MA 6. cviˇcen´ı v´ypoˇcet limit posloupnost´ı ´ s Posp´ısˇ il,2012 Lukaˇ
ˇ y) 1 Maly´ (ale pekn ´ dukaz ˚ na uvod ´ ´ eˇ by na zaˇcatek ´ V dneˇsn´ım cviˇcen´ı se nauˇc´ıme poˇc´ıtat jednoduche´ limity, nicmen bylo vhodne´ ´ ´ ´ eˇ jedno. Tedy abychom si byli jisti, zˇ e aˇz (nikoliv ukazat, zˇ e to co hledame, existuje prav ´ povede spoˇc´ıtat limitu posloupnosti, muˇ pokud :) se nam ˚ zeme ˇr´ıci, zˇ e tato limita je jedina´ - a ´ ˇ ktere´ vlastneˇ neexistuj´ı. nemuseli dohledavat veci, Vˇeta 1.0.1 Kaˇzd´a posloupnost m´a nejvyˇ ´ se jednu limitu. ´ Dukaz: Pˇredpokladejme sporem, zˇ e existuj´ı dveˇ ruzn ˚ e´ limity a, b ∈ R∗ posloupnosti {an }∞ n=1 . ´ (bez ujmy ´ Dale na obecnosti) pˇredpokladejme, zˇ e a < b. Oznaˇcme ´ ϵ=
b−a 2
Oˇcividneˇ ϵ ∈ R+ . Dle definice limity (viz minule´ cviˇcen´ı) - jelikoˇz lim an = a, pak n→∞
(∃n1 ∈ N)(∀n ∈ N, n > n1 ) : |an − a| < ϵ Tedy an − a < ϵ
∧
an − a > −ϵ
upravou ´ a − ϵ < an < a + ϵ
(1)
´ pro limitu lim an = b Obdobnou uvahu (de-facto stejnou) muˇ ´ ˚ zeme provest n→∞
(∃n2 ∈ N)(∀n ∈ N, n > n2 ) : |an − a| < ϵ ˇ si, zˇ e obecneˇ n1 = n2 , tedy index prvku, od ktereho ´ posloupnost leˇz´ı v ϵ-pasu ´ muˇ (vˇsimete ˚ ze b´yt obecneˇ jin´y pro ruznou volbu a, b). ˚ ´ a z´ıskame b − ϵ < an < b + ϵ (2) ´ Nyn´ı volme n0 ≥ max{n1 , n2 } jako index, od ktereho plat´ı nerovnice (1) i (2). ˇ tedy lze psat ´ Pak tedy plat´ı obeˇ nerovnice souˇcastne, b − ϵ < an < a + ϵ Z posledn´ı nerovnice plyne, zˇ e
b−a 2
⇒
b−ϵ
⇒
b − a < 2ϵ
< ϵ, coˇz je spor, protoˇze jsme volili ϵ =
b−a 2 .
(1)
´ ˇ (ne)dovolene´ operace a znam ´ e´ limity 2 Zakladn´ ı vety, Vˇeta 2.0.2 ∞ Necht’ jsou d´any dvˇe posloupnosti {an }∞ e, zˇ e lim an = a, lim bn = b, a, b ∈ n=1 , {bn }n=1 takov´ R∗ . Pak plat´ı 1. lim(an + bn ) = a + b 2. lim(an − bn ) = a − b 3. lim(an .bn ) = a.b 4. lim abnn = ab , je-li ∀n ∈ N : bn ̸= 0 √ √ 5. lim k an = k a, je-li k ∈ N \ {1} a souˇcastnˇe ∀n ∈ N : an ≥ 0 6. lim |an | = |a| m´a-li pˇr´ısluˇsn´a prav´a strana rovnosti smysl. ˇ eˇ - nulou se nedel´ ˇ ı a pojist´ıme si sudou odmocninu ze zaporn´ ´ ´ Poznamka: k pˇredchoz´ı vet ych cˇ ´ısel. ≈ ˇ je pohoda? Ne. Snad nejvetˇ ˇ s´ım zadrhelem ´ Takˇze v´ypoˇcet limit vyuˇzit´ım pˇredchoz´ı vety ˇ eˇ ”ma-li ´ pˇr´ısluˇsna´ prava´ strana rovnosti smysl” , ne vˇsechno se da´ sˇc´ıtat, je dodadek k vet ˇ (pˇripomenme, ˇ odeˇc´ıtat, delit zˇ e a, b ∈ R∗ ). Vˇeta 2.0.3 Pˇri poˇc´ıt´an´ı limit (a v R∗ obecnˇe) JSOU dovoleny (dodefinov´any, chcete-li) tyto operace (∀x ∈ R): • sˇc´ıt´an´ı/odˇc´ıt´an´ı – x+∞=∞+x=∞ – x − ∞ = −∞ + x = −∞ – ∞+∞=∞ – (−∞) + (−∞) = −∞ − ∞ = −(∞ + ∞) = −∞ • n´asoben´ı
{
∞ −∞ { −∞ – x.(−∞) = ∞ – ∞.∞ = ∞ – x.(∞) =
pro x > 0 pro x < 0 pro x > 0 pro x < 0
– ∞.(−∞) = −∞ – (−∞).(−∞) = ∞ • dˇelen´ı (2)
–
x ∞
=
x −∞
=0
– | − ∞| = |∞| = ∞ Vˇeta 2.0.4 Pˇri poˇc´ıt´an´ı limit (a v R∗ obecnˇe) NEJSOU dovoleny tyto operace: • −∞ + ∞ • ∞−∞ • 0.(±∞) •
±∞ ±∞
•
x 0,x
∈ R∗
ˇ s´ı pecky z limit (vhodne/nutn ´ A ted’ ty nejvetˇ e´ si zapamatovat) 1. lim c = c, kde c ∈ R je konstanta 2. lim n1 = 0 3. lim n = ∞ )n ( 4. lim 1 + n1 = e √ 5. lim n n = 1 6. dle vlastnost´ı geometricke´ posloupnosti ∞ 1 lim q n = 0 neexistuje
pro q pro q pro q pro q
>1 =1 ∈ (−1, 1) ≤ −1
´ ´ u poˇc´ıtan´ ´ ı akademick´ych uloh Vyzbrojeni t´ımto arzenalem nam s limitami bude staˇcit uˇz ´ ´ y napad. ´ ”jen” ten spravn´
3 Typove´ pˇr´ıklady ˇ r´ıme lesy, proto u pˇr´ıkladu˚ vynecham ´ zadan´ ´ ı: ”Vypoˇctete ˇ limitu posloupnosti . . .” Setˇ
3.1 Polynomy Pˇr´ıklad 3.1.1 lim(n2 + 5n − 1) = lim n2 + lim 5n − lim 1 = (lim n).(lim n) + (lim 5).(lim n) − lim 1 = = ∞.∞ + 5.∞ − 1 = ∞
(3)
Pˇr´ıklad 3.1.2 lim(n2 − 5n − 1) = lim n2 + lim 5n − lim 1 = (lim n).(lim n) + (lim 5).(lim n) − lim 1 = = ∞.∞ − 5.∞ − 1 = ∞ − ∞ − 1 =? ˚ ´ a to nepujde (∞ − ∞ nen´ı definov´ano), tedy to budeme muset vykoumat uplnˇ e jinak N´apad 1: vytknout nejvyˇssˇ´ı mocninu z dan´eho polynomu. lim(n2 − 5n − 1) = lim n2 (1 − n5 − n12 ) = lim n2 (lim 1 − 5 lim n1 − lim n12 ) = ∞.(1 − 0 − 0) = ∞
3.2 Pod´ıl polynomu˚ Pˇr´ıklad 3.2.1 N´apad 2: vytknout nejvyˇssˇ´ı mocninu z cˇ itatele a jmenovatele, pak tuto mocninu pokr´atit. Mocninu vol´ıme dle polynomu ve jmenovateli. +8n+4 lim −5n 1+2n+3n2 2
= lim =
8 + n2 (−5+ n
4 ) n2
2 n2 ( 12 + n +3) n −5+0+0 5 0+0+3 = − 3
= lim
8 −5+ n +
4 n2
1 2 +n +3 n2
=
Pˇr´ıklad 3.2.2
lim
n2 (1 + 42 ) 1 + 42 n2 + 4 1+0 = lim 2 1 n2 = lim 1 n2 = =? n+2 0+0 n ( n + n2 ) n + n2
ˇ ıkal jsem nejvˇetˇs´ı mocninu z jmenovatele! (to je to dole) R´ lim
n(n + n4 ) n + n4 n2 + 4 ∞+0 = lim =∞ = lim = n+2 1+0 n(1 + n2 ) 1 + n2
To je lepˇs´ı. Pˇr´ıklad 3.2.3
lim
n2 (− n8 + n32 ) − n8 + n32 −8n + 3 0+0 = lim = lim = =0 2 4 2 4 2 2 9 − 2n − 4n 0+0−4 n (9 − n − n2 ) 9 − n − n2
(4)
3.3 Odmocnina Pˇr´ıklad 3.3.1 N´apad 3: vytknout z vyrazu nejvˇetˇs´ı mocninu. ´ √ √ √ √ lim 9n2 − 4 − 2n = lim n2 9 − n42 − 2n = lim n( 9 − √ = ∞.( 9 − 0 − 2) = ∞.1 = ∞
4 n2
− 2) =
Pˇr´ıklad 3.3.2
lim
√
2n2
−1−
√
√
2n2
1 + 1 = lim n( 2 − 2 − n
√ 2+
√ √ 1 ) = ∞.( 2 − 2) = ∞.0 =? 2 n
˚ zeme dovolit Autor pˇr´ıkladu dostane po cˇ uni. Opˇet jsme se dostali do situace, kterou si nemuˇ (vysledek v yrazu 0.∞ nen´ ı definov´ a n). ´ ´ ˚ Tedy pujdeme na to jinak. N´apad 4: Upravit - vyuˇz´ıt vzorec (a + b)(a − b) = a2 − b2 . √ √ √ √ √ √ 2 −1+ 2n2 +1 √ lim 2n2 − 1 − 2n2 + 1 = lim( 2n2 − 1 − 2n2 + 1) √2n = 2n2 −1+ 2n2 +1
(2n −1)+(2n +1) −2√ √ = lim √2n2 −1+ = lim = lim √ 2n2 −1+ 2n2 +1 2n2 +1 2
2
= (−2)(lim n1 )(lim √
2−
1√ 2+
1 + n2
1 n2
n(
−2 √ √ 2− 12 + 2+
1 =0 ) = (−2).0. 2√ 2
n
1 ) n2
=
Pˇr´ıklad 3.3.3
lim √
1 1 √ = (lim )(lim √ n n2 + n − n2 + 2 1+
1 1 n
−
√ 1+
2 n2
1 ) = 0. =? 0
˚ Zase to nepujde. Sice v jin´e situaci, ale opˇet vyuˇzijeme N´apad 4. √ √ √ √ 1 n2 + n + n2 + 2 n2 + n + n2 + 2 1 √ √ √ √ lim √ = = lim √ == lim 2 (n + n) − (n2 + 2) n2 + n − n2 + 2 n2 + n − n2 + 2 n2 + n + n2 + 2 √ (√ ) √ √ 1 2 n. + 1 + 1 + 2 2 2 n n +n+ n +2 1+1 n = lim == lim = =2 2 n−2 1 n.(1 − n )
ˇ komplikovanejˇ ˇ s´ıho A nakonec neco
(5)
Pˇr´ıklad 3.3.4 √ 3 lim
√ n2 + 1 − 16n √ = lim 3 n4 + 18n
3
n4 ( n12 + n14 ) − 16n) √ = lim 3 n4 (1 + n183 ) √ 3
= lim
+ n14 − √ 3 1 + n183
1 n2
16 √ 3 n)
=
√ 3
√ n4 3 n12 + n14 − √ √ 3 n4 3 1 + n183
16 √ 3 n)
=
0 =0 1
ˇ a´ v exponentu 3.4 Promenn Pˇr´ıklad 3.4.1 N´apad 5: Upravit pro pouˇzit´ı zn´am´e limity. ( lim
2n + 4 2n + 3
)7n+6
[( lim
(
1 = lim 1 + 2n + 3
1 1+ 2n + 3
)2n+3 ] 72
)7n+6
(
1 = lim 1 + 2n + 3
(
1 . lim 1 + 2n + 3
)− 63 4
7
) 7 (2n+3− 9 ) 2
= e 2 .1 =
2
= √
e7
3.5 Geometricka´ rˇada a kvocient Pˇr´ıklad 3.5.1 N´apad 6: Upravit na geometrickou rˇ adu a pak dle kvocientu rozhodnout. 22n+1 − 3n+1 2.22n − 3.3n 2.2n 3.3n 3n lim = lim = lim − = 1 − 3. lim = 1 − 3. lim 4n 22n 22n 22n 4n ( )n a jelikoˇz { 34 }∞ a posloupnost s kvocientem 0 < 34 < 1, tak n=1 je geometrick´
( )n 3 = 4
= 1 − 3.0 = 1
3.6 Limitn´ı pˇrechod v nerovnostech a policajti Vˇeta 3.6.1 ∞ ∞ ∗ ∗ ’ Necht’ {a}∞ n=1 ,{b}n=1 a {a}n=1 jsou posloupnosti. Necht lim an = a ∈ R a lim bn = b ∈ R . Potom plat´ı 1. je-li a < b, pak an < bn (pro vˇsechna dost velk´a n ∈ N) (6)
2. je-li an ≤ bn (pro vˇsechna dost velk´a n ∈ N), pak an ≤ bn 3. je-li an ≤ cn ≤ bn (pro vˇsechna dost velk´a n ∈ N) a souˇcasnˇe a = b, existuje lim cn a plat´ı lim cn = a = b (dva policajti) 4. je-li an ≤ cn (resp. cn ≤ bn ) pro vˇsechna dost velk´a n ∈ N a souˇcastnˇe a = ∞ (resp. b = −∞), je lim xn = ∞ (resp. lim cn = −∞) (jeden policajt) - ale silny´ za dva Pˇr´ıklad 3.6.1 lim sin(π 2 + 26n) + cos(3n + 2) + n2 =? Jelikoˇz
∀x ∈ R : −1 ≤ sin x ≤ 1 ∀x ∈ R : −1 ≤ cos x ≤ 1
tak ∀n ∈ N: −1 − 1 + n2 ≤ sin(π 2 + 26n) + cos(3n + 2) + n2 ≤ 1 + 1 + n2 −2 + n2 ≤ sin(π 2 + 26n) + cos(3n + 2) + n2 ≤ 2 + n2 Oˇcividnˇe
lim −2 + n2 = ∞ lim 2 + n2 = ∞
pak ∞ ≤ lim sin(π 2 + 26n) + cos(3n + 2) + n2 ≤ ∞ a dle pˇredchoz´ı vˇety lim sin(π 2 + 26n) + cos(3n + 2) + n2 = ∞
Pˇr´ıklad 3.6.2
lim n! =? oˇcividnˇe ∀n ∈ N : n! ≥ n a jelikoˇz lim n = ∞ tak dle jednoho policajta lim n! = ∞
(7)
3.7 n-ta´ odmocnina Pˇr´ıklad 3.7.1
lim Jelikoˇz
√ n
n3 + n2 − 5
√ √ n n ∀n ∈ N : √n4 ≥ √ n3 + n2 − 5 n n ∀n ∈ N : n3 ≤ n3 + n2 − 5
pro vˇsechna dost velk´a n, tak ∀n ∈ N: √ √ n n3 ≤ n n3 + n2 − 5 ≤ Oˇcividnˇe
√ n
n4
√ √ √ √ n lim √n3 = lim n n. lim n n. lim n n = 1 √ √ √ √ n lim n4 = lim n n. lim n n. lim n n. lim n n = 1
pak 1 ≤ lim a dle vˇety o dvou policajtech lim
√ n
√ n
n3 + n2 − 5 ≤ 1
n3 + n2 − 5 = 1
4 Reference [1] K. Rektorys a kol. Pˇrehled uˇzite´ matematiky Prometheus, 2000 ´ skov´ych slidu˚ Bouchala J., 2000 a [2] Matematicka´ anal´yza ve Vesm´ıru - soubor pˇrednaˇ ˇ neco ˇ ızˇ ek J., Kubr M., M´ıkova´ M. Sb´ırka uloh [3] C´ z matematicke´ anal´yzy 1. , 2007 ´ ˇ ´ ı poˇcet jedne´ promenn ˇ e´ Kuben J., Sarmanov [4] Diferencialn´ a´ P., ESF, 2007
(8)
