Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. 2 Sm. 3 0

XI Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. 2 Sm. 3

0

CERMAT

Cerdas Matematika MODUL DAN LEMBAR KERJA SISWA (LKS)

MATEMATIKA KELOMPOK TEKNOLOGI DAN INDUSTRI

TINGKAT XI SEMESTER GASAL

Disusun oleh :

Dirwanto

Nama Siswa

: ……………………………

NIS

: …...……………………….

Tingkat

: ……………………………

Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. 2 Sm. 3

1

KATA PENGANTAR Puji syukur penyusun panjatkan kehadirat Allah SWT karena hanya dengan ridho Nya penyusun telah menyelesaiakan Modul dan Lembar Kerja Siswa (LKS) matematika SMK untuk Tingkat XI semester gasal pada kelompok Teknologi dan Industri. Tujuan dalam penyusunan Modul dan Lembar Kerja Siswa (LKS) ini adalah untuk membantu proses belajar mengajar, sehingga diharapkan bisa menjadi sarana belajar bagi siswa agar lebih mudah untuk memahami materi yang dipelajari. Modul dan LKS ini juga dapat dijadikan sebagai alat unt uk mengukur tingkat keberhasilan siswa dalam proses belajar mengajar. Modul dan Lembar Kerja Siswa ini disusun berdasarkan kurikulum SMK edisi tahun 2006 yang isinya mencakup : * Materi singkat * Contoh soal-soal * Latihan soal-soal * Evalausi tiap pokok bahasan * Ulangan harian * Ulangan Umum Semester Penyusun menyadari bahwa dalam penyusunan Modul dan LKS ini masih jauh dari sempurna, untuk itu saran dan kritik yang membangun sangat diharapkan agar lebih baik lagi. Penyusun mengucapkan banyak terima kasih kepada semua pihak yang telah mambantu penyusun sehingga terselesaikannya Modul dan LKS ini.

Jakarta, Mei 2009 Penyusun


2

STANDAR KOMPETENSI DAN KOMPETENSI DASAR MATEMATIKA TEKNOLOGI DAN INDUSTRI TINGKAT XI (SEBELAS) KURIKULUM 2006 Standar Kompetensi 8. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan fungsi linier dan fungsi kuadrat

Kompetensi Dasar 8. 1

Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi

8. 2

Menerapkan konsep fungsi linier

8. 3

Menggambarkan fungsi kuadrat

8. 4

Menerapkan konsep fungsi kuadrat

8. 5

Menerapkan konsep fungsi eksponen

8. 6

Menerapkan konsep fungsi logaritma

8. 7

Menerapkan konsep fungsi trigonometri

9. Menerapkan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah

9. 1

Mengidentifikasi pola, barisan, dan deret bilangan Menerapkan konsep barisan dan deret aritmatika Menerapkan konsep barisan dan deret geometri

10. Menentukan kedudukan, jarak, dan besar sudut yang melibatkan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi dua

10. 1 Mengidentifikasi sudut

11. Menentukan kedudukan, jarak, dan besar sudut yang melibatkan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga

11. 1 Mengidentifikasi bangun ruang dan unsurunsurnya 11. 2 Menghitung luas permukaan 11. 3 Menerapkan konsep volume bangun ruang 11. 4 Menentukan hubungan antarunsur-unsur dalam bangun ruang

9. 2 9. 3

10. 2 Menentukan keliling bangun datar dan luas daerah bangun datar 10. 3 Menerapkan transformasi bangun datar


3

Standar Kompetensi

Kompetensi Dasar

12. Menerapkan konsep vektor dalam pemecahan masalah

12. 1 Menerapkan konsep vektor pada bidang datar

13. Memecahkan masalah dengan konsep teori peluang

13. 1 Mendeskripsikan kaidah pencacahan, permutasi, dan kombinasi 13. 2 Menghitung peluang suatu kejadian

14. Menerapkan aturan konsep statistik dalam pemecahan masalah

14. 1 Mengidentifikasi pengertian statistik, statistika, populasi, dan sampel 14. 2 Menyajikan data dalam bentuk tabel dan diagram 14. 3 Menentukan ukuran pemusatan data 14. 4 Menentukan ukuran penyebaran data

15. Menerapkan konsep irisan kerucut dalam memecahkan masalah

15. 1 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan lingkaran

12. 2 Menerapkan konsep vektor pada bangun ruang

15. 2 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan parabola 15. 3 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan elips 15. 4 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan hiperbola


4

DAFTAR ISI KATA PENGANTAR ……………………………………………………………….. STANDAR KOMPETENSI DAN KOMPETENSI DASAR ………………………. DAFTAR ISI ………………………………………………………………………..... KOMPETENSI 8 MENERAPKAN KONSEP FUNGSI …………….…………. 8.1. Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi ..………. 8.2. Menerapkan konsep fungsi linear …………….………………. 8.3. Menerapkan konsep fungsi kuadrat ………. ..………………… 8.4. Menerapkan konsep fungsi eksponen .………………………… 8.5. Menerapkan konsep fungsi logaritma …………………………. 8.6. Menerapkan konsep fungsi trigonometri ………………………

1 2 4 6 6 9 16 21 24 27

KOMPETENSI 9 9.1. 9.2. 9.3.

BARISAN DAN DERET ……………………………………... Mengaplikasikan pola, barisan dan deret bilangan …………….. Menerapkan konsep barisan dan deret aritmetika ……………… Menerapkan konsep barisan dan deret geometri ……………….

32 32 36 42

KOMPETENSI 10 10.1 10.2. 10.3.

GEOMETRI DIMENSI DUA ………………………………… Mengidentifikasi sudut …………………………………………. Menentukan keliling dan luas daerah bangun datar …………….. Menerapkan transformasi bangun datar …………………………

50 50 55 62

KOMPETENSI 11 11.1. 11.2. 11.3. 11.4

GEOMETRI DIMENSI TIGA ……………………………….. Mengidentifikasi bangun ruang dan unsur-unsurnya …………… Menghitung luas permukaan bangun ruang ……………………. Menerapkan konsep volume bangun ruang ……………………. Menentukan hubungan antara unsur-unsur dalam bangun ruang .

74 74 77 88 95

LATIHAN ULANGAN UMUM SEMESTER GASAL ……………………………

101

DAFTAR PUSTAKA ………………………………………………………………….

106


5

KOMPETENSI 8

MENERAPKAN KONSEP FUNGSI APPLY FUNCTION CONCEPT Standar Kompetensi Kompetensi Dasar

Alokasi waktu Dilaksanakan pada

: 8. Menerapkan Konsep Fungsi : 8.1. Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi 8.2. Menerapkan konsep fungsi linier 8.3. Menerapkan konsep fungsi kuadrat 8.4. Menerapkan konsep fungsi eksponen 8.5. Menerapkan konsep fungsi logaritma 8.6. Menerapkan konsep fungsi trigonometri : 30 jam pelajaran : Minggu ke 1 s.d. 5

Tujuan Pembelajaran Umum : Siswa dapat menerapkan konsep dasar fungsi dan grafik dalam memecahkan permasalahan pada pelajaran matematika, maupun dalam pelajaran lainnya.

8.1. Perbedaan Konsep Relasi dan Fungsi 8.1. D ifference of Relationship Concept and Function Indikator Tujuan

Uraian Materi 1. 1.

: 1. Konsep relasi dan fungsi dibedakan dengan jelas 2. Jenis-jenis fungsi diuraikan dan ditunjukkan contohnya : Siswa dapat 1. Membedakan pengertian relasi dan fungsi 2. Menentukan daerah asal (domain) 3. Menentukan daerah kawan (kodomain) 4. Menentukan daerah hasil (range) 5. Membedakan jenis -jenis fungsi (injektif, surjektif, bijektif) :

Pengertian fungsi, daerah asal, daerah kawan dan daerah hasil Understanding of function, area, closed friend area and area result of

Fungsi atau pemetaan dari A ke B adalah suatu relasi khusus yang menghubungkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B A B A = {a , b , c , d} disebut daerah asal atau domain a 1 B = {1 , 2 , 3 , 4 , 5} disebut daerah kawan atau kodomain b 2 Semua anggota B yang mendapat kawan di A disebut c 3 daerah hasil atau range R = {1 , 2 , 3 , 4} d 4 5


6

Contoh : Tentukan pemetaan atau bukan : 1

a

1

a

1

a

2

b

2

b

2

b

3

c

3

c

3

c

d

4

1 Jawab : Gambar 1 : pemetaan Gambar 2 : bukan pemetaan Gambar 3 : bukan pemetaan

2. 2.

d 2

3

Menyatakan sebuah fungsi Expressing a Function

Fungsi dapat dinyatakan dengan notasi, diagram panah, grafik Cartesius dan himpunan pasangan berurutan. Contoh : Diketahui f = x ? 2x + 1. Jika domainnya {x | -2 = x = 2, x ∈ B} dan kodomainnya x ∈ B.

Tentukan : a. Daerah hasil b. Diagram panah Jawab : a. Daerah hasil (range) D = {-2, -1, 0, 1, 2}

c. Grafik Cartesius d. Himpunan pasangan berurutan.

K = {-2, -1, 0, 1, 2, ….} f = x ? 2x + 1 f (x) = 2x + 1 f (-2) = 2 (-2) + 1 = -3 f (-1) = 2 (-1) + 1 = -1 f (0) = 2 (0) + 1 = 1 f (1) = 2 (1) + 1 = 3 f (2) = 2 (2) + 1 = 5 Daerah hasil R = {-3, -1, 1, 3, 5} b.

Diagram panah f = x ? 2x + 1 A B

c. Diagram Cartesius 5 y 3

1 -2 -1

0 1 -1

2

x

-3

-2

-3

-1

-1

d. Himpunan pasangan berurutan :

0

1

{(-2, -3), (-1, -1), (0, 1), (1, 3), (2, 5)}

1

3

2

5


7

Soal laihan : 1. Gambarkan fungsi-fungsi berikut dengan diagram panah a. f : x → 3x – 2 dengan daerah asal (1, 2, 3, 4, 5) b. f : x → x2 – 1 x adalah empat bilangan asli genap pertama c. f : x → x3 – 4 dengan daerah asal (–2, 2, 3) Jawab : ............................................................................................................................... 2.

3.

Gambarkan fungsi-fungsi berikut dengan diagram kartesius a. f : x → 3x – 2 x ∈ R, –3 ≤ x ≤ 3 b. f : x → 5 – 2x x ∈ R, 0 ≤ x ≤ 5 c. f : x → 5x – 4 x ∈ R, –1 ≤ x ≤ 2 Jawab : ............................................................................................................................... Buatlah notasi fungsi dari diagram panah berikut ini. a. –3

9 16

4 25 36

6 b. –2

–6

1

–3

3

–1 0

–1

–8

–2

–1 0 27

c.

3

Jawab : ...............................................................................................................................


8

8.2. Menerapkan Konsep Fungsi Linear 8.2. Apply the Concept of Linear Function Indikator

: 1. Fungsi linier digambar grafiknya 2. Fungsi linier ditentukan persamaannya jika diketahui koordinat titik atau gradien atau grafiknya. 3. Fungsi invers ditentukan dari suatu fungsi linier : Siswa dapat : 1. Membahas contoh fungsi linier 2. Membuat grafik fungsi linier. 3. Menentukan persamaan grafik fungsi leinear yang melalui dua titik, melalui satu titik dan gradien tertentu, dan jika diketahui grafiknya. 4. Menemukan syarat hubungan dua grafik fungsi linier saling sejaja r dan saling tegak lurus 5. Menentukan invers fungsi linier dan grafiknya :

Tujuan

Uraian Materi

1. 1.

Grafik fungsi linear Linear function graph

Bentuk umum grafik fungsi linear adalah : f (x) = ax + b atau y = ax + b, dimana a, b ∈ R. Contoh : Gambar gafik fungsi y = 2x – 4 Penyelesaian : a Dengan tabel : x 0 1 2 3 4 y -4 -2 0 2 4 b. Dengan titik potong Titik potong dengan sumbu x ? y = 0 Titik potong dengan sumbu y ? x = 0 y = 2x – 4 y = 2x – 4 0 = 2x – 4 y=2.0-4 2x = 4 y = -4 x=2 titik potong dengan sumbu y dititik (0, -4) titik potong dengan sumbu x di titik (2, 0) y 4

2

0

1

2

3

4

x

-2 -4


9

Gradien Gradien adalah angka kemiringan dari grafik terhadap sumbu x positif. Notasi gradien adalah "m". y

Gradien garis OP y m = 1 atau m = tan α x1

P(x1, y 1)

α

x

O

Contoh : 1. y

Gradien garis OA : y 2 m= 1 = x1 3

A(3, 2)

2

3

x

2. y 4

2

Gradien garis AB : y − y1 4−2 1 m= 2 = = x 2 − x1 5 −1 2

B(5, 4)

A(1, 2) 1

5

x

Jika m = 0, grafik sejajar sumbu x Jika m > 0, grafik miring ke kanan (0 < α < 90o ) Jika m < 0, grafik miring ke kiri (90< α < 180o )

2. 2.

Menentukan persamaan garis melalui satu titik P(x1, y1) dengan gradien m Determining equation of line through one dot of P( x 1, y1) with gradien m Rumus : y – y 1 = m (x – x1) atau

y = mx – mx 1 + y 1

Contoh : 1. Tentukan persamaan garis yang melalui titik P (4, -2) dengan m = 2 Jawab : y – y1 = m (x – x 1) y – (-2) = 2 (x – 4) y = 2x – 8 – 2 y = 2x – 10 2.

Tentukan persamaan garis yang melalui titik Q(3, 5) dengan m = –3 Jawab : y = mx – mx1 + y1 = –3x – (–3).(3) + 5 = –3x + 9 + 5 y = –3x + 14


10

3. 3.

Menentukan persamaan garis melalui dua titik P(x1, y1) dan Q(x 2, y2) Determining equation of line through two dot of P(x1, y 1) and Q(x2, y2) Rumus :

y − y1 x − x1 = y 2 − y 1 x 2 − x1

atau

y – y1 = m (x – x 1) dengan m =

y2 − y1 x2 − x1

Contoh : 1. Tentukan persamaan garis yang melalui titik A (2, -1) dan B (3, 5) Jawab : y − y1 5 − (−1) 6 m= 2 = = =6 x 2 − x1 3−2 1 y – y1 = m (x – x 1) y – (-1) = 6 (x – 2) y = 6x – 12 – 1 y = 6x – 13 2.

Tentukan persamaan garis yang melalui titik C(1, 2) dan D(2, –3) Jawab : y − y1 x − x1 = y 2 − y 1 x2 − x1

y −2 x −1 y − 2 x −1 → = = − 3 − 2 2 −1 −5 1 y – 2 = –5(x – 1) y = –5x + 5 + 2 y = –5x + 7 3.

Tentukan persamaan garis yang melalui titik P(–4, 3) dan Q(2, 1) Jawab : y − y1 x − x1 = y 2 − y 1 x2 − x1

y−3 x+4 y − 3 x − ( −4) → = = 1 − 3 2 − ( −4) −2 6 6y – 18 = –2x – 8 2x + 6y = 18 – 8 2x + 6y = 10 → x + 3y = 5


11

4. 4.

Sudut antara dua garis Angle between two line

Jika diketahui persamaan garis y = m 1x + n1 dengan gradien m1 dan persamaan y = m2 x + n2 , dengan gradien m2 seperti terliohat pada gambar y

y = m 1 x + n1 α

0

0

y = m 2x + n2

x

x

Maka besarnya sudut yang dibentuk oleh kedua garis tersebut adalah : m1 − m 2 tg α = (sudut yang dimaksud adalah sudut yang kecil) 1+ m1 . m2 Contoh : Tentukan sudut yang dibentuk oleh dua garis y = 2x – 4 dan y = x + 3. Penyelesaian : m1 = 2 dan m2 = 1 m1 − m 2 2 −1 1 tg α = = = 1 + m1 . m 2 1 + 2.1 3 o α = 18,4 5. 5.

Persamaan garis yang melalui titik P (x1, y1) dan sejajar garis y = ax + b Equation of line which passing dot of P(x 1, y1) and parallelline of y = ax b Sebuah garis dengan gradien m1 dikatakan sejajar dengan garis lain yang bergradien m2 jika m1 = m 2 Rumus : y – y1 = m (x – x 1) dengan m = a

Contoh : 1. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2, 3) dan sejajar garis y = 3x + 1 Jawab : x1 = 2 ; y1 = 3 dan m = 3 y – y1 = m (x – x 1) y – 3 = 3 (x – 2) y = 3x – 6 + 3 y = 3x – 3 2.

Tentukan persamaan garis yang melalui titik (1, -2) dan sejajar garis 2x – y = 4 Jawab : 2x – y = 4 → y = 2x – 4 x1 = 1 ; y1 = -2 ; m = 2 y – y1 = m (x – x 1) Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. 2 Sm. 3

12

y – (-2) = 2 (x – 1) y + 2 = 2x – 2 2x – y – 2 – 2 = 0 2x – y – 4 = 0 Atau dengan cara lain : Persamaan garis : ax + by = c → garis sejajar : ax + by = a(x1 ) + b(y1 ) Contoh : 1. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (3, 2) dan sejajar garis 2x + 5y = 10 Jawab : 2x + 5y = 2.(3) + 5.(2) 2x + 5y = 6 + 10 2x + 5y = 16 2.

Tentukan persamaan garis yang melalaui titik (–2, 1) dan sejajar garis 3x – 4y = 24 Jawab : 3x – 4y = 3.(–2) – 4.(1) 3x – 4y = –6 – 4 3x – 4y = –10

6. 6.

Persamaan garis yang melalui titik Q(x1, y1) dan tegak lurus garis y = ax + b Equation of line which passing dot of Q(x 1, y1) and vertical line of y = ax + b

Sebuah garis dengan gradien m2 akan tegak lurus dengan garis dengan gradien m1 , jika 1 m2 = – . m1 1 Rumus : y – y1 = − (x – x 1) dengan m = a m Contoh : 1. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2, -1) dan tegak lurus garis y = 2x + 3 Jawab : x1 = 2 ; y1 = -1 ; m = 2 1 y – y1 = − (x – x1) m 1 y – (-1) = − (x – 2) 2 1 y= − x+1 – 1 2 1 y= − 2 2.

Tentukan persamaan garis yang melalui titik (3, 4) dan tegak lurus garis 3x – y = 1 Jawab : 3x – y = 1 → y = 3x – 1 ; x1 = 3 ; y1 = 4 ; m = 3 1 y – y1 = − (x – x1) m 1 y – 4 = − (x – 3) 3 Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. 2 Sm. 3

13

3 (y – 4) = - (x – 3) 3y – 12 = -x + 3 x + 3y – 12 – 3 = 0 x + 3y – 15 = 0 Cara lain : Persamaan garis : ax + by = c → garis tegak lurus : bx – ay = b(x1) – a(y1 ) ax – by = c → garis tegak lurus : bx + ay = b(x1 ) + a(y1 ) Contoh : 1. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2, –1) dan tegak lurus garis 3x + 2y = 12 Jawab : 3x + 2y = 12 ; x1 = 2 ; y1 = –1 2x – 3y = 2.(2) – 3.(–1) 2x – 3y = 4 + 3 2x – 3y = 7 2.

Tentukan persamaan garis yang melalui titik (4, 3) dan tegak lurus garis 5x – 2y = 10 Jawab : 5x – 2y = 10 ; x1 = 4 ; y1 = 3 2x + 5y = 2.(4) + 5.(3) 2x + 5y = 8 + 15 2x + 5y = 23

Soal Latihan 1. Diketahui f (x) = 3x + 1. Jika domainnya {x | -2 < x < 2, x ∈ B}dan kodomainnya x ∈ B. Tentukan : a. Daerah hasil c. Grafik Cartesius b. Diagram panah d. Himpunan pasangan berurutan Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 2. Tentukan gradien garis : a. y = 3x – 4 c. 2y – x = 5 b. y = 3 – 2x d. 3x + 2y = 2 Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 3. Tentukan persamaan garis yang melalui titik : a. A (3, -2) dan m = 2 b. B (1, 3) dan m = -3 Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 4. Tentukan persamaan garis yang melalui titik : a. P (1, 3) dan Q (4, 5) b. A (2, 1) dan B (3, 4) Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 5. Tentukan persamaan garis yang melalui titik : a. (-2, -1) dan sejajar garis y = 2x + 3 b. (1, -3) dan tegak lurus garis y = 3x – 2 Jawab : …………………………………………………………………………………………….


14

EVALUASI 1 A. 1.

2.

3.

4. 5.

6. 7.

8. 9. 10.

B. 1.

2.

3.

Pilihlah jawaban yang paling benar ! Suatu fungsi dirumuskan dengan f (x) = 3x + 5. Jika daerah asalnya himpunan bilangan asli dan x < 4 maka rangenya adalah …. a. { 8, 11, 14, 17, 20} c. { 8, 13, 18 } e. { 3, 5, 8 } b. { 8, 11, 14, 17 } d. { 8, 11, 14 } Diketahui diagram panah di samping, maka A B relasi himpunan A ke B dapat ditulis sebagai : a. B = A + 3 2 11 b. B = 2A 3 14 c. B = 3A 4 8 d. B = 2A + 1 5 5 e. B = 3A - 1 17 Gradien dari persamaan garis : 2y – 6x = 4 adalah …. 1 1 a. 3 b. 2 c. d. e. -3 3 3 Persamaan garis yang melalui titik (-1, 3) dan m = 2 adalah …. a. y = 2x + 7 b. y = 2x + 5 c. y = 2x + 1 d. y = 2x – 5 e. y = 2x – 7 1 Persamaan garis yang melalui titik (2, 1) dan m = adalah …. 3 a. 3x – y – 1 = 0 c. 3y – x + 1 = 0 e. 3y + x – 1 = 0 b. 3x + y – 1 = 0 d. 3y – x – 1 = 0 Persamaan garis yang melalui titik (1, -2) dan (3, 2) adalah …. a. y = 3x – 4 b. y = 3x + 4 c. y = 2x – 4 d. y = 2x + 4 e. y = x – 4 Persamaan garis yang melalui titik (-1, -2) dan sejajar garis 2x – 3y = 1 adalah …. a. 2x – 3y + 8 = 0 c. 3x = 2y – 8 e. y = 3x + 2 b. 3x – 2y + 8 = 0 d. 2y = 3x + 8 Persamaan garis yang melalui titik (2, 3) dan sejajar garis y = 3x + 4 adalah …. a. y = 3x – 9 b. y = 3x – 3 c. y = 3x + 3 d. y = 3x + 6 e. y = 3x + 9 Persamaan garis yang melalui titik (4, -2) dan tegak lurus garis y = 2x + 1 adalah …. a. 2x + y + 8 = 0 c. x – 2y + 8 = 0 e. x + 2y = 0 b. 2x – y – 8 = 0 d. x + 2y – 8 = 0 Persamaan garis yang melalui titik (2, 4) dan tegak lurus garis 2x – y = 3 adalah …. a. 3x + y – 10 = 0 c. 3x + 2y – 10 = 0 e. x + 2y – 6 = 0 b. x + 2y – 10 = 0 d. 2x + y – 6 = 0 Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar ! Tentukan persamaan garis yang melalui titik : a. (1, -3) dan gradien m = 2 b. (2, 2) dan gradien m = -1 Jawab : ……………………………………………………………………………………………. Tentukan persamaan garis yang melalui titik a. (2, 1) dan titik (3, -2). b. (-1, 3) dan (4, 1) Jawab : ……………………………………………………………………………………………. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (3, 2) dan sejajar dengan garis : a. 3x – 2y = 6 b. 2x – y = 5 Jawab : ……………………………………………………………………………………………. Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. 2 Sm. 3

15

8.3. Menerapkan Konsep Fungsi Kuadrat 8.3. Apply the Concept of Quadratic Function 1.

3.

: 1. Fungsi kuadrat digambar grafiknya. 2. Fungsi kuadrat ditentukan persamaannya Tujua n : Siswa dapat : 1. Membahas contoh fungsi kuadrat dan grafiknya. 2. Menentukan titik potong grafik fungsi dengan sumbu koordinat, sumbu simetri dan nilai ekstrim suatu fungsi 3. Menggambar grafik fungsi kuadrat 4. Menentukan persamaan fungsi kuadrat jika diketahui grafik atau unsur-unsur lainnya 5. Menentukan nilai ekstrim suatu fungsi kuadrat 6. Menyelesaikan masalah program keahlian yang berkaitan dengan fungsi kuadrat Uraian Materi :

1. 1.

Persamaan grafik fungsi kuadrat Equation of quadratic function graph

2.

Indikator

Bentuk Umum : y = ax 2 + bx + c Untuk a > 0 (positif) kurva menghadap keatas dan mempunyai titik balik minimum.

x1

x2

x1 = x2 D=0

D>0

D<0 (definet positif)

D = diskriminan → D = b2 – 4.a.c Untuk a < 0 (negatif), kurva menghadap kebawah dan mempunyai titik balik maksimum. x1

x2

D>0

x1 = x2

D=0

(definet negatif)

D<0

Untuk menggambar garfik fungsi kuadrat langkah-langkahnya sebagai berikut : −b 1. Tentukan sumbu simetrinya, yaitu dengan rumus : x = 2.a 2. Tentukan titik puncak (titik balik), yaitu P (x, y) dengan : −b D b 2 − 4.a.c x= dan y = atau y = 2.a - 4a − 4.a Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. 2 Sm. 3

16

3. 4.

Tentukan titik potong dengan sumbu y, untuk x = 0 Tentukan titik potong dengan sumbu x, dengan y = 0 ? ax2 + bx + c = 0 Jika D > 0, grafik memotong sumbu x di dua titik (x1 dan x2) Jika D = 0, grafik menyentuh sumbu x di titik x1 = x2 Jika D < 0, grafik tidak memotong sumbu x ( diatas atau dibawah sumbu x)

Contoh : 1. Grafik fungsi y = x2 – 6x + 5 memotong sumbu x di titik ? Penyelesaian : Kurva memotong sumbu x jika y = 0 x2 – 6x + 5 = 0 (x – 1) . (x – 5) = 0 x– 1=0 ? x = 1 x– 5=0 ? x = 5 Kurva memotong sumbu x dititik (1, 0) dan (5, 0) 2.

Tentukan titik potong grafik y = 2x2 – 5x + 2 dengan sb.x Jawab : Kurva memotong sb.x jika y = 0 2x2 – 5x + 2 = 0 (2x – 1) (x – 2) = 0 1 2x – 1 = 0 → x = 2 X– 2=0 → x=2 1 Titik potong kurva dengan sb.x ( , 0) dan (2, 0) 2

3.

Titik balik dari grafik fungsi : y = -x2 + 4x + 5 adalah : Penyelesaian : a = -1, b = 4 dan c = 5 −b −4 Sumbu simetri : x = = =2 2a 2.(− 1) b 2 − 4.a.c 4 2 − 4.(− 1).5 16 + 20 = = − 4 .a − 4.(− 1) 4 36 y= =4 4 Atau dengan cara : y = - (2) 2 + 4 . 2 + 5 = -4 + 8 + 5 = 9 Titik balik kurva (2, 9)

Nilai maksimum : y =

4.

Peluru ditembakan tegak lurus keatas dengan persamaan h (t) = 300t – 5t2 (satuan meter). Tentukan ketinggian maksimum dari peluru ! Penyelesaian : a = -5, b = 300 dan c = 0 −b − 300 Waktu tempuh : t = = = 30 detik 2a 2.(−5 ) Tinggi maksimum : h = 300 . 30 – 5 . 302 = 9.000 – 4.500 h = 4.500 meter.


17

5.

Periksa apakah kurva y = x2 – 2x + 2 memotong sumbu x, menyentuh sumbu x atau tidak memotong sumbu x (definet) ? Penyelesaian : Untuk mengetahuinya dicari dulu Diskriminannya. a = 1, b = -2 dan c = 2 Diskriminan : D = b2 – 4ac = (-2)2 – 4 . 1 . 2 = 4 – 8 = -4 Karena D < 0, maka kurva tidak memotong sumbu x atau definet positif.

2. 2.

Menentukan persamaan fungsi kuadrat Determining equation of quadratic function

1.

2.

Beberapa hal yang perlu diingat dalam menentukan persamaan fungsi kua drat adalah : Jika diketahui titik balik ( p, q), persamaan kuadrat : y = a (x – p)2 + q ( x − p) 2 atau : a = ; b = –2.a.p ; c = a. p2 + q y−q Jika diketahui akar-akar kuadratnya (x1 dan x2), persamaan kuadrat : y = a (x – x 1) . (x – x2) y = x2 – (x1 + x2 ) + x1 . x2 c atau : a = ; b = –a(x 1 + x2) ; c = y x1 .x 2

Contoh : 1. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan -5. Jawab : y = (x – 2) . (x – (-5)) = (x – 2) . (x + 5) = x2 + 5x – 2x – 10 y = x2 + 3x – 10 2.

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya

2 dan 3 3

Jawab : 2 2 + 3)x + .3 3 3 11 y = x2 – x + 2 atau 3y = 3x2 – 11x + 6 3

y = x2 – (

3.

Tentukan persamaan kuadrat dari grafik di bawah ini y Jawab : x1 = 2, x2 = 4, c = 8 8 c 8 a= = =1 x1 .x2 2.4 b = –a(x1 + x2 ) = –1(2 + 4) = –6 c=8 2 4 x Persamaan : y = x2 – 6x + 8


18

4.

Tentukan persamaan kuadrat yang melalui titik (2, 0) dan titik (4, 0) dengan titik 1 baliknya (3, − ) ! 2 Jawab : 1 y = a (x – x 1) . (x – x2) ? y = − , x = 3, x1 = 2 dan x2 = 4 2 1 1 1 − = a (3 – 2) . (3 – 4) ? − = -a ? a = 2 2 2 1 1 2 y = (x – 2) . (x – 4) = (x – 4x – 2x + 8) 2 2 1 = (x2 – 6x + 8) 2 1 2 y = x – 3x + 4 2

5.

Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik (2, 1) dan melalui titik (4, 5). Jawab : Atau dengan cara : x = 4, y = 5, p = 2, dan q = 1 2 ( x − p) 2 ( 4 − 2) 2 4 y = a(x – p) + q a= = = =1 2 5 = a(4 – 2) + 1 y−q 5 −1 4 5 = a(4) + 1 b = –2.a.p = –2.(1).(2) = –4 4a = 5 – 1 c = a.p2 + q = 1.(2) 2 + 1 = 5 4 Persamaan : a= =1 4 y = x2 – 4x + 5 2 y = 1(x – 2) + 1 y = x2 – 4x + 4 + 1 y = x2 – 4x + 5

Soal latihan : 1. Tentukan titik potong grafik fungsi dibawah ini dengan sumbu x a. y = x2 – 2x – 8 b. y = -x2 + 5x + 6 Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 2. Tentukan titik balik dari kurva dibawah ini : a. y = -x2 – 6x – 8 b. y = 3x2 – 4x – 4 Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 3. Periksa kurva dibawah ini apakah memotong, menyentuh atau tidak memotong sumbu x a. y = x2 + 4x + 4 b. y = 9 – x2 Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 4. Tentukan nilai maksimum/minimum dan gambarkan grafiknya dari persamaan : a. y = -x2 + 2x + 3 b. y = x2 – 5x + 4 Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 5. Tentukan persamaan kuadrat yang melalui titik (0, 6) dan titik baliknya (3, -3) ! Jawab : ……………………………………………………………………………………………. Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. 2 Sm. 3

19

EVALUASI 2 A. 1. 2. 3. 4.

5. 6.

7.

Pilihlah jawaban yang paling benar ! Persamaan kuadrat y = x2 – 3x + 3 memotong sumbu y dititik a. (0, -3) b. (-3, 0) c. (0, 3) d. (3, 0) e. (0, 0) Diskriminan dari persamaan y = x2 – 5x + 6 adalah …. a. -6 b. -5 c. -2 d. -1 e. 1 2 Persamaan parabola y = 6x – x grafiknya …. a. menyentuh sumbu x c. memotong sumbu x e. sejajar sumbu x b. difinet negatif d. definet positif Persamaan parabola y = x2 – 9 grafiknya …. a. menyentuh sumbu x c. definet positif e. sejajar sumbu x b. memotong sumbu x d. definet negatif Nilai maksimum dari persamaan parabola y = 4x – x2 adalah …. a. 10 b. 8 c. 6 d. 4 e. 2 Persamaan kuadrat yang kurvanya memotong sumbu x di titik (-2, 0) dan (3, 0) adalah …. a. y = x2 – x – 6 c. y = x2 – 5x – 6 e. y = x2 – x + 6 2 2 b. y = x + x – 6 d. y = x + 5x – 6 Grafik fungsi y = x2 – x – 6 adalah .... y a. d. y x –3 0 2 6

–2

0 y

b.

–6

x

3

e.

6

y –2

–3 c.

0

0

3

x

x

2

–6

y 6

0 8. 9. 10.

2

3

x

Persamaan parabola : y = x2 + 3x – 10 memotong sumbu x dititik …. a. (-5, 0) dan (2, 0) c. (-2, 0) dan (5, 0) e. (2, 0) dan (5, 0) b. (-5, 0) dan (-2, 0) d. (-2, 0) dan (-5, 0) Persamaan kuadrat : y = -x2 + 8x – 12 titik baliknya adalah …. a. (8, 64) b. (8, 36) c. (4, 36) d. (4, 24) e. (2, 16) Nilai minimum dari f(x) = x2 – x adalah …. 1 1 1 a. − b. − c. 0 d. e. 1 2 4 4 Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. 2 Sm. 3

20

B. 1. 2.

3. 4.

Jawablah pertanyaan dibawah ini dengan benar ! Persamaan garis yang melalui titik (3, 1) dan (1, 5) adalah : Jawab : ……………………………………………………………………………………………. Persamaan garis yang melalui titik (-2, 4) dan m = 4 adalah …. Jawab : ……………………………………………………………………………………………. Persamaan kuadrat : y = x2 – x – 6 memotong sumbu x dititik : Jawab : ……………………………………………………………………………………………. Titik balik dari kurva : y = -x 2 + 2x – 15 adalah : Jawab : …………………………………………………………………………………………….

8.4. Menerapkan Konsep Fungsi Eksponen 8.4. Apply the Concept of Exponent Function 1. 2.

3.

Indikator

: 1. Fungsi eksponen digambar grafiknya. 2. Fungsi eksponen ditentukan persamaannya, jika diketahui grafiknya Tujuan : Siswa dapat : 1. Menggambar grafik fungsi eksponen 2. Menentukan persamaan fungsi eksponen jika diketahui grafik atau unsur-unsur lainnya 3. Menyelesaikan masalah program keahlian yang berkaitan dengan fungsi eksponen Uraian Materi :

Fungsi eksponen adalah suatu fungsi yang variabelnya mepupakan pangkat dari suatu bilangan tetap. Bentuk sederhana dari fungsi eksponen dengan bilangan dasar a adalah : y = f (x) = a x , a >0, a≠ 0 atau y = f (x) = a –x , a ≠ 0 1. 1.

Grafik fungsi eksponen Exponent function graph Bentuk umum grafik fungsi eksponen adalah : y y = ax , a > 1

(0, 1) 0

y

y = a–x, a > 1

(0, 1)

x

0

x


21

Contoh : Gambarlah fungsi eksponen : 1.

1  2. y =   2

y = 2x

x

Jawab : x y

... ...

-2

-2 ¼

-1 ½

0 1

1 2

2 ... 4 ...

x y

... ...

-2 4

-1 2

0 1 2 ... 1 ½ ¼ ...

Y 4

y 4

2

2

1

1

-1

0

1

2

x

-2

-1

0

1

2

x

Soal latihan : Gambarlah fungsi eksponen di bawah ini. 1  3. y =   4 4. y = 2x + 1

x

1.

y = 3x

2.

y = 4x

2. 2.

Persamaan e ksponen Exponent Equation Sifat-sifat : af (x) = ag (x) → f (x) = g (x) af (x) = bf (x) → f (x) = 0 f (x) g (x) = f (x) h (x) → g (x) = h (x) jika f (x) ≠ 0 ; f (x) ≠ 1 px + q

a

rx + s

=b

→x=

ap br

log

bs aq

a(px)2 + b(px) + c = 0 → x1 + x2 =

p

log

c a

Contoh : 1.

2x – 1

Tentukan nilai x yang memenuhi dari : 3

1 =    27 

x −3

Jawab : x −3

 1  32x – 1 =    27  32x – 1 = (3–3)x – 3 32x – 1 = 3–3x + 9

→

2x – 1 = –3x + 9 2x + 3x = 9 + 1 5x = 10 x=2 Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. 2 Sm. 3

22

2.

Tentukan nilai x yang memenuhi dari : 23x + 1 = Jawab : 23x + 1 =

3

3

64x + 1

64x + 1

23x + 1 = 3 ( 2 6 ) x + 1 23x + 1 = (22) x + 1 23x + 1 = 22x + 2 → 3x + 1 = 2x + 2 3x – 2x = 2 – 1 x=1 3.

Tentukan nilai x yang memenuhi dari :

3 = 27 −x −1 9 2x

Jawab : 3 3 = 27 −x −1 → 2 2 x = (3 3 ) −x −1 2x (3 ) 9 −3 x −3

− 3 x− 3

3 → 31− 4 x = 3 2 =3 2 34 x 2(1 – 4x) = –3x – 3 → 2 – 8x = –3x – 3 –8x + 3x = –3 – 2 → –5x = –5 −5 X= =1 −5 4.

Tentukan nilai x1 + x 2 dari : 2 (4x) + 23 – 2x = 17. Jawab : 23 2 (4x) + 2x = 17 2 8 2 (4x) – 17 + x = 0 (kalikan dengan 4x) 4 2 (4x)2 – 17 (4x) + 8 = 0 → misal y = 4x 2y2 – 17y + 8 = 0 (2y – 1) (y – 8) = 0 1 2y – 1 = 0 → y = y– 8=0 → y = 8 2 1 4x = → 2 2x = 2–1 → 2x = –1 4x = 8 → 22x = 23 → 2x = 3 2 1 3 x =– x= 2 2 1 3 x1 + x 2 = – + =1 2 2 atau dengan menggunakan rumus : 2 (4x)2 – 17 (4x) + 8 = 0 → p = 4 ; a = 2 ; c = 8 8 x1 + x 2 = 4 log = 4 log 4 2 =1


23

Soal latihan : 2x + 3

1. 2. 3. 3.

 1  Tentukan nilai x yang memenuhi  = 5x - 2   125  1 Nilai x dari persamaan (2) 2x + 10 = adalah …. 4 Nilai x dari 3x – 4 = 27 x + 1 adalah …. 27 Tentukan nilai x dari persamaan 2x + 1 = 3 81 3 2x − 3

4. 5.

1 Nilai x yang memenuhi dari :   = 64 x − 1 adalah …. 4 3 1 Nilai x yang memenuhi  x - 2  = 3 adalah …. 9 3 

8.5. Menerapkan Konsep Fungsi Logaritma 8.5. Apply the Concept of Logarithm Function Indikator Tujuan

Uraian Materi

: 1. Fungsi logaritma dideskripsikan sesuai dengan ketentuan 2. Fungsi logaritma diuraikan sifat-sifatnya 3. Fungsi logaritma digambar grafiknya : Siswa dapat : 1. Menggambar grafik fungsi logaritma 2. Menentukan persamaan fungsi logaritma jika diketahui grafik atau unsur-unsur lainnya 3. Menjabarkan sifat-sifat dari fungsi logaritma 4. Menyelesaikan masalah program keahlian yang berkaitan dengan fungsi loaritma :

Bentuk umum dari fungsi logaritma adalah : y = alog x ; jika a > 1 dan y = alog x ; 0 < a < 1 1. 1.

Grafik fungsi logaritma Logarithm fungsi graph y

y = alog x ; untuk a > 1

x

y

y = alog x ; untuk 0 < a < 1

x


24

Contoh : 1.

1 2

Buatlah gambar grafik fungsi logaritma : log 2x . Jawab : X ... 1/8 ¼ ½ 1 2 4 ... Y ... 2 1 0 -1 -2 -3 ... y 2

0 ½ 1

2. 2.

2 3

4

x

Persamaan Logaritma Logarithm Equation Sifat-sifat : a log f (x) = b → f (x) = a b a log f (x) = alog b → f (x) = b a log f (x) = alog g (x) → f (x) = g (x) a log f (x) = b log f (x) ; a ≠ b → f (x) = 1 f (x) log g (x) = f (x)log h (x) → g (x) = h (x) ; f (x) > 0, g (x) > 0, h (x) > 0 dan f (x) ≠ 1

Contoh : 1. Tentukan nilai x yang memenuhi dari : 2log (3x – 1) = 3 Jawab : 2 log (3x – 1) = 2 log 23 2 log (3x – 1) = 2 log 8 3x – 1 = 8 → 3x = 8 + 1 3x = 9 x=3 2.

Tentukan nilai x yang memenuhi dari : 3log x + 3 log (2x – 3) = 2 Jawab : 3 log x + 3 log (2x – 3) = 3log 32 3 log x (2x – 3) = 3 log 9 2x2 – 3x = 9 2x2 – 3x – 9 = 0 (2x – 3) (x – 3) = 0 2x – 3 = 0 → x = 3/2 x–3=0 →x=3 3 HP : { , 3} 2 Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. 2 Sm. 3

25

3.

Tentukan nilai x yang memenuhi dari : 2log (3x + 4) = 3 log (3x + 4). Jawab : 2 log (3x + 4) = 3 log (3x + 4) → f (x) = 1 3x + 4 = 1 → 3x = 1 – 4 3x = –3 x = –1

4.

Tentukan nilai x yang memenuhi dari : log x + log (x – 3) = 1 Jawab : log x + log (x + 3) = 1 log x(x + 3) = log 10 log x2 + 3x = log 10 x2 + 3x = 10 x2 + 3x – 10 = 0 (x + 5) (x – 2) = 0 x + 5 = 0 → x = –5 x–2=0 →x=2 HP {–5, 2}

Soal latihan : 1. Himpunan penyelesaian dari : 2 log (2x + 8) = 2 log (x + 5) adalah : Jawab : ............................................................................................................................................. 2. Himpunan penyelesaian dari : log (x2 + 3x + 7) = log (x + 7) adalah .... Jawab : ............................................................................................................................................. 3. Tentukan nilai x yang menenuhi dari : 3log (x2 + 2x – 2) = 3log (4x + 1) Jawab : ............................................................................................................................................. 4. Nilai x yang memenuhi persamaan : xlog (2x – 2) = 1 adalah …. Jawab : ............................................................................................................................................. 5. Tentukan nilai x yang memenuhi dari x log 5x – 4 = 2 Jawab : ............................................................................................................................................


26

8.6. Menerapkan Konsep Fungsi Trigonometri 8.6. Apply the Concept of Trigonometric Function Indikator Tujuan

a.

: 1. Fungsi trigonometri dideskripsikan sesuai dengan ketentuan 2. Fungsi trigonometri digambar grafiknya : Siswa dapat : 1. Menggambar grafik fungsi trigonometri 2. Menentukan persamaan fungsi trigonometri jika diketahui grafik atau unsur-unsur lainnya 3. Menyelesaikan masalah program keahlian yang berkaitan dengan fungsi trigonometri

Grafik y = sin x (0o ≤ x ≤ 360o) Dengan me nggunakan tabel : x 0o 30o 45o y

0

x

180o

y

0

1 2 210o

1 2 2 225o

60o

90o

120o

135o

150o

180o

1 3 2 240o

1

1 3 2 300o

1 2 2 315o

1 2 330o

0

270o

360o

-1 0 1 1 1 1 1 1 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 Untuk membuat grafik fungsi trigonometri, buat salib sumbu x dan y, dengan sumbu x sebagai tempat sudut. Jarak 0o – 360 o = keliling lingkaran = 2πr. -

y 90o

60 o

45o 30 o 210 o 225o 240 o 270 o 300 o 315 o 330 o 360o

0o

b.

0 o 30 o 45 o 60o 90o 120o 135 o 150 o 180 o

Grafik y = cos x (0o ≤ x ≤ 360o) Dengan menggunakan tabel : x 0o 30o 45o y

1 o

x

180

y

-1

1 3 2 210o

-1 3 2

-

x

60o

90o

120o

1 2 2 225o

1 2 240o

0

1 2 300o

1 2

-

2

1 2

-

o

270 0

1 2

-

135o

150o

180o

1 2 2 315o

-1 3

-1

330o

360o

1 3 2

1

1 2

2

2


27

Untuk membuat grafik fungsi trigonometri, buat salib sumbu x dan y, dengan sumbu x sebagai tempat sudut. Jarak 0o – 360 o = keliling lingkaran = 2πr. y 90o

60 o

45o 30 o 0o

c.

o o o o o o o 120o 135 150 180 210 225 240 270

0 o 30 o 45 o 60o 90o

o o o 300 o 315 330 360

x

Grafik y = tg x (0o ≤ x ≤ 360o) ∞

y

3 1

120 o 135 o 150 o 180 o 0o

30 o 45 o 60 o 90 o

300 o 315 o 330 o 360 o

1 3

3

x

210 o 225o 240 o 270 o –

1 3

3

–1 –

3

Soal latihan : 1. Tentukan nilai x yang memenuhi unuk 0o ≤ x ≤ 360o 1 a. y = sin x 2 b. y = 2 cos (3x + 30o) c. y = 3 sin (4x – 20o) 5 d. y = 2 sin ( x + 45o ) 4 2 e. y = 3 cos ( x – 15o) 3 Jawab : ………………………………………………………………………………………… 2. Gambarlah grafik fungsi trigonometri berikut ini a. y = 3 sin 2x b. y = 2 cos 2x c. y = –2 cos 3x d. y = 2 cos (3x + 60o) e. y = sin (2x – 30o) Jawab : …………………………………………………………………………………………


28

EVALUASI 3 A.

Pilihlah jawaban yang benar. 3x − 2

1.

2. 3.

1 (32) x − 1 Himpunan penyelesaian persamaan :   untuk x ∈ R adalah …. = 8  2 4 6 12 13 a. 0 b. c. d. e. 11 11 11 11 Bukan bilangan asli n yang memenuhi : 2n + 3 = n + 4 64 adalah …. a. 6 dan 1 b. 1 c. –6 dan –1 d. –1 e. 0 Nilai x yang memenuhi persamaan : xlog (2x – 2) = 1 adalah …. a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5 2x − 3

4.

5.

1 Nilai x yang memenuhi   = 8 3x +1 adalah ….  16  9 8 8 9 a. − b. − c. d. e. 1 17 17 17 17 Jika 2x + y = 8 dan log (x + y) = 3/2 log 2 . 8log 36, maka x2 + 3y adalah …. a. 28 b. 22 c. 20 d. 16 e. 12 2

6.

7.

1 Himpunan Penyelesaian dari :   3 2x + 1 = 27 adalah …. 3 1 5 9 a. − b. − c. 2 d. 3 e. 4 4 2 Akar-akar persamaan 3 log (2x2 – 17x + 33) = 1 adalah x1 dan x2. Nilai 2x1 . x2 = …. a. 16 b. 20 c. 30 d. 32 e. 36 3x − 4

8.

9. 10.

B. 1.

2.

3.

1 Himpunan penyelesaian persamaan :   3 5 5 1 a. − b. − c. 3 6 3 Nilai maksimum dari fungsi y = –3 sin (x – a. –3 b. –1 c. 0 Periode dari fungsi y = cos 2x adalah …. a. 720o b. 360o c. 180o

= 27 x + 2 untuk x ∈ R adalah ….

2 3 30o) adalah …. d. 1

d.

d. 90o

e.

5 3

e. 3 e. 45o

Jawablah peranyaan di bawah ini. Tentukan nilai x yang memenuhi dari : 1 2 a. 5 4 x − 2 = x− 1 b. 8x = 2 6x 25 Jawab : ……………………………………………………………………………………………. Tentukan nilai x yang memenuhi dari : a. 5log (x2 + x – 5) = 3 log (x2 + x – 5) b. 2log (x2 + 4x – 1) = 2 Jawab : ……………………………………………………………………………………………. Tentukan nilai maksimum dan periode dari fungsi y = 2 sin 3x Jawab : ……………………………………………………………………………………………. Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. 2 Sm. 3

29

ULANGAN HARIAN 1 A. 1.

2.

3. 4. 5. 6.

7.

Pilihlah jawaban yang paling benar ! Fungsi f (x) : 2x – 1 mempunyai domain {1, 2, 3, 4, 5}. Daerah hasil dari fungsi tersebut adalah …. a. {1, 3, 5, 7, 9} c. {1, 2, 3, 5, 7} e. {3, 5, 7, 9, 11} b. {0, 1, 2, 4, 6} d. {0, 2, 4, 6, 8} Suatu fungsi dirumuskan dengan f (x) = 3x + 2. Jika D = {-1 ≤ x ≤ 2, x ∈ B} maka himpunan penyelesaian dari R nya adalah …. a. {-2, -1, 1, 2} c. {-1, 2, 5, 8} e. {1, 3, 5, 9} b. {-2, 1, 3, 5} d. {1, 2, 5, 8} Gradien garis lurus yang melalui titik (3, 4) dan (2, 7) adalah …. a. -3 b. -2 c. 1 d. 2 e. 3 Persamaan garis yang melalui titik (2, 1) dan gradien m = 5 adalah …. a. y = 5x – 11 b. y = 5x – 9 c. y = 5x – 1 d. y = 5x + 9 e. y = 5x + 11 Persamaan garis yang melalui titik (2, -2) dan sejajar dengan garis 2x + y = 3 adalah …. a. y = -2x + 2 b. y = -2x – 2 c. y = 2x + 2 d. y = 2x – 2 e. y = 2x – 6 Persamaan garis yang melalui titik (3, 2) dan titik (1, 3) adalah …. 1 3 1 1 a. y = x – c. y = x + e. x + 2y – 7 = 0 2 2 2 2 1 1 b. y = x – d. x + 2y + 7 = 0 2 2 Grafik di bawah ini merupakan grafik fungsi y = 2x + 1 adalah …. a. y c. y e. y 1

2

2 b.

1

x

1

y

d.

x

-½

x

y

2 1 2 8. 9. 10. 11.

x

-2

x

Persamaan garis yang melalui titik (-1, 3) dan tegak lurus garis y = 3x + 4 adalah …. a. x – 3y + 10 = 0 c. x + 3y – 10 = 0 e. y = 3x + 10 b. x + 3y + 10 = 0 d. y = 3x – 10 Persamaan garis yang melalui titik (2, -1) dan (3, 2) mempunyai gradien …. a. m = -1 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4 Persamaan parabola y = x2 + x – 6 memotong sumbu x di titik …. a. (2, 0) dan (3, 0) c. (-2, 0) dan (3, 0) e. (2, 0) dan (-3, 0) b. (-2, 0) dan (-3, 0) d. (2, 3) dan (0, 0) Persamaan parabola y = x2 – 5x + 4 mempunyai sumbu simetri di titik …. 1 a. 5 b. 4 c. 2 d. 1 e. -5 2


30

12. 13.

Titik balik dari kurva y = -x2 + 4x – 3 adalah …. a. (2, 1) b. (-2, 1) c. (2, -1) d. (4, -3) Persamaan parabola y = 9 – x2 gambar grafiknya adalah …. a. y c. y

-3

0 b.

9

d.

9

x

y

9

0 x

y

x -3

14.

3

e.

x

y

0

0

e. (-4, 3)

0

3

x

Persamaan kuadrat yang grafiknya seperti gambar di bawah adalah …. a. y = x2 – 3x + 4 y b. y = x2 – 3x – 4 c. y = x2 + 3x + 4 d. y = x2 + 3x – 4 -1 0 4 x 2 e. y = -x + 3x + 4 -4

15.

Persamaan kuadrat yang grafiknya memotong sumbu x di titik (1, 0) dan (5, 0), adalah …. a. y = x2 + 6x + 5 c. y = x2 – 6x + 5 e. y = x2 – 6x – 5 2 2 b. y = -x + 6x + 5 d. y = -x – 6x – 5

B. 1.

Jawablah pertanyaan soal di bawah ini dengan benar ! Tentukan persamaan garis yang melalui titik (4, 3) dan (2, -1) Jawab : ……………………………………………………………………………………………. Tentukan persamaan garis yang emlalui titik (2, 5) dan sejajar garis y = 3x + 7 Jawab : ……………………………………………………………………………………………. Tentukan persamaan garis yang melalui titik ( -3, 4) dan tegak lurus garis 6x – 2y = 8 Jawab : …………………………………………………………………………………………….

2.

3.


31

KOMPETENSI 9

BARISAN DAN DERET ROWS AND SERIES Standar Kompetensi Kompetensi Dasar Alokasi Waktu Dilaksanakan pada

: 9. Mengaplikasikan konsep barisan dan deret : 9.1. Mengidentifikasi pola, barisan dan deret bilangan 9.2. Menerapkan konsep barisan dan deret aritmatika 9.3. Menerapkan konsep barisan dan deret geometri : 24 jam pelajaran : Minggu ke 6 s.d. 9

Tujuan Pembelajaran Umum : Siswa dapat menerapkan konsep dasar notasi sigma, induksi matema tika serta barisan dan deret pada penyelesaian permasalahan baik dalam pelajaran di sekolah maupun dalam kehidupan sehari-hari.

9.1. Mengidentifikasi pola, barisan dan deret bilangan 9.1. Identify patterns, lines and series numbers Indikator

: 1. Pola bilangan, barisan, dan deret diidentifikasi berdasarkan ciri-cirinya 2. Notasi Sigma digunakan untuk menyederhanakan suatu deret : Siswa dapat : 1. Menunjukkan pola bilangan dari suatu barisan dan deret 2. Membedakan pola bilangan, barisan, dan deret 3. Menuliskan suatu deret dengan Notasi Sigma :

Tujuan

Uraian Materi

1. 1.

Menyatakan bentuk penjumlahan dengan notasi sigma Expressing quantifying form with notations of sigma

Dalam penulisan barisan bilangan sering dijumpai bentuk penjumlahan sebagai berikut ; 2 + 6 + 10 + 14 + 18 + … + 50 Penulisan tersebut kurang praktis dan tidak efisien. Bentuk penjumlahan dapat dinyatakan dengan tanda "? " (sigma) n

Misal : a1 + a2 + a3 + a 4 + … + an, ditulis n

Jika ditulis :

∑ ai dibaca sigma ai, i dari 1 sampai n.

i =1

∑a k

k =m

k = penunjuk yang berjalan dari m sampai n ; m = batas bawah ; n = batas atas.


32

Contoh : 1. Nyata kan dalam bentuk penjumlahan ! 6

a.

∑ 2k

k =1

Jawab : 6

∑ 2k

= (2 . 1) + (2 . 2) + (2 . 3) + (2 . 4) + (2 . 5) + (2 . 6)

k =1

= 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = 42

5

b.

∑ (m + 1)

m =2

Jawab : 5

∑ (m + 1)

= (2 + 1) + (3 + 1) + (4 + 1) + (5 + 1)

m =2

=3+4+5+6 = 18 4

c.

∑ (2 + i) 2

i =1

Jawab : 4

∑ (2 + i) 2

= (2 + 1)2 + (2 + 2) 2 + (2 + 3) 2 + (2 + 4) 2

i =1

= 9 + 16 + 25 + 36 = 86 2. a.

Nyatakan dengan notas i sigma 1 + 4 + 7 + 10 + 13. Jawab : Beda = 4 – 1 = 3 ; 1 + 4 + 7 + 10 + 13 = (3.0 + 1) + (3.1 + 1) + (3.2 + 1) + (3.3 + 1) + (3.4 + 1) 4

maka notasi sigmanya :

∑ (3i + 1)

i=0

b.

1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36. Jawab : Dari barisan bilangan dapat dilihat bentuknya adalah pangkat 2, angka pertama 1 dan angka terakhir 6. 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 6

=

∑m

2

m =1


33

c.

1 1 1 1 1 + + + + 2 4 6 8 10 Jawab : Bentuknya pecahan dengan penyebut bedanya 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + = + + + + 2 4 6 8 10 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 5 1 = ∑ n = 1 2n

2. 2.

Sifat-sifat notasi sigma Nature sigma notation

1.

∑a

n

= a1 + a2 + a3 + … + an

k

k =1 n

2.

∑ca

=c

k

k =m

∑ (a

k=m

n

∑a k =

k =m n

5.

n

∑a

+ bk ) =

k

k =m

4.

k

k =m

n

3.

n

∑a

n+ p

∑ (a

k

n

k

+

∑b

k

k =m

− p)

k =m + p

∑ c = (n – m + 1) c

k =m

Contoh : 1.

Buktikan :

4

4

4

k =1

k =1

k =1

∑ (3k + 2k) = ∑ 3k + ∑ 2k

Jawab : 4

∑ (3k + 2k)

= (3 . 1 + 2 . 1) + (3 . 2 + 2 . 2) + (3 . 3 + 2 . 3) + (3 . 4 + 2 . 4)

k =1

= 5 + 10 + 15 + 20 = 50 4

∑ 3k

= 3 . 1 + 3 . 2 + 3 . 3 + 3 . 4 = 3 + 6 + 9 + 12 = 30

k =1

4

∑ 2k = 2 . 1 + 2 . 2 + 2 . 3 + 2 . 4 = 2 + 4 + 6 + 8 = 20 k =1 4

∑ 3k + k =1

4

∑ 2k

= 30 + 20 = 50 (terbukti)

k =1


34

2.

Buktikan :

7

4

4

k =4

k =1

k =1

∑ k2 = ∑ k2 + 6 ∑ k + 36

Bukti : 7

Ruas kiri :

∑k

2

=

k =4

7 -3

∑ (k + 3)

2

k = 4 -3

4

=

∑ (k2 + 6k + 9) = k =1 4

=

∑k

2

2

k =4

4

k =1

k =1

k =1

+ 6 ∑ k + 4 .9 k =1

4

∑k = ∑k

4

∑ k 2 + 6 ∑ k + ∑9

4

k =1 7

4

4

2

k =1

+ 6 ∑ k + 36 (terbukti) k =1

Soal latihan : 1. Nyatakan dalam bentuk penjumlahan 5

a.

4

∑ 5k

b.

k=2

2.

n =1

6

c.

∑ (m

2

− 1)

m =1

Jawab : ………………………………………………………………………………………… Nyataka n dalam bentuk notasi sigma a. 3 + 8 + 13 + 18 + 23 + 28 b. 1/3 + 2/5 + 3/7 + 4/9 + 5/11 + 6/12 Jawab : ………………………………………………………………………………………… 10

3.

∑ (3n + 2)

Buktikan :

6

∑k = ∑k 2

k =5

k =1

6

2

+ 8 ∑ k + 96 k =1

Jawab : …………………………………………………………………………………………


35

9.2. 9.2.

Menerapkan Konsep Barisan dan Deret Aritmatika Apply the Concept of Rows and Series Arithmetic

Indikator

Tujuan

Uraian Materi 1. 1.

: 1. Nilai suku ke-n suatu barisan aritmatika ditentukan menggunakan rumus 2. Jumlah n suku suatu deret aritmatika ditentukan dengan menggunakan rumus : Siswa dapat : 1. Menjelaskan barisan dan deret aritmatika 2. Menentukan suku ke n suatu barisan aritmatika 3. Menentukan jumlah n suku suatu deret aritmatika 4. Menyelesaikan masalah program keahlian yang berkaitan dengan deret aritmatika :

Barisan Aritmetika Arithmetic Rows

Barisan Aritmetika adalah suatu barisan bilangan dengan beda antara dua suku yang berurutan tetap. Bentuk umum barisan aritmetika : U1, U2 , U 3, U4 , … Un atau : a, (a + b), (a + 2b), (a + 3b), …, {a + (n – 1) b} Rumus Suku ke n : Un = a + (n – 1) . b dimana: a = U 1 = suku pertama b = beda = U2 – U 1 atau U 3 – U2 atau U4 – U3 atau … U n – U n - 1 Un = suku ke-n n = banyaknya suku Contoh : 1. Dari barisan aritmetika : 3, 7, 11, 15, 19, 23, … 55. Tentukan : a. beda (b) b. U25 c. n Penyelesaian : a. b = U 2 – U1 = 7 – 3 = 4 b. Un = a + (n – 1) b U25 = 3 + (25 – 1) . 4 = 3 + 96 = 99 c. Un = a + (n – 1) b 55 = 3 + (n – 1) . 4 55 = 3 + 4n – 4 4n = 55 + 4 – 3 56 n= = 14 4 2.

Dari barisan aritmetika suku ke -6 adalah 35, suku ke 11 adalah 50 Tentukan : a. beda b. a c. U19 Penyelesaian : U −U 6 50 − 35 a. b = 11 = =3 11 − 6 5 Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. 2 Sm. 3

36

b. U6 = a + 5 b ?

a = U6 – 5 b = 35 – 5 . 3 a = 35 – 15 = 20 c. U19 = a + (19 – 1) b = 20 + 18 . 3 = 20 + 54 = 74 atau bisa juga tidak dihitung dari a tetapi dari suku yang terdekat dengan suku ke -19. c. U19 = U 11 + (19 – 11) . b = 50 + 8 . 3 = 50 + 24 = 74 3.

Dari barisan aritmetika, suku adalah 50. Tentukan : a. b Penyelesaian : a. U9 = 35 ? U3 + U10 = 5 ? a + 8b = 35 . 2 ? 2a + 11b = 50 . 1 ?

ke-9 adalah 35 dan jumlah suku ke -3 dan suku ke-10 b. a

c. U36

a + 8b = 35 a + 2b + a + 9b = 50 2a + 16b = 70 2a + 11b = 50 5b = 20 b=4

?

2a + 11b = 50

a = 35 – 8 . 4 = 35 – 32 a=3 b. U36 = a + (36 – 1) . b = 3 + 35 . 4 = 3 + 140 = 143 3.

Dari barisan aritmetika : 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, … Tentukan : a. rumus suku ke-n b. U 45 Penyelesaian : a. b = 7 – 4 = 3 Un = a + (n – 1) b = 4 + (n – 1) . 3 Un = 4 + 3n – 3 Un = 3n + 1 b. U45 = a + (45 – 1) . b = 4 + 44 . 3 = 4 + 132 = 136

Soal latihan : 1. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan aritmetika berikut : a. 5, 7, 9, 11, 13, 15, … b. 26, 23, 20, 17, 14, … c. -5, -1, 3, 7, 11, … Jawab : ………………………………………………………………………………………… 2. Dari barisan aritmetika : 1, 6, 11, 16, 21, … , 76 Tentukan : a. b b. n c. U60 Jawab : ………………………………………………………………………………………… 3. Dari barisan aritmetika, suku ke-7 adalah 15 dan suku ke-16 adalah 51. Tentukan : a. b b. U 1 c. U40 Jawab : …………………………………………………………………………………………


37

2. 2.

Deret Aritmetika Arithmetic Series

Deret Aritmetika adalah jumlah suku-suku barisan aritmetika. Bentuk umum Deret Aritmetika : U1 + U2 + U3 + U4 + … +Un = Sn Jumlah n suku pertama :

n ( a + Un ) atau 2 n Sn = . { 2a + ( n - 1 ) . b } 2

Sn =

Contoh : 1. Tentukan jumlah dari deret aritmetika : 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + … + 72. Jawab : a = 3 ; b = 6 – 3 = 3 ; Un = 72 ? n dicari dulu Un = a + (n – 1) . b 72 = 3 + (n – 1) . 3 72 = 3 + 3n – 3 3n = 72 ? n = 24 n n Sn = ( a + Un) atau : Sn = {2a + (n – 1) . b} 2 2 24 24 S 24 = (3 + 72) S24 = {2 . 3 + (24 – 1) . 3} 2 2 = 12 . 75 = 12 (6 + 69) = 12 . 75 S 25 = 900 S25 = 900 2.

Deret aritmetika suku ke-6 = 18 dan suku ke-15 = 54. Tentukan jumlah 25 suku pertama Jawab : U 6 = 18 ; U 15 = 54 ; n = 25 ? b dan a dicari dulu. U − U6 54 − 18 36 b = 15 = = =4 15 − 6 9 9 a = U6 – 5 . b = 18 – 5 . 4 = 18 – 20 = -2 n Sn = {2a + (n – 1) . b} 2 25 S 25 = { 2 . (-2) + (25 – 1) . 4} 2 25 25 = (-4 + 96) = . 92 2 2 S 25 = 1150

3.

Tentukan jumlah seluruh angka yang terdiri dari dua angka dan habis dibagi dengan 3 Jawab : DA : 12 + 15 + 18 + 21 + 24 + 27 + 30 + 33 + 36 + 39 + 42 + 45 + 48 + 51 + 54 + 57 + 60 + 63 + 66 + 69 + 72 + 75 + 78 + 81 + 84 + 87 + 90 + 93 + 96 + 99 banyaknya angka yang habis dibagi 3 ada 30 angka a = 12 ; b = 3 ; n = 30 ; Un = 99


38

n ( a + Un) 2 30 S 30 = (12 + 99) 2 = 15 . 121 = 1815 Sn =

4.

Seutas tali dipotong menjadi 6 bagian. Potongan terpendek 28 cm dan potongan terpanjang 148 cm seperti halnya deret aritmetika. Tentukan panjang tali sebelum dipotong-potong. Jawab : a = 28 ; U6 = 148 ; n = 6 n Sn = ( a + Un) 2 6 S6 = (28 + 148) 2 = 3 . 176 = 528 cm

5.

Diketahui deret aritmetika, rumus jumlah n suku pertama adalah Sn = n2 + 2n. Tentukan nilai dari suku ke 10. Penyelesaian : S 10 = S9 + U10 S 10 = 102 + 2 . 10 = 100 + 20 = 120 S 9 = 9 2 + 2 . 9 = 81 + 18 = 99 U 10 = S10 – S9 = 120 – 99 = 21

6.

Diketahui deret aritmetika, jumlah 8 suku pertama adalah 116 dan jumlah 4 suku pertama adalah 34. Tentukan : a. beda b. suku pertama c. suku ke-12 Penyelesaian : n Sn = {2a + (n – 1) b} 2 4 S 4 = {2a + (4 – 1) b} 2 34 = 2 (2a + 3b) → 4a + 6b = 34 … (1) 8 S 8 = {2a + (8 – 1) b} 2 116 = 4 (2a + 7b) → 8a + 28b = 116 … (2) Eliminasikan persamaan 2 dan 1 8a + 28b = 116 . 1 → 8a + 28b = 116 4a + 6 . 3 = 34 4a + 6b = 34 . 2 → 8a + 12b = 68 – 4a = 34 – 18 16b = 48 4a = 16 b=3 a=4 Un = a + (n – 1) b U 12 = 4 + (12 – 1) . 3 = 4 + 33 = 37 Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. 2 Sm. 3

39

Soal Latihan : 1. Diketahui barisan aritmetika suku ke-3 = 14 dan suku ke -8 = 29. Tentukan : a. suku ke -15 b. jumlah 15 suku pertama Jawab : ………………………………………………………………………………………… 2. Diketahui barisan aritmetika, a = 4, U12 = 48. Tentukan : a. beda b. jumlah 12 suku pertama Jawab : ………………………………………………………………………………………… 3. Amir pada bulan pertama menabung sebesar Rp150.000,-. Pada bulan berikutnya Amir selalu menambah tabungannya sebesar Rp25.000,- dari bulan sebelumnya. Setelah tiga tahun menabung, berapa banyaknya uang Amir ditabungan. Jawab : ………………………………………………………………………………………….

EVALUASI 4 A.

Pilihlah jawaban yang paling benar !

1.

Nilai dari

8

∑ k (k

k=4

2.

2

− 1) = ….

a. 930 b. 980 c. 1020 d. 1230 e. 1320 Nyatakan dengan notasi sigma : 4 + 9 + 14 + 19 + 24 + 29 + 34 + 39 + 44 = …. 7

a. b. 3. 4.

5. 6.

7. 8. 9.

10.

7

∑ ( 4n + 1)

c.

∑ (5n − 1)

d.

n =0 7 n=0

∑ (5n − 1)

n =1 9

6

e.

∑ (4n + 1)

n =1

∑ (5n − 1)

n =1

Empat buah suku pertama dari barisan bilangan dengan rumus : Un = n2 + n adalah …. a. 2, 4, 8, 12 b. 2, 5, 7, 13 c. 2, 6, 10, 14 d. 2, 6, 12, 20 e. 2, 8, 16, 32 Rumus suku ke-n dari barisan aritmetika : 5, 8, 11, 14, 17, ... adalah …. a. Un = 8n – 3 c. Un = 3n + 5 e. Un = 2n + 3 b. Un = 5n + 3 d. Un = 3n + 2 Diketahui barisan aritmetika : 3, 5, 7, 9, … . Suku ke-20 adalah …. a. 38 b. 41 c. 44 d. 47 e. 50 Diketahui deret aritmetika, suku ke-5 = 3 dan suku ke-9 = 19. Suku pertamanya adalah …. a. 1 b. -3 c. -9 d. -13 e. -19 Jumlah semua bilangan asli antara 10 sampai 100 yang habis dibagi 4 adalah …. a. 100 b. 1000 c. 1188 d. 1278 e. 1288 Jumlah 10 suku pertama dari deret aritmetika dengan rumus Un = 2n + 5 adalah …. a. 180 b. 170 c. 160 d. 150 e. 15 Diketahui deret aritmetika, suku ke-3 = 8 dan suku ke-9 = 26. Jumlah 12 suku pertama adalah …. a. 225 b. 222 c. 201 d. 62 e. 35 Jumlah dari deret : 5 + 10 + 15 + 20 + … + 95 = …. a. 950 b. 945 c. 940 d. 925 e. 900


40

B.

Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar !

1.

Tentukan nilai dari :

8

2.

3.

4.

5.

∑ (2n 2 + 3n) n =1

Jawab : ………………………………………………………………………………………… Tentukan rumus barisan bilangan dari : 3, 12, 27, 48, …. Jawab : ………………………………………………………………………………………… Diketahui barisan aritmetika, suku ke -4 = 6 dan suku ke-10 = 36. Tentukan nilai dari suku ke-15. Jawab : ………………………………………………………………………………………… Tentukan jumlah semua bilangan asli yang terdiri dari dua angka yang habis dibagi dengan 6. Jawab : ………………………………………………………………………………………… 5 Diketahui deret aritmetika. Jika rumus jumlah n suku perama Sn = n2 + n, hitung nilai 2 dari suku ke-12. Jawab : …………………………………………………………………………………………


41

9.3. 9.3.

Menerapkan Konsep Barisan dan Deret Geometri Apply Concept Rows and Series Geometric

Indikator

Tujuan

Uraian Materi

1. 1.

: 1. Nilai suku ke-n suatu barisan geometri ditentukan menggunakan rumus 2. Jumlah n suku suatu deret geometri ditentukan dengan menggunakan rumus 3. Jumlah suku tak hingga suatu deret geometri ditentukan dengan menggunakan rumus : Siswa dapat : 1. Menjelaskan barisan dan deret geometri 2. Menentukan suku ke-n suatu barisan geometri 3. Menentukan jumlah n suku suatu deret geometri 4. Menjelaskan deret geometri tak hingga 5. Menyelesaikan masalah program keahlian yang berkaitan dengan deret geometri :

Barisan Geometri Geometric Rows

Barisan geometri adalah barisan bilangan yang rasio antara dua bilangan yang berurutan tetap. Barisan Geometri : U1 , U2 , U3, U4, … U n Suku ke n : Un = a . r

n– 1

Dimana : U1 = a = suku pertama Un = suku yang ke -n U2 U3 U4 U r = rasio = = = = ... = n U1 U 2 U 3 Un -1 Un r= Un −1 Contoh : 1. Diketahui barisan geometri : 4, 8, 16, … . Tentukan : a. rasio (r) b. U6 Jawab : a. U1 = 4 dan U 2 = 8 U 8 r= 2 = =2 U1 4 b. U6 = a . r 6 – 1 = 4 . 25 = 4 . 32 = 128


42

2.

Diketahui barisan geometri, suku ke-3 = 6 dan suku ke-5 = 54. Tentukan : a. rasio b. suku pertama c. suku ke-8 Jawab : U a. r5 – 3 = 5 U3 54 =9 → r = 3 6 b. U3 = a . r 3 – 1 U 6 6 a= 3 = = 2 2 9 r 3 2 a= 3

r2 =

c. U8 = U5 . r8 – 5 U8 = 54 . 33 = 54 . 27 = 1458 3.

Diketahui rumus barisan geometri : Un = 2 . (3)n. Tentukan barisan bilangannya. Jawab : Un = 2 . (3)n U 1 = 2 . (3) = 6 U 2 = 2 . (3)2 = 2 . 9 = 18 U 3 = 2 . (3)3 = 2 . 27 = 54 U 4 = 2 . (3)4 = 2 . 81 = 162 …. Maka barisan bilangannya adalah : 6, 18, 54, 162, …

Soal latihan : 1. Tentukan rasio, dan suku ke-8 dari barisan geometri : 4, 8, 16, 32, … Jawab : ………………………………………………………………………………………… 2. Diketahui barisan geometri : 1, 4, 16, 64, 256, … . Tentukan rumus ke-n dan suku ke-8. Jawab : ………………………………………………………………………………………… 3. Diketahui barisan geometri, suku ke -4 = 4 dan suku ke-8 = 64. Tentukan rasio dan suku pertamanya. Jawab : …………………………………………………………………………………………


43

2. 2.

Deret Geometri Geometric Series

Deret geometri adalah jumlah suku-suku dari barisan geometri. Bentuk dari Deret Geometri : U1 + U 2 + U 3 + U4 + … +Un = Sn Jumlah n suku pertama :

a . ( rn - 1 ) r -1 a . ( 1 - rn ) Sn = 1- r

Sn =

r ≠ 1 dan r > 1 r ≠ 1 dan r < 1

Contoh : 1. Diketahui deret geometri : 2 + 10 + 50 + … . Tentukan : a. rasio b. suku ke -6 c. Jumlah 6 suku pertama Jawab : U 10 a. r = 2 = =5 U1 2 b. U6 = a . r 6 – 1 = 2 . 55 = 2 . 3125 = 6250 a . (r 6 − 1) 2 . (56 − 1) = ( r − 1) (5 − 1) 2 . (15625 − 1) 31248 = = 4 4 = 7812

c. S6 =

2.

Hitung jumlah deret geometri : 3 + 6 + 12 + … + 192. Jawab : 6 rasio r = =2 ;a=3 3 Un = 192 → Un = a . rn – 1 n–1 3 . 2 = 192 2n – 1 = 64 2n – 1 = 2 6 n–1=6 →n=7 atau dengan membuat barisan geometri secara utuh : 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 + 192 n=7 a (r 7 − 1) 3 (27 − 1) = (r − 1) (2 − 1) 3 (128 − 1) = = 3 . 127 1 = 381

S7 =


44

3. 3.

Deret Geometri tak terhingga Infinite Geometric Series

Deret geometri : a + a . r + a . r2 + a . r3 + … + a . rn – 1 disebut deret geometri tak terhingga jika r < 1 atau {-1 < r < 1}, r ≠ 0. Jumlah deret geometri sampai suku tak terhinga :

S∞ =

a 1−r

Contoh : 1.

Jumlah deret tak terhingga dari : 2 + 1 +

1 1 1 + + + … = …. 2 4 8

Jawab : rasio r =

1 2

a 2 2 = = 1 1 1− r 1− 2 2 =4

S∞ =

2.

Tentukan jumlah deret tak terhingga dari : 6 + 2 +

2 2 + +… 3 9

Jawab : rasio r =

2 1 = 6 3

6 6 a = = 1 2 1− r 1− 3 3 18 = 2 =9

S∞ =

3.

Bola dijatuhkan dari ketinggian 4 meter ke lantai. Setelah jatuh ke lantai bola emmantul 2 kembali ke atas dengan ketinggian dari ketinggian sebelumnya. Tentukan panjang 3 lintasan bola sampai bola tersebut berhenti. Jawab : Setelah bola dijatuhkan ke lantai dan memantul kembali ke atas, maka masing-masing ketinggian mempunyai dua lintasan, sehingga panjang lintasan bola sampai berhenti rumusnya harus dikalikan dengan 2 dan dikurangi ketinggian pertama (karena ketinggian pertama hanya ada satu lintasan). a S∞ = 2 . –a 1− r 4 =2. –4 2 1− 3 Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. 2 Sm. 3

45

4 –4 1 3 = 2 . 12 – 4 = 24 – 4 = 20 meter =2.

Soal Latihan : 1. Tentukan jumlah dari deret geometri : 5 + 10 + 20 + … + 320. Jawab : ………………………………………………………………………………………… 2. Diketahui deret geometri, suku ke-2 = 4 dan suku ke-4 = 64. tentukan jumlah 6 suku pertama. Jawab : ………………………………………………………………………………………… 3. Seutas tali dipotong menjadi 5 bagian. Bagian yang terpendek panjangnya 6 cm dan bagian yang terpanjang panjangnya 192 seperti halnya deret geometri. Tentukan panjang tali sebelum dipotong-potong. Jawab : ………………………………………………………………………………………… 1 1 4. Tentukan jumlah deret tak terhingga : 3 + 1 + + +… 3 9 Jawab : ………………………………………………………………………………………… 5. Suku pertama dari deret geometri tak terhingga adalah 8. Jika jumlah tak terhingganya 32, tentukan rasionya. Jawab : ………………………………………………………………………………………… EVALUASI 5 A. 1.

2. 3.

4.

Pilihlah jawaban yang paling benar ! Rasio untuk deret geometri : 2 + 8 + 32 + 128 + … adalah …. 1 1 a. b. c. 2 d. 4 e. 8 4 2 Suku ke-12 dari barisan : 25, 50, 100, … adalah …. a. 52400 b. 51200 c. 50200 d. 48000 e. 20480 Rumus suku ke-n barisan geometri : 4, 12, 36, 108, … adalah …. a. Un = 4.(3) n + 1 c. Un = 4.(3) n – 1 e. Un = 4.(2) n – 1 n n b. Un = 4.(3) d. Un = 4.(2) 1 Suku pertama dari barisan geometri 27 dan suku ke -5 = , maka suku ke -8 adalah …. 3 1 1 1 1 1 a. b. c. d. e. 9 18 27 45 81


46

5.

Jumlah deret geometri : 64 + 32 + 16 + … +

1 adalah …. 4

3 1 3 1 1 b. 126 c. 120 d. 119 e. 112 4 4 4 4 4 Diketahui deret geometri : 2 + 22 + 23 + 24 + … + 2n = 510. Nilai n pada deret tersebut adalah …. a. 10 b. 9 c. 8 d. 7 e. 6 1 1 Jumlah deret tak terhingga : 1 + + + … adalah …. 4 16 8 6 4 2 a. 4 b. c. d. e. 3 3 3 3 2 Jumlah deret tak terhingga yang suku pertamanya 9 dan rasionya adalah …. 3 1 a. 36 b. 27 c. 18 d. 13 e. 12 2 Diketahui barisan geometri, suku ke-3 = 24 dan suku ke-6 = 192. Rasio dari barisan tersebut adalah …. a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6 Lampu hias taman berbentuk lingkaran yang terdiri dari 6 lingkaran. Pada lingkaran paling dalam jumlah lampunya 3 dan pada lingkaran paling luar jumlah lampunya 96 seperti halnya deret geometri. Jumlah seluruh lampu hias tersebut adalah …. a. 150 b. 159 c. 163 d. 175 e. 183

a. 127 6.

7.

8.

9. 10.

B. 1.

2.

3.

4.

5.

Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar Diketahui barisan geometri, Un = 12 dan Un + 3 = 96. Tentukan nilai dari U n + 1 Jawab : ………………………………………………………………………………………… Hitung jumlah deret geometri : 1 + 4 + 16 + … + 1024. Jawab : ………………………………………………………………………………………… Diketahui deret geometri, suku ke -5 = 15 dan suku ke -7 = 135. Tentukan rasionya. Jawab : ………………………………………………………………………………………… 1 1 Hitung jumlah deret tak terhingga : 2 + + +… 2 8 Jawab : ………………………………………………………………………………………… Bola dijatuhkan dari ketinggian 6 meter. Setiap menyentuh tanah memantul kembali 3 dengan ketinggian dari ketinggian sebelumnya. Berapa panjang lintasan bola sampai 4 bola tersebut berhenti. Jawab : …………………………………………………………………………………………


47

ULANGAN HARIAN 2 A. 1. 2.

3. 4.

5. 6.

7.

8. 9.

10.

11.

12. 13.

14.

15.

Pilihlah jawaban yang paling benar ! Suku ke-15 dari barisan aritmetika : 3, 5, 7, 9, … adalah …. a. 27 b. 29 c. 31 d. 33 e. 35 Diketahui deret aritmetika, suku pertama sama dengan 4 dan bedanya 2. Jika jumlah n suku pertama 180, maka banyaknya suku n adalah …. a. 6 b. 9 c. 12 d. 15 e. 18 Diketahui barisan aritmetika, U 2 = 5, U 4 + U6 = 28. Nilai suku ke-9 adalah …. a. 28 b. 27 c. 26 d. 25 e. 24 Amir pada bulan pertama menabung uangnya di bank sebesar Rp50.000,-. Jika tiap bulan uang yang ditabung Amir ditambah Rp10.000,- dari bulan sebelumnya, maka uang yang ditabung Amir pada bulan ke-12 adalah …. a. Rp180.000,c. Rp150.000,e. Rp120.000,b. Rp160.000,d. Rp130.000,Jumlah seluruh bilangan dari 1 sampai 100 yang habis dibagi 4 adalah …. a. 1.264 b. 1.272 c. 1.280 d. 1.296 e. 1.300 Diketahui rumus suku ke -n dari deret aritmetika adalah Un = 2 + 3n. Jumlah 10 suku pertama adalah …. a. 170 b. 175 c. 180 d. 185 e. 190 Seutas kabel dipotong menjadi 8 bagian. Bagian yang terpendek 10 cm dan bagian yang terpanjang 105 cm seperti halnya deret aritmetika. Panjang kabel sebelum dipotongpotong adalah …. a. 3 m b. 3,6 m c. 4,6 m d. 5,2 m e. 5,6 m Diketahui barisan geomatri : 3, 6, 12, …. Nilai suku ke-7 adalah …. a. 96 b. 144 c. 168 d. 192 e. 216 Dari barisan geometri, suku ke -4 = 16 dan suku ke -7 = 128. Rasio dari barisan geometri tersebut adalah …. a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6 Diketahui barisan geometri, suku ke-2 = 6 dan suku ke-5 = 162. Nilai dari suku ke -7 adalah …. a. 648 b. 972 c. 1.296 d. 1.458 e. 1.620 Jika dari suatu barisan geometri diketahui Un = 12 dan Un + 3 = 96, maka nilai Un + 5 = …. a. 192 b. 256 c. 292 d. 324 e. 384 Diketahui deret geometri : 4 + 8 + 16 + …. Jumlah 6 suku pertama adalah …. a. 126 b. 128 c. 252 d. 256 e. 276 1 1 1 Diketahui deret geometri : + + + … + 16 = x. Nilai x adalah …. 16 8 4 511 511 127 251 251 a. b. c. d. e. 8 16 4 8 16 1 Jumlah tak terhingga deret geometri : 3 + 1 + + … adalah …. 3 1 1 2 1 a. 4 b. 4 c. 4 d. 5 e. 5 3 2 3 3 1 Jumlah tak terhingga deret geometri dengan suku pertama 12 dan rasio adalah …. 4 a. 64 b. 48 c. 36 d. 32 e. 16


48

B. 1.

2.

3.

4.

5.

Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar! Dari barisan aritmetika diketahui, U4 = 6 dan U7 + U9 = 36. Tentukan beda dari barisan aritmetika tersebut. Jawab : ………………………………………………………………………………………… Diketahui deret aritmetika, suku ke-5 = 14 dan suku ke-8 = 23. Tentukan nilai dari suku ke-20. Jawab : ………………………………………………………………………………………… Hitung jumlah seluruh bilangan yang terdiri dari dua angka dan habis dibagi 3. Jawab : ………………………………………………………………………………………… Diketahui barisan geometri, suku ke-3 = 8 dan suku ke-5 = 128. Tentukan nilai dari suku ke-7. Jawab : ………………………………………………………………………………………… Tentukan jumlah 10 suku pertama dari deret geometri untuk Un = 3 . 2n - 1 Jawab : …………………………………………………………………………………………

Sebaik-baik manusia adalah yang bermanfaat buat orang lain The best man is for the benefit of others


49

KOMPETENSI 10

GEOMETRI DIMENSI DUA TWO DIMENSIONAL GEOMETRY Standar Kompetensi Kompetensi Dasar

Alokasi Waktu Dilaksanakan

: 10. Menerapkan konsep geometri dimensi dua : 10.1. Mengidentifikasi sudut 10.2. Menentukan keliling bangun datar dan luas daerah bangun datar 10.3. Menerapkan transformasi bangun datar : 30 jam pelajaran : Minggu ke 10 s.d. 14

Tujuan Pembelajaran Umum : Siswa dapat menerapkan konsep dasar sudut dan bidang dalam menyelesaiakan permasalahan baik dalam pelajaran di sekolah maupun dalam ke hidupan sehari-hari.

10.1. Mengidentifikasi sudut 10.1. To Identify Angle Indikator Tujuan

Uraian Materi 1. 1.

: 1. Satuan sudut dalam derajat dikonversi kesatuan sudut dalam radian atau sebaliknya sesuai prosedur : Siswa dapat : 1. Mengukur besar suatu sudut 2. Menentukan macam-macam satuan sudut 3. Mengkonversi satuan sudut :

Satuan Sudut Angle Unit

Satuan sudut ada 3 macam, yaitu derajat, radian dan gradian (gon) a. Derajat Besar sudut α disebut satu derajat (1o), jika panjang busur 1 lingkarannya sama dengan dari keliling 360o lingkarannya. 1 22 O α Jadi : 1o = . 2 π r, dengan π = = 3,14159 o 360 7 Jika jari-jari r sama dengan satu satuan, maka besarnya 1 π 1o = . 2π = = 0.017 rad o 360 180 o Dari sistem satuan derajat dibagi lagi menjadi menit dan detik atau disebut sistem DMS (derajat, menit dan detik) dengan konversi : 1o = 60' (menit) 1' = 60" (detik) atau 1o = 3600" (detik) Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. 2 Sm. 3

50

Contoh : 1. Ubah satuan derajat desimal ke satuan DMS a. 40,75o Jawab : 0,75o = 0,75 . 60' = 45' (menit) 40,75o = 40 o. 45'. 00" b.

35,625o Jawab 0,625o = 0,625 . 60' = 37,5' = 37' + 0,5' 0,5' = 0,5 . 60" = 30" 35,625o = 35o. 37'. 30"

2. a.

Ubah satuan DMS ke satuan derajat desimal 56o. 36'. 45" Jawab : 36 36' = = 0,6o 60 45 45" = = 0,0125o 3600 56o. 36'. 45" = 56 + 0,6 + 0,0125 = 56,6125o

b.

24o. 48'. 18" Jawab : 48 48' = = 0,8o 60 18 18" = = 0,005o 3600 24o. 48'. 18" = 24 + 0,8 + 0,005 = 24,805o

3.

Sebuah segi tiga ABC, sudut A = 54o. 27'. 48" dan sudut C = 48o. 52'. 35". Tentukan besar sudut C. Jawab : Besarnya sudut untuk segitiga = 180o Sudut C = 180o – (54o. 27'. 48" + 48o. 52'. 35") = 180o – 113o. 20'. 23" = 66o. 39'. 37"

b.

Radian

Besar α disebut satu radian ditulis 1 rad, jika panjang busur lingkarannya sama dengan jari-jari lingkaran. O α ∠ AOB = α = 1 rad dengan ∩AB = r Untuk panjang busur r → sudut pusat = 1 rad Untuk panjang busur 2 π r → sudut pusat = 360o o Terdapat hubungan : 2 π rad = 360 atau π rad = 180o 180 o 1 rad = = 57,3o π


51

c.

Gradian (gon)

Besar α disebut satu gon dan ditulis 1g , jika panjang busur lingkarannya =

1 dari keliling 400

lingkarannya. Jadi besar sudut pusat lingkaran = 400g. Hubungan : 360o = 2 π rad = 400g atau 180o = π rad = 200g 200 180 1o = = 1,11 g atau 1g = = 0,9o 180 200 1 rad =

200 (gon) π

atau 1g =

π rad 200

2. 2.

Konversi Satuan Sudut Conversion of the Angle

a.

Derajat ke radian dan atau sebaliknya

Tabel Konversi satuan sudut derajat dengan radian Derajat 0 30 45 60 90 120 Radian

0

π 6

π 4

π 3

π 2

2π 3

135

150

180

3π 4

5π 6

π

Contoh : 1. Sudut 300o jika dikonversikan ke satuan radian adalah : Jawab : 300 5π 300o = . π rad = rad 180 3 2.

b.

8π radian jika dikonversikan ke satuan deraja adalah : 5 Jawab : 8π 8 rad = . 180 o = 288o 5 5

Derajat ke gradian (gon) dan atau sebaliknya

keliling lingkaran = 1 putaran = 360o = 400g atau 180o = 200g 200 1o = x 1g = 1,11g 180 180 1g = x 1o = 0,9o 200 Conoh : 1. Sudut 240o jika dikonversiakn ke sudut gon adalah …. Jawab : 200 270o = 270 x = 300g 180 Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. 2 Sm. 3

52

2.

120g jika dikonversikan ke satuan gon adalah …. Jawab : 180 120g = 120 x = 108o 200

c.

Radian ke gradian dan atau sebaliknya

1 putaran = 2π rad = 400 gon atau π rad = 200 gon 200 1 rad = x 1g = 63,66g π π 1g = x 1 rad = 0,0157 rad 200 Contoh : 3 π rad ke satuan sudut gradian 4 3 3 200 π rad = πx = 150g 4 4 π

1.

Ubah

2.

Ubah 300g ke satua n sudut radian π 3 300g = 300 x = π rad 200 2

Soal latihan : 1. Ubah ke dalam satuan radian a. 165o b. 150g Jawab : ………………………………………………………………………………………… 2. Ubah ke dalam satuan derajat 5π a. rad b. 100g 8 Jawab : ………………………………………………………………………………………… 3. Ubah ke dalam satuan gon 3π a. 75o b. rad 5 Jawab : ………………………………………………………………………………………… 4. Ubah ke dalam satuan DMS a. 37,125o b. 75,375o Jawab : ………………………………………………………………………………………… 5. Ubah ke dalam satuan derajat desimal a. 25o. 45'. 27" b. 65o. 30'. 09" Jawab : ………………………………………………………………………………………….


53

EVALAUSI 6 A. 1.

2. 3.

4. 5.

6. 7. 8. 9.

10.

B. 1.

2.

3.

Pilihlah jawaban yang dianggap paling benar ! 315o jika diubah ke satuan radian adalah …. 5π 4π 3π 5π 7π a. b. c. d. e. 4 3 2 3 4 72o jika diubah ke satuan gon adalah …. a. 64,8g b. 75g c. 80g d. 86,67g e. 90g 5π rad jika diubah ke satuan gon adalah …. 3 a. 240g b. 270g c. 300g d. 316,67g e. 333,33g 5π rad jika diubah ke satuan derajat adalah …. 8 a. 112,5o b. 135o c. 165o d. 175,5o e. 225o g 300 jika diubah ke satuan radian adalah …. 5π 4π 3π 5π 7π a. b. c. d. e. 4 3 2 3 4 50g jika diubah ke dalam satuan derajat adalah …. a. 36o b. 45o c. 48o d. 60o e. 75o o 45,785 jika diubah ke dalam satuan DSM (derajat, menit, detik) adalah …. a. 45o.47'.06" b. 450.47'.16" c. 45o.47'.36" d. 45o.47'.48" e. 45o.48'.00" 20o.45'.09" jika diubah ke dalam satuan derajat desimal adalah …. a. 20,75o b. 20,751o c. 20,752o d. 20,7525o e. 20,753o o o Diketahui segitiga ABC, sudut B = 62 . 38'. 36", sudut C = 76 . 47'. 56". Besarnya sudut A adalah …. a. 40o. 33'. 28" c. 41o. 33'. 28" e. 42o. 34'. 29" o o b. 40 . 33'. 29" d. 42 . 33'. 28" Diketahui segiempat ABCD, sudut A = 85o. 30'. 45", sudut B = 105o. 48'. 50", dan sudut C = 78o. 25'. 18". Besarnya sudut D adalah …. a. 91o. 16'. 07" c. 90o. 16'. 07" e. 90o. 14'. 07" o o b. 91 . 15'. 07" d. 90 . 15'. 07"

Jawablah pertanyaan di bawah ini. Ubah ke dalam satuan radian a. 220o b. 250g Jawab : ………………………………………………………………………………………… Ubah ke dalam satuan DMS a. 25,3125o b. 67,7825o Jawab : ………………………………………………………………………………………… Diketahui segitiga ABC, sudut A = 32o. 40'. 27", dan sudut C = 87o. 18'. 42". Tentukan besarnya sudut B. Jawab : …………………………………………………………………………………………


54

10.2. Keliling Dan Luas Daerah 10.2. Circle and Wide Area Indikator

: 1. Suatu bangun datar dihitung kelilingnya 2. Daerah suatu bangun datar dihitung luasnya 3. Bangun datar tak beraturan dihitung luasnya : Siswa dapat : 1. Menghitung keliling segi tiga, segi empat dan lingkaran 2. Menghitung luas segi tiga, segi empat dan lingkaran 3. Menyelesaikan masalah program keahlian yang berkaitan dengan keliling dan luas bangun datar 4. Menyelesaikan masalah pr ogram keahlian yang berkaitan dengan keliling dan luas bangun datar :

Tujuan

Uraian Materi 1. 1.

Rumus keliling dan luas daerah Formula circle and wide of area

a.

Segitiga (jumlah sudutnya 180o) Segitiga siku-siku L = ½ . alat . tinggi b c L=½.a.b Kel. = a + b + c a Segitiga sama kaki L = ½ . alas . tinggi L=½.a.t b

t

c

t=

1  (c)2 −  a  2 

2

; b=c

a Segitiga sedmbarang dengan sudut diketahui L = ½ . a . t → t = b . sin α L = ½ . a . b . sin α b

t

c

α a

b

c

Segitiga sembarang dengan semua sisi diketahui L = s . (s − a) . (s − b) . (s − c) Keliling = a + b + c s = ½ . (a + b + c)

a


55

Hukum Phytagoras untuk segitiga siku-siku : " Kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi siku-sikunya " Dari hukum Phytagoras tersebut ada beberapa perbandingan untuk segitiga siku-siku, yaitu (3 : 4 : 5) ; (5 : 12 : 13) ; (7 : 24 : 25) ; (8 : 15 : 17) atau kelipatannya.

b. 1.

2.

3.

Segiempat (jumlah sudutnya 360 o) Persegi panjang L = panjang . lebar l L=p.l Keliling = 2 . (p + l) p Bujur sangkar L = sisi . sisi L=a.a a Keliling = 4a a Jajaran genjang b ?

4.

L = panjang alas . tinggi L=a.t L = a . b . sin ? Keliling = 2 . (a + b)

t

a Belah ketupat

1 . diagonal . diagonal 2 1 L= a.b 2

b

L=

a 5.

Trapesium c

b t

d a

6.

jumlah sisi sejajar x tinggi 2 1 L= (a + b) . t 2 Keliling = a + b + c + d

L=

Layang-layang a b

1 . diagonal . diagonal 2 1 L= a.b 2 L=


56

c.

Lingkaran

r

22 x jari - jari x jari - jari 7 22 2 L= .r 7 22 Keliling lingkaran = x 2x r 7

a

L= π .a.b a = ½ sumbu panjang b = ½ sumbu pendek

L= O

d.

Ellips

b e.

Segi n beraturan

n 2 180 o n 360 o atau L = . r 2 . sin . a . ctg 4 n 2 n Untuk segi enam beraturan 3 3 L = . a 2 . 3 atau L = . r 2 . 3 2 2 a=r L=

r a

2. 2.

Keliling dan luas daerah yang diarsir dari bidang datar Circle and wide hatched area of flat

Untuk menentukan keliling daerah yang diarsir adalah dengan menjumlahkan semua garis yang terkena arsiran. Untuk menentukan luas daerah yang diarsir adalah luas yang di luar dikurangi luas yang di dalam. Contoh : 1. Tentukan luas dan keliling daerah yang diarsir pada gambar berikut 144 cm

120 cm 84cm cm 84 244 cm

Jawab : Luas daerah yang diarsir = Luas Trapesium - Luas ½ lingkaran 144 + 244 L Trap. = .120 = 194 . 120 2 L Trap. = 23.280 cm 2 22 L ½ ling = ½ . . 42 . 42 → r = 84/2 = 42 cm 7 = 2.772 cm2 L arsiran = 23.280 – 2.772 = 20.508 cm2 Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. 2 Sm. 3

57

Keliling daerah yang diarsir = jumlah semua garis yeng terkena arsiran. Sisi miring dapat dicari dengan perbandingan Phytagoras. Dari perbandingan 5 : 12 : 13 atau kelipatannya 50 : 120 : 130, maka sisi miring dari trapesium adalah 130 cm. 22 Keliling daerah arsiran = 244 + 130 + 130 + 30 + 30 + ½ . 84 7 = 244 + 130 + 130 + 30 + 30 + 132 = 696 cm 2.

Tentukan luas dan keliling daerah yang diarsir seperti terlihat pada gambar di bawah 28 cm

7 cm

35 cm

Jawab : Luas bujur persegi panjang = 28 . 35 = 980 cm 2 22 Luas lingkaran = . 14 . 14 = 616 cm2 7 Luas daerah yang diarsir = 980 – 616 = 364 cm2 22 Keliling lingkaran = . 28 = 88 cm 7 Keliling daerah yang diarsir = 88 + 7 + 7 = 102 cm 3.

Tentukan luas dan keliling daerah yang diarsir seperti terlihat pada gambar di bawah

7 cm

Jawab : Jari-jari lingkaran kecil r = 7 cm Jari-jari lingkaran besar R = 14 cm Rumus luas lingkaran : L = π . r2 L = π . R 2 – π . r2 22 L= (142 – 7 2) 7 22 L= . (196 – 49) 7 22 L= . 147 7 L = 462 cm 2


58

22 . 28 = 88 cm 7 22 Keliling lingkaran kecil = . 14 = 44 cm 7 Keliling daerah yang diarsir = 88 + 44 = 132 cm Keliling lingkaran besar =

4.

Tentukan keliling daerah yang diarsir seperti pada gambar

14 cm

14 cm

Jawab : Rumus Keliling lingkaran = π . d panjang busur lingkaran yang berdiameter 14 cm =

5 keliling lingkaran 4

panjang busur lingkaran yang berdiameter 7 cm = 1 keliling lingkaran Keliling daerah yang diarsir =

5 22 22 . . 14 + . 7 4 7 7

= 55 + 22 = 77 cm

Soal latihan : 1. Hitung luas segitiga ABC seperti terlihat pada gambar di bawah. C Jawab : ……………………………………………………… 8 cm ……………………………………………………… 60o ……………………………………………………… A 12 cm B 2.

Hitung luas segitiga DEF seperti terlihat pada gambar berikut : F Jawab : ……………………………………………………… 13 cm 20 cm ……………………………………………………… ……………………………………………………… D 21 cm E

3.

Hitung laus jaja ran genjang di bawah ini. D C Jawab : 12 cm ……………………………………………………… 30o ……………………………………………………… A 29 cm B ………………………………………………………


59

EVALUASI 7 Pilihlah jawaban yang paling benar ! 1. Keliling dari trapesium seperti terlihat pada gambar adalah …. a. 94 cm 32 cm b. 134 cm c. 144 cm 20 cm d. 640 cm 62 cm e. 940 cm 2. Luas segitiga sepe rti terlihat pada gambar adalah …. a. 42 cm2 b. 60 cm2 15 cm c. 72 cm2 13 cm 2 d. 84 cm e. 96 cm2 14 cm

3.

Keliling daerah yang diarsir seperti gambar di bawah ini adalah …. a. 72 cm 28 cm b. 86 cm c. 92 cm d. 96 cm 14 cm e. 108 cm

4.

Perhatikan gambar! Luas daerah yang diarsir adalah …. A. 76,5 cm2 B. 80,5 cm2 C. 84,5 cm2 D. 87,5 cm2 14 cm E. 94,5 cm2

14 cm

5.

Perhatikan gambar! Keliling daerah yang diarsir adalah …. A. 62 cm B. 64 cm C. 72 cm D. 76 cm 14 cm E. 82 cm 28 cm

6.

Luas daerah yang diarsir seperti pada gambar adalah …. a. 784 cm2 b. 616 cm2 c. 476 cm2 d. 308 cm2 28 cm e. 168 cm2 28 cm Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. 2 Sm. 3

60

7.

Keliling daerah yang diarsir seperti pada gambar adalah …. a. 21 cm b. 33 cm c. 66 cm 21 cm d. 87 cm e. 105,5 cm 21 cm

8.

Luas daerah yang diarsir dari gambar di bawah ini adalah ... cm2. a. 160 b. 196 c. 238 d. 308 28 cm e. 392

cm Panjang besi beton yang diperlukan untuk membuat ring berdiameter 42 cm, jika 22 adalah …. π = 7 a. 1386 cm b. 924 cm c. 132 cm d. 84 cm e. 21 cm 28

9.

10.

Keliling daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini adalah ... cm. a. 77 b. 72 c. 66 d. 44 14 cm e. 42

14 cm

B. 1.

Jawablah pertanyaan di bawah ini Hitung luas segitiga ABC seperti terlihat pada gambar di bawah. C Jawab : ……………………………………………………… 16 cm ……………………………………………………… 30o ……………………………………………………… A

2.

B

24 cm

Tentukan luas dan keliling daerah yang diarsir dari gambar berikut Jawab : ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… 28 cm

8 cm

8 cm 28 cm


61

3.

Tentukan keliling daerah yang diarsir dari gambar di bawah ini. Jawab : ……………………………………………………….

3,5 cm 14 cm

10.3. Menerapkan Transformasi Geometri 10.3. Apply Transformation Geometry Indikator

Tujuan

Uraian Maeri 1. 1. a.

: 1. Transformasi bangun datar didiskripsikan menurut jenisnya 2. Transformasi bangun datar digunakan untuk menyelesaikan permasalahan program keahlian : Siswa dapat : 1. Menjelaskan dan membedakan jenis-jenis transformasi bangun datar, yakni Translasi, Refleksi, Rotasi dan D ilatasi 2. Menggambar hasil transformasi bangun datar 3. Menyelesaikan masalah program keahlian yang berkaitan dengan transformasi bangun datar :

Jenis -Jenis Transformasi Types of T ransformation Translasi (Pergeseran)

Translasi adalah suatu transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang datar yang a  jarak dan arahnya tertentu oleh translasi T =   . b y P' (x', y') P (x, y) ? P' (x + a, y + b) b P (x, y)

a x

Contoh : 1.

 - 1 Tentukan bayangan titik A (3, 2), B (-2, 4), dan C (5, -3) oleh translasi T =   4 Jawab : A (3, 2) ? A' (3 + ( -1), 2 + 4) A' (2, 6) B (-2, 4) → B' (-2 + (-1), 4 + 4) B' (-3, 8) C (5, -3) → C' (5 + (-1), -3 + 4) C' (4, 1) Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. 2 Sm. 3

62

2.

 4  Titik-titik P, Q, dan R dari segitiga PQR setelah ditranslasi T =   bayangannya  − 3 menjadi P' (2, 6), Q' (1, -2), dan R' (-3, 5). Tentuan koordinat tiik-titik P, Q, dan R. Jawab : P' (2, 6) ? P (2 – 4, 6 – (-3) P (-2, 9) Q' (1, -2) → Q (1 – 4, -2 – (-3)) Q (-3, 1) R' (-3, 5) → R' (-3 – 4, 5 – (-3)) R' (-7, 8)

3.

Bayangan titik-titik A (5, 3), dan B (2, -1) oleh translasi T adalah A' dan B'. Jika A' (3, 5), tentukan bayangan titik B' Jawab : 3 − 5 − 2 A (5, 3) → A' (3, 5), maka translasi T =   =    5 − 3  2  B (2, -1) → B' (2 + (-2), -1 + 2) B' (0, 1)

b.

Refleksi (Pencerminan)

Refleksi adalah transformasi yang memetakan setiap titik pada bidang datar dengan pencerminan yang menggunakan sifat dari cermin datar. 1.

Pencerminan terhadap sumbu x y Perhatikan gambar di samping P (x, y) 1 0  P' =   . P  0 −1   x'   1 0   x    =   .   x  y'   0 −1   y  P' (x, –y) atau P (x, y) → P' (x, –y) Contoh : Tentukan banyangan titik A (2, 5) yang dicerminkan terhadap sumbu x. A (2, 5) → A' (2, –5)

2.

Pencerminan terhadap sumbu y y Perhaikan gambar di samping − 1 0 P (x, y) P' (–x, y) P' =   . P 0 1   x ' − 1 0  x       =   .   x  y'   0 1   y  atau P (x, y) → P' (–x, y) Contoh : Tentukan bayangan titik B (4, –3) yang dicerminkan terhadap sumbu y B (4, –3) → B' (–4, –3) Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. 2 Sm. 3

63

3.

Pencerminan terhadap garis y = x 0 1 P' =   . P 1 0  x'   0 1   x    =   .    y'   1 0   y  atau : P (x, y) → P' (y, x) Contoh : Tentukan bayangan titik C (4, 7) yang diserminkan terhadap garis y = x C (4, 7) → C' (7, 4)

4.

Pencerminan terhadap garis y = –x  0 − 1 P' =   . P − 1 0   x'   0 − 1   x    =   .    y'   − 1 0   y  atau : P (x, y) → P' (–y, –x) Contoh : Tentukan bayangan titik D (5, –2) yang dicerminkan terhadap garis y = –x D (5, –2) → D' (–5, 2)

5.

Pencerminan terhadap garis x = a P (x, y) M . x = a P' (2a – x, y) Contoh : Tentukan bayangan titik P (4, 2) jika dicerminkan terhadap garis x = 3 P (4, 2) M . x = 3 P' (2 . 3 – 4, 2) P' (2, 2)

6.

Pencerminan terhadap garis y = b P (x, y) M . y = b P' (x, 2b – y) Contoh : Tentukan baynagna titik P (3, -2) jika dicerminkan terhadap garis y = 4 P (3, -2) M . y = 4 P' (3, 2 . 4 – (-2)) P' (3, 10)

c.

Rotasi (Perputaran)

Rotasi adalah suatu tarnsformasi yang memindahkan setiap titik dengan cara memutar setiap ttiik tersebut denganm besar dan arah yang telah ditentukan. y Pada rotasi terhadap titik O (0, 0) sebesar ? P' (x', y') dengan arah positif, maka titik P (x, y) menjadi titik P' (x', y') x' = x cos ? – y sin ? y' = x sin ? + y cos ? P (x, y) x


64

1.

2.

3.

4.

 0 − 1 Rotasi sejauh 90o, matriks transformasinya adalah : T =   1 0   x'   0 − 1   x    =   .    y'   1 0   y  − 1 0  Rotasi sejauh 180o , matriks transformasinya adalah : T =    0 − 1  x'   − 1 0   x    =   .    y'   0 − 1   y   0 1 Rotasi sejauh 270o , matriks transformasinya adalah ; T =    − 1 0  x'   0 1   x    =   .    y'   − 1 0   y   cos θ − sin θ  Rotasi sejauh θ derajat, matriks transformasinya adalah : T =    sin θ cos θ   x'   cos θ − sin θ   x    =   .    y'   sin θ cos θ   y  Untuk perputaran berlawanan arah jarum jam θ positif dan searah jarum jam θ negatif.

Contoh : 1. Titik A (1, 2) diputar 45o searah jarum jam terhadap titik pusat O, tentukan bayangan titik A akibat rotasi. Jawab : ? = -45o x' = x cos ? – y sin ? = 1 . cos (-45 o) – 2 sin (-45o) 1 1 1 =1. 2 – 2 . (2) = 2 + 2 2 2 2 3 = 2 2 y' = x sin ? + y cos ? = 1 . sin ( -45o) + 2 . cos (-45o) 1 1 1 = 1 . (2)+2. 2 =2 + 2 2 2 2 1 = 2 2 3 1 Jadi A' ( 2, 2) 2 2


65

2.

Titik P (4, 2) diputar 60o berlawanan aran jarum jam terhadap titik pusat O. Tentukan bayangannya. Jawab : ? = 60o x' = x cos ? – y sin ? = 4 . cos 60o – 2 sin 60o 1 1 =4. -2. 3 =2 – 3 2 2 y' = x sin ? + y cos ? = 4 . sin 60o + 2 . cos 60o 1 1 =4. 3 +2. =2 3 +1 2 2 Jadi P' (2 – 3 , 2 3 + 1)

3.

Tentukan persamaan bayangan garis y = 5x - 3 karena rotasi dengan pusat O (0, 0) bersudut -90o. Jawab : Bayangan karena rotasi dengan pusat O (0, 0) bersudut -90o (270o) adalah :  x'   0 1   x   y    =   .   =    y'   − 1 0   y   − x  x' = y → y = x' dan y' = -x → x = -y y = 5x - 3 → y - 5x + 3 = 0 Bayangan garisnya, y diganti dengan x dan x diganti dengan -y y - 5x + 3 = 0 Bayangannya : x - 5(-y) + 3 = 0 → x + 5y + 3 = 0

d.

Dilatasi (perkalian)

Dilatasi adalah transformasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) dengan suatu faktor skala. P (x, y) ? P' (x', y') dengan x' = kx dan y' = ky Contoh : 1. Jika titik P (3, 1) didilatasi terhadap titik pusat O dengan faktor skala k = 4. Tentukan bayangannya. Jawab : x' = k . x = 4 . 3 = 12 y' = k . y = 4 . 1 = 4 Jadi P' (12, 4) 2.

Tentukan bayangan titik Q (4, -2) oleh dilatasi {0,

1 } 2

Jawab : 1 .4=2 2 1 y' = k . y = . -2 = -1 2 Jadi Q' (4, -1)

x' = k . x =


66

Soal latihan : Suatu segitiga ABC dengan A (3, 1) , B (8, -1) dan C (5, 4). Tentukan bayangan segitiga ABC jika : − 2 1. Ditranslasikan : T =    4  Jawab : ………………………………………………………………………………………… 2. Dicerminkan terhadap garis x = 4 Jawab : ………………………………………………………………………………………… 3. Dicerminkan terhadap garis y = -2 Jawab : ………………………………………………………………………………………… 4. Dirotasikan {0, 30 o} Jawab : ………………………………………………………………………………………… 5. Dilatasikan {0, 2} Jawab : …………………………………………………………………………………………

2. 2.

Komposisi Transformasi Composition of Transformation

a.

Komposisi dua Translasi berurutan a  a  a   a  T1 =  1  dan T2 =  2  ? T2 o T1 =  1  +  2   b1  b2   b1   b 2  (T 2 o T 1) A (x, y) ? A " (x", y") dengan x" = x + (a1 + a2) dan y' = y + (b1 + b2) Contoh : 1.

3 Tentukan bayangan dari titik Q (4, 6) oleh translasi berurutan T1 =   dan T2 = 2 Jawab : 3 1 4 T 2 o T 1 =   +   =   2 4 6 x" = 4 + 4 = 8 dan y" = 6 + 6 = 12 Jadi Q" (8, 12)

1   4


67

b.

Komposisi dua Refleksi berurutan

1.

Pencerminan terhada p garis x1 = k dan x2 = l M 2 x o M1 x P (x, y) P" (2 (l – k) + x , y) x1 = k , x 2 = l

2.

Pencerminan terhadap garis y1 = m dan y2 = n M 2 y o M1 y P (x, y) P" (x, 2 (n – m) + y) y1 = m , y 2 = n

Contoh : 1. Tentukan bayangan titik A (-4, 3) oleh refleksi berurutan terhadap garis x = 2 dan x = 5 Jawab : M2 x o M1 x A (-4, 3) A" (2 (5 – 2) + (-4), 3) x1 = 2 , x 2 = 5 A" (2, 3) 2.

Tentukan bayangan titik B (2, 5) oleh refleksi berurutan terhadap garis y = 3 dan y = 2. Jawab : M 2 y o M1 y B (2, 5) B" (2, 2 (-2 – 3) + 5) y1 = 3 , y 2 = - 2 B" (2, -5)

3.

Tentukan bayangan titik P (2, -3) oleh transformasi T o S (x, y) jika t pencerminan terhadap garis y = 4 dan S pencerminan terhadap garis x = 2 Jawab : T o S titik P (2, -3) ? P' (2 . 2 – 2 , 2 . 4 – (-3)) P' (2, 11)

c.

Komposisi dua Rotasi berurutan

Jika titik P (x, y) diputar sebesar ?1 dan diteruskan ke ?2 dengan arah positif sama dan titik pusat yang sama, maka bayangannya adalah : P" (x", y") Dimana : x" = x cos ( ?1 + ?2) – y sin (? 1 + ?2) y" = x sin (? 1 + ? 2) + y cos (? 1 + ? 2) Contoh : 1. Tentukan bayangan titik P (2, 4) yang diputar berlawanan arah jarum jam sebesar 20o dan diteruskan sebesar 40o. Jawab : Karena diputarnya berlawanan arah jarum jam, maka sudut bertanda positif P (x, y) ? P" (x", y") x" = x cos (?1 + ?2 ) – y sin (? 1 + ? 2) = 2 . cos (20o + 40o) – 4 . sin (20o + 40o) 1 1 = 2 . cos 60o – 4 . sin 60o = 2 . – 4. 3 2 2 =1– 2 3 Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. 2 Sm. 3

68

y" = x sin (?1 + ?2) + y cos (?1 + ?2) = 2 . sin (20o + 40o) + 4 . cos (20o + 40 o) 1 1 = 2 . sin 60o + 4 . cos 60o = 2 . 3 +4. 2 2 = 3 +2 P" {(1 – 2 3 ), ( 3 + 2) Soal Latihan : Diketahui segitiga ABC, titik A (2, –2), titik B (5, 1) dan titik C (3, 6). Tentukan bayangan titik A, B, dan C oleh :  2  4 1. Translasikan oleh T1 =   dan dilanjutkan oleh T2 =   5   − 1 Jawab : ………………………………………………………………………………………… 2. Pencerminkan terhadap garis x = 2 dan dilanjutkan pencerminan terhadap garis x = 5 Jawab : ………………………………………………………………………………………… 3. Pencerminan terhadap garis x = 4 dan dilanjutkan pencerminan terhadap garis y = 2 Jawab : ………………………………………………………………………………………… 4. Rotasi terhadap titik pusat sejauh 60 o berlawanan arah jarum jam dan dilanjutkan rotasi sejauh 30o berlaawanan arah jarum jam. Jawab : ………………………………………………………………………………………… EVALUASI 8 A. 1. 2. 3. 4. 5.

6.

Pilihlah jawaban yang anda anggap paling benar!  2  Bayangan dari titik P (4, 2) oleh translasi T =   adalah ….  − 3 a. P' (6, 5) b. P' (6, -1) c. P' (2, -1) d. P' (2, 1) e. P' (2, 5) Bayanga n titik Q (-1, 3) oleh pencerminan terhadap garis x = 5 adalah …. a. Q' (11, 3) b. Q' (9, 3) c. Q' (6, 3) d. Q' (4, 3) e. Q' (-5, 3) Bayangan titik A yang dihasilkan dari pencerminan terhadap garis y = -2 adalah A' (3, -5). Titik A adalah …. a. A (3, 3) b. A (3, 1) c. A (3, -1) d. A (3, -3) e. A (3, -7) Bayangan titik B (5, 2) oleh pencerminan terhadap sumbu x adalah …. a. B' (2, 5) b. B' (5, -2) c. B' (-5, 2) d. B' (-5, -2) e. B' (-2, -5) Sebuah segitiga ABC yang mempunyai titik koordinat A (-1, 3), B (4, -2), C (6, 5). Jika 3 ditranslasi oleh T =   , maka bayangan titik A, B, dan C adalah …. 2 a. A' (2, 5), B' (7, 2), C' (9, 7) d. A' (2, 5), B' (7, 0), C' (9, 7) b. A' (2, 5), B' (7, 0), C' (9, 5) e. A' (-2, 5), B' (7, 2), C' (6, 7) c. A' (2, 1), B' (7, 4), C' (6, 3)  − 1 Bayangan titik Q yang dihasilkan oleh translasi T =   adalah Q' (3, -1). Kordinat 4 titik Q adalah …. a. Q (2, 3) b. (4, 5) c. (4, -5) d. (-4, 5) e. (-2, 3) Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. 2 Sm. 3

69

7.

8. 9.

10.

B.

Bayangan titik P (4, 6) yang diputar terhadap titik pusat O sebesar 45o berlawanan arah dengan jarum jam adalah …. a. P' ( − 2 , 5 2 ) c. P' ( 5 2 , − 2 ) e. P' ( 2 , 5 2 ) b. P' ( 2 , − 5 2 ) d. P' ( 5 2 , 2 ) Titik B (4, 2) diputar terhadap titik pusat O sebesar 90o berlawanan arah jarum jam. Bayangannya adalah …. a. (4, 2) b. (-4, 2) c. (2, 4) d. (2, -4) e. (-2, 4) Bayangan titik A (3, 5) oleh pencerminan terhadap garis x = 4 dan diteruskan ke garis x = -3 adalah …. a. (11, 5) b. (10, 5) c. (7, 5) d. (-11, 5) e. (-17, 5) Bayangan titik C (5, -6) oleh pencerminan terhadap garis x = -3 dan terhadap garis y = 2 adalah …. a. (11, 10) b. (11, -10) c. (-11, 10) d. (-11, -10) e. (10, -11)

Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar !

Diketahui segi empat ABCD, titik A (2, –3), B (6, –1), C (5, 3) dan D (1, 5). Tent ukan bayangan titik A, B, C, dan D jika : 1. Dicerminkan terhadap sumbu x Jawab ; ………………………………………………………………………………………… 2. Didilatasi terhadap titik pusat dengan skala k = 3 Jawab : ………………………………………………………………………………………… − 2 3. Ditranslasi oleh T =   dan dilanjutkan oleh pencerminan terhadap garis x = 3  1  Jawab ; …………………………………………………………………………………………


70

ULANGAN HARIAN 3 A. 1. 2.

3.

4.

5.

6.

Pilihlah jawaban yang paling benar ! 4 Di bawah ini yang senilai dengan π radian adalah …. 5 a. 288o b. 144o c. 72o d. 60o 100 derajat senilai dengan … radian. 1 1 1 5 a. π b. π c. π d. π 6 4 3 9 Perbandingan panjang dan lebar sebuah persegi panjang adalah 3 persegi panjang 80 cm, maka luasnya adalah … cm2. a. 96 b. 384 c. 768 d. 1.152 Perhatikan gambar di samping ini. C Luas segi tiga tersebut adalah …. a. 84 cm2 17 cm 10 cm b. 96 cm2 2 c. 102 cm d. 132 cm2 A 21 cm B e. 168 cm2 Perhatikan gambar layang-layang di bawah ini, AB = 16 cm, BD = 10 cm dan BC = 17 cm. Luasnya adalah …. A a. 80 cm2 b. 85 cm2 c. 168 cm2 d. 170 cm2 e. 272 cm2

e. 36o 2 π 3 : 2. Jika keliling

e.

e. 1.536

C B

D

Pada gambar di bawah ini luas daerah yang diarsir adalah … cm 2. a. 245 b. 281 25 cm c. 322 d. 368 e. 413

14 cm

7.

Perhatikan gambar berikut ini ! Keliling daerah yang diarsir pada gambar tersebut adalah ... cm. 14 cm a. 28 b. 44 c. 68 d. 70 e. 77 14 cm


71

8. 9.

10.

11.

Diketahui lingkaran dengan jari-jari 21 cm. Jika sudut AOB = 150o, maka panjang busur AB adalah …. a. 44 cm b. 55 cm c. 66 cm d. 77 cm e. 88 cm Diketahui trapesium sama kaki ABCD, AB = 76 cm dan CD = 40 cm. Jika tinggi trapesium 24 cm, maka keliling trapesium adalah …. a. 164 cm b. 166 cm c. 384 cm d. 696 cm e. 1.392 cm Dua buah lingkaran masing-masing berdiameter 24 cm dan 10 cm. Jika jarak antara sumbu kedua lingkaran 25 cm, maka panjang garis singgung persekutuan luarnya adalah …. a. 24 cm b. 26 cm c. 16 3 cm d. 20 3 cm e. 36 cm Perhatikan gambar di bawah ini. Jika jari-jari lingkaran 14 cm dan sudut ACB = 36o, maka panjang busur AB adalah …. a. 8,8 cm C b. 17,6 cm c. 22 cm d. 33 cm O e. 44 cm A

B

12.

13. 14.

15.

B. 1.

a Titik A (3, –4) ditranslasikan oleh T =   menghasilkan bayangan A' (1, –3). Nilai b a dan b adalah …. a. 4 dan –7 b. –3 dan 1 c. 1 dan –3 d. –2 dan 1 e. 1 dan –2 Bayangan titik Q (–9, 5) dicerminkan terhadap garis y = 4 adalah …. a. (–9, 3) b. (–9, –3) c. (–9, –6) d. (–9, 6) e. (–1, 5) Bayangan titik P (3, 5) didilatasikan dengan pusat O dan faktor skala 2 dan dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu y adalah …. a. (6, 10) b. (10, 6) c. (–6, 10) d. (6, –10) e. (–6, –10) Bayangan titik B (4, 6) dirotasikan terhadap titik pusat O sejauh 90o searah jarum jam adalah …. a. (6, 4) b. (–4, –6) c. (6, –4) d. (–4, 6) e. (–6, 4)

Jawablah pertanyaan di bawah ini. Perhatikan gambar di bawah ini. Tentukan luas daerah yang diarsir Jawab : 14 cm 14 cm


72

2.

Perhatikan gambar di bawah ini. Tentukan keliling daerah yang diarsir Jawab : 42 cm

42 cm 3.

Perhatikan gambar di bawan ini. Tentukan luas daerah yang diarsir. 21 cm 14 cm

Jawab : ……………………………………………………………………………………………. . 4.

Perhatikan gambar di bawah ini. Tentukan keliling daerah yang diarsir

14 cm

14 cm

Jawab : ……………………………………………………………………………………………. . 5.

Diketahui segitiga ABC, titik A (–2, 3), B (4, 1) dan C (1, 5). Tentukan bayangan titik A, B, dan C jika dicerminkan terhadap garis x = 2 dan dilanjutkan pencerminan terhadap garis y = 5 Jawab : ……………………………………………………………………………………………. .


73

KOMPETENSI 11

GEOMETRI DIMENSI TIGA DIMENSION GEOMETRY THREE Standar Kompetensi Kompetensi Dasar

Alokasi Waktu Dilaksanakan

: 11. : 11.1. 11.2. 11.3. 11.4.

Menerapkan konsep geometri dimensi tiga Mengidentifikasi bangun ruang dan unsur-unsurnya Menghitung luas permukaan bangun ruang Menerapkan konsep volum bangun ruang Menentukan hubungan antara unsur -unsur dalam bangun ruang : 24 jam pelajaran : Minggu ke 15 s.d. 18

Tujuan Pembelajaran Umum : Siswa dapat menerapkan konse p dasar geometri dimensi tiga dalam menyelesaiakan permasalahan baik dalam pelajaran di sekolah maupun dalam kehidupan sehari-hari.

11.1. Mengidentifikasi bangun ruang dan unsur-unsurnya 11.1. Identify to wake up the element and room of Indikator Tujuan

Uraian Materi

: 1. Unsur-unsur bangun ruang diidentifikasi berdasar ciri-cirinya. 2. Jaring-jaring bangun ruang digambar pada bidang datar. : Siswa dapat : 1. Menyebutkan macam-macam benda beraturan dalam ruang 2. Menjelaskan pengertian benda beraturan dalam ruang (kubus, balok, prisma, tabung, limas, kerucut, dan bola) 3. Menggambar jaring-jaring benda beraturan dalam ruang :

1. 1.

Unsur-unsur bangun ruang Elements wake up room

a.

Kubus

Kubus adalah suatu bangun ruang yang dibatasi oleh enam bidang datar, dimana masingmasing bidang datar berbentuk bujur sangkar. Kubus disebut juga dengan Hexaeder. Perhatikan gambar kubus ABCD - EFGH H G Enam bidang datar adalah : E ABCD, EFGH, A BEF, CDGH, BCFG, dan ADEH F Kubus mempunyai 12 rusuk, yaitu : AB, BC, CD, DA, EF, FG, GH, HE, CG, BF, AE, dan DH D C Kubus juga mempunyai 8 titik sudut, yaitu titik : A, B, C, D, E, F, G, dan H. A

B

Jika panjang sisi kubus = a, maka panjang diagonal bidangnya : BD2 = AB2 + AD2 → AB = AD = a 2 2 2 2 BD = a + a = 2a BD = a 2 Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. 2 Sm. 3

74

Panjang diagonal ruang : BH2 = BD2 + DH2 = 2a 2 + a 2 = 3a 2 BH = a 3 Conoh : 1. Perhaikan gambar berikut ! H

G

N

E

F

D

C M

A

Jika panjang sisi kubus 8 cm, tentukan panjang BN dan tan GMC

B

Jawab : FH = a 2 = 8 2 cm FN = ½ FH = 4 2 cm BN2 = BF2 + FN2 = 82 + (4 2 )2 = 64 + 32 = 96 BN =

96 = 4 6 cm

CG → CG = 8 cm dan CM = FN = 4 2 cm CM 8 2 tan GMC = . 4 2 2 = 2

tan GMC =

b.

Balok

Balok adalah suatu bangun yang dibatasi oleh enam bidang datar yang berbentuk persegi panjang. Pada balok ukuran rusuknya tidak sama, yaitu terdiri dari panjang, lebar dan tinggi. Panjang, semua rusuk yang sejajar dengan bidang gambar Lebar, semua rusuk yang arahnya ke belakang bidang gambar Tinggi, semua rusuk tegak. Perhatikan gambar balok ABCD – EFGH Panjang : AB, CD, EF, dan GH H G Lebar : BC, AD, FG, dan EH E Tinggi : AE, BF, CG, dan DH F Balok mempunyai 12 sisi diagonal yang tidak sama D C panjangnya. AC = BD = EG = FH A B BG = CF = AH = DE AF = BE = CH = DG Diagonal ruang balok ada 4 buah yang sama panjang, yaitu : AG, BH, CE, dan DF.


75

c.

Prisma

Prisma adalah bangun ruang yang dibatasi oleh dua bidang yang sejajar (bidang alas dan bidang atas) dan bidang tegak yang saling berpotongan menurut rusuk-rusuk sejajar.

Prisma tegak segi empat bentuknya sama dengan balok.

d.

Limas

Limas adalah bangun ruang yang dibatasi oleh bidang alas yang berbentuk segi-n dan bidang tegak yang berbentuk segitiga. Bentuk limas tergantung dari bentuk bidang alasnya. T

T

T

C D

C

A A

B

E

A B

D C

B

Perhatikan gambar Limas segi empat T – ABCD Titik A, B, C, dan D merupakan titik sudut alas, sedangkan titik T merupakan titik puncak. ABCD disebut bidang alas, sedangkan TAB, TBC, TCD, dan TAD disebut bidang tegak. AB, BC, CD, dan DA disebut rusuk alas, TA, TB, TC, dan TD disebut rusuk tegak

e.

Tabung

Tabung adalah prisma yang bidang alasnya berbentuk lingkaran, yang dibatasi oleh dua bidang lingkaran sejajar (alas dan atas) dan sebuah bidang lengkung tegak r = jari-jari tabung t = tinggi tabung

t r


76

f.

kerucut

Kerucut adalah bangun limas yang bidang alasnya berbentuk lingkaran dengan jari-jari r dan tinggi t. r = jari-jari kerucut t = tinggi kerucut t r

g.

Bola

Bola adalah bangun ruang yang dibatasi oleh bidang lengkung sebagai tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama erhadap suatu titik pusat

r

11.2. Menghitung Luas Permukaan Bangun Ruang 11.2. Calculating Wide of Surface Wake up Room Indikator Tujuan

Uraian materi 1.

: 1. Luas permukaan bangun ruang dihitung dengan cermat. : Siswa dapat : 1. Menuliskan rumus luas selimut benda beraturan dalam ruang 2. Menuliskan rumus luas permukan benda beraturan dalam ruang 3. Menghitung luas selimut benda beraturan dalam ruang dengan menggunakan rumus 4. Menghitung luas permukaan benda beraturan dalam ruang dengan menggunakan rumus :

Kubus H E

G F

D A

C

Jaring-jaring kubus H

G

D

C

G

H

D

A

B

F

E

A

E

F

B


77

Jika panjang sisi kubus adalah "a", maka : Panjang diagonal bidang = a 2 Luas bidang sisi L = a2 Luas bidang diagonal = a2 2 Luas permukaan kubus Lp = 6a 2 Contoh : 1. Diketahui kubus dengan sisi 6 cm. Hitung : a. Panjang diagonal bidang b. Panjang diagonal ruang c. Luas permukaan kubus Jawab : a. Panjang diagonal bidang = a 2 = 6 2 cm b. panjang diagonal ruang = a 3 = 6 3 cm c. Luas permukaan kubus Lp = 6a 2 = 6 . 62 = 216 cm2

2.

Balok Jaring-jaring balok H E

G

G

D

C

G

H

D

A

B

F

E

A

E

F

F D

A

H

C B

Luas permukaan balok : Lp = 2 {(p . l) + (p . t) + (l . t)} Volume balok : V = p . l . t

Contoh : 1. Diketahui balok ABCD – EFGH dengan ukuran panjang 15 cm, lebar 8 cm dan tinggi 6 cm. Hitung : a. panjang diagonal AC, AF, dan AH b. panjang diagonal ruang AG c. luas permukaan balok


78

Jawab :

H

G

E

6 cm

F D

C 8 cm

A

15 cm

B

a. panjang diagonal AC AC2 = AB 2 + BC 2 = 152 + 82 = 225 + 64 = 289 AC = 17 cm AF2 = AB 2 + BF2 = 15 2 + 62 = 225 + 36 = 261 AF = 3 29 cm AH2 = AD2 + DH 2 = 82 + 62 = 64 + 36 = 100 AH = 10 cm b. panjang diagonal ruang AG AG2 = AC 2 + CG2 = 172 + 62 = 289 + 36 = 325 AG = 5 13 cm c. luas permukaan balok Lp = 2 {(p . l) + (p . t) + (l . t)} = 2 (15 . 8 + 15 . 6 + 8 . 6) = 2 (120 + 90 + 48) Lp = 516 cm 2

3.

Prisma Jaring-jaring prisma T T

S

R

T

R

S

T

Q

O

P

Q

Q O

P

Q


79

Luas selimut prisma segi-n = keliling bidang alas segi-n x tinggi prisma Luas permukaan prisma segi-n = luas selimut + luas alas + luas atas Contoh : 1. Diketahui prisma segitiga OPQ – RST, bidang alas prisma berbentuk segitiga siku-siku dengan sisi siku-siku 8 cm dan 6 cm. Jika tinggi prisma 12 cm, hitung : a. luas selimut prisma b. luas permukaan prisma Jawab : Bidang alas prisma berbentuk segitiga siku-siku Q OP = 8 cm dan OQ = 6 cm PQ2 = OP 2 + OQ 2 = 82 + 62 = 64 + 36 = 100 PQ = 10 cm O P a. Luas selimut = keliling segitiga . tinggi prisma = (8 + 6 + 10) . 12 = 24 . 12 = 288 cm2 b. luas alas = luas atas = ½ . 8 . 6 = 24 cm2 Luas permukaan prisma Lp = luas selimut + luas alas + luas atas = 288 + 24 + 24 = 336 cm2

4.

Limas T

Jaring-jaring limas T

D

C D

A

B

C

T

T A

B

T Luas selimut = n . luas bidang segitiga → n = jumlah segi bidang alas Luas permukaan = luas selimut + luas alas


80

Contoh : 1.

T

Limas segi empat T – ABCD, bidang alasnya berbentuk bujur sangkar dengan ukuran sisi 14 cm. Jika tinggi limas 24 cm, tentukan : a. Luas selimut b. Luas permukaan

24 cm D

C 14 cm

A 14 cm Jawab : T

B Perhatikan segitiga TPO TP 2 = 242 + 72 = 576 + 49 = 625 TP = 25 cm Luas bidang segitiga : L = ½ . alas . tinggi = ½ . 14 . 25 L = 175 cm2

24 7 O

P

a. Luas selimut : Ls = n . luas bidang segitiga = 4 . 175 = 700 cm2 b. Luas permukaan : Lp = luas alas + luas selimut = 14 x 14 + 700 = 896 cm2 5.

Limas Terpancung Jaring-jaring limas terpancung G

H E

H

F

D

A

G

D

C

B

C

H

G

E

F A

B

E

F

Luas selimut = n . luas bidang trapesium → n = jumlah segi bidang alas Luas permukaan = luas selimut + luas alas


81

Contoh : 1. Sebuah kap lampu berbentuk limas segi empat terpancung, dengan ukuran alas (40 x 40) cm dan ukuran atas (20 x 20) cm. Jika tinggi kap lampu 24 cm, Tentukan luas selimut kap lampu tersebut. Penyelesaian : Menentukan tinggi trapesium :

24 2 + 102 = 576 + 100 = 676 = 26 cm Luas trapesium :

10

h=

h 24

20 + 40 . 26 = 780 cm2 2 Luas selimut : Ls = 4 . LT = 4 . 780 = 3.120 cm2

LT =

6.

20

Kerucut T Jaring-jaring kerucut

T

A t

s s

A

r

B r

B

kel. lingkaran alas x luas lingkaran bidang tegak kel. lingkaran bidang tegak 2π r = xπ s2 = π r s 2π s Luas permukaan : Lp = luas selimut + luas alas = π r s + π r2 = π r (s + r)

Luas selimut

: Ls =


82

Contoh : 1. Kerucut dengan diameter alas 28 cm dan tinggi 48 cm. Hitung luas selimut, luas permukaannya dan volumenya. Jawab : Dari perbandingan Pythagoras (7 : 24 : 25) atau (14 : 48 : 50), maka garis pelukis ( s ) = 50 cm. s Luas selimut = π r s 22 48 = . 14 . 50 7 14 = 2.200 cm2 28 22 Luas alas = π r2 = . 14 . 14 7 = 616 cm2 Luas permukaan = luas selimut + luas alas = 2.200 + 616 = 2.816 cm2

7.

Kerucut terpotong T

Jaring-jaring kerucut terpotong T

s1 s1 r

r s R

s

R

Luas selimut = π (R + r) s Luas permukaan = luas selimut + luas alas + luas atas Contoh : 1.

Diketahui kerucut seperti terlihat pada gambar. Jika diameter alas 50 cm, diameter atas 20 cm, dan tinggi 20 cm, hitung luas selimut dan volumenya.


83

Jawab : Dari perbandingan Pythagoras (3 : 4 : 5) atau (15 : 20 : 25), maka garis pelukis s = 25 cm. Luas selimut = π (R + r) s 22 = (25 + 10) . 25 7 = 22 . 5 . 25 = 2.750 cm2

10

20 15 25

8.

Tabung Jaring-jaring tabung

r t 2π r

r t

Luas selimut : Ls = keliling lingkaran alas x tinggi tabung =2 π . r . t Luas permukaan : Lp = luas selimut + luas alas + luas atas. Contoh : 1. Tabung tanpa tutup mempunyai ukuran diameter 28 cm dan tinggi 30 cm. Hitung luas permukaan dan volumenya. Jawab : 22 Luas selimut = 2 π . r . t = 2 . . 14 . 30 7 = 2.640 cm2 Luas alas = π . r2 =

22 . 14 . 14 7

= 616 cm2

Luas permukaan = luas selimut + luas alas = 2.640 + 616 = 3.256 cm2


84

9.

Bola

Luas permukaan = 4 π . r 2 Volume : V = 4/3 . p . r3 r

Contoh : 1. Tentukan luas permukaan bola jika diameter bolanya 21 cm Jawab ; 22 Luas permukan = 4 π . r2 = 4 . . 10,5 . 10,5 7 = 1.386 cm2 Volume : V = 4/3 . p . r3 = = 4.851 cm3

4 22 . . 10,53 3 7

EVALUASI 9 A. 1.

2.

3.

Pilihlah jawaban yang dianggap paling benar ! Sebuah kubus ABCD – EFGH ukuran rusuknya 6 cm. Panjang diagonal ruangnya adalah …. a. 2 6 cm b. 3 6 cm c. 6 2 cm d. 6 3 cm e. 12 cm Diketahui kubus ABCD – EFGH, panjang rusuknya 12 cm. Luas bidang diagonal ACEG adalah … cm2. a. 144 b. 144 2 c. 144 3 d. 180 e. 225 Perhatikan gambar limas T–ABCD di bawah ini. Luas permukaannya adalah … cm2. a. 240 T b. 260 c. 300 13 cm d. 340 e. 360 D C

A 4.

10 cm B

10 cm Saluran air terbuat dari plat dengan diameter 35 cm dan panjang 6 m. Luas bahan untuk membuat saluran air tersebut adalah …. a. 21 m2 b. 66 m2 c. 70 m2 d. 132 m2 e. 210 m2


85

5.

6.

7. 8.

9.

10.

Limas T – ABCD dengan alas bujur sangkar (persegi) panjang AB = 10 dm dan tinggi limas = 12 dm. Luas permukaan limas adalah …. a. 60 dm 2 b. 120 dm 2 c. 180 dm 2 d. 240 dm 2 e. 360 dm 2 A

T TO = 12 dm D O 10 dm

C

B

Tempat air yang terbuat dari plat berbentuk balok tanpa tutup. Jika ukuran panjang 2 m, lebar 1,2 m dan tinggi 0,8 m maka luas bahan dari tempat air tersebut adalah …. a. 9,92 m2 b. 7,52 m2 c. 5,12 m 2 d. 3,52 m2 e. 1,92 m2 Saluran air dengan diameter 42 cm dan panjang 4,2 m. Luas permukaannya adalah …. a. 5,544 m2 b. 9,856 m 2 c. 55,44 m2 d. 98,56 e. 554,4 m2 Seorang pengrajin kompor minyak tanah akan membuat tabung tanpa tutup dari kaleng untuk tempat penampungan minyak tanah dengan ukuran diameter 28 cm dan tinggi 10 cm. Luas permukaan 10 buah tabung adalah … cm2. a. 1.400 b. 1.496 c. 2.112 d. 14.960 e. 21.120 Luas permukaan sebuah kaleng berbentuk tabung dengan sisi atasnya tanpa tutup seperti terlihat pada gambar adalah …. a. 9.306 cm2 b. 9.536 cm2 c. 10.692 cm 2 60 cm 2 d. 83.292 cm e. 83.424 cm2 42 cm

Luas selimut kerucut tersebut adalah …. a. 140 cm2 b. 280 cm 2 c. 440 cm2 d. 560 cm2 e. 880 cm 2

20 cm

14 cm


86

B. 1.

Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar ! Diketahui kubus ABCD – EFGH seperti terlihat pada gambar. Jika panjang rusuknya 10 cm, tentukan luas bidang BCEH H G Jawab : E

F D

2.

3.

4.

5.

C

A B Diketahui balok dengan ukuran panjang 8 cm, lebar 6 cm, dan tinggi 4 cm. Hitung luas permukaannya. Jawab : …………………………………………………………………………………………. Diketahui kerucut dengan diameter alas 42 cm dan tingginya 28 cm. Hitung luas selimutnya. Jawab : …………………………………………………………………………………………. Saluran air yang berbentuk tabung mempunyai ukuran diameter 28 cm dan panjang 4 m. Hitung luas permukaan dari saluran air tersebut. Jawab : …………………………………………………………………………………………. Limas segitiga sama sisi T – ABC, mempunyai ukuran panjang sisi alas 10 cm dan rusuk tegak 13 cm. Hitung luas selimutnya. Jawab : ………………………………………………………………………………………….


87

11.3. Menerapkan konsep volum bangun ruang 11.3. Apply concept of volum wake up room Indikator Tujuan

Uraian Materi

1.

: 1. Volum bangun ruang dihitung dengan cermat. : Siswa dapat : 1. Menuliskan rumus volume benda beraturan dalam ruang (kubus, balok, prisma, tabung, limas, kerucut, dan bola) 2. Menghiung volume benda beraturan dalam ruang dengan menggunakan rumus 3. Menyelesaikan masalah program keahlian yang berkaitan dengan transformasi bangun datar :

Kubus Volume kubus : V =s.s.s = s3

s

Contoh : 1. Diketahui kubus dengan ukuran rusuknya 12 cm.Hitung volumenya. Jawab : V = s3 = 123 = 1728 cm3

2.

Balok

t

Volume balok : V = panjang x lebar x tinggi =pxlx t

l p Contoh : 1. Tempat air yang berbentuk balok mempunyai ukuran panjang 1,5 m, lebar 1,2 m dan tinggi 1 m. Hitung berapa liter volume tempat air tersebut. Jawab : V = p x l x t = 1,5 x 1,2 x 1 = 1,8 m3 = 1.800 liter


88

3.

Prisma Volume prisma : V = luas alas x tinggi

Contoh : 1. Prisma segitiga siku-siku dengan ukuran rusuk siku-sikunya 20 cm dan 15 cm. Jika tinggi prisma 30 cm, berapa volumenya. Jawab : V = luas alas x tinggi = ½ x 20 x 15 x 30 = 4.500 cm3 4.

Limas T

Volume limas : 1 V = x luas alas x tinggi 3

D

C M

A

B

Contoh : 1. Limas segi empat T – ABCD, mempunyai ukuran alas panjang 16 cm dan lebar 12 cm. Jika panjang rusuk tegak 26 cm, hitung volumenya Jawab : D C Dari perbandingan Pythagoras (12 : 16 : 20), maka panjang diagonal alas = 20 cm 12 cm A

B 16 cm T Dari perbandingan Pythagoras (10 : 24 : 26), maka tinggi lias = 24 cm t

26 cm

M 10 cm

C

Volume limas : 1 V = x luas alas x tinggi 3 1 = x 16 x 12 x 24 3 = 1536 cm3 Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. 2 Sm. 3

89

5.

Limas Terpancung H E

a

G a F

D

C

t b A

b

B

Volume limas terpancung : 1 V = . t . (b . b + b . a + a . a) 3 Contoh : 1. Diketahui limas tegak terpancung ABCD-EFGH. Bentuk alas dan atas adalah bujur sangkar dengan panjang AB = BC = 40 cm dan panjang EF = FG = 20 cm. Jika tinggi limas 30 cm, berapa cm3 volume limas tersebut. Penyelesaian : b = 40 cm ; a = 20 cm ; t = 30 cm 1 V = . t . (b . b + b . a + a . a) 3 1 V= . 30 . (40 . 40 + 40 . 20 + 20 . 20) 3 V = 10 (1600 + 800 + 400) V = 10 (2800) V = 28.000 cm 3

6.

Kerucut Volume kerucut 1 V = x luas alas x tinggi 3 1 = . π . r2 . t 3

Contoh : 1. Kerucut dengan diameter 14 cm dan tinggi 30 cm. Hitung volumenya. Jawab : 1 V = . π . r2 . t 3 1 22 = . . 7 . 7 . 30 3 7 = 1.540 cm3


90

7.

Kerucut terpotong r

Volume kerucut terpotong : 1 V = . π . t . (R2 + R . r + r2) 3

t

R Contoh : 1. Sebuah ember dengan ukuran diameter atas 20 cm dan diameter alasnya 10 cm. Jika tinggi ember 24 cm, berapa liter volume ember. Jawab : 1 V = . π . t . (R2 + R . r + r2) → R = 10 cm dan r = 5 cm 3 1 22 = . . 24 . (10 2 + 10 . 5 + 52) 3 7 22 =8. . (100 + 50 + 25) 7 = 8 . 22 . 25 = 4.400 cm3 V = 4,4 liter

8.

Tabung Volume tabung : V = luas alas x tinggi V = π . r2 . t

Contoh : 1. Tempat air yang berbentuk tabung mempunyai ukuran diameter 100 cm dan tinggi 140 cm. Jika diisi air hanya ¾ bagian saja, berapa liter volume air di dalam tempat air tersebut. Jawab : Volume tabung : V = π . r2 . t → r = 50 cm 22 = . 50 . 50 . 140 7 = 1.100.000 cm3 = 1.100 liter


91

Volume air : 3 V = . volume tabung 4 3 = . 1100 4 = 825 liter

9.

Bola Volume bola : 4π V = . r3 atau 3 π 3 V = .d 6

Contoh : 1. Bola dengan diameter 21 cm akan diisi dengan udara sampai penuh. Tentukan volume udara dalam bola. Jawab : π V = . d3 6 22 22 = 7 x 213 = x 21 x 21 x 21 6 42 = 4.851 cm3 V = 4,851 liter Soal latihan : 1. Diketahui limas segiempat T -ABCD dengan alas berbentuk bujur sangkar. Jika panjang sisi alas 12 cm dan volume limas 1.200 cm3 , tentukan tinggi limas tersebut. Jawab : ............................................................................................................................................. 2. Sebuah ember dengan ukuran diameter alas 30 cm dan diameter atas 50 cm. Jika tinggi ember 42 cm, tentukan berapa liter volume ember tersebut. Jawab : ............................................................................................................................................. 3. Prisma tegak ABC-DEF dengan alas berbentuk segitiga siku-siku. Jika sisi siku-siku AB = 8, AC = 15 cm, dan tinggi AD = 24 cm, tentukan berapa cm3 volume prisma. Jawab : ............................................................................................................................................. 4. Bak air yang berbentuk kubus dengan ukuran sisinya 100 cm. Jika bak tersebut hanya terisi oleh air ¾ bagiannya, berapa liter air yang ada di dalam bak. Jawab : ............................................................................................................................................. 5. Diketahui kerucut dengan volume 4.224 cm3. Jika tinggi kerucut 28 cm, tentukan diameter kerucut tersebut. Jawab : ............................................................................................................................................. Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. 2 Sm. 3

92

EVALUASI 10 Pilihlah jawaban yang paling benar ! 1. Volume pondasi tiang penyangga yang mempunyai ketentuan seperti gambar berikut adalah …. a. 0,09500 m 3 20 cm b. 0,08000 m 3 c. 0,01800 m 3 15 cm 3 d. 0,01575 m e. 0,01350 m 3 30 cm 15 cm 40 cm

2.

3.

4.

Diketahui panjang sisi prisma segi empat 8 cm, lebar 5 cm, dan tinggi 6 cm. Jika bangun tersebut dibagi menjadi 3 bagian yang sama besar, maka volume masingmasing bagian adalah …. a. 40 cm3 b. 80 cm3 c. 100 cm3 d. 120 cm3 e. 160 cm3 Volume limas pada gambar di samping adalah …. a. 624 dm 3 b. 576 dm 3 c. 321 dm 3 13 dm 3 d. 208 dm e. 192 dm 3 6 dm 8 dm Volume dari balok terpancung seperti pada gambar di samping adalah … a. 22.500 cm2 b. 16.875 cm2 c. 15.000 cm 2 d. 11.250 cm2 e. 6.375 cm2 50 cm 25 cm 15 cm

5.

30 cm Volume bak yang berbentuk balok dengan tebal 10 cm seperti terlihat pada gambar adalah …. 1,2 m a. 1.100 liter 1m b. 1.000 liter c. 800 liter 1,1 m d. 740 liter e. 640 liter


93

6.

Volume dari kerucut terpancung dengan diameter kecil 20 cm, diameter besar 40 cm dan tinggi 42 cm seperti terlihat pada gambar di samping adalah …. a. 61.600 cm3 b. 50.400 cm3 c. 36.400 cm3 d. 30.800 cm3 e. 28.800 cm3

7.

Diketahui prisma ABC – DEF dengan alas berbentuk siku-siku yang ukuran sisi sikusikunya 8 cm dan 15 cm. Jika tinggi prisma 30 cm, maka volume prisma adalah …. a. 1.500 cm3 b. 1.800 cm3 c. 2.100 cm3 d. 2.400 cm3 e. 3.600 cm3 Kerucut dengan diameter alas 28 cm dan tinggi 15 cm. Volume kerucut adalah … liter. a. 1,54 b. 2,464 c. 3,08 d. 4,62 e. 6,16 Limas segitiga sama sisi, de ngan ukuran rusuk alasnya 12 cm. Jika tinggi limas 8 cm, maka volume limas adalah … cm3

8. 9.

10.

B. 1.

2.

3.

4.

5.

a. 24 3 b. 36 3 c. 48 3 d. 108 e. 192 Tempat air yang berbentuk tabung mempunyai ukuran diameter 70 cm dan tinggi 60 cm. Volume empay air tersebut adalah … liter. a. 0,231 b. 2,31 c. 23,1 d. 231 e. 2.310

Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar! Ember dengan diameer alas 14 cm, diameter atas 42 cm dan tinggi 24 cm. Berapa liter volume ember tersebut. Jawab : …………………………………………………………………………………………. Kaleng susu yang berbentuk silinder mempunyai ukuran diameter 20 cm dan tinggi 14 cm. Hitung volumenya. Jawab : …………………………………………………………………………………………. Limas T – ABCD dengan alas berbentuk bujur sangkar yang ukuran sisinya 10 cm. Jika tinggi limas 15 cm, hitung volumenya. Jawab : …………………………………………………………………………………………. Sebuah bola mempunyai ukuran diameternya 28 cm. Hitung volumenya. Jawab : …………………………………………………………………………………………. Tempat air yang berbentuk balok mempunyai ukuran bagian dalamnya adalah panjang 50 cm, lebar 40 cm dan tinggi 60 cm. Berapa liter air yang ada di dalam bak jika diisi hanya 2/3 bagian saja. Jawab : ………………………………………………………………………………………….


94

11.4. Hubungan antara unsur-unsur dalam bangun ruang 11.4. Relation between elements in awaking up room Indikator Tujuan

Uraian Maeri

: 1. Jarak antar unsur dalam ruang dihitung sesuai ketentuan 2. Besar sudut antar unsur dalam ruang dihitung sesuai ketentuan : Siswa dapat : 1. Menentukan jarak titik pada bangun ruang ke bidang 2. Menghitung besarnya sudut antara garis dan bidang pada bangun ruang 3. Menghitung besarnya sudut antara bidang dengan bidang pada bangun ruang :

1. 1.

Jarak pada bangun ruang Distance at awaking up room

a.

Jarak titik ke titik Jarak antara titik A ke titik B adalah penghubung terpendek antara A dan B, yaitu garis AB. B A Contoh : Diketahui kubus ABCD-EFGH, panjang rusuknya 4 cm. Tentukan jarak antara titik A ke titik G Jawab : H G Perhatikan segitiga ABC : E D A

b.

Jarak AC = 4 2 + 4 2 = 32 = 4 2 cm Perhatikan segitiga ACG :

F C

Jarak AG =

(4 2 )2 + 4 2 =

48 = 4 3 cm

B Jarak titik ke garis Jarak titik P ke garis g adalah ruas garis terpendek yang menghubungkan antara titik P ke garis g. P PP' adalah jarak antara titik P ke garis g

P' g Contoh : Diketahui kubus ABCD-EFGH, panjang ruruknya 6 cm. Tentukan jaraj antara titik H ke garis AC.


95

Jawab : H

G

E

Panjang AC = 6 2 cm AH = ½ AC = 3 2 cm

F

D

C H'

A c.

HH' =

(AH) 2 − (AH') 2 =

HH' =

72 − 18 =

(6 2 ) 2 − (3 2) 2

54 = 3 6 cm

B Jarak titik ke bidang Jarak titik ke bidang adalah ruas garis terpendek yang menghubungkan titik P ke bidang. P

P' Contoh : Diketahui balok ABCD-EFGH dengan AB = 8 cm, BC = 6 cm dan AE = 12 cm. Tentukan jarak titik H ke bidang a. ABCD b. BCGF c. ABFE Jawab : H G a. Jarak titik H ke bidang ABCD adalah HD =12 cm b. Jarak titik H ke bidang BCGF adalah HG = 8 cm E F c. Jarak titik H ke bidang ABFE adalah HE = 6 cm D

C

A 2. 2. a.

B

Sudut pada bangun ruang angle at awaking up room Sudut dua garis bersilangan sudut pada dasarnya terbentuk oleh dua garis yang saling berpotongan. Dengan demikian sudut dua garis yang bersilangan sama artinya dengan membentuk sudut dua garis yang berpotongan. Contoh : Dikeahui kubus ABCD-EFGH. Hitung besar sudut antara garis CH dan BD. Jawab : H G garis CH sejajar dengan garis BE dan memotong garis BD E F Jadi ∠ (CH. BD) = ∠ (BE. BD) = 60o (segitiga BED merupakan segitiga sama sisi) D A

C B Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. 2 Sm. 3

96

b.

Sudut antara garis dan bidang Sudut antara garis dan bidang adalah sudut yang terbentuk oleh perpotongan antara garis dengan garis lain yang menempel pada bidang. Contoh : Diketahui kubus ABCD-EFGH. Jika rusuk kubus 6 cm, hitung sudut antara garis BG dengan bidang ACGE. Jawab : H G - garis GM merupakan proyeksi garis BG pada bidang ACGE. E F - ∠ (BG. ACGE) = ∠ (BG. GM) = α

D

C

-

AC = BD = BG = 6 2 cm BM = ½ BD = 3 2 cm

M A B Menghitung sudut α : Perhatikan ∆ BMG BM 3 2 1 = = → α = 30o BG 2 6 2 Sudut antara dua bidang Sudut antara dua bidang adalah sudut yang dibentuk dari perpotongan dua garis yang terletak pada bidang. Contoh : Diketahui kubus ABCD-EFGH, dengan pa njang rusuk kubus 8 cm. Jika α adalah merupakan sudut antara bidang BDG dan ABCD, tentukan nilai dari cos α. Jawab : H G - garis BD merupakan perpotongan antara bidang BDG dan ABCD E F - garis GT dan CT terleak pada bidang BDG dan ABCD - ∠ (BDG. ABCD) = ∠ (GT. CT) = α D α C - AC = 8 2 cm ; CT = ½ AC = 4 2 cm T A B

sin α = c.

(4 2 ) 2 + (8) 2 =

-

GT =

(CT) 2 + (CG) 2 =

-

cos α =

CT 4 2 1 1 = = = 3 GT 3 4 6 3

32 + 64 =

96 = 4 6 cm


97

Soal latihan : 1. Diketahui balok ABCD-EFGH, dengan AB = 6 cm, AD = 8 cm, dan AE = 15 cm. Tentukan jarak antara titik A ke : a. titik C b. titik G Jawab : …………………………………………………………………………………………… 2. Diketahui panjang rusuk kubus ABCD-EFGH adalah 4 cm. Tenukan jarak antara titik A ke : a. titik F b. titik G Jawab : …………………………………………………………………………………………..... 3. Diketahui kubus ABCD-EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Tentukan jarak titik F ke : a. garis EG b. garis AC Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 4. Diketahui balok ABCD-EFGH, dengan AB = AD = 4 cm, dan BF = 3 cm. Tenukan nilai tangen sudut yang dibentuk antara garis : a. BG dengan AC b. EG dengan AH Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 5. Diketahui panjang rusuk ABCD-EFGH adalah 6 cm. Tentukan nilai : a. tangen bidang BDG dan ABCD b. sin bidang BDG dengan ABCD Jawab : …………………………………………………………………………………………….


98

ULANGAN HARIAN 4 A. 1. 2. 3.

4.

5. 6.

7. 8.

9. 10. 11.

12.

13.

14.

Pilihlah jawaban yang paling benar ! Sebuah kubus mempunyai volume 729 cm3. Ukuran rusuknya adalah …. a. 3 cm b. 9 cm c. 13 cm d. 19 cm e. 27 cm Kubus mempunyai ukuran rusuk 16 cm. Panjang diagonal bidangnya adalah …. a. 18 cm b. 20 cm c. 24 cm d. 16 2 cm e. 16 3 cm Kotak yang berbentuk kubus mempunyai ukuran rusuk 20 cm. Jika kotak tersebut tanpa tutup, maka luas permukaannya adalah … cm2 a. 2.000 b. 2.400 c. 4.000 d. 4.800 e. 8.000 Kap lampu yang berbentuk kerucut terpotong mempunyai ukuran diameter alas 28 cm dan diameter aas 14 cm. Jika tinggi kap lampu 24 cm, maka luas selimutnya adalah …. a. 1.200 cm2 b. 1.386 cm2 c. 1.500 cm2 d. 1.540 cm2 e. 1.650 cm2 Tabung dengan ukuran diameter 20 cm dan tinggi 28 cm. Luas selimutnya adalah …. a. 924 cm2 b. 1.500 cm2 c. 1.760 cm2 d. 1814 cm2 e. 2.074 cm2 Limas T – ABC sama sisi dengan ukuran rusuk alasnya 16 cm. Jika ukuran rusuk tegaknya 17 cm, maka luas selimutnya adalah …. a. 272 cm2 b. 360 cm2 c. 408 cm2 d. 616 cm2 e. 720 cm2 Kerucut dengan diameter alas 42 cm. Jika tinggi kerucut 28 cm, maka luas selimutnya adalah …. a. 2.310 cm2 b. 3.696 cm2 c. 3.960 cm2 d. 4.620 cm2 e. 5.040 cm2 Ember dengan diameter alas 30 cm dan diameter atas 50 cm. Jika tinggi ember 42 cm, maka volumenya adalah … liter. a. 32 b. 38,5 c. 53,9 d. 64 e. 77 Tabung dengan diameter alas 30 cm dan tinggi 21 cm. Volumenya adalah … liter. a. 14.850 b. 1.485 c. 148,5 d. 14,85 e. 1,485 Limas T – ABCD dengan alas berbentuk persegi panjang dengan ukuran panjang 20 cm dan lebar 12 cm. Jika tinggi limas 20 cm, maka volumenya adalah … cm3. a. 1.200 b. 1.600 c. 2.400 d. 3.600 e. 4.800 Limas segi empat dengan alas berbentuk bujur sangkar mempunyai volume 500 cm3 dan ukuran rusuk alasnya 10 cm, maka tinggi limas adalah …. a. 5 cm b. 10 cm c. 15 cm d. 20 cm e. 30 cm Kerucut mempunyai volume 720π cm3. Jika tinggi kerucut 15 cm, maka diameer alas kerucut adalah …. a. 8 cm b. 12 cm c. 16 cm d. 20 cm e. 24 cm Tabung mampunyai volume 14.850 cm 2. Jika tinggi tabung 21 cm, ma ka diameter tabung adalah …. a. 12 cm b. 15 cm c. 16 cm d. 24 cm e. 30 cm Diketahui kubus KLMN – OPQR seperti terlihat pada gambar. Jika panjang rusuknya 8 cm, maka besarnya tg KMO adalah …. 1 a. 2 R Q 2 1 b. 3 O P 2 c. 2 N M d. 3 K L e. 2 2


99

15.

Perhatikan gambar kubus ABCD – EFGH di bawah ini. Jika panjang rusuk kubus 10 cm, dan titik P tengah-tengah BC, maka panjang MP adalah …. a. 5 2 cm H G b. 5 3 cm M c. 5 6 cm E F d. 10 2 cm e. 10 3 cm

D

C N

A

B. 1.

Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar. Diketahui kubus ABCD – EFGH. Jika panjang rusuk kubus 8 cm, tentukan luas bidang BCEH. H G Jawab :

E

F D

A 2.

3.

4.

5.

P B

C B

Tabung lengkap dengan tutup mempunyai ukuran diameter 28 cm. Jika inggi tabung 15 cm. hitung luas permukaan tabung. Jawab : …………………………………………………………………………………………. Tempat air dengan tutup yang ber bentuk kotak mampunyai ukuran panjang 120 cm, lebar 80 cm dan tinggi 50 cm. Jika empa air tersebut terbuat dari plat, berapa luas bahannya. Jawab : …………………………………………………………………………………………. Limas T – ABC dengan alas berbentuk segitiga sama sisi. Jika panjang sisi alas 12 cm dan tinggi limas 15 cm, hitung volumenya Jawab : …………………………………………………………………………………………. Adi mampunyai sebuah bola dengan diameter 28 cm. Jika bola diisi dengan udara sampai penuh, berapa volume udara dalam bola. Jawab : ………………………………………………………………………………………….


100

LATIHAN ULANGAN UMUM SEMESTER GASAL Pilihlah jawaban yang benar! 1. Persamaan garis yang melalui titik P (-8, 7) dan Q (-2, 1) adalah …. a. x + y + 15 = 0 c. x + y – 15 = 0 e. y = x – 1 = 0 b. x + y + 1 = 0 d. x + y + 7 = 0 2.

3.

4. 5.

Persamaan garis yang melalui titik P (2, –3) dan tegak lurus garis 2y + x – 7 = 0 adalah …. a. 2y + x + 4 = 0 c. y – 2x + 7 = 0 e. y + x + 1 = 0 b. 2y – x + 8 = 0 d. y + 2x – 1 = 0

Persamaan parabola y = ax 2 + bx + c yang melalui titik (1, 2), (2, 4) dan (3, 8) mengakibatkan nilai a, b, dan c berturut-turut adalah …. a. -1, 1, dan 2 c. 1, -1, dan 2 e. -1, -1, dan 2 b. -1, 1, dan -2 d. 1, -1, dan -2 Grafik fungsi kwadrat f(x) = 4x – x2 , memotong sumbu x pada titik .... a. ( 0,0 ) dan ( -2, 0) c. ( 0,2 ) dan ( 0, -2 ) e. (0, 0) dan (0, 4) b. ( 2, 0 ) dan (-2, 0 ) d. (0, 0) dan (4, 0) Perhatikan gambar ! y –1

0

3

x

–3 (1, –4)

Persamaan grafik fungsi kuadrat pada gambar diatas adalah …. a. y = x2 + 2x + 3 d. y = 2x2 + x – 3 b. y = x2 – 2x – 3 e. y = 2x2 – x + 3 c. y = x2 – 2x + 3

6.

Persamaan fungsi kuadrat yang memenuhi pada grafik disamping adalah.... a. y = –x2 + 2x + 3 y b. y = –x2 – 2x + 3 3 c. y = –x2 + x + 4 d. y = x2 – x + 3 e. y = x2 + 2x + 3 -3 0 1 x

7.

Fungsi kuadrat dari gambar berikut adalah …. y a. y = x2 - 2x - 6 2 b. y = x + 2x - 6 x c. y = -2x 2 + 4x - 6 d. y = 2x2 + 4x - 6 e. y = 2x2 - 4x - 6 -6 (1, 8)

8. 9.

Titik balik dari f(x) = -2x2 - 8x - 6 adalah .... a. (-2, 2) b. (-2, 1) c. (2, -2) 1 Nilai x dari persamaan (2) 2x + 10 = adalah …. 4 a. 2

b. 0

c. –2

d. (2, -1)

d. –4

e. (-1, 2)

e. –6


101

10.

11.

12.

13.

14. 15.

16. 17. 18.

19.

20.

27

= 3 81 adalah …. 32x + 1 1 7 1 2 5 a. b. c. d. e. 4 24 3 3 3 Gaji seorang karyawan pada ta hun pertama adalah Rp 750.000,- per bulan. Pada tahun berikutnya tiap tahun gaji tersebut naik Rp 50.000,- . Jumlah gaji karyawan tersebut selama 4 tahun adalah .... a. Rp 38.600.000,c. Rp 39.600.000,e. Rp 40.800.000,b. Rp 39.200.000,d. Rp 40.200.000,Suatu barisan Aritmetika, diketahui besar U3 = -1 dan U5 = 3. Besar suku ke-10 dari barisan tersebut adalah .... a. -8 b. –4 c. 4 d. 8 e. 13 Pada minggu pertama seorang pedagang roti dapat menjual 250 potong. Untuk mingguminggu berikutnya ia dapat menjual roti sebanyak dua kali lipat dari penjualan minggu sebelumnya begitu seterusnya. Banyaknya roti yang dapat dijual pada minggu ke -5 adalah .... potong. a. 258 b. 1.000 c. 1.250 d. 2.000 e. 3.758 Dari deret aritmetika, diketahui rumus suku ke-n Un = 3n + 2. Jumlah 10 suku pertama adalah .... a. 32 b. 96 c. 165 d. 185 e. 195 Jumlah tak terhingga deret geometri adalah 12. Jika rasionya 2/3, maka suku pertamanya adalah .... a. 4 b. 6 c. 8 d. 18 e. 36 Dari deret aritmetika, diketahui rumus jumlah n suku pertama adalah Sn = 2n2 + n. U 10 = .... a. 35 b. 39 c. 55 d. 171 e. 210 Diketahui deret geometri, U2 = 6 dan U 4 = 54. Jumlah 6 suku pertama adalah .... a. 162 b. 242 c. 243 d. 486 e. 728 Luas daerah terarsir pada gambar disamping adalah … cm2. a. 10π b. 12π c. 15π d. 20π e. 50π 10 cm Perhatikan gambar di bawah. Jajaran genjang ABCD mempunyai keliling 60 cm dan CE : ED = 2 : 3. Jika panjang BC = 10 cm, maka jarak d ke BC adalah …. a. 12 cm D E C b. 10 cm c. 9 cm d. 8 cm e. 6 cm A B Disamping ini adalah gambar layang-layang dengan ukuran AE = 8 cm, BD = 21 cm, DE = 6 cm. Keliling layang-layang tersebut adalah.... a. 40 cm A b. 54 cm D c. 68 cm d. 168 cm E e. 336 cm C B Nilai x dari persamaan


102

21.

Keliling daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini adalah .... 40 cm a. 172 cm b. 160 cm 14 cm c. 152 cm 16 cm d. 116 cm e. 108 cm 64 cm

22.

Keliling daerah yang diarsir pada gambar di atas adalah … cm. a. 28 b. 44 c. 68 d. 70 Perhatikan gambar berikut ini !

e. 77

7 cm 7 cm 14 cm

9 cm

23.

24.

25.

26.

27.

7 cm

Keliling bangun pada gambar di atas adalah …. a. 99 cm b. 102 cm c. 104 cm d. 108 cm e. 110 cm Titik P (3, 5) dicerminkan terhadap garis x = 2 dan dilanjutkan dicerminkan terhadap garis x = 5. Bayangan titik P adalah .... a. P" (9, 5) b. P" (4, 5) c. P" (6, 5) d. P" (1, 5) e. P" (–1, 5) Titik Q (2, –4) dicerminkan terhadap garis y = 3 dan dilanjutkan dengan translasi  3  T =   . Bayangan titik Q adalah ....  − 5 a. Q" (2, 10) b. Q" (5, 5) c. Q" (2, 5) d. Q" (7, –9) e. Q" (–5, 5) Tabung tanpa tutup mempunyai ukuran diameter 28 cm dan tinggi 30 cm. Luas permukaan tabung tersebut adalah ... cm2. a. 3.872 b. 3.256 c. 2.640 d. 1.628 e. 616 Limas T.ABCD beraturan AB = 10 cm dan TC = 13 cm. Luas permukaan limas adalah … cm2. a. 290 b. 340 c. 360 d. 380 e. 400 Sebuah kap lampu dengan atap yang tertutup terbuat dari bahan tertentu seperti tampak pada gambar. 10 cm

24 cm

30 cm

Luas bahan yang diperlukan untuk membuat kap lampu itu adalah … cm2. a. 64 p b. 125 p c. 520 p d. 525 p e. 545 p


103

28.

29.

30. 31.

Luas selimut sebuah kerucut adalah 44 cm2 sedangkan jari-jarinya adalah 3,5 cm. 22 Panjang garis pelukis kerucut tersebut adalah …. (p = ) 7 a. 1 cm b. 2 cm c. 3 cm d. 3,5 cm e. 4 cm Diketahui prisma tegak ABC-DEF dengan panjang rusuk bidang alas AB = 6 cm, BC = 8 cm dan AC = 10 cm. Jika panjang AD = 5 cm, volume prisma adalah … cm3. a. 80 b. 120 c. 150 d. 180 e. 240 Volume suatu balok adalah 48 cm3. Jika perbandingan panjang, lebar, dan tinggi balok itu adalah 3 : 1 : 2, maka tinggi balok adalah …. a. 16 cm b. 8 cm c. 4 cm d. 2 cm e. 1 cm Perhatikan gambar berikut !

6 cm

12 cm

32.

Sebuah benda berbenuk kapsul seperti tampak pada ambar di atas. Volume kapsul tersebut adalah …. a. 144 p cm3 b. 145 p cm3 c. 150 p cm 3 d. 160 p cm 3 e. 172 p cm3 Perhatikan gambar layang-layang di bawah ini. Panjang rusuk AB = 32 cm dan CD = 42 cm. Jika CE : DE = 2 : 5 maka keliling layang-layang tersebut adalah .... C a. 74 cm b. 96 cm c. 108 cm A B E d. 128 cm e. 144 cm D

33.

Keliling daerah yang diarsir dari gambar berikut adalah .... a. 58 cm b. 74 cm c. 76 cm 24 cm d. 80 cm e. 88 cm 7 cm 20 cm

34.

Luas daerah yang diarsir pada gambar berikut adalah ... cm2. a. 308 b. 448 c. 616 d. 784 28 cm e. 1.232

28 cm Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. 2 Sm. 3

104

35.

Keliling daerah yang diarsir pada gambar dibawah ini adalah … cm. a. 88 b. 116 14 cm c. 132 d. 154 e. 176 14 cm 28 cm

36.

37.

38. 39.

Diketahui limas T-ABCD dengan alas berbentuk persegi panjang. Panjang AB = 16 cm dan BC = 12 cm. Jika panjang rusuk TC = 26 cm, volume limas adalah ... cm 3. a. 4.992 b. 1.608 c. 3.080 d. 1.664 e. 1.536 Untuk membuat 10 buah ring basket yang diameternya 42 cm dibutuhkan besi beton dengan panjang … meter. a. 1,32 b. 2,64 c. 13,2 d. 13,86 e. 26,4 3 Volume sebuah kerucut adala h 1500π cm . Jika tinggi kerucut 20 cm maka diameter kerucut tersebut adalah … cm. a. 40 b. 30 c. 20 d. 15 e. 10 Luas selimut dari tabung terpancung di bawah ini adalah … cm2. a. 2.640 b. 3.256 c. 3.872 d. 4.488 58 cm e. 5.104 30 cm

28 cm

40.

Perhatikan gambar kubus ABCD-EFGH di bawah ini. Jika panjang rusuk kubus 6 cm, maka nilai sinus antara bidang ACH dan bidang ABCD adalah …. 1 a. H G 2 3 1 b. 3 E F 3 1 c. 2 2 1 d. 6 D T C 3 1 e. A B 6 2


105

DAFTAR PUSTAKA Wiyoto dkk, 2000. Matematika untuk SMK Teknik Jilid I dan II. Angkasa Bandung Tim Matemaika SMK Teknik, 2005. Matematika untuk SMK Teknik Jilid II. PT. Galaxy Puspa Mega Jakarta. Sri Kurnianingsih dkk, 2004. Metamatika untuk SMA Jilid I. ESIS Jakarta. Suwah Sembiring, 2003. Matemaika untuk SMA Jilid III. CV. YRAMA WIDYA. Bandung. Lembaga Pendidikan PRIMAGAMA, 2003. Matematika Metode Smart Solution. Andi Yogyakarta Dokumen LP2IP, 2006. Kumpulan Simulasi Ujian Nasional Matematika untuk SMK Teknik. LP2IP Gajah Mada Yogyakarta. Kumpulan Naskah soal Ujian Nasional Matemaika untuk SM


106

Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. 2 Sm. 3 0

Recommend Documents