XIII. Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5 0

XIII Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5

0

CERMAT

Cerdas Matematika MODUL DAN LEMBAR KERJA SISWA (LKS)

MATEMATIKA KELOMPOK TEKNOLOGI DAN INDUSTRI

TINGKAT XII SEMESTER GASAL

Disusun oleh :

Dirwanto

Nama Siswa

: …………………………………..

NIS

: …………………………………..

Tingkat

: …………………………………..

Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5

1

KATA PENGANTAR Puji syukur penyusun panjatkan kehadirat Allah SWT karena hanya dengan ridho Nya penyusun telah menyelesaiakan Modul dan Lembar Kerja Siswa (LKS) matematika SMK untuk Tingkat XII semester gasal pada kelompok Teknologi dan Industri. Tujuan dalam penyusunan Modul dan Lembar Kerja Siswa (LKS) ini adalah untuk membantu proses belajar mengajar, sehingga diharapkan bisa menjadi sarana belajar siswa agar lebih mudah untuk memahami materi yang dipelajari. Dan juga Modul dan LKS ini dapat dijadikan sebagai alat untuk mengukur tingkat keberhasilan siswa dalam proses belajar mengajar. Modul dan Lembar Kerja Siswa ini disusun berdasarkan kurikulum SMK edisi tahun 2006 yang isinya mencakup : * Materi singkat * Contoh soal-soal * Latihan soal-soal * Evalausi tiap pokok bahasan * Ulangan harian * Ulangan Umum Semester Penyusun menyadari bahwa dalam penyusunan Modul dan LKS ini masih jauh dari sempurna, untuk itu saran dan kritik yang membangun sangat diharapkan agar lebih baik lagi. Penyusun mengucapkan banyak terima kasih kepada semua pihak yang telah mambantu penyusun sehingga terselesaikannya Modul dan LKS ini.

Jakarta, Mei 2009 Penyusun


2

STANDAR KOMPETENSI DAN KOMPETENSI DASAR MATEMATIKA TEKNOLOGI DAN INDUSTRI TINGKAT XII KURIKULUM 2006 Standar Kompetensi 16.

Kompetensi Dasar

Menggunakan konsep 16. 1 limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan

Menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi di suatu titik dan di tak hingga

16. 2

masalah

Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri

16. 3 Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam perhitungan turunan fungsi 16. 4

Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi dan memecahkan masalah

16. 5 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi dan penafsirannya

17.

Menggunakan konsep 17. 1 Memahami konsep integral tak tentu dan integral integral dalam pemecahan masalah

tentu 17. 2 Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri yang sederhana 17. 3 Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva dan volum benda putar


3

DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL ………………………………………………………………….

1

KATA PENGANTAR ………………………………………………………………..

2

PETA KOMPETENSI ……………………………………………………………….

3

DAFTAR ISI ……………………………………………………………………….....

4

KOMPETENSI 1 6LIMIT DAN TURUNAN FUNGSI ……………………………

5

16.1.Pengertian limit fungsi...........................……………………

5

16.2. Limit fungsi aljabar da n trigonometri ...................................

7

1. Limit Fungsi Aljabar .................................................

.....

7

2. Limit Fungsi Trigonometri .........................................

.....

11

16.3. Turunan fungsi aljabar dan trigonometri ..............................

19

1. Turunan Fungsi Aljabar .............................................

.....

19

2. Turunan Fungsi Trigonometri ..........................................

27

16.4. Fungsi naik, fungsi turun, dan stationer ................................

30

1. Fungsi naik, turun, dan stationer ........................................

30

2. Persamaan garis singgung ..................................................

32

3. Teorema L'Hospital ..................................................... ......

33

16.5. Pemakaian turunan ........................................................

......

35

1. Hubungan antara jarak, kecepatan dan percepatan ...........

35

2. Maksimum dan Minimum ..................................................

36

KOMPETENSI 17INTEGRAL ............................................……………………….

40

17.1.Integral tak tentu dan integral tertentu ..........………………

40

1. Integral Tak Tentu ....... ....................................................

40

2. Integral Tertentu ...............................................................

49

17.2.Integral substitusi dan intergal parsial ...................…………

54

1. Integral Substitusi ......................................................

.....

54

2. Integral Parsial ..........................................................

....

57

17.3. Pemakaian integral .................................................................

59

1. Luas Daerah .......................................................................

59

2. Volume Benda Putar ..........................................................

67

LATIHAN ULANGAN UMUM ………………………………………………………

74

DAFTAR PUSTAKA ………………………………………………………………….

78


4

KOMPETENSI 16

LIMIT DAN TURUNAN FUNGSI LIMIT AND DERIVATIVE FUNCTION Standar Kompetensi Kompetensi Dasar

Alokasi Waktu Dilaksanakan

: 16.

Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah : 16.1. Menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi di suatu titik dan di tak hingga 16.2. Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri 16.3. Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam perhitungan turunan fungsi 16.4. Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi dan memecahkan masalah 16.5. Menyelesa ikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi dan penafsirannya. : 36 jam pelajaran : Pada minggu ke 1 s.d. ke 9

Tujuan Pembelajaran Umum : Siswa dapat menerapkan konsep dasar limit dan turunan fungsi pada permasalahan, baik dalam pelajaran di sekolah maupun dalam kehidupan sehari-hari.

16.1. 16.1.

Pengertian Limit Fungsi Understanding of Limit Function

Indikator

Tujuan

Uraian Materi

: 1. Arti limit fungsi di satu titik dijelaskan melalui perhitungan nilai-nilai disekitar titik tersebut 2. Arti limit fungsi di tak hingga dijelaskan melalui grafik dan perhitungan. : Siswa dapat : 1. Menjelaskan pengertian tentang limit fungsi disuatu titik melalui perhitungan 2. Menjelaskan pengertian tentang limit fungsi ta k terhingga 5. Menerapkan konsep limit fungsi dalam menyelesaikan masalah program keahlian :

Limit dapat digunakan unuk menjelaskan pengaruh variabel fungsi yang bergerak mendekati suatu titik tertentu terhadap fungsi tersebut. x 2 + 2 x − 15 , untuk x = 3, hasilnya adalah bilangan x−3 (3) 2 + 2 (3) − 15 0 yang tak terdefinisikan yaitu : f (3) = = . Sehingga tidak dapat mencari 3− 3 0 nilai fungsi untuk x tepat sama dengan 3, ma lainkan mendekati 3. x 2 + 2x − 15 Nilai limit fungsi f (x) untuk x mendekati 3 ditulis : lim . x →3 x−3

Kita ambil contoh untuk fungsi f (x) =


5

Pendekatan suatu bilangan ada dua arah, yaitu arah dari bilangan yang lebih kecil disebut limit kiri dan dari arah bilangan yang lebih besar disebut limit kanan. Jika nilai limit kiri f(x) sama dengan nilai limit kanan f(x) maka ada nilai limitnya. Sebaliknya jika nilai limit kiri f(x) tidak sama dengan nilai limit kanan f(x) maka nilai limitnya tidak ada. x 2 + 2x − 15 Limit kiri yaitu lim pendekatan dari arah kiri x−3 x → 3− x→ 3 x … 1 2 2,2 2,4 2,6 2,8 2,9 2,99 … f (x) → 8 f (x) … 6 7 7,2 7,4 7,6 7,8 7,9 7,99 … x 2 + 2x − 15 pendekatan dari kanan x −3 x → 3+ x … 5 4 3,8 3,6 3,4 3,2 3,1 3,01 … f (x) … 10 9 8,8 8,6 8,4 8,2 8,1 8,01 … Dengan demikian limit kiri sama dengan limit kanan, yaitu : x 2 + 2x − 15 x 2 + 2x − 15 lim = lim =8 x−3 x−3 x → 3− x → 3+

Limit kanan yaitu

lim

x→ 3 f (x) → 8

Untuk contoh kedua, kita ambil untuk fungsi f (x) trigonometri dengan limit x mendekati 0. sin x f (x) = → (x dalam radian), untuk x = 0 maka f (x) tidak terdefinisikan, karena x sin 0o 0 f (0) = = . 0 0 sin x Untuk lim − bergerak mendekati 0 (x → 0) dari kanan ke kiri, hasilnya bisa dilihat pada x→0 x tabel di bawah ini. x (radian) sin x x

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,01

0,8415

0,8967

0,9411

0,9734

0,9934

0,9999

sin x bergerak mendekati 0 (x → 0) dari kiri ke kanan, hasilnya dapat dilihat x pada tabel berikut ini. Untuk lim + x→0

x (radian) sin x x

–1,0

–0,8

–0,6

–0,4

–0,2

–0,01

0,8415

0,8967

0,9411

0,9734

0,9934

0,9999

Dari kedua tabel di atas ternyata untuk x → 0, f (x) → 1. Berdasarkan hasil tersebut dapat sin x dinyatakan dengan rumus : lim =1 x→0 x Berdasarkan uraian tersebut kita dapat mendefinisikan limit secara intuitif, yaitu : Bahwa lim f (x) = k berarti bila x dekat tetapi berlainan dari a maka f (x) dekat ke k. x →a


6

16.2. 16.2.

Limit Fungsi Aljabar dan Trigonometri Limit of Algebraic and Trigonometric Function

Indikator

Tujuan

Uraian Materi

1. 1.

: 1. Sifat-sifat limit digunakan dalam menghitung nilai limit 2. Bentuk tak tentu dari limit fungsi ditentukan nilainya 3. Limit fungsi aljabar dan trigonometri dihitung dengan menggunakan sifat-sifat limit : Siswa dapat : 1. Menentukan sifat-sifat limit fungsi. 2. Menghitung limit fungsi aljabar dan trigonometri dengan menggunakan sifat-sifat limit. 3. Melakukan perhitungan limit dengan manipulasi aljabar 4. Mengenal macam-macam bentuk tak tentu 5. Menghitung nilai limit tak tentu. 6. Menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri dengan menggunakan sifat-sifat limit fungsi :

Limit Fungsi Aljabar Limit of Algebraic Function Secara umum bentuk limit ditulis :

lim f (x) = f (a) x→a

Jika f (a) = k, maka lim f (x) = k x →a 0 Jika f (a) = , maka lim f (x) = 0 x→a k k Jika f (a) = , maka lim f (x) = 8 x→a 0 Untuk menentukan nilai dari limit, x diganti dengan a (batas dari limit). Contoh : 1. lim 2x + 3 = 2 . 3 + 3 = 9 x→3 3x + 5 3 .2 + 5 6 + 5 11 3 2. lim = = = =2 x → 2 2x 2.2 4 4 4 2 2 x + 4x − 5 (1) + 4(1) − 5 1 + 4 − 5 0 3. = lim = = =0 x →1 3x 3(1) 3 3 4.

lim x→0

x 2 + 5x − 4 (0 ) 2 + 5(0) − 4 0 + 0 − 4 − 4 = = = =∞ 6x 6(0 ) 0 0


7

f(x) 0 maka harus difaktorkan lim f (x) = 0 dan lim g (x) = 0, sehingga lim = x→a x →a x → a g(x) 0 atau diuraikan terlebih dahulu. Contoh : x 2 - 3x + 2 22 − 3.2 + 2 0 1. lim → substitusi langsung : = (tidak boleh) x→2 x -2 2−2 0 x2 - 3x + 2 ( x.....)(x − 2) = lim (perhatikan angka belakang : berapa kali ( -2) lim x→2 x→ 2 x -2 ( x − 2) hasilnya (+2) → (-1) 2 x - 3x + 2 (x - 1) . (x - 2) = lim lim = lim x - 1 = 2 – 1 = 1 x→ 2 x -2 (x - 2) x→2 x→ 2

Jika

2.

lim

x 2 − 3x − 10

x → −2 x 2 + 5x + 6

Substitusi langsung : lim

x 2 − 3x − 10

x → −2 x 2 + 5x + 6

= .... ( −2) 2 − 3(−2 ) − 10 4 + 6 − 10 0 = = (tidak boleh) 2 (− 2) + 5(− 2) + 6 4 − 10 + 6 0 =

lim

(x.....) (x + 2)

x → −2 (x.....) (x + 2)

(perhatikan angka belakang : berapa kali

(+2) hasilnya (-10) dan berapa kali (+2) hasilnya (+6) → (-5) dan (+3) lim

x 2 − 3x − 10

x → −2 x 2 + 5x + 6

3.

4.

=

lim

(x − 5 (x + 2)

x → −2 (x + 3) (x + 2)

=

lim

(x − 5)

x → −2 (x + 3)

=

−2−5 −7 = = –7 −2+3 1

x 3 − 27 33 − 27 0 lim ? substitusi langsung : = (tidak boleh) x→3 x −3 3 −3 0 x 3 − 27 (x − 3) . (x 2 + 3x + 9) lim = lim = lim (x 2 + 3x + 9) x→3 x −3 x→3 (x − 3) x→3 = 32 + 3 . 3 + 9 = 9 + 9 + 9 = 27 x 3 - 5x 2 + 6x 0 3 − 5 .0 2 + 6 .0 0 ? substitusi langsung : = (tidak boleh) 2 2 x - 3x 0 − 3.0 0 x 3 - 5x 2 + 6x x (x2 - 5x + 6) (x 2 - 5x + 6) 0 2 − 5.0 + 6 lim = lim = lim = x → 0 x 2 - 3x x→0 x (x - 3) x → 0 (x - 3) 0−3 6 = = –2 −3 lim x→0

Jika

lim f (x) = 0 dan lim g (x) = 0 dengan f(x) dan g(x) fungsi akar, sehingga x→a x →a f(x) 0 lim = maka harus dikalikan dengan nilai satu dari faktor sekawannya. x → a g(x) 0 (a + b) → sekawannya : (a – b) atau sebaliknya (a – b) → sekawannya : (a + b)


8

Contoh : 1.

x−2 ? lim x→2 x − 2

x+ 2 (x − 2) . ( x + 2 ) = lim (x − 2 ) x + 2 x→2

x−2 x−2 = lim . lim x→2 x − 2 x→2 x − 2

= lim x+ 2 = x→2 =2 2 2.

3.

2− 2 0 = (tidak boleh) 0 2− 2

substitusi langsung :

2 +

2

x +1 − 2 3 +1 − 2 2 − 2 0 → substitusi langsung : = = (tidak boleh) x −3 2−2 0 0 ( x + 1) − 4 x+1 − 2 x +1 − 2 x +1 + 2 = lim . = lim lim x → 3 ( x − 3)( x + 1 + 2) x→ 3 x →3 x −3 x−3 x +1 + 2 ( x − 3) 1 1 = lim = lim = x → 3 ( x − 3)( x + 1 + 2) x → 3 ( x + 1 + 2) 3 +1 + 2 1 1 = = 2+ 2 4 lim

x→ 3

lim

x→ 2

2x − 4 2x + 5 − x + 7

2 (2 ) − 4

→ substitusi langsung :

2( 2) + 5 − 2 + 7

=

4− 4 0 = (tidak 3−3 0

boleh)

lim

x→ 2

2x − 4 2x + 5 − x + 7

= lim

2x − 4

x →2

2x + 5 + x + 7

.

2x + 5 − x + 7 2x + 5 + x + 7 ( 2 x − 4 )( 2 x + 5 + x + 7 ) = lim x →2 ( 2 x + 5) − ( x + 7 ) 2( x − 2 )( 2 x + 5 + x + 7 ) 2x + 5 − x − 7 2( x − 2 )( 2 x + 5 + x + 7 ) = lim x →2 ( x − 2)

= lim

x →2

= lim 2( 2 x + 5 + x + 7 ) = 2 ( 2 (2 ) + 5 + 2 + 7 ) x →2

= 2(3+3) = 12 4.

lim

x→1

lim

x→1

x+3−2 x −1 x+3−2 x −1


1+ 3 − 2

=

2−2 0 = (tidak boleh) 1−1 0

1 −1 x+3− 2 x + 3 + 2 x +1 = lim . . x →1 x −1 x + 3 + 2 x +1 ( x + 3 − 4)( x + 1) ( x − 1)( x + 1) = lim = lim x → 1 ( x − 1)( x + 3 + 2 ) x → 1 ( x − 1)( x + 3 + 2 ) = lim

( x + 1)

x → 1 ( x + 3 + 2)

=

1 +1 1+ 3 + 2

=

1+1 2 1 = = 2+ 2 4 2


9

Jika

lim f(x) = ∞ dan

x →∞

lim g(x) = ∞ , sehingga

x→ ∞

lim

f(x)

x → ∞ g(x)

=

∞ maka harus dibagi dengan ∞

pangkat tertinggi dari pembilang atau penyebutnya. Contoh : 2x 2 + 6x - 8 2 .∞ 2 + 6.∞ − 8 ∞ 1. → substitusi langsung : 3 = (tidak boleh) lim 3 2 2 ∞ − 4 .∞ + 3 .∞ ∞ x → ∞ x - 4x + 3x f (x) atas dan bawah harus dibagi dengan pangkat tertinggi. 2 6 8 2x 2 6x 8 + 3− 3 + 2− 3 2 3 2x + 6x - 8 x x = x x x = lim x3 lim 3 2 lim 4 3 4x 2 3 x x → ∞ x - 4x + 3x x→∞ x x→∞ 1− + 2 − 3 + 3 x x x3 x x 2 6 8 + − ∞ ∞ ∞ = 0 + 0-0 = 0 = 0 = 4 3 1- 0 + 0 1 1− + ∞ ∞ 2.

3x 3 − 5x 2 + 4x x → ∞ 2 x 3 + 6x 2 − 3x boleh) lim


3x 3 5x 2 4x − 3 + 3 3 3x 3 − 5x 2 + 4x x x x = = lim lim x → ∞ 2 x 3 + 6x 2 − 3x x → ∞ 2x 3 6x 2 4 x + 3 − 3 x3 x x 5 4 3− + ∞ ∞ = 3−0+0 = = 6 3 2+0 −0 2+ − ∞ ∞

Jika

lim f(x) = ∞ dan

x →∞

∞ 3( ∞)3 − 5 (∞) 2 + 4(∞) = (tidak 3 2 2(∞) + 6 (∞) − 3 (∞) ∞ 5 4 + 2 x x lim x→ ∞ 6x 4 2+ − x x2 3−

3 2

lim g(x) = ∞ dengan f(x) dan g(x) fungsi akar, sehingga

x→ ∞

lim f(x) − g(x) = ∞ − ∞ maka harus diselesaikan dulu dengan dikalikan nilai satu dari faktor

x→ ∞

sekawannya. Contoh : 1.

lim

x→ ∞

x 2 + 5x − x 2 + x → substitusi langsung :

∞ + 5 (∞ ) − ∞ + ∞ = ∞ – ∞ (tidak boleh)

lim

x→ ∞

x 2 + 5x − x 2 + x = lim

x →∞

x 2 + 5x − x 2 + x .

x 2 + 5x + x 2 + x

x 2 + 5x + x 2 + x ( x 2 + 5 x) − ( x 2 + x) x 2 + 5x − x 2 − x = lim = lim x → ∞ x 2 + 5x + x 2 + x x → ∞ x 2 + 5x + x 2 + x 4x 4x x = lim = lim x → ∞ x 2 + 5x + x 2 + x x →∞ 2 x 5x x2 x + + + 2 2 2 2 x x x x


10

4

= lim

x→ ∞

=

2.

5 1 5 1 + 1+ 1+ + 1+ x x ∞ ∞ 4 4 = =2 1+1 1+ 0 + 1+ 0

x + 7 − x − 5 → substitusi langsung :

lim

x + 7 − x − 5 = lim

x →∞

4

1+

lim

x →∞

=

x →∞

x+7 − x−5 .

∞ + 7 − ∞ − 5 = ∞ – ∞ (tidak boleh) x+7 + x−5

x+7 + x−5 ( x + 7 ) − ( x − 5) x +7− x +5 = lim = lim x→ ∞ x + 7 + x − 5 x →∞ x + 7 + x − 5 12 12 = lim = lim x →∞ x 7 x→ ∞ x + 7 + x − 5 x 5 + + − x x x x 12 12 12 = = = =6 7 5 1+1 1+ 0 + 1− 0 1+ + 1− ∞ ∞

Untuk menjawab soal pilihan ganda : f(x) 0 Untuk soal : lim = maka yang harus dilihat x pangkat terendahnya. x → 0 g(x) 0 Jika ada diatas hasilnya = 8 , jika ada dibawah hasilnya = 0 dan jika atas dan bawah pangkat terendahnya sama maka hasilnya lihat angka didepan x. 6 x 3 - 5x 2 + 6x = = -2 lim 2 x → 0 x - 3x −3 ∞ maka harus dilihat pangkat tertingginya ∞ Jika diatas hasilnya = 8 , jika pangkat tertingginya dibawah hasilnya = 0 dan jika atas dan bawah pangkat tertingginya sama maka hasilnya lihat angka di depan x. 2x 2 + 6x - 8 0 3x 3 + 7x 2 - 5x 3 3x 3 + 6x 2 - 4x 3 = = 0 ; = = 8 ; = lim 3 2 lim 2 lim 3 1 3x - 4x + 3 0 2x - 7x + 2 2 x → ∞ x - 4x + 3x x→∞ x→∞

Untuk soal :

lim

f(x)

x → ∞ g(x)

=


11

Soal latihan : Selesaikan soal-soal di bawah ini dengan sifat-sifat limit. x2 − 4 x 2 + 4x + 3 1. a. lim = …. b. lim = …. x→ 2 x − 2 x → -3 x +3 Jawab : ……………………………………………………………………………………………. x 2 − 5x + 6 x 3 − 64 2. a. lim 2 = …. b. lim = …. x → 2 x + 3x − 10 x→ 4 x − 4 Jawab : ……………………………………………………………………………………………. x 2 − 6x + 8 2x 3 − 4 x 2 + 8x 3. a. lim = …. b. lim = …. x→ 0 x→ 0 x−2 x 2 + 2x Jawab : ……………………………………………………………………………………………. x−2 x −3 4. a. lim = …. b. lim 2 = …. 2 x→2 x→3 x − 9 x +5 − 3 Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 4x 3 − 5x 2 + 6x 5. a. lim = …. b. lim x − 3 − x − 6 = …. x →∞ x → ∞ 2x 3 − x 2 − 2x Jawab : …………………………………………………………………………………………….

EVALUASI 1 A.

Pilihlah jawaban yang dianggap paling benar.

1.

Nilai dari lim

2.

3.

4.

5.

3x 2 + 2x − 16 = …. x→2 2x − 4 a. 7 b. 6 c. 4 2 x −4 lim = …. x→2 5x − 1 − 3 1 4 2 a. 5 b. 4 c. 2 5 5 5 x 2 − 6x + 5 lim = …. x →1 x 2 −1 a. –4 b. –3 c. –2 3 x −8 lim 2 =… x→2 x + x − 6 4 a. 0 b. c. 2 3 x 2 − 16 = …. lim x → 4 3x 2 − 8x − 16 1 1 1 a. b. c. 8 6 4

d. 2

d. 1

e. 0

1 5

d. 3

e.

4 5

e. 4

d.

12 5

e. 4

d.

1 3

e.

1 2


12

6.

7.

2x 2 − 5x + 2 = …. x→2 x2 + x − 6 3 5 a. b. 5 7 2− x lim = …. x→2 4 − x2

c.

a. 8 2

c.

lim

b. 2 2

2 5

3x 2 − 6x + 2 = …. lim 2 x → 0 x − 3x − 4 4 1 a. b. 1 c. 3 2 3 2 2x − 5x + 3x 9. Nilai dari lim = .... x → ∞ 2x 2 − 4x + 10 5 1 a. – b. – c. 0 2 2 5x 3 − 4x 2 − 12 10. lim = …. x → ∞ 3x 3 + 5x 2 − 4x 4 a. − b. 0 c. 1 5

d. –

2

d.

2 5

1 8

e. –

2

e.

5 3

1 16

2

8.

B. 1.

2.

3.

4.

5.

d. –

1 2

e. –

d.

1 4

e. ∞

d.

5 3

e. ∞

4 3

Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar. 3x + 6 = …. lim x → − 2 2x 2 + 3x - 2 Jawab : ............................................................................................................................................. x2 - 9 lim = …. x → 3 3x 2 − 7x - 6 Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 2x − 2 = …. lim x →1 3x + 1 − 2 Jawab : ............................................................................................................................................. 2x 3 − 5x 2 + x = …. x→0 2x 2 − 3x Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 9 + 4x − 4x 3 lim 3 = …. x → ∞ x + 2x 2 + 3x Jawab : …………………………………………………………………………………………… lim


13

2. 2.

Limit Fungsi Trigonometri Limit of Trigonometric Function

lim x →0

lim x→0

sin x x = lim = 1 atau x x → 0 sin x tan x x = lim = 1 atau x x → 0 tan x

lim x →0

lim x→0

sin ax ax = lim =1 ax x → 0 sin ax tan ax ax = lim =1 ax x → 0 tan ax

Untuk bentuk yang lainnya, jika dimasukan langsung ha silnya

0 funsi f (x) harus diuraikan 0

dengan aturan rumus trigonometri. Contoh : 1.

2.

3.

4.

5.

sin 5x sin 5x 5 5 sin 5x 5 5 lim = lim . = . lim = .1= x → 0 3x x → 0 3x 5 3 x → 0 5x 3 3 sin 5x 5 atau : lim = x → 0 3x 3 6x 6x 2 6 2x 6 lim = lim . = . lim = .1= 3 x → 0 tan 2x x → 0 tan 2x 2 2 x → 0 tan 2x 2 6x 6 atau : lim = =3 x → 0 tan 2x 2

sin 4x sin 4x 4x 3x 4x sin 4x 3x 4 = lim . . = . lim . lim = lim x → 0 tan 3x x → 0 tan 3x 4x 3x 3x x → 0 4x x → 0 tan 3x 3 sin 4x 4 atau : lim = x → 0 tan 3x 3 cos 2x cos 2 . 45 o cos 90 o 0 0 lim = = = = o o o o 1 1 cos 45 − sin 45 cos 45 − sin 45 0 x → π cos x − sin x 2− 2 4 2 2 fungsi x harus diuraikan dengan aturan rumus trigonometri. cos 2x = cos2 x – sin2 x = (cos x – sin x) (cos x + sin x) cos 2x (cos x − sinx) (cos x + sin x) lim = lim = lim (cos x + sin x) cos x − sin x (cos x − sin x) π π x→ x→ x→π 4 4 4 1 1 o o = cos 45 + sin 45 = 2 + 2 = 2 2 2 1 − cos 2x 1 − cos 0 o 1−1 0 → substitusi langsung : = = (tidak boleh) o x → 0 5x sin x 5( 0).sin 0 0 .0 0 f(x) harus diuraikan dengan menggunakan rumus trigonometri 1 − cos 2x 1 − (1 − 2sin 2 x) = lim → cos 2x = 1 – 2sin2 x lim x → 0 5x sin x x→0 5x sin x 2 sin x sin x 1 − 1 + 2sin 2 x 2sin 2 x = lim = lim = lim . lim x→0 x → 0 5x sin x 5x sin x 5 x → 0 x x → 0 sin x 2 2 = .1.1= 5 5 lim


14

Soal latihan : Selesaikan soal-soal di bawah ini dengan aturan limit sin 6x 5x 1. a. lim = …. b. lim = …. x→0 x → 0 4x tg 3x Jawab : ……………………………………………………………………………………………. sin 3x tg 5x 2. a. lim = …. b. lim = …. x → 0 tg 4x x → 0 sin 2x Jawab : ……………………………………………………………………………………………. sin 2 2x 2x 2 3. lim = …. b. lim = …. x→0 x → 0 sin 2x . tg 3x 4x 2 Jawab : ……………………………………………………………………………………………. x tg 2 x2 2 = …. 4. b. = …. lim lim x →0 x → 0 tg 2 4x x2 Jawab : ……………………………………………………………………………………………. cos x sin 2x 5. = …. b. lim = …. lim π x → 0 3x cos x x → sin 2x 2

Jawab : …………………………………………………………………………………………… EVALUASI 2 A. 1.

2.

3.

4.

Pilihlah jawaban yang benar. sin 3x lim = …. x→0 5x 3 3 a. b. 2 5 sin 5x . tg 3x lim = …. x→0 x sin 2x 3 5 a. b. 2 2 4 tg 2x lim = …. x → 0 sin 6x 1 a. 0 b. 3 2 3x = …. lim x → 0 4 sin 2 x 3 3 a. b. 4 2

c.

2 5

c. 3

1 5

e. 0

d. 5

e. 7

d.

c.

2 3

d.

4 3

e. ∞

c.

9 4

d. 3

e. ∞

1 2


15

5.

6.

7.

sin 2 4x lim = …. x → 0 4x 2 a. 0 b. 1  tg 3x   4x  lim    = …. x→0  x   sin 3x 

c. 2

d. 4

a. 4

c. 1

d.

π 2

a. 0 8.

10.

1.

2.

3.

4.

5.

1 3

b.

1 4

a. 2 b. 3 c. 2 Nilai lim 2 sin x cotg x adalah …

d. 3

e. ∞

a. 2

d. –1

e. –2

1 + cos 2x = …. cos 2x

lim

π 6

c.

1 2

e. 4

x→0

lim

b. 1

1 − cos 2x = .... 5x 2 3 1 b. 5 2

c. 0

x →0

a.

B.

e.

d. 2

x→

9.

4 3

sin x . cos x = …. sin 2x

lim x→

b. 3

e. 8

c.

2 5

d.

1 3

e. 0

Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar. sin 4x . tg 5x lim = …. x→0 8x 2 Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 4x 2 tg 2x lim = …. x → 0 5x sin 2 x Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 1 − cos 2x lim = …. x→0 4x 2 Jawab : ……………………………………………………………………………………………. cos 2x − 1 lim = …. x → 0 3x sin x Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 1 − cos x = …. lim x→0 x x sin 2 Jawab : …………………………………………………………………………………………….


16

ULANGAN HARIAN 1 A. 1.

2.

3.

4.

5.

6.

Pilihlah jawaban yang benar. x 2 − 4x + 3 lim = …. x →1 2x − 2 a. –3 b. –2 x−4 lim 2 = …. x → 4 x − 2x − 8 1 1 a. b. 8 6 2x + 4 lim = …. x → − 2 2x 2 + 5x + 2 4 2 a. b. 3 3 2x 2 − 7x + 3 = …. lim 2 x → 3 x + x − 12 5 5 a. b. 3 7 2x − 2 = …. lim x →1 3x + 1 − 2 2 2 a. b. 1 3 3 4 − x2 lim = …. x→2 2− x a. 8 2

7.

8.

9.

10.

b. 4 2

x 2 − 5x + 4 = …. lim 2 x → 0 2x − 5x − 3 4 a. b. 1 3 3x 3 − 7x 2 + 2x lim = …. x → 0 2x 2 − 3x − 2 7 a. ∞ b. 3 2 5x − 4x − 12 = …. lim x → ∞ 3x 3 + 5x 2 − 12x 4 a. − b. 0 5 2x 2 − 4x 3 + 6x = …. lim x → ∞ 2x 3 + 3x 2 + 3x 4 a. –2 b. – 3

c. –1

d. 2

e. 3

c.

1 4

d.

c.

1 3

d. –

1 3

e. –

2 3

c.

2 5

d. –

2 5

e. –

5 3

d. 2

2 3

e. 3

1 3

d.

2

e.

1 2

e. –

c. 2

1 3

c. 2 2

1 3

c.

1 2

d. –

c.

3 2

d. 0

e.

1 2

1 4

2

4 3

e. –1

c. 1

d.

5 3

e. ∞

c. 1

d. 2

e. ∞


17

11.

sin 2 3x = …. x→0 3x 2 lim

a. 0 12.

b.

14.

15.

b.

2.

3.

4.

5.

c.

e. ∞

1 2

5 2

e. 5

2 cos x = …. sin 2x a. 0 b. 1 1 − cos 2x lim = …. x → 0 x sin 2x

c. 2

d. 4

e. ∞

a. 2

c.

d.

1 4

e. 0

d.

1 2

e. 0

d.

lim

x→0

limπ 2

b. 1

1 2

cos 2x = …. sin 2x

a. ∞

1.

1 5

d. 3

5x tg 2 2x = …. x → 0 4x 2 sin x

x→

B.

c. 1

lim

a. 0 13.

1 3

b. 2

c. 1

Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar. 2x 2 − 3x − 2 lim = …. x→2 x2 + x − 6 Jawab : ............................................................................................................................................. x−3 = …. lim x→3 x +1 − 2 Jawab : ……………………………………………………………………………………………. sin 4x tg 3x = …. lim x→0 9x 2 Jawab : ............................................................................................................................................. cos 2x − 1 = …. lim x → 0 5x sin 2x Jawab : …………………………………………………………………………………………..... cos 2x lim = …. π cos x − sin x x→ 4

Jawab : .............................................................................................................................................


18

16.3. 16.3.

Turunan Fungsi Aljabar dan Trigonometri Derivative Algebraic and Trigonometric Function

Indikator

Tujuan

Uraian Materi

1. 1.

: 1. Arti fisis (sebagai laju perubahan) dan arti geometri dari turunan dijelaskan konsepnya 2. Turunan fungsi yang sederhana dihitung dengan menggunakan definisi turunan 3. Turunan fungsi dijelaska n sifat-sifatnya 4. Turunan fungsi aljabar dan trigonometri ditentukan dengan menggunakan sifat-sifat turunan 5. Turunan fungsi komposisi ditentukan dengan menggunakan aturan rantai. : Siswa dapat : 1. Mengtahui konsep laju perubahan nilai fungsi dan gambaran geometrisnya 2. Menjelaskan pengertian turunan fungsi. 3. Menghitung nilai turunan fungsi aljabar dengan menggunakan aturan turunan fungsi. 4. Menurunkan sifat-sifat turunan dengan menggunakani sifat lmit 5. Menentukan berbagai turunan fungsi aljabar dan trigonometri 6. Menentukan turunan fungsi dengan menggunakan aturan rantai 7. Melakukan latihan soal tentang turunan fungsi :

Turunan Fungsi Aljabar Derivative Algebraic Function

Turunan pertama dari fungsi f(x) dilambangkan dengan f'(x), dirumuskan dengan :

f(x + h) − f(x) h→0 h

f'(x) = lim

Contoh : 1. Tentukan turunan pertama dari f(x) = 4x2 Jawab : f ( x + h) − f ( x) 4( x + h) 2 − 4x 2 f'(x) = lim = lim h →0 h →0 h h 2 2 2 4 ( x + 2 xh + h ) − 4 x 4 x 2 + 8 xh + 4 h 2 − 4 x 2 = lim = lim h →0 h →0 h h 2 8 xh + 4 h h (8 x + 4 h) = lim = lim = lim (8 x + 4 h ) h →0 h →0 h → 0 h h = 8x + 4(0) = 8x Jadi f(x) = 4x2 → f'(x) = 8x


19

2.

Tentukan turunan pertama dari f(x) = x3 – 6x Jawab : f ( x + h) − f ( x ) {( x + h) 3 − 6 ( x + h )} − ( x 3 − 6 x) f'(x) = lim = lim h →0 h →0 h h 3 2 2 3 3 x + 3 x h + 3 xh + h − 6 x − 6 h − x + 6 x 3 x 2 h + 3 xh 2 + h 3 − 6 h = lim = lim h →0 h →0 h h 2 2 h(3x + 3xh + h − 6) = lim = lim (3x 2 + 3xh + h 2 − 6) h →0 h →0 h = 3x2 + 3x(0) + (0)2 – 6 = 3x 2 – 6 Jadi f(x) = x3 – 6x → f'(x) = 3x2 – 6

a. a.

Rumus Turunan Fungsi Aljabar Formula of Derivative Algebraic Fuction

Rumus Dasar Turunan 1. f (x) = ax n → df (x)/dx atau f' (x) = n . ax n – 1 2.

f (x) = ax → f' (x) = a

3.

f (x) = a

4.

f (x) = ln x → f'(x) =

5.

f (x) = e x → f' (x) = e x

→ f' (x) = 0 1 x

Contoh : 1. Tentukan turunan pertama dari f(x) = 2x2 + 3x Jawab : f'(x) = 2 . 2x2 – 1 + 3 = 4x + 3 2.

Turunan dari f(x) = 4x3 – 2x2 + 6x – 5 adalah : Jawab : f' (x) = 3 . 4x3 – 1 – 2 . 2x2 – 1 + 6 = 12x2 – 4x + 6

2.

Turunan dari f(x) = (x – 2) (2x + 6) adalah : Jawab : f (x) = 2x2 + 6x – 4x – 12 = 2x2 + 2x – 12 f' (x) = 4x + 2

3.

Turunan dari f(x) = (2x + 3) 2 adalah : Jawab : f (x) = 4x2 + 12x + 9 f' (x) = 8x + 12


20

4.

Tentukan turunan pertama dari f (x) =

2x 3 − 4 x 2 + 6x 2x 2

Jaw ab : Sebelum diturunkan, fungsinya disederhanakan dulu 2x 3 4 x 2 6x f (x) = − 2 + 3 = x – 2 + 3x-1 2 2x 2x 2x f' (x) = 1 – 0 + (-1) . 3x–1 – 1 f' (x) = 1 – 3x–2 3 f' (x) = 1 – 2 x 5.

Turunan dari f (x) = 2e x adalah : Jawab : f' (x) = 2ex f' (x) = 2ex

6.

Tentukan turunan pertama dari fungsi f (x) = 2x x – 4 x Jawab : 3

1

f (x) = 2x x – 4 x = 2 x 2 – 4 x 2 1

1

1

3 2 1 − 2 x – 4 . x 2 = 3x2 – 1 2 2 x2 2 f' (x) = 3 x – x

f' (x) = 2 .

Soal latihan : Tentukan turunan pertama dari fungsi : 1. a. f(x) = 3x4 – x3 + 5x2 b. f(x) = 2x5 + 5x3 – 7x + 4 Jawab : ............................................................................................................................................. 2. a. f(x) = 3x (x2 + 2x) b. f(x) = (2x + 1) (3x – 5) Jawab : ............................................................................................................................................. 3. a. f(x) = (x – 6)2 b. f(x) = (3x + 2)2 Jawab : ............................................................................................................................................ 3x 3 + 2x 2 − 5x 6 x 3 + 4 x 2 − 3x + 9 4. a. f(x) = b. f(x) = 4x 2 2x 3 Jawab : ............................................................................................................................................. 5.

a. f(x) = 3 x 3 + 2 3 x b. f(x) = x (3x2 – 4x) Jawab : .............................................................................................................................................


21

b. b.

Aturan Rantai Chine Rule

Turunan bentuk pangkat Contoh : 1. Tentukan turunan pertama dari f(x) = (2x + 5) 3 Jawab : Misal : U = 2x + 5 → dU/dx = 2 f(U) = U3 → df(x)/dU = 3U 2 = 3(2x + 5) 2 f'(x) = df(x)/dx = df(x)/dU . dU/dx = 3(2x + 5) 2 . 2 f'(x) = 6(2x + 5) 2 2.

Tentukan turunan pertama dari f(x) = (x2 – 3)4 Jawab : Misal : U = x2 – 3 → dU/dx = 2x f(U) = U4 → df(x)/dU = 4U 3 = 4(x2 – 3) 3 f'(x) = df(x)/dx = df(x)/dU . dU/dx = 4(x2 – 3) 3 . 2x f'(x) = 8x(x2 – 3)3 Dari contoh diatas dapat dirumuskan sebagai berikut : F(x) = U n → f'(x) = n . U n – 1 . U '

Contoh : 1. Tentukan turunan pertama dari f(x) = (3x – 4)5 Jawab : f'(x) = 5 . (3x – 4)4 . 3 = 15(3x – 4)4 2.

Tentukan turunan pertama dari f(x) = (2x2 + 7) 7 Jawab : f'(x) = 7 . (2x 2 + 7) 6 . 4x = 28x(2x2 + 7) 6

3.

Tentukan turunan pertama dari f(x) = Jawab :

(3x + 2)

1

f(x) =

(3x + 2) = (3x + 2) 2 1

− 1 f'(x) = (3 x + 2) 2 .3 = 2

f'(x) =

3 1

2.(3 x + 2 ) 2

3 2 (3 x + 2)


22

Turunan bentuk perkalian Contoh : 1. Tentukan turunan pertama dari f(x) = (5x – 1) (3x + 2) Jawab : Misal : U = 5x – 1 → U' = dU/dx = 5 V = 3x + 2 → V' = dV/dx = 3 f(x) = U . V → f'(x) = dU/dx . V + dV/dx . U f'(x) = 5(3x + 2) + 3(5x – 1) = 15x + 10 + 15x – 3 f'(x) = 30x + 7 2.

Tentukan turunan pertama dari f(x) = (x2 + 3) (4x – 5) Jawab : Misal : U = x2 + 3 → U' = dU/dx = 2x V = 4x – 5 → V' = dV/dx = 4 f(x) = U . V → f'(x) = dU/dx . V + dV/dx . U f'(x) = 2x(4x – 5) + 4(x2 + 3) = 8x2 – 10x + 4x2 + 12 f'(x) = 12x2 – 10x + 12 Dari contoh diatas maka dapat dirumuskan : f(x) = U . V → f'(x) = U' . V + V' . U

Contoh : 1. Tentukan turunan pertama dari f(x) = (6x + 3) (3x – 1) Jawab : f'(x) = 6(3x – 1) + 3(6x + 3) = 18x – 6 + 16x + 9 f'(x) = 36x + 3 2.

Tentukan turunan pertama dari f(x) = (5x – 1) (2x2 + 4) Jawab : f'(x) = 5(2x 2 + 4) + 4x(5x – 1) = 10x2 + 20 + 20x2 – 4x f'(x) = 30x2 – 4x + 20

Turunan bentuk pembagian

f(x) =

U U' . V − V' . U → f' (x) = V V2

Contoh : 1.

Tentukan turunan pertama dari f ( x) =

(5 x − 3) (2 x + 1)

Jawab :

5(2 x + 1) − 2(5x − 3) 10 x + 5 − 10 x + 6 = (2x + 1) 2 (2 x + 1) 2 11 f ' ( x) = (2x + 1) 2 f ' ( x) =


23

2.

Tentukan turunan pertama dari f ( x) =

( x 2 + 2) (3 x − 4)

Jawab : f ' ( x) =

2 x(3 x − 4) − 3( x 2 + 2) 6 x 2 − 8x − 3x 2 − 6 = (3 x − 4 ) 2 (3 x − 4) 2

f ' ( x) =

3x 2 − 8 x − 6 (3 x − 4) 2

Dengan cara lain : ax + b a.d − c.b f ( x) = → f ' ( x) = cx + d (cx + d ) 2 Contoh : (5 x + 3) 5 .(−2) − 3 .3 − 10 − 9 − 19 1. → f ' ( x) = = = f ( x) = 2 2 (3 x − 2 ) (3 x − 2) (3 x − 2 ) (3 x − 2 ) 2 2.

f ( x) =

(4 x − 1) 4 .3 − 2.(−1) 12 + 2 14 → f ' ( x) = = = 2 2 (2 x + 3) ( 2 x + 3) ( 2 x + 3) ( 2 x + 3) 2

Turunan fungsi f(x) = e U F(x) = e U → f'(x) = U' . e U Contoh : 1. f(x) = e3x → f'(x) = 3e3x 2.

f(x) = e(5x – 2) → f'(x) = 5e (5x – 2)

Soal latihan : Tentukan turunan pertama dari : 1. a. f(x) = (5x – 7)3 b. f(x) = (6x + 3)5 Jawab : ............................................................................................................................................. 2. a. f(x) = (x2 – 5)6 b. f(x) = 5x − 4 Jawab : ............................................................................................................................................. 3. a. f(x) = (2x – 7) (6x + 1) b. f(x) = (4x + 5) (3x – 2) Jawab : ............................................................................................................................................. 4. a. f(x) = (x2 + 4) (4x – 2) b. f(x) = (2x2 – 1) (x2 + 3) Jawab : ............................................................................................................................................. (3 x − 5) (4 x + 6) 5. a. f ( x) = b. f ( x) = ( x + 2) (2 x + 7 ) Jawab : .............................................................................................................................................


24

c. c.

Nilai Turunan Derivative Value

Untuk menentukan nilai dari turunan fungsi f(x) → f'(a). Fungsinya diturunkan terlebih dahulu, kemudian x nya diganti dengan a Contoh : 1. Tentukan nilai f'(3) dari : f(x) = 4x2 + 5x – 4 Jawab : f'(x) = 8x + 5 → f'(3) = 8(3) + 5 = 24 + 5 = 29 2.

Tentukan nilai f'(2) dari : f(x) = (2x + 3) (x – 1) Jawab : f(x) = 2x 2 – 2x + 3x – 3 = 2x 2 + x – 3 f'(x) = 4x + 1 → f'(2) = 4(2) + 1 = 8 + 1 = 9

3.

Tentukan nilai f'(4) dari : f(x) = (2x – 5)2 Jawab : f(x) = 4x 2 – 20x + 25 f'(x) = 8x – 20 → f'(4) = 8(4) – 20 = 32 – 20 = 12

4.

Tentukan nilai f'(2) dari : f(x) = (3x – 2)3 Jawab : f'(x) = 3(3x – 2)2 . 3 = 9(3x – 2)2 f'(2) = 9(3(2) – 2)2 = 9(6 – 2)2 = 9 . 16 = 144

5.

Tentukan nilai f'(1) dari : f ( x) =

( 4x − 7) (3 x − 5)

Jawab :

4 .(−5) − 3 .(−7 ) − 20 + 21 1 = = 2 2 (3 x − 5 ) (3 x − 5) (3 x − 5) 2 1 1 1 f ' (1) = = = 2 2 (3(1) − 5) (3 − 5) 4 f ' ( x) =

Soal latihan : Tentukan nilai dari turunan pertama berikut ini. 1. a. f(x) = 3x3 + 2x2 – 9x → f'(2) = .... b. f(x) = 2x 4 – 4x3 + 3x2 → f'(3) = .... Jawab : .......................................................................................................................................................... 2. a. f(x) = (x2 + 1) (3x – 2) → f'(1) = .... b. f(x) = (4x + 3) (2x2 – 1) → f'(–2) = .... Jawab : .......................................................................................................................................................... 3. a. f(x) = (x – 7)2 → f'(–3) = .... b. f(x) = (3x + 2)2 → f'(1) = .... Jawab : .......................................................................................................................................................... 4. a. f(x) = (2x + 3)4 → f'(1) = .... b. f(x) = (3x – 4)5 → f'(2) = .... Jawab : .......................................................................................................................................................... 5.

a.

f ( x) =

( 2 x + 3) → f'(2) = ..... ( 4 x + 1)

b.

f ( x) =

(5 x − 4) f'(1) = .... ( 2 x − 3)

Jawab : ..........................................................................................................................................................


25

EVALUASI 3 A. 1.

2. 3. 4.

5.

6. 7. 8. 9.

10.

Pilihlah jawaban yang paling benar ! Turunan pertama dari fungsi f (x) = 2x3 + 5x2 – 6x adalah f' (x) = …. a. 6x4 + 10x 3 – 6x2 c. 6x2 + 10x – 6 e. 2x2 + 5x – 6 b. 6x3 + 10x 2 – 6x d. 2x2 + 10x – 6 3 2 Turunan dari f (x) = 4x – 2x + 5x adalah …. a. 24x b. 24x – 4 c. 12x2 – 4 d. 12x2 – 4x e. 12x2 – 4x + 5 Turunan pertama dari fungsi f (x) = (2x – 3) (x2 + 1) adalah f' (x) = …. a. 2x3 – 3x2 + 2x – 3 c. 6x2 – 6x – 3 e. 2x2 – 3x + 2 2 2 b. 6x – 6x + 2 d. 6x + 2x – 3 Turunan pertama dari fungsi f (x) = (2x – 1) 2 adalah f' (x) = …. a. 4x2 – 4x + 1 c. 2x2 – 2x + 1 e. 4x – 4 b. 2x2 – 4x + 1 d. 4x – 2 Turunan pertama dari fungsi f (x) = 8x – 6 x adalah f' (x) = …. 3 3 a. 8 – b. 8 + c. 8 – 3 x d. 8 + 3 x e. 8 – 6 x x x Turunan pertama dari fungsi f (x) = 2x (x2 – 4) adalah f' (x). Nilai f' (2) = …. a. 8 b. 12 c. 16 d. 20 e. 24 Turunan perta ma dari fungsi f (x) = (x – 3)3 adalah f' (x). Nilai f' (1) = …. a. 12 b. 8 c. 4 d. –4 e. –8 2 Turunan pertama dari f(x) = (2x – 3) (x + 6) adalah f'(x). Nilai dari f'(1) = …. a. 18 b. 12 c. 8 d. 6 e. 4 (6x + 2) Turunan pertama dari fungsi f (x) = adalah f' (x) = …. (5x + 3) 28 8 1 − 10 − 18 a. b. c. d. e. 2 2 2 2 (5x + 3) (5x + 3) (5x + 3) (5x + 3) (5x + 3) 2

6 x2 3 6 b. x – + 2 x x

a. x – 3 +

B. 1.

2.

2x 4 + 6x 3 − 4 adalah f'(x) = .... 2x 3 3 6 6 c. 1 – + 2 e. 1 + 2 x x x 3 6 d. 1 + – x x2

Turunan pertama dari fungsi f(x) =

Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar. Tentukan turunan pertama dari fungsi : a. f(x) = (3x 2 + 1) (x – 4) b. f(x) = (x + 4) 2 Jawab : ……………………………………………………………………………………………. Tentukan nilai turunan pertama dari fungsi : a. f(x) = 3x2 + 5x – 2 unuk f'(3). b. f(x) = (2x + 4) 2 untuk f'(2) c. f(x) = (4x – 3) (3x + 2) untuk f'(–2) Jawab : …………………………………………………………………………………………….


26

2. 2.

Turunan Fungsi Trigonometri Derivative of Trigonometric Function

a. a.

Rumus Turunan Fungsi Trigonometri Formula of D erivative Trigonometric Function Rumus : 1.

f (x) = sin x → f' (x) = cos x ;

f (x) = sin ax ?

f' (x) = a cos ax

2.

f (x) = cos x → f' (x) = - sin x ;

f (x) = cos ax ?

f' (x) = -a sin ax

3.

f (x) = sin (ax + b) ?

f' (x) = a cos (ax + b)

4.

f (x) = cos (ax + b) ?

f' (x) = -a sin (ax + b)

5.

f (x) = tan x ? f' (x) = sec2 x ;

f (x) = tan ax ?

f' (x) = a sec2 ax

Contoh : 1. Turunan dari f (x) = 2 sin 3x adalah : Jawab : f'(x) = 3 . 2 cos 3x = 6 cos 3x 2.

Turunan dari f (x) = 4 cos (2x – 5) Jawab : f'(x) = -2 . 4 cos (2x – 5) = -8 sin (2x – 5)

3.

Tentukan turuna n pertama dari f(x) = 4sin 2x – 3 cos x Jawab : f'(x) = 4 . 2 cos 2x + 3 sin x = 8 cos 2x + 3 sin x

4.

Tentukan turunan pertama dari f(x) = x2 – sin

2 x + 5 cos 3x 3

Jawab : f'(x) = 2x –

2 2 cos x – 15 sin 3x 3 3

5.

Tentukan turunan pertama dari f(x) = 2 sin (4x – 1) + 3 cos (5 – 2x) Jawab : f'(x) = 2 . 4 cos (4x – 1) – (-2) sin (5 – 2x) = 8 cos (4x – 1) + 2 sin (5 – 2x)

6.

Tentukan turunan pertama dari f(x) = cos (3x + 2) + 5 sin (2x – 7) Jawab : f'(x) = –3 sin (3x + 2) + 10 cos (2x – 7)


27

b. b.

Nilai Turunan Derivative Value

Setelah fungsi f(x) diturunkan, kemudian x diganti dengan nilai yang diminta Contoh : 1. Tentukan nilai f'(60o) dari f(x) = 4 sin x adalah : Jawab : f'(x) = 4 cos x 1 f' (60o) = 4 cos 60o = 4 . =2 2 2.

Tentukan nilai f'(30o) dari f(x) = 3 cos 3x Jawab : f'(x) = –6 sin 3x f'(30o) = –6 sin 3(30o) = –6 sin 90o = –6 . 1 = –6

3.

Tentukan nilai f'(45o) dari f(x) = 2 sin 4x Jawab : f'(x) = 8 cos 4x f'(45o) = 8 cos 4(45o) = 8 cos 180o = 8 . (–1) = –8

Soal Latihan : 1. Tentukan turunan pertama dari fungsi : a. f (x) = sin 4x c. f (x) = 3 sin (x – 3) b. f (x) = 2 sin 3x d. f (x) = 4 sin (5 – 2x) Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 2. Tentukan turunan pertama dari fungsi : a. f (x) = cos 2x c. f (x) = 5 cos (3x – 1) b. f (x) = 4 cos 5x d. f (x) = 2 cos (4 – 2x) Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 3. Tentukan nilai turunan pertama dari fungsi : a. f (x) = sin 2x → f' (30o) = …. b. f (x) = 3 cos 2x → f' (45o) = …. Jawab : …………………………………………………………………………………………….

EVALUASI 4 A. 1.

Pilihlah jawaban yang paling benar. Turunan pertama dari f (x) = 2 cos 3x adalah f' (x) = …. a. 6 sin 3x

e.

2 sim 3x 3

2 cos 3x 3 Turunan pertama dari f (x) = sin 4x - 2 cos x adalah f' (x) = .... a. 4 cos 4x - 2 sin x c. -4 cos 4x + 2 sin x e. 4 cos 4x + 2 sin x b. -4 cos 4x - 2 sin x d. 4 sin 4x - 2 cos x

b. 6 cos 3x 2.

c. -6 sin 3x d.


28

3.

4.

Turunan pertama dari f (x) = cos (5 - 4x) adalah f' (x) = .... a. 5 sin (5 - 4x) c. -4 sin (5 - 4x) 1 b. 4 sin (5 - 4x) d. sin (5 - 4x) 4 Turunan dari f (x) = sin (1 - 3x) adalah f' (x) = .... a. -3 cos (1 - 3x)

5.

6.

7.

8.

9. 10.

B. 1.

2. 3.

4

5.

c. cos (1 - 3x)

e. -5 sin (5 - 4x)

e.

1 sin (1 - 3x) 3

b. 3 cos (1 - 3x) d. -cos (1 - 3x) Turunan pertama dari fungsi f (x) = 3 sin 4x adalah f' (x) = …. 3 a. cos 4x c. –12 cos 4x e. 12 sin 4x 4 3 b. – cos 4x d. 12 cos 4x 4 Turunan pertama dari fungsi f (x) = 2 cos (3x – 5) adalah f' (x) = …. 2 a. 2 sin (3x – 5) c. sin (3x – 5) e. –6 sin (3x – 5) 3 2 b. 6 sin (3x – 5) d. – sin (3x – 5) 3 Turunan pertama dari fungsi f (x) = sin 4x – 3 cos 2x adalah f' (x) = …. a. cos 4x – sin 2x c. 4 cos 4x – 6 sin 2x e. 4 sin 4x + 6 cos 2x b. cos 4x + sin 2x d. 4 cos 4x + 6 sin 2x Turunan dari fungsi f(x) = sin (2x + 60 o) adalah f'(x). Nilai dari f'(45o ) = .... 1 1 1 a. 0 b. c. 2 d. 3 e. 1 2 2 2 Turunan dari f (x) = cos 2x adalah f' (x). Nilai dari f (45o) = .... a. -2 b. -1 c. 0 d. 1 e. 2 Turunan dari 2 sin 3x adalah f' (x). Nilai dari f' (60o ) = .... a. 6 b. 3 c. 0 d. -3 e. -6

Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar ! Tentukan turunan pertama dari fungsi f (x) = 3 sin (4x – 1) Jawab : ............................................................................................................................................. Tentukan turunan dari f (x) = 4 cos (3 – 2x) Jawab : ……………………………………………………………………………………………. Tentukan nilai turunan pertama dari fungsi f (x) = 3 sin 2x unuk f' (90o). Jawab : ……………………………………………………………………………………………. Tentukan nilai turunan pertama dari fungsi f (x) = 2 cos (5) untuk f' (30 o) Jawab : ............................................................................................................................................. Tentukan nilai dari turunan pertama dari fungsi f (x) = sin 2x - cos 3x untuk f'(30o) Jawab : .............................................................................................................................................


29

16.4. 16.4.

Fungsi naik, Fungsi turun dan Stationer Function Increase, Decrease and Stationer

Indikator

Tujuan

Uraian Materi

1. 1.

: 1. Fungsi monoton naik dan turun ditentukan dengan menggunakan konsep turunan pertama 2. Sketsa grafik fungsi dinggambar dengan menggunakan sifat-sifat turunan 3. Titik ekstrim grafik fungsi ditentukan koordinatnya 4. Garis singgung sebuah fungsi ditentukan persamaannya : Siswa dapat : 1. Mengenal secara geometris tentang fungsi naik dan turun 2. Mengidentifikasi fungsi naik atau fungsi turun menggunakan aturan turunan. 3. Menggambar sketsa grafik fungsi dengan menentukan perpotongan sumbu koordinat, titik stasioner dan kemonotonannya 4. Menentukan titik stasioner suatu fungsi beserta jenis ekstrimnya 5. Menentukan persamaan garis singgung fungsi. :

Fungsi naik, Fungsi turun dan Stationer Function Increase, Decrease and Stationer y = f (x) y f (x) turun

f (x) naik

x

Pada gambar fungsi f (x), titik P terletak pada kurva dengan koordinat {a, f (a)}. Untuk x < a, fungsi f (x) merupakan fungsi turun. Sedangkan untuk x > a, fungsi f (x) merupakan fungsi naik. Untuk x = a, fungsi f (x) dalam kondisi diam(tidak turun dan tidak naik). Kondisi diam tersebut dinamakan stationer.

{a, f (x)}

a. Fungsi turun, jika turunannya f' (x) < 0 b. Fungsi naik, jika turunannya f' (x) > 0 c. Fungsi diam (stationer), jika turunannya f' (x) = 0 Contoh : 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari f (x) = x3 + 3x2 – 9x + 6 jika fungsinya turun. Jawab : Syarat fungsi turun jika turunan fungsi f (x) < 0 → f' (x) < 0 f (x) = x3 + 3x 2 – 9x + 6 → f' (x) = 3x2 + 6x – 9 < 0 3x2 + 6x – 9 < 0 (dibagi dengan 3) x2 + 2x – 3 < 0 (x + 3) (x – 1) < 0 x + 3 > 0 → x < –3 x–1<0 →x<1 HP : {x  –3 < x < 1}


30

2.

Tentukan nilai x yang memenuhi dari f (x) = = x2 – 8x + 12 Jawab : f (x) = = x2 – 8x + 12 → f' (x) = 2x – 8 < 0 2x – 8 < 0 → 2x < 8 x<4

3.

Tentukan himpunan penyelesaian dari f (x) = x (x + 2)2 jika fungsinya naik. Jawab : Syarat fungsi naik jika turunan fungsi f (x) > 0 → f' (x) > 0 f (x) = x (x + 2) 2 = x (x2 + 4x + 4) = x3 + 4x2 + 4x f' (x) = 3x2 + 8x + 4 > 0 (3x + 2) (x + 2) > 0 2 3x + 2 > 0 → 3x > –2 → x > – 3 x + 2 < 0 → x < –2 2 HP : {x  x < –2 atau x > – } 3

4.

Tentukan nilai x yang memenuhi dari f (x) = 1 + 2x – 2x2 – 2x3 jika fungsinya naik. Jawab : f (x) = 1 + 2x – 2x2 – 2x 3 → f'(x) = 2 – 4x – 6x2 > 0 2 – 4x – 6x2 > 0 (dibagi dengan 2) 1 – 2x – 3x2 > 0 → 3x 2 + 2x – 1 < 0 (3x – 1) (x + 1) < 0 1 3x – 1 < 0 → 3x < 1 → x < 3 x + > 0 → x > –1 1 HP : {x  –1 < x < } 3

5.

Tentukan nilai x yang memenuhi dari f (x) = x3 – 3x2 – 9x + 8 jika fungsinya diam (stationer). Jawab : Syarat fungsi stationer jika turunan fungsi f (x) = 0 → f' (x) = 0 f (x) = x3 – 3x 2 – 9x + 8 → f' (x) = 3x2 – 6x – 9 = 0 3x2 – 6x – 9 = 0 (dibagi dengan 3) x2 – 2x – 3 = 0 (x – 3) (x + 1) = 0 x–3=0 →x=3 x + 1 = 0 → x = –1 HP : {–1, 3}


31

Soal latihan : 1. Tenuktan himpunan penyelesaian dari fungsi berikut, jika fungsinya turun : a. f (x) = x2 – 2x + 6 b. f (x) = x3 – 2x 2 + 55x – 5 Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 2. Tentukan himpunan penyelesaian dari fungsi berikut, jika fungsinya naik : a. f (x) = 2x3 – 6x 2 – 18x + 14 b. f (x) = 2x3 + 3x2 + 12x + 6 Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 3. Tentukan nilai stationer dari fungsi : a. f (x) = 2x3 + 3x 2 – 12x – 11 b. f (x) = x2 – 2x – 3 Jawab : ………………………………………………………………………………………….....

2. 2.

Persamaan Garis Singgung Equation of Polecat Line

Persamaan garis singgung pada kurva parabola di titik P (x 1 , y1) adalah …. y – y1 = m (x – x 1) m = gradien garis = f'(x) Contoh : 1. Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y = x2 – 5x – 6 di titik (2, –12). Jawab : y = x2 – 5x – 6 → y' = 2x – 5 m = 2 (2) – 5 = 4 – 5 = –1 y – y1 = m (x – x 1) y – (-12) = –1(x – 2) y + 12 = –x + 2 x + y + 12 – 2 = 0 x + y + 10 = 0 2.

Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y = x2 + 4 di titik dengan absis x1 = 2. Jawab : y = x2 + 4 → y' = 2x m = 2 (2) = 4 y1 = (2)2 + 4 = 4 + 4 = 8 y = m (x – x1 ) + y1 y = 4 (x – 2) + 8 y = 4x – 8 + 8 y = 4x


32

3.

Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y = 3x2 yang sejajar dengan garis y = 3x – 6. Jawab : y = 3x2 → y' = 6x → m1 = 6x y = 3x – 6 → y' = 3 → m2 = 3 Karena garisnya sejajar maka m 1 = m2 = 3 1 6x = 3 → x1 = 2 1 2 1 3 y1 = 3 ( ) = 3 ( ) = 2 4 4 y = m (x – x1 ) + y1 1 3 y = 3 (x – ) + 2 4 3 3 y = 3x – + 2 4 3 y = 3x – atau 4y – 12x + 3 = 0 4

Soal latihan : 1. Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva : a. y = 3x2 – 4x di titik (1 , –1) b. y = x2 + 4x di titik (1, 5) c. y = x2 + 1 di titik dengan absis x1 = 2 d. y = x2 + 4x + 1 di titik dengan absis x1 = 1 Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 2.

Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y = x2 + 1, jika : a. sejajar dengan garis y = 4x + 1 b. tegak lurus dengan garis y = 3 – 2x Jawab : …………………………………………………………………………………………….

3. 3.

Teorema L'Hospital L'Hospital Theorem

Jika Jika

lim

f(x)

x → a g(x)

lim f (x) = 0 dan x→a = lim

f' (x)

x → a g' (x)

lim g (x) = 0, sehingga x →a

f(x) 0 = x → a g(x) 0 lim

maka

. (masing-masing diturunkan)

Contoh : 1.

x 2 − 2x − 3 2x − 2 = lim = 2(3) – 2 = 6 – 2 = 4 x→ 3 x →3 1 x−3

2.

x 2 − 7x + 10 2x − 7 2 (2 ) − 7 4−7 = lim = = = –3 2 x → 2 x − 3x + 2 x → 2 2x − 3 2( 2) − 3 4−3

lim

lim


33

3.

x3 − 8 3x 2 3(2 ) 2 = lim = =4 x → 2 3x − 6 x →2 3 3

4.

cos x − 1 − sin x − cos x − cos 0o 1 = = = lim lim = x → 0 2x 2 x → 0 4x x →0 4 4 4

lim

lim

EVALUASI 5 A. 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9. 10.

Pilihlah jawaban yang benar. Himpunan penyelesaian dari f (x) = 2x3 + 3x2 – 12x + 11 jika fungsinya turun adalah …. a. {x  x < –1 atau x > 2} c. {x  –2 < x < 1} e. {x  1 < x < 2} b. {x  x < –1 atau x > –2} d. {x  –2 < x < –1} 1 3 1 2 Fungsi f (x) = x – x – 2x + 5, naik pada …. 3 2 a. {x  x < –1 atau x > 2} c. {x  x < –2 atau x > 1} e. {x  –2 < x < 1} b. {x  x < 1 atau x > 2} d. {x  1 < x < 2} Nilai x yang memenuhi fungsi f (x) = x3 – 3x2 + 6, jika fungsinya turun adalah …. a. {x  x < 1 atau x > 3} c. {x  0 < x < 2} e. {x  –2 < x < 0} b. {x  x < 0 atau x > 2} d. {x  0 < x < 3} Himpunan penyelesaian dari f (x) = x3 – 6x2 + 9x + 1, jika fungsinya diam adalah …. a. {1, –3} c. {3, –1) e. {2, 3} b. {1, 3} d. {–3, 3} 1 Fungsi f (x) = x3 – 4x, stationer pada titik …. 3 a. {1, 1} c. {2, 2} e. {2, –2} b. (1 , –1} d. (1 , –2} Nilai x yang memenuhi fungsi f (x) = x3 – x2 – x + 1, jika fungsinya naik adalah …. 1 1 1 a. {x  x < –1 atau x > } c. {x  x < atau x > 1} e. {x  –1 < x < } 3 3 3 1 1 b. {x  x < – atau x > 1} d. {x  – < x < 1} 3 3 Persamaan garis yang menyinggung kurva y = x3 + x di titik (1, 2) adalah …. a. y = 4x + 2 c. y = 2x – 4 e. 2x – 2 b. y = 4x – 2 d. y = 2x + 2 Persamaan garis yang menyinggung kurva y = 1 – x3 di titik dengan absis = 2 adalah …. a. y – 12x + 17 = 0 c. 12x + y – 17 = 0 e. 12x + y + 17 = 0 b. 12x – y – 17 = 0 d. 12x – y + 17 = 0 Persamaan garis yang menyinggung kurva y = x3 – x di titik (2, 6) adalah …. a. y = 11x + 6 c. y = 11x + 16 e. y = 11x – 16 b. y = –11x + 6 d. y = –11x + 16 Persamaan garis yang menyinggung kurva y = x2 – 2x – 3 dan sejajar dengan garis y = 2 – 6x adalah …. a. 6x + y + 7 = 0 c. x + 6y + 7 = 0 e. 6x – y – 7 = 0 b. 6x + y – 7 = 0 d. x – 6y – 7 = 0


34

B. 1. 2.

3. 4.

5.

Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar. Tentukan himpunan penyelesaian dari fungsi f (x) = x3 – 3x2 , jika fungsinya turun. Jawab : …………………………………………………………………………………………… Tentukan nilai x yang memenuhi dari fungsi f (x) = x3 + 9x 2 + 15x + 5, jika fungsinya naik. Jawab : ……………………………………………………………………………………………. Tentukan nilai stationer dari fungsi f (x) = x3 – 6x2 + 2. Jawab : ……………………………………………………………………………………………. Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y = x2 – 5x + 4 di titik (2, –2) Jawab : ……………………………………………………………………………………………. Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y = 4 – x2 di titik dengan absis x1 = 1 Jawab : …………………………………………………………………………………………….

16.5. Pemakaian Turunan 16.5. The Derivative Indikator

Tujuan

Uraian Materi

1. 1.

: 1. Masalah-masalah yang bisa diselesaikan dengan konsep ekstrim fungsi disusun model matematikanya 2. Model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi ditentukan penyelesaiannya : Siswa dapat : 1. Menentukan variabel-variabel (x dan y) dari masalah ekstrim fungsi 2. Menyatakan masalah nyata dalam kehidupan sehari-hari dibentuk ke dalam model matematika 3. Menentukan penyelesaian model matematika dengan menggunakan konsep ekstrim fungsi. :

Hubungan antara Jarak (S), Kecepatan (v) dan Percepatan (a) Relationship between distance (S), speed (v) and acceleration (a) Jika persamaan dari jarak S (t) diturunkan terhadap waktu (t) maka menjadi kecepatan atau v (t). dS(t) S (t) → = S'(t) = v (t) dt Jika persamaan dari kecepatan v (t) diturunkan erhadap waktu (t) maka menjadi perceparat atau a (t). dv(t) v (t) → = v'(t) = a (t) dt


35

Contoh : 1. Benda bergerak sepanjang lintasannya dengan persamaan gerak S (t) = 2t3 + 3t2. Jika jarak dalam satuan meter dan waktu dalam satuan detik, tentukan kecepatan dan percepatan pada saat t = 3 detik. Jawab : S (t) = 2t3 + 3t 2 v (t) = 6t2 + 6t ? v (3) = 6 . 32 + 6 . 3 = 54 + 18 = 72 m/s a (t) = 12t + 6 ? a (3) = 12 . 3 + 6 = 36 + 6 = 42 m/s 2 2. Benda bergerak sepanjang lintasannya dengan persamaan gerak S (t) = 4t2 + 12t + 8. Jika jarak dalam satuan meter dan waktu dalam satuan detik, tentukan kecepatan dan percepatan pada saat t = 4 detik. Jawab : S (t) = 4t2 + 12t + 8 dS(t) v (t) = = 8t + 12 dt v (4) = 8 (4) + 12 = 32 + 12 = 44 m/s v (t) = 8t + 12 dv(t) a (t) = = 8 dt 2 a (4) = 8 m/s (gerak beraturan)

2. 2.

Maksimum dan Minimum Maximum and Minimum Syarat nilai maksimum dan minimum adalah turunan dari fungsi f (x) = 0 atau f' (x) = 0. Contoh : 1. Sebuah bola ditembakan tegak lurus ke atas dengan memenuhi persamaan gerak h (t) = 32 – 4t2. Jika ketinggian maksimum dalam satuan meter dan waktu dalam satuan detik, tentukan ketinggian maksimum yang dicapai bola. Jawab : h (t) = 32t – 4t2 → h' (t) = 32 – 8t Syarat maksimum jika h' (t) = 0 32 – 8t = 0 → 8t = 32 t = 4 detik h (4) = 32 (4) – 4 (4) 2 = 128 – 64 = 64 meter. 2. Sebuah ba lok dengan alas berbentuk bujur sangkar dan bagian atasnya tanpa tutup dibuat agar dapat menampung volume 32 cm3. Tentukan ukuran dari balok agar bahan yang dipakai minimum. Jawab : Volume balok : V = p x l x t → alas berbenuk bujur sangkar, p = l 32 32 = p x p x t → t = 2 p Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5

36

Luas permukaan balok anpa tutup : Lp = p x l + 2 x p x t + 2 l x t → p = l Lp = p x p + 2 x p x t + 2 p x t Lp = p2 + 4pt 32 128 Lp = p2 + 4p. 2 → Lp = p2 + p p Agar luas bahan yang digunakan minimum → Lp' = 0 128 Lp' = 2p – 2 = 0 p 128 2p – 2 = 0 (dikali dengan p2 ) p 2p3 – 128 = 0 → p3 = 64 p = 3 64 = 4 cm l = p = 4 cm 32 32 = 2 = 2 cm 2 p 4 Jadi ukuran balok adalah panjang = 4 cm, lebar = 4 cm dan tinggi = 2 cm.

t=

Soal latihan : 1. Sebuah benda bergerak sepanjang lintasannya memenuhi persamaan gerak S (t ) = 4t3 – 3t 2 + 8t + 10 (satuan meter). Pada saat benda bergerak dalam waktu 3 detik, tentukan : a. kecepatan b. percepatan Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 2. Peluru ditembakan keatas tegak lurus dengan persamaan h (t) = 60t – 5t2 (meter) Berapa tinggi maksimum sebelum peluru kembali lagi ke bawah ? Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 3. Reaksi obat tidur setelah disuntikan pada tubuh dapat dinyatakan dengan persamaan F (t) = 6t – t2 , dimana t adalah waktu perjam. Tentukan reaksi maksimum yang dicapai. Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 4. Talang air terbuat dari seng denan lebar 4 meter. Jika penampang talang berbentuk persegi panjang dengan ukuran x dan y, tentukan ukuran penampang talang agar air yang mengaliir sebanyak-banyaknya. Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 5. Sebuah tabung tanpa tutup terbuat dari seng, dapat menampung minyak se banyak 64π cm3. Tentukan ukuran dari tabung agar luas bahan yang digunakan minimum. Jawab : …………………………………………………………………………………………….


37

ULANGAN HARIAN 2 A. 1.

2.

3.

4.

5.

6.

Pilihlah jawaban yang paling benar ! Turunan pertama dari f (x) = 4x (x2 + 3) adalah f' (x) = …. a. 4x3 + 12x c. 4x2 + 12x e. b. 12x2 + 12x d. 12 (x2 + 1) Turunan pertama dari fungsi f (x) = (x – 5)2 adalah f'(x) = …. a. 2x – 10 c. 2x + 25 e. b. 2x + 10 d. x2 – 10x – 25 Turunan pertama dari : f (x) = (x3 + 1) (x4 – 1) adalah …. a. 12x6 + x4 – x3 – 1 c. 7x6 + 4x 3 – 3x2 e. 6 4 3 b. 12x – x + x d. 7x6 – 4x 3 + 3x2 Turunan pertama dari f (x) = x2 (x3 + 2) adalah …. a. f '(x) = 5x4 + 4 c. f '(x) = 5x + 2 e. b. f '(x) = 6x4 + 2x d. f '(x) = x (5x 3 + 4) Turunan pertama dari f (x) = (2x – 3) (x2 + 6) adalah f' (x) = …. a. 2x3 – 3x2 + 12x – 18 c. 6x2 – 3x + 6 e. 3 2 2 b. 2x – 3x + 12x d. 2 (x – x + 6) Turunan pertama fungsi f (x) = 6 x + 3x adalah f ' (x) = …. a. 3 x – 3x

c. 3 x + 3x

b. 3 x – 3

d.

3

e.

12 (x + 1) x2 – 10x + 25 42x5 + 12x 2 – 6x f '(x) = x2 (5x2 + 4) 6 (x2 – x + 2)

3 +3 x

– 3x

x 7.

8.

9.

10. 11.

12.

13.

Turunan pertama fungsi y = 17 − 4x 2 adalah y' = …. 8x 2x 1 a. − c. − e. − 2 2 17 − 4x 17 − 4x 17 − 4x 2 4x x b. − d. − 17 − 4x 2 17 − 4x 2 Turunan dari fungsi y = sin (4x + 3) adalah f ‘(x) = …. a. ¼ cos (4x + 3) c. –4 cos (4x + 3) d. cos (4x + 3) b. –¼ cos (4x + 3) d. 4 cos (4x + 3) Turunan pertama dari y = sin 2x – cos 3x adalah …. a. cos 2x + sin 3x c. –2 cos 2x + 3 sin 3x e. –2 cos 2x – 3 sin 3x b. –cos 2x – sin 3x d. 2 cos 2x + 3 sin 3x Turunan fungsi f (x) = 4x3 + 2x2 – 8x adalah f' (x). Nilai f' (–1) = …. a. 6 c. 2 e. –4 b. 4 d. 0 Persamaan garis singgung kurva y = 2x2 – 5x – 3 pada titik P (2, –5) adalah …. a. 3y – x – 11 = 0 c. 3x + y + 11 = 0 e. 3x – y – 11 = 0 b. 3y + x + 11 = 0 d. 3x – y + 11 = 0 Grafik fungsi f (x) = x3 – 3x + 3, naik pada interval …. a. -1 < x < 3 c. x > 1 atau x > 3 e. x < -1 atau x > 1 b. 1 < x < -3 d. x < 1 atau x > -1 Fungsi y = x3 – 3x2 , turun pada interval …. a. x > 0 c. 0 < x < 3 e. x > 3 b. x > 2 d. 0 < x < 2


38

14. 15.

B. 1.

2.

3. 4.

5.

Fungsi f (x) = 2x3 + 3x2 – 12x + 2, turun pada interval …. a. 1 < x < 2 c. -2 < x < 2 b. -2 < x < 1 d. -1 < x < 1 Fungsi f yang ditentukan oleh : f (x) = 2x3 + 9x 2 – 24x naik pada interval: a. x < -4 atau x > 1 c. x < -1 atau x > 4 b. x < -4 atau x > -1 d. -1 < x < 4

e. -1 < x < 2

e. -4 < x < 1

Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar ! Tentukan turunan pertama dari fungsi f (x) = (2x 2 – 1) (x2 + 3x). Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 8 Tentukan turunan pertama dari fungsi f (x) = 5x – x Jawab : ……………………………………………………………………………………………. Tentukan turunan pertama dari fungsi f (x) = 3 sin 2x + 5 cos 3x Jawab : ……………………………………………………………………………………………. Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y = x2 – 5x + 4 pada titik yang berbsis 2. Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 1 Grafik fungsi f (x) = x3 – 3x2 + 5x, naik pada interval …. 3 Jawab : …………………………………………………………………………………………….

Siapa yang keluar rumah untuk menuntut ilmu maka ia berjuang fisabilillah hingga kembali Who went out to the science he struggled to return Fisabilillah


39

KOMPETENSI 17

INTEGRAL INTEGRAL Standar Kompetensi Kompetensi Dasar

: 17. Integral : 17.1. Memahami konsep Intergral tak tentu dan Integral tentu 17.2. Integral Subsitusi dan Integral Parsial 17.3. Pemakaian Integral : 36 jam pelajaran : Minggu ke 10 s.d. ke 18

Alokasi Waktu Dilaksanakan Pada

Tujuan Pembelajaran Umum : Siswa dapat menerapkan konsep dari integral dalam memecahkan permasalahan baik di sekolah maupun dalam kehidupan sehari-hari.

17.1. Integral Tak Tentu dan Tertentu 17.1. Not Necessarily and a Certain Integral Indikator

Tujuan

Uraian Materi

: 1. Fungsi aljabar dan trigonometri ditentukan integral tak tentunya 2. Fungsi aljabar dan trigonometri ditentukan integral tentunya 3. Menyelesaikan masalah yang melibatkan integral tentu dan tak tentu : Siswa dapat : 1. Mengenal integral tak tentu sebagai anti turunan 2. Menentukan integral tak tentu dari fungsi sederhana 3. Merumuskan integral tak tentu dari fungsi aljabar dan trigonometri 4. Merumuskan sifat-sifat integral tak tentu 5. Mengenal integral tentu seba gai luas daerah dibawah kurva 6. Mendiskusikan teorema dasar kalkulus 7. Merumuskan sifat integral tentu 8. Menyelesaikan masalah aplikasi integral tak tentu dan integral tentu :

1. 1.

Integral Tak Tentu Not Necessarily Integral

A. A.

Fungsi Aljabar Algebraic Function Rumus Dasar Integral tak tentu : a n n +1 1. ∫ ax dx = n + 1 x + C → n ≠ -1 2. ∫ a dx = ax + C 3.

1

∫ x dx = ∫ x

-1

dx = ln x + C


40

Contoh : 1.

∫ ( 2x + 3) dx

2.

∫ (3x

3.

5.

2 1+1 x + 3x + C = x2 + 3x + C 1+1

3 2+1 6 1+1 x – x + 5x + C 2 +1 1+1 = x3 – 3x2 + 5x + C

− 6 x + 5) dx =

2

3 5 1 3 3 5 2 1 3+1 2+1 1+1 ∫ ( 2 x + 6 x − 2 x) dx = 3 2+ 1 x + 2 6+ 1 x – 1 +2 1 x + C 3 5 1 = 2 x4 + 6 x 3 – 2 x2 + C 4 3 2 3 4 5 3 1 2 = x + x – x +C 8 18 4 2

4.

=

1

1

∫ ( 4x 3 − 3x 2 + 2x 4 ) dx =

4

2

+1

x3 −

3

1

+1

x2 +

2

1

+1

x4 + C

2 1 1 +1 +1 +1 3 2 4 5 3 5 5 3 5 4 3 2 12 3 8 = x3 − x2 + x4 + C = x − 2x 2 + x 4 + C 5 3 5 5 5 3 2 4

3

∫ (4 x

1 2

1 3

5 + x ) dx 6

3 5 3 5 1 1 3 4 +1 +1 6 6 4 3 4 2 2 = x + x +C = x + x3 +C 1 1 3 4 +1 +1 2 3 2 3 3 4 3 4 6 2 15 3 1 5 = x + x + C = x 2 + x3 + C 12 24 2 8

Soal Latihan : 1.

2.

3.

a.

∫ 6x

3

dx = ….

b.

∫ (4x

2

− 6 x) dx = ….

Jawab : ……………………………………………………………………………………………. a. ∫ (2 x 2 − 8x + 3) dx = …. b. ∫ (8 x 3 + 3x 2 − 5x + 6) dx = …. Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 1 1 2 3 3 a. ∫ ( x 2 − x) dx = …. b. ∫ ( x 3 + x 2 + x + 4) dx = …. 2 5 5 2 4 Jawab : …………………………………………………………………………………………….


41

4.

1 3

3

5.

1 4

2

1

1

b. ∫ (5x 3 − 6x 5 + 3x 8 ) dx = …. ∫ ( 4x + 5x ) dx = …. Jawab : ……………………………………………………………………………………………. a.

1

1

1

1

5 5 2 3 b. ∫ ( x 2 − x 3 + 3x 5 ) dx = …. ∫ ( 4 x 4 + 6 x 4 ) dx = …. 3 4 Jawab : …………………………………………………………………………………………….

Bentuk Perkalian Untuk menyelesaikan integral bentuk perkalian, sebelum di integralkan perkaliannya diselesaiaka n dulu. Contoh : 15 3 12 2 2 1. ∫ 3x (5x + 4) dx = ∫ (15x + 12x) dx = 3 x + 2 x + C = 5x3 + 6x2 + C

2.

∫ (x + 3) (2x - 4) dx

=

∫ (2x

=

2 3 x + x 2 – 12x + C 3

2

− 4 x + 6x - 12) dx = ∫ ( 2x 2 + 2x - 12) dx

Bentuk Pembagian Untuk menyelesaikan integral bentuk pembagian, sebelum di integralkan pembagiannya di selesaikan dulu Contoh : 6 x 3 − 4 x 2 + 8x 1. ( ) dx = ∫ (3 − 2 x -1 + 4x -2 ) dx = 3x – 2 ln x – 4x-1 + C ∫ 2x3 2.

∫(

5x 4 + 3x 3 − 2 x + 1 ) dx = 3x2

5

2 -1 1 - 2 x + x ) dx 3 3 5 1 1 2 = 3 x3 + x2 − ln x + 3 x-1 + C 3 2 3 −1 5 3 1 2 2 1 = x + x – ln x – x -1 + C 9 2 3 3

∫ (3 x

2

+x−

Bentuk Pangkat Untuk menyelesaikan integral bentuk pangkat, sebelum di integralkan fungsinya di pangkatkan dulu. Contoh : 1 3 2 2 2 1. ∫ (x + 3) dx = ∫ (x + 6x + 9) dx = 3 x + 3x + 9x + C 2.

∫ (2x − 4)

2

dx = ∫ (4x 2 − 16 x + 16) dx =

4 3 x – 8x2 + 16x + C 3 Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5

42

Bentuk Akar Untuk menyelesaikan integral bentuk akar, akarnya diubah dulu ke bentuk pangkat pecahan. Contoh : 1.

1

∫ x . x 2 dx =

∫ x x dx =

5

∫

dx x3

=

5

1 2 2 x + C= x 2 + C 5 5 2

=

2.

3

∫ x 2 dx

-

3

∫ x 2 dx 1

1

1 -2 = x + C = − 2x 2 + C 1 − 2

Soal latihan : 1. a. ∫ (8x 5 − 9x 2 + 10x) dx = …. b. ∫ (12x 3 + 6x 2 − 4x + 5) dx = …. Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 2. a. ∫ 3 x 2 (2x + 4) dx = …. b. ∫ (4x + 2) (2x + 3) dx = ….

3.

4.

Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 2 3 1 3x 2 − 4 x + 8 a. ∫ ( 3 − 2 + ) dx = …. b. ∫ ( ) dx = …. x x x 2x 3 Jawab : ……………………………………………………………………………………………. a. ∫ (x + 5) 2 dx = …. b. ∫ (3x − 2) 2 dx = …. Jawab : …………………………………………………………………………………………….

5.

a.

∫5

x dx = ….

b.

∫ 2x (

x 3 − x ) dx = ….

Jawab : …………………………………………………………………………………………….


43

EVALUASI 6 A. 1.

Pilihlah jawaban yang dianggap paling benar 2 ∫ ( x − 6x + 12) dx = …. a. 2x – 6 + C

d.

b. x3 – 3x 2 + 12 + C

e.

1 3 x – 3x2 + 12 + C 3 2 ∫ (3x + 4x + 2) dx = ….

1 3 x – 3x 2 + 12x + C 3 1 3 x – 6x 2 + 12x + C 3

c. 2.

3.

a. x2 + 2x + 2 + C b. x3 + 2x 2 + 2 + C c. x3 + 2x 2 + 2x + C 2 ∫ (x − 3) dx = ...

1 3 x – 6x2 + 9x + C 3 1 3 b. x – 3x2 + 9x + C 3 2 ∫ 4x (x − 4x + 4) dx = ….

a.

4.

2 3 x – 4x 2 + 16x + C 3 16 3 b. x4 – x + 8x2 + C 3 16 3 4 c. x – x + 16x2 + C 3 2 ∫ (x − 6) dx = ….

a.

5.

1 3 x – 6x2 + 36x + C 3 1 3 b. x – 12x 2 + 36x + C 3 1 3 c. x – 6x2 – 36x + C 3 3x 2 − 4 x + 6 ∫ ( 2x3 ) dx = …. 3 a. – 2x -1 – 3x-2 + C 2 3 b. + 2x -1 – 3x-2 + C 2 3 3 c. ln x – 2x-1 − x-2 + C 2 2 a.

6.

d. 3x3 + 2x 2 + 2x + C e. 3x3 + 4x 2 + 2x + C

c.

1 3 x – 6x 2 + 6x + C 3

e. x2 – 6x + 6 + C

d. x2 – 6x + 9 + C

d. x4 – 8x3 + 8x2 + C e. x4 – 16x 3 + 8x2 + C

d. e.

d. e.

1 3 x – 12x2 – 36x + C 3 1 3 x – 12x2 – 36 + C 3

3 ln x – 2x -1 + 2 3 ln x + 2x-1 − 2

3 -2 x +C 2 3 -2 x +C 2


44

7.

∫ (x + 4) (2x − 3) dx 2 3 x + 3 2 3 x 3

a. b. 8.

∫ 3x

= ....

5 2 x - 12x + C 2 5 2 x - 12x + C 2

2 4 x x +C 3 2 3 b. x x +C 3 2 ∫ (2x − 3) dx = …. 4 3 x + 6x 2 + 9x + C 3 4 3 b. x – 6x 2 – 9x + C 3 3 ∫ ( x − 2 x ) dx = .... a.

10.

a. b. B. 1.

2.

3.

e. 2x2 + 5x - 12 + C

d. 2x2 - 5x - 12 + C

x 5 dx = ….

a.

9.

c. x3 - 5x2 - 12x + C

5 3 3 x5 − x +C 2 4 5 5 4 3 x − x +C 2 3

d. e.

c. d.

c. d.

2 3 x x +C 9 2 2 x x +C 9 4 3 x – 6x2 + 9x + C 3 4 3 x + 9x + C 3 2 5 4 3 x − x +C 5 3 2 5 3 3 x − x +C 5 4

e.

2 4 x x +C 9

e. 8x2 – 9x + C

e.

x5 − x3 + C

Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar. 2 ∫ (3x − 4 x + 5)dx = …. Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 2 ∫ (3x − 2)( x + 1) dx = …. Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 2 ∫ (3x + 1) dx = ….

4.

Jawab : …………………………………………………………………………………………….  x2 + 5x + 4  ∫  3x 3 dx = …. Jawab : …………………………………………………………………………………………….

5.

∫ 7x

x 3 dx = …. Jawab : …………………………………………………………………………………………….


45

B. B.

Fungsi Trigonometri Trigonometric Function Rumus dasar integral : 1. ∫ sin x dx = – cos x = C 1

∫ sin ax dx = − a cos ax + C ∫ cos x dx = sin x + C

2. 3.

1

∫ cos ax dx = a sin ax + C

4.

;

;

1

∫ sin (ax + b) dx = − a cos (ax + b) + C 1

∫ cos (ax + b) dx = a sin (ax + b) + C

Contoh : 1 sin 4x + C 4

1.

∫ cos 4x dx =

2.

∫ sin 3 x dx = – 2

3.

∫ (cos 5x - 2 sin 6x) dx =

4.

∫ (2x + sin 8x + 4 cos 3x) dx

2

3

cos

2 x+C 3 1 1 sin 5x + cos 6x + C 5 3 = x2 –

1 4 cos 8x + sin 3x + C 8 3

Soal latihan : 1.

2.

3.

4.

5.

a.

∫ (sin 2x − 5 cos x) dx

= ….

b.

∫ (cos 5x + 2 sin 3x) dx

= ….

Jawab : ……………………………………………………………………………………………. b. ∫ 5 sin (2x + 3) dx = …. ∫ cos (4x + 3) dx = …. Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 3 3 ∫ (3 cos 4 x + 4 sin 2x + 4x ) dx = …. b. ∫ (4 sin 5x + 3 cos (5 − 2x)) dx = …. Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 1 2 5 2 2 ∫ ( 4 x − 6 sin 5x + 6 cos 3x) dx = …. b. ∫ (3x − cos 5 x + 2 sin 7x) dx = …. Jawab : ……………………………………………………………………………………………. ∫ (2 cos 8x + 5 sin x + 3 x ) dx = …. b. ∫ (x x − sin (4 − 3x) + 6 cos 2x) dx = …. Jawab : ……………………………………………………………………………………………. Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5

46

EVALUASI 7 A. 1.

2.

3.

4.

5.

Pilihlah jawaban yang paling benar ! ∫ sin (4x + 5) dx = .... a. –¼cos (4x + 5) + C b. ¼cos (4x + 5) + C ∫ (2 cos 2x − sin 3x) dx = ....

c. –4sin (4x + 5) + C d. 4sin (4x + 5) + C

a. 4sin 2x - 3cos 3x + C

d. sin 2x -

b. -4sin 2x - 3cos 3x + C 1 e. sin 2x + cos 3x + C 3 ∫ sin( 5 − 2x) dx = .... 1 cos (5 - 2x) + C 2 1 b. cos (5 + 2x) + C 2 1 c. - cos (5 - 2x) + C 2 ∫ (6 sin 2 x − 3 cos x)dx = ....

6.

7.

1 cis 3x + C 3 e. sin 2x + cos 3x + C

1 cos (5 - 2x) + C 5 1 e. - cos (5 - 2x) + C 5

a.

d.

a. 3cos 2x + 3sin x + C b. -3cos 2x + 3sin x + C c. -3cos 2x - 3sin x + C ∫ cos (4x + 3) dx = ….

d. 3cos 2x - 3sin x + C e. 3sin 2x + 3cos x + C

1 sin 4x + C 4 1 b. - sin 4x + C 4 sin ∫ (2 − 3x) dx = ….

a.

1 cos (2 – 3x) + C 2 1 b. cos (2 – 3x) + C 3 ∫ (2 cos x - sin 2x) dx = ....

1 sin (4x + 3) + C 4 1 d. - sin (4x + 3) + C 4

1 sin 4x + C 3

c.

e.

1 cos (2 – 3x) + C 3 1 d. - cos (2 – 3x) + C 2

1 e. - cos 3x + C 2

a.

c. -

a. 2sin x – 2 cos 2x + C

d. 2sin x +

b. 2sin x – cos 2x + C 1 c. 2sin x – cos 2x + C 2

e. cos (4x + 5) + C

1 cos 2x + C 2 e. 2sin x + cos 2x + C


47

8.

∫ (cos 4x - 2 sin 3x) dx = .... a. -4sin 4x – 6 cos 3x + C

d.

b. 4sin 4x + 6 cos 3x + C

e.

1 sin 4x – 4 1 sin 4x + 4

2 cos 3x + C 3 2 cos 3x + C 3

1 1 sin 4x + cos 3x + C 4 6 2 ∫ ( x + cos 2 x + 3 sin x) dx = ….

c. 9.

1 3 1 x + sin 2x - 3cos x + C d. 2x - 2sin 2x + 3cos x + C 3 2 1 3 1 b. x + sin 2x + 3cos x + C e. 2x + 2sin 2x - 3cos x + C 3 2 1 3 1 c. x - sin 2x - 3cos x + C 3 2 (2x sin 2x + 5 cos 5x) dx = …. ∫

a.

10.

1 1 cos 2x + sin 5x + C d. x2 – cos 2x + sin 5x + C 2 2 1 1 b. 2x – cos 2x + sin 5x + C e. x2 + cos 2x + sin 5x + C 2 2 1 1 c. x2 + cos 2x + sin 5x + C 2 5 a. 2 –

B.

Jawablah pertanyaan dibawah ini dengan benar !

1.

∫ (4x

2.

3.

3

− 6 x 2 + 8 x) dx = ....

Jawab : ……………………………………………………………………………………………. ∫ (x + 3) (2x + 4) dx = .... Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 2 ∫ (3x + 2) dx = .... Jawab : …………………………………………………………………………………………….

4.

5.

∫ 2x

x 3 dx = .... Jawab : ……………………………………………………………………………………………. ∫ (cos (2x + 1) + 3 sin 5x) dx = .... Jawab : …………………………………………………………………………………………….


48

2. 2.

Integral Tertentu Certain Integral

A. A.

Bentuk Umum Integral Tertentu The Form of a General Integral

b

b

∫ f (x) dx = F (x) a = F (b) - F (a)

a

Dimana : a = batas bawah b = batas atas F (x) = fungsi hasil integral dari f (x) F (b) = nilai fungsi F (x) untuk x = b F (a) = nilai fungsi F (x) untuk x = a

B. B.

Sifat-sifat Integral Tertentu Attributes a Certain Integral b

a

∫ f (x)dx = - ∫ f (x) dx

1.

a c

b

b

c

a

b

∫ f (x) dx = ∫ f (x) dx + ∫ f (x) dx ; a < b < c

2.

a a

∫ f (x) dx = 0

3.

a b

b

a

a

∫ k . f (x) dx = k ∫ f (x) dx ; k = konstanta

4.

Contoh : 3

1.

∫ 2x dx = .... 1

Penyelesaian :

∫ 2x dx = [x ] 3

2 3 1

= (32 – 12)

1

=9– 1= 8


49

2

2.

∫(x

2

+ 4 x + 4) dx = ….

1

Penyelesaian : 2

1 3  2 ∫1 ( x + 4x + 4) dx = 3 x + 2x + 4x 1 1 = (23 – 13) + 2 (22 – 12 ) + 4 (2 – 1) 3 1 1 = (8 – 1) + 2 (4 – 1) + 4 . 1 = 2 + 6 + 4 3 3 1 = 12 3 2

2

3

3.

∫ (x + 3)

2

dx = ….

1

Penyelesaia n : 3

1

3

1 3  2 ∫ (x + 6x + 9) dx = 3 x + 3x + 9x 1 1 1 3 3 = (3 – 1 ) + 3 (32 – 12 ) + 9 (3 – 1) 3 1 = (27 – 1) + 3 (9 – 1) + 9 . 2 3 2 = 8 + 24 + 18 3 2 = 50 3

∫ (x + 3) dx = 2

3

2

4

4.

∫10 x

x dx = ….

1

Penyelesaian : 4 4

∫10 x x dx 1

4

3

= ∫10x 2 dx = 1

10 x 5 2

5 2

= 4 x5

4 1

1

= 4 ( 4 − 1 ) = 4 ( ( 22 ) 5 − 1 ) = 4 (25 – 1) = 4 (32 – 1) = 124 5

5


50

3

5.

4

6 ) dx = …. 3 x 1 Penyelesaian :

∫ (2 x + x

2

−

3

4 6 ∫1 (2x + x 2 − x 3 ) dx =

3

3

4 -1 6 - 2 ∫1 (2x + 4x − 6x ) dx = x + − 1 x − − 2 x 1 -2

-3

2

3

4 3 4 3 + 2 2 + 2 = (32 – 12) – x x 1 (3 − 1) (3 − 1 ) 4 3 3 =9 –1+ =8– 2+ 2 9 −1 8 3 =6 8 = x2 −

π

6.

∫ sin 2x dx

= ….

π 2

Penyelesaian :

π

π

1  1  o o ∫ sin 2x dx = − 2 cos 2x  π = − 2 (cos 2 . 180 – cos 2 . 90 ) π 2

2

1 1 (cos 360o – cos 180 o) = − (1 – (-1)) 2 2 1 = − .2 2 = -1

= −

π 2

7.

∫ 3 cos 4x dx = ….

π 6

Penyelesaian : π

π

2

3 3 2 o o ∫ 3 cos 4x dx =  4 sin 4x π = 4 (sin 4 . 90 – sin 4 . 30 ) π 6

6

3 3 1 (sin 360o – sin 120o) = (0 – 3) 4 4 2 3 = − 3 8 =


51

Soal latihan : 2

1.

a.

∫ (4x + 2) dx = ….

3

b.

0

∫ (3x

2

− 2x + 5) dx = ….

1

Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 2

2.

∫ 2x (3x + 1) dx = ….

a.

1

b.

−1

∫ (x + 2) (x + 3) dx

= ….

−1

Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 3

3.

a.

2 ∫ (x + 2) dx = ….

2

b.

0

∫ (2x − 3)

2

dx = ….

1

Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 2

4.

a.

3

∫ 2x x dx = ….

b.

0

1

∫ (2x + x

2

) dx = ….

1

Jawab : ……………………………………………………………………………………………. π 2

5.

a.

π

∫ 2 sin x dx = ….

b.

∫ cos 2x dx = ….

π 3

0

Jawab : ……………………………………………………………………………………………. EVALUASI 8 A.

Pilihlah jawaban yang paling benar ! 3

1.

∫ ( 2x + 3) dx

= ….

0

a. 9 4

2.

∫ (3x

b. 15 2

c. 18

d. 24

e. 27

c. 33

d. 36

e. 63

c. 15

d. 9

e. 5

− 4x + 1) dx = ….

1

a. 15 2

3.

∫ (x

2

−1

b. 30

+ 2x + 5) dx = ….

a. 21

b. 17

3

4.

∫ (3x − 1) dx

= ….

0

a. 8

b. 10

1 2

c. 13

1 2

d. 16

1 2

e. 18

5

5.

∫ ( 4x + 2) dx = …. 2

a. 6

b. 12

c. 24

d. 42

e. 48


52

4

6.

∫ (3 −

x ) dx = ….

a. 12

b. 9

0

9

7.

∫(

c. 7

1 3

d. 6

2 3

e. 5

1 3

x 3 − x ) dx = ….

0

a. 79

1 5

b. 54

3 5

c. 33

2 3

d. 27

e. 18

c. 12

d. 8

e. 7

c. 0

d. 2

e. 4

c. 1

d.

4

8.

∫3

x dx = ….

1

a. 16

b. 14

π

9.

∫ 2 sin x dx = …. 0

a. -4

b. -2

π 2

10.

∫ cos x dx

= ….

0

a. -1

B.

1 2

3 2

e. 2

Jawablah pertanyaan di bawah ! 3

1.

b.

∫(x 1

2 − 2x + 2) dx

= ….

Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 2

2.

∫ (6x + 1) dx = …. 0

Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 4

3.

∫ (2x

2

− 3x + 4) dx = ….

1

Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 4

4.

∫ (2x +

x ) dx = ….

0

Jawab : ……………………………………………………………………………………………. π

5.

∫ sin 2x dx

= ….

π 2

Jawab : ……………………………………………………………………………………………. Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5

53

17.2. Integral Substitusi dan Integral Parsial 17.2. Substitution Integral and Partial Integral Indikator

Tujuan

Uraian Materi

1. 1.

: 1. Nilai integral suatu fungsi ditentukan dengan cara substitusi 2. Nilai integral suatu fungsi ditentukan dengan cara parsial 3. Nilai integral suatu fungsi ditentukan dengan cara substitusi trigonometri : Siswa dapat : 1. Menentukan nilai integral suatu fungsi ditentukan dengan cara substitusi 2. Menentukan nilai integral suatu fungsi ditentukan dengan cara parsial 3. Menentukan nilai integral suatu fungsi ditentukan dengan cara substitusi trigonometri 4. Melakukan teknik pengintegralan untuk menyelesaikan masalah. :

Integral Substitusi Substitution Integral

Untuk mengerjakan soal-soal integral benuk perkalian, pembagian, dan bentuk pengkat, maka sebelum diintegralkan erlebih dahulu harus diselesaikan dalam bentuk penjumlahan atau selisih. Jika bentuk-bentuk ttersebut tidak dapat diubah ke bentuk jumlah atau selisih, maka harus diselesaikan dengan cara substitusi. Ingat rumus dasar intergal : 1 n +1 n ∫ x dx = n + 1 x + c ; n ≠ –1 ∫ sin xdx = –cos x + c

∫ cos xdx = sin x + c

Karena yang akan diselesaikan adalah fungsi dari aljabar dan fungsi trigonometri, maka untuk integral substitusi rumusnya adalah : 1

∫ u du = n + 1 u + C ∫ sin udu = –cos u + C ∫ cos udu = sin u + C n

Contoh : 1. Selesaikan :

n +1

∫ x(x

2

; n ≠ –1 dan u = f (x)

− 2 ) 3 dx

Jawab : du du = 2x atau dx = dx 2x du 1 3 3 2 3 ∫ x(x − 2) dx = ∫ x.u 2x = ∫ 2 u du 1 1 4 1 2 4 = u 3+1 + C = u + C = (x – 2) + C 2(3 + 1) 8 8

Misal : u = x2 – 2 →


54

2.

Selesaikan :

∫ 2 x( x + 5)

6

dx

Jawab :

du = 1 atau dx = du dx 6 6 ∫ 2 x( x + 5) dx = ∫ x.u du Karena masih ada unsur x, maka x harus dinyatakan dalam u. u = x + 5 → x = u – 5 → 2x = 2(u – 5), jadi : 6 6 ∫ 2 x( x + 5) dx = ∫ 2(u − 5).u du Misal : u = x + 5 →

=

∫ 2u

7

− 10u 6 du

2 8 10 7 u – u +C 8 7 1 10 = (x + 5)8 – (x + 5)7 + C 4 7

=

3.

Selesaikan :

x2 ∫ ( x 3 − 3) 5 dx

Jawab :

du du = 3x2 → dx = dx 3x 2 du 1 −5 x 2 du ∫ u 5 3x 2 = ∫ 3u 5 = ∫ 3 u du 1 u–5 + 1 + C 3( −5 + 1) 1 − u–4 + C 12 1 − (x3 – 3)–4 + C 12 1 +C − 3 12 ( x − 3) 4

Misal : u = x3 – 3 → x2 ∫ ( x 3 − 3) 5 dx = = = = =

4.

Selesaikan :

∫x

x 2 + 6 dx

Jawab :

du du = 2x → dx = dx 2x 1 du 1 2 ∫ x x + 6 dx = ∫ x u 2 x = ∫ 2 u 2 du 1 3 +1 1 1 = u2 +C = u2 +C 1 3 2( + 1) 2( ) 2 2 3 1 1 = ( x 2 + 6) 2 + C = ( x 2 + 6) 3 + C 3 3

Misal : u = x2 + 6 →


55

5.

Selesaikan :

∫ 4x cos( x

2

− 1)dx

Jawab :

du du = 2x → dx = dx 2x du 2 ∫ 4x cos( x − 1)dx = ∫ 4 x cos u 2 x = ∫ 2 cos udu = 2 sin u + C = 2 sin (x2 – 1) + C

Misal : u = x2 – 1 →

6.

Selesaikan :

∫ sin

3

x .cos xdx

du du = cos x → dx = dx cos x du 3 3 3 ∫ sin x.cos xdx = ∫ u cos x cos x = ∫ u du 1 = u4 + C 4 1 = sin4 + C 4

Misal : u = sin x →

Soal latihan : 1. Selesaikan : a. ∫ 4 x ( x 2 + 2) 4 dx 2.

3.

4.

∫ (2 x − 1)( x

2

− x ) 5 dx

Jaw ab : …………………………………………………………………………………………..... Selesaikan : a. ∫ 3 x 2 ( x 3 − 4) 3 dx b. ∫ (3 x 2 + 4)( x 3 + 4 x ) dx Jawab : ……………………………………………………………………………………………. Selesaikan : 4x ( 2 x + 3) a. ∫ 2 b. ∫ 2 dx dx ( x − 2) 4 ( x + 3 x) Jawab : ……………………………………………………………………………………………. Selesaikan : a.

5.

b.

∫ 3x

x 2 − 5dx

b.

∫ 3x

2

2 x 3 + 1dx

Jawab : ……………………………………………………………………………………………. Selesaikan : a. ∫ 4 x sin( 2 x 2 − 6 )dx b. ∫ cos 4 x .sin xdx Jawab : …………………………………………………………………………………………….


56

2. 2.

Integral Parsial Partial Integral

Integral parsial digunakan untuk menyelesaikan soal-soal integral fungsi aljabar dan fungsi trigonometri yang tidak dapat diselesaikan dengan cara substiusi. Rumus Integral Parsial :

∫ u'.vdx = uv − ∫ uv' dx dimana :

u = f (x) dan v = f (x) u' = turunan dari u dan v' turunan dari v

− cos x . sin n −1 x n − 1 + sin n − 2 dx ∫ n n n −1 sin x . cos x n −1 n + cos n − 2 dx ∫ ∫ cos x dx = n n n ∫ sin x dx =

Contoh : 1. Selesaikan :

∫ xsin xdx

Misal : u' = sin x → u = –cos x v = x → v' = 1 ∫ xsin xdx = uv – ∫ uv' dx = –cosx . x – = –x coc x +

∫ − cos x.1dx ∫ cos xdx

= –x coc x + sinx + c = sinx – x cos x + c 2.

Selesaikan :

∫x

2

cos xdx

Misal : u' = cosx → u = sin x v = x2 → v' = 2x 2 ∫ x cos xdx = uv – ∫ uv' dx = sin x . x2 – 2

= x sin x –

∫ sin x.2xdx

∫ 2x sin xdx

Misal : u' = sin x → u = –cos x v = 2x → v' = 2 2 2 ∫ x cos xdx = x sin x – {(– cos x . 2x) –

∫ − cos x.2dx }

∫ x cos xdx = x sin x + 2x cos x - ∫ 2 cos xdx 2 2 ∫ x cos xdx = x sin x + 2x cos x - 2 sin x + C 2

2


57

3.

Selesaikan :

∫ sin

3

x dx

Jawab : − cos x . sin 3 − 1 x 3 − 1 + sin 3 − 2 dx ∫ 3 3 1 2 = − cos x . sin2 x + sin xdx 3 3 ∫ 1 2 = − cos x . sin2 x – cos x + c 3 3

3 ∫ sin x dx =

Dalam menyelesaiakn integral parsial dapat juga dilakukan dengan cara tabel contoh : 1. ∫ (4x cos 2x) dx = …. Jawab : di depan diturunkan sampai hasilnya 0 dan di belakang diintegralkan, kemudian kalikan silang. 4x cos 2x dx 4

1 sin 2x + C tanda (+) 2 0 1 tanda (-) - cos 2x + C 4 1 1 Hasilnya : 4x . ( sin 2x) + -4 . (- cos 2x) + C 2 4 2x sin 2x + cos 2x + C

2.

∫x

2

cos xdx = …. Jawab : di depan diturunkan sampai hasilnya 0 dan di belakang diintegralkan, kemudian kalikan silang. x2 cos x dx 2x sin x + C tanda (+) 2 -cos x + C tanda (-) 0 -sin x + C tanda (+) Hasilnya : x2 sin x -2x (-cos x) - 2 sin x + C x2 sin x + 2x cos x - 2 sin x + C


58

Soal latihan : Selesaikan soal-soa l di bawah ini. 1. a. ∫ x cos x dx

2.

3.

4.

5.

b.

∫ x sin 2x dx

Jawab : ……………………………………………………………………………………………. a. ∫ x 2 sin x dx b. ∫ x 2 cos 2x dx Jawab : ……………………………………………………………………………………………. a. ∫ (x + 2) sin x dx b. ∫ (2x - 3) cos x dx Jawab : ……………………………………………………………………………………………. a. ∫ 2x cos 3x dx b. ∫ 3x sin 5x dx Jawab : ……………………………………………………………………………………………. a. ∫ cos 3 x dx b. ∫ sin 2 x dx Jawab : …………………………………………………………………………………………….

17.3. Pemakaian Integral 17.3. The Integral Indikator

: 1. Daerah yang dibatasi oleh kurva dan/atau sumbu-sumbu koordinat dihitung luasnya menggunakan integral. 2. Volume benda putar dihitung dengan menggunakan integral. : Siswa dapat : 1. Menggambar grafik-grafik fungsi dan menentukan perpotongan grafik fungsi sebagai batas integrasi. 2. Menentukan luas daerah dibawah kurva dengan menggunakan integral 3. Menyelesaikan soal yang berkaitan dengan luas daerah di bawah kurva 4. Mendiskusikan cara menentukan volume benda putar (menggambar daerahnya, batas integrasi) 5. Menghitung volum benda putar dengan menggunakan integral :

Tujuan

Uraian Materi

1. 1.

Luas Daerah Wide Area

a. 1.

menentukan luas daerah antara kurva dan sumbu x Daerah diatas sumbu x Jika y = f (x) > 0 maka luas daerah yang dibatasi kurva y y = f(x) y = f (x), sumbu x, garis x = a dan x = b dapat dihitung dengan rumus : b

L = ∫ f (x) dx

(daerah diatas sumbu x)

a

a

b

x


59

2.

Daerah dibawah sumbu x y a b x

Jika y = f (x) < 0 maka luas daerah yang dibatasi kurva y = f (x), sumbu x, garis x = a dan x = b dapat dihitung dengan rumus : b

L = − ∫ f (x) dx y = f(x) 3.

(daerah dibawah sumbu x)

a

Daerah diatas dan dibawah sumbu x y Jika y = f (x) > 0 dan y = f (x) < 0, (daerah diatas dan dibawah sumbu x), maka dapat dihitung dengan rumus : L= a

c

b

b

c

a

b

∫ f (x) dx – ∫ f (x) dx

x

y = f(x) Contoh : 1. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2x + 4, sumbu x, garis x = 2 dan x=4! Penyelesaian : 4

y = 2x + 4

L=

y

∫ (2x + 4) dx 2

[

]

4

= x 2 + 4x 2 = (42 – 22) + 4 (4 – 2) = 16 – 4 + 8 = 20 satuan luas 4

2

2.

x

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 6x – x2 dan sumbu x ! Penyelesaian : Titik potong kurva dengan sumbu x y 6x – x2 = 0 x (6 – x) = 0 ? x = 0 dan x = 6 6

L=

∫ (6x − x ) dx 2

0

6

1   L = 3x 2 − x 3  3 0  1 3 = 3 (62 – 0) – (6 – 0) 3 1 = 3 . 36 – . 216 = 108 – 72 3 L = 36 satuan luas

0

6

x


60

3.

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 6x + 8, sumbu x, x = 2 dan x = 4 Penyelesaian : Luas daerah ada dibawah sumbu x (tanda integral negatif) 4

L = - ∫ (x 2 − 6x + 8) dx

y

2

4

1  L = -  x 3 − 3x 2 + 8 x  3  2 1 3 3 = - { (4 – 2 ) – 3 (42 – 22) + 8 (4 – 2)} 3 1 = - { (64 – 8) – 3 (16 – 4) + 8 . 2} 3 2 1 = - (18 – 36 + 16) = - (-1 ) 3 3 1 L = 1 satuan luas 3

4.

2

x

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x ; sumbu x ; x = -1, x = 0 dan x = 3 seperti terlihat pada gambar ! Penyelesaian : y

0

L= -

3

∫ x dx + ∫ x dx

−1

0

0

–1

5.

4

0

3

3

1  1  L = -  x 2  +  x2   2  −1  2 0 1 1 x = - (0 – (-1)2)+ (32 – 0) 2 2 1 1 1 1 = - (-1) + 4 = + 4 2 2 2 2 L = 5 satuan luas

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y = sin 2x ; sumbu x ; x = 0 dan x = π y

π

π 2

0

π

x

P enyelesaian : π

L=

2

π

0

π 2

∫ sin 2x dx − ∫ sin 2x dx π

π

 1 2  1  L = − cos 2x  −  − cos 2x   2 0  2 π

2


61

1 1 (cos 2 . 90o – cos 2 . 0o) + (cos 2 . 180o – cos 2 . 90o ) 2 2 1 1 =(cos 180o – cos 0o) + (cos 360o – cos 180o) 2 2 1 1 = - (-1 – 1) + (1 – (-1)) 2 2 1 1 = - (-2) + .2=1+1 2 2 L = 2 satuan luas =-

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) dan sumbu x dapat dihitung dengan rumus : D. D L= dengan D = diskriminan 6a 2 D = b2 - 4.a.c Contoh : 1. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 - 5x + 4 dan sumbu x. Jawab : a = 1 ; b = -5 ; c = 4 y Titik potong kurva dengan sumbu x 2 x - 5x + 4 = 0 (x - 1) (x - 4) = 0 4 x = 1 dan x = 4 D = b2 - 4.a.c = (-5)2 - 4 . 1 . 4 = 25 - 16 =9 1 4 x D. D 9. 9 L = = 6a 2 6.12 9 .3 27 = = 6 6 1 = 4 satuan luas 2 2.

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2x2 - 6x + 4 dan sumbu x. Jawab : a = 2 ; b = -6 ; c = 4 D = b2 - 4.a.c = (-6)2 - 4 . 2 . 4 = 36 - 32 =4 D. D 4. 4 = 2 6a 6 .2 2 4.2 8 = = 6.4 24 1 = satuan luas 3

L =


62

b.

Menentukan Luas Daerah antara dua Kurva y Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f (x) dan y = g (x), dimana f (x) > g (x) dalam interval x = a dan g(x) x = b, dapat dihitung dengan rumus : b

L = ∫{f (x) − g (x)} dx a

x f(x)

Untuk luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva dan sumbu x dapat juga dihitung dengan rumus : L =

D. D dengan D = b2 - 4.a.c 2 6a

Contoh : 1. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 2x dan garis y = 2x ! Penyelesaian : y = x2 – 2x y Perpotongan kedua kurva : y = 2x y = x2 – 2x ; y = 2x x2 – 2x = 2x x2 – 2x – 2x = 0 x2 – 4x = 0 x 2 4 0 x (x – 4) = 0 x = 0 dan x = 4 4

L = ∫{2x − (x 2 − 2x)} dx = 0

4

2 ∫ (2x − x + 2x) dx = 0

4

∫ (4x − x ) dx 2

0

4

1   1 3 L = 2x 2 − x3  = 2 (42 – 0) – (4 – 0) 3 0 3  1 1 L = 2 . 16 – . 64 = 32 – 21 3 3 2 L = 10 satuan luas 3

D. D 6a 2 2 Perpotongan dua kurva : x - 4x = 0 a = 1 ; b = -4 ; c = 0 D = b2 - 4.a.c = (-4)2 - 4. 1 . 0 = 16 Dihitung dengan rumus : L =

D. D 16 . 16 = 2 6a 6.12 16 .4 64 = = 6 6 2 = 10 satuan luas 3

L =


63

2.

Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 2x dan y = 4x – x2 ! Penyelesaian : y y = x2 – 2x Perpotongan kedua kurva 2 2 y = x – 2x dan y = 4x – x x2 – 2x = 4x – x 2 x2 – 2x – 4x + x2 = 0 y = 4x – x2 2x2 – 6x = 0 2 3 x 0 2x (x – 3) = 0 x = 0 dan x = 3

3

3

0

0

L = ∫{(4x − x 2 ) − (x 2 − 2x)} dx = ∫ (4x − x 2 − x 2 + 2x) dx 3

 2 2 3 2 ∫0 (6x − 2x ) dx = 3x − 3 x 0 2 3 2 L = 3 (32 – 0) – (3 – 0) = 3 . 9 – . 27 3 3 L = 27 – 18 L = 9 satuan luas 3

L=

D. D 6a 2 2 Perpotongan dua kurva : 2x - 6x = 0 a = 2 ; b = -6 ; c = 0 D = b2 - 4.a.c = (-6)2 - 4 . 2 . 0 = 36

Dihitung dengan rumus L =

D. D 36. 36 = 2 6a 6 .2 2 36 .6 36 = = 6 .4 4 = 9 satuan luas

L =

Soal latihan : 1. Tentukan luas daerah dari kurva dan garis -garis berikut ini : a. y = 4 – x2 ; x = -2 dan x = 2 b. y = x2 – 3x – 4 ; x = 0 dan x = 3 c. y = 4x – x 2 ; x = 1 dan x = 3 d. y = x2 – 3x ; x = 0 dan x = 3 Jawab : …………………………………………………………………………………………….


64

2.

Tentukan luas daerah yang diarsir pada gambar berikut ini : a. c. y y= x

y = x2 – 2x

y

0

b.

x

4

0

6

4

–3

x

x

y

d.

y

0

2

0

3

x

y = 9 – x2

y=4 –x

Jawab : …………………………………………………………………………………………….

EVALUASI 9 A. 1. 2. 3.

4.

5.

Pilihlah jawaban yang dianggap paling benar. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 6x + 2, x = 0 dan x = 2 adalah … satuan luas. a. 12 b. 14 c. 16 d. 18 e. 24 Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 4x, x = 0 dan x = 3 adalah … satuan luas. a. -18 b. -9 c. 9 d. 18 e. 27 2 Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4 – x , x = 0 dan x = 2 adalah … satuan luas. 2 1 2 a. 2 b. 5 c. 8 d. 10 e. 12 3 3 3 Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 3x + 1, sumbu x, x = 1 dan x = 3 adalah … satuan luas. a. 6 b. 7 c. 12 d. 14 e. 15 Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2x + 3 seperti terlihat pada gambar di bawah ini adalah … satuan luas. y = 2x + 3 a. 14 y b. 16 c. 18 d. 20 3 e. 24 0

1

3

x


65

6.

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 2x – 8, sumbu x, dan sumbu x seperti terlihat pada gambar adalah … satuan luas. y 2 a. 10 y = x2 – 2x – 8 3 b. 16 c. 21 -2 4 x –2 4 2 d. 21 3 e. 36

7.

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2, untuk x = 0 dan x = 2 seperti terlihat pada gambar di bawah ini adalah … satuan luas. 2 a. 2 y 3 1 b. 4 2 1 c. 5 3 d. 8 2 0 2 e. 10 x 3 Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 5x + 4 dan y = x – 4 adalah … satuan luas. 1 2 2 1 a. 8 b. 4 c. 3 d. 1 e. 1 2 3 3 3 Luas daerah yang diarsir pada gambar berikut adalah … satuan luas. a. 8 y y = x +2 b. 12 c. 22 d. 24 e. 36

8.

9.

0

10.

2

6

x

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = x + 2, sumbu x adalah ... satuan luas. 1 2 1 1 a. 1 b. 2 c. 4 d. 5 e. 9 3 3 2 3


66

B. 1.

2.

Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva : a. y = 2x + 1 dengan x = 1, dan x = 4 b. y = x2 - 2x - 3x dengan x = 0, dan x = 3 c. y = 3x2 - 3x - 6 dengan x = -1, dan x = 2 Jawab : ............................................................................................................................................. Hitunglah luas daerah antara dua kurva berikut ini : a. y = x2 – 7x + 10 dan y = 2 – x b. y = x2 dan y = 2x Jawab : .............................................................................................................................................

2. 2.

Volume benda putar Volum of Play

a.

Perputaran terhadap sumbu x y Jika daerah yang dibatasi kurva y = f (x), garis x = a dan x = b diputar mengelilingi sumbu x, maka akan didapatkan benda yang volumenya : b

V = p ∫ y 2 dx a

a

b.

b

x

Perputaran terhadap sumbu y y x = f (y) Jika daerah yang dibatasi kurva x = f (y), garis y = a dan y = b diputar mengelilingi sumbu y, maka akan b didapatkan benda yang volumenya : b

V = p ∫ x2 dy a

a

x

Contoh : 1. Hitunglah volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x + 2, x = 0 dan x = 2 diputar mengelilingi sumbu x Penyelesaian : b

V = π ∫ y2 dx a

2

2

V = π ∫ (x + 2) dx = π ∫ (x2 + 4x + 4) dx 2

0

0


67

2

1  V = π  x 3 + 2x 2 + 4x  3 0 1 = π { (23 – 0) + 2 (22 – 0) + 4 (2 – 0)} 3 1 = π ( . 8 + 2 . 4 + 4 . 2) 3 2 = π (2 + 8 + 8) 3 2 V = 18 π satuan volum 3 2.

Hitunglah volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = 6x – x2 ; x = 0 dan x = 3 diputar mengelilingi sumbu x ! Penyelesaian : b

V = π ∫ y2 dx a

3

3

V = π ∫ (6x − x2 ) 2 dx = π

∫ (36x

0

2

− 12x 3 + x4 ) dx

0 3

1   = π 12x 3 − 3x 4 + x 5  5 0  = π {12 (33 – 0) – 3 (34 – 0) + = π (12 . 27 – 3 . 81 + = π (324 – 243 + 48 V = 129

1 5 (3 – 0) 5

1 . 243) 5

3 ) 5

3 π satuan volum 5

Soal latihan : 1. Hitunglah volume benda putar jika daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva berikut ini diputar mengelilingi sumbu x ! a. y = 3x – 1 ; x = 1 dan x = 4 b. y = 4 x ; x = 0 dan x = 2 Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 2. Hitunglah volume benda putar jika daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva berikut ini diputar mengelilingi sumbu y ! a. x = y ; y = 0 dan y = 3 b. y = 2 – x ; y = 2 dan y = 3 Jawab : .............................................................................................................................................


68

EVALUASI 10 A. 1.

2.

3.

Pilihlah jawaban yang dianggap paling benar. Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = 3x – 1, x = 2, x = 3 dan diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah ... satuan volum. 2 1 a. 21 π b. 37 π c. 43π d. 64π e. 81π 3 2 Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = 2x + 3, x = 1, x = 4 dan diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360o adalah … satuan volum. 1 2 2 a. 198 π b. 200 π c. 201π d. 211π e. 231 π 3 3 3 Sebuah kerucut terpancung yang dibentuk oleh garis y = x + 2, sumbu x ; x = 0, x = 2. Diputar 360o mengelilingi sumbu x seperti gambar di bawah. Volume kerucut tersebut adalah … satuan volum. 2 a. 18 π y y=x+2 3 3 b. 19 π 5 1 c. 20 π 0 2 x 2 2 d. 20 π 3 e. 24 π

4.

Volume benda putar yang terjadi jika y = x – 3, sumbu y dan x = 3 diputar mengelilingi sumbu x seperti gambar di samping adalah ... satuan volum. a. 9π y b. 18π c. 21π y=x –3 d. 24π x e. 30π 0 3

5.

Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = 2x, x = 0, x = 2, dan sumbu x jika diputar 360 o mengelilingi sumbu x adalah … satuan volum. 1 2 1 2 2 a. 3 π b. 4 π c. 5 π d. 6 π e. 10 π 3 3 3 3 3 Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x + 3, x = 0, x = 3, dan sumbu x jika diputar 360 o mengelilingi sumbu x adalah … satuan volum. a. 27π b. 45π c. 54π d. 63π e. 76π Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x + 2, sumbu x, x = 0, dan x = 2 diputar 360 o mengelilingi sumbu x adalah ... satuan volum. 2 3 1 a. 18 π b. 19 π c. 21π d. 21 π e. 24π 3 5 3

6.

7.


69

8.

9.

10.

B. 1.

2.

3.

4.

5.

Volume benda putar dari kurva y = x + 1, x = 1 dan x = 4 dan diputar mengelilingi sumbu x adalah … satuan volum. a. 21 π b. 27 π c. 39 π d. 42 π e. 45 π 2 Volume benda putar dari kurva y = x , y = 0, y = 4 dan diputar mengelilingi sumbu y 360o seperti terlihat pada gambar di bawah adalah … satuan volum. a. 2 π y b. 4 π c. 6 π d. 8 π e. 16 π 0 x Volume benda putar dari kurva y = 3x, x = 0, x = 3 dan diputar mengelilingi sumbu x seperti terlihat pada gambar adalah …. y = 3x a. 27 π satuan volum y 1 b. 36 π satuan volum 3 2 c. 52 π satuan volum 0 3 x 3 d. 81 π satuan volum e. 96 π satuan volum

Jawablah pertanyaan dibawah ini ! Hitung volume benda putar dari kurva y = x, x = 1, x = 4 dan diputar 360 o mengelilingi sumbu x ! Jawab : ............................................................................................................................................. Hitunglah volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = 2x – x2, x = 0, x = 2 dan diputar 360 o mengelilingi sumbu x. Jawab : ……………………………………………………………………………………………. Tentukan volume benda putar dari kurva y = x2 , y = 0, y = 4, dan diputar 360o mengelilingi sumbu y. Jawab : ............................................................................................................................................. Tentukan volume benda putar dari kurva y = x + 2, y = 2, y = 4, dan diputar 360o mengelilingi sumbu y. Jawab : ............................................................................................................................................. Tentukan volume benda putar dari kurva y = 3 – x, x = 0, x = 3, dan diputar 360o mengelilingi sumbu x. Jawab : .............................................................................................................................................


70

ULANGAN HARIAN 3 A.

Pilihlah jawaban yang paling benar !

1.

Nilai dari

2.

∫ (2x + 3) dx = ….

a. 5

c.

1 2 x + 3x + C 2

b. 2 x 2 + 3

d.

x 2 + 3x + C

1 3 x +x+C 3 1 3 b. x -x+C 3

1 3 x -2 3 1 3 d. x - 2x + C 3

∫ (x − 1)

2

c.

1 3 x – 2x2 – x + C 3 1 3 b. x – x2 – x + C 3 ∫ 5x x dx = ….

x +C

a. 2x 2 1 b. 2 x 2 2

5.

c. d.

c.

x +C

1 3 x +C 3

1 3 x – x2 + x + C 3 1 3 x – x2 + 1 + C 3

e. x2 – 2x + 1 + C

5 x +C

e.

10 3 x x +C 7

d. 10 x +C

∫ (cos x - 3 sin x) dx = ....

a. sin x + 3 cos x + C b. -cos x – 3 sin x + C c. -sin x – 3 cos x + C 6.

e.

dx = ….

a.

4.

x 2 - 3x + C

∫ (x + 1) . (x - 1) dx = .... a.

3.

e.

d. -sin x + 3 cos x + C e. 3 sin x + cos x + C

∫ cos (4x + 5) dx = .... a. - ¼ sin (4x + 5) + C b. ¼ sin (4x + 5) + C

c. - 4 sin (4x + 5) + C d. 4 sin (4x + 5) + C

e. sin (4x + 5) + C

2

7.

Hasil dari

∫ (4x

3

+ 2 x + 4) dx adalah …

−1

a. 24 2

8.

2

∫(x

3

1

−

b. 26

1 1 b. 4 2 4 1- x ∫0 ( x 2 ) dx = ....

a.

1 4

d. 30

e. 32

1 ) dx = .... x2

a. 9.

c. 28

b.

c.

3 4

2 3

c. 1

3 4

e. 1

d. 2

e. 4

d.


71

1 π 2

10.

Nilai dari

∫ (cos 2x - 3 sin x) dx adalah …. 0

a. 3

b. 2

c. 1

d. -1

e. -3

a. 2 b. 1 c. 0 d. -1 Luas daerah yang diarsir pada gambar berikut adalah …. a. 8 satuan luas y b. 12 satuan luas c. 22 satuan luas d. 24 satuan luas e. 36 satuan luas

e. -2

π

11.

Nilai dari

∫ 2 cos x dx

= ….

1 π 2

12.

13.

14.

15.

y=x+2

0 2 6 x Luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 – 6x + 9 dan garis y = x –1 adalah … satuan luas. 1 1 a. 4 b. 4 c. 16 d. 20 e. 31 2 2 Luas daerah yang diarsir pada gambar berikut y adalah …. a. 24 satuan luas b. 21 satuan luas y = 9 – x2 c. 18 satuan luas d. 12 satuan luas e. 6 satuan luas x 0 3 Sebuah kerucut terpancung yang dibentuk oleh garis y = x + 2, sumbu x ; x = 0, x = 2. Diputar 360o mengelilingi sumbu x seperti gambar di samping. Volume kerucut itu adalah … y y =x+2 2 a. 18 π satuan volume 3 3 b. 19 π satuan volume 5 1 c. 20 π satuan volume 0 2 x 2 2 d. 20 π satuan volume 3 e. 24 π satuan volume


72

B.

Jawablah dengan benar soal-soal dibawah ini !

1.

∫ (3x

2

− 8x + 6) dx = ....

Jawab : …………………………………………………………………………………………….

2.

∫ cos (3x + 4) dx = .... Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 3

3.

∫ (x

2

- 4x + 3) dx = ....

1

4.

Jawab : ……………………………………………………………………………………………. y y = x2 – 7x + 6 Tentukan luas daerah yang diarsir !

1

5.

6

x

Jawab : ……………………………………………………………………………………………. Tentukan volume benda putar dari kurva y = 2x yang diputar 3600 terhadap sumbu x untuk x = 0 dan x = 4 Jawab : …………………………………………………………………………………………….


73

LATIHAN ULANGAN UMUM SEMESTER Pilihlah jawaban yang paling benar ! 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

x 2 + 3x + 2 = …. x→2 x −1 a. 0 b. 4 c. 6 2 x − 6x + 5 Nilai dari lim adalah … x →1 x 2 −1 a. 4 b. 2 c. 0 x 2 + 2x − 15 lim = …. x→3 2x − 6 a. 4 b. 3 c. 2

Nilai dar i lim

lim

d. –2

e. –4

d. 1

e. 0

= …. 5x − 1 − 3 1 4 2 a. 5 b. 4 c. 2 5 5 5 2 x + 3x − 10 Nilai dari lim adalah …. x → 0 3x 3 + 2x 2 − 4x 1 3 a. 0 b. c. 3 2 3 2 6x + 4x − 8x + 2 lim = …. x→∞ 2x 3 + 4x 2 − 6x 4 a. 0 b. 1 c. 3 2 4x sin 6x = …. lim x → 0 3x tg 2 4x x→2

b. 6

c. 4

cos 3x . tg 2 3x adalah …. x→0 5x sin 3x 4 1 b. c. 1 5 5

d. 1

1 5

e.

4 5

5 2

e. ∞

d. 3

e. ∞

d. 2

e.

d.

1 2

Nilai dari lim

3 5 sin 2 x limπ = …. x→ 4 cos x

a. 9.

e. 12

x2 − 4

a. ∞ 8.

d. 8

d. 1

4 5

e. 4

1 5

2

1 1 c. d. 2 e. ∞ 4 2 Turunan pertama dari fungsi f (x) = 2x3 + 4x2 – 6x adalah f' (x) = …. a. 2x2 + 8x – 6 c. 6x3 + 8x 2 – 6x e. 6x4 + 8x3 – 6x2 2 4 3 2 b. 6x + 8x – 6 d. 2x + 2x – 3x Turunan pertama dari fungsi f (x) = 3x (x2 – 4x) adalah f' (x) = …. a. 3x3 – 12x 2 c. 3x2 – 8x e. 3x (3x – 8) 2 b. 3x – 12x d. 6x (x – 2) a. 0

10.

11.

b.


74

12. 13.

14.

15. 16.

17.

18.

19.

20.

21.

22. 23.

24.

Tur unan pertama dari fungsi f (x) = (x + 5) 2 adalah f' (x). Nilai f' (–2) = …. a. 6 b. 4 c. 2 d. –2 e. –4 Turunan pertama dari fungsi f (x) = 8x – 4 x adalah f' (x) = …. 2 2 a. 8 – b. 8 + c. 8 – 2 x d. 8 + 2 x e. 8 – 2x x x x Turunan pertama dari f (x) = 2 cos (3x + 2) adalah f' (x) = …. 2 a. –6 sin (3x + 2) c. sin (3x + 2) e. 6 sin (3x + 2) 3 2 3 b. – sin (3x + 2) d. sin (3x + 2) 3 2 Persamaan garis yang menyinggung kurva y = 3x2 – 5x – 2 di titik (1, –4) adalah …. a. y = x – 5 c. y = 3x – 3 e. y = 6x – 5 b. y = x + 5 d. y = 3x + 3 Persamaan garis yang menyinggung kurva y = x2 – 2x – 8 di titik (2, –8) adalah …. a. y = 2x + 12 c. y = 2x – 8 e. y = 2x – 12 b. y = –2x – 12 d. y = –2x + 8 Peluru ditembakan tegak lurus ke atas dengan persamaan h (t) = 160t – 5t2 (dalam satuan m). Ketinggia n maksimum yang dicapai oleh peluru adalah …. a. 640 m b. 720 m c. 1.080 m d. 1.280 m e. 2.560 m Grafik fungsi f (x) = 2x3 + 3x2 – 12x turun pada interval …. a. –1 < x < 2 c. x < –1 atau x > 2 e. x < 1 atau x > 2 b. –2 < x < 1 d. x < –2 atau x > 1 Himpunan penyelesaian dari fungsi f (x) = x3 – 3x + 3, jika fungsinya naik adalah …. a. –1 < x < 1 c. x < –1 atau x > 1 e. x < –3 atau x > 1 b. –3 < x < 1 d. x < 1 atau x > 3 Nilai x yang memenuhi fungsi f (x) = 4x3 + 9x2 – 12x + 3, jika fungsinya diam (stationer) adalah …. 1 1 1 1 a. { , 2} b. {– , 2} c. {– , –2} d. {–2, } e. {–2, 1} 2 2 2 2 ∫ (3x + 5) (x − 1) dx = …. a. 3x3 + 2x2 – 5x + c b. 3x3 + x 2 – 5x + c ∫ 3 x dx = ….

c. x3 + 2x2 – 5x + c d. x3 + x 2 – 5x + c

e. 3x + 2 + c

a. 2x x + c b. 3x x + c ∫ 2 cos 2x dx = ….

c. 4x x + c

e. 9x x + c

a. –sin 2x + c 1 b. – sin 2x + c 4 ∫ sin (3x + 5) dx = ….

c. sin 2x + c

a. –3cos (3x + 5) + c

c.

1 b. – cos (3x + 5) + c 3

d. 3cos (3x + 5) + c

d. 6x x + c

e. 4 sin 2x + c

d. 2 sin 2x + c

1 cos (3x + 5) + c 3

e. cos (3x + 5) + c


75

4

25.

Nilai dari :

∫ (6x + 2) dx = ….

1

a. 20

b. 36

c. 45

d. 49

e. 51

c. 76

d. 30

e. 6

9

26.

Nilai dari :

∫6

x dx = ….

4

a. 114 27.

b. 89 ∫ (x − 3) dx = ... 2

1 3 x – 6x2 + 9x + c c. 3 1 3 b. x – 3x2 + 9x + c d. 3 2 1 Nilai dari ∫ ( x 2 − 3x + 4) dx = …. 1 2 2 1 a. b. 2 c. 3 3

a.

28.

1 3 x – 6x 2 + 6x + c 3

e. x2 – 6x + 6 + c

x2 – 6x + 9 + c

5

1 3

d. 6

1 3

e. 9

1 3

1 π 2

29.

Nilai dari

∫ (cos 2x - 3 sin x) dx adalah …. 0

a. 3 30.

b. 2

c. 1

e. –3

∫ cos (4x + 5) dx = .... a. –¼ sin (4x + 5) + C b. ¼ sin (4x + 5) + C

c. –4 sin (4x + 5) + C d. 4 sin (4x + 5) + C

π

31.

d. –1

Nilai dari :

∫ 3 sin x dx

e. sin (4x + 5) + C

= ….

0

32.

33.

34.

35.

a. 6 b. 3 c. 0 d. –6 e. –12 2 Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x – 4x – 5, x = 2 dan x = 5 seperti terlihat pada gambar adalah … satuan luas. a. 21 y y = x2 – 4x – 5 b. 18 25 c. -1 2 5 x 3 d. –18 -5 e. –21 Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4x – x2 , x = 0 dan x = 4 adalah … satuan luas. 2 1 1 1 2 a. 3 b. 4 c. 6 d. 10 e. 10 3 2 3 3 3 Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = x + 2, sumbu x adalah ... satuan luas. 1 2 1 1 a. 1 b. 2 c. 4 d. 5 e. 9 3 3 2 3 Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 5x + 4 dan y = x – 4 adalah … satuan luas. 1 2 2 1 a. 8 b. 4 c. 3 d. 1 e. 1 2 3 3 3 Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5

76

36.

37.

38.

39.

40.

Luas daerah yang diarsir pada gambar berikut adalah … satuan luas. a. 8 y y=x+2 b. 12 c. 22 d. 24 e. 36

0 2 6 x Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = 2x + 3, x = 1, x = 4 dan diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360o adalah … satuan volum. 1 2 2 a. 198 π b. 200 π c. 201π d. 211π e. 231 π 3 3 3 Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = 3x – 1, x = 2, x = 3 dan diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah ... satuan volum. 2 1 a. 21 π b. 37 π c. 43π d. 64π e. 81π 3 2 Sebuah kerucut terpancung yang dibentuk oleh garis y = x + 2, sumbu x ; x = 0, x = 2. Diputar 360o mengelilingi sumbu x seperti gambar di bawah. Volume kerucut tersebut adalah … satuan volum. 2 a. 18 π y y=x+2 3 3 b. 19 π 5 1 c. 20 π 0 2 x 2 2 d. 20 π 3 e. 24 π

Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x + 3, x = 0, x = 3 dan diputar 360o terhadap sumbu x seperti terlihat pada gambar adalah … satuan volum. a. 27 π y y=x+3 b. 45 π c. 54 π x d. 63 π 0 3 e. 76 π


77

DAFTAR PUSTAKA LIST OF LIBRARIES Wiyoto, Drs.2000. Matematika Teknik , Bandung: Angkasa. Sartono Wirodikromo, Drs. 1996. Matematika SMU III, Jakarta: Erlangga. Suwah Sembiring, 2003. Matematika untuk SMU Jilid III, YRAMA WIDYA. Bandung. Asep Sudraja, dkk. 2003. Pintar Matematika. Untuk SMU Kelas 2. Bandung : Ganeca Exact. M.K. Alamsyah, Drs. 1995. Matematika SMK, Bandung: Armico. Susilo, Drs. 1988. Panduan matematika, Bandung: Ganesa Exact. H. Heru Seno, 2004. Matematika Dasar, Primagama. Yogyakarta Kumpulan naskah soal Ujian Nasional


78

XIII. Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5 0

Recommend Documents