Rozvoj funkčního myšlení ve výuce matematiky na základní škole

Rozvoj funkčního myšlení ve výuce matematiky na základní škole

Petr Eisenmann Alena Kopáčková

Studijní materiály k projektu Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě ŠVP č. projektu: CZ.04.3.07/3.1.01.1/0137 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem, státní rozpočtem České republiky a rozpočtem hlavního města Prahy v rámci Jednotného programového dokumentu pro cíl 3

© JČMF 2006

SU

∑

MA

Společnost učitelů matematiky JČMF

Obsah Úvod Sada první – obsahy obrazců Sada druhá – naplňování nádob Sada třetí – závodní okruhy Napouštění vany Rozdíl a podíl věků Úlohy ekonomického charakteru

Povinné ručení Daň z příjmu Mzdové tarify zaměstnanců Poštovní tarify Platba za elektrickou energii Tarify mobilního operátora Hlídání dětí Závěr Literatura Návrhy seminárních prací pro účastníky kurzu Přílohy

strana 2 Jednotný programový dokument pro Cíl 3 regionu NUTS 2 hlavní město Praha Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.3.07/3.1.01.1/0137

SU

∑ MA


Úvod Tento text nabízí úlohy a podněty vedoucí k rozvoji funkčního myšlení žáků. Co se termínem funkční myšlení vlastně rozumí? Termín začal používat na přelomu 19. a 20. století německý matematik Felix Klein (1849-1925), který byl v té době v Evropě vůdčí osobností hnutí za reformu matematického vzdělávání ve školách. Klein navrhoval vyučování pozvednout na vyšší teoretickou úroveň tím, že by výuka byla více propojena s novými poznatky v matematice, a za osu veškerého vyučování v matematice prohlásil právě funkční myšlení. Tyto ideje byly zformulovány na shromáždění německých přírodovědců v Meranu r. 1905 v tzv. meranském programu, který obsahoval návrhy reformy matematického vyučování, přičemž jednou z hlavních navržených změn bylo zavedení pojmu funkce do škol. Od té doby začal pronikat pojem funkce do škol i na našem území (nejprve byl však součástí učiva pouze střední školy a až od r. 1960 se stal součástí osnov jednotné základní devítileté školy povinné pro všechny). Na základní škole se funkce zpravidla definuje klasickým způsobem jako předpis, i když i zde bylo v 70. letech 20. století krátké období, kdy byla funkce definována množinovým způsobem jako binární relace. Funkční myšlení jedince se však začíná vyvíjet daleko dříve, než je pojem funkce v 9. ročníku základní školy definován. Již od předškolního věku se děti na konkrétních příkladech z běžného života setkávají s příčinností jevů, různými závislostmi a pěstují si tak smysl pro kauzalitu, který je nezbytný pro jakékoliv zdravé myšlení a logické uvažování. Později na 1. stupni základní školy pracují s různými tabulkami závislostí, připravují se na souřadný systém a kreslí různé grafy a diagramy. I když se v této tzv. motivační (či propedeutické) fázi pojmu o funkci ještě vůbec nehovoří, má na vznik a posilování funkčního myšlení rozhodný vliv. Slovenský matematik Bero na základě vlastního výzkumu zjistil, že k výraznému posunu v citu pro kauzalitu dochází u žáků právě mezi 11. a 12. rokem věku (viz [1]). Také naše experimenty s žáky různých věkových kategorií ukazují, že funkční myšlení žáků lze úspěšně budovat a dokonce s funkcemi pracovat, aniž by se formálně definicí pojem funkce vymezil (viz [2], [6]). Historie matematiky nám v tomto směru dává zcela zřetelné poučení. Někteří autoři učebnic si to uvědomují a kladou místo předčasného formalizování důraz spíše na fenomén závislosti mezi proměnnými a volí různorodé praktické úlohy; příkladem zde může být např. zavádění pojmu funkce v učebnici „Matematika s Betkou“ autorů Novotná, Kubínová, Sýkora ([4]). Z okruhů vytýčených rámcovým vzdělávacím plánem se předkládané úlohy dotýkají především tematického okruhu Závislosti, vztahy a práce s daty. Výuka tohoto okruhu má žáky vést k tomu, aby rozpoznali určité typy změn a závislostí, které jsou projevem běžných jevů reálného světa, a seznámili se s jejich reprezentacemi. Tyto závislosti mají žáci analyzovat z tabulek, diagramů a grafů, v jednoduchých případech je konstruovat a vyjadřovat matematickým předpisem. Zkoumání těchto závislostí směřuje k pochopení pojmu funkce. Celý text je koncipován tak, že na pozadí výsledků konkrétních experimentů zkoumajících funkční myšlení českých žáků nabízí úlohy posilující funkční myšlení a reedukující zjištěné nedostatky. Úlohy jsou určeny převážně pro žáky devátých ročníků základní školy a kvart gymnázií, ale je možné je s malou úpravou (zpravidla nahrazením slova funkce slovem závislost) použít i pro žáky 13-14leté. Neuděláme chybu ani tehdy, nabídneme-li je středoškolákům. Úvodní dvě sady úloh jsou uvedeny jednou testovou položkou z dotazníkového šetření, které proběhlo v roce 2004. Cílem tohoto výzkumu bylo zachytit jeden aspekt funkčního myšlení, a to schopnost vytvářet a popisovat grafy funkčních závislostí. Dotazník obsahující mimo jiné i tyto úlohy vyplnilo celkem 490 žáků základních škol (7., 8., a 9. ročník) a 380 studentů různých typů středních škol s maturitou (3. a 4. ročník) ze severočeského regionu.


SU

∑ MA


Sada první – Obsahy obrazců Úvodní úloha Grafy vpravo vyjadřují závislost obsahu vyšrafované části trojúhelníku S(x) na vzdálenosti x. Jen jeden z nich odpovídá této situaci. Zaškrtněte jej. obr. 1

Správná odpověď je možnost B. Varianty A a D jsou zásadně chybné, funkce vyjadřující závislost obsahu vyšrafované části trojúhelníku S(x) na vzdálenosti x je přece rostoucí. Obsah však nenarůstá lineárně (varianta C). V první části nakresleného trojúhelníku jde zřejmě o závislost kvadratickou. Tabulka ukazuje souhrnné výsledky žáků základních a středních škol. Čísla vyjadřují četnost odpovědí v procentech.

ZŠ SŠ

A 6 9

B 7 14

C 10 25

D 76 52

Neodpovědělo 1 0

Nejčastější odpovědí na základní i střední škole je chybná možnost D (Obsah zvětšující se části trojúhelníku zde podle tohoto grafu ubývá!). Důvod uvedení této odpovědi je zřejmý. Jde o možnost, ve které je graf vyjadřující závislost podobný příslušnému obrázku znázorňujícímu danou situaci. Na základní škole je to pochopitelné. Zde se žáci s interpretací závislostí z praxe, vyjádřených grafem, setkávají spíše vzácně. Většina žáků ještě graf číst neumí a tak volí odpověď podle podobnosti grafu funkce s obrázkem příslušné situace. Tento jev se objevil i u podobně koncipovaných úloh v tzv. PISA–studii (rozsáhlý výzkum matematických znalostí a dovedností žáků v mnoha zemích světa), viz [5]. Schopnost správně interpretovat graf funkce se rozvíjí tehdy, jsou-li žákům a studentům na všech stupních škol předkládány k řešení úlohy o závislostech s reálným kontextem, odpovídajícím jejich zkušenostem – viz [2]. Alarmující jsou podle našeho soudu výsledky středoškoláků – studentů závěrečných ročníků. Druhá nejčastější odpověď v této věkové kategorii, možnost C, není fatálně chybná. Že se jedná o závislost kvadratickou, a nikoli lineární, bylo nejčastější chybou i u menšího vzorku respondentů z řad vysokoškolských studentů – budoucích učitelů matematiky. strana 4 Jednotný programový dokument pro Cíl 3 regionu NUTS 2 hlavní město Praha Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.3.07/3.1.01.1/0137

SU

∑ MA


Další úlohy List 1 (pracovní list pro žáky) U pěti obrazců uvedených na tomto listu sestrojme s žáky grafy vyjadřující stejnou závislost jako v úvodní úloze. První dva obrazce (obdélník a trojúhelník – jsou uvedeny nad čarou) vyřešme společně s žáky, u ostatních třech nechme žáky nakreslit grafy sami. Poznámka: Všechny zde uvedené listy jsou zařazeny v příloze na konci textu. List 2 Na listu 2 vidíme správná řešení. Pozornost je vhodné se žáky při diskusi o jejich výsledcích věnovat zejména diferencovatelnosti funkcí (pouze graf u třetího obrazce vykazuje „zlom“). List 3 Zde je úloha opačná. Ke grafům nakresleným vlevo mají žáci za úkol nakreslit příslušné obrazce. Uvádíme pouze list s řešeními, odpovídající pracovní list pro žáky (pouze grafy vlevo) je stejně jako všechny ostatní, v tomto textu zmíněné listy, k dispozici na webové adrese http://katmatprf.ujepurkyne.com/00_vyucujici.asp?ID=116 . List 4 Úkolem žáků na tomto listu je opět nakreslit ke třem zde vlevo uvedeným obrazcům příslušné grafy vyjadřující stejnou závislost jako v úvodní úloze. Vpravo dole pak mají do prázdného osového kříže (na příslušném pracovním listu) zakreslit všechny tři grafy do jednoho obrázku. Naše experimenty ukázaly, že až zde, v této fázi, si žáci plně uvědomí souvislosti mezi jednotlivými grafy a vrátí se znovu k horním třem úlohám, aby jejich řešení nakreslili správně (Jde zde především o funkční hodnoty všech tří funkcí v pravém krajním bodě uvažovaného intervalu a pravostrannou tečnu ke grafu funkce v obou krajních bodech).

Sada druhá – naplňování nádob Úvodní úloha Nádoba se v čase t = 0 začne naplňovat stálým přítokem vody. Grafy vpravo vyjadřují závislost výšky hladiny h(t) na čase t. Jen jeden z nich odpovídá této situaci. Zaškrtněte jej. Obr. 2


SU

∑ MA


Správná odpověď je možnost C. Hladina stoupá v první části nádoby stále pomaleji, poté nabývá ve válcové části nádoby své výšky lineárně. Tabulka ukazuje souhrnné výsledky žáků základních a středních škol. Čísla vyjadřují četnost odpovědí v procentech.

ZŠ SŠ

A 12 25

B 27 31

C 27 39

D 33 5

Neodpovědělo 1 0

Na základní škole je nejčastější odpovědí možnost D. Stejně jako v úvodní úloze předchozí sady jde o variantu, ve které graf vyjadřující závislost odpovídá příslušnému obrázku znázorňujícímu danou situaci. Na střední škole je již nejčastější odpovědí správná možnost C.

Další úlohy List 5 U nádob uvedených na tomto listu sestrojme s žáky grafy vyjadřující stejnou závislost jako v úvodní úloze, tedy závislost výšky hladiny h(t) na čase t. První dvě rotační tělesa (válec a kužel – jsou uvedeny nad čarou) vyřešme společně s žáky, u ostatních dvou nechme žáky nakreslit grafy sami. List 6 Zde je úloha opačná. Ke grafům nakresleným vlevo mají žáci za úkol nakreslit příslušné nádoby. Uvádíme opět pouze list s řešeními, odpovídající pracovní list pro žáky (pouze grafy vlevo) je stejně jako všechny ostatní, v tomto článku zmíněné listy, k dispozici na webové adrese http://katmatprf.ujepurkyne.com/00_vyucujici.asp?ID=116 . List 7 Úlohou žáků na tomto listu je nakreslit do jednoho obrázku (společného osového kříže) grafy funkcí vyjadřující závislost výšky hladiny h(t) na čase t pro oba nakreslené válce. Žáci si pro správné vyřešení úlohy musí uvědomit, že obor hodnot obou funkcí je stejný, tedy interval 〈0,H 〉, kde H je výška válců. Dále musí správně stanovit i to, kdy se širší válec celý naplní vodou. Vzhledem ke dvojnásobnému poloměru oproti užšímu válci k tomu dojde za čtyřnásobek času potřebného pro naplnění válce užšího. Definiční obor příslušné naplňovací funkce je protointervalem s čtyřnásobnou délkou oproti užšímu válci. Žáci tak nakreslí obrázek grafů dvojice funkcí, kterým se později na střední škole říká parametrický systém funkcí – tyto lineární funkce typu h(t) = k·t se navzájem liší pouze konstantou k. Žáci mohou danou úlohu dořešit i početně, vhodné je to podle našich experimentů v 9. třídě. Nechť je výška obou válců rovna H. Nechme do nich shora přitékat konstantním přítokem Q vodu. Objem užšího válce je V1 = 14 π r 2 H , objem širšího válce je V2 = π r 2 H .


SU

∑ MA


Čas naplnění užšího válce je π r2H T1 = , 4Q čas naplnění širšího válce je π r2H T2 = . Q Zřejmě platí T1 = 14 T2 . Naplní – li se širší válec za čas t do výšky h, bude objem V(h) této části zřejmě roven V2 (h) = π r2h = Q t . Z této rovnice získáváme hledanou lineární funkci Q ⋅t, h2(t)= π r2 která splňuje jak počáteční podmínku h (0) = 0, tak i fakt, že v čase naplnění celého válce platí h 2 (T2 ) = H . Naplňovací funkce užšího válce má potom předpis 4Q h1( t ) = ⋅t. π r2 List 8 V této úloze je situace trochu jiná. Definiční obory i obory hodnot obou naplňovacích funkcí jsou různé. Grafy těchto funkcí se zčásti překrývají. Předpisy pro obě funkce jsou stejné. List 9 Úlohou žáků na tomto listu je nakreslit do jednoho obrázku (společného osového kříže) grafy funkcí vyjadřující závislost výšky hladiny h(t) na čase t pro nahoře nakreslený válec i kužel. Podstavy obou těles mají stejný průměr, obě tělesa mají stejnou výšku H. Obor hodnot obou funkcí je stejný, tedy interval 〈0,H 〉. Kužel se naplní za třetinu času oproti válci, protože jeho objem je třetinou objemu válce. Definiční obor příslušné naplňovací funkce je proto intervalem s třetinovou délkou oproti válci. Důležité je chování obou funkcí v krajních bodech příslušných definičních oborů. Tečny ke grafům obou funkcí v pravých krajních bodech definičních oborů musí být rovnoběžné! Obě nádoby mají totiž ve výšce H stejný poloměr. Žáci mají možnost si tak uvědomit, že rychlost přibývání hladiny (derivace naplňovací funkce) závisí pouze na poloměru tělesa v dané výšce, tedy možná překvapivé zjištění, že kruhová hladina daného poloměru přibývá stejně rychle v tělesech libovolných tvarů. Jinak je tomu v levém krajním bodě definičního oboru, tedy v počátku. Zde je pravostranná tečna naplňovací funkce kužele totožná se svislou osou. Kužel, zde na rozdíl od válce, má špičku. Rychlost zvyšování hladiny je v této „nekonečně malé špičce“ nekonečně velká. Pro úplnost uveďme ještě početní řešení. Jak bude vypadat průběh naplňování u kužele (viz obr. 3)? Jaká elementární funkce jej bude popisovat?


SU

∑ MA


Zřejmě platí 2

1  R 1 R2 1 V (h) = π ( r (h)) 2 ⋅ h = π  h ⋅  ⋅ h = π 2 ⋅ h 3 . 3  H 3 H 3 Z rovnosti V ( h) = Q ⋅ t dostáváme hledanou funkci 3 H 2Q ⋅t π R2 vyjadřující závislost výšky hladiny h na čase t. Zřejmě i ona vyhovuje okrajovým podmínkám h (0) = 0 a h (T ) = H , kde doba naplnění je π R2 H . T = 3Q h (t ) = 3

Podle očekávání je to funkce rostoucí. Nemělo by nás překvapit ani to, že je konkávní - kužel takto na špičku postavený se přece s rostoucí výškou rozšiřuje a hladina tedy bude stoupat stále pomaleji. List 10 Na tomto listu přibyla k předchozímu válci a kuželu ještě polokoule. Žáci si při kreslení naplňovacích funkcí mohou kromě u minulého listu již zmíněných vlastností grafů, uvědomit i vztah mezi objemem válce a jemu vepsanému kuželu a polokoule. Za pozornost zde stojí i to, že pravostranná tečna naplňovací funkce polokoule v počátku je stejně jako u kužele totožná se svislou osou. Tento fakt nelze žákům na tomto stupni školy dokázat výpočtem příslušné naplňovací funkce a její derivace zprava v počátku, která je v tomto případě rovna nekonečnu. Při ověřování těchto problémů ve výuce na základních školách se však ukázalo, že někteří žáci jsou schopni správnou polohu pravostranné tečny naplňovací funkce docela dobře svými slovy odůvodnit (To je stejný jako u toho kužele, taky to de nuly, teda ten poloměr je tam nulovej, ne jako u toho válce, akorát že tam není špička, je to kulatý – Tonda, 15 let).


SU

∑ MA


Sada třetí – závodní okruhy Úvodní úloha Následující graf (obr. 4) ukazuje, jak se měnila rychlost závodního auta v závislosti na čase při jeho druhém průjezdu závodním okruhem. Obr. 4

Na následujícím obrázku (obr. 5) vidíme pět závodních okruhů. Po kterém z nich auto jelo? Obr. 5

Tato úloha je převzata z tzv. PISA–studie. Jde o rozsáhlý výzkum matematických znalostí a dovedností žáků provedený v roce 2000 v mnoha zemích světa, viz např. [5]. Správnou odpovědí je varianta B. Pro zajímavost zde uveďme výsledky respondentů vybraných čtyř zemí u této úlohy. Čísla v tabulce udávají četnost jednotlivých odpovědí v procentech.


SU

∑ MA


A B C D E

Německo 16 30 10 6 36

USA 18 21 9 5 44

Holandsko 19 43 11 7 19

Japonsko 12 56 10 8 12

Je vidět, že nejčastější odpovědí německých a amerických žáků je chybná varianta E. Jde opět o případ, kdy je graf vyjadřující závislost podobný příslušnému obrázku znázorňujícímu danou situaci – zde závodnímu okruhu. Oproti tomu v Holandsku a Japonsku největší část respondentů volila správnou odpověď B. Jde o země, ve kterých hrají ve výuce matematiky tradičně velkou roli aplikační úlohy, při jejichž řešení se žáci mimo jiné učí vytvářet a popisovat grafy funkčních závislostí.

Další úlohy List 11 Na tomto listu jsou dva závodní okruhy. První z nich má tvar kružnice, druhý je oválný. Start je vždy v bodě S. Úlohou žáků je nakreslit graf závislosti rychlosti vozu na čase při průjezdu prvním kolem. U těchto dvou úvodních úloh, které budou pravděpodobně žáci řešit společně s učitelem, jsou na příslušném pracovním listu (k dispozici na výše uvedené webové adrese) v připraveném osovém kříži vyznačeny na vodorovné ose (čas) body, které odpovídají okamžikům, ve kterých vůz začíná měnit rychlost. Pro jednoduchost jsou označeny stejně jako jim odpovídající body na závodním okruhu. Je vhodné, aby zde žáci na úvod pracovali ve dvojicích a popisovali průjezd auta okruhem vlastními slovy jeden druhému. Teprve potom přistoupí k vlastnímu řešení úlohy. První závodní okruh Vůz odstartuje v čase t = 0 z bodu S. V bodu A dosáhne maximální rychlosti, kterou může nadále jet, a touto rychlostí pokračuje po celý zbytek závodu. Druhý závodní okruh Vůz odstartuje v čase t = 0 z bodu S. V bodu A dosáhne maximální rychlosti, kterou může po rovince jet, a touto rychlostí pokračuje až do bodu B, ve kterém začne před blížící se zatáčkou brzdit. V okamžiku vjezdu do zatáčky, tedy v bodu C, již jede maximální rychlostí, kterou je schopen v zatáčce jet. Po průjezdu zatáčkou začne v bodu D opět zrychlovat, v bodu E dosáhne maximální rychlosti na rovince a tak dále. Po průjezdu startem dosáhne ve druhém kole maximální rychlosti na rovince již v bodu H, neboť zde nezrychluje z nuly tak jako v prvním kole. Od bodu A můžeme považovat daný děj v ideálním případě za periodický. Velice živé diskuse, které při ověřování těchto problémů ve výuce na základních školách probíhaly mezi žáky (zde především mezi chlapci), byly vždy podnětné a pro ostatní přínosné vzhledem k rozvíjení jejich schopnosti číst, rozumět a vytvářet graf funkční závislosti.


SU

∑ MA


List 12 Jedinou změnou oproti druhé úloze z předchozího listu je to, že start je umístěn do jiného bodu na závodním okruhu. Žáci by měli být schopni příslušný graf nakreslit sami. List 13 V poslední úloze této sady je závodní okruh tvaru osmičky. Úloha je zde žákům komplikována tím, že na příslušném pracovním listu (k dispozici na výše uvedené webové adrese) nejsou vyznačeny na obrázku závodního okruhu body, ve kterých vůz mění rychlost (body A, B, C, … I). Žáci si je musí na obrázku vyznačit sami. Následující dvě komplexní slovní úlohy, které tématicky navazují na předchozí sady, akceptují především požadavek na budování poznatků žáků pomocí jejich zkušeností.

Napouštění vany Úloha Interpretujte závislost popsanou obrázkem grafu funkce na obr. 6. Popište děj, který graf vystihuje. Obr. 6

Odpověď Graf funkce na obrázku č. 6 vyjadřuje závislost rychlosti přítoku vody v(t) do vany na čase t. V čase t = 0 byla vana prázdná. Čas je uveden v minutách, rychlost přítoku v litrech za minutu. Úkoly a otázky 1. Popište vlastními slovy děj, který tento graf zachycuje. 2. Kolik litrů vody bylo ve vaně maximálně? Ve jakém čase to bylo? strana 11 Jednotný programový dokument pro Cíl 3 regionu NUTS 2 hlavní město Praha Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.3.07/3.1.01.1/0137

SU

∑ MA


3. 4. 5. 6.

Kolik litrů bylo ve vaně v 35. minutě? Kdy byla vana prázdná? Nakreslete graf funkce V(t) vyjadřující závislost množství vody ve vaně na čase t. Sestavte předpis funkce vyjadřující závislost množství vody na čase: a) od okamžiku napouštění vany do 10. minuty b) od 10. do 15. minuty c) od 15. do 25. minuty d) od 25. minuty do vyprázdnění. 7. Popište co nejstručněji souvislost mezi funkcemi V(t) a v(t). 8. Popisuje graf na obr. č. 6 reálnou situaci věrně a nebo je zjednodušením? Pokud ano, v čem? Řešení 1. Jde o koupání ve vaně. Někdo si začal napouštět vanu (přítok činil 6 litrů za minutu). Po 10 minutách zjistil, že je vody málo a kohoutkem přítok zvětšil (na 8 litrů za minutu). Po pěti minutách kohoutek zavřel, 10 minut se koupal a poté vytáhl špunt. 2. Ve vaně bylo maximálně 100 litrů vody. Bylo to mezi 15. a 25. minutou. 3. 60 litrů 4. V 50. minutě 5. Viz obr. 7 Obr. 7

6. a) V(t) = 6 t b) V(t) = 8 t – 20 c) V(t) = 100 d) V(t) = – 4 t + 200 7. Funkce v(t) je derivací funkce V(t). 8. Zjednodušení jsou minimálně dvě: 1. Manipulace s kohoutkem neumožňuje ve skutečnosti skokové změny rychlosti přítoku strana 12 Jednotný programový dokument pro Cíl 3 regionu NUTS 2 hlavní město Praha Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.3.07/3.1.01.1/0137

SU

∑ MA


vody tak, jak to prezentuje graf na obr. 6. Vzhledem k celkovému času napouštění je to však nepřesnost zanedbatelná. 2. Vypouštění vody neprobíhá ve skutečnosti lineárně, závisí také na aktuálním množství vody ve vaně.

Rozdíl a podíl věků Otázky a úkoly 1. Ve kterém roce bude Tvoje maminka dvakrát starší než Ty? 2. Nakresli graf vyjadřující závislost Tvého věku na letopočtu. Průsečík os zvol v roce svého narození. 3. Do tohoto obrázku zakresli i graf vyjadřující závislost věku Tvé maminky na letopočtu. 4. Jaký je rozdíl Tvého a maminčina věku? Mění se v závislosti na čase? 5. Jaký byl v roce 2005 poměr Tvého a maminčina věku? Mění se v závislosti na čase? 6. Sestav předpis funkce vyjadřující závislost Tvého věku na letopočtu. 7. Sestav předpis funkce vyjadřující závislost maminčina věku na letopočtu. 8. Nakresli graf vyjadřující závislost rozdílu Tvého a maminčina věku na letopočtu. 9. Nakresli graf vyjadřující závislost podílu Tvého a maminčina věku na letopočtu. Řešení 1. Příklad: Dcera se narodila v roce 1990. Její matka se narodila v roce 1965. Jeden ze způsobů řešení Věk dcery ………….. v Věk matky ………….. v + 25 v + 25 =2 v v = 25 Matka bude dvakrát starší než dcera v roce 2015. 2. viz obr. 8 3. Rozdíl je stálý, činí 25 let a nemění se. 4. V roce 2005 byl poměr věku maminky a dcery ze shora uvedeného příkladu V roce 2010 bude 5. vd = t – 1990 6. vm = t – 1965 7. viz obr. 9 8. viz obr. 10

45 20

, tedy

9 4

40 15

, tedy

8 3

.

. A v roce 2015 bude roven dvěma. Stále se zmenšuje.


SU

∑ MA


Obr. 8

Obr. 9


SU

∑ MA


Obr. 10

Úlohy ekonomického charakteru Následující sady úloh rozvíjejících funkční myšlení patří mezi jednoduché úlohy z finanční matematiky. Při experimentech se prokázalo, že žáci je přijímali zpravidla dobře, k jejich řešení byla vždy nějaká skupina žáků vnitřně motivována. Úvodní dvě úlohy byly součástí výzkumu prováděného s 15-16letými žáky devátých ročníků základní školy, kvart a kvint gymnázia a 17-18letými studenty druhých a třetích ročníků gymnázia v Liberci a Teplicích v roce 2001. V těchto úlohách se vyskytuje fenomén funkce definovaných po částech, který, jak naše zkušenosti a výzkum ukázaly, je pro mnohé žáky s pojmem funkce neslučitelný a v učebnicích zpravidla chybí (viz např. [2], [6]). Úvodní úlohy Obě následující úlohy (I, II) jsou uvedeny v doslovném znění tak, jak byly žákům předloženy. Úloha I - Povinné ručení Roční sazby pojistného v „Povinném ručení“ pro rok 2001 u pojišťovny Kooperativa v tzv. variantě „Eurokomfort“ udává následující tabulka. Poznámka: Toto pojistné musí platit za každé své vozidlo u některé z pojišťoven každý majitel automobilu.


SU

∑ MA


Osobní automobil se zdvihovým objemem válců Do 1 000 cm3 včetně Nad 1 000 cm3 do 1 350 cm3 včetně Nad 1 350 cm3 do 1 850 cm3 včetně Nad 1 850 cm3 do 2 500 cm3 včetně Nad 2 500 cm3

Roční výše pojistného 1 272 Kč 2 880 Kč 4 116 Kč 6 372 Kč 9 708 Kč

Tabulku si dobře prohlédněte a pak řešte následující úkoly. 1) Do pravoúhlého souřadného systému narýsujte graf závislosti výše pojistného na objemu válců automobilu. Nápověda: Podle údajů v tabulce předem zvolte na obou osách vhodné měřítko (nemusí být pro obě osy stejné). Na vodorovné ose vyznačujte objem válců od 0 cm3 do 2 800 cm3, na svislé ose si vyznačte výši pojistného od 0 Kč do 10 000 Kč. Při rýsování využijte maximálně plochy i výhod milimetrového papíru. 2) Na grafu vyznačte: a) objem válců automobilu, při němž se zaplatí pojistné ve výši 8 000 Kč, b) výši pojistného pro objem válců 500 cm3, c) výši pojistného pro objem válců 1 350 cm3, d) výši pojistného pro objem válců 2 000 cm3. 3) Pokuste se váš graf pojmenovat a stručně charakterizovat podle vašich vlastních kritérií. Při popisu se zaměřte na vlastnosti podle vašeho názoru podstatné. 4) Jde o graf funkce? Svou odpověď zdůvodněte. 5) Myslíte si, že by graf nějaké jiné závislosti mohl vypadat podobně jako ten váš? Připomíná vám váš graf něco, s čím jste se již setkali? Zkuste nějakou takovou situaci či závislost z jakékoliv oblasti najít a několika slovy ji popsat.

Úloha II - Daň z příjmu Roční výši daně z příjmu, kterou za rok 2000 byla povinna zaplatit v České republice každá fyzická osoba, v závislosti na daňovém základu udává následující tabulka. Poznámka: Fyzickou osobou je např. každý zaměstnanec, jehož daňový základ se spočítá tak, že se od jeho hrubého ročního příjmu odečtou kromě zdravotního a sociálního pojištění také tzv. nezdanitelné odečitatelné položky (zejména na sebe samého a na nezaopatřené děti). Daňový základ od Kč do Kč 0 102 000 102 000 204 000 204 000 312 000 312 000 a více

Daň

ze základu přesahujícího

15 % 15 300 Kč + 20 % 102 000 Kč 35 700 Kč + 25 % 204 000 Kč 62 700 Kč + 32 % 312 000 Kč

Tabulku si dobře prohlédněte a pak řešte následující úkoly.


SU

∑ MA


1) Do pravoúhlého souřadného systému narýsujte graf závislosti daně z příjmu na daňovém základu. Nápověda: Podle údajů v tabulce předem zvolte na obou osách vhodné měřítko (nemusí být pro obě osy stejné). Na vodorovné ose vyznačte v tisících daňový základ ve výši od 0 Kč nejméně do 400 000 Kč, na svislé ose si vyznačte výši daně z příjmu od 0 Kč do 100 000 Kč. Při rýsování využijte co největší plochy milimetrového papíru i všech jeho výhod. 2) Na grafu vyznačte: a) výši daňového základu, při němž se odvede daň z příjmu rovna částce 75 000 Kč, b) výši daně při daňovém základu 150 000 Kč. 3), 4), 5) – Totožné znění jako u úlohy I. 6) S použitím tabulky sestavte vzorec pro výpočet daně z příjmu, kde proměnnou x je základ daně v pásmu od 102 000 Kč do 204 000 Kč. Řešení Úloha I – Povinné ručení 1) Viz obrázek č. 11. 2) Viz obrázek č. 11: a) Přímka y = 8 000 graf neprotíná, tj. pojistné 8 000 Kč se nezaplatí při žádném objemu válců, b), c), d) – příslušné výše pojistného označeny na svislé ose po řadě: p(500), p(1 350), resp. p(2 000). 3) Očekávali jsme žákovská pojmenování a popis grafu, zdůrazňující zejména konstantnost (po částech) a nespojitost. 4) Jde o graf funkce – přiřazení je jednoznačné, každému objemu válců je přiřazeno jediné pojistné. 5) Očekávali jsme další situace a příklady – některé z nich jsou uvedeny dále.

Úloha II – Daň z příjmu 1) Viz obrázek č. 12. 2) Viz obrázek č. 12: a) příslušný daňový základ označen z(75 000) na vodorovné ose, b) příslušná daň označena d(150 000) na svislé ose. 3) Očekávali jsme, že žákům bude graf připomínat lineární funkci, popř. několik lineárních funkcí 4) Jde o funkci – přiřazení je jednoznačné, pro každý daňový základ se platí jediná daň z příjmu. 5) Očekávali jsme další situace a příklady – některé z nich jsou uvedeny dále. 6) d = 15 300 + (x – 102 000) ⋅ 0,2; kde d je daň z příjmu pro daňový základ x od 102 000 Kč do 204 000 Kč.


SU

∑ MA


Obr. 11 - Povinné ručení

Obr. 12 - Daň z příjmu

Komentář k výsledkům provedeného průzkumu Experimentu se zúčastnilo celkem 142 žáků, z toho úlohu I řešilo 66 a úlohu II 76 žáků. Všichni ze zúčastněných žáků se již ve škole alespoň jednou setkali s definicí pojmu funkce. Úlohy byly vždy zadávány v rámci jedné vyučovací hodiny matematiky a žákům bylo na práci ponecháno tolik času, kolik sami potřebovali (zpravidla 30 minut). Správně vyřešit všechny úkoly zadané úlohy I či II se podařilo jen několika žákům, výjimečné to bylo zejména u žáků základní školy a kvart. Některé z výsledků zde popíšeme, pokusíme se je zdůvodnit a nabídneme další podobné úlohy s cílem reedukovat zjištěné potíže. Charakter obou úloh (společný fenomén vlastností definovaných po částech) i podobnost zadání umožňují většinu závěrů shrnout dohromady.

Konstrukce grafů Při sestrojování grafu se jako velmi obtížné pro mnoho žáků ukázalo již první rozhodnutí, jak umístit souřadnicový systém na ploše papíru a jaká zvolit měřítka na jednotlivých osách. Někteří z žáků při závěrečné diskusi na náš dotaz, co považovali na úloze za nejtěžší, odpovídali doslova „volba měřítka“. Povaha definičního oboru i oboru hodnot (velikost čísel i rozdílnost hodnot v obou oborech) vyžadovala volit spíše různá měřítka na jednotlivých osách a experiment ukázal, že žáci nejsou příliš zvyklí pracovat s reálnými daty a navíc s velkými čísly. Žákům mnoho nepomohl milimetrový papír ani naše nápověda v bodě 1 obou úloh. Při hledání grafů v obou úlohách bylo vidět, že žáci mají při řešení úloh silnou tendenci ke stereotypu a snaží se opírat o jim známé modely funkcí. Projevovalo se to tak, že i při několika správně zakreslených bodech [x, f(x)] v souřadném systému se často pokoušeli těmito body proložit nějakou (zpravidla ze školy již známou) křivku, i když dané úloze neodpovídala (viz např. ukázky žákovských prací na obrázcích 13 - 19). Tito žáci ignorovali skutečnost, že jejich závislost je na daném definičním oboru popsána více funkčními předpisy, a předpokládali, že náhodně získané body [x, f(x)] vyhovují jedinému společnému předpisu. strana 18 Jednotný programový dokument pro Cíl 3 regionu NUTS 2 hlavní město Praha Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.3.07/3.1.01.1/0137

SU

∑ MA


V úloze o povinném ručení se pro žáky při konstrukci grafu jevila zásadní překážkou nespojitost a skok funkce v bodech nespojitosti; mnozí žáci zkonstruovali správně několik úseček rovnoběžných s osou x, ale nesprávně je spojovali, ať už pomocí svislých spojnic tak, že vznikaly „schody“, nebo byly tyto úsečky propojeny velmi násilně pomocí náhodně zvolené hladké křivky (viz obr. 13, 14, 19); u obr. 14 je dobře patrné, jak žák původně zkonstruoval správně vodorovné úsečky odpovídající úloze, ale potom se je snažil propojit jemu známou přímkou).

Obr. 13 – Povinné ručení (9. roční k ZŠ)

Obr. 14 – Povinné ručení (kvarta)

Obr. 15 – Daň z příjmů (kvarta)

Obr. 16 – Povinné ručení (9 ročník ZŠ)


SU

∑ MA


Obr. 17 - Daň z příjmu (2. ročník gymnázia)

Mnozí žáci neporozuměli ani formulacím v zadání úloh a měli potíže i s běžnými českými slovy, jako jsou včetně v úloze I či vazba „ze základu přesahujícího“ v úloze II. Problémy žákům činilo také určit daň ze základu na hranici daňových pásem, pro tento základ jim totiž nesprávně vycházely dvě funkční hodnoty a výsledným grafem byla pak chybně nespojitá funkce po částech lineární, kde v bodech skoků nebylo jasně vyznačeno, která ze dvou potenciálních funkčních hodnot platí (viz např. obr. 20). Žáky zaskočila i jistá atypičnost prvního řádku zadávací tabulky (při srovnání s jejími ostatními řádky), a proto tak někdy jejich graf „začínal“ až od daňového základu 102 000 Kč. Nepochopení tabulky na výpočet daně se objevovalo i přesto, že jsme ve většině tříd předvedli vzorový výpočet daně z daňového základu nacházejícího se uvnitř pásma. Další překážkou bránící správnému sestrojení grafu bylo to, že se v úloze pracovalo s procenty; některým žákům (zejména základní školy) zabralo jejich počítání množství času – svědčily o tom rozsáhlé výpočty (nejčastěji trojčlenkou) v některých žákovských pracích.

Obr. 18 - Povinné ručení (9. ročník ZŠ – Adam)


SU

∑ MA


Obr. 19 - Povinné ručení (3. ročník gymnázia)

Obr. 20 - Daň z příjmu (2. ročník gymnázia)

Doplňkové úkoly úloh I, II Bylo zřejmé, že čím správnější graf žák uvedl, tím pravděpodobněji se rozhodl řešit doplňkové úkoly 2-5, resp. 2-6. Někteří méně úspěšní žáci byli po analýze zadání a konstrukci grafu natolik vyčerpáni, že na řešení dalších úkolů již neměli sílu a rezignovali na ně. Pokud žáci na doplňkové úkoly vůbec reagovali, šlo převážně o úkoly č. 2, 4 (příp. 6 u úlohy II). Při hodnocení žákovských prací jsme došli k závěru, že zejména pro žáky základní školy nebyly úkoly č. 3 a č. 5 vhodně zvoleny a formulovány; jistě se zde projevilo i to, že ve školské matematice se reálné děje běžně nepopisují, žáci nedovedou problém uchopit a nedokáží si představit, které další závislosti by mohly být vyjádřeny podobným grafem. Bylo zřejmé, že pokyn č. 3 obou úloh nebyl pro žáky dostatečně jasný a jednoznačný; byl vnímán jako vágní a různě vysvětlován. Shrneme-li přístupy těch žáků, kteří přesto na úkol č. 3 reagovali, šlo v podstatě o dvě tendence: část z nich se snažila najít pojmenování svého grafu podle známých konkrétních modelů (přímá úměrnost – „čím vyšší objem, tím víc se platí“, lineární funkce, exponenciální funkce, hyperbola – a často se opravdu žákovské grafy těmto modelům také podobaly), část z nich na výzvu obsaženou v otázce reagovala rekapitulací názvu celého problému, např. „graf závislosti pojistného na objemu válců“. Na úkol č. 5 rezignovala naprostá většina žáků. Jako příčinu této rezignace vidíme malou zkušenost žáků s „nestandardními“ grafy funkcí. Grafické řešení problémů - čtení z grafu Cílem úkolu č. 2 v obou úlohách bylo graficky řešit popsaný problém. Šlo o to nalézt odpovídající hodnotu závisle proměnné při zadané hodnotě nezávisle proměnné (I-2b, c, d; II- 2b), ale i naopak, při dané hodnotě závisle proměnné nalézt argument (I, II-2a). Při hodnocení prací jsme sledovali schopnost žáků „číst graf“ i to, zda je řešení správně vyznačeno na příslušné souřadné ose. Mnoho žáků bylo zaskočeno zejména úkolem I-2a, který nevede k pozitivnímu řešení, neboť pojistné 8 000 Kč se nezaplatí při žádné kubatuře motoru. Bylo vidět, že žáci nejsou příliš zvyklí na úlohy, které nemají řešení a na pozitivní výzvu „na grafu vyznačte“ automaticky očekávají také pozitivní odezvu (tj. že má být co vyznačit). strana 21 Jednotný programový dokument pro Cíl 3 regionu NUTS 2 hlavní město Praha Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.3.07/3.1.01.1/0137

SU

∑ MA


Představy žáků o grafu funkce - úkol 4 Úkol 4 obou úloh měl za cíl zjišťovat u žáků úroveň jejich představ o pojmu funkce, resp. o grafu funkce. Nikde ve formulaci úloh nebylo záměrně explicitně řečeno, že se jedná o funkci, z praktické interpretace problému (pro každý objem válců motoru se platí jedno pojistné, z každého daňového základu se platí jen jedna daň z příjmu) to však plyne. Při hodnocení úloh bylo vidět, že propojení s reálným světem u žáků nefunguje dokonale a že, dostanou-li se při řešení praktického problému do světa matematiky, na praktický svět zapomenou a na výzvu ze světa matematiky se snaží často reagovat podle stereotypu naučeného v hodině matematiky. Navíc oblast daní a pojistného včetně své specifické terminologie je zejména žákům základní školy zřejmě dosti vzdálená.

Hledání vzorce - úkol II – 6 Nejhorší výsledky jsme zaznamenali u úkolu č. 6 v úloze o dani z příjmu. Správnou formuli pro výši daně se podařilo sestavit jen 13% 17-18letých gymnazistů, ale žádnému žákovi ve věku 1516 let (ať už ze základní školy či kvarty a kvinty gymnázia)! Očekávali jsme, že ti žáci, kteří sestrojí správně graf, nebudou mít s tímto úkolem problém. Ukázalo se však, že i když žák z tabulky pochopil, jak pro zvolenou konkrétní hodnotu nezávisle proměnné spočítat funkční hodnotu, neznamenalo to ještě, že je schopen tento postup zobecnit a formálně zapsat. Největší překážkou pro žáky bylo převedení vazby „ze základu přesahujícího“ na rozdíl proměnné a částky odpovídající dolní hranici pásma daňového základu. Pokud žák v úkolu č. 6 chyboval, jednalo se téměř vždy (se dvěma výjimkami) o tuto chybu: namísto správného vzorce 15 300 + ( x − 102 000) ⋅ 0, 2 se objevilo 15 300 + 0,2 ⋅ x , většinou ještě s poznámkou x ∈ (102 000, 204 000 . V některých případech bylo násobení desetinným číslem 0,2 zapsáno zlomkem jako dělení číslem 5.

Citace z žákovských prací Více než tabulky s číselnými údaji vypoví o funkčním myšlení žáků konkrétní citace z jejich prací. Uvedeme a okomentujeme zde několik autentických žákovských reakcí na výzvu obsaženou v úkolu 4 obou úloh. Poznámka: Použitá jména žáků nejsou skutečná, pohlaví žáka je respektováno. Jména žáků devátého ročníku základní školy začínají vždy písmenem A, u kvartánů písmenem B, u kvintánů C, u žáků druhých ročníků gymnázia písmenem D a u žáků třetích ročníků gymnázia písmenem E. Doslovné citace jsou kurzívou v uvozovkách. Adam (obr. 18) o svém grafu v úloze I říká: „Jde o graf funkce. Protože se zvyšujícím se objemem se zvyšuje počet peněz.“. Adam si zřejmě buduje pojem funkce na základě vlastností typických pro známé modely; zde je touto frekventovanou vlastností monotonie funkce. Annin graf v úloze I není grafem funkce, neboť obsahuje i vertikální úsečky, ale Anna jej mezi funkce řadí: „Jde o graf funkce, je graficky znázorněn.“ Dívka povyšuje jeden z častých jevů souvisejících s pojmem funkce - graf - na podmínku pro funkci postačující. Dívka se zřejmě ještě nesetkala s funkcí, jejíž graf by nebylo možné sestrojit, a zřejmě ani s grafem relace, která není funkcí. Cokoliv, co je graficky znázorněno, je pro ni grafem funkce. Tento argument nebyl ojedinělý. Podobně uvažoval v téže úloze Eduard, jenž zařadil svůj správný graf mezi funkce slovy: „Jde samozřejmě o graf funkce. Každý graf se dá popsat funkcí.“ strana 22 Jednotný programový dokument pro Cíl 3 regionu NUTS 2 hlavní město Praha Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.3.07/3.1.01.1/0137

SU

∑ MA


Argumentace Erika, proč by jeho schodovitý graf v úloze I obsahující i svislé úsečky neměl být grafem funkce „Nevím, možná to není funkce, není zde žádná pravidelnost“, ukazuje na to, že v jeho vědomí je graf funkce spjat s pravidelností a symetrií a že jednoznačnost závisle proměnné není dominující vlastností. Naše předchozí výzkumy tato zjištění potvrzují. Cecílie u svého téměř správného grafu v úloze II, kde chybí pouze část odpovídající daňovému základu do 102 000 Kč, píše: „Ano, jde o graf funkce, protože jsem se s tím už setkala v hodině M.“ Žákyně na pojem funkce usuzuje podle podobnosti s nějakým konkrétním modelem či situací, které již ze školy zná, definice však nehraje žádnou roli. Jediný Bedřich byl schopen praktické argumentace a propojení reálného světa se světem matematiky, když komentoval svůj správný graf v úloze I slovy: „Ano, jde o graf funkce; neboť pro každé x (kubaturu válce) je jen jedno y (výše pojistného) – za jednu kubaturu nelze zaplatit dvě částky“. David v úloze II zcela zřetelně ukazuje, že je pro něj překážkou pojmotvorného procesu pojmu funkce fenomén vlastností definovaných po částech: „Bereme-li graf jako celek, není grafem žádné funkce; rozložíme-li jej však na jednotlivé složky, je grafem spojeným z několika (resp. 4) grafů, které grafy funkce jsou.“ Podobnou překážku je možné v téže úloze identifikovat i u Drahomíra: „Ne (pozn.: nejde o graf funkce), protože každá část grafu se vypočítává jinak (pomocí jiných čísel).“ Z mnohých žákovských argumentací (zejména v úloze I) vyplývalo, že žáci vnímají definici pojmu funkce formálně. Požadavek, aby každé hodnotě nezávisle proměnné byla přiřazena právě jedna (popř. nejvýše jedna) hodnota závisle proměnné, je osvojen často bez jakékoliv představy a v mysli žáka je deformován. Často je tak jednoznačnost závisle proměnné zaměňována s jevem, že jde o funkci prostou. Viděli jsme, že žáci mají s pojmem funkce často spojeno „jednomu y jen jedno x“ namísto „každému x jen jedno y“. Správně zkonstruované grafy byly pak odmítány jako grafy funkce slovy: „Není funkce, několika hodnotám x přísluší vždy 1 hodnota y.“ (Eliáš). Touto nesprávnou interpretací definice funkce není však odmítána nejednoznačnost závisle proměnné, ale konstantnost („nejednoznačnost“ nezávisle proměnné). Božena, která v úloze II zkonstruovala chybně graf po částech konstantní funkce, argumentovala: „Ano, jde o graf funkce; protože nikdy nenabývá hodnota na x stejně.“, konstantnost však pro ni překážku nepředstavovala. Mnozí žáci (včetně gymnazistů z 2. a 3. ročníků) si obě proměnné pletli a zaměňovali osy souřadné, a to i při konstrukci grafu. Domníváme se, že i zde jde o formalismus a nedostatečné porozumění kartézské soustavě souřadnic jako nástroji umožňujícímu znázornit funkční závislost.

Shrňme nyní základní rysy funkčního myšlení žáků a jeho nedostatky, které byly při výzkumu identifikovány (viz podrobněji [2], [3]): • Velmi malá obecnost pojmu funkce (budování pojmu na základě konkrétních příkladů funkcí s „typickými“ vlastnostmi a nikoliv na základě definice), představa, že funkce je spojitá, monotónní, vždy vyjádřitelná vzorcem (a to jediným na definičním oboru), grafem („hezkým“ a „pravidelným“) • Nepochopení vzájemné závislosti veličin a evidování této závislosti s využitím souřadného systému souřadnic (zaměňování obou proměnných) • Nepochopení požadavku jednoznačnosti závisle proměnné • Problémy s reálným kontextem (reálná data, nepochopení textu úlohy) • Problémy při čtení grafu a grafickém řešení úloh


SU

∑ MA


Domníváme se, že popsané nedostatky je možné redukovat, budou-li se žáci v úlohách více setkávat se závislostmi a funkcemi: • které jsou různorodé, pestré a méně „typické“, • které obsahují reálný a aktuální kontext a reálná data, • které jsou reprezentovány různými způsoby (tabulka, graf, vzorec, slovní vyjádření), z nichž některý může být nedostupný, • které jsou přirozeným způsobem propojeny s ostatními partiemi matematiky i s ostatními vyučovacími předměty (např. fyzikou, zeměpisem, chemií, tělesnou a občanskou výchovou apod.). Následující úlohy podle našeho názoru uvedeným požadavkům vyhovují. Úlohy jsou určeny zejména žákům devátých ročníků základní školy a kvarty gymnázia (popř. i starším žákům), ale s malými úpravami (např. s vynecháním popisu závislostí obecným vzorcem v úlohách 3a, 4a, 5a) je mohou řešit i žáci sedmých a osmých ročníků ZŠ – u této věkové skupiny předpokládáme větší pomoc učitele při zpřístupnění kontextu úloh a řešení na intuitivnější úrovni. Ve formulacích úloh záměrně nepoužíváme termínu funkce; chceme tak zdůraznit, že se v úlohách jedná o situace z běžného života, které nejsou bezpodmínečně vázány na jednu partii učiva matematiky.

Úloha 1 Mzdové tarify zaměstnanců Použijme aktuální tabulku tarifních mezd učitelů, popř. jiných státních zaměstnanců. Vysvětlete žákům, co znamená tarifní mzda. Poučte je, že ve chvíli dosažení hraničního počtu let praxe se dostává zaměstnanec do vyšší platové skupiny. V tabulce si vyberte jednu určitou platovou třídu. a) Sestrojte graf závislosti výše tarifního platu na počtu let učitelské praxe. b) Na grafu najděte, jaký plat bude mít učitel, který má za sebou x let učitelské praxe (x = 0,5; 2; 5,5; 11; 12; 29). Výsledky vyznačte na grafu a zapište. c) Kolik let praxe má za sebou učitel, jehož tarifní mzda činí y Kč měsíčně? (y = … doplňte podle vybrané platové třídy, přičemž je možné zadat i hodnoty mimo tabulku). Výsledky vyznačte na grafu a zapište. Poznámka: Žák by měl umět zformulovat správnou odpověď vystihující fakt, že učitel pobírající danou tarifní mzdu se nachází v příslušném časovém pásmu let praxe (jeho učitelská praxe je dlouhá alespoň ... let, ale - nepohybujeme-li se v posledním řádku tabulky - nedosáhla ještě ... let), popř. se nenachází v žádném časovém pásmu (učitel s daným tarifem nepobírá mzdu dle uvedené tabulky).) Řešení předvedeme na úloze s konkrétními údaji.


SU

∑ MA


Mzdové tarify odborných asistentů na Technické univerzitě v Liberci pro r. 2006: (Zdroj: Vnitřní mzdový předpis TUL) Započtená praxe v letech

Měsíční tarifní mzda v Kč

0 až 3 3 až 6 6 až 12 12 až 24 nad 24

12 400 12 730 13 050 13 380 13 710

Poznámka: Jde o platy učitelů - odborných asistentů bez vědecké hodnosti CSc., DrSc., Ph.Dr.

Předpokládáme, že v měsíci, kdy zaměstnanec dosáhne hraničního počtu let praxe, nastává u něj postup do vyšší platové skupiny.

a) Viz obrázek 21. Jde o graf funkce po částech konstantní, nespojité v bodech x = 3, 6, 12, 24, přičemž v těchto bodech je funkce spojitá zprava – na grafu to znamená, že plné puntíky jsou v levých krajních bodech vodorovných úseček. b) Učitel (odborný asistent bez vědecké hodnosti) na Technické univerzitě v Liberci, který má za sebou půlroční praxi, stejně jako učitel s dvouletou praxí má tarifní měsíční mzdu 12 400 Kč, učitel s praxí 5,5 let má 12 730 Kč, učitel s 11 lety praxe pobírá 13 050 Kč, učitel s 12 lety praxe 13 380 Kč a učitel s 29 lety praxe má tarifní měsíční mzdu 13 710 Kč. Na grafu jsou mzdy odpovídající zvoleným rokům praxe značeny p(0,5), p(2), atd.

Obr. 21

c) Řešíme pro x = 13 050, 12 400, 15 000 (viz obr. 21). Má-li učitel měsíční tarifní mzdu 13 050 Kč, má za sebou učitelskou praxi nejméně 6 let, nedosáhl však ještě 12 let praxe, tj. je-li l počet let praxe v letech, platí l ∈ 6 , 12). V grafu je toto časové pásmo označeno r(13 050) na vodorovné ose. strana 25 Jednotný programový dokument pro Cíl 3 regionu NUTS 2 hlavní město Praha Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.3.07/3.1.01.1/0137

SU

∑ MA


Má-li učitel měsíční mzdu 12 400 Kč, nemá za sebou ještě 3 roky praxe, tj. l ∈ 0 , 3). Na grafu je toto časové pásmo značeno r (12 400). Má-li učitel tarifní mzdu 15 000 Kč, nepobírá mzdu podle uvedené tabulky. Grafické řešení: přímka y = 15 000 graf neprotíná. Dalším reálným kontextem, jehož můžeme využít k formulaci úloh s funkcemi, jejichž vlastnosti jsou definovány po částech, jsou tarify České pošty.

Úloha 2 Poštovní tarify za odesílání obyčejných psaní platné v r. 2006 (Zdroj: webové stránky České pošty) Poznámka: Obyčejné standardní psaní je dopis o rozměrech max. 23,7 x 12,2 x 0,5 cm, přičemž délka musí být nejméně 1,4 x větší než šířka. Obyčejné psaní je zásilka, jejíž největší rozměr nesmí přesáhnout 60 cm a součet všech jejích tří rozměrů 90 cm.

Do hmotnosti

Cena v Kč

20g

Obyčejné standardní psaní

7,50

Obyčejné psaní

9

50g

200g 500g 1kg

2kg

12

15

28

Obyčejný balík

18

22

30

5kg

10kg 15kg

35

45

55

S použitím uvedené tabulky tarifů České pošty řešte následující úkoly: a) Sestrojte grafy závislosti poštovného za obyčejné psaní, resp. za obyčejný balík na hmotnosti zásilky. b) Kolik zaplatíme za odeslání obyčejné zásilky o daných rozměrech a dané hmotnosti, chceme-li ji poslat co nejvýhodněji? Řešte pomocí tabulky a ukažte na grafu. Volíme např. zásilky 26 x 12 x 0,2 cm s hmotností 15 g, 21 x 14,5 x 0,3 cm s hmotností 18 g, 22 x 12 x 0,5 cm s hmotností 280 g, 55 x 40 x 2 cm s hmotností 1,5 kg. c) Jakou hmotnost měl obyčejný balík, za jehož odeslání bylo zaplaceno 30, 38, resp. 45 Kč? Řešte pomocí tabulky i graficky. Řešení a) Oba grafy jsou grafy po částech konstantní funkce s body nespojitosti 20, 50, 200, 500, 1000 (v gramech) – pro obyčejné psaní, resp. 2, 5, 10, 15 (v kilogramech) – pro obyčejný balík, přičemž z reálného kontextu vyplývá, že v bodech skoku je funkce zleva spojitá, tj. plné puntíky kreslíme v pravých krajních bodech vodorovných úseček. Oba grafy je možné sestrojit různými druhy čar či barvami do jednoho souřadného systému. Vzhledem k našim „černobílým“ možnostem jsme zvolili raději dva oddělené grafy (viz obrázky 22 a 23).


SU

∑ MA


Obr. 22


SU

∑ MA


Obr. 23

b) Za první i druhou zásilku zaplatíme 9 Kč (obyčejné psaní), za třetí 18 Kč (obyčejné psaní) a za čtvrtou 30 Kč (obyčejný balík). Žák se musí soustředit i na další informace, aby zásilku podle rozměrů a hmotnosti správně zařadil. c) Při ceně 30 Kč může mít obyčejný balík maximálně 2 kg (na grafu oblast označená pošt. 30 Kč); cenu 38 Kč bychom neměli zaplatit za žádný obyčejný balík (přímka y = 38 graf neprotíná); balík, za jehož odeslání jsme zaplatili 45 Kč, měl hmotnost větší než 5 kg, ale nejvýše 10 kg (označení pošt. 45 Kč) – obr. 23. Další závislosti z reálného života, v nichž se vyskytují nespojité funkce po částech konstantní: Jízdné v autobuse či vlaku v závislosti na počtu ujetých kilometrů. Parkovné za automobil v závislosti na době parkování, předpokládáme-li model „do určité doby parkování konstantní poplatek, po překročení této doby a do dosažení nové hranice další konstantní poplatek atd.“. Cestovní náhrady (tzv. příspěvek na stravné) zaměstnance při pracovní cestě v závislosti na délce trvání cesty. Startovné na běžecký závod Jizerská padesátka v závislosti na době zaplacení startovného před závodem (s blížícím se datem závodu se startovné zvyšuje). strana 28 Jednotný programový dokument pro Cíl 3 regionu NUTS 2 hlavní město Praha Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.3.07/3.1.01.1/0137

SU

∑ MA


V následujících úlohách 3, 4 se fenomén nespojitosti nevyskytuje, v úloze 5 je spojen pouze s jednou dílčí úlohou (a popř. může být i vynechán – viz agentura C) a úloha 6 je záměrně formulována tak, aby byla spojitost a nespojitost postavena v jednoduchém kontextu do kontrastu.

Úloha 3 Platba za elektrickou energii Poskytovatel elektrické energie dodává do domácností energii za následujících podmínek. V každém měsíci se platí paušální platba 100 Kč (za pronájem elektroměru a jističe) a pak se platí za prvních 200 kWh 3 Kč za jednu odebranou kWh. Přesáhne-li uživatel 200 kWh, počítá mu poskytovatel energie 4 Kč za každou jednu odebranou kWh přesahující 200 kWh, přesáhne-li spotřeba 300 kWh, počítá se 6 Kč za každou jednu odebranou kWh nad limit 300kWh. a) Sestavte vzorec platby za elektrickou energii v daném měsíci v závislosti na odebraných kWh. b) Sestrojte graf závislosti ceny elektrické energie v závislosti na jejím odebraném množství. c) Zjistěte, jakým způsobem jsou platby za elektrickou energii počítány ve vaší domácnosti. V čem se liší od uvedeného modelu? Jaký cíl sleduje podle vás uvedený model? d) Pomocí grafu je možné řešit další úlohy procvičující dovednost čtení grafu a orientace v souřadném systému, jejich formulaci ponecháváme na učiteli. Řešení a) Částku y (v Kč), kterou uživatel za energii v daném měsíci zaplatí, lze vyjádřit třemi vzorci (x je množství spotřebované energie v kWh): y = 100 + 3 x , je-li x ∈ 0, 200 , y = 700 + 4 ⋅ ( x − 200) , je-li x ∈ (200, 300 , y = 1 100 + 6 ⋅ ( x − 300) , je-li x ∈ (300, ∞) . b) Viz obrázek č. 24. c) Uvedený model sleduje omezení spotřeby elektrické energie, ale v ČR není bohužel rozšířen. Máme však informaci, že podobné modely stimulující uživatele k omezení spotřeby ve světě existují – např. při platbě za vodné v Jihoafrické republice.


SU

∑ MA


Obr. 24

Úloha 4 Tarify mobilního operátora Mobilní operátor poskytuje uživateli tři možné tarify. Při tarifu A se platí měsíční paušální platba 300 Kč, v níž je zahrnuto 60 minut hovoru. Přesáhne-li uživatel těchto 60 minut, platí pak za každou další minutu hovoru 6 Kč. U tarifu B měsíční paušální platba 100 Kč zahrnuje 20 minut hovoru, jestliže je uživatel přesáhne, platí za každou další minutu 10 Kč. U tarifu C se žádná paušální platba neplatí, minuta hovoru je účtována 7 Kč. a) Sestavte vzorce pro závislost měsíční platby za telefon u jednotlivých tarifů. b) Sestrojte do jednoho obrázku grafy závislosti měsíční platby za mobilní telefon při použití tarifu A, B, C. c) Rozhodněte podle grafu, při kolika provolaných minutách měsíčně je pro uživatele výhodný tarif A, B, resp. C. Řešení a) Měsíční částka za telefon y (index znamená typ tarifu): yA = 300, je-li x ∈ 0, 60 , yA = 300 + 6 · (x – 60), je-li x ∈ (60, ∞) ; yB = 100, je-li x ∈ 0, 20 , yB = 100 + 10 · (x – 20), je-li x ∈ (20, ∞) ; yC = 7 · x, je-li x ∈ 0, ∞) . Uvědomme si, že účtování hovorů probíhá většinou po půlminutách, pro zjednodušení však považujeme děj za spojitý. strana 30 Jednotný programový dokument pro Cíl 3 regionu NUTS 2 hlavní město Praha Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.3.07/3.1.01.1/0137

SU

∑ MA


b) Viz obrázek č. 25 – grafy závislosti poplatku na počtu provolaných minut jsou značeny písmeny A, B, C jako tarify. c) Odpověď vyčteme z grafu (obr. 25) – rozmezí provolaných minut, pro něž je daný tarif optimální, jsou na vodorovné ose značena opt A, opt B, resp. opt C. Obr. 25

Poznámka: Navrhujeme rozšíření úlohy (a její další modifikace), kdy by si žáci sami obstarali skutečné informace o tarifech mobilních, popř. pevných telefonních operátorů a prováděli by srovnání na skutečných datech. Právě tento kontext je žákům základní školy velmi blízký.

Úloha 5 Hlídání dětí Ve městě existují tři agentury na hlídání dětí. Agentura A požaduje paušální poplatek za zprostředkování služby 300 Kč a pak za každou hodinu hlídání 120 Kč, agentura B požaduje 150 Kč za hodinu hlídání bez paušálního poplatku. Agentura C si účtuje pevnou částku 600 Kč za hlídání do 5 hodin (včetně), částku 1 800 Kč, trvá-li hlídání více než 5, ale maximálně 12 hodin a za více než 12 hodin (tzv. celodenní hlídání) si účtuje 2 500 Kč. Předpokládejme, že služba bude požadována maximálně na dobu jednoho dne. a) Sestavte vzorec pro závislost ceny za hlídání dítěte pro agentury A, B, C v závislosti na době strana 31 Jednotný programový dokument pro Cíl 3 regionu NUTS 2 hlavní město Praha Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.3.07/3.1.01.1/0137

SU

∑ MA


b) Sestrojte graf závislosti ceny za hlídání dítěte v závislosti na době poskytované služby u agentur A, B, C do jednoho souřadného systému (nejlépe různými barvami). c) Řešte početně i graficky: Jakou agenturu je finančně nejvýhodnější si na hlídání dítěte najmout, potřebujeme-li hlídání na 2, 5, 11 hodin? Předpokládáme, že všechny agentury jsou stejně kvalitní. d) Řešte graficky: Pro jakou dobu hlídání (při uvažované maximální délce 24 hodin) je nejvýhodnější agentura A, při kolika B a při kolika agentura C. Poznámka: Uvědomme si, že u poskytování podobných služeb, jakou je i hlídání dětí v úloze, bývá zpravidla řečeno, že poplatek se účtuje za každou započatou hodinu, což má v našem případě za následek nespojitost příslušných funkcí i u agentur A, B. Pro zjednodušení je však možné předpokládat, že i zde se platí za libovolně malý časový úsek hlídání. Jsou-li v c) zvoleny pouze celé hodiny, žádný problém nenastane. Pokud se při řešení d) narazí na necelé hodnoty hodin, je vhodné žáky upozornit na rozpor našeho modelu se skutečnou situací. Po vyřešení tohoto zjednodušeného modelu doporučujeme sestrojit graf a řešit úlohu znovu, za předpokladu, že u agentur A, B budeme uvažovat platby za každou započatou hodinu. Řešení Obr. 26


SU

∑ MA


a) cA = 300 + 120 t cB = 150 t cC = 600, je-li t∈(0, 5 ; cC = 1800, je-li t∈(5, 12 ; cC = 2 500, je-li t∈(12, 24 , kde c je cena služby hlídání (index označuje agenturu) a t doba v hodinách, po níž je služba poskytována. b) Viz obrázek č. 26 – příslušné grafy jsou označeny stejnými písmeny jako agentury. c) Při dvou hodinách hlídání zaplatíme u agentury A cA = 300 + 120 · 2 = 540 Kč, u agentury B cB = 150 · 2 = 300 Kč, u agentury C cC = 600 Kč, nejvýhodnější je tedy agentura B. Na svislé ose označeno min 2 h. Při pěti hodinách hlídání zaplatíme u agentury A cA = 300 + 120 · 5 = 900 Kč, u agentury B cB = 150 · 5 = 750 Kč a u agentury C cC = 600 Kč, nejvýhodnější je tedy agentura C. Na svislé ose označeno min 5 h. Za jedenáct hodin hlídání se zaplatí u agentury A cA = 300 + 120 · 11 = 1 620 Kč, u agentury B cB = 150 · 11 = 1650 Kč a u agentury C cC = 1 800 Kč, nejvýhodnější je tedy agentura A. Na svislé ose označeno min 11 h. d) Viz obrázek č. 26 – časová pásma (doby hlídání), pro něž je daná agentura optimální, jsou na vodorovné ose označena opt A, opt B, resp. opt C. Pro žáky základní školy je nespojitost složitým fenoménem a jako propedeutiku tohoto pojmu je vhodné volit takový kontext, kde je situace jasnější a názornější (o (ne)spojitosti viz také [7]). Jednu dvojici úloh, v níž je rozdíl mezi oběma definičními obory z kontextu zřejmý, uvádíme.

Úloha 6A Automobil jede průměrnou rychlostí 80 km/h. a) Jakou vzdálenost urazí auto za 1, 2, 4 hodiny? b) Napište vzorec pro výpočet ujeté dráhy auta v závislosti na čase. Zapište definiční obor této funkce. c) Sestrojte graf závislosti ujeté dráhy s na čase t. d) Spočtěte a ukažte na grafu, za jaký čas ujede automobil 100, 240, 280 km.

Úloha 6B Jedna kniha stojí 80 Kč. a) Kolik stojí 1, 2, 4 knihy? b) Napiš vzorec pro výpočet ceny c nákupu knih v závislosti na jejich počtu n. Zapište definiční obor této funkce. c) Sestrojte graf vyjadřující závislost ceny nákupu knih v závislosti na jejich počtu. d) Spočtěte a ukažte na grafu, za kolik knih se přesně zaplatí 100, 240, resp. 280 Kč. Je mezi oběma grafy nějaký rozdíl? Popište jej.


SU

∑ MA


Řešení a) Automobil ujede za 1 hodinu 80 km, za 2 hodiny 160 km, za 4 hodiny 320 km. Jedna kniha stojí 80 Kč, dvě knihy 160 Kč, čtyři knihy 320 Kč. b) Vzorec pro výpočet dráhy auta: s = 80 · t, kde t ∈ 0, ∞) . Vzorec pro výpočet ceny nákupu knih: c = 80 · n, kde n∈{0, 1, 2, 3, ...}. D ( fA) = 0, ∞) , D ( fB) = {0, 1, 2, 3, ...} c) Viz obrázek č. 27. s 100 240 d) t = , tj. 100 km ujede automobil za = 1, 25 hodiny, 240 km ujede za = 3 hodiny 80 80 80 280 a 280 km ujede za = 3,5 hodiny. 80 100 ani 280 Kč nelze beze zbytku zaplatit za žádný počet uvedených knih, za 240 Kč dostaneme 3 knihy. Grafické řešení ponecháme na řešiteli a záměrně je v tomto případě nedoplňujeme – chceme, aby pozornost byla upoutána na viditelný rozdíl mezi oběma grafy a nebyla rozptylována dalšími čarami. Řešení je možné na grafu pouze ukázat, popř. doplnit barevně.

Obr. 27

Podobnou dvojici úloh jsme žákům základní školy v rámci výzkumu funkčního myšlení v r. 2000 zadali. I když je z kontextu zřejmé, že první z dvojice funkcí (dráha automobilu) má spojitý definiční obor a druhá diskrétní, žáci většinou žádný rozdíl neviděli a oba grafy črtali stejně. O určitém vhledu do situace a pochopení rozdílu mezi definičními obory svědčily odpovědi typu „knihu není možné půlit“, „není možné si koupit jen kousek knihy“, i když i tyto byly většinou doprovázeny grafy, které se nelišily. strana 34 Jednotný programový dokument pro Cíl 3 regionu NUTS 2 hlavní město Praha Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.3.07/3.1.01.1/0137

SU

∑ MA


Závěr Řešení všech výše uvedených úloh nevyžaduje složitý matematický aparát – stačí znalost lineární a konstantní funkce – a úlohy tak mohou být bez obav předkládány žákům základní školy. Při práci s těmito úlohami se využívají všechny reprezentace matematických závislostí (tabulka, graf, slovní vyjádření, vzorec) a posiluje se tak efektivně funkční myšlení žáků. Sami žáci a studenti mohou být vyzýváni, aby podobné reálné situace aktivně hledali a úlohy formulovali. Nedostupnost jediné analytické formule platné pro celý definiční obor u většiny uvedených funkcí umožní učiteli vyzdvihnout před žáky výhody grafického znázornění závislosti i grafického řešení problémů. Myslíme si, že práce s konkrétními příklady funkcí je jedinou cestou k vytváření správných představ o pojmu funkce a k podpoře funkčního myšlení žáků všech věkových skupin. Také z historie matematiky máme poučení, že představy matematiků o pojmu funkce se rozšiřovaly a obohacovaly vždy po podnětech z reálného života a při řešení konkrétních problémů a že každému zobecnění představ o funkcích předcházela vždy důkladná práce s pestrým množstvím konkrétních modelů funkcí. Věříme, že častější předkládání slovně zadaných úloh s reálným kontextem může u žáků přispět nejen k většímu pochopení pojmu funkce a fenoménů s ním spojených, ale i k upevňování jejich funkčního myšlení, ale má i hlubší význam. Zdůrazňování provázanosti školské matematiky a reálného světa i interdisciplinárních vztahů je významným argumentem v současných diskusích o potřebě a smyslu matematického vzdělávání a může žáky pomoci přesvědčit o užitečnosti matematiky a přispět k jejich celkové gramotnosti.


SU

∑ MA


Literatura [1] Bero, P.: Intuitive awareness of dependence relationship and understanding of mathematical functions. Research in Education. č. 50. 1993. [2] Kopáčková, A.: Podpora funkčního myšlení žáků 1, 2. Učitel matematiky. číslo 3, 4. JČMF. Praha: 2005. [3] Kopáčková, A.: Nejen žákovské představy o funkcích. Pokroky matematiky, fyziky a astronomie. číslo 2. Prométheus. Praha: 2002. 149-161 [4] Novotná, J., Kubínová, M., Sýkora, V.: Matematika s Betkou 3. Scientia. Praha: 1998 [5] Leuders, T., Prediger, S.: Funktioniert´s? – Denken in Funktionen. Praxis der Mathematik in der Schule. 2005. č. 2. Köln/Leipzig. 1 – 7 [6] Kopáčková, A.: Funkce všude kolem nás. Sborník příspěvků ze Setkání kateder připravujících učitele matematiky České a Slovenské republiky. UJEP Ústí nad Labem: 2004. 26-30. [7] Eisenmann, P.: O experimentu se spojitostí funkce na střední škole. Učitel matematiky. číslo 4. JČMF. Praha: 1996. 213-219.


SU

∑ MA


Návrhy seminárních prací pro účastníky kurzu 1. Naplňování dalších rotačních nádob (polokoule, paraboloid, komolý kužel) 2. Grafy rychlostí nových závodních okruhů 3. Úlohy z geometrie vhodné pro rozvoj funkčního myšlení žáků 4. Grafy funkcí na počítači ve výuce matematiky na základní škole 5. Software Mathematica při výuce funkcí 6. Ekonomické úlohy vhodné pro rozvoj funkčního myšlení žáků 7. Aplikační úlohy vhodné pro rozvoj funkčního myšlení žáků 8. Úlohy z fyziky vhodné pro rozvoj funkčního myšlení žáků 9. Využití ICT při řešení problémů rozvíjejících funkční myšlení žáků 10. Využití programu Excel při řešení problémů rozvíjejících funkční myšlení žáků 11. Grafické řešení rovnic a soustav rovnic 12. Grafické řešení nerovnic a soustav nerovnic Poznámka: U prací č. 1, 2, 3, 6, 7, 8, 11, 12 se předpokládá sestavení sbírky zhruba osmi úloh, z nichž alespoň polovinu by měly tvořit úlohy původní. Všechny úlohy by měly být opatřeny vzorovým řešením s komentářem. V závěru práce by mělo být vysvětleno, jak řešení předložených úloh přispěje k rozvoji funkčního myšlení žáků.


SU

∑ MA


Příloha List 1


SU

∑ MA


List 2


SU

∑ MA


List 3


SU

∑ MA


List 4


SU

∑ MA



SU

∑ MA


List 5


SU

∑ MA


List 6


SU

∑ MA


List 7


SU

∑ MA


List 8


SU

∑ MA


List 9


SU

∑ MA


List 10


SU

∑ MA


List 11


SU

∑ MA


List 12


SU

∑ MA


List 13


SU

∑ MA


Rozvoj funkčního myšlení ve výuce matematiky na základní škole

Recommend Documents