Yang dipelajari. 1. Masalah Nilai Eigen dan Penyelesaiannya 2. Masalah Pendiagonalan. Referensi : Kolman & Howard Anton. Ilustrasi

07/11/2015

NILAI EIGEN dan VEKTOR EIGEN Yang dipelajari…. 1. Masalah Nilai Eigen dan Penyelesaiannya 2. Masalah Pendiagonalan

Referensi : Kolman & Howard Anton.

Ilustrasi Misalkan t : Rn  Rn dengan definisi t(x) = A.x , utk setiap x  Rn dengan A adalah matriks ukuran nxn. Masalah : Dapatkah ditentukan vektor x s.d.h x dan Ax sejajar? Pertanyaan ini jika dituliskan secara matematis menjadi : Dapatkah ditentukan x sedemikian hingga Ax = x , utk suatu skalar  .

1

07/11/2015

• Perhatikan gambar berikut:

• Masalah yang dikemukakan di atas merupakan awal munculnya istilah “Nilai Eigen” dan “Vektor Eigen” • Masalah diatas merupakan permasalahan yang sering muncul di bidang selain matematik, misalnya dibidang fisika (fisika nuklir dan elastisitas), teknik (elektro dan kimia), biologi, mekanika kuantum.

Definisi 1 Misalkan A adalah matriks ukuran nxn. Suatu skalar  yang memenuhi persamaan A.x = x disebut nilai eigen dari matriks A, dan vektor x  Rn disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen .

2

07/11/2015

1. Masalah Nilai Eigen dan Penyelesaiannya • Masalah Nilai eigen : Masalah mencari penyelesaian persamaan A.x = .x, dimana A adalah matriks sebarang ukuran nxn (diketahui), x vektor di Rn dan  adalah sebarang skalar di R (dicari).

Ilustrasi • Misalkan

• Maka

 0 A 1  2

1 2  0 

1  1 2  A      1 1  2 

1

1 2  1

1 yang berarti x    dan  = ½ . 1

3

07/11/2015

Gambarnya…. 1 x  1  12 Ax    1  2

Definisi 1 Jika A adalah matriks berukuran nxn, maka nilai eigen dari A adalah akar-akar dari persamaan karakteristik matriks A.

4

07/11/2015

Definisi 2 • Misalkan A = [aij] adalah matriks berukuran nxn. Polinomial Karakteristik dari A adalah

p() = (det(In – A)) =

  a11  a 21   :    a n1

 a12

  a 22 :  an 2

 a1n  ...  a 2 n   : :   ...   a nn  ...

Persamaan karakteristik dari A adalah det(In – A) = 0 Penyelesaian dari persamaan diatas disebut akar-akar karakteristik dari matriks A.

Catatan: • Polinomial karakteristik dari matriks berukuran nxn merupakan polinomial berderajad n, dan bisa dituliskan : p() = ( - a11) ( - a22)… ( - ann) = n + c1 n-1 + c2 n-2 + … + cn

5

07/11/2015

Contoh 1:

7  4  Misalkan A    5  2

Tentukan polinomial karakteristik dan akar-akar karakteristik dari A. Penyelesaian:

p ( )  det  I 2  A  

 7

4

5

2

 2  5  6    2   3

p    0    2,   3

Contoh 2 Tentukan nilai eigen dan vektor eigen untuk matriks pada contoh 1. Penyelesaian:

Untuk nilai eigen 1 = 2 :

Utk nilai eigen 2 = 3 :

dibentuk SPL

dibentuk SPL (3I2 – A)x = 0

(2I2 – A)x = 0   5  5 

4   x1  0    4   x2  0 

x1 = 4/5x2

 4 / 5   1 

Jadi vektor eigen: v1  



  4 4   x1  0    5 5   x   0    2    x1 = x2 1 Jadi vektor eigen:

v2    1

6

07/11/2015

Teorema Jika A adalah sebuah matriks berukuran nxn dan λ adalah sebuah bilangan real, maka pernyataanpernyataan berikut ini ekivalen. 1. λ adalah sebuah nilai eigen dari A 2. Sistem persamaan (λI-A)x = 0, mempunyai solusi nontrivial 3. Terdapat sebuah vektor taknol x pada Rn sedemikian rupa sehingga Ax=λx 4. λ adalah sebuah solusi dari persamaan karakteristik det (λI-A) = 0

Teorema Jika k adalah bilangan bulat positif, λ adalah nilai eigen dai suatu matriks A, dan x adalah vektor eigen yang terkait dengan λ, maka λk adalah nilai eigen dari Ak dan x adalah vektor eigen yang terkait dengannya.

7

07/11/2015

Contoh 3 Dapatkan nilai eigen dan vektor eigen dari A3 dengan A seperti contoh 2. Nilai eigen dari matriks A berdasarkan contoh 2 adalah 1 = 2 dan 2 = 3. Maka berdasarkan Teorema, nilai eigen dari A3 adalah 13 = 23 = 8 dan 23 = 33 = 27 dengan vektor eigen sama seperti pada contoh 2.

Nilai eigen dan keterbalikan (invers) Teorema: Sebuah matriks bujursangkar A dapat dibalik ( mempunyai invers) jika dan hanya jika c = 0 bukan merupakan nilai eigen dari A. Contoh 4: Pada contoh 2 matriks A mempunyai invers karena nilai eigen tidak nol.

8

07/11/2015

Soal latihan Dapatkan nilai eigen dan vektor eigen dari soal berikut serta apakah matris tersebut mempunyai invers: 2 3 1. A    1 0  0 0  2  2. B  1 2 1    1 0 3  2 0  3. C    0  2 2   1 4. D    2  7  

3 0  5. A    8  1 2 6. B   0   0 4 7. C   0 1 8. D   4

1 1 2 1  0 3 1 2  0 2 

MASALAH PENDIAGONALAN Anita T. Kurniawati

9

07/11/2015

MATRIKS SIMILAR Definisi Diberikan matriks A dan B berukuran nxn. Matriks B dikatakan similar dengan matriks A jika ada matriks P sedemikian sehingga B = P-1AP

Contoh 1: Misalkan

 1 1 A   2 4

Misalkan juga

Maka :

1 1  P  1 2 

 2  1 P 1     1 1 

2 0 B  P AP    0 3 1

Jadi B similar dengan A.

10

07/11/2015

Masalah Pendiagonalan ? Diberikan matriks A ukuran nxn. Apakah ada matriks s.d.h matriks A similar dengan matriks diagonal ?

Definisi • Suatu matriks Anxn dikatakan dapat didiagonalkan (diagonalizable) jika ada matriks s.d.h. P-1AP = D, dengan D adalah matriks diagonal.

11

07/11/2015

Teorema 1 • Suatu matriks Anxn dapat didiagonalkan (diagonalizable) jika dan hanya jika A mempunyai n vektor eigen yang bebas linier.

Contoh 2: Diketahui matriks

 1 1 A   2 4

Nilai eigen dari A : 1 = 2 dan 2 = 3. Vektor eigen yang bersesuaian dengan 1 dan 2 adalah : dan 1 1

x   p x   p  2 linier. 1bahwa x dan x bebas Dapat dibuktikan 1 2 1

1

2

2

Selanjutnya, A dapat didiagonalkan, dengan (Lihat contoh 1) 1 1  P  1 2 

12

07/11/2015

Prosedur Pendiagonalan Matriks Misalkan A adalah matriks ukuran nxn dan mempunyai n vektor eigen yang bebas linier. Langkah 1 Carilah n vektor eigen yang bebas linier, misalkan v1, v2, … , vn. Langkah 2 Susunlah vektor-vektor vi menjadi suatu matriks P. Langkah 3 Kalikan P-1AP, maka A akan similar dengan matriks diagonal D.

Contoh 3: Diagonalkan matriks Penyelesaian: Persamaan karakteristik:

 4  4  1   A   8  11 8  8 8 5  

3  52  3  9    1  3  0 2

Vektor eigen yang bersesuaian dengan  = 1 :  1    v1   2    2  

13

07/11/2015

Vektor eigen yang bersesuaian dengan  = -3 adalah 1 1     v   1 , v   0  0 1     2

3

Dapat dibuktikan bahwa {v1, v2, v3 } adalah bebas linier (coba cek). Selanjutnya bentuk matriks P :  1 1 1   P   2 1 0  2 0 1  

dan dapat dihitung bahwa 1 P AP  0  0 1

0  3 0   0  3 0

Teorema 2 Jika v1, v2, …, vk adalah vektor2 eigen yang bersesuaian dengan nilai-nilai eigen  1,  2, … , k, maka {v1, v2, …, vk } adalah bebas linier. Teorema 3 Jika A adalah matriks ukuran nxn dan mempunyai n nilai eigen real yang berbeda (tanpa pengulangan), maka A (pasti) dapat didiagonalkan.

14

07/11/2015

Misalnya…. • Pada Contoh 1, matriks A2x2 mempunyai 2 nilai eigen yang berbeda, maka A dapat didiagonalkan. • Pada Contoh 3, matriks A3x3 mempunyai 2 nilai eigen berbeda (dengan  = -3 adalah pengulangan), maka A dapat didiagonalkan karena A mpy 3 vektor eigen yang bebas linier (Teorema 1)

Contoh 4: Diberikan matriks

0 0 1  A  0 1 2    0 0 1 

Persamaan karakteristik dari A : p() = ( - 1)2 = 0 Shg nilai eigen dari A : 1 = 0 dan 2 = 3 = 1. 1  Vektor eigen yang bersesuaian dengan  = 0 :   0    0 

vektor yang bersesuaian dengan  = 1 :

0  1     0 

Jadi menurut Teorema 1, A tidak dapat didiagonalkan.

15

07/11/2015

Soal Latihan Jika mungkin, diagonalkanlah matriks berikut: 8  6  1. A     2 10   4  3 2. B   0 1  6  6  2 3 3. C     3 1  0 3 4. D     2 1

 3 0   5 

16