XI-1 XI-1 XI-2 XI-3 XI-4 XI-5 XI-6 XI-7 XI-8 XI-9 XI-10 XI-11
Nestacionární elektromagnetické pole .............................................................................................2 Rovinná harmonická elektromagnetická vlna .....................................................................................3 Vlastnosti rovinné elektromagnetické vlny.........................................................................................5 Zobrazení rovinné elektromagnetické vlny v prostoru ..........................................................................7 Fázová rychlost ..........................................................................................................................8 Fázory při popisu rovinné harmonické elektromagnetické vlny a konstanta šíření ......................................8 Charakteristická impedance prostředí Z ......................................................................................... 10 Výkon přenášený rovinnou harmonickou elektromagnetickou vlnou ..................................................... 10 Výkon přeměněný na teplo .......................................................................................................... 11 Bilance činného výkonu v prostoru s rovinnou elektromagnetickou vlnou ............................................... 12 Určení konstanty šíření, měrného útlumu, fázové konstanty a charakteristická impedance prostředí ........... 14 Odvození rovnice pro popis rovinné elektromagnetické vlny ............................................................... 18
XI-1
Nestacionární elektromagnetické pole
Nestacionární elektromagnetické pole je obecně popsáno dvojicí základních Maxvellových rovnic. Tyto rovnice jsou formálně podobné a symetrické, vyjadřují základní zákony platné pro elektromagnetické pole. První rovnice [1] je zobecněný Ampérův zákon celkového proudu v diferenciálním tvaru, na levé straně má veličinu magnetického pole – intenzitu H a v členu, který představuje hustotu takzvaného posuvného proudu, je časová změna veličiny elektrického pole – elektrické indukce D. Tento zákon vyjadřuje důležitou skutečnost, že časově proměnné magnetické pole je buzeno časovou změnou elektrického pole:
rot H
J+
[1]
∂ ∂t
D
Druhá rovnice [2] je Faradayův indukční zákon v diferenciálním tvaru, který má na levé straně veličinu elektrického pole – intenzitu E a na pravé straně časovou změna veličiny magnetického pole – magnetickou indukce B . Tato rovnice vyjadřuje skutečnost, že časově proměnné elektrické pole je buzeno časovou změnou magnetického pole:
rot E [2]
∂ − B ∂t
Elektrické a magnetické pole jsou duální složky elektromagnetického pole. Kde existuje časově proměnné pole jedné formy, existuje i časově proměnné pole druhé formy. Z matematického hlediska tvoří uvedené rovnice soustavu dvou parciálních diferenciálních rovnic, ve kterých je počet neznámých veličin zdánlivě větší než dvě. V těchto rovnicích se vyskytuje celkem pět veličin. Tři veličiny popisující rozložení elektrického pole: Intenzita elektrického pole E, elektrická indukce D a proudová hustota J. Dvě veličiny popisují rozložení magnetického pole: Intenzita magnetického pole H a magnetická indukce B. Jednotlivé veličiny elektrického a magnetického pole však nejsou navzájem nezávislé. Jsou vázány takzvanými materiálovými rovnicemi : Ohmovým zákonem v diferenciálním tvaru : [3]
J
σ ⋅E
Rovnicí respektující vliv magnetizace materiálu : [4]
B
µ ⋅H
Rovnicí respektující vliv polarizace materiálu : [5]
D
ε ⋅E
S ohledem na vzájemné vazby si můžeme při řešení soustavy vybrat jednu veličinu popisující elektrické pole a jednu veličinu popisující magnetické pole. Například intenzitu elektrického pole E a intenzitu magnetického pole H. Všechny ostatní veličiny v soustavě je možno pomocí těchto dvou snadno vyjádřit. Po takové úpravě dostaneme skutečně soustavu dvou rovnic o dvou neznámých veličinách : E a H
σ ⋅E +
rot E
∂ − µ ⋅H ∂t
[6]
[7]
∂
rot H
∂t
ε ⋅E
Formální zápis rovnic však v žádném případě neznamená, že řešení uvedené soustavy bude jednoduchý problém s vždy jednoznačně existujícím řešením. Nejedná se totiž o algebraické rovnice, je to soustava parciálních diferenciálních rovnic, ve kterých je vždy jedna veličina skryta ve vektorové funkci zvané rotace. Rotace v sobě zahrnuje parciální derivace podle prostorových souřadnic. Druhá veličina se vyskytuje ve formě časové derivace. Řešení hledáme pro konkrétní problém s uvážením určitých okrajových podmínek. Každá formálně zapsaná veličina elektrického a magnetického pole ve vztazích [6],[7] obecně představuje vektorovou funkci prostoru a času. To znamená, že veličiny mohou v každém bodě prostoru nabývat různé velikosti a směru a v závislosti na čase se mohou měnit podle obecných časových funkcí. Pro vektorovou funkci, která by popisovala prostorové rozložení intenzity elektrického pole, se dá například formálně napsat : [8]
E ( x , y , z , t)
Ex ( x , y , z , t) ⋅ x0 + Ey ( x , y , z , t) ⋅ y0 + Ez ( x , y , z , t) ⋅ z 0
Podle této rovnice je každému bodu prostoru v určitém čase přiřazen vektor E, který je možno rozdělit na složky ve směru souřadných os. Každá složka je popsána odpovídající skalární funkcí : Ex,Ey,Ez. Každá z těchto funkcí je samozřejmě funkcí prostorových souřadnic a času. Xo,Yo,Zo jsou jednotkové vektory ve směru souřadných os. (viz obrázek 1) Obrázek 1
XI-1
Rovinná harmonická elektromagnetická vlna
Když se při řešení rovnice omezíme pouze na určitý specifický tvar pole a na určité funkce udávající časovou závislost, můžeme najít řešení soustavy[6],[7] jednodušším způsobem. Jedno speciální a velice důležité řešení v neohraničeném prostoru se nazývá rovinná harmonická elektromagnetická vlna. Obrázek 2 V tomto případě je celý problém z hlediska prostorového rozložení veličin zásadně zjednodušen dvěma podmínkami(to jsou uměle zvolené podmínky ale povedou na řešení, které má velké praktické aplikace): a)
Z množiny všech možných prostorových rozložení elektromagnetického pole si vybereme jenom takové, ve kterém má vektor intenzity elektrického pole složku v jednom směru, například ve směru osy x ( viz obrázek 2).
b)
Vybraná složka intenzity elektrického pole EX se nemění ve všech směrech, ale pouze ve směru osy z, což se dá zapsat v podobě: [9]
Ex ( z , t)
[10]
Ex ≠ f ( x , y)
Jinými slovy to znamená, že na libovolné rovině vedené z určitého bodu na ose z rovnoběžně s osami x,y má intenzita elektrického pole pouze složku ve směru osy x, intenzita elektrického pole je na celé této rovině konstantní. Její velikost je závislá pouze na poloze roviny vůči ose z. Při takové volbě směru intenzity elektrického pole potom vyplyne z vlastností Maxvellových rovnic a tedy z vlastnosti elektromagnetického pole skutečnost, že intenzita magnetického pole má pouze složku ve směru osy y a tato složka se mění také pouze ve směru osy z (viz obrázek 3). Tato skutečnost je ukázána v části, kde jsou odvozeny rovnice rovinné elektromagnetické vlny. Obrázek 3 Matematicky se dá tato skutečnost zapsat v podobě: [11]
Hy ( z , t)
[12]
Hy ≠ f ( x , y)
Z této volby geometrického rozložení veličin elektromagnetického pole vyplývá název : Rovinná elektromagnetická vlna. Z hlediska časové změny veličin elektromagnetického pole je celý problém dále zjednodušen tím, že neuvažujeme libovolný časový průběh veličin, ale pouze harmonický průběh. Popis časové závislosti obsahuje pouze harmonické funkce ( sin, cos). Tato volba umožní při řešení diferenciálních rovnic zavedení fázorů a odstranění závislosti na čase. Touto úpravou zbude pouze jediná proměnná veličina - souřadnice z. I tato podmínka se odráží v názvu celého problému, mluvíme o rovinné
harmonické elektromagnetické vlně. Poznámka: Mohlo by se zdát, že tak velké zjednodušení povede k výsledům, které nebudou prakticky použitelné, opak je však pravdou. Z teoretického hlediska má rovinná harmonická elektromagnetická vlna velký význam. V praxi se tvar pole v podobě rovinných vlnoploch často vyskytuje. Je tomu tak například u elektromagnetické vlny v dostatečné vzdálenosti od zdroje vlnění. Harmonický časový průběh také nemusí znamenat velké omezení v obecnosti. Budeme-li uvažovat lineární prostředí, platí princip superpozice, obecný časový průběh lze rozložit na jednotlivé harmonické složky a počítat odděleně. Postup řešení soustavy rovnic pro veličiny elektromagnetického pole s respektováním omezení pro rovinnou vlnu je uvedeno v kapitole XI-11. Výsledkem celého řešení jsou potom dvě základní rovnice: Časové a prostorové rozložení intenzity elektrického pole E je popsáno vztahem :
[13]
Ex ( z , t)
− α ⋅z
Em ⋅ e
(
)
⋅ sin ω ⋅ t − β ⋅ z + φ 0
Podobný vztah platí i pro časové a prostorové rozložení intenzity magnetického pole H:
[14]
Hy ( z , t)
− α ⋅z
Hm ⋅ e
(
)
⋅ sin ω ⋅ t − β ⋅ z − φ z + φ 0
Na těchto rovnicích je patrno, že splňují z geometrického hlediska vytýčené podmínky (9),(10),(11),(12) a skutečně se jedná o harmonické časové průběhy. Fyzikální význam veličin, které se vyskytují v rovnicích [13],[14] , je popsán v kapitole 3.
XI-2
Vlastnosti rovinné elektromagnetické vlny
Při zkoumání vlastností rovinné elektromagnetické vlny a rovnic pro veličiny elektromagnetického pole, které ji popisují, si můžeme přestavit, že jsme pozorovatel, který se může volně pohybovat v prostoru a v každém místě má možnost sledovat intenzitu elektrického a magnetického pole E a H. Máme k dispozici anténu, která nám umožní vysledovat směr veličin elektromagnetického pole a osciloskop, na kterém můžeme pozorovat velikost a časový průběh veličin. Pozorování budeme provádět na rovinách rovnoběžných s osami x,y, které jsou znázorněny na obrázku 4. Obrázek 4 Pozorování začneme na rovině, která prochází počátkem, bodem z=0 (vlevo na obrázku 4). Když budeme anténu v prostoru natáčet tak, abychom nalezli směr, ve kterém bude největší amplituda měřených veličin a současně i směr, ve kterém směřují vektory veličin pole, zjistíme zcela jistě, že intenzita elektrického pole E má pouze složku ve směru osy x a intenzita magnetického pole H pouze složku ve směru osy y. To bude platit v kterémkoliv místě zvolené roviny (rovinná vlna).
Na osciloskopu uvidíme časový průběh veličin, které dostaneme z rovnice (13),(14) po dosazení za z=0 (obrázek 5): Obrázek 5 [15] [16]
(
)
Ex ( z
0 , t)
Em ⋅ sin ω ⋅ t + φ 0
Hy ( z
0 , t)
Hm ⋅ sin ω ⋅ t − φ z + φ 0
(
)
Tyto časové průběhy budou v libovolném bodě vytýčené roviny(z=0) zcela stejné, veličiny pole totiž nejsou závislé na souřadnici x a y a je to patrno i v rovnicích (13),(14),(15),(16). Jako pozorovatel se tedy můžeme pohybovat nahoru, dolů, doleva i doprava do libovolné vzdálenosti, aniž bychom na osciloskopu pozorovali jakoukoliv změnu. Na rovnicích (15),(16) a obrázku 5 vidíme, že se jedná o obyčejné harmonické průběhy s amplitudami Em,Hm, které se mění s úhlovým kmitočtem ω. Úhel φo udává okamžitou hodnotu intenzity elektrického pole v bodě z=0 a čase t=0. Je to jakási vztažná hodnota, na základě které lze potom vypočítat intenzitu elektrického a magnetického pole v libovolném čase a místě : [17]
Ex ( z
0 ,t
0)
( )
Em ⋅ sin φ 0
Poznámka: V dalším textu bude ukázáno, že veličiny E a H jsou na sobě závislé, navíc jsou v celém prostoru popsané jednoznačnými rovnicemi [13],[14]. Stačí nám proto znát hodnotu jedné z těchto veličin právě v jednom bodě a v jednom časovém okamžiku, abychom z toho určili, jaká hodnota bude v jiném bodě a v jiném časovém okamžiku pro libovolnou z veličin. Je li například φo=π/2, nabývá intenzita elektrického pole v bodě z=0 a čase t=0 svého maxima, které je rovno její amplitudě. Pro φo=0 je intenzita elektrického pole v čase t=0 a bodě z=0 nulová. Úhel φz udává fázové (časové) zpoždění průběhu intenzity magnetického pole H za intenzitou elektrického pole E. Z rovnic (16) a (17) neplyne, jak by bylo možno tento úhel určit a na čem závisí, to bude předmětem podrobnějšího rozboru. Už v této chvíli se však dá říci, že tento fázový posuv je podobný fázovému posuvu mezi napětím a proudem v elektrickém obvodu s indukčností. V takovém obvodu předbíhá napětí elektrický proud. Navíc zjednodušeně platí, že napětí je integrální veličina ve vztahu k intenzitě elektrického pole a proud je integrální veličina ve vztahu k intenzitě magnetického pole. Velikost úhlu je závislá na charakteru prstředí. Bude ukázáno, že v dielektrickém(bezeztrátovém) materiálu je tento úhel nulový, v dokonalém vodiči je roven 45°. Zajímavý jev nastane, když se jako pozorovatel přemístíme na rovinu, která prochází bodem z=z1 (obrázek 4). V tomto případě uvidíme na osciloskopu časové průběhy, které jsou popsané rovnicemi (18),(19). Vzniknou z rovnic (13), (14) po dosazení z=z1. Jsou to opět harmonické průběhy, ale od průběhů na rovině z=0 se poněkud liší :
[18]
[19]
E x ( z 1 , t) H y ( z 1 , t)
E m ⋅e
− α ⋅ z1
− α ⋅ z1
H m⋅e
(
)
⋅ sin ω ⋅ t − β ⋅ z 1 + φ 0
(
)
⋅ sin ω ⋅ t − β ⋅ z 1. − φ z + φ 0
obrázek 6
Porovnáme-li časový průběhy intenzity E na nové rovině (z=z1) s původním průběhem intenzity E na rovině z=0 (viz obrázek 6) uvidíme, že se časový průběh zpozdil o úhel β*z1 a jeho amplituda poklesla e - α * z1 krát. Z toho vyplývá význam koeficientů β a α. Konstanta α se nazývá měrný útlum. Měrný útlum udává, o kolik se na dané vzdálenosti utlumí amplituda veličin elektromagnetického pole. Měrný proto, že po vynásobení určitou vzdálenosti udává velikost exponentu v tlumícím členu rovnice. Konstanta β se nazývá fázová konstanta a udává měrný fázový posun na jednotku délky. Po vynásobení určitou vzdáleností udává úhel, o jaký se na této vzdálenosti časově zpozdí průběh veličin elektromagnetického pole. Zjednodušeně si lze představit, že toto zpoždění je dané skutečností, že do nějakého vzdálenějšího místa ( v našem případě do bodu z1) doletí elektromagnetická vlna s určitým časovým zpožděním a na své cestě ztratí něco ze své amplitudy - trochu se utlumí. Konstanty α a β jsou závislé na parametrech prostředí a kmitočtu vlnění. Rovnice (18) a (19) podobně jako v případě úhlu φz ještě nedává návod, jak skutečně určit velikost konstant α a β , to bude také předmětem dalšího rozboru.
Když budeme jako pozorovatel postupovat k dalším rovinám v kladném směru osy z, jak je naznačeno na obrázku 4, uvidíme časové průběhy, které budou mít stále menší amplitudu a budou čím dál tím více fázově zpožděny ve vztahu k časovému průběhu v bodě z=0. Na rovině v bodě z=z2 (viz obrázek 4) se může například stát, že budou veličiny pole kmitat s opačnou fází To bude tehdy, když bude platit : Obrázek 7 [20]
β ⋅z 2
π
(průběh viz obrázek 7). Když postoupíme ještě dál, může se například stát, že na rovině z=z3 (viz obrázek 4) uvidíme časový průběh, který splyne s průběhem pro z=0 (bude s ním ve fázi). To se stane tehdy, když bude platit :
β ⋅z 3 [21] (průběh viz obrázek 7).
2⋅π
Taková vzdálenost z3 se nazývá vlnová délka a označuje se λ
λ
z3
[22]
2⋅ π
β
S ohledem na toto značení leží rovina z=z2 ve vzdálenosti, která je rovna polovině vlnové délky. Vlnová délka je vzdálenost dvou vlnoploch, na kterých kmitají veličiny elektromagnetického pole se stejnou fází.
XI-3
Zobrazení rovinné elektromagnetické vlny v prostoru
Doposud jsme veličiny elektromagnetického pole zobrazovali jako časový průběh v určité zadané vzdálenost od počátku souřadnic ( viz obrázek 5,6,7) . V rovnicích (13) až (19) byla vzdálenost z považována za parametr a čas t za proměnnou veličinu. Když se na tyto rovnice podíváme z opačné strany a budeme považovat čas za parametr a souřadnici z za proměnnou veličinu, můžeme si rovnice (13) a (14) zobrazit jako prostorové rozložení veličin E a H pro různé, po sobě jdoucí časové okamžiky. Tímto postupem uvidíme harmonické rozložení veličin v prostoru (rovinnou vlnu), která se v závislosti na čase stěhuje v kladném směru osy z. S postupující vzdálenosti se navíc vlna tlumí. Tok výkonu (Poyntingův vektor) je dán vektorovým součinem vektorů intenzity elektrického a magnetického pole E a H : [23]
S
E×H
Výsledný Poyntingův vektor musí být kolmý na vektor E i H. V našem případě má vektor E pouze složku EX a vektor H pouze složku HY, svírají tedy pravý úhel a vektor S musí nutně mít pouze složku SZ, což je složka ve směru pohybu vlny.
XI-4
Fázová rychlost
Obrázek 8 Z geometrického uspořádání rovinné vlny je patrno, že na rovinách rovnoběžných s osami x a y jsou veličiny elektromagnetického pole orientovány ve směru : Ex, Hy. Když si jednu takovou rovinu vybereme (viz obrázek 8), jsou v každém místě této roviny v jednom konkrétním okamžiku veličiny pole všude stejně veliké. Když například na jedné rovině nabývají svého maxima, s určitým časovým zpožděním nabudou svého maxima i na rovině sousední, ležící napravo ve směru pohybu vlny. Když tyto roviny, na kterých jsou veličiny ve stejné fázi, nazveme vlnoplochy, můžeme si potom představit, že se tyto vlnoplochy pohybují v prostoru rychlostí, která se nazývá fázová rychlost. Bude ukázáno, že velikost fázové rychlosti je obecně závislá na parametrech prostředí a kmitočtu. Pro elektromagnetickou vlnu ve vakuu(vzduchu) je fázová rychlost rovna rychlosti světla. Dvě místa se stejnou fází (vlnoplochy) mají mezi sebou vzdálenost, která je rovna vlnové délce:
λ
2⋅π
β
Můžeme si představit, že vlnoplocha tuto vzdálenost urazí za čas, pro který platí :
ω ⋅t 2⋅π ( to je perioda, se kterou se v jednom místě opakují stejné hodnoty, za tento čas do nějakého místa doletí další vlnoplocha se stejnou fází). Pro fázovou rychlost - rychlost s jakou se v prostoru pohybují vlnoplochy ( roviny se stejnou fází) tedy platí :
vf [24]
XI-5
λ t
2⋅π β 2⋅π ω
ω β
Fázory při popisu rovinné harmonické elektromagnetické vlny a konstanta šíření
Při řešení soustavy parciálních diferenciálních rovnic (6),(7). se s výhodou používá fázorů. Fázor je komplexní veličina, vektor v komplexní rovině, který je obrazem harmonicky časově proměnné veličiny. Při zavedení fázorů předpokládáme, že se všechny veličiny mění se stejným kmitočtem, časová závislost je u všech stejná a je možné jí odstranit. Fázor jako komplexní číslo v sobě obsahuje dva údaje, kterými se dvě harmonicky proměnné veličiny od sebe navzájem liší a to je amplituda a vzájemný fázový posun. Amplituda je reprezentována absolutní hodnotou fázoru, fázový posuv je obsažen v argumentu fázoru. Celá tato transformace do komplexní roviny je založena na vztahu : j ⋅α
[25]
e
cos ( α ) + j ⋅ sin( α )
Po zavedení fázorů při odvození vlnové rovnice se objeví dvě další důležité komplexní veličin. Je to konstanta šíření a charakteristická impedance prostředí. Konstanta šíření k v sobě obsahuje měrný útlum a fázovou konstantu, o jejichž významu
jsme již mluvili: [26]
k
β − j⋅α
Pro fázor, který reprezentuje intenzitu elektrického pole platí:
[27]
Ex ( z)
E0 ⋅ e
− j ⋅k ⋅z
Em ⋅ e
j ⋅ φ0
− j ⋅ ( β −j ⋅ α ) ⋅ z
− α ⋅z
⋅e
Em ⋅ e
⋅e
(
j φ0−β ⋅ z
)
V definiční rovnici se vyskytuje ještě jeden fázor, označený jako Eo, který představuje hodnotu fázoru pro z=0.
[28]
E0
Em ⋅ e
j ⋅ φ0
Na rovnicích (26),(27),(28) je patrno, že fázor v sobě zahrnuje všechny důležité prvky, které jednoznačně popisují rozložení intenzity elektrického pole a které jsou obsaženy i v časovém průběhu( rovnice 13) : je to amplituda Em, konstanty α a β, úhel φo. Fázor je pouze funkcí proměnné z, čas zde již nefiguruje. Mezi časovou závislostí intenzity elektrického pole a fázorem platí zpětný transformační vztah (29), pro který lze snadno dokázat s použitím rovnic 25-28., že platí :
(
Ex ( z , t)
Im Ex ( z) ⋅ e
[30]
E x ( z , t)
Im Em ⋅ e
[31]
Ex ( z , t)
Em ⋅ e
Ex ( z , t)
Em ⋅ e
Ex ( z , t)
Em ⋅ e
[29]
[32]
[33]
(
j ⋅ φ0
j ⋅ω ⋅t
⋅e
)
Im E0 ⋅ e
− α ⋅z
j⋅
⋅e
− j ⋅β ⋅z
⋅e
− j ⋅k ⋅z
j ⋅ω ⋅t
⋅e
j ⋅ω ⋅t
)
(ω ⋅ t−β ⋅ z+ φ0)
− α ⋅z
⋅ Im e
− α ⋅z
⋅ Imcos + ω ⋅ t − β ⋅ z + φ 0 + j ⋅ sin ω ⋅ t − β ⋅ z + φ 0
− α ⋅z
⋅ sin ω ⋅ t − β ⋅ z + φ 0
(
(
)
(
)
Výsledkem je skutečně časový průběh, kerý byl popsán v rovnici (13). Zcela analogicky platí pro fázor intenzity magnetického pole H :
[34]
H y ( z)
H 0 ⋅ e− j ⋅ k ⋅ z
pro fázor v Ho v bodě z=0
[35]
H0
Hm ⋅ e
j⋅
(φ0−φz)
a pro zpětnou transformaci do časové roviny :
H 0 ⋅ e− j ⋅ ( β −j ⋅ α ) ⋅ z
H 0 ⋅ e− α ⋅ z ⋅ e− j ⋅ β ⋅ z
)
[36]
XI-6
(
Im H y ( z ) ⋅ e
H y ( z , t)
j ⋅ω ⋅t
)
Im H 0 ⋅ e
− j ⋅k ⋅z
⋅e
j ⋅ω ⋅t
H m⋅e
− α ⋅z
(
Charakteristická impedance prostředí Z
Charakteristická impedance prostředí je velice důležitá veličina, která udává vztah mezi intenzitou elektrického a magnetického pole. Má podobnou úlohu jako impedance ve střídavých obvodech, je definována jako podíl fázorů veličin, jednotkou je Ohm . Vztah pro impedanci vyplyne při řešení soustavy rovnic (1),(2) po zavedení fázorů. Ze soustavy se nejprve vypočte jedna neznámá veličina( například E) a zpětně se dosazení pro výpočet druhé veličiny . To bude ukázáno v části 11.
Z [37]
Ex
E0 ⋅ e− j ⋅ k ⋅ z
E0
Hy
H0 ⋅ e− j ⋅ k ⋅ z
H0
Em ⋅ e Hm ⋅ e
j⋅
j ⋅ φ0
(φ0−φz)
Em Hm
⋅e
j ⋅ φz
Z ⋅e
j ⋅ φz
Charakteristická impedance jako komplexní číslo v sobě nese dva údaje. Absolutní hodnota impedance udává podíl amplitud intenzity elektrického a magnetického pole, úhel vlnové impedance udává vzájemné fázové natočení mezi fázory E a H , popřípadě úhel fázového zpoždění mezi časovými průběhy E a H.
XI-7
Výkon přenášený rovinnou harmonickou elektromagnetickou vlnou
Výkon přenášený elektromagnetickým polem je obecně charakterizován Poyntingovým vektorem. Poyntingův vektor představuje plošnou hustotu výkonu. Podle definice je to výkon přenášený jednotkou plochy kolmé ke směru šíření. Pro Poyntingův vektor platí vztah : [38]
S
E×H
Kde E a H jsou vektory intenzit elektrického a magnetického pole. Když budeme chtít vypočítat celkový výkon, který prochází určitou plochou A, je nutné sečíst kolmé průměty Poyntingova vektoru v různých místech plochy, řešit tedy integrál :
P [39]
⌠ S dA ⌡
V rovinné vlně má E pouze složku Ex a H pouze složku Hy. Poyntingův vektor, který musí být podle definice vektorového součinu kolmý na oba součinitele, musí mít proto pouze složku Sz. Pro okamžitou hodnotu Poyntingova vektoru v libovolném místě na rovině z=konst platí vztah : [40]
Sz ( z , t)
Ex ( z , t) ⋅ Hy ( z , t)
Okamžitá hodnota výkonu nemá příliš velké praktické použití. Daleko důležitější je střední hodnota přenášeného výkonu a tedy střední hodnota Poyntingova vektoru, kterou lze vypočítat podobně jako činný výkon v elektrickém obvodu:
[41]
Sstr ( z)
1 2
⋅ Re Ex ( z) ⋅ Hy ( z)
)
⋅ sin ω ⋅ t − β ⋅ z − φ z + φ 0
Pozn.: Tento vztah vyplývá z vlastností fázorových veličin , jeden z fázorů v naznačeném součinu musí být komplexně sdružený, jinak by neměl součin fázorů náležitý fyzikální smysl. Po dosazení za fázory E a H potom platí :
[42]
[43]
1
Sstr ( z)
2
1
Sstr ( z)
2
(
⋅ Re Em ⋅ e
S str ( z)
2
[44]
− α ⋅z
⋅ Em ⋅ e
1
− α ⋅z
⋅
Em
2
Z
⋅e
(
j φ0 −β ⋅ z
⋅e
− α ⋅z
⋅ Hm ⋅ e
− 2⋅α ⋅z
)
⋅ Hm ⋅ e
− α ⋅z
( )
1
1
2
⋅ cos φ z
( )
⋅ cos φ z
2
2
⋅e
(
− j φ0 −β ⋅ z −φz
)
− 2⋅α ⋅z
⋅ Em ⋅ Hm ⋅ e
⋅H m ⋅e
)
− 2⋅α ⋅z
( )
⋅ cos φ z
( )
⋅ Z ⋅ cos φ z
Srovnáme-li vztahy ve vzorcích (42)-(44) s definičním vztahem pro činný výkon v elektrickém obvodu, vidíme, že jsou zcela identické. U rovinné vlny se však navíc vyskytuje člen udávající tlumení amplitudy v závislosti na souřadnici z.
P
(
Re U⋅ I
)
U⋅ I⋅ cos ( φ )
[45]
XI-8
Um Im ⋅ ⋅ cos ( φ ) 2 2
Um ⋅ Im 2
⋅ cos ( φ )
Výkon přeměněný na teplo
Obrázek 9 Při průchodu elektromagnetické vlny prostředím s nenulovou vodivostí je v každém bodě prostoru proudová hustota úměrná velikosti intenzity elektrického pole v tomto místě (Viz Ohmův zákon v diferenciálním tvaru, rovnice (3)). V našem souřadném systému se tedy vytvoří elektrický proud, který teče ve směru osy x. Elektrický proud procházející vodivým prostředím vyvolá Joulovy ztráty - část výkonu přenášeného elektromagnetickou vlnou se přemění v teplo.
Když si vytkneme ve vzdálenosti z kvádr, který bude mít podstavu o ploše ∆S a výšku hrany ∆h (obrázek 9) a když budeme předpokládat, že velikost podstavy je natolik malá, že intenzita elektrického pole na ní zůstává konstantní rovná intenzitě v bodě na rovině z, poteče podstavou proud :
[46]
I( t)
J x ( z , t) ⋅ ∆S
σ ⋅ E x ( z , t) ⋅ ∆S
− α ⋅z
σ ⋅E m⋅e
(
)
⋅ sin ω ⋅ t − β ⋅ z + φ 0 ⋅ ∆S
Efektivní hodnota proudu tekoucího kvádrem bude :
I ef
σ⋅
Em
[47]
2
⋅e
− α ⋅z
⋅ ∆S
Ohmický odpor, který by měl vytknutý kvádr ve směru průchodu proudu je :
R [48]
∆h σ ⋅ ∆S
Výkon, který se v kvádru přemění na teplo bude: 2
∆P [49]
R⋅ I ef
2
σ ⋅E m 2
⋅e
− 2⋅α ⋅z
⋅ ∆S ⋅ ∆h
Ze vztahu (49) se dá snadno určit objemová hustota ztrát ( výkon, který se přemění v jednotce objemu na teplo) :
p ( z) [50]
XI-9
∆P
∆P
σ ⋅E m
∆V
∆S ⋅ ∆h
2
2
⋅e
− 2⋅α ⋅z
Bilance činného výkonu v prostoru s rovinnou elektromagnetickou vlnou
Obrázek 10
Energetickou bilanci je nutno provádět v uzavřeném objemu, pro jednoduchost to může být kvádr s jednotkovými čelními plochami jako na obrázku 10. K stanovení, jak velký výkon do kvádru přiteče a jaký na druhé straně odteče nám pomůže Poyntingův vektor. Poyntingův vektor představuje plošnou hustotu výkonu, procházejícího určitou plochou. V případě rovinné vlny s naší orientací vektorů má pouze směr osy z, tedy směr šíření elektromagnetické vlny a je ve všech bodech libovolné roviny, rovnoběžné s x,y, konstantní.
Do uzavřeného objemu kvádru vstoupí podle rovnice (44) čelní šedě vyznačenou jednotkovou plochou (z=0) střední výkon: (viz obrázek 10)
P (z
0)
(
2
0) ⋅ A 1m
S str ( z
)
S str ( z
1
0)
2
[51]
⋅
Em
2
( )
⋅ cos φ z
Z
Zadní šedě vyznačenou plochou z=z1 na druhé straně vystoupí výkon :
P(z
z 1)
S str ( z) ⋅ A ( 1 ⋅ m
2
)
1
S str ( z)
2
[52]
⋅
Em
Z
2
⋅e
− 2⋅α ⋅z
1
( )
⋅ cos φ z
Ostatními plochami kvádru nemůže žádný výkon vstoupit, ani vystoupit., protože jsou vůči orientaci Poyntingova vektoru rovnoběžné. Když porovnáme vstupující a vystupující výkon, vidíme, že jsou stejné pouze pro α=0 (nulový činitel měrného útlumu – bezeztrátové prostředí) Když od sebe vstupní a výstupní střední výkon odečteme, výsledek musí být roven podle zákona zachování energie výkonu, který se v daném objemu ztratí ( přemění na teplo)
P (z
0)
− P (z
z1)
[53]
1 2
⋅
Em
( )(
2
Z
⋅ cos φ z ⋅ 1 − e
− 2⋅α ⋅z
1
)
Když umíme podle rovnice (50) vypočítat ztráty v jednotce objemu, dokážeme je vypočítat i v celém objemu vytknutého kvádru a měly by se rovnat hodnotě ze vztahu (53) :
∆P θ [54]
⌠ p dV ⌡
z1
z1
⌠ A ( 1m ) ⋅ ⌡0 2
p ( z) dz
⌠ ⌡0
σ ⋅E m 2
2
⋅e
− 2⋅α ⋅z
dz
σ ⋅E m 4⋅ α
2
(
⋅ 1−e
− 2⋅α ⋅z
Porovnáme-li tedy vztahy (53) a (54), měly by se rovnat členy, které jsou vytknuty v rovnici (55), ostatní části obou vztahů jsou stejné :
1
[55]
2
⋅
1
Z
( )
⋅ cos φ z
σ 4⋅ α
Dokázat, že je levá a pravá strana rovnice (55) stejná se nám podaří, když uvážíme, že platí následující rovnosti ( vztahy (56) až (60) ): Z definiční rovnice pro konstantu šíření dostaneme zajímavé vztahy pro α a β [56]
k
2
( β − j⋅ α ) 2
Ze srovnání reálných částí rovnice (56):
2
2
β + α − j⋅ 2 ⋅ α ⋅ β
− j⋅ ω ⋅ µ ⋅ ( j⋅ ω ⋅ ε + σ )
2
ω µ ⋅ ε − j⋅ ω ⋅ µ ⋅ σ
1
)
2
[57]
α +β
2
2
ω µ ⋅ε
Ze srovnání imaginárních částí rovnice (56):
α ⋅β
ω ⋅µ ⋅σ 2
[58]
Z definiční rovnice pro charakteristickou impedanci vyplyne:
ω ⋅µ
Z
ω ⋅µ
(α
k
[59]
( )
cos φ z [60]
(α
2
+β
β 2
+β
2
2
)
)
Tím je dokázán předpoklad, že rozdíl střední hodnoty výkonu vstupujícího a vystupujícího povrchovou plochou z uzavřeného objemu , vypočtený pomocí Poyntingova vektoru, je roven celkovým ztrátám v tomto objemu :
∆P θ [61]
XI-10
⌠ p dV ⌡
P (z
0)
− P (z
z1)
Určení konstanty šíření, měrného útlumu, fázové konstanty a charakteristická impedance prostředí
Konstanta šíření je komplexní veličina, označuje se jako k. Konstanta šíření vyplyne při řešení vlnové rovnice po zavedení fázorových veličin a obsahuje v sobě dvě konstanty, které mají základní význam pro popis rovinné harmonické elektromagnetické vlny. Je to fázová konstanta α a měrný útlum β. O významu těchto veličin při popisu vlny bylo pojednáno v předchozím textu. Konstanta šíření se svými složkami je definována vztahem : [62] α β
k
β − j⋅ α
činitel měrného útlumu [ 1/m ] fázová konstanta [ 1/m ]
Konstanta šíření je jednoznačně určena parametry prostředí a kmitočtem vlnění : [63]
ω µ
2⋅π ⋅f
k
β − j⋅ α
− j⋅ ω ⋅ µ ( j⋅ ω ⋅ ε + σ )
úhlový kmitočet [ rad/s ] permeabilita
[H/m]
µ
µ 0⋅µ r −7 4 ⋅ π ⋅ 10
µ0 ε
permeabilita vakua
permitivita
ε
[F/m]
ε 0⋅ε r 1
ε0
36 ⋅ π
⋅ 10− 9 permitivita vakua
Konstantu šíření je možno vypočítat přímo z definičního vztahu (63) po provedení naznačených komplexních operací. Vztah (63) je však také možné analyticky upravit, pro konstanty α a β potom vyplyne :
α [64]
ε ⋅µ ω⋅ −1 + 2
β [65]
ε ⋅µ ω⋅ 1 + 2
1+
1+
2 2 ω ⋅ ε σ
2
2 2 ω ⋅ ε σ
2
Charakteristická impedance prostředí je komplexní veličina, která udává vztah mezi intenzitou elektrického a magnetického pole. Absolutní hodnota charakteristické impedance udává podíl amplitud intenzity elektrického a magnetického pole, argument udává fázový posuv mezi fázorem E a H ( časové zpoždění průběhu intenzity magnetického pole za intenzitou elektrického pole). Obecně je tato veličiny závislá na parametrech prostředí a kmitočtu, je možno jí určit podle vztahu :
Z [66]
Z ⋅e
j ⋅ φz
ω ⋅µ
k
ω ⋅µ
− j⋅ ω ⋅ µ ( j⋅ ω ⋅ ε + σ )
j⋅ ω ⋅ µ j⋅ ω ⋅ ε + σ
Vztahy pro kosntantu šíření a charakteristickou impedanci jsou úmyslně upraveny tak, že se zde vyskytuje člen :
j⋅ ω ⋅ ε + σ To je z toho důvodu, že člen ω.ε a σ má v Maxwellových rovnicích po převedení do fázorového tvaru podobný význam. Zatímco σ je vodivost pro vodivé proudy, člen j.ω.ε představuje jakousi vodivost pro proudy posuvné. Je to nejlépe vidět na rovnici (1), která je převedena do fázorového tvaru: [67]
rot H
σ ⋅ E + j⋅ ω ⋅ ε ⋅ E
V závislosti na parametrech prostředí a kmitočtu může nastat několik eventualit. Posuvné a vodivé proudy mohou být srovnatelně veliké, nebo se naopak může velikost jednoho druhu podstatně lišit od druhého. Chování vztahů (63) až (66) je tedy určeno vzájemným vztahem mezi členy σ a .ω.ε.
Pro Nevodivé prostředí převažuje posuvný proud a platí : [68]
ω ⋅ε > σ
V rovnici (63) a (66) se to projeví tím, že můžeme zanedbat σ vůči ω.ε. Po tomto kroku se vztahy pro konstantu síření a charakteristickou impedanci podstatně zjednoduší: [69]
k
− j⋅ ω ⋅ µ ⋅ ( j⋅ ω ⋅ ε )
β − j⋅ α
ω ⋅ µ ⋅ε
Z toho vyplyne, že konstanta šíření má pouze reálno část , pro kterou platí:
β
ω ⋅ µ ⋅ε
ω ⋅ µ0⋅ ε r⋅ ε 0
ω⋅ εr
ω
1
c
⋅ εr
µ 0 ⋅ ε0
[70]
Měrný útlum je nulový, v nevodivém prostředí se vlna netlumí : [71]
α
0
Konstanta šíření je reálná a je rovna fázové konstantě : Rovnice (70) je dále upravena tím, že se předpokládá jednotková relativní permeabilita, což je častý případ. Navíc je zde s výhodou použita místo permeability a permitivity vakua rychlost světla podle známého vztahu:
c [72]
1
µ 0⋅ε 0
Pro vlnovou délku v nevodivém prostředí potom platí :
λ
2⋅π
2⋅π
c
β
ω ⋅ εr c
f⋅ ε r
[73]
A pro vlnovou délku ve vakuu ( vzduchu) potom platí známý vztah :
[74]
λv
c f
Jednoduchý vztah platí i pro fázovou rychlost v nevodivém prostředí :
vf [75]
ω
ω
β
ω ⋅ εr c
c εr
Ze vztahu (75) plyne, že je fázová rychlost elektromagnetické vlny ve volném prostoru ve vakuu (vzduchu) rovna rychlosti světla :
[76]
vfv
c
Pro charakteristickou impedanci platí podle vztahu (66) s uvažováním (68):
Z
Z ⋅e
j ⋅ φz
[77]
j⋅ ω ⋅ µ
µ
µ0
j⋅ ω ⋅ ε
ε
ε0
⋅
120⋅ π
1
εr
εr
Charakteristická impedance prostředí má pouze reálnou složku. Pro absolutní hodnotu, která udává podíl amplitud Em a Hm platí: 120 ⋅ π
Z
εr
[78]
Pro úhel, který udává fázový posuv mezi E a H platí : [79]
φz
0
Ve vakuu platí pro charakteristickou impedanci často používaná hodnota: [80]
Z0
120⋅ π
Závěr : Ve nevodivém prostředí má konstanta šíření i charakteristická impedance pouze reálnou složku. Z toho vyplývá, že se vlna netlumí ( koeficient měrného útlumu je nulový) a časový průběh intenzity elektrického a magnetického pole je ve fázi. Fázová rychlost vlnění v dielektrickém materiálu se zmenšuje s odmocninou relativní permitivity, fázová rychlost ve vakuu je rovna rychlosti světla. Pro dobře vodivé prostředí platí naopak, že převažuje vodivý proud nad posuvným :
[81]
ω ⋅ε < σ
Při výpočtu konstanty šíření a charakteristické impedance lze zanedbat člen ω.ε a podle definiční rovnice (63) platí:
k
β − j⋅ α
− j⋅ ω ⋅ µ ⋅ σ
1−
− j⋅ ω ⋅ µ ⋅ σ
j
2
[82]
⋅ ω ⋅µ ⋅σ
Z toho plyne zajímavá skutečnost :
α
ω ⋅µ ⋅σ
β
2
[83]
Měrný útlum a fázová konstanta jsou v tomto případě stejně veliké. Pro charakteristickou impedanci platí podle rovnice (66):
Z [84]
j ⋅φ z
Z ⋅e
j⋅ ω ⋅ µ σ
j⋅
ω ⋅µ
ω ⋅µ
σ
σ
⋅e
j⋅
π 4
( 1 − j) ⋅
ω ⋅µ ⋅σ 2
Absolutní hodnota charakteristické impedance, která udává podíl amplitud intenzity elektrického a magnetického pole:
ω ⋅µ
Z
σ
[85]
Fázový posun, který udává natočení fázorů E a H, respektive časový posuv průběhů intenzit E a H:
φz
[86]
π 4
Závěr : Ve vodivém prostředí má konstanta šíření i charakteristická impedance shodnou reálnou a imaginární část. Elektromagnetická vlna je v tomto prostředí tlumena, časový průběh intenzity magnetického pole je zpožděno o úhel 45 stupňů. Je to mezní hodnota fázového posunu, která může nastat. V materiálu, který se nedá označi jako vodivý či nevodivý, leží hodnota fázového posunu mezi nulou a 45 stupni. Poznámka : Pojem dobře vodivé či nevodivé prostředí je vázán na kmitočet vlnění. Bez uvážení, o jaký kmitočet se bude jednat, nemůžeme prohlásit, zda se prostředí chová jako vodivé či nevodivé. Stejný materiál se z hlediska šíření elektromagnetické vlny může pro nižší kmitočet chovat jako dokonalý vodič, pro vyšší kmitočet jako dokonalý nevodič.
XI-11
Odvození rovnice pro popis rovinné elektromagnetické vlny
Při odvození rovinné elektromagnetické vlny lze vycházet z rovnic (6),(7), které byly popsány v kapitole 1:
∂
rot H
σ ⋅E +
rot E
∂ − µ ⋅H ∂t
∂t
ε ⋅E
V této soustavě se vyskytují neznáme veličiny E a H. Je to intenzita elektrického a magnetického pole, popsaná obecně vektorovými funkcemi, závislými také na čase. Pro E platí obecně podle rovnice (8) v kapitole 1:
E ( x , y , z , t)
Ex ( x , y , z , t) ⋅ x0 + Ey ( x , y , z , t) ⋅ y0 + Ez ( x , y , z , t) ⋅ z 0
pro rovinnou vlnu je problém zjednodušen podmínkami (9),(10) z kapitoly 1:
Ex ( z , t) Ex ≠ f ( x , y) Uvedenou soustavu rovnic můžeme řešit tak, že jednu veličinu vyjádříme pomocí druhé veličiny. To však není tak jednoduché, veličiny jsou na jednom místě rovnic v podobě časových derivací a na jiném místě jako argument vektorové funkce rotace, která v sobě nese parciální derivace podle souřadnic. Není možné přímo z jedné rovnice vypočítat jednu z veličin a dosadit do druhé rovnice. Tento problém lze obejít tak, že ještě jednou aplikujeme rotaci na druhou rovnici :
rot rot E
∂
−
∂t
[87]
µ ⋅ rot ⋅ H
Na pravé straně tak dostaneme člen, který v sobě obsahuje první rovnice soustavy:
rot ⋅ rot ⋅ E
∂
∂t
∂t
∂
−
[88]
µ ⋅ σ ⋅E +
ε ⋅E
∂ ∂2 E − µ ⋅ σ ⋅ E + µ ⋅ ε ⋅ 2 ∂t ∂t
Podle pravidel vektorového počtu platí v kartézské soustavě souřadnic vztah: [89]
rot⋅ rot⋅ E
grad ⋅ div ⋅ E − ∆ ⋅ E
Když budeme uvažovat, že se v naší úloze nenacházejí žádné volné náboje, bude první část nulová: ( jinými slovy lze říci, že se nacházíme mimo oblast zdrojů ) grad ⋅ div ⋅ E 0 [90] Pro druhou část, která se nazývá Laplaceův operátor, platí vztah: [91]
∆ E ( x , y , z , t)
∆ E x ( x , y , z , t) ⋅ x0 + ∆ Ey ( x , y , z , t) ⋅ y0 + ∆ E z ( x , y , z , t) ⋅ z 0
Z tohoto vztahu přímo neplyne, jak tento operátor vyčíslit, plyne z ní však další důležitá vlastnost, že jej lze aplikovat na jednotlivé složky vektorové funkce. V našem případě má intenzita elektrického pole pouze složku Ex, druhé dva členy vypadnou:
∂2
∆ Ex ( x , y , z , t)
∂x
[92]
2
Ex ( x , y , z , t) +
∂2 ∂y
2
Ex ( x , y , z , t) +
∂2 ∂z
2
Ex ( x , y , z , t)
Když ještě uvážíme další podmínku, že složka Ex je pouze funkcí z, nezávisí na x a y, vypadnou dva členy i v rovnici (92) a z celé rovnice (89) zbude pouze:
∆ Ex ( z , t) [93]
∂2 ∂z
2
Ex ( z , t)
Rovnice (88) přejde na tvar, který se dá chápat jako vlnová rovnice pro rovinnou vlnu v obecném prostředí a obecnou
časovou závislost mimo oblast zdrojů:
∂2 [94]
∂ ∂2 Ex ( z , t) − µ ⋅ σ ⋅ Ex ( z , t) − µ ⋅ ε ⋅ Ex ( z , t) 2 2 ∂t ∂z ∂t
0
V rovnici (94) se stále ještě vyskytují dvě proměnné veličiny, souřadnice z a čas t. Pro libovolnou časovou funkci by řešení nemuselo být jednoduché. Budeme-li však uvažovat harmonické průběhy pro veličiny elektromagnetického pole ( sin, cos), je možné zavedení fázorů podle rovnice (95)
[95]
(
Im Ex ( z) ⋅ e
Ex ( z , t)
j ⋅ω ⋅t
)
Názorové veličiny jsou obrazy časových průběhů v komplexní rovině, naznačenou transformaci můžeme použít na rovnici (94) :
∂2 ∂z
[96]
(
Im Ex ( z) ⋅ e 2
j ⋅ω ⋅t
) − µ ⋅ σ ⋅ ∂ Im( Ex (z) ⋅ e ) − µ ⋅ ε ⋅ ∂ j ⋅ω ⋅t
∂t
2
∂t
(
Im Ex ( z) ⋅ e 2
j ⋅ω ⋅t
)
0
Po provedení naznačených časových derivací a vykrácení exponenciálního členu, který je u všech částí stejný, přejde celá rovnice do komplexní roviny a odstraní se závislost na čase. Fázory jsou pouze funkcí proměnné z, parcialní derivaci podle z lze nahradit obyčejnou, dostáváme lineární diferenciální rovnici s nulovou pravou stranou, která je snadno řešitelná. Tato rovnice se dá chápat jako vlnová rovnice pro rovinnou elektromagnetickou vlnu s harmonickým časovým průběhem zapsaná pomocí fázorů mimo oblast zdrojů:
d2 [97]
2
E ( z) − j⋅ ω ⋅ µ ⋅ σ ⋅ Ex ( z) + ω ⋅ µ ⋅ ε ⋅ Ex ( z) 2 x
0
dz
Ve vztahu (97) můžeme všechny konstanty sloučit pod jednu, která se nazývá konstanta šíření. Tato konstanta má při popisu vlnění velký význam, bylo o ní pojednáno již v kapitole (3):
[98]
k
2
2
ω ⋅ µ ⋅ ε − j⋅ ω ⋅ µ ⋅ σ
− j⋅ ω ⋅ µ ⋅ ( j⋅ ω ⋅ ε + σ )
Rovnice (97) se potom upraví do tvaru :
d2 [99]
2
E ( z) + k ⋅ Ex ( z) 2 x
0
dz
Při řešení takvého typu diferenciálních rovnic se obvykle postupuje tím způsobem, že se sestaví charakteristická rovnice a vypočítají charakteristické koeficienty :
2
λ +k
2
[100]
[101]
λ1
j⋅ k
0
λ 2 − j⋅ k V těchto vztazích platí pro konstantu šíření s ohledem na vztah (98):
[102]
k
k
2
β − j⋅ α
− j⋅ ω ⋅ µ ⋅ ( j⋅ ω ⋅ ε + σ )
Obecným řešením diferenciální (99) je například následující funkce :
[103]
C1 ⋅ e j ⋅ k ⋅ z + C2 ⋅ e − j ⋅ k ⋅ z
Ex ( z)
První člen řešení v rovnici (103) představuje rovinnou vlnu postupující v záporném směru osy z, druhý člen rovinnou vlnu v kladném směru osy z. Že se jedná skutečně o popis elektromagnetické vlny v daných směrech, to ještě v této chvíli není vidět. Je třeba dokončit řešení rovnice, přetransformovat zpět do časové roviny a potom se pokusit o fyzikální interpretaci výsledků. Pro jednoduchost budeme však už v této chvíli uvažovat pouze vlnu v kladném směru osy z a položíme tak : [104]
C1
0
Pro vlnu v záporném směru osy z by bylo řešení zcela analogické. Konstantu C2 musíme určit z okrajových podmínek, je to hodnota, kterou nabývá fázor v bodě z=0:
[105]
C2
Ex ( z
E0
0)
Em ⋅ e
j ⋅ φ0
Později bude ukázáno, že fázor E0 v sobě zahrnuje velikost amplitudy intenzity elektrického pole Em a fázový posun časového průběhu vůči nule na časové ose v bodě z=0. Rovnice 103 potom přejde do výsledného tvaru, což je řešení vlnové rovnice pro intenzitu elektrického pole ve fázorovém tvaru:
[106]
Ex ( z)
E0 ⋅ e
− j ⋅k ⋅z
Em ⋅ e
j ⋅ φ0
⋅e
− j ⋅(β − j ⋅α) ⋅z
Em ⋅ e
− α ⋅z
⋅e
j ⋅ φ0
⋅e
− j ⋅β ⋅z
Provedeme-li zpětnou transformaci do časové roviny, výslednou rovnici, která udává časovou a prostorovou závislost intenzity elektrického pole pro rovinnou vlnu:
[107]
[108]
(
Ex ( z , t)
Im Ex ( z) ⋅ e
Ex ( z , t)
Em ⋅ e
− α ⋅z
j ⋅ω ⋅t
)
− α ⋅z
Em ⋅ e
(
(
)
(
)
⋅ Imcos + ω ⋅ t − β ⋅ z + φ 0 + j ⋅ sin ω ⋅ t − β ⋅ z + φ 0
)
⋅ sin ω ⋅ t − β ⋅ z + φ 0
Rozbor vlastnosti vztahu (108) je podrobně proveden v kapitolách 3 a 4. Zde je ukázáno, že se skutečně jedná o rovinnou elektromagnetickou vlnu, která se pohybuje v prostoru ve směru kladné osy z. Rovnice (108), která popisuje rozložení intenzity elektrického pole, je však pouze polovina řešení celého problému. Ještě je třeba vypočítat druhou veličinu z výchozí soustavy, kterou je intenzita magnetického pole H. Intenzitu magnetického pole získáme zpětným dosazením za E do rovnice :
rot E
∂ − µ ⋅H ∂t
Pro rotaci vektorové funkce platí vztah, který lze zapsat v podobě symbolického determinantu. Když opět uvážíme, že intenzita elektrického pole má pouze složku ve směru osy x, platí:
rot E ( x , y , z , t) [109]
x0 y0 z 0 ∂ ∂ ∂ ∂x ∂y ∂z Ex Ey Ez
y0 z 0 x0 ∂ ∂ ∂ ∂x ∂y ∂z 0 Ex ( z , t) 0
∂ ∂z
Ex ( z , t) ⋅ y0
Po dosazení do za rotaci do Výchozí rovnice bude tedy:
∂ [110]
∂z
Ex ( z , t) ⋅ y0
∂ − µ ⋅ ( Hx ( x , y , z , t) ⋅ x0 + Hy ( x , y , z , t) ⋅ y0 + Hz ( x , y , z , t) ⋅ z 0) ∂t
Srovnáním levé a pravé strany nutně vyplynou pro intenzitu magnetického pole tyto vztahy :
Hy ( z , t) Hy ≠ f ( x , y) Jinými slovy to znamená: Má-li intenzita elektrického pole pouze složku ve směru x, musí mít intenzita magnetického pole pouze složku ve směru osy y a ta se mění v prostoru pouze ve směru souřadnice z : Když v rovnici dále uvážíme, že veličiny se mění v závislosti na čase podle harmonických funkcí, můžeme zavést fázory veličin a platí :
∂ [111]
∂z
∂ − µ ⋅ Hy ( z) ∂t
Ex ( z)
Po provedení naznačené časové a prostorové derivace vyplyne vztah: [112]
− j⋅ k ⋅ Ex ( z)
− j ⋅ ω ⋅ µ ⋅ Hy ( z)
Pro hledaný fázor intenzity magnetického pole lze potom napsat:
k
Hy ( z)
ω ⋅µ
[113]
⋅ Ex ( z)
Ex ( z) Z
E0 ⋅ e− j ⋅ k ⋅ z Z ⋅e
j ⋅ φz
Em ⋅ e
j ⋅ φ0
⋅e
− j ⋅k ⋅z
j ⋅ φz
Z ⋅e
Při popisu je použita další velice důležitá veličina, která se nazývá charakteristická impedance prostředí :
Z [114]
ω ⋅µ
k
ω ⋅µ
− j⋅ ω ⋅ µ ( j⋅ ω ⋅ ε + σ )
j⋅ ω ⋅ µ j⋅ ω ⋅ ε + σ
Z ⋅e
j ⋅ φz
Význam charakteristické impedance prostředí byl popsán již v kapitole 3. Bylo řečeno, že je to komplexní veličina, jejíž absolutní hodnota udává podíl amplitud intenzity elektrického a magnetického pole, argument udává natočení fázorů, respektive časové posunutí proběhů E a H.
Hm [115]
Em
Z
Z rovnice (113) lze pro fázor intenzity magnetického pole napsat formálně stejný vztah, jako byl vztah (106) pro fázor intenzity elektrického pole:
[116]
Hy ( z)
Hm ⋅ e
(
)
j ⋅ φ0−φz
⋅e
− j ⋅k ⋅z
H0 ⋅ e
− j ⋅k ⋅z
Fázor Ho představuje hodnotu pro z=0:
[117]
Hy ( z
0)
H0
Hm ⋅ e
(
)
j ⋅ φ0−φz
Konečný časový průběh intenzity magnetického pole získáme zpětnou transformací do časové roviny.
[118]
Hy ( z , t)
(
Im Hy ( z) ⋅ e
j ⋅ω ⋅t
)
− α ⋅z
Hm ⋅ e
(
)
⋅ sin ω ⋅ t − β ⋅ z − φ z + φ 0
Fyzikální interpretace a rozbor tohoto vztahu byl popsán v kapitole 3.
