Z aklady matematiky Pavel ˇ Reh ak (verze 29. z aˇr ı 2015)

Z´ aklady matematiky ˇ ak Pavel Reh´

(verze 29. záˇr´ı 2015)

P´ ar slov na u ´ vod Tento text tvoˇr´ı doplnˇek k pˇredmˇetu Základy matematiky, kter´ y je nyn´ı jiˇz pevnou souˇca´st´ı v´ yuky v podzimn´ım semestru (pro Pedagogické asistenstv´ı ˇ Poprvé byl pˇredmˇet v této formˇe realizován na podzim matematiky pro ZS). r. 2008 jako reakce na vzr˚ ustaj´ıc´ı potˇrebu poloˇzen´ı pevn´ ych a jasn´ ych základ˚ u matematiky, nezbytn´ ych pro dalˇs´ı studium. Ponˇevadˇz je tento text doplˇ nkem, nevyˇcerpává vˇse, co se na pˇrednáˇskách prob´ırá. Ovˇsem snaˇz´ı se alespoˇ n ve struˇcnosti zachytit nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı pojmy a fakta. V kombinaci s poznámkami z pˇrednáˇsek (kde zejména podrobnˇeji komentujeme prob´ıranou látku, doplˇ nujeme ji, uvád´ıme ilustrativn´ı pˇr´ıklady a diskutujeme) a s materiálem ze cviˇcen´ı by mˇel tvoˇrit postaˇcuj´ıc´ı zdroje k pˇr´ıpravˇe na zkouˇsku. Je samozˇrejmˇe v´ıtána i samostatná iniciativa student˚ u, kdy sami ˇcerpaj´ı i z jin´ ych zdroj˚ u (a tˇech je skuteˇcnˇe nepˇreberné mnoˇzstv´ı). Proto (a nejen proto) je kaˇzdá kapitola zakonˇcena odkazy na dalˇs´ı vhodnou literaturu vˇcetnˇe pˇr´ıpadn´ ych komentáˇr˚ u. Obrázky v Kapitolách 9 a 10 jsou vyp˚ ujˇceny ze skript J. Kuben, Z. Doˇslá, Diferenciáln´ı poˇcet funkc´ı jedné promˇenné, PˇrF MU Brno 2003 a J. Kuben, ˇ ˇ TU Ostrava P. Sarmanov´ a, Diferenciáln´ı poˇcet funkc´ı jedné promˇenné, VSB 2006. Text byl pr˚ ubˇeˇznˇe vytváˇren zejména bˇehem prvn´ı v´ yuky pˇredmˇetu v semestru podzim 2008 a posléze byl nˇekolikrát revidován. Je tˇreba upozornit na to, ˇze jiˇz jednou vytvoˇrené partie mohou (a s velkou pravdˇepodobnost´ı budou) doznávat urˇcit´ ych zmˇen i v pozdˇejˇs´ı dobˇe – v zájmu zkvalitnˇen´ı textu. Obsahem tohoto kurzu jsou mimo jiné i velmi d˚ uleˇzité partie matematiky, které sv´ ym zp˚ usobem tvoˇr´ı jej´ı základn´ı kameny (napˇr. logika a teorie mnoˇzin). O tˇechto teori´ıch lze napsat des´ıtky knih. Nám vˇsak jde v této fázi sp´ıˇse o nalezen´ı vhodného a dostateˇcnˇe pˇresného matematického jazyka, kter´ y bude nezbytn´ y pro potˇreby dalˇs´ıho studia i pro potˇreby praxe. Vybrali jsme proto pouze to nejzákladnˇejˇs´ı“, pˇriˇcemˇz náˇs pˇr´ıstup bude velmi ˇcasto ”

ˇ en´ı textu je rovnˇeˇz sp´ıˇse pˇrizp˚ neformáln´ı (intuitivn´ı). Clenˇ usobeno naˇsim potˇrebám. Novˇe zavádˇené a d˚ uleˇzité pojmy budou zpravidla vynaˇceny kurz´ıvou. Budu vdˇeˇcn´ y kaˇzdému, kdo mne upozorn´ı na nepˇresnosti ˇci chyby v textu (nˇekteré nepˇresnosti – ˇci sp´ıˇse zjednoduˇsen´ı – jsou ovˇsem zámˇerné“ vzhle” dem k v´ yˇse popsanému pˇr´ıstupu). ˇ ak Brno, 29. záˇr´ı 2015, Pavel Reh´

Obsah 1 Z´ akladn´ı pojmy matematick´ e logiky 1.1 V´ yroky, logické spojky, sloˇzené v´ yroky, v´ yrokové formule 1.2 V´ yrokové formy, kvantifikátory, kvantifikované v´ yroky . . 1.3 Negován´ı v´ yrok˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Matematick´ e d˚ ukazy 2.1 Tvary matematick´ ych vˇet . . 2.2 D˚ ukaz pˇr´ım´ y, d˚ ukaz nepˇr´ım´ y, d˚ ukaz sporem . . . . . . . . . 2.3 D˚ ukazy existence, neexistence a jednoznaˇcnosti . . . . . . . 2.4 D˚ ukazy matematickou indukc´ı 2.5 Literatura . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

7 7 8 9 10

13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Z´ aklady teorie mnoˇ zin 3.1 Základn´ı pojmy . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Základn´ı mnoˇzinové vztahy a operace . . . 3.3 (Ne)uspoˇrádané dvojice a kartézsk´ y souˇcin 3.4 Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

17 17 18 20 20

ˇ ıseln´ 4 C´ e obory 4.1 Intuitivn´ı popis a u ´vodn´ı poznámky . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Nˇekteré vybrané vlastnosti ˇc´ısel . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23 23 24 27

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

5 Relace 29 5.1 Relace mezi mnoˇzinami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5

5.2 5.3

Relace na mnoˇzinˇe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

6 Zobrazen´ı 6.1 Základn´ı pojmy . . . . . . . 6.2 Injekce, surjekce, bijekce . . 6.3 Inverzn´ı a sloˇzené zobrazen´ı 6.4 Literatura . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

33 33 34 35 35

7 Uspoˇ r´ ad´ an´ı 37 7.1 Základn´ı pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 7.2 V´ yznaˇcné prvky v uspoˇrádan´ ych mnoˇzinách . . . . . . . . . . 38 7.3 Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 8 Relace ekvivalence a rozklady 8.1 Relace ekvivalence . . . . . 8.2 Rozklady . . . . . . . . . . . 8.3 Vztahy mezi ekvivalencemi a 8.4 Literatura . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . rozklady . . . . . .

9 Re´ aln´ e funkce re´ aln´ e promˇ enn´ e 9.1 Základn´ı pojmy . . . . . . . . . . . . . 9.2 Základn´ı vlastnosti funkc´ı . . . . . . . 9.3 Operace s funkcemi, transformace grafu 9.4 Nˇekolik pˇr´ıklad˚ u . . . . . . . . . . . . 9.5 Literatura . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

10 Element´ arn´ı funkce 10.1 Polynomy a racionáln´ı funkce . . . . . . . . . . 10.2 Funkce exponenciáln´ı, logaritmické a mocninné 10.3 Funkce goniometrické a cyklometrické . . . . . . 10.4 Nˇekolik pˇr´ıklad˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5 Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . .

. . . .

39 39 39 40 41

. . . . .

43 43 43 44 47 50

. . . . .

51 54 56 59 63 64

Kapitola 1 Z´ akladn´ı pojmy matematick´ e logiky Náˇs pˇr´ıstup k v´ yrokové a predikátové logice bude intuitivn´ı (neformáln´ı).

1.1

V´ yroky, logick´ e spojky, sloˇ zen´ e v´ yroky, v´ yrokov´ e formule

Výrokem rozum´ıme jakékoliv tvrzen´ı (intuitivnˇe ˇreˇceno oznamovac´ı vˇetu), které je dostateˇcnˇe smysluplné, aby bylo moˇzno ˇr´ıci, ˇze je pravdivé nebo nepravdivé. Pozn´ amka 1.1. (i) Nemus´ıme b´ yt schopni o pravdivosti rozhodnout. Napˇr. ˇ y kn´ıˇze Boˇrivoj mˇel 1.1. 880 r´ Cesk´ ymu.“ je v´ yrok. ” (ii) Pravdiv´ ym v´ yrok˚ um je zvykem pˇriˇrazovat pravdivostn´ı hodnotu 1, nepravdiv´ ym hodnotu 0. (iii) Náˇs popis v´ yroku nen´ı pˇresná definice. Je to pouhé vymezen´ı. Axiomatick´ y pˇr´ıstup je pˇresnˇejˇs´ı“. ” (iv) Máme zakázáno uvaˇzovat tvrzen´ı v jakémkoliv kontextu. Srovnejte napˇr. Uˇcitel drˇz´ı v ruce kˇr´ıdu.“ (nen´ı v´ yrok) vs. Uˇcitel Jan Kod’ousek ” ” drˇz´ı v ruce kˇr´ıdu.“ (je v´ yrok). Pˇ r´ıklad 1.1. Prˇs´ı.“ je v´ yrok. Prˇs´ı?“ nen´ı v´ yrok. Kéˇz by prˇselo!“ nen´ı ” ” ” ˇ v´ yrok. C´ıslo x je sudé.“ nen´ı v´ yrok. ” 7

8

Kapitola 1.

Pro snazˇs´ı vyjadˇrován´ı budeme pouˇz´ıvat výrokové promˇenné A, B, . . . , které zastupuj´ı v´ yroky. Z v´ yrok˚ u lze vytváˇret v´ yroky sloˇzitˇejˇs´ı (tzv. sloˇzené výroky). K jejich vytváˇren´ı se uˇz´ıvaj´ı logické spojky. Necht’ A, B jsou v´ yroky. Potom definujeme • Negace v´ yroku A (znaˇc´ıme ¬A): V´ yrok, kter´ y je pravdiv´ y, právˇe kdyˇz A je nepravdiv´ y. • Konjunkce v´ yrok˚ u A, B (znaˇc´ıme A ∧ B): V´ yrok, kter´ y je pravdiv´ y, právˇe kdyˇz A, B jsou oba (zároveˇ n) pravdivé. • Disjunkce v´ yrok˚ u A, B (znaˇc´ıme A ∨ B): V´ yrok, kter´ y je pravdiv´ y, právˇe kdyˇz alespoˇ n jeden z v´ yrok˚ u A, B je pravdiv´ y. • Implikace v´ yroku B v´ yrokem A (znaˇc´ıme A ⇒ B): V´ yrok, kter´ y je pravdiv´ y, právˇe kdyˇz nenastává pˇr´ıpad, ˇze A je pravdiv´ y a zároveˇ nB je nepravdiv´ y. • Ekvivalence v´ yrok˚ u A, B (znaˇc´ıme A ⇔ B): V´ yrok, kter´ y je pravdiv´ y, právˇe kdyˇz A, B jsou oba zároveˇ n pravdivé, anebo oba zároveˇ n nepravdivé. Pozor: Je ponˇekud nesprávné pˇrikládat v logice spojen´ı jestliˇze, pak“ ten ” v´ yznam, kter´ y jsme si osvojili z ˇceˇstiny. Základn´ı vlastnosti logick´ ych spojek budeme diskutovat na pˇrednáˇsce. Výrokovou formul´ı rozum´ıme v´ yraz vytvoˇren´ y z koneˇcného poˇctu v´ yrokov´ ych ˇ promˇenn´ ych, logick´ ych spojek a popˇr´ıpadˇe závorek. (Casto se v literatuˇre (pˇresnˇeji) definuje tento pojem rekurz´ı). ˇ ym zp˚ Cast´ usobem v´ ypoˇctu pravdivostn´ıch hodnot dané formule (v závislosti na pravdivostn´ıch hodnotách promˇenn´ ych, které se v n´ı vyskytuj´ı) jsou tabulky pravdivostn´ıch hodnot. Tautologi´ı naz´ yváme v´ yrokovou formuli, jej´ıˇz pravdivostn´ı hodnota je 1 pˇri kaˇzdém ohodnocen´ı v´ yrokov´ ych promˇenn´ ych, které se v n´ı vyskytuj´ı. Kontradikc´ı naz´ yváme v´ yrokovou formuli, jej´ıˇz pravdivostn´ı hodnota je 0 pˇri kaˇzdém ohodnocen´ı v´ yrokov´ ych promˇenn´ ych, které se v n´ı vyskytuj´ı.

1.2

V´ yrokov´ e formy, kvantifik´ atory, kvantifikovan´ e v´ yroky

Toto téma souvis´ı s tzv. predikátovou logikou. Na pˇrednáˇsce si uvedeme motivaˇcn´ı pˇr´ıklady.

Kapitola 1.

9

Jestliˇze se nˇejaké tvrzen´ı (obsahuj´ıc´ı jednu nebo v´ıce promˇenn´ ych) stane v´ yrokem, dosad´ıme-li za promˇenné konkrétn´ı hodnoty (konstanty z oboru promˇenn´ ych), naz´ yváme takové tvrzen´ı výrokovou formou. Znaˇc´ıme V (x) v´ yrokovou formu o jedné promˇenné a V (x1 , . . . , xn ) v´ yrokovou formu o n promˇenn´ ych. Pomoc´ı logick´ ych spojek lze pak vytváˇret sloˇzené výrokové formy. Dosazen´ı konstant za promˇenné do v´ yrokové formy nen´ı jedin´ ym zp˚ usobem, jak z n´ı vytvoˇrit v´ yroky. Dalˇs´ı (v´ yznamnou) moˇznost´ı je tzv. kvantifikace. Provád´ıme ji pomoc´ı jist´ ych slovn´ıch spojen´ı zvan´ ych kvantifikátory: • Obecn´ y kvantifikátor (znaˇc´ıme ∀). Jazykov´ y v´ yznam: pro kaˇzdé“. ” • Existenˇcn´ı kvantifikátor (znaˇc´ıme ∃). Jazykov´ y v´ yznam: existuje (ale” spoˇ n jedno)“. • Kvantifikátor jednoznaˇcné existence (znaˇc´ıme ∃!). Jazykov´ y v´ yznam: existuje právˇe jedno“. ” Necht’ V (x) je v´ yroková forma promˇenné x. Pak pomoc´ı tˇechto kvantifikátor˚ u lze vytvoˇrit následuj´ıc´ı typy základn´ıch kvantifikovaných výrok˚ u: • ∀x ∈ M : V (x) (ˇcteme: Pro kaˇzdé x ∈ M plat´ı V (x).“) ” • ∃x ∈ M : V (x) (ˇcteme: Existuje (alespoˇ n jedno) x ∈ M , pro které ” plat´ı V (x).“) • ∃!x ∈ M : V (x) (ˇcteme: Existuje právˇe jedno x ∈ M , pro které plat´ı ” V (x).“) Chceme-li tvoˇrit v´ yroky pomoc´ı kvantifikátor˚ u z v´ yrokové formy v´ıce promˇenn´ ych, mus´ıme pˇriˇradit kvantifikátor kaˇzdé promˇenné.

1.3

Negov´ an´ı v´ yrok˚ u

Negaci v´ yroku lze z´ıskat pˇredˇrazen´ım slov Nen´ı pravda, ˇze . . . “. Zpravidla ” vˇsak uˇz´ıváme gramaticky vhodnˇejˇs´ıch tvar˚ u a následuj´ıc´ıch postup˚ u: (i) Pˇri negován´ı jednoduch´ ych nekvantifikovan´ ych v´ yrok˚ u pouˇz´ıváme dva ˇ zp˚ usoby (uvaˇzujme napˇr. v´ yrok C´ıslo 3 je kladné“): zámˇena je“ za ” ”ˇ ˇ ıslo 3 nen´ı kladné“) nebo ıslo 3 nen´ı“ ( C´ pˇripojen´ı pˇredpony ne- ( C´ ” ” ” je nekladné“). (ii) Pˇri negován´ı sloˇzen´ ych nekvantifikovan´ ych v´ yrok˚ u postupujeme ˇcasto podle tabulky

10

Kapitola 1. sloˇzen´ y v´ yrok

negace

A∧B

¬A ∨ ¬B

A∨B

¬A ∧ ¬B

A⇒B

A ∧ ¬B

A⇔B

(A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B)

Zkuste si promyslet, proˇc vol´ıme zrovna tyto zp˚ usoby negace. (iii) Negaci jednoduch´ ych nekvantifikovan´ ych v´ yrok˚ u provád´ıme zámˇenou kvantifikátor˚ u a negac´ı v´ yrokové formy (napˇr. negac´ı v´ yroku ∀x ∈ M : V (x) je v´ yrok ∃x ∈ M : ¬V (x)). Totéˇz pravidlo pouˇz´ıváme u kvantifikovan´ ych v´ yrok˚ u vytvoˇren´ ych z v´ yrokové formy o v´ıce promˇenn´ ych. (iv) Negován´ı sloˇzen´ ych kvantifikovan´ ych v´ yrok˚ u provád´ıme kombinac´ı pravidel uveden´ ych ve (ii) a (iii).

1.4

Literatura

Existuje velmi mnoho literatury, ze které lze ˇcerpat (od skript po odborné monografie). Pˇr´ıstupy se mohou velmi liˇsit (od neformáln´ıch po formáln´ı, od ménˇe pˇresn´ ych“ po precizn´ı). Jak jiˇz bylo ˇreˇceno na zaˇca´tku, pro naˇse ” potˇreby základn´ıho kurzu jsme zvolili ponˇekud jednoduˇsˇs´ı (neformáln´ı) pˇr´ıstup, kter´ y nám vˇsak prozat´ım bohatˇe postaˇcuje (v naˇsem pˇr´ıpadˇe mohou b´ yt – po jistém rozˇs´ıˇren´ı obsahu – vhodn´ ymi zdroji napˇr. [1,4,5]; zde se má na mysli ne pouze náˇs text, ale i obsah pˇrednáˇsek). Nakonec si dovol´ım upozornit na vynikaj´ıc´ı knihu [6]. [1] I. Buˇsek, E. Calda, Matematika pro gymnázia. Základn´ı poznatky z matematiky (3. vydán´ı), Prometheus, Praha 2006. [2] K. Devlin, Jazyk matematiky, Argo, Dokoˇrán, Praha 2002. [3] E. Fuchs, Teorie mnoˇzin pro uˇcitele, Masarykova univerzita, Brno 1999. ˇ [4] J. Kuben, P. Sarmanov´ a, Diferenciáln´ı poˇcet funkc´ı jedné promˇenné, ˇ VSB TU Ostrava 2006. [5] J. Polák, Pˇrehled stˇredoˇskolské matematiky (7. vydán´ı), Prometheus, Praha 2000.

Kapitola 1. [6] A. Sochor, Logika pro vˇsechny ochotné myslet, Karolinum 2011. [7] R. Thiele, Matematické d˚ ukazy, SNTL, Praha 1986.

11

12

Kapitola 1.

Kapitola 2 Matematick´ e d˚ ukazy 2.1

Tvary matematick´ ych vˇ et

Matematické vˇety se objevuj´ı zpravidla v nˇejakém z následuj´ıc´ıch tvar˚ u. (i) Tzv. obecná vˇeta ∀x ∈ M : V (x)“. Pˇr´ıpadnˇe m˚ uˇzeme uvaˇzovat prostˇe ” vˇetu typu Plat´ı V “. ” (ii) Tzv. existenˇcn´ı vˇeta ∃x ∈ M : V (x)“ nebo vˇeta o jednoznaˇcné ” existenci ∃!x ∈ M : V (x)“. ” (iii) Velmi ˇcasto má obecná vˇeta tvar implikace ∀x ∈ M : A(x) ⇒ B(x)“ ” (nebo struˇcnˇe A(x) ⇒ B(x)“, pˇr´ıpadnˇe A ⇒ B“). A se naz´ yvá pˇredpoklad ” ” vˇety, B se naz´ yvá tvrzen´ı vˇety. A se naz´ yvá postaˇcuj´ıc´ı (nebo dostateˇcná ) podm´ınka pro B. B se naz´ yvá nutná podm´ınka pro A. (iv) Má-li vˇeta tvar ekvivalence A ⇔ B“, ˇcasto ji lze chápat (dokazovat) ” jako dvˇe vˇety typu (iii), nebot’ plat´ı (A ⇔ B) ⇔ (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A). Nˇekdy m´ıvaj´ı matematické vˇety také tento tvar: Jestliˇze plat´ı v´ yrok P , pak v´ yroky ” A1 , . . . , An (n ≥ 2) jsou ekvivalentn´ı“. Potom staˇc´ı dokazovat A1 ⇒ A2 , A2 ⇒ A3 , . . . , An−1 ⇒ An , An ⇒ A1 (poˇrad´ı nen´ı podstatné; d˚ uleˇzité je, aby se kruh implikac´ı uzavˇrel).

2.2

D˚ ukaz pˇ r´ım´ y, d˚ ukaz nepˇ r´ım´ y, d˚ ukaz sporem

(i) Pˇr´ımý d˚ ukaz implikace A ⇒ B spoˇc´ıvá v tom, ˇze sestav´ıme ˇretˇezec platn´ ych implikac´ı A ⇒ A1 , A1 ⇒ A2 , . . . , An ⇒ B. Pˇri ˇreˇsen´ı u ´lohy 13

14

Kapitola 2.

typu Dokaˇzte v´ yrok V .“, kde zaˇcátek ˇretˇezce“ nen´ı znám (ale i v pˇr´ıpadˇe ” ” dokazován´ı implikac´ı), m˚ uˇzeme pomoc´ı jistého rozboru (souvis´ı s hledán´ım myˇslenky d˚ ukazu) hledat nˇejak´ y moˇzn´ y zaˇca´tek ˇretˇezce, kdy vyjdeme od hledaného (tedy od tvrzen´ı) a pomoc´ı ˇretˇezce u ´sudk˚ u dojdeme k nˇejakému v´ yroku, jehoˇz pravdivost je nám známa (pˇr´ıpadnˇe, dokazujeme-li implikaci, dojdeme k danému, tedy k pˇredpokladu). D˚ ukaz v´ yroku V se pak pokus´ıme sestrojit jako ˇretˇezec obrácen´ ych implikac´ı. (ii) Nepˇr´ımý d˚ ukaz implikace A ⇒ B je zaloˇzen na vztahu (A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A). Tj., pˇr´ımo dokazujeme implikaci ¬B ⇒ ¬A. (iii) D˚ ukaz sporem implikace A ⇒ B je zaloˇzen na vztahu (A ⇒ B) ⇔ ¬(A ∧ ¬B). (Sporem) pˇredpokládáme souˇcasnou platnost A a ¬B a ˇradou platn´ ych implikac´ı pak odvod´ıme spor s nˇekter´ ym z pˇredpoklad˚ u nebo jin´ ym v´ yrokem (spor je stav, kdy pro nˇejakou formuli C ukáˇzeme, ˇze souˇcasnˇe plat´ı C a ¬C).

2.3

D˚ ukazy existence, neexistence a jednoznaˇ cnosti

Existenˇcn´ı d˚ ukazy lze vést pˇr´ımo ˇci nepˇr´ımo. Pˇr´ım´ y d˚ ukaz je bud’ ryze existenˇcn´ı (tj. existence objektu se pˇr´ımo dokáˇze bez jeho urˇcen´ı; napˇr. pomoc´ı nˇejakého existenˇcn´ıho principu (Dirichlet˚ uv princip, princip spojitosti apod.)) nebo je konstrukˇcn´ı (objekt se sestroj´ı). Pˇri nepˇr´ımém d˚ ukazu vyvozujeme spor z pˇredpokladu, ˇze objekt neexistuje. Podobnˇe jako v pˇr´ıpadˇe ryze existenˇcn´ıho pˇr´ımého d˚ ukazu sice nepˇr´ım´ y d˚ ukaz zaruˇc´ı ˇreˇsitelnost z hlediska logiky, nedává vˇsak zpravidla ˇza´dné pokyny, jak toto ˇreˇsen´ı sestrojit. Pˇri d˚ ukazu neexistence postupujeme velmi ˇcasto sporem. Pˇri d˚ ukazech jednoznaˇcnosti zpravidla ukazujeme, ˇze existuje alespoˇ n jeden objekt a souˇcasnˇe existuje nejv´ yˇse jeden objekt (zde velmi ˇcasto postupujeme sporem; pˇrepokládáme existenci dvou r˚ uzn´ ych objekt˚ u, pro které v´ yrok plat´ı). K této i pˇredchoz´ı podkapitole poznamenejme, ˇze obecn´ y v´ yrok nebo existenˇcn´ı tvrzen´ı lze vyvrátit jiˇz jedin´ ym pˇr´ıkladem, tzv. protipˇr´ıkladem.

Kapitola 2.

2.4

15

D˚ ukazy matematickou indukc´ı

Pouˇz´ıváme pro d˚ ukazy vˇet typu ∀n ∈ M = {n0 , n0 + 1, n0 + 2, . . . } ⊂ Z : V (n).“ ” (velmi ˇcasto M = N). D˚ ukaz je zaloˇzen na následuj´ıc´ım principu matematické (neboli u ´plné ) indukce: Necht’ v´ yroková forma V (n) je definována pro kaˇzdé n ∈ M . Dále necht’ (I) V (n0 ) je platn´ y v´ yrok. (II) ∀n ∈ M : V (n) je platn´ y v´ yrok ⇒ V (n + 1) je platn´ y v´ yrok. Potom V (n) plat´ı pro kaˇzdé n ∈ M . Pozn´ amka 2.1. (i) Podm´ınka (II) je tzv. indukˇcn´ı krok, V (n) se v tomto kroku naz´ yvá indukˇcn´ı pˇredpoklad. (ii) D˚ ukaz matematickou indukc´ı se tedy skládá ze dvou krok˚ u: (I) D˚ ukaz platnosti tvrzen´ı V (n0 ). (II) D˚ ukaz indukˇcn´ıho kroku. (iii) Lze nalézt i jiné formulace principu matematické indukce. Napˇr. v podm´ınce (II) m˚ uˇzeme m´ıt V (n0 ), V (n0 + 1), . . . , V (n) ⇒ V (n + 1). Tento pˇredpoklad je silnˇejˇs´ı neˇz v p˚ uvodn´ım principu. Teoreticky jsou ale oba principy ekvivalentn´ı. V praxi se vˇsak vyskytuj´ı problémy, které se mnohem snáze ˇreˇs´ı pomoc´ı této modifikace. (iv) Pomoc´ı indukce nejenom dokazujeme tvrzen´ı, ale téˇz konstruujeme objekty, ˇci definujeme.

2.5

Literatura

[1] I. Buˇsek, E. Calda, Matematika pro gymnázia. Základn´ı poznatky z matematiky (3. vydán´ı), Prometheus, Praha 2006. [2] K. Devlin, Jazyk matematiky, Argo, Dokoˇrán, Praha 2002. [3] J. Polák, Pˇrehled stˇredoˇskolské matematiky (7. vydán´ı), Prometheus, Praha 2000. ˇ ˇ [4] O. Odvárko, E. Calda, J. Sediv´ y, S. Zidek, Metody ˇreˇsen´ı matematick´ ych u ´loh, SPN, Praha 1990. [5] R. Thiele, Matematické d˚ ukazy, SNTL, Praha 1986.

16

Kapitola 2.

Kapitola 3 Z´ aklady teorie mnoˇ zin Upozorˇ nujeme, ˇze v této partii (jako ostatnˇe i v jin´ ych parti´ıch) se mohou v r˚ uzné literatuˇre pˇr´ıstupy k zavádˇen´ı jednotliv´ ych základn´ıch pojm˚ u v´ıce ˇci ménˇe liˇsit.

3.1

Z´ akladn´ı pojmy

Mnoˇzinou rozum´ıme soubor (souhrn) navzájem r˚ uzn´ ych (rozliˇsiteln´ ych) (matematick´ ych ˇci jin´ ych) objekt˚ u. O kaˇzdém objektu mus´ı b´ yt moˇzné rozhodnout, zda do dané mnoˇziny patˇr´ı, ˇci nikoliv. Jednotlivé objekty, které patˇr´ı do dané mnoˇziny, se naz´ yvaj´ı prvky mnoˇziny. Mnoˇziny obvykle (ovˇsem ne vˇzdy) znaˇc´ıme velk´ ymi p´ısmeny a prvky mal´ ymi p´ısmeny. Pozor: mnoˇziny mohou nˇekdy vystupovat jako prvky jin´ ych mnoˇzin. Zápis a ∈ A znamená, ˇze a je prvkem mnoˇziny A. Zápis a 6∈ A znamená, ˇze a nen´ı prvkem mnoˇziny A. Mnoˇzina je jednoznaˇcnˇe urˇcena sv´ ymi prvky. Proto dvˇe mnoˇziny, nezávisle na zp˚ usobu jejich zadán´ı, povaˇzujeme za stejné, právˇe kdyˇz maj´ı stejné prvky (tzv. extenzionalita). M˚ uˇzeme tedy psát A = B ⇔ (∀x : x ∈ A ⇔ x ∈ B) . Existuje tzv. prázdná mnoˇzina, která se vyznaˇcuje t´ım, ˇze nemá ˇza´dné prvky. Oznaˇcujeme ji symbolem ∅. Mnoˇzina, která má koneˇcn´ y poˇcet prvk˚ u (tj. bud’ je prázdná, anebo poˇcet jejich prvk˚ u je dán pˇrirozen´ ym ˇc´ıslem), se naz´ yvá koneˇcná mnoˇzina. Poˇcet prvk˚ u koneˇcné mnoˇziny A oznaˇcujeme symbolem |A| (pozdˇeji, kdy jist´ ym zp˚ usobem rozˇs´ıˇr´ıme pojem poˇctu prvk˚ u, budeme sp´ıˇse pouˇz´ıvat oznaˇcen´ı 17

18

Kapitola 3.

card A.) Kaˇzdá mnoˇzina, která nen´ı koneˇcná, se naz´ yvá nekoneˇcná mnoˇzina. Mnoˇzinu lze zadat r˚ uzn´ ymi zp˚ usoby, nejˇcastˇeji výˇctem prvk˚ u nebo charakteristickou vlastnost´ı. Poznamenejme, ˇze z extenzionality vypl´ yvá napˇr. {a, b} = {b, a}. Dále plat´ı napˇr. {x, x, y} = {x, y}. Pozn´ amka 3.1. Pojem mnoˇziny zde zaveden´ y je pouze intuitivn´ı a byl v podobném tvaru (ale téˇz intuitivnˇe) zaveden G. Cantorem v r. 1872. V pozdˇejˇs´ı dobˇe se vˇsak ukázalo, ˇze toto pojet´ı mnoˇziny je nevyhovuj´ıc´ı. Byly totiˇz objeveny tzv. antinomie, neboli paradoxy, které ukazuj´ı jej´ı spornost. Jedn´ım z nejznámˇejˇs´ıch paradox˚ u je tzv. Russel˚ uv paradox : Pˇripust’me existenci mnoˇziny A = {X : X je mnoˇzina, X 6∈ X}. Z definice mnoˇziny A potom vypl´ yvá, ˇze nem˚ uˇze platit ani vztah A ∈ A (odtud totiˇz plyne A 6∈ A), ani vztah A 6∈ A (odtud zase naopak plyne A ∈ A). Tyto paradoxy byly pozdˇeji odstranˇeny t´ım, ˇze teorie mnoˇzin byla vybudována axiomaticky. Tato axiomatická teorie vˇsak pˇrekraˇcuje rámec naˇs´ı uˇcebn´ı látky. Na základˇe této poznámky vid´ıme, ˇze je potˇreba opatrnosti pˇri uvaˇzován´ı jak´ ychsi univerzáln´ıch soubor˚ u“ jako souboru vˇsech mnoˇzin“ apod. Tyto ” ” soubory nemohou b´ yt mnoˇzinami.

3.2

Z´ akladn´ı mnoˇ zinov´ e vztahy a operace

O rovnosti mnoˇzin A, B (tj. A = B) jsme se zm´ınili jiˇz v´ yˇse. ˇ ıkáme, ˇze mnoˇzina A je podmnoˇzina mnoˇziny B a p´ıˇseme A ⊆ B, právˇe R´ kdyˇz ∀x : x ∈ A ⇒ x ∈ B. Vztah ⊆ se naz´ yvá mnoˇzinová inkluze. Jestliˇze A ⊆ B a A 6= B, pak ˇr´ıkáme, ˇze A je vlastn´ı podmnoˇzina mnoˇziny B a p´ıˇseme A ⊂ B. Jestliˇze A nen´ı podmnoˇzina mnoˇziny B, p´ıˇseme A 6⊆ B. Pro libovolné mnoˇziny A, B, C zˇrejmˇe plat´ı A ⊆ A, ∅ ⊆ A, (A ⊆ B ∧ B ⊆ C) ⇒ A ⊆ C, A = B ⇔ (A ⊆ B ∧ B ⊆ A). Posledn´ı vztah je velmi uˇziteˇcn´ y pˇri dokazován´ı mnoˇzinov´ ych rovnost´ı. Jsou-li A, B mnoˇziny, pak m˚ uˇzeme utvoˇrit dalˇs´ı mnoˇziny A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}, A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}, A \ B = {x : x ∈ A ∧ x 6∈ B}, které postupnˇe naz´ yváme sjednocen´ı, pr˚ unik a rozd´ıl mnoˇzin A a B. Pozdˇeji budeme tyto operace zavádˇet i na systémech mnoˇzin.

Kapitola 3.

19

Plat´ı ˇrada d˚ uleˇzit´ ych vztah˚ u (dokaˇzte si je), napˇr.: A ∪ B = B ∪ A (komutativn´ı zákon) A ∩ B = B ∩ A (komutativn´ı zákon) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (asociativn´ı zákon) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (asociativn´ı zákon) A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C) (de Morgan˚ uv zákon) A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C) (de Morgan˚ uv zákon) Dále je uˇziteˇcné si uvˇedomit následuj´ıc´ı vztahy (promyslete si, proˇc plat´ı): x 6∈ A ∪ B ⇔ (x 6∈ A ∧ x 6∈ B) x 6∈ A ∩ B ⇔ (x 6∈ A ∨ x 6∈ B) x 6∈ A \ B ⇔ (x ∈ 6 A ∨ x ∈ B) Pro libovolnou mnoˇzinu A definujeme systém vˇsech podmnoˇzin mnoˇziny A a oznaˇcujeme jej 2A (pˇr´ıpadnˇe P(A)), tedy 2A = {X : X ⊆ A}. Jestliˇze |A| = n, potom |2A | = 2n . Mnoˇziny a vztahy mezi nimi lze znázorˇ novat graficky pomoc´ı tzv. Vennových diagram˚ u. D˚ ukazy mnoˇzinov´ ych rovnost´ı a dalˇs´ıch vztah˚ u lze provádˇet v´ıce zp˚ usoby (ne vˇsechny jsou vˇsak vˇzdy zcela vhodné ˇci korektn´ı): • Princip neurˇcitého prvku: Pˇri d˚ ukazu vztahu A ⊆ B vezmeme pevn´ y, ale libovoln´ y prvek x ∈ A a ukáˇzeme, ˇze x ∈ B. • Tabulková metoda: Do tabulky vypisujeme vˇsechny moˇzné kombinace (skupiny) – tˇr´ıd´ıme prvky podle jejich vztahu ke vstupn´ım mnoˇzinám (1 pro je prvkem“, 0 pro nen´ı prvkem“). V dalˇs´ıch sloupc´ıch pak ” ” postupnˇe pˇridáváme dalˇs´ı potˇrebné operace dle zadán´ı. Pouˇz´ıváme v podstatˇe podobn´ y pˇr´ıstup jako u pravdivostn´ıch tabulek ve v´ yrokovém poˇctu. • Obrázková metoda: Zaloˇzena na pouˇzit´ı Vennov´ ych diagram˚ u. Zde v podstatˇe nejde o korektn´ı d˚ ukaz (metoda je totiˇz vázána na jednu konkrétn´ı reprezentaci mnoˇzin pomoc´ı urˇcit´ ych geometrick´ ych u ´tvar˚ u). Nicménˇe Vennovy diagramy velmi dobˇre slouˇz´ı pro z´ıskán´ı pˇrehledu o situaci a pro odhad toho, jak´ y v´ ysledek m˚ uˇzeme oˇcekávat. Dále jsou velmi uˇziteˇcné (a korektn´ı) pro d˚ ukaz toho, ˇze nˇejak´ y vztah neplat´ı – nalezen´ı vhodného konkrétn´ıho pˇr´ıkladu.

20

3.3

Kapitola 3.

(Ne)uspoˇ r´ adan´ e dvojice a kart´ ezsk´ y souˇ cin

Neuspoˇrádanou dvojic´ı prvk˚ u a, b rozum´ıme mnoˇzinu {a, b} (nezáleˇz´ı na poˇrad´ı, tj. vˇzdy plat´ı {a, b} = {b, a}). Podobnˇe definujeme neuspoˇra´danou n-tici prvk˚ u x1 , . . . , xn (n ∈ N, n ≥ 2) jako {x1 , . . . , xn }. Chceme-li uvaˇzovat tzv. uspoˇrádanou dvojici (a, b) (tj. dvojici, kde záleˇz´ı na poˇrad´ı) je pˇrirozené poˇzadovat platnost vztahu (a, b) = (c, d), právˇe kdyˇz a = c a zároveˇ n b = d. Lze ukázat, ˇze uspoˇrádaná dvojice definovaná následuj´ıc´ım zp˚ usobem má poˇzadovanou vlastnost. Mˇejme dány dva prvky a, b, pˇriˇcemˇz nevyluˇcujeme pˇr´ıpad a = b. Uspoˇrádanou dvojici (a, b) definujeme jako (a, b) = {{a}, {a, b}}. Je lehké vidˇet, ˇze (a, a) = {{a}}. Uspoˇra´danou n-tici definujeme indukc´ı takto: (a) = {a}, (a1 , . . . , an ) = (a1 , (a2 , . . . , an )). Lze opˇet ukázat, ˇze (a1 , . . . , an ) = (b1 , . . . , bn ), právˇe kdyˇz a1 = b 1 , . . . , a n = b n . Jestliˇze A, B jsou libovolné mnoˇziny, pak mnoˇzina A × B = {(x, y) : x ∈ A, y ∈ B} se naz´ yvá kartézský souˇcin mnoˇzin A, B (v tomto poˇrad´ı). Analogicky definujeme A1 × · · · × An = {(a1 , . . . , an ) : ai ∈ Ai , i = 1, . . . , n}. Pro poˇcet prvk˚ u (v pˇr´ıpadˇe koneˇcn´ ych mnoˇzin A, B) plat´ı |A × B| = |A| · |B|. Zde jsou nˇekteré vztahy pro sjednocen´ı, pr˚ unik, rozd´ıl a kartézsk´ y souˇcin (dokaˇzte si je): A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C) A × (B \ C) = (A × B) \ (A × C)

3.4

Literatura

Jak jiˇz bylo ˇreˇceno na zaˇca´tku, mohou se v r˚ uzné literatuˇre pˇr´ıstupy k základn´ım pojm˚ um v´ıce ˇci ménˇe liˇsit. Upozorˇ nujeme, ˇze monografie [1] je jiˇz jist´ ym zp˚ usobem pokroˇcilá a je urˇcena pouze pro váˇzné zájemce o problematiku. Rovnˇeˇz skripta [4] se budou hodit sp´ıˇse v pokroˇcilejˇs´ım kurzu teorie mnoˇzin v nˇekterém z dalˇs´ıch semestr˚ u. Pro naˇse potˇreby jsou nyn´ı nejvhodnˇejˇs´ımi zdroji [2,5,6,8]. ˇ epánek, Teorie mnoˇzin, Academia, Praha 1986. [1] B. Balcar, P. Stˇ [2] J. Beˇcváˇr a kol., Seznamujeme se s mnoˇzinami, SNTL, Praha 1982 [3] K. Devlin, Jazyk matematiky, Argo, Dokoˇrán, Praha 2002.

Kapitola 3.

21

[4] E. Fuchs, Teorie mnoˇzin pro uˇcitele, Masarykova univerzita, Brno 1999. [5] P. Horák, Základy matematiky, PˇrF MU Brno (pˇr´ıp. téˇz starˇs´ı vydán´ı skript Algebra a teoretická aritmetika od téhoˇz autora, které je sv´ ym obsahem podobné). [6] L. Kosmák, Mnoˇzinová algebra, Masarykova univerzita, Brno 1995. ˇ [7] J. Kuben, P. Sarmanov´ a, Diferenciáln´ı poˇcet funkc´ı jedné promˇenné, ˇ VSB TU Ostrava 2006. [8] J. Polák, Pˇrehled stˇredoˇskolské matematiky (7. vydán´ı), Prometheus, Praha 2000.

22

Kapitola 3.

Kapitola 4 ˇ ıseln´ C´ e obory 4.1

Intuitivn´ı popis a u ´ vodn´ı pozn´ amky

Naˇse definice ˇc´ıseln´ ych obor˚ u jsou pouze intuitivn´ı (podobnˇe jako náˇs pˇr´ıstup k v´ yrok˚ um ˇci mnoˇzinám). Jejich pˇresnˇejˇs´ı konstrukce ˇci definice (pˇriˇcemˇz existuje v´ıce r˚ uzn´ ych pˇr´ıstup˚ u) jsou ponˇekud komplikovanˇejˇs´ı a s nˇekter´ ymi se setkáte v dalˇs´ıch semestrech. • Pˇrirozená ˇc´ısla: N = {1, 2, 3, . . . }. Nˇekdy se do této mnoˇziny zahrnuje i 0. My to vˇsak dˇelat nebudeme. Nˇekdy se znaˇc´ı N0 = N ∪ {0}. • Celá ˇc´ısla: Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . }. • Racionáln´ı ˇc´ısla: Q = {x : x = a/b, a, b ∈ Z, b 6= 0}. Bez u ´jmy na obecnosti lze brát b ∈ N. Pouˇzijeme-li pro zápis racionáln´ıho ˇc´ısla zápis, kde se ve jmenovateli vyskytuje nejmenˇs´ı moˇzné kladné ˇc´ıslo, pak jsme jej vyjádˇrili v tzv. základn´ım tvaru. Takové vyjádˇren´ı je jednoznaˇcné. • Reálná ˇc´ısla: R. Neformálnˇe lze tuto mnoˇzinu vyjádˇrit nˇekolika zp˚ usoby. R se skládá ze dvou disjunktn´ıch podmnoˇzin, totiˇz Q a I, kde I je mnoˇzina ˇc´ısel iracionáln´ıch (nelze je vyjádˇrit jako pod´ıl cel´ ych ˇc´ısel; alternativnˇe lze ˇr´ıci, ˇze iracionáln´ı ˇc´ısla lze zapsat jen takov´ ym desetinn´ ym rozvojem, kter´ y je nekoneˇcn´ y a neperiodick´ y). Existuje vzájemnˇe jednoznaˇcné pˇriˇrazen´ı vˇsech reáln´ ych ˇc´ısel a vˇsech bod˚ u libovolné pˇr´ımky. Téˇz lze ˇr´ıci, ˇze reálná ˇc´ısla vyjadˇruj´ı délky u ´seˇcek (pˇri zvolené jednotkové u ´seˇcce), ˇc´ısla k nim opaˇcná a nulu. Nˇekdy se znaˇc´ı + R = {x ∈ R : x > 0}, R− = {x ∈ R : x < 0}. 23

24

Kapitola 4. • Komplexn´ı ˇc´ısla: C = {x : x = a + ib, a, b ∈ R}, kde i je imaginárn´ı jednotka, pro kterou plat´ı i2 = −1, a dále definujeme (a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i, (a+bi)(c+di) = (ab−bd)+(ad+bc)i. Téˇz lze definovat C jako R × R s pˇr´ısluˇsn´ ymi operacemi mezi uspoˇrádan´ ymi dvojicemi. Pro z ∈ C se vyjádˇren´ı z = a + bi naz´ yvá algebraický tvar, kde a je reáln´ a ˇcást, b je imaginárn´ı ˇcást. Komplexn´ı ˇc´ısla lze geometricky znázornit jako body v Gaussovˇe rovinˇe : osa x je reálná osa, osa y je imaginárn´ı osa.

Plat´ı tyto inkluze N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.

4.2

Nˇ ekter´ e vybran´ e vlastnosti ˇ c´ısel

Základn´ı operace s ˇc´ısly (sˇc´ıtán´ı, násoben´ı, umocˇ nován´ı atd.) a jejich vlastnosti zde nebudeme pro jednotlivé ˇc´ıselné obory detailnˇe opakovat. Pˇredpokládá se, ˇze studenti matematick´ ych obor˚ u s t´ımto nemaj´ı problém. Bylo by fajn, kdyby se mezi ˇctenáˇri tohoto textu nevyskytovali studenti pouˇz´ıvaj´ıc´ı 1 = a1 + 1b . pˇr´ıˇsernosti typu a+b Poznamenejme pouze, ˇze ve vˇsech uveden´ ych ˇc´ıseln´ ych oborech je moˇzno ˇc´ısla sˇc´ıtat a násobit, pˇriˇcemˇz jak sˇc´ıtán´ı, tak násoben´ı jsou komutativn´ı, asociativn´ı a plat´ı distributivn´ı zákon. Nav´ıc v Z, Q, R, C ke kaˇzdému ˇc´ıslu existuje ˇc´ıslo opaˇcné, zat´ımco v N tomu tak nen´ı. Dále v Q, R, C ke kaˇzdému nenulovému ˇc´ıslu existuje ˇc´ıslo pˇrevrácené, zat´ımco v N, Z tomu tak nen´ı. ˇ ısla mnoˇzin N, Z, Q, R lze uspoˇra´dat podle velikosti“ (tzn. zavést symboly C´ ” ≤, <). Zejména zde uvedeme pojmy a vlastnosti, které nemusej´ı b´ yt standardnˇe uvádˇeny na stˇredn´ıch ˇskolách, a pˇritom se nám budou pozdˇeji velmi hodit. Zaˇcnˇeme s pˇripom´ınkou, ˇze pro N plat´ı princip u ´plné indukce: Je-li M ⊆ N taková, ˇze 1 ∈ M a s kaˇzd´ ym n ∈ M obsahuje mnoˇzina M i ˇc´ıslo n + 1, pak M = N. Lze ukázat, ˇze N je nejmenˇs´ı mnoˇzina (vzhledem k inkluzi) ze vˇsech mnoˇzin A ⊆ R s vlastnostmi 1 ∈ A a pro kaˇzdé n ∈ A plat´ı n + 1 ∈ A. Následuj´ıc´ı pojem zavád´ıme v oboru Z a v budoucnu jej vyuˇzijeme v souvislosti s ˇreˇsen´ım Diofantick´ ych rovnic, v souvislosti s ekvivalencemi a rozklady a v souvislosti s koneˇcn´ ymi grupami (a modulárn´ı aritmetikou). Nejdˇr´ıve pˇripomeˇ nme, ˇze jsou-li a, b ∈ Z, pak ˇr´ıkáme, ˇze a dˇel´ı b a p´ıˇseme a|b, jestliˇze ∃z ∈ Z : b = az. Necht’ m ∈ N je pevné a a, b ∈ Z. Jestliˇze

Kapitola 4.

25

m|(b − a), pak ˇrekneme, ˇze ˇc´ısla a, b jsou kongruentn´ı podle modulu m a p´ıˇseme a ≡ b(mod m). Lze ukázat, ˇze a ≡ b(mod m), právˇe kdyˇz a, b dávaj´ı po dˇelen´ı ˇc´ıslem m stejn´ y zbytek, coˇz je právˇe kdyˇz a, b se liˇs´ı o celoˇc´ıseln´ y násobek ˇc´ısla m. Plat´ı a ≡ a(mod m), a ≡ b(mod m) ⇒ b ≡ a(mod m), a ≡ b(mod m) ∧ b ≡ c(mod m) ⇒ a ≡ c(mod m). Jestliˇze a ≡ b(mod m), c ≡ d(mod m), pak plat´ı a + c ≡ b + d(mod m), a − c ≡ b − d(mod m), a · c ≡ b · d(mod m), an ≡ bn (mod m) pro libovolné n ∈ N. Nelze libovolnˇe provádˇet krácen´ı“, napˇr. 3·6 ≡ 7·6(mod 8), ale pˇritom neplat´ı 3 ≡ 7(mod 8). ” Plat´ı vˇsak toto a · c ≡ b · c(mod m) ∧ c, m jsou nesoudˇelná ⇒ a ≡ b(mod m). O mnoˇzinách R, I, Q lze dokázat tuto zaj´ımavou vlastnost: Mezi dvˇema r˚ uzn´ ymi reáln´ ymi ˇc´ısly leˇz´ı jak nekoneˇcnˇe mnoho r˚ uzn´ ych racionáln´ıch, tak i nekoneˇcnˇe mnoho r˚ uzn´ ych iracionáln´ıch ˇc´ısel. Mnoˇzinu R∗ = R∪{∞, −∞} (kde ∞, −∞ 6∈ R a pro libovolné x ∈ R plat´ı −∞ < x < ∞) naz´ yváme rozˇs´ıˇrenou mnoˇzinou reálných ˇc´ısel. V mnoˇzinˇe ∗ R definujeme následuj´ıc´ı operace: x + ∞ = ∞ + x = ∞ pro x > −∞, x + (−∞) = −∞ + x = −∞ pro x < ∞, x · (±∞) = ±∞ · x = ±∞ pro x ∈ R ∪ {∞}, x > 0, x · (±∞) = ±∞ · x = ∓∞ pro x ∈ R ∪ {−∞}, x < 0, x x = −∞ = 0 pro x ∈ R, | − ∞| = |∞| = ∞. Nedefinuj´ı se tyto operace: ∞ a x0 pro x ∈ R∗ . Intervaly definujeme ∞+(−∞), −∞+∞, 0·(±∞), ±∞·0, ±∞ ±∞ takto: Pro a, b ∈ R∗ , a < b, je (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}, pro a, b ∈ R, a < b, je ha, bi = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}, pro a ∈ R, b ∈ R∗ , a < b, je ha, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}, pro a ∈ R∗ , b ∈ R, a < b, je (a, bi = {x ∈ R : a < x ≤ b}. Zˇrejmˇe (−∞, ∞) = R. Nˇekde v literatuˇre se téˇz definuje napˇr. pro a < ∞ (a, ∞i = {x ∈ R∗ : a < x ≤ ∞} atd. Následuj´ıc´ı pojmy budou pozdˇeji diskutovány v souvislosti s tzv. uspoˇrádan´ ymi mnoˇzinami. My si zde nyn´ı uvedeme specifikace pro pˇr´ıpad mnoˇziny ˇ R (R∗ ). Necht’ M ⊆ R∗ , a, b ∈ R∗ . Rekneme, ˇze b je horn´ı závora mnoˇziny ˇ M , jestliˇze ∀x ∈ M : x ≤ b. Rekneme, ˇze a je doln´ı závora mnoˇziny M , ˇ jestliˇze ∀x ∈ M : x ≥ a. Rekneme, ˇze b je maximum mnoˇziny M , jestliˇze ˇ b je horn´ı závora mnoˇziny M a b ∈ M (p´ıˇseme b = max M ). Rekneme, ˇze a je minimum mnoˇziny M , jestliˇze a je doln´ı závora mnoˇziny M a a ∈ M (p´ıˇseme a = min M ). Oznaˇcme U (M ) mnoˇzinu vˇsech horn´ıch závor a ˇ L(M ) mnoˇzinu vˇsech doln´ıch závor. Rekneme, ˇze b je supremum mnoˇziny ˇ M (p´ıˇseme b = sup M ), jestliˇze b = min U (M ). Rekneme, ˇze a je infimum

26

Kapitola 4.

mnoˇziny M (p´ıˇseme a = inf M ), jestliˇze a = max L(M ). Pro M 6= ∅ plat´ı inf M ≤ sup M . Dále plat´ı inf ∅ = max R∗ = ∞ > −∞ = min R∗ = sup ∅. Plat´ı, ˇze kaˇzdá mnoˇzina M ⊆ R∗ má v R∗ supremum a infimum. Dále plat´ı, ˇze kaˇzdá neprázdná shora ohraniˇcená mnoˇzina M ⊆ R má v R supremum (ekvivalentnˇe, kaˇzdá neprázdná zdola ohraniˇcená mnoˇzina M ⊆ R má v R infimum). Tato poslednˇe jmenovaná vlastnost mnoˇziny R (pˇri axiomatickém zavádˇen´ı R je to vlastné jeden z axiom˚ u, tzv. u ´plnost) je velmi v´ yznamná. Populárnˇe ˇreˇceno, ˇr´ıká, ˇze v R nejsou ˇza´dné d´ıry“ ani mezery“. Napˇr. ” ” pro mnoˇzinu Q tato vlastnost neplat´ı. Uvˇedomte si jaké plat´ı vztahy mezi infimem a minimem, resp. mezi supremem a maximem. Nyn´ı si pˇripomeˇ nme pojem absolutn´ı hodnoty ˇc´ısla a ∈ R: ( a jestliˇze a ≥ 0 |a| = −a jestliˇze a < 0. ˇ ıslo |a − b| (resp. Plat´ı tzv. troj´ uheln´ıková nerovnost |a + b| ≤ |a| + |b|. C´ |b−a|) je rovno vzdálenosti bod˚ u a a b na ˇc´ıselné ose. Zejména v matematické anal´ yze se nám budou velmi hodit následuj´ıc´ı souvislosti mezi nerovnostmi s absolutn´ımi hodnotami, nerovnostmi bez absolutn´ıch hodnot a intervaly (pro daná a, b ∈ R, b > 0), napˇr. {x ∈ R : |x − a| < b} = {x ∈ R : a − b < x < a + b} = (a − b, a + b), ˇci {x ∈ R : |x − a| > b} = {x ∈ R : x < a − b ∨ x > a + b} = (−∞, a − b) ∪ (a + b, ∞). Podobnˇe pro neostré nerovnosti. ˇ ıslo a − bi se naz´ Nakonec uvaˇzujme mnoˇzinu C. C´ yvá komplexnˇe sdruˇzené k ˇc´ıslu z = a + bi √ (oznaˇc. z¯).√Absolutn´ı hodnota ˇc´ısla z = a + bi je definovaná vztahem |z| = a2 + b2 = z · z¯. Pro goniometrický tvar ˇc´ısla z = a + bi plat´ı z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ), kde tzv. argument ϕ (oznaˇc. ϕ = arg z) je u ´hel urˇcen´ y (aˇz na celoˇc´ıseln´ y násobek 2π) vztahy cos ϕ = a/|z|, sin ϕ = b/|z|. Hlavn´ı hodnota argumentu ˇc´ısla z je ϕ ∈ (−π, πi (urˇcena jednoznaˇcnˇe). Necht’ n ∈ N. Pak n-tou mocninu ˇc´ısla z ∈ C lze poˇc´ıtat podle Moivreovy vˇety z n = |z|n (cos nϕ + i sin nϕ). Pro n ∈ N a z ∈ C existuje právˇe n r˚ uzn´ ych hodnot komplexn´ı n-té odmocniny ˇc´ısla z; ta jsou dána vzorcem p n |z|[cos(ϕ/n + 2kπ/n) + i sin(ϕ/n + 2kπ/n)], k = 0, 1, . . . , n − 1. Zakonˇceme tuto kapitolu zm´ınkou o elegantn´ım Eulerovˇe vzorci eix = cos x + i sin x, kter´ y plat´ı pro kaˇzdé x ∈ R. Speciálnˇe pro x = π dostaneme eiπ + 1 = 0. Tato zaj´ımavá rovnost dává do souvislosti tˇri základn´ı aritmetické operace (souˇcet, souˇcin, mocnina) s pˇeti základn´ımi (nejznámˇejˇs´ımi) matematick´ ymi konstantami (e, π, i, 0, 1). Pˇritom se v této rovnosti vyskytuje kaˇzdá z operac´ı i kaˇzdá z konstant právˇe jednou a ˇzádné jiné operace ani jiné konstanty se v

Kapitola 4.

27

n´ı nevyskytuj´ı.

4.3

Literatura

[1] I. Buˇsek, E. Calda, Matematika pro gymnázia. Základn´ı poznatky z matematiky (3. vydán´ı), Prometheus, Praha 2006. [2] K. Devlin, Jazyk matematiky, Argo, Dokoˇrán, Praha 2002. [3] P. Horák, Základy matematiky, PˇrF MU Brno (pˇr´ıp. téˇz starˇs´ı vydán´ı skript Algebra a teoretická aritmetika od téhoˇz autora, které je sv´ ym obsahem podobné). ˇ ıselné obory, PˇrF MU Brno 1998. [4] R. Kuˇcera, L. Skula, C´ ˇ [5] J. Kuben, P. Sarmanov´ a, Diferenciáln´ı poˇcet funkc´ı jedné promˇenné, ˇ TU Ostrava 2006. VSB [6] J. Polák, Pˇrehled stˇredoˇskolské matematiky (7. vydán´ı), Prometheus, Praha 2000.

28

Kapitola 4.

Kapitola 5 Relace 5.1

Relace mezi mnoˇ zinami

Zaˇcneme definic´ı. Necht’ A, B jsou mnoˇziny. Pak libovolnou mnoˇzinu %⊆A×B naz´ yváme relac´ı mezi mnoˇzinami A a B (záleˇz´ı na poˇrad´ı). Jestliˇze (a, b) ∈ % (resp. (a, b) 6∈ %), pak ˇr´ıkáme, ˇze prvek a je v relaci % (resp. nen´ı v relaci %) s prvkem b. Vztah (a, b) ∈ % nˇekdy struˇcnˇe zapisujeme jako a%b. M´ısto (a, b) 6∈ % pak nˇekdy p´ıˇseme a¯ %b. Pozn´ amka 5.1. Nˇekdy se pˇri definován´ı postupuje ponˇekud formálnˇeji: Jeli M ⊆ A × B, pak uspoˇrádanou dvojici % = ((A, B), M ) naz´ yváme relac´ı. Mnoˇzina M se naz´ yvá grafem. Relace % = ∅ je tzv. prázdná relace mezi A, B, relace % = A × B je tzv. univerzáln´ı relace mezi A, B. Pozn´ amka 5.2. Pojem relace mezi A, B u ´zce souvis´ı s tˇemito mnoˇzinami. ’ Necht % je relace mezi A, B a σ je relace mezi C, D. Pak relace % a σ se sobˇe rovnaj´ı (p´ıˇseme % = σ), jestliˇze % = σ, A = C, B = D. Pˇri formálnˇejˇs´ı definici by rovnosti A = C, B = D byly jej´ım pˇr´ım´ ym d˚ usledkem. Necht’ % je relace mezi A, B. Potom se mnoˇzina Dom % = {x ∈ A : ∃y ∈ B tak, ˇze x%y} naz´ yvá definiˇcn´ı obor relace %. Mnoˇzina Ran % = {y ∈ B : ∃x ∈ A tak, ˇze x%y} se naz´ yvá obor hodnot relace %, pˇr´ıpadnˇe obraz relace %. 29

30

Kapitola 5.

Pozor: v literatuˇre se lze setkat s odliˇsn´ ym oznaˇcován´ım definiˇcn´ıho oboru a oboru hodnot. Pro vˇetˇs´ı názornost si m˚ uˇzeme relace mezi mnoˇzinami znázorˇ novat graficky: body v rovinˇe (znázorˇ nuj´ıc´ı prvky mnoˇzin A, B) spoj´ıme orientovanou ˇsipkou, právˇe kdyˇz jsou v relaci. Relace lze skládat v následuj´ıc´ım smyslu. Necht’ % je relace mezi A, B a σ je relace mezi C, D. Pak relace σ ◦ % = {(x, y) ∈ A × C : ∃b ∈ B tak, ˇze x%b ∧ bσy} (ˇcti: σ po %“) se naz´ yvá sloˇzená relace z relac´ı % a σ (v tomto poˇrad´ı). ” Komutativita (tj. % ◦ σ = σ ◦ %) neplat´ı. Najdˇete si vhodn´ y pˇr´ıklad (uvˇedomte si pˇritom, jak´ y vztah mus´ı splˇ novat A, B, C). Asociativita (tj. τ ◦(σ ◦%) = (τ ◦σ)◦% pro relaci % mezi A, B, relaci σ mezi B, C a relaci τ mezi C, D) plat´ı. Dokaˇzte si ji (rovnost dokazujeme jako mnoˇzinovou rovnost). Dále definujeme tzv. inverzn´ı relaci. Necht’ % je relace mezi A, B. Potom relace %−1 mezi B, A definovaná vztahem %−1 = {(b, a) ∈ B × A : a%b} se naz´ yvá inverzn´ı relace k relaci %. Jak vypadaj´ı grafická znázornˇen´ı relac´ı −1 %, % ? Zˇrejmˇe plat´ı (%−1 )−1 = %. Dále si dokaˇzte (jako mnoˇzinovou rovnost), ˇze (σ ◦ %)−1 = %−1 ◦ σ −1 .

5.2

Relace na mnoˇ zinˇ e

Necht’ A je mnoˇzina. Pak libovolnou mnoˇzinu % ⊆ A2 naz´ yváme relac´ı na mnoˇzinˇe A. Mnoˇzinu A s relac´ı % znaˇc´ıme (A, %). Ponˇevadˇz jde o speciáln´ı pˇr´ıpad relace mezi A, B, kde A = B, plat´ı vˇsechny v´ ysledky pˇredchoz´ı podkapitoly i pro relace na mnoˇzinˇe. Pozn´ amka 5.3. Relace % ⊆ A2 se téˇz nˇekdy naz´ yvá binárn´ı relace na A. Podobnˇe lze definovat n-árn´ı relaci na A jako libovolnou podmnoˇzinu mnoˇziny An (pro n = 1 tzv. unárn´ı relaci, pro n = 2 binárn´ı relaci, pro n = 3 tzv. ternárn´ı relaci). Protoˇze vˇsak zde pracujeme pˇreváˇznˇe s binárn´ımi relacemi, mluv´ıme struˇcnˇe o relac´ıch.

Kapitola 5.

31

Pro libovolnou mnoˇzinu A je relace idA = {(x, x) : x ∈ A} naz´ yvána identickou nebo diagonáln´ı relac´ı na A. Relaci na mnoˇzinˇe (zejména, je-li koneˇcná) lze znázornit graficky (pomoc´ı (nejen) uzlového grafu) ˇci tabulkou. Pozdˇeji uvid´ıme, ˇze nˇekteré speciáln´ı typy relac´ı je v´ yhodné znázorˇ novat i jin´ ym zp˚ usobem. Definujeme tyto základn´ı vlastnosti relac´ı na mnoˇzinˇe. Necht’ (A, %) je ˇ mnoˇzina s relac´ı. Rekneme, ˇze relace % je • • • • •

reflexivn´ı, jestliˇze: x ∈ A ⇒ x%x symetrická, jestliˇze: x, y ∈ A ∧ x%y ⇒ y%x antisymetrická, jestliˇze: x, y ∈ A ∧ x%y ∧ y%x ⇒ x = y tranzitivn´ı, jestliˇze: x, y, z ∈ A ∧ x%y ∧ y%z ⇒ x%z u ´plná, jestliˇze: x, y ∈ A ⇒ x%y ∨ y%x

Promyslete si, jak se tyto vlastnosti (kromˇe tranzitivity, kde je situace sloˇzitˇejˇs´ı) poznaj´ı z uzlového grafu a z tabulky relace; napˇr pˇri reflexivitˇe je v grafu kaˇzd´ y bod opatˇren smyˇckou a v hlavn´ı diagonále tabulky jsou samé jedniˇcky atd. V´ yˇse definované vlastnosti lze charakterizovat i jin´ ym zp˚ usobem (nˇekdy v literatuˇre jsou nˇekteré z následuj´ıc´ıch vztah˚ u – d´ıky ekvivalenci – uˇz´ıvány jako definice). Pokuste se následuj´ıc´ı ekvivalence dokázat. Necht’ (A, %) je mnoˇzina s relac´ı. Potom plat´ı: • • • • •

% % % % %

je je je je je

reflexivn´ı ⇔ idA ⊆ % symetrická ⇔ % ⊆ %−1 antisymetrická ⇔ % ∩ %−1 ⊆ idA tranzitivn´ı ⇔ % ◦ % ⊆ % u ´plná ⇔ % ∪ %−1 = A × A

Závˇerem poznamenejme, ˇze symetrie a antisymetrie se navzájem nevyluˇcuj´ı ´ a relace mus´ı b´ (napˇr. idA ). Upln´ yt vˇzdy reflexivn´ı.

5.3

Literatura

ˇ epánek, Teorie mnoˇzin, Academia, Praha 1986. [1] B. Balcar, P. Stˇ [2] J. Beˇcváˇr a kol., Seznamujeme se s mnoˇzinami, SNTL, Praha 1982

32

Kapitola 5.

[3] P. Horák, Základy matematiky, PˇrF MU Brno (pˇr´ıp. téˇz starˇs´ı vydán´ı skript Algebra a teoretická aritmetika od téhoˇz autora, které je sv´ ym obsahem podobné). [4] L. Kosmák, Mnoˇzinová algebra, Masarykova univerzita, Brno 1995.

Kapitola 6 Zobrazen´ı 6.1


Necht’ A, B jsou mnoˇziny a f je relace mezi A, B splˇ nuj´ıc´ı vlastnost: pro kaˇzdé x ∈ A existuje právˇe jedno y ∈ B tak, ˇze (x, y) ∈ f.

(6.1)

Pak se tato relace naz´ yvá zobrazen´ı mnoˇziny A do mnoˇziny B. Tuto relaci obvykle zapisujeme symbolem f : A → B. Poznamenejme, ˇze Dom f = A. M´ısto (x, y) ∈ f p´ıˇseme f (x) = y, pˇriˇcemˇz y se naz´ yvá obraz prvku x (pˇri zobrazen´ı f ) a x se naz´ yvá vzor prvku y (pˇri zobrazen´ı f ). Pozn´ amka 6.1. (i) Nˇekdy se zobrazen´ı definuje intuitivnˇe jako pˇredpis, kter´ y kaˇzdému prvku mnoˇziny A pˇriˇrazuje právˇe jeden prvek mnoˇziny B. Tato definice vˇsak nem˚ uˇze b´ yt zcela pˇresná, nebot’ pouˇz´ıvá mlhavého (nedefinovaného) pojmu pˇredpis“. Nové pojmy lze definovat pouze na základˇe jiˇz ” dˇr´ıve definovan´ ych pojm˚ u. Náˇs pˇr´ıstup k definici pomoc´ı relace tento problém odstraˇ nuje. (ii) Nˇekdy se pouˇz´ıvá (obecnˇejˇs´ıho) pojmu, totiˇz zobrazen´ı z mnoˇziny A do mnoˇziny B, kde (6.1) je nahrazena (obecnˇejˇs´ı) vlastnost´ı: pro kaˇzdé x ∈ A existuje nejv´ yˇse jedno y ∈ B tak, ˇze (x, y) ∈ f. K zadán´ı zobrazen´ı je potˇreba zadat mnoˇzinu A (definiˇcn´ı obor), mnoˇzinu B a pˇredpis (tj. vhodnou relaci) f . Pˇritom pˇredpis lze zadat r˚ uzn´ ymi zp˚ usoby. V nˇekter´ ych speciáln´ıch pˇr´ıpadech uˇz´ıváme pro pojem zobrazen´ı jiného v´ yrazu: napˇr. f : A → R, kde A ⊆ R se naz´ yvá reálná funkce (jedné) reálné 33

34

Kapitola 6.

promˇenné nebo f : N → B se naz´ yvá posloupnost (m´ısto f (n) p´ıˇseme fn ) apod. Zobrazen´ı f : A → B, g : C → D jsou si rovna, právˇe kdyˇz A = C ∧ B = D ∧ f (x) = g(x) pro kaˇzdé x ∈ A. Naˇse definice zobrazen´ı pˇripouˇst´ı A = ∅ nebo B = ∅. Je-li A = ∅ a B libovolná, pak existuje právˇe jedno zobrazen´ı ∅ → B, které se naz´ yvá prázdné zobrazen´ı. Je-li A 6= ∅ a B = ∅, potom neexistuje zobrazen´ı A → ∅. Pro mnoˇzinu vˇsech zobrazen´ı A → B uˇz´ıváme oznaˇcen´ı B A = {f |f : A → B}. Plat´ı |A| = n, |B| = m ⇒ |B A | = mn (coˇz jist´ ym zp˚ usobem od˚ uvodˇ nuje zavedené oznaˇcen´ı).

6.2

Injekce, surjekce, bijekce

Pro zobrazen´ı definujeme následuj´ıc´ı d˚ uleˇzité vlastnosti. Necht’ f : A → B je zobrazen´ı. Zobrazen´ı f se naz´ yvá • injektivn´ı (nebo téˇz prosté ), jestliˇze kaˇzd´ y prvek z mnoˇziny B má nejv´ yˇse jeden vzor (pˇri zobrazen´ı f ). • surjektivn´ı (nebo téˇz na), jestliˇze kaˇzd´ y prvek z mnoˇziny B má alespoˇ n jeden vzor (pˇri zobrazen´ı f ). • bijektivn´ı (nebo téˇz vzájemnˇe jednoznaˇcné ), jestliˇze je zároveˇ n injektivn´ı a surjektivn´ı. ˇ Casto ˇr´ıkáme tˇemto zobrazen´ım struˇcnˇe injekce, surjekce, bijekce. Rozmyslete si, jak postupujeme pˇri d˚ ukazu injektivity, resp. surjektivity zobrazen´ı. Jsou-li A, B koneˇcné mnoˇziny, kde |A| = n, |B| = m, potom plat´ı následuj´ıc´ı ekvivalence: ∃ injekce f : A → B ⇔ n ≤ m; ∃ surjekce f : A → B ⇔ n ≥ m; ∃ bijekce f : A → B ⇔ n = m. Pozdˇeji vyuˇzijeme zobrazen´ı (mimo jiné) k zaveden´ı a studiu pojmu mohutnost mnoˇziny“ (kde mnoˇzina m˚ uˇze ” b´ yt i nekoneˇcná) a nav´ıc budeme schopni se oprostit od pˇredstavy, kterou si nevˇedomky pˇrináˇs´ıme jiˇz ze základn´ı ˇskoly, a sice, ˇze poˇcet prvk˚ u mnoˇziny je ˇc´ıslo. Zároveˇ n uvid´ıme, ˇze nen´ı moˇzné pˇrenáˇset vˇsechny vˇzité (a správné!) pˇredstavy o koneˇcn´ ych mnoˇzinách na mnoˇziny nekoneˇcné. Nakonec poznamenejme, ˇze pokud |A| = |B| = m, potom existuje právˇe m! navzájem r˚ uzn´ ych bijektivn´ıch zobrazen´ı.

Kapitola 6.

6.3

35

Inverzn´ı a sloˇ zen´ e zobrazen´ı

Nyn´ı budeme specifikovat pojmy, které známe uˇz z kapitoly o relac´ıch, totiˇz inverzi a skládán´ı. Necht’ f : A → B je bijekce (uvˇedomte si, ˇze inverzn´ı relace k zobrazen´ı nen´ı obecnˇe zobrazen´ı). Potom definujeme zobrazen´ı f −1 : B → A takto: pro kaˇzdé y ∈ B klademe f −1 (y) = x, kde x ∈ A je vzorem prvku y pˇri zobrazen´ı f (tj. f (x) = y). Zobrazen´ı f −1 se naz´ yvá inverzn´ı zobrazen´ı k f . Zˇrejmˇe f −1 je bijekce a (f −1 )−1 = f . Necht’ f : A → B a g : B → C jsou zobrazen´ı. Potom zobrazen´ı g ◦ f : A → C [ˇcti: g po f “] definované pˇredpisem (g ◦ f )(x) = g(f (x)) pro kaˇzdé ” x ∈ A se naz´ yvá sloˇzené zobrazen´ı (ze zobrazen´ı f a g, v tomto poˇrad´ı). M´ısto g ∈ B → C lze (obecnˇeji) uvaˇzovat g : D → C. Aby vˇsak v tomto pˇr´ıpadˇe bylo skládán´ı moˇzné, je potˇreba pˇredpokládat Ran f ⊆ D(= Dom g). Pro skládán´ı zobrazen´ı neplat´ı komutativn´ı zákon a plat´ı asociativn´ı zákon. Pro f : A → B plat´ı f ◦ idA = f = idB ◦f . Je-li nav´ıc f bijekce, potom f −1 ◦ f = idA a f ◦ f −1 = idB . Pro skládán´ı zobrazen´ı a vlastnosti injektivity a surjektivity plat´ı následuj´ıc´ı vztahy (pokuste se je dokázat). Necht’ f : A → B, g : B → C jsou zobrazen´ı. Potom: f, g jsou injekce ⇒ g ◦ f je injekce f, g jsou surjekce ⇒ g ◦ f je surjekce g ◦ f je injekce ⇒ f je injekce g ◦ f je surjekce ⇒ g je surjekce Dále lze ukázat (pokuste se o d˚ ukaz s vyuˇzit´ım v´ yˇse uveden´ ych v´ ysledk˚ u) následuj´ıc´ı ekvivalenci. Necht’ f : A → B, g : B → A. Potom g ◦ f = idA ∧ f ◦ g = idB ⇔ f, g jsou bijekce ∧ g = f −1 .

6.4

Literatura

ˇ epánek, Teorie mnoˇzin, Academia, Praha 1986. [1] B. Balcar, P. Stˇ [2] J. Beˇcváˇr a kol., Seznamujeme se s mnoˇzinami, SNTL, Praha 1982 [3] P. Horák, Základy matematiky, PˇrF MU Brno (pˇr´ıp. téˇz starˇs´ı vydán´ı skript Algebra a teoretická aritmetika od téhoˇz autora, které je sv´ ym obsahem podobné).

36

Kapitola 6.

[4] L. Kosmák, Mnoˇzinová algebra, Masarykova univerzita, Brno 1995.

Kapitola 7 Uspoˇ r´ ad´ an´ı 7.1


Necht’ (A, %) je mnoˇzina s relac´ı. Jestliˇze % je reflexivn´ı, antisymetrická a tranzitivn´ı, pak se tato relace naz´ yvá uspoˇrádán´ı (na mnoˇzinˇe A) a (A, %) se naz´ yvá uspoˇrádaná mnoˇzina. Je-li nav´ıc % u ´plná, pak se naz´ yvá lineárn´ı uspoˇrádán´ı (na mnoˇzinˇe A) a (A, %) se naz´ yvá lineárnˇe uspoˇrádaná mnoˇzina nebo ˇretˇezec. Terminologie v teorii uspoˇra´dán´ı nen´ı jednotná. Nˇekdy se napˇr. uˇz´ıvá název ˇcásteˇcné uspoˇrádán´ı m´ısto uspoˇrádán´ı a uspoˇrádán´ım se rozum´ı lineárn´ı uspoˇra´dán´ı. Nˇekdy se m´ısto lineárn´ı uspoˇrádán´ı resp. lineárnˇe uspoˇra´daná mnoˇzina ˇr´ıká u ´plné uspoˇrádán´ı resp. u ´plnˇe uspoˇrádaná mnoˇzina. Relaci uspoˇra´dán´ı obvykle znaˇc´ıme symbolem ≤ ( menˇs´ı nebo rovno“), ” pˇr´ıpadnˇe symbolem . Obecnˇe tento symbol nemá nic spoleˇcného se srovnáván´ım ˇc´ısel podle velikosti (v podstatˇe je t´ım vˇsak motivován). M´ısto x ≤ y lze psát (podle potˇreby) y ≥ x. M´ısto x ≤ y ∧ x 6= y struˇcnˇe p´ıˇseme x < y (nebo y > x). Uspoˇra´danou mnoˇzinu (A, ≤) lze ˇcasto znázorˇ novat graficky pomoc´ı tzv. hasseovského diagramu: prvky mnoˇziny A znázorn´ıme jako body v rovinˇe, pˇriˇcemˇz je-li x < y, pak bod x nakresl´ıme n´ıˇze neˇz bod y. Dále dva body x, y spoj´ıme u ´seˇckou právˇe tehdy, kdyˇz x < y a @z ∈ A : x < z ∧ z < y (tj. neexistuje bod mezi x a y). V podstatˇe jde o zjednoduˇsen´ y uzlov´ y graf, kde jsou vynechány zbyteˇcné“ ˇsipky a orientace ˇsipek. Uvedená konstrukce ” nedefinuje jednoznaˇcnˇe tvar“ diagramu. Známe-li hasseovsk´ y diagram, lze z ” nˇej pak relaci ≤ jednoznaˇcnˇe zpˇetnˇe zrekonstruovat. 37

38

Kapitola 7.

7.2

V´ yznaˇ cn´ e prvky v uspoˇ r´ adan´ ych mnoˇ zin´ ach

Necht’ (A, ≤) je uspoˇrádaná mnoˇzina. Prvek a ∈ A se naz´ yvá • • • •

nejmenˇs´ı, jestliˇze pro kaˇzdé x ∈ A je a ≤ x. nejvˇetˇs´ı, jestliˇze pro kaˇzdé x ∈ A je x ≤ a. minimáln´ı, jestliˇze neexistuje x ∈ A takové, ˇze x < a. maximáln´ı, jestliˇze neexistuje x ∈ A takové, ˇze a < x.

Prvky x, y ∈ A se naz´ yvaj´ı srovnatelné, jestliˇze x ≤ y nebo y ≤ x. V opaˇcném pˇr´ıpadˇe se prvky x, y naz´ yvaj´ı nesrovnatelné. V´ yˇse definované prvky maj´ı následuj´ıc´ı oˇcekávatelné“ vlastnosti (pokuste ” se je dokázat): Necht’ (A, ≤) je uspoˇrádaná mnoˇzina. Potom • (A, ≤) má nejv´ yˇse jeden nejvˇetˇs´ı a nejv´ yˇse jeden nejmenˇs´ı prvek. • a ∈ A je nejmenˇs´ı [nejvˇetˇs´ı] prvek ⇒ a je minimáln´ı [maximáln´ı] prvek a ˇza´dné dalˇs´ı minimáln´ı [maximáln´ı] prvky v (A, ≤) neexistuj´ı. • Mnoˇzina (A, ≤) je lineárnˇe uspoˇrádaná ⇔ kaˇzdé dva prvky x, y ∈ A jsou srovnatelné. • Necht’ (A, ≤) je ˇretˇezec. Potom a ∈ A je minimáln´ı [maximáln´ı] ⇔ a je nejmenˇs´ı [nejvˇetˇs´ı]. Podobnˇe jako jsme to dˇr´ıve dˇelali v pˇr´ıpadˇe (uspoˇra´dané) mnoˇziny R resp. R∗ , lze i v obecné uspoˇra´dané mnoˇzinˇe zavést pojmy jako horn´ı a doln´ı závora, supremum a infimum a studovat jejich vlastnosti. S touto látkou se vˇsak podrobnˇeji setkáte pozdˇeji.

7.3

Literatura

ˇ epánek, Teorie mnoˇzin, Academia, Praha 1986. [1] B. Balcar, P. Stˇ [2] J. Beˇcváˇr a kol., Seznamujeme se s mnoˇzinami, SNTL, Praha 1982 [3] P. Horák, Základy matematiky, PˇrF MU Brno (pˇr´ıp. téˇz starˇs´ı vydán´ı skript Algebra a teoretická aritmetika od téhoˇz autora, které je sv´ ym obsahem podobné). [4] L. Kosmák, Mnoˇzinová algebra, Masarykova univerzita, Brno 1995.

Kapitola 8 Relace ekvivalence a rozklady 8.1

Relace ekvivalence

Jestliˇze (A, %) je mnoˇzina s relac´ı, která je reflexivn´ı, symetrická a tranzitivn´ı, pak se tato relace naz´ yvá ekvivalence (na mnoˇzinˇe A). Relaci ekvivalence obvykle znaˇc´ıme symbolem ∼. Pozor na terminologii: ekvivalenc´ı téˇz naz´ yváme logickou spojku ⇔. Z kontextu vˇsak vˇzdy bude jasné, kterou ekvivalenci máme na mysli. Pˇ r´ıklad 8.1. (i) Necht’ A 6= ∅ je libovolná mnoˇzina. Potom idA a A × A jsou relacemi ekvivalence na A. Oznaˇc´ıme-li E(A) mnoˇzinu vˇsech relac´ı ekvivalence na A, potom (E(A), ⊆) je uspoˇrádaná mnoˇzina s nejmenˇs´ım prvkem idA a nejvˇetˇs´ım prvkem A × A. (ii) Relace kongruence podle modulu m je relac´ı ekvivalence na Z. Plat´ı: % je ekvivalence na A ⇒ %−1 je ekvivalence na A. Dokaˇzte si. Dále lze napˇr´ıklad ukázat, ˇze pr˚ unik libovolného systém˚ u ekvivalenc´ı je ekvivalence.

8.2

Rozklady

Necht’ A 6= ∅ je libovolná mnoˇzina. Pak systém M neprázdn´ ych podmnoˇzin mnoˇziny A se naz´ yvá rozklad na mnoˇzinˇe A, jestliˇS ze splˇ nuje tyto podm´ınky: (i) X, Y ∈ M ∧ X 6= Y ⇒ X ∩ Y = ∅, (ii) X = A [pˇripomeˇ nme, X∈M S ˇze X je sjednocen´ı vˇsech mnoˇzin ze systému M]. Prvky systému M se X∈M

naz´ yvaj´ı tˇr´ıdy rozkladu M. 39

40

Kapitola 8.

Dokazujeme-li, ˇze M je rozklad na A, pak obvykle ovˇeˇrujeme následuj´ıc´ı tˇri podm´ınky (promyslete si, proˇc): (i) S X ∈ M ⇒ ∅ 6= X ⊆ A, (ii) X, Y ∈ M a X ∩ Y 6= ∅ ⇒ X = Y , (iii) A ⊆ X. X∈M

Pˇ r´ıklad 8.2. (i) Dva nejjednoduˇsˇs´ı typy rozklad˚ u na A 6= ∅ jsou M = {{x} : x ∈ A} a M = {A}. (ii) Necht’ n ∈ N je pevné. Oznaˇcme Ci = {x ∈ Z : x ≡ i( mod m)}, i = 0, 1, . . . , m−1. Pak mnoˇzina Ci se naz´ yvá zbytková tˇr´ıda podle modulu m. Oznaˇcme Zm = {C0 , C1 , . . . , Cm−1 }. Potom Zm je rozklad na Z. Promyslete si, proˇc nem˚ uˇze platit napˇr. vztah Z3 ⊆ Z4 (i kdyˇz k platnosti takového vztahu svád´ı“ definice pomoc´ı zbytkov´ ych tˇr´ıd). ”

8.3

Vztahy mezi ekvivalencemi a rozklady

Z v´ yˇse uveden´ ych pˇr´ıklad˚ u lze intuitivnˇe vytuˇsit platnost následuj´ıc´ıch obecn´ ych tvrzen´ı, jejichˇz pˇresné d˚ ukazy lze nalézt v literatuˇre. Plat´ı: Necht’ ∼ je relace ekvivalence na A. Pro a ∈ A poloˇzme Xa = {x ∈ A : x ∼ a}. Potom systém mnoˇzin {X : ∃a ∈ A tak, ˇze X = Xa } je rozklad na mnoˇzinˇe A. Tento systém oznaˇcujeme symbolem A/ ∼ a ˇr´ıkáme, ˇze A/ ∼ je rozklad pˇr´ısluˇsný ekvivalenci ∼. Pˇ r´ıklad 8.3. (i) Necht’ A 6= ∅ je libovolná mnoˇzina. a) Jestliˇze ∼ = idA , potom A/ ∼ = {{x} : x ∈ A}. b) Jestliˇze ∼ = A × A, potom A/ ∼ = {A} (ii) Necht’ A = Z. Jestliˇze ∼ = ≡ (kde ≡ je relace kongruence podle modulu m), potom Z/ ≡ = Zm . Plat´ı: Necht’ M je rozklad na A. Pro a, b ∈ A poloˇz´ıme a ∼M b ⇔ ∃ tˇr´ıda X ∈ M tak, ˇze a, b ∈ X. Pak relace ∼M je relac´ı ekvivalence na A. Tuto relaci naz´ yváme ekvivalence pˇr´ısluˇsná rozkladu M. Pˇ r´ıklad 8.4. Necht’ A 6= ∅ je libovolná mnoˇzina. a) Jestliˇze M = {{x} : x ∈ A}, potom ∼M = idA . b) Jestliˇze M = {A}, potom ∼M = A × A. Nen´ı obt´ıˇzné vysledovat následuj´ıc´ı fakt: Vyjdeme-li od jisté ekvivalence na A, utvoˇr´ıme-li rozklad na A, pˇr´ısuˇsn´ y této ekvivalenci a potom utvoˇr´ıme ekvivalenci na A, pˇr´ısluˇsnou tomuto rozkladu, skonˇc´ıme u p˚ uvodn´ı ekvivalence, od n´ıˇz jsme vyˇsli. Podobnˇe, zaˇcneme-li rozkladem, dojdeme pˇres pˇr´ısluˇsnou ekvivalenci opˇet k p˚ uvodn´ımu rozkladu. M˚ uˇzeme tedy ˇr´ıci, ˇze se t´ımto zp˚ usobem ekvivalence a rozklady vzájemnˇe urˇcuj´ı. Pˇresnˇe plat´ı tyto vztahy: Necht’ A 6= ∅ je libovolná neprázdná mnoˇzina. Potom

Kapitola 8.

41

• ∼ je ekvivalence na A ⇒ ∼A/∼ = ∼. • M je rozklad na A ⇒ A/ ∼M = M. Uvˇedomte si, ˇze tato dvˇe tvrzen´ı jsou vlastnˇe mnoˇzinové rovnosti a také se tak dokazuj´ı. Promyslete si pˇr´ıklady r˚ uzn´ ych situac´ı z bˇeˇzného ˇzivota, kde se setkáváme s ekvivalencemi a rozklady (aniˇz si to uvˇedomujeme).

8.4

Literatura

ˇ epánek, Teorie mnoˇzin, Academia, Praha 1986. [1] B. Balcar, P. Stˇ [2] J. Beˇcváˇr a kol., Seznamujeme se s mnoˇzinami, SNTL, Praha 1982 [3] P. Horák, Základy matematiky, PˇrF MU Brno (pˇr´ıp. téˇz starˇs´ı vydán´ı skript Algebra a teoretická aritmetika od téhoˇz autora, které je sv´ ym obsahem podobné). [4] L. Kosmák, Mnoˇzinová algebra, Masarykova univerzita, Brno 1995.

42

Kapitola 8.

Kapitola 9 Re´ aln´ e funkce re´ aln´ e promˇ enn´ e 9.1


Necht’ f : A → B je zobrazen´ı. Jestliˇze ∅ 6= A ⊆ R a B = R, pak toto zobrazen´ı naz´ yváme reálnou funkc´ı jedné reálné promˇenné (dále jen funkc´ı). Mnoˇzina A se naz´ yvá definiˇcn´ı obor funkce f a znaˇc´ı se D(f ). Mnoˇzina {y ∈ R : ∃x ∈ D(f ) tak, ˇze y = f (x)} se naz´ yvá obor hodnot funkce f a znaˇc´ı se H(f ). (Jedná se zˇrejmˇe o speciáln´ı pˇr´ıpady v´ yˇse definovan´ ych mnoˇzin Dom f resp. Ran f .) K zadán´ı funkce je nutné uvést D(f ) a pravidlo (pˇredpis), které kaˇzdému x ∈ D(f ) pˇriˇrad´ı právˇe jedno y ∈ H(f ). ˇ Casto se ovˇsem stává, ˇze D(f ) nen´ı v´ yslovnˇe uveden. Pak za definiˇcn´ı obor pokládáme mnoˇzinu vˇsech x ∈ R takov´ ych, pro která má dan´ y pˇredpis smysl“. ” Rovnost´ı funkc´ı f a g máme na mysli toto: f = g ⇔ ((D(f ) = D(g)) ∧ (∀x ∈ D(f ) : f (x) = g(x))). Grafem funkce f : D(f ) → R rozum´ıme mnoˇzinu bod˚ u {(x, f (x)) ∈ R2 : x ∈ D(f )}.

9.2

Z´ akladn´ı vlastnosti funkc´ı

Funkce f se naz´ yvá ohraniˇcená (resp. shora ohraniˇcená, resp. zdola ohraniˇcená ), je-li H(f ) ohraniˇcená (resp. shora ohraniˇcená, resp. zdola ohraniˇcená) podmnoˇzina mnoˇziny R. M´ısto pojmu ohraniˇcená“ se nˇekdy uˇz´ıvá pojem ” omezená“. ” 43

44

Kapitola 9. ˇ Rekneme, ˇze funkce f je na mnoˇzinˇe I ⊆ D(f ) • rostouc´ı (resp. klesaj´ıc´ı), jestliˇze x1 , x2 ∈ I, x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) (resp. f (x1 ) > f (x2 )). • neklesaj´ıc´ı (resp. nerostouc´ı), jestliˇze x1 , x2 ∈ I, x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ) (resp. f (x1 ) ≥ f (x2 )).

Funkce f se naz´ yvá monotonn´ı na I, jestliˇze je zde nerostouc´ı nebo neklesaj´ıc´ı. Funkce f se naz´ yvá ryze monotonn´ı na I, jestliˇze je zde rostouc´ı nebo klesaj´ıc´ı. Evidentnˇe je kaˇzdá ryze monotonn´ı funkce také monotonn´ı, ne vˇsak naopak. Funkce f se naz´ yvá sudá (resp. lichá ), jestliˇze plat´ı (i) x ∈ D(f ) ⇒ −x ∈ D(f ), (ii) f (−x) = f (x) (resp. f (−x) = −f (x)) pro kaˇzdé x ∈ D(f ). Pˇr´ımo z definice plyne, ˇze graf sudé funkce je symetrick´ y podle osy y, graf liché funkce je symetrick´ y podle poˇca´tku. ˇ Necht’ p ∈ (0, ∞). Rekneme, ˇze funkce f je periodická s periodou p (neboli p-periodická ), jestliˇze plat´ı (i) x ∈ D(f ) ⇒ x ± p ∈ D(f ), (ii) f (x + p) = f (x) pro kaˇzdé x ∈ D(f ). Je lehké vidˇet, ˇze je-li p perioda funkce f , je np, n ∈ N, téˇz perioda funkce f . Tedy mnoˇzina P vˇsech period periodické funkce je vˇzdy nekoneˇcná. Pokud existuje min P , naz´ yvá se nejmenˇs´ı perioda funkce f (nebo také základn´ı perioda ˇci ryz´ı perioda).

9.3

Operace s funkcemi, transformace grafu

Necht’ f, g jsou funkce. Potom definujeme • souˇcet f + g takto: (f + g)(x) = f (x) + g(x), D(f + g) = D(f ) ∩ D(g). • rozd´ıl f − g takto: (f − g)(x) = f (x) − g(x), D(f − g) = D(f ) ∩ D(g). • souˇcin f g takto: (f g)(x) = f (x) + g(x), D(f g) = D(f ) ∩ D(g). • pod´ıl f /g takto: (f /g)(x) = f (x)/g(x), D(f /g) = D(f ) ∩ {x ∈ D(g) : g(x) 6= 0}. • mocnina f g takto: (f g )(x) = f (x)g(x) , D(f g ) = D(g) ∩ {x ∈ D(f ) : f (x) > 0}.

Kapitola 9.

45

Je tˇreba si uvˇedomit, ˇze napˇr. ve vztahu (f + g)(x) = f (x) + g(x) vystupuje stejn´ y symbol +“ v r˚ uzn´ ych v´ yznamech. Na levé stranˇe rovnosti znamená ” operaci mezi funkcemi (tj. funkc´ım f, g je pˇriˇrazena funkce f + g) a na pravé stranˇe má +“ v´ yznam souˇctu dvou reáln´ ych ˇc´ısel f (x) + g(x). Podobnˇe to ” plat´ı i pro ostatn´ı operace. Následuj´ıc´ı pojmy sloˇzené funkce a inverzn´ı funkce jsou speciáln´ımi pˇr´ıpady v´ yˇse uveden´ ych pojm˚ u sloˇzeného zobrazen´ı a inverzn´ıho zobrazen´ı. Pˇredpokládejme, ˇze f, g jsou funkce a H(f ) ⊆ D(g). Potom definujeme sloˇzenou funkci g ◦ f (ˇcti: g po f “) takto: (g ◦ f )(x) = g(f (x)), x ∈ D(f ). ” Funkci f naz´ yváme vnitˇrn´ı sloˇzka, funkci g naz´ yváme vnˇejˇs´ı sloˇzka sloˇzené funkce g ◦ f . Zˇrejmˇe D(g ◦ f ) = D(f ). Pozn´ amka 9.1. V podstatˇe nen´ı nezbytnˇe nutné pˇredpokládat H(f ) ⊆ D(g). Potom je vˇsak potˇreba uvaˇzovat pˇredpis (g ◦ f )(x) = g(f (x)) pro x taková, ˇze x ∈ D(f ) ∧ f (x) ∈ D(g) (k tomu samozˇrejmˇe potˇrebujeme H(f ) ∩ D(g) 6= ∅). V tomto pˇr´ıpadˇe je D(g ◦ f ) obecnˇe pouze ˇca´st´ı D(f ). Operaci skládán´ı lze postupnˇe aplikovat na v´ıce funkc´ı, napˇr. (h ◦ g ◦ f )(x) = h(g(f (x))). Dokaˇzte si, ˇze jestliˇze f, g jsou funkce obˇe prosté, resp. obˇe rostouc´ı, resp. obˇe sudé, resp. obˇe liché, pak funkce g ◦ f má také tuto vlastnost. Je-li f klesaj´ıc´ı a g rostouc´ı, potom g ◦ f i f ◦ g jsou klesaj´ıc´ı. Je-li f sudá a g lichá, potom g ◦ f i f ◦ g jsou sudé. Pˇripomeˇ nme, ˇze f je prostá (injektivn´ı), jestliˇze plat´ı x1 , x2 ∈ D(f ), x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ). Necht’ f je prostá funkce. Funkce f −1 se naz´ yvá funkce inverzn´ı k funkci f , jestliˇze D(f −1 ) = H(f ), (ii) pro kaˇzdé y ∈ D(f −1 ) plat´ı f −1 (y) = x ⇔ f (x) = y. Poznamenejme, ˇze f −1 existuje pouze, kdyˇz f je prostá. Dále plat´ı H(f −1 ) = D(f ), f −1 je prostá funkce, (f −1 )−1 = f , (f −1 ◦f )(x) = x pro kaˇzdé x ∈ D(f ) a (f ◦f −1 )(x) = x pro kaˇzdé x ∈ D(f −1 ) = H(f ). Grafy funkc´ı f a f −1 jsou (v téˇze kartézské soustavˇe souˇradnic) navzájem soumˇerné podly pˇr´ımky y = x. Kapitolu zakonˇc´ıme diskus´ı o jist´ ych transformac´ıch grafu funkce“. V ” podstatˇe p˚ ujde o sestrojen´ı grafu funkce pomoc´ı graf˚ u jin´ ych (znám´ ych) funkc´ı, které se od p˚ uvodn´ı funkce moc neodliˇsuj´ı“. Uvaˇzujeme tedy násle” duj´ıc´ıch ˇsest pˇr´ıpad˚ u. Necht’ f je funkce. • f1 : y = −f (x). Grafy funkc´ı f a f1 jsou symetrické podle osy x. • f2 : y = f (−x). Grafy funkc´ı f a f2 jsou symetrické podle osy y.

46

Kapitola 9. • f3 : y = f (x) + b, b ∈ R. Posunut´ı grafu ve smˇeru osy y: nahoru pro b > 0, dol˚ u pro b < 0. • f4 : y = f (x − a), a ∈ R. Posunut´ı grafu ve smˇeru osy x: doprava pro a > 0, doleva pro a < 0. • f5 : y = kf (x), k ∈ (0, ∞). Deformace grafu ve smˇeru osy y: k-násobné zvˇetˇsen´ı“ pro k > 1, k-násobné zmenˇsen´ı“ pro k ∈ (0, 1). ” ” • f6 : y = f (mx), m ∈ (0, ∞). Deformace grafu ve smˇeru osy x: 1/mnásobné z´ uˇzen´ı“ pro m > 1, 1/m-násobné roztaˇzen´ı“ pro m ∈ (0, 1). ” ” Následuj´ıc´ı obrázky ilustruj´ı transformace grafu funkce.

Kapitola 9.

9.4

47

Nˇ ekolik pˇ r´ıklad˚ u

Na závˇer uved’me nˇekolik pˇr´ıklad˚ u souvisej´ıc´ıch s tématem této kapitoly. • Uvaˇzujme pˇredpisy funkc´ı f : y = 2 ln x, g: y = ln x2 . Nemáme-li zadány D(f ), D(g), vyˇsetˇr´ıme, kdy maj´ı pˇredpisy smysl: D(f ) = {x ∈ R : x > 0}, D(g) = {x ∈ R : x 6= 0}. Vˇsimnˇeme si, ˇze f 6= g, pˇrestoˇze pro pˇr´ıpustná x plat´ı 2 ln x = ln x2 . • Kruˇznice nen´ı grafem funkce:

Promyslete si, jak je poruˇsena definice zobrazen´ı. Lze tuto kˇrivku popsat v´ıce funkcemi? Jak´ ymi? • Graf funkce f : y = sgn x (ˇcteme: signum), kde f (x) = −1 pro x < 0, f (0) = 0 a f (x) = 1 pro x > 0:

48

Kapitola 9.

Plat´ı D(f ) = R, H(f ) = {−1, 0, 1}. Funkce sgn x je neklesaj´ıc´ı a ohraniˇcená na R. Je to funkce lichá. • Graf funkce f (x) = |x|:

Tato funkce je ohraniˇcená zdola, neohraniˇcená shora. Je to funkce sudá. • Tzv. Dirichletova funkce je definována takto ( 1 x∈Q f (x) = 0 x ∈ I.

(9.1)

Plat´ı D(f ) = R, H(f ) = {0, 1}. Graf této funkce nejsme schopni nakreslit. Urˇcete si mnoˇzinu vˇsech period této funkce a vˇsimnˇete si, ˇze nejmenˇs´ı perioda neexistuje. • Dokaˇzte, ˇze funkce x/(1 + x2 ) je ohraniˇcená na R. D˚ ukaz: Plat´ı (|x| − 1)2 ≥ 0, proto x2 + 1 ≥ 2|x| pro kaˇzdé x ∈ R. Odtud

Kapitola 9.

49

dostáváme 2 x = |x| ≤ 1 · x + 1 = 1 1 + x2 1 + x2 2 x2 + 1 2 pro kaˇzdé x ∈ R. Tedy funkce je ohraniˇcená. • Pro funkce f (x) = x2 a g(x) = 1 − 2x vytvoˇrte funkci h = (3f + 2g)/f a urˇcete definiˇcn´ı obor. ˇ sen´ı: Plat´ı Reˇ 2 3x2 + 2 − 4x 4 + h(x) = = 3 − , x2 x x2 D(h) = R \ {0}. • Pro funkce f (x) = 3 − 2x, g(x) = ln x urˇcete g ◦ f a D(g ◦ f ). ˇ sen´ı: Plat´ı (g◦f )(x) = g(f (x)) = ln(3−2x). Uvˇedomte si, ˇze zde nemáme Reˇ H(f ) ⊆ D(f ), nebot’ H(f ) = R a D(g) = (0, ∞). Potˇrebujeme tedy vz´ıt x ∈ D(f ) tak, aby 3−2x ∈ (0, ∞), tj. x < 3/2. Tedy D(g◦f ) = (−∞, 3/2). • Ovˇeˇrte, ˇze funkce f (x) = (x + 2)/(x − 3) je prostá a najdˇete f −1 . Urˇcete definiˇcn´ı obory a obory hodnot obou funkc´ı. ˇ sen´ı: Zˇrejmˇe D(f ) = R \ {3}. Vezmˇeme x1 , x2 ∈ D(f ), x1 6= x2 . Je lehké Reˇ vidˇet, ˇze 5(x2 − x1 ) 6= 0. f (x1 ) − f (x2 ) = (x1 − 3)(x2 − 3) Proto f je prostá. Tedy existuje f −1 a nav´ıc plat´ı H(f −1 ) = D(f ) = R\{3}. Inverzn´ı funkci z´ıskáme tak, ˇze z rovnosti y = (x + 2)/(x − 3) vyjáˇr´ıme x, tj. x = (2+3y)/(y −1). Pˇreznaˇcen´ım dostáváme f −1 (x) = (2+3x)/(x−1). Urˇc´ıme zb´ yvaj´ıc´ı obory: H(f ) = D(f −1 ) = R \ {1}. • Pomoc´ı transformac´ı grafu (základn´ı elementárn´ı) funkce y = x2 , nakreslete graf funkce f (x) = 12 x2 − 4x + 5. ˇ sen´ı: Nejprve provedeme vhodnou u Reˇ ´pravu (doplnˇen´ı na ˇctverec): 1 1 f (x) = (x2 − 8x + 16 − 16) + 5 = (x − 4)2 − 3. 2 2 Nyn´ı postupnˇe sestroj´ıme funkce f1 , f2 , f3 , f :

50

9.5

Kapitola 9.

Literatura

[1] L.E. Garner, Calculus and analytic geometry, Dellen Publ. Comp. 1988. ˇ [2] J. Kuben, P. Sarmanov´ a, Diferenciáln´ı poˇcet funkc´ı jedné promˇenné, ˇ VSB TU Ostrava 2006. [3] V. Novák, Diferenciáln´ı poˇcet funkc´ı jedné reálné promˇenné, PdF MU Brno 2004. [4] K. Rektorys a kol., Pˇrehled uˇzité matematiky I, Prometheus 2002.

Kapitola 10 Element´ arn´ı funkce Nejprve si vyjasnˇeme pojem elementárn´ı funkce a dalˇs´ıch souvisej´ıc´ıch pojm˚ u. Poznamenejme, ˇze terminologie t´ ykaj´ıc´ı se n´ıˇze uvedeného rozdˇelen´ı funkc´ı nen´ı v literatuˇre zdaleka jednotná. Základn´ımi elementárn´ımi funkcemi máme na mysli polynomy, funkce racionáln´ı, exponenciáln´ı, logaritmické, mocninné, goniomentrické, cyklometrické (tj. inverzn´ı ke goniometrick´ ym), hyperbolické a hyperbolometrické (tj. inverzn´ı k hyperbolick´ ym). Tyto funkce lze chápat jako základn´ı stavebn´ı kameny (pˇriˇcemˇz jsou povoleny pouze jisté jednoduché konstrukˇcn´ı postupy“) ” pro naprostou vˇetˇsinu funkc´ı, se kter´ ymi v základn´ıch kursech pracujeme. Radˇeji zmiˇ nme, ˇze v ˇradˇe uˇcebnic nejsou hyperbolické a hyperbolometrické funkce uvedeny mezi základn´ımi elementárn´ımi funkcemi. Elementárn´ımi funkcemi máme na mysli funkce, které lze vytvoˇrit ze základn´ıch elementárn´ıch funkc´ı pomoc´ı koneˇcného poˇctu operac´ı sˇc´ıtán´ı, odˇc´ıtán´ı, násoben´ı, dˇelen´ı a skládán´ı funkc´ı. Název elementárn´ı funkce je dán historicky. Velmi zhruba ˇreˇceno, m´ın´ı se jimi funkce, které byly popsány do konce 18. stolet´ı. Aby to nebylo tak jednoduché, tak elementárn´ı funkce je nˇekdy definována jako funkce jedné promˇenné sestavená z koneˇcného poˇctu exponenciál, logaritm˚ u, konstant a n-t´ ych odmocnin pomoc´ı skládán´ı a ˇctyˇr elementárn´ıch operac´ı (+, −, ·, /). Pokud tyto funkce a konstanty mohou nab´ yvat i komplexn´ıch hodnot, pak trigonometrické funkce a jejich inverze jsou pˇrirozenˇe zahrnuty v mnoˇzinˇe elementárn´ıch funkc´ı; jistˇe si vzpomenete na známou Eulerovu formuli eix = cos x + i sin x, kde x ∈ R. Elementárn´ı funkce mohou b´ yt uvaˇzovány také v kontextu tzv. diferenciáln´ı algebry. 51

52

Kapitola 10.

Elementárn´ı funkce byly poprvé ˇra´dnˇe zkoumány Josephem Liouvillem v sérii ˇclánk˚ u z let 1833 aˇz 1841. Algebraick´ y pˇr´ıstup k elementárn´ım funkc´ım se objevuje v práci Josepha Felse Ritta v r. 1930. Pochopitelnˇe historick´ y v´ yvoj pojmu funkce je mnohem pestˇrejˇs´ı, avˇsak zamˇeˇren´ı naˇseho textu neposkytuje patˇriˇcn´ y prostor. Proto zmiˇ nme alespoˇ n nˇekolik vybran´ ych zaj´ımav´ ych skuteˇcnost´ı. V 16. stolet´ı objevil John Napier logaritmy, které se staly vhodn´ ym nástrojem pro rozsáhlé numerické v´ ypoˇcty v astrnomii a navigaci. Prvn´ı regulérn´ı pokus o definici funkce byl uˇcinˇen v r. 1718 Johannem Bernoullim. Dále je zaj´ımavé pˇripomenout, ˇze pro Eulera byla napˇr. funkce x 7→ 1/x vˇsude spojitou funkc´ı (je totiˇz dána jedin´ ym pˇredpisem), zat´ımco funkci x 7→ |x|, jej´ıˇz analytické vyjádˇren´ı vn´ımal pomoc´ı dvou pˇredpis˚ u x 7→ x (je-li x > 0) a x 7→ −x (je-li x ≤ 0), povaˇzoval Euler za nespojitou. Do diskus´ı o obsahu pojmu funkce pˇrispˇeli mnoz´ı dalˇs´ı. V 19. stolet´ı to byl napˇr. Riemann ˇci Dirichlet, mimo jiné i t´ım, ˇze obohatili matematiku o nˇekteré patologické funkce. Mnoh´ ym matematik˚ um vadilo, ˇze tradiˇcn´ı definice funkce obsahuj´ı vágn´ı, nedefinované term´ıny, jako napˇr. zákon, pravidlo, vztah, pˇriˇrazen´ı, korespondence, operace, le novˇe i mnoˇzina a zobrazen´ı, a poˇzadovali zredukovat poˇcet nedefinovan´ ych term´ın˚ u. Takto postupoval napˇr. G. Peano, kterému staˇcil jedin´ y nedefinovan´ y pojem mnoˇzina a kter´ y funkci chápal jako speciáln´ı binárn´ı relaci. Je zaj´ımavé, ˇze na obt´ıˇznost definován´ı tak obecného pojmu, j´ımˇz funkce je, upozorˇ novali ve 20. stolet´ı zejména nˇekteˇr´ı logici (Frege, Church) a doporuˇcovali funkci zavádˇet jako primitivn´ı pojem za pomoc´ı opis˚ u, pˇr´ıklad˚ u a historick´ ych exkurz˚ u. Nyn´ı se vrat’me z historické odboˇcky a diskutujme dále rozdˇelen´ı funkc´ı. Nˇekdy také rozliˇsujeme tzv. algebraické funkce, tj. funkce, které lze vytvoˇrit z konstant a z promˇenné x koneˇcn´ ym poˇctem algebraick´ ych operac´ı (tj. sˇc´ıtán´ım, odˇc´ıtán´ım, násoben´ım, dˇelen´ım a umocˇ nován´ım racionáln´ım exponentem). Patˇr´ı sem tedy urˇcitˇe zejména polynomy a racionáln´ı funkce. Takto definované funkce y = f (x) lze jistˇe vyjádˇrit pomoc´ı polynomu dvou promˇenn´ ych P (x, y) = 0. Uvedená definice je vˇsak ponˇekud nepˇresná a lze ji nalézt sp´ıˇs v jednoduˇsˇs´ıch textech. Ve skuteˇcnosti algebraické funkce definujeme právˇe pomoc´ı posledn´ı vlastnosti, tedy jako funkce y = f (x), které lze vyjádˇrit pomoc´ı polynomu dvou promˇenn´ ych P (x, y). Pozor, takto definované funkce nejsou podmnoˇzinou elementárn´ıch funkc´ı na rozd´ıl od funkc´ı z pˇredchoz´ı naivn´ı“ definice. Algebraické funkce lze dále rozdˇelit na racionáln´ı ” funkce a iracionáln´ı funkce (mezi iracionáln´ı funkce jistˇe patˇr´ı funkce obsahuj´ıc´ı xm/n , kde m, n jsou nesoudˇelná). Funkce, která nen´ı algebraická, se naz´ yvá transcendentn´ı. Ve v´ yˇse uvedeném v´ yˇctu funkc´ı máme uvedeny

Kapitola 10.

53

vˇsechny tzv. elementárn´ı transcendentn´ı funkce. Transcendentn´ı funkce lze rozdˇelit na niˇzˇs´ı a vyˇsˇs´ı. Niˇzˇs´ı transcendentn´ı funkce dostaneme pomoc´ı koneˇcného poˇctu operac´ı sˇc´ıtán´ı, odˇc´ıtán´ı, násoben´ı, dˇelen´ı a skládán´ı elementárn´ıch transcendentn´ıch funkc´ı. Je zˇrejmé, ˇze jak nˇekteré algebraické funkce (napˇr. racionáln´ı ˇci obsahuj´ıc´ı xm/n ), tak i niˇzˇs´ı transcendentn´ı funkce patˇr´ı mezi elementárn´ı funkce. Existuj´ı vˇsak i funkce, které nejsou elementárn´ı (lze je obdrˇzet napˇr. pomoc´ı integrál˚ u, nebo diferenciáln´ıch rovnic, ˇci pˇri hledán´ı koˇren˚ u polynom˚ u vyˇsˇs´ıch stupˇ n˚ u, ale i jinak). Takové funkce se naz´ yvaj´ı vyˇsˇs´ı transcendentn´ı funkce, nejsou-li algebraické. Jak jsme jiˇz naznaˇcili, i algebraické funkce mohou b´ yt neelementárn´ı. D˚ uleˇzitou tˇr´ıdu funkc´ı tvoˇr´ı tzv. analytické funkce, to jsou funkce, které lze v okol´ı kaˇzdého bodu vyjádˇrit jako souˇcet mocninné ˇrady. Jak uˇz jsme zm´ınili, souˇcást´ı mnoha základn´ıch kurs˚ u (a v podstatˇe i toho naˇseho) nejsou hyperbolické a hyperbolometrické funkce. Tyto vˇsak vˇsak mohou b´ yt v r˚ uzn´ ych situac´ıch velmi uˇziteˇcné. Proto si je zde alespoˇ n struˇcnˇe pˇripomeˇ nme. Ostatn´ım základn´ım elementárn´ım funkc´ım se detailnˇeji vˇenujeme n´ıˇze. Zde je tedy definice: 1 sinh x 1 1 , cotgh x = , sinh x = (ex −e−x ), cosh x = (ex +e−x ), tgh x = 2 2 cosh x tgh x jde o tzv. hyperbolický sinus, resp. hyperbolický kosinus, resp. hyperbolický tangens, resp. hyperbolický kotangens. Inverzemi tˇechto hyperbolických funkc´ı jsou pak funkce hyperbolometrické, a to argsinh x (argument hyperbolického sinu), resp. argcosh x (argument hyperbolického kosinu), resp. argtgh x (argument hyperbolického tangensu), resp. argcotgh x (argument hyperbolického kotangensu). Vˇsimnˇete si, ˇze k popsán´ı hyperbolické funkce staˇc´ı pouˇz´ıt exponenciáln´ı funkci a jednoduchou aritmetiku, tedy jsme vlastnˇe nevyrobili nic nového“. ” V základn´ıch kursech se m˚ uˇzeme ˇcasto setkat napˇr. s následuj´ıc´ımi funkcemi, které se mezi elementárn´ı neˇrad´ı. Jsou to funkce signum, funkce celá ” ˇca´st“ a Dirichletova funkce. Pˇrem´ yˇslejte, zda je f (x) = |x| elementárn´ı funkce ve smyslu naˇs´ı definice? Velmi d˚ uleˇzitou otázkou je to, zda funkce z˚ ustanou v dané tˇr´ıdˇe, pokud s nimi provedeme nˇejaké operace“, at’ uˇz t´ım máme na mysli elementárn´ı ” operace (+, −, ·, /), nebo skládán´ı, nebo inverzi, nebo derivaci, nebo integraci. • Racionalita je zachována pˇri sˇc´ıtán´ı, odˇc´ıtán´ı, násoben´ı, dˇelen´ı, skládán´ı a derivaci. Nen´ı obecnˇe zachována pˇri inverzi a pˇri integraci.

54

Kapitola 10. • Elementárnost je zachována pˇri sˇc´ıtán´ı, odˇc´ıtán´ı, násoben´ı, dˇelen´ı, skládán´ı a derivaci. Nen´ı obecnˇe zachována pˇri inverzi a pˇri integraci.

10.1

Polynomy a racion´ aln´ı funkce

Polynomy a racionáln´ı funkce patˇr´ı k nejjednoduˇsˇs´ım elementárn´ım funkc´ım. Necht’ n ∈ N ∪ {0}, a1 , a2 , . . . , an ∈ R. Funkce P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ,

x ∈ R,

ˇ ısla se naz´ yvá polynom (pˇresnˇeji, reálný polynom; nˇekdy téˇz mnohoˇclen). C´ a0 , a1 , . . . , an se naz´ yvaj´ı koeficienty polynomu P . Je-li an 6= 0, naz´ yvá se an vedouc´ı koeficient a ˇc´ıslo n stupeˇ n polynomu P (p´ıˇseme st P = n). Pozn´ amka 10.1. (i) Stupeˇ n polynomu je tedy nejvyˇsˇs´ı mocnina neznámé s nenulov´ ym koeficientem. (ii) Je-li st P = 1, pak P je lineárn´ı polynom, je-li st P = 2, pak P je kvadratický polynom, je-li st P = 3, pak P je kubický polynom. Podle definice je polynom stupnˇe 0 funkce P (x) = a0 6= 0 (tj. konstantn´ı nenulová funkce). Funkce P (x) = 0, x ∈ R, je tzv. nulový polynom, kter´ y nemá pˇriˇrazen ˇza´dn´ y stupeˇ n. (iii) Nˇekdy bude u ´ˇcelné uvaˇzovat P téˇz jako zobrazen´ı P : C → C, tj. x ∈ C, a0 , a1 , . . . , an ∈ C. Nyn´ı se budeme vˇenovat otázce nalezen´ı ˇreˇsen´ı rovnice P (x) = 0. Nebudeme hledat pouze reálné, ale i komplexn´ı koˇreny. ˇ ıslo x0 ∈ C se naz´ C´ yvá koˇren polynomu P , jestliˇze P (x0 ) = 0. Tzv. základn´ı vˇeta algebry ˇr´ıká: Libovoln´ y polynom (s reáln´ ymi nebo komplexn´ımi koeficienty) stupnˇe alespoˇ n jedna má v mnoˇzinˇe komplexn´ıch ˇc´ısel alespoˇ n jeden koˇren. Nen´ı tˇeˇzké ukázat, ˇze kaˇzd´ y polynom Pn (x), st P = n ≥ 1, lze psát ve tvaru Pn (x) = an (x − x1 )k1 (x − x2 )k2 · · · (x − xm )km , (10.1) ˇ ısl˚ kde x1 , . . . , xm jsou navzájem r˚ uzné koˇreny polynomu Pn . C´ um k1 , . . . , km se ˇr´ıká násobnosti koˇren˚ u x1 , . . . , xm , pˇriˇcemˇz m ≤ n a k1 + · · · + km = n. Tvaru (10.1) ˇr´ıkáme rozklad polynomu na souˇcin koˇrenových ˇcinitel˚ u v komplexn´ım oboru. Lineárn´ı polynomy x − xi , i = 1, . . . , n, naz´ yváme koˇrenové ˇcinitele (nebo koˇrenové faktory).

Kapitola 10.

55

Odtud lze vidˇet, ˇze kaˇzd´ y polynom stupnˇe n má v komplexn´ım oboru právˇe n koˇren˚ u, poˇc´ıtáme-li kaˇzd´ y koˇren tolikrát, kolik ˇcin´ı jeho násobnost. Oznaˇc´ıme-li x1 , . . . , xs vˇsechny r˚ uzné reálné koˇreny reálného polynomu Pn (x), n ≥ 1 s násobnostmi k1 , . . . , ks , a dále, oznaˇc´ıme-li x2 +p1 x+q1 , . . . , x2 + pr x + qr vˇsechny kvadratické trojˇcleny odpov´ıdaj´ıc´ı vˇsem navzájem r˚ uzn´ ym dvojic´ım komplexnˇe sdruˇzen´ ych nereáln´ ych koˇren˚ u s násobnostmi l1 , . . . , lr , pak dostáváme Pn (x) = an (x − x1 )k1 · · · (x − xs )ks (x2 + p1 x + q1 )l1 · · · (x2 + pr x + qr )lr , (10.2) coˇz je tzv. rozklad polynomu v reálném oboru (pˇresnˇeji rozklad reálného polynomu na souˇcin ireducibiln´ıch (tj. nerozloˇzitelných) ˇcinitel˚ u v reálném oboru). Rozklady (10.1), (10.2) jsou jednoznaˇcné aˇz na poˇrad´ı ˇcinitel˚ u. Obecnˇe je u ´loha nalezen´ı koˇren˚ u obt´ıˇzn´ yu ´kol (zejména pˇri vyˇsˇs´ıch stupn´ıch). Pro koˇreny kvadratick´ ych polynom˚ u existuje dobˇre znám´ y vzorec. Pro v´ ypoˇcet koˇren˚ u polynom˚ u tˇret´ıho ˇci ˇctvrtého stupnˇe existuj´ı téˇz jisté vztahy – v´ ypoˇcty vˇsak jiˇz mohou b´ yt pomˇernˇe sloˇzité. Bylo ukázáno, ˇze univerzáln´ı vzorec pro v´ ypoˇcet koˇren˚ u polynomu pátého a vyˇsˇs´ıho stupnˇe jiˇz v jistém ( rozumném“) ” smyslu neexistuje. Poznamenejme, ˇze ˇcasto se koˇreny hledaj´ı pomoc´ı tzv. numerick´ ych metod, pˇr´ıpadnˇe existuj´ı dalˇs´ı metody pro jisté specifické pˇr´ıpady. Pˇripomeˇ nte si alespoˇ n vzorce pro (a ± b)2 , (a ± b)3 , a2 − b2 , a3 ± b3 . Je lehké vidˇet, ˇze jsou-li P, Q polynomy, jsou P + Q, P − Q, P Q rovnˇeˇz polynomy. Dˇelen´ım polynom˚ u vˇsak jiˇz nemus´ıme dostat polynom, ale obecnˇejˇs´ı funkci, kterou nyn´ı zavedeme. Necht’ P, Q jsou nenulové polynomy. Funkce R(x) =

P (x) Q(x)

se naz´ yvá racionáln´ı funkce (nebo racionáln´ı lomená funkce). Je zˇrejmé, ˇze nemus´ı platit D(R) = R. Racionáln´ı funkce R se naz´ yvá ryz´ı (nebo ryze lomená ), jestliˇze st P < st Q a neryz´ı (nebo neryze lomená ), jestliˇze st P ≥ st Q. Je-li R neryz´ı, pak lze provést dˇelen´ı (pˇr´ısluˇsn´ y algoritmus je znám ze stˇredn´ı ˇskoly) a plat´ı R(x) =

P (x) T (x) = S(x) + , Q(x) Q(x)

kde S, T jsou polynomy (T je zbytek“ po dˇelen´ı), pˇriˇcemˇz T m˚ uˇze b´ yt ” nulov´ y. V pˇr´ıpadˇe, ˇze T je nenulov´ y, pak plat´ı st T < st Q.

56

Kapitola 10.

V budoucnu se nauˇc´ıme rozkládat racionáln´ı funkce na tzv. parciáln´ı zlomky. Zhruba ˇreˇceno: p˚ uvodn´ı ( komplikovanou“) racionáln´ı funkci nahrad´ı” me souˇctem jednoduˇsˇs´ıch“ racionáln´ıch funkc´ı. Jak také uvid´ıme, tento rozk” lad bude hrát d˚ uleˇzitou roli v integráln´ım poˇctu, ale i jinde.

10.2

Funkce exponenci´ aln´ı, logaritmick´ e a mocninn´ e

Nejprve pˇripomeˇ nme, ˇze mocninu ab , která je definována pro a ∈ R, a > 0, a b ∈ R m˚ uˇzeme zavést napˇr. takto. Nejprve se zavád´ı an , kde n ∈ N, jako an = a · a · · · a (ˇcinitel˚ u je n). Dále, ˇc´ıslo x ∈ R, x > 0, pro nˇ eˇz plat´ı √ n n x = a, naz´ yváme n-tou odmocninou z ˇc´ısla a a znaˇc´ıme√ symbolem a. Je-li nyn´ı c ∈ Q, c = m/n, m ∈ Z, n ∈ N, klademe ac = n am . Koneˇcnˇe, je-li b ∈ R libovolné, klademe ab = limn→∞ acn , kde {cn } je libovolná posloupnost racionáln´ıch ˇc´ısel taková, ˇze lim cn = b (lze ukázat, ˇze definice je korektn´ı a vˇse dobˇre funguje“). Pojem limity by mˇel b´ yt znám ze stˇredn´ı ˇskoly a ” my jej budeme v detailech studovat pozdˇeji. Alternativnˇe lze zavést obecnou mocninu jako ab = sup{ac : c < b, c ∈ Q}, kde a > 1, b ∈ I. Je-li 0 < a < 1, pak se pouˇzije infimum. Pro takto definované mocniny plat´ı obyklá poˇcetn´ı pravidla a nerovnosti. Necht’ a ∈ R, a > 0. Funkce f (x) = ax , x ∈ R, se naz´ yvá exponenciáln´ı funkce (o základu a). Pˇr´ıpad a = 1 je triviáln´ı, a proto se omez´ıme na pˇr´ıpad a 6= 1. Základn´ı vlastnosti funkce f (x) = ax , a > 0, a 6= 1, jsou tyto: • D(f ) = R, H(f ) = (0, ∞). • a > 1 ⇒ f je rostouc´ı, 0 < a < 1 ⇒ f je klesaj´ıc´ı. • x1 , x2 ∈ R ⇒ ax1 +x2 = ax1 ax2 , ax1 −x2 = ax1 /ax2 , (ax1 )x2 = ax1 x2 . D˚ uleˇzit´ ym speciáln´ım pˇr´ıpadem je tzv. pˇrirozená exponenciáln´ı funkce . f (x) = ex , kde e ∈ I je tzv. Eulerovo ˇc´ıslo, e = limn→∞ (1 + 1/n)n = 2, 718. Graf exponenciáln´ı funkce y = ax pro r˚ uzné hodnoty a:

Kapitola 10.

57

Vidˇeli jsme, ˇze pro a 6= 1 je ax ryze monotonn´ı a tedy prostá. Proto k n´ı existuje funkce inverzn´ı. Necht’ a ∈ R, a > 0, a 6= 1. Inverzn´ı funkce k funkci f (x) = ax se naz´ yvá logaritmická funkce o základu a a znaˇc´ı se loga x. Zˇrejmˇe tedy y = loga x ⇔ x = ay . Základn´ı vlastnosti funkce f (x) = loga x jsou tyto:

• D(f ) = (0, ∞), H(f ) = R. • a > 1 ⇒ f je rostouc´ı, 0 < a < 1 ⇒ f je klesaj´ıc´ı. • x1 , x2 ∈ (0, ∞) ⇒ loga (x1 x2 ) = loga x1 +loga x2 , loga (x1 /x2 ) = loga x1 − loga x2 , x1 ∈ (0, ∞), x2 ∈ R ⇒ loga xx1 2 = x2 loga x1 . • a, b ∈ R, a > 0, b > 0, a 6= 1 6= b ⇒ loga x = logb x/ logb a pro kaˇzdé x ∈ (0, ∞), ax = bx logb a pro kaˇzdé x ∈ R.

D˚ uleˇzit´ ym speciáln´ım pˇr´ıpadem je tzv. pˇrirozená logaritmická funkce ln x = loge x (znaˇc´ı se téˇz lg x nebo log x). Graf logaritmické funkce y = loga x pro r˚ uzné hodnoty a:

58

Kapitola 10.

Necht’ a ∈ R. Funkce f (x) = xa , x ∈ (0, ∞), se naz´ yvá mocninná funkce (s reálným exponentem a). Pˇr´ıpad a = 0 je nezaj´ımav´ y, nebot’ x0 = 1 pro vˇsechna x ∈ (0, ∞). Základn´ı vlastnosti funkce f (x) = xa , a ∈ R, a 6= 0, jsou tyto: • D(f ) = (0, ∞), H(f ) = (0, ∞). • a > 0 ⇒ f je rostouc´ı, a < 0 ⇒ f je klesaj´ıc´ı. • x1 , x2 ∈ (0, ∞) ⇒ (x1 x2 )a = xa1 xa2 , (x1 /x2 )a = xa1 /xa2 . Pro nˇekteré speciáln´ı hodnoty ˇc´ısla a je D(f ) funkce f (x) = xa ˇsirˇs´ı neˇz interval (0, ∞) ve shodˇe s t´ım, pro které hodnoty x ∈ R m˚ uˇze b´ yt mocnina a x definována. Zejména plat´ı: • Pro a ∈ N je D(f ) = R. • Pro a ∈ Z, a ≤ 0, je D(f ) = (−∞, 0) ∪ (0, ∞). • Pro a ∈ Q, c = m/n, m ∈ Z, n ∈ N, kde zlomek m/n je v základn´ım tvaru, pˇriˇcemˇz n je liché: v pˇr´ıpadˇe m > 0 je D(f ) = R; v pˇr´ıpadˇe m < 0 je D(f ) = (−∞, 0) ∪ (0, ∞).

Kapitola 10.

59

Uvˇedomte si, ˇze pracujeme v R. Jinak bychom s tˇemito v´ yrazy zacházeli v C. Graf mocninné funkce y = xr pro r˚ uzné hodnoty r:

10.3

Funkce goniometrick´ e a cyklometrick´ e

Goniometrickými funkcemi naz´ yváme n´ıˇze definované funkce sin x, cos x, tg x, cotg x. Cykometrickými funkcemi naz´ yváme funkce arcsin x, arccos x, arctg x, arccotg x (jsou to inverze ke goniometrick´ ym funkc´ım pˇri pˇr´ısluˇsném z´ uˇzen´ı“ jejich definiˇcn´ıch obor˚ u). ” Funkce sin x a cos x budeme zavádˇet jako na stˇredn´ı ˇskole (pˇriˇcemˇz vˇsak budeme pouˇz´ıvat zat´ım ne zcela exaktnˇe zavedenou operaci nanáˇsen´ı oblouku ” délky |x| na jednotkovou kruˇznici“). Pozdˇeji poznáme i jiné moˇznosti, jak tyto funkce zavést formálnˇe pˇresnˇe (napˇr. pomoc´ı nekoneˇcn´ ych ˇrad, ˇci diferenciáln´ıch rovnic). Necht’ A je koncov´ y bod oblouku na jednotkové kruˇznici, jehoˇz poˇca´teˇcn´ı bod je (1, 0) a jehoˇz délka je |x|. Pˇritom oblouk nanáˇs´ıme na kruˇznici v kladném smyslu (proti obˇehu hodinov´ ych ruˇciˇcek), je-li x ≥ 0, resp. v záporném smyslu, je-li x < 0. Pak prvn´ı souˇradnici bodu A naz´ yváme cos x (tzv. kosinus) a druhou souˇradnici sin x (tzv. sinus). Dále definujeme tg x = sin x/ cos x (tzv. tangens) a cotg x = cos x/ sin x (tzv. kotangens).

60

Kapitola 10. Obrázek ilustruj´ıc´ı definici goniometrick´ ych funkc´ı:

Poznamenejme, ˇze ˇc´ıslo π, jeˇz v u ´vahách o goniometrick´ ych funkc´ıch hraje zásadn´ı roli, je polovinou délky jednotkové kruˇznice. Je známo, ˇze π ∈ I a je transcendentn´ı, tj. nen´ı koˇrenem ˇza´dného polynomu s celoˇc´ıseln´ ymi koeficienty. ´ Uhly budeme nadále mˇeˇrit v m´ıˇre obloukové, nikoliv stupˇ nové. Pˇripomeˇ nme, ˇze u ´hel 1◦ v m´ıˇre stupˇ nové je roven u ´hlu π/180 v m´ıˇre obloukové. Obecnˇe u ´hel n stupˇ n˚ u má obloukovou m´ıru nπ/180. Základn´ı vlastnosti goniometrick´ ych funkc´ı jsou tyto: • D(sin) = D(cos) = R, D(tg) = R \ {(2k + 1)π/2 : k ∈ Z}, D(cotg) = R \ {kπ : k ∈ Z}. • H(sin) = H(cos) = h−1, 1i, H(tg) = H(cotg) = R. • Funkce sin x, tg x, cotg x jsou liché, funkce cos x je sudá. • Funkce sin x, cos x jsou 2π-periodické, funkce tg x, cotg x jsou π-periodické.

Kapitola 10.

61

62

Kapitola 10.

Cykometrické funkce jsou inverzn´ı ke goniometrick´ ym. Protoˇze vˇsak inverzn´ı funkci lze setrojit pouze k funkci, která je prostá, je tˇreba patˇriˇcn´ ym zp˚ usobem z´ uˇzit“ definicˇcn´ı obory pˇr´ısluˇsn´ ych goniometrick´ ych funkc´ı. ” Inverzn´ı funkce k funkci sin definované na intervalu h−π/2, π/2i se znaˇc´ı arcsin (tzv. arkussinus). Inverzn´ı funkce k funkci cos definované na intervalu h0, πi se znaˇc´ı arccos (tzv. arkuskosinus). Inverzn´ı funkce k funkci tg definované na intervalu (−π/2, π/2) se znaˇc´ı arctg (tzv. arkustangens). Inverzn´ı funkce k funkci cotg definované na intervalu (0, π) se znaˇc´ı arccotg (tzv. arkuskotangens). Základn´ı vlastnosti cyklometrick´ ych funkc´ı jsou tyto: • D(arcsin) = D(arccos) = h−1, 1i, D(arctg) = D(arccotg) = R. • H(arcsin) = h−π/2, π/2i, H(arccos) = h0, πi, H(arctg) = (−π/2, π/2), H(arccotg) = (0, π). • Funkce arcsin x, arctg x jsou rostouc´ı. Funkce arccos x, arccotg x jsou klesaj´ıc´ı. • Funkce arcsin x, arctg x jsou liché. Existuje ˇrada (d˚ uleˇzit´ ych a uˇziteˇcn´ ych) vztah˚ u mezi goniometrick´ ymi 2 2 funkcemi a mezi cyklometrick´ ymi funkcemi (napˇr. sin x + cos x = 1 atd.).

Kapitola 10.

63

S pouˇzit´ım vhodné literatury si pˇrehledn´ ym zp˚ usobem sepiˇste alespoˇ n ty nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı identity. Rovnˇeˇz bude uˇziteˇcné, pokud si pˇripomenete hodnoty goniometrick´ ych a cyklometrick´ ych funkc´ı ve v´ yznaˇcn´ ych bodech (napˇr. sin(π/6) = 1/2 atd.) a vytvoˇr´ıte si pˇr´ısluˇsné tabulky.

10.4

Nˇ ekolik pˇ r´ıklad˚ u

Na závˇer uved’me nˇekolik pˇr´ıklad˚ u souvisej´ıc´ıch s tématem této kapitoly. • Dokaˇzte: Jestliˇze a, b ∈ (0, ∞), a 6= 1 6= b, potom loga x = logb x/ logb a pro kaˇzdé x ∈ (0, ∞). D˚ ukaz: Je-li y = loga x, potom x = ay . Proto logb x = logb ay = y logb a. Odtud plyne tvrzen´ı. x−3 . Jak´ y je definiˇcn´ı obor zdánlivˇe stejné • Urˇcete D(f ) funkce f (x) = log 1 x+3 3 funkce g(x) = log 1 (x − 3) − log 1 (x + 3) (v´ıme totiˇz, ˇze pro pˇr´ıpustná“ 3 3 ” x1 , x2 plat´ı loga xx12 = loga x1 − loga x2 ). ˇ sen´ı: Potˇrebujeme x−3 > 0, a proto D(f ) = (−∞, −3) ∪ (3, ∞). Dále Reˇ x+3 zˇrejmˇe plat´ı D(g) = (3, ∞). Promyslete si skuteˇcn´ y vztah mezi f a g.

• Nakreslete graf funkce f (x) = |2 sin 2x|. Návod: Pouˇzijte transformace grafu funkce a postupnˇe sestrojte sin x, sin 2x, 2 sin 2x, f (x). • Dokaˇzte, ˇze arcsin x + arccos x = π/2 pro kaˇzdé x ∈ h−1, 1i, v´ıte-li, ˇze cos(π/2 − x) = sin x. D˚ ukaz: Oznaˇcme y = arcsin x. Potom y ∈ h−π/2, π/2i a sin y = x. Ze vztah˚ u mezi goniometrick´ ymi funkcemi plyne cos(π/2 − y) = sin y = x, pˇriˇcemˇz π/2 − y ∈ h0, πi a π/2 − y = arccos x. Odtud arcsin x + arccos x = y + π/2 − y = π/2. • Urˇcete D(f ) funkce r f (x) =

ln

5x − x2 3 + arcsin . 4 x

ˇ sen´ı: Mus´ı platit Reˇ ln

5x − x2 ≥0 4

∧

−1 ≤

3 ≤ 1, x

64

Kapitola 10. tj. 5x − x2 3 ≥1 ∧ ≥ −1 4 x Odtud jiˇz snadno dostáváme D(f ) = h3, 4i.

10.5

∧

3 ≤ 1. x

Literatura

[1] L.E. Garner, Calculus and analytic geometry, Dellen Publ. Comp. 1988. [2] A. Kopáˇcková, Nejen ˇzákovské pˇredstavy o funkc´ıch, PMFA 47 (2002), 149–161. [3] J. Kuben, Z. Doˇslá, Diferenciáln´ı poˇcet funkc´ı jedné promˇenné, PˇrF MU Brno 2003. ˇ [4] J. Kuben, P. Sarmanov´ a, Diferenciáln´ı poˇcet funkc´ı jedné promˇenné, ˇ VSB TU Ostrava 2006. [5] V. Novák, Diferenciáln´ı poˇcet funkc´ı jedné reálné promˇenné, PdF MU Brno 2004. [6] K. Rektorys a kol., Pˇrehled uˇzité matematiky I, Prometheus 2002.

Z aklady matematiky Pavel ˇ Reh ak (verze 29. z aˇr ı 2015)

Recommend Documents