A.MEMULAI MENGGUNAKAN MAPLE Untuk memulai program maple dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut. 1. Pilih Start 2. Pilih All Programs 3. Pilih Program Maple 10
4. Akan muncul Window Maple 10
Seperti program-program pada umumnya Maple juga mempunyai beberapa pada bagian pada tampilannya. Diantaranya adalah Title bar,Menu bar (file, edit, view, dll), Tool bar(new, open, view, dll), Math bar merupakan menu-menu khusus yang fungsinya adalah membantu kita dalam penulisan lambang maupun simbol matematika seperti expression, matriks dll.Text bar merupakan suatu bagian yang nantinya digunakan sebagai lembar kerja pada maple tapi perbedaan antara text bar maple dengan yang lainnya adalah sebelum kita menusiskan suatu permasalahan kita diwajibkan menuliskan symbol ” [>” yang bias mincul dengan me-klik toolbar “[>” .
1
Perintah ke computer diberikan dengan mengetikkan pada text bar setelah [>. Perintah ini dicetak dalam warnah merah atau hitam, sedangkan jawaban atau respon akan dicetak dalam warna biru. Dalam maple setiap perintah harus diakhiri dengan dengan symbol atau anda titik koma ( ; ) jika hasil atau respon ingin ditampilkan dan symbol titik dua ( : ) jika ingin respon atau hasil tidak ingin ditampilkan. B.OPERASI ARITMATIKA + dan * dan / ^ Sqrt Evalf
: Tambah dan kurang : Kali dan Bagi : Pangkat : Akar kuadrat : Memberikan nilai numeric
Dalam pengoperasiannya, operasi dasar aritmatika menggunakan hukum-hukum berdasarkan prioritas operasi, misalkan perkalian dioperasikan terlebih dahulu daripada penjumlahan. Begitupula dengan operasi yang lainnya,
C.KONSTANTA Konstanta yang sering digunakan oleh maple adalah Pi, E, dan I. D.FUNGSI Dalam maple juga fungsi-fungsi diantaranya adalah E^x Ln(x) Sin(x), cos(x), tan(x),csc(x), sec(x),cot(x) arcsin(x), arccos(x) dll sinh(x),cosh(x), dll arcsinh(x), arccosh(x), dll
: Fungsi Eksponensial : Logaritma Natural : Trigonometri : Invers Trigonometri : Hiperbolik : Invers Hiperbolik
E.MENDEFINISIKAN VARIABLE DAN FUNGSI Untuk mendefinisikan suaru variabel harus menyertakan symbol ” := “ ( Keterangan : diantara titik dua dan sama dengan tidak ada spasi ). Mendefinisikan suatu variabal akan berakibat variable itu akan dipakai terus sampai program atau pengoperasian selesai. Walaupun pendesinisiannya diganti. Untuk bisa merubah desinisi suatu fariabel maka dibutuhkan perintah “restart;” pada awal perintah atau pengoperasian.
2
Contoh Didefinisikan bahwa A=5 dan B=2 tentukan hasil dari 4*A/B danA^2+B^3 Fungsi juga memerlukan suatu pendefinisian misalnya:
Perintah diatas berfungsi untuk mendefinisikan fungsi f ( x) = 5 x 2 + 4 x − 9 . Setelah didefinisikan kita bisa memenggil fungsi tersebut dengan perintah “f(x);” variable x juga bisa diganti, untuk mencari hasil dari fungsi f(x). misalnya f(6), f(3), f(Pi). F.MANIPULASI POLINOMIAL Ada beberapa perintah penting yang biasanya digunakan dalam maple diantaranya yaitu: 1. simplify : Untuk menyederhanakan ekspresi aljabar Contoh: p:=1-x+(x^2-1)/(1—x); Jika disederhanakan dengan meggunakan “ simplify“maka:
2. factor : Memfaktorkan suatu ekspresi Sedangkan untuk memfaktorkan polynomial kita dapat menggunakan perintah “factor” contoh: q:=y^69-1
3. solve : Menyelesaikan system pertidaksamaan untuk sekumpulan variable Contoh 1 Untuk mencari nilai x dari x 3 − 3 x 2 + x − 3 adalah dengan menggunakan perintah “solve”.
3
solve(x^3-3x^2+x-3);
Keterangan: I adalah bilangan imajiner (akar dari -1). Cara lain yaitu dengan mendefinisikan terlebih dahulu polinomila tersebut h:=x-> x^3-3x^2+x-3; solve(h(x));
Contoh 2 Untuk menyelesaikan system pertidaksamaan 2x+3y=10, 5x-y=3 untuk x dan y,maka: Solve({2*x+3*y=10,5*x-y=3},{x,y});
Atau kita mendefinisikannya terlebih dahulu: sistem:={ 2*x+3*y=10,5*x-y=3}; solve(sistem,{x,y});
4. fsolve : Memberikan solusi numeric Contoh 1 Fsolve(h(x));
Contoh 2 fsolve(sistem,{x,y});
5. evalf
: Merupakan suatu perintah yang untuk mencari hasil akhir yang lebih spesifik dan dalam bentuk desimal.
4
Contoh
25/27+3/51; evalf(25/27+3/51,3) ;
6. expand
: Expansi suatu ekspresi
CONTOH LAIN sistem:={ 2*x+3*y=10,x^2-y=7}; solve(sistem,{x,y}); fsolve(sistem,{x,y}); Untuk hasil kita bisa memberikan keterangan hasil atau jawaban pada penyelesaiannya misalnya Hasil:=fsolve(sistem,{x,y}); Bila ingin memenggil masing-masing hasil yaitu hasil pertama dan kedua bisa kita ketikkan perintah hasil[1] dan hasil[2]. Hasil[1]; Hasil[2]; G. SUBSTITUSI Untuk dapat melakukan operasi substitusi terlebih dahulu kita mendefinisikan suatu ekspresi. Setelah tu kita baru mensubtitusikan variable dengan nilai tertentu yang kita inginkan. Contoh ekspresi:=sin(x)^2+sin(x); subs(x=eta,ekspresi); hasil:=evalf(subs(x=Pi/3,ekspresi));
H. MENGHITUNG NILAI LIMIT Maple juga dapat digunakan untuk mencari penyeleaian dari persoalan yang ada pada kalkulus salah satunya yaitu mencari atau menghitung nilai limit. Contoh 1 Limit(cos(x)/x,x=0)= limit(cos(x)/x,x=0);
Contoh 2 h:=x->(1-x)/(x-3)^2 Limit(h(x),x=0)=limit(h(x),x=0);Limit(h(x),x=infinity)=limit(h(x),x=infinity); Limit(h(x),x=3)=limit(h(x),x=3); Limit(h(x),x=1)=limit(h(x),x=1);
5
Perhatikan peranan huruf besar L dan huruf keci l pada perintah limit. Sebutkan? I. MENYELESAIKAN DIFERENSIASI Maple menggunakan perintah diff untuk mendeferensialkan suatu fungsi Contoh 1 Diff(h(x),x)=diff(h(x),x); B:=Diff(h(x),x)=simplify(diff(h(x),x)); subs(x=10,rhs(B))
Keterangan rhs(B) adalah right hand side dari B Diff(h(x),x$2)=simplify(diff(h(x),x$2)); Turunan Parsial l:=(x,y)->x^2-3xy^2+5x*x^3*y^4; Diff(l(x,y),x,y)=diff(i(x,y),x,y);
Sebutkan peranan huruf besar D dan huruf kecil d pada perintah diff? Perintah Diff(h(x),x$n); merupakan perintah turunan ke-n dari h(x) terhadap x. J. MENYELESAIKAN PERSOALAN INTEGRASI Dalam maple untuk menyelesaikan persoalan integrasi menggunakan perintah Int(fungsi integrand, variable); Contoh1 Int(h(x),x)=int(h(x),x);
6
Walaupun sedang mengghitung integral taktentu, Maple tidak memunculkan konstanta sembarang C. Int(Int(h(x),x),x)=int(int(h(x),x),x); Int(h(x),x=0..2)=evelf(int(h(x),x=0..2));
INTEGRAL LIPAT DUA Contoh 2 k:=(x,y)->1+x*y; Int(Int(k(x,y),y=x..x^2),x=..2)=int(int(k(x,y),y=x..x^2),x=0..2);
Perhatikan peranan huruf I dan i pada Int dan int. sebutkan perbedaan fungsi dan peranannya. Juga perhatikan perintah evalf. K. PLOT GAMBAR Maple mempu menggambar suatu fungsi satu dimensi, dua dimensi atau tiga dimensi dengan beberapa fasilitas operasi yang lain. Untuk dapat menggunakan perintah-perintah pengeplotan ini, terlebih dahulu harus memanggil perintah “with(plot);”
7
Plot ada banyak macamnya diantaranya yang sering dipakai adalah plot 1 dimensi, 3 dimensi atau yang diasanya disingkat dengan3D. Contoh
Gambarlah persamaan garis y = x^2 + 6 untuk x=1 sampai x=5
Sedangkan untuk plot 3D contohnya adalah plot3d(sin(x*y), x=-Pi..Pi, y=-Pi..Pi,style=contour);
PLOT OPTION Dalam plot juga ada beberapa pilihan atau option yang harus diperhatikan yaitu diantaranya adalah Color
: Pilihan ini berfungsi untuk menentukan warda dari grafik ayang akan ditampilkan. Dan dalam pemilihan ini penulisannya berdasarkan ejaan bahasa inggris. Misalnya ingin membuat grafik maka warna yang dituliskan adalah “red” jika menginginkan warna biru maka dapat menggunakan atau mengetik kata “blue” dan lain-lain.
Style
: Style merupakan suatu pilihan untuk menentukan bentuk dari gambar atau garafik ayang akan kita buat. Dalam stile ini ada dua macam yaitu “point” atau “line”. Point di sini artinya adalah
8
bahwa grafik yang dibentuk berupa point atau titik-titik yang membentuk suatu garis atau kurfa. Sedangkan line yaitu garis atau kurfa yang akan dibuar berbentuk gasis. Title
: Agar dapar membedakan antara gambar satu dengan gambar yang lain maka masing-masing gambar dadat diberi mana sesuai dengan keperluanya melewati option labels.
Linestyle
: Linestyle merupaka suatu option yang digunakan untuk menentukan daereah mana yang akan digambar atau biasanya disebut dengan barasan-batasan suatu daerah
Labels
: Labels berfungsi sebagai nama dari dua hal yang akan dihubungkan biasanya untuk manamakan label pada sumbu x dan sumbu y.
L.PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE PERTAMA Penerapan persamaan diferensial biasa orde pertama bisa diselesaikan dengan bantuan program aplikasi maple. Persamaan ini dinamakan persamaan diferensial biasa orde pertama karena persamaan ini hanya mengandung turunan pertama dari fungsi yang tak diketahi, misalnya y(x) yang akan ditentukan dari persamaan itu.persamaan ini muncul dalam banyak penerapan biologi, fisika, rekayas dan penerapan lainnya seperti model matematis dari berbasai system fisisi dan system lainnya. Suatu persamaan diferensial orde pertama dikatakan linear jika persamaan itu dituliskan sebagay berikut dy / dx + p ( x) y = r ( x )
Ciri khas dari persamaan ini yaitu linear dalam y dan dy/dx, dengan p dan r merupakan fungsi dari setiap x yang diberikan. Jika ruas sebelah kanan r(x) bernilai nol maka untuk semua nilai x dalam interval yang ditinjau, maka persamaan ini dikatakan homogen, sebaliknya dikatakan tak homogen. Turunan-turunan y’ dinotasikan oleh diff(y(x),x)atau D(y)(x). turunan parsial diperoleh dengan cara yang sama. Solusi persamaan diferensial dapat diperoleh dengan perintah dsolve(selesaian persamaan diferensial). Pengeplotan grafik solusi dapat dilakukan dengan perintah plot(f,h,v,…), dimana f adalah fungsi-fungsi yang akan diplot, h adalah range horizontal dan v adalah range vertical dan kolom berikutnya bisa diisi dengan beberapa pilihan tampilan. Contoh1 dy / dx + y cos( x ) = 1 / 2 * sin( 2 x ), y (0) = 1 . Restart; p:=cos(x); r:=1/2*sin(2*x); h:=int(p,x)
9
Jadi solusi umum persamaan ini adalah solum:=y(x)=exp(-h)*(int(exp(h)*r,x)+c); eval(subs(x=0,y=I,solum));
Misal kita substitusikan c=3 maka subs(c=3,solum);
Contoh 2 Persamaan Peluruhan Radioaktif, Peluruhan Eksponensial. Suatu percobaan menunjukkan bahwa suatu unsure radioaktif meluruh laju yang sebanding dengan banyaknya unsure saat itu. Jika banyakknya unsure yang diberikan 3 gram pada waktu t=0, apa yang terjadi dengan banyaknya unsure yang tersisa kemudian Proses fisis ini denyatakan dengan persamaan deferensial orde pertama dy / dx = ky (t ), y (0) = 3 Dimana k merupakan konstanta fisis yang nilai numeriknya diketahui untuk berbagai unsure radioaktif. Bila k=-C, C>0 maka persamaan diferensial ini menyatakan proses peluruhan eksponensial. Misalnya pers didedinisikan sebagai dy / dx = ky (t ) , maka restart; pers:=diff(y(t),t)=k*y(t);
10
Solusi umum yang dilambangkan dengan (sol) didapat dengan melalui perintah dsilve sol:=dsolve(pers,y(t));
Notasi _Cl untuk menyatakan suatu konstanta sembarang. Dari sol didapat solusi khusus dengan mensubstitusikan kondisi awal y(0)=3 (yang menunjukkan keadaan dari system fisis itu). eval(subs(t=0,y(0)=3,sol));
eval merupakan perintah untuk menghitung. Dengan mensubstitusikan _Cl = 3 , maka subs(_Cl=3,sol);
solusi khusus juga bisa ditentukan dengan yp:=dsolve({pers,y(0)=3},y(t));
11
Keterangan : tanda kurung kurawal {..} untuk himpunan dua item (persamaan dan kondidi awal). Untuk menggambarkan grafik solusi itu, maka bisa mengeplot yp dengan menentukan suatu niali konstanta k, misalnya k = -0,5 (karena peluruhan). Sehingga yp1:=subs(k=-0,5,yp);
plot(rhs(yp1),t=0..5,title=”Grafik Peluruhan Eksponensial”);
12
Contoh 3. Hukum Pendinginan Newton Bentuk dasar pelurusan eskponensial telah dimodifikasi pada berbagai model fisika. Sebagai contoh adalah hokum pendinginan Newton sebagai sebuah model kehilangan panas dari sebuah obyek penginginan. Hukum ini menyatakan bahwa temperatur dari obyek itu menurun sebanding dengan beda antara temperatur obyek itu dengan temperatur sekiternya. Laju perubahan temperatur pada sembarang waktu diberikan oleh persamaan diferensial, dT/dt=-k(T-T1) dimana T(t) merupakan temperatur dari onyek pendingin yang diletakkan dalam suatu medium dengan temperature tetap T1 dan k adalah konstanta perbandingan. Sebagai contoh, jika sebuah bola tembaga dipanaskan sampai temperature 100 derajat Celcius dan kemudian pada saat t=0 bola itu direndam dalam air yang bertemperatur tetap 30 derajat Celcius. Setelah 3 menit ternyata temperature bola menjadi 75 derajat Celcius. Kapankah temperature bola itu menjadi 37 derajat Celcius? Masalah ini merupakan fenomena proses penurunan temperature dari sebuah bola tembaga, sehingga bentuk model matematikanya adalah dT/dt = - k(T – 30),k>0 T(0) = 100, T(3) = 75 restart; with(plots); pers:=diff(T(t),t)=-k(T(t)-30); sol:=dsolve({pers,T(0)=100},T(t)); Kita akan menghitung besarnya konstanta k dengan menggunakan informasi T(3) = 75. 75=subs(t=3,rhs(sol)); jadi k:=evalf(1/3*ln(70/45)); Dengan menggunakan nilai k ini, maka temperature bola T(t) adalah: T(t):=subs(k=.1472775842,rhs(sol)); Selanjutnya temperature T=37 derajat Celcius dicapai ketika 37=T(t); t=evalf(ln(70/7)/k); Jadi temperature T = 37 derajat Celcius dicapai pada saat mendekati 46 manit. plot(T(t),t=0..30,title=”Penurunan Temperatur Bola Tembaga”); Limit(T(t),t=infinity)=limit(T(t),t=infinity); Interpretasi hasil ini adalah bahwa penurunan temperature bola tembaga untuk waktu yang lama menuju ke temperature tetap air. Contoh 4 Model pertumbuhan kontinu. Misalkan N(t) menyatakan populasi dari suatu spesies pada waktu t, maka ratarata perubahan pada waktu t
13
dN(t)-dt = kelahiran – kematian + migrasi Merupakan sebuah persamaan konservasi untuk populasi itu. Model yang disederhanakan diasumsikan tidak ada migrasi dan besarnya kelahiran dan kematian adalah proporsional terhadap N. jadi model yang disederhanakan mempunyai bentuk persamaan diferensial orde pertama dN(t)/dt = k N(t) – m N(t) dengan kondisi awal N(0)= 10 Dimana k, m adalah konstanta positif. Solusi persamaan ini diselesaikan sebagai berikut restart; pers:=diff(N(t),t)=k*N(t)-m*N(t);
Solusi umum misalkan dinamakan “sol” diperoleh melalui perintah dsolve sol:=dsolve(pers,N(t));
Dimana _Cl adalah konstanta sembarang. Misalakan kondisi awal diketahui, N(0)=10, maak solusi khusus untuk masalah syarat awal ini adalah dengan mencari besarnya _Cl, maka eval(subs(t=0,N(0)=10,sol));
Dengan mensubstitusikan _Cl = 10 ke dalam sol maka diperoleh subs(_Cl=10,sol);
14
sebenarnya jika tidak tertarik pada solusi umum, solusi khusus Np juga bisa diperoleh secara langsung yaitu, Np:=dsolve({pers,N(0) = 10},N(t));
Perilaku pertumbuhan populasi ini dapat diamati pada grafik solusi dengan memberikan nilai k dan m. Bila k>m maka populasi bertumbuh secara eksponensial. Misalkan k = 5 dan m = 2. Np1:=subs(k=5,m=2,Np);
plot(rhs(Np1),t=0..2,title=”Gambar: Grafik Pertumbuhan Eksponensial”); Bila k<m maka populasi akan punah. Misalkan k = 5 dan m = 6. Np2:=subs(k=5,m=6,Np); plot(rhs(Np2),t=0..2,title=”Gambar: Grafik Kepunakan Eksponensial”); Contoh 5 Model Von Bertalanffy dari Pertumbuhan Ikan Model klasikal ini menggambarkan panjang ikan sebagai sebuah fungsi umur, berdasarkan ada asumsi bahwa pertumbuhan ikan sebanding dengan beda antara panjang dengan panjang maksimum secara teotitis. Persamaan diferensialnya yang menjelaskan proses ini adalah
15
dL/dt = k(Lm – L) Di mana L adalah panjang ikan, Lm adalah panjang maksimum secara teoritis dan k adalah konstanta laju pertumbuhan. Sebagai contoh, DeMarias mempelajari pertumbuhan ikan air tawar kecil, Buglossidium luteum dalam teluk dari lau Mediteranea. Sepanjang tahun pertama dari kehidupannya, ikan ini mengikuti model pertumbuhan Von Bertalanffy, dan mendapatkan penjang 51,6 mm. Dengan mengasumsikan panjang awal 8,2 mm dan konstanta laju pertumbuhan 0,23 per bulan, kita akan menyelesaikan parsamaan ini selama satu periode 12 bulan. restart; pers:=diff(L(t),t)=0.23*(51.6-L(t); Lp:=dsolve({pers,L(0)=8.2),L(t}); evalf(limit(Lp,t=infinity));
plot(rhs(Lp), t = 0..12, title=”Gambar :GrafikPertumbuhan Ikan”,axes=BOXED Hasil ini menunjukkan bahwa penjang maksimumikan adalah 51,6 mm. Contoh 6. Pemisahan Variabel. Pada Contoh ini, kita menyelesaikan persamaan diferensial orde pertama dengan metode pemisahan variable. Pandang Persamaan diferensial: dy/dx = -2xy restart; pers:=diff(y(x),x)=-2*x*y(x); sol:=dsolve(pers,y(x));
Dengan memberikan berbagai nilai _Cl pada solusi umum sol, kita mendapatkan berbagai solusi khusus. Kita akan membuat grafik dengan memberikan empat buah nilai _Cl yang berbeda dan mengeplot ketiga solusi khusus itu pada sumbu yang sama dengan perintah yp0:=subs(_Cl=0.2,sol); yp1:=subs(_Cl=0.5,sol); yp2:=subs(_Cl=2,sol); yp3:=subs(_Cl=3,sol);
16
plot({rhs(yp0), rhs(yp1), rhs(yp2), rhs(yp3)},x=-2..2,title=”Kurva Solusi Berbentuk Lonceng di ½ Bisang Atas”); Contoh 7. Modal Pertumbuhan Logistik. Hukum Malthus menyatakan bahwa bahwa laju pertumbuhansuatu populasi N(t) berbabanding lurus dengan N(t) saat itu. Pertanyaan ini berlaku untuk beberapa populasi yang tidak terlalu besar. Model yang lebih baik adalah model pertumbuhan logistic yang diberikan sebagai dN/dt = aN – bN^2.(a>0, b>0). Dimana “syarat-bebas” – bN^2 mengakibatkan populasi itu tidak dapat tumbuh dalam jangka waktu yang tidak terbatas. Persamaan diferensial ini merupakan sebuah persamaan Bernoulli khusus dan dinamakan persamaan Verhulst. Selesaikanlah persamaan ini dan berapakah limit dari N(t) bila t menuju tak hingga? restart; persV:=diff(N(t),T)-a*N(t)=-b*N(t)*2; solum:=Dsolve(persV,N(t),explicit); Untuk menggambar beberapa solusi, kita bias ambil penyederhanaan a = b = 1 solp:=eval(subs(a=1,b=1,solum) sekarang kita memilih beberapa nilai untuk _Cl dan mengeplot solusi khusus yang dihasilkan. N1:=subs(_Cl=-0.5,solp); N2:=subs(_Cl=0,solp); N3:=subs(_Cl=0.5,solp); N4:=subs(_Cl=2,solp); N5:=subs(_Cl=8,solp); Plot({rhs(N1), rhs(N2), rhs(N3), rhs(N4), rhs(N5)},t=0..5,title”Grefik Pertumbuhan Verhulst”,axes=BOXED); limit(N1,t=infinity); limit(N2,t=infinity); limit(N3,t=infinity); limit(N4,t=infinity); limit(N5,t=infinity);
17
Seperti yang tampak pada gambar, semua solusi mempunyai limit 1 tanpa memperhatikan ukuran awal polulasi. Contoh 8. persamaan diferensial Eksak. Suatu persamaan diferensial orde pertama : M(x,y)dx + N(x,y) dy= 0 Dikatakan eksak jika ruas kiri persamaan ini merupakan diferensial total dari suatu fungsi U(x,y). Maka persamaan diferensial itu dapat dituliskan dengan du= 0. Dengan pengintegralan, langsung kita peroleh solusi umum yang berbentuk U(x,y)= c Syarat perlu dan cukup agar persamaan diferensial M(x,y)dx+N(x,y)=0 Merupakan persamaan difernsial eksak adalah diff (M(x,y),y)=diff(N(x,y),x); Fungsi u(x,y) dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut; Dari diff(u(x,y),x)=M(x,y);diff(u(x,y),y)=N(x,y); dengan mengintergralkan M(x,y) terhadap x dan y diperlukan sebagai konstan diperoleh u:=Int(M(x,y),x)+K(y); dimana K(y) merupakan fungsi dari y saja dan berperanan sebagai suatu konstanta integrasi. Untuk menentukan K(y), kita menggunakan hubungan diff(u,y)=N(x,y); Dengan mengintergralkan hasil ini terhadap y akan diperoleh K(y). Pada contoh ini, kita akan menguji keeksakan sebuah persamaan difernsial dan kemudian menyeleseikannya dam menggambar kurva solusinya. Pandang persamaan diferansial restart; M :=y^2; N : = 2*x*y; M(y):=diff(M,y); N(x) := diff(N,x); M(y) – N(x); Dari persamaan difernsial itu adalah eksak Sekarang kita mendapatkan dua ekspresi u1 dan u2 untuk u(x,y), yang satu melalui pengitegrasian M terhadap x, dan yang lainnya melalui pengitergrasian N terhadap y. u1 :int(y^2,x); u2 =:int(2*x*y*,y); Jadi solusi umum persamaan ini adalah u(x,y) ;= x*y^2 =c; up :=subs (c=2, u(x,y)); upl :=x*y^2-2;
18
Apabila kita menjumpai persamaan difernsial tidak eksak, kita dimungkinkan untuk mereduksi persamaan diferensial tidak eksak menjadi persamaan diferensial eksak dengan mengalikan persamaan itu dengan sebuah fungsi F(x,y) yang kemudian dinamakan sebuah faktor integrasi. Jika sebuah persamaan mempunyai sebuah faktor integrasi yang hanya bergantung pada salah satu dari dua variable (suatu sifat yang harus didapaykan melalui percobaan), faktor ini dan solusi dari persamaan diferensial eksek yang dihasilkan dapat diperoleh secara sistematrik Sebagai ilistrasi, perhatikan contoh berikut: Contoh 9. Solusi persamaan diferensial dengan faktor integrasi. Pandang persamaan diferenial, (2y-x^3)dx+x dy=0 Langkah pertama akan diuji keeksakannya. restart; M :=2*y-x^3; N :=x; diff(M,y)-diff(N,x); Jadi persamaan ini tidak eksak. Kiti mencoba untuk faktor intergrasi yang hanya bergantung pada x. pers1:=diff(F(x)*M,y)-diff(Fx)*N,x)=0 do1 := dsolve(pers1, F(x); u1 := int(rhs(so1)*M,x); u2 := int(rhs(so1)*N,y); Jadi solusi umum persamaan ini adalah solum := x^2*y-1/58x^5=c; Contoh 10. Pandang persamaan Diferensial restart; M := y-5*exp(-x)*cos(5*x); N:=1; diff(M,y)- diff(N,x); Jadi persamaan ini tidak eksak. Kita mencoba mencari faktor intergrasi yang hanya bergantung pada x. persamaan:=diff(F(x)*M,y)-diff(F(x)*N,x)=0; so1 := dsonlve(persam,F(x)); u1 :=(rhs(so1*M, x); u2 :=int(rhs(so1)*N,y); Jadi solusi umum bisa ditulis sebagai solum :=y(x)=c*exp(x)*sin(5*x);
19
eval(subs(x=pi/10,y(pi/10)=exp(-pi/10),solum)); Jadi C=1. 1 :=subs(c=1,solum); plot(rhs(p1),x=0..2*pi,title=”Gambar 1.8: grafik solusi y=exp(-x)sin5x”); Contoh 11. masalah nilai awal. restart’ N := csc(x); M :=-(y*cot(x)*csc(x) + 20*cos(20*x)); diff (M,y)-diff(N,x); Jadi persamaan ini merupakan persamaan diferensial eksak. u1 :=int(M,x); u2 :=int(N,y); Jadi solusi umum persamaan ini adalah solum :=y(x)=C*sin(x)+sin(x)*sin(20*x); eval(subs(x+pi/2,y(pi/2)=0,solum)); Jadi solusi khusus masalah nilai awal ini adalah yp :=subs(c=0, solum); plot(rhs(yp),x=0...2*pi,title=”Gambar 1.9:Grafik solusi y=sin x sin 20x”); Contoh 12. Rangkaian – RL. Menurut hokum tegangan Kirchhoff, model rangkian –RL(rangkaian yang hanya mengandung resistor dan kondukor) diberikan oleh persamaan diferensial diman konstanta L dimankan indukstansi dari inductor yang diukur dalam henry, arus I diukur dalam satuan ampere dan konstanta R dinamakan resistensi dari resistor yang diukur dalam ohm,E(t) adalah beda tegangan pada waktu t yang diukur dlam atuan volt. Kasus a.Gaya elktromotif konstan yaitu bila E(t) + Eo+ konstanta. Persamaan itu disajikan dalam bentuk persaman diferensial linier, restart ; p := R/L r : = Eo/L; h : = int(p,t); Solusi umum persamaan ini adalah solum := i(t0 = exp(=h)*(int(exp(h)*r,t) + c); simplify(solum); Jadi solusi umumnya berbentuk i(t)= Eo/R + c*exp(-R/L*t); Kita menuliskan I(t) dengan i(t) karena maple menyimpan I untuk akar dari –I.
20
Bila R =100 ohm,L=2,5 henry,Eo=100 volt dan I(O) =0 maka solusi khusus persamaan ini adalah eval9subs(t=0,i(0)=0,R=100,L=2,5,Eo=110, solum)); ip :=subs(R=100,L=2,5,Eo=110,c=-11/10,solum); plot9rhs(ip),rhs(er)),t=0..0.2,title=”Gambar 1.10:Grafik solusi,kasus gaya elektromotif konstan”); Gambar 1.10 Grafik Solusi Kasus Gaya Elektromotif Konstan limit(ip,t=infinity_; Lim i(t)=100000000 Jadi fungsi Eo/R=11/10 merupakan fungsi keadan tetap atau penyelesaian keadaan tetap. Kasus b.Gaya elektromotif berkala. E(t):=Eo*sin(omega*t); p := R/L; r := E(t)/L; H :=int(p,t); Solusi umum persamaan ini adalah solum:= i(t) =exp(-H)*(int(exo(H)*r,t)+c); solum:=i(t)=e solum :=i(t)=exp(-R*t/L)*(Eo*(omega*exp(R*t/L)*cos(omega*t)/(R^2)=omega^2)+R*t/L)*sin(omega*t)/(L*(R^2/(L ^2)+(L^2)+omega^2)))/L=c); Solum :=i(t0=e simplify(solum); evalf(subs(t=0,i(0)=0,R=100,L=2,5,Eo=110,solum)); ip1 :=evalf(subs(c=44*(omega/1600+omega^2)),,R=100,L=2,5,Eo=110,solum)); plot3d(rhs(ip1),omega=0..1, t=0..18,style=hidden,oriention=[-40,45],title=”Grafik Solusi,kasus Gaya elektromotif berkala”,axes=BOXED); RUMPUN KURVA. TRAYYEKTORI ORTHOGONAL Pada bagian ini akan membuat Gambar rumpun kurva atau menggunakan persamaan difernsial untuk menentukan kurva yang memotong kurva lain secara tegak lurus. Jika untuk setiap nilai riil tertentu c berlaku persamaan F(x,y,c)=0 Menggambarkan suatu kurva dalam bidang –xy dan jika untuk variable c hal ini menggambarkan tak hingga banyaknya kurva, maka semua kurva ini dinamakan suatu rumpun kurva satu parameter, dan c dinamakan parameter dari rumpun itu. Sebagai contoh,persamaan: F(x,y,c)=x^2+y^2-c^2=0 Menggambarkan suatu rumpun lingkaran sepusat dengan jari-jari c dan pusatnya di titik asal (0,0). Persamaan: 4y-x+c=0
21
Menggambarkan rumpun garis lurus parallel dengan kemiringan ¼. Dalam beberapa penerapan, suatu kurva yang diberikan, diperlukan untuk menentukan rumpun kurva yang lain yang memotong tegak lurus setiap kurva yang diberikan. Pengertian tegak lurus disini adalah tegak lurus antara garis-garis singgung pada kedua kurva yang berpotongan.maka kurva – kurva dari dua rumpun kurva ini dikatan saling ortogonal dan merela membentuk jaringan orthogonal, dan rumpun kurva yang diperoleh dinamakan trayektori orthogonal dari kurva yang diberikan (dan sebaliknya ). Diberikan rumpun kurva F(x,y,c)=0 yang dapat digambarkan oleh persamaan diferensial y’=f(x,y) Kita dapat menentukan trayektori orthogonal yang bersesuaian.prosedur yang digunakan adalah karena suatu kurva dari rumpun kurva yang diberikan tersebut yang melalui titik (xo,yo) mempunyai kemiringan f(xo,yo) pada titik itu maka kemiringan trayektori orthogonal yang melalui (xo,yo) pada titik ini akan berbanding terbalik negative dengan f(xo,yo),yaitu -1/f(xo,yo),kerana hal ini merupakan syarat dari garis singgung dari dua kurva yang berpotongan di (xo,yo) yang saling tegak lurus. Oleh karena itu,persamaan difernsial dari trayektori ortogonalnya adalah: y’=-1/f(x,y) Solusi dari diferensial ini merupakan trayektori ortogonalnya. Contoh 13. Plot beberapa hiperbola xy=c konstan. Carilah dan plot beberapa trayektori ortogonalnya. Penyelesaiannya. Dari kurva-kurva itu kita mendapatkan persamaan diferensialnya. Kita mengeplot semua kurva dan trayektorinya sekaligus restart; Sebelum kita menggambarkan kurva – kurva dan trayektori orotgonalnya, kita akan mengeplot dalam 3 dimensi dari fungsi f(x,y)=x y dengan perintah pot3d dan kemudian mencoba untuk membuat sketsa diagram kontur dari grafik ini dengan perintah contouplot. with(plots); f : =(x,y)-x*y; plot3d(f(x,y),x=-2..2,y=-2..2,axes=BOXED,title=” Gambar 1.12: permukaan f(x,y)”); contourplot(x,y),x=-2..2,y=2..2,axes=NORMAL,scaling=CONSTRAINED,title=”gambar 1.13: Diagram kontur dari f(x,y(=x y”); pers1 :=x*y(x) = c; #kurva-kurva yang diketahui pers2 := diff(pers1,x);#persamaan diferensial dari kurva-kurva itu. f := solve(pers2, diff(y(x),x));#persamaan diferensial diseleseikan untuk y’ pers3 := diff(y(x),x) = -1/f; #persamaan diferensial dari trayektori. tra := dsolve(pers3,y(x),explicit);#solusi dari persamaan diferensial Jadi ada dua solusi. Kita dapat menemakan solusi pertama dengan tra[1] dan solusi kedua degan tra[2]. C1 := 1/(4*x):#empat kurva yang akan diplot
22
C2 := 1/x: C3 :=4/x: C4 :=1/(2*x): C4 := 9/x: Sekarang kita mempersiapkan untuk mengeplot trayektori-trayektori tra[1] K1 := subs(_C1 =0, tra[1]; K2 := subs(_C1 = 4, tra[1]; K3 := subs(_C1 = -4, tra[1]; K4:= subs(_ C1 = 8, tra[1]; K5 := subs(_C1 =-8, tra[1]; K5 := subs(_ C1 = 10, tra[1]; plot({c1,c2,c3,c4,c5,rhs(K1),rhs(K2),,rhs(K3),rhs(K4),rhs(K5),rhs(K6)},x=0..5, y=0..5,title=”Gambar 1.14: Grafik Hiperbola xy=c dan Trayektori Ortogonalnya”); 2.1 Suatu persamaan difernsial orde kedua dikatakan linier jika persamaan itu dapat dituliskan dalam bentuk y”+p(x)y’+q(x)=r(x). Ciri khas persamaan ini adalah linier dalam fungsi y yang tidak diketahui dan turunanturunannya,sedangkan p,q dan r dapat merupakan sembarangan fungsi dari x yang diberikan. Fungsi p dan q itu dinamakan koefisien persamaan itu dan bila p dan q keduanya berupa konstanta maka persamaan itu dinamakan persamaan difernsial orde kedua dengan koefisien konstan. Jika r(x) =0 maka persamaan itu dikatakan homogen dn jika tidak maka persamaan itu dikatakan tak homogen.sebagai contoh,persamaan (2-x^2)y’-4x y’-6=x cos x Merupakan persamaan difernsial linier tak homogen. Suatu persamaan diferensial orde kedua yang tidak dapat dituliskan dalam bentuk di atas dikatakan tak linier.Sebagai contoh,persamaan yy”+xy+y=0 Merupakan persamaan difernsial tak linier. Derivatif-deviratif y’,y” akan ditulis sebagai D(y)(x),(D@@2)(y)(x) atau diff(y),x),diff(y(x),x,x). untuk mendapatkan nilai nol dari solusi denagn perintah solve atau fsolve.Pengeplotan beberapa grafik solusi dengan perintah with(plots) diikuti dengan perintah diplay. 2.2 contoh-contoh Persamaan diferensial linier homogen koefisien konstan. Contoh 1. Akar Ganda. Kita akan menyeleseikan masalah nilai awal y”+32,225y=0,y(0)=1,y’(0)=-2 Dan mengeplot kurva solusinya. Kemudian menghitung nilai maksimum atau minimum dari solusi itu. restart; pers := (D@@2)(x) + 3*D(y)(x) =0; yp := dsolve({pers,y(0) =1, D(y)(0) = -2}, y(x)); plot(rhs(yp), x=0.5..5, y= -0.1..1,title=”Gambar 2.1: Grafik solusi, Kasus akar Ganda”);
23
Selanjutnya akan dicari nilai minimum dari yp. tur1 :=diff(yp),x); xk := solve(rhs(tur1) =0,x);#xk =x kritis tru2 := diff(tru1,x); ntru2 :=subs(x=8/3,rhs(tru2));#nilai turunan kedua di x kritis Jadi yp mempunyai nilai minimum di x =8/3 yaitu Ypmin := evalf(subs(x = xk,yp)); Contoh 2. Akar-akar riil berbeda. Selesaikan masalah nilai awal Prsm:=diff(y(x),x$2)+5*diff(y(x),x)+6*y(x)=0; Solusi :=dsolve({prsm,t(0)=1.6,D(y)(0)=0},y(x)); Contoh 3. Akar-akar Kompleks. Seleseikan masalah nilai awaly”+y’25,25y=0,y(0)=0,y’(0)=15. Kemudian plotlah solusinya dan tentukan nilai maksimum atau minimum dari solusinya. Restart; Pers := (D@@2)(y)(x) + D(y)+25,25*y(x)=0; Plot(rhs(slop),x=0..2*pi,title=”Grafik solusi Teredam)”);
Kasus
Akar
kompleks
(osilasi
Solusi osilasi ini merupakan bentuk khusus dari getaran teredam. Peredam mengambil energi dari system,sehingga amplitude maksimum dariosi9lasi menurun menuju nol. Selanjutnya akan dicari nilai maksimum dari solusinya. Turn := diff(solp,x); xm := solve(rhs(turn)=0,x); xmax :=evalf(xmax); ymax :=wvalf(subs(x = xmax, solp)); Contoh 4. berbagai konstanta peredam. Untuk mengilustrasikan ketergantungan gerakan pada peredam,kita akan mencari dan mengeplot lima solusi dari lima persamaan diferensial Y” +cy’+900y = 0 dengan c =2 (oslasi besar),10,30,50,80. Yang semuanya memnuhi y(0) = 1,y’(0)=0. Restart; Pers1 := (D@@2)(y)(x) + 2*D(y)(x) + 900*y(x)=0; Pers2 := (D@@2)(y)(x) + 10*D(y)(x) + 1900*y(x)=0; Pers3 := (D@@2)(y)(x) + 30*D(y)(x) + 900*y(x)=0; Pers4 := (D@@2)(y)(x) +50*D(y)(x) +900*y(x)=0; Pers5 := (D@@2)(y)(x) + 80*D(y)(x) + 900*y(x)=0; Yp1 := dsolve({pers1,y(0)=1, D(y)(0)=0},y(x));
24
Yp2 := dsolve({pers2,y(0)=1,D(y)(0)=0},y(x)); Yp3 := dsolve({pers3,y(0)=1,D(y)(0)=0},y(x)); Yp4 := dsolve({pers4,y(0)=1,D(y)(0)=0},y(x)); Yp5:= dsolve({pers5,y(0)=1,D(y)(0)=0},y(x)); Plot({rhs(yp1),rhs(yp2),rhs(yp3),rhs(yp4),rhs(yp5)},x=0..0.9,title Teredam dengan berbagai konstanta peredam”);
=”grafik
Osilasi
Plot menyajikan getaran –getaran bebas yang dimulai dari posisi awal sama dengan kecepatan awal juga sama,untuk konstata-konstata peredam yang berbeda.sekarang akan diselidiki perilku getaran bebas yang dimulai dari posisi awal yang sama dengan kecepatan awal yang berbeda tetpi dengan konstanta peredam yang sama. Misalkan persamaan getaran itu disajikan oleh: 4y”(t) + 24y’(t) + 36y(t)=0. Dengan kondisi awal y(0)=1,y’(0)=0,1,10,-1,-10. Pr :=4*(D@@2)(y)(t) +24*D(y)(t)+36y(t)=0; Sol1 :=dsolve({pr,y(0)=1,D(y)(0)=0},y(t)); Sol2 :=dsolve({pr,y(0)=1,D(y)(0)=1},Y(t)); Sol3 :=dsolve({pr,y(0)=1,D(y)(0)=10},y(t)); Sol4 :=dsolve({pr,y(0)=1,D(y)(0)= -1},y(t)): Sol5 :=dsolve({pr,y(0)=1,D(y)(0)= -10},y(t)); Plot({rhs(so1),rhs(slo2),rhs(sol3),rhs(sol4),rhs9sol5)},t=0..4,title=”Gerak terdam kritis”);
bebas
Selnjutnya akan diselidiki perilakunya bila kita memperkecil konstanta peredam yaitu dari 24 ke 6(osilasi kurang peredam(,yaitu dengan persamaan. Per :4*(D@@2)(y)(t) +6*D(y)(t) +36*y(t)=0; Sp1 :=dsolve({per,y(0)=1,D(y)(0)},y(t)); Sp2 :=dsolve({per,y(0)=1,D(y)(0)=1},y(t)); Sp3 ;=dsolve({per,y(0)=1,D(y)(0)=10},y(t)); Sp4 ;=dsolve({per,y(0)=1,D(y)(0)= -1},y(t)); Sp5 :=dsolve({per,y(0)=1,D(y)(0)= -10},y(t)); Plot({rhs(sp1),rhs(sp2),rhs(sp3),rhs(sp4),rhs(sp5)},t=0..7,title=”gerakOsilasiTeredam” );
25
