Vybrané metody řešení soustavy rovnic. Podmínky rovnováhy či ekvivalence vedou často na soustavu rovnic, např

Vybrané metody řešení soustavy rovnic •Podmínky rovnováhy či ekvivalence vedou často na soustavu rovnic, např. O

[

: 42 R 11 R2 0,8 R 3=0 : −80 R1−1 R 20,8 R 3=0 : −21 R 12 R 2 0 R 3=0

]{ } { }

2 1 0,8 R1 −4 0 −1 0,8 R 2 = 8 1 2 0 R3 2

  A

A x=b

x

⇒

b

x=A−1 b ,

A −1 A=A A−1 =I ,

A−1 je inverzní matice

Copyright (c) 2007-2008 Vít Šmilauer Czech Technical University in Prague, Faculty of Civil Engineering, Department of Mechanics, Czech Republic Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.2 or any later version published by the Free Software Foundation; with no Invariant Sections, no Front-Cover Texts, and no Back-Cover Texts. A copy of the license is included in the section entitled "GNU Free Documentation License" found at http://www.gnu.org/licenses/

1

1. Výpočet A­1 ­ excel, openoffice, gnumeric, matlab, lepší kalkulačka ....

{ }[

]{ } { }

R1 1 −1 −1 −4 −14 R 2 = −0,5 0,5 1 8 = 8 −0,625 1,875 1,25 2 20 R3

2. Gaussova eliminace ­ cílem je horní trojúhelníková matice

[ [ [

∣ ]{ } ∣] [ ∣ ]

R1 2 1 0,8 −4 0 −1 0,8 8 ≈ R 2 prohodit 2. a 3. řádek 1 2 0 2 R3 2 1 0,8 −4 1 2 0 2 0 −1 0,8 8

∣]

2 1 0,8 −4 − ⋅1. ř = 0 1,5 −0,4 4 − ⋅1. ř  0 −1 0,8 8 1 2 0 2

1  1,5 ⋅2. ř 

=

2 1 0,8 −4 0 1,5 −0,4 4 0 0 0,5333 10,666

•výpočtem a dosazováním odspodu obdržíme postupně řešení neznámých

2

3. Cramerovo pravidlo (výhodné pro soustavy do 3 neznámých včetně)

x i=Di / D • Kde xi je neznámá, D determinant matice A, Di determinant matice A po  nahrazení jejího i­tého sloupce vektorem b b

∣

∣∣

∣

−4 1 0,8 2 1 0,8 R1 = 8 −1 0,8 / 0 −1 0,8 = 2 2 0 1 2 0

[ −4 ⋅−1⋅01⋅0,8⋅20,8⋅8⋅2−−4 ⋅0,8⋅2−1⋅8⋅0−0,8⋅−1⋅2 ] / [ 2⋅−1⋅01⋅0,8⋅10,8⋅0⋅2−2⋅0,8⋅2−1⋅0⋅0−0,8⋅−1⋅1 ]= 22,4/ −1,6 =−14 kN 4. Metoda dosazovací ­ často chyby ve výpočtu, přenos chyb při dosazování

3

Obecná soustava sil v rovině •Soustavou rozumíme určitou skupinu sil (síly od zatížení, reakce, vybrané síly...) •Všechny síly soustavy leží v jedné rovině •Všechny momenty jsou kolmé na tuto rovinu (moment lze nahradit dvojicí sil) •Často volíme souřadný systém x­y, totožný s rovinou sil •Platí všechny podmínky pro prostor (výslednice, rovnováha, ekvivalence) • Složky Fz, My a Mz jsou nulové ­ zjednodušení výpočtu

Zavěšený most přes Odru na D47, foto W. Ullmann

4

Výsledný účinek soustavy sil a momentů v rovině •Před řešením úlohy rovnováhy či ekvivalence provedeme redukci známých sil  Fi a momentů Mj k danému bodu, obvykle počátku O. Tím obdržíme jedinou  výslednici Fr  a jediný moment MO k danému bodu (počátku) y

Fi

y Mj

Fr

ri O

M0

x

ψ O x

z n

Fr a MO ­ bivektor,  =90o

 Fr= ∑  Fi i=1 n

m

n

j=1

i =1

 M O= ∑  M ∑  M j= ∑  ri×  F i   Mj i=1

F Oi

•Bivektorem lze nahradit jakoukoli soustavu sil a momentů

5

•Složky sil

•Složky momentů

n

n

m

i=1 n

j=1 m

i=1 n

j=1 m

i=1

j=1

M Ox= ∑  r iy F iz −r iz F iy   ∑ M jx

F rx = ∑ F ix=F i cos  i i =1 n

F ry = ∑ F iy=F i cos i

M Oy= ∑  r iz F ix −r ix Fiz   ∑ M jy

F rz= ∑ F iz=F i cos i identita

M Oz = ∑  r ix F iy −r iy Fix   ∑ M jz

i =1 n i=1

•Velikost síly F r =  F F F 2 rx

2 ry

identita identita

•Velikost momentu M O=  M 2OxM 2OyM 2Oz =M Oz

2 rz

•Úhly

•Úhly F rx

F ry

cos  r = F , cos r =sin r = F r

F rz cos  r = F r

0

0

cos =

r

F rx MOxF ry MOy F rz M Oz •Úhel  cos = =0 F r MO

MOx MO

0 1 MOz , cos = , cos = M M MOy O

O

6

Nahrazení rovinné soustavy jedinou silou •Každý bivektor a každou soustavu sil v rovině lze nahradit jedinou silou (může  být nulová ­ rovnováha, čistý otáčivý účinek soustavy) • Při řešení v prostoru by taková rovinná soustava odpovídala šroubu, kde MC = 0 •Rovnice paprsku výslednice

M O(z)=x F ry−y F rx

F ry MO y= x− F rx F rx

y

y

Fr

Fr O O z

M0

MO − F rx

x

x MO F ry

7

•Kromě obecných případů redukce soustavy k O mohou nastat tři specifické

 M          výsledným účinkem je síla F 1.    působící na paprsku  F r ≠ 0, r O=0 procházející počátkem O O

Výslednice zatížení

 M ≠0    výsledným účinkem je dvojice sil v rovině x­y  2.    F r = 0, O otáčející momentem MO O'

O

 M O=0       soustava sil a momentů je v rovnováze 3.     F r = 0, O 8

Obecná soustava sil v rovině ­ úloha rovnováhy • Prostorová soustava sil {F1, ..., Fn} a momentů {M1, ..., Mm} je v rovnováze se  silami {R1, ..., Ro} je­li výsledný účinek všech sil a všech momentů nulový n

o

i=1

j=1

n

∑ F i ∑  R j= 0 silové (směrové) podmínky

F Oi

o

R Oj

m

∑ M ∑  M ∑ M k=  0

i =1

j=1

k =1

momentové podmínky

: ∑ F ix ∑ R jx =0

: ∑ M FOix ∑ M ROjx ∑ M kx=0

: ∑ F iy ∑ R jy =0

: ∑ M Oiy ∑ M Ojy ∑ M ky=0

: ∑ F iz∑ R jz=0 O

F

O

R

F R : ∑ M Oiz ∑ M Ojz ∑ M kz =0

: ∑ x i F iy −y i F ix ∑  x j R jy −y j R jx ∑ M kz =0

9

•Celkem k dispozici 3 statické podmínky = 3 neznámé, jednoznačné řešení  pokud determinant soustavy ≠ 0 •Momentové podmínky rovnováhy lze volit k libovolnému bodu • Pro úlohu ekvivalence postačí vložit “­” před neznámé členy R a MR a tím je  převést na pravou stranu všech rovnic • Předpokládejme, že MA = 0 i MB = 0 M A =∑ r Ai × F i∑ r Aj × R j=0 r AB r B =r A , r B =r A −r AB M B =∑ r Ai−r AB ×  F i ∑ r Aj−r AB × R j =0 M B=M A −r AB 0

0

Fi

y

× ∑  F i∑  R j =0



Rj A

rB B

rA rAB

x

silová podmínka rovnováhy

obecně splněno pouze pokud r AB ⊥  ∑  F i∑  Rj

• Dvě momentové podmínky k bodu A a B tedy nahrazují jednu silovou v  kolmém směru k úsečce AB 10

•Alternativní formulace podmínek rovnováhy v rovině –

1 silová a 2 momentové

: ∑ F ix ∑ R jx =0 A B

–

: ∑ M FAi∑ M RAj∑ M k =0 F : ∑ MBi ∑ M RBj∑ M k =0

Směr nesmí být kolmý na AB

3 momentové

B

: ∑ M FAi∑ M RAj∑ M k =0 F : ∑ MBi ∑ M RBj∑ M k =0

C

F R : ∑ MCi ∑ MCj ∑ M k =0

A

Body ABC nesmí ležet na  přímce

11

Věta o rovnováze třech sil •Tři síly mohou být v rovnováze jen tehdy, tvoří­li rovinný svazek sil (průsečík  v bodě nebo v nekonečnu) •Pouze tehdy mohou splnit momentovou podmínku rovnováhy •Kterákoli z nich je výslednicí ostatních dvou s opačnou orientací • Zde pro zadanou reakci R1 a zatížení F1 vyplývá reakce R2  Složkový obrazec sil R2

R2 F1

R1

R1 F1 12

Zredukujte soustavu sil k počátku a nahraďte jedinou silou y

F2 = 150 kN 2 m M1 = 50 kNm

F1y

F1 = 100 kN F 1x=F1 cos 30 o =86,6 kN

30o

F1x

o

F 1y=F1 sin 30 =50 kN K:

O 2 m

 86,6 250 2=100 kN  O.K.

x

: F rx =F 1xF 2x =86,6−150=−64,3 kN : F ry =F 1yF 2y =500=50 kN O

: MO =M F1 M F2 M 1=2⋅50−2⋅86,62⋅15050=276,8 kNm

F r =  −64,32 50 2 =81,45 kN F rx −64,3 cos r = = =−0,78944 Fr 81,45 F ry 50 sin r = = =0,61387 F r 81,45

=142,13o

y Fr = 81,45 kN r=142,13o

O x MO= 276,8 kNm 13

•Náhrada jedinou silou 

M O=x F ry−y F rx F ry

MO

50 276,8 y= x− = x− =−0,7776 x4,305 F rx F rx −64,3 −64,3

x=0 ⇒ y0 =4,305 m y=0 ⇒ x0 =

4,305 =5,536 m 0,7776

y yO=4,305 m 3,398 m

O

xO=5,536 m

x Fr = 81,45 kN 14

Uveďte předchozí soustavu do rovnováhy reakcemi R1 a R2  y R2

R1y

1 m

O

3 m



R1 R1x x

1,5 m známé

O

[

: F rx R 1xR 2x=0 : F ry R 1yR 2y=0

⇒ −64,3R 1x0=0 ⇒ 50R1y −R2 =0

: MO M R1 M 2R =0

⇒

⇒

R 1x =64,3 kN

276,8 3⋅R1y −1⋅R1x 1,5⋅R 2 =0

]{ } { }

R1x 1 0 0 64,3 0 1 −1 ⋅ R1y = −50 −1 3 1,5 R 2 −276,8

řešení: R 1x =64,3 kN ,

R1y =−63,89 kN ,

R1 = −64,32−63,892 =90,64 kN ,

R 2=−13,89 kN =315,18 o

15

Rovinná soustava rovnoběžných sil Fr

•Paprsky všech sil jsou rovnoběžné Fi

•Násobky jednotkového vektoru f

 F i=F i f f =1⋅cos ; sin  Zesílení trámu příložkami

•Výslednice

: F rx =∑ F ix=∑ F i cos =cos  ∑ F i =F r cos  : F ry =∑ F iy=∑ F i sin =sin ∑ F i=F r sin  O

: MO =∑ M Oi =F i  x i sin −y i cos  

O

y



M O=x F ry −y F rx



f x

M0

F r =  F 2rx F 2ry =  ∑ F i 2 cos 2 sin 2 =∑ F i •Náhrada jednou silou, její paprsek určen

Fi

y

Fr f

O 16

Určete reakce na soustavě rovnoběžných sil 

cos 90 o=0, sin 90 o=1 f =0 ;1 •Možno použít podmínky rovnováhy pro O O B       a      . Lépe je však použít       a      ,  tím je automaticky splněna i kolmá  silová podmínka    . Nemusíme řešit  soustavu 2 rovnic.

y =90o

f

2 m

O

F1=6 kN F2=3 kN 2 m 2 m

x B

R1

R2

: 2 F 14 F2 −6 R 2 =0 2⋅64⋅3−6 R 2=0 ⇒ R 2=4 kN B : 2 F 4 F −6 R =0 2 1 1 2⋅34⋅6−6 R1 =0 ⇒ R 1=5 kN K: R 1R2 −F1 −F 2 =54−6−3=0 O.K. O

17

Statický střed rovinné soustavy rovnoběžných sil (těžiště) •Bod C kterým prochází výslednice této soustavy při libovolném natočení f o  •Velikost výslednice je stejná při libovolném natočení •Aby byla splněna momentová podmínka rovnováhy, musí výslednice také  procházet bodem C[xC;yC], který leží někde na paprsku výslednice O

: MO =xC  F r sin  −yC F r cos  =∑  x i F i sin  −yi F i cos      F ry

F rx

F iy

F ix

sin   x C F r −∑ x i Fi =cos   y C F r −∑ y i F i  sin   x C F r −∑ x i Fi −cos   y C F r −∑ y i F i  =0 •Rovnice bude splněna pro libovolný úhel , pokud závorky budou 0 • Výslednice tedy prochází stejným bodem C[xC;yC] při lib. natočení soustavy

x C F r −∑ x i F i =0

⇒

x C=

y C F r −∑ y i F i=0

⇒

y C=

F r =∑ F i

∑ xi F i

Fr ∑ yi Fi Fr

18

Určete vzdálenost statického středu (těžiště) od čepu závory y

f

C O 4 m

F1=0,4 kN

0,198

Fr

F2=0,05 kN x 0,5 m

F3=1 kN

y

8

C

9 0,1

•Velikost výslednice

f

F r =∑ F i=0,40,051=1,45 kN O : MO =2⋅0,4−0,25⋅0,05−0,5⋅1=0,2875 kNm ∑ xi F i −M O −0,2875 x C= = = =−0,198 m Fr Fr 1,45 Pozn. statický střed ve směru y leží na ose symetrie závory

x

19

Grafická kontrola řešení soustavy sil • V historii často používaná metoda (L. Cremona, C. Culmann) • Silové podmínky rovnováhy znamenají uzavřený vektorový obrazec sil • Momentová podmínka rovnováhy znamená uzavřenou výslednicovou čáru •Postup řešení –

K soustavě připojíme libovolnou dvojici sil ­R1 a R1

–

Zvolit lib. pól vektorového obrazce O, konstrukce vektorového obrazce sil 

–

Konstrukce výslednicové čáry. Složíme sílu ­R1 s další silou z vektorového  obrazce. V obrazci výslednicových čar zjistíme jejich průsečík. Směr a  velikost výslednice je dána z vektorového obrazce.

–

Tuto výslednici skládáme s dalšími silami z vektorového obrazce. Nakonec  přičteme sílu R1

20

Př. Ověřte graficky rovnováhu sil F1, F2, F3

Pólové paprsky  ­R1, R2, .....

­R1

F2

R1

R3 F1

­R1

F3

R2

Pól vektorového  obrazce Začátek i konec  skládání sil

F1

R1

F3 R3 F2

O

R2

Výslednicová  čára od sil ­R1,  F1, F2

Zadaná soustava sil ­ obrazec výslednicových čar  Složkový obrazec sil (vláknový obrazec) Rovnováha sil Rovnováha momentů R2 je výslednice ­R1 a F1. Velikost je určena ve složkovém obrazci sil, působiště  na paprsku v obrazci výslednicových čar 21

Otázky •Přenesená síla je úměrná ploše drátu. Jaké budou výsledné síly v pramenu a v  laně a kde budou jejich působiště ?

Řez šestipramenným lanem 6 x 19 drátů, propylenová duše

•Kolikrát se zmenší nosnost lana, přeruší­li se jeden pramen ? Kam se posune  výslednice lana ?

22

Přednášky z předmětu SM1, Stavební fakulta ČVUT v Praze Autor Vít Šmilauer Náměty, připomínky, úpravy, vylepšení zasílejte prosím na [email protected] Created 10/2007 in OpenOffice 2.3, ubuntu linux 6.06 Last update Feb 21, 2011

23