ˇ ´I PROGRAMU MAPLE VE VYUCE ´ VYUZIT MATEMATIKY NA ZF JU Marika Kafkov´ a Katedra aplikovan´e matematiky a informatiky, Ekonomick´a fakulta, ˇ ych Budˇejovic´ıch Jihoˇcesk´a univerzita v Cesk´ Abstrakt. V posledn´ıch letech je v´ yuka matematiky velmi diskutovan´ ym t´ematem t´ ykaj´ıc´ım se mj. niˇzˇs´ı u ´rovn´ı znalost´ı (nejen) stˇredoˇskolsk´e matematiky. Na Zemˇedˇelskou fakultu Jihoˇcesk´e univerzity pˇrich´az´ı do prvn´ıho roˇcn´ıku studenti s velmi rozd´ıln´ ymi pˇredpoklady a schopnostmi ke studiu, z matematiky jsou ˇcasto nedostateˇcnˇe pˇripraveni, coˇz m´a velk´ y vliv nejen na v´ yuku, ale i na u ´spˇeˇsn´e absolvov´an´ı zkouˇsky z matematiky. Pro usnadnˇen´ı studia matematiky na ZF JU vyuˇz´ıv´ame kromˇe e-learningov´eho prostˇred´ı Moodle i matematick´ y program Maple, o kter´em pojedn´av´a tento pˇr´ıspˇevek. Syst´em Maple je jeden z mocn´ ych n´astroj˚ u CAS (Computer Algebra Syst´em), kter´ y umoˇzn ˇuje ˇreˇsit celou ˇradu matematick´ ych probl´em˚ u. Kl´ıˇ cov´ a slova: matematika, v´ yuka, Maple, CAS syst´em
Utilisation of the software Maple in Mathematics Lessons at the Faculty of Agriculture of the University of South Bohemia Abstract. In recent years, the teaching of mathematics has been discussed animatedly which has been facing, besides other things, a lower level (not only) of the secondary school level mathematics knowledge of students. New students at the Faculty of Agriculture of the University of South Bohemia come with different study pre-conditions and often with insufficient knowledge of mathematics. All this influences significantly not only the teaching process but also a possible successful completion of compulsory courses of mathematics. To make the study of mathematics simpler for the students at the Faculty, the e-learning environment system Moodle is used together with the software Maple. This paper deals with the use of this software, which is a powerful tool of the Computer Algebra System enabling us to solve a line of mathematics problem, in mathematics lessons at university level. Keywords: mathematics, teaching, Maple, CAS system
170
1
´ Uvod
Obecnˇe by se dalo ˇr´ıct, ˇze vysokoˇskolsk´a v´ yuka matematiky, jeˇz nen´ı hlavn´ım stˇeˇzejn´ım bodem studia student˚ u zemˇedˇelsk´ ych obor˚ u a jin´ ych nematematick´ ych obor˚ u, se v dneˇsn´ı dobˇe pot´ yk´a s r˚ uzn´ ymi probl´emy. Jsou jimi napˇr.: • mal´a hodinov´a dotace pˇredmˇetu, s ˇc´ımˇz souvis´ı v´ yukov´e metody, ruˇsen´ı nˇekter´ ych dˇr´ıve prob´ıran´ ych t´emat, m´enˇe aplikac´ı, • heterogenn´ı skupiny student˚ u z hlediska vztahu student˚ u k matematice, ale i z hlediska jejich znalost´ı, • kapacitnˇe vˇetˇs´ı skupiny student˚ u na cviˇcen´ı, ˇ coˇz m˚ • niˇzˇs´ı u ´roveˇ n matematick´ ych znalost´ı a dovednost´ı ze SS, uˇze v´est ke sniˇzov´an´ı n´aroˇcnosti v´ yuky, • ”odpor”student˚ u k matematice, logick´emu myˇslen´ı, aj. Nab´ız´ı se ot´azka, jak postupovat, abychom student˚ um matematiku v´ıce pˇribl´ıˇzili, zpˇr´ıjemnili a uk´azali jim moˇznosti, kter´e jim mohou pomoci na cestˇe k u ´spˇeˇsn´emu absolvov´an´ı zkouˇsky z matematiky. Odpovˇed´ı m˚ uˇze b´ yt vyuˇzit´ı nov´ ych technologi´ı, kter´e jsou studenti zvykl´ı pouˇz´ıvat vˇsude tam, kde je to alespoˇ n trochu moˇzn´e. Kromˇe vhodnˇe zpracovan´eho e-learningov´eho kurzu, jenˇz prov´az´ı studenty cel´ y semestr, dalˇs´ı moˇznou alternativou je vyuˇzit´ı ne pˇr´ıliˇs sloˇzit´eho matematick´eho programu, pomoc´ı nˇehoˇz by byli studenti schopni si odpovˇedˇet na mnoho matematick´ ych ot´azek. Pro v´ yuku matematiky na ZF JU byl vybr´an program Maple napˇr. pro jeho snadn´e ˇ e republice. Jihoˇcesk´a univerzita moment´alnˇe ovl´ad´an´ı ˇci rozˇs´ıˇren´ı na vysok´ ych ˇskol´ach v Cesk´ disponuje s verz´ı Maple 16.
171
Obr´azek 1: Maple worksheet.
2
Maple
Matematick´ y program Maple je jedn´ım z tzv. CAS1 syst´em˚ u, kter´ y se pouˇz´ıv´a nejen ve v´ yuce, ale rovnˇeˇz i ve v´ yzkumu a v´ yvoji. Jedn´a se o velmi komplexn´ı matematick´ y syst´em 2 ˇ hojnˇe se vyuˇz´ıvaj´ıc´ı napˇr. na r˚ uzn´ ych vysok´ ych ˇskol´ach v Cesk´e republice. Maple poskytuje uˇzivatel˚ um velmi pˇr´ıvˇetiv´e prostˇred´ı, ve kter´em je moˇzn´e prov´adˇet symbolick´e i numerick´e v´ ypoˇcty, vytv´aˇret grafy funkc´ı, programovat vlastn´ı funkce ˇci procedury, ukl´adat data ve sv´em speci´aln´ım form´atu MW (Maple Worksheet), exportovat data do r˚ uzn´ ych form´at˚ u (napˇr. HTML, LaTeX, PDF, RTF, TXT) apod. Maple3 pokr´ yv´a ˇsirokou oblast matematiky poˇc´ınaje line´arn´ı algebrou, diferenci´aln´ım a integr´aln´ım poˇctem, pˇres diferenci´aln´ı rovnice, geometrii aˇz k finanˇcn´ı matematice, logice, apod. Vznik syst´emu Maple se datuje do roku 1980, kdy byl vytvoˇren prvn´ı jeho n´avrh. Byl vyvinut na univerzitˇe Waterloo v nejlidnatˇejˇs´ı kanadsk´e provincii Ontario pro zjednoduˇsen´ı a zrychlen´ı matematick´ ych v´ ypoˇct˚ u. C´ılem bylo navrhnout syst´em pro ˇsirokou ˇsk´alu matematik˚ u, vˇedeck´ ych pracovn´ık˚ u a student˚ u. Jeden z d˚ uleˇzit´ ych aspekt˚ u byla dostupnost a pˇrenositelnost na r˚ uzn´e poˇc´ıtaˇce tehdejˇs´ıho trhu. Syst´em se velmi rychle rozv´ıjel a od roku 1982 zaˇcal b´ yt prezentov´an na r˚ uzn´ ych konferenc´ıch. V tomto roce zaˇcalo pouˇz´ıvat Maple 1
Computer Algebra Syst´em - Poˇc´ıtaˇcov´ y algebraick´ y syst´em. ˇ Napˇr. CVUT, MU, VUT. 3 Jin´e CAS: Maxima, Mathematica, MathCAD, popˇr. Derive. 2
172
(tehdy jeˇstˇe s velmi omezen´ ymi moˇznostmi) uˇz dokonce nˇekolik m´ıstn´ıch matematik˚ u ve sv´e v´ yzkumn´e pr´aci. V roce 1983 zaˇcali pouˇz´ıvat software v´ yzkumn´ıci r˚ uzn´ ych instituc´ı v oblasti v´ yzkumu, v´ yuky a v r˚ uzn´ ych discipl´ın´ach zahrnuj´ıc´ıch matematiku, fyziku, ekonomii, inˇzen´ yrstv´ı ˇci poˇc´ıtaˇcov´e vˇedn´ı obory. Syst´em byl velmi ˇza´dan´ y, a tak v roce 1985 byl jiˇz software pˇripraven pro distribuci spoleˇcnost´ı WATCOM Products Inc., pod licenc´ı p˚ uvodn´ıch autor˚ u. V roce 1987 mˇel syst´em po svˇetˇe jiˇz 300 instalac´ı a bˇehem let 1988-1990 vzrostl poˇcet instalac´ı na 2000. Od roku 1990 se zaˇcal kl´ast zv´ yˇsen´ y d˚ uraz na prodej softwaru a marketing, z´akaznickou podporu, vylepˇsen´ı uˇzivatelsk´eho rozhran´ı a grafiky, v´ yvoj nov´ ych algebraick´ ych algoritm˚ u, coˇz mˇelo za n´asledek pronik´an´ı programu na trh obrovskou rychlost´ı. D´ıky zdokonalov´an´ı a inovov´an´ı syst´emu Maple vznikaly bˇehem posledn´ıch 20 let nov´e a lepˇs´ı verze. Za zm´ınku urˇcitˇe stoj´ı verze Maple V4, kter´a dostala oproti verzi V3 nov´ y vzhled worksheetu4 a kter´a byla z´ahy vystˇr´ıd´ana novou velmi rozˇs´ıˇrenou verz´ı Maple V5. Maple 7 uˇz umoˇzn ˇoval vytv´aˇret maplety a od verze Maple 8 jiˇz bylo moˇzn´e pouˇz´ıvat spr´avnˇe diakritiku. Nejnovˇejˇs´ı verze je moment´alnˇe Maple 17. [3]
3
V´ yuka na ZF JU
ˇ ych Budˇejovic´ıch kaˇzdoroˇcnˇe nastoup´ı Na Zemˇedˇelskou fakultu Jihoˇcesk´e univerzity v Cesk´ kolem 230 student˚ u, kteˇr´ı mus´ı hned v prvn´ım roˇcn´ıku absolvovat pˇredmˇet Matematika. U nˇekter´ ych obor˚ u se tento pˇredmˇet vyuˇcuje pouze v zimn´ım semestru, u nˇekter´ ych v semestru zimn´ım i letn´ım. Jedn´a se o z´akladn´ı kurz vysokoˇskolsk´e matematiky, kde se studenti struˇcnˇe sezn´am´ı s matematickou algebrou a anal´ yzou. Nastupuj´ıc´ı studenti maj´ı vˇsak ˇcasto probl´emy s adaptac´ı na vysokoˇskolsk´ y syst´em v´ yuky, nejsou zvykl´ı na samostatn´e studium a jejich znalosti stˇredoˇskolsk´e matematiky jsou ˇreknˇeme velmi ”zaj´ımav´e”. Vzhledem k celkov´e situaci matematick´ ych znalost´ı novˇe pˇr´ıchoz´ıch student˚ u, kter´e jsou nˇekdy velmi slab´e, ba dokonce aˇz zar´aˇzej´ıc´ı, pˇristoupila Katedra aplikovan´e matematiky a informatiky EF k nov´ ym trend˚ um a modern´ım technologi´ım s c´ılem nejen usnadnit student˚ um sloˇzit´e v´ ypoˇcty, resp. usnadnit pochopen´ı prob´ıran´e l´atky, zefektivnit v´ yuku, a tedy zlepˇsit procentu´aln´ı u ´spˇeˇsnost ˇ c student˚ u u zkouˇsky z matematiky, ale i uk´azat student˚ um nov´e moˇznosti ve vzdˇel´an´ı. Reˇ je pˇredevˇs´ım o e-learningov´em prostˇred´ı Moodle a matematick´em programu Maple, kter´ y je vyuˇz´ıv´an uˇz nˇekolik let. Syst´em je vyuˇz´ıv´an na ZF JU pˇredevˇs´ım pro matematick´e operace se symbolick´ ymi v´ yrazy, numerick´e v´ ypoˇcty, okamˇzitou kontrolu v´ ysledk˚ u a vytv´aˇren´ı graf˚ u funkce, nebot’ grafy jsou d˚ uleˇzitou pom˚ uckou pro zn´azornˇen´ı r˚ uzn´ ych jev˚ u a lepˇs´ı pochopen´ı matematick´ ych probl´em˚ u. Vzhledem k faktu, ˇze Maple je kanadsk´ y produkt, cel´ y program vˇcetnˇe n´apovˇedy a pˇr´ıkaz˚ u je naps´an v anglick´em jazyce, a proto pˇri vyuˇzit´ı programu je nespornou v´ yhodou znalost tohoto jazyka. 4
Jedn´a se o interaktivn´ı pracovn´ı prostˇred´ı.
173
Obr´azek 2: Maple uk´azka - zn´azornˇen´ı nˇekolika funkc´ı. Velmi ˇcasto se studenti na cviˇcen´ı i pˇri ˇreˇsen´ı dom´ac´ıch u ´loh dostanou do situace, kdy bˇehem u ´prav sloˇzitˇejˇs´ıch matematick´ ych v´ yraz˚ u udˇelaj´ı v pr˚ ubˇehu ˇreˇsen´ı chybu ˇci si nejsou zcela jisti spr´avnost´ı sv´eho dosaˇzen´eho v´ ysledku. Nˇekdy si ani spr´avnˇe nedok´aˇz´ı pˇredstavit urˇcit´e matematick´e jevy, z´akonitosti ˇci neporozum´ı ˇreˇsen´ı pˇr´ıkladu v pln´em rozsahu. V takov´ ych situac´ıch je vhodn´e jim spr´avnost dan´eho postupu uk´azat nˇejakou vizualizac´ı, o kter´e se domn´ıv´am, ˇze by mˇela b´ yt souˇc´ast´ı jiˇz pˇri v´ yuce matematiky na stˇredn´ı ˇskole. Z tohoto d˚ uvodu je program Maple vyuˇz´ıv´an nejen bˇehem pˇredn´aˇsek (viz Obr. 2), kdy velmi dobˇre slouˇz´ı k demonstraci matematick´ ych jev˚ u, ale i bˇehem cviˇcen´ı napˇr. pˇri v´ ypoˇctech sloˇzitˇejˇs´ıch u ´loh. Program je tedy vhodn´ ym n´astrojem pro ilustraci l´atky, kter´a je v pˇredmˇetu Matematika prob´ır´ana. Bˇehem pˇredn´aˇsky a cviˇcen´ı se klade velk´ y d˚ uraz na zvl´adnut´ı a pochopen´ı dan´e l´atky, tzn. ˇze jednotliv´e ˇreˇsen´e pˇr´ıklady slouˇz´ı pˇredevˇs´ım jako pom˚ ucka k pochopen´ı matematick´eho pojmu, zvl´adnut´ı dan´e problematiky. Bˇehem jednoho pˇr´ıkladu se ukazuj´ı r˚ uzn´e metody ˇreˇsen´ı, ˇreˇs´ı se r˚ uzn´e varianty dan´eho pˇr´ıkladu, coˇz m´a za n´asledek, ˇze se bˇehem cviˇcen´ı nevyˇreˇs´ı mnoho u ´loh, ale domn´ıv´am se, ˇze studenti l´atku l´epe pochop´ı. Opaˇcn´ y pˇr´ıstup k v´ yuce, kdy se klade velk´ y d˚ uraz na vyˇreˇsen´ı co nejvˇetˇs´ıho poˇctu u ´loh, je vˇec´ı pˇredevˇs´ım samostatn´e pr´ace student˚ u, kter´a by mˇela v´est k zafixov´an´ı a do hloubky procviˇcen´ı prob´ıran´e l´atky. Studenti se s programem podrobnˇeji sezn´am´ı na cviˇcen´ı v pr˚ ubˇehu semestru, pˇriˇcemˇz veˇsker´e informace k Maplu - n´azorn´e uk´azky (viz Obr. 3.), ˇsablony pˇripraven´e v n´astroj´ıch ”Tools - Tutor”(viz Obr. 4.), srozumiteln´ y n´avod ”Jak pracovat v Maple”- jsou jim vloˇzeny na port´alu e-learningov´eho kurzu pˇredmˇetu, kde jim jsou kdykoliv k dispozici.
174
Obr´azek 3: Maple uk´azka - ˇreˇsen´ı pr˚ ubˇehu funkce. Zm´ınˇen´ y CAS syst´em studenti nejˇcastˇeji vyuˇz´ıvaj´ı pˇri : • zjednoduˇsov´an´ı a rozvoji algebraick´ ych v´ yraz˚ u, • rozkladu polynom˚ u, • poˇc´ıt´an´ı s maticemi, • analytick´em i grafick´em ˇreˇsen´ı rovnic, soustav rovnic, grafick´em ˇreˇsen´ı nerovnic, • grafick´em zn´azornˇen´ı funkc´ı, • ˇreˇsen´ı limit funkc´ı, • ˇreˇsen´ı u ´loh z diferenci´aln´ıho a integr´aln´ıho poˇctu, • hled´an´ı obecn´eho i partikul´arn´ıho ˇreˇsen´ı diferenci´aln´ıch rovnic.
175
ˇ Obr´azek 4: Sablona pro v´ ypoˇcet limit.
4
Z´ avˇ er
R˚ uzn´e programy, vˇcetnˇe tˇech matematick´ ych, jsou uˇz bˇeˇznou souˇc´ast´ı dneˇsn´ıho svˇeta a nebudete tomu jinak ani v budoucnu. Domn´ıv´am se proto, ˇze by v´ yuka matematiky (obzvl´aˇst’ na vysok´ ych ˇskol´ach) nemˇela b´ yt ochuzena o CAS syst´emy, kter´e n´am velmi efektivnˇe a pˇrehlednˇe nab´ız´ı poˇcetn´ı a demonstraˇcn´ı prostˇred´ı, kter´e lze snadno vyuˇz´ıt pro v´ ypoˇcet sloˇzit´ ych u ´loh, grafickou interpretaci apod.
Literatura [1] CAS syst´em Maple [2] http://maple.maplesoft.cz/ [3] https://www.scg.uwaterloo.ca/
176
Marika Kafkov´a Katedra aplikovan´e matematiky a informatiky Ekonomick´a fakulta ˇ ych Budˇejovic´ıch Jihoˇcesk´a univerzita v Cesk´ ˇ e Budˇejovice Studentsk´a 13, 370 05 Cesk´
[email protected]
177
