39. ZLOMKY A RACIONÁLNÍ ČÍSLA
21. 11.
Pojem zlomku Zlomek – zápis části celku a b
a je část, b je celek, zlomková čára
Každé číslo zapsané zlomkem lze vyjádřit jako číslo desetinné 7 3 Zlomková čára je dělící čára… = 7 : 10 = 0,7 = 3 : 5 = 0,6 10 5 Taková čísla, která lze vyjádřit zlomkem, nazýváme racionální čísla Ne každé desetinné číslo lze zapsat zlomkem – iracionální čísla – např. π Graficky znázorňujeme zlomky jako části čtverce, kružnice atd. Př.:
Je dobré si vždycky uvědomit, který z tvarů je nejlepší. Pro dělení na 2, 4, 6, 3,8,16 dílů jsou vhodné kružnice. Pro 2,4,9,18 je dobrý čtverec (ale zkus si nakreslit čtverec a zaznačit 2/3 a ¾ - není vidět, co je větší). Pro lichá čísla jsou nejlepší pásky a jeden dílek je např. 1 cm. Při dělení na hodně dílků je dobrý obdélník (jako čokoláda) Důležité!!! Všechny dílky rozděleného celku musí být stejně velké!!! (i když to v těch obr. není vidět, v programu Malování to nejde utrefit)
Porovnávání zlomků graficky Zlomky můžeme porovnávat, sčítat, odčítat, násobit – jsou to čísla Používáme znaménka rovnosti a nerovnosti: =, >,< Postup: Nakreslíme si zlomky – vždycky musíme použít stejný obrázek, a stejnou velikost ( u kružnice a čtverce je to v pohodě, dbát na to, když použijeme pásek). Pak se podíváme, který zlomek zabírá nejvíc místa. 6 2 2 Porovnej ; ; 8 4 3 Pásky musí být stejně dlouhé, jednotlivé části stejně velké totéž ale kružnice:
Výsledek:
2 2 6 < < 4 3 8 43.
29.11
Rovnost zlomků Hodnota zlomku se nezmění, když jeho čitatele i jmenovatele vynásobíme stejným číslem různým od nuly Když čitatele a i jmenovatele b násobíme stejným číslem m (různým id nuly, říkáme, že zlomek rozšiřujeme číslem m. a ma 1 3.1 5.1 = Pr . : = = = .. b mb 2 3.2 5.2 2 číslem 5 3 2 2.5 10 = = 3 3.5 15
Př. Rozšiř zlomek Řešení:
2.5 se nepíše, počítá se to přímo, ale zpočátku to povoluji 3.5 2 2.2 4 POZOR!!! Rozšiřování zlomku = násobení čitatele i jmenovatele stejným číslem = = 5 2.5 10 2 2.2 4 Násobení zlomku (ještě nebereme) = vynásobení jenom čitatele = = 5 5 5 Jde o dva různé úkony, dva různé výsledky Pozn. ten mezivýpočet
Rozšiřování zlomku se používá pro sčítání a porovnávání zlomků.
Krácení zlomků Když čitatel i jmenovatel vydělíme stejným číslem, říkáme, že zlomek krátíme. 4 2 1 = = 8 4 2 Když už neexistuje číslo, kterým můžeme beze zbytku krátit čitatel a jmenovatel, říkáme, že zlomek je v základním tvaru. Př. (nakreslit):
Převod zlomků na desetinné číslo Zlomek je jiný zápis dělení. Místo znaménka „:“ používáme zlomkovou čáru 2 4 Způsoby převodu zlomku na desetinné číslo 1. zp.: rozšíříme zlomek tak, aby jmenovatel byl 10, 100 ,1000 2 2.2 4 = = = 0,4 5 2.5 10 2. zp.: použijeme dělení 2 : 5 = 0,4 2:4 =
Dodělat postupně všechny příklady, které jsou v sešitě + domácí úkoly
Zlomky - přehled Zlomek
a vyjadřuje podíl dvou čísel a:b b
př.
2 = 0,4 5
2 : 5 = 0,4
a - čitatel, b jmenovatel; b ≠ 0; Základní operace se zlomky operace a c rovnost = ⇔ a.d = b.c zlomků b d
a c f ⇔ a .d f b.c b d
př. 1 4 = protože 1.8 = 2.4 2 8 4 4:4 1 = = 8 8:4 2 1 4 p protože 1.5 p 4.3 3 5
pozn. jednodušší - upravit oba zlomky na základní tvar
při porovnávání můžeme převést také na desetinné číslo
rozšiřováním
a a .k = ;k≠0 b b. k a .k a = b. k b
4 4:4 1 = = 8 8:4 2
a c a .d + b.c + = b d bd a c a .d − b.c − = b d bd a c a .c . = b d b.d
1 2 1.5 + 2.3 5 + 6 11 + = = = 3 5 3.5 15 15 1 2 1.5 − 2.3 5 − 6 1 − = = =− 3 5 3.5 15 15 1 2 1.2 2 . = = 3 5 3.5 15
rozšíření zlomku číslem krácení zlomku číslem sčítání, odčítání zlomků
1.5 5 4.3 12 = ; = 3.5 15 5.3 15 1 1.5 5 = = 3 3.5 15
násobení zlomků
a
5 12 p 15 15
používáme při sčítání zlomků, když chceme převést zlomky na společný jmenovatel vždy se snažíme upravit zlomek na základní tvar! Jednodušší počítání při hledání společného jmenovatele používáme znalosti o nejmenším společném násobku při násobení zlomků lze krátit do kříže - jednodušší, míň chyb 15 12 3 4 12 . = . = 3 5 1 1 1
dělení zlomků
a c a d a.d : = . = b d b c b.c
Pojmy desetinný zlomek
1 2 1 5 1.5 5 : = . = = 3 5 3 2 3.2 6
ve jmenovateli mocnina 10 tzn. 10, 100, 1000, 10 000 atd
dělení převedeme na násobení převrácením druhého zlomku, krátit můžeme až v násobení!!!
základní tvar
čitatel a jmenovatel jsou čísla nesoudělná
1 5 ; 10 1000 1 3 = 1 : 2 = 1 . 5 = 1.5 = 5 2 3 5 3 2 3.2 6 5 6 3 5 1 = ; = 8 4 10 2
smíšené číslo
zkrácený zápis součtu přirozeného čísla a zlomku
10 1 =1 9 9
převrácené číslo k číslu
a b převrácené číslo b a
převrácené číslo k
opačné číslo k číslu
a a opačné číslo − b b
složený zlomek
a b = a : c = a . d = ad c b d b c bc d
3 5 je 5 3 součin těchto dvou čísel je 1 3 5 . =1 5 3 3 3 opačné číslo k je − 8 8 součet čísla a k němu opačného je nula 3 3 + − =0 8 8
Racionální čísla 1 2
Racionální číslo je každé číslo, které lze zapsat zlomkem např. 0,5 = ; 0, 3 =
1 3
Přehled číselných oborů Reálná čísla - všechna čísla, která dokážeme znázornit (čokoláda, teploměr) ozn. R Celá čísla -1,-2,0,3,5 ozn. Z
přirozená čísla 1,2,3 .. ozn. N
Racionální čísla 0,5; 1/2; 3,333 ozn. Q
Irracionální čísla
Imaginární čísla - vymyšlená matematiky a fyziky - učivo SŠ
2; π ; e ozn. I
pozn. Každé přirozené číslo i zároveň celé, racionální, reálné. Iracionální čísla nelze zapsat zlomkem, např. Ludolfovo (π) nebo Eulerovo číslo (e). Obě jsou velmi zajímavé, http://www.quido.cz/objevy/pi.htm; http://www.iq6000.web4u.cz/ptr/ptr_cz/e.htm; http://archiv.neviditelnypes.zpravy.cz/veda/clanky/2406_48_0_0.html Převod zlomku na desetinné číslo: Rozšířením zlomku na zlomek desetinný
Dělením
3 3.25 75 = = = 0,75 4 100 100
3,00 : 4 = 0,75 20 0
pozn. Tímto způsobem lze převádět zlomky, které mají ve jmenovateli: 2 (2.5=10) 4 (25.4=100) 5(2.5=10) 8 (8.125=1000) 25 (25.4=100) 125(125.8=1000) a jejich násobky 10,100 atd, např. 40, 800, 50
1) zbytek vyjde 0 - desetinný rozvoj je ukončený - racionální číslo je desetinné 3 21 = 0,75; = 0,7 4 30
2) nevyjde zbytek 0, opakuje se určitý nenulový zbytek - desetinný rozvoj je neukončený a periodický - racionální číslo není desetinné 1,000 : 3 = 0,333... 10 10
pak nad opakující se číslici píšeme čárku a skupině opakujících se čísel říkáme perioda 1 16 = 0, 3; = 1,45454545.. = 1, 45 3 11
Převod desetinného čísla na zlomek 0,1 desetiny př. 6,35 =
1 10
0,01 setiny
635 127 7 = =6 100 20 20
1 100
0,001 tisíciny
1 1000
převedeme na zlomek, pak upravíme na základní tvar
Všechny výsledky z příkladů na racionální čísla budou v základním tvaru 1. Zapiš desetinná čísla zlomky. Zkrať na základní tvar, použij smíšená čísla. (tohle musí umět každý) a) 0,8 b) 4,08 c) 6,35 d) 1,1 2. Zapiš daná čísla čisly desetinnými: (trojkaři určitě, komu stačí 4, tak aspoň náznak řešení) 1 12 2 a) b) c) 2 25 8
d)
5 3
3. Vypočítej (trojkaři s chybami, princip znát; jedničkáři, dvojkaři bez zaváhání) 1 1 5 1 a) 1,3 + b) 0,4 + c) 0,3. d) 0,9 : 6 4 4 2 4. Vypočítej (jedničkáři bez chyb, dvojkaři s chybou, trojkaři aspoň část úprav) 1 1 2 3 1 5 2 b) 2 − 2,5 : + (1,2 ) a) + . − 2 3 5 4 3 6 5. Uprav složený zlomek 1 2 − 5 3 −4
1 všichni 2 všichni 3 trojkaři s chybami jedničkáři dvojkaři bez zaváhání 4 jedničkáři, dvojkaři s drobnou chybou trojkaři aspoň správně závorky
5 úprava jmenovatele a čitetele - trojkaři, úprava, drobná chyba dvojkaři, jedničkáři bez chyb
A Zapiš desetinná čísla zlomky. Zkrať na základní tvar, použij smíšená čísla. a) 1,2 b) 15,32 Zapiš daná čísla číslem desetinným 11 23 7 a) b) c) 25 16 6 Vypočítej 4 5 3 a) − + b) − 8. − 5 6 16 2 4 30 c) 0,5. − d) − .3 5 7 41 Vypočítej 1 1 3 a) − . 2 3 8 3 3 5 b) − 1 . 0,5 + 4 11 6 2 2 14 17 5 15 c) 1 + 1 − − : . 5 3 15 15 3 25 Zjednoduš složené zlomky 1 2 2 1 + −1 5 a) 2 7 b) 9 3 4 2+ 2,1 − 4 15
B Zapiš desetinná čísla zlomky. Zkrať na základní tvar, použij smíšená čísla. a) 5,8 b) 12,45 Zapiš daná čísla číslem desetinným 8 35 14 a) b) c) 20 14 9 Vypočítej 1 3 2 a) + − b) − 15. − 3 4 5 1 8 7 c) 0,4. d) − 7 . 4 29 16 Vypočítej 45 4 1 a) . + 15 9 5 1 2 3 b) + 1 . 0,6 − 7 8 12 5 13 2 1 2 c) 3 : − 6 − . 0,1 + 7 14 5 3 2 Zjednoduš složené zlomky 2 1 2 − 0,7 + 1 5 a) 7 2 b) 3 2 1 3− + 4 3 5
Pracovní list1: zlomky (pokračování pošlu v noci) Čísla odpovídají číslům v přehledu tzn. 1 . vyjádření zlomku tady se váže k 1. v přehledu
1. Vyjádření zlomku Zkrať zlomek na základní tvar
Zadání: Př.: Řešení:
Zkrať zlomek na základní tvar a)
6 124 ;b) ; 30 356 najdeme společný dělitel 6 a 30 D(6;30)=6 a tím dělíme čitatel i jmenovatel
a)
6 6:6 1 = = 30 30 : 6 5
b)
124 124 : 2 62 62 : 2 31 = = = = 356 356 : 2 128 128 : 2 64 124 124 : 4 31 = = 356 356 : 4 64
2 3 4 5, resp. 10 6
nechce se mi hledat D, takže dělím nějakým spol. dělitelem – např. 124 i 356 jsou sudá, takže dělím 2 Taky jsou dělitelné 4, můžu je vydělit i 4, a dělím tak dlouho, dokud nemám základní tvar Tady lze úspěšně použít kriteria dělitelnosti
Kriteria dělitelnosti sudé ciferný součet dělitelný 3 (sečtu číslice) poslední dvojčíslí končí 0,5; resp. 0 sudé + dělitelné 3
Úlohy 1.1 Uprav zlomky na základní tvar:
6 4 6 36 27 75 6 24 15 12 ; ; ; ; ; ; ; ; ; 8 18 30 72 45 100 16 72 3 12
2. Převod na desetinné číslo Zadání: Př.: Řešení:
Převeď na desetinné číslo Zapiš zlomek desetinným číslem 23 11 5 Zapiš číslo číslem desetinným a) ;b) ; c) 16 25 3 23 23.625 14375 a) = = = 1,4375 16 16.625 10000 b)
c)
Zapiš dané číslo číslem desetinným Zapiš dané číslo jako číslo s periodou atd.
16.625=10 000 (tohle je ale dost velké číslo, takové na písemce nebudou) je to desetinný zlomek
11 11.4 44 = = = 0,44 25 25.4 100
v přehledu ve 2 u desetinných zlomků jsou dvojice – 8.125 zase desetinný zlomek
5 = 1, 6 3
není desetinné, 3*nějaké číslo nikdy nedá mocninu deseti – takže dělíme
5,00:3 = 1,66 20 20 2
Úlohy 2.1. Zapiš dané číslo číslem desetinným (hledat násobek jmenovatele tak, aby byla dole mocnina 10) 1 1 3 1 32 5 3 12 300 27 ; ; ; ; ; ; ; ; ; 2 8 5 25 40 16 8 25 125 12 2.2 Zapiš dané číslo jako číslo s periodou (takže dělit) 5 23 23 22 7 14 16 17 4 ; ; ; ; ; ; ; ; 3 9 6 15 6 9 11 12 9
3. Převod desetinného čísla na zlomek Zadání:
Zapiš des. číslo zlomkem
spíš se ale vyskytuje v součtech, kde jsou zlomky a des. čísla, pak je třeba des. číslo převést na zlomek.
Př.:
Zapiš desetinná čísla zlomky. Zkrať na základní tvar, použij smíšená čísla. a) 0,8 b) 4,08 c) 6,35 d) 1,1
Řešení:
8 4 = 10 5 408 204 102 2 4,08 = = = =4 ¨ 100 50 25 25 635 127 7 6,35 = = =6 100 20 20 11 1 1,1 = =1 10 10
nenulovou číslici opíšeme do čitatele (8, 408, 635, 11) do jmenovatele napíšeme tolik nul, kolik je míst v desetinném čísle (1 nula, 2 nuly, 2nuly, 1 nula)
0,8 =
Úlohy 3.1. Zapiš desetinná čísla zlomky, popřípadě smíšenými čísly 2,0; 0,8; 0,45; 0,625; 1,1; 15,32; 15,32; 3,3303; 1,0102
4. Rozšiřování zlomku Zadání:
Př.:
Rozšiř zlomek daným číslem ? 2 Doplň = 15 30
Rozšiř zlomek
3 dvěma a pěti 5
Řešení:
3 3.2 6 = = 5 5.2 10 3 3.5 15 = = ¨ 5 5.5 25
Př.:
Doplň místo otazníku číslo 3 ? = 4 20 3 3.Ο ? 3.5 15 = = = = 4 4.Ο 20 4.5 20 3 3.5 15 slusne = = 4 4.5 20
Řešení:
opět, takhle postavený příklad je výjimkou, rozšiřujeme zlomky automaticky při sčítání, abychom upravili sčítance na společný jmenovatel, nebo při převádění zlomku na desetinný zlomek
neustále mějte na paměti, že hodnota zlomku se nemění! Nepleťte si to s násobením!
podíváme se, čím vynásobit 4 abychom dostali 20 musíme násobit5, takže i 3 (čitatel) násobíme 5 a je to!
Úlohy 4.1. Doplň číslo místo otazníku 14 42 18 ? 9 18 = = = 16 ? 30 10 10 ?
3 18 = 18 ?
11 33 = 17 ?
? 81 = 10 90
? 5 = 35 7
4.2 Rozšiř zlomek a) 3 b) 5 c) 8 1 6 3 ´7 2 16 5 9
5. krácení zlomku Zadání: Př.:
Řešení:
Př.: Řešení:
Zkrať zlomek daným číslem Uprav zlomky na základní tvar 12 Zkrať zlomek třemi a šesti 24
takový příklad se vyskytuje málo, spíš je zadání – uprav na základní tvar
12 12 : 3 4 = = 24 24 : 3 8 12 12 : 6 2 = = 24 24 : 6 4 Uprav na základní tvar
27 i 45 je dělitelné 9
27 45
když nevidíme 9, tak krátíme trojkou – vyjde 9 a to můžeme znovu dělit 3 a dostaneme 15 výsledek
27 27 : 9 3 = = 45 45 : 9 5
Úlohy 5.1. Zkrať zlomek na základní tvar 18 18 3 4 = = = = 16 30 18 8
81 = 90
25 = 35
75 = 100
24 = 72
12 = 12
6. sčítání a odčítání zlomků Zadání: Př.: Řešení:
Př.: Řešení:
Př.
Sečtěte, odečtěte zlomky 4 1 − 5 5 4 1 4 −1 3 − = = 5 5 5 5 1 3 + 4 8 1 3 1.2 + 3.1 2 + 3 5 + = = = 4 8 8 8 8 1 3 1.2 3 2 3 5 jinak + = + = + = 4 8 4.2 8 8 8 8
7 3 7.2 − 3.3 14 − 9 5 − = = = 6 4 12 12 12
stejný jmenovatel – opíšeme, sčítáme čitatele u výsledku zkontrolujeme, jestli je v základním tvaru
určíme společný jmenovatel – nejmenší spol. násobek, tzn8, pak dělíme 8:4 a násobíme 1, druhý zlomek – 8:8 a násobíme 3, pak jen sečteme druhý způsob je totéž (jen jinak zapsané), jenom první zlomek rozšíříme dvojkou a pak sčítáme zlomky se stejným jmenovatelem n(6,4)=12 bereme násobky většího jmenovatele (6,12,18) a zkoušíme, který z nich je dělitelný druhým – 4.
Př.:
2 3 2.5 + 3.3 10 + 9 19 4 + = = = =1 3 5 15 15 15 15
Př.:
2 3 1.3 + 2 2.4 + 3 5 5 11 1 1 + 2 + 0,5 = + + = + + = 3 4 3 4 10 3 4 2 11 59 − 48 5.4 + 11.3 + 1.6 20 + 33 + 6 59 = = = =4 =4 12 12 12 12 12 2 3 5 11 1 20 + 33 + 6 59 11 slusne 1 + 2 + 0,5 = + + = = =4 3 4 3 4 2 12 12 12
po vypočítání vidíme, že čitatel je větší než jmenovatel 19>15, upravujeme na smíšené číslo nejprve převedeme des. čísla a smíšená čísla na zlomky pak najdeme společný jmenovatel nakonec upravíme na smíšené číslo slušně – znamená, že takhle to stačí (bez rozepisování, většinu byste měli zvládnout zpaměti)
Úlohy 6.1. Vypočítej, uprav na základní tvar, popř. smíšené číslo 1 7 5 11 17 1 3 1 2 3 4 3 11 1 7 2 + ; + ; − ; − ; + ; + ; − ; − 8 8 6 6 8 8 2 2 14 7 5 10 9 3 14 7 6.2 Vypočítej 2 3 1 1 7 3 3 2 1 1 7 5 7 1 1 1 1 3 3 5 2 + ; + ; + ; − ; − ; − ; + + ; + + ; + − 5 4 8 3 9 4 8 5 2 3 15 6 10 5 2 6 3 4 8 6 3 6.3 Vypočítej 3 1 1 1 5 3 2 1 1 5 3 3 + 4 ; 6 − 1 ; 2 + 3 ; 0,5 + ; 1,3 + ; 2 + 1,7 − 5 ; 1 + 1,2 7 4 3 4 6 5 3 6 3 6 8
