Využití matematiky v hodinách ICT

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Přírodovědecká fakulta Katedra algebry a geometrie

Využití matematiky v hodinách ICT Ing. Jarmila Tomanová celoživotní vzdělávání: MATEMATIKA PRO ZŠ A SŠ vedoucí závěrečné práce: RNDr. Pavel Calábek, Dr.

Úvalno

2011

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Přírodovědecká fakulta Katedra algebry a geometrie

Za cenné rady a připomínky děkuji svému vedoucímu diplomové práce RNDr. Pavlovi Calábkovi, Dr. a svým přátelům.

Prohlašuji, že jsem na celé závěrečné práci pracovala samostatně, použitou literaturu a jiné zdroje jsem citovala.

V Úvalně 25. června 2011

…………….……………………………..

Využití matematiky v hodinách ICT

3

Obsah 1

2

Úvod ........................................................................................................................................... 5 1.1

Tematický plán 1. ročníku – MATEMATIKA ........................................................................ 6

1.2

Tematický plán 2. ročníku – MATEMATIKA ........................................................................ 8

Microsoft Excel 2007 .................................................................................................................. 9 2.1

Znalosti a dovednosti žáka v Excelu při plnění zadaných úkolů ....................................... 10

2.1.1

Formulářové prvky ................................................................................................... 10

2.1.2

FUNKCE..................................................................................................................... 11

Tabulkový kalkulátor – Excel ........................................................................................................ 13 PowerPoint - prezentace.............................................................................................................. 13 3

Matematické příklady v Excelu ................................................................................................ 14 3.1

Výrazy a jejich číselná hodnota ........................................................................................ 14

3.2

Trojčlenka ......................................................................................................................... 15

3.2.1

Přímá úměrnost........................................................................................................ 15

3.2.2

Nepřímá úměrnost ................................................................................................... 15

3.3

Graf přímé a nepřímé uměrnosti ..................................................................................... 16

3.3.1

Přímá úměrnost........................................................................................................ 16

3.3.2

Nepřímá úměrnost ................................................................................................... 16

3.4

Kvadratické rovnice .......................................................................................................... 18

3.5

Jednoduché slovní úlohy vedoucí na lineární rovnice ..................................................... 20

3.6

Goniometrické funkce ...................................................................................................... 21

3.6.1

Velikost úhlu ve stupňové a obloukové míře ........................................................... 21

3.6.2

Oblouková míra úhlu ................................................................................................ 21

3.6.3

Stupňová míra úhlu .................................................................................................. 22

3.6.4

Goniometrické funkce a jejich vlastnosti ................................................................. 22

3.7

Planimetrie - trojúhelník .................................................................................................. 24

3.7.1

Vlastnosti trojúhelníka ............................................................................................. 25

3.7.2

Druhy trojúhelníků ................................................................................................... 25


3.7.3

Goniometrické funkce ostrého úhlu ........................................................................ 25

3.7.4

Kosinová věta ........................................................................................................... 26

3.7.5

Pythagorova věta ..................................................................................................... 26

3.8

Obvody a obsahy rovinných obrazců ............................................................................... 29

3.8.1

Čtyřúhelník ............................................................................................................... 29

3.8.2

Kružnice .................................................................................................................... 29

3.9

4

4

Převody jednotek ............................................................................................................. 31

3.9.1

Jednotky délky.......................................................................................................... 31

3.9.2

Jednotky hmotnosti.................................................................................................. 31

3.9.3

Jednotky času ........................................................................................................... 31

Závěr......................................................................................................................................... 33

Seznam použíté literatury, použité zdroje ....................................................................................... 34 Seznam příloh................................................................................................................................... 36


5

1 Úvod Cílem závěrečné práce bylo vytvořit sbírku matematických příkladů, ve které budou žáci využívat dovedností v tabulkovém procesoru – Excel a svých matematických znalostí. Na Střední škole technické v Opavě učím předmět ICT (Informační a komunikační technologie) a mým úmyslem bylo alespoň částečně propojit výuku matematiky s výpočetní technikou. Naše škola nabízí obory zaměřené převážně na strojírenství, jedná se o maturitní obory Mechanik seřizovač a nástavbové studium ve formě denní a dálkové, obor Podnikání. Z učebních oborů se u nás připravují ke svému budoucímu povolání obráběči kovů, zámečníci, nástrojáři a elektrikáři. Spolu se studim na UPOL jsem začala vyučovat matematiku u tříletých učebních oborů – Elektrikář a Obráběč kovů. V těchto oborech je matematika v prvním ročníku 2 hodiny, ve druhém ročníku 1 hodina týdně. Předmět ICT absolvují oba ročníky hodinu týdně. V rámci ICT pracují ve 2. ročníku s tabulkovým kalkulátorem – Microsoft Excelem 2007. Důvodem, proč se zadané příklady řeší v Excelu je jednoduchý. Ve všech počítačových učebnách je tento program k dispozici. V každné učebně je okolo 16 počítačů. Třídy jsou maximálně využité, a pro jiné předměty, které nesouvisí s výukou na počítačích jsou málokdy k dispozici. Výsledkem závěrečné práce je sbírka příkladů řešitelných v tabulkovém procesoru, ve které žáci využijí znalostí z matematiky, které získali na základní škole a v 1. a 2. ročníku svého oboru.


6

1.1 Tematický plán 1. ročníku – MATEMATIKA Pro úplnost přikládám tematické plány 1. a 2. ročníku oboru Elektrikář – silnoproud a Obráběč kovů. Tematický plán

šk. rok 2008/2009

Obor: ELEKTRIKÁŘ – silnoproud, OBRÁBĚČ KOVŮ Kód:

23-51-H/003, 23-56-H/001

Třída:

1. EO

časový rozvrh

téma Číselné množiny

září

říjen

listopad

Předmět:

Matematika

Hodinová dotace:

2 hod. týdně – 66 hodin

Učitel:

Ing. Jarmila Tomanová

počet hodin

20

Přirozená čísla

1

Dělitelnost přirozených čísel

2

Celá čísla

1

Absolutní hodnota

1

Racionální čísla, zlomky

2

Desetinná čísla

2

Procento

1

Úrok

1

Poměr

1

Trojčlenka a slovní úlohy k výpočtu procent

3

Iracionální čísla, reálná čísla, intervaly

3

Zaokrouhlování

1

prosinec Práce s kalkulátorem

1


Mocniny a odmocniny leden

Mocniny s přirozeným exponentem Mocniny s celým exponentem Zápis čísla ve tvaru a . 10k, a є ‹1,10), k є Z Druhá a třetí mocnina a jejich výpočet na kalkulátoru

únor

1. písemná práce a její rozbor Druhá a třetí odmocnina a jejich výpočet na kalkulátoru Pythagorova věta a řešení úloh z praxe na její užití

březen

Mocniny s racionálním exponentem, odmocniny Opakování

Planimetrie duben

Trojúhelníky Shodnost a podobnost trojúhelníků Množina bodů dané vlastnosti

květen

Thaletova věta Konstrukční úlohy Trigonometrie pravoúhlého trojúhelníku Obvod a obsah mnohoúhelníku Obvod a obsah kruhu

červen

2. písemná práce a její rozbor Shodná zobrazení Míra obvodová a stupňová Řešení úloh z praxe

7

22 4 3 1 2 2 2 4 2 2

24 2 2 1 1 3 2 3 2 2 3 1 2


8

Ve 2. ročníku počítají s výrazy, lineární rovnice a nerovnice, řeší jednoduché slovní úlohy vedoucí na lineární rovnice a učí se počítat rovnice kvadratické.

1.2 Tematický plán 2. ročníku – MATEMATIKA

Tematický plán Obor: Kód:

šk .rok 2009/2010

ELEKTRIKÁŘ – silnoproud, OBRÁBĚČ KOVŮ

Předmět:

23-51-H/003, 23-56-H/001

Třída:

Matematika

Hodinová dotace:

2 hod. týdně – 66 hod.

Učitel:


2. EO

téma

časový rozvrh

počet hodin

Výrazy září

říjen

listopad

21 1

-

výraz

-

hodnota výrazu

-

početní výkony s výrazy

-

rozklad výrazů na součin

-

vzorce pro druhou mocninu dvojčlenu,pro rozdíl druhých mocnin

-

počítání s lomenými výrazy

-

úpravy výrazů z odborné praxe

-

1. písemná práce

2 3 3 5 4 2 1

Rovnice a nerovnice

45

-

úpravy rovnic

2

-

lineární rovnice o jedné neznámé

8

-

lineární nerovnice o jedné neznámé

6

-

vyjádření neznámé ze vzorce

6

-

řešení jednoduchých slovních úloh vedoucích na lineární rovnice (o směsích, o pohybu, o společné práci)

9

duben

-

kvadratická rovnice

květen

-

slovní úlohy

-

2. písemná práce

prosinec

leden únor březen

červen

Zpracovala: Ing. Jarmila Tomanová

7 6 1 Podpis vyučujícího:

Schválil dne:


9

2 Microsoft Excel 2007 Microsoft Excel se řadí mezi tabulkové procesory. Jedná se aplikaci, která umožňuje provádět na základě zadaných dat výpočty. Soubor v Excelu se nazývá sešit a skládá se z listů. Pracovní plocha obsahuje buňky, do kterých se zapisují data v různých formátech. Každá buňka má svou jedinečnou adresu, tvořenou názvem sloupce a číslem řádku.

Obr. 1 Pracovní plocha Excelu 2007

Data v buňkách vytváří tabulky, ty je pak možné využívat ke statistickým, matematickým, ekonomickým a jiným výpočtům. Zadaná data program dokáže zpracovávat, třídit a graficky vyhodnocovat. Excel nám dovoluje ze zadaných dat vytvářet vzorce a vkládat velké množství funkcí. Uživatel Excelu by měl být schopen samostatně navrhnout, vytvořit a naformátovat tabulku, do níž zadá vstupní údaje a tabulka mu vrátí požadovaný výstup. Vstupy zadáváme pouze jednou, v dalších buňkách se nachází pouze odkazy na vstupní data. Kvůli složitosti vzorců je někdy vhodnější vytvářet tabulky tak, aby se nejdříve vypočítaly pomocné veličiny, ze kterých pak získáváme konečný výstup. To je důležité především pro kontrolu a závěrečné odladění výsledků.


10

2.1 Znalosti a dovednosti žáka v Excelu při plnění zadaných úkolů Pro správné vyřešení zadaných příkladů se předpokládá, že uživatel má základní znalosti a dovednosti v tomto programu. Žák zvládá formátovat tabulku, používat nejen automatický formát, ale umí využívat také podmíněné formátování. Zná základní formáty čísel a umí vytvářet vlastní formát, dovede vkládat vzorce a rozumí pojmu relativní a absolutní adresace. Dále se předpokládá, že uživatel dovede do Excelu vkládat další objekty a pracovat s nimi (např. obrázky, tvary, vzorce – v editoru rovnic, textová pole, komentáře). Žák dále umí ze zadaných dat vytvářet grafy a upravovat je. Základní znalosti a dovednosti žáka pro práci s tabulkovým kalkulátorem se předpokládají ze základní školy, ty pak rozvíjí ve 2. ročníku svého oboru. V rámci výuky samozřejmě opakují (popřípadě se seznamují) se základními funkcemi tohoto programu. 2.1.1 Formulářové prvky Dalším důležitým nástrojem při plnění úkolů jsou formulářové prvky, jenž najdeme na kartě Vývojář. V Excelu 2007 se aktivují takto: tlačítko Office – Možnosti aplikace Excel – Oblíbené – Zobrazit na pásu kartu Vývojář.

Obr. 2 Karta Vývojář – ovládací prvky formuláře

Budeme využívat tyto formulářové prvky: skupinový rámeček – používá se k seskupení souvisejících prvků (například přepínačů nebo úzce souvisejícího obsahu) do jedné vizuální jednotky, přepínač – umožňuje výběr jediné hodnoty z omezené sady vzájemně se vylučujících voleb, číselník – usnadňuje zvýšení nebo snížení hodnoty, například číselného přírůstku, času nebo data. Pro zvýšení hodnoty klikneme na šipku nahoru, chceme-li hodnotu snížit, klikneme na šipku dolů.


11

posuvník – posunuje oblast hodnot po kliknutí na šipky posuvníku nebo po přetažení jezdce posuvníku. Posuvník slouží k nastavení nebo úpravám velké oblasti hodnot nebo jej lze použít v případech, kdy přesnost není důležitá. 2.1.2 FUNKCE 2.1.2.1

Funkce KDYŽ

Často používanou funkcí, která se v příkladech objevuje, je logická funkci KDYŽ. Používá se při ověřování podmínek splnitelnosti (např. u zjišťování zda má daný výraz smysl). Tato funkce vrátí požadovanou hodnotu, pokud je zadaná podmínka vyhodnocena jako PRAVDA, a jinou hodnotu, pokud je zadaná podmínka vyhodnocena jako NEPRAVDA. Používáme ji při testování hodnot a vzorců. Podmínka je libovolná podmínka nebo výraz, který může být vyhodnocen jako PRAVDA nebo NEPRAVDA. Do řádku Ano vkládáme hodnotu nebo výraz při splnění podmínky do řádku Ne hodnotu při nesplnění podmínky. 2.1.2.2

Funkce ODMOCNINA

Vrací druhou odmocninu daného čísla. 2.1.2.3

Funkce POWER

Umocní číslo na zadaný exponent. Mocniny vyšších řádů se mohou také zapsat pomocí vzorce s pomocným operátorem ^, tzn. výpočet mocniny 25 v Excelu zapíšeme v buňce jako =2^5, výpočet

se provede zápisem

=2^(1/3). 2.1.2.4

Funkce A

Vrátí logickou hodnotu PRAVDA, pokud jsou všechny argumenty vyhodnoceny jako PRAVDA, v opačném případě vrací hodnotu NEPRAVDA. 2.1.2.5

Funkce NEBO

Ověří, zda je alespoň jeden argument PRAVDA, v opačném případě vrací hodnotu NEPRAVDA. 2.1.2.6

Funkce USEKNOUT

Zkrátí číslo na celé číslo odstraněním desetinné nebo zlomkové části čísla. Argument Desetiny – číslo určující přesnost krácení, pokud argument nezadáme, bude jeho hodnota 0.


2.1.2.7

12

Funkce MOD

Funkce vrací zbytek po dělení jednoho čísla druhým. Tuto funkci použijeme při zjištění desetinného čísla, pro převedení času na minuty (pro výpočet minut nezapomeneme výsledek funkce vynásobit 60) Argument Číslo – číslo, pro které potřebujeme najít zbytek po dělení. Argument Dělitel – číslo, kterým chceme dělit argument Číslo. 2.1.2.8

Funkce SIN

Vrací sinus daného úhlu. Argument Číslo je úhel v radiánech, jehož sinus potřebujeme zjistit. V našem případě je argument uveden ve stupních. Převedeme ho na radiány vynásobením hodnotou PI()/180 anebo pomocí funkce RADIANS, tzn. sin úhlu 30° zapíšeme jako =SIN(30*PI()/180) nebo =SIN(RADIANS(30)). 2.1.2.9

Funkce COS

Vrací kosinus úhlu. 2.1.2.10

Funkce TG

Vrací tangens úhlu. 2.1.2.11

Funkce ARCCOS

Vrací arkuskosinus (inverzní funkci k funkci kosinus) zadaného čísla. Arkuskosinus je úhel, jehož kosinus je zadané číslo. Výsledný úhel se udává v radiánech v rozsahu 0 – . 2.1.2.12

Funkce ARCTG

Vrací arkustangens (inverzní funkce k funkci tangens) zadaného čísla. Arkustangens je úhel, jehož tangens je zadané číslo. Výsledný úhel je udán v radiánech v rozsahu od

do .


13

Pro přehled učiva přikládám tématický plán 2. ročníku předmětu ICT. Tematický plán 2. ročníku – ICT Tematický plán

Obor:

ELEKTRIKÁŘ – silnoproud, NÁSTROJÁŘ

Předmět:

ICT

23-51-H/003, 23-52-H/001

Hodinová dotace:

1 hod. týdně – 33 hod.

Učitel:


Kód:

Třída:

2. EN

počet hodin

téma

časový rozvrh

září

šk. rok 2007/2008

Tabulkový kalkulátor – Excel

27

říjen

- popis aplikace, základní nastavení obrazovky, panely nástrojů

2

listopad

- formát textu a čísel v buňkách, práce s listy, řady

4

prosinec

- tabulky, podmíněné formátování, automatický formát

4

leden

- vkládání jednoduchých funkcí, relativní a absolutní adresování

4

únor

- matematické a finanční funkce

5

- třídění a filtrování dat

4

- práce s grafy

4

březen duben

6 květen červen

PowerPoint - prezentace

2

- popis aplikace, panel nástrojů, zobrazení

2

- šablony snímků, vkládání, rozvržení, úprava a přechod snímků - obrázky, animace, video a zvuk, možnosti nastavení prezentace

Zpracoval: Ing. Jarmila Tomanová

Podpis vyučujícího:

Schválil dne:

2


14

3 Matematické příklady v Excelu 3.1 Výrazy a jejich číselná hodnota Výrazy jsou matematické zápisy typu

. Písmena, která se v těchto zápisech

vyskytují, mohou nabývat různých číselných hodnot – nazývají se proměnné. Podle toho, jaká čísla do daného výrazu za proměnné dosadíme, dostaneme číselnou hodnotu tohoto výrazu. Za proměnné však můžeme zvolit jen taková čísla, po jejichž dosazení má výraz smysl.1 Rozbor příkladu: Úkolem je do připravené tabulky vypočítat číselné hodnoty výrazu, při výpočtu upozorníme žáky na ošetření podmínek řešitelnosti. Před zadáním příkladů je vhodné připomenout podmínky řešitelnosti: 1. lomený výraz má smysl pro hodnoty proměnných, pro které je jmenovatel různý od nuly. 2. výraz pod odmocninou má smysl jen pro čísla kladná a nulu.

Obr. 3 Ukázka zadání příkladu – výrazy a jejich číselná hodnota

1

Calda, Emil. Matematika pro dvouleté a tříleté učební obory SOU, 1. díl. Praha: Prometheus, s. r. o., 2008. 264 s. ISBN 978-80-7196-367-7.


15

Obr. 4 Ukázka řešení výrazů v Excelu

3.2 Trojčlenka Trojčlenka je matematický postup používaný při výpočtech přímé a nepřímé úměrnosti. 3.2.1 Přímá úměrnost Pro kladné veličiny x, y, které jsou přímo úměrné platí y = kx, k>0 k – koeficient přímé úměrnosti. Jednoduše řečeno: kolikrát se zvětší x, tolikrát se zvětší y nebo naopak kolikrát se zmenší x, tolikrát se zmenší y. 3.2.2 Nepřímá úměrnost Závislosti mezi dvěma veličinami, kterou můžeme popsat slovy: kolikrát se zvětší jedna veličina, tolikrát se zmenší druhá veličina anebo kolikrát se zmenší jedna veličina, tolikrát se zvětší druhá veličina, říkáme nepřímá úměrnost. Pro kladné veličiny x, y, které jsou nepřímo úměrné platí y = , k≠0, x>0. k – koeficient nepřímé úměrnosti. Říkáme, že proměnná y je nepřímo úměrná proměnné x. Rozbor příkladu: Žáci

dostanou

v souboru

sadu

příkladů,

které

budou

řešit

pomocí

trojčlenky.

Jejich úkolem bude vytvořit pomocí formulářových prvků šablonu pro určování, zda se jedná o úměru přímou nebo nepřímou. Po výběru úměry se jim zobrazí i vzorec pro správný výpočet. Do připravených tabulek žáci vloží vzorec a vepíší správnou odpověď.


16

Obr. 5 Řešení 1. příkladu pomocí trojčlenky v Excelu

3.3 Graf přímé a nepřímé uměrnosti 3.3.1 Přímá úměrnost Lineární funkce je každá funkce f na množině R, která je dána předpisem f: y = ax + b, kde a, b Speciálním případem této funkce je přímá úměrnost s koeficienty b=0

R.

a 0 , tedy f: y = ax,

označení proměnné a nahrazujeme proměnnou k, tedy f: y=kx. Definičním oborem i oborem hodnot jsou všechna reálná čísla. Přímá úměrnost je rostoucí pro k > 0 a klesající pro k < 0. Jedná se o funkci lichou, tzn., pokud pro všechna x, pro která je f(x) definováno, je definováno i f(−x) a platí f(−x) = −f(x). Přímá úměrnost je funkce prostá, tzn. každému x musí být přiřazeno jedinečné y, nebo také f(x1) = f(x2)

x1 = x2 (pokud se rovnají funkční hodnoty, musí se rovnat

i jejich argumenty). Funkce není periodická, není omezená. Grafem přímé úměrnosti je obecně přímka, v aplikaci přímé úměry v praktických pracujeme většinou pouze s podmnožinami přímky, tj. buď s polopřímkou, nebo s úsečkou. Pokud je však definičním oborem množina přirozených čísel, pak grafem závislosti je množina izolovaných bodů ležících na přímce (popř. na polopřímce). 3.3.2 Nepřímá úměrnost Nepřímá úměrnost je funkce vyjádřena vzorce y = , x > 0, k ≠ 0. Definiční obor i obor hodnot tvoří všechna čísla různá od nuly. Nepřímá úměrnost je rostoucí pro k < 0 rostoucí a klesající pro k > 0.


17

Funkce je lichá, není omezená. Všechny body grafu nepřímé úměrnosti leží na křivce, která se nazývá hyperbola. Rozbor úloh Úkolem žáků je vyřešit 4 příklady týkající se přímé a nepřímé úměrnosti. 1. Automobil jede průměrnou rychlostí 60 km/h. Určete, kolik kilometrů ujede od chvíle, kdy

začneme měřit čas, a to za 1, 2, 3, 4, 5, 6 hodin. 2. Vzdálenost měst je 120 km. Závisí doba, za kterou tuto vzdálenost ujede auto,

na průměrné rychlosti? Za jak dlouho ujede tuto vzdálenost auto jedoucí průměrnou 10 km/h, 20 km/h, 30 km/h, 40 km/h, 50 km/h, 60 km/h, 80 km/h, 100 km/h, 120 km/h? 3. Je dána rovnice přímé úměrnosti y=0,5x. Dopočítejte tabulku a sestrojte graf. 4. Graf nepřímé úměrnosti prochází bodem *2; 3,5+. Určete její rovnici, dopočítejte tabulku

a sestrojte graf. Součástí zadání je tabulka dat, pomocí vzorce tabulku doplní, zapíší rovnici úměrnosti a vytvoří graf. Žáky vedeme k tomu, aby závislosti v grafu popsali.

Obr. 6 Ukázka řešení jednoho z příkladů


18

3.4 Kvadratické rovnice Kvadratickou rovnicí se označuje rovnice druhého stupně, tzn. rovnice o jedné neznámé x

R,

2

ve které neznámá vystupuje ve druhé mocnině. Lze ji psát ve tvaru ax + bx + c = 0, kde a, b, c jsou reálná čísla, a ≠ 0. Rozbor příkladu: Pro kvadratickou rovnici vytvoříme tabulku dat takovým způsobem, aby pak bylo možné měnit koeficienty a, b, c. Do vedlejší buňky žáci vloží vzorec pro výpočet D (diskriminantu). Pro zpřehlednění příkladu používáme k buňkám komentáře. Žáci vytvoří tabulku pro výpočet kořenů kvadratické rovnice. Pomocí funkce KDYŽ ošetří, zda se jedná o kvadratickou rovnici a jestli bude mít rovnice jeden, dva nebo žádný reální kořen a žáci opět vloží vzorec, který kořeny rovnice vypočítá. Potom vytvoříme graf a obměňujeme koeficienty. Pro zobrazování grafů v Excelu se používá typ grafu XY bodový. Opět se snažíme vést žáky k tomu, aby pozorovali jeho změny. Rozbor grafu: Strana rovnice (ax² + bx + c) popisuje parabolu s osou rovnoběžnou s osou y. Pokud je a > 0, je parabola otevřená směrem nahoru (má vrchol dole), při a < 0 je otevřená dolů. Řešení kvadratické rovnice odpovídá hledání průsečíků této paraboly s osou x. Podle polohy paraboly mohou tedy nastat tři případy: 1. D > 0 => osa x parabolu protíná ve dvou bodech. Existují dva průsečíky osy x s parabolou, tzn. rovnice má dvě různá řešení. 2. D < 0 => parabola leží celá nad (pro a > 0) nebo celá pod (pro a < 0) osou x. Parabola nemá žádný průsečík s osou x, tzn. kvadratická rovnice nemá řešení v oboru reálných čísel (R). 3. D = 0 => vrchol paraboly leží právě na ose x, tehdy se parabola osy x dotýká, má s ní jeden společný bod, tzn. kvadratická rovnice má jedno řešení.


Obr. 7 Zadání příkladu – kvadratické rovnice

Obr. 8 Řešení kvadratické rovnice v Excelu

19


20

3.5 Jednoduché slovní úlohy vedoucí na lineární rovnice Při řešení lineárních rovnic používáme ekvivalentní úpravy. Mezi ekvivalentní úpravy patří: vynásobení nebo vydělení obou stran rovnice stejnými nenulovými kořeny přičtení stejného čísla k oběma stranám rovnice nebo jeho odečtení od obou stran S žáky si procvičíme slovní úlohy o pohybu a o směsích. Rozbor příkladů: 1. Zadaný příklad popisuje typ slovní úlohy o pohybu, ve kterém vozidla vyjedou současně proti sobě. Žáci zpracují příklad i graficky. Do listu vloží obrázek s formulářovými prvky. Posuvníky mění rychlost vozidel o 5 km/h. Číselník umožní posouvat vzdálenost míst, odkud vozidla vyjela o 10 km. Žáci vytvoří tabulku pro výpočet doby setkání. Součástí řešení je také odpověď.

Obr. 9 Řešení slovní úlohy o pohybu

2. Druhý příklad řeší úlohu o směsích. Kolik kg zinku musíme přidat k 5-100 kg mědi, abychom získali mosaz s obsahem 30 % zinku? Žáci zpracují příklad i graficky. Do listu opět vkládají tvary s posuvníkem, tabulku s výpočet. Součástí řešení je odpověď.


21

Obr. 10 Řešení slovní úlohy o směsích

3.6 Goniometrické funkce Jako goniometrické

funkce se

v matematice označuje

skupina

šesti funkcí velikosti

úhlu

používaných například při zkoumání trojúhelníků a periodických jevů. Obvykle se definují jako poměr dvou stran pravoúhlého trojúhelníka nebo délky určitých částí úseček v jednotkové kružnici.2 3.6.1 Velikost úhlu ve stupňové a obloukové míře V goniometrii se úhly měří v míře obloukové (jednotka radián, značka rad) a v míře stupňové (jednotka stupeň, značka °). 3.6.2 Oblouková míra úhlu Sestrojíme v rovině AVB kružnici k, která má střed V a poloměr r = 1, říkáme jí jednotková kružnice. Velikostí úhlu v obloukové míře rozumíme délku oblouku AB jednotkové kružnice k, který leží v úhlu AVB.

Obr. 11 Jednotková kružnice 2

[online] http://cs.wikipedia.org/wiki/Goniometrická_funkce


22

Jednotkový úhel obloukové míry se nazývá radián. Radiánu se používá především v technických disciplínách, jako jsou například fyzika nebo elektrotechnika. V běžné praxi se velikosti úhlů udávají většinou ve stupních. Při udávání velikosti úhlu v obloukové míře se značka rad zpravidla vynechává. 3.6.3

Stupňová míra úhlu

Úhlová míra stupňová byla odvozena od rozměru pravého úhlu, kterému bylo přiřazeno 90 jednotek. Velikostí úhlu ve stupňové míře nazýváme nezáporné číslo, které vyjadřuje, kolikrát je velikost úhlu větší než jeden stupeň. Jednotkový úhel stupňové míry, zvaný úhlový stupeň (krátce stupeň, značka °), je úhel rovnající se 1/90 pravého úhlu.

Obr. 12 Jednotková kružnice – stupňová míra

Platí:

.

Úhlový stupeň se dělí na 60 úhlových minut (1° = 60') Úhlová minuta se dělí na 60 úhlových vteřin (1' = 60"), tj. 1° = 3 600". 3.6.4 Goniometrické funkce a jejich vlastnosti 3.6.4.1

Sinus (sin)

Funkce bývá definována jako poměr protilehlé strany a přepony v pravoúhlém trojúhelníku. Grafem této funkce je sinusoida. Vlastnosti funkce: definiční obor: R, obor hodnot: <-1, 1>, rostoucí v intervalu: , klesající v intervalu: i zdola, periodická funkce s periodou 3.6.4.2

, lichá funkce, omezená shora

.

Kosinus (cos)

Funkce kosinus je definována jako poměr přilehlé strany a přepony v pravoúhlém trojúhelníku. Graf funkce kosinus je kosinusoida je v bodě [0; 1].


23

Vlastnosti funkce: definiční obor: R, obor hodnot: <-1, 1>, rostoucí v intervalu: , klesající v intervalu:

, funkce sudá,

omezená shora i zdola, periodická funkce s periodou 3.6.4.3

.

Tangens (tg)

Tangens je definován jako poměr protilehlé strany k přilehlé straně v pravoúhlém trojúhelníku. Další možná definice této funkce je

.

Vlastnosti funkce: definiční obor: periodická s periodou

, obor hodnot:

, lichá funkce, neomezená,

.

Rozbor příkladů: 1. Žáci mají za úkol určit hodnoty zadaných goniometrických funkcí a vytvořit graf funkce V úloze je argument uveden ve stupních, proto ho převedeme na radiány vynásobením hodnotou PI()/180 nebo pomocí funkce RADIANS, tzn. sin úhlu 30° zapíšeme jako =SIN(30*PI()/180) nebo =SIN(RADIANS(30)). Podobně postupujeme s dalšími funkcemi (COS, TG). Při tvorbě grafu, který je vzhledem k vysokým hodnotám funkce tg nepoužitelný, jednoduchými úpravami ve formátu os dosáhneme požadovaného výsledku. V nastavení os změníme hodnoty minima, maxima a také hlavní a vedlejší jednotky. 2. Žáci určují úhel ze zadaných hodnot. Opět využívají vestavěných excelovských funkcí: Funkce ARCSIN - vrátí arkussinus (inverzní funkci k funkci sinus) zadaného čísla. Arkussinus je úhel, jehož sinus je zadané číslo. Výsledný úhel je udán v radiánech v intervalu od

do .

Číslo v argumentu funkce je sinus požadovaného úhlu. Tento argument musí být v rozmezí od -1 do 1. Pokud chceme arkussinus vyjádřit ve stupních, musíme vynásobit výsledek hodnotou 180/PI() anebo použít funkci DEGREES, tzn. =ARCSIN(0,5)*180/PI() či =DEGREES(ARCSIN(0,5)). Obdobně pracujeme s funkcemi ARCCOS, ARCTG.


24

Obr. 13 Ukázka řešení 1. příkladu

3.7 Planimetrie - trojúhelník Je dána trojice nekolineárních bodů A, B, C. Trojúhelníkem ABC (ABC) rozumíme průnik polorovin ABC, BCA, CAB. Trojúhelník je rovinný geometrický útvar se třemi vrcholy a třemi stranami. Součet velikostí vnitřních úhlů trojúhelníku je přesně 180° (π).

Obr. 14 Trojúhelník s označením stran, vrcholů a úhlů

Před řešením příkladů si s žáky zopakujeme základní vlastnosti a druhy trojúhelníku. Zopakujeme základní pojmy: úsečka, vrchol, strany, vnitřní a vnější úhly. Úsečky, které spojují vrcholy, se nazývají strany. Úhly, které svírají strany, se nazývají vnitřní úhly trojúhelníka. Úhly vedlejší k vnitřním úhlům, se nazývají vnější úhly trojúhelníka. Každý trojúhelník má 3 strany, 3 vnitřní úhly, 6 vnějších úhlů (u každého vrcholu dva). Trojúhelník nemá úhlopříčky. Může být určen: délkou všech tří stran (sss), délkou dvou stran a velikostí úhlu, který svírají (sus),


25

délkou strany a velikostí úhlů, které k ní přiléhají (usu), délkou dvou stran a velikostí úhlu proti větší z nich (ssu). 3.7.1 Vlastnosti trojúhelníka Strany trojúhelníku splňují trojúhelníkové nerovnosti: Součet dvou libovolných stran je vždy delší než strana třetí, neboli a + b > c, a + c > b, b + c > a, kde a, b, c jsou strany trojúhelníka. Součet všech vnitřních úhlů je v každém trojúhelníku 180°. Součet vnitřního a příslušného vnějšího úhlu je 180°. Součet dvou vnitřních úhlů se rovná vnějšímu úhlu u zbývajícího vrcholu. Proti většímu úhlu leží větší strana. 3.7.2 Druhy trojúhelníků Jejich třídění vidíme v tabulce na obr. 15.

rovnostranné

Ø

Ø

pravoúhlé

tupoúhlé

rovnoramenné .

.

různostranné . podle poměrů stran

podle

ostroúhlé

velikosti úhlů Obr. 14 tabulka třídění trojúhelníků

Poznámka: Různostranné trojúhelníky, které nejsou pravoúhlé, se někdy nazývají obecné. 3.7.3 Goniometrické funkce ostrého úhlu Je dán pravoúhlý trojúhelník s jedním vnitřním úhlem α, jehož velikost je z intervalu (0, 90°). Definujeme tyto goniometrické funkce: Sinus úhlu α (sin α) – je poměr délky protilehlé odvěsny k úhlu a délky přepony. Kosinus úhlu α (cos α) – je poměr délky přilehlé odvěsny k úhlu a délky přepony. Tangens úhlu α (tg α) – je poměr délky protilehlé odvěsny k úhlu a délky přilehlé odvěsny.


26

Kotangens úhlu α (cotg α) – je poměr délky přilehlé odvěsny k úhlu a délky protilehlé odvěsny. 3.7.4 Kosinová věta Pro trojúhelník ABC s vnitřními úhly α, β, γ a stranami a, b, c platí:

3.7.5 Pythagorova věta Speciálním případem kosinové věty je Pythagorova věta. Věta zní: Je-li ABC pravoúhlý s pravým úhlem při vrcholu C, pak pro velikosti a, b jeho odvěsen a velkosti c přepony platí vztah: a2 + b2 = c2. Obsah čtverce nad přeponou pravoúhlého trojúhelníka je roven součtu obsahů čtverců nad jeho odvěsnami. Platí i věta obrácená: Platí-li pro velikosti stran a, b, c ABC vztah a2 + b2 = c2, je tento trojúhelník pravoúhlý s pravým úhlem při vrcholu C.

Obr. 15 Pythagorova věta

Rozbor příkladů 1. Trojúhelníková nerovnost Úkolem žáků je vytvořit tabulku, do které budou zadávat 3 rozměry stran v cm. Z těchto rozměrů budou určovat, zda lze sestrojit trojúhelník.


27

Pracujeme s mezivýsledky, porovnáme, zda součty dvou stran jsou větší než strana třetí, ze zadaných údajů vložíme závěrečné rozhodnutí. Funkce KDYŽ provede logický test a bude vkládat text v případě hodnoty PRAVDA - Trojúhelník lze sestrojit a v opačném případě text – Trojúhelník neexistuje.

Obr. 16 Zadání příkladu

2. Vnitřní úhly trojúhelníku Žáci vytvoří jednoduchou „kalkulačku“ pro výpočtu zbývajícího úhlu trojúhelníka. Za pomocí číselníků mohou měnit velikost dvou úhlů, ve vedlejší buňce se bude dopočítávat úhel třetí. Při zadání úkolu nezapomene žákům zdůraznit, že musí ošetřit i možnost, kdy součet dvou úhlů bude větší než 180°. Opět pracují s funkcí KDYŽ, která při nesprávně zvolených hodnotách úhlů bude vracet text: špatné zadání.

Obr. 17 Řešení - výpočet vnitřního úhlu

3. Pythagorova věta Ve druhé části úkolu žáci zjišťují, zda je zadaný trojúhelník pravoúhlý. Úkolem žáka je vypočítat sloupec a2 + b2 a c2 , na základě těchto mezivýsledků zformulovat závěr, zda se jedná o pravoúhlý trojúhelník či nikoli. Pokud je pravoúhlý, text vepíší do připraveného sloupce, který bude naformátovaný jinou barvou než v případě obecného trojúhelníka.


28

Obr. 18 Zadání příkladu

4. Kosinová věta Je zadána strana a, b a úhel γ. Úkolem je dopočítat v trojúhelníku třetí stranu, stranu c. Ke správnému výpočtu žáci využijí kosinovou větu:

.

Postupnými kroky přicházíme k výsledku. Převedeme úhel γ ze stupně na radiány, následně zjistíme cos daného úhlu a nakonec vyjádříme stranu c. Pro odmocnění použijeme funkci ODMOCNINA.


29

3.8 Obvody a obsahy rovinných obrazců V druhém pololetí prvního ročníku žáci počítají obsahy a obvody rovinných obrazců. 3.8.1 Čtyřúhelník Čtyřúhelníkem rozumíme ohraničený rovinný útvar, jehož hranicí je uzavřená lomená čára se čtyřmi vrcholy. Součet velikostí vnitřních úhlů čtyřúhelníku je 360° (2π). 3.8.1.1

Dělení čtyřúhelníků

Čtyřúhelníky mohou být konvexní a nekonvexní. Konvexní dále dělíme:

KRITÉRIUM

rovnoběžnost stran

velikost vnitřních úhlů

délky stran

Obr. 19 klasifikace konvexních čtyřúhelníků

3.8.2 Kružnice Kružnice je množina všech bodů v rovině, které mají od pevně daného bodu, zvaného střed stále stejnou vzdálenost r (poloměr). Obvod: o = 2 r, obsah: S = r2.

Obr. 20 Kružnice – s průměrem d, poloměrem r


30

Rozbor příkladů Žáci počítají obsah dvou podložek – podložky 13 pro šrouby s válcovou a půlkulovou hlavou a podložky 6.6 se čtvercovým otvorem pro dřevěné konstrukce. Zadané rozměry jsou v mm, žák zjistí vzorec pro výpočet, ten také vepíše a dopočítá tabulku.

Obr. 21 Ukázka řešení podložky 13

Obr. 22 Ukázka řešení podložky 13


31

3.9 Převody jednotek S jednotkami délky, hmotnosti a času se žáci setkávají nejen v matematice od základní školy, ale také v běžném životě a na odborné praxi. 3.9.1 Jednotky délky Základní jednotkou je 1 metr (m). 1m =

10 dm

1 m = 100 cm 1 m = 1 000 mm 1 km = 1 000 m. 3.9.2 Jednotky hmotnosti Hmotnost tělesa udává množství látky v něm. Základní jednotkou hmotnosti je kilogram (kg). 1 kg

=

1 kg

=

1 kg

= 1 000 000 mg

1 tuna (t) =

100 dkg 1 000 g

1 000 kg

3.9.3 Jednotky času Čas je fyzikální veličina, která vyjadřuje dobu trvání děje, nebo okamžik (umístění dané události) v časové škále. Základní jednotkou času je sekunda (značka s). Minuta (značka min) 1 min = 60 s. Hodina (značka h) 1 h = 60 min = 3 600 s. Úkolem žáků je vytvořit jednoduchý převodník výše uvedených jednotek.

Obr. 23 Převodník jednotek


32

Chceme-li zabránit neúmyslné nebo záměrné změně dat, můžeme zajistit ochranu pro některé prvky listu nebo sešitu pomocí hesla, a to následujícím způsobem. Nejdříve musíme odemknout všechny buňky nebo oblasti, u kterých chceme povolit uživatelům provádění změn. Zamknutí listu pak probíhá takto: vybereme všechny buňky nebo oblasti, které chcete odemknout. na kartě Domů - skupina Buňky - položka Formát - položka Buňky - na kartě Zámek zrušíme zaškrtnutí políčka Uzamčeno. na kartě Revize - ve skupině Změny - položka Zamknout list.

Obr. 24 Karta Revize – skupina Změny

objeví se dialogové okno pro nastavení hesla a Akce povolené všem uživatelům listu - zde vybereme prvky, u kterých chcete uživatelům povolit provádění změn.


33

4 Závěr Cílem závěrečné práce bylo vytvoření matematických příkladů řešitelných v Excelu. Tento program jsem zvolila proto, že se studenti s touto aplikací setkávají už na základní škole a pokračují v něm i v hodinách ICT (Informační a komunikační technologie). Při tvorbě příkladů jsem se snažila, aby tyto úlohy byli schopni řešit i žáci v učebních oborech. Za dobu, co se snažím tuto závěrečnou práci dokončit, se u nás na Střední škole technické staly dost velké změny, které souvisí s úbytkem počtu žáků i s ekonomickou situací, která před dvěma lety v regionu nastala. Sice stále patříme mezi největší školy v kraji, se špičkovým vybavením na CNC dílně, ale bohužel o technické obory a vůbec o učňovské obory, které nabízíme, není poslední dobou příliš velký zájem. Tato situace má na naší škole za následek, že i do studijního oboru nastupují žáci, kteří neměli příliš dobré studijní výsledky už na základní škole. K předmětům, ve kterých mají největší problémy, patří i matematika. Proto také většinu příkladů řeším společně s žáky, při samostatné práci jsem se nesetkala s příliš dobrými výsledky. Sbírku se budu snažit rozšiřovat hlavně o úlohy více zaměřené na jednotlivé obory, kde by žáci využili znalostí z mechaniky, technologie nebo elektrotechniky. Soubory jsou uloženy na CD-ROM médiu, jehož obsahem je zadání i řešení v Excelu. Zadání jsou také přiložena ve formátu pdf.


34

Seznam použíté literatury, použité zdroje [1]

CALDA, Emil. Matematika pro dvouleté a tříleté učební obory SOU, 1. díl. Praha: Prometheus, 2008. 264 s. ISBN 978-80-7196-367-7.

[2]

VOŠICKÝ, Zdeněk. Matematika v kostce. Havlíčkův Brod: Fragment, 1996. 122 s. ISBN 80-7200-012-8.

[3]

MOLNÁR, Josef. Planimetrie. Olomouc: Univerzita Palackého v Olomouci, 2001. 128 s. ISBN 80-244-0370-6.

[4]

LEINVEBER, Jan; ŘASA, Jaroslav; VÁVRA, Pavel. Strojnické tabulky. Upravené a doplněné vydání. Praha 6: Scientia, s. r. o., pedagogické nakladatelství 1999. 985 s. ISBN 80-7183-164-6.

[5]

http://cs.wikipedia.org

[6]

http://office.microsoft.com/cs-cz/excel-help/CL010072903.aspx?CTT=97


35

Seznam obrázků OBR. 1 PRACOVNÍ PLOCHA EXCELU 2007.................................................................................................................... 9 OBR. 2 KARTA VÝVOJÁŘ – OVLÁDACÍ PRVKY FORMULÁŘE.............................................................................................. 10 OBR. 3 UKÁZKA ZADÁNÍ PŘÍKLADU – VÝRAZY A JEJICH ČÍSELNÁ HODNOTA ........................................................................ 14 OBR. 4 UKÁZKA ŘEŠENÍ VÝRAZŮ V EXCELU ................................................................................................................. 15 OBR. 5 ŘEŠENÍ 1. PŘÍKLADU POMOCÍ TROJČLENKY V EXCELU.......................................................................................... 16 OBR. 6 UKÁZKA ŘEŠENÍ JEDNOHO Z PŘÍKLADŮ ............................................................................................................ 17 OBR. 7 ZADÁNÍ PŘÍKLADU – KVADRATICKÉ ROVNICE ..................................................................................................... 19 OBR. 8 ŘEŠENÍ KVADRATICKÉ ROVNICE V EXCELU ........................................................................................................ 19 OBR. 9 ŘEŠENÍ SLOVNÍ ÚLOHY O POHYBU................................................................................................................... 20 OBR. 10 ŘEŠENÍ SLOVNÍ ÚLOHY O SMĚSÍCH ................................................................................................................ 21 OBR. 11 JEDNOTKOVÁ KRUŽNICE ............................................................................................................................. 21 OBR. 12 JEDNOTKOVÁ KRUŽNICE – STUPŇOVÁ MÍRA ................................................................................................... 22 OBR. 13 UKÁZKA ŘEŠENÍ 1. PŘÍKLADU ...................................................................................................................... 24 OBR. 14 TABULKA TŘÍDĚNÍ TROJÚHELNÍKŮ ................................................................................................................. 25 OBR. 15 PYTHAGOROVA VĚTA................................................................................................................................. 26 OBR. 16 ZADÁNÍ PŘÍKLADU..................................................................................................................................... 27 OBR. 17 ŘEŠENÍ - VÝPOČET VNITŘNÍHO ÚHLU ............................................................................................................. 27 OBR. 18 ZADÁNÍ PŘÍKLADU..................................................................................................................................... 28 OBR. 19 KLASIFIKACE KONVEXNÍCH ČTYŘÚHELNÍKŮ ...................................................................................................... 29 OBR. 20 KRUŽNICE – S PRŮMĚREM D, POLOMĚREM R.................................................................................................. 29 OBR. 21 UKÁZKA ŘEŠENÍ PODLOŽKY 13 .................................................................................................................... 30 OBR. 22 UKÁZKA ŘEŠENÍ PODLOŽKY 13 .................................................................................................................... 30 OBR. 23 PŘEVODNÍK JEDNOTEK ............................................................................................................................... 31 OBR. 24 KARTA REVIZE – SKUPINA ZMĚNY ................................................................................................................ 32


Seznam příloh Zadání příkladů ve formátu *.pdf 1. příklad – výrazy a jejich číselná hodnota 2. příklad – trojčlenka 3. příklad – určování úměrnosti 4. příklad – kvadratická rovnice 5. příklad – goniometrické funkce 6. příklad – slovní úloha o pohybu 7. příklad – slovní úloha o směsích 8. příklad – planimetrie - trojúhelník 9. příklad – plocha podložky 13 10. příklad – plocha podložky 6.6 11. příklad – převody jednotek Řešení a zadání ve formátu *.xlsx příklady z matematiky.xlsx

36

Využití matematiky v hodinách ICT

Recommend Documents