST. : y sin x
2 1 y 2 3 3y 2y 2 3y 1 0 → D = 1 →
D 1
→ y1, 2
3 1 4
→
1 y 1; 2
Můžeme přejít k původní proměnné. 3 1) sin x = –1 → x1 2k ; k Z 2
2) sin x = –
1 2
7 11 → x 2 2k ; k Z , x3 2k ; k Z 6 6
Obrázek vytvořte sami, mně už se nechce. Beztak to mám dobře.
k) tg 2 x 3 cot g 2 x 4 0
Zas ta kurzíva! A ten kotangens je doslova k nekoukání!
Řešení: Ze vzorce ii) plyne: cot gx
tg 2 x
y
3 4 0 tg 2 x
1 . Tento fakt aplikujeme na naši rovnici. Dostaneme: tgx 2
SUBST. : y tg x
3 4 0 → y2 – 4y + 3 = 0 → y 1; 3 y
Přejdeme zpět k proměnné x.
1) tg2 x = 1 → tg x = 1 Nachystáme všechny kvadranty. Pomocný úhel x* =
a je to součást řešení. Perioda funkce 4
tangens je rovna π. I. x
k 4
II.
III.
IV.
3 x k 4
5 x k 4
7 x k 4
Toto všechno lze shrnout do jednoho zápisu: x1
k; kZ 4 2
2) tg2 x = 3 → tg x = 3 Nachystáme znovu všechny kvadranty. Pomocný úhel x* =
a je to součást řešení. Perioda 3
zůstává stejná. I.
II.
III.
IV.
x k 3
2 x k 3
4 x k 3
5 x k 3
Toto lze pro změnu shrnout do dvou zápisů: x 2
2 k ; k Z , x3 k ; k Z . 3 3
Černé kuličky odpovídají kořenům x1 a skáčou po pí půl, modré kuličky odpovídají kořenům x2 a skáčou po pí a zelené kuličky odpovídají kořenům x3 a skáčou také po pí. Sakra, úplně jsem teď dostal chuť zahrát si kuličky. A s duhovkama! l) sin x 3 cos x 1 Řešení: Ze vzorce i) plyne: cos2 x = 1 – sin2 x. To ovšem znamená, že rovnici budeme muset umocnit. Nejdříve však odečteme ten sinus na druhou stranu, jinak by to bylo „vo hubu“. 3 cos x 1 sin x Nyní rovnici umocníme (vpravo podle vzorce (a – b)2). Nesmíme při tom zapomenout, že provádíme neekvivalentní úpravu rovnice, a proto bude nutné na závěr provést ZKOUŠKU!!
2
3 cos 2 x 1 sin x
3 cos 2 x 1 2 sin x sin 2 x 31 sin 2 x 1 2 sin x sin 2 x 31 y 2 1 2 y y 2
Použijeme větu i). A teď pryč s těmi siny, takže SUBST. : y sin x . Dostali jsme jednoduchou kvadratickou rovnici.
1 D 3 → y ; 1 2 1) sin x = 1 → x1 2k ; k Z 2 1 7 11 2) sin x = – → x 2 2k ; k Z , x3 2k ; k Z 2 6 6 D=9 →
ZK: Kořeny postupně dosadíme do původní rovnice. x1
2k ; k Z 2
L = sin 2k 3 cos 2k 1 3 0 1 2 2 P=1 L=P A kořen jsem mohl zažlutit.
7 x 2 2k ; k Z 6
1 3 1 3 7 7 2 L = sin 2k 3 cos 2k 3 2 2 2 6 6 2 P=1 L≠P Tento kořen neprošel. 11 2k ; k Z 6 1 3 1 3 11 11 L = sin 2k 3 cos 2k 3 1 2 2 2 2 6 6 P=1 L=P Tento kořen prošel (upravil jsem mu rovnou index z 3 na 2). x2
Jak je vidět na obrázku, rozestupy žlutých i červených průsečíků jsou rovny 2π. Jedničku na pravé straně rovnice reprezentuje konstantní funkce y = 1.
sin x y sin x cos y sin y cos x , x R, y R cos x y cos x cos y sin x sin y , x R, y R
iii) součtové vzorce
3 m) sin x sin x 3 2 Řešení:
. 3 1 3 cos ; sin 3 2 3 2
Použijeme první ze součtových vzorců, x zůstává, y =
sin cos x 3 3 sin x 3 cos x 3 sin x 2 2 2 3 sin x 3 cos x 3 2 2 2 3 sin x 3 cos x 3 3 sin x cos x 1 3 sin x 1 cos x 3 sin 2 x 1 2 cos x cos 2 x 31 cos 2 x 1 2 cos x cos 2 x 31 y 2 1 2 y y 2 sin x sin x cos
3 2 Sečteme siny.
Násobíme dvěma. Vydělíme číslem
3 , uznáme-li za vhodné.
Nyní rovnici umocníme a pak použijeme vzorec i). sin 2 x 1 cos 2 x SUBST. : y cos x Kvadratická rovnice.
1 y ; 1 2 1) cos x = –1 → x1 2k ; k Z 1 5 2) cos x = → x 2 2k ; k Z , x3 2k ; k Z 2 3 3 D=9 →
D 3
→
ZKOUŠKA OPĚT NUTNÁ!
x1 2k ; k Z
x2
2k ; k Z 3
3 3 L = sin 2k sin 2k = 0 3 2 2 3 P= 2 L=P A kořen jsem zažlutil. 3 3 L = sin 2k sin 2k = 3 2 2 3 3 3 3 P= 2 L≠P Tento kořen neprošel.
5 x 2 2k ; k Z 3
3 3 5 5 L = sin 2k sin 2k = 0 3 2 2 3 3 3 P= 2 L=P Kořen OK, upravil jsem mu index z 3 na 2.
iv) dvojnásobný úhel
sin 2 x 2 sin x cos x ; x R cos 2 x cos 2 x sin 2 x , x R (oba vzorce přímo vyplývají ze součtových vzorců)
cos 2 x 1 n) tg x cot g 2 x sin 2 x 2 Pěkný příklad. Vybral jsem ho nejen kvůli výrazu cos 2x na pravé straně rovnice, ale i kvůli výrazu tg x na straně levé. Jak už jsem uvedl v úvodu tohoto pojednání, při řešení 2 goniometrických rovnic je znalost průběhu základních goniometrických funkcí naprosto nezbytná. Jak jinak bych totiž mohl vědět, že tg x = – cotg x? Ověřte sami. 2 Řešení: Rovnici nejprve přepíšeme. Zbavíme se tak jedné nepohodlné goniometrické funkce. cos 2 x 1 Nyní napravo použijeme druhý ze vzorců iv). sin 2 x cos 2 x sin 2 x 1 cot gx cot g 2 x Provedeme pár drobných úprav pravé strany. sin 2 x cos 2 x sin 2 x sin 2 x cos 2 x cot gx cot g 2 x Využili jsme vzorce i). sin 2 x cot gx cot g 2 x
2 sin 2 x cot gx cot g x sin 2 x 2 cot gx cot g x 2 y y 2 2 2
D=9 →
D 3
→
Krátíme. SUBST. : y cot gx
Opětovně kvadratická rovnice.
y 1; 2
k ; k Z 4 2) cotg x = 2 Tento kořen raději rozeberu. 1) cotg x = 1 → x1
1 Je-li cotg x = 2 , pak z věty ii) plyne tg x . Tangens je záporný ve II. a IV. kvadrantu, 2 perioda je rovna π, pomocný úhel x* = 0,464 rad.
II. x 0,464 k ; k Z x 2,678 k ; k Z
IV. x 2 0,464 k ; k Z x 5,819 k ; k Z
Oba zápisy lze sloučit do jednoho, takže x 2 2,678 k ; k Z .
Pozn. Funkce f2 není definovaná pro všechna x k ; k Z . S tím má můj digitální oblíbenec jak tak koukám trochu problémy. v) součet a rozdíl funkcí
x y x y cos ; x R 2 2 x y x y sin x sin y 2 cos sin ; xR 2 2 x y x y cos x cos y 2 cos cos ; xR 2 2 x y x y cos x cos y 2 sin sin ; xR 2 2 sin x sin y 2 sin
o) sin x sin 2 x sin 3 x 0 Řešení: Na krajní členy levé strany rovnice použijeme první z vět v), takže x zůstává, y = 3x. x 3x x 3x 2 sin cos sin 2 x 0 Hm, ten mínus se mi tam nelíbí. Tak jinak, 2 2 x = 3x, y = x. 3x x 3x x 2 sin cos sin 2 x 0 Gut. 2 2 4x 2x 2 sin cos sin 2 x 0 2 2 Vytkneme sin 2x před závorku. 2 sin 2 x cos x sin 2 x 0 sin 2 x 2 cos x 1 0 Dostali jsme rovnici v součinovém tvaru. To už tu bylo, takže pohoda jahoda. 1) sin 2 x 0 → 2 x k ; k Z
2) 2 cos x 1 0 → cos x
1 2
→ x1
k; k Z 2
2 4 → x 2 2k ; k Z , x3 2k ; k Z 3 3
Jak je vidět na obrázku, rozestupy zelených i červených průsečíků jsou rovny 2π, kdežto černé průsečíky „skáčou po pí půl“. vi) poloviční úhel
p)
3 sin
x sin x 0 2
sin
x 1 cos x ; xR 2 2
cos
x 1 cos x ; xR 2 2
Řešení: Tato rovnice se dá vyřešit i elegantněji a bez použití vzorců vi), ale to je fuk. Nejprve odečteme sin x na druhou stranu a pak rovnici umocníme. x 3 sin sin x 2 2 2 x x 1 cos x 2 3 sin sin x Z první věty vi) plyne: sin 2 2 2 1 cos x sin 2 x 2 1 cos x 3 1 cos 2 x 2 1 y 3 1 y2 2
Z věty i) plyne sin 2 x 1 cos 2 x
2y 2 3y 1 0
D=1 →
3
SUBST. : y cos x
Kvadratická rovnice. Po úpravách vypadá takto:
D 1
→
y 1;
1 2
1) cos x = 1 → x1 2k ; k Z 1 5 2) cos x = → x 2 2k ; k Z , x3 2k ; k Z 2 3 3 ZKOUŠKA NUTNÁ!!
x1 2k ; k Z
L=
2k 3 sin sin 2k 3 0 0 0 2
P=0 L=P A kořen jsem zažlutil. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- x 2 2k ; k Z 3 2k sin 2k = 3 sin k 3 L = 3 sin 3 2 3 6 2 Tady je třeba to trochu rozvést. 3 3 3 Je-li k = 0, dostaneme L = 3 sin 3≠P 2 2 6 2 Je-li k = 1, dostaneme L =
3 3 3 3 7 3 sin 3 sin 0= P 2 2 6 2 6 2
Je-li k = 2, pak L ≠ P. Je-li k = 3, pak L = P. ... I naprostý matematický diletant jistě pochopil, že číslo k musí být liché, jinak zkouška nevyjde. Lichá čísla lze zapsat mnoha způsoby, např. výrazem 2k 1, k Z . Platí tedy:
7 2 2k 1; k Z → x 2 4k 2 ; k Z → x 2 4k ; k Z 3 3 3 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------5 x3 2k ; k Z 3 5 2k sin 5 2k = 3 sin 5 k 3 L = 3 sin 3 2 3 6 2 x2
Opět to celé rozvedeme. 3 3 3 5 Je-li k = 0, dostaneme L = 3 sin 0= P 2 2 6 2 3 3 5 11 Je-li k = 1, dostaneme L = 3 sin 3 sin 3≠P 6 2 6 2 Je-li k = 2, pak L = P. Je-li k = 3, pak L ≠ P. ... Aby zkouška vyšla, číslo k musí výrazem 2k , k Z . Platí tedy: 5 x3 2 2k ; k Z → x3 3
být sudé. Sudá čísla lze zapsat mnoha způsoby, např. 5 4k ; k Z 3
Obrázek tentokrát nebude a není to díky mé vrozené lenosti. Perioda 4π je příliš dlouhá, obrázek bych musel hodně zmenšit a stal by se nečitelným.
ŘEŠENÍ GONIOMETRICKÝCH ROVNIC NA INTERVALU q) Najdi všechna řešení x 3 ; rovnice
2 cos 2 x
2 1 cos x 1 0 .
Řešení: Rovnici vyřešíme jako obvykle a poté dohledám řešení z požadovaného intervalu. 2 cos 2 x
2 1 cos x 1 0
D 2 1 4 = 1 2 2y2
SUBST. : y cos x
2 1 y 1 0 2
2
2 1 = 1 2 4 2 = 1 2 2 2 4 2 = 1 2 2 2 =
2
D 1 2 y1, 2
2 1 1 2 2 2
→ y1 y2
2 1 1 2 2 2 2 1 1 2
2 2
2
2
2 2 2
2 2
1
2 2
Pozn. Při výpočtu diskriminantu jsem použil vzorec (a – b)2 = a2 – 2ab + b2, abych se vyhnul odmocnině z odmocniny.
A teď zpátky k původní proměnné. 1) 1 cos x → x 2 k ; k Z Z těchto nekonečně mnoha řešení je třeba nalézt ta, která spadají do intervalu 3 ; . Evidentně jsou to ta, která přísluší celým číslům k = 0 (x1 = 0) a k = –1 (x2 = –2π). 2)
2 3 5 cos x → II. a III. kvadrant, x 2 k ; k Z , x 2 k ; k Z 2 4 4
Opět je třeba nalézt řešení z intervalu 3 ; . Začneme prvním zápisem. 3 x 2 k ; k Z 4 3 k = 0 → x3 4 11 k = 1 → x a to už je moc. Tak pojedeme na druhou stranu. 4 3 5 k = –1 → x 4 2 4 4 3 13 k = –2 → x 4 a to už je zase málo. Přibyla tedy dvě řešení. 4 4
5 x 2 k ; k Z 4 5 k = 0 → x a to je moc. 4 5 3 k = –1 → x5 2 4 4 5 11 k = –2 → x6 4 4 4 5 19 k = –3 → x 6 a to je málo. Přibyla tedy další dvě řešení. 4 4
Závěr: Na intervalu 3 ; má rovnice šest řešení:
5 3 3 11 x ; 2 ; ; ; ; 0 ; ; 4 4 4 4
r) Najdi všechna řešení x 5 ; 0 rovnice sin 2
x 1 . 4 2
Řešení: Rovnici nejprve odmocníme. Nesmíme zapomenout na absolutní hodnotu! x 1 2 sin = Pomocný argument je a jelikož mám hodnoty kladné i záporné, 4 2 2 4 nachystáme si rovnou všechny čtyři kvadranty. I. x 2 k 4 4
II. x 3 2 k 4 4
III. x 5 2 k 4 4
IV. x 7 2 k 4 4
x 8 k
x 3 8 k
x 5 8 k
x 7 8 k
/ 4
Jak tak na to řešení koukám, skáče to po 2π, takže všechny čtyři zápisy sloučíme do jednoho: např. x 2 k Na závěr najdeme všechna řešení z požadovaného intervalu. Jsou dvě (pro k = –1 a k = –2).
x 3 ;
Obrázek je na další straně.
Pozn. Po dopsání tohoto textu jsem si s hrůzou uvědomil, že na všech obrázcích chybí popisky souřadnicových os. Takže pro všechny detailisty, šťouraly a kosmické bytosti dodávám: Vodorovná osa je x, svislá osa je y. Platí pro všechny obrázky v tomto textu. Pozn. Ve svých zápisech, které si vedu již hezkou řádku let, jsem objevil i tento, jenž pochází z období, kdy jsem se připravoval na maturitní zkoušku z matematiky: 20. 4. 1996 ... Absolutně nechápu, co mám dělat s touhle rovnicí: sin x sin 2 x sin 3x sin 4 x 0 . ...
Trumfni mě !!!
