Maple: Bevezetés A Maple alapjai A Maple egy hatékony matematikai program személyi számítógépekre, melynek segítségével algebrai és formális matematikai műveletek végezhetőek el. Képes továbbá numerikus analízis feladatok elvégzésére és az eredmények sokoldalú grafikus megjelenítésére. A Maple munkafelülete alkalmas technikai dokumentációk készítésére, munkafelületén szöveg, matematikai kifejezések és grafikonok egyaránt megférnek. Nagy erőssége az egyenletmegoldó képessége, amiért nagyon sokan használják. A Maple nagy erőssége a formális matematikai számítások kezelése. Gyakran, a Maplelel dolgozva, megengedhető, hogy nem definiálunk pontosan egy elemet, változót, legfeljebb egy későbbi időpontban. A Maple képes azt az elemet mindaddig míg értéket nem kap egyszerű szimbólumként kezelni.
1. ábra A Maple munkafelülete
Kezdjünk dolgozni a Maple-ben A Maple munkalapján három, egymástól színben különböző kiírás látható. A Maple parancs, amit kiadunk (piros színben), az eredmény kiírása, mely a parancsaink eredményét jelenti (kék szín) és a hibajelentés. Íme egy példa Maple parancsra. > 5+3; 8 Egy parancs végrehajtásához a Mapleben álljunk rá az egérrel a kiadott parancsra és nyomjuk le az Enter billentyűt. Megfigyelhetjük, ahogyan a Maple megjeleníti az eredményt, majd a kurzor a következő Maple parancsra ugrik. Minden parancs a Mapleben egy „nagyobb, mint” jellel (>) kezdődik és pontvessző vagy kettősponttal végződik. Míg a pontvessző hatására a Maple megjeleníti az eredményt, addig a kettősponttal való lezárásra a parancsnak épp ellenkezőleg, azt jelenti, hogy ne írjon ki eredményt. > 4+2; 6 > 3+1: A Maple parancsba megjegyzések is szerepelhetnek. A duplakereszt (#) a parancs részeként azt mondja meg a programnak, hogy mindent ami mögötte van hagyjon figyelmen kívül, az nem végrehajtandó parancs, hanem megjegyzés. > 4+4; #Maple ignores what comes after the hash symbol. Amikor a kurzor egy üres Maple parancssoron áll és lenyomjuk az Enter billentyűt, a kurzor átugrik a következő parancssorra. Lehetőség van visszatérni már végrehajtott parancsokra és azokat szerkeszteni lehet. Visszatérve egy már végrehajtott parancsra a kurzor billentyűk segítségével és a törlés gombokkal szerkeszthetjük ezeket. Ha most lenyomjuk az Enter billentyűt, a már megszerkesztett parancsot fogja végrehajtani. Ha valamilyen hibát ejtünk egy parancsban, melyet a Maple nem tud értelmezni, akkor eredményként valamilyen hibaüzenetet fogunk kapni a parancs végrehajtásának végeredményeként. Például jellemző hiba a sor végi lezáró jel elhagyása. Ha megkíséreljük végrehajtani az > 5+5 Warning, premature end of input hibaüzenetet kapjuk, mely azt mondja, hogy nincs sorvég. Ennek javítása egyszerűen a parancsra való visszatéréssel és a sorvég jelének kitevésével javítható, aztán végrehajtható a parancs.
Számos hiba előfordulhat a Maple parancssorokban. A legnehezebb a számítógépes programok használatában a hibás használat, a számtalan hibaüzenet értelmezése a kötött szintaxis miatt. Ezen hibák elkerülésének legjobb módja a program szintaxisának minél jobb megismerése és természetesen a gyakorlat. Mindig nagyon óvatosan és megfontoltan gépeljük be a parancsokat a hibák elkerülése érdekében. Lehetőségünk van arra, hogy több parancsot írjunk egy parancssorba , de mindegyik parancsot külön ;-vel kell lezárni, mint ahogy azt a következő példában is láthatjuk. > 5+5; 4-1; 3+2; 10 3 5 Egy másik módja több parancs együttes végrehajtásának, ha azokat végrehajtási csoportokba (execution groups) tesszük. Ezáltal a csoport bármelyik tagján állva a kurzorral, az összes csoportbeli parancs végrehajtódik. A parancsok egy csoporthoz való tartozását a Maple zárójelek segítségével jelzi a parancsok bal oldalán. Amennyiben ez nem jelenne meg, előhívható a ”View -> Show Group ranges” menüpontból, vagy egyszerűen az F9 gomb lenyomásával. > 5+5; > 4-1; > 3+2; 10 3 5 Lehetőségünk van Mapleben a munkalapunkon új parancssor beszúrására a már meglévő munkánkban. Adott soron állva ha az azt következő sorba kívánunk új parancssort beszúrni, azt a Ctrl és J billentyűk együttes lenyomásával tehetjük meg és amennyiben az aktuális parancssor elé kívánunk újat beszúrni azt pedig a Ctrl és K billentyűk együttes lenyomásával tehetjük meg.
A Maple, mint számológép A Maple egyszerű zsebszámológépként is használható, de annál sokkal hatékonyabb számolási feladatokat is el tud látni. Nagyon javasolt ilyenkor egy újraindítás (restart) használata, melyet a restart paranccsal tudunk lehívni, ilyenkor ugyanis a már meglévő eredmények mind törlődnek a Maple memóriájából és elkerülhetőek az eredmények esetleges összekeverései. > restart;
A Maple képes „formális aritmetikai” és „numerikus aritmetikai” megjelenítésre egyaránt. Íme egy példa a formális, szimbólikus matematikai kifejezések használatára a Maple által: > 1/3+1/3;
Amint látható a Maple törtként adta meg az eredményt, matematikai szimbólumok használatával. Ha a parancs kifejezésében szerepel valahol egy tizedes pont, akkor az eredmény tizedes törtként fog megjelenni. > 1.0/3+1/3;
#Notice the decimal point 0.66666666666
Ez is megmutatja, hogy a Maple különbséget tesz a numerikus és a szimbólikus számítás közt. Nézzük a következő parancsot.
Láthatjuk, hogy a Maple az eredményt közös nevezővel jeleníti meg. Ha az eredményt tizedes formájában akarjuk megjeleníteni, akkor ezt két módon tehetjük meg. Első mód, hogy a parancssorban egy tizedes pontot írunk, amint a fentebbi példában is látható. Másik lehetőség, hogy a Maple evalf parancsát használjuk, amely konvertálja a számot tizedes tört formába.
Az eval az „evaluate”, vagyis a kidolgozás rövidítése, az f pedig „a floating-point” (lebegőpontos) megjelenítés rövidítése. Az evalf parancs 10 tizedessel jeleníti meg az eredményt. Ha a tizedesek számát meg akarjuk változtatni, az könnyen megtehető, mint az az alábbi példában is látható.
A számokhoz „neveket” is hozzárendelhetünk. Nézzük az utolsó számítást és jelöljük az eredményt x-szel:
A „:=” műveletet hozzárendelés operátornak nevezzük. A bal oldali változónévhez hozzárendeli a jobb oldali kifejezés értékét. Innentől bárhol hivatkozhatunk x-szel a
29 40
értékre. A Maple képes továbbá gyökös és hatvány kifejezések kezelésére is. A 9 (1 / 8) kifejezést például egyszerűsíteni lehet 3(1 / 4) formára. Ha az előbbi formát írjuk be a Maplebe, látjuk, hogy az nem egyszerűsíti azt. Ezért gyakran meg kell mondani a Maplenek, hogy egyszerűsítse az adott kifejezést, melyet a simplify paranccsal tehetünk meg.
A százalék jel használata azt mondja meg a Maple programnak, hogy a legutóbbi eredményt kezelje. A fenti példában a százalékjel helyettesítődik a 9 (1 / 8) kifejezéssel. Amikor hosszú kifejezéseket írunk parancssorba szükségünk van zárójelezésre, ám legyünk nagyon óvatosak azok helyére, mint azt az alábbi példa is mutatja.
Ezen példák azt is megmutatják, hogyan dolgozunk kifejezésekkel, hogyan emeljük azokat hatványra hogyan szorzunk, osztunk kifejezéseket. A Maple rendelkezik a zsebszámológépekkel elvégezhető minden művelet szintaxisával és e mellett sok más egyéb matematikai művelet végrehajtására is alkalmas. Definiálhatunk függvényt is benne.
Ezek után számolhatunk a függvénnyel, például az eval parancs segítségével kiszámolhatjuk annak értékét adott pontban.
Használhatujuk továbbá a subs parancsot, mellyel behelyettesíthetünk a függvénybe adott értéket, ennek eredménye a függvény alakjába való behelyettesítés lesz.
A subs parancs nem számolja ki tehát a függvény értékét, ám ezt megtehetjük a simplify függvény segítségével, oly módon, hogy azt meghívjuk a subs függvény eredményére.
És végül kérhetünk ezen értékre egy közelítést tizedes formában az evalf függvény segítségével.
Maple, mint szimbólikus számológép A Maple képes változókat tartalmazó kifejezésekkel is operálni. Mielőtt elkezdenénk algebrai számításokhoz a Maple-lel az x változót ismeretlen változóra kell változtatnunk. Például, ha az előzőekben értéket adtunk az x-nek, most törölnünk kell ezt az értéket. Ezt úgy tehetjük meg, ha x értékét hozzárendeljük egy ismeretlen értékű x-hez, melynek jelölése x felsővesszők között. Érdemes megjegyezni, hogyan töröljük egy változó értékét, hosszabb munkalap alkalmával többszörösen is szükségünk lehet erre. Most már készen állunk x-szel végzett műveletek végrehajtására. A solve parancs segítségével tudunk egyenletet megoldani adott ismeretlenre. Itt egy könnyű példa.
A Maple eredményként megadja azon x értékeket, melyekre az egyenlet teljesül. Ebben az esetben egyértelmű volt, hogy x-re kell megoldani az egyenletet, hiszen ő volt az egyetlen ismeretlen. Viszont a Maple képes több ismeretlenes egyenletek megoldására is, a többi változót, mint paramétert szerepeltetve az eredményben, viszont ezen
esetekben már egyértelmű, hogy meg kell adnunk melyik változóra kérjük a megoldást. Lássunk egy példát melyben ilyen egyenletet oldunk meg minden egyes változójára külön.
A Maple a hozzárendelés operátort használja arra, hogy elnevezzen egy explicit alakban szereplő egyenletet.
Ez után már a quad1 névre való hivatkozás alatt az adott egyenletet fogja érteni a program.
A fenti egyenlet megoldási formája ismerős kell legyen. Ha az a, b és c együtthatókat számértékekkel látjuk el, akkor már ténylegesen megoldja az egyenletet.
Most azonban nem csak megoldjuk az egyenletet, hanem az eredményeket is egy névhez rendeljük, a solution változóhoz.
Így az adott név, mindkét eredményre vonatkozik! Ám külön is hivatkozhatunk az eredmény értékeire az alábbiak szerint.
Mi van, ha ellenőrizni akarjuk, hogy az egyes eredmények valóban kielégítik az egyenletet? Ezt oly módon tesszük meg, hogy egyenként behelyettesítjük az
eredményeket az egyenletbe, majd ellenőrizzük, hogy a jobb és bal oldal az eredményben valóban egyezik. Erre a subs parancsot használhatjuk.
Megkérhetjük a Maplet, hogy egyszerűsítse az eredményben a bal oldalt és így egyértelműen megállapíthassuk az egyezést.
Ezzel ellenőriztük, hogy a solution[1] valóban megoldása a quad1 egyenletnek. Hasonlóképpen ellenőrizhetjük a másik megoldás helyességét is.
